›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương - Nguyễn Phúc Sơn

pdf 63 trang ngocly 2600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương - Nguyễn Phúc Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_3_so_luoc_ve_toan_tu_tuyen_tin.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương - Nguyễn Phúc Sơn

  1. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 26 tháng 8 năm 2017 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  2. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Table of Contents 1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận 2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông 3 Dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  3. Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  4. n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  5. 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  6. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  7. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ tuyến tính n m Ánh xạ f : R −→ R được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau n 1 f (u + v) = f (u) + f (v) với mọi u, v ∈ R n 2 f (αu) = αf (u) với mọi u ∈ R , với mọi α ∈ R Tính chất 1 f (0) = 0 (lưu ý: 2 vectors 0 này khác nhau) n 2 f (−u) = −f (u), ∀u ∈ R 3 f (α1u1 + ··· + αk uk ) = α1f (u1) + ··· + αk f (uk ), ∀ui ∈ n R , ∀αi ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  8. A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1, , xn) = (a11x1 +···+a1nxn , , am1x1 +···+amnxn) Đặt   a11 a1n  . . .  A =  . . .  am1 amn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  9. Khi đó, f (u)T = AuT Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1, , xn) = (a11x1 +···+a1nxn , , am1x1 +···+amnxn) Đặt   a11 a1n  . . .  A =  . . .  am1 amn A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  10. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1, , xn) = (a11x1 +···+a1nxn , , am1x1 +···+amnxn) Đặt   a11 a1n  . . .  A =  . . .  am1 amn A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  11. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử ánh xạ f có công thức f (x1, , xn) = (a11x1 +···+a1nxn , , am1x1 +···+amnxn) Đặt   a11 a1n  . . .  A =  . . .  am1 amn A được gọi là một biểu diễn ma trận của ánh xạ f (thường được gọi là dạng ma trận của f ) Khi đó, f (u)T = AuT Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  12. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Table of Contents 1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận 2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Chéo hóa 3 Dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  13. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa giá trị riêng của ma trận Cho ma trận vuông cấp n   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann Cho λ là 1 biến số. Ma trận   a11 − λ . . . a1n  . . .  A − λIn =  . . .  an1 annλ được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  14. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa Định nghĩa giá trị riêng của ma trận Cho ma trận vuông cấp n   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann Cho λ là 1 biến số. Ma trận   a11 − λ . . . a1n  . . .  A − λIn =  . . .  an1 annλ được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  15. Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Hệ số tự do χ(0) = |A| Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  16. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Hệ số tự do χ(0) = |A| Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  17. Hệ số tự do χ(0) = |A| Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  18. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Hệ số tự doTiếnχ( sĩ0 Nguyễn) = | PhúcA| Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  19. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa (tt) Định nghĩa giá trị riêng của ma trận (tt) Định thức χ(λ) = |A − λIn| là 1 đa thức theo biến số λ và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Ta đinh nghĩa các giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng χ(λ) Tính chất của đa thức đặc trưng χ(λ) là đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất (của λn) bằng (−1)n. Hệ số của λn−1 bằng n−1 n−1 (−1) trace(A) = (−1) (a11 + ··· + ann) Hệ số tự doTiếnχ( sĩ0 Nguyễn) = | PhúcA| Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  20. p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận. Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Đa thức ma trận n Cho đa thức p(x) = anx + ··· + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau: n p(A) = anA + ··· + a1A + a0In Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  21. Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Đa thức ma trận n Cho đa thức p(x) = anx + ··· + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau: n p(A) = anA + ··· + a1A + a0In Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa. p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  22. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Đa thức ma trận n Cho đa thức p(x) = anx + ··· + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau: n p(A) = anA + ··· + a1A + a0In Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa. p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận. Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  23. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Đa thức ma trận n Cho đa thức p(x) = anx + ··· + a1x + a0. Thay ma trận vuông A vào trong đa thức như sau: n p(A) = anA + ··· + a1A + a0In Lưu ý: Hệ số tự do a0 phải được thay bằng a0In thì phép cộng mới có nghĩa. p(A) là 1 ma trận cấp n và được gọi là đa thức ma trận. Định lý: Với mọi ma trận vuông A thì χ(A) = 0. Ở đây 0 là ma trận vuông cấp n. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  24. Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa vector riêng Định lý Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X 6= 0 (viết dạng cột) sao cho AX = λ0X Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A. Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  25. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa vector riêng Định lý Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X 6= 0 (viết dạng cột) sao cho AX = λ0X Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A. Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  26. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa vector riêng Định lý Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X 6= 0 (viết dạng cột) sao cho AX = λ0X Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A. Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  27. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Định nghĩa vector riêng Định lý Số λ0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi tồn tại 1 vector X 6= 0 (viết dạng cột) sao cho AX = λ0X Vector X như trên được gọi là 1 vector riêng của ma trận A. Từ định nghĩa, ta có (A − λ0In)X = 0 Như vậy, để tìm vector riêng X ứng với giá trị riêng λ0, ta giải hệ phương trình thuần nhất trên. Nhắc lại, nghiệm của hệ thuần nhất lập thành 1 không gian vector. Do đó, tập hợp các vector riêng ứng với 1 trị riệng xác định λ0 cũng lập thành 1 không gian vector. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  28. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Ứng dụng: Phân tích thành phần chính (PCA) Đọc thêm tại trang web: Principal Component Analysis (PCA) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  29. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau T vi = (0, , a, , 0) với a 6= 0 đặt ở vị trí thứ i. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa ub Nhận xét: Nếu A là ma trận đường chéo   λ1 0  . .  A =  . .  0 . . . λn thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) ····· (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  30. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa ub Nhận xét: Nếu A là ma trận đường chéo   λ1 0  . .  A =  . .  0 . . . λn thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) ····· (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau T vi = (0, , a, , 0) với a 6= 0 đặt ở vị trí thứ i. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  31. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa ub Nhận xét: Nếu A là ma trận đường chéo   λ1 0  . .  A =  . .  0 . . . λn thì đa thức đặc trưng χ(λ) = (λ1 − λ) ····· (λn − λ). Từ đó, λi , 1 ≤ i ≤ n chính là các giá trị riêng của A. Ta có thể chọn vector riêng ứng với trị riêng λi như sau T vi = (0, , a, , 0) với a 6= 0 đặt ở vị trí thứ i. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  32. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Định nghĩa Ma trận vuông A chéo hóa được nếu ta có thể tìm được ma trận C khả nghịch sao cho C −1AC là ma trận đường chéo. Khi đó, ma trận C được gọi là ma trận làm chéo hóaA , còn ma trận chéo D = C −1AC được gọi là dạng chéo của A. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  33. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Định nghĩa Ma trận vuông A chéo hóa được nếu ta có thể tìm được ma trận C khả nghịch sao cho C −1AC là ma trận đường chéo. Khi đó, ma trận C được gọi là ma trận làm chéo hóaA , còn ma trận chéo D = C −1AC được gọi là dạng chéo của A. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  34. 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được 4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A 1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng. 2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm (A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  35. 4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A 1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng. 2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm (A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  36. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A 1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng. 2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm (A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được 4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  37. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuôngChéo hóa Dạng toàn phương Chéo hóa (tt) Phương pháp chéo hóa ma trận vuông A 1 Giải phương trình đa thức đặc trưng χ(λ) = 0 để tìm trị riêng. 2 Ứng với từng trị riêng λ0, tìm 1 cơ sở cho không gian nghiệm (A − λ0In)X = 0 (gồm các vector riêng ứng với λ0) 3 Nếu tổng số vector trong tất cả các cơ sở của tất cả các không gian nghiệm ở bước 2 nhỏ hơn n thì A không chéo hóa được 4 Nếu tổng số vectors cơ sở này đúng bằng n thì A chéo được và ma trận C chính là các vectors cơ sở dựng thành cột Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  38. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Table of Contents 1 Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận 2 Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông 3 Dạng toàn phương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  39. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Dạng toàn phương của n biến số x1, , xn là biểu thức dạng n n X X f = aij xi xj i=1 j=1 trong đó, aij là các hằng số cho trước Ví dụ f = ax2 + bxy + cy 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  40. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Định nghĩa Dạng toàn phương của n biến số x1, , xn là biểu thức dạng n n X X f = aij xi xj i=1 j=1 trong đó, aij là các hằng số cho trước Ví dụ f = ax2 + bxy + cy 2 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  41. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Ma trận của dạng toàn phương Để có thể thành lập dạng ma trận tương ứng với dạng toàn phương thì ta phải tách riêng các hệ số theo quy tắc san bằng Ví dụ: f = ax2 + bxy + cy 2 được “san bằng" thành b b f = ax2 + xy + yx + cy 2 2 2 nghĩa là tách đôi hệ số sao cho aij = aji Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  42. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Ma trận của dạng toàn phương Để có thể thành lập dạng ma trận tương ứng với dạng toàn phương thì ta phải tách riêng các hệ số theo quy tắc san bằng Ví dụ: f = ax2 + bxy + cy 2 được “san bằng" thành b b f = ax2 + xy + yx + cy 2 2 2 nghĩa là tách đôi hệ số sao cho aij = aji Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  43. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Ma trận của dạng toàn phương (tt) Định nghĩa ma trận Dạng toàn phương tổng quát tương ứng với ma trận sau   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann với aij là các hệ số của xi xj Lưu ý: A là môt ma trận đối xứng Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  44. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Ma trận của dạng toàn phương (tt) Định nghĩa ma trận Dạng toàn phương tổng quát tương ứng với ma trận sau   a11 a1n  . . .  A =  . . .  an1 ann với aij là các hệ số của xi xj Lưu ý: A là môt ma trận đối xứng Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  45. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn dạng toàn phương qua ma trận f có thể được viết dưới dạng sau: f = X T AX trong đó,   x1  .  X =  .  xn Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận tương ứng với nó. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  46. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Biểu diễn dạng toàn phương qua ma trận f có thể được viết dưới dạng sau: f = X T AX trong đó,   x1  .  X =  .  xn Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận tương ứng với nó. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  47. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương chính tắc Định nghĩa Dạng toàn phương chính tắc là dạng đặc biệt sau 2 2 f = b1y1 + ··· + bnyn Nói cách khác, ma trận của dạng này là   b1 0 0  0 b2 0  A =    . . .   . . .  0 0 bn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  48. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương chính tắc Định nghĩa Dạng toàn phương chính tắc là dạng đặc biệt sau 2 2 f = b1y1 + ··· + bnyn Nói cách khác, ma trận của dạng này là   b1 0 0  0 b2 0  A =    . . .   . . .  0 0 bn Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  49. Chỉ số của dạng toàn phương Đặt Chỉ số dươngs (f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f . Chỉ số âmt (f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f . Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc Định lý (Luật quán tính) Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  50. Chỉ số âmt (f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f . Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc Định lý (Luật quán tính) Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến. Chỉ số của dạng toàn phương Đặt Chỉ số dươngs (f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  51. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc Định lý (Luật quán tính) Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến. Chỉ số của dạng toàn phương Đặt Chỉ số dươngs (f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f . Chỉ số âmt (f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  52. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa 1 dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc Định lý (Luật quán tính) Bất kỳ dạng toàn phương f nào cũng có thể đưa được về dạng chính tắc bằng cách đổi biến. Tuy nhiên, dạng chính tắc là không duy nhất và phụ thuộc vào cách đổi biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong một dạng chính tắc của f là hằng số và không phụ thuộc vào cách đổi biến. Chỉ số của dạng toàn phương Đặt Chỉ số dươngs (f ) là số các hệ số dương trong 1 dạng chính tắc của f . Chỉ số âmt (f ) là số các hệ số âm trong 1 dạng chính tắc của f . Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  53. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc (tt) Nhận xét: s(f ) + t(f ) = rank(f ) Dùng hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, ta có thể biến đổi dạng toàn phương f tùy ý về dạng chính tắc. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  54. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc (tt) Nhận xét: s(f ) + t(f ) = rank(f ) Dùng hằng đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, ta có thể biến đổi dạng toàn phương f tùy ý về dạng chính tắc. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  55. Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu f (x1, , xn) ≤ 0, ∀x1, , xn ∈ R Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương có dấu xác định Định nghĩa Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu f (x1, , xn) ≥ 0, ∀x1, , xn ∈ R Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  56. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương có dấu xác định Định nghĩa Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu f (x1, , xn) ≥ 0, ∀x1, , xn ∈ R Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu f (x1, , xn) ≤ 0, ∀x1, , xn ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  57. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương có dấu xác định Định nghĩa Dạng toàn phương f là nửa xác định dương hay không âm nếu f (x1, , xn) ≥ 0, ∀x1, , xn ∈ R Dạng toàn phương f là xác định dương nếu f không âm và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Dạng toàn phương f là nửa xác định âm hay không dương nếu f (x1, , xn) ≤ 0, ∀x1, , xn ∈ R Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  58. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương có dấu xác định (tt) Định nghĩa (tt) Dạng toàn phương f là xác định âm nếu f không dương và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Các trường hợp trên, ta bảo f xác định dấu, ngược lại, ta bảo f đổi dấu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  59. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Dạng toàn phương có dấu xác định (tt) Định nghĩa (tt) Dạng toàn phương f là xác định âm nếu f không dương và f (x1, , xn) = 0 ⇔ x1 = ··· = xn = 0 Các trường hợp trên, ta bảo f xác định dấu, ngược lại, ta bảo f đổi dấu Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  60. 3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm Nếu t(f ) = rank(f ) 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Cách xác định dấu Phương pháp 1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ). 2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  61. 4 Nếu t(f ) > 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Cách xác định dấu Phương pháp 1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ). 2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định dương 3 Nếu s(f ) = 0, nghĩa là t(f ) = rank(f ) thì Nếu t(f ) = rank(f ) = n thì f xác định âm Nếu t(f ) = rank(f ) < n thì f nửa xác định âm Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  62. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Cách xác định dấu Phương pháp 1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ). 2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương
  63. Ánh xạ tuyến tính - Biểu diễn ma trận Giá trị riêng, vector riêng của ma trân vuông. Chéo hóa ma trận vuông Dạng toàn phương Cách xác định dấu Phương pháp 1 Đưa f về dạng chính tắc, xác đinh s(f ), t(f ) và rank(f ). 2 Nếu t(f ) = 0, nghĩa là s(f ) = rank(f ) thì Nếu s(f ) = rank(f ) = n thì f xác định dương Nếu s(f ) = rank(f ) 0 và s(f ) > 0 thì f đổi dấu. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 3: Sơ lược về toán tử tuyến tính và dạng toàn phương