Giáo trình Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

46 trang ngocly 1210

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dong_luc_hoc_cong_trinh_chuong_4_cac_phuong_phap.pdf

Nội dung text: Giáo trình Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình

Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình Chương 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Các phương pháp tính gần đúng trong Động lực học công trình có thể phân thành ba nhóm chính: - Nhóm thứ nhất là các phương pháp năng lượng. Các phương pháp năng lượng dựa vào nguyên lý bảo toàn năng lượng cơ học được phát biểu như sau: Tại mọi thời điểm của hệ dao động. tổng thế năng và động năng của hệ luôn luôn là một hằng số: T + U = hằng số (4-1) Trong đó: T là động năng của hệ. U là thế năng của hệ. Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng trực tiếp phương trình (4-1), hoặc dựa vào các phương trình Lagrange, hay nguyên lý Hamilton. Các phương pháp năng lượng sở dĩ cho kết quả gần đúng vì phải giả thiết trước dạng dao động của hệ - Nhóm thứ hai là nhóm các phương pháp chuyển hệ vô hạn bậc tự do về hệ có số bậc tự do hữu hạn để giải. Các phương pháp chính thuộc nhóm này là: Phương pháp khối lượng tập trung, phương pháp biến dạng tập trung và phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH). - Nhóm thứ ba là nhóm các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân dao động của hệ, mà điển hình là phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp rời rạc hóa toán tử vi phân, hay phương pháp Butnop-Galookin. Phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp rời rạc hóa toán tử vi phân và phương pháp phần tử hữu hạn còn được gọi chung là phương pháp số-vì kết quả tính toán là các con số. Trong khuôn khổ thời lượng của môn học, trong tài liệu này chỉ trình bày một số phương pháp cơ bản. 4.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG 4.1.1 Phương pháp Rayleigh Phương pháp Rayleigh áp dụng trực tiếp nguyên lý bảo toàn năng lượng (4-1) để xác định tần số dao động riêng của hệ dao động. Ta nhận thấy rằng, với giả thiết dao động tự do là điều hoà, thì khi hệ dao động tới vị trí cân bằng ban đầu, thế năng của hệ bằng không, còn vận tốc đạt cực đại; còn khi hệ ở vị trí biên độ chuyển động thì vận tốc chuyển động bằng không- cũng tức là động năng bằng không, còn thế năng đạt cực đại. Điều này có nghĩa là: TUmmax= ax (4-2) A- Xét trường hợp hệ có số bậc tự do hữu hạn (n bậc tự do): T Nếu ký hiệu {ak} = { aa12 k k ank } (xem (2-12)) là vectơ chứa biên độ dao động của các khối lượng thứ 1, 2, , n tương ứng với tần số dao động riêng thứ k (dạng dao động riêng thứ k) thì với vật liệu đàn hồi tuyến tính ta có: 69
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 1 T Thế năng cực đại bằng: U= { a} [ Ka]{ } (1) (4-3) mkax 2 k 1 T Động năng cực đại bằng:T= ω 2 { a} [ Ma]{ } (2) max 2 kk k trong đó: [K ] là ma trận độ cứng của hệ, còn [M ] là ma trận khối lượng. Thay (4-3) vào (4-2) ta được tần số dao động riêng thứ k: T 2 {akk} [ Ka]{ } ωk = T (4-4) {akk} [ Ma]{ } Rõ ràng là nếu biết dạng dao động riêng thứ k, {ak }, ta sẽ xác định được tần số riêng tương ứng. Tất nhiên dạng dao động riêng này ta phải giả thiết trước. B- Trường hợp khối lượng phân bố-hệ có vô hạn bậc tự do: Với giả thiết dao động tự do là điều hoà, thì phương trình dao động chính thức thứ k có dạng: yztkkk( , )= yz ( )sin(ωλ t+ ) (4-5) Theo Sức bền vật liệu, đối với cấu kiện chịu uốn khi bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc, thế năng biến dạng được tính theo công thức sau: 1 Mz2 () U = ∑∫ i dz (4-6) 2 i EJ li i Theo (4-5) dao động đạt biên độ khi sin(ωλkt +=± ) 1. '' '' Mặt khác, Mzk()=−=−+ EJyzt k (,) EJyz kk ()sin(ωλ t ), nên khi dao động đạt biên độ thì '' Mkk() z= EJy () z (xét về trị số) (a) 1 2 = '' nên Umax ∑∫ EJik y() z dz (4-7) 2 i li Tại vị trí cân bằng vận tốc đạt cực đại; mà vk( zt , )= y kk ( z )ω c os( ωλk t+ ) nên Vkmax = yz k()ω k (b) Lúc này động năng cực đại 1 2 = ω 2 Tmax kk∑∫[ y() z] m () z dz (4-8) 2 i li Trong đó: m(z) là cường độ khối lượng phân bố theo chiều dài thanh. Khi trên hệ, ngoài khối lượng phân bố m(z), còn có các khối lượng tập trung Mj (j=1, 2, , n), thì tổng động năng của các khối lượng tập trung sẽ là 1 2 = ω 2  Tmax k∑ M j yz kj() (4-9) 2 j 70
Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình Ở đây Mj là khối lượng tập trung thứ j, còn yk(zj) là biên độ dao động của khối lượng thứ j tương ứng với tần số riêng thứ k. Thay (4-7), (4-8), (4-9) vào (4-2) ta được: 2 '' ∑∫ EJi yk ( z ) dz i 2 li ωk = 2 (4-10) 2 +  ∑∑∫[ yzk()] mzdz () Mj yz kj() ij li Trong đó i là đoạn thứ i có chiều dài là li. Công thức (4-10) là lời giải tổng quát có thể áp dụng để xác định tần số dao động riêng thứ k cho dầm, vòm, thậm chí cả tấm vỏ kể cả khi tiết diện thay đổi. Thực tế là dạng dao động riêng thứ nhất thường rất gần với dạng biến dạng giả tĩnh tương ứng. Bởi vậy, người ta thường dùng công thức (4-10) để xác định tần số cơ bản ω1, lúc này ta lấy đường biến dạng giả tĩnh để tính toán. Với các tần số bậc cao, do rất khó để giả thiết được một dạng dao động gần sát với thực tế, nên ít được tính theo (4-10). VÍ DỤ 4-1: Xác định tần số dao động riêng thứ nhất của q=hằng số dầm conson có tiết diện hằng số và chiều dài l. z Ta giải bài toán trong hai trường hợp. 0 1) Lấy dạng đường đàn hồi của trục dầm do ql444 z z tải trọng phân bố đều đặt tĩnh gây ra làm dạng dao = −+ yz() 1 4 động riêng thứ nhất. y 8EJ 33 l l Theo hình (4-1) ta có: l 4zz4 = −+ Hình 4-1 yz10() A 1 4 (a) 33ll 4z2 '' = Khi đó: yz10() A4 (b) l Trong đó: A0 là một hệ số. Thay (a); (b) vào (4-10) và chú ý là Mj=0, và ký hiệu m là cường độ khối lượng phân bố đều và A0 bị triệt tiêu, rồi tiến hành tích phân ta có: l 2 4z2 16 4 dz  EJ ∫ l 3 EJ 162 EJ ω 2 = 0  = 5l = 1 2 4 mml 4zz4 104 13 ml 1−+ dz l ∫4 405 0 33ll 3,5301 EJ Suy ra: ω = (c) 1 l 2 m 71
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 3,516 EJ So sánh với lời giải chính xác: ω = , sai số 0,4%. 1 lm2 2) Lấy dạng đường đàn hồi của trục dầm do lực tập trung đặt tĩnh tại đầu tự do gây ra làm dạng dao động riêng thứ nhất. P z Theo hình (4-2) ta có: 0 3zz3 = −+ 33 yz10() A 2 3 (d) Pl3 z z = −+ ll yz() 2 3 y 6JE ll '' 6z và yz10()= A (f) l3 l Hình 4-2 Lại thay (d); (f) vào (4-10) rồi tích phân ta được: l 2 6z 12 3 dz  EJ ∫l 3 EJ 140 EJ ω 2 = 0 =l = 1 2 4 mml 3zz3 33 11 ml 2 −+ dz l ∫3 35 0 ll 3,568E J hay ω = ; Sai số ≈1,48% 1 lm2 Qua ví dụ trên ta thấy, lấy dạng biến dạng giả tĩnh của hệ do trọng lượng bản thân gây ra làm dạng dao động chính thứ nhất cho kết quả tương đối chính xác đối với tần số riêng ω1. 4.1.2 Phương pháp Rayleigh-Ritz Như đã thấy ở phần trên, độ chính xác của lời giải của Rayleigh phụ thuộc vào độ chính xác của dạng dao động mà ta giả thiết, và thông thường là lớn hơn giá trị thực. Đề nâng cao độ chính xác của lời giải (4-10), năm 1911, Ritz đã phát triển lời giải của Rayleigh dựa trên giả thiết cơ bản cho rằng: “Hàm biểu diễn dạng dao động là tổ hợp của nhiều hàm sẽ cho kết quả chính xác hơn so với chỉ một hàm như Rayleigh”. Với cách chọn hàm như thế này, không chỉ tần số cơ bản, mà các tần số bậc cao ta cũng có thể tính được một cách khá chính xác và dễ dàng. Về mặt lý thuyết, số lượng hàm sử dụng càng nhiều, kết quả càng chính xác-song cũng cần lưu ý rằng, khi số lượng hàm khá lớn, thì việc tăng số lượng hàm sẽ không còn làm tăng nhiều độ chính xác của lời giải nữa. Theo Ritz hàm biểu diễn dạng dao động riêng có dạng: n yz()= C11ϕϕ () z + C 2 2 () z ++ Cnn ϕ () z =∑ Cii ϕ () z (4-11) i=1 Trong đó: Ci là các hệ số φi(z) là các hàm thoả mãn các điều kiện biên của bài toán. Như đã nói, lời giải của phương pháp năng lượng cho kết quả lớn hơn giá trị thực. Để giảm bớt sai số, Ritz kiến nghị làm cực tiểu hoá tần số ω tính theo (4-10) bằng cách chọn các hệ số Ci trong (4-11) sao cho ω đạt cực tiểu, nghĩa là 72
Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình ∂ω = 0 (4-12) ∂Ci (i=1, 2, , n) Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính chứa ẩn là ω và các hệ số Ci. Giải bài toán trị riêng này, ta sẽ xác định được các ω. Ví dụ, để xác định tần số dao động riêng của dầm chịu uốn, ta thay (4-11) vào (4-10), khi đó phương trình (4-12) có dạng: l '' 2 ∫ EJ y() z dz ∂∂2 0 ω = l = 0 (a) ∂∂CC 2 ii∫ m[ y() z] dz 0 Thực hiện phép đạo hàm của một thương, ta có: ll l l 22∂∂'' 22'' ∫∫∫m[ y() z] dz EJ y() z dz−= EJ  y() z dz ∫ m[ y() z] dz 0 (b) 00∂∂CCii 0 0 Mặt khác, từ (4-10) ta có: ll 2 2 '' 2 ω ∫∫m[ y() z] dz= EJ y() z dz (c) 00 Thay (c) vào số hạng thứ hai của (b) ta được: ll ll 2∂∂'' 2 2 22 ∫∫m[ y() z] dz EJ y() z dz−=ω ∫∫ m[ y() z] dz m[ y() z] dz 0 (b’) 00∂∂CCii 00 l 2 Chia hai vế của (b’) cho ∫ m[ y() z] dz ta được: 0 l ∂ '' 2 2 2 ∫(EJ y() z−=ω m[ y () z] ) dz 0 (4-13) ∂Ci 0 (i= 1, 2, , n) Hệ phương trình (4-13) là dạng chính tắc của hệ phương trình (4-12) khi hàm biểu diễn dạng dao động lấy theo (4-11). Thực hiện phép vi phân, (4-13) cho ta một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ẩn là C1, C2, , Cn và ω. Từ điều kiện tồn tại dao động, hay nói cách khác, ma trận các hệ số phải không suy biến, ta thu được phương trình tần số là phương trình bậc n đối với ω2. Giải phương trình này ta sẽ được n tần số dao động riêng. VÍ DỤ 4-2: z P 0 2b 2b 73 y z l l 1 Hình 4-3
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Sử dụng phương pháp Rayleigh-Ritz để xác định các tần số dao động riêng của dầm conson dài l, bề rộng không đổi bằng đơn vị, còn chiều cao biến đổi theo quy luật bậc 1 (hình 4-3). Bài giải (Lời giải của Timoshenko, 1937) Xét mặt cắt ngang tại toạ độ z, có: 2b Fz()= z l 3 12bz Jz()=  12 l γγFz() 2 b mz()= = z g gl Trong đó: γ là trọng lượng riêng của vật liệu dầm. g là gia tốc trọng trường. Với hệ toạ độ chọn như trên hình vẽ, tại ngàm (z=l) có góc xoay và độ võng đều bằng không, nên ta chọn hàm biểu diễn dạng dao động như sau (các hàm φi(z) đều thoả mãn điều kiện biên) 22 2 z zz  zn−1  z yz( )= C12 1 −+ C 1 −++ Cn −  1 − (d) l ll  ln 1  l 1) Nếu chỉ lấy một hàm trong (d), giả sử số hạng thứ nhất- ta có lời giải Rayleigh và tính được: 5,48g Eg ω = 1 l 2 3γ 2) Nếu trong (d) ta lấy hai số hạng trở lên, ta sẽ có nghiệm Rayleigh-Ritz, giả sử ta lấy hai số hạng đầu: 22 z zz  yz()= C12 1 −+ C 1 − (f) l ll  Thay y(z) và yz'' () từ (f) vào (4-13) rồi tích phân ta có: 3222 ∂ 2 b 2 24 2blγω C2 CC C − + −+2 −1 + 12 + 2 = 3 (CC122) CCC 2122 ( 2 )6 C 0 ∂Ci 3 l 5 Eg 30 105 280 Tiến hành đạo hàm ta được: 74
Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình  ∂ Eg b22ωω 2 Eg b2 2  = −+ − =  ( ) 44 CC12  0 ∂Cl1 γγ3 30  5 3 l 105   (g)  ∂ 22Eg b22ωω Eg b22  ( ) = −+CC − =0  44 12  ∂Cl2 5γγ 3 105  5 3 l 280  Do phải tồn tại dao động, nghĩa là C1, C2 không đồng thời bằng không, ta được định thức các hệ số trong (g) phải bằng không, đây chính là phương trình tần số của bài toán. Egb22ωω 2 Egb2 2  −− 44   γγ3ll 30  5 3 105  = 0 (h) 22Egb22ωω Egb 22  −− 44   5γγ 3ll 105  5 3 280  (h) là phương trình bậc hai đối với ω2. Giải phương trình này ta được nghiệm nhỏ nhất: 5,319b Eg ω = 1 l 2 3γ Lời giải dựa vào hàm Bessel (được coi là chính xác) cho kết quả là: 5,315b Eg ω = 1 l 2 3γ So sánh ta thấy: Đối với tần số cơ bản ω1 khi dùng một hàm (nghiệm Rayleigh) sai số 3%; Khi dùng hai hàm (nghiệm Rayleigh-Ritz) sai số 0,1%. Như vậy, đối với ω1 ta chỉ cần dùng một hàm là đủ, chỉ khi cần xác định các tần số bậc cao thì mới cần dùng nhiều hàm trong (4-11). Chú ý: Cũng có thể dùng phương pháp này để giải bài toán dao động cưỡng bức. Độc giả có thể xem chi tiết trong các tài liệu tham khảo. 4.2 PHƯƠNG PHÁP KHỐI LƯỢNG TẬP TRUNG Nội dung cơ bản của phương pháp này là chuyển khối lượng phân bố trên hệ về tập trung tại một số điểm nào đó (thường là các điểm đặc biệt). Bằng cách như vậy, ta đã chuyển một hệ có vô hạn bậc tự do về hệ có số bậc tự do hữu hạn. Tuỳ thuộc vào bài toán và độ chính xác yêu cầu mà ta xác định số lượng khối lượng tập trung. Về mặt lý thuyết số khối lượng tập trung càng lớn, kết quả càng chính xác, tất nhiên tính toán càng phức tạp. Khi chuyển khối lượng phân bố về đặt tại một số điểm, ta phải giải quyết hai vấn đề cơ bản: 1- Khối lượng tập trung đặt ở đâu? 2- Trị số mỗi khối lượng tập trung bằng bao nhiêu? Qua các tính toán thực tế người ta đưa ra một số hướng dẫn chung như sau: 1- Về vị trí đặt khối lượng tập trung: - Khi trên hệ, ngoài khối lượng phân bố còn có các khối lượng tập trung, thì nên chuyển khối lượng về các nơi có các khối lượng tập trung này. 75
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH - Nên chuyển khối lượng về các nơi có chuyển vị lớn. - Nên đặt khối lượng tại các nút của hệ hay tại các tầng sàn của các khung cao tầng. 2- Về độ lớn của các khối lượng thay thế: Thường có 2 cách phân bố khối lượng-song tuỳ thuộc từng bài toán mà chọn cách thích hợp. - Chia khối lượng phân bố thành nhiều khoảng, rồi tập trung khối lượng về trung tâm của từng khoảng. Xem hình 4-4b, 4-5b, 4-6b. - Chia khối lượng phân bố thành nhiều khoảng, rồi tập trung khối lượng trên mỗi khoảng ra hai đầu. Xem hình 4-4c, 4-5c, 4-6a, b. Cách phân thứ hai được dùng nhiều hơn, vì nó thường cho lời giải đơn giản hơn. m=hằng số m=hằng số z a) a) l l l l y l l 3 3 3 3 3 3 (3BTD) b) M M M (3BTD) M1 M2 M3 1 2 3 b) ml ml MMM= = = MMM= = = 123 1233 3 c) M3 M1 M2 M4 M3 M1 M2 M4 c) ml MM= = ml (3BTD) 12 (2BTD) MM= = 3 123 ml = = ml MM34 = = 6 MM34 6 Hình 4-4 Hình 4-5 M1 M2 M6 M1 M7 M2 M3 h h M3 M4 M4 M5 l l a) b)   ml mh lh M=; MM = = MMm12= = +  1 23  22  22   mh  mh l h  MM45= =; MMm 67 = = + MM34= =   2  4 44 Hình 4-6 76
Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình Trong nhiều trường hợp, khi chỉ cần xác định tần số cơ bản ω1, thì ta có thể thay các khối lượng phân bố bằng chỉ một khối lượng tập trung tương đương (Mtđ). Trong trường hợp này, khối lượng thay thế tương đương nên đặt tại nơi có chuyển vị lớn nhất, còn độ lớn của Mtđ có thể được xác định trên cơ sở giả thiết cho rằng: Hai hệ (hệ thực và hệ thay thế) tương đương về động năng thì cũng tương đương về tần số. Tthực=Tthay thế (4-14) Xét hệ có khối lượng phân bố m(z), trên đó có đặt thêm các khối lượng tập trung Mj tại các toạ độ zj. Giả sử phương trình chuyển động của hệ được biểu diễn dưới dạng tách biến: yzt( ,)= yzSt ( ) () (a) ∂ Khi đó vận tốc: vzt(,)= yzt (,) = yzSt ()& () (b) ∂t Tổng động năng của hệ đã cho sẽ là: 1122 = &&+   Tthực ∑∑∫ mz( ) yzSt ( ) () dz Mjj  yz( ) St ()  (c) ij22 li Khối lượng tương đương thay thế giả sử đặt tại điểm có toạ độ (za), thì động năng hệ thay thế sẽ là: 1 2 Tthay thế= Mtđ yz( ) St& () (d) 2 a Thay (c); (d) vào (4-14) ta tính được khối lượng thay thế tương đương: 2 2 +  ∑∑∫ mz()[ yz ()] dz Mjj yz() ijl Mtđ i (4-15) = 2 [ yz()a ] Thay Mtđ này vào công thức (1-15) tương ứng với hệ một bậc tự do, ta sẽ xác định được ω1. VÍ DỤ 4-3: Xác định tần số cơ bản ω1 của dầm đơn giản hai đầu khớp, chiều dài l và khối lượng phân bố m = hằng số. Hình 4-7a Bài giải: Ở bài toán này, dạng dao động riêng thứ nhất là dạng đối xứng, chuyển vị lớn nhất ở giữa dầm, nên khi đưa khối lượng của hệ về tập trung tại một điểm thì ta đưa về giữa dầm. Ta xét bài toán trong hai trường hợp. 1) Thay thế khối lượng của hệ thành một Mtđ tính theo (4-15). Trước hết ta giả thiết dạng dao động riêng thứ nhất là dạng đường đàn hồi của trục dầm do một lực P đặt tĩnh ở giữa dầm gây ra. Dùng phương pháp của sức bền tính được phương trình này có dạng: Hình 4-7b 77
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 34lz23− z = yz() A0 3 (a) l Trong đó A0 là một hệ số. Lúc này chuyển vị ở giữa dầm: 3 2 ll 34l −  22 =l = = yz()a yz= A003 A (b) 2 l l 232 2 34lz− z mA0 ∫ 3 dz l 0 l m 224 46 16 Mtđ = =9z − z −+ z dz =0,486 ml (c) 2 22∫ 4 A0 ll0  l thay Mtđ vào (1-15) ta được: m=hằng số 9,92 EJ z ω1 = ; Sai số 0,6% a) lm2 2) Chia dầm làm 2 đoạn rồi tập trung khối y P z lượng về hai đầu của mỗi đoạn ta được 3 khối b) lượng tập trung. Hai khối lượng đặt ở hai đầu dầm A0 y không dao động-Hệ chỉ còn một khối lượng đặt 23 34lz− z = giữa dầm dao động (xem 4-7c). yz() A0 3 l M2 M M3 l c) tt Mthay thế= m (d) 2 Thay (d) vào (1-15) ta có: ml ml MM23= = ; Mthay thế = 4 2 9,798 EJ ω = ; Sai số 0,7% 1 l 2 m Hình 4-7 Dùng công thức (4-15) để xác định khối lượng thay thế cho kết quả chính xác hơn. Nếu chuyển hệ về hai 2, 3 hay nhiều bậc tự do hơn, thì kết quả tất nhiên cũng sẽ chính xác hơn. Ví dụ, cũng bài toán này, song khi ta đưa hệ về hai bậc tự do như trên hình (4-4c), sẽ tính được (xem chương 2). 9,86 EJ ω = ; Sai số 0,1% 1 lm2 Chú ý: 1- Tương tự phương pháp khối lượng tập trung, phương pháp biến dạng tập trung cũng cho phép chuyển một hệ vô hạn bậc tự do về hệ có số bậc tự do hữu hạn. Tư tưởng của phương pháp là tập trung biến dạng phân bố trên toàn hệ về một số điểm nào đó mà ta chọn trước. 78
Chương 4. Các phương pháp tính gần đúng trong động lực học công trình 2- Phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp rời rạc hoá toán tử vi phân, đặc biệt là phương pháp PTHH (còn gọi chung là các phương pháp số) là những phương pháp gần đúng có hiệu quả để giải bài toán tĩnh lực học và động lực học công trình. Phương pháp PTHH gắn liền với máy tính điện tử (MTĐT), vì ẩn số của phương pháp rất lớn. Hầu hết các phần mềm tính toán kết cấu hiện nay đều được viết bằng phương pháp PTHH. Những phương pháp này được trình bày chi tiết trong các tài liệu riêng về các phương pháp số trong tính toán kết cấu. Ở đây chỉ giới thiệu tóm tắt nội dung cơ bản của phương pháp. Như đã biết trong tĩnh lực học, phương trình cơ bản của phương pháp PTHH mô hình chuyển vị là: [KF]{∆=} { } (4-16) Trong đó: [K ] là ma trận độ cứng của hệ, được xây dựng từ các ma trận cứng của các phần tử hữu hạn đã được lập sẵn. {F} là véc tơ lực nút, bao gồm các lực nút có sẵn và các lực tác dụng trên phần tử chuyển về các nút. {∆} là véc tơ chuyển vị nút là ẩn của phương pháp. Sau khi xác định được {∆} từ (4-16), ta sẽ xác định được trường ứng suất, biến dạng, chuyển vị trong kết cấu. Còn với kết cấu hệ thanh, ta sẽ vẽ được các biểu đồ nội lực. Đối với bài toán động lực học, phương trình cơ bản của phương pháp PTHH mô hình chuyển vị cũng có dạng như (2-5). Tất nhiên cách xác định từng đại lượng là hoàn toàn khác. [MCK]{∆+&&} [ ]{ ∆+ & } [ ]{ ∆=} { F} (4-17) Trong đó:[K ] là ma trận cứng của hệ như trong (4-16) {∆} là véc tơ chuyển vị động của các nút {F} là véc tơ ngoại lực nút động. {∆&} và {∆&&} lần lượt là véc tơ vận tốc và gia tốc chuyển động của các nút. [C] là ma trận cản [M ] là ma trận khối lượng được tập trung tại các nút và được thành lập từ các ma trận khối lượng của từng phần tử hữu hạn đã được lập sẵn như đối với ma trận cứng. Còn phương trình vi phân dao động tự do: [MCK]{∆+&&} [ ]{ ∆+ & } [ ]{ ∆=} {0} (4-18) 3- Đối với hệ có số bậc tự do hữu hạn, thay cho việc giải phương trình tần số phức tạp, S.A.Pestel đã đề xuất một công thức gần đúng để xác định ω1 như sau: 79
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 122 ≤≤ω1 (4-19) B B 2 +−2 B1 12 1 B1 được gọi là công thức S.A. Pestel n trong đó, BM1 = ∑ iδ ii i=1 nn 22 2 B2 =∑∑ Miδδ ii + 2 MMi k ik (i≠k) i=1 ik,1= Ngoài ra còn có nhiều phương pháp gần đúng khác để xác định các tần số dao động riêng của hệ có hữu hạn bậc tự do, như phương pháp ma trận chuyển của Pestel-Leckie (1963), hay phương pháp lặp ma trận của Livesley (1964). Những phương pháp này có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo. 80
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng Chương 5 ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU HỆ THANH PHẲNG Ở phần trên, ta đã nghiên cứu các phương pháp cơ bản để tính toán dao động của một hệ đàn hồi bất kỳ bao gồm xác định các tần số dao động riêng để kiểm tra hiện tượng cộng hưởng và tính biên độ các phản lực động, nội lực động, chuyển vị động vv để phục vụ bài toán kiểm tra cũng như bài toán thiết kế. Tuy nhiên khi áp dụng các phương pháp tổng quát này vào một bài toán cụ thể, đòi hỏi người tính phải phân tích kỹ lưỡng để chọn ra cách giải đơn giản nhất mà vẫn đảm bảo độ chính xác yêu cầu. Một công trình xây dựng thực tế luôn luôn là một hệ có vô số bậc tự do. Lời giải chính xác của bài toán rõ ràng là rất phức tạp (Xem chương 3) thậm chí là không thực hiện được. Bởi vậy, trong nhiều trường hợp ta phải giải gần đúng. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu cách áp dụng các phương pháp được trình bày trong các chương trước để tính động lực học của các kết cấu hệ thanh phẳng bất kỳ như dầm, khung, dàn, vòm 5.1 CÁCH TÍNH GẦN ĐÚNG Có thể nói phương pháp tập trung khối lượng là phương pháp gần đúng thông dụng để tính dao động của các kết cấu hệ thanh phẳng như dầm, khung, dàn, vòm, hệ liên hợp nhờ sự đơn giản của nó. Tất nhiên, với các kết cấu phức tạp, số lượng các khối lượng tập trung khá lớn, thì việc tính toán cũng khá phức tạp và tốn nhiều thời gian do phải lập và giải một phương trình tần số bậc cao, cũng như phải lập và giải hệ phương trình để xác định biên độ các P(t) lực quán tính. Trước đây, khi chưa có MTĐT, M1 M1 người ta thường tập trung khối lượng về 1, 2, hoặc 3 vị trí để giải. Còn ngày nay, nhờ có MTĐT mà số khối lượng tập trung có thể tăng M2 lên nhiều, nhờ đó mà độ chính xác của lời giải M2 được tăng lên. J1 J2 EJtđ Đối với kết cấu nhà nhiều tầng chịu tải trọng động theo phương ngang như tải trọng gió bão, động đất vv người ta thường đưa về Hình 5-1 sơ đồ thanh conson (hình 5-1) để giải. Đối với kết cấu dàn hay hệ liên hợp, khối lượng của các thanh dàn và dầm thường được tập trung tại các nút dàn và đặc biệt chú ý tới các nút dàn nằm trên đường biên xe chạy (hình 5-2). Đối với vòm, sau khi tập trung khối lượng về một số điểm, để đơn giản tính toán, ta có thể thay các đoạn thanh cong nối giữa các khối lượng thành các thanh thẳng mà kết quả vẫn chấp nhận được. 81
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Sau khi đã thay khối lượng P(t) phân bố về tập trung tại một số điểm, tức là ta đã chuyển một hệ có a) vô hạn bậc tự do về một hệ có số bậc tự do hữu hạn. Việc giải hệ này đã được trình bày ở chương 2. M1 M2 M3 M4 b) Phương pháp năng lượng ít M9 được sử dụng để tính khung, nhất M5 là các khung nhiều tầng nhiều nhịp M6 M7 M8 phức tạp, do phương trình biểu P(t) P(t) diễn dạng dao động az() là rất K c) phức tạp vì thường phải viết trên nhiều đoạn, đồng thời việc thực hiện các tích phân trong (4-10) cũng tốn rất nhiều thời gian. Còn đối với dầm và dàn, người ta vẫn P(t) P(t) M1 dùng phương pháp này để xác định d) M2 M4 tần số riêng ω1, trong trường hợp M3 này hàm az1() thường lấy dạng giả tĩnh tương ứng và thường cũng không phức tạp lắm. Hình 5-2 Sau đây ta xét vài ví dụ minh hoạ cách áp dụng các phương pháp gần đúng để giải các bài toán cụ thể: VÍ DỤ 5-1: Cho dàn có kích thước và chịu tác dụng của các tải trọng động điều hoà cùng tần số như EF trên hình 5-3a. Biết EF = hằng số; P( t )= (20 kN )sinrt , trong đó rm= 0,07 (−1 ) và dàn có M đường xe chạy dưới (m là viết tắt của mét). Yêu cầu: Xác định các tần số dao động riêng của dàn và biên độ nội lực động trong các thanh dàn. 6m 6m 6m − 5 a) c) − 3 8 − 3 4 2 4 5 6 7 − 5 8 (đx) A 1 2 3 N 4m B ( 1 ) 3 9 5 P(t) P(t) P(t) 8 8 8 82 5 8 6m 6m 6m 6m Z1=1 − 3 0 − 3 d) 2 2 (đx) − 5 4 ( N2 )
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng Bài giải: Ta dùng phương pháp khối lượng tập trung để giải bài toán. 1) Xác định các khối lượng tập trung Theo đề ra, dàn có đường xe chạy dưới nên ta sẽ tập trung khối lượng của dàn chỉ vào các nút A, 1, 2, 3, B thuộc biên dưới, nên bài toán chỉ có ba khối lượng thực hiện dao động. Chiều dài các thanh biên trên và dưới là 6m; của các thanh xiên là 5m (do dàn cao 4m). Ta chuyển khối lượng thanh A-4 và một nửa thanh A-1 vào nút A; của thanh B-7 và của nửa thanh B-3 vào nút B. Như vậy khối lượng phần dàn còn lại chuyển về 3 nút 1, 2, 3 sẽ có giá trị như nhau (khối lượng tại mỗi nút bằng tổng khối lượng của hai thanh biên và hai thanh xiên). Ký hiệu khối lượng này là M thì (xem hình 5-3b): MMMM123= = = (a) Để giải phương trình tần số (2-11)’ và phương trình xác định biên độ lực quán tính (2-24), ta phải xác định các δiK và ∆iP , là các chuyển vị đơn vị, và chuyển vị do các biên độ lực động đặt tĩnh gây ra tại các khối lượng. Ta sẽ xác định các chuyển vị này theo công thức Maxwell- Mohr áp dụng cho dàn tĩnh định. 2) Xác định δiK và ∆1P Do bài toán đối xứng, nên ta chỉ tính bài toán ứng với các dạng dao động đối xứng. Các biểu đồ nội lực NN, và N do các lực Z =1; Z =1 và do các biên độ lực động P= 20 kN 12 P0 1 2 0 đặt tĩnh gây ra tính được như trên hình 5-3c, d, e. 83
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Dùng công thức Maxwell-Mohr ta tính được:  m δ = =  11(NN 1 )( 1 ) 52,75  EF m δ =(NN )( ) = 105,5  22 2 2 EF   m δδ12= 21 =(NN 1 )( 2 ) = 66,25 (b)  EF  kNm ∆=(NN )( ) = 2380  11PP0  EF  kNm ∆=(NN )( ) = 3435  22PP0 EF Chú ý: m Thứ nguyên của δiK là [ chiều dài ], song theo (b), nó được biểu diễn qua  không EF cho ta chiều dài, vậy là không đúng về thứ nguyên. Sở dĩ như vậy, bởi vì đúng ra, khi vẽ Ni ta phải giả thiết trước đơn vị của biên độ lực quán tính, nó là [ lực ] (trong bài toán này, ngoại lực được đo bằng kN, nên nó cũng sẽ là kN). Khi đó đơn vị của Ni sẽ là kN, và do đó δiK tính kNm được sẽ được biểu diễn qua giống như ∆iP , song vì một trong hai biểu đồ của phép EF nhân biểu đồ là thuộc trạng thái giả tạo do lực không thứ nguyên gây ra, cho nên để tiện dụng, khi vẽ Ni ta lấy Zi =1 không thứ nguyên, bởi vậy trong biểu thức của δiK thiếu một đơn vị lực của Zi. Cũng vì lý do không có đơn vị lực trong Zi, nên ở kết quả cuối cùng sẽ xuất hiện thứ nguyên của Zi là [ lực ] (trong bài toán này là kN). Như vậy, cách làm như thế này cũng cho kết quả đúng khi tính phản lực và nội lực. 3) Xác định các tần số dao động riêng Thay MMM12= = và các δiK tính được ở trên vào phương trình tần số (2-11)’ Ta có: M 2  m Mm  (δδ11Mu 1 − ) 12  52,75Mu− 66,25  2   EF 2 EF  = = 0 (c) δ22M 2  m  Mm  (δ21Mu 1 ) − 66,25Mu 105,5 −  2 EF  2 EF  là phương trình bậc 2 đối với u, giải (c) ta được: m 1 EF −1 uM1 = 99,58 suy ra ω1 = = 0,1002 (m ) EF uM1 m 1 EF −1 và uM2 = 5,92 suy ra ω2 = = 0,4105 (m ) EF uM2 4) Xác định biên độ nội lực động trong các thanh dàn 84
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng m Thay δiK , ∆iP vào phương trình (2-24) rồi giản ước hai vế cho ta được hệ EF phương trình để xác định biên độ lực quán tính như sau: −151,33Z ++= 66,25 Z 2380 kN 0  12 (d) 66,25Z12− 302,66 Z += 3435 kN 0 * * Trong đó ta đã tính được các δ11 và δ22 trong (2-24) như sau: 11mm δδ* =−=− =− 11 11 2252,75 151,33 M1 r 0,07 EF EF  12mm δδ* =−=−105,5 =−302,66 22 22 M 2  2 r 2 0,07 EF EF 2 Giải (d) ta được: Z1 = 22,90 kN  (e) Z2 =16,40 kN Biên độ nội lực động trong các thanh dàn có thể tính theo hai cách: a) Tính trực tiếp: Đặt các biên độ lực quán tính theo (e) và biên độ các lực động P0 = 20 kN đặt tĩnh tại các khối lượng rồi tính như bài toán tĩnh hình (5-3f). b) Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. Nđ= NZ++ NZ N 11 2 2 P0 Kết quả như trên hình (5-3g) VÍ DỤ 5-2: Xác định tần số dao động riêng và biểu đồ biên độ mômen động của khung cho trên hình 5-4a. Biết khung có EJ = hằng số, l = 6mét = hằng số, tổng khối lượng mỗi thanh là ml = M. Khung chịu tác dụng của các lực kích thích điều hoà cùng tần số: kN P( t )= (60 kN )sinrt ; qt( )=  30 sinrt m EJ Trong đó: rm= 0,319 ( −3 ) . Khi tính bỏ qua lực cản.(m là viết tắt của mét) M Bài giải: Chia khung thành 5 đoạn và tập trung khối lượng của mỗi thanh về hai đầu thanh, ta được 11 khối lượng tập trung (hình 5-4b). Giả thiết các nút khung không có chuyển vị thẳng, nên hệ chỉ còn 5 khối lượng đặt tại điểm giữa các thanh thực hiện các dao động ngang (hình 5-4c). Đây là một hệ đối xứng chịu tác dụng của các lực động đối xứng, nên ta chỉ cần xét các dao động có dạng đối xứng. Như vậy hệ chỉ có ba bậc tự do. 1) Xác định các δiK và ∆iP : 85
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Cũng như ở ví dụ 5-1, trước hết ta phải xác định các δiK và ∆iP . Đây là hệ siêu tĩnh, nên trạng thái giả tạo khi tính chuyển vị theo công thức Maxwell-Mohr có thể tạo ra trên hệ tĩnh định bất kỳ suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho. Nghĩa là, nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc, ta có: 0 ∆=iP(MM P) i (a) Trong đó Mp là biểu đồ mômen do tải trọng đã cho gây ra trong hệ siêu tĩnh đang xét. 0 M i là biểu đồ mômen ở trạng thái giả tạo được tạo ra trên hệ tĩnh định. Áp dụng (a) để tính δiK ta có: 0 0 δiK= (MM i)( K ) hoặc = (MMiK)( ) (b) Các biểu đồ mômen đơn vị MMM123,, do ZZZ123=1, = 1, = 1 không thứ nguyên (xem chú ý ở ví dụ 5-1) gây ra, còn MP do biên độ các lực động (P0 và q0) đặt tĩnh gây ra trong hệ siêu tĩnh đã cho, dùng phương pháp chuyển vị vẽ được như trên các hình (5-4 d, e, f, g). 000 Các biểu đồ mômen ở trạng thái giả tạo MMM1,, 23trên các hệ tĩnh định vẽ được như trên các hình (5-4 h, m, n). Áp dụng (a) và (b) sau khi “nhân” các biểu đồ ta được: m3 m3 δ =1, 88 δδ= = −1,13 11 EJ 12 21 EJ m3 m3 δ = 5, 63 ; δδ= = −0,75 22 EJ 13 31 EJ m3 m3 δ = 3, 00 δδ= =1,13 33 EJ 23 32 EJ kNm333kNm kNm ∆=123,7 ; ∆= 202,5 ; ∆=− 22,5 . 12PPPEJ EJ 3EJ 2) Xác định các tần số dao động riêng: Áp dụng phương trình tần số (2-11)’ ta có M 2 M 3 (δδ11Mu 1 − ) 12  δ13 22 M 2 M 3 (δδ21Mu 1 ) 22 −= δ23 0 22 M 2 M 3 (δδ31Mu 1 ) 32  δ33 − 22 Thay các δiK tính ở trên và các khối lượng tập trung M MMM= = = và ký hiệu là M* (d) 1232 86
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng vào (c) rồi khai triển định thức (c) ta được một phương trình bậc 3 đối với u. Giải phương trình này ta được (bỏ qua tính toán chi tiết) 3 m 1 EJ − * ω = = 3 uM1 = 3,546 suy ra 1 0,531 * (m ) EJ uM1 3 m 1 EJ − * ω = = 3 uM2 =1,502 suy ra 2 0,816 * (m ) EJ uM2 3 m 1 EJ − * ω = = 3 và uM3 =1,139 suy ra 3 0,937 * (m ) EJ uM3 3) Vẽ biểu đồ biên độ mô men động: m3 Thay δ và ∆ tính ở trên vào phương trình (2-24), rồi giản ước hai vế cho ta iK iP EJ được hệ phương trình để xác định biên độ các lực quán tính là: −−−7,94Z 1,13 Z 0,75 Z + 123,7 kN = 0  12 3 −−1,13Z1 14,01 Z 23 + 1,13 Z + 202,5 kN = 0 (f)  −+−0,75Z12 1,13 Z 16,64 Z 3 − 22,5 kN = 0 * Trong đó ta đã tính được các δii trong phương trình (2-24) như sau: 11mm33 δδ* =−=− =− 11 11 *2 1,88 2 7,94 (Mr) (0,319) EJ EJ 12mm33 δδ* =−=− =− 22 22 * 5,63 2 14,01 M 2 (0,319) EJ EJ r  2 12mm33 δδ* =−=− = 33 33 * 3,00 2 16,64 M 2 (0,319) EJ EJ r  2 Giải hệ phương trình (f) ta được: Z12=13,9 kN ; Z = 13,27 kN ; Z 3= − 1,08 kN Biểu đồ biên độ nội lực mômen động vẽ được theo nguyên lý cộng tác dụng: Mđ= MZ+++ MZ MZ M 11 2 2 33 (,)Pq00 Kết quả cho trên hình (5-4l). q(t) P(t) P(t) a) 85 kN q = 20 75 0 m P P0=60kN EJ, m= g) 0 hằng số 6m 10 52.5 50 87 5 MP00 q 3 3 6m 3 3 (đx) kNm q(t) P(t) P(t) b)
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 5.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHÍNH XÁC Để tính chính xác động lực học của một hệ kết cấu thực (có vô hạn bậc tự do), ta áp dụng lý thuyết tính toán đã được trình bày ở chương 3. Tuỳ thuộc vào cách vận dụng mà ta có hai phương pháp tính cơ bản: Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Phương pháp lực 88
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng dùng để tính động lực học các kết cấu siêu tĩnh bất kỳ. Đây là một phương pháp tính tổng quát song rất phức tạp với khối lượng tính toán lớn nên rất ít được dùng trong thực tế. Phương pháp chuyển vị, như đã biết trong tĩnh lực học kết cấu, là phương pháp dùng để tính chuyển vị cho kết cấu bất kỳ (hệ siêu động)-có thể tĩnh định hoặc siêu tĩnh-miễn là có đủ các phần tử mẫu liên quan. Đây là phương pháp tính đơn giản, được coi là chính xác, và được áp dụng nhiều cả trong tĩnh lực học và động lực học kết cấu hệ thanh thẳng. Trong mục này chúng ta chỉ nghiên cứu phương pháp này. Các phần tử mẫu (động lực học dầm một nhịp) phục vụ cho phương pháp chuyển vị để tính động lực học hệ thanh thẳng, phẳng có thể xây dựng được dựa vào lý thuyết đã được trình bày ở chương 3 (xem chương 3)-kết quả cho ở bảng phụ lục. Việc áp dụng phương pháp chuyển vị để giải bài toán động lực học cũng tương tự như trong bài toán tĩnh. Nghĩa là, ẩn số của phương pháp là các chuyển vị góc xoay và chuyển vị thẳng độc lập của các nút, mà ta ký hiệu là Zi(t). Số ẩn số của bài toán: n=ng+nt (5-1) Xét kết cấu trên hình 5-5a: Hệ có: ng=2; nt=1; nên n=3 Z1sinrt Z2sinrt P(t)=P0sinrt P(t) h h HCB Z3sinrt a) l b) l Hình 5-5 Hệ cơ bản như trên hình 5-5b. Khi tải trọng động là điều hoà Pt( )= P0 sinrt , thì chuyển vị góc xoay và chuyển vị thẳng của các nút của kết cấu khi dao động đã ổn định cũng biến đổi điều hoà với tần số là tần số của lực kích thích điều hoà: Ztii( )= Z sinrt (a) Phản lực động sinh ra trong các liên kết được thêm vào trong hệ cơ bản (HCB) cũng biến đổi điều hoà cùng tần số r. RtiK( )= R iK sinrt (b) Lập luận hoàn toàn như trong bài toán tĩnh, điều kiện để HCB làm việc như hệ thực là các phản lực trong các liên kết mới thêm vào trong HCB phải bằng không. Xét liên kết thêm vào thứ i: 89
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Rti() = R iZ() t + R iZ () t ++ RiZ() t + R iP () t =0 12 n (c) Ri() t= rZ i1 1 () t + rZi 2 2 () t ++ rZin n () t + R iP() t = 0 Ở đây rik là biên độ phản lực động trong liên kết thêm vào thứ i do liên kết thêm vào thứ k dịch chuyển cưỡng bức một lượng (1.sinrt) gây ra trong hệ cơ bản. Thay (a), (b) vào (c) rồi giản ước hai vế cho sinrt (do phải tồn tại dao động nên sinrt≠0), ta được hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị để tính động lực học các kết cấu hệ thanh thẳng, có dạng hoàn toàn như ở bài toán tĩnh. Khi bài toán có n ẩn: rZ+ rZ ++ rZ + R =0  i11 i 2 2 in n iP (5-2)  (in= 1,2, , ) Trong đó: Z1, Z2, , Zn là biên độ chuyển vị động của các nút (chuyển vị góc, chuyển vị thẳng). RiP (i=1, 2, , n) là biên độ phản lực động tại liên kết thêm vào thứ i do ngoại lực động điều hoà gây ra trên HCB. Các riK và RiP có thể tra trực tiếp ở bảng phụ lục, tuy nhiên trong thực tế, ta hay tra 0 bảng các biểu đồ M i , M P rồi dùng điều kiện cân bằng để xác định riK và RiP sẽ thuận tiện 0 hơn. Trong đó M i là biểu đồ mômen do Zi =1sinrt gây ra, còn M P là do ngoại lực động (P0 sinrt) gây ra trên hệ cơ bản (các biểu đồ này đều tra bảng). 5.2.1 Xác định tần số dao động tự do Hệ phương trình biểu diễn dao động tự do theo phương pháp chuyển vị có được từ (5-2): rZ+ rZ ++ RZ = 0  i11 i 2 2 in n (5-3)  (in= 1,2, , ) Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Để tồn tại dao động, nghĩa là các Zi không đồng thời bằng không, buộc định thức các hệ số phải bằng không-Đây là phương trình tần số của bài toán: rr11 12 r1n rr r Det = 21 22 2n = 0 (5-4) rrn12 n rnn Giải bài toán trị riêng này ta sẽ xác định được các giá trị riêng (chính là các tần số riêng) và các véc tơ riêng (chính là các dạng dao động riêng tương ứng). (5-4) thường là một phương trình siêu việt, nên sẽ có vô số nghiệm tương ứng với vô số tần số dao động riêng của hệ. 5.2.2 Biểu đồ biên độ nội lực động Giải hệ phương trình (5-2) sẽ xác định được Z1, Z2, , Zn. Biểu đồ biên độ mô men động vẽ được theo nguyên lý cộng tác dụng: ® 0 M= MZ + MZ ++ MZ + M 11 2 2 nn P (5-5) 90
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng Biểu đồ Qđ được suy ra từ Mđ; còn Nđ được suy ra từ Qđ như vẫn thường làm trong bài toán tĩnh. VÍ DỤ 5-3: Xác định tần số dao động riêng và vẽ biểu đồ biên độ nội lực mô men động của khung P chịu tác dụng của tải trọng động điều hoà Pt( )= sinrt như trên hình (5-6a). Biết khung có: 2 40 kN 1 EJ=4 × 1042 kNm =hằng số; trọng lượng trên một mét dài là: q = và r =10 . 3 m s Bài giải: Ta dùng phương pháp chuyển vị để giải bài toán 1) Xác định các tần số dao động riêng Hệ có ng=1; nt=0 nên n=ng+nt=1 nên phương trình tần số là: r11=0 (a) đ Hệ cơ bản và biểu đồ M1 tra bảng được như trên hình (5-6b) P Pt( )= sinrt 2 Z1=1sinrt 0,5093 P(t) 0,259 1,0172 1 b 0,3225 EJ 0,1213 (×Psinrt) đ lm= 6 µλ() M l 81b  4EJ 2 m µλ11()a 0,0642 a l đ ( M 1 ) 0,2613 l a) = 3m b) c) 2 Hình 5-6 đ Xét cân bằng nút 1 trên biểu đồ M1 ta được: 4EJ EJ r = µλ()+ µλ () (b) 11 l 1 1abl 8 1 2 Trong đó, theo (3-42) ta có: l λ Ký hiệu: λ =Kl = Kl =λλ; = Kl = K = (c) 11aa 11 bb22 Thay (c), (b) vào (a) được phương trình tần số: 91
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH λλ  2ch c os  (chλλsin− sh λλ c os ) λ 22  λ +=20 (1-chλλ cos) 2 λλ   λ  λ ch sin + sh  cos  22   2  2 Sau khi biến đổi ta được: 2chλ sin λ− 2 sh λλλ c os -sh +sin λ =0 (a)’ (a)’ là phương trình siêu việt, sẽ có vô số nghiệm; bằng cách giải gần đúng ta xác định được hai nghiệm bé nhất (ứng với hai tần số bé nhất) như nhau: 3, 56 λ =Kl = 3, 56 suy ra K = 11 1 l và (d) 7,43 λ =Kl = 7,43 suy ra K = 22 2 l EJ Theo (3-9): ω = K 2 (m là cường độ khối lượng phân bố) (f) iim q40 kN 4 Thay l=6 mét; khối lượng m= = sm22−−= kNsm 22; và EJ vào (f) ta có: g 3× 10 3 2 3,56 4×× 104 3 1 ω1 =  = 60,7 ; 64ss2 2 7,43 4×× 104 3 1 ω2 =  = 265,5 ; 64ss2 Ta có thể tính tiếp các tần số bậc cao hơn ωω34, 2) Vẽ biểu đồ biên độ nội lực mô men động: Từ các số liệu của bài toán, ta tính được thông số k theo (3-34) là: 40 2 2 ×10 mr 4 × −1 km=4 = 3 10 = 0,24( ) nên EJ 4× 104 −1 λ1a ==kl0,24 m ×= 6 m 1,44 l − λ =k =0,24 mm1 ×= 3 0,72 1b 2 EJ rồi thay vào (b) ta tính được: r = 5,588652 11 l Chú ý: Để tính r11 ta tra bảng phụ lục được: µλ11(a )= µ 1 (1,44) ≈ 0,989515 còn µλ81(b )= µ 8 (0,72) không có trong bảng tra, nên ta phải tra trực tiếp theo công thức: 92
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng 22 ACλλ− µλ8 ()= λ ABλλ− CD λ λ Tra bảng A, B, C, D (λ) (với λ=0,72) rồi thay vào và ta tính được: µ8 (0,72)= 0,81573 C A− AC P ( λλKK00) còn R1P =−=−0,75730Pm 2K( ABλλ− CD λ λ) Thay r11 và R1P tính ở trên vào phương trình chính tắc của bài toán: rZ11 1+= R 1P 0 hay EJ 5,588652ZP−= 0,7573 0 l 1 Pl Zm= 0,12865 (m là viết tắt của mét) (g) 1 EJ Để vẽ biểu đồ biên độ mô men động (luôn luôn là đường cong) ta phải viết biểu thức biểu diễn sự biến đổi của biên độ mô men động cho từng thanh dựa vào công thức thông số ban đầu (3-35). * Xét thanh a-1: Chọn gốc toạ độ ở đầu a, các thông số ban đầu gồm: ' yy(0)=0; (0) = 0 ; 22EJ EJ Pl M (0)=µ (1,44)Z =×× 1,0155 0,12865m = 0,26129 Pm l 21l EJ 6EJ EJ Pl QZ(0)=−ε (1,44) =−× 1,02241 × 0,12865 =− 0,13153P l 2 21l EJ Thay các thông số ban đầu này vào (3-35) được: M( z )= [ 0,26129AKZ − 0,54805BKZ ] Pm (h) * Xét thanh 1-b: Chọn gốc toạ độ tại nút 1, có các thông số ban đầu: Pl y=0; yZ' = = 0,12865 m (0) (0) 1 EJ EJ M= MZ += M0 µ (0,72)ZPP− 0,7573 =− 0,50929 (0) 1 1 P l 8 1 ( 2) BA− DC 0 EJ ( λλKK00) Q(0)= QZ 1 1 += QP 2 ε9 (0,72)ZP1 + l ( ABλλ− CD λ λ) ( 2) Tra bảng ε9 (0,72) và các hàm A(0,72); B(0,72) vv rồi thay vào ta tính được QP(0) = 0,51335 93
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Lại thay các thông số vừa tìm được vào (3-35) ta được phương trình M(z) của thanh 1-b như sau: 0,12865Pl 1 M() z=− KEJ D −+0,50929PA 0,51335PB EJ KZ KZ K KZ (i) M( z )=−−+( 0,18526DKZ 0,50929AKZ 2,1389 BKZ ) Pm Vẽ đồ thị hàm (h) và (i) ta được biểu đồ biên độ mô men động như trên hình (5-6c). VÍ DỤ 5-4: Xác định tần số dao động riêng của dầm liên tục cho trên hình (5-7a). Biết dầm có l, EJ, khối lượng m = hằng số. Bài giải: Dầm đã cho có dạng đối xứng, nên sẽ có dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản đối xứng. Phương trình dao động tự do-theo phương pháp chuyển vị-có dạng như sau: rZ11 1 = 0 Đây là phương trình tích, nên có thể xảy ra 2 trường hợp. 1) Khi Z1=0, nghĩa là nút 1 không xoay, đây là dạng dao động đối xứng. Lúc này dạng dao động của dầm tương ứng với một nửa hệ như trên hình (5-7b). Đây là dầm 1 nhịp một đầu ngàm một đầu khớp, các tần số ω1, ω2, ω3, ω4 và các dạng dao động tương ứng đã cho như trong bảng 3.1. 2) Khi r11=0, dạng dao động có dạng phản đối xứng như trên hình (5-7c). Với dầm đã cho, tra bảng có: 33EJ EJ r =+=µλ() µλ () 0, suy ra 11 ll5 5 λλλ4sh sin µλ()= 0 = . Do mẫu số khác không nên sinλ=0 5 (6chλλ sin− sh λλ c os ) λπ= i Suy ra:  (j) (i = 1,2, , ∞ ) Thay λ tính theo (j) vào (3-9) ta được công thức tổng quát để xác định các tần số dao động riêng tương ứng với dao động phản đối xứng: i22π EJ ω = (k) i lm2 (i=1, 2, , ∞ ) m=hằng số z a) y 94 l l b) z y
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng BÀI TẬP 1) Tính tần số dao động riêng ω1 của các kết cấu cho trên hình bằng hai phương pháp: Tính chính xác và tính gần đúng theo công thức của S.A.Pestel. Vẽ biểu đồ biên độ mô men động. a) b) c) P0 sin rt P0 sin rt M2 P0 sin rt 1m M M M1 M2 1 2 M 1 1 1m 1m 1 1m 1m 2m 2m Psin rt d) 0 Cho: M = 2M =2 kNs2/m M 1 2 1 2m EJ= hằng số = 108 kNcm2 1 M2 r= 10 s 2m P0=20 kN 2 2 2) Xác định tần số dao động riêngHình bé nhất 1 và vẽ biểu đồ biên độ mô men động của kết cấu trên hình 2 bằng hai phương pháp: gần đúng và chính xác. Biết: EJ, m (là khối lượng phân bố trên 1 mét dài), bằng hằng số, P=20kN, EJ r = 0, 25 (met )−3 ml P0 sin rt Psin rt 0 P0 sin rt l l a) b) c) l l 2 2 l 95 l l l 2 2 2 Cho: EJ, m = hằng số
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 3) Vẽ biểu đồ biên độ mômen động, kết cấu cho trên hình 3. Biết: EJ, m= hằng số; -1 -1 -1 Kab=0,6 m ; Kac=0,3 m ; Kad=0,5 m . Psin rt a 0 c b 4m d 4m 2m 2m Hình 3 Bảng 1: Biên độ phản lực động do chuyển vị động điều hoà của liên kết tựa gây ra Sơ đồ MMab = 0 MMba= l QMab = 0 QQba= l M0 Ml 1sinrt 4EJ 2EJ 6EJ 6EJ µλ µλ − ελ − ελ 1() 2 () 2 1() 2 2 () l l l l l Q0 Ql 96
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng M0 Ml 1sinrt 6EJ 6EJ 12EJ 12EJ − µλ() − µλ() ελ() ελ() l 2 3 l 2 4 l3 4 l3 4 Q0 Ql M0 1sinrt 3EJ 3EJ 3EJ µλ() 0 − ελ() − ελ* () l 5 l 2 5 l 2 5 Q0 Ql M0 Ql 3EJ 3EJ 3EJ − µλ() 0 ελ() ελ* () 1sinrt l 2 6 l3 6 l3 5 Q0 M0 1sinrt 3EJ 3EJ 3EJ − µλ() 0 ελ() ελ() l 2 7 l3 7 l3 8 Q0 Ql M0 Ml 1sinrt EJ EJ EJ µλ() − µλ() ελ() 0 l 8 l 9 l 2 9 Q0 mr 2 k 4 = ; λ = kl ; Các hàm μ, ε trên bảng 3 EJ Bảng 2: Biên độ phản lực động do tải trọng động điều hoà gây ra trong dầm 1 nhịp. Sơ đồ Trị số các hàm A, B, C, D tra bảng 97
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH P M=0  CD −∆ DC a 0 λλkl()−− a kl () a 1 M0 P0sinrt Ml k = −∆ Q0 P 0 CCλλkl ()−− a BD kl () a 1 P l M=0 [ DC −∆ CD ] l k λλka ka 1 Q0 Ql Ql = P01[ BDλλka −∆ CC ka ] q0sinrt M M q 2 0 l M=−= M0  CA( −− 1) D ∆ 01l k 2 λλ λ q0 Q01=−= Ql [ CDλλ − B λ( A λ − 1)] ∆ Q0 Ql k P M=0  DB −∆ BD M a P0sinrt 0 λλkl()−− a kl () a 2 0 ' k y l = −∆ Q0 P 0 ADλλkl ()−− a CB kl () a 2 Ml = P02[ BCλλka −∆ AD ka ] ' P Q0 Ql y=0 [ CD −∆ DC ] l k2 EJ λλka ka 2 q M=0 [ CD − B( A −∆ 1)] 02k 2 λλ λ λ q0sinrt q 2 M0 Q=0  AA( −− 1) C ) ∆ 02k λλ λ q0 ' Q=[ Aλ( A λ −− 1) BD λλ] ∆ y l l k 2 Q0 Ql q y'2=0  D − CA( −∆ 1) l k2 EJ λ λλ 2 P =0  −∆ M0  ACλλkl()−− a DD kl () a 3 a P0sinrt k M0 Ml P0 Q= BDλλ−− −∆ CC 0 k3 EJ kl() a kl () a 3 P0 y0 M=[ C A −∆ AC ] l k λλka ka 3 Ql Ql = P03[ DCλλka −∆ BA ka ] q0 q0sinrt MD= ∆ 03k 2 λ M0 Ml q Q=0 [ CD − B( A −∆ 1)] 03k4 EJ λλ λ λ q M=−+∆0 [ AD BC ] y0 l k 2 λ λ λλ 3 Ql q Q=0  DB22 −∆ l k λλ 3 2 ∆=12Cλ − BD λλ;; ∆= AD λλ − BC λλ ∆= 3 AB λλ − CD λλ BẢNG CÁC HÀM SỐ ẢNH HƯỞNG ĐỂ TÍNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG VÀ DẦM LIÊN TỤC 98
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng Biểu thức các hàm số ảnh hưởng: chkz+ coskz shkz+ sin kz A = ; B = kz 2 kz 2 chkz− coskz shkz+ sin kz C = ; D = kz 2 kz 2 Đạo hàm của các hàm số: dA dC kz = kD.; kz = kB. dz kz dz kz dB dD kz = kA.; kz = kC. dz kz dz kz Tích phân của các hàm số: 1 z C A dz= B;. z A dz= B − kz ∫∫kz kkz kz kkkz 2 1 z D B dz= C;. z B dz= C − kz ∫∫kz kkz kz kkkz 2 1 z A C dz= D;. z C dz= D − kz ∫∫kz kkz kz kkkz 2 1 z B D dz= A;. z D dz= A − kz ∫∫kz kkz kz kkkz 2 Liên hệ giữa các hàm số: 1− chλλ c os C2 −= BD λ λλ 2 1 A D−= B C( shλ c os λλλ -ch sin ) λ λ λλ 2 22 2 Bλ−= D λ2( A λλ C − D λ ) = shλλ sin 22 Aλλ−= C chλλ cos 1 A B−= C D( chλλ sin + sh λλ c os ) λλ λ λ 2 1 AC−=− B22 D AC =− shλλsin λλ λ λ λλ 2 22 2ACλλ= B λ + D λ 1 B D−=−+ A2 (1 chλλ c os ) λλ λ 2 kz Akz Bkz Ckz Dkz 0.00 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.10 1.000000 0.100000 0.005000 0.000170 99
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 0.20 1.000070 0.200005 0.020000 0.001335 0.30 1.000340 0.300020 0.045000 0.004500 0.40 1.001065 0.400085 0.080005 0.010665 0.50 1.002605 0.500265 0.125025 0.020835 0.60 1.005405 0.600645 0.180065 0.036005 0.70 1.010005 0.701400 0.245165 0.057180 0.80 1.017070 0.802735 0.320360 0.085375 0.90 1.027350 0.904925 0.405740 0.121595 1.00 1.416900 1.008335 0.501390 0.166865 1.02 1.045130 1.029205 0.521760 0.177095 1.04 1.048780 1.050140 0.542560 0.187740 1.06 1.052640 1.071160 0.563770 0.198800 1.08 1.056735 1.092250 0.585405 0.210290 1.10 1.041690 1.008338 0.501390 0.166863 1.12 1.061060 1.134695 0.629945 0.234595 1.14 1.070440 1.156050 0.652850 0.247420 1.16 1.075525 1.177510 0.676185 0.260710 1.18 1.080875 1.199080 0.699955 0.274470 1.20 1.086510 1.220750 0.724150 0.887100 1.22 1.092430 1.242540 0.748780 0.303440 1.24 1.098650 1.264445 0.773850 0.318665 1.26 1.105180 1.286485 0.799390 0.334395 1.28 1.112030 1.308660 0.835310 0.350640 1.30 1.119205 1.330970 0.851705 0.367410 1.32 1.126730 1.353430 0.878550 0.384710 1.34 1.134595 1.376040 0.905845 0.402560 1.36 1.142835 1.398815 0.933595 0.420955 1.38 1.151440 1.421755 0.961800 0.439905 1.40 1.160435 1.444875 0.990465 0.459425 1.42 1.169825 1.468175 1.019595 0.479525 1.44 1.179615 1.491670 1.049195 0.500210 1.46 1.189835 1.515365 1.079265 0.521465 1.48 1.120048 1.539265 1.109810 0.543385 1.50 1.211575 1.563385 1.140835 0.565895 1.52 1.223120 1.587735 1.172350 0.589025 1.54 1.235140 1.612315 1.204350 0.612785 1.56 1.247640 1.637140 1.236840 0.637200 1.58 1.260635 1.662225 1.269835 0.662565 kz Akz Bkz Ckz Dkz 1.60 1.274130 1.687570 1.303330 0.688000 1.62 1.288155 1.713195 1.337335 0.714405 100
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng 1.64 1.302710 1.713195 1.371860 0.741490 1.66 1.317815 1.765305 1.406905 0.769285 1.68 1.333485 1.791815 1.442475 0.797775 1.70 1.349740 1.818645 1.476580 0.826985 1.72 1.367575 1.845810 1.515225 0.856920 1.74 1.384015 1.873315 1.552415 0.887595 1.76 1.402080 1.901175 1.590160 0.919025 1.78 1.420785 1.929405 1.628465 0.951205 1.80 1.440135 1.958010 1.667335 0.984160 1.82 1.460155 1.987015 1.706785 1.017905 1.84 1.430860 2.016420 1.768200 1.052440 1.86 1.502255 2.046250 1.787445 2.087780 1.88 1.524375 2.076520 1.828675 1.123940 1.90 1.547220 2.107230 1.870510 1.160940 1.92 1.570815 2.138415 1.912965 1.198765 1.94 1.595180 2.170065 1.956050 1.237455 1.96 1.620320 2.202220 1.999770 1.277010 1.98 1.646265 2.234890 2.044145 1.317450 2.00 1.673025 2.268080 2.089175 1.358780 2.02 1.700620 2.301181 2.134870 1.401020 2.04 1.729070 2.336110 2.181250 1.444180 2.06 1.758395 2.370985 2.228315 1.488275 2.08 1.788610 2.406450 2.276090 1.533320 2.10 1.819730 2.442535 2.324580 1.579325 2.12 1.851785 2.479245 2.373795 1.626305 2.14 1.884795 2.516661 2.423755 1.674280 2.16 1.918765 2.555465 2.474465 1.723265 2.18 1.953730 2.593365 2.525940 1.773265 2.20 1.989705 2.632805 2.578205 1.824305 2.22 2.026710 2.672965 2.631260 1.876395 2.24 2.064765 2.713880 2.685125 1.929560 2.26 2.103990 2.755560 2.739820 1.983810 2.28 2.144125 2.798040 2.795355 2.039160 2.30 2.185470 2.811335 2.851750 2.095625 2.32 2.227955 2.885465 2.909015 2.153235 2.34 2.271610 2.930455 2.967170 2.211995 2.36 2.316450 2.976340 3.026240 2.271930 2.38 2.362495 3.023125 3.086235 2.333055 kz Akz Bkz Ckz Dkz 2.40 2.409780 3.070845 3.447170 2.395385 2.42 2.158320 3.119525 3.209070 2.458045 101
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 2.44 2.508140 3.191900 3.271960 2.523750 2.46 2.559275 3.219850 3.358450 2.589830 2.48 2.611745 3.271565 3.400755 2.657165 2.50 2.665575 3.324335 3.466715 2.725865 2.52 2.720790 3.378200 3.533740 2.795870 2.54 2.777415 3.433180 3.601855 2.867220 2.56 2.835485 3.893100 3.671075 2.939950 2.58 2.895025 3.546605 3.741435 3.014075 2.60 2.956060 3.605115 3.812950 3.089615 2.62 3.018615 3.664860 3.885645 3.166600 2.64 3.082730 3.725870 3.959550 3.245050 2.66 3.148430 3.788180 4.034690 3.324990 2.68 3.215745 3.851830 4.111085 3.406450 2.70 3.284700 3.916820 4.188770 3.489440 2.72 3.355330 3.983215 4.267770 3.574005 2.74 3.427670 4.051045 4.348110 3.660165 2.76 3.501750 4.120340 4.429820 3.747940 2.78 3.577600 4.191125 4.512930 3.837365 2.80 3.655255 4.263455 4.597475 3.928465 2.82 3.734750 4.337350 4.683480 4.021270 2.84 3.816120 4.412855 4.770980 4.115815 2.86 3.899395 4.490010 4.860005 4.212120 2.88 3.984610 4.568845 4.950590 4.310225 2.90 4.071810 4.649405 5.042770 4.410155 2.92 4.161030 4.731730 5.136580 4.511950 2.94 4.252305 4.815860 5.232055 4.615630 2.96 4.345670 4.091840 5.329230 4.721240 2.98 4.441165 4.989700 5.428135 4.828810 3.00 4.538835 5.079495 5.528825 4.938375 3.02 4.638715 5.171270 5.631335 5.049980 3.04 4.740850 5.265060 5.735690 5.163610 3.06 4.845275 5.360915 5.841945 5.279415 3.08 4.952040 5.458885 5.950140 5.397335 3.10 5.061180 5.559015 6.060320 5.517435 3.12 5.172750 5.661350 6.172520 5.639760 3.14 5.286785 5.765940 6.286785 5.764350 3.16 5.403345 5.872840 6.403170 5.891250 3.18 5.522455 5.982090 6.521715 6.020490 kz Akz Bkz Ckz Dkz 3.20 5.644180 6.093755 6.642470 6.152425 3.22 5.768555 6.207875 6.765485 6.286205 102
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng 3.24 5.895640 6.324515 6.890800 6.422765 3.26 6.025480 6.443725 7.018480 6.561850 3.28 6.158130 6.565550 7.148570 6.703520 3.30 6.293640 6.690065 7.281120 6.847815 3.32 6.432060 6.817320 7.416190 6.994780 3.34 6.573450 6.947370 7.553830 7.144480 3.36 6.717860 7.080275 7.694100 7.296955 3.38 6.865345 7.216100 7.837065 7.452260 3.40 7.015970 7.354910 7.982770 7.610450 3.42 7.169785 7.496765 8.131275 7.771585 3.44 7.326850 7.641725 8.282660 7.935725 3.46 7.487230 7.789860 8.436970 8.102910 3.48 7.650990 7.941235 8.594270 8.273225 3.50 7.818180 8.095925 8.754640 8.446705 3.52 7.988880 8.253985 8.918130 8.632425 3.54 8.163450 8.415500 9.084825 8.803450 3.56 8.341040 8.580535 9.254780 8.986845 3.58 8.522640 8.749165 9.428070 9.173665 3.60 8.708010 8.921470 9.604770 9.363990 3.62 8.897225 9.097510 9.784955 9.557880 3.64 9.090345 9.277380 9.968695 9.755410 3.66 9.287465 9.461155 10.156075 9.956650 3.68 9.488640 9.648910 10.347170 10.161680 3.70 9.693955 9.840725 10.542055 10.370565 3.72 9.903490 10.036695 10.740820 10.583385 3.74 10.117420 10.236895 10.943550 10.800225 3.76 10.335525 10.441415 11.150325 11.021155 3.78 10.558190 10.650345 11.361240 11.246265 3.80 10.785405 10.863775 11.576375 11.476350 3.82 11.017250 11.081795 11.795820 11.709365 3.84 11.253805 11.304495 12.019675 11.947495 3.86 11.495180 11.531975 12.248030 12.190165 3.88 11.741145 11.764335 12.409850 12.437445 3.90 11.992710 12.001665 12.718640 12.689435 3.92 12.249055 12.244075 12.961850 12.946225 3.94 12.510585 12.491665 13.208435 13.207915 3.96 12.777405 12.744535 13.460785 13.474595 3.98 13.049605 13.002795 13.748255 13.746375 kz Akz Bkz Ckz Dkz 4.00 13.327295 13.266560 13.980935 14.023360 4.02 13.610575 13.553593 14.248955 14.305650 103
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 4.04 13.899555 13.811015 14.522415 14.593355 4.06 14.194345 14.091945 14.801435 14.886585 4.08 14.495060 14.378830 15.086130 15.185450 4.10 14.801805 14.671790 15.376625 15.490070 4.12 15.114700 14.970495 15.673040 15.800555 4.14 15.433865 15.276420 15.975505 16.117030 4.16 15.759425 15.588345 16.284145 16.439615 4.18 16.091495 15.906840 16.599085 16.768440 4.20 16.430200 16.232045 16.920460 17.103625 4.22 16.775680 16.564090 17.248410 17.445300 4.24 17.128060 16.903120 17.583070 17.793600 4.26 17.487465 17.249260 17.924585 18.148670 4.28 17.854050 17.602665 18.273090 18.510635 4.30 18.227940 17.963470 18.628740 18.879640 4.32 18.609280 18.331830 18.991680 19.255830 4.34 18.998225 18.707895 19.362065 19.639355 4.36 18.394910 19.091815 19.740050 20.030365 4.38 18.799490 19.483740 20.125790 20.429010 4.40 20.212120 19.883850 20.519450 20.835450 4.42 20.632960 20.292285 20.921200 21.249845 4.44 21.062170 20.709220 21.331200 21.672350 4.46 21.499910 21.134825 21.749630 22.103145 4.48 21.946350 21.569275 22.176650 22.542395 4.50 22.401660 22.012740 22.612460 22.990270 4.52 22.866960 22.465400 23.057220 23.446950 4.54 23.339600 22.927440 23.511140 23.912620 4.56 23.822585 22.399050 23.974385 24.387460 4.58 24.315160 22.880410 24.447160 24.871660 4.60 24.817515 24.371720 24.929665 25.365410 4.62 25.329840 24.873175 25.422100 25.868915 4.64 25.852335 25.384980 25.924665 26.382360 4.66 26.385200 26.907340 26.347570 26.905970 4.68 26.928650 26.440160 26.961030 27.439940 4.70 27.482870 26.984560 27.495260 27.984480 4.72 28.048095 27.539850 28.040485 28.539820 4.74 28.624540 28.106555 28.596930 29.106175 4.76 29.212420 28.684905 29.164830 29.683775 4.78 29.811965 29.275130 29.744405 30.272850 kz Akz Bkz Ckz Dkz 4.80 30.423410 29.877465 30.335910 30.873625 4.82 31.046990 30.492145 30.939590 31.486365 104
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng 4.84 31.682945 31.119425 31.555685 32.111295 4.86 32.331530 31.759550 32.184450 32.748680 4.88 32.992980 32.412770 32.826150 33.398760 4.90 33.667560 33.079360 33.481050 34.061810 4.92 34.355540 33.759565 34.149420 34.738095 4.94 35.057175 34.453670 34.831525 35.427880 4.96 35.772745 35.161945 35.527655 36.131445 4.98 36.502530 35.884670 36.238100 36.849080 5.00 37.246805 36.622145 36.963145 37.581065 5.02 38.005865 37.374645 37.703085 38.327705 5.04 38.780010 38.142480 38.458230 39.089290 5.06 39.569540 38.925950 39.228890 39.866140 5.08 40.374765 39.725537 40.015375 40.658555 5.10 41.195990 40.541050 40.818010 41.466860 5.12 42.033545 41.373315 41.637125 42.591385 5.14 42.887755 43.222500 42.473055 43.132460 5.16 43.758955 43.088940 43.326145 43.990420 5.18 44.647490 43.972970 44.196730 44.865620 5.20 45.553700 44.692190 45.081580 45.758405 5.22 46.477945 45.795240 45.991855 46.669150 5.24 47.420585 46.734195 46.917115 47.598205 5.26 48.381995 47.692190 47.861345 48.545960 5.28 49.362550 48.669600 48.824930 49.512790 5.30 50.362635 49.666820 49.808265 50.499090 5.32 51.382650 50.684240 50.811740 51.505250 5.34 52.422980 51.722265 51.835770 52.531695 5.36 53.484050 52.781295 52.880770 53.578825 5.38 54.566275 53.861765 53.947165 54.647065 5.40 55.670080 54.994095 55.035390 55.736855 5.42 56.795895 56.088715 56.145875 56.848635 5.44 57.944475 57.236075 57.279085 57.982845 5.46 59.115365 58.406635 58.435475 59.139955 5.48 60.309930 59.600850 59.615510 60.320420 5.50 61.528340 60.819190 60.819670 61.524730 5.52 62.771080 62.062145 62.048440 62.753375 5.54 64.038640 63.330200 63.302320 64.006840 5.56 65.334520 64.623855 64.581820 65.285635 5.58 66.650240 65.943635 65.887450 66.590285 kz Akz Bkz Ckz Dkz 5.60 67.995310 67.290040 67.219740 67.921310 5.62 69.367270 68.663625 68.579230 69.279255 105
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 5.64 70.766665 70.064915 69.966475 70.664665 5.66 72.194040 71.494480 71.382020 72.078100 5.68 73.649975 72.952870 72.826445 73.520140 5.70 75.135040 74.440670 74.300330 74.991360 5.72 76.649830 75.958470 75.804270 76.492350 5.74 78.194940 77.506865 77.338870 78.023735 5.76 79.770985 79.086475 78.904755 79.586115 5.78 81.378595 80.697915 80.502545 81.180135 5.80 83.018405 82.341884 82.132885 82.806435 5.82 84.691070 84.018870 83.796440 84.465670 5.84 86.397255 85.729700 85.493865 86.158520 5.86 88.137645 87.474990 87.225855 87.885660 5.88 89.912920 89.255435 88.993400 89.647785 5.90 91.723790 91.071740 90.796310 91.445620 5.92 93.570985 92.924630 92.636215 93.279880 5.94 95.455235 94.814830 94.513545 95.151320 5.96 97.377290 96.743090 96.429600 97.060680 5.98 99.337920 98.710180 98.383530 99.008740 6.00 101.337905 100.716870 100.377735 100.996290 6.01 102.352905 101.735315 101.389985 102.005115 6.02 103.378040 102.763960 102.412470 103.024120 6.03 104.413420 103.802910 103.445300 104.053400 6.04 105.459145 104.852265 104.488565 105.093065 6.06 107.582045 106.982605 106.606845 107.203945 6.07 108.659430 108.063810 107.682070 108.275380 6.08 109.747585 109.155830 108.768155 109.357620 6.09 110.846620 110.258790 109.865220 110.450780 6.10 111.956640 111.372800 110.973370 111.554960 6.11 113.077755 112.497965 112.092715 112.670285 6.12 114.210080 113.634395 113.223370 113.796855 6.13 115.353730 114.782200 114.365440 114.934790 6.14 116.508815 115.941505 115.519045 116.084205 6.16 118.853755 118.295055 117.861335 118.417925 6.17 120.043850 119.489535 119.050250 119.602475 6.18 121.245845 120.695970 120.251165 120.798970 6.19 122.459870 121.914490 121.464210 122.007540 6.20 123.686040 123.145210 122.689500 123.228300 6.21 124.924475 124.388250 123.927155 124.461370 6.22 126.175305 125.643740 125.177305 125.706880 106
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng 6.23 127.438660 126.911800 126.440070 126.964960 6.24 128.714650 128.192550 127.715580 128.235725 6.46 131.305080 130.792665 130.305350 130.815815 6.27 132.619775 132.112280 131.619865 132.125460 6.28 133.947630 133.445105 132.947640 133.448295 CÁC HÀM μ VÀ ε TRONG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH λBCλλ− AD λ λ λλλλλch sin−− sinc os λDλ λλλsh sin µλ12()= = ;µλ ()= = ; 4 ∆∆114 1-chλλ cos 2 2 1-chλλ cos 222 2 λDλ− AC λλ λsh λλsin λCλ λch λ− cos λ µλ34()=−=;µλ () ==; 6 ∆∆116 1-chλλ cos 3 6 1-chλλ cos 22 2 λDBλ−− λ 2 λsh λλ sin λABλλ CD λ λ µλ56()= = ;µλ ()= − 3∆−22 3chsinλλs hcos λ λ 3 ∆ λ2 sh λλ cos+ ch λλ sin = ; 3 chλλ sin− s h λ cos λ 22 22 λBλ λsh λ+ sin λ ACλλ− 2chλλ sin µλ78()=−= ;µλ ()= λ = λ ; 3∆−23 3chsinλλs hcos λ λ ∆chλλ sin + sh λ cos λ Aλ chλλ+ cos µλ9 ()= λ = λ ; ∆3 chλλ sin +sh λ cos λ 222 2 λACλλ− B λ λsh λλsin λCλ ελ1()=−===µλ32();() ελ µλ4 (); 66∆∆11 6 ∆1 32 λABλλ− CD λ λ λsh λcos λ+ ch λλ sin ελ3 ()= = ; 12 ∆−1 12 1chλλ cos 32 2 2 λBλ λsh λ++sin λ λABλλ− CD λ λ λsh λcos λ ch λλ sin ε45===;ελ () −= ; 12∆−12 12 1chλλ cos 3 ∆ 3chλλλλ sin− sh cos 22 322 3 * λBλ λsh λ+ sin λ λCAλλ− λ2ch λλ cos ελ5()=−= =µλελ76();() =−= ; 3∆−22 3chλλ sin sh λ cos λ 3 ∆3chλλ sin − sh λ cos λ 33 3 2 3 * λAλ λch λ++cos λ λBDλλ− A λ λ1ch λλ cos ελ6()=−= =ελ78();() ελ = = ; 3∆−22 3chλλ sin sh λ cos λ 3 ∆3chλλ sin − sh λ cos λ 22BCλλ− AD λ λ chλλsin− sh λ cos λ ελ9 ()= λ = λ ; ∆+3 chλλsin sh λ cos λ Δ1; Δ2; Δ3 xem ở bảng 2 Bảng 5: Các hàm số để tính động lực học của khung và dầm liên tục 107
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH λ μ1(λ) μ2(λ) μ3(λ)=ε1(λ) μ4(λ)=ε2(λ) μ2(λ) μ6(λ)=ε5(λ) 0.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.10 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00009 0.20 1.00000 1.00001 0.99999 1.00001 0.99999 0.99995 0.30 0.99998 1.00003 0.99993 1.00003 0.99994 0.99977 0.40 0.99994 1.00009 0.99978 1.00014 0.99984 0.99927 0.50 0.99985 1.00022 0.99945 1.00032 0.99960 0.99821 0.60 0.99969 1.00046 0.99887 1.00067 0.99918 0.99630 0.70 0.99943 1.00086 0.99790 1.00124 0.99847 0.99314 0.80 0.99902 1.00146 0.99642 1.00211 0.99739 0.98828 0.90 0.99844 1.00235 0.99427 1.00339 0.99582 0.98121 1.00 0.99761 1.00358 0.99126 1.00517 0.99363 0.97133 1.10 0.99650 1.00525 0.98719 1.00758 0.99065 0.95796 1.20 0.99504 1.00744 0.98184 1.01075 0.98673 0.94034 1.30 0.99317 1.01026 0.97496 1.01483 0.98167 0.91762 1.40 0.99079 1.01384 0.96627 1.02000 0.97525 0.88882 1.50 0.98784 1.01828 0.95547 1.02643 0.96723 0.85289 1.60 0.98422 1.02375 0.94223 1.03433 0.95734 0.80859 1.70 0.97983 1.03039 0.92618 1.04394 0.94525 0.75455 1.80 0.97455 1.03838 0.90692 1.05551 0.93060 0.68920 1.90 0.96826 1.04791 0.88400 1.06933 0.91289 0.61071 2.00 0.96083 1.05922 0.85694 1.08572 0.89188 0.51698 2.10 0.95210 1.07255 0.82519 1.10507 0.86617 0.40552 2.20 0.94189 1.08819 0.78815 1.12778 0.83678 0.27334 2.30 0.93000 1.10646 0.74512 1.15436 0.80120 0.11685 2.40 0.91622 1.12776 0.69533 1.18536 0.75891 -0.06838 2.50 0.90027 1.15252 0.63789 1.24146 0.70855 -0.28792 2.60 0.88187 1.18121 0.57178 1.26345 0.64838 -0.54885 2.70 0.86064 1.21465 0.49582 1.31227 0.57610 -0.86042 2.80 0.83618 1.25340 0.40859 1.30906 0.48864 -1.23499 2.90 0.80797 1.29844 0.30844 1.43520 0.38175 -1.68954 3.00 0.77540 1.35089 0.19336 1.51241 0.24973 -2.24817 3.10 0.73772 1.41217 0.06090 1.60282 0.08256 -2.94636 3.20 0.69399 1.48404 -0.09197 1.70914 -0.13252 -3.83880 3.30 0.64300 1.56877 -0.26908 1.83484 -0.41847 -5.01472 3.40 0.58322 1.66931 -0.47534 1.98444 -0.81502 -6.63059 3.50 0.51264 1.78959 -0.71717 2.16396 -1.39906 -8.98677 108
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng λ μ1(λ) μ2(λ) μ3(λ)=ε1(λ) μ4(λ)=ε2(λ) μ2(λ) μ6(λ)=ε5(λ) 3.60 0.42845 1.93491 -1.00321 2.38160 -2.34150 -12.76200 3.70 0.32694 2.11269 -1.34530 2.64874 -4.11481 -19.80680 3.80 0.20271 2.33351 -1.76031 2.98174 -8.68383 -37.84500 3.90 0.04780 2.61310 -2.27304 3.40484 -47.55530 -190.68800 4.00 -0.15008 2.97580 -2.92177 3.95573 19.46700 72.58920 4.10 -0.41099 3.46151 -3.76880 4.69608 9.17015 32.01490 4.20 -0.77004 4.14023 -4.14023 5.73426 6.39342 20.98440 4.30 -1.29502 5.14721 -6.59517 7.27962 5.09273 15.74350 4.40 -2.13568 6.78170 -9.24895 9.79564 4.33068 12.60740 4.50 -3.70212 9.86350 -14.17530 14.75210 3.32358 10.46030 4.60 -7.66550 17.73460 -26.49220 26.72950 3.45605 8.84763 4.70 -37.94770 78.23820 -120.37400 120.43000 3.17311 7.54806 4.80 18.30480 -34.33280 53.83900 -53.95580 2.94125 6.43993 4.90 8.34376 -14.48300 22.90350 -23.25230 2.74520 5.44965 5.00 5.74862 9.37158 14.78660 -15.36250 2.57221 4.52887 5.10 4.54448 -7.04949 10.97120 -11.79660 2.41419 3.64239 5.20 3.84172 -5.73831 8.70237 -9.80006 2.26523 2.76656 5.30 3.37489 -4.90802 7.15699 -8.55222 2.12066 1.87670 5.40 3.03685 -4.34539 6.00243 -7.72326 1.97654 0.95373 5.50 2.77590 -3.94830 5.07780 -7.15559 1.82925 -0.02214 5.60 2.56393 -3.66194 4.29505 -6.76502 1.67518 -1.07206 5.70 2.38420 -3.45455 3.60123 -6.50316 1.51046 -2.22019 5.80 2.22596 -3.30668 2.96183 -6.34091 1.33058 -3.49580 5.90 2.08186 -3.20607 2.35258 -6.26051 1.13003 -4.93603 6.00 1.94654 -3.14497 1.75508 -6.25142 0.90164 -6.59010 6.10 1.81579 -3.11863 1.15419 -6.30816 0.63564 -8.52590 6.20 1.68609 -3.12451 0.53635 -6.42908 0.31810 -10.84110 109
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH λ μ7(λ) ε3(λ) ε4(λ) ε6(λ) ε7(λ) ε8(λ) 0.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.10 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 1.00000 0.99999 0.20 1.00002 0.99995 1.00002 0.99974 1.00007 0.99987 0.30 1.00011 0.99975 1.00009 0.99869 1.00038 0.99936 0.40 1.00034 0.99921 1.00027 0.99585 1.00119 0.99799 0.50 1.00082 0.99806 1.00067 0.98998 1.00290 0.99509 0.60 1.00170 0.99599 1.00139 0.97901 1.00602 0.98981 0.70 1.00315 0.99257 1.00257 0.96111 1.01116 0.98112 0.80 1.00537 0.98732 1.00439 0.93362 1.01906 0.96779 0.90 1.00862 0.97968 1.00704 0.89361 1.03057 0.94837 1.00 1.01316 0.96902 1.01074 0.83772 1.04667 0.92152 1.10 1.01931 0.95462 1.01575 0.76210 1.06850 0.88458 1.20 1.02743 0.93569 1.02234 0.66264 1.09733 0.83630 1.30 1.03792 0.91135 1.03083 0.53448 1.13462 0.77412 1.40 1.05125 0.88064 1.04157 0.37238 1.18201 0.69549 1.50 1.06794 0.84252 1.05495 0.17050 1.24142 0.59757 1.60 1.08859 0.79583 1.07141 -0.07768 1.31504 0.47721 1.70 1.11391 0.73933 1.09144 -0.37944 1.40540 0.33090 1.80 1.14470 0.67165 1.11557 -0.74297 1.51549 0.15468 1.90 1.18194 0.59133 1.14442 -1.17151 1.64887 -0.05590 2.00 1.22675 0.49673 1.17870 -1.69362 1.80980 -0.30593 2.10 1.28054 0.38609 1.21920 -2.30348 2.00346 -0.60126 2.20 1.34499 0.25746 1.26683 -3.02127 2.23621 -0.94869 2.30 1.42221 0.10867 1.32266 -3.86381 2.51603 -1.35628 2.40 1.51486 -0.06265 1.38794 -4.85132 2.85300 -1.83370 2.50 1.62631 -0.25924 1.46412 -6.00856 3.26008 -2.39277 2.60 1.76099 -0.48401 1.55296 -7.36650 3.75427 -3.04824 2.70 1.92479 -0.74051 1.65655 -8.96474 4.35821 -3.81896 2.80 2.12566 -1.03267 1.77743 -10.85530 5.10279 -4.72963 2.90 2.37473 -1.36510 1.91871 -13.10850 6.03118 -5.81363 110
Chương 5. Động lực học của kết cấu hệ thanh phẳng λ μ7(λ) ε3(λ) ε4(λ) ε6(λ) ε7(λ) ε8(λ) 3.00 2.68795 -1.74324 2.08425 -15.82280 7.20554 -7.11762 3.10 3.08906 -2.17360 2.27887 -19.14160 8.71851 -8.70949 3.20 3.61495 -2.66408 2.50873 -23.28410 10.71440 -10.69290 3.30 4.32616 -3.22447 2.78172 -28.60530 13.43040 -13.23570 3.40 5.32940 -3.86709 3.10821 -35.72480 17.28490 -16.63060 3.50 6.83166 -4.60787 3.50200 -45.83660 23.09050 -21.44150 3.60 9.29380 -5.46784 3.98191 -61.58710 32.65720 -28.91840 3.70 13.99080 -6.47565 4.57418 -90.27690 50.99400 -42.50940 3.80 26.22730 -7.67158 5.31656 -162.26400 98.94480 -76.54490 3.90 131.07600 -9.11447 6.26517 -764.08100 510.81600 -360.74400 4.00 -50.02020 -10.89450 7.50722 269.20400 -200.99700 127.06100 4.10 -22.35040 -13.15770 9.18596 108.34700 -92.44860 51.05060 4.20 -15.00170 -16.15900 11.55200 63.46710 -63.77640 29.79270 4.30 -11.65410 -20.38810 15.09230 41.20980 -50.85040 19.21000 4.40 -9.77808 -26.92540 20.88290 27.08610 -43.73380 12.46120 4.50 -8.60946 -38.72540 31.87390 16.70070 -39.42790 7.47032 4.60 -7.83952 -67.82150 60.09390 8.25542 -36.72140 3.38788 4.70 -7.31942 -286.43100 277.77500 0.86832 -35.03650 -0.20327 4.80 -6.96999 117.88200 -127.58400 -5.95313 -34.00673 -3.53645 4.90 -6.74570 45.47060 -56.28450 -12.51440 -33.64170 -6.75683 5.00 -6.61931 26.03480 38.05190 -19.02400 -33.66110 -9.96388 5.10 -6.57441 16.55680 29.87730 -25.63810 -34.07120 -13.23260 5.20 -6.60156 10.62840 25.36140 -32.48520 -34.84730 -16.62510 5.30 -6.69622 6.33368 22.59900 -39.68110 -35.98720 -20.19780 5.40 -6.85771 2.89632 20.85580 -47.33980 -37.50730 -24.00680 5.50 -7.08877 -0.06147 -19.67770 -55.58200 -39.44290 -28.11150 5.60 -7.39562 -2.74869 -18.96190 -64.55400 -41.84960 -32.57970 5.70 -7.78837 -5.29338 -18.56900 -74.38780 -44.80780 -37.49210 5.80 -8.28201 -7.78152 -18.43540 -85.31460 -48.43030 -42.94900 5.90 -8.89804 -10.27620 -18.52450 -97.58370 -52.87430 -49.08010 6.00 -9.66722 -12.82790 -18.81760 -111.54200 -58.36100 -56.05890 6.10 -10.63400 -15.48130 -19.30910 -127.67000 -65.20740 -64.12900 6.20 -11.86420 -18.27900 -20.00420 -146.65900 -73.88130 -72.62790 111
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Bảng 3.1: Các tần số cơ bản và dạng dao động riêng của dầm một nhịp CÁC DẠNG DAO ĐỘNG Loại dầm ω1 ω2 ω3 ω4 0,774l 0,5l 0,868l 0,356l 0,644l 0,906l 0,644l B = 22, 4 B = 61, 7 B =121,0 0,5l 0,333l 0,667l 0, 25l 0,5l 0,75l B = 9,86 B = 39,5 B = 88,9 B =158 0,5l 0,359l 0,641l 0,278l 0,5l 0,722l = B = 22, 4 B = 61, 7 B 121 B = 250 0,560l 0,384l 0,692l 0,294l 0,529l 0,765l B =15, 4 B = 50,0 B =104 B =178 112
Chương 5. Dao động của kết cấu hệ thanh phẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phạm Khắc Hùng và những người khác: Ổn định và động lực học công trình. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật - Hà Nội, 1979. 2. Nguyễn văn Tỉnh: Cơ sở dao động công trình. Nhà xuất bản Xây dựng - Hà Nội, 1987. 3. Nguyễn Văn Phượng: Động lực học công trình. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật - Hà Nội, 2005. 4. Véstes GyÖrgy: Dynamics of Structures. Budapest, 1976. 5. Groschy Béla: Design of Structures Under Special Loads. Budapest, 1984. 6. Norris.Ch.H.: Structural Design of Dynamic Loads. New york, Mc Graw-Hill, 1969. 7. Livesley R.K.: Matrix Methods in Structural Analyzis. Rergamon Press, 1964. 8. Warburton, G.B.: The Dynamical Behavior of Structures. Rergamon Press, 1964. 9. Rayw-Crough, Joseph Reuzien: Dynamics of Structures. Mc Graw-Hill, Inc, 1993. 10. KopeНeв В.Г., Paбинoвич И.M.: Cnpaвoчниk no динaмиke coopyжeний. Mocквa, 1984. 113
THÔNG TIN TÁC GIẢ Giáo trình: ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Chủ biên: PGS.TS Dương Văn Thứ Họ và tên: PGS.TS Dương Văn Thứ Ngày sinh: 04 tháng 10 năm 1947 Quê quán: Hà Tĩnh Cơ quan công tác: Bộ môn Sức bền - Kết cấu trường Đại học Thủy Lợi Địa chỉ liên hệ: Bộ môn Sức bền - Kết cấu trường Đại học Thủy Lợi -175 Tây Sơn - Đống Đa - Hà Nội. Số điện thoại liên lạc: ĐTCQ: 043.5636433 DD: 0914363668 Phạm vi và đối tượng sử dụng giáo trình Ngành học: Công trình thủy lợi, Xây dựng dân dụng, Cầu đường, Thủy điện, Kỹ thuật biển, Cơ khí Trường Đại học Thủy Lợi Yêu cầu kiến thức: Cơ học cơ sở, Sức bền Vật liệu, Cơ học kết cấu Số lần xuất bản: 1 Nhà xuất bản: Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ - năm 2010. Từ khóa để tra cứu: Động lực học công trình, dao động, nội lực động, chuyển vị động, tần số dao động. 114