›
›

Bài tập Toán cao cấp 1 - Phan Thị Ngũ

doc 18 trang ngocly 1270
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Toán cao cấp 1 - Phan Thị Ngũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_toan_cao_cap_1_phan_thi_ngu.doc

Nội dung text: Bài tập Toán cao cấp 1 - Phan Thị Ngũ

  1. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B 2 1 1 2 1 1 A 3 0 1 B 1 2 1 1 1 0 1 0 0 Tính: a) At – 2BA + 3Bt b) 2AB - 3BA + 2ABt c) Cho f(x) = x3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B) Ta có: 2 3 1 2 1 1 8 3 3 t t A 1 0 1 ;;B 1 2 0 BA 9 2 3 1 1 0 1 1 0 2 1 1 16 6 6 6 3 3 4 4 3 t 2BA 18 4 6 ;;3B 3 6 0 AB 5 3 3 4 2 2 3 3 0 3 3 2 8 8 6 2 0 0 2AB 10 6 6 ; 2 0 2 0 6 6 4 0 0 2 24 9 9 4 3 2 6 3 3 t 3BA 27 6 9 ;;AB 5 2 3 3B 3 6 3 6 9 3 3 3 1 3 0 0 8 6 4 6 1 3 12 3 7 t 3 2AB 10 4 6 ;;AA 5 2 3 A 13 2 7 6 6 2 5 1 2 11 3 6 6 3 3 6 4 3 19 14 10 3 3A 9 0 3 ;;BB 5 5 3 B 18 15 10 3 3 0 2 1 1 6 4 3 8 0 10 8 5 19 t t t  A 2BA 3B 14 2 7 ; 2AB 3BA 2AB 7 4 21 2 0 2 6 9 9 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 1/18
  2. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 16 6 10 23 17 13 3 3 f (A) A 3A 2 22 0 10 ; f (B) B 3B 2 21 19 13 14 6 8 9 4 1 Bài tập 2: Tính A-1B + ABt + At +2 khi 1 0 1 1 1 0 a)A 3 1 2 ; B 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 b)A 3 1 1 ; B 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 2 0 2 1 c)A 2 1 3 ; B 3 1 1 1 1 2 0 2 0 CÂU A: 1 0 1 1 1 0 A 3 1 2 ; B 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Vì A 6 A 1 Tìm A-1 theo 2 cách:  Cách 1: 1 1 1 2 1 2 3 2 1 3 3 1 C11 ( 1) 3 ;;C12 ( 1) 3 C13 ( 1) 3 1 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 2 1 1 2 3 1 0 C21 ( 1) 1 ;;C22 ( 1) 1 C23 ( 1) 1 1 1 0 1 0 1 3 1 0 1 3 2 1 1 3 3 1 0 C31 ( 1) 1 ;;C32 ( 1) 5 C33 ( 1) 1 1 2 3 2 3 1 3 1 1 3 3 3 3 1 1 6 6 6 1 3 1 5 C 1 1 1 A 1 3 1 5 6 6 6 6 1 5 1 3 1 1 3 1 1 6 6 6  Cách 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 2/18
  3. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 1 0 1 1 0 0 h1 h1 1 0 1 1 0 0 h1 h1 1 0 1 1 0 0 3 1 2 0 1 0 3h h h 0 1 5 3 1 0 h h 0 1 5 3 1 0 1 2 2 2 2 0 1 1 0 0 1 h3 h3 0 1 1 0 0 1 h2 h3 h3 0 0 6 3 1 1 1 3 1 1 h h h 3 1 1 1 0 0 3 1 1 1 0 0 h h 6 6 6 6 6 6 6 1 1 3 1 5 h2 h2 0 1 5 3 1 0 5h3 h2 h2 0 1 0 3 1 1 6 6 6 1 0 0 1 h h h h 3 3 3 1 1 3 3 6 6 6 0 0 1 6 6 6 6 Ta có: 2 5 1 1 3 0 1 0 1 1 1 1 6 6 6 2 7 1 At 0 1 1 ;;;B t 1 1 1 AB t 4 3 2 A 1B 6 6 6 1 2 1 0 1 0 1 0 1 4 1 1 6 6 6 26 17 5 6 6 6 26 29 17 Vậy A 1B AB t At 2 6 6 6 16 11 13 6 6 6 CÂU B: 0 1 2 2 0 1 A 3 1 1 ; B 1 1 2 1 2 1 1 1 1 Vì A 12 A 1 Tìm A-1 theo 2 cách:  Cách 1: 1 1 1 1 1 2 3 1 1 3 3 1 C11 ( 1) 3 ;;C12 ( 1) 2 C13 ( 1) 7 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 0 2 2 3 0 1 C21 ( 1) 3 ;;C22 ( 1) 2 C23 ( 1) 1 2 1 0 1 1 2 3 1 1 2 3 2 0 2 3 3 0 1 C31 ( 1) 3 ;;C32 ( 1) 6 C33 ( 1) 3 1 1 3 2 3 1 3 3 3 3 2 7 3 3 3 12 12 12 1 2 2 6 C 3 2 1 A 1 2 2 6 12 12 12 12 3 6 3 7 1 3 7 1 3 12 12 12  Cách 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 3/18
  4. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 0 1 2 1 0 0 h1  h3 1 2 1 0 0 1 h1 h1 1 2 1 0 0 1 3 1 1 0 1 0 h h 3 1 1 0 1 0 3h h h 0 7 2 0 1 3 2 2 1 2 2 1 2 1 0 0 1 h1  h3 0 1 2 1 0 0 h3 h3 0 1 2 1 0 0 h1 h1 1 2 1 0 0 1 h1 h1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 3 2 1 3 h h 0 1 0 h h 0 1 0 7 2 2 7 7 7 2 2 7 7 7 h h h 0 1 2 1 0 0 3 2 3 12 1 3 h3 h3 0 0 1 7 7 7 3 2 1 1 0 0 h1 h1 1 2 1 0 0 1 2h2 h1 h1 7 7 7 2 1 3 2 1 3 h2 h2 0 1 0 h2 h2 0 1 0 7 7 7 7 7 7 7 h h 7 1 3 3 3 7 1 3 h3 h3 0 0 1 0 0 1 12 12 12 12 12 12 12 3 2 1 3 3 3 3 1 0 0 h h 1 0 0 h1 h1 1 1 7 7 7 7h3 12 12 12 2 2 2 6 2 2 6 h3 h2 h2 0 1 0 h2 h2 0 1 0 7 12 12 12 12 12 12 7 1 3 h3 h3 7 1 3 h3 h3 0 0 1 0 0 1 12 12 12 12 7 7 Ta có: 0 3 1 2 1 1 2 3 1 0 0 0 t t t 1 8 A 1 1 2 ;;;B 0 1 1 AB 7 6 1 A B 0 1 12 2 1 1 1 2 1 3 1 2 4 1 1 12 4 6 0 92 Vậy A 1B AB t At 2 8 2 12 20 6 6 12 CÂU C: 1 0 2 0 2 1 A 2 1 3 ; B 3 1 1 1 1 2 0 2 0 Vì A 3 A 1 Tìm A-1 theo 2 cách:  Cách 1: 1 1 1 3 1 2 2 3 1 3 2 1 C11 ( 1) 1 ;;C12 ( 1) 1 C13 ( 1) 1 1 2 1 2 1 1 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 4/18
  5. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 2 1 0 2 2 2 1 2 2 3 1 0 C21 ( 1) 2 ;;C22 ( 1) 4 C23 ( 1) 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 3 2 1 2 3 3 1 0 C31 ( 1) 2 ;;C32 ( 1) 7 C33 ( 1) 1 1 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 1 4 7 C 2 4 1 A 1 1 4 7 3 3 3 3 2 7 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3  Cách 2 1 0 2 1 0 0 h1 h1 1 0 2 1 0 0 2 1 3 0 1 0 2h h h 0 1 7 2 1 0 1 2 2 1 1 2 0 0 1 2h3 h2  h3 0 1 1 0 1 2 h h h h 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 h2 h2 0 1 7 2 1 0 h2 h2 0 1 7 2 1 0 1 1 1 h2 h3 h3 0 0 6 2 2 2 1 0 0 1 h3 h3 3 3 3 6 1 2 2 1 0 0 h1 h1 1 0 2 1 0 0 2h3 h1 h1 3 3 3 1 4 7 1 4 7 7h3 h2 h2 0 1 0 h2 h2 0 1 0 3 3 3 3 3 3 h3 h3 1 1 1 h3 h3 1 1 1 0 0 1 0 0 1 3 3 3 3 3 3 Ta có: 6 8 1 1 2 1 0 3 0 2 1 0 3 3 3 4 16 5 At 0 1 1 ;;;B t 2 1 2 AB t 5 8 2 A 1 B 3 3 3 2 3 2 1 1 0 4 4 2 1 1 2 3 3 3 5 2 5 3 3 11 49 14 Vậy A 1 B AB t At 2 3 3 3 5 4 8 3 3 3 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 5/18
  6. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau 4x1 2x2 x3 8 3x1 x2 3x4 5 1. x1 x2 4x3 2x4 1 2x1 3x2 x3 x4 8 2x1 2x2 4x3 0 x1 3x2 x4 2 2. 4x1 3x2 6x3 2x4 1 x1 x2 2x3 0 x1 x3 2x4 x5 7 2x1 2x3 3x4 8 3. 3x1 3x2 6x4 3x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 0 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 6/18
  7. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ CÂU 1 4x1 2x2 x3 8 3x1 x2 3x4 5 x1 x2 4x3 2x4 1 2x1 3x2 x3 x4 8 Ta có 4 2 1 0 8 h3 h1 1 1 4 2 1 3 1 0 3 5 h h 2 3 1 1 8 A 4 2 1 1 4 2 1 h2 h3 3 1 0 3 5 2 3 1 1 8 h1 h4 4 2 1 0 8 h1 h1 1 1 4 2 1 h h 1 1 4 2 1 1 1 h h 2 2 0 5 7 5 10 2h1 h2 h2 0 5 7 5 10 22 4 h2 h3 h3 0 0 5 0 3h1 h3 h3 0 4 12 9 8 5 5 6 11 4h1 h4 h4 0 6 17 8 12 0 0 1 0 h3 h4 h4 4 2 h h 1 1 4 2 1 1 1 h h 0 5 7 5 10 2 2 22 h h 0 0 5 0 3 3 5 5 192 h3 h4 h4 0 0 0 0 22 44 r(A) = r(A ) = 4 vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: x1 x2 4x3 2x4 1 5x 7x 5x 10 x1 1 2 3 4 x2 2 (1) 22 x3 5x4 0 5 x3 0 192 x4 0 x 0 44 4 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 7/18
  8. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ CÂU 2 2x1 2x2 4x3 0 x1 3x2 x4 2 4x1 3x2 6x3 2x4 1 x1 x2 2x3 0 Ta có: 2 2 4 0 0 h4 h1 1 1 2 0 0 1 3 0 1 2 h h 1 3 0 1 2 A 2 2 4 3 6 2 1 h3 h3 4 3 6 2 1 1 1 2 0 0 h1 h4 2 2 4 0 0 h h h1 h1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 h h h 0 4 2 1 2 h2 h2 0 4 2 1 2 1 2 2 3 15 5 7 4h1 h3 h3 0 7 2 2 1 h2 h3 h3 0 0 4 2 4 2 2h h h 0 0 0 0 0 1 4 4 h4 h4 0 0 0 0 0 r(A) = r(A ) = 3 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: x x 2x 0 1 2 3 (2) 4x2 2x3 x4 2 (*) 3 15 5 x x 2 3 4 4 2 Chọn x4 làm biến phụ; x 1, x2, x3 làm biến chính. Cho x4 với là tham số tuỳ ý. x1 x2 2x3 0 x1 2 4x 2x x 2 2 3 4 4 (*) 3 15 5 x2 4 x3 x4 3 2 4 2 5 5 x x3 4 2 3 Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là: 4 5 5 2; 4 ; ; với tuỳ ý 3 2 3 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 8/18
  9. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ CÂU 3: x1 x3 2x4 x5 7 2x1 2x3 3x4 8 3x1 3x2 6x4 3x5 10 x1 x2 x3 x4 x5 0 Ta có: 1 0 1 2 1 7 h1 h1 1 0 1 2 1 7 2 0 2 3 0 8 2h h h 0 0 0 1 2 22 A 1 2 2 3 3 0 6 3 10 3h1 h3 h3 0 3 3 0 0 31 1 1 1 1 1 0 h1 h4 h4 0 1 0 1 0 7 h1 h1 1 0 1 2 1 7 1 1 0 2 1 7 h h 0 3 3 0 0 31 0 3 3 0 0 31 3 2 c2  c3 h2 h3 0 0 0 1 2 22 0 0 0 1 2 22 h4 h4 0 1 0 1 0 7 0 0 1 1 0 7 h1 h1 1 1 0 2 1 7 h h 0 3 3 0 0 31 2 2 h4 h3 0 0 1 1 0 7 h3 h4 0 0 0 1 2 22 r(A) = r(A ) = 4 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: x1 x3 2x4 x5 0 3x2 3x3 31 (3) ( ) x2 x4 7 x4 2x5 22 Chọn x5 làm biến phụ; x 1, x2, x3, x4 làm biến chính. Cho x5  với  là tham số tuỳ ý 97 x1 x3 2x4 x5 0 x 2 1 3 3x 3x 31 2 3 x2 2 15 ( ) x2 x4 7 14 x 2x 22 x 2 4 5 3 3 x5  x4 2 22 Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là: 97 14 2;2 15;2 ;2 22; Với  là tham số tuỳ ý. 3 3 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 9/18
  10. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài tập 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo a (a 1)x y z 1 x (a 1)y z a 1 2 x y (a 1)z (a 1) Ta có: a 1 1 1 1 h2 h1 1 a 1 1 a 1 A 1 a 1 1 a 1 h h a 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 a 1 (a 1) h3 h3 1 1 a 1 (a 1) h1 h1 1 a 1 1 a 1 1 1 a 1 a 1 (a 1)h h h 0 a 2 2a a a 2 2a C  C 0 a a 2 2a a 2 2a 1 2 2 2 3 2 2 h1 h3 h3 0 a a a a 0 a a a a h1 h1 1 1 a 1 a 1 h h 0 a a 2 2a a 2 2a 2 2 2 h2 h3 h3 0 0 a 3a a Biện luận:  Nếu ( a 2 3a) 0 (a 0)  (a 3)  Khi a = 0 thì: 1 1 1 1 A 0 0 0 0 r(A) r(A) 1 Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. 0 0 0 0 Với nghiệm tổng quát có dạng: (1  ; ; ) với ,  là các tham số tuỳ ý.  Khi a = -3 1 1 2 2 A 0 3 3 3 r(A) 2 r(A) 3 Hệ phương trình vô nghiệm. 0 0 0 3  Nếu ( a 2 3a) 0 (a 0) và (a 3) , khi đó ta có 1 1 a 1 a 1 h1 h1 1 1 a 1 a 1 1 A 0 a a 2 2a a 2 2a h h 0 1 a 2 a 2 2 2 2 a a 0 0 a 3a a 1 0 0 1 h h a 2 3a a 2 3a 3 3 Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau: 3a 7 x a 3 x (a 1)y z a 1 1 (a 2)y z a 2 y a 3 a y z a 3 a 2 3a Kết luận:  Khi a = 0 : Hệ có vô số nghiệm có dạng (1  ; ; ) với ,  là các tham số tuỳ ý.  Khi a = -3 : Hệ vô nghiệm. Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 10/18
  11. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 3a 7 1  Khi a 0 và a 3 : Hệ có nghiệm duy nhất ( , ,a 3 ) a 3 a 3 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 11/18
  12. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Chương II: HÀM MỘT BIẾN THỰC Bài tập 1:Tính các giới hạn sau: 1 2 1. lim tan 2 x tan x 2. lim Cotx Cos Sin2x x x 2 2 Cos x tan x Sinx 3. 4. 2 lim 3 lim x 0 x x 1 1 x 1 x 1 1 xSinx Cos2x 5. 6. lim 3 lim x x 0 1 1 x x 0 tan 2 2 Cosx 3 Cosx Cos2x 1 7. 8. 9. lim 2 lim 2 x 0 Sin x x 0 1 x 1 2 1 2 6x 12 2x 3 1 tan x Sinx 10. 11. lim 2 lim x 2x 10 x 0 1 Sinx x 1 x2 4x 1 2 lim 2 x x 7x 1 Bài 1: 1 1 ( tan 2 x tan x).( tan 2 x tan x) 1 2 Cosx Cosx lim tan x tan x lim Cosx 1 x x ( tan 2 x tan x) 2 2 Cosx 1 tan 2 x tan 2 x lim Cosx 1 x ( tan 2 x tan x) 2 Cosx 1 lim 1 x Cosx.( tan 2 x tan x) 2 Cosx 1 lim 2 x Sin x 1 Sinx 2 Cosx.( ) Cos 2 x Cosx Cosx 1 1 lim 2 lim 2 x Sin x 1 Sinx x Sin x Cosx Sinx 2 Cosx.( ) 2 Cosx.( ) Cos 2 x Cosx Cosx Cos 2 x Cosx 1 lim 2 x ( Sin x Cosx Sinx) 2 1 1 1 0 1 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 12/18
  13. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ 1 1 Vậy lim tan 2 x tan x Cosx 2 x 2 Bài 2: 2 2 Cosx lim Cotx lim Sin2x 2Sinx.Cosx Sinx x x 2 2 1 Cosx lim Sinx.Cosx Sinx x 2 1 Cos2 x lim Sinx.Cosx x 2 Sin2 x Sinx lim lim Sinx.Cosx Cosx x x 2 2 limtgx x 2 Bài 3: Sinx Sinx tan x Sinx Sinx Sinx.Cosx Cosx lim 3 lim 3 lim 3 x 0 x x 0 x x 0 x .Cosx x2 x. Sinx(1 Cosx) 2 lim 3 lim 3 x 0 x .Cosx x 0 x .Cosx 1 1 lim x 0 2.Cosx 2 Bài 4: Cos x Sin x lim 2 lim 2 2 x 1 1 x x 1 1 2 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 13/18
  14. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài 5: 1 x 1 ( 1 x 1).( 1 x 1).(1 3 1 x 3 (1 x)2 ) lim 3 lim 3 3 2 X 0 1 1 x X 0 .( 1 x 1).(1 1 x).(1 1 x 3 (1 x) ) (1 x 1).(1 3 1 x 3 (1 x)2 ) lim X 0 (1 1 x).( 1 x 1) x.(1 3 1 x 3 (1 x)2 ) lim X 0 x.( 1 x 1) (1 3 1 x 3 (1 x)2 ) lim X 0 ( 1 x 1) 3 2 Bài 6: 1 xSinx Cos2x ( 1 xSinx Cos2x).( 1 xSinx Cos2x) lim x lim x X 0 tan2 X 0 tan2 . 1 xSinx Cos2x 2 2 1 xSinx Cos2x lim x X 0 tan2 . 1 xSinx Cos2x 2 xSinx 2Sin2 x lim x X 0 tan2 . 1 xSinx Cos2x 2 1 (xSinx 2Sin2 x) . lim lim x X 0 1 xSinx Cos2x X 0 tan2 . 2 x (xSinx 2Sin2 x).Cos2 1 . 2 lim lim x X 0 1 xSinx Cos2x X 0 Sin2 2 1 x xSinx Sin2 x limCos2 lim 2lim 2 2 2 x 2 x X 0 X 0 Sin X 0 Sin 2 2 1 x2 x2 .1. lim 2lim 2 x 2 x 2 X 0 ( ) X 0 ( ) 2 2 1 1 1 1 .( ) 2 4 2 8 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 14/18
  15. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài 7 : Cosx 3 Cosx Cosx 3 Cos2 x 1 Cosx 3 Cos2 x lim 2 lim 2 3 lim 2 x 0 Sin x x 0 Sin x.( Cosx Cosx) 2 x 0 Sin x 1 Cos3 x Cos2 x lim 2 2 3 2 3 4 2 x 0 Sin x.(Cos x 2.Cosx. Cos x Cos x 1 1 Cosx Cos2 x ( . ) lim 2 2 3 2 3 4 2 x 0 Sin x. Cos x 2.Cosx. Cos x Cos x x2 1 1 1 .( ). 2 lim 2 2 4 x 0 x 16 Bài 8: Cos2x 1 (Cos2x 1).( 1 x2 1) (1 Cos2x).( 1 x2 1) lim 2 lim 2 lim 2 x 0 1 x 1 x 0 x x 0 x 2Sin2 x.( 1 x2 1) Sin2 x 2 .( 1 x2 1) lim 2 lim 2 x 0 x x 0 x x2 2 .( 1 x2 1) 4 lim 2 x 0 x Bài 9: 7 2 2 .(6x 12) 2 2x 10 2 6x 12 6x2 12 2x 10 2x2 3 7 7 7 1 1 lim 2 lim 2 lim 2 x 2x 10 x 2x 10 x 2x 10 7.(6x2 12) lim 2 ex 2x 10 7.(6x2 12) 18 7. 3 21 lim 2 lim 2 x 2x 10 x 2x 10 6x2 12 2x2 3 Vậy e 21 lim 2 x 2x 10 Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 15/18
  16. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài 10: 1 1 1 tan x Sinx 1 tan x Sinx Sinx Sinx lim lim X 0 1 Sinx X 0 1 Sinx tanx Sinx 1 . 1 Sinx 1 sinx Sinx tan x Sinx tanx Sinx lim 1 X 0 1 Sinx tanx - Sinx . 1 1 sinx Sinx e Sinx Sinx tanx Sinx 1 Cosx lim . lim X 0 1 sinx Sinx X 0 Sinx.(1 Sinx) Sinx SinxCosx lim X 0 Sinx.Cosx.(1 Sinx) 1 Cosx lim 0 X 0 Cosx.(1 Sinx) 1 1 tan x Sinx Vậy lim e0 1 X 0 1 Sinx Bài 11: 3x .x 1 x 1 x 1 x2 7x 1 x2 7x 1 2 2 x 4x 1 2 3x 2 3x 3x 1 1 lim x2 7x 1 lim x2 7x 1 lim x2 7x 1 x x x 3x x 1 lim . 2 x 7x 1 2 ex Tính : 1 1 3(x 2 x) 3 x 2 x 3 3 lim lim lim x x 2(x 2 7x 1) 2 x x 2 7x 1 2 x 7 1 2 1 x x 2 x 1 x2 4x 1 2 1 Vậy lim 2 3 x x 7x 1 e Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 16/18
  17. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ Bài tập 2: Tính các tích phân sau: dx e dx 1. 2. 2 1 x. 1 x 1 x.ln x 2 dx 11 x2 3. 4. dx 3 3 1 x 1 x Giải: Bài 1. dx b dx 2 lim 2 1 x. 1 x b 1 x. 1 x Đặt t 1 x2 t 2 1 x2 2tdt 2xdx tdt xdx x b t 1 b2 Đổi cận x 1 t 2 2 2 b dx b xdx 1 b tdt 1 b dt lim 2 lim 2 2 lim 2 lim 2 b 1 x. 1 x b 1 x . 1 x b 2 t.(t 1) b 2 t 1 2 2 1 1 b dt 1 1 b dt lim lim 2 b 2 t 1 2 b 2 t 1 1 b 2 1 1 b 2 1 t 1 ln(t 1) ln(t 1) ln lim 2 lim 2 b 2 b t 1 2 1 1 b2 1 2 1 ln ln lim 2 2 b 1 b 1 2 1 dx 2 Hội tụ 1 x. 1 x Bài 2. e dx e dx lim 1 x.ln x  0 1  x.ln x 1 1 dx 1 Đặt t dt dx dt ln x x.ln2 x x t 2 x e t 1 Đổi cận: 1 x 1  t ln(1  ) Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 17/18
  18. Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ e 1 dx 1 1 lim lim dt lim lnt 1  0 1  x.ln x  0 1 t  0 1  1  1 lim ln1 ln 0  0 1  e dx Vậy Hội tụ 1 x.ln x Bài 3: 2 dx 2 dx 2 dx 2 dx 3 lim 3 lim lim 2 1 x 1  0 1  x 1  1  x 1  0 1  x 2x 1 2 2 2 dx dx ln(x 1) (ln1 ln) lim 1  lim 2 lim lim 2  0  0 1  x 2x 1  0  0 1  x 2x 1 Bài 4. 1 1 x2 11 x2 1 1 1 x2 dx dx dx dx 3 lim 3 lim 3 3 x b b x b b x b x 1 1 1 1 1 1 1 dx dx ln lim x3 x lim 2x2 b b b b b b 1 1 1 ln1 lnb lim 2 b 2 2b 2 11 x2 dx Vậy 3 Hội tụ x Nguyễn Phan Thanh Lâm MSV: 071250510319 Trang 18/18