Giáo trình Hình giải tích - Đoàn Thế Hiếu

111 trang ngocly 5132

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình giải tích - Đoàn Thế Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_hinh_giai_tich_doan_the_hieu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hình giải tích - Đoàn Thế Hiếu

MATHEDUCARE.COM Chương 1 Vector và các phép toán 1.1 KHÁI NIỆM VECTOR 1.1.1 Vector Chúng ta có các định nghĩa sau: Một đoạn thẳng định hướng AB (tức là có qui định thứ tự hai −→ điểm A và B) được gọi là một vector, ký hiệu là AB. Điểm A được gọi là điểm đầu hay điểm gốc còn điểm B được gọi là điểm cuối hay điểm ngọn. −→ Đường thẳng AB được gọi là giá của vector AB. Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài hay −→ −→ môđun của vector AB, ký hiệu là |AB|. −→ −−→ Hai vector AB và CD được gọi là cùng phương hay cộng tuyến nếu hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau (gọi là hai đường thẳng cùng phương). −→ −−→ Hai vector cùng phương AB và CD được gọi là cùng chiều (hay cùng hướng) nếu: 1. hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AC; 2. hoặc hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và tia AB chứa tia CD hoặc tia CD chứa tia AB. Hai vector cùng phương mà không cùng chiều gọi là hai vector ngược chiều (hay ngược hướng). −→ −−→ Hai vector AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương, cùng chiều và có độ dài −→ −−→ bằng nhau. Khi đó ta viết AB = CD. Dễ thấy quan hệ “bằng nhau” là một quan hệ tương đương, nghĩa là: −→ −→ −→ 1. với mọi vector AB, ta có AB = AB; (tính phản xạ) 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích A B C D A B C D Hình 1.1: Hai vector cùng chiều. A B D C A B D C Hình 1.2: Hai vector ngược chiều −→ −−→ −−→ −→ 2. nếu AB = CD thì CD = AB; (tính đối xứng) −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 3. nếu AB = CD và CD = EF thì AB = EF . (tính bắc cầu) Trong nhiều trường hợp, chúng ta sẽ không phân biệt hai vector bằng nhau. Khi đó chúng ta sẽ −→ dùng các ký hiệu −→a , b , −→u , −→v , −→x , −→y , . . . để chỉ một vector. Các ký hiệu này dùng để chỉ các vector mà gốc có thể “đặt” tùy ý trong không gian. Trong một số giáo trình ở PTTH chúng được gọi là −→ các vector tự do, còn ký hiệu AB để chỉ vector (được gọi là vector buộc) với gốc đặt tại điểm cố định A. Nhận xét. Với −→a là một vector bất kỳ cho trước và với A là một điểm tùy ý luôn tồn tại duy −→ nhất điểm B sao cho AB = −→a . −→ Ba vector −→a , b , −→c được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng cố định nào đó. −→ −→ Ví dụ 1. Nếu A 6= B thì AB 6= BA, nhưng chúng là hai vector cùng phương nhưng ngược chiều −→ −→ và có độ dài bằng nhau |AB| = |BA|. −→ −−→ Vector có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ AA, BB . . . được gọi là vector không. Chúng đều có độ dài bằng không. Ta qui ước vector không cùng phương và cùng chiều với mọi vector. Do −→ đó các vector không đều bằng nhau và chúng được ký hiệu là 0 . 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích B a b C A a + b Hình 1.3: Phép cộng hai vector. 1.1.2 Các phép toán trên các vector Phép cộng hai vector −→ −→ −→ Cho −→a và b là hai vector bất kỳ. Khi đó tổng của hai vector −→a và b , ký hiệu −→a + b , được −→ xác định như sau: Với A là điểm cố định dựng điểm B sao cho AB = −→a và dựng điểm C sao cho −−→ −→ −→ −→ BC = b . Vector AC chính là vector −→a + b . Như vậy −→ −→ AC = −→a + b . Nhận xét. 1. Với mọi bộ ba điểm A, B, C ta luôn có −→ −−→ −→ AB + BC = AC. 2. Với mọi bộ ba điểm A, B, C ta luôn có −→ −−→ −→ AB = CB − CA. Dễ thấy cách xác định vector tổng như trên không phụ thuộc vào điểm cố định A. Phép nhân vector với một số thực Cho vector −→a và số thực λ. Tích của vector −→a với số thực λ là một vector, ký hiệu λ−→a , được xác định như sau: 1. −→a và λ−→a cùng phương; 2. −→a và λ−→a cùng chiều nếu λ ≥ 0, và ngược chiều nếu λ < 0; 3. |λ−→a | = |λ|.|−→a |. 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích a a λa λa λ > 0 λ < 0 Hình 1.4: Phép nhân vector với một số thực. Dễ thấy phép cộng hai vector và phép nhân vector với một số thực có các tính chất sau: −→ 1. Với mọi vector −→a , b , −→c ta có −→ −→ (−→a + b ) + −→c = −→a + ( b + −→c ). (Tính kết hợp của phép cộng hai vector). −→ 2. Với mọi vector −→a , b ta có −→ −→ −→a + b = b + −→a . (Tính giao hoán của phép cộng hai vector). 3. Với mọi vector −→a ta có −→ −→a + 0 = −→a . (Vector không là phần tử trung hòa). 4. Với mọi vector −→a luôn tồn tại vector cùng phương, cùng độ dài nhưng ngược chiều, ký hiệu −−→a , gọi là vector đối của −→a . Ta có −→ −→a + (−−→a ) = 0 . (Mọi vector đều tồn tại phần tử đối). −→ 5. Với mọi vector −→a , b và với mọi số thực λ ta có −→ −→ λ(−→a + b ) = λ−→a + λ b . (Phép nhân vector với số thực có tính phân phối đối với phép cộng vector). 6. Với mọi vector −→a và với mọi số thực λ, µ ta có (λ + µ)−→a = λ−→a + µ−→a . (Phép nhân vector với số thực có tính phân phối đối với phép cộng số thực). 7. Với mọi vector −→a và với mọi số thực λ, µ ta có (λµ)−→a = λ(µ−→a ). (Phép nhân vector với số thực có tính kết hợp với phép nhân số thực). 8. Với mọi vector −→a , ta luôn có 1.−→a = −→a . 4
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích a a (a , b) b b Hình 1.5: Góc giữa hai vector và hai vector vuông góc. Chú ý. −→ −→ −→ Với tổng −→a + (− b ), để đơn giản, ta thường viết lại là −→a − b và đọc là −→a trừ b hoặc là hiệu −→ của hai vector −→a và b . Nhận xét 1. Ta có các nhận xét sau: 1. Với mọi vector −→a , ta luôn có −→ 0.−→a = 0 . 2. Với mọi vector −→a và với mọi số thực λ, ta luôn có (−λ)−→a = λ(−−→a ) = −λ−→a . Tích vô hướng của hai vector −→ −→ −→ −→ Cho hai vector −→a và b khác vector 0 . Ta xác định góc giữa hai vector −→a và b , ký hiệu (−→a , b ), −→ −→ là góc giữa hai tia chung gốc và lần lượt cùng chiều với −→a và b . Hai vector −→a và b được gọi là −→ vuông góc hay trực giao với nhau, ký hiệu −→a ⊥ b , nếu góc giữa chúng là góc vuông. Ta qui ước −→ −→ vector 0 vuông góc với mọi vector. Dễ thấy hai vector (khác vector 0 ) cùng phương khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 0 hoặc bằng 1800. −→ −→ −→ Ta gọi tích vô hướng của hai vector −→a và b , ký hiệu −→a . b (hay đơn giản −→a b ), là số thực −→ −→ |−→a |.| b | cos(−→a , b ). Như vậy, −→ −→ −→ −→a b = |−→a |.| b | cos(−→a , b ). Ta có các nhận xét sau mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. −→ Nhận xét 2. Với mọi vector −→a , b , −→c và với mọi số thực λ, ta có: −→ −→ 1. −→a . b = b .−→a ; −→ −→ 2. −→a .( b + −→c ) = −→a . b + −→a .−→c ; 5
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích −→ −→ −→ 3. (λ−→a ). b = −→a .(λ b ) = λ(−→a . b ); −→ 4. −→a .−→a = −→a 2 = |−→a |2 ≥ 0, −→a .−→a = 0 ⇔ −→a = 0 ; −→ −→ 5. |−→a . b | ≤ |−→a |.| b |; −→ −→ −→ −→a . b −→ −→ −→ 6. cos( a , b ) = −→ , a , b 6= 0 ; |−→a |.| b | −→ −→ 7. −→a ⊥ b ⇔ −→a . b = 0; √ 8. |−→a | = −→a .−→a . Tích có hướng của hai vector −→ −→ −→ Cho hai vector −→a và b . Tích có hướng của hai vector −→a và b là một vector, ký hiệu −→a ∧ b , thỏa mãn các tính chất sau: −→ −→ 1. −→a ∧ b vuông góc với cả −→a và b ; −→ −→ −→ 2. |−→a ∧ b | = |−→a |.| b | sin(−→a , b ); −→ −→ 3. bộ ba (−→a , b , −→a ∧ b ) là một bộ ba thuận. −→ Chú ý. Một bộ ba vector (−→a , b , −→c ) gọi là thuận (nghịch) nếu chúng ta đứng dọc theo vector −→c −→ thì sẽ thấy chiều quay từ −→a sang b ngược chiều (cùng chiều) kim đồng hồ hoặc nếu chúng ta −→ vặn nút chai theo chiều từ −→a đến b thì nút chai sẽ tiến theo chiều của vector −→c (theo chiều của vector −−→c ). Chúng ta có các nhận xét sau, mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. −→ Nhận xét 3. Với vector −→a , b , −→c và với mọi số thực λ, ta có: −→ −→ 1. −→a ∧ b = − b ∧ −→a ; −→ −→ 2. −→a ∧ ( b + −→c ) = −→a ∧ b + −→a ∧ −→c ; −→ −→ −→ 3. (λ−→a ) ∧ b = −→a ∧ (λ b ) = λ(−→a ∧ b ); −→ −→ 4. |−→a ∧ b | ≤ |−→a |.| b |; −→ −→ −→ 5. −→a ∧ b = 0 ⇔ −→a và b cùng phương; −→ −→ −→ |−→a ∧ b | −→ −→ −→ 6. sin( a , b ) = −→ , a , b 6= 0 ; |−→a |.| b | −→ −→ −→ 7. |−→a ∧ b | bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vector −→a và b (−→a , b không cùng phương). 6
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích c c b a a b Hình 1.6: Bộ ba thuận và bộ ba nghịch. Tích hỗn hợp của ba vector −→ −→ −→ Tích hỗn hợp của ba vector −→a , b , −→c , ký hiệu (−→a , b , −→c ), là số thực (−→a ∧ b ).−→c . −→ −→ (−→a , b , −→c ) = (−→a ∧ b ).−→c . Chúng ta có các nhận xét sau, mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. −→ Nhận xét 4. Với vector −→a , b , −→c và với mọi số thực λ, ta có: −→ 1. (−→a , b , −→c ) là một số; −→ −→ −→ 2. |(−→a , b , −→c )| bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vector −→a , b , −→c (−→a , b , −→c không đồng phẳng); −→ −→ 3. nếu −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính (đồng phẳng) thì (−→a , b , −→c ) = 0; 1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1.2.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính −→ −→ −→ Định nghĩa 1. Hệ gồm n vector {a1 , a2 , , an} được gọi là độc lập tuyến tính (hay vắn tắt là độc lập) nếu với mọi bộ n số thực {λ1, λ2, . . . , λn} không đồng thời bằng không ta luôn có −→ −→ −→ −→ λ1 a1 + λ2 a2 + + λnan 6= 0 . Hệ vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính (hay vắn tắt là phụ thuộc). −→ −→ −→ Nếu hệ vector {a1 , a2 , , an} độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính), ta còn nói các vector −→ −→ −→ a1 , a2 , , an độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính). Theo định nghĩa chúng ta có các nhận xét sau đây: 7
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích −→ −→ −→ Nhận xét 5. 1. Hệ {a1 , a2 , , an} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: nếu −→ −→ −→ −→ λ1 a1 + λ2 a2 + + λnan = 0 thì ta phải có λ1 = λ2 = = λn = 0. −→ −→ −→ 2. Hệ {a1 , a2 , , an} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại bộ n số thực {λ1, λ2, . . . , λn} không đồng thời bằng không sao cho −→ −→ −→ −→ λ1 a1 + λ2 a2 + + λnan = 0 . 3. Một hệ vector có chứa vector không thì phụ thuộc tuyến tính. 4. Một hệ vector có chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính. 5. Mọi hệ con của một hệ vector độc lập đều độc lập. −→ Định lý 1.2.1. Hai vector −→a , b phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng cùng phương. −→ Chứng minh. Dễ thấy nếu hai vector −→a , b cùng phương thì chúng phụ thuộc tuyến tính. −→ Giả sử hai vector −→a , b phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại hai số thực không đồng thời bằng không λ và µ (không mất tính tổng quát giả sử λ 6= 0) sao cho −→ −→ λ−→a + µ b = 0 . −→ µ −→ −→ −→ Điều này tương đương với a = − λ b , tức là hai vector a , b cùng phương. −→ Hệ quả 1.2.2. Hai vector −→a , b độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương. −→ Định lý 1.2.3. Ba vector −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng. −→ Chứng minh. Nếu ba vector −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ba số thực không đồng thời bằng không λ, µ, η (ta giả sử λ 6= 0), sao cho −→ −→ λ−→a + µ b + η−→c = 0 . Ta suy ra µ−→ η −→a = − b − −→c . λ λ −→ Theo định nghĩa của phép cộng hai vector ta có ba vector −→a , b , −→c đồng phẳng. −→ Ngược lại giả sử ba vector −→a , b , −→c đồng phẳng. Có hai trường hợp xảy ra: −→ 1. Có hai vector trong ba vector −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính. Ta dễ dàng suy ra ba vector −→ −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính. −→ 2. Mọi bộ hai vector trong ba vector −→a , b , −→c đều độc lập tuyến tính. Dựng tam giác ABC −→ sao cho −→c = AC, đường thẳng AB cùng phương với giá của vector −→a còn đường thẳng BC −→ cùng phương với giá của vector b (xem hình 7). Ta dễ nhận thấy −→ −→ −−→ −→ AC = AB + BC = λ−→a + µ b , −→ tức là ba vector −→a , b , −→c phụ thuộc tuyến tính. 8
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích B b a λa μb A C c c = λa + μb Hình 1.7: Ba vector đồng phẳng thì phụ thuộc. 1.2.2 Tọa độ của vector đối với một cơ sở −→ Gọi E 2 là tập hợp các vector (tự do) cùng thuộc một mặt phẳng. Theo Định lý 1.2.3 mọi hệ gồm −→2 −→ −→ −→2 ba vector của E đều phụ thuộc tuyến tính. Giả sử e1 , e2 ∈ E là hai vector độc lập tuyến tính. −→ −→ −→ Khi đó mọi vector x đều được biểu thị một cách duy nhất qua hai vector e1 và e2 như sau −→ −→ −→ x = x1 e1 + x2 e2 . (1.1) −→ −→ −→ −→ −→ Thật vậy, nếu x cùng phương với e1 hoặc e2 thì dễ thấy x được biểu diễn dưới dạng 1.1. Nếu x −→ −→ −→ −→ không cùng phương với e1 và e2 thì dựng tam giác ABC sao cho AC = x còn hai đường thẳng −→ −→ −→ AB và BC lần lượt cùng phương với giá của e1 và e2 , ta suy ra x được biểu diễn dưới dạng 1.1. −→ −→ −→ −→ 0 −→ 0 −→ 0 −→ 0 −→ −→ Bây giờ giả sử x = x1 e1 + x2 e2 và x = x1 e1 + x2 e2 , ta suy ra (x1 − x1)e1 + (x2 − x2)e2 = 0 . −→ −→ 0 0 Do {e1 , e2 } độc lập tuyến tính ta suy ra x1 = x1, x2 = x2. −→ −→ −→2 Người ta sẽ gọi hệ gồm hai vector độc lập tuyến tính {e1 , e2 } trong E là một cơ sở, còn bộ số −→ −→ −→ −→ (x1, x2) sẽ được gọi là tọa độ của vector x đối với cơ sở {e1 , e2 } và viết x (x1, x2)/{−→e ,−→e } hay ngắn −→ −→ 1 2 gọn x (x1, x2). Trong chương trình PTTH người ta thường viết x = (x1, x2). −→ −→ −→ −→ −→ −→ Nếu hai vector e1 , e2 trực giao thì ta nói {e1 , e2 } là cơ sở trực giao. Nếu e1 , e2 là hai vector trực −→ −→ chuẩn, nghĩa là chúng trực giao với nhau và cùng có độ dài 1, thì ta nói {e1 , e2 } là cơ sở trực chuẩn. −→ −→ −→ −→ Giả sử a và b là hai vector có tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } lần lượt là (a1, a2) và (b1, b2). Khi đó ta có −→ −→ −→ −→ −→ −→ a . b = (a1 e1 + a2 e2 )(b1 e1 + b2 e2 ) −→2 −→ −→ −→2 = a1b1 e1 + (a1b2 + a2b1)e1 .e2 + a2b2 e2 = a1b1 + a2b2. Như vậy ta có công thức −→ −→ a . b = a1b1 + a2b2. (1.2) Từ đây suy ra −→ 2 2 2 | a | = a1 + a2. (1.3) Nhận xét 6. 1. Hai vector bằng nhau khi và chỉ chi chúng có tọa độ bằng nhau. −→ −→ −→ −→ −→ 2. Nếu a (x, y), b (x0, y0) và λ ∈ R thì ( a + b )(x + x0, y + y0) và λ a (λx, λy). 9
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích D’ C’ A’ B’ x e3 D C e2 e1 A B Hình 1.8: Tọa độ của vector trong không gian. −→ −→ 3. Hai vector khác 0 , −→a (x, y), b (x0, y0) cùng phương khi và chỉ khi các bộ tọa độ của chúng tỉ lệ x y a b (x, y):(x0, y0); hay một cách tương đương := xy0 − x0y = 0. Ký hiệu := ad − bc x0 y0 c d gọi là định thức cấp hai. −→ Gọi E 3 là tập hợp tất cả các vector (tự do) trong không gian. Chúng ta sẽ chứng minh khẳng định −→ −→ −→ −→ “Mọi hệ gồm bốn vector đều phụ thuộc tuyến tính”. Thật vậy, xét hệ gồm bốn vector {a1 , a2 , a3 , a4 }. −→ −→ −→ −→ Nếu có ba trong bốn vector {a1 , a2 , a3 , a4 } phụ thuộc thì hệ bốn vector trên phụ thuộc. Ngược lại, giả sử bất kỳ ba vector nào cũng độc lập. Dựng hình hộp như hình vẽ. Ta thấy −→ −−→ −−→0 −→ −→ −→ a4 = DB + BB = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 . −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→3 Do đó hệ {a1 , a2 , a3 , a4 } phụ thuộc tuyến tính. Giả sử e1 , e2 , e3 ∈ E là ba vector độc lập tuyến tính. Theo chứng minh trên trên, mọi vector −→x đều được biểu thị một cách duy nhất qua ba vector −→ −→ −→ e1 , e2 và e3 −→ −→ −→ −→ x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . (1.4) −→ Chứng minh tương tự như trong trường hợp E 2, sự biểu thị trên là duy nhất −→ −→ −→ −→3 Người ta sẽ gọi hệ gồm ba vector độc lập tuyến tính {e1 , e2 , e3 } trong E là một cơ sở, còn bộ số −→ −→ −→ −→ −→ (x1, x2, x3) sẽ được gọi là tọa độ của vector x đối với cơ sở {e1 , e2 , e2 } và viết x (x1, x2, x3)/{−→e ,−→e ,−→e } −→ −→ 1 2 3 hay ngắn gọn x (x1, x2, x3). Trong chương trình PTTH người ta thường viết x = (x1, x2, x3). 10
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích Nhận xét 7. Tương tự như trường hợp trong mặt phẳng, ta có các nhận xét sau mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. 1. Hai vector bằng nhau khi và chỉ khi chúng có tọa độ bằng nhau. −→ −→ −→ −→ −→ 2. Nếu a (x, y, z), b (x0, y0, z0) và λ ∈ R thì ( a + b )(x + x0, y + y0, z + z0) và λ a (λx, λy, λz). −→ −→ 3. Hai vector khác 0 . −→a (x, y, z), b (x0, y0, z0) cùng phương khi và chỉ khi các bộ tọa độ của x y y z z x chúng tỉ lệ (x, y, z):(x0, y0, z0); hay một cách tương đương = = = 0. x0 y0 y0 z0 z0 x0 −→ 4. Nếu ba vector −→a (x, y, z), b (x0, y0, z0), −→c (x00, y00, z00) là đồng phẳng thì x y z x0 y0 z0 = 0. x00 y00 z00 Trong đó ký hiệu a1 a2 a3 b1 b2 b3 := a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1 c1 c2 c3 được gọi là một định thức cấp ba. −→ −→ −→ −→ −→ −→ Nếu ba vector e1 , e2 , e3 đôi một trực giao nhau thì ta nói {e1 , e2 , e3 } là cơ sở trực giao. Nếu −→ −→ −→ e1 , e2 , e3 là ba vector trực chuẩn, nghĩa là chúng đôi một trực giao với nhau và cùng có độ dài 1, −→ −→ −→ thì ta nói {e1 , e2 , e3 } là cơ sở trực chuẩn. −→ −→ −→ −→ −→ Giả sử a và b là hai vector có tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3 } lần lượt là (a1, a2, a3) −→2 và (b1, b2, b3). Chứng minh tương tự như trường hợp các vector trong E , ta có công thức −→ −→ a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (1.5) Từ đây suy ra −→ 2 2 2 2 | a | = a1 + a2 + a3. (1.6) −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ Với chú ý rằng e1 ∧ e2 = e3 , e2 ∧ e3 = e1 , e3 ∧ e1 = e2 ; ta có tọa độ của a ∧ b đối với mục tiêu −→ −→ −→ trực chuẩn {e1 , e2 , e3 } là (a2b3 − a3b2, −a1b3 + a3b1, a1b2 − a2b1). Tương tự chúng ta tính được a1 a2 a3 −→ −→ −→ ( a , b , c ) = b1 b2 b3 . (1.7) c1 c2 c3 11
MATHEDUCARE.COM Chương 1 Vector và các phép toán BÀI TẬP −→ −→ −→ −→ Bài tập 1.1. Biết |−→a | = 5, | b | = 8, (−→a , b ) = 600. Tính |−→a + b | và |−→a − b |. −→ −→ −→ Bài tập 1.2. Biết |−→a | = 13, | b | = 19, |−→a + b | = 24. Tính |−→a − b |. −→ Bài tập 1.3. Các vector −→a và b phải thỏa mãn các điều kiện gì để −→ −→ 1. |−→a + b | = |−→a − b |; −→ −→ 2. −→a + b = λ(−→a − b ); −→ −→ 3. (−→a + b ).(−→a − b ) = 0; −→ −→ 4. |−→a + b | = |−→a | + | b |; 1 −→ 1 −→ 5. −→ a = −→ b . | a | | b | −→ −→ 1 −→ −→ −→ −→ Bài tập 1.4. Chứng minh rằng vector p = b − |−→a |2 ( a . b ) a vuông góc với vector a . Bài tập 1.5. Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r và M là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Hãy −→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ 1. chứng minh OA + OB + OC + OD + OE = 0 ; 2. tính MA2 + MB2 + MC2 + MD2 + ME2 theo bán kính r. Bài tập 1.6. Cho đa giác đều A1A2 An có tâm là O. Chứng minh rằng −−→ −−→ −−→ −→ OA1 + OA2 + + OAn = 0 . Bài tập 1.7. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của nó. Chứng minh rằng: 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) −→ −−→ −→ −→ 1. GA + GB + GC = 0 ; −→ −−→ −→ −→ 2. OA + OB + OC = 3OG, với O là một điểm bất kỳ. Bài tập 1.8. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A0B0C0 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi −−→ −−→ −−→ −→ AA0 + BB0 + CC0 = 0 . Bài tập 1.9. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao −−→ −→ −→ −→ −→ −→ cho PB = λPC, QC = λQA, RA = λRB; với λ 6= 1. Hãy chứng minh hai tam giác ABC và P QR có cùng trọng tâm. Bài tập 1.10. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: −→ 1 −−→ −−→ 1. EF = 2 (BC + AD); −→ −→ −→ −→ −→ 2. IA + IB + IC + ID = 0 . Áp dụng. Chứng minh đường trung bình của một hình thang bằng trung bình cọng của hai đáy. Bài tập 1.11. Cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian. Chứng minh rằng AD trực giao với BC khi và chỉ khi AB2 + DC2 = AC2 + BD2. Bài tập 1.12. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Hãy tính −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ AB.BC + BC.CA + CA.AB. Bài tập 1.13. Cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian. Chứng minh rằng −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ AB.DC + BC.DA + CA.DB = 0. Từ đó suy ra 1. ba đường cao của một tam giác luôn đồng qui; 2. nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc thì cặp cạnh thứ ba cũng vuông góc. Bài tập 1.14. Chứng minh định lý Pythagore. Bài tập 1.15. Chứng minh định lý “Tổng bình phương bốn cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo”. Bài tập 1.16. Cho hình thang cân ABCD có đáy dưới là AB và góc A = 600. Hãy biểu diễn các −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ vector BC, AC, CD, BD theo các vector BC = −→a , CA = b . −→ Bài tập 1.17. Cho ba vector không đồng phẳng −→a , b , −→c . Chứng minh rằng ba vector −→u = −→ −→ −→ −→ −→a + b − −→c , −→v = 2−→a + b , −→w = b + 2−→c không đồng phẳng. Hãy biểu thị các vector −→a , b , −→c qua các vector −→u , −→v , −→w . −→ −→ −→ −→ Bài tập 1.18. Biết |−→a | = 1, | b | = 2, (−→a , b ) = 1200. Tính |−→a ∧ b | và |(−→a + b ) ∧ (−→a − −→ −→ −→ b )|, |(2−→a + 3 b ) ∧ (−→a − 4 b )|. 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) −→ −→ −→ −→ Bài tập 1.19. Tính diện tích của tam giác ABC biết AB = −→a + b , AC = 2−→a − 3 b và −→ −→ |−→a | = 3, | b | = 5, (−→a , b ) = 300. −→ −→ Bài tập 1.20. Trong 3 với cơ sở trực chuẩn {−→e , −→e , −→e } cho hai vector −→a (1, 2, 3) và b (2, 1, 4). E −→ −→1 2 3 −→ −→ −→ Hãy tính tọa độ của các vector −→a ∧ b , (2−→a + 2 b ) ∧ (−→a − 3 b ), (−→a − 2 b ) ∧ (3−→a + b ). Bài tập 1.21. Chứng minh rằng −→ −→ −→ (−→a ∧ b )2 + (−→a . b )2 = |−→a |2.| b |2. −→ −→ −→ Bài tập 1.22. Cho ba vector −→a , b , −→c thỏa mãn điều kiện −→a + b + −→c = 0 . Chứng minh rằng −→ −→ −→a ∧ b = b ∧ −→c = −→c ∧ −→a . −→ Bài tập 1.23. Tính thể tích của hình hộp (theo các vector −→a , b , −→c ) nhận các vector sau đây làm cạnh −→ −→ −→ −→p = −→a + b + −→c ; −→q = −→a + b − −→c ; −→r = −→a − b + −→c . −→3 −→ −→ −→ Bài tập 1.24. Trong E với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3 }, hãy tính thể tích hình hộp nhận các vector sau đây làm cạnh −→ 1. −→a (0, −2, 1), b (1, 1, −2), −→c (1, −1, 1); −→ 2. −→a (1, 2, 1), b (2, 1, 1), −→c (1, 1, 1). −→3 −→ −→ −→ Bài tập 1.25. Trong E với cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3 }, các vector sau có đồng phẳng không? −→ 1. −→a (1, 2, 1), b (2, 1, 1), −→c (1, 1, 1); −→ 2. −→a (1, −2, 1), b (−2, 1, 1), −→c (−1, −1, 2); −→ 3. −→a (1, 2, 3), b (2, 1, 3), −→c (−1, 1, 0); −→ 4. −→a (1, 1, 1), b (0, 1, 1), −→c (1, 0, 1). Bài tập 1.26. Chứng minh rằng −→ −→ 1. |(−→a , b , −→c )| ≤ |−→a |.| b |.|−→c |; −→ −→ −→ 2. (−→a + b , b + −→c , −→c + −→a ) = 2(−→a , b , −→c ). Bài tập 1.27. Chứng minh rằng −→ −→ −→ 1. nếu −→a ⊥ b và −→a ⊥ −→c , thì −→a ∧ ( b ∧ −→c ) = 0 ; −→ −→ −→ 2. (−→a ∧ b ) ∧ c + ( b ∧ −→c ) ∧ a + (−→c ∧ −→a ) ∧ b = 0 . BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Bài tập 1.28. Bài tập 1.29. Bài tập 1.30. Bài tập 1.31. Bài tập 1.32. Bài tập 1.33. Bài tập 1.34. 4
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Hình học giải tích phẳng Chú ý. Tài liệu đang ở trong giai đoạn soạn thảo, nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong các bạn sinh viên và đồng nghiệp góp ý để bản thảo sớm trở nên hoàn chỉnh hơn. Trong chương này, các điểm cũng như các vector đều thuộc cùng một mặt phẳng. 2.1 Hình học giải tích phẳng với hệ tọa độ affine Trong chương trình PTTH có những bài toán hình học mà giả thiết và kết luận đều không liên quan đến khái niệm tích vô hướng. Nói một cách cụ thể đó là những bài toán không sử dụng đến các khái niệm về “số đo” như diện tích, độ dài, góc . . . . Đây là những bài toán mà ta gọi là “Bài toán affine”. Cũng có các khái niệm và tính chất tương tự như vậy của các hình hình học mà ta sẽ gọi là các “khái niệm affine”, “các tính chất affine”. Định lý Thales, tính chất ba đường trung tuyến đồng qui của một tam giác, tính chất hai đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là các ví dụ. Đối với các bài toán, các khái niệm, các tính chất affine, hệ tọa độ affine là đủ dùng đề định nghĩa và khảo sát. Đôi khi hệ tọa độ affine tỏ ra thuận lợi hơn hệ tọa độ Descartes như thường được dùng ở PTTH. Nội dung của mục này nhằm cho sinh viên làm quen dần với việc khảo sát một số vấn đề hình học thích hợp bằng cách chỉ sử dụng hệ tọa độ affine và tập thói quen phân tích để nhận biết được các bài toán nào là bài toán affine. Điều này sẽ rất có lợi cho sinh viên sau này khi học môn “Hình học affine” được trình bày ở mức độ tổng quát hơn và chính xác hơn về mặt toán học. 2.1.1 Mục tiêu affine-Hệ tọa độ affine −→ −→ Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng một bộ ba {O; e1 , e2 }, với O là một điểm trong mặt phẳng còn −→ −→ {e1 , e2 } là một cơ sở, được gọi là một mục tiêu affine hay một hệ tọa độ affine. −→ −→ Điểm O được gọi là gốc của mục tiêu. Các vector e1 , e2 gọi là các vector cơ sở. Chúng ta sẽ ký hiệu một mặt phẳng trên đó có một mục tiêu affine là A2. 13
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) y e2 e2 O x e1 e1 Hình 2.1: Mục tiêu affine và hệ trục tọa độ affine. −→ −→ Gọi Ox và Oy lần lượt là hai đường thẳng đi qua O với vector chỉ phương lần lượt là e1 và e2 . −→ −→ Hai đường thẳng Ox và Oy được định hướng bởi các vector chỉ phương e1 và e2 được gọi là các trục tọa độ. Khi đó bộ ba {O; Ox, Oy} được gọi là một hệ trục tọa độ affine (hay một cách vắn tắt là hệ trục affine) và thường được ký hiệu là Oxy. Theo cách gọi ở PTTH, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Chú ý. Trong mặt phẳng một mục tiêu affine xác định một hệ trục tọa độ affine tương ứng và ngược lại. Cho nên trong các phát biểu chúng ta chỉ dùng mục tiêu affine, nhưng để minh họa bằng hình vẽ thì chúng ta sẽ dùng hệ trục tọa độ affine để có tính trực quan hơn. 2.1.2 Tọa độ của điểm −→ −→ Trong mặt phẳng cho mục tiêu affine {O; e1 , e2 }. Giả sử M là một điểm trong mặt phẳng. Khi đó ta có −−→ −→ −→ OM = xe1 + ye2 . Định nghĩa 2. Ta gọi bộ số (x, y) là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu affine Oxy, x gọi là hoành độ và y gọi là tung độ của điểm M. −→ −→ −→ −→ Để chỉ điểm M có tọa độ (x, y) đối với mục tiêu {O; e1 , e2 }, ta viết M(x, y)/{O;e1,e2}. Tuy nhiên nếu không có gì gây nhầm lẫn, ta chỉ viết đơn giản M(x, y). Giả sử M có tọa độ (x, y) và N có 0 0 −→ −→ tọa độ (x , y ) đối với mục tiêu affine {O; e1 , e2 }, ta có −−→ −−→ −−→ 0−→ 0−→ −→ −→ 0 −→ 0 −→ MN = ON − OM = x e1 + y e2 − xe1 + ye2 = (x − x)e1 + (y − y)e2 . −−→ 0 0 −→ −→ Hay vector MN có tọa độ (x − x, y − y) đối với cơ sở {e1 , e2 }. Như vậy, “tọa độ của vector bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ của điểm gốc”. −→ −→ Giả sử trên mặt phẳng đã cho một mục tiêu {O; e1 , e2 }. Nếu không nói gì thêm thì khi viết −→ −→ −→ −→ v (v1, v2) ta ngầm hiểu là tọa độ của vector v đối với cơ sở {e1 , e2 } là (v1, v2). −→ −→ 2 Nhận xét. Giả sử trên mặt phẳng đã cho mục tiêu affine {O; e1 , e2 }. Ánh xạ M 7−→ (x, y) ∈ R là một song ánh. Ánh xạ này cho phép đồng nhất mỗi điểm của mặt phẳng với một phần tử của R2 và nhờ đó sau này đường thẳng sẽ được đặc trưng bởi một phương trình tuyến tính bậc nhất. 14
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) y M e2 O X e1 Hình 2.2: Tọa độ của điểm M. 2.1.3 Công thức đổi mục tiêu −→ −→ 0 −→0 −→0 Giả sử trong mặt phẳng ta có hai mục tiêu affine khác nhau {O; e1 , e2 } và {O , e1 , e2 }. Khi đó một điểm M trong mặt phẳng sẽ có hai bộ tọa độ khác nhau (x, y) và (x0, y0) tương ứng đối với chúng. Vấn đề cần quan tâm là tìm mối liên hệ giữa các bộ tọa độ này. Giả sử −−→0 −→ −→ OO = ae1 + be2 , và ( −→e 0 = c −→e + c −→e 1 11 1 21 2 . −→0 −→ −→ e2 = c12 e1 + c22 e2 Điểm M có tọa độ trong hai mục tiêu đó theo thứ tự là (x, y) và (x0, y0), có nghĩa là −−→ −→ −→ −−→0 0−→0 0−→0 OM = xe1 + ye2 , O M = x e1 + y e2 . Ta có −→ −→ −−→ −−→0 −−→0 xe1 + ye2 = OM = OO + O M −→ −→ 0−→0 0−→0 = ae1 + be2 + x e1 + y e2 −→ −→ 0 −→ −→ 0 −→ −→ = ae1 + be2 + x (c11 e1 + c21 e2 ) + y (c12 e1 + c22 e2 ) 0 0 −→ 0 0 −→ = (c11x + c12y + a)e1 + (c21x + c22y + b)e2 Do đó, ( x = c x0 + c y0 + a, 11 12 (2.1) 0 0 y = c21x + c22y + b. Công thức (2.1) được gọi là công thức đổi tọa độ (hay công thức đổi mục tiêu) từ mục tiêu −→ −→ 0 −→0 −→0 {O; e1 , e2 } sang mục tiêu {O ; e1 , e2 }. −→ −→ 0 Ví dụ 1. Trong mặt phẳng cho mục tiêu {O; e1 , e2 }. Giả sử O là điểm có tọa độ (a, b) đối với −→ −→ −→0 −→ −→0 −→ −→ mục tiêu {O; e1 , e2 } và e1 = e1 ; e2 = e1 + e2 . 15
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) e2 e1 O O e1 e2 Hình 2.3: Mục tiêu thuận và mục tiêu nghịch. −→ −→ 0 −→ −→ 1. Công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O; e1 , e2 } sang mục tiêu {O ; e1 , e2 } có dạng ( x = x0 + a, y = y0 + b. −→ −→ −→0 −→0 2. Công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O; e1 , e2 } sang mục tiêu {O; e1 , e2 } có dạng ( x = x0 + y0, y = y0. −→ −→ 0 −→0 −→0 và công thức đổi tọa độ từ mục tiêu {O; e1 , e2 } sang mục tiêu {O ; e1 , e2 } có dạng ( x = x0 + y0 + a, y = y0 + b. Chú ý. Thường người ta sẽ viết các hệ số c11, c12, c21, c22 thành một bảng số như sau c c A = 11 12 c21 c22 và gọi là ma trận của phép đổi mục tiêu từ mục tiêu {O; −→e , −→e } sang mục tiêu {O0; −→e 0, −→e 0}. Khi 1 2 1 2 c11 c12 đó := c11c22 − c12c21 được gọi là định thức của ma trận A và ký hiệu là det A. Do hai c21 c22 −→0 −→0 vector e1 , e2 độc lập tuyến tính nên ta có det A 6= 0. −→ −→ 0 −→0 −→0 Nếu det A > 0 thì hai mục tiêu {O; e1 , e2 } và {O ; e1 , e2 } được gọi là cùng hướng. Nếu det A < 0 thì hai mục tiêu đó được gọi là ngược hướng. Như vậy khi cho trước một mục tiêu affine thì tập hợp các mục tiêu được chia thành hai lớp (tương đương). Mỗi một lớp được gọi là một hướng. Một hướng sẽ được gọi là hướng thuận còn hướng kia gọi hướng nghịch. Mục tiêu xác định hướng thuận gọi là mục tiêu thuận còn mục tiêu xác định hướng nghịch gọi là mục tiêu nghịch. Theo −→ −→ người ta qui ước hướng thuận trên mặt phẳng là hướng xác định bởi mục tiêu {O; e1 , e2 } sao cho −→ −→ chiều quay từ e1 sang e2 theo góc nhỏ nhất là ngược chiều kim đồng hồ. 16
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) v P M Hình 2.4: Đường thẳng xác định bởi vector chỉ phương và một điểm. 2.1.4 Phương trình của đường thẳng −→ −→ Phương trình tham số. Trong mặt phẳng với mục tiêu affine {O; e1 , e2 } cho trước cho đường −→ thẳng d đi qua điểm P (a1, a2) với vector chỉ phương v (v1, v2). Theo định nghĩa ta có −→ −→ −→ OP = a1 e1 + a2 e2 , −→ −→ −→ và v = v1 e1 + v2 e2 . −→ −→ −−→ Điểm M có tọa độ (x, y) đối với mục tiêu {O; e1 , e2 } thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi PM và −→v cùng phương, tức là khi và chỉ khi có số thực t sao cho −−→ PM = t−→v . Ta có −−→ −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ PM = OM − OP = xe1 + ye2 − a1 e1 − a2 e2 = (x − a1)e1 + (y − a2)e2 , (2.2) và ta cũng có −−→ −→ −→ −→ PM = t v = tv1 e1 + tv2 e2 . (2.3) Nên từ (2.2) và (2.3) ta suy ra ( x = v t + a 1 1 . (2.4) y = v2t + a2 Hệ phương trình (2.4) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d, và t được gọi là tham số. Nhận xét. 1. Ánh xạ d 3 M 7→ t ∈ R là một song ánh từ d lên R. Như vậy, mỗi điểm M ∈ d có thể đồng nhất với một số thực. −→ 2. Do vector chỉ phương của đường thẳng khác 0 nên v1, v2 không đồng thời bằng không. 3. Ngược lại, dễ thấy một hệ phương trình dạng (2.4) với v1, v2 không đồng thời bằng không sẽ −→ là phương trình của đường đi qua điểm A(a1, a2) với vector chỉ phương v (v1, v2). 17
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Trong trường hợp v1, v2 đều khác 0 thì sau khi khử t phương trình (2.4) có thể viết dưới dạng x − a y − a 1 = 2 v1 v2 và được gọi là phương trình dạng chính tắc của đường thẳng. Phương trình tổng quát. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d có phương trình tham số (2.4). Từ một phương trình rút t ra và thế vào phương trình còn lại ta được phương trình không còn tham số t có dạng Ax + By + C = 0, (2.5) trong đó A = v2,B = −v1,C = a2v1 − a1v2. Mỗi điểm thuộc đường thẳng sẽ có tọa độ thỏa mãn phương trình trên và ngược lại. Ta sẽ chứng minh điều ngược lại, mỗi phương trình tuyến tính dạng Ax + By + C = 0 với A, B không đồng thời bằng 0 sẽ là xác định một đường thẳng. Thật vậy, giả sử A 6= 0. Ta đặt y = t, −Bt−C suy ra x = A . Như vậy ta được hệ phương trình ( B C x = − A t − A y = t C −→ B là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm P (− A , 0) với vector chỉ phương v (− A , 1). Như vậy, mỗi đường thẳng được đặc trưng bởi một phương trình dạng (2.5) với A, B không đồng thời bằng 0. Ta gọi phương trình dạng (2.5) là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét 1. Dễ thấy nếu đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 thì vector −→v (B, −A) là một vector chỉ phương của đường thẳng. Ví dụ. 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm P có tọa độ (b1, b2) có dạng A(x − b1) + B(y − b2) = 0, (2.6) trong đó A, B không đồng thời bằng không. −→ −→ 2. Trong mặt phẳng với mục tiêu cho trước {O; e1 , e2 }, cho hai điểm phân biệt P (p1, p2),Q(q1, q2). Khi đó điểm M có tọa độ (x, y) đối với mục tiêu {O; −→e , −→e } thuộc đường thẳng PQ khi và −−→ −→ 1 2 chỉ khi vector PM cùng phương với vector P Q. Điều này tương đương với x − p1 y − p2 = 0, (2.7) q1 − p1 q2 − p2 hay 1 x y 1 p1 p1 = 0. (2.8) 1 q1 q2 Khai triển (2.8), ta được một phương trình tuyến tính dạng Ax + By + C = 0. Đây chính là phương trình tổng quát của đường thẳng P Q. 18
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) 3. Cho đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 và đường thẳng d0 có phương trình A0x + B0y + C0 = 0. Khi đó hai đường thẳng d và d0 song song khi và chỉ khi hai vector chỉ phương −→v (B, −A) và −→v 0(B0, −A0) cùng phương. Điều này tương đương với hai bộ số (A, B) và (A0,B0) tỉ lệ. Từ đây suy ra hai đường thẳng d và d0 cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số (A, B) và (A0,B0) không tỉ lệ và hai đường thẳng d và d0 trùng nhau khi và chỉ khi hai bộ số (A, B, C) và (A0,B0,C0) tỉ lệ. Chùm đường thẳng. Trong mặt phẳng tập hợp tất cả các đường thẳng cùng đi qua điểm I cố định được gọi là một chùm đường thẳng. Điểm I được gọi là tâm của chùm. 2.1.5 Tâm tỉ cự Định nghĩa 3. Cho họ điểm {P1,P2, ,Pm} thuộc mặt phẳng và họ các số thực {λ1, λ2, . . . , λm}, λi ∈ R, thoả mãn điều kiện λ := λ1 + λ2 + + λm 6= 0. Lấy một điểm I tùy ý trên mặt phẳng khi đó 1 −→ −−→ (λ IP + + λ IP ) λ 1 1 m m là một vector xác định. Do đó tồn tại duy nhất một điểm G sao cho −→ 1 −→ −−→ IG = (λ IP + + λ IP ). (2.9) λ 1 1 m m Ta gọi điểm G là tâm tỉ cự của họ {P1,P2, ,Pm} gắn với họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm}. Nhận xét. Theo định nghĩa dễ thấy rằng tâm tỉ cự của hệ điểm {P1,P2, ,Pm} gắn họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm} trùng với tâm tỉ cự của hệ điểm {P1,P2, ,Pm} gắn họ hệ số {kλ1, kλ2, . . . , kλm}, k 6= 0. Chúng ta đi đến định nghĩa sau: Định nghĩa 4. Tâm tỉ cự G của {P1,P2, ,Pm} gắn họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm} với λ1 = λ2 = = λm (theo nhận xét trên ta có thể chọn λ1 = λ2 = = λm = 1) gọi là trọng tâm của hệ điểm đó. Như vậy, với I là một điểm tùy ý, trọng tâm G được xác định bởi hệ thức m −→ 1 X −→ IG = IP . (2.10) m i i=1 m X −−→ −→ GPi = 0 . (2.11) i=1 Trọng tâm của hệ hai điểm {P, Q} chính là trung điểm của đoạn thẳng P Q. Định lý sau cho thấy có thể dùng khái niệm tâm tỉ cự để đặc trưng cho đường thẳng. 19
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Định lý 2.1.1. Tập tất các các tâm tỉ cự gắn với họ các hệ số khác nhau của hệ gồm hai điểm {P, Q} trong mặt phẳng chính là đường thẳng P Q. −→ Chứng minh. Ta có PQ là vector chỉ phương của đường thẳng P Q. Giả sử điểm G là một điểm −→ −→ trên đường thẳng P Q. Điều này tương đương với PG = λP Q. Ta có −→ −→ −→ −→ −→ −→ PG = λ(GQ − GP ) ⇔ (1 − λ)GP + λGQ = 0 . Đẳng thức này chứng tỏ G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P, Q} gắn với họ hệ số {1 − λ, λ}. Ngược lại, giả sử G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P, Q} gắn với họ hệ số {λ, µ}. Khi đó −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ λGP + µGQ = 0 ⇔ λGP + µ(GP + PQ) = 0 −→ −→ −→ ⇔ (λ + µ)GP + µPQ = 0 −→ µ −→ ⇔ PG = P Q. λ + µ −→ −→ Đẳng thức cuối chứng tỏ PG cùng phương với PQ hay G thuộc đường thẳng P Q. 2 2.1.6 Tỉ số đơn Định nghĩa 5. Cho hai điểm phân biệt P, Q trong mặt phẳng. Điểm M 6= Q thuộc đường thẳng −−→ −−→ PQ khi và chỉ khi có số thực k 6= 1 để MP = kMQ. Ta gọi k là tỉ số đơn của hệ ba điểm {P, Q, M}, kí hiệu k = (P QM). Nhận xét. Dễ nhận thấy rằng nếu k = (P QM) thì điểm M là tâm tỉ cự của hệ {P, Q} gắn với họ hệ số {1, −k}. Khi k = −1, ta có M là trung điểm (trọng tâm) của cặp điểm {P, Q}. Sau đây là một số tính chất của tỉ số đơn. Tính chất. Trong An cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Ta có 1. (ABC) + (ACB) = 1, 2. (ABC).(BAC) = 1, 1 3. (BCA) = 1 − (ABC) . −→ −−→ −−→ −→ −−→ Chứng minh. Giả sử rằng (ABC) = k, tức là CA = kCB hay CB + BA = kCB. Từ đây suy ra −→ −−→ BA = (1 − k)BC hay (ACB) = 1 − k. Bạn đọc dễ dàng chứng minh được các đẳng thức còn lại một cách tương tự. Chú ý rằng do A, B, C là ba điểm phân biệt nên k 6= 0, 1. 2 20
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Hình 2.5: Các tập lồi. Hình 2.6: Các tập không lồi. 2.1.7 Tập lồi Tập lồi. Tập X trong mặt phẳng được gọi là một tập lồi nếu với mọi P, Q ∈ X, đoạn thẳng PQ chứa trong X. Bao lồi của một tập. Dễ thấy giao của một họ không rỗng các tập lồi là một tập lồi. Từ đây ta có định nghĩa bao lồi của một tập X là giao của tất cả các tập lồi chứa X, tức là tập lồi bé nhất chứa X. Các ví dụ dưới đây minh họa phương pháp dùng tọa độ (affine) để giải một số bài toán affine. Ví dụ 2. Chứng minh hai đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Giải. Lời giải được minh họa bằng hình vẽ dưới đây: y B(0,1) C(1,1) e 2 I(1/2,1/2) A(0,0) D(1,0) x e1 21
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Ví dụ 3. Chứng minh ba đường trung tuyến của một tam giác đồng qui tại trọng tâm của tam giác. Giải. Lời giải được minh họa bằng hình vẽ dưới đây: A(0,1) P(0,1/2) N(1/2,1/2) G(1/3,1/3) B(0,0) M(1/2,0) C(1,0) 2.1.8 Phép tịnh tiến, phép vị tự và phép thấu xạ affine Phép tịnh tiến. Với vector −→v cho trước trong mặt phẳng, ánh xạ từ mặt phẳng vào chính nó −−−→ biến điểm M thành điểm M 0 sao cho MM 0 = −→v , gọi là phép tịnh tiến theo vector −→v . Ký hiệu −→ phép tiến theo vector v là T−→v . Giả sử trên mặt phẳng đã chọn một mục tiêu affine {O; −→e , −→e } và −→v (v , v ),M(x, y),M 0(x0, y0). −−−→ 1 2 1 2 Theo định nghĩa ta có MM 0 = −→v . Do đó chúng ta có mối liên hệ giữa (x, y) và (x0, y0) ( x0 = x + v 1 . (2.12) 0 y = y + v2 (2.12) được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Phép vị tự của không gian affine. Với điểm I cho trước trên mặt phẳng và λ 6= 0 ánh xạ f từ mặt phẳng vào chính nó biến điểm M thành điểm M 0 sao cho −−→ −−→ f(M) = M 0 sao cho IM 0 = λIM, gọi là phép vị tự tâm I tỷ số λ. Nếu λ = −1 ta có phép đối xứng tâm I. Giả sử trên mặt phẳng đã chọn một mục tiêu affine {O; −→e , −→e } và I(a, b),M(x, y),M 0(x0, y0). −−→ −−→ 1 2 Theo định nghĩa ta có IM 0 = λIM. Do đó chúng ta có mối liên hệ giữa (x, y) và (x0, y0) ( x0 = λx + (1 − λ)a . (2.13) y0 = λy + (1 − λ)b 22
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) v N’ M’ N M Hình 2.7: Phép tịnh tiến. P’ N’ M’ P N’ O N M O M M’ N Hình 2.8: Phép vị tự. (2.13) được gọi là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỷ số λ. Phép thấu xạ affine Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và l cắt nhau và λ 6= 0. Qua điểm M trong mặt phẳng 0 0 0 kẻ đường thẳng l cùng phương với l (nếu M ∈ l thì l ≡ l ). Đường thẳng l sẽ cắt d tại điểm M1. 0 −−−→0 −−−→ 0 Lấy điểm M sao cho M1M = λM1M. Ánh xạ biến điểm M thành điểm M gọi là phép thấu xạ affine với cơ sở d, phương l và hệ số λ. Dễ nhận thấy tập các điểm bất động của phép thấu xạ là đường thẳng d. l’ N’ M d M1 N1 l M’ N Hình 2.9: Phép đối xứng xiên. 23
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Khi λ = −1, phép thấu xạ affine còn gọi là phép đối xứng xiên theo phương l qua đường thẳng d. 2.1.9 Đường bậc hai 2 −→ −→ Định nghĩa 6. Trong mặt phẳng A với mục tiêu affine {O; e1 , e2 }, đường bậc hai affine trong mặt phẳng là tập hợp S gồm tất cả các điểm M có tọa độ (x, y) đối với mục tiêu đã cho thoả mãn một phương trình bậc hai dạng Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (2.14) trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0. Phương trình (2.14) gọi là phương trình của đường bậc hai đối với mục tiêu đã cho. Ví dụ 4. 1. Trong mặt phẳng phương trình x2 y2 + = 1, a > 0, b > 0; a2 b2 xác định một đường bậc hai gọi là ellipse. 2. Trong mặt phẳng phương trình x2 y2 − = 1, a > 0, b > 0; a2 b2 xác định một đường bậc hai gọi là hyperbola. Chúng ta có thể chứng minh được rằng các phép tịnh tiến, vị tự, thấu xạ biến một đường bậc hai thành một đường bậc hai. 2.1.10 Tâm của đường bậc hai. Định nghĩa 7. Tâm của đường bậc hai S là điểm I sao cho nếu chọn I làm gốc mục tiêu thì phương trình của S có dạng đơn giản Ax2 + 2Bxy + Cy2 + F = 0, (2.15) tức là không có mặt các hệ số của các hạng tử bậc nhất. Nếu tâm I của S thuộc S thì I gọi là điểm kì dị của S. Nhận xét. Tâm của đường bậc hai S là tâm đối xứng của nó. Điều này có nghĩa là phép đối xứng qua I (tức là phép vị tự tâm I tỷ số -1) biến S thành chính nó. Thật vậy, dễ thấy điểm M có tọa độ (x, y) thỏa mãn phương trình (2.15) khi và chỉ khi M 0 đối xứng qua I có tọa độ (−x, −y) thỏa mãn phương trình (2.15). Từ đây suy ra I là tâm đối xứng của S. Điều ngược lại cũng đúng. Nếu I là tâm đối xứng của đường bậc hai S thì I là tâm của S. 24
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Phương trình xác định tâm. Giả sử đường bậc hai S có phương trình dạng (2.14) và I là là −→ −→ −→ −→ tâm của S có tọa độ (b1, b2) đối với mục tiêu {O; e1 , e2 }. Phép đổi mục tiêu từ {O; e1 .e2 } sang −→ −→ {I; e1 , e2 } có công thức dạng ( x = x0 + b 1 . 0 y = y + b2 Thay giá trị của (x, y) vào phương trình (2.14) ta thu được phương trình của S đối với mục tiêu mới. Cho hệ số bậc nhất bằng không ta thu được hệ phương trình: ( Ab + Bb + a = 0 1 2 1 . (2.16) Bb1 + Cb2 + a2 = 0 Nói cách khác I là tâm của S khi và chỉ khi tọa độ của I là một nghiệm của hệ phương trình ( Ax + By + D = 0 . (2.17) Bx + Cy + E = 0 Phương trình (2.17) gọi là phương trình xác định tâm. 2.1.11 Phương tiệm cận và đường tiệm cận Định nghĩa 8. 1. Cho đường bậc hai S có phương trình dạng (2.14) đối với mục tiêu cho trước −→ −→ −→ −→ {O; e1 , e2 }. Vector c (u, v) 6= 0 được gọi là vector chỉ phương tiệm cận nếu Au2 + 2Buv + Cv2 = 0. 2. Trường hợp S có tâm duy nhất và có vector chỉ phương tiệm cận −→c thì đường thẳng đi qua tâm và nhận −→c làm vector chỉ phương gọi là đường tiệm cận của đường bậc hai S. Ví dụ 5. Trong không gian affine hai chiều thông thường, ta có x2 y2 1. Ellipse + = 1, a, b > 0 không có vector chỉ phương tiệm cận. a2 b2 x2 y2 2. Hyperbola − = 1, a, b > 0 có hai có hai vector chỉ phương tiệm cận là −→c (a, b) và a2 b2 1 −→ c2 (a, −b). Các đường tiệm cận tương ứng là b b y = x và y = − x. a a 3. Parabola y2 = 2px có một vector chỉ phương tiệm cận là −→c (0, 1), nhưng không có đường tiệm cận nào vì không có tâm. 25
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) 2.1.12 Phân loại affine các đường bậc hai trong A2. Trong A2, một đường bậc hai sẽ có phương trình dạng tổng quát sau Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (2.18) Nếu chọn mục tiêu thích hợp (tức là bằng phép đổi tọa độ thích hợp), phương trình của đường bậc hai sẽ có dạng rất đơn giản, gọi là phương trình dạng chuẩn tắc của đường bậc hai. Chúng ta sẽ không chứng minh chi tiết khẳng định này mà chỉ lấy các ví dụ cụ thể để minh họa. Chứng minh chi tiết cho trường hợp tổng quát hơn sẽ được trình bày trong giáo trình “Hình học affine và Euclid”. Ví dụ 6. Xét đường bậc hai xy + 2x − 2y + 4 = 0. (2.19) Bằng cách dùng phép đổi tọa độ ( x0 = 1 (x + y) 2 , 0 1 y = 2 (x − y) ta đưa phương trình 2.19 về dạng x02 − y02 + 4y0 − 4 = 0. Nếu dùng phép đổi tọa độ ( X = x0 Y = y0 − 2 ta được phương trình dạng đơn giản X2 − Y 2 = 0. Ví dụ 7. Xét đường bậc hai x2 + 2xy − y2 + 2x + 6y − 2 = 0. Ta biến đổi vế trái của phương trình 7 như sau: x2 + 2xy − y2 + 2x + 6y − 2 = (x + y + 1)2 − 2y2 + 4y − 3 = (x + y + 1)2 − 2(y − 1)2 − 1. Do đó bằng cách dùng phép đổi tọa độ ( X = x + y + 1 , Y = 2(y − 1) ta đưa phương trình của đường bậc hai về dạng X2 − Y 2 − 1 = 0. 26
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Ví dụ 8. Xét đường bậc hai x2 + 2xy + 2y2 + 2x + 6y − 1 = 0. Ta biến đổi vế trái của phương trình 7 như sau: x2 + 2xy + 2y2 + 2x + 6y − 1 = (x + y + 1)2 + y2 + 4y − 2 = (x + y + 1)2 + (y + 2)2 − 6. Do đó bằng cách dùng phép đổi tọa độ ( 1 X = 6 (x + y + 1) 1 , Y = 6 (y + 2) ta đưa phương trình của đường bậc hai về dạng X2 + Y 2 − 1 = 0. Ví dụ 9. Xét đường bậc hai x2 + 2xy + y2 + 4x − 2y + 1 = 0. Ta biến đổi vế trái của phương trình 7 như sau: x2 + 2xy + y2 + 4x − 2y + 1 = (x + y + 2)2 − 6y − 3 = (x + y + 1)2 − 3(y + 1). Do đó bằng cách dùng phép đổi tọa độ ( X = x + y + 1 , Y = 3(2y + 1) ta đưa phương trình của đường bậc hai về dạng X2 − Y = 0. Ta có thể sắp xếp các đường bậc hai thành 9 loại sau đây dựa trên phương trình chuẩn tắc của chúng với tên gọi như sau: 2 2 1. x1 + x2 − 1 = 0 đường ellipse; 2 2 2. x1 − x2 − 1 = 0 đường hyperbola; 2 2 3. −x1 − x2 − 1 = 0 đường ellipse ảo; 2 2 4. x1 + x2 = 0 cặp đường thẳng ảo cắt nhau (tại một điểm thực); 2 2 5. x1 − x2 = 0 cặp đường thẳng cắt nhau; 2 6. x1 − 2x2 = 0 đường parabola; 2 7. x1 − 1 = 0 cặp đường thẳng song song; 2 8. −x1 − 1 = 0 cặp đường thẳng ảo song song ; 2 9. x1 = 0 cặp đường thẳng trùng nhau. Các đường ellipse, hyperbola, parabola có một tên gọi chung là ba đường conic. Chúng sẽ được khảo sát kỹ hơn trong mặt phẳng với một hệ tọa độ Descartes. 27
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Hình học giải tích phẳng Chú ý. Tài liệu đang ở trong giai đoạn soạn thảo, nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong các bạn sinh viên và đồng nghiệp góp ý để bản thảo sớm trở nên hoàn chỉnh hơn. Trong chương này, các điểm cũng như các vector đều thuộc mặt phẳng E2. 2.1 Hình học giải tích phẳng với hệ tọa độ Descartes 2.1.1 Mục tiêu trực chuẩn-Hệ tọa độ trực chuẩn −→ −→ Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng mục tiêu affine {O; e1 , e2 } được gọi là một mục tiêu trực giao −→ −→ −→ −→ −→ −→ nếu e1 ⊥ e2 và được gọi là một mục tiêu trực chuẩn nếu e1 ⊥ e2 và |e1 | = |e2 | = 1. Tương ứng với mục tiêu trực giao và mục tiêu trực chuẩn, chúng ta có hệ tọa độ trực giao và hệ tọa độ trực chuẩn. Hệ tọa độ trực chuẩn còn được gọi là hệ tọa độ Descartes. Chúng ta sẽ ký hiệu một mặt phẳng trên đó có một mục tiêu Descartes là E2. 2.1.2 Công thức đổi mục tiêu −→ −→ 0 −→0 −→0 Giả sử trong mặt phẳng ta có hai mục tiêu trực chuẩn khác nhau {O; e1 , e2 } và {O , e1 , e2 }. Ta có công thức đổi mục tiêu ( x = c x0 + c y0 + a, 11 12 (2.1) 0 0 y = c21x + c22y + b. −→0 −→0 Do {e1 , e2 } là hệ trực chuẩn nên từ ( −→e 0 = c −→e + c −→e 1 11 1 21 2 , −→0 −→ −→ e2 = c12 e1 + c22 e2 13
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) y e2 e2 O x e1 e1 Hình 2.1: Mục tiêu trực giao và hệ trục tọa độ trực giao. y e2 e2 O x e1 e1 Hình 2.2: Mục tiêu trực chuẩn và hệ trục tọa độ trực chuẩn (Descartes). y M e2 O x e1 Hình 2.3: Tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ trực chuẩn. 14
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) ta dễ dàng suy ra 2 2 c11 + c21 = 1 2 2 c12 + c22 = 1 c11c12 + c21c22 = 0 Bài tập 2.1. Chứng minh rằng với c11, c21, c12, c22 là các hệ số trong công thức đổi mục tiêu trực chuẩn, ta có 2 2 c11 + c12 = 1, 2 2 c21 + c22 = 1, c11c21 + c12c22 = 0. 2.1.3 Phương trình của đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes −→ Một vector khác 0 trực giao với vector chỉ phương của đường thẳng gọi là một pháp vector của đường thẳng. Dễ thấy nếu Ax + By + C = 0 là phương trình của đường thẳng d trong mặt phẳng −→ E2 thì n (A, B) là một pháp vector của đường thẳng. Gradient hay còn gọi là độ dốc (slope) của một đường thẳng được xác định bởi tỉ số giữa sự thay đổi của tung độ và sự thay đổi của hoành độ. y − y m = 1 2 . x1 − x2 Nếu góc θ giữa đường thẳng và trục Ox được xác định thì m = tan θ. Bài tập 2.2. Trong mặt phẳng E2 viết phương trình của đường thẳng 1. đi qua điểm A(1, 2) và nhận vector −→n (1, 1) làm pháp vector; 2. đi qua điểm A(2, 3) và vuông góc với đường thẳng 2x − y + 6 = 0. Bài tập 2.3. Trong mặt phẳng E2 cho ba điểm A(1, 1),B(2, 3),C(2, 0). 1. Hãy viết phương trình các cạnh và phương trình các đường cao. 2. Tính độ dài các đường cao. 3. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài tập 2.4. Chứng minh rằng: A 1. Gradient của đường thẳng Ax + By + C = 0,B 6= 0 là − B . 2. Hai đường thẳng có gradient lần lượt là m và m0 vuông góc khi và chỉ khi mm0 = −1. Bài tập 2.5. Tìm điểm cách đều hai điểm A(−6, −1) và B(−1, 2) và cách điểm C(−2, 7) một khoảng bằng 5. Dễ thấy hai đường thẳng phân biệt d1, d2 cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba d3 thì song song vì một pháp vector của d3 là vector chỉ phương của cả d1 và d2. 15
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) n P M Hình 2.4: Đường thẳng xác định bởi vector pháp và một điểm. m>0 m<0 m=0 m= Hình 2.5: Gradient của đường thẳng. 16
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) 2.1.4 Khoảng cách, độ dài, góc và diện tích Khoảng cách giữa hai điểm. Khoảng cách giữa hai điểm M(x1, y1) và N(x2, y2), ký hiệu d(M, N) được tính theo công thức p 2 2 d(M, N) = x2 − x1) + (y2 − y1) . (2.2) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm M(x1, y1) đến đường thẳng ∆ có phương trình Ax + By + C = 0, ký hiệu d(M, ∆), được tính theo công thức Ax + By + C d(A, ∆) = √1 1 . (2.3) A2 + B2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên một đường thẳng đến đường thẳng kia. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất xác định bởi hai đường thẳng đó. Góc θ giữa đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và đường thẳng ∆0 : A0x + B0y + C0 = 0 được tính bởi công thức |AA0 + BB0| cos θ = √ √ (2.4) A2 + B2 A02 + B02 −→ Diện tích của hình bình hành. Diện tích của hình bình hành dựng trên hai vector −→a và b được tính theo công thức q −→ −→ S = −→a 2 b 2 − (−→a b )2. (2.5) Bài tập 2.6. 1. Trong 2, chứng minh diện tích của hình bình hành dựng trên hai vector −→a −→ E và b được tính theo công thức q −→ −→ S = −→a 2 b 2 − (−→a b )2. (2.6) −→ −→ 2. Trong trường hợp a (a1, a2), b (b1, b2), hãy viết công thức tính diện tích hình bình hành theo a1, a2, b1, b2. Diện tích của hình tam giác. Do diện tích của tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành dựng trên hai cạnh nên ta có công thức tính diện tích của tam giác ABC như sau 1q−→ −→ −→−→ S(ABC) = AB2AC2 − (ABAC)2. (2.7) 2 2.1.5 Phép dời hình trong E2 Định nghĩa 2. Một song ánh f từ E2 và E2 được gọi là một phép dời hình nếu f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, nghĩa là với mọi A, B ∈ E2 d(f(A), f(B)) = d(A, B). 17
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) B b a A C Hình 2.6: Hình bình hành dựng trên hai vector và trên hai cạnh của tam giác. B B’=f(B) f A C A’=f(A) C’=f(C) Hình 2.7: Phép dời loại 1 bảo toàn hướng của tam giác. Phép dời bảo toàn hướng của một tam giác gọi là phép dời loại 1 hay phép dời thuận, còn phép dời đảo ngược hướng của một tam giác gọi là phép dời loại 2 hay phép dời nghịch hay phép phản chiếu. Chú ý. 1. Thực ra có thể chứng minh một ánh xạ f từ E2 và E2 có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ đều là song ánh. Tuy vậy, khẳng định này sẽ không được chứng minh ở đây mà sẽ được trình bày trong giáo trình “Hình học affine và Euclid” cho trường hợp tổng quát. 2. Phép dời còn gọi là phép biến đổi đẳng cự (xem giáo trình “Hình học affine và Euclid”). Nhận xét. Do tính chất bảo toàn khoảng cách nên f biến một tam giác thành tam giác bằng nó. Từ đây dễ dàng suy ra f có các tính chất sau đây: 1. Phép dời bảo toàn diện tích của tam giác và do đó bảo toàn diện tích của mọi đa giác. Khẳng định f bảo toàn diện tích của một hình bất kỳ cũng đúng. Vấn đề này sẽ được trình bày trong các giáo trình giải tích. 2. Phép dời bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ. Các ví dụ về phép dời hình. 18
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) B B’=f(B) f A C C’=f(C) A’=f(A) Hình 2.8: Phép dời loại 2 đảo ngược hướng của tam giác. B B A C A C O A’ C’ C’ A’ B’ B’ Hình 2.9: Phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. 1. Phép tịnh tiến là phép dời hình hoại 1. 2. Phép đối xứng xiên theo phương l qua đường thẳng d trong trường hợp l ⊥ d gọi là phép đối xứng (vuông góc) qua đường thẳng d hay vắn tắt là một phép đối xứng trục. Dễ thấy phép đối xứng trục là một phép dời loại 2. 3. Phép đối xứng tâm là phép dời loại 1. 4. Tích của một phép đối xứng trục d với một phép tịnh tiến theo một vector chỉ phương −→v của trục d gọi là một phép đối xứng trượt theo trục d và vector −→v . Phân loại các phép dời hình. Chúng ta có các kết quả sau mà chứng minh có thể tìm thấy trong các giáo trình về Hình học affine và Euclid: Định lý 2.1.1. 1. Mọi phép dời loại 1 của mặt phẳng E2 hoặc là một phép tịnh tiến hoặc là phép quay (quanh một điểm). 2. Mọi phép dời loại 2 của mặt phẳng E2 đều là phép đối xứng trượt. 19
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Bài tập 2.7. Cho tam giác ABC. Ký hiệu SAB,SBC ,SCA lần lượt là các phép đối xứng qua đường thẳng AB, BC, CA. Xét tích SAB ◦ SBC ◦ SCA := f. Chứng minh rằng rằng trung điểm của M và f(M) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 2.1.6 Phép đồng dạng trong không gian E2 Định nghĩa 3. Một song ánh f từ E2 và E2 được gọi là một phép đồng dạng nếu với mọi A, B ∈ E2 ta luôn có d(f(A), f(B)) = k.d(A, B) trong đó k là một số thực dương, được gọi là tỉ số đồng dạng. Ví dụ về phép đồng dạng. 1. Các phép dời hình là các phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng k = 1. 2. Các phép vị tự tâm I tỉ số k là các phép đồng dạng tỉ số |k|. 2.1.7 Ba đường conic Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát ba đường cong phẳng đáng chú ý: ellipse, hyperbola và parabola. Chúng được biết như là các nhát cắt của một hình nón, hay một cách tổng quát là một hình nón xiên với cơ sở là một đường tròn. Nhát cắt được hiểu là giáo của hình nón với một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh thì đường cong sẽ là một parabola. Nếu mặt phẳng song song với trục của hình nón (đường thẳng nối tâm của đường tròn cơ sở với đỉnh của hình nón) chúng ta nhận được đường hyperbola. Trong một số trường hợp khác chúng ta nhận được đường ellipse. Định nghĩa về các đường conic như thế ít được dùng trong thực hành, vì thế chúng ta sẽ dùng các định nghĩa đại số thông qua khái niệm tọa độ. Vì ba đường conic là các đường cong phẳng nên sẽ rất thuận lợi nếu chúng ta dùng hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng. Trong hình học giải tích phẳng với một hệ tọa độ trực chuẩn, các đường conic có thể được xác định như là tập hợp các điểm thỏa mãn một phương trình bậc hai tổng quát dạng Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (2.8) với các hệ số A, B, C là số thực, cùng với các điều kiện nhất định nào đó. Nếu B2 − 4AC 0 thì đường bậc hai là một hyperbola còn nếu B2 − 4AC = 0,A 6= 0 hoặc C 6= 0 thì đường bậc hai là một parabola. Chúng ta sẽ dùng phương trình dạng chính tắc để định nghĩa các đường conic. ĐƯỜNG ELLIPSE. Định nghĩa 4. Trong mặt phẳng E2, một đường bậc hai được gọi là một ellipse nếu tồn tại một −→ −→ hệ tọa độ trực chuẩn {O; e1 , e2 } sao cho phương trình của nó có dạng x2 y2 + = 1, a ≥ b > 0. (2.9) a2 b2 20
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Phương trình 2.9 được gọi là phương trình dạng chính tắc của ellipse. Chúng ta có các khái niệm sau: 1. điểm O(0, 0) được gọi là tâm (center) của ellipse; 2. số thực a được gọi là bán trục lớn (major semiaxis); 3. số thực b được gọi là bán trục nhỏ (minor semiaxis); 4. Các điểm có tọa độ (±a, 0) và (0, ±b) gọi là các đỉnh (vertex) của ellipse; 5. trục tọa độ chứa hai tiêu điểm gọi là trục lớn (major axis), trục tọa độ còn lại gọi là trục nhỏ (minor axis); √ 6. số thực 2c = 2 a2 − b2 được gọi là tiêu cự (focal distance); 7. các điểm F 0(−c, 0) và F (c, 0) gọi là các tiêu điểm (focus); c q b2 8. số thực e = a = 1 − a2 được gọi là tâm sai (eccentricity); a a 9. khi e 6= 0, đường thẳng x = − e gọi là đường chuẩn trái và đường thẳng x = e gọi là đường chuẩn phải; 0 a 10. tiêu điểm F (−c, 0) và đường chuẩn x = − e (cũng như tiêu điểm F (c, 0) và đường chuẩn a x = e ) được gọi là cùng một phía (same side); b2 11. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn cùng phía p = c được gọi là tham số tiêu (focal parameter); b2 12. số thực p = a được gọi là nửa đường chuẩn (semi-latus rectum). Một số tính chất cơ bản của đường ellipse. Chúng ta sẽ điểm qua một số tính chất cơ bản của ellipse có nhiều ứng dụng. Một số tính chất sẽ được để lại cho bạn đọc chứng minh như là các bài tập. 1. Từ phương trình của ellipse dễ thấy ellipse có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. Khi a = b, ta có đường tròn x2 + y2 = a2. (2.10) Khi đó mọi đường thẳng qua tâm đường tròn đều là trục đối xứng. 2. Đoạn thẳng nối một điểm thuộc ellipse với một tiêu điểm gọi là bán kính tiêu. Chúng ta có bán kính tiêu bên phải r0 (ứng với F 0) và bán kính tiêu bên trái r(ứng với F ). Dễ chứng minh rằng r0 = a + ex, r = a − ex. Do đó r0 + r0 = 2a. 21
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Đường chuẩn Trục nhỏ Đường chuẩn R’/e p R’ l Trục lớn O F F’ c b a a/e Hình 2.10: Ellipse và các đối tượng. Chúng ta cũng chứng minh được rằng (tham khảo trong các tài liệu về HGT ở PTTH) trên mặt phẳng tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F 0,F bằng một hằng số 2a là một ellipse. Hai điểm cố định F 0,F là hai tiêu điểm, còn số thực a sẽ là bán trục lớn. Tính chất này của ellipse được dùng làm định nghĩa cho đường ellipse trong hầu hết các sách viết về Hình học giải tích ở PTTH. a r0 3. Khoảng cách từ một điểm trên ellipse đến đường chuẩn trái x = − e là e và khoảng cách từ a r0 một điểm trên ellipse đến đường chuẩn phải x = e là e . Từ đây suy ra tỉ số giữa khoảng cách từ điểm trên ellipse đến tiêu điểm và đường chuẩn cùng phía luôn luôn là hằng số, đó là tâm sai. Điều ngược lại cũng đúng, tức là “tập hợp tất cả các điểm có tỉ số khoảng cách đến một điểm cố định và một đường thẳng cố định là một hằng số 0 ≤ e < 1 là một đường ellipse”. 4. (Tính chất phản xạ) Pháp tuyến của ellipse tại một điểm M nằm trên ellipse là đường phân 0 giác của góc ∠(F MF ). Tính chất này có một ý nghĩa vật lý quan trọng. Nếu hình dung ellipse như là một tấm gương thì mọi tia sáng phát xuất từ một tiêu điểm sẽ có tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại. Vì không có đường cong nào khác có tính chất như vậy nên tính chất này có thể dùng để đặc trưng cho một ellipse. Sóng âm cũng phản xạ một cách tương tự, cho nên trong một căn phòng lớn dạng ellipse, một người đứng ở một tiêu điểm sẽ nghe tiếng nói của người đứng ở tiêu điểm kia rõ nhất. Một ví dụ về căn phòng như vậy là Hội Trường Sưu Tập Tượng Quốc Gia (the National Statuary Hall Collection) ở Trụ Sở Quốc Hội Hoa Kỳ (the U.S. Capitole) ( xem hình 2.11). Tính chất này cũng được dùng để dựng tiếp tuyến của một ellipse tại một điểm trên đường ellipse. Cách dựng được minh họa ở hình 2.12 5. (Tính chất đường kính liên hợp) Một dây cung đi qua tâm của ellipse gọi là một đường kính. 22
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) Hình 2.11: The National Statuary Hall Collection. Pháp tuyến Tiếp tuyến O F’ F Hình 2.12: Dựng tiếp tuyến của ellipse. 23
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) M F’ F Hình 2.13: Vẽ ellipse bằng đinh ghim, sợi dây và bút chì. Một đường kính sẽ xác định một họ các dây cung song song với nó. Trung điểm của họ các dây cung là một đường kính của ellipse gọi là đường kính liên hợp với đường kính đã cho. Tính chất này được dùng để dựng tâm và tiếp tuyến của ellipse. Bài tập 2.8. Chứng minh tính chất phản xạ của ellipse. Bài tập 2.9. Chứng minh tính chất đường kính liên hợp của ellipse. Giả sử đã có hình ellipse, dùng tính chất này hãy nêu cách dựng tâm của ellipse và tiếp tuyến tại một điểm trên ellipse. Bài tập 2.10. Biết hình dạng ellipse hãy dựng các trục, tiêu điểm, đường chuẩn của ellipse. Một số phương pháp vẽ đường ellipse. 1. Dựa vào tính chất ellipse là “tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định là một hằng số lớn hơn khoảng cách hai điểm cố định” chúng ta có một cách để vẽ hình ellipse với hai cái đinh ghim, một sợi dây khép kín và bút chì. Hai đinh ghim được cố định như là hai tiêu điểm bên trong sợi dây. Bút chì được đặt bên trong sợi dây ở vị trí sao cho sợi dây được kéo căng. Khi đó sợi dây sẽ tạo thành một tam giác. Di chuyển bút chì sao cho sợi dây vẫn được kéo căng. Bút chì sẽ vạch nên một đường ellipse. 2. Từ phương trình chính tắc của ellipse ta dễ nhận thấy ellipse có một phương trình tham số dạng ( x = a cos θ . (2.11) y = b sin θ Từ phương trình dạng tham số 2.11 ta có phương pháp đường tròn đồng tâm dựng đường ellipse được mô tả như ở hình vẽ 2.14 Chúng ta còn có các cách vẽ đường ellipse bằng cách dùng thước vẽ ellipse (Bài tập 2.11) và dùng phương pháp hình bình hành (parallelogram method) (Bài tập 2.12). Bài tập 2.11. Hãy giải thích nguyên lý thước vẽ ellipse (xem hình vẽ 2.15). 24
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) y b a x Hình 2.14: Phương pháp đường tròn đồng tâm dựng đường ellipse. M b O a B A Hình 2.15: Thước vẽ ellipse. Khi điểm A trượt trên trục tung, điểm B trượt trên trục hoành thì điểm M sẽ vẽ đường ellipse. 25
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 2) A C sb M B sa O G D Hình 2.16: Phương pháp hình bình hành. Khi s biến thiên từ 0 đến 1, điểm M sẽ vẽ 1/4 đường ellipse. Bài tập 2.12. Hãy giải thích nguyên lý của phương pháp hình bình hành được mô tả ở hình vẽ 2.16. Đường Parabola. 26
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Hình học giải tích phẳng Chú ý. Tài liệu đang ở trong giai đoạn soạn thảo, nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong các bạn sinh viên và đồng nghiệp góp ý để bản thảo sớm trở nên hoàn chỉnh hơn. Trong chương này, các điểm cũng như các vector đều thuộc mặt phẳng E2. 2.0.1 Đường tròn Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng có khoảng cách đến một điểm cố định I cho trước là một hằng số r > 0 cho trước. Điểm cố định I gọi là tâm, còn số thực r gọi là bán kính của đường tròn. Chúng ta ký hiệu đường tròn tâm I bán kính r là C(I, r). Giả sử trong một hệ trực chuẩn cho trước, điểm I có tọa độ (a, b). Khi đó đường tròn hoàn toàn được xác định bởi phương trình (x − a)2 + (y − b)2 = r2, (2.1) hay x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0; (2.2) với c = a2 + b2 − r2. Dễ nhận thấy phương trình 2.2 có các đặc điểm sau: 1. các hệ số của các hạng tử x2 và y2 bằng nhau, 2. không chứa hạng tử chéo xy, Xét phương trình bậc hai dạng Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,A 6= 0. (2.3) Phương trình 2.3 có thể viết lại dưới dạng D E 1 (x + )2 + (y + )2 = (D2 + E2 − AF ). A A A2 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Do đó phương trình 2.3 là phương trình của một đường tròn nếu D2 + E2 − AF > 0. Trong trường hợp D2 + E2 − AF 0. Nếu C(I, r) có phương trình dạng 2.3 và M có tọa độ (x1, y1) thì ta tính được 2 2 P(M, C) = Ax1 + Ay1 + 2Dx1 + 2Ey1 + F. (2.4) Định lý 2.0.1. Cho C1 và C2 là hai đường tròn không đồng tâm trong mặt phẳng. Khi đó tập hợp 2 {M ∈ E : P(M, C1) = P(M, C2)} là một đường thẳng ∆ trực giao với đường thẳng nối hai tâm của các đường tròn. Chứng minh. −→ −→ 2 Giả sử {O; e1 , e2 } là mục tiêu trực chuẩn trong E , đường tròn C1 có tâm I1(a1, b1), bán kính r1 và đường tròn C2 có tâm I2(a2, b2), bán kính r2 với I1 6= I2. Với điểm M(x, y) ∈ E2, ta có 2 2 2 2 P(M, C1) = P(M, C2) ⇔ d(M1,M) − r1 = d(I2,M) − r2 2 2 2 2 2 2 ⇔ (x − a1) + (y − b1) − r1 = (x − a2) + (y − b2) − r2. Ta thu được phương trình 2 2 2 2 2 2 2(a2 − a1)x + 2(b2 − b1)y + (a1 + b1 − a2 − b2 + r2 − r1) = 0. (2.5) Do I 6= I , nghĩa các hệ số a − a và b − b không đồng thời bằng không, nên phương trình 2.5 1 2 2 1 2−−→ 1 là phương trình một đường thẳng nhận I1I2 là pháp vector. 2 Định nghĩa 2. Đường thẳng ∆ trong Định lý 2.0.1 được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn C1 và C2. 2.0.2 Ba đường conic Trong mục này chúng ta sẽ khảo sát ba đường cong phẳng đáng chú ý: ellipse, hyperbola và parabola. Chúng được biết như là các nhát cắt của một hình nón với cơ sở là một đường tròn. Nhát cắt được hiểu là giao của hình nón với một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh thì 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) đường cong nhận được sẽ là một parabola. Nếu mặt phẳng song song với trục của hình nón (đường thẳng nối tâm của đường tròn cơ sở với đỉnh của hình nón) chúng ta nhận được đường hyperbola. Trong một số trường hợp khác chúng ta nhận được đường ellipse. Định nghĩa về các đường conic như thế ít được dùng trong thực hành, vì thế chúng ta sẽ dùng một tính chất đặc trưng chung của cả ba đường cônic làm định nghĩa, đó là tỉ số khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường conic đến một điểm cố định và một đường thẳng cố định là một hằng số dương. Chúng ta sẽ dùng hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng để khảo sát các tính chất của chúng. Trong hình học giải tích phẳng với một hệ tọa độ trực chuẩn, các đường conic có thể được xác định như là tập hợp các điểm thỏa mãn một phương trình bậc hai tổng quát dạng Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (2.6) với các hệ số A, B, C là số thực, cùng với các điều kiện nhất định nào đó. Nếu B2 − 4AC 0 thì đường bậc hai là một hyperbola còn nếu B2 − 4AC = 0,A 6= 0 hoặc C 6= 0 thì đường bậc hai là một parabola. Định nghĩa 3. Trong mặt phẳng tập hợp tất cả các điểm M có tỉ số các khoảng cách đến một điểm cố định và một đường thẳng cố định là một hằng số dương gọi là một đường conic. Ký hiệu đường thẳng cố định là l, điểm cố định là F, d = d(M, F ) và d0 = d(M, l). Khi đó điểm d M thuộc một đường conic khi và chỉ khi d0 = e > 0. 1. Nếu e 1, đường conic gọi là đường hyperbola. Khoảng cách d(M, N) giữa hai điểm M và N thường được viết lại một cách đơn giản MN nếu không có gì gây nhầm lẫn. ĐƯỜNG PARABOLA. Phương trình chính tắc của parabola. Dựng đường thẳng qua F vuông góc với l và cắt l tại K. Gọi O là trung điểm của F K, ta có O là một điểm thuộc parabola. Chọn hệ trục tọa độ Descartes với O là gốc tọa độ còn đường thẳng FK là trục Ox như hình vẽ ??. Gọi khoảng cách từ F đến l là 2p. Khi đó F có tọa độ là (p, 0) và đường thẳng l có phương trình là x = −p. Giả sử M là một điểm trên parabola và R là hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng l. Khi đó phương trình của parabola có thể tìm được nhờ đẳng thức FM = MR, tức là p(x − p)2 + y2 = p + x, hay y2 = 4px. Do đó, ta có định lý sau: 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) y R M K O F x l Hình 2.1: Xác định Parabola. −→ −→ Định lý 2.0.2. Trong mặt phẳng tồn tại một mục tiêu trực chuẩn {O; e1 , e2 } sao cho phương trình một parabola cho trước có dạng y2 = 4px. (2.7) Phương trình 2.7 được gọi là phương trình dạng chính tắc của parabola. Chú ý rằng nếu chúng ta chọn đường thẳng FK làm trục Oy thì phương trình của parabola sẽ có dạng: x2 = 4py. Chúng ta có các khái niệm sau: 1. điểm O(0, 0) được gọi là đỉnh (vertex) của parabola; 2. điểm F (p, 0) gọi là tiêu điểm (focus) của parabola; 3. đường thẳng x = −p gọi là đường chuẩn (directrix); 4. đoạn thẳng nối hai điểm trên parabola gọi là một dây cung (chord); 5. dây cung đi qua tiêu điểm gọi là dây cung tiêu (focal chord); 6. đoạn thẳng nối tiêu cự với một điểm trên parabola gọi là một bán kính tiêu (focal radius); 7. khoảng cách từ tiêu cự đến đường chuẩn gọi là nửa đường chuẩn (latus rectum) Tiếp tuyến. Đối với các đường conic chúng ta sẽ xem tiếp tuyến như là giới hạn của cát tuyến. Cho M là một điểm trên đường conic, chúng ta định xác định tiếp tuyến của đường conic tại M 4
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) như sau: Lấy điểm Q trên đường conic, dựng đường thẳng MQ. Cho Q tiến về M khi đó đường thẳng MQ có giới hạn là một đường thẳng MT. Ta gọi đường thẳng MT là tiếp tuyến của đường conic tại M. Khi cát tuyến MQ đạt đến giới hạn là tiếp tuyến thì điểm Q trùng với điểm M. Vì thế chúng ta có thể nói tiếp tuyến cắt đường conic tại một điểm kép. Chú ý rằng với một đường cong bất kỳ, tiếp tuyến có thể cắt đường cong tại một điểm với số bội là ba. Q Q M T M T Chúng ta sẽ gọi độ dốc của tiếp tuyến của đường conic tại điểm M là độ dốc của đường conic tại M. 2 2p Bài tập 2.1. 1. Chứng minh rằng độ dốc m của parabola y = 4px tại điểm M(x1, y1) là . y1 2 2. Chứng minh rằng phương trình của tiếp tuyến của parabola y = 4px tại điểm M(x1, y1) là y1y = 2p(x + x1). 3. Chứng minh phương trình tiếp tuyến của parabola y2 = 4px có độ dốc m là p y = mx + . m 2 4. Hãy xác định phương trình pháp tuyến của parabola y = 4px tại điểm M(x1, y1). Một số tính chất cơ bản của đường parabola. Chúng ta sẽ điểm qua một số tính chất cơ bản của parabola. Một số tính chất sẽ được để lại cho bạn đọc chứng minh như là các bài tập. 1. Từ phương trình của parabola ta thấy parabola có một trục đối xứng là trục Ox 2. Parabola có tính chất phản xạ (xem Bài tập 2.2). 3. (Tính chất đường kính liên hợp) Trung điểm của một họ các dây cung song song nằm trên một đường thẳng song song với trục Ox. Tính chất này được dùng để dựng trục của parabola. Thật vậy, giả sử họ dây cung có độ dốc là m. Khi đó một dây cung có phương trình dạng y = mx + b. Giao điểm của dây cung với parabola có tung độ là nghiệm của phương trình my2 − 4py + 4pb = 0. 2p Từ đây dễ thấy trung điểm của dây cung có tung độ y = m . Tức là các trung điểm đều nằm 2p trên đường thẳng y = m . 5
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Bài tập 2.2. Cho các đối tượng như hình vẽ dưới đây l R M S T K O F Q N x Chứng minh các kết quả sau đây: 1. O là trung điểm của T Q. 2. Pháp tuyến tại điểm M (đường thẳng MN) là phân giác của ∠(FMS). Đây là tính chất phản xạ của parabola. Tính chất này được ứng dụng trong việc thiết kế các antenna parabola hoặc các đèn pha ô tô. 3. QN = 2p. 6
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) y M R x A F’ O F B K l Hình 2.2: Xác định Ellipse. ĐƯỜNG ELLIPSE. Phương trình chính tắc. Dựng đường thẳng qua F vuông góc với l và cắt l tại K. Khi đó tồn tại hai điểm A, B trên đường thẳng KF sao cho AF/AK = BF/BK = e < 1. Như vậy A và B nằm trên ellipse. Gọi R là hình chiếu vuông góc của M lên l. Đặt 2a = AB và gọi O là trung điểm của đoạn AB. Chúng ta tính được a KO = , e và FO = ae. Chúng ta chọn hệ tọa độ Descartes Oxy với trục Ox là đường thẳng FK như hình vẽ 2.2. Khi đó phương trình của ellipse có thể tìm được nhờ đẳng thức FM = eMR. Vì F có tọa độ (ae, 0) nên MF = p(x − ae)2 + y2. a Vì MR = KO − x = e − x nên eMR = a − ex. Do đó p(x − ae)2 + y2 = (a − ex)2, hay (1 − e2)x2 + y2 = a2(1 − e2). (2.8) Đặt b2 = a2(1 − e2) và chia cả hai vế phương trình 2.13 cho a2b2 ta đi đến Định lý sau: 7
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) −→ −→ Định lý 2.0.3. Trong mặt phẳng tồn tại một mục tiêu trực chuẩn {O; e1 , e2 } sao cho phương trình ellipse có dạng x2 y2 + = 1, a ≥ b > 0. (2.9) a2 b2 Phương trình 2.14 được gọi là phương trình dạng chính tắc của ellipse. Chú ý rằng nếu chúng ta chọn đường thẳng FK làm trục Oy thì phương trình của ellipse sẽ có dạng y2 x2 + = 1, a ≥ b > 0. (2.10) a2 b2 Chúng ta có các khái niệm sau: 1. điểm O(0, 0) được gọi là tâm (center) của ellipse; 2. số thực a được gọi là bán trục lớn (semi-major axis); 3. số thực b được gọi là bán trục nhỏ (semi-minor axis); 4. Các điểm có tọa độ (±a, 0) và (0, ±b) gọi là các đỉnh (vertex) của ellipse; 5. trục tọa độ chứa hai tiêu điểm gọi là trục lớn (major axis), trục tọa độ còn lại gọi là trục nhỏ (minor axis); √ 6. số thực 2c = 2 a2 − b2 được gọi là tiêu cự (focal distance); 7. các điểm F 0(−c, 0) và F (c, 0) gọi là các tiêu điểm (focus); c q b2 8. số thực e = a = 1 − a2 được gọi là tâm sai (eccentricity); a a 9. đường thẳng x = − e gọi là đường chuẩn trái và đường thẳng x = e gọi là đường chuẩn phải; 0 a 10. tiêu điểm F (−c, 0) và đường chuẩn x = − e (cũng như tiêu điểm F (c, 0) và đường chuẩn a x = e ) được gọi là cùng một phía (same side); b2 11. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn cùng phía, p = c , được gọi là tham số tiêu (focal parameter); b2 12. số thực q = a được gọi là nửa đường chuẩn (semi-latus rectum). 2 2 2 x y b x1 Bài tập 2.3. 1. Chứng minh rằng độ dốc m của ellipse 2 + 2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là − 2 . a b a y1 x2 y2 2. Chứng minh rằng phương trình của tiếp tuyến của ellipse a2 + b2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là xx yy 1 + 1 = 1. a2 b2 x2 y2 3. Chứng minh rằng phương trình của pháp tuyến của ellipse a2 + b2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là 2 a y1 y − y1 = 2 (x − x1). b x1 8
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Đường chuẩn Trục nhỏ Đường chuẩn r’/e p r’ Q Trục lớn O F F’ c b a a/e Hình 2.3: Ellipse và các đối tượng. x2 y2 4. Chứng minh phương trình tiếp tuyến của ellipse a2 + b2 = 1 có độ dốc m là √ y = mx ± a2m2 + b2. Một số tính chất cơ bản của đường ellipse. Chúng ta sẽ điểm qua một số tính chất cơ bản của ellipse có nhiều ứng dụng. Một số tính chất sẽ được để lại cho bạn đọc chứng minh như là các bài tập. 1. Từ phương trình của ellipse dễ thấy ellipse có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. Khi a = b, ta có đường tròn x2 + y2 = a2. (2.11) Khi đó mọi đường thẳng qua tâm đường tròn đều là trục đối xứng. 2. Đoạn thẳng nối một điểm thuộc ellipse với một tiêu điểm gọi là bán kính tiêu. Chúng ta có bán kính tiêu bên phải r0 (ứng với F 0) và bán kính tiêu bên trái r (ứng với F ). Dễ thấy rằng r0 = a + ex, r = a − ex. Do đó r0 + r0 = 2a. Chúng ta cũng chứng minh được rằng (tham khảo trong các tài liệu về HGT ở PTTH) trên mặt phẳng tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F 0,F bằng một hằng số 2a > d(F, F 0) là một ellipse. Hai điểm cố định F 0,F là hai tiêu điểm, còn số thực a sẽ là bán trục lớn. Tính chất này của ellipse thường được dùng làm định nghĩa cho đường ellipse trong các sách viết về Hình học giải tích ở PTTH. 9
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Hình 2.4: The National Statuary Hall Collection. a r0 3. Khoảng cách từ một điểm trên ellipse đến đường chuẩn trái x = − e là e và khoảng cách a r từ một điểm trên ellipse đến đường chuẩn phải x = e là e . Từ đây suy ra tỉ số giữa khoảng cách từ điểm trên ellipse đến tiêu điểm và đường chuẩn cùng phía luôn luôn là hằng số, đó là tâm sai. 4. (Tính chất phản xạ) Pháp tuyến của ellipse tại một điểm M nằm trên ellipse là đường phân 0 giác của góc ∠(F MF ). Tính chất này có một ý nghĩa vật lý quan trọng. Nếu hình dung ellipse như là một tấm gương thì mọi tia sáng phát xuất từ một tiêu điểm sẽ có tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại. Vì không có đường cong nào khác có tính chất như vậy nên tính chất này có thể dùng để đặc trưng cho một ellipse. Sóng âm cũng phản xạ một cách tương tự, cho nên trong một căn phòng lớn dạng ellipse, một người đứng ở một tiêu điểm sẽ nghe tiếng nói của người đứng ở tiêu điểm kia rõ nhất. Một ví dụ về căn phòng như vậy là Hội Trường Sưu Tập Tượng Quốc Gia (the National Statuary Hall Collection) ở Trụ Sở Quốc Hội Hoa Kỳ (the U.S. Capitole) ( xem hình 2.4). Tính chất này cũng được dùng để dựng tiếp tuyến của một ellipse tại một điểm trên đường ellipse. Cách dựng được minh họa ở hình 2.5 5. (Tính chất đường kính liên hợp) Một dây cung đi qua tâm của ellipse gọi là một đường kính. Một đường kính sẽ xác định một họ các dây cung song song với nó. Trung điểm của họ các dây cung nằm trên một đường kính khác của ellipse gọi là đường kính liên hợp với đường kính đã cho. Tính chất này có thể được dùng để dựng tâm và tiếp tuyến của ellipse. Bài tập 2.4. Chứng minh rằng ellipse là tập hợp tất cả các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F 0,F là một hằng số 2a. 10
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Pháp tuyến Tiếp tuyến O F’ F Hình 2.5: Dựng tiếp tuyến của ellipse. M F’ F Hình 2.6: Vẽ ellipse bằng đinh ghim, sợi dây và bút chì. 11
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) y b a x Hình 2.7: Phương pháp đường tròn đồng tâm dựng đường ellipse. Bài tập 2.5. Chứng minh tính chất phản xạ của ellipse. Bài tập 2.6. Chứng minh tính chất đường kính liên hợp của ellipse. Giả sử đã có hình ellipse, dùng tính chất này hãy nêu cách dựng tâm của ellipse và tiếp tuyến tại một điểm trên ellipse. Bài tập 2.7. Biết hình dạng ellipse hãy dựng các trục, tiêu điểm, đường chuẩn của ellipse. Một số phương pháp vẽ đường ellipse. 1. Dựa vào tính chất “ellipse là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định là một hằng số lớn hơn khoảng cách hai điểm cố định” chúng ta có một cách để vẽ hình ellipse với hai cái đinh ghim, một sợi dây khép kín và bút chì. Hai đinh ghim được cố định như là hai tiêu điểm bên trong sợi dây. Bút chì được đặt bên trong sợi dây ở vị trí sao cho sợi dây được kéo căng. Khi đó sợi dây sẽ tạo thành một tam giác. Di chuyển bút chì sao cho sợi dây vẫn được kéo căng. Bút chì sẽ vạch nên một đường ellipse. 2. Từ phương trình chính tắc của ellipse ta dễ nhận thấy ellipse có một phương trình tham số dạng ( x = a cos θ . (2.12) y = b sin θ Từ phương trình dạng tham số 2.12 ta có phương pháp đường tròn đồng tâm dựng đường ellipse được mô tả như ở hình vẽ 2.7 Chúng ta còn có các cách vẽ đường ellipse bằng cách dùng thước vẽ ellipse (Bài tập 2.8) và dùng phương pháp hình bình hành (parallelogram method) (Bài tập 2.9). 12
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) M b O a B A Hình 2.8: Thước vẽ ellipse. Khi điểm A trượt trên trục tung, điểm B trượt trên trục hoành thì điểm M sẽ vẽ đường ellipse. Bài tập 2.8. Hãy giải thích nguyên lý thước vẽ ellipse (xem hình vẽ 2.8). Bài tập 2.9. Hãy giải thích nguyên lý của phương pháp hình bình hành được mô tả ở hình vẽ 2.9. 13
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) A C sb M B sa O G D Hình 2.9: Phương pháp hình bình hành. Khi s biến thiên từ 0 đến 1, điểm M sẽ vẽ 1/4 đường ellipse. ĐƯỜNG HYPERBOLA Phương trình chính tắc của hyperbola. Dựng đường thẳng qua F vuông góc với l và cắt l tại K. Khi đó tồn tại hai điểm A, A0 trên đường thẳng KF sao cho AF/AK = A0F/A0K = e > 1. Như vậy A và A0 nằm trên hyperbola. Gọi R là hình chiếu vuông góc của M lên l. Đặt 2a = AA0 và gọi O là trung điểm của đoạn AA0. Chúng ta tính được a KO = , e và FO = ae. Chúng ta chọn hệ tọa độ Descartes Oxy với trục Ox là đường thẳng FK như hình vẽ 2.10. Khi đó phương trình của hyperbola có thể tìm được nhờ đẳng thức FM = eMR. Vì F có tọa độ (ae, 0) nên MF = p(x − ae)2 + y2. a Vì MR = OM − OK = x − e nên eMR = ex − a. Do đó p(x − ae)2 + y2 = (ex − a)2, 14
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) y R M A’ A F’ K’ O K F x l’ l Hình 2.10: Xác định Hyperbola . hay (e2 − 1)x2 − y2 = a2(e2 − 1). (2.13) Đặt b2 = a2(e2 − 1) và chia cả hai vế phương trình 2.13 cho a2b2 ta đi đến Định lý sau: −→ −→ Định lý 2.0.4. Trong mặt phẳng tồn tại một hệ tọa độ trực chuẩn {O; e1 , e2 } sao cho phương trình hyperbola có dạng x2 y2 − = 1, a, b > 0. (2.14) a2 b2 Phương trình 2.14 được gọi là phương trình dạng chính tắc của hyperbola. Chúng ta có các khái niệm sau: 1. điểm O(0, 0) được gọi là tâm (center) của hyperbola; 2. số thực a được gọi là bán trục thực (semi-real (major) axis); 3. số thực b được gọi là bán trục ảo hay trục liên hợp (semi-conjugate (minor) axis); 4. Các điểm A(a, 0) và A0(−a, 0) gọi là các đỉnh (vertex) của hyperbola; 5. trục tọa độ chứa hai tiêu điểm gọi là trục thực (real (major) axis), trục tọa độ còn lại gọi là trục ảo hay trục liên hợp (conjugate (minor) axis); √ 6. số thực 2c = 2 a2 + b2 được gọi là tiêu cự (focal distance); 7. các điểm F 0(−c, 0) và F (c, 0) gọi là các tiêu điểm (focus); c q b2 8. số thực e = a = 1 + a2 được gọi là tâm sai (eccentricity); a a 9. đường thẳng x = − e gọi là đường chuẩn trái và đường thẳng x = e gọi là đường chuẩn phải; 15
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) 0 a 10. tiêu điểm F (−c, 0) và đường chuẩn x = − e (cũng như tiêu điểm F (c, 0) và đường chuẩn a x = e ) được gọi là cùng một phía (same side); b2 11. khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn cùng phía, p = c , được gọi là tham số tiêu (focal parameter); b2 12. số thực q = a được gọi là nửa đường chuẩn (semi-latus rectum). x2 y2 Bài tập 2.10. 1. Chứng minh rằng độ dốc m của hyperbola a2 − b2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là 2 b x1 − 2 . a y1 x2 y2 2. Chứng minh rằng phương trình của tiếp tuyến của hyperbola a2 − b2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là xx yy 1 − 1 = 1. a2 b2 x2 y2 3. Chứng minh rằng phương trình của pháp tuyến của hyperbola a2 + b2 = 1 tại điểm M(x1, y1) là 2 a y1 y − y1 = − 2 (x − x1). b x1 4. Chứng minh phương trình tiếp tuyến của hyperbola y2 = 4px có độ dốc m là √ y = mx ± a2m2 − b2. x2 y2 Tiệm cận của hyperbola. Hyperbola a2 − b2 = 1 có hai đường tiệm cận b y = ± x. a b Lấy P, Q và R là ba điểm lần lượt trên hyperbola và trên đường tiệm cận y = a x và trên trục Ox (xem hình vẽ) có cùng hoành độ x. Chúng ta sẽ chứng minh độ dài PQ dần về 0 khi x dần ra vô cùng. √ bh b x2−a2 Ta có Q(x, a ),P (x, a ). Do đó b √ PQ = RQ − RP = (x − x2 − a2). a Nhưng √ √ √ (x − x2 − a2)(x + x2 − a2) a2 x − x2 − a2 = √ = √ x + x2 − a2 x + x2 − a2 dần về 0 khi x dần ra vô cùng. Do đó PQ dần về 0 khi x dần ra vô cùng. 16
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) y Q P O R x Hình chữ nhật cơ sở. Các đường thẳng vuông góc với trục Ox tại các đỉnh A và A0 cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập nên một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 2a và 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hyperbola. A’ A x Hyperbola liên hợp. Hai hyperbola x2 y2 x2 y2 − = 1 và − = 1 a2 b2 b2 a2 có mối quan hệ gần gủi với nhau. Trục thực và trục ảo của hyperbola này là trục ảo và trục thực của hyperbola kia. Chúng có chung hình chữ nhật cơ sở và do đó có chung hai đường tiệm cận. Chúng được gọi là hai hyperbola liên hợp với nhau. Hyperbola vuông. Hyperbola có bán trục thực và bán trục ảo bằng nhau gọi là một hyperbola vuông hay hyperbola đều (rectangular hay equilateral hyperbola). Dễ nhận thấy hai đường tiệm cận của một hyperbola vuông là vuông góc với nhau và hình chữ nhật cơ sở là hình vuông. 17
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Một số tính chất cơ bản của đường hyperbola. 1. Từ phương trình của hyperbola dễ thấy hyperbola có hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. 2. Đoạn thẳng nối một điểm thuộc hyperbola với một tiêu điểm gọi là bán kính tiêu. Chúng ta có bán kính tiêu bên phải r0 (ứng với F 0) và bán kính tiêu bên trái r (ứng với F ). Giả sử điểm thuộc nhánh bên phải của hyperbola, tính toán trực tiếp cho thấy r0 = a + ex, r = ex − a. Do đó r0 − r = 2a. Tương tự cho trường hợp điểm thuộc nhánh trái, ta có r − r0 = 2a. Chúng ta cũng chứng minh được rằng (tham khảo trong các tài liệu về HGT ở PTTH) trên mặt phẳng tập hợp các điểm có giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách đến hai điểm cố định F 0,F bằng một hằng số 2a < d(F, F 0) là một hyperbola. Hai điểm cố định F 0,F là hai tiêu điểm, còn số thực a sẽ là bán trục thực. Tính chất này của hyperbola thường được dùng làm định nghĩa cho đường hyperbola trong các sách viết về Hình học giải tích ở PTTH. a r0 3. Khoảng cách từ một điểm trên hyperbola đến đường chuẩn trái x = − e là e và khoảng cách a r từ một điểm trên ellipse đến đường chuẩn phải x = e là e . Từ đây suy ra tỉ số giữa khoảng cách từ điểm trên ellipse đến tiêu điểm và đường chuẩn cùng phía luôn luôn là hằng số, đó là tâm sai. 4. Tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của hyperbola là phân giác của hai bán kính tiêu đi qua điểm đó. y P F’ O F x T 18
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) 5. (Tính chất đường kính liên hợp) Một dây cung đi qua tâm của hyperbola gọi là một đường kính. Một đường kính sẽ xác định một họ các dây cung song song với nó. Trung điểm của họ các dây cung nằm trên một đường kính khác của hyperbola gọi là đường kính liên hợp với đường kính đã cho. Tính chất này có thể được dùng để dựng tâm và tiếp tuyến của hyperbola. Bài tập 2.11. Chứng minh rằng hyperbola là tập hợp tất cả các điểm có giá trị tuyệt đối của hiệu hai khoảng cách đến hai điểm cố định F 0,F là một hằng số 2a. Bài tập 2.12. Chứng minh tính chất tiếp tuyến là phân giác của hai bán kính tiêu của hyperbola. Bài tập 2.13. Chứng minh tính chất đường kính liên hợp của hyperbola. Giả sử đã có hình hyperbola, dùng tính chất này hãy nêu cách dựng tâm của hyperbola và tiếp tuyến tại một điểm trên hyperbola. Bài tập 2.14. Biết hình dạng hyperbola hãy dựng các trục, tiêu điểm và đường chuẩn của nó. 19
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Hình học giải tích phẳng Chú ý. Tài liệu đang ở trong giai đoạn soạn thảo, nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong các bạn sinh viên và đồng nghiệp góp ý để bản thảo sớm trở nên hoàn chỉnh hơn. Trong chương này, các điểm cũng như các vector đều thuộc mặt phẳng E2. 2.0.1 Đường cong đại số Đường cong đại số là đường cong mà phương trình xác định nó là một đa thức của hai biến x, y. Khi đó bậc của đa thức sẽ được gọi là bậc của đường cong. Đường cong đại số là trường hợp 1-chiều của khái niệm đa tạp đại số, đối tương nghiên cứu của hình học đại số, môn học dùng đại số như là công cụ chính để nghiên cứu hình học. Theo cách hiểu như vậy, thì hình học giải tích là một bộ phận của hình học đại số nhưng chỉ sử dụng Đại số tuyến tính như là công cụ chính để nghiên cứu các đường cong đại số, các mặt đại số trong không gian 3-chiều. Các thành tựu chính của đại số tuyến tính tập trung ở các đối tượng bậc nhất, các hệ phương trình tuyến tính và các bậc hai, các dạng toàn phương. Vì thế Hình học Giải tích, cũng như các hình học dùng Đại số tuyến tính như công cụ nghiên cứu (Hình học affine và Euclid, Hình học xạ ảnh) chỉ tập trung khảo sát về đường thẳng, mặt phẳng và tổng quát là m-phẳng (bậc nhất) và các đường bậc hai, mặt bậc hai và tổng quát là các siêu mặt bậc hai. Chúng ta đã khảo sát các đường cong đại số bậc nhất (đường thẳng) và một số đường cong đại số bậc hai (đường elllipse, hyperbola, parabola). Mục này nhằm giới thiệu một số đường cong đại số nổi tiếng có bậc lớn hơn. ĐƯỜNG CISSOID CỦA DIOCLES Đường cong này được phát hiện bởi nhà Diocles, một toán học Hy lạp của thể kỷ thứ hai trước công nguyên khi tìm lời giải cho bài toán gấp đôi một hình lập phương: Tìm cạnh của hìnn lập phương có thể tích gấp đôi một hình lập phương cho trước. Vì thế đường cong này còn được gọi là đường Cissoid của Diocles (Cissoid of Diocles). Cho đường tròn đường kính OK, bán kính r và gọi KH là tiếp tuyến của đường tròn tại K. Lấy R 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) là một điểm trên KH. Đường thẳng OR cắt đường tròn tại điểm S. Lấy điểm P trên OR sao cho OP = SR. Khi đó quỹ tích của điểm P khi R chạy trên đường thẳng KH gọi là đường Cissoid. y D Q R M B S P y O x K K x N C Để tìm phương trình của đường Cissoid ta chọn hệ trục tọa độ Descartes như sau: trục Ox là đường thẳng KH, trục Oy là đường thẳng qua O vuông góc với KH. Gọi N là hình chiếu của S lên KH, và (x, y) là tọa độ của điểm P, ta có y NS = . x ON Do SR = OP, nên suy ra ON = 2r − x. Do tam giác OSN vuông tại S và SN là đường cao nên NS2 = ON.NK = (2r − x)x. Từ đây chúng ta suy ra phương trình của Cissoid x3 y2 = (2.1) 2r − x Từ phương trình 2.1, ta suy ra đường cissoid đối xứng qua trục Ox, và có đường tiệm cận đứng là x = 2r. BÀI TOÁN GẤP ĐÔI HÌNH LẬP PHƯƠNG Hãy dựng hình lập phương có thể tích gấp đôi một hình lập phương cho trước. Chúng ta sẽ dựng cạnh của hình lập phương thứ hai nhờ vào đường cissoid như sau 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) 1. Dựng hai điểm C và B sao cho CB là độ dài của hình lập phương thứ nhất. 2. Dựng đường tròn C1 tâm C bán kính CB. 3. Dựng hai điểm O và K trên đường tròn sao cho OK vuông góc với CB. 4. Dựng đường cissoid bằng cách dùng đường tròn C1 và tiếp tuyến KH tại K. 5. Dựng điểm D sao cho B là trung điểm của CD. 6. Dựng đường thẳng KD và gọi Q là giao điểm của đường cissoid với đường thẳng KD. (Chú ý rằng giao điểm Q không thể dựng được bằng thước và compass). 7. Gọi giao điểm của CD và OQ là M. Chúng ta có thể chứng minh CM 3 = 2CB3 với kiến thức của hình học giải tích và hình học sơ cấp. ĐƯỜNG CONCHOID CỦA NICOMEDES Cho l là một đường thẳng, O là một điểm ngoài đường thẳng l và c là một số thực dương. Giả sử R là một điểm chạy trên đường thẳng ∆ và P là điểm nằm trên đường thẳng OR sao cho RP = c. Khi đó quỹ tích của điểm P được gọi là đường conchoid của Nocomedes. y P P M R R M ll x B O P B O Chọn hệ trục tọa độ Descartes như hình vẽ. Ký hiệu a là khoảng cách từ O đến l và (x, y) là tọa độ của điểm P. Dựng các đối tượng như hình vẽ. Chúng ta có hai điểm P nằm về hai phía của đường thẳng l. Ta có OP BP = , RP MP tức là px2 + y2 y = , c y − a hay là (x2 + y2)(y − a)2 = c2y2. (2.2) 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Đây là phương trình của đường conchoid của Nicomedes. Phương trình 2.2 có thể viết lại dưới dạng c2y2 − y2(y − a)2 x2 = , (y − a)2 mà từ đây chúng ta có thể nhận thấy rằng: 1. đường conchoid của Nicomedes đối xứng qua trục Oy; 2. đường thẳng y = a, tức là đường thẳng l, là đường tiệm cận của cả hai nhánh của đường conchoid của Nicomedes. BÀI TOÁN CHIA BA MỘT GÓC. Đường conchoid được phát hiện bởi Nicomedes, một nhà toán học Hy lạp, vào khoảng 200 năm trước công nguyên nhằm mục đích giải bài toán gấp đôi hình lập phương và chia ba một góc. A S B K R Q l O Giả sử chúng ta cần chia ba góc AOB. Lấy Q là một điểm trên OB và qua Q dựng đường thẳng vuông góc với OA cắt OA tại K. Lấy điểm A trên OA sao cho KA = 2OQ (xem hình vẽ). Dựng đường conchoid với điểm O, đường thẳng QK và hằng số c = KA. Tại Q dựng đường thẳng vuông góc với QK cắt đường conchoid tại P. Khi đó OP là đường chia ba góc AOB. Thật vậy, gọi S là trung điểm của đoạn P R. Ta có 1 1 QS = SP = RP = KA = OQ, 2 2 và ∠SOQ = ∠QSO = 2∠QP S = 2∠AOP. Do đó 1 AOP = AOB. ∠ 3∠ ĐƯỜNG LEMNISCATE CỦA BERNOULLI. 4
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Cho đường Hyperbola H, và M là một điểm chạy trên H. Kẻ tiếp tuyến của H tại M và kẻ đường vuông góc với tiếp tuyến đi qua O. Giao diểm của chúng là P. Khi M chạy trên H thi điểm P sẽ vạch một đường cong gọi là đường Lemniscate của Bernoulli. Đường cong này được phát hiện bởi Jacques Bernoulli (1654-1705). Giả sử phương trình của hyperbola H là x2 − y2 = a2. Phương trình của tiếp tuyến tại điểm x1, y1) là 2 x1x − y1y = a , (2.3) do đó phương trình của đường vuông góc là x1y + y1x = 0. (2.4) Giao điểm P có tọa độ (x, y) là nghiệm của 2.3 và 2.4. Ta tính được a2x a2y x = , y = . 1 (x2 + y2 1 (x2 + y2 2 2 2 Do x1 − y1 = a nên (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). 5
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Hình học giải tích phẳng −→ −→ Bài tập 2.1. Cho tam giác ABC. Chọn {A; AB, AC} làm mục tiêu affine. Hãy xác định tọa độ của: 1. các điểm A, B, C; 2. trung điểm các cạnh; 3. trọng tâm của tam giác. 2 −→ −→ Bài tập 2.2. Trong mặt phẳng affine A với mục tiêu affine {O; e1 , e2 }, cho ba điểm A(0, 1), B(1, 2), C(2, −1). 1. Hãy xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành. −→ −→ 2. Hãy xác định công thức đổi tọa độ từ mục tiêu đã cho sang mục tiêu {A; AB, AC}. −→ −→ 3. Tìm tọa độ của điểm O đối với mục tiêu {A; AB, AC}. 4. Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC (đối với mục tiêu đã cho). 2 −→ Bài tập 2.3. Trong mặt phẳng affine A với mục tiêu affine {O; e1 , hãy viết phương trình tham số và tổng quát và phương trình dạng chính tắc (nếu có) của đường thẳng: 1. Đi qua hai điểm A(1, −2),B(2, 1). 2. Đi qua điểm A(−1, 2) với vector chỉ phương v(3, −2). 3. Đi qua điểm A(3, 1) và song song với đường thẳng có phương trình 2x − y + 5 = 0. 2 −→ −→ Bài tập 2.4. Trong mặt phẳng affine A với mục tiêu affine {O; e1 , e2 }, cho tam giác ABC. Biết điểm A(1, 1), và phương trình của hai đường trung tuyến là x = t +1 d : ; d0 : x − y + 3 = 0. y = 2t −1 Hãy viết phương trình của đường trung tuyến thứ ba và các cạnh của tam giác. 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) 2 −→ Bài tập 2.5. Trong mặt phẳng affine A với mục tiêu affine {O; e1 , cho hai đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0, d0 : Ax + 3y − 4 = 0. Hãy xác định A để hai đường thẳng d và d0 song song, cắt nhau, trùng nhau. 2 −→ Bài tập 2.6. Trong mặt phẳng affine A với mục tiêu affine {O; e1 , cho hai đường thẳng phân biệt d và d0 thuộc chùm tâm I có phương trình lần lượt là Ax + By + C = 0,A0x + B0y + C0 = 0; A2 + B2 6= 0,A02 + B02 6= 0. Chứng minh rằng đường thẳng l thuộc chùm tâm I khi và chỉ khi phương trình của nó có dạng λ(Ax + By + C) + µ(A0x + B0y + C0) = 0, (2.1) trong đó λ2 + µ2 6= 0. Bài tập 2.7. Chứng minh rằng định nghĩa tâm tỉ cự không phụ thuộc vào điểm I. Bài tập 2.8. Chứng minh rằng điểm G là tâm tỉ cự của họ điểm {P1,P2, ,Pm} gắn với họ hệ số {λ1, λ2, . . . , λm} khi và chỉ khi G thoả mãn hệ thức −−→ −−→ −−→ −→ λ1GP1 + λ2GP2 + + λmGPm = 0 . (2.2) Bài tập 2.9. Xác định công thức tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Bài tập 2.10. Xác định công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Bài tập 2.11. Chứng minh rằng đoạn thẳng [PQ],P 6= Q là tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm {P, Q} gắn họ hệ số {λ, µ} với 0 ≤ λ, µ ≤ 1, λ + µ = 1. Bài tập 2.12. Cho tam giác ABC. Chia ba các cạnh và xét các đường thẳng nối các đỉnh và các điểm chia của cạnh đối diện. Các giao điểm của chúng lập thành một hình lục giác. Chứng minh ba đường chéo của lục giác này đồng quy tại một điểm. Bài tập 2.13. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 1 (MBC) = (NCA) = (P AB) = . 3 Chứng minh mỗi đoạn thẳng trong ba đoạn thẳng AM, BN, CP bị hai đoạn thẳng còn lại chắn thành ba đoạn có độ dài tỉ lệ 3 : 3 : 1. Bài tập 2.14. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho (BMC) = (CNA) = (AP B). Chứng minh tam giác tạo thành bởi ba đường thẳng AM, BN, CP và tam giác ABC có cùng trọng tâm. 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Bài tập 2.15. Định lý Pappus Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d0 cắt nhau tại O. Giả sử A, B, C là 3 điểm thuộc d; A0,B0,C0 là 3 điểm thuộc d0. M, N, P lần lượt là giao điểm của B0C với BC0, CA0 với C0A và A0B với AB0. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài tập 2.16. Định lý Desargues Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC và A0B0C0. Giả sử M, N, P lần lượt là giao điểm của BC với B0C0, CA với C0A0 và AB với A0B0. Chứng minh M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi AA0, BB0,CC0 đồng quy hoặc song song. Bài tập 2.17. Định lý Thales Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng d và d0 phân biệt. Gọi a, b, c là ba đường thẳng song song lần lượt cắt d, d0 tại hai bộ ba điểm A, B, C và A0,B0,C0. Chứng minh rằng (ABC) = (A0B0C0). Bài tập 2.18 (Định lý Ceva). Cho tam giác ABC, và các điểm D, E và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA và AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BE và CF đồng qui khi và chỉ khi (ABF )(BCD)(CAE) = −1. Bài tập 2.19 (Định lý Menelaus). Cho tam giác ABC, và các điểm D, E và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA và AB tương ứng. Chứng minh rằng các điểm D, E và F thẳng hàng khi và chỉ khi (ABF )(BCD)(CAE) = 1. Bài tập 2.20. Cho tam giác ABC. Trên BC và AP lần lượt lấy P và M. Hai đường thẳng lần lượt qua P, B và song song với CM, AP cắt nhau tại B0. Hai đường thẳng lần lượt qua P, C song song với BM, AP cắt nhau tại C0. lấy I, J, K là các trung điểm của các đoạn thẳng P M, BB0,CC0. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng và M, B0,C0 cũng thẳng hàng. Bài tập 2.21. Chứng minh các nhận xét sau: 1. Phép tịnh tiến là một song ánh. −→ −→ 2. Khi v = 0 ,T−→v chính là phép đồng nhất của mặt phẳng. −→ −→ 3. Nếu v 6= 0 thì T−→v không có điểm bất động (M gọi là điểm bất động nếu T−→v (M) = M). −→ −→ 4. Với mọi vector v , u , ta có T−→v ◦ T−→u = T−→u ◦ T−→v = T−→u +−→v . −→ −1 5. Với mọi v , ta có (T−→v ) = T−−→v . Bài tập 2.22. Cho f là song ánh thỏa điều kiện với bất kì cặp điểm M, N nào nằm trong mặt −−→ −−−−−−−→ −−−−→ −−−−−→ phẳng ta đều có MN cùng phương với f(M)f(N) và Nf(N) cùng phương với Mf(M). Chứng minh f là phép tịnh tiến. Bài tập 2.23. Cho f là song ánh, −→v là một vector cho trước. Chứng minh rằng nếu f giữ bất động mọi đường thẳng có phương −→v nhưng f không có điểm bất động nào thì f là phép tịnh tiến. Bài tập 2.24. Chứng minh các nhận xét sau đây: 1. Khi λ = 1, phép vị tự f chính là phép đồng nhất Id. Nếu λ 6= 1, phép vị tự có một điểm bất động duy nhất chính là tâm vị tự của nó. 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) 2. Nếu f là phép vị tự tâm I tỷ số λ và g là phép vị tự tâm I tỷ số µ, thì f ◦ g = g ◦ f là phép vị tự tâm I tỷ số λµ. −1 1 3. Nếu f là phép vị tự tâm I tỷ số λ thì f là phép vị tự tâm I tỷ số λ . Bài tập 2.25. 1. Chứng minh tích của của một phép tịnh tiến và một phép vị tự là một phép tịnh tiến hoặc một phép vị tự. Cho ví dụ minh họa. 2. Chứng minh tích của phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 và phép vị tự tâm O2 tỉ số k2 (k1k2 6= 1) là một phép vị tự. Xác định tâm và tỉ số vị tự. Cho ví dụ minh họa. Bài tập 2.26. Chứng minh rằng: −→ −−−→ 1. Tích hai phép đối xứng qua O1 và O2 là một phép tịnh tiến theo vector v = 2O1O2. Ngược lại, mỗi phép tịnh tiến theo vector −→v đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng −→ −−−→ qua hai điểm O1,O2 sao cho v = 2O1O2. 2. Tích của phép tịnh tiến theo vector −→v và phép đối xứng qua điểm O là phép đối xứng qua −→ 1 điểm I sao cho IO = −→v . 2 3. Tích của phép đối xứng qua điểm O và phép tịnh tiến theo vector −→v là phép đối xứng qua −→ 1 điểm J sao cho OJ = −→v . 2 4. Suy ra tích của một số chẵn các phép đối xứng qua điểm là một phép tịnh tiến, tích của một số lẻ các phép đối xứng qua điểm là một phép đối xứng qua điểm. Bài tập 2.27. Cho hai đường thẳng (d): x − y + 1 = 0, (l) : 2x − y + 5 = 0 và λ 6= 0. Hãy tìm biểu thức toạ độ của phép thấu xạ affine với cơ sở d, phương l và hệ số λ. Bài tập 2.28. Tìm tập tất cả các điểm bất động của phép thấu xạ qua đường thẳng d, phương l và hệ số λ. Bài tập 2.29. Chứng minh rằng với phép thấu xạ qua đường thẳng d thì đường thẳng nối ảnh và tạo ảnh là đường thẳng bất động, mỗi đường thẳng và ảnh của nó hoặc song song hoặc cắt nhau trên d. Bài tập 2.30. Chứng minh rằng khái niệm đường bậc hai không phụ thuộc vào việc chọn mục tiêu trong mặt phẳng. Bài tập 2.31. Cho đường bậc hai S có phương trình dạng: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Chứng minh rằng 1. S có tâm duy nhất nếu và chỉ nếu AC − B2 6= 0; 2. nếu AC − B2 = 0 thì S có vô số tâm hoặc không có tâm. 4
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) Bài tập 2.32. Hãy đưa các đường bậc hai sau về dạng chuẩn tắc, tìm tâm, phương tiệm cận và đương tiệm cận (nếu có) của chúng. 2 2 (S1): x + 4y + 2x − 4y + 1 = 0; 2 2 (S2) : 3x − 2xy − y + 6x + 2y − 1 = 0; 2 2 (S3): x + 2xy + 2y − 4x − 2y + 6 = 0; 2 2 (S4) : 9x + 6xy + 2y − 6x + 2y + 5 = 0; 2 (S5) : 3x − 6xy + 4x − 2y + 1 = 0; 2 2 (S6): x + 4xy + 4y − 2y − 4 = 0; 2 2 (S7): x − 4xy + 4y + 2x − 4y = 0; 2 2 (S8) : 4x − 4xy + y + 4x − 2y + 2 = 0; 2 2 (S9) : 9x + 12xy + 4y − 6x − 4y + 1 = 0. −→ Bài tập 2.33. Đường kính của một siêu mặt bậc hai (liên hiệp với phương c (c1, c2) không là −→ phương tiệm cận) là tập tất cả các trung điểm của các dây cung M1M2 có phương c chắn trên siêu mặt bậc hai đó. Hãy xác định đường kính của ba đường conic (ellipse, parabola, hyperbola). 5
MATHEDUCARE.COM Chương 1 Hình học giải tích phẳng Trong mục này các hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes. Bài tập 1.1. Chứng minh rằng với c11, c21, c12, c22 là các hệ số trong công thức đổi mục tiêu trực chuẩn, ta có 2 2 c11 + c12 = 1, 2 2 c21 + c22 = 1, c11c21 + c12c22 = 0. Bài tập 1.2. Trong mặt phẳng E2 viết phương trình của đường thẳng 1. đi qua điểm A(1, 2) và nhận vector −→n (1, 1) làm pháp vector; 2. đi qua điểm A(2, 3) và vuông góc với đường thẳng 2x − y + 6 = 0. Bài tập 1.3. Trong mặt phẳng E2 cho ba điểm A(1, 1),B(2, 3),C(2, 0). 1. Hãy viết phương trình các cạnh và phương trình các đường cao. 2. Tính độ dài các đường cao. 3. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài tập 1.4. Chứng minh rằng: A 1. Gradient của đường thẳng Ax + By + C = 0,B 6= 0 là − B . 2. Hai đường thẳng có gradient lần lượt là m và m0 vuông góc khi và chỉ khi mm0 = −1. Bài tập 1.5. Tìm điểm cách đều hai điểm A(−6, −1) và B(−1, 2) và cách điểm C(−2, 7) một khoảng bằng 5. Bài tập 1.6. 1. Trong 2, chứng minh diện tích của hình bình hành dựng trên hai vector −→a −→ E và b được tính theo công thức q −→ −→ S = −→a 2 b 2 − (−→a b )2. (1.1) 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích (version 1) M b O a B A Hình 1.1: Thước vẽ ellipse. Khi điểm A trượt trên trục tung, điểm B trượt trên trục hoành thì điểm M sẽ vẽ đường ellipse. −→ −→ 2. Trong trường hợp a (a1, a2), b (b1, b2), hãy viết công thức tính diện tích hình bình hành theo a1, a2, b1, b2. Bài tập 1.7. Cho tam giác ABC. Ký hiệu SAB,SBC ,SCA lần lượt là các phép đối xứng qua đường thẳng AB, BC, CA. Xét tích SAB ◦ SBC ◦ SCA := f. Chứng minh rằng rằng trung điểm của M và f(M) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài tập 1.8. Chứng minh tính chất phản xạ của ellipse. Bài tập 1.9. Chứng minh tính chất đường kính liên hợp của ellipse. Giả sử đã có hình ellipse, dùng tính chất này hãy nêu cách dựng tâm của ellipse và tiếp tuyến tại một điểm trên ellipse. Bài tập 1.10. Biết hình dạng ellipse hãy dựng các trục, tiêu điểm, đường chuẩn của ellipse. Bài tập 1.11. Hãy giải thích nguyên lý thước vẽ ellipse (xem hình vẽ 1.1). Bài tập 1.12. Hãy giải thích nguyên lý của phương pháp hình bình hành được mô tả ở hình vẽ 1.2. Bài tập 1.13. Cho hai đường thẳng l1 : y = m1x + c1, l2 : y = m2x + c2. Chứng minh rằng nếu l1 vuông góc với l2 thì m1m2 = −1. 2