Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức (Phần 2)

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Nội dung text: Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức (Phần 2)

Chu.o.ng 4 C´ac t´ınh chˆa´tco. ba’ncu’ ah`am chı’nh h`ınh . 4.1 C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆan Cauchy 279 4.1.1 D- .inh l´ygi´atri. trungb`ınh 279 4.1.2 D- .inhl´yLiouville 280 4.1.3 D- .inh l´yWeierstrass vˆe` chuˆo˜i h`amhˆo.itu. d`ˆe u 284 . . 4.1.4 T´ınhchˆa´td.iaphuong cu’a h`amchı’nh h`ınh.Chuˆo˜i Taylor 288 . 4.1.5 C´acquan diˆe’m kh´acnhau trong viˆe.c xˆaydu. ng l´y thuyˆe´t h`amchı’nhh`ınh 305 4.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’ a h`amchı’nh h`ınh. . . . . 310 4.2.1 Khˆongdiˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . 310 4.2.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . . 313 4.2.3 Nguyˆenl´yth´actriˆe’n gia’it´ıch 317 . 4.2.4 Nguyˆenl´ymˆodun cu. cda.i 320 . . 4.3 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 326
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 279 4.3.1 Chuˆo˜iLaurent 326 . . . 4.3.2 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pdon tri. 337 4.3.3 D´angdiˆe.ucu’a h`amta.idiˆe’m vˆoc`ung. . . . . . . . 348 4.3.4 Phˆanloa.i h`amchı’nhh`ınh 350 . . 4.4 T´ınhbˆa´tbiˆe´ncu’ atˆa. pho. pmo’ 354 4.4.1 Nguyˆenl´yacgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.4.2 D- .inhl´yRouch´e 360 . . 4.4.3 T´ınhbˆa´tbiˆe´ncu’atˆa.pho. pmo’ 363 4.5 B`aitˆa. p 365 . . . . . . Trong chuong tru´oc, ta d˜ach´ung minh d.inh l´yco ba’ncu’al´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh - d.inh l´y Cauchy. D.inh l´y n`ayk´eo theo mˆo.t loa.thˆe. qua’ quan . tro.ng. D˘a.cbiˆe.t l`an´ocho ph´epta x´aclˆa.pmˆo´i liˆenhˆe. nhˆa´td.inh gi˜ua c´acgi´a . tri. cu’a h`amchı’nh h`ınhta.ic´acdiˆe’m trong cu’amiˆe`nchı’nh h`ınhv´oi c´acgi´a . . . tri. biˆencu’ah`amd´o. Mˆo´i liˆenhˆe. d´oduo. cmˆota’ trong cˆongth´uc t´ıch phˆan co. ba’nth´u. hai cu’a Cauchy. D´o l`acˆongth´u.c trung tˆamcu’al´ythuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh. . 4.1 C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆan Cauchy ’. . O mˆo.tm´ucdˆo. nhˆa´td.inh, mo.id.inh l´ycu’amu.cn`ayd`ˆe ul`ahˆe. qua’ cu’a cˆong th´u.c t´ıch phˆanCauchy. 4.1.1 D- .inh l´ygi´atri. trung b`ınh D´ol`ad.inh l´ysau dˆay. . D- .inh l´y4.1.1. Gia’ su’ f(z) l`ah`amliˆentu. c trong h`ınh tr`ond´ong S(R)= {z ∈ C : |z − z0| 6 R} v`achı’nh h`ınhtrong h`ınh tr`on S(R). Khi d´o ta c´o
280 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh d˘a’ng th´u.c 2π 1 f(z )= Z f(z + reit)dt, 0 2π 0 0 . t´uc l`agi´atri. cu’a h`amta. i tˆamh`ınhtr`onb˘a`ng trung b`ınh cˆo. ng c´acgi´atri. cu’a n´otrˆendu.`o.ng tr`on. Ch´u.ng minh. Theo cˆongth´u.c t´ıch phˆanCauchy ta c´o 1 Z f(ζ) f(z0)= dζ. 2πi ζ − z0 ∂S(R) . . Thu. chiˆe.n ph´epbiˆe´ndˆo’i theo cˆongth´uc it ζ = z0 + Re , 0 6 t 6 2π . . ta thu duo. c 2π 2π 1 Reitidt 1 f(z )= Z f(z + Reit) = Z f(z + Reit)dt. 0 2πi 0 Reit 2π 0 0 0 4.1.2 D- .inh l´y Liouville 1 . D- .inh l´y4.1.2. (Liouville ) Nˆe´u h`amchı’nh h`ınhtrˆen to`anm˘a. t ph˘a’ng ph´uc . f(z) c´omˆodun bi. ch˘a. nth`ın´od`ˆo ng nhˆa´th˘a`ng sˆo´,t´ucl`af(z) ≡ const ∀z ∈ C. . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ |f(z)| 6 M<∞∀z ∈ C. Ta s˜e´apdu. ng cˆongth´uc 0 . t´ıch phˆanCauchy cho da.o h`am f (z)v`ah`ınh tr`on S(R)v´oi tˆamta.idiˆe’m z v`ab´ank´ınh R.Tac´o 1 f(ζ) f 0(z)= Z dζ. 2πi (ζ − z)2 ∂S(R) 1I. Liouville (1809-1882) l`anh`ato´anho.c Ph´ap
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 281 T`u. d´o 1 M M |f 0(z)| 6 2πR = · 2π R2 R . Vˆe´ tr´aicu’abˆa´td˘a’ng th´uc n`aykhˆongphu. thuˆo.c R,c`onvˆe´ pha’idˆa` ndˆe´n0khi . 0 0 R t˘angvˆoha.n. T`u d´osuy r˘a`ng |f (z)| =0v`af (z)=0∀ C.Dod´o f(z) ≡ const trong C. . . Nhu vˆa.yl´op c´ach`amchı’nh h`ınhtrong to`anm˘a.t ph˘a’ng v`abi. ch˘a.nchı’ gˆo`m c´ach`amtˆa` mthu.`o.ng (c´ach˘a`ng sˆo´). . . . . D.inh l´yLiouville v`uach´ung minh c´othˆe’ kh´aiqu´atdu´oida.ng D- .inh l´y 4.1.3. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong to`anm˘a. t ph˘a’ng v`atho’a n . . m˜andiˆe`ukiˆe. n |f(z) 6 M|z| , M<∞ v`a n l`asˆo´ nguyˆen duong th`ıd´ol`ada . . 2 th´ucbˆa. c khˆongcao hon n. . . . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ z0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc. T`u cˆongth´uc . t´ıch phˆanCauchy dˆo´iv´oida.o h`amcˆa´p cao ta c´o (n + 1)! f(z) (n+1) Z { | − | } f (z0)= n+2 dz, S(R)= z : z z0 <R 2πi (z − z0) ∂S(R) v`ado d´o M|z|n |f (n+1)(z )| 6 (n + 1)!. 0 Rn+1 . . . (n+1) V`ı |z| 6 |z0| + R nˆenqua gi´oiha.n khi R →∞ta thu duo. c f (z0)=0. (n+1) . (n) Do z0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’a C nˆen f (z) ≡ 0. T`u d´o suy r˘a`ng f (z) ≡ const v`ı z (n) (n) Z (n+1) f (z) − f (z0)= f (z)dz ≡ 0, z0 . (n) (n) . t´ucl`af (z) ≡ f (z0) = const B˘a`ng c´ach lˆa.p luˆa.nnhuvˆa.y, dˆe˜ d`ang . . thu duo. cdiˆe`u kh˘a’ng d.inh cu’ad.inh l´y. 2 . . Khi n =0th`ıtathuduo. cd.inh l´y12.1
282 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . D.inh l´yLiouville c`onc´othˆe’ ph´atbiˆe’udu´oida.ng ∗ . D- .inh l´y4.1.2 . Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınhtrˆento`anm˘a. t ph˘a’ng mo’ rˆo. ng C th`ın´od`ˆong nhˆa´th˘a`ng sˆo´. Ch´u.ng minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınhtaidiˆe’m ∞ nˆenlim f(z)tˆo`ntaiv`ah˜u.u . z→∞ . . ha.n. T`u d´o suy ra f(z)bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.n n`aod´o U(∞)={z : |z| >R} . cu’adiˆe’m ∞. Gia’ su’ f(z)| 6 M1, ∀ z ∈U(∞). M˘a.t kh´ac,do h`am f chı’nh h`ınh(v`ado d´o n´oliˆentu.c) trong h`ınhtr`ond´ong S(R)={z : |z| 6 R} nˆen . . n´obi. ch˘a.n trong h`ınh tr`ond´o.Gia’ su’ |f(z)| 6 M2, z ∈ S(R). Nhung khi d´o h`am f bi. ch˘a.n trong to`anm˘a.t ph˘a’ng: f(z)| 1 v´oihˆe. sˆo´ ph´ucd`ˆe u . . c´o m nghiˆe. mnˆe´umˆo˜i nghiˆe. mduo. c t´ınhmˆo. tsˆo´ lˆa`nb˘a`ng bˆo. icu’a n´o. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. m m−1 Pm(z)=amz + am−1z + ···+ a1z + a0,am =06 ,m> 1. . . . Ta ch´ung minh b˘a`ng pha’nch´ung: gia’ su’ Pm(z) khˆongc´onghiˆe.m trong C.Tax´et h`am 1 f(z)= · Pm(z) H`am f(z) c´oc´act´ınhchˆa´t sau dˆay (i) H`am f(z) ∈H(C)v`ı Pm(z) =06 ∀ z ∈ C. . (ii) H`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n, t´ucl`a|f(z)| 6 M ∀ z ∈ C. Thˆa.tvˆa.y, 1 . v`ı lim Pm(z)=∞ nˆenlim =0.T`u d´o ∃ R>0 sao cho ∀ z : |z| >R z→∞ z→∞ Pm(z) ta c´o |f(z)| < 1.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 283 . Trong h`ınhtr`ond´ong |z| 6 R h`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n, t´ucl`a|f(z)| 6 m . . ∀ z ∈{|z| 6 R}.T`u d´osuy r˘a`ng |f(z)| 1. . Nhu vˆa.ytˆo`nta.i gi´atri. α1 ∈ C sao cho P (α1)=0. . Do d´o Pm(z)=(z − α1)Pm−1(z), Pm−1(α1) =6 0. Nhung Pm−1(z)c˜ung l`ada . th´ucda.isˆo´ bˆa.c m − 1nˆen∃ α2 ∈ C sao cho Pm−1(z)=(z − α2)Pm−2(z), . Pm−2(α2) =6 0. Nhu vˆa.y Pm(z)=(z − α1)(z − α2)Pm−2(z), . . . . Tiˆe´ptu.clˆa.p luˆa.nnhuvˆa.ytathuduo. cd˘a’ng th´uc Pm(z)=am(z − α1)(z − α2) ···(z − αm). . . D˘a’ng th´uc n`aych´ung to’ r˘a`ng α1,α2, ,αm l`anghiˆe.m v`ango`aich´ung ra da . th´uc Pm(z) khˆongc`onnghiˆe.m n`aokh´ac.Thˆa.tvˆa.ynˆe´u β l`anghiˆe.m β =6 αi . ∀ i = 1,m cu’adath´uc Pm(z)th`ı Pm(β)=am(β − α1)(β − α2) ···(β − αm)=0. . . . Diˆe`u n`aych´ung to’ r˘a`ng mˆo.t trong c´acth`uasˆo´ pha’ib˘a`ng 0, t´ucl`a β − αi =0,i=1, 2, ,m ⇐⇒ β = αi,i=1, 2, ,m. . . . . D.inh l´yv`uach´ung minh c`onc´otˆengo.il`ad.inh l´yvˆ`e tru`ong d´ong da. isˆo´.
284 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.1.3 D- .inh l´y Weierstrass vˆe` chuˆo˜i h`amhˆo. itu. d`ˆe u Trong 1.4 ta d˜a tr`ınhb`aykh´ainiˆe.m chuˆo˜i h`am hˆo. itu. d`ˆe u trong miˆ`en D v`a . hˆo. itu. d`ˆe utrˆen t`ung comp˘a´c cu’amiˆe`n D c`ung mˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´t h`amcu’a . . chuˆo˜ihˆo.itu. d`ˆe u. Bˆaygi`o ta ch´ung minh d.inh l´yquan tro.ng cu’a Weierstrass . . vˆ`e su. ba’o to`ant´ınhchı’nh h`ınhcu’atˆo’ng cu’a chuˆo˜i trong ph´epqua gi´oiha.n . d`ˆe u v`aph´epda.o h`amt`ung sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i h`amchı’nh h`ınhhˆo.itu. d`ˆe u. . D- .inh l´y4.1.5. (Weierstrass) Gia’ su’ : . 1) un(z) n ∈ N l`anh˜ung h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D; 2) chuˆo˜i h`am u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+ (4.1) . . hˆo. itu. d`ˆe utrˆent`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D dˆe´n h`am(h˜uuha. n) f(z). Khi d´o 1) Tˆo’ng f(z) cu’a chuˆo˜i l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D. . 2) Chuˆo˜ic´othˆe’ da. oh`amt`ung sˆo´ ha. ng dˆe´ncˆa´pt`uy´y (m) (m) (m) (m) u1 (z)+u2 (z)+···+ un (z)+···= f (z); m =1, 2, (4.2) . 3) Mo. i chuˆo˜i (4.2) d`ˆe u l`achuˆo˜ihˆo. itu. d`ˆe utrˆent`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D. Ch´u.ng minh. 1) Lˆa´y h`ınhtr`on S(R)bˆa´tk`y b´ank´ınh R v´o.i biˆen γ(R) sao . . . cho S(R) ⊂ D.Trˆendu`ong tr`on γ(R)(γ(R) l`atˆa.pho. pd´ong n˘a`m trong D) chuˆo˜i (4.1) hˆo.itu. d`ˆe udˆe´n h`am f(z). Do d´o h`am f(ζ)=u1(ζ)+u2(ζ)+···+ un(ζ)+ ; ζ ∈ γ(R) (4.3) . liˆentu. c trˆen γ(R). Nhˆan(4.3) v´oi h`am 1 1 v(ζ)= ,ζ∈ γ(R),z∈ S(R). 2πi ζ − z
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 285 . . . H`amn`aybi. ch˘a.n trˆen γ(R). Do d´o chuˆo˜ithuduo. c sau khi nhˆan(4.3) v´oi . v(ζ)vˆa˜nhˆo.itu. d`ˆe u trˆen γ(R) v`ac´othˆe’ t´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng theo γ(R). . . Tathuduo. c 1 f(ζ) 1 u (ζ 1 u (ζ) Z dζ = Z 1 dζ + ···+ Z n dζ + 2πi ζ − z 2πi ζ − z 2πi ζ − z γ(R) γ(R) γ(R) . T´ıch phˆano’ vˆe´ tr´ail`at´ıch phˆanda.ng Cauchy. Do d´ovˆe´ tr´ail`ah`amchı’nh ´ . h`ınhtrong h`ınh tr`on S(R). Ta k´yhiˆe.uh`amd´ol`afR(z). Ap du. ng cˆongth´uc . . . . t´ıch phˆanCauchy cho c´ach`am un(ζ)t`u biˆe’uth´uc trˆenta thu duo. c fR(z)=u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+ (4.4) . . . Nhu vˆa.y chuˆo˜iduo. c x´ethˆo.itu. d`ˆe udˆe´n h`am fR(z)chı’nh h`ınh trong h`ınh . . tr`on S(R). Nhung trong S(R) h`am fR(z)tr`ung v´oi f(z). Ngh˜ıal`a f(z)l`a h`amchı’nh h`ınhtrong S(R). V`ımˆo˜idiˆe’m z cu’amiˆe`n D d`ˆe u thuˆo.cmˆo.th`ınh tr`on S(R), S(R) ⊂ D n`aod´onˆenh`am f(z)chı’nh h`ınhtrong D. . C´aclˆa.p luˆa.ntrˆendˆay chı’ dung´ nˆe´umiˆ`en D khˆongch´uadiˆe’m ∞. Gia’ . . su’ miˆe`n D 3∞. T a s ˜e x ´e t “ h `ınh tr`on” SR(∞)={z : |z| >R} v´oi . . . b´ank´ınh R du’ l´on sao cho to`anbˆo. biˆen ∂D d`ˆe un˘a`m trong du`ong tr`on . γR(∞)={z : |z| = R}.Lˆa.p luˆa.nnhutrˆenv`athay cho chuˆo˜i (4.4) theo d.inh . . . l´y3.2.13 ta thu duo. cd˘a’ng th´uc fR(z)=[u1(z) − u1(∞)] + [u2(z) − u2(∞)] + +[un(z) − un(∞)] + hay l`a fR(z)=[u1(z)+···+ un(z)+ ] − [u1(∞)+u2(∞)+···+ un(∞)+ ]. . . Chuˆo˜i trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆongth´u hai o’ vˆe´ pha’ihˆo.itu. dˆe´n f(∞) v`ado d´o fR(z)+f(∞)=u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+
286 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh ’. O dˆay fR(z)+f(∞)=f(z) ∀ z ∈ SR(∞) v`ah`am fR(z)+f(∞)chı’nh h`ınh trong SR(∞). Do vˆa.y h`am f chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.ndiˆe’m ∞. 2) Nˆe´u nhˆanchuˆo˜i (4.3) v´o.i h`am m! 1 v (ζ)= ,z∈ S(R) m 2πi (ζ − z)m+1 . bi. ch˘a.n trˆen γ(R) v`at´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng theo γ(R) th`ıthay cho (4.4) ta . . thu duo. cchuˆo˜i (m) (m) (m) (m) fR (z)=u1 (z)+u2 (z)+···+ un (z)+ . . . V`ı fR(z)=f(z) ∀ z ∈ D nˆen t`u d´othuduo. c (4.2). . . . 3) Dˆe ’ ch´ung minh phˆa` nth´u ba cu’ad.inh l´yta phu’ tˆa.pho. pd´ongt`uy ´y . 0 0 . E ⊂ D bo’ ihˆe. c´ach`ınhtr`on S sao cho S ⊂ D.Nˆe´utˆa.pho. p E 3 z = ∞ th`ı . 0 0 ta c´othˆe’ lˆa´y h`ınhtr`onl`atˆa.pho. p S (∞)={z : |z| >R>0}, S (∞) ⊂ D. . . T`u hˆe. c´ach`ınhtr`onn`ayta c´othˆe’ cho.nmˆo.tphu’ con gˆo`mmˆo.tsˆo´ h˜uuha.n . . . ∗ . c´ach`ınhtr`on.Ho. pmo.i h`ınhtr`ond´ong n`ayduo. ck´yhiˆe.ul`aE . Gia’ su’ δ l`a khoa’ng c´ach t`u. E∗ dˆe´n biˆenmiˆe`n D: δ = dist{E∗,∂D}. . 0 . . Dˆo´iv´oimˆo˜i h`ınhtr`on S cu’aphu’ h˜unha.n ta du. ng h`ınh tr`on S d`ˆong tˆam δ v´o.i b´ank´ınhl´o.nho.n b´ank´ınhcu’a S0 mˆotdailu.o.ng b˘a`ng (dˆo´iv´o.i S0(∞) . . . 2 δ th`ıcˆa` nlˆa´y b´ank´ınh b´eho.n ). Chu tuyˆe´n L cu’a c´ach`ınh tr`onn`aylˆap 2 . . . . th`anhtˆa.pho. pd´ong Γ ⊂ D.Dod´o chuˆo˜iduo. cx´et P un(z)hˆo.itu. d`ˆe u trˆen n≥1 Γ, ngh˜ıa l`a ∀ ε>0, ∃ N ∈ N : ∀ n>N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒ n+p X uk(ζ) <ε. k=n+1 . . 0 Gia’ su’ z l`adiˆe’mt`uy ´ycu’a E v`agia’ su’ n´othuˆo.c h`ınhtr`on S cu’aphu’
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 287 δ h˜u.uhan. Khi ζ ∈Lv`a z ∈ S0 th`ı |ζ − z| > .Dod´o . 2 n+p n+p m! u (ζ) X u(m)(z) = X Z k dζ k m+1 2πi (ζ − z) k=n+1 k=n+1 L n+p P uk(ζ) m! 6 Z k=n+1 ds 2π |ζ − z|m+1 L m! ε 6 · 2πR δ m+1 ∗ 2π 2 . . . . . trong d´o R∗ l`ab´ank´ınhcu’a h`ınhtr`on S tuong ´ung. Nhu vˆa.ydˆo´iv´oimˆo˜i diˆe’m z ∈ E ta c´o n+p Rm!ε X u(m)(z) 6 e k δ m+1 k=n+1 2 trong d´o R l`ab´ank´ınh l´o.n nhˆa´t trong c´acb´ank´ınhcu’a c´ach`ınh tr`on S e. . . . cu’aphu’ h˜uuha.n. T`u d´osuy ra su. hˆo.itu. d`ˆe ucu’a chuˆo˜ida.o h`amtrˆent`ung comp˘a´ccu’a D. . . . . . Nhˆa. nx´et 4.1.1. Trong gia’i t´ıch thu. c khˆongc´od.inh l´ytuong tu. nhu d.inh l´y . Weierstrass. Thˆa.tvˆa.y, trong gia’i t´ıch thu. c ta biˆe´tr˘a`ng tˆo’ng S(x)cu’a chuˆo˜i . . h`amthu. c (biˆe´n thu. c) kha’ vi P un(x)hˆo.itu. d`ˆe u trˆenkhoa’ng n`aod´o c´othˆe’ n≥1 l`ah`amkhˆongkha’ vi. Ho.nthˆe´ n˜u.anˆe´u ∃ S0(x) th`ıho`anto`ankhˆongnhˆa´t ’ . 0 0 thiˆe´t pha’ic´od˘ang th´uc S (x)= P un(x). n>1 ´ ` ˜ Nhˆa. nx´et 4.1.2. Nˆeu c´od˜ayh`am fn(z)n>1 cho trong miˆen D th`ıchuˆoi f1(z)+[f2(z) − h(z)] + ···+[fn(z) − fn−1(z)] + . . c´otˆo’ng riˆength´u n l`a Sn(x)=fn(x). T`u d´omo.idiˆe`u kh˘a’ng d.inh vˆe` chuˆo˜i . . . . d`ˆe u c´othˆe’ ph´atbiˆe’udˆo´iv´oi d˜ayv`anguo. cla.i. T`u d´ov`ad.inh l´y4.1.3 ta r´ut ra
288 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh D- .inh l´y4.1.6. (Weierstrass; vˆ`e d˜ayh`amchı’nh h`ınhhˆo.itu. d`ˆe u) ´ ’ ` ` Nˆeu d˜ayc´ach`am fn(z)n>1 chınh h`ınh trong miˆen D hˆo. itu. dˆe utrˆen . . t`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D dˆe´n h`amh˜uuha. n f(z) th`ı f(z) l`ah`amchı’nh h`ınh trong D v`ad˜ayc´acdao h`am f (m)(z) ; m =1, 2, hˆoitud`ˆe utrˆen t`u.ng . n n>1 . . comp˘a´ccu’a D dˆe´n h`am f (m)(z). . T`u d.inh l´yWeierstrass 4.1.3 v`ad.inh l´yAbel r´ut ra . Hˆe. qua’ 4.1.1. Tˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uyth`ua n X an(z − a) n>0 l`ah`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`onhˆo. itu. cu’a n´ov`atrong h`ınhtr`onhˆo. itu. . cu’a chuˆo˜i ta c´othˆe’ lˆa´y t´ıchphˆanv`ada. oh`amt`ung sˆo´ ha. ng mˆo. tsˆo´ lˆa`n t`uy´y, . . d`ˆong th`oiph´ep da. o h`amv`at´ıchphˆant`ung sˆo´ ha. ng khˆongl`amthay dˆo’i b´an k´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i. . . 4.1.4 T´ınh chˆa´td.iaphuong cu’ a h`am chı’nh h`ınh. Chuˆo˜i Taylor Trong 2.1 ta d˜a c hu ´ .ng minh r˘a`ng tˆo’ng cu’achuˆo˜il˜uy th`u.a l`ah`amchı’nh h`ınh . . . trong h`ınh tr`onhˆo.itu. cu’a n´o.Bˆaygi`o nh`o cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy ta . . c´othˆe’ ch´ung minh mˆo.t t´ınhchˆa´t quan tro.ng n˜uacu’a h`amchı’nh h`ınh- d´o . . l`at´ınhchˆa´td.iaphuong: mˆo˜i h`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ond`ˆe ubiˆe’udiˆe˜n . . . . . . duo. cdu´oida.ng tˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uy th`ua. Cu. thˆe’ ta ch´ung minh d.inh l´ysau 3 D- .inh l´y4.1.7. (Cauchy - Taylor ) Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong miˆe`n D th`ıta. i lˆancˆa. ncu’amˆo˜idiˆe’m . . . . . z0 ∈ D h`am f(z) biˆe’udiˆe˜nduo. cdu´oida. ng chuˆo˜il˜uyth`ua n f(z)=X an(z − z0) (4.5) n≥0 . . . v´oi b´ank´ınhhˆo. itu. R khˆongb´ehon khoa’ng c´ach d t`u diˆe’m z0 dˆe´nbiˆen ∂D cu’amiˆe`n D (d = dist(z0,∂D). 3B. Taylor (1685-1731) l`anh`ato´anho.c Anh
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 289 . . Ch´ung minh. Gia’ su’ f ∈H(D)v`az0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’amiˆe`n D.Tak´y . hiˆe.u S(z0,d)={z ∈ D : |z − z0| 0 ζ − z0 . . Chuˆo˜i (4.7) hˆo.itu. d`ˆe u trˆen γ(ρ) nˆenta c´othˆe’ thu. chiˆe.n ph´ept´ıch phˆant`ung . . . sˆo´ ha.ng v`at`u (4.6) v`a(4.7) ta thu duo. c 1 f(ζ)dζ f(z)=X Z (z − z )n n+1 0 2πi (ζ − z0) n>0 γ(δ) n = X an(z − z0) , (4.8) n≥0 trong d´o 1 f(ζ)dζ a = Z ,n=0, 1, (4.9) n n+1 2πi (ζ − z0) γ(δ)
290 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . Dˆe ’ yd´ ˆe´n cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy dˆo´iv´oida.o h`amcu’a h`amchı’nh h`ınhta c´o f (n)(z ) a = 0 ; n =0, 1, 2, (4.10) n n! . . V`ıdˆo´iv´oimˆo˜idiˆe’m z cˆo´ d.inh thuˆo.ch`ınh tr`on {|z − z0| 0 . . khˆongb´ehon d. Thˆa.tvˆa.ynˆe´u R<dth`ımˆauthuˆa˜nv´oid.inh ngh˜ıa b´an . . . . . k´ınh hˆo.itu. cu’achuˆo˜id´ov`ıc´othˆe’ lˆa´y δ l`asˆo´ l´onhon R.D.inh l´yduo. cch´ung minh.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 291 H`ınh IV.1 . Chuˆo˜i (4.8) v´oihˆe. sˆo´ biˆe’udiˆe˜n qua h`amchı’nh h`ınh f(z) theo c´accˆong . . . . th´uc (4.9) hay (4.10) duo. cgo.il`achuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta. idiˆe’m z0 hay khai triˆe’n Taylor ta. i lˆancˆa. ndiˆe’m z0 cu’a h`am f(z). . Hˆe. qua’ 4.1.2. Mo. i chuˆo˜il˜uyth`uad`ˆe u l`achuˆo˜i Taylor cu’atˆo’ng cu’a n´o. . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ trong h`ınh tr`onn`aod´o n f(z)=X an(z − z0) . (4.11) n>0 . Thay z = z0 ta c´o f(z0)=a0,da.o h`amt`ung sˆo´ ha.ng chuˆo˜i (4.11) rˆo`i thay . . 0 . z = z0 ta t`ım duo. c f (a)=a1.T´ınh da.oh`amt`ung sˆo´ ha.ng liˆentiˆe´p chuˆo˜i 00 (3) (n) (4.11) rˆo`i thay z = z0 ta c´o f (z0)=2!a2, f (z0)=3!a3, ,f (z0)=n!an f (n)(z ) v`ado d´o a = 0 .Dod´ochuˆo˜i (4.11) l`achuˆo˜i Taylor cu’a h`am f(z). n n! . Hˆe. qua’ 4.1.3. Gia’ su’ M(r) = max |f(ζ)|. Khi d´oc´achˆe. sˆo´ an cu’a chuˆo˜i ζ∈γ(r) Taylor tho’a m˜anc´acbˆa´td˘a’ng th´u.c M(r) |a | 6 ,n=0, 1, (4.12) n rn . . trong d´o r l`asˆo´ bˆa´tk`yb´ehon b´ank´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i. C´acbˆa´td˘a’ng th´uc . . . . (4.12) duo. cgo. i l`ac´acbˆa´td˘a’ng th´uc Cauchy dˆo´iv´oihˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Taylor.
292 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Ch´u.ng minh. T`u. c´accˆongth´u.c (4.9) v`a(4.10) ta c´o f (n)(z ) 1 f(ζ) a = 0 = Z dζ. n n+1 n! 2πi (ζ − z0) γ(r) . . . . . . . . . T`u d´o´apdu. ng cˆongth´ucu´ocluo. ng t´ıch phˆantrong miˆ`enph´uctathuduo. c 1 M(r) M(r) |a | 6 · · 2πr = n 2π rn+1 rn Dˆe ’ r´ut ra hˆe. qua’ tiˆe´p theo ta nˆeu ra . . D- .inh ngh˜ıa4.1.1. 1) Diˆe’m z = a duo. cgo.il`adiˆe’m ch´ınh quy cu’a h`am f(z) nˆe´u h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong mˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’adiˆe’m a. . . . . 2) Diˆe’m z = a duo. cgo.il`adiˆe’mbˆa´t thu`o ng cu’a h`am f(z)nˆe´u n´okhˆong . . l`adiˆe’mch´ınh quy dˆo´iv´oi h`am f(z)nhung trong lˆancˆa.nbˆa´tk`ycu’an´od`ˆe u c´odiˆe’mch´ınh quy cu’a h`am. . Hˆe. qua’ 4.1.4. B´ank´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta. idiˆe’m z = a b˘a`ng khoa’ng c´acht`u. diˆe’m a dˆe´ndiˆe’mbˆa´t thu.`o.ng gˆa`n nhˆa´tcu’a h`am f(z). Ch´u.ng minh. V`ıc´acdiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng d`ˆe ul`adiˆe’m biˆendˆo´iv´o.imiˆe`nchı’nh h`ınhcu’a h`amnˆentheo d.inh l´yCauchy - Taylor b´ank´ınh hˆo.itu. cu’a chuˆo˜i . . . . . . Taylor thu duo. c khˆongb´ehon khoa’ng c´ach d t`u diˆe’m a dˆe´ndiˆe’mbˆa´tthu`o ng . . . . gˆa` n nhˆa´tcu’a h`am,t´ucl`aR > d.Nhung b´ank´ınh hˆo.itu. khˆongthˆe’ l´onhon . . khoa’ng c´ach d´ov`ınˆe´u R>dth`ıc´o´ıtnhˆa´tmˆo.tdiˆe’mbˆa´tthu`ong cu’a h`am f . roi v`aoh`ınhtr`onhˆo.itu.,m`adiˆe`ud´o l a.i khˆongthˆe’ xa’y ra do tˆo’ng cu’a chuˆo˜i . l˜uy th`ua l`ah`amchı’nh h`ınhtrong to`anbˆo. h`ınhtr`onhˆo.itu Dod´o R = d. . . . . Cˆongth´uctˆo’ng qu´at(4.9) hay (4.10) dˆo´iv´oihˆe. sˆo´ Taylor thu`ong khˆong . . . . tiˆe.nlo. i trong t´ınh to´an. Trong mˆo.tsˆo´ tru`ong ho. p ta c´othˆe’ ´ap du.ng c´ac phu.o.ng ph´apdo.n gia’nho.ndˆe ’ khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`u.a. . . . . . Nˆe´u f(z)l`ah`amh˜uuty’ thu. csu. th`ıta c´othˆe’ biˆe’udiˆ˜enn´odu´oida.ng tˆo’ng 1 1 h˜u.uhan c´acphˆanth´u.ctˆo´i gia’ndang hay (k>1). Khi d´o . . z − a (z − a)k
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 293 1 1 phˆanth´u.c khai triˆe’n th`anhchuˆo˜icˆa´psˆo´ nhˆan,c`onphˆanth´u.c z − a (z − a)k . . (k>1) khai triˆe’n th`anhchuˆo˜ithuduo. cb˘a`ng ph´epda.o h`amliˆentiˆe´p k − 1 lˆa` n chuˆo˜icˆa´psˆo´ nhˆan. . Nˆe´u f(z) l`abiˆe’uth´ucvˆoty’ hay siˆeuviˆe.t th`ıc´othˆe’ ´ap du.ng c´ackhai . z α triˆe’n Taylor dˆo´iv´oi h`am e , sin z, cos z, ln(1 + z), (1 + z) , (go.i l`ac´ac . . . khai triˆe’nba’ng)thuduo. cb˘a`ng c´ach t´ınhtru. ctiˆe´p c´acda.o h`amcu’a c´ach`am ˆa´y. zn I. ez = P , z ∈ C n>0 n! (−1)nz2n II. cos z = P , z ∈ C n>0 (2n)! (−1)nz2n+1 III. sin z = P , z ∈ C n>0 (2n + 1)! (−1)n−1 IV. ln(1 + z)= P zn, |z| 1 n V. α! α(α − 1) (1 + z)α =1+X zn =1+αx + z2 + n 2 n>1 α(α − 1) ···(α − n +1) + zn + , α∈ R, |z| 0 1 n n VI2. = P(−1) z , |z| 0
294 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . Tru ´oc khi ´apdu.ng c´ackhai triˆe’nba’ng ta cˆa` nbiˆe´ndˆo’isobˆo. h`amd˜a cho. Ta minh ho.adiˆe`ud´ob˘a`ng mˆo.tsˆo´ v´ıdu. sau dˆay. V´ı du. 1. Khai triˆe’n h`am 1 f(z)= (1 − z2)(z2 +4) th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0. . . Gia’i. H`amd˜acho c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng: 1 1 1 f(z)= h + i 5 1 − z2 z2 +4 1 1 1 = h + i · 5 1 − z2 z2 41+ 4 . Bˆaygi`o ´ap du. ng khai triˆe’nVI1 1 = X tn, |t| 0 ta c´o 1 (−1)n f(z)=X h1+ iz2n, |z| 0 V´ı du. 2. T`ım khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z)=ez · cos z. . Gia’i. Ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0tac´othˆe’ nhˆanhai chuˆo˜iv´oi nhau. Tuy . . . . . . . nhiˆen,trong tru`o ng ho. p n`ay, tiˆe.nlo. ihonca’ l`asu’ du.ng d`ˆo ng nhˆa´tth´uc eiz + e−iz 1 ez · cos z = ezh i = [e(1+i)z + e1−i)z]. 2 2 √ √ i π −i π V`ı1+i = 2 · e 4 ;1− i = 2 · e 4 nˆen´apdu. ng khai triˆe’n (II) ta c´o: n i πn n −i πn 2 2 · e 4 +22 · e 4 ez · cos z = X zn 2 n>0 n πn n = X 2 2 cos · z ,z∈ C. 4 n>0
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 295 1 V´ı du 3. Khai triˆe’n h`am f(z)= + e−z th`anhchuˆo˜i Taylor v´o.i tˆam . 1+z a = 0 v`achı’ ra b´ank´ınh hˆo.itu. cu’a chuˆo˜i. Gia’i. Ta c´o 1 =1− z + z2 − z3 + ···+(−1)nzn + 1+z z2 z3 zn e−z =1− z + − + ···+(−1)n + 2! 3! n! . . . T`u d´ob˘a`ng c´ach cˆo.ng c´acchuˆo˜i ta thu duo. c f(z)=[1− z + z2 −···+(−1)nzn + ] z2 zn + h1 − z + −···+(−1)n + i 2! n! 1 1 =2− 2z + 1+ z2 − 1+ z3 + 2! 3! 1 +(−1)n−11+ zn−1 + (n − 1)! 1 = X(−1)n−11+ zn−1. (n − 1)! n>1 . . Diˆe’mbˆa´tthu`ong gˆa` ngˆo´cto.adˆo. nhˆa´tl`az = −1. Do d´ob´ank´ınhhˆo.itu. cu’a chuˆo˜il`aR =1. V´ı du. 4. Khai triˆe’n h`am z2 − 2z +19 f(z)= (z − 3)2(2z +5) . th`anhchuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta.idiˆe’m a =0v`achı’ ra b´ank´ınhhˆo.itu. cu’a . . chuˆo˜ithuduo. c. . . . . Gia’i. V`ı f(z) l`aphˆanth´uch˜uuty’ thu. csu. nˆenta c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜nn´o . . . du´oida.ng tˆo’ng c´acphˆanth´uctˆo´i gia’n: 1 2 f(z)= + · 2z +5 (z − 3)2
296 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Tiˆe´p theo ta c´o 1 1 1 2n = · = X(−1)n zn. 2z +5 5 2z 5n+1 1+ n>1 5 5 V`ıdiˆe’m z = − l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng gˆa` ngˆo´ctoadˆo nhˆa´tnˆen b´ank´ınhhˆoi 2 . . . 5 tu R cu’a chuˆo˜ithudu.o.cl`aR = . . 1 . 1 2 2 Dˆe ’ khai triˆe’n h`am th`anhchuˆo˜i Taylor tai lˆancˆandiˆe’m a =0ta (z − 3)2 . . s˜e´apdu.ng hˆe. qua’ cu’ad.inh l´yWeierstrass. Ta c´o 2 0 2 = − z − 3 (z − 3)2 2 2 1 1 = − · = −2 X zn, |z| 0 v`ado d´o 2 nzn−1 (n +1)zn =2X =2X , |z| 1 n>0 . . Cˆo.ng c´acchuˆo˜ithuduo. ctac´o 2n 2(n +1) 5 f(z)=X h(−1)n + izn, |z| 0 V´ı du. 5. Khai triˆe’n nh´anhlogarit nhˆa.n gi´atri. 2πi ta.idiˆe’m z0 = 1 th`anh chuˆo˜i Taylor trong lˆancˆa.ndiˆe’m a =2. . . Gia’i. Tru ´o chˆe´t ta cˆa` n x´acd.inh nh´anhn`ao(trong vˆosˆo´ nh´anhcu’a h`am logarit) l`anh´anhtho’am˜andiˆe`ukiˆe.ncu’a b`aito´an.Ta c´o z − 2 ln z = ln[2 + (z − 2)] = ln n2h1+ io 2 z − 2 = ln 2 + ln 1+ . 2
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 297 T`u. d´o suy r˘a`ng z − 2 ln z = ln 2 + ln 1+ +2πi 2 l`anh´anhcˆa` n t`ım.Nh´anhn`aychı’nh h`ınh trong miˆe`n C\R−.V`ı dist (2; ∂D)= . . 2 nˆentrong h`ınh tr`on {z : |z − 2| 1 . v´oi b´ank´ınhhˆo.itu. R =2. √ √ 3 V´ı du. 6. Khai triˆe’n h`am f(z)= 3 z, −8=−2 th`anhchuˆo˜i Taylor trong lˆancˆa.ndiˆe’m a = −8. . Gia’i. Nhu trong v´ıdu. 5 ta c´o √ √ z +8 1/3 3 z = p3 −8+(z +8)= 3 −8h1 − i 8 v`ado d´o nh´anhtho’am˜andiˆe`ukiˆe.n b`aito´anl`a z +8 1/3 f(z)=−21 − . 8 . Tiˆe´p theo, ´apdu.ng cˆongth´ucVtac´o 1   1 f(z)=−21 − X 3 (z +8)no   8n n>1 n V`ı z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cu’a h`amgˆa` ndiˆe’m a = −8 nhˆa´tnˆenR = dist(0; −8) = 8. - . D.inh l´y4.1.8. Gia’ su’ chuˆo˜i c´ach`amchı’nh h`ınh P uk(z) hˆo. itu. d`ˆe u trong k>1 h`ınh tr`on S(a; R)={z : |z − a| 1
298 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . Khi d´oc´achˆe. sˆo´ Taylor an(f) cu’a h`am f(z) x´acd.inh bo’ i (4.13) l`ab˘a`ng c´ac . tˆo’ng cu’ac´achˆe. sˆo´ Taylor c`ung sˆo´ hiˆe.u an(uk) cu’a c´ach`am uk(z),t´ucl`a an(f)=X an(uk). (4.14) k>1 . . . . Ch´ung minh. T´ınh chı’nh h`ınh cu’a h`amtˆo’ng f(z)duo. c suy ra t`u d.inh l´y Weierstrass (4.1.3). C˜ung theo d.inh l´yWeierstrass ta c´o (n) (n) f (z)=X uk (z) k>1 . . Thay z = a ta thu duo. c f (n)(a) u(n)(a) = X k n! n! k>1 hay l`a an(f)=X an(uk). k>1 Ta x´et v´ıdu. sau dˆay. Ta x´ettˆo’ng cu’a chuˆo˜i h`am zn F (z)=X · 1 − zn n>0 . . . Tru ´ochˆe´t ta nhˆa.nx´et r˘a`ng c´acsˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜id`ˆe u l`anh˜ung h`am . . chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ondondonvi . . Ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng chuˆo˜id˜a c h o h ˆo.itu. d`ˆe u trˆent`ung comp˘a´ccu’a . . h`ınhtr`ondonvi. U. Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u K l`atˆa.pho. pd´ongtrong U v`a δ>0l`a . . . . khoa’ng c´ach t`u K dˆe´ndu`ong tr`ondonvi. th`ı |z| 6 1 − δ = ρ<1 ∀z ∈ K.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 299 Do d´o zn ρn ρn 6 6 · n n 1 − z 1 − ρ 1 − ρ n . ρ Nhung v`ı chuˆo˜i P hˆo.itu., nˆen chuˆo˜id˜a cho hˆo.itu. d`ˆe u trˆen K. n>0 1 − ρ Dˆe ’ x´acd.inh hˆe. sˆo´ Taylor cu’a zk trong khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z)ta cˆa` ncˆo.ng c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a zk trong mo.i khai triˆe’n zn σ = = zn + z2n + z3n + n 1 − zn Ta k´yhiˆe.uhˆe. sˆo´ Taylor cu’a σn l`a Ak(σn). Ta c´o 1, nˆe´u k chia hˆe´tchon, Ak(σn)= 0, nˆe´u k khˆongchia hˆe´tchon.  k . . . . Do d´o h ˆe. sˆo´ cˆa` n t`ımcu’a z b˘a`ng tˆo’ng c´acdonvi. v´oisˆo´ luo. ng b˘a`ng sˆo´ c´ac . . . u´o ctu. nhiˆencu’asˆo´ k.Nˆe´utak´yhiˆe.u ϕ(k) l`asˆo´ d´o, th`ı ϕ(1) = 1; ϕ(2) = 2; ϕ(3) = 2; ϕ(4) = 3, v`ata c´o F (z)=X ϕ(k)zk k>1 . D´o l`akhai triˆe’nmuˆo´n t`ım.H`am F (z)chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ondonvi. . (theo d.inh l´yWeierstrass) nˆenchuˆo˜idang x´et hˆo.itu. trong h`ınh tr`ondonvi . . D- .inh l´y4.1.9. Gia’ su’ f(z) l`ah`amho. pcu’a z f(z)=F [ϕ(z)] = F (w),w= ϕ(z) . . v`ac´acdiˆe`ukiˆe. nsaudˆay duo. c tho’a m˜an 1+. h`am w = ϕ(z) chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa. ndiˆe’m z = a; 2+. h`am F (w) chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa. ndiˆe’m w = b = ϕ(a). Khi d´o: 1) h`am f = F ◦ ϕ chı’nh h`ınhta. i lˆancˆa. ndiˆe’m z = a; . . . 2) Khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z) v´oi tˆamta. idiˆe’m z = a thu duo. cb˘a`ng ph´ep thˆe´ chuˆo˜i theo l˜uyth`u.acu’a z − a dˆo´iv´o.i h`am ϕ(z) v`aochuˆo˜i theo l˜uy
300 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . th`uacu’a w − b dˆo´iv´oi h`am F (w);o’ dˆay c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a h`am f(z) . . . duo. c t`ımb˘a`ng c´achthu. chiˆe.n c´acph´epnhˆanchuˆo˜iv`acˆo. ng c´achˆe. sˆo´ cu’a . c´acl˜uy th`uac`ung bˆa. c. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. m ϕ(z)=b + X am(z − a) , |z − r| 1 n F (w)=X An(w − b) , |w − b| 0 trong d´o c´achˆe. sˆo´ am, An d˜a b i ˆe´t. V`ı ϕ(z) → b khi z → a nˆen ∃ ρ = ρ(R), 0 0 n m = X Ann X am(z − a) o (4.17) n>0 m>1 hˆo.itu. khi |z − a| <ρ.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 301 . . . . Dˆe ’ c´othˆe’ du. a v`aot´ınhhˆo.itu. d`ˆe ucu’a n´ota thay ρ bo’ isˆo´ khˆongl´onhon n´ol`a0 1 . P un(z)hˆo.itu. d`ˆe uv`agˆo`mt`u c´ach`amchı’nh h`ınhnˆenc´othˆe’ ´ap du.ng d.inh n>0 l´y4.1.6. T`u. d´o v `a tu ` . t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy . . . . th`ua suy ra c´ach x´acd.inh c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a h`am f.D.inh l´yduo. cch´ung minh. sin z V´ı du. . T`ım bˆo´nsˆo´ ha.ng d`ˆa u tiˆencu’a khai triˆe’n h`am f(z)=e th`anh chuˆo˜i Taylor v´o.i tˆam a =0. Gia’i. Thay t = sin z v`aod˘a’ng th´u.c t t2 tn et =1+ + + ···= + 1! 2! n! . . ta thu duo. c sin z sin2 z sinn z esin z =1+ + + ···+ + 1! 2! n! T`u. d´o ta c´o z3 1 z3 2 esin z =1+z − + + z − + 3! 2! 3! 1 z3 2 + z − + + ···= 3! 3!
302 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh z3 1 z2 2 =1+z − + + z21 − + 3! 2! 3! 1 z2 3 + z21 − + + 3! 3! 1 1 1 =1+z − z3 + z2 + z3 + 3! 2! 3! 1 =1+z + z2 +0+ 2 . . D- .inh l´y4.1.10. Gia’ su’ cho hai chuˆo˜il˜uyth`ua n n ϕ(z)=X an(z − a) ,ψ(z)=X bn(z − a) n>0 n>0 . . . . . v´oib´ank´ınh hˆo. itu. tuong ´ung l`a R1 v`a R2. Gia’ su’ ψ(z) khˆongtriˆe.t tiˆeu trong h`ınh tr`on |z − a| 0; k´yhiˆe.u r = min(R1,R2,ρ). Khi d´o h`am ϕ(z) f(z)= ψ(z) chı’nh h`ınhtrong h`ınh tr`on |z − a| 0 th`ı a0 c0 = , b0 b 00 0 a 0 0 b1 b0 0 0 a1 1 b2 b1 b0 0 a2 c = ,n=1, 2, (4.18) n n+1 . . . . . b0 . . . . . . bn−1 bn−2 bn−3 b0 an−1 bn bn−1 bn−2 b1 an . . . Ch´ung minh. T´ınh chı’nh h`ınh cu’a h`am f(z) trong h`ınh tr`ond˜anˆeuduo. c . . . . r´ut ra t`u quy t˘a´cda.oh`amdˆo´iv´oi phˆanth´uc. Ta nhˆa.nx´etr˘a`ng t`u diˆe`ukiˆe.n
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 303 . . . . . cu’ad.inh l´ysuy r˘a`ng b0 =0v`6 ı trong tru`ong ho. p nguo. cla.i ψ(a)=0v`adod´o ϕ(z) ρ = 0 v`ata didˆe´n mˆauthuˆa˜n. Tiˆe´p theo, t`u. d`ˆo ng nhˆa´tth´u.c = f(z) ψ(z) suy r˘a`ng n n n X an(z − a) = X cn(z − a) · X bn(z − a) . n>0 n>0 n>0 . V`ı c´acchuˆo˜io’ vˆe´ pha’ihˆo.itu. tuyˆe.tdˆo´i trong h`ınh tr`on |z − a| 0 n>0 k=0 = c0b0 +(c0b1 + c1b0)(z − a) 2 +(c0b2 + c1b1 + c2b0)(z − a) + n +(c0bn + c1bn−1 + ···+ cnb0)(z − a) + Do t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`u.a ta c´othˆe’ x´ac . d.inh c´achˆe. sˆo´ c0,c1, bo’ ihˆe. sau b0c0 = a0, b1c0 + b0c1 = a1, b2c0 + b1c1 + b0c2 = a2, bnc0 + bn−1c1 + bn−2c2 + ···+ b0cn = an, . . . . D´ol`ahˆe. vˆoha.n c´acphuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhdˆo´iv´oi c´achˆe. sˆo´ chuabiˆe´t . . c0,c1, ,cn, T`u hˆe. d´o ta c´othˆe’ x´acd.inh hˆe. sˆo´ c0,c1, ,cn, v´oisˆo´ . . . . . hiˆe.u cho tru´ocbˆa´tk`y. Thˆa.tvˆa.y, hˆe. n +1 phuong tr`ınhd`ˆauv´oi c´acˆa’n . c0,c1, ,cn c´od.inh th´ucb˘a`ng b 00 0 0 b1 b0 0 0 = bn+1 =6 0 (4.19) . . . . 0 . . . . . bn bn−1 bn−2 b0
304 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . T`u (4.19) v`aquy t˘a´c Cramer ta thu duo. c (4.18). . . . V´ı du. . Ta thu. chiˆe.n ph´epchia chuˆo˜il˜uy th`ua cho chuˆo˜il˜uy th`ua. X´eth`am z f(z)= · ez − 1 V`ı z v`a ez − 1d`ˆe uchı’nh h`ınh ∀ z ∈ C nˆenh`am f(z)chı’nh h`ınh ∀ z ∈ C \{0; ±2πi; ±4πi; }.V`ı z z 1 f(z)= = = (4.20) ez − 1 z z2 z z2 1+ + + − 1 1+ + + 1! 2! 2! 3! nˆensau khi cho f(0) = 1 ta c´othˆe’ xem f(z)chı’nh h`ınhta.i z =0.Diˆe’mbˆa´t thu.`o.ng gˆa` n z = 0 nhˆa´tl`az =2πi (v`a z = −2πi). Do d´o trong h`ınhtr`on . . n |z| 1. n 2! n 1 n! 1 (n + 1)! 0 T`u. (4.21) suy ra: 1 1 1 a =1,a= − ,a= ,a=0,a= − , 0 1 2 2 12 3 4 720
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 305 v`ado d´o khai triˆe’n c´oda.ng z z z2 z4 =1− + − + (4.22) ez − 1 2 12 720 . . . . . Ta s˜ech´ung to’ r˘a`ng trong chuˆo˜ithuduo. cmo.ihˆe. sˆo´ v´oisˆo´ hiˆe.ule’ (tr`u ra . a1)d`ˆe ub˘a`ng 0. Thˆa.tvˆa.yt`u (4.22) ta c´o z z z2 z4 + =1+ − + ez − 1 2 12 720 Vˆe´ tr´ail`ah`amch˘a˜nv`ı z z − z z z z e +1 z e 2 + e 2 z z + = = · = cth · z z z − z e − 1 2 2 e − 1 2 e 2 − e 2 2 2 Do d´o khai triˆe’n Taylor cu’an´oo’. vˆe´ pha’ichı’ ch´u.a c´acl˜uy th`u.ach˘a˜n. . 4.1.5 C´acquan diˆe’m kh´acnhau trong viˆe.c xˆaydu. ng l´y thuyˆe´t h`amchı’nh h`ınh . . Khi xˆaydu. ng l´y thuˆe´t h`amchı’nh h`ınhta c´othˆe’ xuˆa´t ph´att`u c´acd.inh ngh˜ıa . . . . . . . tuong duong nhau vˆ`e h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D.Diˆe`ud´odu. a trˆenco so’ . . . . . . l`al´op c´ach`amchı’nh h`ınhtrong miˆ`en D c´othˆe’ duo. cd˘a. c trung bo’ inh˜ung . . . . . t´ınhchˆa´td˘a. cbiˆe.t kh´acnhau nhung tuong duong nhau. Do vˆa.yhˆe. thˆo´ng . tr`ınhb`ayl´ythuyˆe´t h`ambiˆe´nph´uc phu. thuˆo.c nhiˆ`eu v`aoviˆe.ccho.n t´ınhchˆa´t n`aotrong sˆo´ d´o l`amd.inh ngh˜ıaxuˆa´t ph´at. . . Sau dˆay l`anh˜ung t´ınhchˆa´t quan tro.ng nhˆa´td˘a.c trung cho t´ınhchı’nh . h`ınhcu’a h`am f(z) trong miˆe`n D.O’ dˆayta gia’ thiˆe´t D l`amiˆe`ndo.n liˆenv`a ta k´yhiˆe.u f(z)=u(x, y)+iv(x, y), z = x + iy. 0 T´ınh chˆa´t C. H`am f(z)c´oda.o h`am f (z)ta.imo.idiˆe’mcu’amiˆe`n D. . T´ınh chˆa´t R. Trong miˆ`en D phˆa` n thu. c u(x, y) v`aphˆa` na’o v(x, y) c´oc´ac da.o h`amriˆengcˆa´p 1 liˆentu.c v`atho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann ∂u ∂v ∂u ∂v = ; = − · ∂x ∂y ∂y ∂x
306 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh T´ınh chˆa´t J. Gia’ thiˆe´t h`am f(z) liˆentu.c trong miˆe`n D.T´ınh chˆa´t J . . . . . . . duo. c ph´atbiˆe’ubo’ imˆo.t trong hai da.ng tuong duong sau. . Z (J1)V´oi hai diˆe’m a v`a b thuˆo.c D bˆa´tk`y, t´ıch phˆan f(z)dz lˆa´y theo L(a,b) . . . . . du`ong cong doduo. c L(a, b)dit`u diˆe’m a dˆe´ndiˆe’m b l`akhˆongphu. thuˆo.c v`ao . . du`ong lˆa´y t´ıch phˆan L(a, b) m`achı’ phu. thuˆo.c v`aoh`am f(z), diˆe’md`ˆau a v`a diˆe’m cuˆo´i b cu’a L. . . . . . (J2)V´oidu`ong cong d´ong doduo. cbˆa´tk`yL n˘a`m trong miˆ`en D t´ıch phˆan Z f(z)dz lˆa´y theo du.`o.ng cong d´o l`ab˘a`ng khˆong. L . . . T´ınh chˆa´t W.V´oimo.idiˆe’m a ∈ D h`am f(z) khai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i . . . l˜uy th`uav´oi tˆamta.i a,t´uc l`a: ∀ a ∈ D, ∃(An), An = An(a) sao cho chuˆo˜i n X An(z − a) n>0 hˆo.itu. trong h`ınh tr`on {z : |z − a| <R} n`aod´o (b´ank´ınhhˆo.itu. R phu. thuˆo.c v`ao a) v`ac´otˆo’ng b˘a`ng f(z)). Ta c´o . . . . . D- .inh l´y4.1.11. C´act´ınh chˆa´t C, R, J v`a W l`atuong duong v´oi nhau. . . . . Ch´ung minh. Ta cˆa` nch´ung minh luo. cd`ˆo sau dˆay C =⇒R ~ w w w w W⇐= J + . . . 1 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh C =⇒Rduo. cch´ung minh trong d.inh l´y6.3 (vˆe` diˆe`u . kiˆe.ncˆa` ndˆe ’ h`am f(z)l`aC - kha’ vi) v`ad.inh l´y11.14 vˆe` su. tˆo`nta.ida.o h`am mo.icˆa´pcu’a h`amchı’nh h`ınh. + . . . . 2 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh R =⇒ J duo. cch´ung minh bo’ id.inh l´y10.3. + . . . . 3 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh J =⇒Wduo. cch´ung minh bo’ id.inh l´y Cauchy - Taylor.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 307 + . . . 4 Sau c`ung, diˆe`u kh˘a’ng d.inh W =⇒Cduo. cch´ung minh trong d.inh l´y . 6.9 vˆ`e t´ınhchı’nh h`ınhcu’achuˆo˜il˜uy th`ua trong h`ınh tr`onhˆo.itu. cu’a n´o. . . . . . Xuˆa´t ph´att`u c´acquan diˆe’m kh´acnhau nhu vˆa.y nˆenc´acthuˆa.tng˜u duo. c . . . . d`ung c˜ung kh´acnhau. T`u d.inh l´y4.1.11 c´acthuˆa.tng˜u sau dˆay duo. c xem l`a d`ˆo ng ngh˜ıa “h`amchı’nh h`ınh” ≡ “h`amgia’i t´ıch” ≡ ≡ “h`amd`ˆe u” ≡ “h`amch´ınh quy” . ’. . ho˘a.cc`ond`ung thuˆa.tng˜u “h`amnguyˆen trong miˆe`n D”. O dˆay, thuˆa.tng˜u . . . . h`amchı’nh h`ınhduo. cd`ung d`ˆau tiˆenbo’ i c´acho.c tr`ocu’a Cauchy. Thuˆa.tng˜u . . . . “h`amgia’i t´ıch” duo. cd`ung d`ˆa u tiˆenbo’ i Lagrange v`asau d´o b o’ i Weierstrass. . . Trˆenthu. ctˆe´ O. Cauchy (1784 - 1857) d˜ad.inh ngh˜ıah`amchı’nh h`ınhbo’ i . . t´ınhchˆa´t C (du. a v`aoc´act´ınhchˆa´t kha’ vi cu’a h`am)m˘a.cd`u khi ch´ung minh . . d.inh l´yt´ıch phˆanCauchy (cˆongth´uc t´ıch phˆanco ba’n I) ˆongd˜a thˆemgia’ 0 . thiˆe´t c´ot´ınhchˆa´tk˜y thuˆa.tl`ada.o h`am f (z) pha’i liˆentu.c trong D.Nhung . . . diˆe`ud´od˜aduo. c kh˘a´c phu.cbo’ i Goursat v`aPringsheim vˆe` sau. . . . C`ung th`oiv´oi Cauchy, nh`ato´anho.cDu´c B. Riemann (1826 - 1866) d˜a . . . . . . xuˆa´t ph´att`u t´ınhchˆa´t R.Phuong ph´apn`ayduadˆe´nsu. kha’o s´atd`ˆong th`oi . . . c˘a.p h`amdiˆe`u h`oaliˆen ho. p u v`a v trong miˆe`n D liˆenhˆe. v´oi nhau bo’ idiˆe`ukiˆe.n . . Cauchy - Riemann v`ax´acd.inh h`amchı’nh h`ınh du´oida.ng f(z)=u(z)+iv(z). . . . . . Ngu`oitiˆe´p theo x´aclˆa.pcoso’ l´ythuyˆe´t h`ambiˆe´nph´uc theo mˆo.t c´ach . kh´acl`aK. Weierstrass (1815 - 1897). Weierstrass d˜a s u’ du.ng t´ınhkhai triˆe’n . . . . duo. ccu’a h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`ua(t´uc l`at´ınhchˆa´t W)dˆe ’ l`amd.inh ngh˜ıa. . . . Sau c`ung, dˆe ’ thu duo. c c´act´ınhchˆa´tcoba’ncu’a h`amchı’nh h`ınhv`ad˘a.c . . . . . . biˆe.t l`athu duo. c nhanh cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy ngu`o itad˜asu’ du.ng . . . t´ınhchˆa´t J. Ngu`oid`ˆau tiˆenkha’o s´atc´act´ınhchˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınhdu. a . trˆenquan diˆe’m n`ayl`aOsgood: H`amliˆentu.c f(z) trong miˆe`ndonliˆen D . . . . . . . duo. cgo.i l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`nd´o n ˆe´uv´oidu`ong cong d´ong doduo. c Z . . L bˆa´tk`y thuˆo.cmiˆ`en D th`ı t´ıch phˆan f(z)lˆa´y theo du`ong cong d´o l`ab˘a`ng L 0. . . Bˆaygi`o ta nˆeu ra mˆo.tsˆo´ v´ıdu. ch´ung minh mˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´tcu’a h`am
308 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . b˘a`ng nh˜ung phuong ph´apkh´acnhau du. a trˆenc´acd.inh ngh˜ıaxuˆa´t ph´atd˜a nˆeu. 1. Tˆo’ng cu’a hai h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ f1,f2 ∈H(D). (C). Nˆe´u f1 v`a f2 kha’ vi ta.idiˆe’m z ∈ D t`uy ´yth`ı f1 + f2 c˜ung kha’ vi ta.i d´o v `a t a.id´on´oc´oda.o h`ammo.icˆa´p. (R). D˘a.t f1(z)=u1(x, u)+iv1(x, y); f2(z)=u2(x, y)+iv2(x, y). Khi d´o f1(z)+f2(z)=[u1(x, y)+u2(x, y)] + i[v1(x, y)+v2(x, y)]. V`ımo.ida.o h`amriˆengcˆa´p1cu’a h`am u1, u2, v1, v2 tˆo`nta.i v`aliˆen tu.cnˆen . c´ach`am u1 + u2 v`a v1 + v2 c˜ung c´ot´ınhchˆa´td´o. Ngo`aira t`u c´acdiˆe`ukiˆe.n ∂u ∂v ∂u ∂v  1 = 1  2 = 2  ∂y ∂y  ∂x ∂y  v`a  ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2  = −  = −  ∂y ∂x  ∂y ∂x suy ra ∂(u + u ) ∂(v + v ) ∂(u + u ) ∂(v + v ) 1 2 = 1 2 , 1 2 = − 1 2 , ∂x ∂y ∂y ∂x . t´ucl`af1(z)+f2(z)chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa R. . . . . . (J). Dˆo´iv´oidu`ong cong d´ong doduo. cΓbˆa´tk`y trong miˆe`n D ta c´o Z f1(z)dz =0 Γ Z =⇒ [f1(z)+f2(z)]dt =0 Z f2(z)dz =0 Γ Γ . t´uc l`ah`am f1 + f2 chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa J. (W). Nˆe´u c´acchuˆo˜il˜uy th`u.a 0 n f1(z)=X an(z − a) n>0
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 309 v`a 00 n f2(z)=X an(z − a) n> hˆo.itu. trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m a t`uy ´yn`aod´o c u’amiˆe`n D th`ıchuˆo˜i 0 00 n f1(z)+f2(z)=X(an + an)(z − a) n>0 c˜ung hˆo.itu. trong lˆancˆa.nd´o v `a h `a m f1(z)+f2(z)chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa (W). f1 2. Nˆe´u f1,f2 ∈H(D) th`ı f1f2 ∈H(D), ∈H(D), f2 =06 trong miˆ`en f2 D. . + . Ch´ung minh. 1 Viˆe.cch´ung minh f1f2 ∈H(D) theo d.inh ngh˜ıa C l`akhˆong . c´og`ıkh´okh˘an.Ph´epch´ung minh theo d.inh ngh˜ıa W (ph´epnhˆanchuˆo˜i) hay . . d.inh ngh˜ıa R tuy ph´ucta.pnhung d`ˆe udˆa˜ndˆe´nkˆe´t qua’ mong muˆo´n. Viˆe.c . ch´ung minh t´ınhchı’nh h`ınhcu’a f1 · f2 b˘a`ng d.inh ngh˜ıa J to’ ra khˆongth´ıch . ho. p. + . f1 . . 2 Dˆe ’ ch´ung minh ∈H(D)don gia’nhonca’ l`ad`ung d.inh ngh˜ıa C. f2 . . . Ph´epch´ung minh du. a v`aod.inh ngh˜ıa W rˆa´tph´ucta.p: d´o l`aph´ep chia chuˆo˜i . . cho chuˆo˜i theo phuong ph´aphˆe. sˆo´ bˆa´td.inh (d.inh l´y4.1.10). 3. Nˆe´u h`am W = ϕ(z) chı’nh h`ınhta. idiˆe’m z0, c`onh`am f(w) chı’nh h`ınh ta. i w0 = ϕ(z0) th`ıh`am f(ϕ(z)) chı’nh h`ınhta. idiˆe’m z0. . . . Ch´ung minh. Ph´epch´ung minh du. av`aod.inh ngh˜ıa C l`ahiˆe’n nhiˆenv`ın´o . . . . thu duo. ct`u quy t˘a´cda.o h`amcu’a h`amho. p. Nˆe´u ´apdu.ng d.inh ngh˜ıa(W) . . . th`ıph´epch´ung minh ph´ucta.phon do ph´ep thˆe´ chuˆo˜i v`aochuˆo˜i(d.inh l´y 4.1.9).
310 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’ ah`am chı’nh h`ınh . . . Trong 3.2 ta d˜a thˆa´yr˘a`ng h`amchı’nh h`ınhho`anto`anduo. c x´acd.inh bo’ i c´ac . . gi´atri. cu’a n´otrˆenbiˆencu’amiˆe`nchı’nh h`ınh. Bˆaygi`o ta s˜ech´ung to’ r˘a`ng . . . h`amchı’nh h`ınhho`anto`anduo. cx´acd.inh bo’ i gi´atri. cu’a n´otrˆend˜aydiˆe’m t`uy ´yhˆo.itu. dˆe´ndiˆe’m thuˆo.cmiˆe`nchı’nh h`ınh. T´ınh chˆa´t “nˆo.ita.i” n`aycu’a . . h`amchı’nh h`ınhduo. cgo.il`at´ınhchˆa´t duy nhˆa´t. 4.2.1 Khˆongdiˆe’m (0-diˆe’m) cu’ a h`amchı’nh h`ınh . D- .inh ngh˜ıa4.2.1. Gia’ su’ f(z) ∈H(D). Khi d´o + . . 1 Diˆe’m z = a ∈ D duo. cgo.il`akhˆong-diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am f(z)nˆe´u f(a)=0. + . . 2 Diˆe’m z = a ∈ D duo. cgo.il`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z)nˆe´u f(a)=f 0(a)=···= f (m−1)(a)=0, (4.23) f (m)(a) =06 . . Nˆe´u m =1th`ız = a go.i l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p1haykhˆong-diˆe’mdon cu’a h`am f(z). . T`u d.inh l´yCauchy-Taylor suy r˘a`ng trong lˆancˆa.n U(a, δ)cu’a khˆongdiˆe’m a cu’a h`am f ta c´o f (m)(a) f (m−1)(a) f(z)= (z − a)m + (z − a)m+1 + m! (m + 1)! hay l`a f(z)=(z − a)mϕ(z) trong d´o f (m)(a) f (m+1)(a) ϕ(z)= + (z − a)+ m! (m + 1)! f (m)(a) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong lˆancˆan U(a, δ)v`aϕ(a)= =0.6 . m! Ta c´otiˆeuchuˆa’n sau dˆa y d ˆe ’ x´acd.inh khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 311 . D- .inh l´y4.2.1. Gia’ su’ f ∈H(D) v`a a ∈ D. Khi d´o d iˆe’m z = a l`akhˆong- diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f khi v`achı’ khi ta. i lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a h`am f tho’a . m˜anhˆe. th´uc f(z)=(z − a)mϕ(z), trong d´o h`am ϕ chı’nh h`ınhta. idiˆe’m a v`a ϕ(a) =06 . . . Ch´ung minh. 1. Gia’ su’ diˆe’m a l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f. Theo d.inh l´yCauchy-Taylor ta c´o: f 0(a) f (m−1)(a) f(z)=f(a)+ (z − a)+···+ (z − a)m−1 1! (m − 1)! f (m)(a) + (z − a)m + f (z)(z − a)m+1, m! 1 trong d´o f (m+1‘)(a) f (m+2)(a) f (z)= + (z − a)+ 1 (m + 1)! (m + 2)! . 0 chı’nh h`ınh ta.idiˆe’m a.Nhung z = a l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m nˆen f(a)=f (a)= ···= f (m−1)(a)=0v`adod´o f (m)(a) f(z)= (x − a)m + f (z)(z − a)m+1 m! 1 1 =(z − a)mh f (m)(a)+f (z)(z − a)i. m! 1 1 f (m)(a) D˘at ϕ(z)=h f (m)(a)+f (z)(z −a)i v`anhˆanx´et r˘a`ng ϕ(a)= =0.6 . m! 1 . m! . T`u d´o suy ra diˆe`u kh˘a’ng d.inh cu’ad.inh l´y. 2. Bˆaygi`o. gia’ su’. f(z)=(z − a)mϕ(z). . . Ap´ du. ng cˆongth´uc Leibnitz dˆo´iv´oida.o h`amcˆa´p cao cu’a t´ıch c´ach`am (m) (m) 1 (m−1) 0 m−1 0 (m−1) (m) (uv) = u v + Cmu v + ···+ Cm u v + uv
312 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh v`ad˘a.t u =(z − a)m, v = ϕ(z) ta c´o f(z)=(z − a)mϕ(z) ⇒ f(a)=0; f 0(z)=m(z − a)m−1ϕ(z)+(z − a)mϕ0(z) ⇒ f 0(a)=0; (m−1) 1 2 f (z)=m(m − 1) ···2(z − a)ϕ(z)+Cm−1m(m − 1) ···3(z − a) + +(z − a)mϕ(m−1)(z), ⇒ f (m−1)(a)=0. Nhu.ng (m) 1 0 f (z)=m!ϕ(z)+Cmm(m − 1) ···2(z − a)ϕ (z)+ +(z − a)mϕ(m)(z) ⇒ f (m)(a)=m!ϕ(a) =06 v`ad´o l `a d iˆe`u pha’ich´u.ng minh. V´ı du. . 1) Mo.idiˆe’m zk = kπ, k ∈ Z d`ˆe u l`akhˆong-diˆe’mdoncu’a h`am f(z)=sinz 0 k v`ı f(zk)=sinzk = sin kπ =0v`af (zk) = cos zk = cos kπ =(−1) =0.6 2 2) Diˆe’m z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p4cu’a h`am f(z)=ez − 1 − z2. Thˆa.t vˆa.y, khai triˆe’n h`amd˜acho th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0 2 4 2n 2 z z z f(z)=ez − 1 − z2 = 1+ + + ···+ + − 1 − z2 1! 2! n! z4 z6 z2n = + + ···+ + 2! 3! n! 1 z2 z2n−4 = z4h + + ···+ + i = z4ϕ(z). 2! 3! n! | ϕ{z(z) } T`u. d´o suy r˘a`ng z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p4cu’a h`amd˜a cho. 3) T`ımcˆa´pcu’a khˆong-diˆe’m z =0dˆo´iv´o.i h`am z8 f(z)= · z − sin z
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 313 . Gia’i. Su’ du. ng khai triˆe’n h`amsin z th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m . . z = 0, ta thu duo. c z8 z8 f(z)= = z − sin z z3 z5 z − hz − + − i 3! 5! z8 1 = = z5 · z3 z5 1 z2 − + − + 3! 5! 3! 5! D˘a.t 1 ϕ(z)= 1 z2 − + 3! 5! khi d´o f(z)=z5ϕ(z), trong d´o ϕ(z) l`ah`amchı’nh h`ınhta.idiˆe’m z = 0 (ta.i sao?)˙ v`a ϕ(0) = 6 =6 0. Do vˆa.y z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p5cu’a h`am f(z). 4.2.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’ a h`amchı’nh h`ınh . . . . . Mˆo.thiˆe.ntuo. ng rˆa´td˘a.cbiˆe.t l`al´op h`amm`ata d˜a t´ach ra t`u tˆa.pho. p c´ac . . . h`ambiˆe´nph´uctˆo’ng qu´atb˘a`ng diˆe`ukiˆe.n C-kha’ vi t´ucl`al´op c´ach`amchı’nh h`ınh H(D) mang mˆo.t t´ınhchˆa´tnˆo.ita.irˆa´tch˘a.t ch˜e. T´ınhchˆa´tnˆo.ita.id´o . cho ph´ep ta dua ra mˆo.tkˆe´t luˆa.nx´acd.inh vˆe` d´angdiˆe.ucu’a h`amˆa´y trong miˆe`n con du’ b´ethuˆo.cmiˆ`en D.Tac´od.inh l´ysau dˆay mˆota’ t´ınhchˆa´td´ogo.i l`a d.inh l´yduy nhˆa´t. D- .inh l´y4.2.2. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D v`atriˆe.t tiˆeutrˆen . tˆa. pho. p vˆoha. n E ⊂ D n`aod´o c´o´ıtnhˆa´tmˆo. tdiˆe’mtu. n˘a`m trong D th`ı f(z)=0 ∀ z ∈ D. . . . . . . Ch´ung minh. I. D`ˆau tiˆenta x´ettru`ong ho. ptˆa.pho. p E c´odiˆe’mtu. h˜uuha.n . . . . . a ∈ D. Ph´epch´ung minh duo. c chia th`anhc´acbu´oc sau. 1+ H`am f c´okhai triˆe’n Taylor 2 f(z)=a1(z − a)+a2(z − a) + (4.24)
314 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Thˆa.tvˆa.y, v`ıh`am f liˆentu. cta.idiˆe’m a nˆen f(a) = 0. Tiˆe´pd´o, v`ı f chı’nh . . h`ınhta.idiˆe’m a nˆenn´okhai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m a v`ado f(a) = 0 nˆenta c´o(4.24). + . . . . 2 Ta ch´ung minh r˘a`ng ak =0 ∀k =1, 2, Gia’ su’ nguo. cla.i: tˆo`nta.i . . . . nh˜ung hˆe. sˆo´ kh´ac0. Gia’ su’ am l`ahˆe. sˆo´ kh´ac0 v´oisˆo´ hiˆe.u nho’ nhˆa´t, t´ucl`a a1 = a2 = ···= am−1 =0,am =6 0. Khi d´o m f(z)=(z − a) [am + am+1(z − a)+ ],am =06 . (4.25) . . T`u (4.25) suy r˘a`ng trong lˆancˆa.nthu’ng du’ b´ecu’adiˆe’m z = a ca’ hai th`ua . . sˆo´ cu’avˆe´ pha’i (4.25) d`ˆe u kh´ac0. Nhung diˆe`ud´ola.i mˆauthuˆa˜nv´oi gia’ thiˆe´t . r˘a`ng z = a l`adiˆe’mtu. cu’a 0-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f.Nhuvˆa.y gia’ thiˆe´t . cu’a ta l`asai v`a ak =0∀ k > 1. Nhung khi d´o f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.n n`aod´o cu’adiˆe’m a v´o.i b´ank´ınhb˘a`ng khoa’ng c´ach t`u. diˆe’m a dˆe´n biˆencu’amiˆe`n D. 3+ Bˆaygi`o. ta ch´u.ng minh r˘a`ng f(z) ≡ 0 trong to`anmiˆe`n D. Gia’ su’. . . . . nguo. cla.i: ta.idiˆe’m z = b h˜uuha.nn`aod´o f(b) =0,6 b ∈ D.Tanˆo´idiˆe’m a v´oi . . . diˆe’m b bo’ idu`ong cong ` = `(a, b) ⊂ D v`ak´yhiˆe.u δ = dist(`, ∂D) l`akhoa’ng c´ach t`u. du.`o.ng cong ` dˆe´nbiˆen ∂D, δ>0. Ta phu’ du.`o.ng cong ` bo’.i c´ac . h`ınhtr`onb´ank´ınh δ sao cho h`ınh tr`onth´u nhˆa´t c´otˆamta.i a, h`ınhtr`ontiˆe´p . . . . . . theo c´otˆamta.i giao diˆe’mcu’adu`ong tr`onth´u nhˆa´tv´oidu`o ng cong `, Theo ch´u.ng minh trong 2+ ta c´o f(z) ≡ 0 trong h`ınh tr`onth´u. nhˆa´t v`atˆam . cu’a h`ınhtr`onth´u hai l`adiˆe’mtu. cu’a c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`am f(z). Do vˆa.y . . . . . . f(z) ≡ 0 trong h`ınh tr`onth´u hai. Lˆa.p luˆa.ntuong tu. ta thu duo. c f(z) ≡ 0 . . trong mo.i h`ınhtr`onv`ad˘a.cbiˆe.tl`af(b) = 0. Tr´aiv´oi gia’ thiˆe´t. Nhu vˆa.y . f(z) ≡ 0ta.imo.idiˆe’mh˜uuha.ncu’amiˆe`n D.Nˆe´u h`am f chı’nh h`ınhta.i ∞ . th`ıtheo t´ınhliˆen tu.ctac´of(∞)=0,t´ucl`af(z) ≡ 0 trong D. . . . II. Tru`ong ho. ptˆa.p E c´odiˆe’mtu. duy nhˆa´tta.i ∞.Tax´et h`am f(w)= 1 f . H`amn`aychı’nh h`ınhtrong miˆ`en D∗ l`aa’nh cu’amiˆe`n D qua ´anhxa w . 1 1 w = .Tˆapho.p E c´oa’nh qua ´anhxa w = l`atˆapho.p E∗ n`aod´o c ´o d iˆe’m z . . . z . . ∗ . ∗ tu. w = 0 thuˆo.cmiˆ`en D .Lˆa.p luˆa.nnhutrˆenta c´o: F (w) = 0 trong D .Do . . . d´o f(z) ≡ 0 trong D.D.inhl´yduo. cch´ung minh ho`anto`an.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 315 Hˆe. qua’ 4.2.1. (nguyˆenl´ycˆolˆa.pcu’a 0-diˆe’m h`amchı’nh h`ınh) . Mo. i 0-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhkhˆongd`ˆong nhˆa´tb˘a`ng 0 d`ˆe ucˆolˆa. p, t´uc . l`adˆo´iv´oimˆo˜i 0-diˆe’mn˘a`m trong D cu’a h`am f 6≡ 0 d`ˆe utˆo`nta. i lˆancˆa. nm`a trong d´o h`am f khˆongc´omˆo. t 0-diˆe’m n`aokh´acngo`ai0-diˆe’md´o. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ tˆo`nta.i 0-diˆe’m z = a cu’a h`am f 6≡ 0 m`atrong lˆancˆa.n bˆa´tk`ycu’a n´oc`ontˆo`nta.i c´ac0-diˆe’m kh´accu’a f. Khi d´osˆo´ 0-diˆe’md´o l `a v ˆo . . sˆo´ v`adˆo´iv´oich´ung diˆe’m z = a l`adiˆe’mtu T`u d´o theo d.inh l´y duy nhˆa´t f(z) ≡ 0 trong D.Diˆe`u n`aymˆauthuˆa˜nv´o.i gia’ thiˆe´tr˘a`ng f(z) 6≡ 0 trong D. Hˆe. qua’ 4.2.2. Nˆe´u h`am f chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D v`ata. idiˆe’m a ∈ D n`ao d´o h`am f v`amo. ida. o h`amcu’an´od`ˆe u triˆe.ttiˆeu th`ı f(z) ≡ 0 trong D. . Ch´ung minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınhta.idiˆe’m a ∈ D nˆentrong lˆancˆa.n n`aod´o . . cu’adiˆe’m a n´okhai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i Taylor. Theo diˆe`ukiˆe.ncu’ahˆe. qua’ ta c´o f (n)(a)=0∀ n > 0nˆen f (n)(a) a = =0 ∀ n ≥ 0. n n! Diˆe`ud´oc˜ung c´ongh˜ıal`a f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.nd´o. Lˆa´y lˆancˆa.n n`ayl`am . tˆa.pho. p E v`a´apdu.ng d.inh l´yduy nhˆa´t ta c´o f(z) ≡ 0 trong D. . Hˆe. qua’ 4.2.3. Nˆe´u f1,f2 ∈H(D) v`a f1(z)=f2(z) trˆen tˆa. pho. p E n`aod´o n˘a`m trong D v`ac´odiˆe’mtu. thuˆo. c D th`ı f1(z) ≡ f2(z) trong D. . . . Ch´ung minh. Hˆe. qua’ 4.2.3 thu duo. cb˘a`ng c´ach ´apdu.ng d.inh l´y duy nhˆa´t cho h`am f(z)=f1(z) − f2(z). . . . Nhˆa. nx´et 4.2.1. Bˆen ca.nh d.inh l´yduy nhˆa´td˜a d uo. cch´ung minh (c`ongo.il`a d.inh l´yduy nhˆa´t trong) trong l´y thuyˆe´t h`amchı’nh h`ınhc`onc´oc´ac d.inh l´y duy nhˆa´t biˆen, trong d´o t ˆo ’ng qu´atnhˆa´t v`asˆaus˘a´c nhˆa´t l`ac´acd.inh l´ycu’aN. . Luzin v`aI. Privalov m`ado pha.m vi gi´aotr`ınhta s˜ekhˆongtr`ınhb`ayo’ dˆay.
316 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . Nhˆa. nx´et 4.2.2. T`u d.inh l´yv`uach´ung minh ta c˜ung suy ra r˘a`ng mˆo˜i khˆong- . . diˆe’mcu’a h`am f(6≡ 0) d`ˆe uc´ocˆa´ph˜uuha.n. Thˆa.tvˆa.y, t`u d.inh l´y4.1.1 v`akhai triˆe’n Taylor (4.24) suy r˘a`ng nˆe´u khˆongdiˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhc´o“cˆa´pvˆo ha.n” th`ı f(z) lim =0,n=0, 1, 2, z→a (z − a)n v`ado d´o f ≡ 0 trong D. . . . Nhˆa. nx´et 4.2.3. Tˆa.pho. p con comp˘a´c K ⊂ D bˆa´tk`ychı’ ch´uamˆo.tsˆo´ h˜uu ha.n c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f. . Nhˆa. nx´et 4.2.4. Nˆe´utˆa.pho. pmo.i khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f (f 6≡ 0), . . trong miˆ`enchı’nh h`ınh D cu’a n´okhˆongh˜uuha.nth`ıtˆa.pho. pd´o c h’ ı c´othˆe’ l`a . . 0 tˆa.pdˆe´mduo. c. Thˆa.tvˆa.y, ta k´yhiˆe.u Dn l`ahˆe. c´acmiˆe`nd´ong thuˆo.c D tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n: 0 0 a) Dn+1 ⊂ Dn; 1 b) dist(∂D,∂D0 )= . n n ˜ 0 . ’ Trong mˆoimiˆe`nd´ong Dn h`am f chı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.n khˆong-diˆemv`ı . . . . . . trong tru`ong ho. p nguo. cla.i, tˆo`nta.i gi´oiha.ncu’a c´ackhˆongdiˆe’mˆa´yv`adiˆe’m . . gi´oiha.n n`aythuˆo.c D.Dod´o f(z) ≡ 0 trong D theo d.inh l´yduy nhˆa´t. T`u . nhˆa.nx´etd´o, dˆe˜ d`angsuy ra r˘a`ng tˆa.pho. p c´ackhˆongdiˆe’mcu’a h`amchı’nh . . h`ınhl`adˆe´mduo. c. . . . Nhˆa. nx´et 4.2.5. Trong nhiˆ`eu tru`ong ho. p, thay v`ı c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`am chı’nh h`ınhta s˜ex´et A-diˆe’m. Ta go.i z0 l`a A-diˆe’mcu’a h`am f chı’nh h`ınhtrong . . . miˆe`n D nˆe´u f(z0)=A, A ∈ C. Trong tru`ong ho. pd˘a.cbiˆe.t khi A =0th`ız0 . l`akhˆong-diˆe’mcu’a h`am f. Ta nhˆa.n x´etr˘a`ng v´oimo.i A =6 ∞,mo.i A-diˆe’m cu’a h`am f d`ˆe u l`akhˆong-diˆe’mcu’a h`am f(z) − A.Dod´omo.i quy luˆa.ttˆo’ng . . . . qu´atd˜aduo. c x´aclˆa.pdˆo´iv´oi khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhd`ˆe udung´ v´oi A-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh,trong d´o A =6 ∞ l`asˆo´ ph´u.ct`uy ´y.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 317 4.2.3 Nguyˆenl´y th´actriˆe’n gia’it´ıch . . . D- .inh ngh˜ıa4.2.2. Gia’ su’ c´acdiˆe`ukiˆe.n sau dˆa y d uo. c tho’a m˜an:1) h`am f chı’nh h`ınh trong miˆ`en D; 2) h`am F chı’nh h`ınh trong miˆ`en D˜ ⊃ D;3) F (z) ≡ f(z), t´u.cl`aF (z) ≡ f(z) khi z ∈ D. Khi d´o h`am F (z)du.o.cgoil`a D . . th´actriˆe’n gia’i t´ıch cu’a h`am f(z)(t`u. miˆe`n D ra miˆe`n D˜). . . N´oimˆo.t c´ach kh´ac:h˜aymo’ rˆo.ng miˆe`n x´acd.inh cu’a h`am f m`avˆa˜ngi`u nguyˆen t´ınhchı’nh h`ınh. T´ınh chˆa´t quan tro.ng nhˆa´tcu’a th´actriˆe’n gia’i t´ıch l`at´ınhduy nhˆa´tcu’a n´o.D.inh l´ysau dˆay (go.il`anguyˆen l´y th´actriˆe’n gia’i t´ıch) c´omˆo.t´yngh˜ıa rˆa´t . . co ba’n trong viˆe.c xˆaydu. ng kh´ainiˆe.m h`amgia’i t´ıch. D- .inh l´y4.2.3. (nguyˆenl´yth´actriˆe’n gia’i t´ıch) . Nˆe´uph´ep th´actriˆe’n gia’i t´ıchh`amchı’nh h`ınh v`aomiˆ`en x´acd.inh rˆo. ng hon . . . . . cho tru´oc l`ac´othˆe’ thu. chiˆe.nduo. cth`ı ph´epth´actriˆe’nd´ol`aduy nhˆa´t. . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ f1 v`a g1 l`ahai th´actriˆe’n gia’i t´ıch cu’a h`am f0 ∈H(D) v`aoc`ung mˆo.tmiˆ`en D1 ⊃ D. Khi d´o h`am h(z)=f1(z) − g1(z) . chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D1 v`ab˘a`ng 0 trong miˆe`n D.T`u d.inh l´yduy nhˆa´t suy ra r˘a`ng h(z) ≡ 0v`af1(z) ≡ g1(z) trong D1. . Nhˆa. nx´et 4.2.6. Hiˆe’n nhiˆenbao gi`o ta c˜ung mong muˆo´n th´actriˆe’n h`amchı’nh . . . h`ınhcho tru´oc ra miˆ`en c`angrˆo.ng hon c`angtˆo´tv`akˆe´t qua’ th´actriˆe’n h`am chı’nh h`ınhcho tru.´o.c ra kh˘a´pno.i (tˆa´t nhiˆenno.i n`aoc´othˆe’) n´oichung s˜e dˆa˜ndˆe´n t´ınhda tri. ! . . . . . . Vˆ`e sau (xem chuong V) ta thu`ong cˆa` ndˆe´nsu. mo’ rˆo.ng kh´ainiˆe.m th´ac . . . triˆe’n gia’it´ıchv`uaduo. c tr`ınhb`ay. . . . Gia’ su’ cho hai miˆe`n D1 ⊂ C v`a D2 ⊂ C v`ac´ach`amchı’nh h`ınhtuong . . . u´ng f1 ∈H(D1)v`af2 ∈H(D2). Hai h`am f1(z)v`af2(z)duo. cgo.il`ath´ac . triˆe’n gia’i t´ıchtru. ctiˆe´p cu’a nhau nˆe´u
318 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh a) D1 ∩ D2 =6 ∅, b) tˆo`nta.imiˆe`n δ12 ⊂ D1 ∩ D2 sao cho f1 = f2 . δ12 δ12 . Theo d.inh l´yduy nhˆa´t hai h`am f1 v`a f2 pha’ib˘a`ng nhau kh˘a´pnoi trong . th`anhphˆa` n liˆenthˆong∆ ⊃ δ12 cu’a giao D1 ∩ D2.Nhung giao D1 ∩ D2 c´o . thˆe’ khˆongliˆen thˆongv`ado d´ota.i c´acth`anhphˆa` n liˆenthˆongkh´acd˘a’ng th´uc f1(z)=f2(z) . . c´othˆe’ khˆongduo. c tho’a m˜an. . . . Bˆaygi`o ta dua ra kh´ainiˆe.mtˆo’ng qu´athonvˆe` th´actriˆe’n gia’it´ıch theo mˆo. tx´ıch miˆe`n. Gia’ su’. cho x´ıch miˆ`en D0,D1, ,Dn . sao cho mo.i giao Di,i+1 = Di ∩ Di+1 d`ˆe u khˆongtrˆo´ng v`ad`ˆe ul`anh˜ung miˆe`n . . v´oimo.i i,06 i 6 n − 1. Gia’ su’ tˆo`nta.i c´ach`am f0(z),f1(z), ,fn(z) . . . chı’nh h`ınh trong c´acmiˆe`n Di, i =0, ,n tuong ´ung sao cho trong mo.i . miˆe`n Di,i+1 (i =0, 1, ,n− 1) ta c´od˘a’ng th´uc fi ≡ fi+1 . . . . v´oimo.i z ∈ Di,i+1 (t´uc l`a: fi+1 l`ath´actriˆe’n gia’i t´ıch tru. ctiˆe´pcu’a fi t`u Di . . v`aomiˆ`en Di+1). Khi d´o,h`am fn(z)duo. cgo.il`ath´actriˆe’n gia’i t´ıchcu’a h`am . . f0(z) theo x´ıch miˆe`n D0,D1, ,Dn (khˆongc´oh`ınhdung t`u“tru. ctiˆe´p”!). Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng: th´actriˆe’n gia’it´ıch h`amchı’nh h`ınhtheo mˆo.tx´ıch . . . miˆe`n cho tru´oc l`aduy nhˆa´t (tˆa´t nhiˆen, nˆe´u ph´epth´actriˆe’nd´oc´othˆe’ thu. c . . hiˆe.nduo. c).
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 319 . . R˜or`angl`akhi th´actriˆe’n h`amchı’nh h`ınhcho tru´oc theo mˆo.tx´ıch miˆ`en . . . ta c´othˆe’ tro’ vˆ`e miˆe`n xuˆa´t ph´atsau mˆo.tsˆo´ bu´oc chuyˆe’ntiˆe´p n`aod´o v `a n ´o i . . chung l´uc d´o ta c´othˆe’ thu duo. cmˆo.t h`amchı’nh h`ınhkh´ac. . Dˆe ’ kˆe´tth´uc tiˆe´t n`ay, ta t`ımdiˆe`ukiˆe.ndˆe ’ c´othˆe’ thu. chiˆe.n th´actriˆe’n gia’i t´ıch. Ta c´od.inh l´ysau dˆa y . . D- .inh l´y4.2.4. Gia’ su’ miˆe`n D ⊂ C v`ah`am f ∈H(D). H`am f(z) c´othˆe’ ∗ th´actriˆe’n gia’it´ıch ra miˆe`n D ⊃ D khi v`achı’ khi tˆo`nta. i, d`u chı’ l`amˆo. t, ph´ep khai triˆe’n h`amd´oth`anhchuˆo˜i Taylor ta. i lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a ∈ D n`ao . . . . d´ov´oi h`ınhtr`onhˆo. itu. vuo. trakho’i biˆengi´oicu’amiˆe`n D. . + . Ch´ung minh. 1 Gia’ su’ h`ınhtr`onhˆo.itu. K(a)cu’a khai triˆe’n h`am f(z) th`anh chuˆo˜i Taylor f 0(a) f (n)(a) f(z)=f(a)+ (z − a)+···+ (z − a)n + (4.26) 1! n! . . . vuo. t ra kho’i biˆengi´oicu’amiˆe`n D.Tak´yhiˆe.u K1(a)=z ∈ D : |z − a| < dist(a, ∂D) , G = K(a) ∩ D. X´et d˘a’ng th´u.c (4.26). Vˆe´ tr´aicu’a n´ol`ah`am f(z)chı’nh h`ınh trong miˆ`en D;c`onvˆe´ pha’i l`achuˆo˜il˜uy th`u.abiˆe’udiˆe˜n h`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on K(a). Theo d.inh l´yCauchy-Taylor hai vˆe´ cu’a (4.26) b˘a`ng nhau trong h`ınh tr`on K1(a). Do d´o theo d.inh l´yduy nhˆa´tch´ung b˘a`ng nhau trong giao G m`a ta.id´oca’ hai vˆe´ d`ˆe uchı’nh h`ınh. Ta th´actriˆe’n h`am f(z) ra kho’imiˆe`n D b˘a`ng c´ach d˘a.t f(z)nˆe´u z ∈ D, f ∗(z)= S(z)nˆe´u z ∈K(a) \ G  trong d´o S(z) l`atˆo’ng cu’a chuˆo˜io’. vˆe´ pha’icu’a (4.26).
320 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . T`u d´o ta thu duo. c h`amx´acd.inh trong D ∩K(a)don tri. v`achı’nh h`ınh ∗ . f (z)ta.id´o. Nhu vˆa.ynˆe´u h`ınhtr`onhˆo.itu. K(a)cu’a khai triˆe’n Taylor cu’a . . . h`am f(z)vuo. t ra kho’ibiˆen gi´oicu’amiˆe`nchı’nh h`ınh cu’a h`amth`ıc´othˆe’ th´actriˆe’n gia’i t´ıch h`amd´o ra miˆ`en D ∪K(a). + . . . . ∗ 2 Nguo. cla.i, gia’ su’ h`am f(z)c´othˆe’ th´actriˆe’n ra miˆe`nrˆo.ng hon D ⊃ D. ∗ . . . . Khi d´o t` ˆo nta.i h`ınhtr`on K(a )vuo. t ra kho’i biˆengi´oimiˆe`n D v´oi tˆamta.i ∗ diˆe’m a ∈ D. Theo d.inh l´yCauchy-Taylor khai triˆe’n f 0(a∗) f(z)=f(a∗)+ (z − a)+ 1! . . . hˆo.itu. ´ıtnhˆa´t l`atrong h`ınhtr`on K(a). D.inhl´yduo. cch´ung minh. . . . . Trˆenco so’ d.inh l´yv`uach´ung minh, qu´atr`ınhth´actriˆe’n gia’i t´ıch c´othˆe’ h`ınhdung nhu. sau. Ta khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜i Taylor ta.imˆo˜idiˆe’m trong cu’amiˆe`n D. C´ohai kha’ n˘angc´othˆe’ xa’yra . . . . (i) Nˆe´u khˆongmˆo.th`ınh tr`onhˆo.itu. n`aocu’a c´ackhai triˆe’nthuduo. cvuo. t . . ra kho’imiˆe`n D th`ıh`am f(z) khˆongth´actriˆe’nduo. c ra kho’imiˆe`n D v`amiˆe`n . . . D duo. cgo.il`amiˆe`ntˆo`nta. itu. nhiˆen cu’a h`am f(x) (xem 5.1, 5.2). . . . (ii) Nˆe´uc´onh˜ung h`ınhtr`onhˆo.itu. vuo. t ra kho’imiˆe`n D th`ıtheo d.inh l´y . . ∗ . 4.2.3 ta thu duo. c h`amchı’nh h`ınhtrong D l`aho. pcu’amo.i h`ınhtr`onhˆo.itu. v`a D∗ ⊃ D. . . . . . H`amd˜aduo. c th´actriˆe’nnhuvˆa.yduo. c khai triˆe’n th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i ∗ mˆo˜idiˆe’m a ∈ D \D.Nˆe´u khˆongmˆo.t h`ınhtr`onhˆo.itu. n`aocu’a c´ackhai triˆe’n . . . ∗ ∗ . . m´oivuo. t ra kho’imiˆe`n D th`ı D l`amiˆe`ntˆo`nta.icu’a h`amduo. cx´et. Trong . . . . . . tru`ong ho. p nguo. cla.i ta la.i ´apdu.ng d.inh l´ytrˆenv`ab˘a`ng c´ackhai triˆe’nm´oi ∗∗ ∗ ∗∗ . ta th´actriˆe’n h`amv`aomiˆ`en D ⊃ D trong d´o D l`aho. pcu’a c´ach`ınhtr`on . hˆo.itu. m´oi. . . . . Qu´atr`ınhth´actriˆe’nd˜achı’ ra duo. ctiˆe´ptu.cchodˆe´n khi thu duo. cmiˆe`n . . . D(f) m`ah`am f khˆongthˆe’ th´actriˆe’n gia’i t´ıch tiˆe´pduo. cn˜ua. . 4.2.4 Nguyˆenl´y mˆodun cu. cda.i D´ol`ad.inh l´ysau dˆay
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 321 . D- .inh l´y 4.2.5. Gia’ su’ h`am f chı’nh h`ınh trong miˆe`n D ⊂ C. Khi d´o m ˆo d un . cu’a h`amkhˆongthˆe’ da. t gi´atri. cu. cda. icu’a n´o(v`ado d´o khˆongda. t gi´atri. . . . . . . l´on nhˆa´t) ta. ibˆa´tc´udiˆe’m n`aocu’amiˆe`nd´o, tr`u tru`ong ho. p khi f(z) ≡ const trong miˆe`n D. . Ch´ung minh. Gia’ thiˆe´tr˘a`ng ta.idiˆe’m z0 ∈ D (z0 =6 ∞)modun cu’a h`am . f(z) 6≡ const da.tcu. cda.icu’a n´o. Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa r˘a`ng trong lˆancˆa.n n`ao . d´o U(z0,ε), ε>0cu’adiˆe’m z0 h`am f tho’a m˜anhˆe. th´uc |f(z)| 6 |f(z0)|. . D`ˆau tiˆenta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng |f(z)|≡|f(z0)| trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). . . . . Gia’ su’ γ(z0,ε)l`adu`o ng tr`ont`uy ´yv´oi b´ank´ınh ε<ε0 v`atˆamta.i z0. Theo d.inh l´ytrung b`ınhta c´o 2π 1 f(z )= Z f(z + εeit)dt 0 2π 0 0 v`at`u. d´o 2π 1 |f(z )| 6 Z |f(z + εeit)|dt 0 2π 0 0 hay l`a 2π 1 Z it 0 6 |f(z0 + εe )|−|f(z0)|dt. 2π 0 Trong bˆa´td˘a’ng th´u.c trˆenbiˆe’uth´u.cdu.´o .idˆa´u t´ıch phˆanl`akhˆongdu.o.ng. Do . . . . d´o b ˆa´td˘a’ng th´ucchı’ c´othˆe’ xa’y ra trong tru`ong ho. pnˆe´u it |f(z0 + εe )|≡|f(z0)|, . . t´ucl`a|f(z)|≡|f(z0)| trˆen γ(z0,ε). V`ı ε l`at`uy ´y,0 <ε<ε0 nˆen t`u d´osuy r˘a`ng |f(z)|≡|f(z0)| trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). . Tiˆe´p theo ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng f(z) ≡ f(z0) trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). Nˆe´u f(z0)=0th`ı|f(z)|≡0v`adod´o f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). Nˆe´u
322 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh f(z0) =0th`ı6 f(z) =6 0 trong lˆancˆa.nd˜anˆeu.Trong lˆancˆa.n U(z0,ε0) ta x´et h`am F (z)=lnf(z)=ln|f(z)| + iargf(z)=u + iv. ’. . O dˆay v`ı |f(z)|≡|f(z0)| v´oi z ∈U(z0,ε0)nˆen u ≡ const (v`ı u =ln|f(z)| = ln |f(z0)|). Theo diˆe`ukiˆe.n Cauchy-Riemann ta c´o ∂v ∂u = − ≡ 0, ∂x ∂y ∂v ∂u = ≡ 0, ∂y ∂x . v`at`u d´otac´ov = const trong U(z0,ε). Do vˆa.y h`am F (z)=lnf(z) ≡ const . . v`at`u d´o f(z) ≡ const trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z0.Nhuvˆa.y f(z) ≡ const trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z0. Theo d.inh l´yduy nhˆa´t, ta c´o f(z) ≡ const trong miˆe`n D.D´ol`adiˆe`u vˆol´y. . . . . . Bˆaygi`o ta x´ettru`o ng ho. pmiˆe`n D 3∞v`ah`am f(z) c´omˆodun da.tcu. c 1 daitai ∞. Trong tru.`o.ng ho.p n`ayta x´et h`am F (w)=f . H`amn`ay . . . w 1 chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D∗ thu du.o.ct`u. D qua ´anhxa w = . H`am F (w) . . z . ∗ c´ocu. cda.ita.idiˆe’m w =0v`adiˆe’m w =0l`adiˆe’m trong cu’a D . Theo phˆa` n ch´u.ng minh trˆenta c´o F (w) = const trong D∗.Dod´o f(z) ≡ const trong miˆe`n D. . Ta lu u´yc´achˆe. qua’ sau Hˆe. qua’ 4.2.4. H`am f chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D c´omˆodun h˘a`ng sˆo´ khi v`a chı’ khi ba’n thˆanh`amd´o l `a h ˘a`ng sˆo´ trong miˆe`nd´o. . . . Ch´ung minh. Diˆe`ukiˆe.ndu’ l`ahiˆe’n nhiˆen.Diˆe`ukiˆe.ncˆa` nduo. c tr`ınhb`aytrong . phˆa` n cuˆo´icu’ach´ung minh d.inh l´y. Hˆe. qua’ 4.2.5. Nˆe´u f(z) 6≡ const l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D v`aliˆen . . . tu. ctrˆen D th`ıgi´atri. cu. cda. icu’a mˆodun cu’a n´ochı’ da. tduo. ctrˆen biˆen cu’a miˆe`n D.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 323 . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, theo d.inh l´yquen thuˆo.c trong gia’i t´ıch thu. c, h`am . |f(z)| (liˆentu.c trong miˆe`n D) nhˆa.n gi´atri. cu. cda.icu’an´ota.idiˆe’m z0 n`aod´o . cu’amiˆe`n D. Theo nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.idiˆe’m z0 khˆongthˆe’ n˘a`m trong D.Dod´o d iˆe’m z0 chı’ c´othˆe’ n˘a`m trˆenbiˆen ∂D cu’amiˆe`n D. Hˆe. qua’ 4.2.6. Nˆe´u f(z) 6≡ const l`ah`amchı’nh h`ınh trong miˆe`n D v`a . f(z0) =06 ∀ z ∈ D th`ımˆodun cu’a n´okhˆongthˆe’ da. tcu. ctiˆe’u (v`ado d´okhˆong . da. t gi´atri. b´e nhˆa´t) o’ trong miˆe`n D. . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ h`am |f(z)| c´ocu. ctiˆe’uta.idiˆe’m z0 ∈ D. Ta x´eth`am 1 F (z)= · f(z) −1 . D´o l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆ`en D. H`am |F (z)| = |f(z)| c´ocu. cda.ita.i . diˆe’m z0 ∈ D.Nhung khi d´o F (z) ≡ const trong D v`ado d´o f(z) ≡ const . trong D.Diˆe`ud´o tr´aiv´oi gia’ thiˆe´tcu’ahˆe. qua’. Hˆe. qua’ 4.2.7. Nˆe´u h`am f(z) 6≡ const chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D v`aliˆen tu. c trˆen D v`a |f(z)|≡const trˆen biˆen ∂D cu’amiˆe`n D th`ın´oc´o´ıtnhˆa´tmˆo. t 0-diˆe’mn˘a`m trong D. . . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ nguo. cla.i: h`am f(z) khˆongc´o0-diˆe’m trong D. Khi . . d´o m ˆo d un |f(z)| khˆongc´oca’ cu. cda.ilˆa˜ncu. ctiˆe’u trong miˆe`n D.V`ı|f(z)| . liˆentu.c trˆen D nˆenn´oda.t gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´tcu’an´ota.ic´acdiˆe’m biˆencu’amiˆe`n. Nhu.ng, theo gia’ thiˆe´t trˆenbiˆen cu’amiˆe`n D |f(z)| l`ah`am . . h˘a`ng. Do d´o gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´t trong miˆ`en D l`atr`ung nhau, t´uc l`a |f(z)|≡const trong D.Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa l`amˆo˜idiˆe’mcu’a D d`ˆe ul`adiˆe’m . . . . cu. cda.idˆo´iv´oi |f(z)|.Nhung diˆe`ud´o khˆongthˆe’ xa’yrav`ıf(z) 6≡ const. Nhu vˆa.y h`am f(z) c´o´ıtnhˆa´tmˆo.t 0-diˆe’m trong miˆe`n D. . . . . T`u nguyˆen l´y mˆodun cu. cda.icu’a h`amchı’nh h`ınhta thu duo. cd.inh l´ysau dˆaygo.il`aBˆo’ d`ˆe Schwarz 4 4 . K. G. A. Schwarz (1843-1921) l`anh`ato´anho.cDu´c.
324 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . D- .inh l´y 4.2.6. Gia’ su’ f(z) l`ah`amchı’nh h`ınh trong h`ınh tr`ondonvi. U = {z : |z| < 1} v`atho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe. n f(0) = 0 v`a |f(z)| < 1 ∀z ∈U. Khi d´o 0 1+ h`am f(z) c˜ung tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n |f (0)| 6 1 v`a |f(z)| 6 |z| ∀ z ∈U, + . 2 nˆe´ud˘a’ng th´uc |f(z)| = |z| tho’a m˜and`uchı’ ta. imˆo. tdiˆe’m z0 =06 , 0 . |z0| < 1 hay |f (0)| =1th`ıkh˘a´pnoi trong h`ınh tr`on U h`am f(z)=eiαz . trong d´o α l`ah˘a`ng sˆo´ thu. c. Ch´u.ng minh. 1+ Gia’ su’. r l`asˆo´ du.o.ng t`uy ´y < 1. Khi d´o 1 f(t)dt f(z)= Z ,z∈{|z| <r}. 2πi t − z |t|=r . . . T`u gia’ thiˆe´t f(0) = 0 v`ahˆe. th´ucv`uaviˆe´t ta c´o 1 1 1 f(z)= Z − f(t)dt 2πi t − z t |t|=r z f(t)dt = Z , 2πi t(t − z) |t|=r ngh˜ıa l`ah`am f(z) 1 f(t)dt = Z z 2πi t(t − z) |t|=r chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on {|z| <r}, trong d´o 1 f(t) f 0(0) = Z dt. 2πi t2 |t|=r . Nhu vˆa.y h`am f(z) F (z)= ; F (0) = f 0(0) z
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 325 chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on: {|z| < 1}. . . . . . . T`u nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.i suy ra r˘a`ng max |F | da.tduo. ctrˆendu`ong . . . . tr`on {|z| = r1} trong d´o r1 l`asˆo´ duong t`uy ´yb´ehon r.Dod´o, v´oi |z| <r1, theo gia’ thiˆe´t, ta c´o: f(z) 1 < khi |z| = r1. z r1 . . . . T`u d´o, dˆo´iv´oidiˆe’m z cˆo´ d.inh bˆa´tk`y thuˆo.c h`ınhtr`ondonvi., qua gi´oi ha.n khi r1 → 1 ta c´o f(z) 6 1 z . 0 . D˘a.cbiˆe.tl`adˆo´iv´oi z =0tac´o|F (0)| = |f (0)| 6 1v`adˆo´iv´oidiˆe’m z =0th`ı6 |f(z)| |F (z)| = 6 1t´u.cl`a|f(z)| 6 |z|. |z| + . 2 Nˆe´uta.idiˆe’m z0 =0,6 z0 ∈Uta c´od˘a’ng th´uc |f(z0)| = |z0| th`ıta.idiˆe’m f(z0) . d´o |F (z0)| = =1.Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa l`ah`am |F (z)| da.tcu. cda.i=1 z0 . ta.idiˆe’m z0 ∈U.Dod´o theo nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.i ta c´o F (z) ≡ const . 0 . . . trong U.Nˆe´uc´od˘a’ng th´uc |f (0)| =1th`ıb˘a`ng l´yluˆa.ntuong tu. ta c˜ung . . . kˆe´t luˆa.nr˘a`ng F (z) ≡ const. Trong ca’ hai tru`ong ho. p r˜or`angl`a |F (z)| =1, . iα iα . . . t´ucl`aF (z)=e , α ∈ R v`ado d´o f(z)=e z.Bˆo’ d`ˆe Schwarz duo. cch´ung minh. . Vˆ`e m˘a.th`ınh ho.cBˆo’ d`ˆe Schwarz c´ongh˜ıanhu sau. Qua ´anhxa. bˆa´tk`y . . . thu. chiˆe.nbo’ i h`amchı’nh h`ınh w = f(z), f(0) = 0 biˆe´n h`ınhtr`ondonvi. U ∗ . . lˆen miˆ`en D n˘a`m trong h`ınh tr`ondonvi. khoa’ng c´ach t`u a’nh f(z0)cu’adiˆe’m . . . z0 ∈Udˆe´ndiˆe’m w = 0 khˆongvuo. t qu´akhoa’ng c´ach t`u ch´ınh diˆe’m z dˆe´n . diˆe’m z =0.Nˆe´uc´omˆo.tdiˆe’m n`aod´ocu’a U m`akhoa’ng c´ach t`u d´odˆe´ngˆo´c . ∗ to.adˆo. b˘a`ng khoa’ng c´ach t`u a’nh cu’an´odˆe´ngˆo´cto.adˆo. th`ımiˆe`n D tr`ung . . v´oi h`ınhtr`ondonvi. v`al´uc d´o ´anhxa. chı’ l`aph´epquay.
326 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . 4.3 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa. p 4.3.1 Chuˆo˜i Laurent Chuˆo˜i h`amda.ng ∞ + a a X a (z − a)n = ···+ −m + ···+ −1 n (z − a)m z − a n=−∞ n + a0 + a1(z − a)+···+ an(z − a) + a = X −n + X a (z − a)n (z − a)n n n>1 n>0 n = X an(z − a) (4.27) −∞<n<∞ . . 5 duo. cgo.il`achuˆo˜i Laurent , trong d´o z = a l`adiˆe’mcˆo´ d.inh cu’am˘a.t ph˘a’ng . ph´uc, an ∈ C, n ∈ Z l`ac´achˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Laurent (hˆe. sˆo´ Laurent) v`aph´ep . . . . . lˆa´ytˆo’ng duo. c thu. chiˆe.n theo c´acgi´atri. ˆam v`aduong cu’asˆo´ hiˆe.u n. Ta x´ethai chuˆo˜i n a0 + a1(z − a)+···+ an(z − a) + (4.28) a a a −1 + −2 + ···+ −m + (4.29) z − a (z − a)2 (z − a)m D- .inh ngh˜ıa4.3.1. 1) Chuˆo˜i Laurent (4.27) hˆo.itu. ta.idiˆe’m z ∈ C nˆe´uta.i . diˆe’md´o c´acchuˆo˜i (4.28) v`a(4.29) d`ˆong th`oihˆo.itu . . . 2) Nˆe´u chuˆo˜i Laurent hˆo.itu. th`ıtˆo’ng cu’an´oduo. cd.inh ngh˜ıanhu l`atˆo’ng cu’a hai tˆo’ng cu’a chuˆo˜i (4.28) v`a(4.29). . . . Chuˆo˜i (4.28) l`achuˆo˜il˜uy th`ua thˆongthu`ong nˆennˆe´u n´ohˆo.itu. th`ımiˆ`en hˆo.itu. s˜el`ah`ınhtr`on S(R)={z : |z − a| <R} (khi R = 0 chuˆo˜i (4.28) chı’ hˆo.itu. ta.idiˆe’m a; c`onkhi R = ∞ th`ıchuˆo˜ihˆo.itu. trong to`anm˘a.t ph˘a’ng). 1 Trong (4.29) ta thay = t v`athu du.o.cchuˆo˜il˜uy th`u.a z − a . ∞ n X a−nt . (4.30) n=1 5P. Laurent (1813-1854) l`anh`ato´anho.c Ph´ap.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 327 Nˆe´u chuˆo˜i (4.30) hˆo.itu. th`ımiˆ`enhˆo.itu. s˜el`ah`ınhtr`on 1 S(r )=nt : |t| r}.Nˆe´udiˆe`ukiˆe.n sau . . dˆa y d uo. c tho’a m˜an r Rth`ıc´acchuˆo˜i (4.28) v`a(4.29) . khˆongc´omiˆ`enhˆo.itu. chung v`ado vˆa.y chuˆo˜i (4.27) khˆonghˆo.itu. ta.ibˆa´tc´u . diˆe’m n`aocu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc. . Nhˆa. nx´et 4.3.1. T`u d.inh l´yAbel (d.inh l´y4.6) suy r˘a`ng trong mo.i v`anhtr`on d´ong r<r1 6 |z −a| 6 R1 <Rn˘a`m trong v`anhtr`on V chuˆo˜i Laurent hˆo.itu. d`ˆe u v`atheo d.inh l´yWeierstrass (d.inh l´y12.3) tˆo’ng cu’a chuˆo˜i Laurent (4.27) . l`ah`amchı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V.D`ˆong th`oi, chuˆo˜i c´othˆe’ da.o h`amv`a . t´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng mˆo.tsˆo´ lˆa` nt`uy ´y. . . . . . . . Trong tru`ong ho. p riˆengc´othˆe’ xa’y ra tru`ong ho. p r =0hayR = ∞.T`u . . . su. lˆa.p luˆa.no’ trˆensuy r˘a`ng nˆe´u trong chuˆo˜ichı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.nsˆo´ ha.ng . . . . v´oil˜uy th`ua ˆamth`ı r =0v`anˆe´uchı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.nsˆo´ ha.ng v´oil˜uy th`u.adu.o.ng th`ı R = ∞. D- .inh l´y4.3.1. (Laurent) . Gia’ su’ 0 6 r<R6 ∞.Mo. i h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z ∈ C : r<|z − a| <r,r<R}
328 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . d`ˆe ubiˆe’udiˆe˜nduo. c th`anhchuˆo˜i Laurent hˆo. itu. trong v`anhtr`ond´o n n n f(z)= X an(z − a) = X an(z − a) + X a)n(z − a) (4.31) −∞ 0 v`akhai triˆe’nd´o l`aduy nhˆa´t. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ z l`adiˆe’mcˆo´ d.inh cu’a v`anhtr`on V.Tax´et v`anhtr`on V∗ = {z ∈V: r0 0 ζ − a V`ı − z a = q1 0 Γ(R0) 1 f(ζ) a = I dζ. (4.34) k 2πi (ζ − a)k+1 Γ(R0)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 329 Trˆen du.`o.ng tr`onΓ(r0) ta c´o 1 1 1 (ζ − a)k−1 = − · = − X , ζ − z z − a ζ − a (z − a)k 1 − k>1 z − a − ζ a = q2 1 Γ(r0) 1 a = I f(ζ)(ζ − a)k−1dζ (4.36) −k 2πi Γ(r0) Thˆe´ c´accˆongth´u.c (4.33) v`a(4.35) v`ao(4.32) ta c´o k f(z)= X ak(z − a) , (4.37) −∞<k<∞ . ∗ . . . v´oimo.i z ∈V .Vˆa´nd`ˆe c`onla.il`ach´ung minh r˘a`ng khai triˆe’nthuduo. cl`a duy nhˆa´t. Gia’ su’. L l`adu.`o.ng cong d´ongJordan tro.nt`u.ng kh´uc n`aod´on˘a`m trong ∗ . . V v`abao diˆe’m a.Trˆendu`ong cong n`aychuˆo˜i (4.37) hˆo.itu. d`ˆe u. Nhˆanhai 1 1 vˆe´ cu’ad˘a’ng th´u.c (4.37) v´o.i , trong d´o m l`asˆo´ nguyˆen cˆo´ dinh, 2πi (z − a)m+1 . . . . . . . . . rˆo`i t´ıch phˆankˆe´t qua’ thu duo. c theo du`ong cong d´ong L theo hu´ong nguo. c chiˆ`eu kim d`ˆo ng hˆo`, ta c´o 1 f(z) 1 dz I dz = X a I · 2πi (z − a)m+1 k 2πi (z − a)m+1−k L −∞<k<∞ L V`ı 0nˆe´u m =6 k I dz  − = (z − a)m+1 k 2πi nˆe´u m = k L 
330 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh nˆen t`u. d´o suy ra 1 f(z) a = I ,m∈ Z. m 2πi (z − a)m+1 L Diˆe`ud´och´u.ng to’ khai triˆe’n (4.37) trong v`anhtr`on V∗ l`aduy nhˆa´t. V`ı r0 v`a 0 . . . R c´othˆe’ lˆa´ytuong ´ung gˆa` n r v`a R t`uy ´ynˆenkhai triˆe’n (4.37) hˆo.itu. trong to`anv`anh V v`akhai triˆe’nd´o l`aduy nhˆa´t. . D- .inh ngh˜ıa4.3.2. 1. Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z ∈ C :0 0 n>1 . . hˆo.itu. trong v`anhtr`ond´o. Chuˆo˜i (4.38) duo. cgo.il`achuˆo˜i (hay khai triˆe’n) Laurent cu’a h`am f(t) trong lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a. . . 2. Gia’ su’ ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z = ∞ (t´uc l`atrong miˆ`en {z : R 0v`aduo. c t´ınhtheo cˆongth´uc (4.36) nˆe´u n 6 −1. Ta lˆa´y du.`o.ng tr`ont`uy ´y γ(ρ)=nz ∈V∗ : |z − a| = ρ, r0 <ρ<R0o v`a´apdu.ng d.inh l´yt´ıch phˆanCauchy dˆe˜ d`angthˆa´yr˘a`ng c´achˆe. sˆo´ Laurent . . . . . . duo. c t´ınhb˘a`ng ph´ept´ıch phˆantheo du`ong tr`on γ(ρ) v`ata c´ocˆongth´ucho. p nhˆa´t hai cˆongth´u.c (4.34) v`a(4.36) sau dˆay 1 f(ζ)dζ a = I ,n∈ Z. (4.40) n 2πi (ζ − a)n+1 γ(ρ)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 331 . Bˆaygi`o ta chuyˆe’n sang x´etph´epkhai triˆe’m h`amth`anhchuˆo˜i Laurent ta.i lˆancˆa.ndiˆe’mvˆoc`ung. . Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınh trong lˆancˆa.nthu’ng n`aod´ocu’adiˆe’mvˆo 1 c`ung. D˘at z = . Qua ph´epbiˆe´ndˆo’i n`aydiˆe’m z = ∞ biˆe´n th`anhdiˆe’m ζ =0 . ζ v`alˆancˆa.n V(∞)cu’adiˆe’mvˆoc`ung chuyˆe’n th`anhlˆancˆa.ncu’adiˆe’m ζ =0. 1 R˜or`angl`ah`am ϕ(ζ)=f chı’nh h`ınhtai lˆancˆandiˆe’m ζ = 0. Do d´oc´o ζ . . thˆe’ khai triˆe’n h`am ϕ(ζ) th`anhchuˆo˜i Laurent c ϕ(ζ)= X c ζn = X c ζn + X −n · n n ζn −∞ 0 n>1 1 Tiˆe´pd´o, sau khi thu.chiˆen ph´epdˆo’ibiˆe´n ζ = v`athay c = a ta c´o . . z n −n a f(z)=X −n + X a zn = X a zn. (4.41) zn n n n>0 n>1 −∞ −1 n (ii) chuˆo˜i P an(z − a) l`aphˆa` nchı’nh h`ınh. n>0 Nˆe´udiˆe’m a = ∞ th`ıtrong khai triˆe’n Laurent (4.41): n (i) chuˆo˜i P anz l`aphˆa` nch´ınh; n>1 a (ii) chuˆo˜i −n l`aphˆa` nchı’nh h`ınh. P n n>0 z
332 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . . Nhˆa. nx´et 4.3.3. 1. Khai triˆe’n Laurent thu`ong duo. csu’ du. ng trong nh˜ung . . . . tru`ong ho. p khi h`am f x´acd.inh trong mˆo.t lˆancˆa.n n`aod´o c u’adiˆe’m z0 nhung khˆongx´acd.inh ta.i z0. . . . Khi d´o, khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f c´othˆe’ thu. chiˆe.nduo. c trong v`anh . . . . tr`on {0 2}. Gia’i. Ta s˜e t`ımkhai triˆe’n Laurent cu’a h`am f trong c´acmiˆe`n n´oitrˆen.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 333 . . . V´oimu.cd´ı c h d ´o, ta biˆe’udiˆe˜n h`am f du´o ida.ng 1 1 1 f(z)= h + i. 3 1 − z z +2 a) Khai triˆe’n Laurent trong miˆe`n D1.V`ı trong miˆ`en D1 ta c´o |z| 0 v`a 1 1 (−1)n · zn = = X · z n+1 z +2 21+ 2 2 n>0 Do d´o 1 (−1)n f(z)=X h1+ izn,z∈ D . 3 2n+1 1 n>0 D´o l`akhai triˆe’n Taylor. b) Khai triˆe’n Laurent trong miˆ`en D2.V`ı1 1, 1 − z 1 zn+1 z1 − n>0 z v`a 1 1 (−1)n · zn = = X , |z| 0 Do d´o 1 1 (−1)n · zn f(z)=X · + X ,z∈ D . 3 zn 3 · 2n+1 2 n>1 n>0 c) Khai triˆe’n Laurent trong miˆ`en D3.V`ı |z| > 2nˆen 1 1 = − X , |z| > 1, 1 − z zn n>1 1 1 2n = = X(−1)n · z +2 2 zn+1 z1+ n>0 z (−1)n · 2n−1 = X , zn n>1
334 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh v`ata c´okˆe´t qua’: (−1)n · 2n−1 − 1 f(z)=X , |z| > 2. 3 · zn n>1 1 V´ı du 2. Khai triˆe’n h`am f(z)= th`anhchuˆo˜i Laurent tai lˆancˆan . 2 − z . . diˆe’m a = ∞. 1 Gia’i. D`ˆa u tiˆenthu.chiˆenph´ep dˆo’ibiˆe´n z = . Khi d´o h `a m d ˜a cho c´o . . ζ da.ng 1 ζ ζ w = f = = − · ζ 2ζ − 1 1 − 2ζ . V`ıv´oidiˆe`ukiˆe.n |2ζ| 0 n>0 . . . nˆenkhi tro’ vˆ`e biˆe´n z ta thu duo. c 1 2n f(z)= = − X , |z| > 2. 2 − z zn+1 D´o l`akhai triˆe’n Laurent cˆa` n t`ım. . . . . Ta c˜ung c´othˆe’ thu duo. c khai triˆe’n n`ayb˘a`ng c´ach ´apdu.ng phuong ph´ap gia’iv´ıdu. 1 Ta c´o 1 1 1 f(z)= = − · 2 − z z 2 1 − z 2 . ` Khi d´ov´oidiˆeukiˆe.n 2. z z zn+1 n>0 z V´ı du. 3. Khai triˆe’n c´ach`am e , sin z, cos z th`anhchuˆo˜i Laurent ta.i lˆancˆa.n diˆe’m a = ∞.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 335 1 1 Gia’i. Thu.chiˆenph´epdˆo’ibiˆe´n z = . Khi d´o c´ach`amd˜achoc´odang e ζ , . . ζ . 1 1 sin , cos . Khai triˆe’n c´ach`amn`ayth`anhchuˆo˜i Laurent tai lˆancˆandiˆe’m ζ ζ . . ζ =0: 1 1 1 1 e ζ =1+ + + ···+ + , ζ 2ζ2 n!ζn 1 1 1 1 sin = − + ···+(−1)n + , ζ ζ 3!ζ3 (2n − 1)!ζ2n−1 1 1 1 cos =1− + ···+(−1)n + ζ 2!ζ2 (2n)!ζ2n . . . Tro’ vˆ`e biˆe´n z ta thu duo. c z zn ez =1+ + ···+ + , 1! n! z3 z2n−1 sin z = z − + ···+(−1)n + , 3! (2n − 1)! z2 z2n cos z =1− + ···+(−1)n + 2! (2n)! V´ı du. 4. Khai triˆe’n h`amtrong v´ıdu. 1 th`anhchuˆo˜i Laurent trong c´acmiˆ`en kh´acnhau nˆe´ulˆa´y a =1. . . . . Gia’i. Trong tru`ong ho. p n`ayta c´ohai v`anhtr`onv´oi tˆamta.idiˆe’m a =1: (i) h`ınhtr`onthu’ng: V1 = {z :0 1}. Trong mˆo˜i v`anhtr`onv`u.anˆeu h`am f(z)chı’nh h`ınh v`atrˆenbiˆencu’ach´ung tˆo`nta.idiˆe’m m`ah`amkhˆongchı’nh h`ınh. . C˜ung nhu trong v´ıdu. 1, ta c´o 1 1 1 f(z)= = − · (z − 1)(z − 2) z − 2 z − 1 Tiˆe´p theo, 1 1 = − = − X(z − 1)n, |z − 1| 0
336 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Do d´o 1 f(z)=− − X(z − 1)n, 0 0 (ii) Khai triˆe’n trong v`anhtr`on1 0 1 = X , |z − 1| > 1. (z − 1)n+1 n≥0 v`at`u. d´o suy r˘a`ng 1 1 1 f(z)= − = X , 1 2 Dˆe ’ kˆe´tth´uc tiˆe´t n`ayta ch´u.ng minh . D- .inh l´y4.3.2. Gia’ su’ h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z : r< |z − a| <R}. Khi d´o c´achˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Laurent n f(z)= X an(z − a) −∞<n<∞ cu’a h`am f(z) trong v`anhtr`on V tho’a m˜anc´acbˆa´td˘a’ng th´u.c M |a | 6 ,n∈ Z (4.42) n ρn trong d´o M = max |f(z)|, γ(ρ)={z ∈V: |z − a| = ρ,r<ρ<R}. z∈γ(ρ) . . . . . C´acbˆa´td˘a’ng th´uc (4.42) duo. cgo. i l`ac´acbˆa´td˘a’ng th´uc Cauchy dˆo´iv´oi hˆe. sˆo´ Laurent. . . . Ch´ung minh. Su’ du.ng c´accˆongth´uc (4.38) ta c´o 1 |f(ζ)| M M M |a | 6 Z dζ 6 Z ds = · 2πρ = · n 2π |ζ − a|n+1 2πρn+1 2πρn+1 ρn γ(ρ) γ(ρ)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 337 . . . 4.3.2 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pdon tri. . . Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z = a, c´othˆe’ tr`u ra ch´ınhdiˆe’m a. N´oic´ach kh´ac, f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on(lˆancˆa.n thu’ng) U˙ (a; r)={z :0 1 n>0 0 < |z − a| <r trong d´o 1 f(z) a = Z ,n∈ Z, 0 <ρ<r. (4.44) n 2πi (z − a)n+1 γ(ρ) Ta c´o ˙ D- .inh l´y4.3.3. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong v`anhtr`on U(a; r)={z : . . . . . 0 < |z − a| <r} th`ı z = a l`adiˆe’mbˆa´t thu`ong khu’ duo. ccu’a f(z) khi v`achı’ khi h`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a. n trong lˆancˆa. nn`aod´ocu’adiˆe’m a. . . . . . . . Ch´ung minh. I. Diˆe`ukiˆe. ncˆa`n. Gia’ su’ z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. c . . cu’a f(z). Khi d´ot`ımduo. csˆo´ A sao cho sau khi thay f(a)=A th`ıta thu . . . . duo. c h`amchı’nh h`ınhta.idiˆe’m z = a v`ado d´o n´oliˆentu. cta.i a.T`u su. tˆo`n
338 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh tai gi´o.ihanh˜u.uhan lim f(z)=A suy ra f(z)bich˘an trong lˆancˆan n`aod´o . . . z→a . . . cu’adiˆe’m a. . II. Diˆe`ukiˆe.ndu’. Gia’ su’ tˆo`nta.i lˆancˆa.n U(a; δ), 0 0 sao cho |f(z)| 6 M khi z ∈U(a; δ), z =6 a. Trong c´accˆongth´u.c (4.44) ta xem γ(ρ)={z : |z − a| = ρ, ρ 0 . K´yhiˆe.utˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uy th`uavˆe´ pha’il`aS(z). Tˆo’ng S(z) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong to`anh`ınh tr`on U(a; r)v`af(z)=S(z) ∀ z ∈ U˙(a; r). Nˆe´utad˘a.t f(a)=S(a)th`ıf(z) tro’. nˆenchı’nh h`ınhtrong U(a; r)kˆe’ ca’ diˆe’m z = a.(D´o . . . . . c˜ung l`al´ydo c´otˆengo.i“diˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. c”). . . . . . . . . . Nhˆa. nx´et 4.3.4. Kh´ainiˆe.m“diˆe’mbˆa´t thu`ong khu’ duo. c”duo. cd`ung tuong . . . . . . tu. nhu kh´ainiˆe.m“diˆe’m gi´andoa. n khu’ duo. c”. Tuy nhiˆennˆe´udˆo´iv´oi h`am . hai biˆe´n thu. c F (x, y) x´acd.inh v`akha’ vi trong lˆancˆa.ndiˆe’m(x0,y0) (c´othˆe’ . . . tr`u ra ch´ınh diˆe’m(x0,y0)) tˆo`nta.i gi´oiha.nh˜uuha.n lim F (x, y)=A sau khi x→x0 y→y0 . . bˆo’ sung gi´atri. f(x0,y0)=A ta s˜ethu duo. c h`am F (x, y) liˆentu.cta.i(x0,y0) . . nhung n´oichung khˆongkha’ vi ta.i(x0,y0). Trong khi d´odˆo´iv´oi h`am f(z) . chı’nh h`ınhtrong U˙ (a; r) chı’ v´oimˆo. tdiˆe`ukiˆe.n vˆ`e t´ınhbi. ch˘a.ncu’a n´otrong lˆancˆandiˆe’m z = a ta d˜a c ´o g i ´o .ihan lim f(z)tˆo`ntaih˜u.uhan v`asau khi . . z→a . . bˆo’ sung gi´atri f(a) = lim f(z) ta thu du.o.c h`amchı’nh h`ınhtaich´ınh diˆe’m . z→a . . z = a.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 339 . . . . T`u d.inh l´y4.3.3 d˜a c hu ´ ng minh suy r˘a`ng z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆo lˆa.pcu’a h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on U˙(a; r) khi v`achı’ khi |f(z)| . . khˆongbi. ch˘a.n trong bˆa´tc´u lˆancˆa.n n`aocu’adiˆe’m z = a,t´ucl`a lim |f(z)| = ∞. . . . Nhu vˆa.ynˆe´u z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`o ng cˆolˆa.pcu’a h`am f(z) th`ıh`am . . f(z) khˆongc´ogi´oiha.nh˜uuha.n khi z → a v`ado d´ochı’ c´othˆe’ xuˆa´thiˆe.n hai . . . tru`ong ho. p i) lim f(z)=∞. z→a . . . ii) h`am f(z) khˆongdˆa` nt´oimˆo.t gi´oiha.nh˜uuha.n hay vˆoc`ung n`aokhi z → . 0 0 0 00 00 00 a (t´uc l`atˆo`nta.i ´ıtnhˆa´t hai d˜aydiˆe’m z1,z2, ,zn, v`a z1 ,z2 , ,zn, . . . 0 00 c`ung hˆo.itu. dˆe´n a sao cho c´acd˜aygi´atri. tuong ´ung cu’a h`am f(zn)v`af(zn) . . khˆongdˆa` nt´oic`ung mˆo.t gi´oiha.n). 1 V´ı du 5. 1) Ta x´et h`am f(z)= , n ∈ N. H`amn`aychı’nh h`ınhkhi . (z − a)n . . . . 0 αv`a x → α th`ı e x−α →∞, c`onkhi x<αv`a x → α th`ı 1 . . . e x−α → 0. Do d´okhˆongtˆo`nta.i gi´oiha.nh˜uuha.nlˆa˜n gi´oiha.nvˆoc`ung khi . . . z → a v`ata c´otru`ong ho. p ii). . . . . D- .inh ngh˜ıa4.3.4. 1) Diˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p z = a cu’a h`am f(z)duo. c goil`acu.cdiˆe’m nˆe´u lim f(z)=∞. . . z→a . . . . 2) Diˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p z = a cu’a h`am f(z)duo. cgo.il`adiˆe’mbˆa´t . . thu`ong cˆo´tyˆe´u nˆe´u h`am f(z) khˆongbi. ch˘a.nvˆe` mˆodun v`akhˆongdˆa` ndˆe´n ∞ khi z → a. . Ta kha’o s´atmˆo.t c´ach chi tiˆe´t d´angdiˆe.ucu’a h`amta.i lˆancˆa.ncu’acu. c diˆe’m.
340 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . D- .inh l´y4.3.4. Diˆe’m z = a l`acu. cdiˆe’mcu’a h`am f(z) khi v`achı’ khi diˆe’m 1 d´o l`a0-diˆe’mdˆo´iv´o.i h`am ϕ(z)= . f(z) . . . Ch´ung minh. I. Gia’ su’ z = a l`acu. cdiˆe’mcu’a h`am f(z). Khi d´o lim |f(z)| = z→a ∞ v`ado d´otˆo`nta.i lˆancˆa.n U(a; δ)={z : |z − a| 1. Trong lˆancˆa.nd´o h`am 1 ϕ(z)= l`ah`amchı’nh h`ınhc´othˆe’ tr`u. ra diˆe’m z = a.Nhu.ng t`u. hˆe th´u.c f(z) . 1 |ϕ(z)| = 0du’ b´esao cho trong lˆancˆa.n U(a;∆)={z : |z−a| 1) 1 dˆo´iv´o.i h`am f(z)nˆe´udiˆe’m z = a l`a0-diˆe’mcˆa´p m dˆo´iv´o.i h`am . Trong f(z) . . . . . . . . . tru`ong ho. p m =1cu. cdiˆe’mduo. cgo.il`acu. cdiˆe’mdon c`onkhi m>1-cu. c . diˆe’mgo.il`acu. cdiˆe’mbˆo. i.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 341 1 1 V´ı du 6. 1) X´eth`am f(z)= . C´acdiˆe’m z = , k = ±1, ±2, d`ˆe u . 1 k kπ sin z 1 1 l`acu.cdiˆe’mdo.ncu’a f(z). Thˆatvˆay, h`am g(z)= = sin chı’nh h`ınh . . . f(z) z . 0 khi z =0v`a6 zk l`a0-diˆe’mdoncu’an´o(g (zk) =6 0). Diˆe’m z =0l`adiˆe’mbˆa´t . . . thu`ong khˆongcˆolˆa.p, n´ol`adiˆe’mtu. cu’a c´accu. cdiˆe’m. 1 2) Ch´u.ng minh r˘a`ng z = 0 l`acu.cdiˆe’mcˆa´p3cu’a h`am f(z)= . . z − sin z Tu.o.ng tu. nhu. trˆendˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng (z − sin z)0 =(z − sin z)00 =0, . z=0 z=0 − (3) ’ ´ ’ ˜ ´ c`on(z sin z) z=0 = 1. Do vˆa.y z = 0 l`a0-diˆemcˆap3cuamˆausˆov`ado . d´o l `a c u. cdiˆe’mcˆa´p3cu’a h`am. . . . D´angdiˆe.ucu’a h`amta.i lˆancˆa.ncu’acu. cdiˆe’mcˆa´p m c˜ung duo. c x´acd.inh . . nh`o cˆa´utr´uc cu’a khai triˆe’n Laurent ta.i lˆancˆa.ncu’acu. cdiˆe’m. . . . D- .inh l´y 4.3.5. Diˆe’mbˆa´t thu`ong cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a n´okhi v`achı’ khi phˆa`nch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(x) trong . lˆancˆa. ndiˆe’m z = a ch´ua khˆongqu´a m sˆo´ ha. ng v`a an =0∀ n 6 −(m +1), c`on a−m =06 . . . . Ch´ung minh. I. Gia’ su’ z = a l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z). Khi d´o z = a 1 l`a0-diˆe’mcˆa´p m dˆo´iv´o.i h`am .T`u. d´o suy r˘a`ng trong lˆancˆan n`aod´ocu’a f(z) . z = a ta c´o 1 = A (z − a)m + A (z − a)m+1 + ; A =06 f(z) m m+1 m v`ado d´o 1 1 · · f(z)= m (4.46) (z − a) Am + Am+1(z − a)+ . Chuˆo˜il˜uy th`ua Am +Am+1(z −a)+ biˆe’udiˆe˜nmˆo.t h`amchı’nh h`ınhkhˆong triˆe.t tiˆeutrong mˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’adiˆe’m z = a (v`ı Am =6 0). Do d´o 1 ϕ(z)= Am + Am+1(z − a)+
342 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh l`ah`amchı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z = a v`ata c´okhai triˆe’nda.ng n 1 ϕ(z)=α0 + α1(z − a)+···+ αn(z − a) + α0 = =06 . (4.47) Am . . Thay chuˆo˜i (4.47) v`ao(4.46) ta thu duo. cchuˆo˜i α α f(z)= 0 + 1 + (4.48) (z − a)m (z − a)m−1 v`ado t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜i Laurent, chuˆo˜io’. vˆe´ pha’icu’a (4.48) l`akhai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(z). Thay dˆo ’ik´yhiˆe.u c´achˆe. sˆo´ trong (4.48) b˘a`ng c´ach d˘a.t αn = an−m; n = . . 0, 12, ta thu duo. c a a f(z)= −m + ···+ −1 + a + a (z − a)+ (4.49) (z − a)m z − a 0 1 . II. Gia’ su’ trong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z = a h`am f(z) c´okhai triˆe’n . . da.ng (4.49), trong d´o a−m =6 0. Khai triˆe’nd´o c´othˆe’ viˆe´tla.idu´oida.ng a + A (z − a)+ f(z)= −m −m+1 · (z − a)m T`u. d´o suy ra 1 m 1 =(z − a) · ,a−m =06 . f(z) a−m + a−m+1(z − a)+ 1 B˘a`ng c´ach thay h`amchı’nh h`ınh bo’.i khai triˆe’n a−m + a−m+1(z − a)+ . . . Taylor cu’a n´otheo c´acl˜uy th`uacu’a z − a ta thu duo. c 1 =(z − a)m[β + β (z − a)+ ] (4.50) f(z) 0 1 m m+1 1 = β0(z − a) + β1(z − a) + ; β0 = =06 . a−m 1 Khai triˆe’n (4.50) ch´u.ng to’ r˘a`ng z = a l`a0-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am .Do f(z) . d´otheo d.inh l´y4.3.4 diˆe’m z = a l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z).
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 343 . . . . . Ap´ du.ng phuong ph´apch´ung minh v`ua tr`ınhb`ayta c´othˆe’ ch´ung minh . . . D- .inh l´y4.3.6. Diˆe’mbˆa´t thu`o ng cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`acu. cdiˆe’m . . cˆa´p m (m > 1) cu’a n´okhi v`achı’ khi h`am f(z) c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´o ida. ng ϕ(z) f(z)= ,ϕ(a) =06 (z − a)m trong d´o ϕ(z) l`ah`amchı’nh h`ınhta. idiˆe’m z = a v`a ϕ(a) =06 . cos z − 1 V´ı du 7. 1) X´et h`am f(z)= . H`am f chı’nh h`ınh trong miˆe`n . z4 D = {z :0 0 n>0 1 v`ado d´o z =0l`acu.cdiˆe’mcˆa´p2cu’a h`am f(z)(o’. dˆa y a = − =0;6 . −2 2 a−n =0 ∀ n>2). 1 1 2) f(z)= − . ez − 1 z R˜or`angl`a z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cu’a h`am f(z). V`ı ez tuˆa` n ho`annˆen . . . mˆa˜usˆo´ cu’a phˆanth´ucth´u nhˆa´tb˘a`ng 0 khi z =2kπi, k ∈ Z.Nhuvˆa.y h`am f(z)chı’nh h`ınh ∀ z =26 kπi, k ∈ Z. 1 1 Nˆe´u z =2kπi, k =0th`ı6 chı’nh h`ınh,c`on c´ocu.cdiˆe’md´o. Dˆ˜e k z ez − 1 . 1 d`angthˆa´yr˘a`ng z =2kπi, k ∈ Z, k =6 0 l`ac´accu.cdiˆe’mdo.ncu’a v`a k . ez − 1
344 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . do vˆa.ych´ung c˜ung l`acu. cdiˆe’mdoncu’a h`am f(z). Ta x´etdiˆe’m z = 0. Ta c´o z2 z3 h i 1+z − ez 1+z − 1+z + + + f(z)= = 2! 3! z(ez − 1) z2 z3 zh1+z + + + − 1i 2! 3! z2 z3 − − − = 2! 3! z2 zz + + 2! 1 z − − − 2! 3! 1 = z →− (z → 0). 1+ + 2 2! Do d´o h `a m f(z)bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.ndiˆe’m z = 0 v`av`ıvˆa.y z =0l`adiˆe’m . . . . . bˆa´tthu`ong khu’ duo. c. Sau c`ung ta kha’o s´atd´angdiˆe.ucu’a h`amchı’nh h`ınhta.i lˆancˆa.ndiˆe’mbˆa´t . . . . thu`ong cˆo´tyˆe´u. T`u c´acd.inh l´y4.3.3 v`a4.3.5 dˆ˜e d`angch´ung minh . . D- .inh l´y4.3.7. Diˆe’mbˆa´t thu`ong cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`adiˆe’mbˆa´t thu.`o.ng cˆo´tyˆe´ucu’a n´okhi v`achı’ khi phˆa`nch´ınh trong khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(z) ta. i lˆancˆa. ndiˆe’m a c´ovˆosˆo´ sˆo´ ha. ng. 1 V´ı du 8. 1) H`am f(z) = sin chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D = {z ∈ C :0 0 n!z 1 h`am e z . . . . . Su. ph´ucta.pcu’a d´angdiˆe.u h`amchı’nh h`ınhta.i lˆancˆa.ndiˆe’mbˆa´tthu`o ng . . cˆo´tyˆe´uduo. cthˆe’ hiˆe.n trong d.inh l´ysau dˆa y
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 345 6 D- .inh l´y4.3.8. (Weierstrass) . . . Gia’ su’ a l`adiˆe’mbˆa´t thu`o ng cˆo´tyˆe´ucu’a h`am f(z). Khi d´ota. i lˆancˆa. n . . U(a; δ) bˆa´tk`ycu’adiˆe’m a h`am f(z) nhˆa. nnh˜ung gi´atri. gˆa`nmˆo. tsˆo´ ph´uc cho tru.´o .cbˆa´tk`y bao nhiˆeu t`uy´y,t´u.c l`a: ∀ b ∈ C, ∀ ε>0, ∀U(a, δ) ∃ z ∈ U˙ (a, δ):|f(z) − b| 0 ∃U(a; δ):∀ z ∈ U˙ (a; δ) ⇒|f(z) − b| > ε. Ta x´eth`am 1 ϕ(z)= · f(z) − b H`am ϕ(z) c´oc´act´ınhchˆa´tl`a i) ϕ(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.nthu’ng U˙(a; δ) 1 1 |ϕ(z)| = 6 · |f(z) − b| ε . . ii) ϕ(z)chı’nh h`ınhtrong U˙ (a; δ)v`av`ı z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p . . cu’a f(z)nˆen n´oc˜ung l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pcu’a ϕ(z). . . . . . Do d´o theo d.inh l´y4.3.3, diˆe’m a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. ccu’a ϕ(z) v`ata.i lˆancˆa.ndiˆe’m a (ch˘a’ng ha.n a =6 ∞) ta c´o n ϕ(z)=X an(z − a) ,am =06 ,m> 0 ∀ z ∈ U˙ (a; δ). n≥m Nˆe´u m =0th`ıa0 =6 0 v`ah`am 1 1 f(z)=b + = b + ϕ(z) a0 + a1(z − a)+ 6 . K. Weierstrass (1815-1897) l`anh`ato´anho.cDu´c.
346 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.nthu’ng U˙(a; δ), t´ucl`az = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ . . . . duo. cdˆo´iv´oi f(z). Mˆauthuˆa˜nv´oi gia’ thiˆe´tcu’ad.inh l´y. Nˆe´u m>0th`ı am =6 0 v`ah`am 1 1 f(z)=b + = b + m m+1 ϕ(z) am(z − a) + am+1(z − a) + . . c´ocu. cdiˆe’mcˆa´p m ta.idiˆe’m a.Diˆe`ud´oc˜ung mˆauthuˆa˜nv´oidiˆe`ukiˆe.ncu’a d.inh l´y. . . . D- .inh ngh˜ıa4.3.6. Ta n´oir˘a`ng tˆa. pho. p E tr`umˆa. t kh˘a´pnoi trong tˆa. pho. p B nˆe´u ∀ z ∈ B, ∀ ε>0, ∃ z∗ ∈ E : |z − z∗| <ε. . . . Su’ du. ng d.inh ngh˜ıa 4.3.6 ta c´othˆe’ ph´atbiˆe’ud.inh l´y Weierstrass du´o i . . da.ng: Nˆe´u a l`adiˆe’mbˆa´t thu`ong cˆo´tyˆe´ucu’a h`am f(z) th`ı ∀U(a; δ) l`alˆan . . cˆa. ncu’adiˆe’m a tˆa. pho. p f(U˙ (a; δ)) tr`umˆa. t kh˘a´pnoi trong C. D.inh l´y Weierstrass chı’ kh˘a’ng d.inh r˘a`ng trong lˆancˆa.ndu’ b´ecu’adiˆe’m . . . . . . bˆa´tthu`ong cˆo´tyˆe´u h`amnhˆa.nnh˜ung gi´atri. gˆa` nmˆo.tsˆo´ ph´uc cho tru´oc bao . nhiˆeut`uy ´ych´u khˆongn´oig`ıvˆ`e viˆe.c h`amnhˆa.nmo.i gi´atri Nh`ato´anho.c 7 . . . Ph´apPicard d˜ach´ung minh d.inh l´yma.nh hon v`asˆaus˘a´chon sau dˆay . . D- .inh l´yPicard. Trong lˆancˆa. nb´e bao nhiˆeut`uy´ycu’adiˆe’mbˆa´t thu`ong cˆo´t . . yˆe´u h`am f(z) nhˆa. nvˆosˆo´ lˆa`nmo. i gi´atri. h˜uuha. n ngoa. itr`unhiˆe`u nhˆa´tmˆo. t gi´atri. (go. i l`agi´atri. ngoa. ilˆe. Picard). 1 V´ı du. 9. 1) Kha’o s´atd´angdiˆe.ucu’a h`am f(z)=e z ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0. Nhu. d˜abiˆe´tdiˆe’m z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cˆo´tyˆe´u.Tas˜ech´u.ng to’ r˘a`ng 1 . . . trong lˆancˆa.ndiˆe’m z = 0 h`am f(z)=e z c´od´angdiˆe.unhuduo. c mˆota’ trong . . iϕ . . . d.inh l´yPicard. Gia’ su’ A l`asˆo´ ph´uc =0bˆa6 ´tk`y. D˘a.t A = ρe .T`u phuong ! . . tr`ınh e z = A ta thu duo. c 1 =lnA =lnρ + i(ϕ +2kπ) z 1 ⇒ z = ,k∈ Z. k ln ρ + i(ϕ +2kπ) 7C. Picard (1856-1942) l`anh`ato´anho.c Ph´ap.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 347 . . R˜or`angl`adˆo´iv´oimo.i h`ınhtr`onv´oi tˆam z = 0 v`ab´ank´ınh du’ b´etac´othˆe’ . . lˆa´ysˆo´ k1 sao cho v´oimo.i k m`a |k| > |k1| th`ımo.i zk d`ˆe uroi v`aotrong h`ınh . . . 1 . . . tr`ond´o. Nhung zk l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh e z = A v´oimo.i A cho tru´oc . . 1 v`a A =6 0. Nhu vˆa.ydˆo´iv´oi h`am e z gi´atri. ngoa.ilˆe. Picard l`a A =0. 1 2) H`am f(z) = sin c´odiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cˆo´tyˆe´ul`az = 0. Gia’ su’. A l`a z . . sˆo´ duo. cchot`uy ´y. 1 Ta x´et phu.o.ng tr`ınhsin = A.Su’. dung dinh ngh˜ıa h`amsin t trong miˆ`en z . . . . . . . ph´uc ta viˆe´tphuong tr`ınhdu´oida.ng i − i e z − e z = A. 2i . . . . Sau mˆo.t v`aiph´ep biˆe´ndˆo’i ta thu duo. cphuong tr`ınh 2i i e z − 2Aie z − 1=0 v`ado d´o i e z = Ai ± p(Ai)2 +1=B. . 2 2 Sˆo´ B =0v`ınˆ6 e´u khˆongnhu vˆa.yth`ıAi = ±p(Ai) +1hayl`a(Ai) = (Ai)2 + 1. Gia’ su’. B = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). . . . i . . Khi d´ot`u phuong tr`ınh e z = B ta thu duo. c i =lnB =lnρ + i(ϕ +2kπ) z 1 z = ,k∈ Z. ϕ +2kπ − i ln ρ . . . T`u d´o suy r˘a`ng trong lˆancˆa.nbˆa´tk`ycu’adiˆe’m z =0d`ˆe ut`ımduo. c nghiˆe.m 1 cu’aphu.o.ng tr`ınhsin = A, ∀ A v`ısˆo´ k c´othˆe’ lˆa´yl´o.nt`uy ´yvˆe` mˆodun. z 1 Trong tru.`o.ng ho.p n`ayh`amsin khˆongc´ogi´atri ngoailˆePicard. . z . . .
348 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.3.3 D´angdiˆe.ucu’ a h`amta.idiˆe’m vˆoc`ung . . Ta lu u´yr˘a`ng trˆenm˘a.t ph˘a’ng ph´uc z chı’ tˆo`nta.imˆo.tdiˆe’mvˆoc`ung v`atheo d.inh ngh˜ıalˆancˆa.ncu’adiˆe’m ∞: U(∞; ε)={z ∈ C : dC(z; ∞) 0 sao cho trong phˆa` n ngo`aih`ınh tr`on |z| >Rh`am f(z) khˆongc´oc´acdiˆe’mbˆa´t . . . . thu`ong m`akhoa’ng c´ach t`u d´odˆe´ngˆo´cto.adˆo. l`ah˜uuha.n. 1 Gia’ su’. f(z) ∈H(U(∞; ε)). Sau khi thu.chiˆen ph´epbiˆe´ndˆo’i z = ta thu . . ζ . . duo. c 1 f(z)=f = ϕ(ζ) ζ . v`ah`am ϕ(ζ)chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m ζ =0.T`u d´o suy r˘a`ng t´ınhbˆa´t thu.`o .ng cu’a h`am f(z) khi z →∞v`acu’a ϕ(ζ) khi ζ → 0l`anhu. nhau v`ı lim f(z) = lim ϕ(ζ). z→∞ ζ→0 Ta c´o