Tổng hợp công thức Xác suất thống kê

Nội dung text: Tổng hợp công thức Xác suất thống kê

1. PHẦN I: XÁC SUẤT 1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố: 1.1. Công thức cộng xác suất: 1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc) 1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)- [p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC) 1.2. Công thức nhân xác suất: 1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập) 1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) p(A1 A2 An ) p(A1).p(A2 / A1) p(An / A1 A2 An 1) 1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A x x n x 1.3.1.pn (x) Cn p q , p=p(A), q=1-p 1.4. Công thức xác suất đầy đủ: p(F) p(A1).p(F / A1) p(A2 ).p(F / A2 ) p(An ).p(F / An ) p(A .F) p(A ).p(F / A ) 1.5. Công thức Bayes: p(A / F) i i i i p(F) p(F) 2. Biến ngẫu nhiên: 2.1.Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc) 2.2.Hàm mật độ xác suất (f (x) ) (biễn ngẫu nhiên liên tục) 2.2.1.0 f (x) 2.2.2. f (x)dx 1 b 2.2.3. p(a x b) f (x)dx a 2.3.Hàm phân phối xác suất (F(x) ) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục) 2.3.1. F(x) =p(<Fx) 2.3.2. F '(x) f (x) x 2.3.3. F(x) f (t)dt 2.4.Kỳ vọng 2.4.1. E(x) x1 p1 x2 p2 xn pn (từ bảng phân phối xác suất) 2.4.2. E(x) xf (x)dx 2.5.Phương sai: 2.5.1. V (x) E(x2 ) [E(x)]2 2.5.2. V (x) x2 f (x)dx [ xf (x)dx]2 3. Một số phân phối xác suất thông dụng: 3.1.Phân phối chuẩn tổng quát: X ~ N(; 2 )
2. (x  )2 1 2 3.1.1. f (x) e 2  2 3.1.2. f (x)dx 1 3.1.3.; ModX MedX  E(x) ,V (x)  2 b  a 3.1.4. p(a x b) ( ) ( )   3.1.5. Phân phối chuẩn tắc  0, 2 1 3.1.5.1. T ~ N(0,1) t2 1 3.1.5.2. f (t) e 2 2 X  3.1.5.3. Đổi biến T  3.1.5.4. p(a x b) (b) (a) 3.2.Phân phối Poisson: X ~ P() ,>0  k 3.2.1. p( k) e  k! 3.2.2. E(x) V (x)  3.3.Phân phối nhị thức: X ~ B(n, p) k k n k 3.3.1. p(X k) pn (k) Cn p q , p q 1 n 3.3.2.  p(X k) 1 k 0 3.3.3., E(x) np ModX x0 ,np q x0 np q 3.3.4. Khi n=1: X ~ B(1, p) :phân phối không-một 3.3.4.1. E(x) p, E(x2 ) p,V (x) pq 3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức: 3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson: n >50, p <0.1; X ~ B(n, p) X ~ P() , np .  k p(x k) C k pk qn k e  n k! 3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn: np 0.5,nq 0.5,  np, npq . 1 k  X ~ B(n, p) X ~ N(np,npq) p(x k) f ( ) ; p( k <X<   1 k  k  k ) ( 2 ) ( 1 ) 2  
3. 3.4.Phân phối siêu bội: X ~ H (N, N A ,n)[N:tổng số phần tử, N A :Số phần tử có tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n. C k .C n k N A N N A p(X k) n CN N N n 3.4.1.; E(X ) np, p A V (X ) npq. ,q 1 p N N 1 3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức: n 0.05N X ~ B(n, p) ; N p(X k) C k pk qn k , p A n N 3.5.Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập Pij p(xi ).q(y j ) với mọi i,j 3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan: 3.6.1. Hiệp phương sai(cov): cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) cov(X ,Y ) 3.6.2. Hệ số tương quan : X ,Y X ,Y  (X ) (Y ) PHẦN 2: THỐNG KÊ 1. Tổng thể và mẫu 1.1.Thực hành tính toán trên mẫu: 1 n 1.1.1. Tính trung bình (X n ): X n  xi n i 1 m 1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (f );f A ( m :số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu) n n n A k 2 1 2 2 1.1.3. Tính phương sai mẫu: S [ ni xi n(X ) ] n 1 1 1.2.Ước lượng tham số của tổng thể: 2 2 1.2.1. Ước lượng điểm: E(X n ) , E( fn ) p, E(S )  1.2.2. Ước lượng khoảng: 1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1- cho trước, 1 mẫu kích thước n. n 30 , 2 biết n 30 , 2 chưa biết X , X ,s 1 X , 2 X  1 X , 2 X   s  u .  u . 2 n 2 n (1 0.5- u ) (1 0.5- u ) 2 2 2 2 n <30, 2 biết n <30, 2 chưa biết Như TH1 X ,s 1 X , 2 X 
4. s  t . (n 1, ) 2 n 1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy 1 cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu fn . Tìm 2 số p1, p2 thoả: f (1 f ) p( p1 p p2 ) 1 , p1,2 fn   Công thức:  u 2 n 1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có  2 chưa biết. Dựa vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1- cho trước. 2 2 2 2 (n 1)S (n 1)S TH1:  chưa biết, biết S . Khi đó ta có  [ 2 , 2 ] trong đó 1 2  2  2 (n 1, ) ,  2  2 (n 1,1 ) 1 2 2 2 2  ni (xi )  ni (xi ) 2 2 TH2:  biết. Khi đó  [ 2 , 2 ] , trong đó 1  (n, ) , 1 2 2  2  2 (n,1 ) 2 2 1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê: 1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho  1.2.3.1.1.TH1:  2biết Giả thuyết thống kê 2 W : biết (miền bác bỏ H0 ) H0 :  0 X  W {u 0 n, u >u } H :  ≠  1 0  2 H :   0 0 X 0 W {u n ,u u } H1 :  > 0  1.2.3.1.2.TH2: n 30 , 2 không biết Giả thuyết thống kê W (miền bác bỏ H0 ) H0 :  0 X  W {u 0 n, u >u } H :  ≠  1 0 s 2 H :   0 0 X 0 W {u n ,u u } H1 :  > 0 s
5. 1.2.3.1.3.TH3: t } H :  ≠  (n 1, ) 1 0 s 2 H :   0 0 X 0 W {t n ,t t } H :  >  (n 1, ) 1 0 s 2 1.2.3.2. Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ: Giả thuyết thống kê W (miền bác bỏ H0 ) H0: p p0 f p0 W {u , u >u } H1: p ≠ p0 p0 (1 p0 ) 2 n H0: p p0 f p0 W {u ,u u } H1: p > p0 p0 (1 p0 ) n 1.2.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai: 1.2.3.3.1.TH1:  chưa biết Giả thuyết thống kê W (miền bác bỏ H0 ) H : 2  2 (n 1)s2 0 0 W { 2 ,  2  2 2 2  2 1 2 H1 : ≠ 0 0 2 2 2 2 1  , 2  (n 1,1 ) (n 1, ) 2 2 H : 2  2 (n 1)s2 0 0 W { 2 ,  2  2 2 2  2 (n 1, ) H1 : > 0 0 1.2.3.3.2.TH2:  biết. Giả thuyết thống kê W (miền bác bỏ H0 )
6. H : 2  2 n (x )2 0 0 W { 2  i i ,  2  2 2 2 2 1 2 H1 : ≠ 0  0 2 2 2 2 1  , 2  (n,1 ) (n, ) 2 2 H : 2  2 n (x )2 0 0 W { 2  i i ,  2  2 2 2 2 (n, ) H1 : > 0  0 1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể: 1.2.4.1. So snh 2 số trung bình: 2 2 1.2.4.1.1.TH1: m 30,n 30,1 , 2 biết GTTK W H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ; u u 2 2    2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u   2  2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u   2  2 1 2 m n  2 2 1.2.4.1.2.TH2: m30, 30,n 1biết,, 2 X,Y có phân phối chuẩn GTTK W H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ; u u 2 2    2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u   2  2 1 2 m n 
7. H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u   2  2 1 2 m n  2 2 1.2.4.1.3.TH3:m 30,n 30,1 , 2 không biết GTTK W H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ; u u 2 2  s s 2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u  s2 s2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W u ;u u  s2 s2 1 2 m n  2 2 1.2.4.1.4.TH4: m30, 30,n X,Y có phân phối chuẩn, 1 không  2 biết GTTK W H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W t ; t t  m n 2, 2 1 1 2 s m n  m 1 s2 n 1 s2 s2 1 2 m n 2 H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W t ;t t m n 2,  2 1 1 s m n 
8. H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W t ;t t m n 2,  2 1 1 s m n  2 2 1.2.4.1.5.TH5: m30, 30,n X,Y có phân phối chuẩn,1 chưa  2 biết GTTK W H0 : 1 2  2 2 H1 : 1 2 X Y s1 s2 t1v1 t2v2 W g ; g t;t1 t ,t2 t ;v1 ,v2 ;t  2 2 m 1, n 1, s s m n v1 v2 1 2 2 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W g ; g t;t1 t m 1, ,t2 t(n 1, )  s2 s2 1 2 m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 X Y W g ; g t s2 s2 1 2 m n  1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ: GTTK W H0 : 1 2  H :   1 1 2 f1 f2 k1 k2 W u ; u u ; f1 , f2  1 1 2 m n f 1 f m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 f1 f2 W u ;u u  1 1 f 1 f m n  H0 : 1 2  H1 : 1 2 f1 f2 W u ;u u  1 1 f 1 f m n 
9. 1.2.4.3. So sánh 2 phương sai: GTTK W H : 2  2  0 1 2 2 2 2 s1 1 H1 :1  2 W g 2 , g f hayg f ; f f m 1,n 1 , f  s2 2 f n 1,m 1 2  H : 2  2 s2  0 1 2 W g 1 , g f (m 1,n 1) 2 2 2  H1 :1  2 s2 