›
›

Tự ôn luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Đức Tuấn

pdf 24 trang ngocly 2450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tự ôn luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Đức Tuấn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftu_on_luyen_thi_dai_hoc_mon_toan_nguyen_duc_tuan.pdf

Nội dung text: Tự ôn luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Đức Tuấn

  1. NGUY N ð C TU N T ƠN LUY N THI MƠN TỐN Hà n i, 1 - 2005
  2. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 1: Ph ươ ng trình và b t ph ươ ng trình Bài 1: PH ƯƠ NG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI I. Cách gi i 1) Ph ươ ng trình b c nh t: ax + b = 0, a,b ∈IR. b • Nu a ≠ 0 thì ph ươ ng trình cĩ nghi m duy nh t x = - . a • Nu a = 0, b ≠ 0 thì ph ươ ng trình vơ nghi m. • Nu a = b = 0 thì ph ươ ng trình nghi m đúng v i m i x ∈IR. 2) Ph ươ ng trình b c hai : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • Nu ∆= b 2 – 4ac 0 ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t x = . 2,1 2a II. ðnh lí Viét và h qu v d u các nghi m 2 ≠ 1) ðnh lí Viét : Nu ph ươ ng trình ax + bx + c = 0, a 0 cĩ hai nghi m x1 x, 2 thì b c S = x + x = - và P = x x. = . 1 2 a 1 2 a 2) H qu : Ph ươ ng trình b c hai ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 cĩ hai nghi m: ∆ ≥ 0 c  Trái d u ⇔ 0 a   ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0   c c Cùng d ươ ng ⇔  > 0 Cùng âm ⇔  > 0 a a  b  b − > 0 − 0 v i ∀ x. b • Nu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - . 2a • Nu ∆ > 0 khi đĩ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t x 1 0 v i x ngồi x[ 1 x; 2 ] . < < a.f(x) < 0 v i x1 x x 2 . 2. ðnh lí đ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c cĩ hai nghi m phân bi t α < α < và s n m trong kho ng hai nghi m đĩ: x1 x 2 . Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 1
  3. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV. ng d ng 1. ðiu ki n đ f(x) = ax 2 + bx + c khơng đi d u v i m i x a = b = 0 a = b = 0   c > 0 c ≥ 0 f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔ a > 0 a > 0   ∆ 0 nghi m:   (f.a α) > 0  ∆ > 0  α - N u n m bên ph i hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0  S b  = − 0  α α - N u n m bên trái hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0  S b  = − > a 2 a2 • ðiu ki n đ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m nm ngồi đon [ α;β ] là: f( α ).f( β ) α : • Tr ưng h p 2: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  (f.a ) 0  α < S  2  (f α) = 0 • α = < ⇔  Tr ưng h p 3: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  S α <  2 ( Làm t ươ ng t v i tr ưng h p x < α và khi x y ra d u b ng) Ngồi ra ta chú ý thêm đnh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi đĩ điu ki n đ ph ươ ng trình f(x) = m cĩ nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 2
  4. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bng tĩm t t đ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai Nu ∆ 0 a.f(x) > 0 v i x ngồi x[ x; ] a.f(x) > 0 v i ∀ x ∀ ≠ b 1 2 a.f(x) > 0 v i x - 0   (f.a α) > 0 0 ∆ > 0    (f.a α) > 0  (f.a α) > 0   S b S b  = − a 2 a2 2 a2 Ví d 1 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − (2 m + x)4 + m2 + 8 = 0 cĩ 2 nghi m d ươ ng. Ví d 2 . Xác đnh a đ bi u th c a( + x)1 2 − a(2 − x)1 + a3 − 3 luơn d ươ ng Ví d 3. Tìm m đ b t ph ươ ng trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m đúng v i m i x. 2 + + Ví d 4 . Tìm m đ ph ươ ng trình x mx 2m = 0 cĩ hai nghi m x1 x, 2 th a mãn < -1< x1 x 2 Ví d 5 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − 2mx + 2m2 −1 = 0 cĩ nghi m th a mãn − ≤ ≤ ≤ 2 x1 x 2 4 Ví d 6 . Cho ph ươ ng trình x 2 + (m + x)2 + 3m − 2 =0 Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t nh h ơn 2 Ví d 7 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 cĩ nghi m l n h ơn 1 2 − + 2 − + = ≤ ≤ Ví d 8. Tìm m đ ph ươ ng trình x 6mx 9m 2m 2 0 cĩ nghi m x1 x 2 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 3
  5. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 2: PH ƯƠNG TRÌNH TRÙNG PH ƯƠ NG VÀ PH ƯƠ NG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I I. Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ax 4 + bx 2 + c = a,0 ≠ 0 (1) ðt t = x 2 ≥ 0 ph ươ ng trình (1) tr thành: at 2 + bt + c = 0 (2) • PT (1) cĩ nghi m khi và ch khi (2) cĩ ít nh t m t nghi m khơng âm. • PT (1) cĩ đúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ đúng m t nghi m d ươ ng. • PT (1) cĩ đúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ m t nghi m b ng 0 và m t nghi m d ươ ng. • PT (1) cĩ đúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ hai nghi m d ươ ng phân bi t. Ví d 1 . Cho ph ươ ng trình: x4 + (1-2m)x2 + m 2 – 1 = 0. a)Tìm các giá tr c a m đ ph ươ ng trình vơ nghi m. b)Tìm các giá tr c a m đ ph ươ ng trrình cĩ 4 nghi m phân bi t. Ví d 2. Tìm m sao cho đ th hàm s y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 ct tr c hồnh l n l ưt t i 4 đim phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD. II. Ph ươ ng trình ch a giá tr tuy t đ i 1) Các d ng c ơ b n: b ≥ 0 | a | = b ⇔  | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ±b b < 0 b ≥ 0  | a | ≤ b ⇔  | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0 2 ≤ 2  a b  2 2 a ≥ b | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 Ví d 1 . Gi i ph ươ ng trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví d 2 . Gi i b t ph ươ ng trình x2 - | 4x – 5 | < 0. Ví d 3. Gi i và bi n lu n ph ươ ng trình | 2x – m | = x. Ví d 4. Gi i ph ươ ng trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví d 5 . Gi i và bi n lu n b t ph ươ ng trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 2) Ph ươ ng pháp đ th : a) Cách v đ th hàm s y = | f(x) | khi đã bi t đ th hàm s y = f(x). - Chia đ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n đ th n m phía trên tr c hồnh (1) và ph n đ th n m phía d ưi tr c hồnh (2). - V ph n đ th đ i x ng v i ph n đ th (2) qua tr c hồnh đưc ph n đ th (3). - ð th hàm s y = | f(x) | là đ th g m ph n đ th (1) và ph n đ th (3) v a v. b) ðnh lí: S nghi m c a ph ươ ng trình g(x) = h(m) là s giao đim c a đưng th ng nm ngang y = h(m) v i đ th hàm s y = g(x). Khi g p ph ươ ng trình cĩ tham s ta tách riêng chúng v m t v c a ph ươ ng trình r i v đ th hàm s y = g(x) và đưng th ng y = h(m) r i áp dng đ nh lí trên đ bi n lu n. Ví d 6 . Tìm m đ ph ươ ng trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 cĩ 4 nghi m phân bi t. Ví d 7 . Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ươ ng trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 4
  6. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 3: PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ B T PH ƯƠ NG TRÌNH VƠ T I.Các d ng c ơ b n Dng 1: 2n+1 )x(f = ϕ )x( , n ∈ N * ⇔ f(x) = [ ϕ )x( ]2n+1 ϕ )x( ≥ 0 Dng 2: 2n )x(f = ϕ )x( , n ∈ N * ⇔   )x(f = [ϕ(x)]2n Dng 3:  )x(f ≥ 0  )x(f ≥ 0   )x(f 0 , )x(f ≤ ϕ )x( ⇔ ϕ )x( ≥ 0    )x(f ϕ )x( ⇔ , )x(f ≥ ϕ )x( ⇔ ϕ )x( ≥ 0 ϕ )x( ≥ 0    2  2  )x(f > [ϕ(x)]  )x(f ≥ [ϕ(x)] Ví d 1 . Gi i ph ươ ng trình x 2 − 2x + 3 = 2x +1 Ví d 2. Gi i b t ph ươ ng trình x 2 − x −12 2 − x Ví d 4 . Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m x − m = 2x 2 + mx − 3 II. Các ph ươ ng pháp gi i ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình vơ t khơng c ơ b n 1) Ph ươ ng pháp l ũy th a hai v : - ðt điu ki n tr ưc khi bi n đ i - Ch đưc bình ph ươ ng hai v c a m t ph ươ ng trình đ đưc ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng (hay bình ph ươ ng hai v c a m t b t ph ươ ng trình và gi nguyên chi u) nu hai v c a chúng khơng âm. - Chú ý các phép bi n đ i c ăn th c A2 = A . Ví d 5 . Gi i ph ươ ng trình x +1 = 3− x + 4 Ví d 6 . Gi i b t ph ươ ng trình x + 3 ≥ 2x −8 + 7 − x Ví d 7 . Gi i b t ph ươ ng trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví d 8. Gi i b t ph ươ ng trình x + 2 − x +1 ≤ x Ví d 9 .Gi i ph ươ ng trình 2x 2 + 8x + 6 + x 2 −1 = 2x + 2 Ví d 10 .Gi i b t ph ươ ng trình x 2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x +1 ≥ x −1 2)Ph ươ ng pháp đt n ph : - Nh ng bài tốn cĩ tham s khi đ t n ph ph i tìm t p xác đ nh c a n m i. - Chú ý các hng đ ng th c a( ± )b 2 = a 2 ± 2ab + b2 , a 2 − b2 = a( + b)(a − )b , Ví d 11 .Gi i b t ph ươ ng trình 5x 2 +10 x +1 ≥ 7 − x 2 − 2x Ví d 12. ii ph ươ ng trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Ví d 13 .Gi i ph ươ ng trình x + 2 + x − 2 = 4x −15 + 4 x 2 − 4 4 3x 2 + 2x − 2 Ví d 14 .Gi i ph ươ ng trình 9x 2 + = x 2 x 5 1 Ví d 15 .Gi i b t ph ươ ng trình 5 x + < 2x + + 4 2 x 2x Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 5
  7. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 4: H PH ƯƠ NG TRÌNH ðI X NG I. H ph ươ ng trình đi x ng lo i 1 1)Khái ni m: Là h mà m i ph ươ ng trình khơng đi khi ta thay x b i y và thay y b i x. 2)Tính ch t: Nu (x o, y o) là m t nghi m c a h thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: x + y = S Bi n đi h ph ươ ng trình v d ng: H đã cho ⇔  (1)  y.x = P Khi đĩ x, y là nghi m c a ph ươ ng trình: t 2 −St + P = 0 (2) 2 Nu ∆ = S – 4P > 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ hai nghi m t 1 ≠ t 2 nên h ph ươ ng trình (1) cĩ hai nghi m phân bi t (t 1, t 2), (t 2, t 1). Nu ∆ = 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ nghi m kép t 1 = t 2 nên h (1) cĩ nghi m duy nh t (t 1, t 2). ðiu ki n đ h (1) cĩ ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0 ∆ = S2 − 4P ≥ 0  S ≥ 0  P ≥ 0 x + y = 2 x y + y x = 30 x − y − xy = 3 Ví d 1 .Gi i h ph ươ ng trình    3 + 3 = 2 + 2 + = x y 26 x x + y y = 35 x y xy 1  x +1 + y −1 = m xy x( + 2)(y + )2 = 5m − 6 Ví d 2.Tìm m đ h sau cĩ nghi m   2 2 x + y = m2 − 4m + 6 x + y + x(2 + )y = 2m II. H ph ươ ng trình đi x ng lo i 2 1)Khái ni m: Là h ph ươ ng trình mà trong h ph ươ ng trình ta đi vai trị x, y cho nhau thì ph ươ ng trình n tr thành ph ươ ng trình kia. 2)Tính ch t: N u (x o, y o) là m t nghi m c a h thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: Tr v v i v hai ph ươ ng trình c a h ta đưc ph ươ ng trình cĩ d ng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.  2 = + 1 3 2 2 2 2x y x + xy = 40 y x y − 4 = y  y Ví d 3.Gi i các h ph ươ ng trình    3 + 2 = 2 − = 2 y x y 40 x xy 4 x  2 1 2y = x +  x 2x + y −1 = m x = y2 − y + m Ví d 4.Tìm m đ h sau cĩ nghi m:   2 2y + x −1 = m y = x − x + m Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 6
  8. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 5: MT S H PH ƯƠ NG TRÌNH D NG KHÁC I. H vơ t  x 2 + y2 + 2xy = 8 2 Ví d 1. Gi i h ph ươ ng trình   x + y = 4 x + y + xy = a Ví d 2. Gi i và bi n lu n  x − y = a   x + y + x − y = 2 Ví d 3 . Gi i h ph ươ ng trình   y + x − y − x =1  x − 2 − y = 2 Ví d 4. Gi i h ph ươ ng trình   2 − x + y = 2  x +1 + y = m Ví d 5. Tìm m đ h cĩ nghi m   y +1 + x =1 II. H h u t  3 + 2y =  2 2 1 x + y −1 x Ví d 6 . Gi i h ph ươ ng trình  4x x 2 + y2 + = 22  y x3 − y3 = 7 Ví d 7 . Gi i h ph ươ ng trình  xy x( − )y = 2 x3 + 4y = y3 +16 x Ví d 8. Gi i h ph ươ ng trình  1+ y2 = 1(5 + x 2 ) x − y = 1(a + xy ) Ví d 9 . Tìm a đ h cĩ nghi m  xy + x + y + 2 = 0 2 x(y 2 − y2 ) = 3x Ví d 10 . Gi i h ph ươ ng trình   x(x 2 + y2 ) =10 y x + y = m Ví d 11 .Tìm m đ h cĩ hai nghi m phân bi t:  x 2 − y2 + 2x = 2 x 2 − xy − y2 = −11 Ví d 12. Gi i h ph ươ ng trình   x( 2 − y2 )xy =180 x3 − y3 =19 x( − )y Ví d 13 . Gi i h ph ươ ng trình  x3 + y3 = x(7 + )y === Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 7
  9. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 2: Ph ươ ng trình l ưng giác, m ũ, logarit Bài 1: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯNG GIÁC I. Ph ươ ng trình l ưng giác c ơ b n Khi gi i các ph ươ ng trình l ưng giác cu i cùng d n đ n phép gi i các ph ươ ng trình lưng giác c ơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau đây: Ph ươ ng trình ðiu ki n cĩ nghi m ðư a v d ng Nghi m sinx = m −1 ≤ m ≤1 sinx = sin α x = α + k2π  x = π − α + k2π cosx = m −1 ≤ m ≤1 cosx = cos α ± α + k2 π tgx = m mi m tgx = tg α α + k π cotgx = m mi m cotgx = cotg α α + k π b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơ n v gĩc th ưng dùng là radian. ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm l ưng giác t i các gĩc đ c bi t. ðưng trịn l ưng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng h ơn. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 8
  10. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình: 2 π a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1; c) sin( xπ) = 0. 2 5 Ví d 2 . Gi i ph ươ ng trình: π π π π a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ). 5 3 2 4 π 8π Ví d 3 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 ( cos x − ) = 0 . 3 3 Ví d 4. Gi i ph ươ ng trình: cos( πsin )x = cos( 3πsin )x Ví d 5 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 )x =1 II . Ph ươ ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b2 ≠ 0 Chia hai v c a ph ươ ng trình (1) cho a 2 + b2 , ta đưc: a b c (1) ⇔ sin x + cos x = (2) a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2 a b ðt = sin ϕ ; = cos ϕ . a 2 + b2 a 2 + b2 c Khi đĩ ph ươ ng trình l ưng giác cĩ d ng: cos(x - ϕ ) = (3) a 2 + b2 c Ph ươ ng trình cĩ nghi m khi và ch khi: ≤1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2 a 2 + b2 c Khi đĩ t n t i α ∈[ ;0 π] sao cho cos α = nên ta cĩ: a 2 + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k2π ; k ∈ Z Ví d 6 . Gi i ph ươ ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví d 7 . Cho ph ươ ng trình: sinx + mcosx = 1 a) Gi i ph ươ ng trình v i m = - 3 . b) Tìm m đ ph ươ ng trình vơ nghi m. Ví d 8 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3sin 2 x = 1 Ví d 9 . Tìm α đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈ IR: 3 cos x + sin( x + α) = 2 Ví d 10 . Gi i ph ươ ng trình: sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x).  π Ví d 11 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈  ;0  :  2  cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví d 12 . Gi i ph ươ ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 1 Ví d 13 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 4x − cos .x cos 4x − sin 2 x + = 0 4 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 9
  11. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. Ph ươ ng trình đng c p, ph ươ ng trình đi x ng đ i v i sinx và cosx 1) Ph ươ ng trình đng c p b c cao đ i v i sinx và cosx: Khái ni m: M t ph ươ ng trình sau khi bi n đ i v cosx, sinx mà t t c các s hng cĩ t ng s m ũ c a cosx và c a sinx ho c đ u là s t nhiên ch n ho c đ u là s t nhiên l thì ph ươ ng trình đĩ đưc g i là “ đng c p” đ i v i cosx và sinx. G i k là s l n nh t trong các t ng s m ũ nĩi trên đưc g i là b c c a ph ươ ng trình. Cách gi i: - Xét tr ưng h p cosx = 0 th vào ph ươ ng trình - Khi cos x ≠ 0 chia hai v ph ươ ng trình cho cos kx sau đĩ đt n ph t = tgx. Ví d 14. Gi i ph ươ ng trình: 2sin 3x = cosx π Ví d 15 . Gi i ph ươ ng trình: sin 3 x( + ) = 2 sin x 4 Ví d 16 . Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m: msin2x + cos2x + sin 2x +m = 0.  π π  Ví d 17: Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ đúng hai nghi m x n m trong kho ng − ;  :  2 2  3sin 4x – 2(m+2)sin 2x.cos 2x + (1 – m 2 )cos4x = 0. 2) Ph ươ ng trình đi x ng sinx và cosx: Khái ni m: Mt ph ươ ng trình sau khi bi n đ i v cosx, sinx mà các s h ng cĩ ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx đưc g i là ph ươ ng trình đi x ng đ i vi cosx và sinx. Ví d ph ươ ng trình: a(cos x ± sin )x + b cos x.sin x + c = 0 . t 2 −1 Cách gi i: ðt t = sinx + cosx, ta cĩ t ≤ 2 . Khi đĩ: sinx.cosx = 2 1 − t 2 N u đ t t = sinx - cosx, ta cĩ t ≤ 2 . Khi đĩ: sinx.cosx = 2 Ví d 18 . Cho ph ươ ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). a) Gi i h ph ươ ng trình v i m = - 1. b) Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m. 3 Ví d 19 . Gi i ph ươ ng trình: 1+ sin 3 x + cos 3 x = sin 2x 2 3 Ví d 20. Gi i ph ươ ng trình: 1+ sin 3 2x + cos 3 2x = sin 4x 2 π 3π Ví d 21 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈  ,  : 4 4  cos 3 x + sin 3 x = m. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 10
  12. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV. Ph ươ ng trình đư a v d ng tích Các ph ươ ng trình l ưng giác khơng cĩ d ng nh ư nh ng ph ươ ng trình đã trình bày các mc tr ưc, ng ưi ta th ưng ngh ĩ t i phân tích chúng thành nh ng ph ươ ng trình c ơ b n. Vi c phân tích thành tích th c ch t là đi tìm th a s chung c a các s h ng cĩ trong ph ươ ng trình. ð làm đưc điu đĩ, chúng ta c n ph i thành th o các cơng th c l ưng giác, các hng đ ng th c đ i s đáng nh và c ũng c n ph i cĩ kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a các s h ng cĩ trong ph ươ ng trình. 1 1 • Th các nghi m đ c bi t nh ư sin x = ±1, sin x = ± , cos x = ±1, cos x = ± 2 2 và ph ươ ng trình cĩ ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng đ ng th c sin 2x + cos 2x = 1. • Dùng các cơng th c bi n đ i nh ư h b c, bi n đ i t ng thành tích , bi n đ i tích thành t ng, hàm s l ưng giác c a hai gĩc cĩ liên quan đc bi t. Chú thêm m t s bi n đ i sau đây: 2 1 cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2cot g2x , cot gx − cot g2x = sin 2x sin 2x • ðt các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m đã th đưc). Tham kh o thêm b ng h các bi u th c cĩ nhân t chung. f(x) Bi u th c ch a th a s f(x) sinx sin2x, tgx, tg2x, cosx sin2x, tg2x, cotgx, 1+cosx x x cos 2 , cot g2 , sin 2x, tg 2x 2 2 1-cosx x x sin 2 , tg 2 , sin 2x, tg 2x 2 2 1+sinx π x π x cos 2x, cotg 2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + ) 4 2 4 2 1-sinx π x π x cos 2x, cotg 2x, cos 2 ( + ), sin 2 ( − ) 4 2 4 2 sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx Ví d 1 .Gi i ph ươ ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 3 Ví d 2 .Gi i ph ươ ng trình: sin 2x + sin 22x + sin 23x = 2 1 Ví d 3. Gi i ph ươ ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x). 2 Ví d 4 .Gi i ph ươ ng trình: 2sin 3x + cos2x + cosx = 0 Ví d 5 .Gi i ph ươ ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 1+ tgx Ví d 6. Gi i ph ươ ng trình: =1+ sin 2x 1− tgx  π x  Ví d 7 .Gi i ph ươ ng trình sin .x cos 4x − sin 2 2x = 4sin 2  −  .  4 2  Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 11
  13. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 2: PH ƯƠ NG TRÌNH, H PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ, LOGARIT I. Các k t qu c ơ b n 1) Hàm s m ũ: y = a x, 0 1 hàm s đ ng bi n. Khi 0 0 ). • Tp giá tr: IR • Khi a > 1 hàm s đ ng bi n. Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Dng đ th : Chú ý: Trong các b t ph ươ ng trình m ũ, logarit, c ơ s a l n h ơn hay bé hơn 1 quy t đ nh chi u c a b t ph ươ ng trình. Vì v y ph i chú ý đ n chi u c a b t ph ươ ng trình trong quá trình bi n đ i. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 12
  14. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn b)Các cơng th c chú ý: b > 0 • log b cĩ ngh ĩa ⇔  a 0 0 và 0 a 1) a n a • 2k = ∈ log a b 2 .k log a |b| vi k Z . II. Các ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình cĩ d ng c ơ b n 1) Ph ươ ng trình m ũ: Cho 0 0 Dng 1: a )x(f = b ⇔  =  )x(f log a b a >1   0) ⇔ 0  )x(f log a b Dng 3: a )x(f > b - Nu b ≤ 0 b t ph ươ ng trình nghi m đúng v i m i x thu c t p xác đ nh ca b t ph ươ ng trình. a >1   >  )x(f log a b - Nu b > 0, khi đĩ b t ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v i: 0 1   )x(f )x(g Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 13
  15. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 2)Ph ươ ng trình logarit = ⇔ = b Dng 1: log a )x(f b )x(f a . a >1  0 a a >1   )x(f > a b Dng 3: log )x(f > b ⇔ a  1  0 Ví d 2 . Gi i b t ph ươ ng trình: log x 5( x 8x )3 2 x + 3 = Ví d 3. Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ hai nghi m phân bi t: log 2 9( 9m ) x Ví d 4 . Gi i ph ươ ng trình: − + + = log x (cos x sin )x log 1 (cos x cos 2 )x 0 x [ x − ]≤ Ví d 5. Gi i b t ph ươ ng trình: log x log 3 9( 72 ) 1 − < − Ví d 6. Gi i b t ph ươ ng trình: log 1 ( 5 )x log 1 3( )x 3 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 14
  16. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. Các ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình khơng c ơ b n • Ph i đ t điu ki n. • Nh ng bài tốn cĩ tham s , đ t n ph ph i tìm t p xác đ nh c a n m i. • Nh ng bài tốn ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình m ũ, logarit mà n x v a s mũ c a l ũy th a, v a h s , th ưng chuy n v vi c phân tích thành th a s , nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t đ i v i ph ươ ng trình; xét d u ca tích đi v i b t ph ươ ng trình. • Khi bài tốn ph c t p, cĩ nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau ta cĩ th đ t n ph đ đưa bài tốn tr lên đơ n gi n h ơn. 1 + + 1 + Ví d 7 . Gi i ph ươ ng trình: 4.3 x + 9x 2 = 4.6 x 1 − 9x 1 3 4 Ví d 8. Gi i ph ươ ng trình: 3.8 x + 2.3 x = 24 + 6x log (35 − x3 ) Ví d 9. Gi i b t ph ươ ng trình: a > 3 (v i 0 1 + Ví d 13. Gi i b t ph ươ ng trình: log 3 x 5x 6 log 1 x 2 log 1 x( )3 3 2 3 − + + − − = Ví d 14. Gi i ph ươ ng trình: log 1 x( )1 log 1 x( )1 log 1 7( )x 1 2 2 2 Ví d 15 . Gi i ph ươ ng trình: lg 4 x( − )1 2 + lg 2 x( − )1 3 = 25 + + 2 + 2 + + = Ví d 16. Gi i ph ươ ng trình: log 3x+7 9( 12 x 4x ) log 2x+3 6( x 23 x 21 ) 4 Ví d 17 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau đây cĩ hai nghi m trái d u: (m + 3)16x + 2( m − 4)4 x + m +1 = 0 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 15
  17. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 3: Kh o sát hàm s và các bài tốn liên quan Bài 1: KH O SÁT HÀM S Sơ đ kh o sát hàm s 1) Tìm t p xác đ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hồn (n u cĩ)). 2) Kh o sát s bi n thiên hàm s a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s • Tính đo hàm • Tìm các đim t i h n (ðim t i h n thu c TX ð và t i đĩ f ′ )x( khơng xác đnh ho c b ng 0) • Xét d u c a đ o hàm trong các kho ng xác đ nh b i các đim t i h n. (Gi a hai đim t i h n k nhau thì f ′ )x( gi nguyên m t d u) • Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng (ðng bi n n u f ′ )x( >0, ngh ch bi n n u f ′ )x( <0). b) Tính các c c tr (suy ra ngay t phn xét chi u bi n thiên) c) Tìm các gi i h n c a hàm s • Khi x d n t i vơ c c ( x → +∞ và x → −∞ ) • Khi x d n t i bên trái và bên ph i, các giá tr c a x t i đĩ hàm s khơng → + → − xác đnh ( x x o , x x o ) • Tìm ti m c n (n u là hàm s phân th c) - N u lim )x(f = ∞ thì x = x o là mt ti m c n đ ng c a hàm s x→∞ )x(f - Ti m c n xiên: y = ax + b . Trong đĩ a = lim ; b = lim )x(f[ − ax ] x→∞ x x→∞ → +∞ → −∞ → + → − (khi x ( x ), x x o ( x x o ) thì đĩ là ti m c n bên ph i (trái)) d) Xét tính l i, lõm và tìm đim u n c a đ th hàm s (n u là hàm s đa th c) • Tính đo hàm c p 2 • Xét d u c a đ o hàm c p 2 • Suy ra tính l i, lõm và đim u n c a đ th (l p b ng l i lõm) ( n u f ′′ )x( < 0vi ∀x ∈ )b;a( thì đ th hàm s l i trên kho ng đĩ) e) L p b ng bi n thiên (ghi t t c các k t qu tìm đưc vào b ng bi n thiên) 3)V đ th • Chính xác hĩa đ th (tìm giao đim c a đ th v i các tr c t a đ và nên ly thêm m t s đim c a đ th , nên v ti p tuy n m t s đim đ c bi t) • V đ th ( đc l i các ví d m u SGK t trang 80 đ n trang 97). Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 16
  18. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn BÀI 2: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ðN KH O SÁT HÀM S I. Tìm giao đim c a hai đưng = = Gi s hàm s y )x(f cĩ đ th là (C) và hàm s y )x(g cĩ đ th là (C1) . Rõ ràng Mo x( o y; o ) là giao đim c a (C) và (C1) khi và ch khi x( o y; o ) là nghi m c a h ph ươ ng trình y = )x(f  y = x(g = Do đĩ đ tìm hồnh đ các giao đim c a (C) và (C1) ta gi i ph ươ ng trình: )x(f )x(g (1) S nghi m c a ph ươ ng trình chính là s giao đim c a hai đ th (C) và (C1) . Nu x o x, 1, là các nghi m c a (1) thì các đim Mo x( o x(f; o )), M1 x( 1 x(f; 1)) là các giao đim c a (C) và (C1) . Bài tốn: Tìm m đ đ th hàm s c t đưng th ng t i m t s đim th a mãn yêu c u bài tốn. Ví d 1 . Bi n lu n theo m s giao đim c a đ th các hàm s x 2 − 6x + 3 y = và y = x − m x + 2 Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a ph ươ ng trình x3 + 3x 2 − 2 = m x 2 + x −1 Ví d 3 . V i giá tr nào c a k thì đưng th ng y = kx − k + 2 c t đ th hàm s y = x −1 ti hai đim phân bi t. x 2 + 4x + 3 Ví d 4 . Tìm k đ đưng th ng y = kx + 1 c t đ th y = t i hai đim phân bi t x + 2 x 2 + x −1 Ví d 5 . Tìm m đ đưng th ng y = −x + m c t đ th y = t i hai đim phân bi t x −1 mx 2 + x + m Ví d 6 . Tìm m đ đ th hàm s y = c t tr c hồnh t i 2 đim phân bi t cĩ hồnh x −1 đ d ươ ng. − x 2 + 3x − 3 Ví d 7 . Tìm m đ đưng th ng y = m c t đ th hàm s y = t i hai đim A và B x(2 − )1 sao cho đ dài đon AB = 1. Ví d 8 . Tìm m đ đ th y = x3 + 3x 2 + mx + 1 c t đưng th ng y = 1 t i 3 đim phân bi t. 1 2 Ví d 9 . Tìm m đ đ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hồnh t i 3 đim phân bi t. 3 3 1 Ví d 10. Tìm a đ đưng th ng y = x(a + )1 +1 c t đ th hàm s y = x +1+ t i hai đim x + 2 cĩ hồnh đ trái d u. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 17
  19. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn II. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n Cho hàm s y = f(x) cĩ đ th (C) a) Ph ươ ng trình ti p tuy n c a đưng cong (C) t i đim Mo x( o x(f; o )) − = ′ − y yo f x( o )( x x o ) b) Ph ươ ng trình đưng th ng đi qua đim M1 x( 1 y; 1 ) và ti p xúc v i (C) − = − ⇔ = − + ðưng th ng d đi qua M1 x( 1 y; 1) cĩ d ng y y1 x(k x1) y x(k x1) y1 ð cho đưng th ng d ti p xúc v i (C), h ph ươ ng trình sau ph i cĩ nghim: y = x(k − x ) + y  1 1 f ′ )x( = k = ′ H ph ươ ng trình này cho phép xác đnh hồnh đ xo ca ti p đim và h s gĩc k f )x( Chú ý : Hai đ th hàm s y = )x(f và y = )x(g ti p xúc v i nhau n u và ch n u h ph ươ ng trình sau đây cĩ nghi m:  )x(f = )x(g  f ′ )x( = g′ )x( c) Ph ươ ng trình đưng th ng cĩ h s gĩc k và ti p xúc (C). Ph ươ ng trình đưng th ng cĩ h s gĩc k cĩ d ng y = kx + b ti p xúc v i đ th (C), ta gi i ′ = ph ươ ng trình f )x( k tìm đưc hồnh đ các ti p đim x o x, 1 x, 2 , T đĩ suy ra ph ươ ng trình các ti p tuy n ph i tìm: − = − y yi x(k x i ) ( i = 0, 1, ) Bài tốn : Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t ph ươ ng c a ti p tuy n ho c đi qua mt đim cho tr ưc nào đĩ. Ví d 1 . Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) c a hàm s y = 2( − x 2 )2 bi t ti p tuy n đĩ đi qua đim A(0 ; 4) 1 Ví d 2 . Vi t ph ươ ng trình các đưng th ng vuơng gĩc v i đưng th ng y = x + 3 và tip xúc 4 vi đ th hàm s y = )x(f = −x 3 + 3x 2 − 4x + 2 Ví d 3. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) c a hàm s y = −x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n đĩ song song v i đưng th ng y = −9x +1 Ví d 4. T g c t a đ cĩ th k đưc bao nhiêu tip tuy n c a đ th hàm s y = x 3 + 3x 2 +1 Vi t ph ươ ng trình các ti p tuy n đĩ. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 18
  20. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 1 3 Ví d 5 . Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + cĩ đ th là (C) 2 2 a) Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i các đim u n. 3 b) Tìm ti p tuy n c a (C) đi qua đim A ;0( ) 2 Ví d 6. Cho hàm s 3x + 2 y = cĩ đ th là (C). x + 2 Ch ng minh r ng, khơng cĩ ti p tuy n nào c a đ th (C) đi qua giao đim c a hai ti m c n c a đ th đĩ. Ví d 7 . Cho hàm s 1 y = x − cĩ đ th là (C) x +1 Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p đim mà ti p tuy n t i đĩ song song v i nhau. Ví d 8 . Cho hàm s x 2 + mx − 2m − 4 y = cĩ đ th (C) x + 2 Gi s ti p tuy n t i M ∈(C) ct hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ x 2 − 4x + 5 Ví d 9 . Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n đi x − 2 qua đim A(1;1). x 2 − x −1 Ví d 10. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th y = bi t ti p tuy n song song v i x +1 đưng th ng y = − x . x 2 − x −1 Ví d 11. Cho hàm s y = cĩ đ th là (C) x +1 Tìm t t c các đim trên tr c tung mà t đĩ cĩ th k đưc 2 ti p tuy n v i đ th (C) x 2 + 3x + a Ví d 12. Tìm a đ đ th y = cĩ ti p tuy n vơng gĩc v i đưng th ng y = x. x +1 Ví d 13. Tìm m đ đ th y = 2mx 3 − 4( m2 + x)1 2 + 4m2 ti p xúc v i tr c hồnh. mx 2 + 3mx + 2m +1 Ví d 14. Tìm m đ đ th y = ti p xúc v i đưng th ng y = m. x + 2 Ví d 15. Tìm a đ ti m c n xiên c a đ th 2x 2 + a( + x)1 − 3 y = x + a ti p xúc v i parabơn y = x 2 + 5. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 19
  21. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. S đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s Cho hàm s y = f(x) cĩ đ o hàm trên kho ng (a;b) a) Hàm s f(x) đ ng bi n trên (a;b) ⇔ f ′ )x( ≥ 0 v i ∀x ∈ )b;a( b) Hàm s f(x) ngh ch bi n trên (a;b) ⇔ f ′ )x( ≤ 0 v i ∀x ∈ )b;a( Bài tốn : Yêu c u tìm m đ cho hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n trong m t kho ng nào đĩ Chú ý: Cn n m v ng các đnh lý v d u c a tam th c b c hai Ví d 1. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 2(3 m − x)1 + 1 Xác đnh m sao cho hàm s đ ng bi n trên t p xác đnh. Ví d 2. Cho hàm s y = 2x 2 + 2mx + m −1 Xác đnh m sao cho hàm s đ ng bi n trong kho ng (− ;1 +∞ ) Ví d 3. Cho hàm s y = x3 + 3x 2 + (m + x)1 + 4m Tìm m đ hàm s ngh ch bi n trên (-1,1) x 2 + (2 m + x)1 + 2 Ví d 4. Cho hàm s y = x +1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trong kho ng ;0( +∞ ) 1 Ví d 5. Cho hàm s y = x3 − mx 2 + 2( m − x)1 − m + 2 3 Tìm m đ hàm s ngh ch bi n trên (-2;0). 2x 2 − 3x + m Ví d 6. Cho hàm s y = x −1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên ,3( +∞ ) Ví d 7. Cho hàm s y = x 3 − (3 m − x)1 2 + 3m(m − x)2 + 1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên t p h p các giá tr c a x sao cho 1≤ x ≤ 2 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 20
  22. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV.Cc đ i và c c ti u Cho hàm s y = f(x) , x o thu c t p xác đ nh c a hàm s . N u khi x đi qua x o đo hàm đi du thì xo là m t đim c c tr c a hàm s . o Nu đ i d u t + sang – thì x o là đim c c đ i c a hàm s . o Nu đ i d u t - sang + thì x o là đim c c ti u c a hàm s . ð tìm các đim c c tr c a hàm s ta cĩ hai quy t c: o Tìm các đim t i h n sau đĩ xét d u c a đ o hàm f ′ )x( ′ ′′ o Gi i ph ươ ng trình f )x( = 0. G i xi là các nghi m. Xét d u c a f )x( Bài tốn : Tìm m đ hàm s y = f(x) cĩ c c tr và các đim c c tr th a mãn điu ki n nào đĩ. - Tìm điu ki n m đ cho đ o hàm c a hàm s cĩ đ i d u (s l n đ i d u b ng s c c tr ) - Tìm t a đ c a các đim c c tr r i đ t ti p điu ki n c a m đ th a mãn điu ki n mà bài tốn yêu c u. x 2 + mx +1 Ví d 1. Tìm m đ hàm s y = đt c c đ i t i x = 2. x + m Ví d 2. Cho hàm s y = (m + x)2 3 + 3x 2 + mx + m Vi giá tr nào c a m, hàm s cĩ c c đ i và c c ti u. x 2 + 2x + m Ví d 3. Ch ng minh r ng hàm s y = luơn cĩ m t c c đ i và m t c c ti u. x 2 + 2 Ví d 4. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 2(3 m − x)1 + 1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ m t c c đ i và m t c c ti u. Tính t a đ c a đim c c ti u. Ví d 5. Cho hàm s y = −x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 Bi n luân theo m s c c tr c a hàm s . x 2 + mx + 2m +1 Ví d 6. Cho hàm s y = mx +1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ c c tr và ti m c n xiên c a đ th đi qua g c t a đ . x 2 + mx − 2m − 4 Ví d 7. Cho hàm s y = x + 2 Xác đnh m đ hàm s cĩ hai c c tr . Ví d 8. Tìm a và b đ các c c tr c a hàm s 5 y = a 2x3 + 2ax2 − 9x + b 3 5 đu là nh ng s d ươ ng và x = − là đim c c đ i. o 9 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 21
  23. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ví d 9. Cho hàm s y = 2x 2 + 2mx + m −1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ c c tr trong kho ng (− ,1 +∞ ) Ví d 10. Xác đnh m sao cho hàm s mx 2 + 2( − 4m x) + 4m −1 y = x −1 Cĩ c c tr trong mi n x > 0. mx 2 + x + m Ví d 11. Cho hàm s y = . x + m Tìm m đ hàm s khơng cĩ c c tr . Ví d 12. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + (m2 + 2m − x)3 + 4 . Tìm m đ đ th hàm s cĩ c c đ i, c c ti u n m hai phía tr c tung. x 2 + x + m Ví d 13. Cho hàm s y = . x + 1 Tìm m đ đ th hàm s cĩ c c đ i, c c ti u n m hai phía tr c tung x 2 + 2( m + x)3 +m2 +4m Ví d 14. Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s y = cĩ hai x + m cc tr và giá tr c a đim c c tr t ươ ng ng trái d u nhau. x 2 + (m + x)1 − m +1 Ví d 15. Cho hàm s y = cĩ hai c c tr và giá tr c a đim c c tr tươ ng x − m ng cùng d u nhau. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 22
  24. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 23