Bài giảng Hình học – Hoạ hình - Đại học Kỹ thuật Công nghiệp

188 trang ngocly 2960

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hình học – Hoạ hình - Đại học Kỹ thuật Công nghiệp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_hinh_hoc_hoa_hinh_dai_hoc_ky_thuat_cong_nghiep.ppt

Nội dung text: Bài giảng Hình học – Hoạ hình - Đại học Kỹ thuật Công nghiệp

Trờng đại học kỹ thuật công nghiệp bộ môn: Hình hoạ vẽ kỹ thuật Bài giảng Hình học – hoạ hình
Bài mở đầu I. Mục đích, nội dung, yêu cầu. 1. Mục đích. - Giúp sinh viên nắm vững các quy tắc, và phơng pháp của Hình hoạ để học tốt môn Vẽ kỹ thuật, là môn học không thể thiếu của ngời làm công tác kỹ thuật. - Rèn luyện khả năng t duy trừu tợng, hình dung vật thể trong không gian. Khả năng này rất cần thiết cho ngời làm cán bộ kỹ thuật sau này trong việc cải tiến kỹ thuật, phát minh sáng chế 2. Nội dung. Hình học hoạ hình là một ngành của hình học, nó nghiên cứu 2 hai vấn đề sau: - Nghiên cứu các phơng pháp biểu diễn các hình không gian bằng hình vẽ trên mặt phẳng. - Nghiên cứu các phơng pháp giải các bài toán trong không gian bằng hình vẽ trên mặt phẳng. * Yêu cầu phản chuyển: Trong kỹ thuật, bản vẽ phải thoả mãn yêu cầu là: từ bản vẽ ta phải xây dựng lại đợc vật thể trong không gian- Yêu cầu này gọi là yêu cầu phản chuyển. Bản vẽ thoả mãn yêu cầu phản chuyển gọi là đồ thức.
Để chuyển các hình không gian thành các hình vẽ trên mặt phẳng ngời ta dùng các phép chiếu. II. Các phép chiếu. 1. Phép chiếu xuyên tâm. a. Định nghĩa -Trong không gian lấy một mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu, lấy một điểm A' S không thuộc mặt phẳng P làm tâm A chiếu. - Hình chiếu xuyên tâm của điểm A bất kỳ trong không gian lên mặt phẳng P là S giao điểm A của đờng thẳng SA với mặt phẳng P . P
+ P : Là mặt phẳng hình chiếu. Ký hiệu bằng chữ hoa. + S : Là tâm chiếu. Ký hiệu bằng chữ in hoa. + SA: Là tia chiếu. b. Tính chất. -Tính chất 1: Hình chiếu xuyên tâm của đờng thẳng không đi qua tâm chiếu là đ- ờng thẳng. CM: giả thiết cho AB không đi qua tâm chiếu, thì các đờng thẳng chiếu qua S và tựa trên AB tạo thành mf gọi là mf chiếu. Mf này cắt mf P theo đt A B * Các hệ quả: + Một điểm M thuộc AB thì hình chiếu xuyên tâm M của nó cũng thuộc a' A' A B . a Vậy phép chiếu xuyên tâm bảo tồn p A tính liên thuộc của điểm và đờng M' thẳng. S M + Ngợc lại, nếu M thuộc A B thì cha B chắc M đã thuộc AB. +A B còn gọi là hình chiếu suy biến B' của mặt phẳng chiếu (S,AB) P
Mở rộng: Nếu một hình phẳng bất kỳ thuộc mf chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó phải thuộc đờng thẳng A B . + Đờng thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó suy biến thành một điểm. + Nếu mặt phẳng chiếu của một đờng thẳng nào đó song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó ở xa vô tận. E( ) F( ) F A' A E B' B  S C C' D' D P
- Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của các đờng thẳng song song nói chung là các đờng thẳng đồng quy. S B A D F B' C A' E K C' D' E' P F' * Hệ quả: + Nếu các đờng thẳng song song đã cho song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của các đờng thẳng đó sẽ song song nhau.
2. Phép chiếu song song a. Định nghĩa: Trong không gian lấy mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu và đờng thẳng s không song song với P làm hớng chiếu. Hình chiếu song song của điểm A là giao điểm A của đờng thẳng qua A , song song với s, và mặt phẳng P . P : là mặt phẳng hình chiếu. s: là hớng chiếu. s AA : là tia chiếu A : là hình chiếu song song của điểm A' A. A P b. Các tính chất. Phép chiếu song song là trờng hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở xa vô tận, do đó nó có các tính chất của phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu song song còn có 2 tính chất sau:
- Tính chất 1:Hình chiếu song song của các đờng thẳng song song là các đờng thẳng song song. A' s B' A C' B C D' P D Nhận xét: - Ta thấy hình chiếu song song của đờng thẳng AB là A B . Ngợc lại A B là hình chiếu của mọi đờng thẳng thuộc mặt phẳng chứa đờng thẳng AB và song song với s.
- Tính chất 2: Tỉ số hai hình chiếu song song của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn s A' thẳng đó. A B' B* C' A'B' AB B = C C'D' CD D' D* D -Hệ quả P Phép chiếu song song bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng C'A' CA C'B' CB
Một số trờng hợp đặc biệt: -Khi EF // s, thì E'  F E - Khi AB // P, thì A B // AB s B F A B' E'F A' P 3. Phép chiếu thẳng góc. a. Định nghĩa: Phép chiếu thẳng góc là trờng hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi hớng chiếu vuông góc với mặt phẳng hinh chiếu.
2. Tính chất: B Phép chiếu thẳng góc là trờng hợp đặc A biệt của phép chiếu song song nên nó có tất cả các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau: B* - Độ dài hình chiếu thẳng góc của một đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng đó B' nhân với cos ( là góc hợp bởi đoạn thẳng đó A' và mặt phẳng hình chiếu). P A B = AB.cos ( = AB x P ) Kết luận Các phép chiếu trên đây cho ta vẽ đợc hình chiếu của các đối tợng trong không gian lên mặt phẳng. Nhng ngợc lại,chúng cha thiết lập quan hệ một đối một giữa các yếu tố trong không gian với các yếu tố trên mặt phẳng. Để xây dựng bản vẽ thoả mãn điều kiện phản chuyển, trong kỹ thuật thờng dùng các phơng pháp sau: - Phơng pháp các hình chiếu thẳng góc. - Phơng pháp hình chiếu trục đo. - Phơng pháp hình chiếu phối cảnh. - Phơng pháp hình chiếu có số.
Phơng pháp các hình chiếu thẳng góc Chơng 1: Điểm 1.1 Đồ thức của một điểm 1.1.1 Dùng 2 mặt phẳng hình chiếu. a. Cách xây dựng đồ thức. - Trong không gian lấy 2 mặt phẳng P1 A1 ⊥ P2, làm hai mf hình chiếu. - Chiếu điểm A lên 2 mặt phẳng P1 và A đợc 2 hình chiếu là A và A . P2 1 2 x - Xoay mặt phẳng P2 xung quanh giao tuyến x của 2 mặt phẳng theo chiều mũi tên nh hình vẽ để A2 P2 mặt phẳng P2 trùng với mặt phẳng P1. P1
Kết quả trên mặt phẳng P2  P1 ta đợc hai A1 hình chiếu thẳng góc của điểm A. Hình thu đợc bằng cách làm nh vậy gọi là đồ thức của điểm A. x A2 P1P2 b. Các định nghĩa: - P1 thờng lấy thẳng đứng -gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng. - P2 thờng lấy nằm ngang- gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng. - A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A. - A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A.
- Giao tuyến x = P1 x P2 gọi là trục hình chiếu.- A1 Khoảng cách từ A đến P gọi là độ xa của điểm A, 1 A với quy ớc: x Nếu A nằm phía trớc mặt phẳng P1 thì độ xa > 0. A2 P2 Nếu A nằm phía sau mặt phẳng P1 thì độ xa 0. Nếu A nằm phía dới mặt phẳng P2 thì độ cao 0, độ cao > 0).
+ Góc t II là phần không gian nằm phía sau mặt phẳng P1 và phía trên mặt đ II I phẳng P2 ( iểm thuộc góc II có độ xa 0). P2 + Góc t III là phần không gian nằm phía sau mặt phẳng P1 và phía dới mặt đ III IV phẳng P2 ( iểm thuộc góc III có độ xa 0, độ cao < 0). P I - Mặt phẳng chia đôi góc t I và III gọi là mặt phẳng phân giác I. x - Mặt phẳng chia đôi góc t II và IV gọi là mặt phẳng phân giác II. P2 P1
c. Các tính chất . - Gọi Ax là giao điểm của trục x với mặt phẳng xác định bởi 3 điểm A, A1, A2, . Thì trên đồ thức 3 điểm A1, Ax, A2 thẳng hàng và đờng thẳng nối ba điểm đó vuông góc với trục x- Gọi là đờng dóng thẳng đứng (A1 Ax A2 ⊥ x) - Độ dài A1 Ax bằng trị tuyệt đối độ cao của điểm A. A1 Nếu A1 nằm phía trên trục x thì độ cao > 0 Nếu A1 thuộc trục x thì độ cao = 0 x Ax Nếu A1 nằm phía dới trục x thì độ cao 0 2 A2  Nếu A2 thuộc trục x thì độ xa = 0 P1 P2 Nếu A2 nằm phía trên trục x thì độ xa < 0 -Nếu A thuộc mf phân giác I -thì A1 đối xứng với A2 qua trục x -Nếu A thuộc mf phân giác II- thì A1 trùng A2
Nhận xét: Nếu biết đồ thức của 1 điểm, sẽ xây dựng lại đợc điểm đó trong không gian bằng cách làm ngợc lại quá trình xây dựng đồ thức của điểm Các ví dụ đồ thức của điểm - Điểm A góc t thứ I - Điểm E Mp phân giác I - Điểm B góc t thứ II - Điểm F Mp phân giác II - Điểm C góc t thứ III - Điểm G - Điểm H - Điểm D góc t thứ IV P1 P2 B1 A1 F1  F2 H2 E1 C2 B2 x G2 H1 D2 A2 E2 C1 G1 D1
1.1.2. Dùng 3 mặt phẳng hình chiếu. a. Cách xây dựng đồ thức: - Trong không gian lấy 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau P1, P2, P3 . - Chiếu thẳng góc điểm A lần lợt lên 3 mặt phẳng P1 ,, P2, ,P3 đợc A1, A2, A3. A1 Az z - Xoay mặt phẳng quanh trục P2 A A3 x theo chiều mũi tên để mặt x Ax y phẳng P2  P1 Ay A2 - Xoay mặt phẳng P3 quanh trục P2 z theo chiều mũi tên để mặt P1 phẳng P3  P1 P3
- Kết quả trên mặt phẳng   ta đợc ba P3 P2 P1 A1 Az A3 hình chiếu thẳng góc của điểm A ,đó là đồ thức của điểm A trên ba mặt phẳng hình chiếu. z (Với A1A2 ⊥ x, A1 A3 ⊥ z) x Ax y Ay A2 Ay y P1P2P3 * Chú ý: Trên đồ thức trục y có vị trí trùng với trục z do phép xoay P2 trùng P1, và trùng với trục x do phép xoay P3 về trùng P1- nhng ngợc chiều với hai trục đó.
b. Các định nghĩa: Các yếu tố thuộc mặt phẳng P1, P2 đợc định nghĩa nh dùng 2 mặt phẳng hình chiếu. Các yếu tố còn lại định nghĩa nh sau: - P3 : Là mặt phẳng hình chiếu cạnh - A3 : Là hình chiếu cạnh của điểm A. - Khoảng cách từ A -đến P3 gọi là độ xa cạnh của điểm A c. Các tính chất : Ngoài các tính chất nh đã nêu trong trờng hợp dùng hai mặt phẳng hình chiếu, còn có các tính chất sau: Gọi Az là giao điểm của trục z với mặt phẳng A A1A3 - Thì trên đồ thức, ba điểm A1, Az, A3 thẳng hàng và đờng thẳng nối ba điểm đó vuông góc với trục Z- gọi là đờng dóng nằm ngang ( A1 Az A3 ⊥ z). - A3Az = A2Ax = AA1 ( độ xa của điểm A).
A1 Az A3 - Giữa điểm A3 và A2 liên hệ với nhau nh sau: z -Nếu A2 nằm phía dới trục x x Ax y thì A3 nằm bên phải trục z . Ay -Nếu A2 nằm phía trên trục x thì A3 nằm bên trái trục z. A2 -Nếu A2 thuộc trục x Ay y thì A3 thuộc trục z. Chú ý: Do sự liên quan giữa ba Z P1P2P3 hình chiếu thẳng góc của một điểm, ta dễ dàng vẽ đợc hình chiếu thứ ba khi biết hai hình 1 B3 chiếu của nó. Bz Ví dụ: cho hai hình chiếu B1 và B2 của điểm B, hãy vẽ hình chiếu cạnh B3. B2 X Giải: Do B2 phía trên trục x, vậy B3 nằm Y bên trái trục z. Trên đờng nằm ngang qua Bx B1,phía bên trái trục z,ta đặt đoạn BzB3 = Bx B2,
B3 còn có thể tìm đợc bằng các cách nh mô tả trên hình a và hình b ở dới đây z 1 B3` z 1 B3 Bz Bz B2 B2 By x x Ax Bx By Bx Hình a Hình b
1.2 Cách chuyển từ toạ độ đề các thẳng góc sang đồ thức 1.2.1 Toạ độ đề các của một điểm. Vị trí của điểm A trong hệ toạ độ Oxyz hoàn z toàn đợc xác định theo toạ độ: A1 Az A (XA, YA, ZA) A A3 ZA Trong đó, các giá trị đại số x XA O YA X = OA là hoành độ của điểm A A x Ax YA = OAy là tung độ của điểm A y A2 Ay ZA = OAz là cao độ của điểm A 1.2.2. Cách chuyển từ toạ độ đề các sang đồ thức. -Trong cách xây dựng đồ thức của một điểm khi dùng ba mặt phẳng hình chiếu, nếu lấy các mặt phẳng hình chiếu làm các mặt phẳng toạ độ, các trục hình chiếu làm các trục toạ độ, thì hai phơng pháp biểu diễn có sự tơng quan nh sau:
+ XA= OAx = độ xa cạnh của điểm A. + YA = OAy =Ax A2 = độ xa của điểm A. + ZA = OAz = AxA1 = độ cao của điểm A. Từ sự tơng quan trên, ta dễ dàng vẽ đợc đồ thức của một điểm khi biết các toạ độ đề các của nó. Z M3 M1 Ví dụ: 3 2 Vẽ đồ thức của điểm M có toạ độ (1, -2, 3) M2 1 Giải: x Mx 0 Y 3 2 1 1 Từ XM = 1, ta vẽ đợc Mx với OMx = 1 YM = -2 ,ta vẽ đợc M2 với Mx M2 = 2( lấy về phía âm của trục y) Y ZM= 3 , ta vẽ đợc M1 với Mx M1 = 3 - Từ M1, M2 , ta tìm đợc M3
Chơng 2: Đờng thẳng 2.1 đồ thức của đờng thẳng 2.1.1. đồ thức của đờng thẳng. Trong không gian đờng thẳng đợc xác định bởi hai điểm và hình chiếu của một đờng thẳng là một đờng thẳng. Vì vậy đồ thức của đờng thẳng đợc xác định khi biết đồ thức của hai điểm thuộc đờng thẳng ấy. 2.1.2. Định nghĩa. Đồ thức của một đờng thẳng l(A,B) là một cặp đờng thẳng l1(A1,B1) và l2(A2,B2) trên mặt phẳng đồ thức P1  P2. P1 B1 B1 l1 l1 A1 A1 l B x x A l2 l2 A2 A2 B2 B2 P2
Ta gọi đờng thẳng bất kỳ là đờng thẳng có hớng không song song hoặc vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. Trên đồ thức, các hình chiếu của đờng thẳng bất kỳ cũng có hớng bất kỳ. * Nhận xét: Từ hai hình chiếu l1, l2 của đờng thẳng ta có thể dựng lại đờng thẳng l bằng cách: Từ hình chiếu đứng l1 dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng l P1, từ hình chiếu bằng 2 dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2, hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến, đó chính là đờng thẳng l trong không gian. P1 l1 l x l2 P2
2.2 các đờng thẳng đặc biệt Đờng thẳng đặc biệt là đờng thẳng có hớng song song , hoặc vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. 2.2.1. Các đờng đồng mức. đờng đồng mức là đờng thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu Gồm có: Đờng bằng, đờng mặt, đờng cạnh. a. Đờng bằng. * Định nghĩa: Đờng bằng là đờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. P1 A1 b1 B1 A1 b1 B1 x A b B x b2 b2 A2 B2 A2 B2 P2
* Tính chất: - Hình chiếu đứng b1 song song với trục x. - Hình chiếu bằng của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đờng bằng cũng có độ dài bằng chính nó: A2B2 = AB. - Góc của hình chiếu bằng của đờng bằng với trục x chính là góc giữa đờng thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 . (b2 x) =  (b P1 ) b. Đờng mặt. * Định nghĩa: Đờng mặt là đờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. P1 B1 1 m m1 B1 A1 A1 m B x x A m2 m2 A2 B2 A2 B2 P2
* Tính chất: - Hình chiếu bằng m2 song song với trục x. - Hình chiếu đứng của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đờng mặt cũng có độ dài bằng chính nó: A1B1 = AB. - Góc của hình chiếu đứng của đờng mặt với trục x chính là góc giữa đờng thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 . (m1 x) =  (m P2) c. Đờng cạnh. * Định nghĩa: Đờng cạnh là đờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh z P3. P1 A1 A3 A1 A A3 B3 B1 P3 x B1 x A2 B3 A2 B B2 B2 P2
* Tính chất: - Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng( A1B1, A2B2 ) cùng nằm trên đờng dóng thẳng đứng và vuông góc với trục x. - Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng bất kì thuộc đờng cạnh A3B3 cũng có độ dài bằng chính nó. - Góc giữa hình chiếu cạnh của đờng cạnh với trục z là góc giữa đờng thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. (A3B3 x z) = (AB x P1) - Góc giữa hình chiếu cạnh của đờng cạnh với trục y là góc giữa đờng thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. (A3B3 x y) = (AB x P2) 2.2.2 Các đờng thẳng chiếu. đờng thẳng chiếu là đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. Gồm có: Đờng thẳng chiếu bằng, đờng thẳng chiếu đứng, đờng thẳng chiếu cạnh.
a. Đờng thẳng chiếu bằng. * Định nghĩa: P1 B1 B1 Đờng thẳng chiếu bằng là đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng B hình chiếu bằng . P2 A1 A1 x x A A2B2 A2B2 P2 * Tính chất: - Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm: A2  B2 -Hình chiếu đứng là đờng thẳng vuông góc với trục x: A1B1 ⊥ x - Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đờng thẳng chiếu bằng cũng có độ dài bằng độ dài thật. A1B1 = AB = A3B3 .
b. Đờng thẳng chiếu đứng. * Định nghĩa: P1 A1B1 Đờng thẳng chiếu đứng là A1B1 đờng thẳng vuông góc với A x mặt phẳng hình chiếu đứng A2 P1. B x A2 B2 B2 *Tính chất: P2 - Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm: A1  B1 - Hình chiếu bằng là đờng thẳng vuông góc với trục x: A2B2 ⊥ x. - Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đt chiếu đứng cũng có độ dài bằng độ dài thật: A2B2 = AB = A3B3 .
c. Đờng thẳng chiếu cạnh. P1 * Định nghĩa: B1 A1 Đờng thẳng chiếu cạnh là đờng thẳng vuông P3 góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3. A A3B3 x B *Tính chất: - Hình chiếu cạnh suy biến thành một điểm: A2 B2 A  B 3 3. P2 - Các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng z song song với trục x: A1 B1 A3B3 A1B1 // x // A2B2. -Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của bất kì x đoạn thẳng nào thuộc đờng thẳng chiếu cạnh cũng bằng độ dài thật: A1B1 = AB = A2B2. A2 B2
* Chú ý: -đờng thẳng không phải là đờng cạnh hoàn toàn đợc xác định khi biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của nó. -Trờng hợp đờng cạnh, khi biết hình đứng và hình bằng , đờng thẳng đó cha đợc xác định: Bởi mặt phẳng đi qua hai hình chiếu đó và tơng ứng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng sẽ trùng nhau. Do đó, muốn xác định đờng cạnh trên hai hình chiếu thì phải cho đồ thức của hai điểm của đờng cạnh. Hoặc cho hình chiếu cạnh với hình chiếu đứng hoặc hình chiếu bằng của nó. A1 P1 p p 3 1 p1 p B1 x x A2 p2 P2 B2
2.3 điểm thuộc đờng thẳng Để xét điều kiện một điểm thuộc một đờng thẳng, ta phân ra các trờng hợp sau: 2.3.1. Trờng hợp đờng thẳng không phải là đờng cạnh. * Định lý: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đờng thẳng là: hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đờng thẳng, hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đờng thẳng. CM:- Điều kiện cần: giả thiết trong không gian cho A P1 thuộc m, do tính chất của phép chiếu bảo tồn sự A liên thuộc giữa điểm và đt ta có: 1 A A1 thuộc m1, A2 thuộc m2. - điều kiện đủ: giả thiết trên đồ thức A1 thuộc m1, A2 A2 thuộc m2, ta phải cm A thuộc m. Thật vậy, khi xây dựng đt m trong không gian, m là P2 giao của hai mf: một mf qua m1 và v.góc với P1, một mf qua m2 và vuông góc với P2. các đt chiếu đứng qua A1 và đt chiếu bằng qua A2 lần lợt nằm trên 2 mf đó, đồng thời cùng nằm trên một mf qua A1,A2 và vuông góc với trục x. mặt phẳng này cắt m tại A cần tìm.
0 Ví dụ : Vẽ đờng bằng d qua điểm A(A1,A2) và hợp với P1 một góc bằng 30 . Giải: - Qua A1 kẻ đờng thẳng d1 song song với trục x là hình chiếu đứng của d. - Vì góc giữa đờng thẳng d với P1 bằng góc giữa d2 với trục x , vậy qua A2 kẻ d2 hợp với trục x một góc 300 (Ta có thể kẻ đợc hai đờng). A1 d1 x 30° A2 d2
2.3.2 Trờng hợp đờng thẳng là đờng cạnh. z A1 A3 P1 A1 C3 A C1 C*1 A3 B3 C B1 1 x 3 B P 1 C* C*3 A2 C C3 A 2 B B3 C2 C*2 C2 P2 B2 B2 * Nhận xét: - Từ hai hình chiếu với : C1 A1B1, và C2 A2B2 cha đủ để kết luận C AB. Vì mọi điểm thuộc mặt phẳng chứa đờng thẳng AB và song song với P3 đều có hình chiếu đứng và bằng nằm trên A1B1 và A2B2 . -Vậy để xem một điểm có thuộc đờng cạnh không thì hoặc dựa vào hc cạnh: điều kiện là hc đứng của điểm thuộc hc đứng của đờng cạnh và hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đờng cạnh . C1 A1B1 ; C3 A3B3
-Hoặc ( Nếu chỉ biết hc đứng và hc bằng), ta dựa vào tính chất không đổi của tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng trong phép chiếu song song. Xét điểm C AB, theo tính chất của phép chiếu song song ta có tỉ số: A1C1 AC = P1 C1B1 CB A1C1 A2C2 A1 = A A3 C B C B A2C2 AC 1 1 2 2 C1 = P3 C B CB 2 2 B1 C C3 x B3 A2 Kí hiệu: (A1C1B1) = (A2C2B2) B C2 B2 P2
Ví dụ: Vẽ đờng bằng qua điểm A(A1,A2) và cắt đờng cạnh BC(B1C1,B2C2). C1 A1 I1 d1 Giải: Gọi đờng thẳng cần dựng là d: B1 - Vẽ hình chiếu đứng d1 : Qua A1 kẻ d1 // x, d1 x cắt B1C1 tại điểm I1 (là hình chiếu đứng của giao điểm giữa d và BC). C2 I' - Tìm I2 trên B2C2 bằng phơng pháp tỷ số đơn: A2 B' (B1I1C1) = (B2I2C2). I2 - Nối A I ta đợc d . 2 2 2 d2 B2
2.4 vết của đờng thẳng 2.4.1. Định nghĩa. - Vết của đờng thẳng là giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng hình chiếu . - Vết đứng là giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. Thờng kí hiệu là N. - Vết bằng là giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Thờng kí hiệu là M. - Vết cạnh là giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3. Thờng kí hiệu là P. P1 2.4.2 Cách xác định vết. NºN1 - Nhận xét: l1 + Vì điểm vết đứng N thuộc P . ( N P ) 1 1 l x M1 vậy: N1  N , N2 x. N2 + Tơng tự, M thuộc P2 , l2 MºM2 Vậy M2  M, M1 x. P2
Ta có cách xác định các vết của đờng thẳng: + Kéo dài hình chiếu bằng l2 cắt trục x tại N2 Nx .Từ N2 kẻ đờng dóng thẳng đứng cắt l1 tại N1  N. + .Tơng tự, kéo dài l1 cắt trục x tại M1 Mx. Từ điểm này kẻ đờng dóng thẳng đứng cắt l2 tại M2  M. N1  N l1 x M1 Mx N2 Nx l2 M2  M
- Cách xác định vết cạnh: + Kéo dài hình chiếu bằng l2 của đờng thẳng cắt trục y  z tại một điểm ta đợc hình chiếu bằng P2 của vết cạnh. + Dùng cách xác định hình chiếu cạnh tìm đợc P2 trên trục y  x. Từ P2 kẻ đờng dóng song song với trục z, cắt hình chiếu cạnh l3 của đờng thẳng tại điểm P3 chính là hình chiếu cạnh hay vết cạnh của đờng thẳng l. z z N1 N1 N3 l 3 P1 l l3 1 1 l P PP3 M1 x PP3 l1 1 l2 x M P2 M3 P2 M2 N2 M2 P2 P1 y l2 P2 M2 M2 P3
Ví dụ: Tìm các vết của đờng thẳng l và xem đờng thẳng l đi qua những góc phần t nào ? l1 P1 M1 x N2 I l x M2 N1 M IV P2 III N l2 III IV I
2.5 tìm độ dài thật của đoạn thẳng và góc của nó với các mặt phẳng hình chiếu B -Giả thiết cho các hc A1B1và A2B2 của đoạn thẳng P1 1 AB, hãy tìm độ dài thật của đt đó và góc nghiêng của nó với các mf hc P1 và P2. B 0 *Trong hình không gian bên,qua điểm A kẻ AB // A1 A2B2, thì AB0 ⊥ BB2. Xét tam giác vuông ABB0 ta thấy: Ax Bx x a - cạnh góc vuông AB0 có độ dài bằng độ dài hình A B0 chiếu bằng A2B2 A2 B2 P2 AB0 = A2B2 Hình a -cạnh góc vuông BB0 có độ dài bằng trị tuyệt đối hiệu độ cao của hai điểm A,B: BB0 = ZA - ZB = AxA1 –BxB1 - cạnh huyền AB là độ dài thật của đoạn thẳng AB.-Kí hiệu là ĐDT-AB. - Góc nhọn đối diện với cạnh BB0 chính là góc nghiêng giữa đoạn thẳng AB với mặt phẳng hình chiếu bằng. = (AB x P2)
* Từ nhận xét trên ta suy ra cách tìm độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của nó với các mfhc nh sau: - Lấy hình chiếu bằng làm một cạnh góc vuông, vẽ tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông còn lại là hiệu độ cao của hai đầu đoạn thẳng, thì cạnh huyền bằng độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc kề hc bằng là góc nghiêng của AB với P2 - Tơng tự, vẽ tam giác vuông có một cạnh là hình chiếu đứng, cạnh còn lại là hiệu độ xa của 2 đầu đoạn thẳng AB, thì cạnh huyền của tam giác là ĐDT của AB, góc đối diện với cạnh hiệu độ xa là góc nghiêng giữa AB với mặt phẳng P1. Phơng pháp trên gọi là phơng pháp tam giác vuông. B" B1 ABxP1 A1 B1 A1 x x A2 A2 ABxP2 B2 B2 B'
* Chú ý: - Nếu chỉ cần xác định độ lớn thật của một đoạn thẳng thì tam giác vuông dựng ở hình chiếu nào cũng đợc. - Nếu muốn xác định góc của đoạn thẳng với mặt phẳng hình chiếu nào thì phải dựng tam giác trên hình chiếu đó. - Với đờng cạnh, góc của nó với P1 và P2 là 2 góc phụ nhau. Nếu không phải là đ- ờng cạnh thì 2 góc với P1 và P2 là 2 góc độc lập nhau.
2.6 vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Trong không gian hai đờng thẳng có thể cắt nhau, song song và chéo nhau.Ta đi xét các trờng hợp này trên đồ thức. 2.6.1. Hai đờng thẳng cắt nhau. a 1 b1 a. Trờng hợp hai đờng thẳng không phải là đờng cạnh. I1 * Định lý: Điều cần và đủ để 2 đờng thẳng cắt nhau là các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình x chiếu bằng của chúng cắt nhau và hai giao điểm phải cùng nằm trên một đờng dóng . I2 b2 Cm: Điều kiện cần: a 2 -Giả thiết: cho a x b = I -Kết luận: a1 x b1 = I1 a2 x b2 = I2 I1I2 ⊥ x
Từ giả thiết: a x b = I, do tính liên thuộc đợc bảo tồn trong phép chiếu, ta có: a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, Và vì I1 và I2 là 2 hình chiếu của một điểm, nên I1I2 ⊥ x. -Điều kiện đủ: Giả thiết a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, I1I2 ⊥ x. Kết luận : a x b = I CM: Vì I1I2 ⊥ x, vậy chúng biểu diễn một điểm trong không gian- là I. Vì I1 thuộc a1, I2 thuộc a2, nên I thuộc a I1 thuộc b1, I2 thuộc b2, nên I thuộc b. Do đó a x b = I b. Trờng hợp có đờng thẳng là đờng cạnh. - Giả thiết cho đờng thẳng m và đờng cạnh AB, mặc dù các hình chiếu bằng và đứng của chúng cắt nhau, và các giao điểm ấy nằm trên cùng một đờng gióng, nhng trong không gian cha chắc m cắt AB. - Giả sử m1 x A1B1 = I1 m2 x A2B2 = I2
A1 - Ta thấy điểm I đã thuộc m. Bài toán trở về xét xem I có thuộc đờng cạnh AB hay không, có 2 phơng I1 pháp: m1 +Dựa vào hình chiếu cạnh. B1 x + Dựa vào tỷ số đơn của 3 điểm (A1I1B1) và (A2I2B2). A2 I' Nếu I thuộc AB thì đờng thẳng m cắt đờng cạnh AB. m2 Nếu I không thuộc AB, thì m và AB chéo nhau. B' I2 B2 2.6.2 Hai đờng thẳng song song. Ta cũng phân ra hai trờng hợp: a1 b1 a. Trờng hợp cả hai đờng thẳng không phải là đờng cạnh. x Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đờng thẳng song song với nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng song song với nhau. b2 Nếu: a // b thì a1 // b1 ; a2 // b2 và ngợc lại a2
Chứng minh: +Điều kiện cần: Giả thiết cho a// b, thì theo tính chất của phép chiếu song song ta có a1 // b1 và a2 // b2 + Điều kiện đủ: giả thiết cho a1 // b1, a2 // b2, ta phải chứng minh a // b Lấy điểm M thuộc b- thì M1 thuộc b1, M2 thuộc b2- Qua M vạch đờng thẳng b' song song với a , thì ta có b'1 qua M1 và b'1 // a1 b'2 qua M2 và b'2 // a2 Mặt khác, ta biết rằng qua M1( hoặc M2) chỉ kẻ đợc một đờng thẳng song song với a1 (hoặc a2). Vậy b'1  b1 và b'2  b2, nghĩa là b'  b và a // b. M1 x M2
z b. Trờng hợp cả hai đờng là đờng cạnh. C1 C3 A1 A3 * Điều kiện: D3 - Để 2 đờng cạnh song song ngoài điều kiện D1 trên thì hình chiếu cạnh của 2 đờng thẳng B1 x B3 đó phải song song với nhau. A2 Tức nếu: AB // CD A1B1 // C1D1 C2 A2B2 // C2D2 A3B3 // C3D3 B2 D2 - Nếu không dùng hình chiếu cạnh,ta nhận xét: C1 A1 giả sử cho AB //CD, thì theo tính chất của phép chiếu song song ta có: D1 B1 x A2 C2 A B A B 1 1 = 2 2 C1D1 C2D2 B2 D2
Hoặc: C1 A1 I1 - Nếu hai đờng cạnh AB // CD thì tồn tại một mặt phẳng (AB // CD).Nếu ta vẽ thêm các đờng phụ AD và BC, thì chúng hoặc song song , D1 B1 hoặc cắt chau x Trên đồ thức: Hình chiếu đứng và hình chiếu C2 bằng của hai đờng thẳng AD, BC cắt nhau tại A2 các giao điểm nằm trên một đờng dóng thẳng đứng. I2 Tức là: I1I2 ⊥ x B2 Thì AB // CD D2 2.6.3 Hai đờng thẳng chéo nhau. Hai đờng thẳng chéo nhau là hai đờng thẳng không cắt nhau và không song song với nhau.
* Vậy: Hai đờng thẳng chéo nhau thì đồ thức của chúng không thoả mãn điều kiện của hai đờng thẳng cắt nhau và song song. Ví dụ đồ thức của hai đờng thẳng a và b chéo nhau: a1 b1 x a2 b2
2.7 hai đờng thẳng vuông góc Hình chiếu của một góc vuông nói chung không là một góc vuông.Trong hình học không gian ta có định lý sau: 2.7.1. Định lý: Điều kiện để một góc vuông chiếu thẳng góc vẫn là một góc vuông là ít nhất một cạnh của nó song song với mặt phẳng hình chiếu, còn cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. A Chứng minh: B A' - Giả thiết: Cho AB ⊥ AC, AC // P, AB không C vuông góc P . Chứng minh: A'C' ⊥ A'B' B' -Theo giả thiết AC ⊥ AB, mà AC // P, C' vậy AC //A'C', nên A'C' ⊥ AB. P - A'C' ⊥ A A', vì là phép chiếu thẳng góc. - Vậy A'C' ⊥ mặt phẳng( ABB'A'), nên A'C'⊥ A'B' Định lý này cũng đúng cho hai đờng thẳng vuông góc và chéo nhau.
2.7.2Trên đồ thức: - Hai đờng thẳng vuông góc cắt nhau hoặc chéo nhau chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu bằng mà các hình chiếu vẫn vuông góc với nhau khi có ít nhất 1 đờng là đ- ờng bằng còn đờng kia không phải là đờng thẳng chiếu bằng. - Hai đờng thẳng vuông góc cắt nhau hoặc chéo nhau chiếu lên mặt phẳng hình chiếu đứng vẫn vuông góc khi có ít nhất 1 đờng là đờng mặt còn đờng kia không phải là đờng thẳng chiếu đứng. a1 b1 b1 a1 a cắt b x x a2 b2 a2 b2
a1 b1 b1 a1 x a chéo b x a2 a2 b2 b2 D1 Ví dụ 1: Vẽ nốt hình chữ nhật ABCD, biết d1 C1 hình chiếu của cạnh AB, hình chiếu B1 đứng của điểm D là D1 d1. A1 x A2 D2 d2 B2 C2
Ví dụ 2: Vẽ hình vuông ABCD, biết các hình D1 chiếu của cạnh AB , còn đỉnh D d. d1 C1 M1 A1 B1 x A2 M2 B2 M' D2 d2 D' C2
Chơng 3: Mặt phẳng 3.1 Đồ thức của mặt phẳng Trong không gian, một mặt phẳng đợc xác định bởi một trong các cách sau: - Ba điểm không thẳng hàng. - Một điểm và một đờng thẳng không đi qua điểm đó. - Hai đờng thẳng cắt nhau. - Hai đờng thẳng song song. Do đó đồ thức của mặt phẳng cũng đợc xác định bằng: - Đồ thức của ba điểm không thẳng hàng. - Đồ thức của một điểm và một đờng thẳng không đi qua nó. - Đồ thức của hai đờng thẳng cắt nhau. - Đồ thức của hai đờng thẳng song song.
B1 C1 l1 A1 A1 x x A2 A2 C2 l2 B2 Mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (l,A) m1 a1 b1 n1 x x n2 b2 a2 m2 Mặt phẳng (axb) Mặt phẳng (m//n)
Chú ý: Có thể chuyển từ cách xác định này sang cách xác định khác một cách dễ dàng. Ví dụ: Trờng hợp mặt phẳng xác định bằng điểm A và đờng thẳng l có thể chuyển sang trờng hợp mặt phẳng xác định bằng hai đờng thẳng song song bằng cách. Qua A kẻ đờng thẳng h // l mặt phẳng xác định bằng hai đờng thẳng song song (h // l). h 1 l1 A1 x A2 l2 h 2
3.2 các Vết của mặt phẳng 3.2.1. Định nghĩa: - Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu. - Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng, ( nếu mặt phẳng là ,vết đứng kí hiệu là n ). - Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng,( nếu mặt phẳng là , vết bằng ký kí hiệu là m ). - Vết cạnh của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình P1 chiếu cạnh ( nếu mặt phẳng là , vết cạnh kí hiệu là p ). P3 x P2
3.2.2. Các hình chiếu của vết. -Vêt đứng: Hình chiếu đứng của vết đứng là n( )1  n( ) Hình chiếu bằng của vết đứng là n( )2  x xn 2m 1 -Vết bằng: Hình chiếu bằng của vết bằng là m( )2  m( ) Hình chiếu đứng của vết bằng là m( )1  x z - Vết cạnh: Hình chiếu cạnh của vết cạnh là p( )3  p( ) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng là p( )1  z ,p( )2  y x - Để đơn giản trên đồ thức ngời ta quy ớc: chỉ ghi ký hiệu tên các vết của mặt phẳng.
Nhận xét: 1- Trong không gian cũng nh trên đồ thức vết đứng và vết bằng của mặt phẳng phải cắt nhau trên trục x( hoặc song song vơí trục x). Vết đứng và vết cạnh phải cắt nhau trên trục z( hoặc cùng song song với trục z). Còn vết bằng và vết cạnh trong không gian cắt nhau trên trục y( hoặc cùng song song với trục y), trên đồ thức chân của hai vết này trên trục y, có cùng khoảng cách tới giao của các trục hình chiếu. 2- Một mặt phẳng hoàn toàn đợc xác định bởi 2 vết. Vì vậy có thể cho mặt phẳng bằng hai vết của nó. Đây chính là cách cho mặt phẳng bằng hai đờng thẳng cắt nhau hoặc song song. n x x x m
3-Nếu một đờng thẳng thuộc một mặt phẳng thì vết của đờng thẳng phải thuộc vết tơng ứng của mặt phẳng. P1 Nb Na Mb M P2 a
Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng (a b) b1 a1 N1b N1a x M1b N2a M1a x N2b M2b b2 M2a a2
3.3 các mặt phẳng đặc biệt -mặt phẳng đặc biệt là mặt phẳng vuông góc, hoặc song song với mặt phẳng hình chiếu. 3.3.1.Các mặt phẳng chiếu. Các mặt phẳng chiếu là các mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu Bao gồm có: Mặt phẳng chiếu bằng, mặt phẳng chiếu đứng , mặt phẳng chiếu cạnh.
a. Mặt phẳng chiếu bằng. P1 * Định nghĩa: Măt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình n chiếu bằng P2 . * Tính chất: x - Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đờng thẳng  trùng với vết bằng của nó . Đây là tính chất đặc trng cho mf chiếu bằng, vì biết P2 hc bằng thì mf này cũng hoàn toàn đợc xác định. - vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x ( n ⊥ x). n - Góc giữa hình chiếu bằng của măt phẳng chiếu bằng với trục x chính là góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu x đứng.  = ( ) x P1
b. Mặt phẳng chiếu đứng. P1 * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 . * Tính chất: x - Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành đờng thẳng trùng với vết đứng của nó . P2 - vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x ( m ⊥ x). - Góc giữa hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng với trục x chính là góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu x bằng.  = ( ) x P2 m
c. Mặt phẳng chiếu cạnh. P1 n * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt  phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 . p P3 *Tính chất : x - Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh  suy biến thành đờng thẳng trùng với vết cạnh của nó . m - Mặt phẳng chiếu cạnh có vết đứng n và vết P2 bằng m song song với trục x: n m x Z - Góc giữa hình chiếu cạnh của mặt phẳng n chiếu cạnh với trục z chính là góc giữa mặt phẳng đó với mf hình chiếu đứng P1 , và  góc của nó với trục y(  x )chính là góc giữa x  y mặt phẳng đó với mf hình chiếu bằng P2. m  = ( ) x P1 ,  = ( ) x P2
3.3.2. Các mặt phẳng đồng mức. Mặt phẳng đồng mức là mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu. Gồm có :Mặt phẳng bằng, mặt phẳng mặt, mặt phẳng cạnh. a. Mặt phẳng bằng. * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Nhận xét: Vì mặt phẳng bằng song P1 A1 B1 1 C1 song với P2,, ,do đó nó vuông góc với P1 B và P3. Vậy mặt phẳng bằng cũng là mặt phẳng chiếu đứng và chiếu cạnh. C * Tính chất: A x - Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biết thành một đờng thẳng trùng B2 với vết đứng của mặt phẳng và song song với trục x. C2 A2 P2
- Hình chiếu bằng của bất kì hình phẳng nào thuộc mặt phẳng bằng cũng có độ lớn bằng chính nó . A2B2C2= ABC 1 A1 B1 C1 x B2 C2 A2 b. Mặt phẳng mặt. * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
P1 B1 B1 C1 C1 B A1 A1 C x x 2 A 2 A2 A2 2 B2 C2 P2 B C2 m Nhận xét: ặt phẳng mặt song song với P1 ,nên nó vuông góc với P2. Vậy mặt phẳng mặt cũng là mặt phẳng chiếu bằng. * Tính chất: - Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy biết thành một đờng thẳng trùng với vết bằng của nó và song song với trục x. - Hình chiếu đứng của bất kì hình phẳng nào thuộc mặt phẳng mặt cũng có độ lớn bằng chính nó . A1B1C1 = ABC
b. Mặt phẳng cạnh. P1 z B1 * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt B B3 phẳng song song với mặt phẳng hình A1 A A3 P3 chiếu cạnh P3. m C1 Nhận xét: ặt phẳng cạnh song x song với , nên nó vuông góc với , . P3, P1 P2 A2 C C3 Vậy mặt phẳng cạnh vừa là mặt phẳng chiếu bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng. B2 y P2 C2 z * Tính chất: B1 B3 - Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến thành đờng A3 thẳng trùng với vết đứng và vết bằng A1 C3 của nó và vuông góc với trục x. C1 x - Hình chiếu cạnh của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng cạnh cũng có độ A2 lớn bằng chính nó. B2 A3B3C3 = ABC C2
3.4 đờng thẳng và điểm thuộc mặt phẳng 3.4.1. Mệnh đề liên thuộc. a. Đờng thẳng thuộc mặt phẳng. -Một đờng thẳng thuộc một mặt phẳng nếu có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đó. - Đờng thẳng thuộc mặt phẳng nếu có một điểm thuộc mặt phẳng và đồng thời song song với một đờng thẳng khác của mặt phẳng. b. Điểm thuộc mặt phẳng. - Một điểm thuộc một mặt phẳng nếu nó thuộc một đờng thẳng của mặt phẳng đó. áp dụng để giải các bài toán sau: 3.4.2. Các bài toán: * Bài toán 1: Cho một đờng thẳng thuộc mặt phẳng, biết một hình chiếu, tìm hình chiếu thứ hai của nó. Ví dụ: Cho hình chiếu đứng c1 của đờng thẳng c  (a x b), tìm hình chiếu bằng c2.
a1 b1 Giải: 21 11 - Nếu c  a (hoặc c  b ) , thì c  a ( hoặc c  b), 1 1 1 1 c1 vì a,b và c  ( )- là mặt phẳng bất kỳ .Và trong trờng hợp này c2  a2 (hoặc c2  b2). -Nếu c1 x a1 =11 ; c1 x b1 = 21,,-thì c cắt đờng thẳng x a và b, .vậy c2 x a2 =12 ; c2 x b2 =22 Đờng thẳng c2 qua 1222 là c2 cần tìm. - Nếu c // b (hoặc c // a ) 1 1 1 1 12 22 thì c // b ( hoặc c // a ) b2 a2 vậy c // b (hoặc c // a ) 2 2 2 2 c1 Trờng hợp này, gọi giao của c và a là điểm 1, thì từ a1 b1 11 11 = c1 x a1, ta tìm đợc 12 thuộc a2, qua 12 kẻ c2 // b2- là hình chiếu phải tìm . x 12 b2 a2 c2
Bài toán 2: Cho một điểm thuộc một mặt phẳng, biết một hình chiếu, tìm hình chiếu thứ hai của nó. Ví dụ: Cho hình chiếu đứng A1 của điểm A thuộc mặt phẳng (n , m ). Tìm hình chiếu bằng A2. d1 Giải: N1 - Qua A ,ta kẻ đờng thẳng d nằm trong mf( ). A1 Vậy qua A1 kẻ đờng thẳng bất kì d1 . x N2 M1 - Gọi N là vết đứng của d, M là vết bằng của d, x thì N  N1 n , N2 x A2 M1 x , M  M2 m . - Vậy từ M1 dóng vuông góc với trục x, tìm đợc M2 M2 m . d2 - Nối N2, M2 đợc d2. Từ A1 dóng xuống d2, ta đợc A2 cần tìm .
3.5 các đờng thẳng đặc biệt của mặt phẳng 3.5.1. Đờng thẳng đồng mức của mặt phẳng. a. Đờng bằng của mặt phẳng. * Định nghĩa: Đờng bằng của mặt phẳng là đờng thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mf hình chiếu bằng P2. Nhận xét:- Nếu mf là mf bằng, thì mọi đ- ờng thẳng của nó đều là đờng bằng. -Nếu mf không phải là mf bằng, thì cũng có vô số đờng bằng, chúng song song P1 với nhau và song song với vết bằng của mặt phẳng. b1 N1 * Tính chất: b - Hình chiếu đứng song song với trục x. x N2 b1 // x - Hình chiếu bằng song song với vết bằng b2 của mặt phẳng . P2 b2 // m
Cách vẽ đờng bằng thuộc mặt phẳng: - Mặt phẳng cho bởi 2 vết cắt nhau: + Có thể vẽ hình chiếu đứng hay hình chiếu bằng của đờng bằng trớc đều đợc. N1 b1 x N2 x b2 - Mặt phẳng không cho bằng vết: + Trớc hết vẽ hình chiếu đứng của nó là một đờng thẳng song song với trục x. + Dựa vào bài toán đờng thẳng thuộc mặt phẳng để tìm hình chiếu bằng.
Ví dụ: Vẽ đờng bằng b thuộc mặt phẳng (g x h). Giải: - Kẻ b1 // x, giả sử b1 x g1 = 11 ; b1 x h1 = 21 - Tìm hình chiếu bằng 12, 22 của điểm 1và 2 - Nối 12, 22 đợc b2- là hình chiếu bằng của b g1 h1 21 11 b1 x b2 12 22 h2 g2
b. Đờng mặt của mặt phẳng. * Định nghĩa: Đờng mặt của mặt phẳng là đờng thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mf hình chiếu đứng P1. P1 Nhận xét:- Nếu mf là mf mặt thì mọi đt m1 của nó đều là đờng mặt. -Nếu mf không phải mf mặt thì cũng có vô m số đờng mặt, chúng song song với nhau và song song với vết đứng của mặt phẳng. x M1 M2 m2 P2 * Tính chất: - Hình chiếu bằng song song với trục x. m2 // x - Hình chiếu đứng song song với vết đứng của mặt phẳng . m1 // n
Cách vẽ đờng mặt thuộc mặt phẳng: - Mặt phẳng cho bởi 2 vết cắt nhau: m1 + Có thể vẽ hình chiếu đứng hay bằng của đờng mặt trớc đều đợc, rồi từ đó tìm đợc hc còn lại. x M1 x M2 m2 - Mặt phẳng không cho bằng vết: + Trớc hết vẽ hình chiếu bằng của nó là một đờng thẳng song song với trục x. g1 + Dựa vào bài toán đờng thẳng thuộc mặt phẳng 1 1 h1 để xác định hình chiếu đứng. m1 21 Ví dụ: Vẽ đờng mặt m thuộc mặt phẳng (g x h). x Giải: - Kẻ m2 // x, giả Sử m2 x g2 = 12 ; m2 x h2 = 22 12 m2 22 - Tìm hình chiếu đứng 11, 21 của điểm 1, 2 g2 h2 - Nối 11, 21 đợc m1 là hình chiếu đứng của m
3.5.2. Đờng dốc nhất của mặt phẳng. a. Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với mf hình chiếu bằng P2. * Định nghĩa: Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 là đờng thẳng thuộc mặt phẳng và vuông góc với đờng bằng của mặt phẳng (hoặc vết bằng của mặt phẳng). * Tính chất: P1 N1 - Một mặt phẳng cắt mặt phẳng P2 có vô số đờng dốc nhất đối với . Các đ- P2 d1 ờng thẳng này song song với nhau. d - Hình chiếu bằng của đờng dốc nhất này x M1 N2 b vuông góc với hình chiếu bằng của đ- ờng bằng (hoặc vết bằng) của mặt d2 phẳng. M2 P2
- Góc giữa đờng dốc nhất này với mf P2 chính là góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng P2. (d x P2) = ( x P2) Cách vẽ đờng đờng dốc nhất của một mặt phẳng với mặt phẳng P2 trên đồ thức: Nếu đã có hình chiếu bằng của đờng N1 bằng (Hoặc vết bằng) của mặt phẳng, thì vẽ hình chiếu bằng của đờng dốc nhất vuông góc với hình chiếu bằng của đờng d1 bằng (Hoặc vết bằng) của mặt phẳng ,rồi từ đó suy ra hình chiếu đứng của đờng dốc nhất theo bài toán đã xét ở mục trớc. x M1 N2 d2 P2 M2 N'
b. Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với mf hình chiếu đứng P1. * Định nghĩa: Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là đờng thẳng thuộc mặt phẳng và vuông góc với đờng mặt của mặt phẳng (hoặc vết đứng của mặt phẳng). * Tính chất: P1 - Một mặt phẳng cắt mặt phẳng P1 có vô số đờng dốc nhất đối với P1. Các đờng thẳng này song song với nhau. m - Hình chiếu đứng của đờng dốc nhất này N1 vuông góc với hình chiếu đứng của đờng d1 mặt (hoặc vết đứng) của mặt phẳng. M1 N2 - Góc giữa đờng dốc nhất này với mặt phẳng d P1 chính là góc giữa mặt phẳng với mặt d2 phẳng P1. M2 P2 (d x P1) = ( x P1)
Cách vẽ đờng đờng dốc nhất của mặt phẳng với mặt phẳng P1 trên đồ thức: Nếu đã có hình chiếu đứng của đờng mặt (Hoặc vết đứng) của mặt phẳng, thì vẽ hình chiếu đứng của đờng dốc nhất vuông góc với hình chiếu đứng của đờng mặt (Hoặc vết đứng) của mặt phẳng , từ đó suy ra hình chiếu bằng của đờng dốc nhất theo bài toán đã xét ở mục trớc. N' N1 P1 d1 x N2 M1 d 2 M2
Ví dụ: Xác định góc nghiêng của mặt phẳng (g x h) với mặt phẳng P2. Giải: - Vẽ đờng bằng b (Vẽ b1, rồi xác định b2). g1 h1 - Trên g lấy một điểm A bất kì. A1 - Từ A kẻ đờng AH ⊥ đờng bằng b : Từ A2 kẻ A2H2 ⊥ b2, từ H2 H1 b1. 21 b1 - Tìm góc nhiêng của AH với P2 ,chính là H1 11 góc ( x P ) 2 x b2 12 22 H2 P2 h2 A2 g2
3.6 vị trí tơng đối của hai mặt phẳng trong không gian hai mặt phẳng có thể song song hoặc cắt nhau. 3.6.1. Hai mặt phẳng song song. * Điều kiện: - Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song nhau là trong mặt phẳng này có hai đờng thẳng cắt nhau tơng ứng song song với hai đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia. Cho (a x b) ; (a x b ) Nếu a // a ; b // b , thì //  a1 b'1 a a' b1 a'1 x b2 b b' a'2  a2 b'2
- Trờng hợp trên đồ thức hai mặt phẳng đợc cho bằng vết đứng và vết bằng, và hai mặt phẳng không phải là mặt phẳng chiếu cạnh, thì điều kiện để hai mặt phẳng song song là các vết cùng tên của chúng song song với nhau. //  n // n m // m P1 x x  P2
* ví dụ: Qua điểm A (A1,A2)dựng mặt phẳng (n, m) song song với mặt phẳng , biết các vết của mặt phẳng là(n , m ) Giải: N1 A1 - Qua A dựng đờng bằng b thuộc ( ), có b1 b1 đi qua A1 và // x, b2 qua A2 và // m - Từ đó tìm đợc vết đứng N(N1, N2) của đ- x N2 ờng bằng b. x - Qua hình chiếu đứng N1 của vết đứng kẻ n // n . A2 b2 - n cắt trục x tại x, qua x kẻ m // m .
3.6.2. Hai mặt phẳng cắt nhau. Hai mặt phẳng không song song sẽ cắt nhau theo một đờng thẳng. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta xét các trờng hợp sau. a. Hai mặt phẳng đều là mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng. Giao tuyến của chúng sẽ là đờng thẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng. l1 l1  n x n x 2 l  m m l2
b. Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu đứng, một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu bằng. Giao tuyến của hai mặt phẳng có hình chiếu đứng trùng với hc đứng của mặt phẳng chiếu đứng, hình chiếu bằng trùng với hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng. 1  l 1  n x x  2  l 2 m
c. Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu đứng một mặt phẳng là bất kì. Giao tuyến của 2 mặt phẳng có hình chiếu đứng trùng với hc đứng của mặt phẳng chiếu đứng, hình chiếu bằng của giao tuyến đợc xác định theo bài toán đờng thẳng thuộc mặt phẳng. Cho mặt phẳng ⊥ P1 ,  là bất kì Giao của x  = g thì g1  1 , dựa vào g mặt phẳng  để tìm g2. N1 x N2 m
d. Một mặt phẳng là mặt phẳng chiếu bằng, một mặt phẳng là bất kì. Giao tuyến của 2 mặt phẳng có hình chiếu bằng trùng với hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng, hình chiếu đứng của giao tuyến đợc xác định theo bài toán đờng thẳng thuộc mặt phẳng. n l1 x M1 M2
e. Hai mặt phẳng bất kì Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này  ta dùng mặt phẳng cắt phụ trợ. * Nội dung: Giả sử cho mặt phẳng ( ) x () Bớc 1: Dựng mặt phẳng phụ trợ (),cắt cả h' hai mặt phẳng. Bớc 2: Tìm giao của () x ( ) = h M () x () = h'  Bớc 3: Tìm giao điểm h x h' = M, thì M thuộc giao tuyến của ( ) và (). * Chú ý: - Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho dễ tìm đợc hình chiếu của h và h'. Do đó thờng chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng đồng mức hoặc mặt phẳng chiếu. - Nếu trên đồ thức của hai mặt phẳng đã cho cha có điểm chung nào thì phải dựng hai mặt phẳng phụ trợ để tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (n, m ) và (n, m) Giải: Trên đồ thức ta thấy: N1 - n x n = N1  N  l (giao tuyến của và ). Từ N1 N2  x. l1 x M1 N2 - m x m = M2  M  l. Từ M2 M1  x. l2 Nối N1 với M1 đợc l 1 -là hình chiếu đứng của giao tuyến. Nối N2 với M2 đợc l 2- là hình chiếu M2 bằng của giao tuyến.
Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (n , m ) và (n, m), có n // n. Giải:Gọi giao của hai mf là g, ta thấy: g1 - n // n, vậy g // với mf hc đứng- có nghĩa là: g1 // n // n g2 // trục x x M1 - m x m = M2  M  g M1  x -Vậy g1 qua M1 và // n // n g2 g2 qua M2 và // trục x M2
Ví dụ 3: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (g x h) và (m // n). Giải: g1 h1 n1 m1 1a1b1 11 21 31 41 E1 l1 51 61 F1 '1a'1b'1 x b2 52 32 42 b'2 a2 l2 F2 a'2 E2 62 12 22 g2 h2 n2 m2
3.7 vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và mặt phẳng Trong không gian đờng thẳng không thuộc mặt phẳng thì có thể song song với mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng . 3.7.1. Đờng thẳng song song với mặt phẳng. * Điều kiện: Điều kiện cần và đủ để một đờng thẳng song song với một mặt phẳng là nó phải song song với (ít nhất) một đờng thẳng của mặt phẳng đó. Ta vận dụng điều kiện đó vào đồ thức.
Ví dụ: Qua điểm A(A1,A2), dựng đờng thẳng song song với mặt phẳng BCD và P2 . * Nhận xét: + Gọi đờng thẳng cần dựng là d + Vì d // P2, và d // BCD, vậy d // với đờng bằng của BCD B1 d1 A1 Cách giải: 11 h1 Kẻ đờng bằng h  BCD C1 - Rồi qua A kẻ d // h: x D1 Qua A1 kẻ d1 // h1 // x . D2 Qua A2 kẻ d2 // h2 . d2 12 h2 A2 C2 B2
2. Đờng thẳng cắt mặt phẳng. Để tìm giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng ta chia ra các trờng hợp sau: a. Trờng hợp đặc biệt. Đờng thẳng hoặc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. * Mặt phẳng là mặt phẳng chiếu còn đờng thẳng là đờng thẳng bất kì. - Biết một hình chiếu của giao điểm là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu với hình chiếu tơng ứng của đờng thẳng. - Hình chiếu còn lại đợc tìm bằng cách áp dụng tính liên thuộc của điểm và đờng thẳng J1 J1 n l1 l1 x x 2 l2 l n J2 J2 Mặt phẳng chiếu bằng Mặt phẳng chiếu đứng
* Đờng thẳng là đờng thẳng chiếu, mặt phẳng là bất kì: - Một hình chiếu của giao điểm đã biết là trùng với hình chiếu suy biến của đờng thẳng chiếu. - Hình chiếu còn lại của giao điểm đợc tìm dựa theo tính liên thuộc của điểm và mặt phẳng l1 N1 l1  J1 b 1 J1 m1 x M1 x N2 2 l2  J2 J M2 m2 b2 l2 Đờng thẳng chiếu bằng Đờng thẳng chiếu đứng
b. Trờng hợp tổng quát. Đờng thẳng và mặt phẳng là bất kì Trờng hợp này muốn tìm giao điểm ta dùng phơng pháp mặt phẳng phụ J trợ. * Nội dung:  Giả sử đờng thẳng d x ( ) = J Bớc 1: Qua đờng thẳng d dựng mặt phẳng phụ trợ (). Bớc 2: Tìm giao tuyến phụ của mặt phẳng () và ( ) , giả sử gọi là g. Bớc 3: Tìm giao của g và d là điểm J , thì J là giao điểm cần tìm. * Chú ý: - Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho việc tìm giao tuyến g là dễ dàng . Thờng chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu.
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đờng thẳng l và mặt phẳng (n , m ) Giải: Bớc 1: Qua l dựng mặt phẳng chiếu bằng  Bớc 2: Tìm giao tuyến phụ () x ( ) = g Bớc 3: Tìm giao điểm của g và l: g x l = J N1 l1 J1 g1 x M1 N2 J2 M2 2  l2 g2
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đờng thẳng l và mặt phẳng ABC Giải: Bớc 1: Qua l dựng mặt phẳng chiếu đứng  (1  l1) B1 Bớc 2: Tìm giao tuyến phụ g = () x ( ) Biết g  l ta tìm đợc g 1 1, 2 . 1  l1 g1 Bớc 3: Tìm giao điểm J = g x l 11 J1 21 C1 x A1 22 C2 A2 J2 12 l2 g2 B2
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đờng thẳng l và mặt phẳng (a//b). Giải: Bớc 1: Qua l dựng mặt phẳng chiếu đứng  : (1  l1) Bớc 2: Tìm giao tuyến phụ g = () x ( ) 1  l1 g1 a1 Biết g1  l1 g2 11 Bớc 3: Tìm giao điểm I = g x l I1 b1 Trờng hợp này không nên dùng mặt phụ trợ là mặt phẳng chiếu bằng vì khó 21 tìm giao tuyến g. x l2 22 b2 I2 g2 12 a2
3.7.3. Quy ớc thấy khuất. A1B1 a. Quy ớc thấy khuất trên hình chiếu đứng. x Nếu hai điểm cùng tia chiếu đứng, quy ớc điểm nào có độ xa lớn hơn, thì hình chiếu đứng của nó sẽ thấy, và hình chiếu đứng của điểm còn lại sẽ khuất. A2 Xét hai điểm thuộc một tia chiếu đứng nh hình vẽ : Ta thấy: A1 khuất , B1 thấy Vì điểm B có độ xa lớn hơn điểm A B2 b. Quy ớc thấy khuất trên hình chiếu bằng. B1 Xét hai điểm cùng thuộc một tia chiếu bằng , quy ớc, điểm nào có độ cao lớn hơn, thì hình chiếu bằng của nó sẽ thấy, và hình chiếu bằng của điểm còn lại sẽ khuất. Ví dụ: hình bên, ta thấy: B2 thấy, A2 khuất, A1 x Vì điểm B có độ cao lớn hơn điểm A. A2B2
Ví dụ: Xét thấy khuất ở ví dụ 2 mục 2 Bài giải: Sau khi xác định đợc giao điểm J, ta thấy: - Giới hạn thấy khuất của đờng thẳng l trên 2 hình chiếu đợc giới hạn bởi điểm J. - Xét trên hình chiếu đứng: Xét 2 điểm 11  1 1 B1 (Với 1 AB, 1 l)  1' Ta thấy điểm 1 có độ xa lớn hơn 11 1 J điểm 1 3' 1 C 1 21 1 Phần đoạn thẳng của l1 đang xét 3 là khuất, phần còn lại là thấy. x A1 1 - Xét trên hình chiếu bằng: 22 C2 1'2  Xét 2 điểm 32  3 2 A2 32 3'2 J2 (Với 3 AC, 3 l) l2 Ta thấy điểm 3 có độ cao lớn 12 hơn điểm 3 B2 Phần đoạn thẳng của l2 đang xét là thấy, phần còn lại là khuất.
3.8 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng * Điều kiện: Trong không gian điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng là nó phải vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó. Xét trên đồ thức, ta chia ra hai trờng hợp sau: 3.8.1. Trờng hợp mặt phẳng không phải là mặt phẳng chiếu cạnh. Giả sử cho mặt phẳng bất kỳ, cần kẻ một đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng . P1 Trong mặt phẳng ta vẽ hai đờng d thẳng cắt nhau là đờng bằng b và đờng m mặt m, rồi vẽ đờng thẳng d vuông góc với cả b và m, thì d vuông góc với mặt phẳng . J x b P2
Từ điều kiện về hình chiếu của hai đ- ờng thẳng vuông góc , ta có nhận xét: P1 d + Chiếu lên mặt phẳng hình chiếu bằng ,thì m d2 ⊥ b2 . + Chiếu lên mặt phẳng hình chiếu đứng ,thì d1 ⊥ m1 J x b P2 Từ nhận xét trên ta rút ra điều kiện sau: * Điều kiện để đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng trên đồ thức: điều kiện cần và đủ để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng là hình chiếu đứng của đờng thẳng phải vuông góc với hình chiếu đứng của đờng mặt của mặt phẳng (hoặc vết đứng của mặt phẳng), và hình chiếu bằng của đờng thẳng phải vuông góc với hình chiếu bằng của đờng bằng của mặt phẳng(hoặc vết bằng của mặt phẳng).
d1 m1 1 b d1 x x m 2 b 2 d2 d2
3.8.2.Trờng hợp mặt phẳng là mặt P1 d z phẳng chiếu cạnh. n A Trờng hợp này đờng bằng và đờng mặt d3 của mf song song với nhau, do đó ta lấy P3 một đờng thẳng là đờng mặt (hay đờng bằng), còn đờng kia là đờng cạnh.Ta rút ra b nhận xét sau: Đờng thẳng vuông góc với J3 x mặt phẳng chiếu cạnh , thì nó là một đờng J cạnh và phải vuông góc với đờng cạnh p của mặt phẳng. Vậy ta có m điều kiện sau: y P2 B D1 z Điều kiện cần và đủ để một đờng thẳng n D3 vuông góc với mf chiếu cạnh là nó phải là đ- ờng cạnh và có hình chiếu cạnh vuông góc với hình chiếu cạnh của đờng cạnh của mặt J1 J3 phẳng (hoặc vết cạnh của mặt phẳng) . x d // P3 J2 và d3 ⊥ p m D2
Ví dụ : Tìm khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (n x m ). Giải: -Qua A kẻ đờng thẳng d ⊥mf -Tìm giao điểm H = d x g    d - Xác định ĐDT của AH 1 1 1 H* 11 DDT-AH H1 A1  2 x x 12 21 H2 g2 d2 22
chơng 4*-Các phép biến đổi hình chiếu Đặt vấn đề: Nh phần trên ta thấy, khi các đối tợng hình học có vị trí đặc biệt so với HT các mf hình chiếu thì việc giải các bài toán hình hoạ sẽ đơn giản hơn nhiều, vì vậy, ng- ời ta thờng dùng phép biến đổi để đa các hình từ vị trí bất kỳ về vị trí đặc biệt- giải các bài toán, rồi biến đổi ngợc lại sẽ đợc kết quả cần tìm. Trong Hình hoạ thờng dùng các phép biến đổi sau: - Thay các mf hình chiếu: là giữ nguyên vị trí các hình đã cho, chỉ thay đổi các mf hình chiếu- với điều kiện là hớng chiếu mới phải vuông góc với mf hình chiếu mới. - Phép dời hình: là giữ nguyên HT các mf hình chiếu, hớng chiếu, chỉ dời hình đã cho tới vị trí đặc biệt đối với HT các mf hình chiếu. 4*-1 Phép thay các mf hình chiếu. 4*1.1 Thay một mf hình chiếu: Là bỏ đi một mf hình chiếu cũ và thay vào một mf hình chiếu mới có vị trí thẳng góc với mf hình chiếu còn lại. a-Thay mf hình chiếu đứng
A1 A1 A'1 // A A1' x Ax x // Ax Ax' Ax' x' A 2 x' A2 Nhận xét: Hai hệ thống là tơng đơng Cách xđ hình chiếu đứng mới: -Hc bằng A2 giữ nguyên -Vẽ trục x -phụ thuộc yêu cầu bt. -A2A1 ⊥ x - trục hc mới. -Từ A2 hạ đờng vuông góc với x , -Độ cao của A là không đổi : trên đó lấy đoạn Ax A1 = AxA1. A1Ax = AA2 = A1 Ax .
A1 b-Thay mf hình chiếu bằng x" Ax" // A1 x" A ' Ax 2 Ax" x // A // // A2' Ax x A2 // A2 Nhận xét: -Hc đứng A1 giữ nguyên. - Đờng thẳng A1A2 ⊥ trục hc mới x . - Độ xa không đổi: AxA2 = A1 A = Ax A2
4*1.2 Thay hai mf hình chiếu: Là thay đổi lần lợt cả hai mf hc cũ bằng hai mfhc mới theo 2 bớc sau: -Thay hệ thống P1P2 bằng hệ thống P2P1’. -Thay hệ thống P2P1’ bằng hệ thống P1’P2’. Chú ý: * Mỗi đờng dóng mới đi qua 1 hc cũ (hc giữ nguyên) và thẳng góc với trục hc mới. * Khoảng cách từ hc mới tới trục hc mới luôn bằng kc từ hc cũ (hc phải thay) tới trục hc cũ A1 Ax x x' x" A2 // Ax' // A2' Ax" A1'
4*1.3 Các bài toán cơ bản: chia làm 4 loại sau: Bài toán1: Thay mfhc để đa 1 đt bất kỳ trong ht cũ thành đt đồng mức trong ht mới. Ví dụ: cho đt AB bất kỳ, cần đa AB trở thành đt mặt trong ht mới. Ta lấy mf P1 vuông góc với P2 và song song với AB, thì: -Trục hc mới x // A2B2, Từ đó vẽ đợc A1 B1 . -Trong ht mới thì A1 B1 = AB, Góc giữa A1 B1 với trục x chính là góc nghiêng của AB với mf hc bằng P2. B1 A1 x B2 A 2 x' A1' B1'
Bài toán 2:Thay mf hc để đa 1 đt bất kỳ trong ht cũ thành đt chiếu trong ht mới. Giải: ở bài toán 1 ta đã thay mf P1 bằng P1 để đa AB thành đt mặt trong ht P2P1 . Bây giờ ta tiếp tục thay mf P2 bằng mf P2 sao cho mf P2 vừa vuông góc với P1’ vừa vuông góc với AB.- nếu gọi x = P1 x P2 , thì x phải vuông góc với A1 B1 và trong ht mới này AB trở thành đt chiếu bằng. B1 A1 x B2 A x" 2 x' A1' B1' A2' B2'
Bài toán 3: Thay mfhc để đa mf bất kỳ ABC trong ht cũ thành mf chiếu trong ht mới. Nhận xét: Để ABC trở thành mf chiếu trong ht mới, nếu thay mf P1 bằng mf P1’, thì mf P1’ vừa vuông góc với P2, vừa vuông góc với ABC. Giải: Trong mf ABC, ta vạch 1 đờng bằng h , rồi lấy mf P1’ vuông góc với h. - Gọi x = P2 x P1 , thì x ⊥ h2, từ đó dễ dàng vẽ đợc A1 B1 C1 . Góc giữa hc suy biến A1 B1 C1 với trục x chính là góc nghiêng của mf ABC với mf P2. B1 A1 h1 C x 1 B1' B2 h2 A1' A2 x' C1' C2
Bài toán 4: Thay mf hc để mf bất kỳ trở thành mf đồng mức trong ht mới. Giải: Trong bt 3 ta đã thay mf P1 bằng mf P1’ để đa mf ABC thành mf chiếu đứng trong ht P2P1’. Bây giờ ta tiếp tục thay mf P2 bằng mf P2 sao cho P2’ vừa vuông góc với P1’ vừa song song với ABC,thì trong ht mới mf ABC sẽ là mf bằng. -Gọi x là trục hc mới, thì x // A1 B1 C1 , từ đó vẽ đợc A2 B2 C2 - và A2 B2 C2 bằng độ lớn thật của tam giác ABC. B1 A1 h1 C x 1 B1' B2 B2' h2 A1' A 2 x' C1' C2 x" A2' C2'
4*-2 Phép di chuyển song phẳng. a- Định nghĩa: DCSP là giữ nguyên các mf hc, còn tất cả các điểm của vật thể đợc di chuyển trong các mf song song với một mf cho trớc. -Giả sử điểm M di chuyển song song với mf P2, thì M sẽ vẽ lên một đờng cong phẳng. Mặt phẳng của đờng cong // P2. Hc bằng M2 sẽ vẽ ra một đờng cong giống với đờng cong của M vẽ ra. Hc đứng M1 di chuyển theo một đờng thẳng // x M " M1 M1' 1 M M' M" M2 M2' M2"
B- Định lý: Nếu hình  di chuyển song song với mfhc bằng P2 thì các hc đứng của các điểm thuộc hình  sẽ di chuyển theo các đt song song với trục x, hc bằng mới của hình  sẽ bằng hc bằng cũ. Vậy: khi dc // với mphc P2 thì : * Hc bằng mới có hình dáng và độ lớn bằng hc bằng cũ 2' = 2 và có thể đặt 2' ở vị trí bất kỳ thuận tiện cho việc giải quyết bài toán đặt ra. *Hc đứng mới vẽ đợc nhờ các đờng dóng nằm ngang từ hc đứng cũ 1 và các đờng dóng thẳng đứng từ các điểm tơng ứng của hc bằng mới 2'. Nếu hình  di chuyển song song với mfhc đứng P1 thì: * Hc đứng mới bằng hc đứng cũ 1' = 1 * Hc bằng mới vẽ đợc nhờ các đờng dóng nằm ngang từ các điểm trên 2 và các đờng dóng thẳng đứng từ các điểm tơng ứng trên hc đứng mới 1' . Ví dụ 1:Tìm độ lớn thật của tam giác ABC bằng pp di chuyển song phẳng. Giải: Bớc1- Di chuyển tam giác ABC song song với mfhc bằng tới vị trí vuông góc với mfhc đứng Bớc 2- Di chuyển tam giác A'B'C' song song với mfhc đứng tới vị trí song song với mfhc bằng ( A1"B1"C1" // x), khi đó A2"B2"C2" = ĐLT của tam giác ABC
B1 B1' A1 A1' C1" A1" B1" C1' C1 A2" A2' A2 B2 C2" C2 C2' B2" B2'
Ví dụ 2: Bằng phép dời hình song song với mfhc bằng đa mf về vuông góc với mfhc đứng. Giải: *Vẽ trong mf một đờng bằng h, thì trong quá trình di chuyển // với P2, khoảng cách từ h2 đến m không đổi ( h2 đến m = h2' đến m' ) và độ cao của đt h không đổi. *Khi mf vuông góc với P1 thì m' ⊥x và hc đứng của mf suy biến thành một đt. h1 h'1 x
Chơng 4: Đờng cong, đa diện và mặt cong 4.1 đờng cong 4.1.1. Định nghĩa: - Đờng cong là quỹ đạo của điểm chuyển động trong mặt phẳng hay trong không gian. Ngoài ra đờng cong có thể là giao của hai mặt. - Đờng cong có thể là đờng cong phẳng hay đờng cong ghềnh: + Đờng cong phẳng: Là đờng cong khi mọi điểm của đờng cong cùng thuộc một mặt phẳng. Ví dụ: Đờng tròn, đờng elip, đờng parabol, hypebol + Đờng cong ghềnh: Là đờng cong khi mọi điểm của đờng cong không cùng thuộc một mặt phẳng. Ví dụ: Đờng xoắn ốc - Bậc của đờng cong: + Đờng cong đại số: Là đờng cong biểu diễn đợc bằng phơng trình đại số, bậc của phơng trình là bậc của đờng cong. + Đờng cong hình học: Đợc vẽ bằng cách xác định điểm Ví dụ: Đờng elíp, đờng thân khai, đờng tròn
4.1.2. Các tính chất về hình chiếu của đờng cong. - Tính chất 1: Hình chiếu (Xuyên tâm hay song song) của tiếp tuyến của đờng cong ở một điểm, nói chung là tiếp tuyến của hình chiếu của đờng cong tại hình chiếu của điểm đó. Ví dụ: t là tiếp tuyến của đờng cong c tại M c Thì t là tiếp tuyến của hc đờng cong c tại M t * Chú ý: Trong trờng hợp đặc biệt tiếp điểm M giữa đ- c' M ờng cong c và t trong không gian, có hình chiếu t' M có thể là điểm uốn (Hình a), hoặc là điểm lùi loại 1 (Hình b), hoặc điểm lùi lại 2 (Hình c) trên đ- M' ờng c'. c' c' c' M' M' M' t' t' t' Hình a Hình b Hình c
-Tính chất 2: Hình chiếu của đờng cong đại số bậc n nói chung vẫn là đờng cong đại số bậc n. +Hình chiếu thẳng góc của 1 elíp có thể là 1 elíp hoặc 1 đờng tròn. +Hình chiếu thẳng góc của 1 parabol ( hoặc hypebol) là 1 parabol( hoặc hypebol). 4.1.3 Hình chiếu song song của đờng tròn. Tính chất: -Nếu mf của đờng tròn song song với mf hình chiếu, thì hình chiếu của nó vẫn là đờng tròn. -Nếu mf của đờng tròn vuông góc với mf hình chiếu, thì hình chiếu của nó suy biến thành đoạn thẳng dài bằng đờng kính đờng tròn.
- Nếu hớng chiếu không song, không vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn thì hình chiếu của nó là một elíp : + Tâm của Elíp hình chiếu là hình chiếu của tâm đờng tròn + Hình chiếu của 2 đờng kính vuông góc của vòng tròn là hai đờng kính liên hiệp của Elíp hình chiếu. Nói chung các đờng kính liên hiệp của Elíp không vuông góc với nhau. Trờng hợp các đờng kính liên hiệp vuông góc với nhau ta gọi là trục ngắn và trục dài của Elíp. + Trục dài của Elíp là hình chiếu của đờng kính song song với mặt phẳng hình chiếu của đờng tròn. + Trục ngắn của Elíp là hình chiếu của đờng kính nằm trên đừơng dốc nhất của mặt phẳng chứa hình tròn với mặt phẳng hình chiếu. * Biểu diễn đờng cong: - Đờng cong cũng đợc biểu diễn bằng các hình chiếu của nó. - Khi hình chiếu của đờng cong là cung tròn thì ta vẽ cung tròn bằng compa. - Khi đờng cong trên hình chiếu không phải là đờng tròn thì phải tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết trên đờng cong và nối các điểm đó lại thì đợc hình chiếu của đờng cong , số điểm tìm đợc càng nhiều thì đờng cong vẽ đợc càng chính xác .
Ví dụ: cho đờng tròn tâm o thuộc mặt phẳng (n , m ).Biết O1 và hai vết của mặt phẳng ,vẽ các hình chiếu của đờng tròn đó.Cho bán kính đờng tròn bằng R. A1 n O C1 1 D1 2R B1 x C2 O2A2B2 D2
4.2 đa diện và mặt cong 4.2.1. Đa diện 1. Định nghĩa: - Đa diện là một mặt kín đợc tạo thành bởi các đa giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh. - Các đa giác phẳng này gọi là các mặt của đa diện. - Giao tuyến giữa các mặt của đa diện là các cạnh của đa diện. - Giao của các cạnh của đa diện là các đỉnh của đa diện. S - Các loại đa diện: Đỉnh Mặt + Mặt tháp (Mặt chóp) là đa diện có các cạnh bên cắt nhau. (Hình a) Mặt chóp thờng đợc kí hiệu bằng đỉnh (Ví dụ: S.ABCD ) D A Cạnh B C Hình a
+ Mặt lăng trụ là đa diện có các cạnh bên song song với nhau. * Lăng trụ xiên là lăng trụ có các cạnh là đờng thẳng bất kì. (Hình b) * Lăng trụ chiếu là lăng trụ có các cạnh bên là đờng thẳng chiếu. (Hình c) Lăng trụ thờng đợc kí hiệu bằng các cạnh. (Ví dụ: a b c .) d A a B c c Mặt a b Đỉnh b D E F Cạnh C Hình b Hình c Hình d + Đa diện bất kì (Hình d)
2. Biểu diễn đa diện. - Đa diện đợc biểu diễn bằng các hình chiếu bởi hình chiếu các cạnh, các đỉnh và các mặt bên của nó. - Hình biểu diễn cần đợc xét thấy, khuất.Trên S1 2 mỗi hình chiếu, đờng bao quanh hình chiếu 1 thì thấy( vẽ bằng nét liền đậm). Cạnh có hình chiếu ở bên trong đờng bao quanh hình 1  1' A 1 1 C1 chiếu thì phải xét thấy, khuất. Cạnh khuất vẽ 1 bằng nét đứt. 2' x B 1 - Ví dụ: Biểu diễn tháp S.ABC.Hai cạnh SB và 1 AC chéo nhau, ta thấy S B thấy và A C A2 1 1 1 1 1'2 khuất.Từ sự thấy, khuất của các cạnh, ta suy C2 ra sự thấy, khuất của các mặt đa diện trên hình chiếu đó.Tơng tự dới hình chiếu bằng, 22 2'2 S2A2 thấy, còn B2C2 khuất. S B2 2 12 3. Điểm thuộc đa diện. - Để vẽ điểm thuộc cạnh của đa diện ta áp dụng bài toán vẽ điểm thuộc đờng thẳng. - Để vẽ điểm thuộc mặt đa diện ta gắn điểm vào đờng thẳng thuộc các mặt của đa diện.Cụ thể nh sau:
Mặt chóp: +Ta gắn điểm vào đờng sinh đi qua điểm đó và đỉnh chóp. + Hoặc gắn điểm vào đờng thẳng đi qua điểm đó và song song với cạnh của đáy chóp. S1 A1 S1 N1 (K) M1(T) B1 A1 B1 D1 C1 D1 B C 2 x 1 N2(T) C2 B S2 2 A 2 S2 C2 A2 M (T) 2 D2 D2
Mặt lăng trụ: Để vẽ điểm thuộc mặt bên của lăng trụ, ta gắn điểm vào đờng sinh thuộc mặt bên và song song với cạnh bên của lăng trụ. -Trên hình chiếu đang xét của một đa diện,một điểm thuộc một mặt thấy thì điểm đó thấy, một điểm thuộc mặt khuất, thì điểm đó M1 (K) khuất. A1 B1 C x 1 C2 A2 M2(T) B2
4.2.2. Mặt cong 1.Các khái niệm cơ bản: - Mặt cong là quỹ tích của một đờng (đờng thẳng hoặc đờng cong) chuyển động theo một quy luật nào đó. Đờng chuyển động này gọi là đờng sinh. -Tiếp tuyến,mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong. +một đờng thẳng đợc gọi là tiếp tuyến của mặt cong tại điểm M, nếu nó là tiếp tuyến tại M n của một đờng cong vẽ trên mặt cong qua điểm M. +trên mặt cong có vô số đờng cong đi qua M, do t đó có vô số tiếp tuyến tại M của mặt cong. Nếu các tiếp tuyến này cùng nằm trên một M mặt phẳng, thì mặt phẳng này gọi là mặt f phẳng tiếp xúc của mặt cong tại M. Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại M đợc gọi là pháp tuyến của mặt cong tại M. +Hai mặt cong gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M, nếu điểm M thuộc cả hai mặt và hai mặt phẳng tiếp xúc của hai mặt cong tại M trùng nhau. + Biểu diễn một mặt: là biểu diễn các yếu tố hình học đủ để xác định mặt đó.
-Đờng thấy ngoài, đờng bao quanh hình chiếu của một mặt. Giả sử có một mặt , hớng chiếu s và mặt phẳng hình chiếu P .Ta vạch các tia chiếu theo hớng s, tiếp xúc với mặt . Các tia chiếu này tạo thành một mặt trụ tiếp xúc s với mặt  theo đờng m, thì:  +Đờng cong m gọi là đờng thấy ngoài m k trên mặt  ứng với hớng chiếu s.Đ- M ờng thấy ngoài định ra trên mặt  phần mặt trông thấy và phần mặt bị che khuất theo hớng chiếu s. +Hình chiếu m' của m trên mặt phẳng m' hình chiếu P gọi là đờng bao quanh k' hình chiếu của  trên mặt phẳng P. M' Nếu có đờng k thuộc mặt  và cắt P đờng thấy ngoài m ở điểm M, thì nói chung hình chiếu k' của k sẽ tiếp xúc với đờng bao quanh hình chiếu của mặt  ở điểm M' là hình chiếu của M.
2. Các mặt cong thờng gặp. a. Mặt nón. * Định nghĩa: - Mặt nón là mặt đợc tạo thành bởi một đờng thẳng chuyển động luôn đi qua một điểm cố S định và tựa trên một đờng cong cho trớc. Đỉnh - Điểm cố định gọi là đỉnh nón. - Đờng cong cho trớc gọi là đờng chuẩn của nón. Đừơng chuẩn * Cách biểu diễn: Khảo sát mặt nón bao gồm mặt xung quanh và mặt đáy nón. Trên mỗi hình chiếu cần xác định hình chiếu của đỉnh nón, đáy nón, đờng sinh bao ngoài và xác định phần thấy và khuất trên từng hình chiếu đó
Chú ý: +Trên hình chiếu đứng, nửa trớc của mặt nón giới hạn bởi đờng thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa sau khuất. +Trên hình chiếu bằng, nửa trên của mặt nón giới hạn bởi đờng thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa dới sẽ khuất. S1 S Vĩ tuyến Mặt sau Đờng Mặt trớc sinh B S2 A
Ví dụ: cho mặt nón nh hình bên. -Theo hớng chiếu đứng,đờng thấy ngoài của mặt nón là hai đờng sinh SA và SB. Từ đó vẽ đợc đờng bao quanh hình chiếu đứng của mặt nón là S1 S1A1B1S1. Xét thấy khuất, các đờng sinh có chân nằm trên cung A2D2B2 là thấy trên hình chiếu đứng của mặt nón. -Theo hớng chiếu bằng, đờng thấy ngoài là hai đờng sinh SC và SD ,hình chiếu S2 A B bằng của chúng là S2C2 và S2D2 tiếp 1 C 1 1 D1 xúc với hình chiếu bằng đờng tròn đáy tại C2 và D2. Từ đó vẽ đợc đờng bao C2 quanh hình chiếu bằng là S2C2A2D2S2. Trên hình chiếu bằng chỉ các đờng A2 B2 sinh có chân nằm trên cungC2A2D2 là thấy. D2 -Trên các hình chiếu, các điểm nằm trên các đờng sinh thấy trên hình chiếu đó sẽ thấy.
Điểm thuộc mặt nón: Để xác định các hình chiếu của điểm thuộc mặt nón ta có 2 cách: - Gắn điểm vào đờng sinh của mặt nón. - Gắn điểm vào đờng tròn song song với đáy của mặt nón. S1 S1 M1 (T) M1(T)  N1 (K) x O1 x S2 N2(K) O2 M2(T) S2 M2 (T)
b. Mặt trụ. l Định nghĩa: Mặt trụ là quỹ tích của một đờng thẳng chuyển động luôn song song với một đờng thẳng cho trớc và tựa trên một đờng cong cho tr- ớc. - Mặt trụ chiếu: Là mặt trụ có đờng sinh là đờng thẳng chiếu. - Mặt trụ xiên: Là mặt trụ có đờng sinh là đờng thẳng bất kì. Đừơng chuẩn O1 a1 b1 x O'1 x O'2 O2 a2 b 2
Điểm thuộc mặt trụ: -Để xác định các hình chiếu của điểm thuộc mặt trụ, ta gắn điểm vào đờng sinh của mặt trụ. O1 M1 (T) M1 (T)  N1 (K) O'1 x x N2 (T) O'2 O2 M2 (K) M2 (T)
c. Mặt cầu V1 C1 * Định nghĩa: Mặt cầu có thể coi là mặt tròn xoay do nửa đờng tròn lớn bất kỳ của mặt cầu xoay O1 quanh đờng kính của nó tạo ra. * Hình biểu diễn: Đờng bao quanh hình chiếu đứng và hình x chiếu bằng của mặt cầu là 2 vòng tròn bằng nhau có đờng kính bằng đờng kính mặt cầu đã cho. Đó là hình chiếu tơng ứng của hai vòng tròn lớn thuộc V2 mặt phẳng mặt và mặt phẳng bằng. O 2 C2
* Điểm thuộc mặt cầu: Để xác định điểm thuộc mặt cầu ta gắn điểm đó vào đờng tròn nằm trên mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt của mặt cầu. M (T) 1 M1(K)  N1 (K) O1 O1 N1 (K) x x M2 (T) N2 (T)  N2(K) O2 O2 M2 (T)
Chơng 5: Giao của mặt phẳng với các mặt Định nghĩa: Giao của mặt phẳng với các mặt là tập hợp các điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt đó. 5.1. Dạng của giao 5.1.1. Giao của mặt phẳng với đa diện - Giao của mặt phẳng với đa diện là một đa giác, có các cạnh là các giao tuyến của các mặt của đa diện với mặt phẳng, có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng. S S P P 1 1 4 D 4 3 D A A 2 2 B C B 3 C
5.1.2. Giao của mặt phẳng với mặt cong .Ta xét một số trờng hợp sau: a. Giao của mặt phẳng với mặt trụ. Nếu là mặt trụ tròn xoay thì giao có thể là: - Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục mặt trụ thì giao tuyến là một đờng tròn. - Nếu mặt phẳng cắt hợp với trục của trụ một góc  90 thì giao tuyến là một Elíp. - Nếu mặt phẳng cắt song song với đờng sinh của mặt trụ thì giao tuyến là 2 đờng sinh.
b. Giao của mặt phẳng với mặt nón. Nếu mặt nón có đáy (Đờng chuẩn) là đờng tròn thì giao tuyến có thể là: - Là một đờng tròn nếu mặt phẳng cắt song song với đáy nón. - Là một elíp nếu mặt phẳng cắt cắt tất cả mọi đờng sinh của nón. - Là một Parabol, nếu mặt phẳng cắt song song với chỉ một đờng sinh của nón. - Là một Hypecbol nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đờng sinh của nón. -mặt phẳng cắt đi qua đỉnh nón và tiếp xúc với mặt nón theo một đờng sinh. - mặt phẳng cắt đi qua đỉnh nón và cắt nón theo hai đờng sinh phân biệt. S S1 Mặt phẳng song song với đáy nón 1 O
S S S O O O S1 1 S1 S1 1 1 đi qua S và cắt nón theo cắt tất cả đờng // 1 đờng sinh 2 đờng sinh sinh
S // 2 đờng sinh 1 O c.Giao của mặt phẳng với mặt cầu. - Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đờng tròn nếu khoảng cách từ tâm cầu tới mặt phẳng nhỏ hơn bán kính cầu. - Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm khi khoảng cách từ tâm cầu tới mặt phẳng bằng bán kính cầu. 
5.2.vẽ Giao của mặt phẳng với đa diện A – Trờng hợp đặc biệt Trờng hợp này một hình chiếu của giao đã biết. áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học để tìm hình chiếu thứ 2. Đó là các trờng hợp: 1. Mặt phẳng chiếu cắt Đa diện. - Một hình chiếu của giao tuyến đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu. - Hình chiếu còn lại của giao tìm đợc dựa vào bài toán vẽ điểm hay đờng thẳng thuộc đa diện. * Nguyên tắc nối giao: - Hai điểm cùng thuộc một mặt bên của đa diện thì nối đợc với nhau. - Khi xét thấy khuất, cạnh nào thuộc mặt thấy trên hình chiếu tơng ứng của đa diện thì sẽ thấy.
S1 Ví dụ : vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng với mặt chóp S.ABCD. 1 41 31 Giải: Vì ( ) ⊥ P nên giao tuyến có: 1 , 11 21 - Hình chiếu đứng đã biết thuộc 1 x D1 C1 Gọi các đỉnh của giao là 1,2,3,4 thì 11213141  1 A1 B1 D2 - Tìm hình chiếu bằng của các đỉnh là 12, 22, 32, 42 thuộc hình chiếu bằng các cạnh tơng ứng của A2 C2 chóp 42 12 - Nối các đỉnh tìm đợc và xét thấy khuất của chúng, ta đợc hình chiếu bằng của giao. 32 B2 22 S2 2. Mặt phẳng bất kỳ cắt lăng trụ chiếu - Một hình chiếu của giao đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu. - Hình chiếu còn lại tìm bằng cách áp dụng bài toán vẽ điểm hay đờng thẳng thuộc mặt phẳng. Ví dụ: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (n , m ) và lăng trụ chiếu abc. Giải:
a1 c1 Vì lăng trụ( abc)⊥ P2, nên giao tuyến có: b1 - Hình chiếu bằng đã biết . Gọi các đỉnh của giao 31 là 1,2,3, thì hình chiếu bằng là tam giác có các đỉnh: 12  a2 , 22  b2 , 32  c2 , - Tìm hình chiếu đứng bằng cách gắn chúng vào các đờng thẳng của mặt phẳng , ta tìm đợc 21 x 11 các đỉnh là 11, 21, 31- và nối chúng bằng các đoạn thẳng, rồi xét thấy khuất. M1 a212 c232 M2 b222
B – Trờng hợp tổng quát :Mặt phẳng bất kì cắt tháp và lăng trụ xiên Trờng hợp này cha có hình chiếu nào của giao tuyến đã biết Để xác định giao ta thờng dùng phơng pháp mặt phẳng phụ trợ để tìm giao của đờng thẳng bất kỳ(cạnh của đa diện) với mặt phẳng bất kỳ (mặt phẳng cắt), rồi nối các đỉnh thuộc cùng một mặt bên của đa diện lại với nhau bằng các đoạn thẳng và xét thấy khuất của chúng.
Ví dụ: vẽ giao của mặt phẳng và S1 mặt chóp S.ABC. Nhận xét: - Mặt phẳng (n , m ) và chóp S.ABC là bất kỳ. 11 - Ta dùng các mặt phẳng phụ trợ chiếu 31 đứng, lần lợt tìm giao của các cạnh x A1 C1 SA,SB,SC với mf( )- tơng ứng là B1 21 các điểm 1,2,3. C2 - Nối các đỉnh với nhau bằng các đoạn 32 thẳng , ta đợc giao là tam giác 123. Trên hình chiếu đứng: các cạnh A2 12 1121,2131 thấy, còn cạnh 1131 là khuất. Hình chiếu bằng có cạnh 1222, 1232 là thấy, còn cạnh 2232 là khuất. B2 22 S2
5.3. Giao của mặt phẳng với mặt cong 1. Giao của mặt phẳng chiếu và mặt cong . - Giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong có một hình chiếu suy biến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng. - Từ hình chiếu đã biết tìm hình chiếu còn lại theo bài toán vẽ điểm thuộc mặt cong.: - Trình tự: + Xác định dạng của giao tuyến. + Tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết thuộc giao tuyến nh: Các điểm giới hạn thấy khuất (nếu có); điểm cao nhất, thấp nhất; điểm xa nhất, gần nhất Các điểm xác định dạng đờng cong trên hình chiếu. + Nối các điểm đã tìm đợc và xét thấy khuất.
S Ví dụ 1: vẽ giao của mf chiếu đứng ( ) 1 và mặt nón tròn xoay đỉnh S. 1 Nhận xét: B1 C1D1 - Mặt phẳng( ) cắt tất cả các đờng sinh của A1 nón và không vuông góc với trục nón, vậy giao tuyến là Elíp x - Hình chiếu đứng của Elíp suy biến thành đoạn thẳng A B nằm trên 1 1 1 C2 - Xác định hình chiếu bằng của giao là một elíp: A2 S2 B2 + Một trục của elíp là A2B2 . +Trục thứ 2 là C2D2- là đờng thẳng chiếu đứng đi qua trung điểm của A2B2. Để xác D2 m định C2 và D2, ta dùng mf phụ trợ là mf bằng đi qua C1  D1. -Từ hai trục, vẽ đợc elíp hình chiếu bằng. Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng ( ) và trụ xiên.
1 O1 Nhận xét: 3161 11 21 - Mặt phẳng( ) cắt trụ theo giao tuyến là Elíp. 51 41 - Hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng: 1141,nằm trên 1. x - Xác định hình chiếu bằng của giao: O'1 + Xác định hình chiếu bằng của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 + Với 2 , 5 là các điểm giới hạn 2 2 52 O'2 thấy khuất trên hình chiếu bằng. 62 +Nối các điểm tìm đợc, ta đợc elip hình chiếu bằng. 42 12 O2 32 22 Ví dụ 3: Vẽ giao của mặt phẳng ( ) và mặt cầu tâm O Giải:
-Giao là đờng tròn. 61 51 -H/c bằng suy biến thành đoạn thẳng nằm trên 2. n O1 -H/c đứng là elíp có các điểm đặc biệt 11 41 + 21 và 61- là hai điểm giới hạn thấy khuất 31 21 +1 4 và 3 5 - là hai trục của elíp. 1 1 1 1 x 12 O'2 2262 3252 42 2 2. Giao của mặt phẳng bất kỳ và mặt trụ chiếu. - Giao tuyến có một hình chiếu đã biết trùng với hình chiếu suy biến của trụ chiếu. - Từ hình chiếu đã biết tìm đợc hình chiếu còn lại.(Tơng tự trờng hợp trên).
Ví dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng (n , m ) và trụ chiếu bằng. Bài giải: N1 n 21 11 31 41 x M1 N2 22 12 32 M2 m 42
Chú ý: Nếu mặt phẳng cắt trụ chiếu theo giao tuyến là Elíp thì trục ngắn và trục dài của Elíp hình chiếu cũng nh Elíp giao tuyến nằm trên các đờng nh sau: - Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với P2 và đờng bằng, nếu trụ là chiếu bằng. - Đờng dốc nhất của mặt phẳng đối với P1 và đờng mặt, nếu trụ là chiếu đứng.
Chơng 6: giao điểm của Đờng thẳng với các mặt 6.1. Giao của đờng thẳng với đa diện Định nghĩa: Giao của đờng thẳng với đa diện là tập hợp các điểm chung của đờng thẳng và mặt đa diện. A – Trờng hợp đặc biệt Trờng hợp mà một hình chiếu của giao điểm đã biết, áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học tìm hình chiếu còn lại. 1. Đờng thẳng chiếu cắt đa diện. - Một hình chiếu của giao điểm trùng với hình chiếu suy biến của đờng thẳng. - Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc đa diện để tìm.
S1 Ví dụ: Tìm giao điểm của đờng thẳng chiếu bằng m với mặt chóp S.ABC. m1 Ta thấy: - Vì đờng thẳng m ⊥ P2,nếu gọi I1 giao của m với chóp là I vàJ, thì: I2  J2  m2 -Gắn I,J vào các đờng sinh của các J1 A1 B1 mặt của chóp, ta sẽ tìm đợc các hình x C1 chiếu đứng của chúng. C2 -Khi xét thấy khuất của đờng thẳng cần chú ý: Đoạn thẳng nối hai giao A2 điểm luôn khuất ;phần hình chiếu của đờng thẳng nằm ngoài đờng bao quanh hình chiếu của đa diện thì luôn m2I2J2 thấy; phần còn lại của đờng thẳng trên mỗi hình chiếu đều có một đầu mút là là một giao điểm của đờng B2 thẳng với đa diện. Nếu giao điểm đó S2 thuộc mặt thấy của hình chiếu đa diện thì đoạn thẳng đó thấy trên hình chiếu đó, ngợc lại thì đoạn đó khuất.
2. Đờng thẳng bất kỳ cắt lăng trụ chiếu. - Một hình chiếu của giao điểm đã biết là giao điểm giữa hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu với hình chiếu tơng ứng của đờng thẳng. - Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc đờng thẳng để tìm. Ví dụ: Tìm giao điểm của đờng thẳng m và lăng trụ chiếu bằng. a1 b1 c1 d1 m1 J1 I1 x a2 d2 I2 m2 J2 c2 b2
B – Trờng hợp bất kỳ - Đờng thẳng bất kỳ cắt đa diện bất kỳ. Trờng hợp này cha có hình chiếu nào của giao điểm đã biết ta phải dùng phơng pháp mặt phẳng phụ trợ. * Nội dung: Bớc 1: Qua đờng thẳng đã cho dựng mặt phẳng phụ trợ () Bớc 2: Tìm giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ () với các mặt của Đa diện. Bớc 3 Tìm giao của đờng thẳng đã cho và giao phụ, đợc giao điểm của đờng thẳng và Đa diện. * Chú ý: + Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho dễ tìm giao phụ nhất. + Thờng chọn mặt phẳng phụ trợ() là các mặt phẳng chiếu chứa đờng thẳng, mặt phẳng đi qua đờng thẳng và đỉnh tháp; mặt phẳng đi qua đờng thẳng và song song với cạnh lăng trụ + Sau khi xác định đợc giao điểm thì phải xét thấy khuất các hình chiếu của đ- ờng thẳng.
S S k 2 N k G H 1  H C C M F G A 3  Q A E P B B  M G k H N F Q E P
Ví dụ: Xác định giao của đờng thẳng S1 m với mặt chóp S.ABC. m1 Cách giải: 11 I1 21 B1: Qua m dựng mặt phẳng () ⊥ P J1 1 31 B2: Tìm giao phụ 123 = () x S.ABC B3: Tìm I, J là giao của m với giao x A1 B1 C1 phụ 123 C2 B4: Xét thấy khuất các hình chiếu của m. A2 32 12 J2 I2 2 m2 S 2 B2 2
6.2. Giao Điểm của đờng thẳng với mặt cong Định nghĩa: Giao của đờng thẳng với mặt cong là tập hợp các điểm chung của đ- ờng thẳng và mặt cong. A – Trờng hợp đặc biệt. Trờng hợp này một hình chiếu của giao điểm đã biết, áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học để tìm hình chiếu còn lại.Gồm các trờng hợp sau: 1. Đờng thẳng chiếu cắt mặt cong. - Một hình chiếu của giao điểm đã biết trùng với hình chiếu suy biến của đờng thẳng. - Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc mặt cong để tìm.
m1 Ví dụ: Tìm giao điểm của đờng thẳng chiếu bằng m với mặt trụ. I1 J1 O1 x O2 m2I2J2 2. Đờng thẳng bất kỳ cắt mặt trụ chiếu. - Một hình chiếu của giao đã biết là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt trụ chiếu với hình chiếu tơng ứng của đờng thẳng. - Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm và đờng thẳng để tìm.
Ví dụ: Tìm giao của đờng thẳng m và mặt trụ chiếu bằng. m1 J1 I1 x I2 2 J m2
B – Trờng hợp tổng quát - Đờng thẳng bất kỳ cắt mặt cong. Trờng hợp này cha có hình chiếu nào của giao đã biết, vì vậy phải dùng phơng pháp mặt phẳng phụ trợ- tơng tự cách xác định giao điểm của đờng thẳng với đa diện. Chú ý: - Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ với mặt cong có hình chiếu là đờng thẳng hoặc đờng tròn. - Nếu mặt cong là mặt nón, thì mặt phẳng phụ trợ() chứa đỉnh nón và đờng thẳng. - Nếu mặt cong là mặt trụ, thì mặt phẳng phụ trợ() chứa đờng thẳng và song song với đờng sinh trụ. - Nếu mặt cong là mặt cầu, thì: + Nếu đờng thẳng đã cho là đờng bằng hay đờng mặt, thì mặt phẳng phụ trợ () là mặt phẳng bằng hay mặt phẳng mặt. + Nếu đờng thẳng là bất kỳ, thì dùng phơng pháp biến đổi hình chiếu.
S k  N H A O G G M Q F k H  O P E E B P O' Q F
Ví dụ: Tìm giao của đờng thẳng m và mặt nón. S1 m1 A1 I1 J1 B1 x 11 21 22 F2 E2 B2 12 J2 I2 A2 m2 S2
Chơng 7: giao của hai mặt Định nghĩa: Giao của hai mặt  và  là tập hợp các điểm cùng thuộc mặt  và mặt  . 7.1. giao của hai đa diện 7.1.1. Dạng của giao. - Giao của hai đa diện là một hay nhiều đờng gẫy khúc khép kín gồm các 7 đoạn thẳng nối tiếp nhau. 2 - Mỗi đỉnh của giao là giao điểm của một cạnh nào đó của đa diện này với một 8 mặt của đa diện kia. 1 - Mỗi cạnh của giao là giao tuyến của hai 5 mặt tơng ứng của hai đa diện. 4 6 3
Nhận xét: -Trờng hợp đầu, ta thấy mỗi đa diện đều có ít nhất một cạnh không giao với đa diện kia- Gọi là cắt nhau không hoàn a c toàn, giao của chúng thờng là 4 một đờng gãy khúc khép kín. 3 b -Trờng hợp sau, tất cả các cạnh( e d,e,f) của lăng trụ xiên đều 2 cắt đa diện kia-Gọi là cắt 1 nhau hoàn toàn, giao thờng là d hai đờng gãy khúc khép kín. 6 f 5
7.1.2. phơng pháp tìm giao. - Để tìm giao của hai đa diện ta có thể: + Xác định cạnh của giao bằng cách tìm giao của từng mặt của Đa diện này với Đa diện kia. Cách này thờng khó, nên ít dùng. + Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm giao của các cạnh của Đa diện này với Đa diện kia, rồi nối chúng với nhau bằng các đoạn thẳng. - Trờng hợp đặc bịêt: (Một Đa diện là lăng trụ chiếu, một Đa diện là bất kỳ) Trờng hợp này một hình chiếu của giao dễ dàng tìm đợc, hình chiếu còn lại tìm đợc bằng cách áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học. - Trờng hợp bất kỳ: (Hai đa diện là bất kỳ) Để tìm các đỉnh và các cạnh của giao phải dùng phơng pháp phụ trợ. * Nguyên tắc nối giao: - Chỉ hai đỉnh cùng thuộc một mặt của đa diện này đồng thời thuộc cùng một mặt của đa diện kia thì nối đợc với nhau thành cạnh của giao. * Nguyên tắc xét thấy khuất: Trên mỗi hình chiếu, cạnh nào của giao thuộc hai mặt cùng thấy của hai đa diện trên hình chiếu đó thì thấy,còn lại là khuất.
Ví dụ 1: Vẽ giao của hai đa diện abc và def. Nhận xét: - Hai đa diện cắt nhau theo giao tuyến là 1 đờng gẫy khúc. a1 b1 c1 3 -Lăng trụ a,b,c ⊥ P2 , vậy hình chiếu 11 1 e1 bằng của giao suy biến ,nằm 2 trên hc suy biến của lăng trụ này. 1 d1 51 +Tìm giao của các cạnh của lăng f1 41 trụ( abc) với lăng trụ xiên: 61 Các cạnh a,c không cắt c2 Cạnh b x (de) = 2 có (22  b2) a2 Cạnh b x (df) = 5 có (5  b ) f 4 2 2 2 62 2 3 +Tìm giao của các cạnh lăng trụ def e2 12 2 với lăng trụ đứng: 5 22 2 b2 Cạnh d- không cắt d Cạnh e x (ab) = 1, e x (bc) = 3 2 Cạnh f x (ab) = 6, f x (bc) = 4
+Nối các đỉnh với nhau bằng các đoạn thẳng: 12 = ab x de 23 = bc x de 34 = bc x ef 45 = bc x df 56 = ab x df 61 = ab x ef -Chú ý khi nối phải xác định thấy khuất của các cạnh giao tuyến trên các hình chiếu. + Cuối cùng phải xét thấy khuất các cạnh của hai đa diện trên từng hình chiếu do sự che khuất lẫn nhau của chúng. a b c 1 1 1 a1 b1 c1 a1 + + - 3 d1 11 1 e1 2 2 + 1 1 11 e1 31 d1 51 - f 6 4 f1 1 1 1 41 61 + 51 d1 c2 a2 f 42 Có thể dùng hình khai triển các mặt của 2 62 3 hai đa diện để nối các đỉnh của giao: e2 12 2 5 -Hai đỉnh trên một ô nối với nhau. 22 2 b2 -Cạnh thuộc cả hai mặt thấy thì thấy. d2
Ví dụ 2: Vẽ giao của chóp S.ABCD với lăng trụ chiếu đứng abc. -Nhận xét: Tất cả các cạnh bên của chóp đều cắt lăng trụ, vậy giao là 2 đờng khép kín. -Sau khi xác định các đỉnh của giao, ta có thể dùng hình khai triển mặt xung quanh của hai đa diện để nối các đỉnh của giao với nhau và xét thấy khuất của giao tuyến đó nh hình dới đây: A1 a1 21 11 S c 1 a2 b 2 a2 c1  1  11 2 71 + 81 + - 31 A2 41 22 51 B1 D 6 1 b1 1 + C 1 1 2 92 x 4 B2 B 2 2 - 42 3 3 S 2 5 62 2 9 2 2 2 C2 C 2 72 - 82 52 62 S2 12 22 D2 102 72 A 1 102 2 2 82 + D2 2 b2 a2 c2 2 A2
7.2 Giao của đa diện với mặt cong. 7.2.1 Dạng của giao 1 4 - Giao của đa diện với mặt cong là một hay nhiều đờng khép kín gồm các đoạn đờng cong nối tiếp nhau. - Có các điểm gẫy khúc là giao điểm 3 của các cạnh đa diện với mặt cong. 2 - Còn các đoạn đờng cong của giao là giao của các mặt của đa diện với mặt cong. 7.2.2 Cách tìm giao - Để tìm giao của Đa diện với mặt cong ta lần lợt tìm giao của từng mặt của Đa diện với mặt cong. - Nguyên tắc xét thấy khuất: Trên mỗi hình chiếu, phần đờng cong nào của giao thuộc cả 2 mặt cùng thấy của đa diện và mặt cong trên hình chiếu đó thì thấy, còn lại là khuất.
Ví dụ 1: Vẽ giao của lăng trụ chiếu đứng ( abc)với mặt cầu. Giải: -Có hai mặt ab và bc của lăng trụ cắt mặt cầu, hình chiếu đứng của giao suy 4 biến thành các đoạn 1 thẳng b111 và b141. 51  61 71  81 -Hình chiếu bằng O1 là cung tròn 2 1 3 2 2 2 21  31b1 c 11 1 và cung elíp 224232. 5 72 2 22 42 O2 12 32 82 62
Ví dụ 2: Vẽ giao của lăng trụ ( abc) và nón đứng. S1 b17181 Bài giải: 91 Nhận xét: 61 Mặt bên (ac) x nón = Đờng tròn. a11121 c2 31 Mặt bên (ab) x nón = Parabol. 51 41 Mặt bên (bc) x nón = Elíp. x Mp đáy trên (abc) x nón = Hypebol 52 Cạnh a x nón = hai điểm 1, 2. 42 62 Cạnh dới của đáy trên x nón = hai 12 72 điểm 4, 5. Cạnh b x nón = hai điểm 7, 8. 2 S2 9 32 22 82 a2 b2 c2
7.3. Giao của hai mặt cong. 7.3.1. Dạng của giao. - Giao của hai mặt cong nói chung là một hay nhiều đờng cong ghềnh. Trong một số trờng hợp giao có thể là các đờng cong phẳng.
7.3.2 Cách tìm giao * Nguyên tắc chung: Để vẽ giao của 2 mặt cong  và  ta làm nh sau: - Dựng mặt phụ trợ () cắt cả hai mặt  và  - Tìm các giao phụ c = () x , g = () x  - Tìm giao điểm của c và g là những điểm thuộc giao của 2 mặt đã cho. * Chú ý: - Khi chọn mặt phụ trợ () phải chọn sao cho việc tìm giao phụ đợc dễ dàng, thờng chọn () là mặt phẳng. - Trờng hợp đặc biệt : Khi đã biết 1 hình chiếu của giao, để vẽ hình chiếu còn lại ta tiến hành nh sau: + Xác định một số điểm đặc biệt và các điểm giới hạn thấy khuất của giao + Căn cứ vào dạng của giao để nối các điểm vừa tìm đợc với nhau. + Nói chung số điểm tìm đợc càng nhiều thì giao vẽ càng chính xác. + Xét thấy khuất các hình chiếu của giao và của hai mặt .
Ví dụ: Vẽ giao của mặt trụ và mặt nón. S1 1121 3141 5161 x 7181 72 32 52 12 S2 22 42 62 82
7.3.3 Trờng hợp hai mặt bậc hai cắt nhau theo hai đờng bậc hai 1- Nếu hai mặt bậc hai đã cắt nhau theo một đờng bậc hai , thì chúng còn cắt nhau theo một đờng bậc hai nữa. S1 A1 B1 C1 O1 B2 S2 O2 A2 C2
2-Nếu hai mặt bậc hai cùng nội hay ngoại tiếp với một mặt bậc hai thứ ba, thì chúng cắt nhau theo hai đờng cong phẳng. Các đờng cong này đi qua giao điểm của các đ- ờng tiếp xúc. A1 E1 C1 D1 F1 B1 A C D B
A B A1 E1  C1 D1 F1 E B1 F C2 B F 2 E2 A2 2 D2
7.2.5 hai mặt bậc hai có mặt phẳng đối xứng chung Định lý: Nếu hai mặt bậc hai có mặt phẳng đối xứng chung thì giao của chúng chiếu lên mặt phẳng đối xứng chung đó nói chung là đờng cong bậc hai. C1 E1 A1  B1 F1 D1 A2 D2 C2 E2  F2 B2