›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

pdf 30 trang ngocly 20 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_4_cac_quy_luat_phan_phoi.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

  1. Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản 1. Phân phối đều rời rạc: X x1 x 2 xk 1 1 1 P 2. Phân phối khơng – một A(p): k k k Định nghĩa 1.1: X cĩ phân phối A(p) X 0 1 P q p Định lý 1.1: X cĩ phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q 3. Phân phối nhị thức B(n,p): k k n k Định nghĩa 1.2: ~  n , p   k Cn . p . q , k 0, n Định lý1.2: ~  n , p  X np , D  npq , Mod k n 1 p hoặc k n 1 p 1 0 0 1
  2. 4. Phân phối siêu bội Bài tốn: Cho 1 hộp cĩ N bi trong đĩ cĩ M bi trắng cịn lại là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đĩ ra n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số bi trắng lấy được. Giải: k n k CCMNM.   k n , k 0 , n C N Định nghĩa 1.3: Phân phối nĩi trên được gọi là phân phối siêu bội H(N,M,n) Định lý 1.3: Giả sử ~H ( N , M , n )   np , N n M D  npq, p NN 1 Ghi nhớ: lấy bi cĩ hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội 2
  3. Ví dụ 1.1: Trong 1 hộp bi cĩ 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi gặp bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng, 2 bi đen. Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên: 3 2 CC6. 5 4 P 5 . C 1 5 1 0 Ví dụ 1.2 : Trong 1 hộp bi cĩ 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi gặp đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng, 2 bi đen. 3 2 2 CCC6 5 4 2 P 7 . C 1 5 8 3
  4. Ví dụ 1.3: Trong 1 hộp bi cĩ 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi cĩ hồn lại cho đến khi gặp bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng, 2 bi đen. Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên: 3 2 3 6 2 5 4 PCC 5 2 15 15 15 Ví dụ 1.4 : Trong 1 hộp bi cĩ 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi cĩ hồn lại cho đến khi gặp đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng, 2 bi đen. 3 2 2 3 6 2 5 4 4 PCC 7 4 15 15 15 15 4
  5. 5. Phân phối Poisson P(a),a>0: Định nghĩa 1.4: a k ~  a   k e a ., k 0,1,2 k ! Định lý 1.4: X cĩ phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X cĩ phân phối P(8). Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)  0 X 12 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  )  6XX 12  0 12   0 5 5
  6. Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch vụ cơng cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đĩ. Ví dụ 1.2: Quan sát trong 20 phút cĩ 10 người vào trạm bưu điện. Tính xác suất trong 10 phút cĩ 4 người vào trạm đĩ. Giải: Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đĩ trong 10 phút thì X cĩ phân phối P(a), a = 5. Khi ấy: 54   4 e 5 . 4! 6
  7. §2: Các quy luật phân phối liên tục 1. Phân phối chuẩn  a,2 ,  0 Định nghĩa 2.1: x a 2 1 2 ~  a , 2 f x e 2 2 Định lý 2.1: X cĩ phân phối  a ,  2 thì E(X) = a, D(X) =  2 Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U cĩ phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hĩa,Gauss,tự nhiên) N(0,1) nếu: 1 u 2 / 2 f u e (hàm mật độ Gauss). 2 7
  8. Định lý 2.2: U cĩ phân phối N(0,1) thì u 1 2 P( u )  ( u ) F u 0,5 e t /2 dt 0,5  u U 0 2 u t2 1 với  u e 2 dt là tích phân Laplace (hàm lẻ) 0 2 Định lý 2.3: Giả sử U cĩ phân phối N(0,1). Khi ấy ta cĩ: 1  u1 U u 2  u 2  u 1  u 2  u 1 ; 2  U  2   . X a Định lý 2.4: ~  a , 2 U ~  0,1  8
  9. u 2 1 f() u e 2 -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1) 2 u t 2 1  u e 2 dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2) 0 2  u 0.5,  u 5 .tra xuơi:  1, 9 6 0 , 4 7 5 0 ( tra ở hàng 1,9; cột 6 bảng phân Laplace). .tra ngược:  ? 0,45 hàng 1,6; giữa cột 4 và cột 5 nên 1,64 1,65 ? 2 9
  10. $4.Tích phân Laplace (tt) : .Tra xuơi bằng máy tính: ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q MS: MODE SD SH DISTR Q  1,96 Q (1.96) 0,4750  1,96 Q ( 1.96) 0,4750 Q( u ) |  ( u ) | u t2 1  u P( u ) e2 dt 0,5  u 2 10
  11. • Hình 3.1 Hình 3.2 11
  12. Định lý 2.5: Giả sử  ~  a ,  2 .Khi ấy ta cĩ:  a a  a a 1               2   a  2.       Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên cĩ phân phối chuẩn N(165, 5 2 ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu cĩ chiều cao nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn. 160 165  X 160   5  1  0,341340,5  XP 160  ( 1) ( 1) 0,15866 12
  13. m Ví dụ 2.2: Cho U ~  0,1 hãy tính kỳ vọng của U Giải: 1 2  Um u m. e u /2 du 0 nếu m lẻ vì cận đối xứng, 2 hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. 1 2 1 2 U2 u2 e u /2 du u. ue u / 2d u 2 2 12 1 2 dv u e u/2 du v e u /2 2 2 12 1 2  U2 u. e u /2 e u /2du 1 2 2 13
  14. Tương tự: 1 2  U4 u 3u e u /2 du 2 12 1 2 u3. e u /2 3. u 2 e u /2 du 3.  U2 3.1; 2 2  UU6 5  4 5.3.1;  U2n 2n 1 !! 14
  15. 2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là cĩ phân phối đều trên đoạn [a , b] ,kí hiệu X~U [a , b] ,nếu 1 ,,x  a b  fX x b a 0 ,x  a , b  0 , x a x a FX x , a x b b a 1, b x Định lý 2.6 : Nếu X~U [a , b],thì a b() b a 2 EXDX(),() 2 12 15
  16. Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm đơi bởi 1 điểm P. Hãy tính diện tích trung bình của hình chữ nhật cĩ 2 cạnh là 2 đoạn đĩ. Giải : Ký hiệu X=AP ,khi ấy X~U [0, a ], nghĩa là: 1 ,x  0 , a  X~ fX x a 0 ,x  0 , a  S X() a X 1 a a2 E()()() S x a x dx cm2 a 0 6 16
  17. Định nghĩa 2.3:(X,Y) cĩ phân phối đều trên miền D nếu 1 , nếu (x , y ) D f( x , y ) SD() 0 , nếu (x , y ) D ,với S(D) là diện tích miền D 17
  18. Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm ba bởi 2 điểm P,Q. Hãy tính thể tích trung bình của hình hộp chữ nhật cĩ 3 cạnh là 3 đoạn đĩ. Giải : Ký hiệu X=AP,Y=PQ ,khi ấy (X,Y) cĩ phân phối đều trên miền D: 0 X a ,0 Y a , X Y a nghĩa là: 2 , nếu (x , y ) D f( x , y ) a 2 0 , nếu (x , y ) D V X. Y .( a X Y ) 2 a a x E()()() V dx yx a x y dy cm3 2 a 0 0 18
  19. 3. Phân phối mũ E ()  : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là cĩ phân phối mũ nếu hàm mật độ của X là: .e x nếu x 0; f( x )  > 0 0 nếu x 0 , Định lý 2.7 : 1 XEEXX~ ( ) ( )  ( )  4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK) 5. Phân phối Student:(Xem SGK) 19
  20. §3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn). 1. Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên.Khi đĩ ta cĩ: DX() PXEX(| ( ) |  )  2 • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy  1 ,  2 , ,  n , đơi một độc lập cĩ .Khi đĩ ta cĩ: C 0 : D ( Xk ) C ,  k 1n 1 n l i mPXEX ( )  1 n k  k nk 1 n k 1 2. Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m là số lần thành cơng trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: 20
  21. m limP p  1 n n 3. Các định lý giới hạn trung tâm. Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử  1 ,  2 , ,  n đơi một độc lập và n 3  EXEXk () k k 1 lim3 / 2 0 n n  D  k k 1 Khi ấy ta cĩ: 1n 1 n  E  ni n  i UN i 1 i 1 0,1 khi n đủ lớn n 30 1 n  D xi n i 1 21
  22. Hệ quả 3.1: Giả sử thêm vào đĩ ta cĩ 2 E( Xi ) a , D ( X i )  , i 1, n Khi ấy ta cĩ 1 n ( .X a ). n n  i UN i 1 (0,1) khi n đủ lớn  Hệ quả 3.2: m ( p ). n UN n (0,1) khi n đủ lớn p(1 p ) 22
  23. Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến ngẫu nhiên độc lập cĩ cùng phân phối:  1 ,  2 ,  n với phương sai: D i 5 i 1,2, n Xác định n sao cho với xác suất khơng bé hơn 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) khơng vượt quá 0,01 b) Trị tuyệt đối của X-E(X) khơng vượt quá 0,005. Bài giải: 1 n   i,();E  i a E X a n i 1 2 D i  5  5 23
  24. a)  E  0,01 0,9973  a n 0, 0 1 n  U 0 , 9 9 7 3  5 0, 0 1 n  0 , 5 0 , 9 9 7 3 5 0, 0 1 n  0,4973  2,785 5 2 0,01n 2,785.5 2 , 7 8 5 n 5 0, 0 1 24
  25. b) . (  E  0,005) 0,9973 . |X E ( X ) | n 0, 005. n PU | |  0, 9973  5 0, 005 n 2.  0, 9973 5 0,005n 0,9973   3 5 2 2 0, 005n 3 5 3 n 5 0, 005 25
  26. $4.Các cơng thức tính gần đúng 1. Cơng thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức. M Định lý 4.1: Khi n<N nhiều thì H N,,,, M n B n p p N nghĩa là: k n k CCMNM. k k n k  X k n Cn p q CN Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp cĩ N=1000 bi trong đĩ cĩ M=600 bi trắng cịn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20 bi, tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng. 12 8 CC600. 400 12 12 8  XC 12 20 20 .0, 6 .0, 4 C1000 26
  27. 2. Nhị thức và Poisson: Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé B n , p  a với a=np , ak nghĩa là:  X k Ck ,, p k q n k e a k o n n k! Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm xác suất để khi vận chuyển: a) Cĩ đúng sáu chai bị vỡ b) Cĩ khơng quá 12 chai bị vỡ. 27
  28. . Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X cĩ phân phối B(n,p) n 8000, p 0,001 a np 8 86 1)  6 C6 . p 6 . q 8000 6 e 8 . 0,122138 8000 6! 12 8m 2) 0  12  e 8 . 0,936204 m 0 m! Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta cĩ thể coi q là p mới ( tức là đổi p thành q,q thành p). 28
  29. 3. Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn Định lý: Khi n đủ lớn,p khơng quá bé và cũng khơng quá lớn thì B(n,p) N(np,npq), nghĩa là: 1 k np   k . f npq npq k np k np k  k 2  1 1 2 npq npq 29
  30. Ví dụ 4.3:Xác suất trúng đích của một viên đạn là 0,2. Tìm xác suất để khi bắn 400 viên thì cĩ tất cả: a)70 viên trúng b)Từ 60 đến 100 viên trúng. Giải: Gọi X là là số đạn bắn trúng thì X cĩ phân phối nhị thức với n=400 và p=0,2 nên np=80,npq=64.Khi ấy 70 70 330 1 70 80 1 0,1826 a)  70 C400 . p . q f . f 1,25 8 8 8 8 100 80 60 80 b) 60  100   8 8 2.  2,5 2.0,49379 30