›
›

Bài giảng Phương pháp giảng dạy ở Tiểu học 2

pdf 74 trang ngocly 20 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp giảng dạy ở Tiểu học 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_phuong_phap_giang_day_o_tieu_hoc_2.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp giảng dạy ở Tiểu học 2

  1. TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN * BÀI GIẢNG Học phần chuyên chọn PPDH TOÁN Ở TIỂU HỌC 2 ( TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN TIỂU HỌC ) Người biên soạn: Tạ Thanh Hiếu Quảng Ngãi: 12 / 2015 Trang 1
  2. LỜI NÓI ĐẦU Tập bài giảng nầy là tài liệu được biên soạn dựa vào: [1] Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành: Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học (2000) Tập 2, Phần thực hành giải toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. [ 2] Trần Diên Hiển (2009), Thực hành giải toán tiểu học- Tập 1, 2, NXB ĐHSP Hà Nội và dựa theo đề cương chi tiết học phần: Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học 2 của Trường Đại học Phạm văn Đồng dùng cho sinh viên năm thứ ba trình độ Cao đẳng đào tạo giáo viên Tiểu học. Đây là tài liệu thuộc học phần chuyên chọn về giải toán và ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học nhằm chuyên sâu hơn các vấn đề cơ bản của dạy học giải toán, các dạng bài toán và các phương pháp giải toán thường dùng ở tiểu học đòi hỏi sinh viên cần có kế hoạch tự học, tự tìm hiểu, nghiên cứu để có kỹ năng vận dụng, kết hợp linh hoạt các phương pháp giải toán phù hợp mức độ, yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng của chương trình góp phần nâng cao năng lực thực hành giải toán nói riêng và hiệu quả, chất lượng dạy học môn toán nói chung ở tiểu học . Tài liệu gồm 4 chương cơ cấu cho 2 tín chỉ (30 tiết). Ở mỗi chương, mục đều có câu hỏi, bài tập đánh giá. Cụ thể: Chương 1 : Giải toán và ý nghĩa của thực hành giải toán ở tiểu học (2; 2) Chương 2 : Thực hành giải các dạng toán điển hình (4 ; 2) Chương 3: Một số phương pháp thường dùng trong giải toán ở tiểu học. (8; 6) Chương 4 : Đánh giá kết quả học tập toán ở tiểu học (4 ; 2) Mặc dù rất cố gắng biên soạn theo hướng hệ thống hóa nhằm gợi mở cách tiếp cận các phần nội dung đề mục của học phần được cụ thể, rõ ràng hơn, song chắc chắn không tránh khỏi mặt hạn chế và thiếu sót. Rất mong đón nhận các ý kiến đóng góp để tập bài giảng ngày càng hoàn thiện. Người biên soạn Tạ Thanh Hiếu Trang 2
  3. HỌC PHẦN: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC 2 Chương 1. GIẢI TOÁN VÀ Ý NGHĨA CỦA THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC. 1.1. Những vấn đề chung về dạy học giải toán Mục tiêu trọng tâm của dạy học giải toán là giúp sinh viên có hiểu biết về trình độ chuẩn của dạy giải toán ở từng lớp, nhận biết các dạng toán trong chương trình môn toán ở tiểu học, phương pháp và cách thức tổ chức dạy học giải toán cho học sinh tiểu học. Biết khai thác sáng tác một số bài toán ở tiểu học. Đặc biệt là cách rèn óc quan sát và khả năng tư duy thông qua thực hành giải toán ở tiểu học. Dạy học giải toán ở tiểu học nhằm các mục đích chủ yếu sau đây: • Giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức và thao tác đã học, luyện kỹ năng tính toán, bước đầu tập dượt vận dụng kiến thức và kỹ năng thực hành vào thực tiễn • Qua việc dạy học giải toán, giáo viên giúp học sinh từng bước phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kỹ năng suy luận, khêu gợi và tập dượt khả năng quan sát, phỏng đoán tìm tòi • Qua thực hành giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc của người lao động mới như ý chí khắc phục khó khăn, thói quen xét đoán có căn cứ, tính cẩn thận chu đáo, cụ thể, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra. Từng bước hình thành và rèn luyện thói quen và suy nghĩ độc lập, linh hoạt, khắc phục cách suy nghĩ máy móc, rập khuôn, xây dựng lòng ham thích tìm tòi, sáng tạo theo những mức độ khác nhau. Trong dạy học giải toán các yêu cầu cơ bản được sắp xếp có chủ định trong từng lớp,tạo thành một hệ thống các yêu cầu từ thấp đến cao, từ lớp 1 đến lớp 5 trong sự kết hợp chặc chẽ với lý thuyết. Nhiều yêu cầu cơ bản của giải toán được trải ra ở nhiều lớp nên việc nắm chắc yêu cầu ở từng lớp là rất quan trọng. Đặc biệt phải nắm vững trình độ chuẩn của dạy giải toán ở từng lớp. Cụ thể: Trang 3
  4. Lớp 1: Nhận biết bước đầu về cấu tạo của bài toán có lời văn. Biết giải và trình bày bài giải các bài toán đơn về thêm, bớt (dùng phép tính cộng, trừ). Lớp 2: Biết giải và trình bày bài giải một số bài toán đơn về cộng, trừ (dạng: nhiều hơn, ít hơn) về nhân, chia (trong phạm vi bảng tính) Lớp 3: Biết giải và trình bày bài giải bài toán có đến hai bước tính (về một số dạng bài toán: tìm một trong các phần bằng nhau của một số, bài toán liên quan đến rút về đơn vị, bài toán có nội dung hình học) Lớp 4: Biết giải và trình bày bài giải các bài toán có đến ba bước tính,trong đó có các bài toán liên quan đến: tìm số trung bình cộng của nhiều số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó; tìm phân số của một số; tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó; tính chu vi và diện tích một số hình đã học Lớp 5: Giải bài toán chủ yếu đến ba bước tính. Bao gồm các bài toán ở lớp 3, 4 và các bài toán về: quan hệ tỉ lệ; tỉ số phần trăm, về chuyển động đều; bài toán có nội dung hình học và các bài toán ứng dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn. 1.2. Quan niệm về bài toán và giải toán. 1.2.1. Bài toán Ở tiểu học bài toán được hiểu là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết bằng phương pháp của toán học. Nhiều khi được hiểu một cách đơn giản hơn: Bài toán là bài tập trong Sách giáo khoa. 1.2.2. Đề bài Đề bài của một bài toán có hai phần chính: - Phần đã cho (các số, số đo đại lượng, các quan hệ giữa cái đã biết và chưa biết) - Phần cần tìm (câu hỏi bài toán) Ví dụ: Bài toán: Đội Một trồng được 18 cây, đội Hai trồng được nhiều hơn đội Một 6 cây. Hỏi cả hai đội trồng được bao nhiêu cây ? Phần đã cho: Đội Một trồng được 18 cây, đội Hai trồng được nhiều hơn đội Một 6 cây. Phần cần tìm (câu hỏi bài toán): Cả hai đội trồng được bao nhiêu cây. Trang 4
  5. 1.2.3. Lời giải (bài giải) Giải một bài toán là đi tìm phần cần tìm của nó. Qúa trình giải là một suy luận hoặc một dãy những suy luận liên tiếp nhằm rút ra phần cần tìm từ phần đã biết. Qúa trình giải được ghi lại thành lời giải; ở cuối lời giải thường ghi rõ câu trả lời hoặc đáp số. Ở ví dụ trên, qúa trình giải gồm hai suy luận: - Vì đội Một trồng 18 cây và đội Hai trồng nhiều hơn đội Một 6 cây nên số cây đội Hai trồng được là: 18 + 6 = 24 (cây) - Vì đội Một trồng 18 cây và đội Hai trồng 24 cây nên số cây cả hai đội trồng được là: 18 + 24 = 42 (cây) . Vậy số cây cả hai đội trồng được là 42 cây Ở tiểu học chỉ yêu cầu viết phần kết luận mà không yêu cầu viết phần tiền đề của suy luận. Do đó lời giải ở ví dụ trên được trình bày theo yêu cầu sau: Bài giải: Số cây đội Hai trồng được là: 18 + 6 = 24 (cây) Số cây cả hai đội trồng được là: 18 + 24 = 42 (cây) Đáp số: 42 cây 1.2.4. Giải toán Giải toán nói chung được hiểu là phần kiến thức trong chương trình toán tiểu học về giải các bài toán ở tiểu học.(theo mức độ yêu cầu về trình độ chuẩn ở từng lớp) 1.3. Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học. Cần thấy rằng, bài tập toán chiếm phần lớn nội dung chương trình toán tiểu học kể cả phần lý thuyết. Nó góp phần: - Củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính và giải toán theo trình độ chuẩn ở mỗi lớp - Thực hiện “học đi đôi với hành”, vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, - Phát triển năng lực về trình độ tư duy lôgich, trí tưởng tượng không gian, khả năng suy luận, chứng minh, tính linh hoạt, sáng tạo, - Kiểm tra việc dạy và học; tăng cường mối liên hệ ngược và cá biệt hóa trong dạy học; gây hứng thú, giáo dục học sinh qua giải toán và học toán Trang 5
  6. Các mục đích trên có thể đạt được qua hệ thống bài tập trong SGK toán tiểu học và các tình huống cụ thể do giáo viên thiết kế theo phương pháp tích cực; lựa chọn các hình thức tổ chức dạy học hợp lý theo hướng đổi mới toàn diện và đồng bộ trong các thành phần (các hoạt động) dạy học hiện nay. Điều quan trọng và ý nghĩa hơn là tạo mối liên hệ giữa các kiến thức mang tính lý thuyết trong chương trình thành tình huống mang tính thực tiển cần được phát hiện và giải quyết mà cụ thể là các bài toán (có lời văn) . Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học thể hiện qua một số hình thức sau: 1/ Lấy giải toán làm điểm xuất phát để tạo động cơ hình thành tri thức mới. Chẳng hạn: Khi dạy bài: phép cộng phân số (cùng mẫu số) – Toán 4 Để giúp học sinh hình thành được qui tắc về phép cộng phân số (cùng mẫu số), giáo viên nêu bài toán: 3 Bài toán: Có một băng giấy, bạn Nam tô màu băng giấy, sau đó Nam tô màu tiếp 8 2 băng giấy. Hỏi bạn Nam đã tô màu bao nhiêu phần của băng giấy ? 8 Từ hình ảnh trực quan được minh họa sẽ giúp nhận ra kết quả của phép tính và từ kết quả đó, gợi ý học sinh phát hiện ra cách cộng hai phân số trong trường hợp cụ thể nầy, rồi từ đó nêu ra qui tắc cộng hai phân số cùng mẫu số Hoặc để giúp học sinh nhận biết thế nào là số trung bình cộng và cách tính số trung bình cộng của nhiều số khi dạy bài: Tìm số trung bình cộng, giáo viên lần lượt đưa ra hai bài toán và gợi ý cách giải (dựa sơ đồ đoạn thẳng). Bài toán 1: Rót vào can thứ nhất 6 l dầu, rót vào can thứ hai 4 l dầu. Hỏi nếu số lít dầu đó được rót đều vào hai can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu ? Bài toán 2: Số học sinh của ba lớp lần lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? Qua nội dung và cách giải hai bài toán cụ thể đó sẽ giúp học sinh nhận biết về số trung bình cộng và cách tìm số trung bình cộng của nhiều số; 2/ Lấy giải toán làm phương tiện củng cố tri thức mới. Trang 6
  7. Chẳng hạn sau khi học bảng nhân 6 (toán 3) học sinh được củng cố bảng nhân 6 qua việc vận dụng giải bài toán: Mỗi thùng có 6 l dầu. Hỏi 5 thùng như thế có tất cả bao nhiêu lít dầu ? 3/ Lấy giải toán làm phương tiện để rèn luyện kĩ năng vận dụng tri thức vào thực tiễn. ( nêu ví dụ minh họa) 4/ Lấy giải toán làm phương tiện để phát triển năng lực tư duy của học sinh. ( nêu ví dụ minh họa) Nhìn chung các bài toán trong SGK ở mỗi lớp đều ít nhiều có nội dung gắn với thực tiễn cũng như phát triển được năng lực tư duy cho học sinh. 1.4. Phân loại các bài toán ở tiểu học. 1.4.1. Bài toán áp dụng qui tắc và bài toán có lời văn • Bài toán áp dung qui tắc Đây là các bài toán chủ yếu rèn luyện kỹ năng tính toán, áp dụng trực tiếp qui tắc, công thức, tính chất . Chẳng hạn: Tính : 8 x 3 + 8 ; Đặt tính rồi tính: 437 x 3 ; Tìm số trung bình cộng của các số: 36 , 42 và 57 ; . • Bài toán có lời văn (xem 1.2.2) 1.4.2.Bài toán đơn và bài toán hợp • Bài toán đơn : Bài toán chỉ giải bằng một bước tính Ví dụ 1: Tổ một trồng được 25 cây, tổ hai trồng được gấp 3 lần số cây của tổ một. Hỏi tổ hai trồng được bao nhiêu cây ? Bài giải: Số cây tổ hai trồng được là: 25 x 3 = 75 (cây) Đáp số: 75 cây Ví dụ 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 35m, chiều rộng 20m. Tính chu vi mảnh đất đó. Bài giải: Chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: (35 + 20) x 2 = 110 (m 2 ) Đáp số: 110 m 2 Trang 7
  8. • Bài toán hợp : Bài toán giải từ hai bước tính trở lên 1.4.3.Bài toán điển hình và bài toán không điển hình • Bài toán điển hình: Bài toán mà quá trình giải có phương pháp giải riêng cho từng dạng bài toán. Chẳng hạn: 1/ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó Phương pháp giải dựa vào sơ đồ đoạn thẳng thể hiện cụ thể theo các bước sau: Cách 1: Bước 1: Tính hai lần số bé (lấy tổng trừ đi hiệu của hai số đó) Bước 2: Tìm số bé (lấy tổng trừ đi hiệu của hai số đó rồi chia cho 2 ) Bước 3: Tìm số lớn (lấy số bé cộng với hiệu) Cách 2 Bước 1: Tính hai lần số lớn (lấy tổng cộng với hiệu của hai số đó) Bước 2: Tìm số lớn (lấy tổng cộng với hiệu của hai số đó rồi chia cho 2 ) Bước 3: Tìm số bé (lấy số lớn trừ đi hiệu) Lưu ý: Khi học sinh đã quen dạng, có thể lượt bỏ Bước 1 2/ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó Bước 1: Tính tổng số phần bằng nhau. (số phần số bé cộng với số phần số lớn) Bước 2: Tìm số bé (lấy tổng chia cho tổng số phần bằng nhau rồi nhân với số phần của số bé ) Bước 3: Tìm số lớn . (lấy tổng trừ đi số bé) 3/ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó Bước 1: Tính hiệu số phần bằng nhau.(lấy số phần số lớn trừ đi số phần số bé) Bước 2: Tìm số bé (lấy hiệu chia cho hiệu số phần bằng nhau rồi nhân với số phần của số bé ) Bước 3: Tìm số lớn . (lấy số bé cộng với hiệu) Ví dụ 1: Tổng của hai số là 70. Hiệu của hai số đó là 10. Tìm hai số đó. (Dạng : tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó - ở đây tổng của hai số cần tìm là 70 và hiệu của chúng là 10) Trang 8
  9. Cách 1: (Tìm số bé trước) Bài giải: Ta có sơ đồ: ? Số lớn: 10 70 Số bé: ? Số bé là: (70 – 10) : 2 = 30 Số lớn là: 30 + 10 = 40 Đáp số: Số bé : 30 ; Số lớn : 40 Cách 2: (Tìm số lớn trước) Bài giải: Ta có sơ đồ: ? Số lớn: ? 70 Số bé: 10 Số lớn là: (70 + 10) : 2 = 40 Số bé là: 40 - 10 = 30 Đáp số: Số bé : 30 ; Số lớn : 40 Ví dụ 2: 3 Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó. 5 (Dạng: tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó - ở đây tổng của hai số cần tìm 3 là 96 và tỉ số của của số bé so với số lớn là ) 5 Bài giải: Ta có sơ đồ: ? Số bé: 96 Số lớn: ? Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần) Số bé là: 96 : 8 x 3 = 36 Số lớn là: 96 - 36 = 60 Đáp số: Số bé : 36 ; Số lớn : 60 Trang 9
  10. Ví dụ 3: 3 Hiệu của hai số là 24. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó. 5 (Dạng: tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó - ở đây hiệu của hai số cần tìm 3 là 24 và tỉ số của chúng là ) 5 Bài giải: Ta có sơ đồ: ? Số bé: Số lớn: ? 24 Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần) Số bé là: 24 : 2 x 3 = 36 Số lớn là: 36 + 24 = 60 Đáp số: Số bé : 36 ; Số lớn : 60 Đây là những bài toán điển hình thuộc dạng các bài toán cơ bản ở tiểu học (lớp 4) Nội dung thực tế của các bài toán nầy rất phong phú và đa dạng, nên cần chú ý rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau: 1/ Kỹ năng nhận dạng các bài toán nầy với các mức độ : - Nhận dạng nhờ đọc hiểu các dữ kiện đã cho và câu hỏi của bài toán - Nhận dạng nhờ quan sát sơ đồ tóm tắt của bài toán - Nhận ra dạng bài toán nhờ xem xét các bước giải bài toán 2/ Kỹ năng trình bày bài giải bao gồm : - Kỹ năng vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán - Kỹ năng tính toán trên các số - Kỹ năng chọn viết câu lời giải cho các phép tính • Bài toán không điển hình: Bài toán mà cách giải không nêu thành mẫu (nên tách ra thành các bài toán đơn để giải) Trang 10
  11. Chẳng hạn: 1 1/ Đàn vịt có 48 con, trong đó có số vịt đang bơi ở dưới ao. Hỏi trên bờ có bao 8 nhiêu con vịt ? (Toán 3) 2/ Một hộp bánh giá 34000 đồng và một chai sữa giá 12000 đồng. Sau khi mua 2 hộp bánh và 6 chai sữa, mẹ còn lại 95000 đồng. Hỏi lúc đầu mẹ có bao nhiêu tiền ? (Toán 4) 3/ Tổng của ba số bằng 8. Tổng của số thứ nhất và số thứ hai bằng 4,7. Tổng của số thứ hai và số thứ ba bằng 5,5. Hãy tìm mỗi số đó. (Toán 5) Bài tập: 1/ Nêu ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học và thể hiện ý nghĩa đó qua ví dụ cụ thể. 2/ Hệ thống các dạng bài toán điển hình ở lớp: 2, 3, 4, 5 Trang 11
  12. Chương 2: THỰC HÀNH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH 2.1. Các bài toán áp dụng qui tắc Chủ yếu rèn kỹ năng tính toán, áp dụng trực tiếp qui tắc, công thức, tính chất 1/ Thực hiện phép tính ( Trên số tự nhiên, phân số, số thập phân) Học sinh cần thuộc bảng cộng,trừ,nhân,chia ; đặt tính đúng; thuộc qui tắc tính 2/ So sánh hai số Học sinh nhận biết thứ tự các số có một chữ số và qui tắc so sánh các số tự nhiên. Ví dụ: Viết số tự nhiên lớn nhất (nhỏ nhất) có 3 chữ số. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tổng các chữ số của nó bằng 20. Viết các số tự nhiên gồm 4 chữ số có tổng các chữ số của nó bằng 3. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có đủ 10 chữ số khác nhau mà chia cho 5 dư 2. Một số tự nhiên sẽ thay đổi thế nào nếu viết thêm (xóa) chữ số 3 ở bên phải số đó . Điền chữ số thích hợp vào ô trống để cho: 6800 < 600 + 700 < 7000 Điền dấu thích hợp vào ô trống: 1a 82+ 6 b 1 + 57 c  2243 + abc 3/ Tính giá trị của biểu thức Cần nhận biết và vận dụng được các tính chất của các phép tính, thuộc qui tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức, bao gồm: • Biểu thức chỉ có dấu phép tính cộng, trừ hoặc nhân, chia (thực hiện từ trái qua phải) • Biểu thức có chứa 4 dấu phép tính khác nhau (thực hiện nhân, chia trước cộng, trừ sau) • Biểu thức có chứa dấu ngoặc đơn (Thực hiện các phép tính trong ngoặc trước theo một trong hai qui tắc trên) Ví dụ: - Hãy thêm dấu ngoặc đơn vào các dãy tính sau đây sao cho kết quả là số tự nhiên bé nhất, lớn nhất: 4 x 12 + 18 : 6 + 3 ; 32: 8 x 4 x 4 + 52 : 4 - Không cần tính giá trị,hãy so sánh: 6565 x 64 và 6464 x 65 ; 96 x 98 và 97 x 97 Trang 12
  13. 1919 199 - Rút gọn các phân số sau: ; 3838 995 4/ Tính các giá trị thường dùng trong thống kê: ( Số trung bình cộng, tỉ số phần trăm ) 5/ Tính chu vi, diện tích, thể tích của các hình đã học. 6/ Tính vận tốc, quảng đường, thời gian trong chuyển động đều. 2.2. Bài toán đơn. Đối với các bài toán đơn căn cứ vào ý nghĩa phép tính, mối quan hệ giữa các thành phần và kết quả phép tính hoặc vận dụng công thức, có thể chia các bài toán đơn thành 5 nhóm: Nhóm 1: Các bài toán đơn thể hiện ý nghĩa cụ thể của các phép tính số học (về thêm, bớt một số đơn vị, về phép nhân, chia: ghép thành cặp, chia đều tìm số phần tử, tìm số phần) Ví dụ: Mỗi hộp có 12 bút chì màu. Hỏi 4 hộp như thế có bao nhiêu bút chì màu ? (bài toán về phép nhân) Có 24 cái ly xếp đều vào 4 hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái ly ? (bài toán về phép chia: dạng chia đều tìm số phần tử) Có 24cái ly xếp vào các hộp, mỗi hộp có 6 cái ly.Hỏi xếp được bao nhiêu hộp ? (bài toán về phép chia: dạng chia đều tìm số phần) Nhóm 2: Các bài toán đơn thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần và kết quả phép tính. Bao gồm: • Tìm số hạng chưa biết khi biết tổng và số hạng kia Ví dụ: Lớp A có 35 học sinh, trong đó có 18 học sinh nữ. Hỏi lớp A có bao nhiêu học sinh nam ? • Tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ • Tìm số trừ khi biết hiệu và số bị trừ Ví dụ: Một phòng họp có 70 chổ ngồi, đã có 50 người đến họp. Hỏi phòng họp đó còn bao nhiêu chổ chưa có người ngồi ? (tìm số trừ) • Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia Trang 13
  14. Ví dụ: May 6 bộ quần áo như nhau hết 18 m vải. Hỏi may mỗi bộ quần áo hết mấy mét vải ? • Tìm số bị chia khi biết thương và số chia • Tìm số chia khi biết thương và số bị chia Ví dụ: Có 45kg gạo chia vào các túi, mỗi túi có 9 kg.Hỏi có bao nhiêu túi gạo? Nhóm 3: Các bài toán đơn phát triển thêm ý nghĩa mới của phép tính số học Bao gồm: về nhiều (ít) hơn một số đơn vị, về so sánh nhiều (ít) hơn, về tăng (gấp), giảm (kém) một số lần, về so sánh gấp (kém) một số lần. Nhóm 4: Các bài toán đơn liên quan đến phân số và tỉ số. Trong đó có các bài toán cơ bản về tỉ số và tỉ số phần trăm.  Các bài toán cơ bản về tỉ số và tỉ số phần trăm. 1. Tỉ số và các bài toán về tỉ số. • Tỉ số: Tỉ số của số I và số II là m : n (m, n ∈ N * ) nếu có một số a sao cho số I bằng m lần a và số II bằng n lần a. m phần a công thức: I : II = m : n I : a I = ( II : n ) x m II : a II = ( I : m ) x n n phần a • Các bài toán cơ bản về tỉ số : Ví dụ: 1 Tỉ số của hai số 10 và 6 là : 10 : 6 (a = 1) hay 5 : 3 (a = ) 2 10 5 21 Tỉ số của hai số và là: 30 : 35 (a = 21) hay 6 : 7 (a = ) 7 3 5 Bài toán: 3 1/ Biết tỉ số của một số và 8 là 3 : 2 (hay ) Tìm số đó. (Tìm số thứ I) 2 Dựa sơ đồ: ? Số cần tìm : 8 : Trang 14
  15. Ta có số cần tìm là : 8 : 2 x 3 = 12 2/ Biết tỉ số của 12 và một số là 3 : 2. Tìm số đó. (Tìm số thứ II) (Số cần tìm là: 12 : 3 x 2 = 8 ) Nhận xét: Tìm phân số của một số ( toán 4) được phát triển từ dạng bài toán: Tìm một trong các phần bằng nhau của một số (toán 3) với ví dụ 1, 2 nêu trên về cách giải ? 2 2 2 Ví dụ: Tìm của 12 ( của 12 là: 12 x = 8 ) 3 3 3 Các ví dụ trên mang thuần túy toán học nên cần gắn ví dụ có nội dung thực tế 2. Tỉ số phần trăm và các bài toán về tỉ số phần trăm. • Tỉ số phần trăm : Tỉ số phần trăm của số I và số II là x % ( x:số thập phân) nếu có một số a sao cho số I bằng a × x và số II bằng a × 100. Công thức: Tỉ số phần trăm của số thứ I và số thứ II là: I : II = x : 100 (x % ) Thể hiện bước 1: Thực hiện phép chia: I : II Thể hiện bước 2: Chuyển ( I : II ) × 100 thành x % ( x gắn kí hiệu % ) Cách tìm số thứ I khi biết số thứ II và tỉ số phần trăm của số thứ I và số thứ II : I = ( II : 100 ) × x hay I = II × x : 100 Cách tìm số thứ II khi biết số thứ I và tỉ số phần trăm của số thứ I và số thứ II : II = ( I : x ) × 100 hay II = I × 100 : x • Các bài toán về tỉ số phần trăm . Ví dụ: Tỉ số phần trăm của 24 và 40 là : 24 : 40 = 0,60 (bước 1) 0,60 = 60% (bước 2) Ví dụ: 1/ Biết tỉ số phần trăm của một số và 40 là 60%. Tìm số đó. (tìm số thứ I) Số cần tìm là: 40 x 60 : 100 = 24 2/ Biết tỉ số phần trăm của 24 và một số là 60%. Tìm số đó. (tìm số thứ II) Số cần tìm là: 24 x 100 : 60 = 40 Gắn nội dung thực tế vào ví dụ 1,2 để có các bài toán tương ứng sau: Trang 15
  16. 1/ Một lớp có 40 học sinh, trong đó số học sinh nam chiếm 60%. Tính số học sinh nam. (tìm số thứ I) Số học sinh nam là: 40 x 60 : 100 = 24 (học sinh) 2/ Số học sinh nam của một lớp là 24 và chiếm 60% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh ? (tìm số thứ II) Số học của lớp là: 24 x 100 : 60 = 40 (học sinh) Nhóm 5: Các bài toán đơn áp dụng các công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình đã học; tìm vận tốc, quảng đường, thời gian trong chuyển động đều. 2.3 Bài toán hợp: 2.3.1 Các bài toán giải bằng hai phép tính cộng và trừ 1) a + (b + c) ; (a + b) + c ; 2) (a + b) – c ; a – (b + c) 3) (a – b) + c ; a + (b – c) ; 4) (a – b) – c ; a – (b – c) Ví dụ: 1/ Một kho có 4720 kg muối, lần đầu chuyển đi 2000 kg muối, lần sau chuyển đi 1700 kg muối. Hỏi trong kho còn lại bao nhiêu ki-lô-gam muối ? (Toán 3) Bài toán có dạng: a – (b + c) hoặc (a – b) – c . 2/ Xã A có 68700 cây ăn quả. Xã B có nhiều hơn xã A 5200 cây ăn quả. Xã C có ít hơn xã B 4500 cây ăn quả. Hỏi xã C có bao nhiêu cây ăn quả ? (Toán 3) Bài toán có dạng: (a + b) – c 2.3.2 Các bài toán dạng tìm hai số khi biết kết quả hai phép tính. (xem 1.4.3) 1/ Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó 2/ Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó 3/ Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó Ngoài ra, trong một số trường hợp riêng có thể tìm hai số khi biết tổng và tích, hiệu và tích, tích và thương của hai số đó (dùng phương pháp thử chọn) Chẳng hạn: Tìm số có hai chữ số, biết rằng hiệu hai chữ số bằng 5 và tích hai chữ số đó bằng 24. Cách 1: Các cặp hai chữ số có hiệu bằng 5 là: Trang 16
  17. 9 và 4 ; 8 và 3 ; 7 và 2 ; 6 và 1 ; 5 và 0 Trong các cặp nêu trên chỉ có cặp 8 và 3 có tích bằng 24. Vậy các số cần tìm là 38 ; 83 Cách 2: Các cặp hai chữ số có tích bằng 24 là: 8 và 3 ; 6 và 4 Trong các cặp nêu trên chỉ có cặp 8 và 3 có hiệu bằng 5. Vậy các số cần tìm là 38 ; 83 Ví dụ: Nhận xét nội dung các bài toán sau đây, nhận dạng bài toán rồi trình bày bài giải: 1/ Tổng của hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng: • Số bé bằng 1/5 số lớn • Số lớn gấp 5 lần số bé. • Số lớn giảm 5 lần thì đựơc số bé. • Số bé tăng lên 5 lần thì đựơc số lớn. • Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 5 2/ Tổng của hai số là 72. Tìm hai số đó, biết rằng: • Tỉ số của hai số đó là 3/5. • Số bé bằng 3/5 số lớn. • 1/3 số bé bằng 1/5 số lớn (hay 2/3 số bé bằng 2/5 số lớn) • 3 lần số lớn bằng 5 lần số bé. 2.3.3 Các bài toán cơ bản về quan hệ tỉ lệ Dùng phương pháp rút về đơn vị (Toán 3) hoặc đưa về tỉ số (toán 5). Ví dụ 1: Có 28 kg gạo đựng đều trong 7 bao. Hỏi 5 bao đó có bao nhiêu ki-lô-gam gạo ? Tóm tắt: 7 bao : 28 kg 5 bao : . kg ? Bài giải: (dùng phương pháp rút về đơn vị) Số ki-lô-gam gạo trong mỗi bao là: 28 : 7 = 4 (kg) Số ki-lô-gam gạo trong 5 bao là: 4 x 5 = 20 (kg) Đáp số: 20 kg gạo Trang 17
  18. Ví dụ 2: Có 40 kg đường đựng đều trong 8 túi. Hỏi 15 kg đường đựng trong mấy túi như thế ? (Toán 3) Tóm tắt: 40 kg : 8 túi 15 kg : túi ? Bài giải: (dùng phương pháp rút về đơn vị) Số ki-lô-gam đường đựng trong mỗi túi là: 40 : 8 = 5 (kg) Số túi cần có để đựng 15 kg đường là: 15 : 5 = 3 (túi) Đáp số: 3 túi Ví dụ 3: Một đội trồng rừng trung bình cứ 3 ngày trồng được 1200 cây thông. Hỏi trong 12 ngày đội đó trồng được bao nhiêu cây thông ? (Toán 5) Tóm tắt: 3 ngày : 1200 cây 12 ngày : .cây ? Bài giải: Cách 1: (dùng phương pháp rút về đơn vị) Số cây trong 1 ngày đội trồng rừng trồng được là: 1200 : 3 = 400 (cây) Số cây trong 12 ngày đội trồng rừng trồng được là: 400 x 12 = 4800 (cây) Đáp số: 4800 cây Cách 2: (dùng phương pháp đưa về tỉ số) 12 ngày gấp 3 ngày số lần là: 12 : 3 = 4 (lần) Trong 12 ngày đội trồng rừng trồng được là: 1200 x 4 = 4800 (cây) Đáp số: 4800 cây Ví dụ 4: Để hút hết nước ở một cái hồ, phải dùng 3 máy bơm làm việc liên tục trong 4 giờ. Vì muốn công việc hoàn thành sớm hơn nên người ta đã dùng 6 máy bơm như thế. Hỏi sau mấy giờ sẽ hút hết nước ở hồ ? (giải bằng 2 cách) Tóm tắt: 3 máy bơm : 4 giờ 6 máy bơm : giờ ? 2.3.4 Bài toán về chuyển động đều Khi giải bài toán về chuyển động đều, cần áp dụng phối hợp các công thức sau: Trang 18
  19. • Tính vận tốc: v = s : t • Tính quảng đường: s = v x t • Tính thời gian: t = s : v Nhận xét: - Nếu vận tốc không đổi thì quảng đường và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ thuận - Nếu quảng đường không đổi thì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch - Nếu thời gian không đổi thì quảng đường và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ thuận • Hai vật chuyển động ngược chiều : + Thời gian gặp nhau : t = s : ( v1 v 2 ) Vídụ: Quảng đường AB dài 180km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 54km/giờ, cùng lúc đó một xe máy đi từ B đến A với vận tốc 36km/giờ. Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ ô tô gặp xe máy ? Dựa sơ đồ cụ thể, gợi ý: v = 54km/giờ v = 36km/giờ C A B s = 180km - Khi 2 xe gặp nhau ở C, thì cả 2 xe trong cùng 1 thời gian đi được ? km (180km) - Trong 1 giờ cả 2 xe đi được bao nhiêu ki-lô-mét ? 54 + 36 = 90 (km) Gợi ý: 90 km : 1 giờ 180 km : giờ ? Từ đó suy ra thời gian hai xe gặp nhau và dẫn đến công thức nêu trên. • Hai vật chuyển động cùng chiều : − > Thời gian gặp nhau: t = s : ( v1 v 2 ) ; v1 v 2 A s = 48km B C 36km/giờ 12km/giờ • Chuyển động trên dòng sông - Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước Trang 19
  20. - Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước - Vận tốc dòng nước = ( vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng) : 2 2.3.5 Bài toán về trồng cây. Ví dụ 1: Một hàng rào thẳng có chiều dài 100m. Cứ 2m lại có một chiếc cọc rào. Hỏi: a/ Có tất cả bao nhiêu chiếc cọc? b/ Nếu muốn rào như vậy với một hình vuông cạnh là 100m thì cần bao nhiêu chiếc cọc ? a/ Số cọc cần có là: 100 : 2 + 1 = 51 (cọc) (Nhận xét: số cọc = số khoảng cách + 1) b/ Chu vi hình vuông là: 100 x 4 = 400 (m) Số cọc cần dùng là: 400 : 2 = 200 (cọc) (Nhận xét: số cọc = số khoảng cách) Ví dụ 2: Từ 10 đến 100 có bao nhiêu số ? Có bao nhiêu số chẳn ? Từ 10 đến 100 có: ( 100 – 10) + 1 = 91 (số) Các số chẵn từ 10 đến 100 có: ( 100 – 10) : 2 + 1 = 46 (số) Ví dụ 3: Ngày đầu tiên của năm 2014 là thứ tư.Hỏi ngày cuối năm của năm đó là thứ mấy? Năm 2014 không phải là năm nhuận, nên có 365 ngày. Ta có: ( 365 – 1 ) : 7 = 52 (tuần) Vậy ngày cuối năm 2014 là thứ tư. Bài tập: 1/ Hãy hệ thống các bài toán đơn theo từng nhóm trong SGK Toán tiểu học. 2/ Hệ thống các dạng toán điển hình ở lớp 3,4,5 và thực hành giải các bài toán đó. Trang 20
  21. Chương 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG TRONG GIẢI TOÁN TIỂU HỌC 3.1 Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng. Sơ đồ đoạn thẳng có vai trò đặc biệt quan trọng trong giải toán ở tiểu học. Nhờ sơ đồ đoạn thẳng các khái niệm và quan hệ trừu tượng của số học như các phép tính và các quan hệ được biểu thị trực quan hơn. Sơ đồ đoạn thẳng cũng giúp trực quan hóa các suy luận. Ưu thế về tính trực quan khiến cho sơ đồ đoạn thẳng trở thành 1 phương tiện giải toán thường xuyên được sử dụng ở tiểu học. Khi giải toán, đối với phương pháp nầy ta có thể dùng các đoạn thẳng thay cho các số(số đã cho, số cần tìm) để biểu thị các quan hệ giữa các đại lượng cho trong bài toán, từ đó suy nghĩ tìm tòi cách giải bài toán. Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 60m, nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 5m thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó. (Bài toán dạng: tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó) Bài giải: Nửa chu vi hình chữ nhật là: 60 : 2 = 30 (m) Ta có sơ đồ : ? m Chiều dài: 5m Chiều rộng: 5m 30m ? m Chiều dài hơn chiều rộng là: 5 + 5 = 10 (m) Chiều rộng hình chữ nhật là: (30 – 10 ) : 2 = 10 (m) Chiều dài hình chữ nhật là: 10 + 10 = 20 (m) Diện tích hình chữ nhật là: 20 x 10 = 200 (m 2 ) Đáp số: 200 m 2 Ngoài ra còn có các cách giải khác sau: Trang 21
  22. Bài giải: (dùng phương pháp tính ngược từ cuối) Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 5m thì được một hình vuông nên chu vi hình chữ nhật bằng chu vi hình vuông . Cạnh hình vuông là: 60 : 4 = 15 (m) Chiều dài hình chữ nhật là : 15 + 5 = 20 (m) Chiều rộng hình chữ nhật là : 15 – 5 = 10 (m) Diện tích hình chữ nhật là: 20 x 10 = 200 (m 2 ) Đáp số: 200 m 2 Bài giải: (Dùng phương pháp cắt, ghép hình - Mục 3.6.2) 1 2 5cm 3 4 5cm Theo hình vẽ, gọi hình12 (ghép từ hình 1 và 2) là hình chữ nhật đã cho. Sau khi tăng chiều rộng 5cm và giảm chiều dai 5cm thì được hình vuông 134 (ghép từ hình 1, 3 và 4) và chu vi hình chữ nhật 12 bằng chu vi hình vuông 134. Cạnh hình vuông 134 là: 60 : 4 = 15 (m) Theo cắt ghép hình, diện tích hình chữ nhật 2 bằng diện tích hình chữ nhật 3. Diện tích hình vuông 134 hơn diện tích hình chữ nhật 12 là: 5 x 5 = 25 (m 2 ) Diện tích hình chữ nhật 12 là : 15 x 15 – 25 = 200 (m 2 ) Đáp số: 200 m 2 Ví dụ 2: Hiệu của hai số là 207. Tìm hai số đó, biết rằng nếu xoá chữ số 0 ở hàng đơn vị của số lớn thì được số bé. Nhận xét: Trang 22
  23. Nếu xoá chữ số 0 ở hàng đơn vị của số lớn thì số lớn sẽ giảm đi 10 lần và bằng số bé hay số bé bằng 1 phần 10 số lớn , từ đó dẫn đến dạng bài toán: tìm hai số (số bé và số lớn) khi biết hiệu là 207 và tỉ số của hai số đó là 1 : 10 Bài giải: Ta có sơ đồ: 10 phần ? Số lớn: ? 207 Số bé: 1phần Hiệu số phần bằng nhau là: 10 – 1 = 9 ( phần ) Số bé là: 207 : 9 = 23 Số lớn là: 207 + 23 = 230 Đáp số: 23 ; 230 Ví dụ 3: Một cửa hàng bán hoa quả (trái cây) thu được 1800000 đồng. Tính ra số tiền lãi bằng 20% số tiền mua. Hỏi tiền vốn để mua số hoa quả đó là bao nhiêu đồng? Bài giải: Cách 1: Tiền lãi bằng 20% số tiền mua hay tiền lãi bằng 1/5 số tiền mua . Ta có sơ đồ: Tiền lãi: 1800000 đồng Tiền mua: ? Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 5 = 6 (phần) Tiền vốn để mua số hoa quả là: 1800000 : 6 x 5 = 1500000 (đồng) Đáp số: 1500000 đồng Cách 2: Tiền lãi bằng 20% số tiền mua (tiền vốn), do đó 1800000 đồng gồm: 20% + 100% = 120% (tiền vốn) Tiền vốn để mua số hoa quả là: 1800000 : 120 x 100 = 1500000 (đồng) Đáp số: 1500000 đồng Trang 23
  24. Ví dụ 4: Tổng của một số tự nhiên và một số thập phân bằng 265,3. Khi tìm hiệu hai số đó, một học sinh quên chữ số tận cùng của số tự nhiên nên hiệu tìm được là 9,7. Tìm hai số đã cho. Bài giải: Cách 1: Vì 9,7 không thể là hiệu của số thập phân và số tự nhiên khi quên chữ số tận cùng nên 9,7 phải là hiệu của số tự nhiên khi quên chữ số tận cùng và số thập phân đồng thời chữ số tận cùng đó phải là chữ số 0 (để phần thập phân có chữ số 7). Do đó khi quên chữ số 0 tận cùng thì số tự nhiên đã cho sẽ giảm đi 10 lần . ? Ta có sơ đồ: 10 ph ần Số tự nhiên: 1 phần 265,3 Số thập phân: 9,7 ? Theo sơ đồ nếu số thập phân cộng thêm 9,7 thì được 1 phần của số tự nhiên đã cho. Khi đó tổng số phần bằng nhau là: 10 + 1 = 11 (phần) Số tự nhiên là: (265,3 + 9,7) : 11 x 10 = 250 Số thập phân là: 265,3 – 250 = 15,3 Đáp số: Số tự nhiên: 250 ; Số thập phân: 15,3 Cách 2: ? Ta có sơ đồ: 10 ph ần 9,7 Số tự nhiên: 1 phần 265,3 Số thập phân: ? Theo sơ đồ, 11 lần số thập phân là: 265,3 – 9,7 x 10 = 168,3 Số thập phân là: 168,3 : 11 = 15,3 Số tự nhiên là: 265,3 – 15,3 = 250 Đáp số: Số tự nhiên: 250 ; Số thập phân: 15,3 Trang 24
  25. Ví dụ 5: Hai đội trồng được 54 cây. Nếu đội một trồng ít đi 9 cây và đội hai trồng tăng thêm 5 cây thì số cây đội hai trồng sẽ nhiều hơn số cây đội một trồng là 2 cây. Tìm số cây mỗi đội đã trồng lúc đầu. Bài giải: Cách 1: Nếu đội một trồng ít đi 9 cây và đội hai trồng thêm 5 cây thì tổng số cây hai đội trồng được lúc nầy sẽ là: 54 – 9 + 5 = 50 (cây) Ta có sơ đồ: ? cây Đội một: 50 (cây) Đội hai: 2 cây Số cây đội một trồng lúc nầy là: (50 – 2) : 2 = 24 (cây) Số cây đội một trồng lúc đầu là: 24 + 9 = 33 (cây) Số cây đội hai trồng lúc đầu là: 54 - 33 = 21 (cây) Đáp số: đội một: 33 cây ; đội hai: 21 cây Cách 2: Ta có sơ đồ: ? cây Đội một: 9 cây ? cây 54 (cây) Đội hai: 2 cây 5 cây Số cây đội một trồng nhiều hơn đội hai là: 9 + (5 – 2) = 12 (cây) Số cây đội hai trồng lúc đầu là: (54 – 12 ) : 2 = 21 (cây) Số cây đội một trồng lúc đầu là: 54 – 21 = 33 (cây) Đáp số: đội một: 33 cây ; đội hai: 21 cây Ví dụ 6: Có ba tổ trồng cây, tổ 1 trồng được 14 cây, tổ 2 trồng được ít hơn tổ 1 là 2 cây. Tổ 3 trồng được nhiều hơn trung bình cộng của cả 3 tổ là 4 cây. Hỏi trung bình mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây và số cây tổ 3 đã trồng được ? Trang 25
  26. Bài giải: Ta có sơ đồ: TBC ? TBC ? TBC? 4 tổ 1 + tổ 2 tổ 3 ? cây Số cây tổ 2 trồng được là: 14 – 2 = 12 (cây) Số cây trung bình mỗi tổ trồng được là: (14 + 12 + 4) : 2 = 15 (cây) Số cây tổ 3 trồng được là: 15 + 4 = 19 (cây) Đáp số: 15 cây ; 19 cây Hãy giải bài toán trên khi thay điều kiện: Tổ 3 trồng được ít hơn trung bình cộng của cả 3 tổ là 4 cây. Bài tập: 1/ Một hình tam giác đều và một hình vuông có chu vi bằng nhau, cạnh hình nầy dài hơn cạnh hình kia 2cm. Tính chu vi hình tam giác đều và diện tích hình vuông đó. 2/ Một hình chữ nhật có chu vi 48m. Nếu bớt chiều dài 2m và thêm chiều rộng 10m thì được một hình vuông.Tính diện tích hình chữ nhật đó. 3/ Hai túi có 80 bi. Nếu chuyển từ túi trái sang túi phải một số bi đúng bằng số bi ở túi phải thì túi phải hơn túi trái 16 bi. Hỏi lúc đầu mỗi túi có bao nhiêu bi ? 4/ Ba số có tổng bằng 130. Nếu lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai, số thứ hai chia cho số thứ ba thì đều được thương là 2 dư 1. Tìm ba số đó. 5/ Hai lớp A và B có tổng số là 75 học sinh . Tìm số học sinh mỗi lớp biết 3 lần số học sinh lớp A bằng 2 lần số học sinh lớp B. Gợi ý bài tập 5/: Giải các bài toán dưới đây khi thay đổi điều kiện trên bằng mỗi điều kiện sau: 1) 3/4 số học sinh lớp A bằng 1/2 số học sinh lớp B 2) 2/5 số học sinh lớp B nhiều hơn 1/2 số học sinh lớp A là 3 học sinh 3) Chuyển đi 2/3 số học sinh lớp A và 4/5 số học sinh lớp B thì số học sinh còn lại của lớp A hơn số học sinh còn lại của lớp B là 1 học sinh 4) Chuyển 10 học sinh từ lớp B sang lớp A thì số học sinh của lớp A hơn lớp B là 5 học sinh Trang 26
  27. 5) Tăng số học sinh lớp A lên 8 lần và lớp B lên 6 lần thì tổng số học sinh hai lớp là 510 học sinh. 6) Nếu giữ nguyên điều kiên bài toán đã cho ở trên nhưng thay tổng số học sinh hai lớp bằng hiệu ( lớp B hơn lớp A là 15 học sinh) 3.2 Phương pháp đại số Ở bậc học phổ thông, có thể nói giải toán bằng phương pháp đại số cũng chính là giải toán bằng cách lập phương trình. Phương trình là công cụ giải toán hữu hiệu nhất của toán học, là kiến thức mà mọi người học toán cần vươn tới để nắm vững. Tuy nhiên việc giải phương trình dựa trên sự biến đổi hình thúc có thể làm cho ý nghĩa của các phép tính không được nổi rõ, thậm chí bị che lấp đi. Ở tiểu học chỉ đưa vào một vài yếu tố đơn giản của phương pháp đại số phỏng theo một số khâu trong quá trình giải toán bằng cách lập phương trình như: - Dùng chữ hoặc từ để kí hiệu số - Lập biểu thức chứa chữ hoặc từ - Tìm số đã kí hiệu bằng chữ hoặc từ dựa vào quan hệ giữa các phép tính cộng trừ hoặc nhân , chia Ví dụ: 1/ Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ và đi từ B về A bằng xe đạp với vận tốc 15km/giờ. Hỏi trung bình người đó đi với vận tốc bao nhiêu ki-lô- mét giờ ? Bài giải : Kí hiệu hai đoạn đường đi và về là: AB và BA AB BA AB Tổng thời gian cả đi và về là: + = (giờ) 30 15 10 Quảng đường cả đi và về là: AB + BA = 2AB (km) AB Vận tốc trung bình là: 2AB : = 20 (km/giờ) 10 Đáp số: 20km/giờ 2/ Khi nhân một số với 35, nếu đặt tích riêng thẳng cột như phép cộng thì sẽ có kết quả là 1976. Tìm tích đúng. Bài giải: Trang 27
  28. Nếu gọi thừa số thứ nhất là a thì khi đặt hai tích riêng thẳng cột ta có: a x 5 + a x 3 = 1976 a x (5 +3) = 1976 a x 8 = 1976 a = 1976 : 8 a = 247 Tích đúng là: 247 x 35 = 8645 Cách khác: Do đặt các tích riêng thẳng cột nên thừa số thứ nhất đã nhân với: 5 + 3 = 8 Theo đề, ta có 8 lần thừa số thứ nhất là 1976 nên thừa số thứ nhất là: 1976 : 8 = 247 Vậy tích đúng là: 247 x 35 = 8645 3/ Tìm số có 4 chữ số mà chữ số tận cùng là 5. Nếu chuyển chữ số 5 nầy lên đầu thì được một số kém số đó 531 đơn vị. Bài giải: Gọi số cần tìm là: abc5 . ( a≠0, a , b , c < 10) Theo đề bài ta có: abc5= 5 abc + 531 abc×10 + 5 = 5000 + abc + 531 (cùng bớt 5 đơn vị) abc×10 = abc + 5526 (cùng bớt abc đơn vị) abc ×9 = 5526 abc =5526 :9 = 614 Vậy số cần tìm là 6145 . (Có thể giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng) 4/ Trung bình cộng của n số là 80. Một trong các số đó là 100. Sau khi loại bỏ số 100, trung bình cộng của các số còn lại là 78. Tìm n. Bài giải: Trung bình cộng của n số là 80 nên tổng của n số đó là 80 x n Sau khi loại bỏ số 100, trung bình cộng của các số còn lại là 78. Khi đó ta có: 80 x n – 100 = 78 x (n - 1) 80 x n – 100 = 78 x n – 78 (cùng thêm 100 đơn vị) 80 x n = 78 x n + 22 (cùng bớt 78 x n đơn vị) Trang 28
  29. 2 x n = 22 n = 22 : 2 n = 11 . Vậy n = 11 5/ Tích của hai số bằng 870. Thừa số I có 3 chữ số,trong đó chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm là 1.Nếu đổi chỗ hai chữ số nầy cho nhau rồi nhân với thừa số II thì được tích mới bằng 1068. Tìm hai số lúc đầu. Nhận xét: I× II →( I ± a) × II = I × II ±() a × II ( aII×) =( I ± a) × II − IIIIII ×, × −( I ± a) × II Bài giải: Gọi số I là ab( a + 1) . Ta có ab( a+1) = a × 100 + b × 10 + a + 1 ( a+1) ba =+×( a 1) 100 +×+=× b 10 a a 100 +×++ b 10 a 100 Thừa số I sau khi đổi chổ thì số đon vị tăng lên là: ( a+1) ba − ab( a + 1) = 99 Tích mới hơn tích lúc đầu (hay 99 lần thừa số thứ II) là : 1068 – 870 = 198 Thừa số II là: 198 : 99 = 2 Thừa số I là : 870 : 2 = 435 Đáp số: 435 ; 2 3.3 Phương pháp rút về đơn vị - phương pháp tỉ số. Phương pháp rút về đơn vị là cách giải bài toán thông qua giá trị trung gian như là một đơn vị (hoặc 1 phần bằng nhau) của một đại lượng nào đó. Học sinh được làm quen với phương pháp nầy ngay từ lớp 3. Phương pháp tỉ số thường được dùng giải các dạng bài toán: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó; bài toán về đại lượng tỉ lệ (thuận, nghịch); bài toán % ; bài toán về chuyển động đều, Ví dụ 1: 8 công nhân : 24 sản phẩm 16 công nhân : sản phẩm ? Cách 1: Dùng phương pháp rút về đơn vị. Trang 29
  30. Bài giải: Số sản phẩm 1 công nhân làm được là: 24 : 8 = 3 (sản phẩm) Số sản phẩm 16 công nhân làm được là: 16 x 3 = 48 (sản phẩm) Đáp số: 48 sản phẩm Cách 2: Dùng phương pháp tỉ số. Bài giải: 16 công nhân gấp 8 công nhân số lần là: 16 : 8 = 2 (lần) 16 công nhân làm được số sản phẩm là: 24 x 2 = 48 (sản phẩm) Đáp số: 48 sản phẩm Ví dụ 2: 15 công nhân : 10 ngày 5 công nhân : ngày ? ( 5 ngày : công nhân ? ) Cách 1: Dùng phương pháp rút về đơn vị. Bài giải: Một công nhân làm xong công việc đó cần số ngày là: 15 x 10 = 150 (ngày) 5 công nhân làm xong công việc đó cần số ngày là: 150 : 5 = 30 (ngày) Đáp số: 30 ngày Cách 2: Dùng phương pháp tỉ số. Bài giải: 15 công nhân gấp 5 công nhân số lần là: 15 : 5 = 3 (lần) 5 công nhân làm xong công việc cần số ngày là: 10 x 3 = 30 (ngày) Đáp số: 30 ngày Ví dụ 3: Có hai vòi nước cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy riêng sẽ đầy bể trong 2 giờ ; nếu vòi thứ hai chảy riêng sẽ đầy bể trong 3 giờ. Hỏi nếu cả hai vòi cùng chảy một lúc thì trong bao lâu bể sẽ đầy ? Bài giải: (dùng phương pháp rút về đơn vị) 1 Vòi thứ nhất trong 1 giờ chảy được là: 1 : 2 = (bể) 2 Trang 30
  31. 1 Vòi thứ hai trong 1 giờ chảy được là: 1 : 3 = (bể) 3 1 1 5 Cả hai vòi trong 1 giờ chảy được là: + = ( bể) 2 3 6 5 6 Cả hai vòi cùng chảy sẽ đầy bể trong thời gian là: 1 : = (giờ) 6 5 6 Đổi giờ = 1 giờ 12 phút 5 Đáp số: 1 giờ 12 phút Ví dụ 4: Lúc 7 giờ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 36 km/giờ. Người đó đến B lúc 10 giờ. Một người khác đi ô tô với vận tốc 72 km/giờ thì phải đi từ A lúc mấy giờ để tới B cùng lúc với người đi xe máy ? Bài giải: (dùng phương pháp tỉ số) Thời gian người đi xe máy từ A đến B là: 10 – 7 = 3 (giờ) Vận tốc ô tô gấp vận tốc xe máy số lần là: 72 : 36 = 2 (lần) Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 3 : 2 = 1,5 (giờ) Thời gian ô tô phải đi từ A lúc: 7 + 1,5 = 8,5 (giờ) Đáp số: 8 giờ 30 phút Bài giải (áp dụng công thức) Thời gian người đi xe máy từ A đến B là: 10 – 7 = 3 (giờ) Quảng đường từ A đến B là: 36 x 3 = 108 (km) Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 108 : 72 = 1,5 (giờ) Thời gian ô tô phải đi từ A lúc: 7 + 1,5 = 8,5 (giờ) Đáp số: 8 giờ 30 phút Chú ý: Ở tiểu học không gọi tên bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch mà học sinh cần nhận biết bản chất mối tương quan giữa hai đại lượng cho trong bài toán qua thực hành vận dụng 1 trong 2 cách giải nêu trên. Tùy theo mức độ tổng hợp của bài toán, có thể gộp hai bước tính nêu trên thành một bước tính như sau: Ví dụ 1 có thể tính gộp như sau: 24 : 8 x 16 = 48 (sản phẩm) Ví dụ 2 có thể tính gộp như sau: 15 x 10 : 5 = 30 (ngày) Trang 31
  32. Chẳng hạn: Một đội 15 công nhân dự định lắp xong một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giờ.Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội mỗi ngày làm việc 10 giờ thì lắp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày ? (năng suất làm việc như nhau) Tóm tắt: 15 người : 8 giờ : 20 ngày 20 người : 10 giờ : ngày ? Bài giải: Một người mỗi ngày làm 8 giờ để lắp xong cái máy cần số ngày là: 15 x 20 = 300 (ngày) Một người mỗi ngày làm 10 giờ để lắp xong cái máy cần số ngày là: 8 x 300 : 10 = 240 (ngày) 20 người mỗi ngày làm 10 giờ để lắp xong cái máy cần số ngày là: 240 : 20 = 12 (ngày) Đáp số: 12 ngày Cách khác: Một người mỗi ngày làm 8 giờ để lắp xong cái máy cần số ngày là: 15 x 20 = 300 (ngày) 20 người mỗi ngày làm 8 giờ để lắp xong cái máy cần số ngày là: 300 : 20 = 15(ngày) 20 người mỗi ngày làm 10 giờ để lắp xong cái máy trong thời gian là: 15 x 8 : 10 = 12(ngày) Đáp số: 12 ngày Bài tập: 1/ Một xe tải chỉ có thể chở được 300 bao gạo, mỗi bao 50 kg. Nếu chất lên xe đó loại bao gạo 75 kg thì xe chở được nhiều nhất bao nhiêu bao? 2/ Một đội 10 người trong một ngày đào được 35 m mương. Người ta bổ sung thêm 20 người nữa cùng đào thì trong một ngày đào được bao nhiêu mét mương ? (mức đào của mỗi người như nhau) 3/ Một đơn vị có 45 người đã chuẩn bị đủ gạo ăn trong 15ngày. Sau 5 ngày có thêm 5 người nữa. Hỏi số gạo còn lại đủ cho đơn vị ăn trong bao nhiêu ngày ? Trang 32
  33. 4/ Một tổ thợ mộc có 3 người trong 5 ngày đóng được 45 chiếc ghế. Hỏi nếu tổ có 5 người làm trong 7 ngày thì sẽ đóng được bao nhiêu chiếc ghế ? (năng suất làm việc như nhau) 3.4. Phương pháp chia tỉ lệ Phương pháp chia tỉ lệ (phương pháp tỉ số) thường được kết hợp với phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Cần chú ý khi giải toán, có lúc phải kết hợp các phương pháp khác nhau để giải bài toán. Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được một số hơn số đã cho 754 đơn vị. Bài giải: Cách 1: Dùng phương pháp đại số. Số tự nhiên cần tìm không thể là số có một chữ số hoặc ba chữ số vì : 754 > 9 x a hoặc 754 < 9 x abc . Do đó số tự nhiên cần tìm là số có hai chữ số Gọi số cần tìm là : ab (a, b < 10 , a ≠ 0 ) Theo bài toán ta có: ab7 = 754 + ab ab × 10 + 7 = 754 + ab (cùng bớt ab + 7 ) ab × 9 = 747 ab = 747 : 9 ab = 83 Vậy số tự nhiên cần tìm là 83 Cách 2: Khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số cần tìm ta được số mới, số mới đó gấp số cần tìm 10 lần và 7 đơn vị. Ta có sơ đồ: Số mới : 7 ? Số cần tìm: 754 Theo sơ đồ 9 lần số cần tìm là: 754 – 7 = 747 Số cần tìm là : 747 : 9 = 83 Đáp số: 83 Trang 33
  34. a b 7 Cách 3: Chuyển về bài toán dạng đặt tính: a b 7 5 4 Trường hợp không nhớ: 7 – b = 4 , suy ra b = 3 Với b = 3, 3 – a = 5, suy ra a = 8 (nhớ 1 sang hàng trăm) Vậy a = 8 , b = 3 8 3 7 Thử lại: 8 3 7 5 4 Ví dụ 2: Ba số có tổng là 120, biết rằng 2/3 số thứ nhất bằng 50% số thứ hai và bằng 40% số thứ ba. Tìm mỗi số đó. Bài giải: 2 50 40 2 2 2 Theo bài toán: I= II = III Hay I= II = III 3 100 100 3 4 5 ? Ta có sơ đồ: I: ? II: 120 ? III: Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 + 5 = 12 (phần) Số thứ nhất là : 120 : 12 x 3 = 30 Số thứ hai là : 120 : 12 x 4 = 40 Số thứ ba là : 120 : 12 x 5 = 50 Đáp số: 30 ; 40 ; 50 Ví dụ 3: Ba tổ trồng tất cả 216 cây, biết rằng nếu tổ I trồng 3 cây thì tổ II trồng 6 cây, tổ III trồng 6 cây thì tổ I trồng 4 cây. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây ? Bài giải: Theo bài toán, ta có: I : II = 3 : 6 = 2 : 4 III : I = 6 : 4 = 3 : 2 Vậy: I : II : III = 2 : 4 : 3 Trang 34
  35. Tổng số phần bằng nhau là: 2 + 4 + 3 = 9 (phần) Số cây tổ I trồng được là: 216 : 9 x 2 = 48 (cây) Số cây tổ II trồng được là: 216 : 9 x 4 = 96 (cây) Số cây tổ III trồng được là: 216 : 9 x 3 = 72 (cây) Đáp số: Tổ I: 48 cây ; tổ II: 96 cây ; tổ III: 72 cây Ví dụ 4: Bài toán 1: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ và dự định đến B lúc 11 3 giờ. Đi được quảng đường AB thì xe máy đi tiếp với vận tốc 40km/giờ nên đến B 4 lúc 10 giờ 50 phút cùng ngày. Tính quảng đường AB. Bài giải: Thời gian dự định hơn thời gian thực tế là: 11 giờ - 10 giờ 50 phút = 10 phút = 1/6 giờ 1 Trên quảng đường, tỉ số hai số đo vận tốc lúc đầu và lúc sau là: 30 : 40 = 3 : 4 4 1 Do đó tỉ số hai số đo thời gian đi trên quảng đường lúc đầu và lúc sau là: 4 : 3 4 Ta có sơ đồ: 1/6 giờ Thời gian đi vận tốc 30km/giờ: Thời gian đi vận tốc 40km/giờ: 1 quảng đường là : 1/6 x 3 x 40 = 20 (km) 4 Quảng đường AB là: 20 x 4 = 80 (km). Đáp số: 80 km Bài toán 2: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, rồi từ B quay về A với vận tốc 40km/giờ. Thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút. Tính quảng đường AB. Bài giải: Đổi 40 phút = 2/3 giờ Trên cùng một quảng đường (AB = BA) tỉ số hai số đo vận tốc lúc đi và về là: 30 : 40 = 3 : 4 nên tỉ số hai số đo thời gian lúc đi và về là : 4 : 3 Trang 35
  36. Ta có sơ đồ: 2/3 giờ Thời gian đi từ A đến B: Thời gian từ B về A: 2 Thời gian xe máy đi từ B về A là: × 3 = 2 (giờ) 3 Quảng đường AB là : 40 x 2 = 80 (km) . Đáp số: 80 km Nhận xét: Đối với bài toán 2 nêu trên, khai thác các trường hợp sau: 1/ Trình bày cách giải bài toán cùng chiều với giả thiết như trên. Chẳng hạn: Xe 1 đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ, 45 phút sau đó xe 2 cũng đi từ A đến B với vận tốc 40km/giờ và đến B sau xe 1 là 5 phút. Tính quảng đường AB. 2/ Tính thời gian gặp nhau nếu khởi hành cùng một lúc từ A và từ B. (Ngược chiều) 3/ Trình bày cách giải bài toán nếu thay thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút bằng thời gian cả đi và về là 4 giờ 40 phút. 4/ Xe 1 đi từ A đến B hết 2 giờ 40 phút, xe 2 đi từ B về A hết 2 giờ. Nếu hai xe khởi hành cùng 1 lúc thì sau 30 phút 2 xe còn cách nhau 45 km. Tính quảng đường AB. Bài giải: (Nhận xét 4) Đổi 2 giờ 40 phút = 160 phút = 8/3 giờ ; 30 phút = 1/2 giờ Phân số chỉ quảng đường xe 1 đi trong 1/2 giờ là: 1/2 : 8/3 = 3/16 (quảng đường AB) Phân số chỉ quảng đường xe 2 đi trong 1/2 giờ là: 1/2 : 2 = 1/4 (quảng đường AB) Quảng đường 2 xe đi trong 1/2 giờ là : 3/16 + 1/4 = 7/16 (quảng đường AB) Phân số chỉ 45 km là : 1 - 7/16 = 9/16 (quảng đường AB) Quảng đường AB là: 45 : 9/16 = 80 (km) Đáp số: 80 km Gợi ý (Nhận xét 4) Trang 36
  37. 1/ Trường hợp nếu hai xe khởi hành cùng một lúc từ A đến B (cùng chiều) thì sau 90 phút hai xe cách nhau 15 km . Bài giải: Tỉ số hai số đo thời gian của xe 1 và xe 2 đi hết quảng đường AB là: 8/3 : 2 = 4/3 , nên tỉ số hai số đo vận tốc của xe 1 và xe 2 trên cùng quảng đường AB là: 3/4 Sau 90 phút hay 3/2 giờ hai xe cách nhau là 15 km, do đó sau 1 giờ hai xe cách nhau là: 15 : 3/2 = 10 (km) Ta có sơ đồ: V1: V2: 10 km Vận tốc xe 2 là : 10 x 4 = 40 (km/giờ) Quảng đường AB là: 40 x 2 = 80 (km) Đáp số: 80 km 2/ Hai xe cùng đi từ A đến B. Xe 1 khởi hành lúc 8 giờ 20 phút, xe 2 khởi hành lúc 9 giờ. Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ, biết quảng đường xe 1 đi trong 20 phút bằng quảng đường xe 2 đi trong 15 phút. Bài giải: Quảng đường xe 1 đi trong 20 phút bằng quảng đường xe 2 đi trong 15 phút, do đó tỉ số hai số đo thời gian từ lúc đi cho đến lúc gặp nhau của hai xe là: 20 : 15 = 4 : 3 Thời gian xe 2 đi ít hơn xe 1 là: 9 giờ - 8 giờ 20 phút = 40 phút = 2/3 giờ Thời gian xe 2 đi cho đến lúc gặp nhau là: 2/3 x 3 = 2 (giờ) Hai xe gặp nhau lúc : 2 giờ + 9 giờ = 11 giờ . Đáp số: 11 giờ 3.5.Phương pháp thử chọn Ví dụ 1: Cho một số có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 13, hiệu của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại bằng một số có tận cùng là 7. Tìm số đã cho. Bài giải: Các số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13 là: Trang 37
  38. 94 và 49; 85 và 58; 76 và 67 Theo bài toán ta có: 94 – 49 = 45 (loại) 85 – 58 = 27 (chọn) 76 – 67 = 9 (loại) Vậy số cần tìm là 85 Ví dụ 2: Tìm số có hai chữ số mà khi chia cho 2 dư 1,chia cho 3 và 5 đều dư 2. Bài giải: Gọi số cần tìm là ab ( a≠0, a , b < 10 ) Vì ab : 2 dư 1 nên ab lẻ ab : 5 dư 2 nên ab − 2M 5 . Do đó b = 2, 7 ; Vì ab lẻ nên b = 7. Với b = 7 , ta có a7 : 3 dư 2 ,do đó a7− 2M 3 hay a5M 3⇒ a = 1,4,7 Với: a = 1, b = 7 ta có số 17 (chọn) a = 4, b =7 ta có số 47 (chọn) a = 7, b = 7 ta có số 77 (chọn) Vậy các số cần tìm là : 17, 47, 77 Nhận xét: ab chia cho 3 dư 2 (thừa 2) hay ab chia cho 3 dư 2 (thiếu 1) suy ra ab - 2 M 3 hay ab + 1 M 3 Gợi ý áp dụng nhận xét trên cho bài tập: Thay điều kiện ở ví dụ 2 trên bằng điều kiện: chia cho 2, 3, 4, 5, 6 lần lượt tương ứng dư 1, 2, 3, 4, 5 ; bài tập 1/ trang 38 Ví dụ 3: Tìm số có 4 chữ số, biết số đó không đổi khi đọc từ phải sang trái và số đó chia hết cho cả 3, 5 và 7. Bài giải: Gọi số cần tìm là abba,( a≠ 0, a , b < 10) Vì abba chia hết cho 5 nên a = 5 ( do a ≠ 0 ) Với a = 5, ta có 5bb 5MM 3⇒ (5 + b + b + 5) 3 ⇒ b = 1,4,7 Nếu b =1 thì abba = 5115 (loại), vì 5115 không chia hết cho 7 Nếu b =4 thì abba = 5445 (loại), vì 5445 không chia hết cho 7 Nếu b =7 thì abba = 5775 (chọn), vì 5775 chia hết cho 7 Vậy số cần tìm là 5775. Trang 38
  39. Ví dụ 4: Tìm một số có 2 chữ số biết nếu ta viết thêm số đó vào giữa 2 chữ số của số đã cho thì được một số gấp 99 lần số đã cho. Gọi số đã cho là ab,( a≠ 0, a , b < 10) Theo bài toán ta có : aabb= ab ×99 ⇒ aabb + ab = ab × 100 Ta có phép trừ: ab00 - không nhớ: 0 – b = b , suy ra b = 0 - ab Nếu b = 0 thì 0 – a = 0 , suy ra a = 0 (loại) aabb - có nhớ: 10 – b = b , suy ra b = 5, nhớ 1 ở hàng chục. Nếu b = 5 thì 0 – (a + 1) = 5, suy ra a = 4 Khi đó: 5 – 1 = 4 (hàng chục nhớ 1 sang) Vậy: a = 4 , b = 5. Thử lại: 4500 - 45 4455 Vậy số cần tìm là 45. (thực hiện tương tự đối với phép cộng) Cách khác: Gọi số đã cho là ab,( a≠ 0, a , b < 10) Theo bài toán ta có : aabb= ab × 99 1100 x a + 11 x b = ab × 99 (cùng chia cho 11) 100 x a + b = ( 10 x a + b ) x 9 (cùng bớt đi 90 x a + b) 10 x a = 8 x b (cùng chia cho 2) 5 x a = 4 x b ⇒ a = 4 , b = 5. Vậy số cần tìm là 45. Bài tập: 1/ Có một số quyển sách, nếu xếp mỗi ngăn 10 quyển thì thiếu 1 quyển, nếu xếp mỗi ngăn 1 tá thì thừa 9 quyển. Tính số quyển sách đó biết số quyển sách đó lớn hơn 150 và nhỏ hơn 200 quyển. 2/ Tìm hai số có tổng bằng 158, biết nếu xoá đi chữ số 4 ở hàng đơn vị của một số thì được số kia. Trang 39
  40. 3/ Tìm số có hai chữ số mà khi chia cho 2 dư 1,chia cho 3 dư 2,chia cho 5 dư 4. 4/ Tìm số có ba chữ số biết nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần. 5/ Cho số có hai chữ số .Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 5 dư 13. Tìm số đã cho. 6/ Năm 2014, tuổi của bạn A là 10. Tổng số ngày, tháng, năm sinh của bạn là 2046. Hỏi bạn A sinh vào ngày, tháng, năm nào ? 3.6 Phương pháp giả thiết tạm Ví dụ 1: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm, sai bị trừ đi 15 điểm. Một học sinh trả lời được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đó trả lời sai mấy câu ? Bài giải: Gỉa sử trả lời đúng cả 20 câu hỏi, tổng điểm sẽ là: 10 x 20 = 200 (điểm) So với thực tế tổng số điểm dư ra là: 200 – 50 = 150 (điểm) Mỗi lần thay1câu đúng bằng 1câu sai, số điểm giảm đi là: 10 + 15 = 25(điểm) Số câu trả lời sai là: 150 : 25 = 6 (câu) Đáp số: 6 câu Ví dụ 2: Một người đi xe máy từ A đến B lúc 6 giờ. Nếu người đó đi với vận tốc 45 km/giờ, sau đó nghỉ 40 phút rồi đi tiếp với vận tốc 35 km/giờ thì đến B lúc 8 giờ 40 phút. Hỏi bắt đầu nghỉ lúc mấy giờ, biết quảng đường AB là 85 km. Bài giải: Thời gian xe máy đi từ A đến B không kể nghỉ là: 8 giờ 40 phút – 6 giờ 40 phút = 2 giờ Giả sử trong 2 giờ người đó chỉ đi với vận tốc 35 km/giờ thì quảng đường đi được là: 35 x 2 = 70 (km) So với thực tế quảng đường còn thiếu: 85 – 70 = 15 (km) Vận tốc chênh lệch là: 45 – 35 = 10 (km/giờ) Thời gian đi với vận tốc 45 km/giờ là: 15 : 10 = 1,5 (giờ) Thời điểm bắt đầu nghỉ lúc: 6 giờ + 1 giờ 30 phút = 7 giờ 30 phút Đáp số: 7 giờ 30 phút Trang 40
  41. Ví dụ 3: Có 24 bao gạo gồm 3 loại: bao 5kg, bao 2kg, bao 1kg. Khối lượng tổng cộng là 45 kg. Tìm số bao mỗi loại,biết số bao 1kg gấp 3 lần số bao 2 kg. Bài giải: Gỉa sử tất cả đều là bao 5 kg, khối lượng tổng cộng là: 5 x 24 = 120 (kg) So thực tế dư ra là: 120 – 45 = 75 (kg) Mỗi lần thay 3 bao 1 kg và 1bao 2 kg bằng 4 bao 5 kg, khối lượng giảm đi là: 5 x 4 - (1 x 3 + 2 x 1) = 15 (kg) Số bao 2 kg là: 75 : 15 = 5 (bao) Số bao 1 kg là: 5 x 3 = 15 (bao) Số bao 5 kg là: 24 – (5 + 15) = 4 (bao) Đáp số: 4 bao 5kg; 5 bao 2kg; 15 bao 1kg Bài tập: 1/ Lớp A có 42 học sinh .Bài kiểm tra toán vừa qua cả lớp đều đạt điểm 7 hoặc 8. Tổng số điểm cả lớp là 309. Hỏi có mấy bạn đạt điểm 7, điểm 8 ? 2/ Lớp A nhận 13 cái bàn học và băng ghế. 32 học sinh được phân công chuyển lên lớp học. Cứ 4 bạn chuyển 1cái bàn, 2 bạn chuyển 1 băng ghế. Tìm số bàn học, số băng ghế ? 3/ Sau một ngày người bán hàng thu được 315000đồng gồm 3 loại tiền: loại 5000đồng, loại 2000đồng, loại 1000đồng. Cả 3 loại tiền có 145 tờ. Hỏi mỗi loại tiền có bao nhiêu tờ, biết số tờ 2000đồng nhiều gấp đôi số tờ 1000đồng. 4/ Một đội xe có 15ô tô gồm 3 loại: loại 4 bánh chở được 5 tấn, loại 6 bánh chở được 8 tấn, loại 6 bánh chở được 10 tấn. Đội xe đó có thể chở được 121 tấn hàng (cùng một lúc). Hỏi mỗi loại ô tô có mấy chiếc,biết rằng đếm được có tất cả 84 bánh xe. 3.7 Phương pháp tính ngược từ cuối Ví dụ 1: Tìm một số biết rằng nếu lấy số đó chia cho 3 rồi cộng với 26, được bao nhiêu nhân với 4 thì được số bé nhất có bốn chữ số. Bài giải: Số bé nhất có bốn chữ số là 1000. Trang 41
  42. Số trước khi nhân 4 là : 1000 : 4 = 250 Số trước khi cộng 26 là: 250 – 26 = 224 Số cần tìm là: 224 x 3 = 672 Đáp số: 672 Ví dụ 2: An đọc một quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu đọc được 1/6 số trang và 6 trang. Ngày thứ hai đọc được 3/8 số trang còn lại và 5 trang. Ngày thứ ba đọc được 2/3 số trang còn lại và 5 trang thì còn lại 15 trang. Hỏi quyển truyện có bao nhiêu trang ? Dựa sơ đồ sau : ? : 6 x 5 - 6 : 8 x 5 - 5 : 3 - 5 15 Bài giải: Số trang còn lại sau ngày đọc thứ hai là: (15 + 5) x 3 = 60 (trang) Số trang còn lại sau ngày đọc thứ nhất là: (60 + 5) : 5 x 8 = 104 (trang) Số trang của quyển truyện là: (104 + 6) : 5 x 6 = 132 (trang) Đáp số: 132 trang Ví dụ 3: A và B có một số bi. Nếu A cho B một số bi đúng bằng số bi B có và B cho lại A một số bi đúng bằng số bi của A hiện có. Cuối cùng số bi của A và B bằng nhau và bằng 20 bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu bi ? - B + A1 A A1 20 + B - A1 B B1 20 Bài giải: Trước khi B cho A thì A có : 20 : 2 = 10 (bi) Trước khi B cho A thì B có : 20 + 10 = 30 (bi) Lúc đầu B có : 30 : 2 = 15 (bi) Lúc đầu A có : 10 + 15 = 25 (bi) Đáp số: 25 bi ; 15 bi Trang 42
  43. Bài tập: 1/ Một hình chữ nhật có chu vi 48m. Nếu bớt chiều dài 2m và thêm chiều rộng 10m thì được một hình vuông.Tính diện tích hình chữ nhật đó? 2/ A và B có tất cả 29 bi. Nếu A cho B 3 bi và B cho C 4 bi thì lúc đó số bi còn lại của A bằng 2/3 số bi còn lại của B. Hỏi lúc đầu mỗi bạn A, B có mấy bi ? 3/ A, B và C có tất cả 48 nhãn vở. Nếu A cho B một số nhãn vở bằng số nhãn vở của B đang có, B lại cho C một số nhãn vở bằng số nhãn vở C đang có, cuối cùng C cho A một số nhãn vở bằng số nhãn vở A hiện có thì lúc đó số nhãn vở ba bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở ? 4/ Người ta chuyển 40 tấn gạo từ kho A sang kho B,rồi lại chuyển từ kho B sang kho A một số gạo gấp 3 lần số gạo còn lại của kho A thì cuối cùng kho A có 480 tấn gạo và kho B có 20 tấn gạo.Hỏi lúc đầu mỗi kho có mấy tấn gạo ? 3.8 Phương pháp của lí thuyết tổ hợp Khi phân tích số cặp, số cách sắp xếp, số cách chọn, Ngoài những cách thông thường, người ta thường sử dụng một số phương pháp của lí thuyết tổ hợp. Với mức độ phù hợp có thể cho học sinh tiểu học làm quen dần với một số ý nghĩa và tính chất mới của các phép tính mà lí thuyết tổ hợp gọi là nguyên tắc cộng, nguyên tắc nhân. Nguyên tắc cộng, nguyên tắc nhân. . Nếu có thể thực hiện một công việc bằng m cách loại I và n cách loại II, trong đó không có cách loại I nào trùng với cách loại II nào thì sẽ có m + n cách thực hiện công việc đó. . Nếu có m cách thực hiện công việc I và n cách thực hiện công việc II thì sẽ có m x n cách thực hiện liên tiếp 2 công việc I và II. Ví dụ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: a/ số có ba chữ số khác nhau. b/ số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5. c/ số có ba chữ số khác nhau trong đó có chữ số 5 Bài giải: Trang 43
  44. a/ Số có ba chữ số khác nhau lập được từ các chữ số nêu trên phải có chữ số hàng trăm khác 0. Do đó chữ số hàng trăm có 5 cách chọn. (1, 2, 3, 4, 5) Ưng với mỗi chữ số hàng trăm vừa chọn có 5 cách chọn chữ số hàng chục. (trừ chữ số hàng trăm vừa chọn) Ưng với mỗi chữ số hàng chục vừa chọn có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị. (trừ chữ số hàng trăm, hàng chục đã chọn) Vậy số có ba chữ số khác nhau có thể lập được là: 5 x 5 x 4 = 100 (số) ( Ở đây ta áp dụng nguyên tắc nhân để thực hiện liên tiếp ba công việc tương ứng với cách chọn chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của một số có ba chữ số khác nhau) b/ Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 lập được từ các chữ số nêu trên phải có chữ số hàng trăm khác 0 và phải có tận cùng bằng 0 hoặc 5. . Số có ba chữ số khác nhau có tận cùng bằng 0 có thể lập được là: 5 x 4 x 1 = 20 (số) . Số có ba chữ số khác nhau có tận cùng bằng 5 có thể lập được là: 4 x 4 x 1 = 16 (số) Vậy Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 có thể lập được là: 20 + 16 = 36 (số) (Ở đây ta áp dụng nguyên tắc cộng để thực hiện một công việc là lập số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 bao gồm bằng hai loại công việc được thực hiện tương ứng là số có ba chữ số khác nhau có tận cùng bằng 0, bằng 5) c/ Số có ba chữ số khác nhau có tất cả là: 5 x 5 x 4 = 100 (số) Số có ba chữ số khác nhau không có chữ số 5 có tất cả là: 4 x 4 x 3 = 48 (số) Vậy số có ba chữ số khác nhau có chữ số 5 có tất cả là: 100 – 48 = 52 (số) Gợi ý cách khác: Số có ba chữ số khác nhau có chữ số 5 có các dạng: 5ab hoặc ab5 ; a5 b Trường hợp 5ab : có tất cả là: 5 x 4 = 20 (số) Trường hợp ab5 : có tất cả là: 4 x 4 = 16 (số) Trường hợp a5 b : có tất cả là: 4 x 4 = 16 (số) Vậy số có ba chữ số khác nhau có chữ số 5 có tất cả là: 20 + 16 + 16 = 52 (số) Trang 44
  45. Dãy số và nhóm số cách đều (Bài toán về trồng cây - mục 2.3.5) Chẳng hạn : Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100 Các số hạng của tổng A là nhóm số cách đều 1 đơn vị Xét : A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 100 A = 100 + 99 + 98 + 97 + . + 1 2A = (1+100) + (2+99) + (3+98) + + (100+1) 2A = 101 x 100 , suy ra A = 101 x 100 : 2 Nhận xét: Đối với dãy số cách đều, để tính tổng (hữu hạn) của dãy, ta ghép thành từng cặp từ hai đầu vào: Bằng cách lấy giá trị một cặp nhân với số cặp. Trường hợp tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + 4 + . + 99 Ta tính tổng A như sau: A = (1 + 98) x (98 : 2) + 99 Trong đó (1 + 98) là giá trị một cặp , (98 : 2) là số cặp Ví dụ 1: Cho dãy số 8, 11, 14, 17, 20, 1/ Số 2014 có mặt trong dãy số đã cho không? Vì sao? 2/ Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên. 3/ Tìm chữ số thứ 100 của dãy số trên. Bài giải: 1/ Các số hạng của dãy số khi chia cho 3 đều dư 2. Ta có số 2014 chia cho 3 dư 1. Vậy số 2014 không có mặt trong dãy số đã cho. 2/ Số hạng thứ 100 của dãy số là: 8 + (100 – 1) x 3 = 305 Ta ghép từng cặp từ hai đầu vào, mỗi cặp có giá trị là : 8 + 305 = 313 Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số là: 313 x 100: 2 = 15650. 3/ Dãy số trên có một số có một chữ số. Số có hai chữ số của dãy từ 11 đến 98 có: (98 – 11) : 3 +1 = 30 (số) Từ 11 đến 98 có số chữ số là : 30 x 2 = 60 (chữ số) Số chữ số còn lại là: 100 – (60 + 1) = 39 (chữ số) Số có ba chữ số của dãy được viết từ các chữ số còn lại là: 39 : 3 = 13 (số) Số có ba chữ số thứ 13 của dãy là: 101 + (13 – 1) x 3 = 137 Trang 45
  46. Vậy chữ số thứ 100 của dãy số trên là chữ số 7 . Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số chia hết cho 3. Cách 1: Các số có ba chữ số chia hết cho 3 là: 102, 105, 108, . , 999 Số các số có ba chữ số chia hết cho 3 là: (999 – 102) : 3 + 1 = 300 (số) Trong các số trên có một nửa là số chẵn và một nửa là số lẻ. Vậy các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 3 có tất cả là: 300 : 2 = 150 (số) Cách 2: Các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 3 là: 102, 108, 114, . , 996 Vậy có tất cả là: (996 – 102) : 6 + 1 = 150 (số) 3.9. Giải bài toán bằng cắt ghép hình và các bài toán có nội dung hình học. 3.9.1 Cắt ghép hình học. Ví dụ : 1/ Cắt hình tam giác bằng hai lần cắt rồi ghép lại thành hình chữ nhật. 2/ Cắt hình tứ giác bằng 4 lần cắt rồi ghép lại thành hình chữ nhật. B A M N M 1 2 N Q P A C 1 H 2 3 Q B C P (Hình 1) D AM = MB ; AN = NC ; AH vuông góc MN (Hình 1) 3/ Cắt hình thoi thành 4 phần bằng nhau (hình vẽ), rồi ghép lại để được hình chữ nhật; hình bình hành. 1 2 4 1 4 1 2 3 3 4 2 3 (hình vẽ) 1 2 3 4 Trang 46
  47. Bài tập: 1. Cắt một hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều rộng thành 5 mảnh (4 lần cắt) rồi ghép lại thành một hình vuông. (dựa hình vuông gồm 9 ô vuông để có hướng cắt, ghép) 2. Hãy cắt (Hình a) bằng 3 lần cắt (thành 4 mảnh) rồi ghép lại thành một hình vuông. 3. Chia (Hình b) bằng 4 hình bằng nhau cùng hình dạng nhỏ hơn 4. Chia hình thang vuông có chiều cao bằng đáy lớn và gấp đôi đáy bé thành 2 phần sao cho diện tích phần nầy bằng 2 lần diện tích phần kia (Hình c) 5. Hãy chia một hình tam giác, một hình thang , một hình tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau. (Hình a) (Hình b) (Hình c) 3.9.2 Bài toán về cắt ghép hình Ví dụ ( Nêu vấn đề gợi ý mở đầu giải bằng cách cắt ghép hình ) 4m Một hình chữ nhật có chu vi 90m , chiều dài hơn chiều rộng 11m . Tính diện tích phần mở rộng ở ba phía? (Hình vẽ bên) 1m 3m Nhận xét: Nếu giải bằng cách cắt ghép hình thì dữ kiện chiều dài hơn chiều rộng là thừa. Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB gấp ba lần chiều rộng BC. Nếu giảm chiều dài 5m và tăng chiều rông 5m thì diện tích tăng lên 175m 2 .Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. 5m A B D C 5m 1 Trang 47
  48. .Bài giải Theo cắt ghép như hình vẽ, phần diện tích tăng lên là 175m 2 chính là diện tích hình chữ nhật 1. Chiều dài hình chữ nhật 1 là: 175 : 5 = 35 (m) Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là: (35 + 5) : 2 = 20 (m) Chiều dài hình chữ nhật ABCD là: 20 x 3 = 60 (m) Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 60 x 20 = 1200 (m 2 ) Đáp số: 1200 m 2 (Tương tự: Hãy xét trường hợp tăng chiều dài và giảm chiều rộng) Nhận xét: • Chu vi hình chữ nhật lúc đầu và lúc sau như thế nào ? • Một hình vuông và một Hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình nào có diện tích lớn hơn và ngược lại có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn ? • Theo ví dụ 1, hãy giải bài toán nếu thay điều kiện chiều dài gấp ba lần chiều rộng bằng điều kiện: biết chu vi hình chữ nhật ABCD là 200m. Bài tập: 1/ Một hình chữ nhật, nếu giảm chiều dài 5m và tăng chiều rộng 5m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Hỏi diện tích hình chữ nhật tăng hay giảm bao nhiêu mét vuông ? (xem ví dụ 1, mục 3.1 ) 2/ Bằng các miếng nhựa hình vuông cạnh 1cm, bạn A đã ghép được hai hình vuông mà hiệu diện tích của chúng là 23cm 2 . Hỏi bạn A đã dùng tất cả bao nhiêu miếng nhựa để ghép được hai hình vuông đó ? 3/ Cho biết diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình vuông nhỏ là 351cm 2 . Tính cạnh mỗi hình vuông biết một trong các trường hợp sau đây: 1) Cạnh hình vuông lớn hơn cạnh hình vuông nhỏ là 13cm . (8 cách giải) 2) Tổng chu vi của hai hình vuông là 108cm . 3) Hiệu chu vi của hai hình vuông là 52cm . Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD (Hình vẽ 1): Trang 48
  49. Nếu tăng một cạnh lên a = 4cm và giảm một cạnh đi b = 7cm thì diện tích hình vuông giảm đi là S/ = 100cm 2 . Tính cạnh hình vuông ABCD. A B 4cm 1 7cm 2 D C Nhận xét (ví dụ 2): • Trường hợp 1: Nếu a≤ b thì diện tích hình vuông luôn luôn giảm : S/ Bài giải: (Hình vẽ 1) Theo cắt ghép như hình vẽ 1, phần diện tích giảm đi là: 100cm 2 bao gồm diện tích hình vuông 1 và diện tích hình chữ nhật 2. Diện tích hình vuông 1 là: 7 x 7 = 49 (cm 2 ) Diện tích hình chữ nhật 2 là : 100 – 49 = 51 (cm 2 ) Chiều rộng hình chữ nhật 2 là : 7 - 4 = 3 (cm) Chiều dài hình chữ nhật 2 là : 51 : 3 = 17 (cm) Cạnh hình vuông ABCD là: 17 + 7 = 24 (cm) Đáp số: 24 cm  Từ ví dụ 2 ở trên, xét các trường hợp sau: a/ Cho a = 8cm, b = 5cm và diện tích hình vuông tăng lên là S/ = 32cm 2 .(Hình 2) b/ Cho a = 8cm, b = 7cm và diện tích hình vuông giảm đi là S/ = 32cm 2 . Theo đó, ta có nhận xét sau đây: • Trường hợp 2: Nếu a> b thì diện tích hình vuông tăng hoặc giảm hoặc không đổi. Ở đây ta cần dựa vào so sánh diện tích hình vuông 1 và diện tích hình chữ nhật 3 - (Chẳng hạn xem trường hợp a/ ở Hình 2 dưới đây) Trang 49
  50. Nhận xét: A B 8cm > ⇔ − = / - SSSSS3 1 3 1 ( tăng ) < ⇔ − = / - SSSSS3 1 1 3 ( giảm ) = ⇔/ = - S3 S 1 S 0 (diện tích không đổi) 5cm 5cm 2 1 D 3 C (hình 2) Gợi ý: a/ Theo cắt ghép (hình 2) phần diện tích tăng lên là: 32cm 2 chính là hiệu diện tích hình chữ nhật 3 với diện tích hình vuông 1 Diện tích hình vuông 1 là : 5 x 5 = 25 (cm 2 ) Diện tích hình chữ nhật 3 là : 25 + 32 = 57 (cm 2 ) Chiều dài hình chữ nhật 3 là : 57 : (8 - 5) = 19 (cm) Cạnh hình vuông ABCD là: 19 + 5 = 24 (cm) . Đáp số: 24 cm / = − ( Tương tự xét trường hợp b/ diện tích giảm đi SSS1 3 )  Đối với trường hợp diện tích không đổi, ta xét ví dụ sau: Tính diện tích một hình chữ nhật có chiều dài 30cm . Biết rằng nếu giảm chiều dài 5cm và tăng chiều rộng 2cm thì diện tích hình chữ nhật đó không thay đổi. 30cm 1 2 2cm 3 5cm Theo hình vẽ, chiều dài hình chữ nhật 3 là: 30 – 5 = 25 (cm) Diện tích hình chữ nhật 3 là: 25 x 2 = 50 (cm 2 ) Vì diện tích không thay đổi nên diện tích hình chữ nhật 12 lúc đầu (ghép từ hình 1 và 2) bằng diện tích hình chữ nhật 13 (ghép từ hinh 1 và 3), do đó diện tích hình chữ nhật 3 bằng diện tích hình chữ nhật 2. Trang 50
  51. Chiều dài hình chữ nhật 2 cũng là chiều rộng hình chữ nhật 12 lúc đầu là: 50 : 5 = 10 (cm) Diện tích hình chữ nhật 12 lúc đầu là: 30 x 10 = 300 (cm 2 ) Đáp số: 300 cm 2 Liên hệ ví dụ trên về cách giải để xét các dạng bài toán liên quan đến ba đại lượng, trong đó có một đại lượng nầy bằng tích của hai đại lượng kia . Chẳng hạn: • Bài toán về chuyển động đều (vận tốc- thời gian- quảng đường) Một xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 30km/giờ. Nhưng thực tế chỉ đi với vận tốc 25km/giờ nên đến B chậm so với dự định là 2 giờ. Tính quảng đường AB. t Mô tả: 2gi ờ 3 t 2 t 1 1 2 0 v = v 1 30km/giờ = v 2 25km/giờ Quảng đường AB chính là: v 1 x t 1 = v 2 x t 2 hay S 12 = S 13 Suy ra S 2 = S 3 hay (v 1 - v 2 ) x t 1 = v 2 x (t 2 - t 1 ) Do đó, ta có : (30 – 25) x t 1 = 25 x 2 hay 5 x t 1 = 50 , suy ra t 1 = 10 (giờ) Vậy quảng đường AB là: v 1 x t 1 = 30 x 10 = 300 (km) • Bài toán về vòi nước chảy vào bể (lưu lượng – thời gian – thể tích bể) hoặc về tính sản lượng (diện tích – năng suất – sản lượng) Bài tập: 1/ Một hình chữ nhật có chiều dài 25cm, chiều rộng 8cm.Nếu tăng chiều rộng thêm 2cm thì phải bớt chiều dài bao nhiêu xăng-ti-mét để diện tích hình chữ nhật đó không đổi . Trang 51
  52. 2/ Một hình chữ nhật có chiều dài 50m. Nếu giữ nguyên chiều dài và tăng chiều rộng 10m thì được một hình chữ nhật mới. Biết diện tích hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình vuông có cạnh lớn hơn 53m. Biết số đo cạnh hình vuông là số tự nhiên. Tìm chiều rộng của hình chữ nhật. 3.9.3. Bài toán có nội dung hình học A Ví dụ 1 : (Hình vẽ) Cho hình tam giác ABC (Hình vẽ) , có: F AB = 4BE ; AF = FC. E O a/ So sánh diện tích hình tam giác AOB và BOC. B C b/ So sánh diện tích hình tam giác AOB và ABC Lưu ý: Để tiện việc hướng dẫn viết SAOB thay cho viết diện tích hình tam giác AOB. Gợi ý: 1 a/ Ta có: SSS= = vì AF = FC và cùng chiều cao hạ từ B xuống AC. ABF BFC2 ABC Mặc khác vì hai tam giác ABF và BFC có diện tích bằng nhau và chung đáy BF nên chiều cao tương ứng hạ từ A và C xuống BF phải bằng nhau. (1) Ta có tam giác AOB và BOC có chung đáy BO và chiều cao tương ứng hạ từ A và C = xuống BO bằng nhau theo (1). Do đó: SSAOB BOC = b/ Ta có SAOB 4S BOE vì AB = 4BE và cùng chiều cao hạ từ O xuống AB, 4 4 1 1 mà SSSSSS= ⇒ = = × = ABO BOC ABO5 BEC 5 4 ABC 5 ABC Ví dụ 2 : Cho hình tam giác ABC, có: MB = MC, AB + AC = 24cm; MP, MQ: lần lượt là chiều cao của tam giác ABM, ACM. Tính diện tích hình tam giác ABC. (Hình vẽ) A Q P 6 cm 3 cm B M C Trang 52
  53. 1 Gợi ý: Ta có: SSS= = ABM AMC2 ABC Mặc khác hai tam giác ABM và AMC có chiều cao tương ứng PM = 6cm và MQ = 3cm do đó PM = 2 MQ, nên cạnh đáy tương ứng AB = 1/2AC hay 2AB = AC. Ta có: AB + AC = AB + 2AB = 24(cm) . Vậy AB = 24 : 3 = 8 (cm) = × = × × = 2 Do đó: SABC 2S ABM 268:2 48(cm) Ví dụ 3 Cho hình tam giác ABC có diện tích 45 cm 2 . Trên AB lấy hai điểm M và D sao cho AM = MD = DB ; trên AC lấy hai điểm N và E sao cho AN = NE = EC. Tính diện tích hình tam giác AMN và diện tích hình tứ giác MNED. (Hình vẽ) A M N D E O Gợi ý: B C 1 1 Ta có SS= ; SS= AMN3 AMC AMC3 ABC 1 1 1 1 1 Do đó S= S = × S = S = × 455(cm) = 2 AMN3 AMC 3 3 ABC 9 ABC 9 2 Ta có SS= ; S= S ;S = S ABE3 ABC AMN MNE MED DEB 1 Do đó SSSSS+ = + = MNE MED AMN DEB2 ABE 1 1 2 1 1 Vậy: S= S = × S = S = × 45 = 15(cm2 ) MNED2 ABE 2 3 ABC 3 ABC 3 Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD (Hình vẽ) có AB = 12cm, chiều cao KH = 6cm. So sánh diện tích hình tam giác KDC với tổng diện tích của hình tam giác AKD và hình tam giác KBC. (Hình vẽ) Trang 53
  54. A K B D H C Bài giải Diện tích hình bình hành ABCD là: 12 x 6 = 72 (cm 2 ) Diện tích hình tam giác KDC là: 12 x 6 : 2 = 36 (cm 2 ) Tổng diện tích của hình tam giác AKD và tam giác KBC là: 72 – 36 = 36 (cm 2 ) Vậy diện tích tam giác KDC bằng tổng diện tích hai hình tam giác AKD và KBC. Ví dụ 5: Một hình thang có chiều cao 10 cm và diện tích là 110 cm 2 . Tính độ dài mỗi cạnh đáy của hình thang đó, biết rằng đáy lớn hơn đáy bé là 10 cm. (hinh vẽ ) A B 10cm D H C 10cm Bài giải: Tổng độ dài hai đáy của hình thang là: 110 x 2 : 10 = 22 (cm) Độ dài đáy bé của hình thang là: (22 – 10) : 2 = 6 (cm) Độ dài đáy lớn của hình thang là: 6 + 10 = 16 (cm) Đáp số: Đáy bé: 6 cm ; đáy lớn: 16 cm Ví dụ 6 : Diện tích của hình tứ giác ABED lớn hơn diện tích của hình tam giác BEC là 13,6 cm 2 . Tính diện tích của hình tứ giác ABCD, biết tỉ số diện tích của hình tam giác BEC và diện tích hình tứ giác ABED là 2/3. (Hình vẽ) A B D E C Trang 54
  55. Bài giải Ta có sơ đồ: Diện tích hình tam giác BEC : Diện tích hình tứ giác ABED: 13,6 cm Diện tích hình tam giác BEC là: 13,6 x (3 – 2 ) x 2 = 27,2 (cm 2 ) Diện tích hình tứ giác ABED là: 27,2 + 13,6 = 40,8 (cm 2 ) Diện tích hình tứ giác ABCD là: 27,2 + 40,8 = 68 (cm 2 ) Đáp số: 68 cm 2 Cách khác: Vì diện tích hình tứ giác ABCD bằng tổng diện tích của hình tam giác BEC và diện tích hình tứ giác ABED nên theo sơ đồ diện tích hình tứ giác ABCD là: 13,6 x (2 + 3) = 68 (cm 2 ) Bài tập: 1/ Một thửa ruộng hình thang có trung bình cộng hai đáy là 36m. Diện tích thửa ruộng đó bằng diện tích một mảnh đất hình vuông có chu vi 96m. a/ Tính chiều cao của thửa ruộng hình thang. b/ Biết hiệu hai đáy là 10m, tính độ dài mỗi cạnh đáy của thửa ruộng hình thang. Gợi ý: a/ Tính cạnh hình vuông (lấy chu vi chia cho 4) Tính diện tích hình vuông ( theo công thức tính diện tích) Tính chiều cao hình thang (lấy diện tích chia cho trung bình cộng hai đáy) b/ Tính tổng hai đáy hình thang (lấy trung bình cộng hai đáy nhân 2) Tính đáy bé hình thang (lấy tổng hai đáy trừ đi hiệu hai đáy rồi chia cho 2) Tính đáy lớn hình thang (lấy đáy bé cộng với hiệu hai đáy) 2/ Một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 22,5m , chiều rộng 19,2m. Nếu bể chứa 414,72m 3 nước thì mực nước trong bể lên tới 4/5 chiều cao của bể. Hỏi chiều cao của bể là bao nhiêu mét ? Cách 1: Tính diện tích đáy bể (lấy chiều dài nhân với chiều rộng của đáy bể) Trang 55
  56. Tính chiều cao nước trong bể (lấy thể tích bể chứa chia cho diện tích đáy bể) Tính chiều cao của bể (lấy chiều cao nước trong bể chia cho 4/5) Cách 2 Tính diện tích đáy bể (lấy chiều dài nhân với chiều rộng của đáy bể) Tính thể tích của bể (lấy thể tích nước trong bể chia cho 4/5) Tính chiều cao của bể (lấy thể tích của bể chia cho diện tích đáy bể) 3/ Cho hình tam giác ABC vuông tại B, có: AD = 8cm; DB = 4cm. DE song song BC và BC = 15cm. (Hình 1) a/ So sánh diện tích hình tam giác BDE và CDE. b/ Tính diện tích hình tam giác ADE. A (Hình 1) 8cm D E 4cm B 15cm C 4/ Cho hình thang ABCD có chiều cao 5cm và diện tích bằng 37,5cm 2 . Nếu kéo dài đáy bé AB một đoạn BE = 7cm ta được một hình bình hành AECD. Tính độ dài các cạnh đáy của hình thang ABCD. 5/ Cho hình thang vuông ABCD, có chiều cao 40cm, đáy bé AB = 30cm, đáy lớn CD = 60cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích các hình tam giác: AOD, AOB, BOC, COD. 6/ Cho hình tứ giác ABCD. Gọi M, P,N,Q lần lượt là các điểm trên AB, BC, CD, DA sao cho: AB = 4AM; BC = 4PC; CD = 4CN; DA = 4AQ và O là giao điểm của MN và PQ. Tính diện tích tứ giác ABCD, biết tổng diện tích hai tứ giác AMOQ và PONC bằng 499 cm 2 . 7/ Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Vẽ lần lượt BI, CK, DH vuông góc với AM. So sánh: BI + CK và DH. Trang 56
  57. 3.10 Một số phương pháp khác • Phương pháp ứng dụng nguyên lý Dirichlet Nếu chỉ có n chiếc lồng mà phải nhốt n + 1 con chim vào các lồng đó thì sẽ có ít nhất 2 con chim được nhốt chung trong 1 lồng. Ví dụ 1: Có 3 đôi tất khác nhau cất trong tủ. Một người không nhìn thấy lấy ra 1 số chiếc tất. Hỏi anh ta phải lấy ra ít nhất mấy chiếc để ít nhất có 2 chiếc cùng một đôi ? Nếu lấy ra 3 chiếc ? Nếu lấy ra 4 chiếc ? Gợi ý: 1/ Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi vàng. Hỏi phải lấy ra ít nhất mấy viên để ít nhất có 2 viên cùng màu? 2/ Có 3 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 4 viên bi vàng. Hỏi phải lấy ra ít nhất mấy viên để ít nhất có 2 viên cùng màu? 3 viên khác màu nhau? Ví dụ 2: Một trường tiểu học có 1200 học sinh.Chứng tỏ rằng có ít nhất 4 bạn cùng một ngày sinh. Một năm có 365 ngày hoặc 366 ngày Vì 1200 : 366 = 3 (dư 102), nên theo nguyên lý Diricle có ít nhất 4 bạn có cùng một ngày sinh. Ví dụ 3: Chúng minh rằng trong 3 số tự nhiên bất kỳ, bao giờ cũng có thể tìm được 2 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 2. Số tự nhiên gồm có số chẵn và số lẻ, nên theo nguyên lý Diricle trong 3 số tự nhiên bất kỳ, chắc chắn có ít nhất 2 số chẵn hoặc 2 số lẻ. Tổng của 2 số nầy là một số chẵn nên chia hết cho 2. • Phương pháp lập bảng Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng. Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai. Trang 57
  58. Dựa vào điều kiện của đề bài, ta loại bỏ dần các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán. Ví dụ 1: Ba bạn Cúc, Hồng, Mai mỗi bạn hái một bông hoa Cúc, Hồng, Mai. Biết Cúc không hái hoa Mai và trong các bạn không có ai hái loại hoa trùng tên của mình. Hỏi từng bạn hái hoa gì ? Lập bảng: hoa Bạn Cúc Hồng Mai Cúc 0 X (1) 0 Hồng 0 0 X (2) Mai X (3) 0 0 Ví dụ 2: Cô giáo trả bài kiểm tra, 4 bạn A, B, C, D ngồi cùng bàn đều đạt điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi T hỏi điểm của 4 bạn. A trả lời : C không đạt điểm 10, mình và D không đạt điểm 9 còn B không đạt điểm 8 B thì nói: mình không đạt điểm 10, C không đạt điểm 9 còn A và D đều không đạt điểm 8 Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt điểm mấy ? Bạn Điểm A B C D 10 X 0 0 X 9 0 X 0 0 8 0 0 X 0 • Phương pháp biểu đồ Ven Trong khi giải một số bài toán, người ta thường dùng những đường cong kín để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Nhờ sự mô tả nầy ta đi đến lời giải Trang 58
  59. một cách tường minh và thuận lợi. Những đường cong như thế ta sẽ gọi là biểu đồ Ven. Phương pháp giải dùng biểu đồ Ven gọi là phương pháp biểu đồ Ven. Ví dụ 1: Lớp A có 30 học sinh tham gia thi môn toán và môn văn, trong đó có 25 em thi toán và 18 em thi môn văn. Hỏi có bao nhiêu em thi cả hai môn toán và văn ? Bài giải: Toán: 25 ? Văn: 18 Tất cả: 30 Số học sinh chỉ thi môn văn: 30 – 25 = 5 (học sinh) Số học sinh chỉ thi môn toán: 30 – 18 = 12 (học sinh) Số học sinh thi cả 2 môn văn và toán: 30 – (5 + 12) = 13 (học sinh) Trả lời: Có 13 học sinh tham gia thi cả 2 môn văn và toán. Cách khác: Theo sơ đồ, ta có: Số học sinh thi cả hai môn toán và văn: (25 + 18) – 30 = 13 (học sinh) Gợi ý: Lớp A có 25 em thi môn toán và 18 em thi môn văn, trong đó có13 em thi cả toán và văn. Hỏi lớp A có bao nhiêu em ? Ví dụ 2: Một trường tiểu học có 100 học sinh đăng ký dự thi văn nghệ. Mỗi em được đăng ký một hoặc hai trong ba môn: hát, múa, kể chuyện. Kết quả có 30 em chỉ thi kể chuyện , 45 em thi hát và 53 em thi múa. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký thi cả hai môn hát và múa ? Hát:45 Múa53 Kể chuyện 30 Tất cả:100 Trang 59
  60. Bài giải: Số học sinh đăng ký thi hát hoặc múa: 100 – 30 = 70 (học sinh) Số học sinh đăng ký thi cả hai môn hát và múa: (45 + 53) – 70 = 28 (học sinh) Trả lời: Có 28 học sinh tham gia thi cả hai môn hát và múa. Ví dụ 3: Có bao nhiêu số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 ? Bài giải: Số các số chẵn có ba chữ số là: (998 – 100) : 2 + 1 = 450 (số) Số các số có ba chữ số chia hết cho 3 là: (999 – 102) : 3 + 1 = 300 (số) Trong các số có ba chữ số chia hết cho 3 có 1 nửa là số lẻ và 1 nửa là số chẵn nên các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 3 có tất cả là: 300 : 2 = 150 (số) Ta có sơ đồ: Số chẵn có ba Số có ba chữ số chia hết cho 3 chữ số (450) (300) Số chẵn có ba chữ số chia hết cho 3 ( 150 ) Theo sơ đồ, số các số chẵn không chia hết cho 3 là: 450 – 150 = 300 (số) Số các số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 là: 300 + 300 = 600 (số) Vậy có 600 số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 Bài tập: 1/ Bốn bạn A, B, C, D đạt bốn giải: 1, 2, 3, khuyến khích. Biết : A không đạt giải 1 nhưng không phải giải khuyến khích B đạt giải 2 và C không đạt giải khuyến khích. Hỏi mỗi bạn đạt giải gì ? 2/ Trong một kỳ thi, các thí sinh được đánh số báo danh từ 1 đến 1000. hỏi có bao nhiêu thí sinh mang số báo danh là số lẻ hoặc chia hết cho 9 ? Trang 60
  61. Chương 4 : ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP TOÁN Ở TIỂU HỌC 4.1. Khái niệm cơ bản và chức năng của đánh giá kết quả học tập toán. 4.1.1 Các khái niệm cơ bản về đánh giá kết quả học tập. • Kiểm tra là thuật ngữ chỉ cách thức hoặc hoạt động giáo viên sử dụng để thu thập thông tin về biểu hiện kiến thức, kỹ năng và thái độ của học sinh trong học tập nhằm cung cấp dữ kiện làm cơ sở cho việc đánh giá. • Đánh giá kết quả học tập là thuật ngữ chỉ quá trình hình thành những nhận định, rút ra những kết luận hoặc phán đoán về trình độ, phẩm chất của người học, hoặc đưa ra những quyết định về việc dạy học dựa trên cơ sở những thông tin đã thu thập được một cách hệ thống trong quá trình kiểm tra. Trong một chừng mực, đánh giá kết quả học tập được hiểu là đánh giá học sinh về học lực và hạnh kiểm thông qua quá trình học tập các môn học cũng như các hoạt động khác trong phạm vi nhà trường. Chú ý: Điều quan trọng nhất trong quá trình kiểm tra đánh giá các kết quả học tập của quá trình dạy học là phải làm rõ các tiêu chí đánh giá và phải thực hiện quá trình ấy một cách hệ thống và liên tục. Việc đánh giá thiếu chuẩn bị hay tùy tiện có thể sẽ không đáng tin cậy, thiếu công bằng và vô căn cứ. 4.1.2 Chức năng của đánh giá kết quả học tập. 1/ Chức năng quản lý: Thể hiện qua hai phương diện - Xếp loại hoặc tuyển chọn người học - Duy trì và phát triển chuẩn chất lượng Nhằm phân loại người học qua việc đánh giá kết quả học tập. 2/ Chức năng kiểm soát và điều chỉnh hoạt động dạy và học. Nhằm giúp giáo viên nắm bắt kịp thời quá trình dạy học có phù hợp, có đáp ứng được mục tiêu dạy học cũng như kết quả học tập của học sinh phản ảnh việc giảng dạy đáng tin cậy đến mức nào. Qua đó tự đưa ra những phán đoán về người học và quyết định điều chỉnh hoặc cải tiến hoạt động dạy học. 3/ Chức năng giáo dục và phát triển người học. Trang 61
  62. Nhằm góp phần hình thành động cơ học tập và phát triển nhân cách người học. 4.2 Nguyên tắc đánh giá kết quả học tập (7 nguyên tắc) 1/ Nguyên tắc khách quan. 2/ Nguyên tắc công bằng 3/ Nguyên tắc bảo đảm tính toàn diện 4/ Nguyên tắc bảo đảm tính hệ thống 5/ Nguyên tắc bảo đảm tính công khai 6/ Nguyên tắc bảo đảm tính giáo dục 7/ Nguyên tắc bảo đảm tính phát triển Lưu ý: Theo qui định đánh giá học sinh tiểu học (gồm 4 chương, 20 điều ; ban hành theo thông tư số 30/2014/TT-BGDĐT ngày 28/ 8/ 2014 của Bộ trưởng BGD&ĐT) về nguyên tắc đánh giá (Điều 4): 1. Đánh giá vì sự tiến bộ của học sinh; coi trọng việc động viên,khuyến khích tính tích cực và vượt khó trong học tập, rèn luyện của học sinh; giúp học sinh phát huy tất cả khả năng; đảm bảo kịp thời, công bằng, khách quan. 2. Đánh giá toàn diện học sinh thông qua đánh giá mức độ đạt chuẩn kiến thức, kỹ năng và một số biểu hiện năng lực, phẩm chất của học sinh theo mục tiêu giáo dục tiểu học. 3. Kết hợp đánh giá của giáo viên, học sinh, cha mẹ học sinh, trong đó đánh giá của giáo viên là quan trọng nhất. 4. Đánh giá sự tiến bộ của học sinh, không so sánh học sinh nầy với học sinh khác, không tạo áp lực cho học sinh, giáo viên và cha mẹ học sinh. 4.3 Các hình thức kiểm tra đánh giá 4.3.1 Kiểm tra. • Kiểm tra thường xuyên. Là tiến trình thu thập thông tin về việc học tập của học sinh một cách liên tục trong lớp học. Các hình thức kiểm tra thường xuyên dùng để đánh giá những phương diện cụ thể hay những phần của chương trình học. Kết quả của kiểu kiểm tra nầy được dùng để theo dõi sự tiến bộ của người học trong suốt tiến trình giảng dạy và cung Trang 62
  63. cấp những phản hồi liên tục cho học sinh và giáo viên, nhằm giúp giáo viên có những biện pháp điều chỉnh kịp thời việc giảng dạy, cũng như giúp học sinh nhận ra những tiến bộ và chưa tiến bộ của bản thân để từ đó tự điều chỉnh và phát triển. Có thể kiểm tra thường xuyên bằng nhiều hình thức: vấn đáp, thực hành,làm bài tập thường ngày theo nhóm hay cá nhân trong giờ học. Trong quá trình kiểm tra thường xuyên, điều rất quan trọng đối với giáo viên là việc xác định và thực hiện các phương pháp sao cho hoạt động kiểm tra nầy thực sự tạo nên những tác động thích hợp đến quá trình học tập và phát triển của người học. • Kiểm tra định kỳ Là phương thức thu thập kết quả học tập của học sinh theo thời điểm. Mục đích giúp giáo viên biết mỗi học sinh đã tiếp thu được gì sau mỗi một đơn vị bài học hay sau mỗi phần học để có thể kịp thời bổ khuyết hay điều chỉnh nội dung và phương pháp dạy học cho phần chương trình kế tiếp. Ở tiểu học, các bài kiểm tra định kỳ (điểm số) bao gồm học kỳ 1 và cuối năm. 4.3.2 Đánh giá  Đánh giá bằng nhận xét Là đưa ra những phân tích hoặc những phán đoán về học lực hoặc hạnh kiểm của người học bằng cách sử dụng các nhận xét được rút ra từ việc quan sát các hành vi hoặc sản phẩm học tập của học sinh theo những tiêu chí được cho trước. Chú ý: 1/ Tác dụng của nhận xét đối với học sinh: • Động viên học sinh phấn đấu học tập thành công hơn • Hướng dẫn học sinh điều chỉnh việc học tập 2/ Để đưa ra được những nhận xét tốt, giáo viên cần: • Trong trường hợp nội dung quan sát nhỏ hẹp, giáo viên cần thường xuyên tham khảo các tiêu chí đã được xác lập để có thể hình dung rõ trong đầu các tiêu chí cần đánh giá. • Xây dựng bảng hướng dẫn đánh giá trong trường hợp nội dung quan sát hoặc kiểm tra rộng lớn và phức tạp, hoặc những bài tập lớn mà kết quả của nó sẽ được chính thức sử dụng để xếp loại học sinh. Trang 63
  64. • Quan sát và ghi nhận các biểu hiện hành vi của học sinh theo các tiêu chí đã định. • Thu thập thông tin đủ, phù hợp và tránh định kiến. • Trước khi bắt đầu đưa ra một nhận xét hay nhận định nào, cần xem xét: o Chứng cứ (biểu hiện) thu thập được có thích hợp không ? o Chứng cứ (biểu hiện) thu thập được đã đủ cho việc đưa ra những nhận xét về người học chưa ? o Đối với nhận xét dựa trên các tiêu chí học tập, phải xem xét xem những yếu tố nào khác ngoài bài thực hành hay kiểm tra có thể ảnh hưởng đến kết quả thực hiện của học sinh. o Khi viết một nhận xét nào đó nên cố gắng phát biểu rõ ràng những lý do đưa ra nhận xét ấy.  Đánh giá bằng điểm số Là sử dụng những mức điểm khác nhau trên một thang điểm để chỉ ra mức độ về kiến thức và kỹ năng mà học sinh đã thể hiện được qua một hoạt động hoặc sản phẩm học tập. Trong thang điểm,đi kèm với mỗi mức điểm là phần miêu tả những tiêu chí tương ứng cho từng mức điểm. Như vậy,một thang điểm đầy đủ bao gồm các mức điểm và bảng tiêu chí những yêu cầu về kiến thức hay kỹ năng cho mỗi mức điểm- xem đây là căn cứ để giáo viên giải thích ý nghĩa của các điểm số, đồng thời để có thể cho những nhận xét cụ thể về bài làm của học sinh. Những hạn chế của điểm số: • Điểm số phản ảnh sự đánh giá mang tính trực giác • Điểm số có thể được xác định trên những bài kiểm tra thiếu tin cậy Do vậy,điểm số không giúp xác định cụ thể và đầy đủ khả năng của học sinh và cũng là cội nguồn sinh ra những áp lực không cần thiết cho mỗi học sinh. 4.4 Nội dung và cách thức đánh giá (Theo qui định Đánh giá học sinh tiểu học-ban hành theo Thông tư số 30/2014/ TT- BGD ĐT ngày 28 / 8 /2014 của Bộ trưởng Bộ giáo dục đào tạo)  Nội dung đánh giá (Điều 5) Trang 64
  65. Nội dung 1: Đánh giá quá trình học tập, sự tiến bộ và kết quả học tập của học sinh theo chuẩn kiến thức, kỹ năng từng môn học và hoạt động giáo dục khác theo chương trình giáo dục phổ thông cấp tiểu học. Nội dung 2: Đánh giá sự hình thành và phát triển một số năng lực của học sinh Nội dung 3: Đánh giá sự hình thành và phát triển một số phẩm chất của học sinh  Đánh giá thường xuyên (Điều 6) Là đánh giá trong quá trình học tập,rèn luyện của học sinh, được thực hiện theo tiến trình nội dung của các môn học và các hoạt động giáo dục khác, trong đó bao gồm cả quá trình vận dụng kiến thức, kỹ năng ở nhà trường, gia đình và cộng đồng. Trong đánh giá thường xuyên, giáo viên ghi những nhận xét đáng chú ý nhất vào sổ theo dõi chất lượng giáo dục, những kết quả học sinh đã đạt được hoặc chưa đạt được; biện pháp cụ thể giúp học sinh vượt qua khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ; các biểu hiện cụ thể về sự hình thành và phát triển năng lực, phẩm chất của học sinh; những điều cần đặc biệt lưu ý để giúp cho quá trình theo dõi, giáo dục đối với cá nhân, nhóm học sinh trong học tập, rèn luyện. Đánh giá thường xuyên nội dung 1: (Điều 7) • Tham gia đánh giá thường xuyên gồm: giáo viên, học sinh (tự đánh giá và nhận xét,góp ý bạn qua hoạt động của nhóm, lớp); khuyến khích sự tham gia đánh giá của cha mẹ học sinh. • Giáo viên đánh giá: 1. Trong quá trình dạy học,căn cứ vào đặc điểm và mục tiêu của bài học, của mỗi hoạt động mà học sinh phải thực hiện trong bài học,giáo viên tiến hành một số việc như sau: - Quan sát, theo dõi, trao đổi, kiểm tra quá trình và từng kết quả thực hiện nhiệm vụ của học sinh, nhóm học sinh theo tiến trình dạy học - Nhận xét bằng lời nói trực tiếp với học sinh hoặc viết nhận xét vào phiếu,vở của học sinh về những kết quả đã làm được hoặc chưa làm Trang 65
  66. được; mức độ hiểu biết và năng lực vận dụng kiến thức; mức độ thành thạo các thao tác, kỹ năng cần thiết, phù hợp với yêu cầu của bài học, hoạt động của học sinh - Quan tâm tiến độ hoàn thành từng nhiệm vụ của học sinh; áp dụng biện pháp cụ thể để kịp thời giúp đỡ học sinh vượt qua khó khăn. Do năng lực của học sinh không đồng đều nên có thể chấp nhận sự khác nhau về thời gian, mức độ hoàn thành nhiệm vụ 2. Hàng tuần, giáo viên lưu ý đến những học sinh có nhiệm vụ chưa hoàn thành; giúp đỡ kịp thời để học sinh biết cách hoàn thành 3. Hàng tháng, giáo viên ghi nhận xét vào sổ theo dõi chất lượng giáo dục về mức độ hoàn thành nội dung học tập từng môn học,hoạt động giáo dục khác; dự kiến và áp dụng biện pháp cụ thể,riêng biệt giúp đỡ kịp thời đối với những học sinh chưa hoàn thành nội dung học tập môn học,hoạt động giáo dục khác trong tháng 4. Khi nhận xét, giáo viên cần đặc biệt quan tâm động viên, khích lệ, biểu dương, khen ngợi kịp thời đối với từng thành tích, tiến bộ giúp học sinh tự tin vươn lên 5. Không dùng điểm số để đánh giá thường xuyên • Học sinh tự đánh giá và tham gia nhận xét, góp ý bạn, nhóm bạn: - Học sinh tự đánh giá ngay trong quá trình hoặc sau khi thực hiện từng nhiệm vụ học tập, hoạt động giáo dục khác, báo cáo kết quả với giáo viên - Học sinh tham gia nhận xét, góp ý bạn, nhóm bạn ngay trong quá trình thực hiện các nhiệm vụ học tập môn học, hoạt động giáo dục; thảo luận,hướng dẫn, giúp đỡ bạn hoàn thành nhiệm vụ • Cha mẹ học sinh tham gia đánh giá: Cha mẹ học sinh được khuyến khích phối hợp với giáo viên và nhà trường động viên, giúp đỡ học sinh học tập,rèn luyện; được giáo viên hướng dẫn cách thức quan sát,động viên các họat động của học sinh hoặc cùng học sinh tham gia các Trang 66
  67. hoạt động; trao đổi với giáo viên các nhận xét, đánh giá học sinh bằng các hình thức phù hợp, thuận tiện nhất như lời nói, viết thư. Đánh giá thường xuyên nội dung 2: (Điều 8) • Các năng lực của học sinh được hình thành và phát triển trong quá trình học tập, rèn luyện, hoạt động trải nghiệm cuộc sống trong và ngoài nhà trường. giáo viên đánh giá mức độ hình thành và phát triển một số năng lực của học sinh thông qua các biểu hiện hoặc hành vi như sau: 1. Tự phục vụ, tự quản: thực hiện được một số công việc phục vụ cho sinh hoạt của bản thân như vệ sinh thân thể,ăn, mặc; một số việc phục vụ cho học tập như chuẩn bị đồ dùng học tập ở lớp,ở nhà; các việc theo yêu cầu của giáo viên, làm việc cá nhân, làm việc theo sự phân công của nhóm,lớp; bố trí thời gian học tập,sinh hoạt ở nhà; chấp hành nội qui lớp học; cố gắng tự hoàn thành công việc 2. Giao tiếp, hợp tác: mạnh dạn khi giao tiếp; trình bày rõ ràng,ngắn gọn; nói đúng nội dung cần trao đổi; ngôn ngữ phù hợp với hoàn cảnh và đối tượng; ứng xử thân thiện, chia sẽ với mọi người; lắng nghe người khác, biết tranh thủ sự đồng thuận 3. Tự học và giải quyết vấn đề: khả năng tự thực hiện nhiệm vụ học cá nhân trên lớp,làm việc trong nhóm,lớp; khả năng tự học có sự giúp đỡ hoặc không cần giúp đỡ; tự thực hiện đúng nhiệm vụ học tập; chia sẽ kết quả học tập với bạn,với cả nhóm; tự đánh giá kết quả học tập và báo cáo kết quả trong nhóm hoặc với giáo viên; tìm kiếm sự trợ giúp kịp thời của bạn,giáo viên hoặc người khác; vận dụng những điều đã học để giải quyết nhiệm vụ trong học tập,trong cuộc sống; phát hiện những tình huống mới liên quan tới bài học hoặc trong cuộc sống và tìm cách giải quyết • Hàng ngày, hàng tuần, giáo viên quan sát các biểu hiện trong các hoạt động của học sinh để nhận xét sự hình thành và phát triển năng lực; từ đó động viên,khích lệ,giúp học sinh khắc phục khó khăn,phát huy ưu điểm và các năng lực riêng, điều chỉnh hoạt động để tiến bộ. Trang 67
  68. Hàng tháng, giáo viên thông qua quá trình quan sát, ý kiến trao đổi với cha mẹ học sinh để nhận xét học sinh, ghi vào sổ theo dõi chất lượng giáo dục. Đánh giá thường xuyên nội dung 3: (Điều 9) • Các phẩm chất của học sinh được hình thành và phát triển trong quá trình học tập,rèn luyện,hoạt động trải nghiệm cuộc sống trong và ngoài nhà trường. giáo viên đánh giá mức độ hình thành và phát triển một số phẩm chất của học sinh thông qua các biểu hiện hoặc hành vi như sau: 1. Chăm học, chăm làm,tích cực tham gia hoạt động giáo dục: đi học đều, đúng giờ; thường xuyên trao đổi nội dung học tập,hoạt động giáo dục với bạn, giáo viên và người khác; chăm làm việc nhà giúp đỡ cha mẹ; tích cực tham gia các hoạt động,phong trào học tập,lao động và hoạt động nghệ thuật,thể thao ở trường và ở địa phương; tích cực tham gia và vận động các bạn cùng tham gia giữ gìn vệ sinh,làm đẹp trường lớp, nơi ở và nơi công cộng 2. Tự tin, tự trọng, tự chịu trách nhiệm: mạnh dạn khi thực hiện nhiệm vụ học tập, trình bày ý kiến cá nhân; nhận làm việc vừa sức mình; tự chịu trách nhiệm về các việc làm,không đổ lỗi cho người khác khi mình làm chưa đúng; sẵn sàng nhận lỗi khi làm sai 3. Trung thực, kỷ luật, đoàn kết: nói thật, nói đúng về sự việc; không nói dối,không nói sai về người khác; tôn trọng lời hứa,giữ lời hứa; thực hiện nghiêm túc qui định về học tập; không lấy những gì không phải của mình; biết bảo vệ của công; giúp đỡ,tôn trọng mọi người; quí trọng người lao động; nhường nhịn bạn 4. Yêu gia đình, bạn và những người khác; yêu trường,lớp,que hương,đất nước: quan tâm chăm sóc ông bà, cha mẹ, anh chị em; kính trọng người lớn, biết ơn thầy cô giáo; yêu thương,giúp đỡ bạn; tích cực tham gia hoạt động tập thể,hoạt động xây dựng trường, lớp; bảo vệ của công, giữ gìn và bảo vệ môi trường; tự hào về người thân trong gia đình,thầy cô giáo,nhà trường và quê hương; thích tìm hiểu về các địa danh,nhân vật nổi tiếng ở địa phương • Hàng ngày, hàng tuần, giáo viên quan sát các biểu hiện trong các hoạt động của học sinh để nhận xét sự hình thành và phát triển phẩm chất; từ đó động Trang 68
  69. viên,khích lệ, giúp học sinh khắc phục khó khăn,phát huy ưu điểm và các phẩm chất riêng, điều chỉnh hoạt động,ứng xử kịp thời để tiến bộ. Hàng tháng, giáo viên thông qua quá trình quan sát, ý kiến trao đổi với cha mẹ học sinh để nhận xét học sinh, ghi vào sổ theo dõi chất lượng giáo dục.  Đánh giá định kỳ kết quả học tập (Điều 10) 1. Hiệu trưởng chỉ đạo việc đánh giá định kỳ kết quả học tập, mức độ đạt chuẩn kiến thức,kỹ năng theo chương trình giáo dục phổ thông cấp tiểu học vào cuối học kỳ 1 và cuối năm học đối với các môn học: tiếng việt, toán, khoa học, lịch sử và địa lý, ngoại ngữ, tin học, tiếng dân tộc bằng bài kiểm tra định kỳ. 2. Để bài kiểm tra định kỳ phù hợp chuẩn kiến thức, kỹ năng, gồm các câu hỏi, bài tập được thiết kế theo các mức độ nhận thức của học sinh: • Mức 1 : Học sinh nhận biết hoặc nhớ, nhắc lại đúng kiến thức đã học; diễn đạt đúng kiến thức hoặc mô tả đúng kỹ năng đã học bằng ngôn ngữ theo cách của riêng mình và áp dụng trực tiếp kiến thức, kỹ năng đã biết để giải quyết các tình huống, vấn đề trong học tập. • Mức 2 : Học sinh kết nối, sắp xếp lại các kiến thức,kỹ năng đã học để giải quyết tình huống, vấn đề mới, tương tự tình huống, vấn đề đã học. • Mức 3 : Học sinh vận dụng các kiến thức, kỹ năng để giải quyết các tình huống, vấn đề mới, không giống với những tình huống, vấn đề đã được hướng dẫn hay đưa ra những phản hồi hợp lý trước một tình huống, vấn đề mới trong học tập hoặc trong cuộc sống. 3. Bài kiểm tra định kỳ được giáo viên sửa lỗi, nhận xét những ưu điểm và góp ý những hạn chế, cho điểm theo thang điểm 10 (không cho điểm 0)  Tổng hợp đánh giá (Điều 11) • Vào cuối học kỳ 1 và cuối năm học, hiệu trưởng chỉ đạo giáo viên chủ nhiệm họp với các giáo viên dạy cùng lớp, thông qua nhận xét quá trình và kết quả Trang 69
  70. học tập, hoạt động giáo dục khác để tổng hợp đánh giá mức độ hình thành và phát triển năng lực, phẩm chất của từng học sinh về: - Quá trình học tập từng môn học, hoạt động giáo dục khác, những đặc điểm nổi bật, sự tiến bộ,hạn chế,mức độ hoàn thành nhiệm vụ học tập theo chuẩn kiến thức, kỹ năng; năng khiếu, hứng thú về từng môn học,hoạt động giáo dục,xếp loại từng học sinh đối với từng môn học, hoạt động giáo dục thuộc một trong hai mức: Hoàn thành hoặc Chưa hoàn thành. - Mức độ hình thành và phát triển năng lực: những biểu hiện nổi bật của năng lực, sự tiến bộ, mức độ hình thành và phát triển theo từng nhóm phẩm chất của học sinh; góp ý với học sinh, khuyến nghị với nhà trường, cha mẹ học sinh; xếp loại từng học sinh thuộc một trong hai mức: Đạt hoặc Chưa đạt. - Mức độ hình thành và phát triển phẩm chất: những biểu hiện nổi bật của phẩm chất, sự tiến bộ, mức độ hình thành và phát triển theo từng nhóm năng lực của học sinh; góp ý với học sinh, khuyến nghị với nhà trường, cha mẹ học sinh; xếp loại từng học sinh thuộc một trong hai mức: Đạt hoặc Chưa đạt. - Các thành tích khác của học sinh được khen thưởng trong học kỳ, năm học. • Giáo viên chủ nhiệm ghi nhận xét, kết quả tổng hợp đánh giá vào học bạ. Học bạ là hồ sơ chứng nhận mức độ hoàn thành chương trình và xác định những nhiệm vụ, những điều cần khắc phục, giúp đỡ đối với từng học sinh khi bắt đầu vào học kỳ II hoặc năm học mới.  Sử dụng kết quả đánh giá để xét hoàn thành chương trình lớp học, hoàn thành chương trình tiểu học. (Điều 14) 1) Xét hoàn thành chương trình lớp học: • Học sinh được xác nhận hoàn thành chương trình lớp học phải đạt các điều kiện sau: o Đánh giá thường xuyên đối với tất cả các môn học, hoạt động giáo dục: Hoàn thành o Đánh giá định kỳ cuối năm học các môn học theo qui định: đạt điểm 5 trở lên o Mức độ hình thành và phát triển năng lực: Đạt o Mức độ hình thành và phát triển phẩm chất: Đạt Trang 70
  71. • Đối với học sinh chưa hoàn thành chương trình lớp học: giáo viên lập kế hoạch, trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ từng học sinh; đánh giá bổ sung để xét Hoàn thành chương trình lớp học. • Đối với những học sinh đã được giáo viên trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ mà vẫn chưa đạt ít nhất một trong các điều kiện qui định tại khoản 1 điều 14 : Tùy theo mức độ chưa hoàn thành ở các môn học, hoạt động giáo dục, bài kiểm tra định kỳ, mức độ hình thành và phát triển một số năng lực, phẩm chất, giáo viên lập danh sách báo cáo hiệu trưởng xét, quyết định việc lên lớp hoặc ở lại lớp. • Kết quả xét hoàn thành chương trình lớp học được ghi vào học bạ. 2) Xét hoàn thành chương trình tiểu học : Học sinh hoàn thành chương trình lớp 5 được xác nhận và ghi vào học bạ: Hoàn thành chương trình tiểu học. Trang 71
  72. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành (2000) Tập 2, Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học, Phần thực hành giải toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. [ 2] Trần Diên Hiển (2009), Thực hành giải toán tiểu học- Tập 1, 2, NXB ĐHSP Hà Nội [ 3] Hoàng Thị Tuyết, Vũ Thị Phương Anh (2006), Đánh giá kết quả học tập ở tiểu học, NXB Giáo dục,TP. Hồ Chí Minh [ 4] Trần Diên Hiển (2008), Giáo trình chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học, NXB ĐHSP Hà Nội . Trang 72
  73. MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 2 Chương 1: giải toán và ý nghĩa của thực hành giải toán 3 1.1 Những vấn đề chung về dạy học giải toán ở tiểu học 3 1.2 Quan niệm về bài toán và giải toán 4 1.3 Ý nghĩa của việc thực hành giải toán 5 1.4 Phân loại các bài toán ở tiểu học 7 Chương 2: Thực hành giải các dạng toán điển hình 12 2.1 Các bài toán áp dụng qui tắc 12 2.2 Bài toán đơn 13 2.3 Bài toán hợp 16 Chương 3: 1 số phương pháp thường dùng trong giải toán ở tiểu học 21 3.1 Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng 21 3.2 Phương pháp đại số 27 3.3 Phương pháp rút về đơn vị - Phương pháp tỉ số 29 3.4 Phương pháp chia tỉ lệ 33 3.5 Phương pháp thử chọn 37 3.6 Phương pháp giả thiết tạm 40 3.7 Phương pháp tính ngược từ cuối 41 3.8 Phương pháp của lý thuyết tổ hợp 43 3.9 giải bài toán bằng cắt ghép hinh và bài toán có nội dung hình học 46 3.10 Một số phương pháp khác 57 Chương 4: Đánh giá kết quả học tập toán ở tiểu học 61 4.1 Khái niệm cơ bản và chức năng của đánh giá kết quả học tập toán 61 4.2 Nguyên tắc đánh giá 62 4.3 Các hình thức kiểm tra đánh giá 62 4.4 Nội dung và cách thức đánh giá 64 Tài liệu tham khảo 72 Mục lục 73 * Trang 73
  74. Trang 74