Bài giảng Đại số A1 - Lê Văn Luyện

229 trang ngocly 1800

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số A1 - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_a1_le_van_luyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số A1 - Lê Văn Luyện

Bài giảng môn học Đại số A1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 1 / 84
Nội dung Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 2 / 84
1. Ma trận 1. Ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1.1 Định nghĩa và ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 3 / 84
1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên K là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong K có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij)m×n hay A = (aij), trong đó aij ∈ K. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Mm×n(K) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên K. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 4 / 84
1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ.  1 2  1 2 3 A = ∈ M ( ); B = 0 1 ∈ M ( ). 0 1 2 2×3 K   3×2 K 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không, ký hiệu 0m×n ( hay 0) Ví dụ.  0 0 0 0  03×4 =  0 0 0 0  0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 5 / 84
1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n(K) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 . . . ann Mn(K): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K. Ví dụ.  −1 3 2   0 0 0  A =  2 −1 1  ∈ M3(K); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 6 / 84
1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Nếu A = (aij) ∈ Mn×n(K) thì đường chứa các phần tử a11, a22, . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   an1 an2 a nn Ví dụ.  1 35  A =  −2 −33  . 2 −21 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 7 / 84
1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1, a2, , an).  135   10 0  Ví dụ. A =  0 −33  ,B =  −200  . 0 01 −12 −4  −100  C = diag(−1, 0, 5) =  000  . 0 05 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 8 / 84
1. Ma trận Ma trận đơn vị Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ.  1 0 0  1 0 I = ; I = 0 1 0 . 2 0 1 3   0 0 1 Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 9 / 84
1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n. Khi đó, nếu aij = bij, ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma trận bằng nhau, ký hiệu A = B. x + 1 1 3y − 4 1 Ví dụ. Tìm x, y, z để = . 2x − 1 z y − 1 2z + 2 Giải. Ta có    x + 1 = 3y − 4;  x = 1; 2x − 1 = y − 1; ⇔ y = 2;  z = 2z + 2.  z = −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 10 / 84
1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n(K). Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là     a11 a12 a 1n a11 a21 . . . am1  a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  A =   thì A> =   .     am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn Ví dụ.  160   1 −1 4 5  −1 −84 A = 6 −801 =⇒ A> =   .    40 −3  0 4 −3 6   516 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 11 / 84
1. Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. > • Nếu ASimpo= −A PDFthì nói Merge A là maand trậnSplit phảnUnregistered xứng. Version -  1 2 −2  Ví dụ. A =  2 4 5  là ma trận đối xứng. −2 5 6  0 −2 1  B =  2 0 −3  là ma trận phản xứng. −1 3 0 Tính chất. Cho A, B ∈ Mm×n(K). Khi đó: i) (A>)> = A; ii) A> = B> ⇔ A = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 12 / 84
1. Ma trận c) Nhân một số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A Simpobằng cách PDF nhân Merge tất cả and các Split hệ số Unregistered của A với α, nghĩaVersion là - (αA)ij = αAij, ∀i, j. Ma trận (−1)A được ký kiệu là −A được gọi là ma trận đối của A. 3 4 1 Ví dụ. Nếu A = thì 0 1 −3 6 8 2 2A = ;. 0 2 −6 −3 −4 −1 −A = . 0 −1 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 13 / 84
1. Ma trận Tính chất. Cho A là ma trận và α, β ∈ K, ta có i) (αβSimpo)A = α (PDFβA); Merge and Split Unregistered Version - ii) (αA)> = αA>; iii) 0.A = 0 và 1.A = A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 14 / 84
1. Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n(K). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B là ma trậnSimpo được xác PDF định Merge bởi: and Split Unregistered Version - (A + B)ij = Aij + Bij. Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại. Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B. Ví dụ. 2 3 0 1 0 −4 3 3 −4 + = . 1 2 −3 7 8 −3 8 10 −6 2 3 0 1 0 −4 1 3 4 − = . 1 2 −3 7 8 −3 −6 −6 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 15 / 84
1. Ma trận Tính chất. Với A, B, C ∈ Mm×n(K) và α, β ∈ K, ta có i) A +SimpoB = B PDF+ A (tínhMergegiao and hoán Split); Unregistered Version - ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n; v) (A + B)> = A> + B>; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 16 / 84
1. Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n(K),B ∈ Mn×p(K). Khi đó, tích của A Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(K) được xác định bởi: (AB)ij = Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj   b11 b 1j . . . b1n   a11 a12 . . . a1n        b21 b 2j . . . b2n       ai1 ai2 a in              an1 an2 . . . ann   b b . . . b n1 nj nn Như vậy, để tính AB thì: • Số cột của A bằng số dòng của B; • Phần tử thứ i, j của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 17 / 84
1. Ma trận  1 3  1 2 −1 2 −1 Ví dụ. Với A = , B = 2 1 , C = , Simpo PDF3 Merge 1 2 and Split Unregistered Version1 - 0 3 −1 ta có:  1 3  1 2 −1 2 6 AB = 2 1 = ; 3 1 2   11 8 3 −1  1 3   10 5 5  1 2 −1 BA = 2 1 = 5 5 0 ;   3 1 2   3 −1 0 5 −5  1 3   5 −1  2 −1 BC = 2 1 = 5 −2 ;   1 0   3 −1 5 −3 nhưng AC và CB không xác định. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 18 / 84
1. Ma trận Tính chất. Với A ∈ Mm×n(K), B, B1,B2 ∈ Mn×p(K),C ∈ Mp×q(K), D1,D2 ∈SimpoMq×n( PDFK), ta Merge có and Split Unregistered Version - i) ImA = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn(K), ta có InA = AIn = A. ii) 0p×mA = 0p×n và A0n×q = 0m×q. Đặc biệt, với A ∈ Mn(K), ta có 0n×nA = A0n×n = 0n×n. iii) (AB)> = B>A>. iv) (AB)C = A(BC). v) A(B1 + B2) = AB1 + AB2 (D1 + D2)A = D1A + D2A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 19 / 84
1. Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn(K). Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận Simpo PDF Mergek and Split Unregistered Version - thuộc Mn(K), ký hiệu A , được xác định như sau: 0 1 2 k k−1 A = In; A = A; A = AA; ; A = A A. Như vậy Ak = A A . | {z } k lần 1 3 Ví dụ. Cho A = . Tính A2,A3, từ đó suy ra A200. 0 1 Giải. 1 3 1 3 16 A2 = AA = = . 0 1 0 1 0 1 1 6 1 3 19 A3 = A2A = = . 0 1 0 1 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 20 / 84
1. Ma trận 1 200 × 3 Suy ra A200 = . 0 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 1 Ví dụ. Cho A = . Tính A100. 0 1  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  0 1 1 . Tính An với n > 1. 0 0 1 Tính chất. Cho A ∈ Mn(K) và k, l ∈ N. Khi đó: i) Ik = I; ii) Ak+l = AkAl; iii) Akl = (Ak)l Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 21 / 84
1. Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn(K) và m m−1 Simpof( xPDF) = αMergemx + andαm− 1Splitx Unregistered+ + α1x + Versionα0 - là một đa thức bậc m trên K (αi ∈ K). Khi đó ta định nghĩa m m−1 f(A) = αmA + αm−1A + + α1A + α0In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A. −2 3 Ví dụ. Cho A = và f(x) = 3x2 − 2x + 2. Tính f(A). 1 −1 7 −9 Giải. Ta có A2 = , f(A) = 3A2 − 2A + 2I . −3 4 2 Suy ra 7 −9 −2 3 1 0 27 −33 f(A) = 3 −2 +2 = −3 4 1 −1 0 1 −11 16 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 22 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang 2.3 Hạng của ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 23 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(K). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là một trong ba loại biến đổi sau: Loại 1. Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j). Ký hiệu : di ↔ dj Loại 2. Nhân dòng i cho một số α 6= 0. Ký hiệu: di := αdi Loại 3. Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i). Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) chỉ ma trận có từ A qua ϕ. 1 −2 d ↔d 2 3 d :=2d 2 3 Ví dụ. −−−−→1 2 −−−−−→2 2 . 2 3 1 −2 2 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 24 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  1 −2 3 2  A =  3 6 −1 −3  2 1 3 4  2 1 3 4  d1↔d3 −−−−→  3 6 −1 −3  1 −2 3 2  2 1 3 4  d2:=2d2 −−−−−→  6 12 −2 −6  1 −2 3 2  4 −3 9 8  d1:=d1+2d3 −−−−−−−−→  6 12 −2 −6  . 1 −2 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 25 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nhận xét. d ↔d d ↔d 1) A −−−−→i j A0 ⇒ A0 −−−−→i j A; 1 d :=αd di:= di 2) A −−−−−→i i A0 ⇒ A0 −−−−−→α A; d :=d +βd d :=d −βd 3) A −−−−−−−−→i i j A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→i i j A. Định nghĩa. Cho A, B ∈ Mm×n(K). Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó. Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk sao cho ϕ1 ϕ2 ϕk A −→ A1 −→ −→ Ak = B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 26 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương trên MmSimpo×n(K), PDF nghĩa Merge là ∀A, B,and C ∈SplitMm Unregistered×n(K), ta có: Version - i) A ∼ A (tính phản xạ). ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng). iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu).  1 2 −2 3   2 3 −2 1  Ví dụ. A =  1 2 5 1  ∼  5 8 1 3  = B. 2 3 −2 1 3 6 −6 9 Vì B có được từ A qua lần lượt các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3, d2 := d2 + 2d1, d3 := 3d3. Hỏi. Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 27 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho A ∈ Mm×n(K). Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.  0 −1 21  Ví dụ. Cho ma trận  31 −2 3 . Khi đó: 0 0 0 0 Dòng 1 có phần tử cơ sở là −1, dòng 2 có phần tử cơ sở là 3, dòng 3 không có phần tử cơ sở. Định nghĩa. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa 2 tính chất sau: • Dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng; • Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của dòng trên. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 28 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng   0 Simpo0 a 1PDFk1 . .Merge . . . . and a1k2 Split. . . Unregistered . . . a1kr . . . Version a1n -  0 0 0 0 a2k . . . . . . a2k . . . a2n   2 r   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .     0 0 0 0 0 0 ark . . . arn   r   0 0 0 0 0 0 0 0     . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0  12542   2321   0 0317   0 042  Ví dụ. A =   ; B =   .  0 0 014   0103  0 0 0 0 0 0 0 0 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 29 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút ngọn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút ngọn nếu thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang. • Các phần tử cơ sở đều bằng 1. • Trên các cột có chứa phần tử cơ sở, tất cả các hệ số khác đều bằng 0.  1000 4   13027   0100 −7   01000  Ví dụ. C =   ; D =   .  0 011 2   0 0100  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn. D không là ma trận bậc thang rút gọn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 30 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng của ma trận Dạng bậc thang Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang B thì B được gọi là một dạng bậc thang của A. Ví dụ. Cho  1 2 3 −2   1 2 3 −2  A =  −2 −5 1 −4  ,B =  0 −1 7 −8  . 3 6 9 −6 0 0 0 0 Khi đó B là một dạng bậc thang của A vì B có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1. Hỏi. Dạng bậc thang của một ma trận có duy nhất không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 31 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng của ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nhận xét. Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên các dạng bậc thang của A đều có chung số dòng khác 0. Ta gọi số dòng khác 0 của một dạng bậc thang của A là hạng của A, ký hiệu r(A). Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mm×n(K). Khi đó: i) 0 ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = 0 ⇔ A = 0; iii) r(A>) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 32 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa. Nếu A tương đương dòng với một ma trận bậc thang rút gọn B thìSimpoB được PDF gọi Merge là dạng and bậc Split thang Unregistered rút gọn của VersionA. - Nhận xét. Dạng bậc thang rút gọn của một ma trận A là duy nhất và ký hiệu RA.  1 2 3 −2  Ví dụ. Cho A =  −2 −5 1 −4 . Khi đó 3 6 9 −6  1 0 17 −18  RA =  0 1 −7 8  . 0 0 0 0 RA có được từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1, d3 = d3 − 3d1, d2 := −1d2, d1 := d1 − 2d2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 33 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss Tìm một dạng bậc thang của A = (a) ∈ M ( ) Simpo PDF Merge andij Splitm× nUnregisteredK Version - Bước 1: i := 1, j := 1. Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc. Bước 3: Nếu aij = 0 thì sang Bước 4. Nếu aij 6= 0 thì thực hiện các phép BĐSCTD sau: akj dk := dk − di với k > i. aij Sau đó i := i + 1, j := j + 1 và quay về Bước 2. Bước 4: Nếu akj = 0 với mọi k > i thì j := j + 1 và quay về Bước 2. Nếu akj 6= 0 với một k > i nào đó thì chọn một k như vậy và thực hiện phép BĐSCTD: di ↔ dk và quay về Bước 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 34 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm một ma trận dạng bậc thang R của ma trận Simpo PDF Merge 1 and 7 Split 1 Unregistered 3 0  Version -  1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Từ đó xác định hạng của A. Giải.  17130  d2:=d2−d1 d3:=d3−2d1  00 −2 −5 −2  A −−−−−−−−→   d4:=d4−6d1  00010  00 −3 −5 −3  1 7130  d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 35 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Simpo PDF Merge and1 Split 7130 Unregistered Version - d :=d − 3 d 4 4 2 2  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→    0 0010  5 0 00 2 0  1 7 130  d :=d − 5 d 4 4 2 3  0 0 −2 −5 −2  −−−−−−−−→   = R.  0 0 010  0 0 000 Ta có A ∼ R và R có dạng bậc thang với 3 dòng khác 0 nên A có hạng là r(A) = 3. Lưu ý. Trong quá trình đưa ma trận về dạng bậc thang, ta có thể dùng các phép BĐSCTD phù hợp để tránh việc tính toán các số lẻ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 36 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm hạngSimpo của ma PDF trận Merge sau: and Split Unregistered Version -  1 2 3 3  A =  2 4 6 9  2 6 7 6  2 3 1 4  B =  3 4 2 9  −2 0 −1 −3  1 1 −1 2 1   2 3 −1 4 5  C =    3 2 −3 7 4  −1 1 2 −3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 37 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ. Tìm tất cả giá trị m để r(A) = 3 với  1 1 1 2  A =  2 3 4 1  3 2 m m + 1 Ví dụ. Tìm tất cả giá trị m để r(B) = 2 với  1 m m  B =  m 1 m  m m 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 38 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss-Jordan Tìm một dạng bậc thang rút gọn của A = (a) ∈ M ( ) Simpo PDF Merge and Splitij Unregisteredm×n K Version - Chỉ khác Thuật toán Gauss ở Bước 3, ta cần thực hiện các phép biến đổi sau: akj dk := dk − di với k 6= i; aij 1 di := di. aij Ví dụ. Tìm ma trận dạng bậc thang rút gọn của ma trận  1 7 1 3 0   1 7 −1 −2 −2  A =   .  2 14 2 7 0  6 42 3 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 39 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  1 7 1 3 0   17130  d2:=d2−d1  1 7 −1 −2 −2  d3:=d3−2d1  00 −2 −5 −2    −−−−−−−−→    2 14 2 7 0  d4:=d4−6d1  00010  6 42 3 13 −3 00 −3 −5 −3 1 d :=d + 1 d   1 1 2 2 1 70 2 −1 d :=d − 3 d 5 4 4 2 2  0 01 1  −−−−−−−−→  2  1 d2:=− d2  0 001 0  2 5 0 00 2 0 1   d1:=d1− 2 d3 1 7 00 −1 d :=d − 5 d 2 2 2 3  0 0 101  −−−−−−−−→   = RA. 5 0 0 010 d4:=d4− 2 d3   0 0 000 Ta thấy RA là ma trận dạng bậc thang rút gọn của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 40 / 84
2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ. Tìm dạng ma trận bậc thang rút gọn của các ma trận sau: Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  4 3 2 2  a)  0 2 1 1  ; 0 0 3 3  1 2 3 6  b)  2 3 1 6  ; 3 1 2 6  1 −1 5 −1   1 1 −2 3  c)  ;  3 −1 8 1  1 3 −9 7  1 3 −2 −1   2 5 −2 1  d)   .  1 1 6 13  −2 −6 8 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 41 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3. Hệ phương trình tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3.1 Định nghĩa 3.2 Nghiệm hệ của phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker - Capelli Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 42 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Mở đầu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 1;   x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1; 4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5 = 1;   2x1 − 14x2 + 7x3 − 7x4 + 11x5 = −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 43 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trên K gồm m phương trình, n ẩn số là một hệ có dạng  a x + a x + ··· + a x = b ;  11 1 12 2 1n n 1  a x + a x + ··· + a x = b ; 21 1 22 2 2n n 2 (∗)   am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm, trong đó • aij ∈ K: các hệ số; • bi ∈ K: các hệ số tự do; • x1, x2, . . . , xn: các ẩn số nhận giá trị trong K. Nếu (*) có các hệ số tự do =0 thì ta nói (*) là hệ phương trình thuần nhất trên K. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 44 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Đặt  Simpo PDF Merge and Split Unregistered  Version - a11 a12 . . . a1n x1 b1 a a . . . a  x2   b2  A =  21 22 2n  ,X =   ,B =   .    .   .     .   .  am1 am2 . . . amn xn bm Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự do của hệ (∗). Khi đó hệ (∗) được viết dưới dạng AX = B. Đặt   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2  A˜=( A|B) =     am1 am2 . . . amn bm A˜ được gọi là ma trận mở rộng (hay ma trận bổ sung) của hệ (∗). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 45 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Ta nói u = (α1, α2, . . . , αn) là nghiệm của hệ phương trình (∗) nếu ta thay thế x1 := α1, x2 := α2, . . . xn := αn thì tất cả các phương trình trong (∗) đều thỏa. Định nghĩa. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nhận xét. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho nhau. • Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0. • Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 46 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Định lý. Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đươngSimpo dòng PDF với Merge nhau thì and hai Split hệ phương Unregistered trình đó tươngVersion đương - nhau. Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4.  1 −1 −2 −3   1 −1 −2 −3  d2:=d2−2d1 Giải. A˜ =  2 −1 1 1  −−−−−−−−→  0 1 5 7  1 1 1 4 d3:=d3−d1 0 2 3 7     1 0 3 4 −1 1 0 0 1 d1:=d1+d2 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 0 2  d3:=d3−2d2 d1:=d1−3d3 0 0 −7 −7 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 47 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính  1 0 0 1  Ta có A˜ ∼  0 1 0 2  . Suy ra Simpo0 PDF 0 1 Merge1 and Split Unregistered Version -   x + 0y + 0z = 1; (1) ⇔ 0x + y + 0z = 2;  0x + 0y + z = 1.   x = 1; ⇔ y = 2;  z = 1. Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 48 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có   Simpo PDF Merge and1 1Split− 2Unregistered4 Version - A˜ =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 A˜ −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Như vậy, x − 9z = 9 (2) ⇔ y + 7z = −5 Như vậy nghiệm của (2) là   x = 9 + 9t; y = −5 − 7t;  z = t. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 49 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ. Giải hệ phương trình Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có  1 1 −2 4  A˜ =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 A˜ −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ (3) vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Tiếp tục Gauss-Jordan Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 50 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = 0;   a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = 0;   am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = 0, luôn có một nghiệm u = (0, 0, , 0). Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Định lý. Số nghiệm của phương trình tuyến tính chỉ có 3 trường hợp sau: • Vô nghiệm; • Duy nhất một nghiệm; • Vô số nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 51 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Có 2 phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước 1. Lập ma trận mở rộng A˜ = (A|B). Bước 2. Đưa ma trận A˜ về dạng bậc thang R. Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R ma ta kết luận nghiệm như sau: - Trường hợp 1. Xuất hiện một dòng (0 0 0 0 0 0|= 6 0). Kết luận hệ phương trình vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 52 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp 2. Ma trận R có dạng  c c . . . c α  Simpo PDF Merge11 and12 Split 1Unregisteredn 1 Version -  0 c22 . . . c2n α2         0 0 c nn αn  .    0 0 0 0      0 0 0 0 Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Việc tính nghiệm được thực hiện từ dưới lên trên. - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên. Khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý). • Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở sẽ được tính từ dưới lên trên và theo các ẩn tự do. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 53 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7;   x2 + 2x1 + 2x3 + 3x4 = 6; 3x1 + 2x2 + 2x4 + x3 = 7;   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18, Giải. Ta có   1 2 3 4 7  2 1 2 3 6  A˜ = (A|B) =    3 2 1 2 7  4 3 2 1 18   1 2 3 4 7 d2:=d2−2d1 d3:=d3−3d1  0 −3 −4 −5 −8  −−−−−−−−→   d4:=d4−4d1  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 −10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 54 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   Simpo PDF Merge and1 Split 2 Unregistered 3 4 Version7 - d2:=d2−2d1 d3:=d3−3d1  0 −3 −4 −5 −8  −−−−−−−−→   d4:=d4−4d1  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 −10   1 2 3 4 7 d2:=d2−d3  0 1 4 5 6  −−−−−−−→    0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 −10   1 2 3 4 7 d3:=d3+4d2  0 1 4 5 6  −−−−−−−−→   d4:=d4+5d2  0 0 8 10 10  0 0 10 10 20 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 55 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính     1Simpo 2 3 PDF 4 Merge7 and Split Unregistered1 2 3 Version 4 7 -  0 1 4 5 6  d3↔d4  0 1 4 5 6    −−−−−−−→    0 0 8 10 10  d := 1 d  0 0 1 1 2  3 10 3 0 0 10 10 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7 d4:=d4−8d3  0 1 4 5 6  −−−−−−−−→    0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:  x + 2x + 3x + 4x = 7;  x = 2;  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6;  x = 1; 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2; x3 = 5;    2x4 = −6  x4 = −3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 56 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1;   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1; 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5;   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4, Giải. Ta có   1 2 −3 5 1  1 3 −13 22 −1  A˜ = (A|B) =    3 5 1 −2 5  2 3 4 −7 4   1 2 −3 5 1 d2:=d2−d1 d3:=d3−3d1  0 1 −10 17 −2  −−−−−−−−→   d4:=d4−2d1  0 −1 10 −17 2  0 −1 10 −17 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 57 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 2 −3 5 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  0 1 −10 17 −2     0 −1 10 −17 2  0 −1 10 −17 2   1 2 −3 5 1 d3:=d3+d2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−−→   . d4:=d4+d2  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2. Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α − 17β; x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17α + 29β. Lê VănVậy Luyện hệ (ĐHKHTN đã cho HCM) có vô sốMa nghiệm trận và Hệ với PT tuyến hai tínhẩn tự do 06/04/2010 58 / 84 (x1, x2, x3, x4) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ K tùy ý.
3. Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  x1Simpo− 2 xPDF2 + Merge 3x3 −and 4Splitx4 =Unregistered 2; Version -   3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = −3; −2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 5;   3x1 + 3x3 − 10x4 = 8. Giải. Ta có   1 −2 3 −4 2  3 3 −5 1 −3  A˜ = (A|B) =    −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8   1 −2 3 −4 2 d2:=d2−3d1 d3:=d3+2d1  0 9 −14 13 −9  −−−−−−−−→   d4:=d4−3d1  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 59 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 −2 3 −4 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  0 9 −14 13 −9     0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2   1 −2 3 −4 2 d2↔d3  0 −3 8 −11 9  −−−−−−−→    0 9 −14 13 −9  0 6 −6 2 2   1 −2 3 −4 2 d3:=d3+3d2  0 −3 8 −11 9  −−−−−−−−→   d4:=d4+2d2  0 0 10 −20 18  0 0 10 −20 20   1 −2 3 −4 2 d4: =d4−d3  0 −3 8 −11 9  −−−−−−−→   .  0 0 10 −20 18  0 0 0 0 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 60 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 −2 3 −4 2 Simpo PDF Merge0 − and3 8Split−11 Unregistered 9  Version -    0 0 10 −20 18  0 0 0 0 2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau:  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2;   − 3x2 + 8x3 − 11x4 = 9; 10x3 − 20x4 = 18;   0 = 2. Hệ này vô nghiệm. Do đó hệ đã cho cũng vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 61 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan BướcSimpo 1. Lập PDF ma trận Merge mở rộngand SplitA˜ = (UnregisteredA|B). Version - Bước 2. Đưa ma trận A˜ về dạng bậc thang rút gọn RA. Bước 3. Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm như sau: - Trường hợp 1. Xuất hiện một dòng (0 0 0 0 0 0|= 6 0). Kết luận hệ phương trình vô nghiệm. - Trường hợp 2. Ma trận RA có dạng   10 0 α1  01 0 α2         0 0 1 αn  .    0 0 0 0      0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 62 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là Simpo PDFx 1Merge= α1, and x2 = Splitα2, . .Unregistered . , xn = αn. Version - - Trường hợp 3. Khác 2 trường hợp trên. Khi đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử cơ sở 1 sẽ là ẩn tự do (lấy giá trị tùy ý). • Ẩn tương ứng với cột có phần tử cơ sở 1 sẽ được tính theo các ẩn tự do. Số ẩn tự do được gọi là bậc tự do của hệ phương trình. Xem lại ví dụ đầu tiên Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 63 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Nếu A˜ = (A|B) là ma trận mở rông của hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(A˜) = r(A) hoặc r(A˜) = r(A) + 1. Hơn nữa, • nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm; • nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất; • r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là n − r(A). Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m  3x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4 = 1;   2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0; 5x1 + 9x2 + 6x3 − 15x4 = 2;   13x1 + 22x2 + 13x3 − 22x4 = 2m, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 64 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   3 5 3 −4 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  2 3 1 1 0  A˜ = (A|B) =    5 9 6 −15 2  13 22 13 −22 2m   1 2 2 −5 1 d1:=d1−d2  2 3 1 1 0  −−−−−−−→    5 9 6 −15 2  13 22 13 −22 2m   1 2 2 −5 1 d2:=d2−2d1 d3: =d3−5d1  0 −1 −3 11 −2  −−−−−−−−−→   d4: =d4−13d1  0 −1 −4 10 −3  0 −4 −13 43 2m − 13   1 2 2 −5 1 d3:=d3−d2  0 −1 −3 11 −2  −−−−−−−−→   d4: =d4−4d2  0 0 −1 −1 −1  0 0 −1 −1 2m − 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 65 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 2 2 −5 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - d3:=d3−d2  0 −1 −3 11 −2  −−−−−−−−→   d4: =d4−4d2  0 0 −1 −1 −1  0 0 −1 −1 2m − 5   1 2 2 −5 1 d4:=d4−d3  0 −1 −3 11 −2  −−−−−−−→    0 0 −1 −1 −1  0 0 0 0 2m − 4 Biện luận: 1) 2m − 4 6= 0 ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ (1) vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. 2) m = 2: Hệ (1) tương đương với hệ sau:   x1 + 2x2 + 2x3 − 5x4 = 1; − x2 − 3x3 + 11x4 = −2;  − x3 − x4 = −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 66 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính Chọn x4 = α ta tính được  Simpo x3 = PDF 1 − x Merge4 = 1 − andα; Split Unregistered Version - x2 = 2 − 3x3 + 11x4 = −1 + 14α;  x1 = 1 − 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1 − 21α. Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do (x1, x2, x3, x4) = (1 − 21α, −1 + 14α, 1 − α, α) với α ∈ K tùy ý. Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2;  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m;  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 67 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 1 −1 2 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  1 2 −3 4 2  A˜ = (A|B) =    1 −1 4 −1 m  4 3 −1 m m2 − 6m + 4   1 1 −1 2 1 d2:=d2−d1 d3: =d3−d1  0 1 −2 2 1  −−−−−−−−→   d4: =d4−4d1  0 −2 5 −3 m − 1  0 −1 3 m − 8 m2 − 6m   1 1 −1 2 1 d3:=d3+2d2  0 1 −2 2 1  −−−−−−−−→   d4: =d4+d2  0 0 1 1 m + 1  0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1   1 1 −1 2 1 d4:=d4−d3  0 1 −2 2 1  −−−−−−−→   .  0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 68 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính   1 1 −1 2 1 Simpo PDF 0Merge 1 − 2and Split 2 Unregistered1  Version -    0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m Biện luận: 1) m − 7 6= 0 ⇔ m 6= 7: Khi đó hệ (1) cho ta  x4 = m;   x3 = m + 1 − x4 = 1; x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m;   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1. Suy ra khi m 6= 7 hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là (x1, x2, x3, x4) = (−1, 3 − 2m, 1, m). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 69 / 84
3. Hệ phương trình tuyến tính 2) m = 7: Hệ (1) tương đương với hệ sau: Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1; (2)  x3 + x4 = 8. Chọn x4 = α ta tính được   x3 = 8 − x4 = 8 − α; x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4α;  x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + α. Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do (x1, x2, x3, x4) = (−8 + α, 17 − 4α, 8 − α , α) với α ∈ K tùy ý. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 70 / 84
4. Ma trận khả nghịch 4. Ma trận khả nghịch Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4.1 Định nghĩa 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 71 / 84
4. Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Mở đầu Xét trên tập số thực K. Cho x ∈ K, hỏi tồn tại hay không y sao cho xy = 1. Hỏi. Trên tập hợp ma trận thì sao? Định nghĩa. Cho A ∈ Mn(K). Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In. Nếu B thỏa diều kiện trên được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Nhận xét. Ma trận nghịch dảo của một ma trận khả nghịch là duy nhất. Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A−1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 72 / 84
4. Ma trận khả nghịch 3 5 2 −5 Ví dụ. SimpoCho PDFA = Merge and. Khi Split đó UnregisteredA−1 = Version. - 1 2 −1 3 Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(K). Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1. Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1)−1 = A. ii) A> khả nghịch và (A>)−1 = (A−1)>. 1 iii) ∀α ∈ \{0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = A−1. K α Mệnh đề. Cho A, B ∈ Mn(K). Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, hơn nữa (AB)−1 = B−1A−1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 73 / 84
4. Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Cho A ∈ Mn(K). Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch. ii) r(A) = n. iii) A ∼ In. iv) Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In: ϕ1 ϕk A −→ A1 −→ . −→ Ak = In. Hơn nữa, khi đó qua chính các phép BĐSCTD ϕ1, . . . , ϕk, ma −1 trận đơn vị In sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A : ϕ1 ϕk −1 In −→ B1 −→ −→ Bk = A . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 74 / 84
4. Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|ISimpon) và dùng PDF các Merge phép and BĐSCTD Split Unregistered biến A về dạng Version ma trận - bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ (A1| B1) −→ −→ (Ap| Bp) −→ Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi đó A không khả nghịch. • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai trong dãy biến đổi trên đều không có dòng hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên −1 có dạng (In|B). Ta có A khả nghịch và A = B. Lưu ý. Nếu bài toán chỉ yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, ta chỉ cần tính hạng của ma trận (dùng Gauss). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 75 / 84
4. Ma trận khả nghịch Ví dụ. Xét tính khả nghịch của A và tìm A−1 (nếu có) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  1 2 3 4   2 5 4 7  A =    3 7 8 12  4 8 14 19 Giải.  1 2 3 4 1 0 0 0   2 5 4 7 0 1 0 0  (A|I4) =    3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1  1 2 3 4 1 0 0 0  d2:=d2−2d1 d3:=d3−3d1  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  −−−−−−−−→   d4:=d4−4d1  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 76 / 84
4. Ma trận khả nghịch  1 2 3 4 1 0 0 0  Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  0 1 −2 −1 −2 1 0 0     0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1  1 0 7 6 5 −2 0 0  d1: =d1−2d2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  −−−−−−−→   d3: =d3−d2  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1  1 0 0 −1 12 5 −7 0  d1:=d1−7d3 d2:=d2+2d3  0 1 0 1 −4 −1 2 0  −−−−−−−→   d4:=d4−2d3  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1  1 0 0 0 10 7 −9 1  d1:=d1+d4 d2:=d2−d4  0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1 −−−−−−−→   = (I4|A ). d3:=d3−d4  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 77 / 84
4. Ma trận khả nghịch Như vậy, A khả nghịch và   Simpo PDF Merge and10 Split 7 −Unregistered9 1 Version - −1  −2 −3 4 −1  A =   .  1 −3 3 −1  −2 2 −2 1 Ví dụ. Xét tính khả nghịch của A và tìm A−1 (nếu có)  1 2 3 4   2 1 1 0  A =    3 0 2 1  4 −1 0 −3 Giải.   1 2 3 4 1 0 0 0  2 1 1 0 0 1 0 0  (A|I4) =    3 0 2 1 0 0 1 0  4 −1 0 −3 0 0 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 78 / 84
4. Ma trận khả nghịch Simpo PDF Merge 1 and 2 Split 3 Unregistered 4 1 0 0Version 0  - d2:=d2−2d1 d3: =d3−3d1  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0  −−−−−−−→   d4:=d4−4d1  0 −6 −7 −11 −3 0 1 0  0 −9 −12 −19 −4 0 0 1  1 2 3 4 1 0 0 0  d3:=d3−2d2  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0  −−−−−−−→   d4:=d4−3d2  0 0 3 5 1 −2 1 0  0 0 3 5 2 −3 0 1  1 2 3 4 1 0 0 0  d4: =d4−d3  0 −3 −5 −8 −2 1 0 0  −−−−−−−→    0 0 3 5 1 −2 1 0  0000 1 −1 −1 1 Ta có r(A) < 4. Suy ra A không khả nghịch. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 79 / 84
5. Phương trình ma trận 5. Phương trình ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 0 Định lý. Cho các ma trận A, A ∈ Mn(K) khả nghịch và B ∈ Mn×p(K), C ∈ Mm×n(K), D ∈ Mn(K). Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1; iii) AXA0 = D ⇔ X = A−1DA0−1. 3 1 −2 3 Ví dụ. Giải phương trình X = . 5 2 2 5 Giải. Phương trình có dạng AX = B. Ta có A khả nghịch, nên 2 −1 −2 3 −6 1 X = A−1B = = . −5 3 2 5 16 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 80 / 84
5. Phương trình ma trận 3 1 −2 3 Ví dụ. Giải phương trình X = . Simpo PDF Merge and5 Split 2 Unregistered2 5 Version - Giải. Phương trình có dạng XA = B. Ta có A khả nghịch, nên −2 3 2 −1 −19 11 X = BA−1 = = . 2 5 −5 3 −21 13 Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa  1 1 1   1 −2  3 2 1 2 2 X = 3 1 .   4 3   1 2 3 2 −1 Giải. Phương trình có dạng AXB = C. Ta có A, B khả nghịch, nên X = A−1CB−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 81 / 84
5. Phương trình ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  2 −1 0   1 −2  3 −2 X = A−1CB−1 = −1 2 −1 3 1     −4 3 0 −1 1 2 −1.  −1 −5  3 −2 = 3 5   −4 3 −1 −2  17 −13  =  −11 9  . 5 −4 1 2 −1 1 −2 Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa X = . −2 −3 1 −1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 82 / 84
5. Phương trình ma trận   x1 x2 Giải. Đặt X =  x3 x4  . Ta có Simpo PDFx5 Mergex6 and Split Unregistered Version - 1 2 −1 x + 2x − x x + 2x − x X = 1 3 5 2 4 6 . −2 −3 1 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x + 2x − x = 1;  1 3 5  x + 2x − x = −2; Suy ra hệ phương trình 2 4 6 −2x1 − 3x3 + x5 = −1   −2x2 − 3x4 + x6 = 1.  1 0 2 0 −1 0 1   0 1 0 2 0 −1 −2  A˜ =    −2 0 −3 0 1 0 −1  0 −2 0 −3 0 1 1  1 0 0 0 1 0 −1   0 1 0 0 0 1 4  ∼    0 0 1 0 −1 0 1  0 0 0 1 0 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 83 / 84
5. Phương trình ma trận  1 0 0 0 1 0 −1  Simpo PDF Merge0 1 0and 0 Split 0 Unregistered 1 4  Version -    0 0 1 0 −1 0 1  0 0 0 1 0 −1 −3 Suy ra  x1 = −1 − t;   x2 = 4 − s;   x3 = 1 + t; t, s ∈ K x4 = −3 + s;   x = t;  5  x6 = s.  −1 − t 4 − s  Vậy X =  1 + t −3 + s  với t, s tự do. t s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 84 / 84
Bài giảng môn học Đại số A1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 2: ĐỊNH THỨC Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 1 / 29
Nội dung Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 2. ĐỊNH THỨC 1. Định nghĩa và các tính chất 2. Định thức và ma trận khả nghịch 3. Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 2 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất 1. Định nghĩa và các tính chất Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc Sarrus 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 3 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(K). Định thức của A, được ký hiệu là detSimpoA hay PDF|A|, Merge là một sốand thực Split được Unregistered xác định bằng Version quy nạp - theo n như sau: • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a. a b • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann dòng 1 1+n |A| === a11A(1|1) − a12A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n). trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 4 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất 4 −2 Ví dụ. SimpoCho A =PDF Merge and. Khi Split đó | AUnregistered| = 4.5 − (−2) Version.3 = 26. - 3 5 Ví dụ. Tính định thức của ma trận  1 2 −3  A =  2 3 0  3 2 4 Giải. 1+1 3 0 1+2 2 0 1+3 2 3 |A| = 1(−1) + 2(−1) + (−3)(−1) 2 4 3 4 3 2 = 12 − 16 + 15 = 11. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 5 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo địnhSimpo nghĩa PDF định Merge thức, khi andn =Split 3, ta Unregistered có Version -   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Từ đây ta suy ra công thứccột1 Sarruscột2 dựacột3 vàocột1 sơcột2 đồ sau: ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 6 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  Simpo PDF Merge11b and12 b ·Split···13 b ·Unregistered··11· ··12·· Version - a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ. 1 2 3 4 2 1 = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31. 3 1 5 s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 7 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(K). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 8 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(K). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số củaSimpo hệ số PDFaij. TaMerge có and Split Unregistered Version - n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lưu ý. Trong việc tính toán tính định thức ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 9 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(K). Khi đó: i) Simpo|A>| = PDF|A|. Merge and Split Unregistered Version - ii) Nếu ma trận vuông A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(K) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 10 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(K). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 11 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12Simpo 4 PDF Merge 5 and−12 Split 4 Unregistered Version - 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 12 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2Simpo 3 −4 PDF 5 Merge and0 19Split− Unregistered16 7 Version - d2:=d2−d1 3 −5 2 4d4:=d4+2d11 −8 6 −1 === 5 4 3 −2d1:=d1−2d20 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 ===1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 13 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 14 / 29
1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  Simpo1 1 PDF 2 − 1Merge and Split3 Unregistered 2 −1 1  Version -  2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 15 / 29
2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(K). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2  −6 10 11   −6 10 7  Khi đó C =  10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 11 1 −8 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 16 / 29
2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, nếu A khả nghịch thì 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 17 / 29
2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 18 / 29
2. Định thức và ma trận khả nghịch a b Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi Simpo PDF Mergec and d Split Unregistered Version - ad − bc 6= 0. Khi đó 1 d −b A−1 = . ad − bc −c a 2 4 1 5 −4 Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 19 / 29
2. Định thức và ma trận khả nghịch Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch Simpo PDF1 1 Merge 2 1and Split Unregistered Version -  2 1 5 3  A =   .  5 0 7 m  −1 2 3 −3  1 2 1   1 1 1  B =  2 3 m   2 3 2  . 3 2 −1 5 7 5  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1|; |5A−1|; |adj(A)|. 3 3 5 −1 Ví dụ. Cho A, B ∈ M3(K) và |A| = 3, |B| = −2. Tính |(4AB) | và |adj(AB)|. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 20 / 29
3. Quy tắc Cramer 3. Quy tắc Cramer Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆j = det(Aj), j ∈ 1, n, trong đó Aj là ma trận có từ A bằng cách thay cột j bằng cột B. Khi đó: i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là: ∆ x = j , j ∈ 1, n. j ∆ ii) Nếu ∆ = 0 và ∆j 6= 0 với một j nào đó thì (1) vô nghiệm. iii) Nếu ∆ = 0 và ∆j = 0∀j ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 21 / 29
3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 22 / 29
3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = −45; 5 7 4 57 4 Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 23 / 29
3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 24 / 29
3. Quy tắc Cramer Biện luận hệ phương trình bằng Cramer Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ. Giải và biện luận phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 0; −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;  mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2. Giải. Ta có 1 2 2 ∆ = |A| = −2 m − 2 m − 5 = m2 − 4m + 3 = (m − 1)(m − 3); m 1 m + 1 022 ∆1 = |A1| = 2 m − 2 m − 5 = −4m + 12; −21 m + 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 25 / 29
3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; Simpo PDF m Merge−2 m and+ 1 Split Unregistered Version - 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận: m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3 −4 2 (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1 m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 26 / 29
3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là: Simpo PDF Merge 1and 2 Split 2 Unregistered0  Version -  −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ K:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 27 / 29
3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) Simpo 0 PDF 24Mergem − and13 Split Unregistered Version - m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 28 / 29
3. Quy tắc Cramer m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Hệ vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Định thức 25/04/2010 29 / 29
Bài giảng môn học Đại số A1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 1 / 85
Nội dung Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Không gian vectơ 2. Tổ hợp tuyến tính 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 4. Không gian vectơ con 5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 6. Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 2 / 85
1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho V là một tập hợp với phép toán +. V được gọi là không gian vectơ trên K nếu mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ K ta có 8 tính chất sau: (1) u+v = v+u; (2) (u+v)+w = u+(v+w); (3) tồn tại 0 ∈ V : u+0=0+ u = u; (4) tồn tại u0 ∈ V :u 0+u = u+u0 =0; (5) (αβ)u = α(βu); (6) (α + β)u = αu + βu; (7) α(u+v) = αu+αv; (8) 1.u = u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 3 / 85
1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗiSimpo phần PDF tử u ∈MergeV là một andvectơ Split. Unregistered Version - • mỗi số α ∈ K là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = K = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ K∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ K và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó K là không gian vectơ trên K. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u=( −a1, −a2, , −an). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 4 / 85
1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(K) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thựcSimpo thông PDF thường Merge là mộtand khôngSplit Unregistered gian vectơ trên VersionK. Trong - đó: . Vectơ không là ma trận không . Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp n K[x] = {p(x) = anx + + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ K, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong K là một không gian vectơ trên K với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp Kn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong K là một không gian vectơ trên K. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 5 / 85
1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ K | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Khi đó V là không gian vectơ trên K. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ K | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên K. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ K, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 6 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 2. Tổ hợp tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1.1 Tổ hợp tuyến tính 1.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 7 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um là một vectơ có dạng u = α1u1 + α2u2 + + αmum với αi ∈ K Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các vectơ u1, u2, . . . , um. Ví dụ. • Vectơ u = (4, 4, 2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), vì u = u1 + 2u2 − u3. • Vectơ 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um vì 0=0 u1 + 0u2 + + 0um. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 8 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Hỏi. Làm cách nào để biết u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um? Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um khi phương trình u = α1u1 + α2u2 + + αmum (∗) có nghiệm α1, α2, . . . αm ∈ K. n Xét trường hợp không gian K . Giả sử u = (b1, b2, . . . , bn) u1 = (u11, u21 . . . , un1); u2 = (u12, u22 . . . , un2); um = (u1m, u2m . . . , unm).  u α + u α + + u α = b ;  11 1 12 2 1m m 1  u α + u α + + u α = b ; Khi đó (∗) ⇔ 21 1 22 2 2m m 2 (∗∗)   un1α1 + un2α2 + + unmαm = bn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 9 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được   Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong K ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + + αmum Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 10 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1,Simpo2, 1), u2 PDF= (− 1Merge, −1, 1) and, u3 = Split (−2 ,Unregistered1, 1) hay không? Version -  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 11 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1,Simpo2, 5), u2 PDF= (1, Merge3, 7), u3 and= (− Split2, 3, 4)Unregisteredhay không? Version -  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 12 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1,Simpo2, 5), u2 PDF= (1, Merge3, 7), u3 and= (− Split2, 3, 4)Unregisteredhay không? Version -  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 13 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2,Simpo3, −1, 0) PDF; u3 = Merge (−1, − and1, 1, 1)Split. Tìm Unregistered điều kiện để Version vectơ - u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 14 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + + αmum =0 . (∗) • Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. • Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 15 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2,Simpo5, −1); uPDF3 = (1Merge, 1, −9) and. Hỏi Splitu1, u Unregistered2, u3 độc lập hay Version phụ thuộc - tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 16 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1,Simpo2, 0). Hỏi PDFu1, uMerge2, u3 độc and lập Split hay Unregistered phụ thuộc tuyến Version tính? - Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 17 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Nhận xét. Họ vectơ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơSimpoui PDFlà tổ hợpMerge tuyến and tính Split của Unregistered các vectơ còn lại.Version Thật - vậy, • Nếu u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính thì có α1, α2, , m P αm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho αjuj = 0. Giả sử j=1 αi 6= 0, khi đó 1 X ui = − αjuj. αi j6=i m P P • Nếu có ui sao cho ui = βjuj thì βjuj = 0, trong đó j6=i j=1 βi = −1 6= 0, điều này chứng tỏ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 18 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên K và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợpSimpo các vectơ PDF thuộc MergeV . and Khi đóSplit Unregistered Version - • Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. • Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong K . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 19 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các n vectơ trongSimpoK PDF Merge and Split Unregistered Version - Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức detA. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 20 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1,Simpo3, −13, 22PDF, −1); Mergeu3 = (3and, 5, Split1, −2 ,Unregistered5). Hãy xét xem Versionu1, u2, - u 3 lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5  1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2  1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 21 / 85
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u = (2m + 1, −m, m + 1); Simpo1 PDF Merge and Split Unregistered Version - u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 22 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3.1 Tập sinh 3.2 Cơ sở và số chiều Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 23 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của K không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ K , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x   1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 24 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm. Suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của K . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của K không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ K , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của K . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 25 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian K2[x], cho Simpo PDF2 Merge and Split2 Unregistered2 Version - S = {f1 = x + x + 1; f2 = 2x + 3x + 1; f3 = x + 2x + 1}. Hỏi S có là tập sinh của K2[x] không? 2 Giải. Với f = ax + bx + c ∈ K2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm. Vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của K2[x]. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 26 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của K . 3 Giải. B là tập sinh của K . (theo ví dụ trên) Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của K . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 27 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - S = {u1 = (1, 1, −2); u2 = (2, 3, 3); u3 = (5, 7, 4)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của K không? 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 1, 0); u3 = (1, 1, 0); u4 = (1, −4, 1)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của K không? Ví dụ. Trong không gian K2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = x + x + 1; f2 = 2x + x + 1; f3 = x + 2x + 2} Hỏi S có là cơ sở của R2[x] không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 28 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 3 Khi đó B là cơ sở của K . Do đó dimK = 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 29 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ n Ví dụ. Trong không gian K , xét B0 = {e1, e2, . . . , en}, trong đó Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, , 0, 1). n Với u = (x1, x2, . . . , xn) ∈ K . Ta có u = x1e1 + x2e2 + ··· + xnen. n Do đó B0 là tập sinh của K . Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên B0 là n n cơ sở của K . B0 được gọi là cơ sở chính tắc của K . Như vậy n dimK = n . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 30 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Không gian vectơ Mm×n(K) có cơ sở Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - B0 = {Eij | , i ∈ 1.m, j ∈ 1, n}, trong đó Eij là ma trận loại m × n chỉ có một hệ số khác 0 duy nhất là hệ số 1 ở dòng i cột j. Do đó Mm×n(K) hữu hạn chiều và dimMm×n(K) = mn. Ví dụ. Không gian Kn[x] gồm các đa thức theo x bậc không quá n với hệ số trong K, là không gian vectơ hữu hạn chiều trên K có n dimKn[x] = n + 1 với cơ sở B0 = {1, x, . . . , x }. Ví dụ. Không gian K[x] gồm tất các đa thức theo x với hệ số trong K, 2 là không gian vectơ vô hạn chiều trên K với cơ sở B0 = {1, x, x , }. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 31 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ quả. Cho V là không gian vectơ có dimV = n. Khi đó Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - i) Mọi tập con của V chứa nhiều hơn n vectơ thì phụ thuộc tuyến tính. ii) Mọi tập con của V chứa ít hơn n vectơ không sinh ra V . Bổ đề. Cho S là một tập con độc lập tuyến tính của V và u ∈ V là một vectơ sao cho u không là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó tập hợp S1 = S ∪ {u} độc lập tuyến tính. Định lý. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều với dimV = n. Khi đó i) Mọi tập con độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở của V . ii) Mọi tập sinh của V gồm n vectơ đều là cơ sở của V . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 32 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Nhận diện cơ sở của không gian V có dimV = n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vì dimV = n nên mọi cơ sở của V phải gồm n vectơ. Hơn nữa, nếu S ⊂ V và số phần tử của S bằng n thì S là cơ sở của V ⇔ S độc lập tuyến tính. ⇔ S là tập sinh của V. Ví dụ. Kiểm tra tập hợp nào sau đây là cơ sở của không gian vectơ 3 của K ? a) B1 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 3, 4)}. b) B2 = {u1 = (2, 1, 3), u2 = (2, 1, 4), u3 = (2, 3, 1), u4 = (3, 4, 5)}. c) B3 = {u1 = (1, −2, 1), u2 = (1, 3, 2), u3 = (−2, 1, −2)} d) B4 = {u1 = (2, −1, 0), u2 = (1, 2, 3), u3 = (5, 0, 3)} Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 33 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Giải. 3 a) b) B1,B2 không phải là cơ sở của K vì số vectơ không bằng 3. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c) B3 = {u1 = (1, −2, 1), u2 = (1, 3, 2), u3 = (−2, 1, −2)}     u1 1 −2 1 Lập A =  u2  =  1 3 2 . u3 −2 1 −2 Ta có detA = 3. Suy ra B3 độc lập tuyến tính. Mặt khác số vectơ 3 3 của B3 bằng 3 = dimK nên B3 là cơ sở của K d) B4 = {u1 = (2, −1, 0), u2 = (1, 2, 3), u3 = (5, 0, 3)}     u1 2 −1 0 Lập A =  u2  =  1 2 3 . u3 5 0 3 Ta có detA = 0. Suy ra B4 không độc lập tuyến tính. Vì vậy B4 3 không là cơ sở của K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 34 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian K2[x], cho Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 2 2 S = {f1 = x + x + 1; f2 = 2x + 3x + 1; f3 = x + 2x + 1}. Hỏi S có là cơ sở của K2[x] không? Giải. Vì dimR2[x] = 3 và số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của K2[x] khi S độc lập tuyến tính hoặc S là tập sinh. Cách 1. Kiểm tra S độc lập tuyến tính. Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = 0   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = 0  α1 + α2 + α3 = 0  1 2 1 0   1 2 1 0  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 0  →  0 1 1 0  1 1 1 0 0 0 1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 35 / 85
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm duy nhất α1 = α2 = α3 = 0. Vậy S độc lập tuyến tính. Suy ra S là cơ sở của K2[x]. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Cách 2. Kiểm tra S là tập sinh. Xem lại ví dụ 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho S = {u1 = (1, m − 2, −2), u2 = (m − 1, 3, 3), u3 = (m, m + 2, 2)}. 3 Tìm điều kiệm m để S là cơ sở của K . 3 Giải. Do số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của K khi S độc lập tuyến tính.     u1 1 m − 2 −2 2 Lập A =  u2  =  m − 1 3 3  . Ta có detA = m − m . u3 m m + 2 2 Suy ra, S độc lập tuyến tính khi detA 6= 0. Như vậy, để S là cơ sở của 3 K thì m 6= 0 và m 6= 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 36 / 85
4. Không gian vectơ con 4. Không gian vectơ con Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4.1 Định nghĩa 4.2 Không gian sinh bởi tập hợp 4.3 Không gian dòng của ma trận 4.4 Không gian tổng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 37 / 85
4. Không gian vectơ con 4.1 Định nghĩa Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho W là một tập con khác ∅ của V . Ta nói W là một không gian vectơ con (gọi tắt, không gian con) của V , ký hiệu W ≤ V, nếu W với phép toán (+,.) được hạn chế từ V cũng là một không gian vectơ trên K. Ví dụ. W = {0} và V là các vectơ con của V . Ta gọi đây là các không gian con tầm thường của V . Định lý. Cho W là một tập con khác ∅ của V . Khi đó các mệnh đề sau tương đương: i) W ≤ V . ii) Với mọi u, v ∈ W ; α ∈ K, ta có u + v ∈ W và αu ∈ W . iii) Với mọi u, v ∈ W ; α ∈ K, ta có αu + v ∈ W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 38 / 85
4. Không gian vectơ con 3 Ví dụ. Cho W = (x1, x2, x3) ∈ K | 2x1 + x2 − x3 = 0} . Hỏi W có là 3 không gianSimpo con củaPDFK Mergekhông? and Split Unregistered Version - Giải. 3 Ta có W ⊂ K . 0 = (0, 0, 0) ∈ W (vì 2.0 + 0 − 0 = 0). Suy ra W 6= ∅. Với mọi u = (x1, x2, x3) ∈ W, nghĩa là 2x1 + x2 − x3 = 0, v = (y1, y2, y3) ∈ W nghĩa là 2y1 + y2 − y3 = 0 và α ∈ K. Ta có • u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3). Ta có 2(x1 + y1) + (x2 + y2) − (x3 + y3) = (2x1 + x2 − x3) + (2y1 + y2 − y3) = 0 + 0 = 0. Suy ra u + v ∈ W. (1) • αu = (αx1, αx2, αx3). Ta có 2αx1 + αx2 − αx3 = α(2x1 + x2 − x3) = α0 = 0. Suy ra αu ∈ W. (2) 3 Từ (1) và (2) suy ra W ≤ K . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 39 / 85
4. Không gian vectơ con Nhận xét. Cho V là không gian vectơ và W ⊂ V. Khi đó: • NếuSimpoW là PDF không Merge gian con and của SplitV thìUnregistered0 ∈ W. Version - • Nếu 0 ∈/ W thì W không là không gian con của V. . 3 Ví dụ. Cho W = (x1, x2, x3) ∈ K | 3x1 + 2x2 − 4x3 = 1} . Hỏi W có 3 là không gian con của K không? Giải. Ta có 0 = (0, 0, 0) ∈/ W (vì 3.0 + 2.0 − 4.0 = 0 6= 1). Suy ra W 3 không là không gian con của K . 3 Ví dụ. Cho W = (x1, x2, x3) ∈ K | x1 = 2x2x3} . Hỏi W có là không 3 gian con của K không? Giải. Với u = (2, 1, 1) và v = (4, 2, 1). Ta có u, v ∈ W. u + v = (6, 3, 2) ∈/ W (vì 6 6= 2.3.2). Suy ra W không là không gian 3 con của K . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 40 / 85
4. Không gian vectơ con Định lý. Nếu W1,W2 là không gian con của V thì W1 ∩ W2 cũng là một khôngSimpo gian PDF con của MergeV . and Split Unregistered Version - Chứng minh. • W1 ∩ W2 ⊂ V (vì W1 ⊂ V , W2 ⊂ V ) • 0 ∈ W1 ∩ W2 (vì 0 ∈ W1, 0 ∈ W2) • Với mọi u, v ∈ W1 ∩ W2; α ∈ K. Vì u, v ∈ W1 nên αu + v ∈ W1 (vì W1 ≤ V ). Vì u, v ∈ W1 nên αu + v ∈ W2 (vì W2 ≤ V ). Suy ra αu + v ∈ W1 ∩ W2. Vậy W1 ∩ W2 ≤ V. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 41 / 85
4. Không gian vectơ con Định lý. Nếu W1,W2 là không gian con của V, ta định nghĩa Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} . Khi đó W1 + W2 cũng là một không gian con của V . Chứng minh. • W1 + W2 ⊂ V (vì W1 ⊂ V , W2 ⊂ V ) • 0=0+0 ∈ W1 + W2 (vì 0 ∈ W1, 0 ∈ W2) • Với mọi u = u1 + u2, v = v1 + v2 ∈ W1 + W2; α ∈ K. Vì u1, v1 ∈ W1 nên αu1 + v1 ∈ W1 (vì W1 ≤ V ). Vì u2, v2 ∈ W1 nên αu2 + v2 ∈ W2 (vì W2 ≤ V ). Ta có αu+v = α(u1 +u2)+(v1 +v2) = (αu1 +v1)+(αu2 +v2) ∈ W1 +W2. Vậy αu + v ∈ W1 + W2. Vậy W1 + W2 ≤ V. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 42 / 85
4. Không gian vectơ con 4.2 Không gian con sinh bởi tập hợp Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Cho V là không gian vectơ trên K và S là tập con khác rỗng của V. Ta đặt W là tập hợp tất cả các tổ tuyến tính của S. Khi đó: i) W ≤ V. ii) W là không gian nhỏ nhất trong tất cả các không gian con của V mà chứa S. Không gian W được gọi là không gian con sinh bởi S, ký hiệu W = hSi. Cụ thể, nếu S = {u1, u2, . . . , um} thì W = hSi = {α1u1 + α2u2 + ··· + αmum | αi ∈ K} 2 Ví dụ. Trong không gian K , ta xét S = {u = (1, 2)}. Khi đó W = hSi = {a(1, 2) | a ∈ K} = {(a, 2a) | a ∈ K}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 43 / 85
4. Không gian vectơ con 3 Ví dụ. Trong không gian K , ta xét Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - S = {u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, 2, 0)}. Khi đó hSi = {tu1 + su2 | t, s ∈ K} = {(t − s, 2t + 2s, t) | t, s ∈ R} Nhận xét. Vì không gian sinh bởi S là không gian nhỏ nhất chứa S nên ta quy ước h∅i = {0}. 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho W = {(a + 2b, a − b, −a + 2b) | a, b ∈ K} 3 a) Chứng minh W là không gian con của K . b) Tìm một tập sinh của W. Giải. a) Ta có 0 ∈ W vì 0 = (0, 0, 0) = (0 + 2.0, 0 − 0, −0 + 2.0) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 44 / 85
4. Không gian vectơ con Với u, v ∈ W và α ∈ K, u = (a1 + 2b1, a1 − b1, −a1 + 2b1) với a1, b1 ∈ K Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - v = (a2 + 2b2, a2 − b2, −a2 + 2b2) với a2, b2 ∈ K. Khi đó: • u + v = ( (a1 + a2) + 2(b1 + b2), (a1 + a2) − (b1 + b2) , −(a1 + a2) + 2(b1 + b2)) ∈ W (vì a1 + a2, b1 + b2 ∈ K). • αu = (αa1 + 2αb1, αa1 − αb1, −αa1 + 2αb1) ∈ W (vì αa1, αb1 ∈ K). 3 Vậy u + v, αu ∈ W. Suy ra W ≤ K . b) Ta có W = {(a + 2b, a − b, −a + 2b) | a, b ∈ K} = {a(1, 1, −1) + b(2, −1, 2) | a, b ∈ K} Vì mọi vectơ thuộc W đều là tổ hợp tuyến tính của u1 = (1, 1, −1), u2 = (2, −1, 2) nên S = {u1, u2} là tập sinh của W. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 45 / 85
4. Không gian vectơ con Định lý. Cho V là không gian vectơ và S1,S2 là tập con của V . Khi đó, nếuSimpo mọi vectơ PDF của MergeS1 đều and là tổ Split hợp tuyếnUnregistered tính của VersionS2 và ngược - lại thì hS1i = hS2i Chứng minh. Vì mọi vectơ của S1 đều là tổ hợp tuyến tính của S2 nên S1 ⊂ hS2i. Mặt khác hS1i là không gian nhỏ nhất chứa S1 nên hS1i ⊂ hS2i. Lý luận tương tự ta có hS2i ⊂ hS1i. 3 Ví dụ. Trong không gian K cho S1 = {u1 = (1, −1, 4), u2 = (2, 1, 3)}, S2 = {u3 = (−1, −2, 1), u4 = (5, 1, 10)}. Chứng minh hS1i = hS2i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 46 / 85
4. Không gian vectơ con Định lý. [về cơ sở không toàn vẹn] Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và S là một tập con độc lập tuyến tính của V . Khi đó, Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - nếu S không là cơ sở của V thì có thể thêm vào S một số vectơ để được một cơ sở của V . 4 Ví dụ. Trong không gian K , cho S = {u1 = (1, 0, 2, 1}, u2 = (1, 0, 4, 4)}. Chứng tỏ S độc lập tuyến tính và thêm vào S một số vectơ để S trở 4 thành cơ sở của K . u 1 0 2 1 1 0 2 1 Giải. Lập A = 1 = ∼ . u2 1 0 4 4 0 0 2 3 Ta có r(A) = 2 bằng số vectơ của S. Suy ra S độc lập tuyến tính. Dựa vào A ta có thể thêm vào S hai vectơ u3 = (0, 1, 0, 0), u4 = (0, 0, 0, 1). 4 Rõ ràng S = {u1, u2, u3, u4} đltt. Suy ra S là cơ sở của K . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 47 / 85
4. Không gian vectơ con Định lý. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều sinh bởi S. Khi đó tồn tại một cơ sở B của V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nếu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - S không phải là một cơ sở của V thì ta có thể loại bỏ ra khỏi S một số vectơ để được một cơ sở của V . 3 Ví dụ. Trong không gian K , cho W sinh bởi S = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 1, 3), u3 = (1, 2, 0)}. Tìm một tập con của S để là cơ sở của W. Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 48 / 85
4. Không gian vectơ con Ma trận hóa hệ phương trình, Simpo 1 PDF 2 1 Merge  and1 Split 2 Unregistered 1   1 Version 0 3  - A =  1 1 2  →  0 −1 1  →  0 1 −1  . 1 3 0 0 1 −1 0 0 0 Suy ra hệ có nghiệm là α1 = −3t, α2 = t, α3 = t. Vậy −3tu1 + tu2 + tu3 =0 . Cho t = 1, ta có −3u1 + u2 + u3 =0 nên u2 = 3u1 − u3. Suy ra u2 là tổ hợp tuyến tính của u1, u3. Do đó {u1, u3} là tập sinh của W, hơn nữa nó độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở của W. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 49 / 85
4. Không gian vectơ con 4.3 Không gian dòng của ma trận Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định nghĩa. Cho ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K)   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =   .   am1 am2 . . . amn Đặt u1 = (a11, a12, . . . , a1n); u2 = (a21, a22, . . . , a2n); um = (am1, am2, . . . , amn) và WA = hu1, u2, . . . , umi. Ta gọi u1, u2, . . . , um là các vectơ dòng của A, và WA là không gian dòng của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 50 / 85
4. Không gian vectơ con Bổ đề. Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng thì WA = WB, nghĩa làSimpo hai ma PDF trận tươngMerge đương and dòngSplit cóUnregistered cùng không gianVersion dòng. - Định lý. Giả sử A ∈ Mm×n(K). Khi đó, dimWA = r(A) và tập hợp các vectơ khác không trong dạng ma trận bậc thang của A là cơ sở của WA. Ví dụ. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận  1 2 −1 1   2 5 1 4  A =   .  5 11 −2 8  9 20 −3 14  1 2 −1 1   1 2 −1 1   2 5 1 4   0 1 3 2  Giải. A =   ∼   .  5 11 −2 8   0 0 0 1  9 20 −3 14 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 51 / 85
4. Không gian vectơ con Suy ra dimWA = r(A) = 3 và một cơ sở của WA là Simpo{u1 = PDF (1, 2, Merge−1, 1); uand2 = (0Split, 1, 3Unregistered, 2); u3 = (0, 0, Version0, 1)}. - Thuật toán tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của n K khi biết một tập sinh n Giả sử W = hu1, u2, . . . , umi ≤ K (u1, u2, . . . , um không nhất thiết độc lập tuyến tính). Để tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến hành như sau: Bước 1. Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2. Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R. Bước 3. Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các vectơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 52 / 85
4. Không gian vectơ con Ví dụ. Cho W sinh bởi S = {u1, u2, u3, u4} trong đó u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (3,Simpo6, 5, 7); PDFu3 = (4Merge, 8, 6, 8); andu4 Split= (8 ,Unregistered16, 12, 20). Tìm Version một cơ - sở của không gian W. Giải. Lập       u1 1 2 1 1 1 2 1 1  u2   3 6 5 7   0 0 1 2  A =   =   →   .  u3   4 8 6 8   0 0 0 1  u4 8 16 12 20 0 0 0 0 Do đó W có dimW = 3 và có một cơ sở {v1 = (1, 2, 1, 1); v2 = (0, 0, 1, 2); v3 = (0, 0, 0, 1)}. Nhận xét. Vì dimW = 3, hơn nữa, có thể kiểm chứng u1, u2, u3 độc lập tuyến tính nên ta cũng có {u1, u2, u3} là một cơ sở của W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 53 / 85
4. Không gian vectơ con 4 Ví dụ. Tìm một cơ sở cho không gian con của K sinh bởi các vectơ u1, u2, u3Simpo, trong PDF đó u1 Merge= (1, − and2, −1 Split, 3); u Unregistered2 = (2, −4, −3 ,Version0); - u3 = (3, −6, −4, 4). Giải. Lập       u1 1 −2 −1 3 1 −2 −1 3 A =  u2  =  2 −4 −3 0  →  0 0 −1 −6  . u3 3 −6 −4 4 0 0 0 1 Do đó có dimW = 3 và có một cơ sở {v1 = (1, −2, −1, 3); v2 = (0, 0, −1, −6); v3 = (0, 0, 0, 1)}. Nhận xét. Trong ví dụ trên, vì r(A) = 3 nên u1, u2, u3 độc lập tuyến tính, và do đó {u1, u2, u3} cũng là một cơ sở của W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 54 / 85
4. Không gian vectơ con 4.4 Không gian tổng Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý. Cho V là không gian vectơ trên K và W1,W2 là không gian con của V . Khi đó: i) W1 + W2 là không gian con của V. ii) Nếu W1 = hS1i và W2 = hS2i thì W1 + W2 = hS1 ∪ S2i. 4 Ví dụ. Trong không gian K cho các vectơ u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (3, 6, 5, 7); u3 = (4, 8, 6, 8); u4 = (8, 16, 12, 16); u5 = (1, 3, 3, 3); u6 = (2, 5, 5, 6); u7 = (3, 8, 8, 9); u8 = (6, 16, 16, 18). Đặt W1 = hu1, u2, u3, u4i và W2 = hu5, u6, u7, u8i. Tìm một cơ sở và xác định số chiều của mỗi không gian W1,W2 và W1 + W2. Giải. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 55 / 85
4. Không gian vectơ con • Tìm cơ sở của W1       Simpo PDFu1 Merge1 and 2 Split 1 Unregistered 1 1 Version 2 1 1 -  u2   3 6 5 7   0 0 1 2  Lập A1 =   =   →   .  u3   4 8 6 8   0 0 0 0  u4 8 16 12 16 0 0 0 0 Do đó W1 có số chiều là 2 và một cơ sở là {v1 = (1, 2, 1, 1); v2 = (0, 0, 1, 2)}. • Tìm cơ sở của W2       u5 1 3 3 3 1 3 3 3  u6   2 5 5 6   0 1 1 0  Lập A2 =   =   →   .  u7   3 8 8 9   0 0 0 0  u8 6 16 16 18 0 0 0 0 Do đó W2 có số chiều là 2 và một cơ sở là {v3 = (1, 3, 3, 3); v4 = (0, 1, 1, 0)} Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 56 / 85
4. Không gian vectơ con • Tìm cơ sở của W1 + W2 Ta có WSimpo1 + W2 PDFsinh bởiMerge các vectơand Split Unregistered Version - v1 = (1, 2, 1, 1); v2 = (0, 0, 1, 2); v3 = (1, 3, 3, 3); v4 = (0, 1, 1, 0).       v1 1 2 1 1 1 2 1 1  v2   0 0 1 2   0 1 1 0  Lập A =   =   →   .  v3   1 3 3 3   0 0 1 2  v4 0 1 1 0 0 0 0 0 Suy ra W1 + W2 có số chiều là 3 và một cơ sở là {w1 = (1, 2, 1, 1); w2 = (0, 1, 1, 0); w3 = (0, 0, 1, 2)}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 57 / 85
5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyếnSimpo tính PDF Merge and Split Unregistered Version - 5.1 Mở đầu 5.2 Tìm cơ sở của không gian nghiệm 5.3 Không gian giao Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 58 / 85
5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 5.1 Mở đầu Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví dụ. Cho W là tập tất cả các nghiệm (x1, x2, x3, x4) của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 0;   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = 0; 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 0;   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 0. Ma trận hóa hệ phương trình, ta có  1 2 −3 5   1 0 17 −29   1 3 −13 22   0 1 −10 17  A =   →   .  3 5 1 −2   0 0 0 0  2 3 4 −7 0 0 0 0 Vậy hệ có nghiệm là (x1, x2, x3, x4) = (−17t + 29s, 10t − 17s, t, s) với t, s ∈ K Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 59 / 85
5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Do đó SimpoW =PDF{ (− Merge17t + 29 ands, 10 Splitt − 17 Unregistereds, t, s) | t, s ∈ K Version} - = { (−17t, 10t, t, 0) + (29s, −17s, 0, s) | t, s ∈ K} = { t(−17, 10, 1, 0) + s(29, −17, 0, 1) | t, s ∈ K} Đặt u1 = (−17, 10, 1, 0), u2 = (29, −17, 0, 1). Theo biểu thức trên, với u ∈ W thì u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2. Suy ra W = hu1, u2i. Hơn nữa {u1, u2} độc lập tuyến tính, nên {u1, u2} là cơ sở của W . Suy ra dimW = 2. Nhận xét. Vectơ u1 và u2 có được bằng cách cho lần lượt t = 1, s = 0 và t = 0, s = 1. Ta gọi nghiệm u1, u2 được gọi là nghiệm cơ bản của hệ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 60 / 85
5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Định lý. Gọi W là tập hợp nghiệm (x1, x2, . . . , xn) của hệ phương trình tuyếnSimpo tính PDF thuần Merge nhất and Split Unregistered Version -  a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0;   a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0;   am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0. n Khi đó, W là không gian con của K và số chiều của W bằng số ẩn tự do của hệ. Như vậy W = {u ∈ Rn | Au> = 0} với A là ma trận cho trước và u = (x1, x2, . . . , xn) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 61 / 85