›
›

Chuyên đề Các phương pháp tính tích phân - Nguyễn Duy Khôi

pdf 41 trang ngocly 2570
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Các phương pháp tính tích phân - Nguyễn Duy Khôi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_cac_phuong_phap_tinh_tich_phan_nguyen_duy_khoi.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Các phương pháp tính tích phân - Nguyễn Duy Khôi

  1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
  2. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI LI NĨI ð U Ngày nay phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng trong Tốn h c, tích phân đưc ng d ng r ng rãi nh ư đ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i trịn xoay, nĩ cịn là đi t ưng nghiên c u c a gi i tích, là n n t ng cho lý thuyt hàm, lý thuy t ph ươ ng trình vi phân, ph ươ ng trình đo hàm riêng Ngồi ra phép tính tích phân cịn đưc ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, C ơ h c, Thiên v ăn h c, y h c Phép tính tích phân đưc b t đ u gi i thi u cho các em h c sinh lp 12, ti p theo đưc ph bi n trong t t c các tr ưng ði h c cho kh i sinh viên n ăm th nh t và n ăm th hai trong ch ươ ng trình h c ði c ương. Hơn n a trong các k ỳ thi T t nghi p THPT và k ỳ thi Tuy n sinh ði h c phép tính tích phân h u nh ư luơn cĩ trong các đ thi mơn Tốn c a kh i A, kh i B và c kh i D. Bên c nh đĩ, phép tính tích phân c ũng là m t trong nh ng ni dung đ thi tuy n sinh đu vào h Th c s ĩ và nghiên c u sinh. Vi t m quan tr ng ca phép tính tích phân, chính vì th mà tơi vi t m t s kinh nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 vi chuyên đ “TÍNH TÍCH PHÂN BNG PH ƯƠ NG PHÁP PHÂN TÍCH - ðI BI N S VÀ T NG PH N” đ ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 đ các em đt k t qu cao trong kỳ thi T t nghi p THPT và k ỳ thi Tuy n sinh ði h c và giúp cho các em cĩ n n t ng trong nh ng n ăm h c ði c ươ ng c a ði h c. Trong ph n n i dung chuyên đ d ưi đây, tơi xin đưc nêu ra m t s bài t p minh ha c ơ b n tính tích phân ch y u áp d ng ph ươ ng pháp phân tích, ph ươ ng pháp đi bi n s , ph ươ ng pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p đ ngh là các đ thi T t nghi p THPT và đ thi tuy n sinh ði h c Cao đng c a các n ăm đ các em h c sinh rèn luy n k n ăng tính tích phân và ph n cu i c a chuyên đ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. Tuy nhiên v i kinh nghi m cịn h n ch nên dù cĩ nhi u c g ng nh ưng khi trình bày chuyên đ này s khơng tránh kh i nh ng thi u sĩt, rt mong đưc s gĩp ý chân tình c a quý Th y Cơ trong H i đng b mơn Tốn S Giáo d c và ðào t o t nh ðng Nai. Nhân d p này tơi xin c m ơn Ban lãnh đo nhà tr ưng t o điu ki n t t cho tơi và c m ơn quý th y cơ trong t Tốn tr ưng Nam Hà, các đng nghi p, b n bè đã đĩng gĩp ý ki n cho tơi hồn thành chuyên đ này. Tơi xin chân thành cám ơn./. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 1
  3. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI MC L C Li nĩi đu 1 Mc l c 2 I. Nguyên hàm: I.1. ðnh ngh ĩa nguyên hàm 3 I.2. ðnh lý 3 I.3. Các tính ch t c a nguyên hàm 3 I.4. Bng cơng th c nguyên hàm và m t s cơng th c b sung 4 II. Tích phân: II.1. ðnh ngh ĩa tích phân xác đnh 5 II.2. Các tính ch t c a tích phân 5 II.3 Tính tích phân b ng ph ươ ng pháp phân tích 5 Bài t p đ ngh 1 9 II.4 Tính tích phân b ng ph ươ ng pháp đi bi n s 10 II.4.1 Ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 1 10 ðnh lý v ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 1 13 Mt s d ng khác dùng ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 1 14 Bài t p đ ngh s 2 14 Bài t p đ ngh s 3 15 Bài t p đ ngh s 4: Các đ thi tuy n sinh ði h c Cao đng 16 II.4.2 Ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 2 16 Bài t p đ ngh s 5 21 Các đ thi T t nghi p trung h c ph thơng 22 Các đ thi tuy n sinh ði h c Cao đng 22 II.5. Ph ươ ng pháp tích phân t ng ph n 23 Bài t p đ ngh s 6: Các đ thi tuy n sinh ði h c Cao đng 28 III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài t p đ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân 30 Ph l c 36 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 2
  4. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI I. NGUYÊN HÀM: I.1. ðNH NGH ĨA NGUYÊN HÀM: Hàm s F(x) đưc g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm s F(x) = x 3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x 2 trên R 1 b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) = trên (0;+ ∞) x I.2. ðNH LÝ: Nu F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì: a) Vi m i h ng s C, F(x) + C c ũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng đĩ. b) Ng ưc l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) đu cĩ th vi t dưi d ng F(x) + C v i C là m t h ng s . Theo đnh lý trên, đ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch c n tìm m t nguyên hàm nào đĩ c a nĩ r i c ng vào nĩ m t h ng s C. Tp h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và đưc ký hi u: ∫ f(x)dx (hay cịn g i là tích phân b t đnh) Vy: ∫ f(x)dx = F(x)+C 1 VD2: a) 2xdx = x2 +C b) sinxdx = - cosx +C c) dx = tgx +C ∫ ∫ ∫ cos2 x I.3. CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM: ' 1) ()∫ f(x)dx= f(x) 2) ∫a.f(x)dx= a ∫ f(x)dx ( a≠ 0 ) 3) ∫f(x)± g(x)  dx= ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫f(x)dx = F(x)+C⇒ ∫ f( u(x)) u'(x)dx= F( u(x)) +C VD3: a) ∫ (5x42-6x+ 8xdx=x) 532 -2x+4x +C b) ∫6cosx.sinxdx=-6 ∫ cosx.d( cosx) =-3cos2x +C Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 3
  5. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI I.4. B NG CƠNG TH C NGUYÊN HÀM: BNG CÁC NGUYÊN HÀM C Ơ B N NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S Ơ C P TH ƯNG G P NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S H P 1/ ∫ dx = x +C 1/ ∫ du=u+C α+1 α+1 α x α u 2/ x dx= +C ( α ≠ -1) 2/ udu= +C ( α ≠ -1) ∫ α +1 ∫ α +1 dx du 3/ =lnx+C (x≠ 0) 3/ =lnu+C (u=u(x) ≠ 0) ∫ x ∫ u 4/ ∫ ex dx=e x +C 4/ ∫ eu du=e u +C a x au 5/ adx=x +C ()0<a ≠ 1 5/ adu=u +C () 0<a ≠ 1 ∫ lna ∫ lna 6/ ∫ cosx dx = sinx +C 6/ ∫ cosudu= sinu+C 7/ ∫ sinx dx = -cosx +C 7/ ∫ sinudu= -cosu+C dx π du π 8/ =() 1+tgx2 dx=tgx+C(x ≠+ kπ ) 8/ =() 1+tgudu=tgu+C(u2 ≠+ k π ) ∫cosx2 ∫ 2 ∫cosu2 ∫ 2 dx du 9/ =() 1+cotg2 x dx =-cotgx+C(x ≠ kπ ) 9/ =() 1+ c otg2 u du=-cotgu+C(u ≠ kπ ) ∫si n2 x ∫ ∫sin2 u ∫ CÁC CƠNG TH C B SUNG  CƠNG TH C NGUYÊN HÀM TH ƯNG G P:  CÁC CƠNG TH C L ŨY TH A: 1 m n m+n 1/ ∫ dx=2 x+C (x≠ 0) 1/ a . a = a x m am-n 1 -n α+1 2/ = a ; = a α 1 ()ax + b n n 2/ ∫ ()ax+b dx= +C (a ≠ 0) a a aα +1 1 n 1 1 3/ m a = am ; m an = a m 3/ dx= lnax+b+C (a ≠ 0) ∫ ax+b a 1  CÁC CƠNG TH C L ƯNG GIÁC : 4/ ∫ eax+b dx= e ax+b +C (a≠ 0) a a. CƠNG TH C H B C: akx kx ()≠∈ ≠ 1 1 5/ ∫ adx= +C 0 k R,0<a 1 1/ sin2 x = () 1-cos2x 2 / cos2 x = () 1+cos2x k.lna 2 2 1 6/ cos() ax+b dx= sin() ax+b +C (a≠ 0) ∫ a b. CƠNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG 1 1 1/ cosa.cosb =  cos()() a-b +cos a+b  7/ sin() ax+b dx=- cos ()ax+b +C (a ≠ 0) 2 ∫ a 1 π ()()  8/ tgxdx=-lncosx+C (x≠+ kπ ) 2/ sina.sinb =  cos a-b -cos a+b  ∫ 2 2 1 9/ cotgxdx=ln sinx +C ( x ≠ kπ ) 3/ sina.cosb =  sin()() a-b +sin a+b  ∫ 2 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 4
  6. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI II. TÍCH PHÂN: II.1. ðNH NGH ĨA TÍCH PHÂN XÁC ðNH: Gi s hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph n t b t k ỳ c a K, F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K. Hi u F(b) – F(a) đưc g i là tích phân t a đn b c a f(x). Ký hi u: b b ∫ f(x)dx = F(x)= F(b)-F(a) a a II.2. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f( x ) dx = 0 a a b 2/ ∫fxdx()= − ∫ fxdx () b a b b 3/ ∫kfxdx.()= k .() ∫ fxdx ( k ≠ 0) a a b b b 4/ ∫[()fx± gxdx () ] = ∫ fxdx() ± ∫ gxdx () a a a b c b 5/ ∫f(x)dx= ∫ fxdx () + ∫ fxdx( ) v i c ∈(a;b) a a c b 6/ Nu fx()≥ 0, ∀ x ∈ [;] ab thì ∫ f( x ) dx ≥ 0 . a b b 7/ Nu fx()≥ gx (), ∀ x ∈ [;] ab thì ∫fxdx()≥ ∫ gxdx () . a a b 8/ Nu m≤ fx() ≤ M , ∀∈ x [;] ab thì mb(−≤ a )∫ fxdx () ≤ Mb ( − a ) . a t 9/ t bi n thiên trên [a ; b ] ⇒ G() t= ∫ f () x dx là m t nguyên hàm c a f( t ) và G( a )= 0 a II.3. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PH ƯƠ NG PHÁP PHÂN TÍCH: b = = + + Chú ý 1: ð tính tích phân I∫ f( x ) dx ta phân tích fx() kfx1 1 () kfxm m () a ≠ = = Trong đĩ: ki 0 ( i 1,2,3, , m ) các hàm fxii( ) ( 1,2,3, , m ) cĩ trong b ng nguyên hàm c ơ b n. VD4: Tính các tích phân sau: Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 5
  7. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI 2 2 1) I =∫ (3x2 - 4x +3)dx =(x 3 -2x 2 +3x) -1 -1 =(232 -2.2 +3.2)-((-1) 3 -2.(-1) 2 +3.(-1)) = 12 Nh n xét: Câu 1 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 1/ và 2/ trong b ng nguyên hàm. 2 3x4 -6x 3 +4x 2 -2x+4 2) I =∫ 2 dx 1 x Nh n xét: Câu 2 trên ta ch ưa áp d ng ngay đưc các cơng th c trong b ng nguyên hàm, tr ưc h t tách phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) ri áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 1/ , 2/ , 3/ trong b ng nguyên hàm. 2 4 3 2 2 ⇒ 3x-6x+4x-2x+42 2+ 4 I =∫2 dx=(3x-6x+4- ∫ 2 )dx 1 x1 x x 4 2 = (x3 -3x 2 +4x-2ln|x|- ) = 4-2ln2 x 1 2 x2 -5x+3 3) I =∫ dx 0 x +1 Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng ch ưa áp d ng ngay đưc các cơng th c trong b ng nguyên hàm, tr ưc h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) ri áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 1/ , 2/ trong b ng nguyên hàm và cơng th c 3/ b sung. 2x-5x+32 2  9  ⇒ I=∫ dx= ∫ x − 6 +  dx 0x+1 0  x+1  x 2  2 = -6x+9ln|x+1|  =2-12+9ln3=9ln3-10 2  0 1 x -x x -x -x 4) I =∫ e() 2xe +5 e -e dx 0 Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân cĩ d ng tích ta cũng ch ưa áp d ng ngay đưc các cơng th c trong b ng nguyên hàm, tr ưc h t nhân phân ph i rút g n r i áp dng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 1/ , 2/ , 5/ trong b ng nguyên hàm. 1 1 x  1 x -x x -x -x x 2 5= 4 ⇒ I =∫ e()() 2xe +5e -e dx= ∫ 2x+5 -1 dx= x + -x  0 0 0 ln5  ln5 π π 4 2 = 5) I =∫ (4cosx+2sinx - )dx (4sinx -2cosx -2tgx)4 = 2 2 - 2-2+2= 2 cos2 x 0 0 Nh n xét: Câu 5 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 6/, 7/ và 8/ trong b ng nguyên hàm. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 6
  8. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π π 8 = 6) I =∫ (4sin2x - 12cos4x)dx (-2cos2x - 3sin4x)8 = - 2-3+2=-1- 2 0 0 Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 6/ , 7/ trong b ng nguyên hàm phn các cơng th c b sung. π 12 π 7) I =∫ sin2 (2x- )dx 4 0 Nh n xét: Câu 7 h c sinh cĩ th sai vì s d ng nh m cơng th c 2/ trong b ng b ng π nguyên hàm c t bên ph i, bi đã xem u2 =sin2 (2x- ) (hơi gi ng đo hàm hàm s h p). 4 Vi câu 7 tr ưc h t ph i h b c r i s d ng cơng th c 6/ trong b ng nguyên hàm phn các cơng th c b sung. π π π 12π1 12  π  1 12 ⇒ I =∫ sin(2x-2 )dx= ∫ 1-cos(4x- )  dx= ∫ () 1-sin4x dx 42 22  0 0 0 π  π π   π 11 11 11 1 = x + cos4x 12 = + cos  - 0 + cos0  = - 2 4  212432  4  2416 0 π 16 8/ I =∫ cos6x.cos2xdx 0 Nh n xét: câu 8: bi u th c trong d u tích phân cĩ d ng tích ta cũng ch ưa áp d ng ngay đưc các cơng th c trong b ng nguyên hàm, tr ưc h t ph i bi n đi l ưng giác bi n đi tích thành t ng r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng cơng th c 6/ trong b ng nguyên hàm phn các cơng th c b sung. π π π 16 16   1= 111 ⇒ I =∫ cos6x.cos2xdx= ∫ () cos8x+cos4x dx sin8x+ sin4x  16 2 284  0 0 0 π π     =11 1 − 11 1 = 1121 = sin+sin  sin+sin0 0   +  () 1+2 28 24428  4  288  16 2 2 9) I =∫ x -1dx -2 Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân cĩ ch a giá tr tuy t đi, ta hưng hc sinh kh d u giá tr tuy t đi b ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p vi tính ch t 5/ c a tích phân đ kh giá tr tuy t đi. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 7
  9. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI 2 -1 1 2 ⇒ I =∫ x-1dx=2 ∫()()() x-1dx 2 − ∫ x-1dx 2 + ∫ x-1dx 2 -2 -2 -1 1 3 3 3 x -1 x  1 x  2 = -x  − -x  + -x  = 5 3 -2 3  -1 3  1 3 3x +9 10) I =∫ 2 dx 2 x -4x-5 Nh n xét: Câu 10 trên ta khơng th c hi n phép chia đa th c đưc nh ư câu 2 và 3, mt khác bi u th c dưi m u phân tích đưc thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c 3x+9 A B 4 1 trong d u tích phân nh ư sau: = + = - (ph ươ ng pháp h s x2 -4x-5 x-5 x+1 x-5 x+1 bt đnh) 3 3   3 ⇒ 3x+9 4 1 () I =∫2 dx= ∫  -  dx=4ln|x-5|-ln|x+1| 2 2x -4x-5 2  x-5 x+1  4 = 4ln2 -ln4- 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 a'x +b' Chú ý 2: ð tính I=∫ dx (b2 - 4ac≥ 0) ta làm nh ư sau: ax2 +bx +c b TH1 : N u b2 -4ac=0 , khi đĩ ta luơn cĩ s phân tích ax2 +bx+c=a(x+ ) 2 2a b ba' ba' a'(x + )+b' -a' dx b' - dx ⇒ I=2a 2a dx= + 2a ∫b ∫ b ∫ b a(x+)2 a x+ a (x+) 2 2a 2a 2a 2 2 TH2: Nu b -4ac>0⇒ ax +bx+c=a(x-x1 )(x-x 2 ) . Ta xác đnh A,B sao cho A+B =a' a'x+b'=A(x-x1 )+B(x-x 2 ) , đng nh t hai v ⇒  Ax1 + Bx 2 = -b' 1 A(x-x)+B(x-x) 1 A B I=∫1 2 dx=( ∫ + )dx . a (x - x12 )(x - x ) a x - x 21 x - x Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 8
  10. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Chú ý 3: P(x) TH1: ð tính I =∫ dx ta làm nh ư sau: (x-a1 )(x-a 2 ) (x-a n ) P(x) A A A =1 + 2 + + n (x-a)(x-a12n ) (x-a ) (x-a) 12 (x-a ) (x-a n ) = P(x) TH2: ð tính I ∫ m k r dx ta làm nh ư sau: (x-a1 ) (x-a 2 ) (x-a n ) P(x) = A1 A 2 A m m k r m+ m-1 + + + (x-a1 ) (x-a 2 ) (x-a n ) (x-a)1 (x-a) 2 (x-a) m P(x) TH3: ð tính I =∫ dx v i P(x) và Q(x) là hai đa th c: Q(x) * N u b c c a P(x) ln h ơn ho c b ng bc c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x). * N u b c c a P(x) nh h ơn b c c a Q(x) thì tìm cách đư a v các d ng trên. Nh n xét: Ví d 4 trên g m nh ng bài t p tính tích phân đơ n gi n mà h c sinh cĩ th áp d ng ngay b ng cơng thc nguyên hàm đ gi i đưc bài tốn ho c v i nh ng phép bi n đi đơ n gi n nh ư nhân phân ph i, chia đa th c, đng nh t hai đa th c, bi n đi tích thành t ng Qua ví d 4 này nh m giúp các em thu c cơng th c và n m v ng phép tính tích phân c ơ b n. BÀI T P ð NGH 1: Tính các tích phân sau: 1 3 2 2x2 x+x3 x-3x+1 1) I = (x x+2x +1)dx 2) Ι = ∫ ∫ 2 dx 0 1 x 0 3 2 2 x -3x -5x+3 2 2 3) I =∫ dx 4) I =∫ () x +x-3 dx -1 x -2 -2 π π 6 12 5) I =∫ () sinx+cos2x-sin3x dx 6) I =∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx 0 0 π 16 2 4 2 7) I =∫ cos 2xdx 8) I =∫ x +2x-3dx 0 -2 4 dx 1 dx 9) I = ∫ 2 10) I = x -5x+6 ∫ 1 0 x+1+ x x2 +2x+6 x2 +1 11) I =∫ dx 12) I =∫ 3 dx (x -1)(x -2)(x -4) (x -1) (x+3) xdx x7 dx 14) I = 13) I = ∫ 4 2 ∫ 4 2 x -6x +5 (1+ x ) Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 9
  11. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI II.4. TÍCH PHÂN B NG PH ƯƠ NG PHÁP ðI BI N S : II.4.1. Ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 1: b Ta cĩ chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x) dx ch ph thu c vào hàm s f(x), a cn a và b mà khơng ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân. T c là: b b b = = = ∫f(x)dx ∫ f(t) dt ∫ f(u) du a a a Trong m t s tr ưng h p tính tích phân mà khơng tính tr c ti p b ng cơng th c hay qua các b ưc phân tích ta v n khơng gi i đưc. Ta xét các tr ưng h p cơ b n sau: VD5: Tính các tích phân sau: 2 2 dx 1) I = ∫ 2 0 2 -x Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân cĩ ch a c ăn b c hai, ta khơng kh c ăn bng phép bi n đi bình ph ươ ng hai v đưc, ta th tìm cách bi n đi đư a c ăn b c hai v dng A2 , khi đĩ ta s liên t ưng ngay đn cơng th c: 1-sin2x= cos 2 x= cos x , do đĩ: ∈π π  ðt x = 2sint⇒ dx = 2costdt , t - ;  2 2  2 2 π ði c n: x=⇒ 2sint= ⇒ t= 2 2 6 x=0 ⇒ 2sint=0 ⇒ t=0 π π π π 6 6 6 π π 2cost.dt 2cost.dt 6 ∈  ⇒ I=∫= ∫ = ∫ dt=t= ( vì t 0;  ⇒ cost >0 ) 2 2 6 6  02-2sint 0 2(1-sint) 0 0 2 dx Trong VD trên khi ta thay đi nh ư sau: I = . H c sinh làm t ươ ng t và ∫ 2 0 2 -x π 1 đưc k t qu I = . K t qu trên b sai vì hàm s f( x ) = khơng xác đnh khi x= 2 . 2 2-x 2 Do đĩ khi ra đ d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s f( x ) xác đnh trên [a;b] Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 10
  12. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI 6 2 2) I=∫ 3-xdx2 0 ∈π π  ðt x =3 sint⇒ dx = 3 costdt , t - ;  2 2  6 6 π ði c n: x=⇒ 3sint= ⇒ t= 2 2 4 x=0 ⇒ 2sint=0 ⇒ t=0 π π π π 4 4 4 3 31  4 31π  ⇒ I=∫ 3-3sint2. 3cost.dt = ∫ 3cost.dt 2 = ∫ () 1+cos2t.dt= t+ sin2t  = +  0 02 0 22  242  0 β β dx a) Khi g p d ng a2 -x 2 dx hay (a > 0) ∫ ∫ 2 2 α α a -x ∈π π  ðt x =a. sint ⇒dx = a.cost.dt , t - ;  2 2  ( ð bi n đi đưa c ăn b c hai v d ng A2 , tc là: a222 -a sinx= a 22 cos x=a. cos x ) β β ∈ π π  ði c n: x = ⇒ t = ’ - ;  2 2  π π  α ⇒ α ∈ x = t = ’ - ;  2 2  ππ ππ ∈α β ∈  Lưu ý: Vì t -;⇒ ', '  - ; ⇒ cost >0 22  22 β β ' β ' 22 222 22 ⇒ ∫a-xdx= ∫ a-asint.acost dt = ∫ a cost dt , h b c cos 2t. α α ' α ' β β β dx'a.cost dt ' hay = = dt ∫22 ∫ 222 ∫ αa-x α' a-asin t α ' ðn đây, cơng th c nguyên hàm khơng ph thu c vào bi n s nên ta tính đưc tích phân theo bi n s t m t cách d dàng. đây ta c n l ưu ý: Bi u th c trong d u tích phân này là hàm s theo bi n s t đơ n điu trên [ α;β]. Ta m r ng tích phân d ng trên nh ư sau: β β dx b) Khi g p d ng a2 -u 2 (x)dx hay (a > 0) ∫ ∫ 2 2 α α a -u (x) ∈π π  ðt u(x)= a.sint⇒ u'(x) . dx = a.cost.dt , t - ;  2 2  Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 11
  13. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI β β ∈ π π  ði c n: x = ⇒ t = ’ - ;  2 2  α α ∈ π π  x = ⇒ t = ’ - ;  2 2  6 6 2+ 2+ 2 2 VD6: Tính tích phân sau: I=∫ -x2 +4x -1 dx . Ta cĩ: I=∫ 3 -() x -22 dx 2 2 ∈π π  ðt x -2 =3 sint⇒ dx = 3 cost.dt , t - ;  2 2  6 2 π ði c n: x = 2+⇒ sint= ⇒ t= 2 2 4 x = 2 ⇒ sint=0⇒ t= 0 π π 4 4 ⇒ I =∫ 3-3sin2 t. 3cost.dt = ∫ 3cost.dt2 0 0 π π 4 3 31  4 31π  = ∫ ()1+cos2t.dt= t+ sin2t  = +  20 22  242  0 2 dx VD7: Tính tích phân sau: I =∫ 2 dx 0 2+x Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m u s vơ nghi m nên ta khơng s d ng ph ươ ng pháp h s b t đnh nh ư ví d 4.10 và khơng phân tích bi u th c trong d u tích phân đưc nh ư chú ý 2 và chú ý 3. π π  ðt: x= 2tgt⇒ dx= 2.1+tgt( 2 ) dt , t∈ - ;  2 2  π ði c n: x= 2⇒ 2tgt= 2 ⇒ t= 4 x=0 ⇒ 2tgt=0 ⇒ t=0 π π π 42.() 1+tg2 t dt 4 π ⇒ 2 24 2 I =∫2 = ∫ dt = t = 02+2tg t 0 2 2 8 0 β dx c) Khi g p d ng ∫ 2 2 (a > 0) α a +x Nh n xét: a 2 + x 2 = 0 vơ nghi m nên ta khơng phân tích bi u th c trong d u tích phân đưc nh ư chú ý 2 và chú ý 3. π π  ðt x=a.tgt⇒ dx=a.( 1+tg2 t) dt , t∈ - ;  2 2  Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 12
  14. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π π  ði c n: x = β ⇒ t = β’ ∈- ;  2 2  π π  x = α ⇒ t = α’ ∈- ;  2 2  Ta xét ví d t ươ ng t ti p theo: 1+ 2 dx VD8: Tính tích phân sau: I= ∫ 2 1 x -2x+3 Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m u s vơ nghi m nên ta phân tích m u s đưc thành: a 2 + u 2(x). 1+ 2dx 1+ 2 dx Ta cĩ: I= ∫2 = ∫ 2 1x -2x+3 1 2+() x-1 π π  ðt x-1=2tgt ⇒ dx= 2.1+tgtdt( 2 ) , t∈ - ;  2 2  ði c n: π x = 1+2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t = 4 x = 1 ⇒ tgt = 0 ⇒ t = 0 π π π 4()2 4 2. 1+tg t dt 2 24 2 π ⇒ = I=∫2 = ∫ dt = t 02+2tg t 0 2 2 8 0 Vy: β dx d) Khi g p d ng ∫ 2 2 (a > 0) α a +u() x Vi tam th c b c hai a2 +u 2 ( x ) vơ nghi m thì π π  ðt u(x)=a.tgt⇒ u'(x)dx=a.( 1+tg2 t) dt , t∈ - ;  2 2  π π  ði c n: x = β ⇒ t = β’ ∈- ;  2 2  π π  x = α ⇒ t = α’ ∈- ;  2 2  Tĩm l i: Ph ươ ng pháp đi bi n s d ng 1: ðnh lý: Nu 1. Hàm s x = u(t) cĩ đ o hàm liên t c, đơn điu trên đon [ α;β]. 2. Hàm s h p f [u(t)] đưc xác đ nh trên đon [ α;β]. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 13
  15. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI 3. u( α) = a, u( β) = b. b β = thì ∫f(x)dx ∫ f[] u(t) u'(t). dt a α T đĩ ta rút ra quy t c đ i bi n s d ng 1 nh ư sau: B1 : ðt x = u(t) ( vi u(t) là hàm cĩ đo hàm liên t c trên [α ; β ] , f(u(t)) xác đnh trên [α ; β ] và u()α= au , () β = b ) và xác đnh α, β b β β B2 : Thay vào ta cĩ: I=∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt =G(t)α =G(β ) -G () α a α Mt s d ng khác th ưng dùng ph ươ ng pháp đi bi n s dang 1: 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a a2 -b 2 x 2 hay ta th ưng đ t x= sint a2 -b 2 x 2 b 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a b2 x 2 -a 2 hay ta th ưng đ t x = b2 x 2 -a 2 bsint 1 a * Hàm s trong d u tích phân ch a ta th ưng đ t x = tgt a2 +b 2 x 2 b a * Hàm s trong d u tích phân cha x(a -bx) ta th ưng đ t x = sin2 t b BÀI T P ð NGH 2: Tính các tích phân sau: 1 1 x2 1) I =∫ x 1-x2 dx 2) I =∫ dx 2 0 0 4 -3x 1 x 2 x2 -1 3) I =∫ dx 4) I =∫ dx 2 x 0 3+2x -x 1 3 2 x +1 1 dx 5) I 6) I =∫ dx = ∫ 2 1 x(2 - x) 0 x +x+1 1 Hưng d n: Câu 4: ðt x = Câu 5: ðt x =2sin2 t sint π  VD9: Ch ng minh r ng: N u hàm s f(x) liên t c trên 0;  thì 2  π π 2 2 ∫f() sinx dx= ∫ f() cosx dx 0 0 Áp d ng ph ươ ng pháp trên đ tính các tích phân sau : π π 2 sin4 x 4 1) I 2) I =∫ 4 4 dx =∫ ln(1+tgx)dx 0 sin x +cos x 0 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 14
  16. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Gi i π 2 π VT = ∫ f() sinx dx ðt x= -t⇒ dx=-dt . 0 2 π π ði c n x=0⇒ t= ; x= ⇒ t=0 2 2 π 0 π   2 ⇒ VT=−∫f sin −=t   dt ∫ f() cosx dx = VP ( đpcm) π 2   0 2 Áp d ng ph ươ ng pháp trên đ tính các tích phân sau : π 2 sin4 x 1) I =∫ 4 4 dx 0 sin x+cos x π ðt x= -t⇒ dx=-dt . 2 π π ði c n x=0⇒ t= ; x= ⇒ t=0 2 2 π π 4 π 0 sin ( - t) 2cos4 t 2 cos 4 x I 2 =-∫π π dt= ∫44 dt= ∫ 4 4 dx π sin4 ( - t)+cos 4 ( - t) 0sint+cost 0 sin x+cos x 2 2 2 π π π 24 2 4 2 π π ⇒ sin x cos x ⇒ . 2I=∫44 dx+ ∫ 44 dx=dx= ∫ I= 0sin x +cos x 0 sin x +cos x 0 2 4 π 4 2) I =∫ ln(1+ tgx)dx 0 π ðt x= -t⇒ dx=-dt 4 π π ði c n x=0⇒ t= ; x= ⇒ t=0 4 4 π π π 0 π 41-tgt 4 4 ⇒ I= -∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+ )dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt) ]dt =ln2. ∫ dt - I π 4 1+tgt 0 0 0 4 πln2 π .ln2 ⇒2=I ⇒ I= 4 8 BÀI T P ð NGH 3: Tính các tích phân sau: Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 15
  17. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π π 2 2 π 1) ∫ sinn xdx = ∫ cos n xdx HD : ðt x= -t . 0 0 2 a 2) Cho I =∫ f(x)dx . CMR: -a a a) I= 2∫ f(x)dx n u f(x) là hàm s ch n. 0 b) I = 0 n u f(x) là hàm s l . bf(x) b 3) Ch ng minh r ng: Nu f(x) là hàm s ch n thì . ∫x dx = ∫ f(x)dx -ba +1 0 2 2x2 +1 Áp d ng: Tính . I=∫ x dx -2 2 +1 ππ π 4) Ch ng minh r ng: ∫xf(sinx)dx = ∫ f(sinx)dx (HD: ðt x=π -t ) 02 0 π xsinx Áp d ng: Tính . I=∫ 2 dx 0 4+sin x BÀI T P ð NGH 4: Tính các tích phân sau: (Các đ tuy n sinh ði h c) 2 2 2 1 x 3 a) I = dx (ðH TCKT 1997) b) I = ()1- x2 dx (ðH Y HP 2000) ∫ 2 ∫ 0 1- x 0 2 a c) I = ∫x2 4-x 2 dx (ðH T.L i 1997) d) I = ∫x2 a 2 - x 2 dx ( ðH SPHN 2000) 0 0 3 2 dx 1 dx e) I = (ðH TCKT 2000) f) I = (ðH T.L i 2000) ∫ 2 ∫ 4 2 1 x 1-x 0 x +4x +3 2 1 dx 2 dx g) I = (ðH N.Ng 2001) h) I = (ðH BKHN 1995) ∫ 2 2 ∫ 2 -1 ()1+ x 2 x x -1 3 II.4.2. Ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 2: (D ng ngh ch) b Nu tích phân cĩ d ng ∫ f u(x)  u'(x)dx a ðt: u=u(x)⇒ du=u'(x)dx ⇒ ði c n: x = b u2 = u(b) x = a⇒ u1 = u(a) u2 ⇒ I=∫ f() udu u1 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 16
  18. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI a) Mt s d ng cơ b n th ưng g p khi đ i bi n s lo i 2: (D ng ngh ch) Trong m t s tr ưng h p tính tích phân b ng ph ươ ng pháp phân tích hay tính tích phân b ng tích phân đi bi n s lo i 1 khơng đưc nh ưng ta th y bi u th c trong d u tích phân cĩ ch a: 1. L ũy th a thì ta th đt u b ng bi u th c bên trong c a bi u th c cĩ ch a l ũy th a cao nh t. 2. C ăn th c thì ta th đt u b ng c ăn th c. 3. Phân s thì ta th đt u b ng m u s . 4. cosx.dx thì ta th đt u = sinx. 5. sinx.dx thì ta th đt u = cosx. dx 2 6. hay (1 + tg x)dx thì ta th đt u = tgx. cos2 x dx 2 7. hay (1 + cotg x)dx thì ta th đt u = cotgx. sin2 x dx 8. và ch a lnx thì ta th đt u = lnx. x VD 10: Tính các tích phân sau: 1 1. a) I =∫ (x3 +1) 5 x 2 dx 0 du ðt: u=x3 +1⇒ du=3xdx 2⇒ xdx= 2 3 ði c n: x 0 1 u 1 2 2du1 2 u62 217 6 6 ⇒ I=∫ u5= ∫ u 5 du = =-= 13 3 1 181 18 18 2 π 2 b) I =∫ (1+sinx )3 .cosx.dx (T ươ ng t ) 0 2 2. a) I =∫ 4+3x2 .12x.dx 0 ðt: u= 4+3x2⇒ u 2 =4+3x 2 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 17
  19. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI ⇒ 2udu =6xdx⇒ 12xdx = 4udu ði c n: x 0 2 u 2 4 4 4 4u34 4.4 3 4.2 3 224 ⇒ I=∫ u.4u.du = ∫ 4u2 .du = = - = 2 2 32 33 3 2 2 b) I=∫ 1+2x2 .x 3 .dx (HD: I=∫ x2 . 1+2x 2 .xdx ) 0 0 u2 - 1 ðt u= 1+2x22⇒ u=1+2x 22 ⇒ x = 2 udu ⇒2udu=4xdx⇒ xdx= 2 1 x 2 c) I= dx ðt u3=3 1+7x 33⇒ u = 1+7x 3 ∫ 3 3 0 1+7x u2 du ⇒3udu=21x2 2 dx ⇒ x 2 dx= 7 ði c n: x 0 1 u 1 2 2u2 1 2 1u 2222 213 ⇒ I=∫ du= ∫ udu = =-= 17u 7 1 141 141414 1 x 3 1 x2 . x 3. a) I=∫ 2 dx Ta cĩ: I=∫ 2 dx 0 x+ 1 0 x+ 1 ðt ux=+2 1⇒ x 2 =- u1 du ⇒du= 2xdx ⇒ xdx = 2 ði c n: x 0 1 u 1 2 2u-111 2   2 1 1 ⇒ I=∫ du= ∫  1-  du =() u-ln|u| =() 2-ln2-1 = () 1-ln2 12u2u 1   1 2 2 2 x 2 b) I = dx (HD: ðt u= x3 +2 ) ∫ 3 1 x +2 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 18
  20. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π 6 4. a) I=∫ sin4 x.cosx.dx ðt: u = sinx⇒ du = cosx.dx 0 ði c n: π x 0 6 1 u 0 2 1 1 2 5 u  2 1 ⇒ I=∫ u4 du =  = 0 5  160 0 π 2 sinx b) I=∫ dx (HD: ðt u = 1+3cosx ) 0 1+3cosx π 2 c) I=∫ 1+3sinx.cosxdx (HD: ðt u = 1+3sinx ) 0 π 2 sin2x +sinx 5. a) I=∫ dx (ð ðH kh i A – 2005) 0 1+3cosx π π 2 2sinxcosx +sinx 2 sinx() 2cosx +1 Ta cĩ I=∫ dx= ∫ dx 0 1+3cosx0 1+3cosx u2 - 1 ðt u = 1+3cosx⇒ u2 = 1+3cosx⇒ cosx = 3 -2udu ⇒2udu=-3sinxdx ⇒ sinxdx = 3 ði c n: π x 0 2 u 2 1 u2 - 1   -2udu  2 +1    1 3   3  2 2 ⇒ I=∫ dx= ∫ () 2u1du2 + 2 u 9 1 22u32 22.2 3 2.1 3  34 = +=u + 2-1 -=  931 93 3  27 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 19
  21. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Nh n xét: ði v i nh ng bài ch a c ăn th c, h c sinh cĩ th đt u b ng bi u th c trong d u c ăn, nh ưng sau khi đi bi n thì tích phân mi v n cịn ch a c ăn th c nên vi c α tính ti p theo s ph c t p h ơn (t c là h c sinh ph i đư a v x ). Ví d : Cách 2 c a câu 5 π 2 sin2x +sinx 5. a) I=∫ dx (ð ðH kh i A – 2005) 0 1+3cosx π π 2 2sinxcosx +sinx 2 sinx() 2cosx +1 Ta cĩ I=∫ dx= ∫ dx 0 1+3cosx0 1+3cosx u- 1 ðt u = 1+3cosx⇒ cosx = 3 -du ⇒du=-3sinxdx ⇒ sinxdx = 3 ði c n: π x 0 2 u 4 1 u1-   -du  1 2 +1    4 3   3  1 ()2u+1 ⇒ I=∫ du= ∫ du 4 u9 1 u 141  1 4 1− 1  14  4 =∫ 2+u  = ∫  2u2 + u 2  =  uu+2u  91u  9 1   93  1 132 4  34 = +4- -2  = 93 3  27 Nh n xét: Rõ ràng cách gi i 2 đt u b ng bi u th c trong c ăn th y ph c t p h ơn so vi cách 1. π 2 sin2x.cosx b) I=∫ dx (ðH kh i B – 2005) 0 1+cosx π 4 ()tgx+1 2 I = ⇒ dx 6. a) ∫ 2 dx ðt: u = tgx+1 du = 2 0 cos x cos x ði c n: π x 0 4 u 1 2 2 u3  2 817 ⇒ I=∫ u2 du =  =-= 1 3  1 333 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 20
  22. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π 4 tg2 x - 3tgx +1 b) I =∫ 2 dx (HD: ðt u = tgx ) 0 cos x π 2 ecotgx 7. a) I= ∫ 2 dx π sin x 4 -dx ðt: u =cotgx⇒ du = sin2 x ði c n: π π x 4 2 u 1 0 0 1 1 ⇒ I=-edu∫u= ∫ edu u = e u =- e1 1 0 0 π 2 3cotgx +1 b) I =∫ 2 dx (HD: ðt u = 3cotgx+1 ) p sin x 4 3 e 1+lnx.dx dx 8.a) I= ∫ ðt u = 1+lnx⇒ u2 = 1+lnx ⇒2udu = 1 x x ði c n: x 1 e3 u 1 2 2 2 2u32 2.2 3 2.1 3 14 ⇒ I=∫ u.2udu =2 ∫ u2 du = = - = 1 1 3 1 3 3 3 7 e lnx.3 1+lnx b) I=∫ dx 1 x dx ðt u =3 1+lnx⇒ u3 = 1+lnx ⇒ u 3 - 1= lnx ⇒3u2 du = x ði c n: x 1 e7 u 1 2 2 2 uu74 2 22 74  300 ⇒ I=u-1u.3udu=3u-udu∫()()3. 2 ∫ 63 =3-=3-   = 1 1 74 1 74  7 BÀI T P ð NGH 5: Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 21
  23. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI 1. Tính các tích phân sau: π 2 2 1 2 3 x a) I =() 5sinx -1 cos3 x.dx b) I = 1+2x2 .x 3 .dx c) I = dx ∫ ∫ ∫ 3 3 0 0 0 1+ 26x π p p 2 6 4 sinx 4 d) I =∫ dx e) I =∫ sin x.cosx.dx f) I =∫ cos5 x.dx 0 1+3cosx 0 0 π π π 6 2 4 2 3 g) I =∫ sin x.cos x.dx h) I =∫ 1+3sinx.cosxdx i) I =∫ (1+sin2x )3 .cos2x.dx 0 0 0 π p π 4 2 2 sin2x etgx +1 3 l) I j) I =∫ sinx - sin x.dx k) I =∫ 2 dx =∫ 2 dx 0 0 1+cos x 0 cos x 2. Tính các tích phân sau: (Các đ thi t t nghi p) π 2 2 x 2 a) I = sin5 x.dx (TNTHPT N ăm 93-94) b) I = dx (TNTHPT N ăm 95-96) ∫ ∫ 3 0 1 x +2 π 2 2 c) I =∫ x2 +2.x 3 .dx (TNTHPT N ăm 96-97) d) I =∫ cos2 4x.dx (TNTHPT N ăm 98-99) 1 0 π π 6 2 e) I =∫ (sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01) f) I =∫ (x+sin2 x)cosx.dx (TNTHPT 04-05) 0 0 3. Tính các tích phân sau: (Các đ thi tuy n sinh ð i h c) π 2 sin2x +sinx a) I=∫ dx (ðH kh i A – 2005) 0 1+3cosx π 2 sin2x.cosx b) I=∫ dx (ðH kh i B – 2005) 0 1+cosx π 2 c) I=∫() esinx +sinx cosxdx (ðH kh i D – 2005) 0 π 2 sin2x d) I= dx (ðH kh i A – 2006) ∫ 2 2 0 cos x + 4sin x ln5 dx e) I= ∫ x -x (ðH kh i B – 2006) ln3 e +2e -3 1 f) I=∫ (x-2)e2x dx (ðH kh i D – 2006) 0 4. Tính các tích phân sau: (Các dng khác) 13 dx 3 1 dx a) I = b) Ι = x x+1.dx c) I = ∫ 3 ∫ ∫ 3 0 2x +1 0 0 1+ x+1 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 22
  24. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI p 7 3 3 2sin2x +3sinx e 1 e 1+lnx.dx d) I = dx e) I = dx f) I = ∫ ∫ 3 ∫ 0 6cosx -2 1 x 1+lnx 1 x.lnx 5 7 4 e lnx.3 1+lnx e 1 4 x +1 g) I =∫ dx h) I =∫ dx i) I =∫ .dx 1 x e-1 x.lnx.ln(lnx) 5 x -1 3 1 ln5 e dx (x +1) x k) I = l) I = ex -1 dx m) I = dx (HD: t = xe ) ∫ x ∫ ∫ x 0 1+e 0 0 x(1+xe ) 5. Tính các tích phân sau: (Các đ thi tuy n sinh ð i h c) 1 7 x3 dx = 5 3 6 1) I = (ðH T.M i 1997); 2) I ∫x() 1-x dx (ðH KTQD 1997) ∫ 2 0 1+ x 0 π 2 3 1 = sin x xdx 3) I ∫ 2 dx (ðH QGHN 1997); 4) I = ∫ (ðHQGTPHCM 1998) 0 1+cos x 0 2x +1 π π 2 5) Ι = cosx sinxdx (ðHBKHN98); 6) I = cos2x() sin4 x+cos 4 x dx (ðHBKHN 98) ∫0 ∫ 0 7 3 x +1 1 dx 7) I = dx (ðH GTVT 1998); 8) I = (ðH QGHN 1998) ∫ 3 ∫ x 0 3x +1 0 e +1 π π 2 = 3 = sin2x 9) I ∫sin xcosxdx ( ðH DLHV 1998); 10) I ∫ 4 dx (ðHQGTPHCM 1998) 0 0 1+cos x π π 2 2 4 = ()2 3 = sin x 11) I ∫sin2x 1+sin x dx ( ðHNT 1999); 12) I ∫ 4 4 dx (ðH GTVT 1999) 0 0 sin x +cos x 1 dx ln2 e2x dx 13) I = ( ðH C đồn 2000); 14) I = (ðH BKHN 2000) ∫ 2x ∫ x 0 e +3 0 e +1 π 4 sin4x 2 dx 15) I = 16) I = ∫ 4 4 dx ( ðH CTh ơ 2000); ∫ 3 ( ðH NNghi p 2000) 0 sin x +cos x 1 x() x +1 π π 2 6 2 = sin x = cosx 17) I ∫ 6 6 dx ( ðH Hu 2000); 18) I ∫ dx (ðHNN1-KB 01) 0 cos x+sin x 0 sinx + cosx π 2 dx 2 19) I = 20) Ι = 2 ∫ 4 (ðH Aninh 2001) ∫cos xsin2xdx (ðH NL HCM 2001) 1 x() x +1 0 1 3 7 = 5 3 x 21) I ∫x 1-x dx ( ðH Lu t HCM 2001); 22) I =∫ 8 4 dx (C ðSPNtrang 2002) 0 2 1+ x - 2x π π 2 4 1-2sin2 x 23) I = ∫ ()3cosx - 3 sinx dx (C ðSPQN 2002); 24) I = ∫ dx (ðHCð kh i B 2003) 0 0 1+sin2x 2 3 dx 1 25) I = (ðH-Cð kh i A 2003); 26) I = x3 1-x 2 dx (ðH-Cð kh i D 2003) ∫ 2 ∫ 5 x x +4 0 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 23
  25. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI II.5. TÍCH PHÂN B NG PH ƯƠ NG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N: ðnh lý: Nu u(x) và v(x) là hai hàm s cĩ đ o hàm liên t c trên đon [a;b] thì: b b b = − ∫u(x).v'(x)dx[] u(x).v(x) ∫ v(x).u'(x). dx a a a b b b = − hay ∫u(x).dv[] u(x).v(x) ∫ v(x). du a a a bb b hay ∫u.dv= u.v - ∫ v.du aa a a) Ph ươ ng pháp tính tích phân t ng ph n: b b =()()() = Bưc 1: Bi n đi I ∫fxdx ∫ f1 xf 2 xdx a a  ( ) u=f() x  du=df1 x 1 ⇒ Bưc 2: ðt ()  () dv=f2 xdx v=∫ f 2 xdx (v là m t nguyên hàm c a f 2(x) ) b b I= u.v - v.du Bưc 3: Tính ∫a a Chú ý : Khi tính tích phân t ng ph n ta ph i n m nguyên t c sau: + Ch n phép đt dv sao cho d xác đnh đưc v b b + vdu ph i d xác đnh h ơn udv ∫a ∫a b) Mt s d ng th ưng dùng ph ươ ng pháp tích phân t ng ph n: Nu bi u th c trong d u tích phân cĩ ch a: Dng 1: P( x) sin(nx).dx ; P( x) cos(nx).dx ; P( x) .enx dx ; P( x) .a nx dx ta nên đt: u = P(x)  dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay enx dx hay a nx dx ( ) ( ) Dng 2: P x lnx.dx; P x loga x.dx ta nên đt: u=lnx hay u=loga x  dv = P(x)dx Dng 3: ax sin(nx)dx hay e x cos(nx)dx hay ax cos(nx)dx hay a x cos(nx)dx thì ph i s d ng tích phân t ng ph n đn hai l n. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 24
  26. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI VD 11: Tính các tích phân sau: π 3 1. I = ∫(3x -1)cos3xdx 0 du = 3dx u = 3x -1  ðt:  ⇒  dv = cos3xdx v = 1 sin3x  3 π π π 3 13 1 3 2 ⇒ I=(3x -1)sin3x - sin3xdx =0+ cos3x = - 3∫ 3 0 0 0 3 1 2. I =∫ (2x+1)ln(x+1)dx 0  dx u = ln(x+1) du = ðt:  ⇒  x + 1 dv =(2x+1)dx  2 v = x + x = x(x + 1) 1 2 1 1 x 1 1 ⇒ I = (x2 +x)ln(x+1)- xdx = 2ln2- =2ln2- =- +ln4 0 ∫ 0 2 0 2 2 1 3. I =∫() 4x2 -2x-1e 2x dx ( ðH GTVT 2004) 0  2 du = (8x - 2)dx u = 4x -2x-1  ðt:  ⇒  1 dv = e2x dx v = e2x  2 11 1 1 ⇒ I = (4x2 -2x -1 ). e 2x -∫ (4x - 1) e 2x dx = A - Β 20 0 2 11 1 1 A =(4x-2x-12 ). e 2x= e 2 + 20 2 2 1 du = 4dx 2x u = 4x -1  Β = ∫(4x - 1)e dx ðt:  ⇒  1 dv = e2x dx v = e2x 0   2 11 1 311 13 ⇒ ()4x-1 e2x−∫ 2edx 2x =+ e 2 -e 2x =+ e 2 20 0 220 22 ⇒ I = A - Β = -1 Nh n xét: Ví d trên là d ng 1 c a tích phân t ng ph n ∫P( x) .enx dx do đĩ h ưng hc sinh đt u = P(x) nh ưng do P(x) là tam th c b c hai nên ta tính tích phân t ng ph n hai l n. Tù đĩ rút ra nh n xét chung cho h c sinh: N u P(x) là đa th c b c k thì tính tích phân t ng ph n k l n. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 25
  27. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π 4 4. I = ∫ 4e xcos 2 xdx 0 Nh n xét: D ng 3 c a tích phân t ng ph n là tích phân cĩ d ng ∫ex sin(nx)dx nh ưng bi u th c trong d u tích phân c a ví d trên ch a cos2 x do đĩ h b c ta s đư a tích phân v đúng d ng 3. ππ π ππ 44 4 44 x2x() x() xx + I= ∫∫4ecos xdx= 2e 1+cos 2 x dx= ∫ 2e 1+cos 2 x dx= ∫∫ 2e dx+ 2e cos 2 x.dx= I1 I 2 00 0 00 Ta cĩ: π π 4 π 4 x x 4 I1 =∫2e dx= 2e = 2e -2 0 0 π 4 = x I2 ∫2ecos 2 x.dx 0  u = cos2 x du = -2.sin2xdx  ⇒  ðt: x x dv = 2 e dx v = 2e π 1 ⇒ x4 + x I2 = 2ecos 2 x ∫ 4e sin2xdx =- 2 + Β 0 0 1 Β = ∫4ex sin2xdx 0  u = sin2 x du = 2.cos2xdx  ⇒  ðt: x x dv = 4 e dx v = 4 e π 1 π ⇒ x4 − x 4 − B= 4esin 2 x ∫ 8e cos2xdx = 4e 4 I 2 0 0 π 4 − ⇒ I2 = -2 + B= - 2 + 4e 4 I 2 π π 1   ⇔=I - + 4 ⇔= I - + 4  52 2 4e 2  2 4e  5   π π π 1  14 12 += 24 - + 4  = 4 − I= I1 I 2 e-2+ 24e  e 5  5 5 Nh n xét: ví d trên hc sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, trong khi tính ln hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban đu nên ta cịn g i dng trên là Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 26
  28. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI tích ph n t ng ph n l p. Trong d ng bài t p này khi làm h c sinh c n l ưu ý v d u khi s d ng cơng th c tích phân t ng ph n. π π 4 4 x 2 5. A = ∫ 2 dx . T đĩ suy ra: B = ∫x.tg xdx (ðH NN Kh i B 2000) 0 cos x 0 π π π u = x 4  du = dx 4 π 4 d(cosx) ðt dx ⇒  ⇒ A= x.tgx - ∫ tgxdx = + ∫ dv = 2 v = tgx 0 40 cosx  cos x 0 π π π 1 = +ln cosx 4 = - ln2 4 0 4 2 π π π π 4 4 4 4 π π 2 ⇒ 2 1 1 1 B = ∫x.tg xdx = ∫ x.(2 -1)dx = ∫x.2 dx- ∫ xd x = - ln2 - 0 0 cos x 0cos x 0 42 32 3 6. I =∫ ln() x2 -xdx ( ðHC ð Kh i D 2004) 2  (2x - 1)dx (2x - 1)dx  2  u=ln(x -x) du = 2 = ðt:  ⇒  x - x x() x -1 dv = dx  v = x - 1 (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 đ kh m u s ) 3 3 2x - 1 ⇒ I = (x -1).ln(x2 -x)-∫ dx= 2ln6 -2ln2 +1= 2ln3 + 1 2 2 x Nh n xét: Trong d ng bài t p tích phân t ng ph n cĩ ch a ln(u(x)) th ưng xu t hi n phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x)+C v i C là m t h ng s thích h p ta cĩ th đơ n gi n đưc phân s đ cho b ưc tính tích phân ti p theo đơ n gi n h ơn. 4 Mt ví d t ươ ng t : I =∫ 2xln(x -2)dx 3 π  3   2  7. I =∫ sin3 x dx ( ðH KTrúc HN 2001); 0 Nh n xét: ví d trên h c sinh ph i nh n xét đưc r ng b ưc đu ph i đi bi n s . ðt u = 3 x⇒ u=x3 ⇒ 3u=dx 2 ði c n: π  3 x 0   2  Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 27
  29. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π u 0 2 π π 2 2 ⇒ I =∫ 3u2 sinu du ⇒ I =∫ 3x2 sinx dx ta bi n đi nh ư trên đ h c sinh d nh n d ng tích 0 0 phân t ng ph n d ng 1. Nh n xét: ðn đây tích phân ti p theo cĩ d ng 1 c a tích phân t ng ph n. Do đa th c là b c hai nên đ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n 2 l n: u = 3x 2 du =6xdx ðt ⇒  dv = cosx.dx v = sinx π π 2 2 2 3π ⇒ 2 − = − I=3x sinx ∫ 6xsinx dx I 1 0 4 0 π 2 = I1 ∫6xsinx dx 0 u = 6x  du = 6dx ðt ⇒  dv = sinxdx  v = -cosx π π π 2 ⇒ =−2 + =2 = π I1 6x.cosx∫6cosx dx 6x.sinx 3 0 0 0 3π2 3 π 2 ⇒ I=− += I − 3 π 41 4 Nh n xét: Qua ví d trên, đ tính tích phân đơi khi h c sinh ph i áp d ng c hai ph ươ ng pháp đi bi n s lo i 2 và tích phân t ng ph n. Ví d t ươ ng t : (ph i h p hai ph ươ ng pháp) π 2 π 2 4 4 1 e cos lnx a) I =∫ sin x dx b) I =∫ x.ln(1+x2 ) dx c) I = ∫ dx 0 0 0 x π π 2 3 ln tgx 4 cosx I dx x d) I =∫ e sin2x. dx e) = ∫ 2 f) I =∫ e dx 0 π cos x 0 4 BÀI T P ð NGH 6: 1. Tính các tích phân sau: Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 28
  30. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π π ln2 6 6 a) I =∫ xe-x dx b) I =∫ (12x -2)cos2xdx c) I =∫ (2x2 -4)sin2xdx 0 0 0 π 1 3 2 xdx f) I d) I =∫ (2x -1)ln(x +1)dx e) I =∫ (2x -1)ln(x -1)dx =∫ 2 π 0 2 sin x 4 π 1 2 3 g) I =∫ 2xln2 (x+1)dx h) I =∫ (12x -4+ex )sinxdx i) I =∫ 2xln2 (x -1)dx 0 0 2 π 2 j) I =∫ (x +sin2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005) 0 2. Tính các tích phân sau: (Các đ thi tuy n sinh ði h c) π 4 1 a) I = e3x sin4xdx ( ðH A.Ninh 1997) b) I =() x-1e2x dx ( ðH DLNN-T.H c 1997) ∫ ∫0 0 π  2   π 4  c) I =∫ x2 sinxdx ( ðH A.Ninh 1998) d) I =∫ cos xdx ( ðH DLNN-T.H c 1998) 0 0 π 2 lnx 4 e) I ()2 =∫ 2 dx ( ðH Hu 1998) f) I =∫ x 2cos x -1 dx ( ðH TCKT 1998) 1 x 0 2 ln( x +1 ) 10 h) I 2 g) I =∫ 2 dx ( ðH C đồn 2000) =∫ xlg xdx ( ðH Y D ưc 2001) 1 x 1 π  3   2  e i) I = sin3 x dx ( ðH KTrúc HN 2001); j) I = x2 ln 2 xdx ( ðH KT HD ươ ng 2002) ∫ ∫1 0 e x2 +1 0 k) I =∫ lnxdx ( ðHC ð D b 2-2003); l) I =∫ xe()2x +3 x+1dx (ðHC ð D.b 2003) 1 x -1 1 1 3 x 2 m) I = xe dx (ðHC ð D b 2-2003); n) I =() x2 +2x e -x dx ( ðH GTVT 2003) ∫0 ∫ 0 III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS Trong m t s tr ưng h p m t s bài tích phân ph c t p đã gi i đưc k t qu nh ưng ch ưa đánh giá đưc đ chính xác c a k t qu là đúng hay sai , khi đĩ ta cĩ th s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS đ ki m tra k t qu . Ví d v i đ thi π 2 sin2x +sinx Kh i A n ăm 2005 I=∫ dx ta s d ng máy tính nh ư sau: 0 1+3cosx Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 29
  31. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI + Vi k t q a gi i tay là 34 ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259 27 + ði v i bài tích phân l ưng giác tr ưc h t chuy n sang ch đ Rad . + Quy trình b m máy CASIO fx-570MS nh ư sau: ∫ dx ( ( sin ( 2 ALPHA X ) + sin + ALPHA X ) ÷ ( 1 3 cos ALPHA X ) , 0 , SHIFT π ÷ 2 ) = Và k t q a máy tính là 1,2593 . So v i k t qu g n đúng trên đng ngh ĩa v i đáp s bài gi i bng tay trên đã đúng. BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN 1 Câu 1: ∫ 2x +1 dx cĩ giá tr b ng: 0 A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 e Câu 2: ∫ x2 -1 dx cĩ giá tr b ng: 0 A. 1 B. 0 C. -1 D. 1 2 Câu 3: Ch n m nh đ đúng: 3 π 3π π4 π 4 π ≤dx ≤ ≤dx ≤ A. ∫ 2 B. 0 ∫ 2 4π 3 - 2sin x 2 π 3-2sin x 2 4 4 3π 3 π 4 π 4 π ≤dx ≤ 1≤ dx ≤ C. 0 ∫ 2 D. ∫ 2 π 3-2sin x 4 4π 3 - 2sin x 2 4 4 e lnx Câu 4: ∫ dx cĩ giá tr b ng: 1 x A. 1 B. 0 C. -1 D. e 1 4 Câu 5: ∫()x + 2 dx cĩ giá tr b ng: 0 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 30
  32. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI A. 211 B. 211 C. 201 D. 201 5 5 π 2 Câu 6: ∫esinx cosx dx cĩ giá tr b ng: 0 A. e - 1 B. 0 C. e D. 1 - e π 2 Câu 7: ∫3 1 +3cosx. sinx dx cĩ giá tr b ng: 0 5 A. 3 B. C. 1 D. 2 3 1 dx Câu 8: ∫ 2 cĩ giá tr b ng: 0 x +x+1 π 3 π π π 3 A. B. C. D. 9 9 9 3 3 2 (2x -1) dx Câu 9: ∫ 2 cĩ giá tr b ng: 1 x -x-1 2 3 4 9 A. ln B. ln C. ln D. ln 3 2 9 4 1 (4x +2) dx Câu 10: ∫ 2 cĩ giá tr b ng: 0 x +x+1 A. 3ln2 B. 2ln3 C. ln4 D. ln6 1 dx Câu 11: cĩ giá tr b ng: ∫ 2 -1 x +2x+2 A. ln( 2+ 5 ) B. ln( 2 +5 ) C. ln( 2 + 5 ) D. ln( 5 - 2 ) 2 dx Câu 11: cĩ giá tr b ng: ∫ 2 1 -3x +6x+1 π 3 π 3 π 3 π 3 A. B. C. D. 3 9 12 15 2 (4x+6) dx Câu 12: cĩ giá tr b ng: ∫ 2 1 x -2x+3 A. 4ln( 2+ 3 ) B. 6ln( 2+ 3 ) C. 8ln( 2+ 3 ) D. 10ln( 2+ 3 ) 2 2 Câu 13: ∫ x x2 +1dx cĩ giá tr b ng: 0 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 31
  33. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI A. 26 B. 28 C. 32 D. 34 3 3 3 3 6 dx Câu 14: cĩ giá tr b ng: ∫ 2 2 x x -3 π π π π A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 2 6 12 36 1 dx Câu 15: cĩ giá tr b ng: ∫ 2 0 x +1 A. ln 2 B. ln2 C. ln( 2 +1 ) D. ln( 2 +2 ) 2 dx Câu 16: ∫ cĩ giá tr b ng: 1 cosx +1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π dx Câu 17: ∫ cĩ giá tr b ng: 0 sinx +1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 π dx Câu 18: ∫ cĩ giá tr b ng: 0 sinx -2cosx - 2 A. -ln2 B. ln2 C. 1-ln2 D. 1+ln2 π 2 sinx -cosx  Câu 19: ∫  dx cĩ giá tr b ng: 0 sinx +cosx  π π π π A. 1+ B. -1+ C. 1- D. -1- 4 4 4 4 π cosx Câu 20: ∫ 2 dx cĩ giá tr b ng: 0 11-7sinx -cos x 1 5 1 1 8 1 5 A. - ln B. - ln5 C. ln D. ln 3 8 3 3 5 3 8 π 2 x +cosx Câu 21: ∫ 2 dx cĩ giá tr b ng: -π 4-sin x 2 1 1 1 1 A. ln3 B. ln3 C. ln3 D. ln3 8 6 4 2 π 2 1+sinx  Câu 22: ∫ln  dx cĩ giá tr b ng: 0 1+cosx  Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 32
  34. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π π A. B. 3 C. 0 D. 1 2 2 π 4 sin4x Câu 23: ∫ 4 4 dx cĩ giá tr b ng: 0 sin x +cos x A. -ln2 B. -ln2 C. -ln3 D. -ln3 π - 2 Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos 7x. ∫ f(x)dx cĩ giá tr π - 2 bng: A. 16 B. 32 C. 24 D. 12 35 35 35 35 π - 2 4 5 Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x . ∫ f(x)dx cĩ π - 2 giá tr b ng: 1 1 1 A. - B. - C. 0 D. 4 2 4 2 Câu 26: ∫ x2 -x dx cĩ giá tr b ng: 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 27: ∫ x3 -2x 2 -x+2dx cĩ giá tr b ng: -1 A. 9 B. 37 C. 14 D. 41 4 12 12 2 Câu 28: ∫ x2 -3x+2 dx cĩ giá tr b ng: -3 59 2 59 2 A. B. C. - D. - 2 59 2 59 π  π π  2  2 2  2 2 Câu 29: ∫ 5 - 4cosx - 4sinx dx cĩ giá tr b ng:  ∫5 - 4cosx - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx  0  0 0    π π π π A. -2 3-2- B. 2 3-2- C. 2 3+2- D. 2 3 +2+ 6 6 6 6 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 33
  35. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π 2 Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx cĩ giá tr b ng: 0 π π π π A. 2 3 -2+ B. 2 3-2- C. 2 3 -2+ D. 2 3-2- 3 3 6 6 2 Câu 31: ∫ ()2x -4 dx cĩ giá tr b ng: -1 1 1 1 1 A. 2+ B. 3 + C. 4+ D. 5 + ln2 ln2 ln2 ln2 2 dx Câu 32: ∫ cĩ giá tr b ng: -1 1+ 1-x A. ln2 B. 2ln2 C. 3ln2 D. 4ln2 2 Câu 33: ∫ ()x -x-1 dx cĩ giá tr b ng: -1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 34: ∫()1-x -1+x dx cĩ giá tr b ng: 0 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 1 Câu 35: ∫xlnxdx cĩ giá tr b ng: 0 2 2 2 2 A. e +1 B. e +1 C. e +1 D. e +1 2 4 1 3 π 2 Câu 36: ∫xcosxdx cĩ giá tr b ng: 0 π π π π A. +2 B. -2 C. +1 D. -1 2 2 2 2 1 Câu 37: ∫xex dx cĩ giá tr b ng: 0 A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 π 2 Câu 38: ∫ex sin2x dx cĩ giá tr b ng: 0 π π π π 2   1   2   1   A. -e2 +1  B. -e 2 +1  C. e 2 +1  D. e2 +1  5   5   5   5   Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 34
  36. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI π 2 Câu 39: ∫e2x cosx dx cĩ giá tr b ng: 0 1 π 1 π 1 π 1 π A. ()e +2 B. ()e - 2 C. ()2e +1 D. ()2e -1 5 5 5 5 1 Câu 40: ∫e2x () x - 2 dx cĩ giá tr b ng: 0 2 2 2 2 A. 5 -3e B. 3e -5 C. 3e -5 D. 5 -3e 4 4 2 2 ex Câu 41: ∫cos() lnx dx cĩ giá tr b ng: 0 1 π 1 π 1 π 1 π A. ()e +1 B. − ()e +1 C. ()e -1 D. ()-e +1 2 2 2 2 e Câu 42: ∫sin() lnx dx cĩ giá tr b ng: 0 (sin1-cos1) e+1 (sin1-cos1) e -1 (cos1-sin1) e+1 (cos1-sin1) e+1 A. B. C. D. 2 2 2 2 e 1+sinx Câu 43: ∫ex dx cĩ giá tr b ng: 0 1+cosx π 3π A. e2 B. eπ C. e 2 D. e2π e 2 x 1+ x Câu 44: ∫e2 dx cĩ giá tr b ng: 0 ()1+ x A. 0 B. 1 C. e D. 2 e x x Câu 45: ∫e2 dx cĩ giá tr b ng: 0 ()1+ x A. e -2 B. e+2 C. e -1 D. e+1 2 2 2 2 Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 35
  37. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Nh n xét: Trong ph n n i dung chuyên đ trên, tơi ch nêu ra m t s bài t p minh ha c ơ b n tính tích phân ch y u áp d ng ph ươ ng pháp phân tích, ph ươ ng pháp đi bi n s , ph ươ ng pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p đ ngh là các đ thi T t nghi p THPT và đ thi tuy n sinh ð i h c Cao đ ng c a các n ăm tr ưc đ các em h c sinh rèn luy n k n ăng tính tích phân, bên c nh đĩ c ũng h ưng d n h c sinh ki m tra k t qu bài gi i c a mình cĩ kt qu đúng hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS và ph n cu i c a chuyên đ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. ð ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 đ các em đ t k t qu cao trong k ỳ thi T t nghi p THPT và k ỳ thi Tuy n sinh ð i hc và giúp cho các em cĩ n n t ng trong nh ng n ăm h c ð i c ươ ng c a ð i h c. Tuy nhiên v i kinh nghi m cịn h n ch nên dù cĩ nhi u c g ng nh ưng khi trình bày chuyên đ này s khơng tránh kh i nh ng thi u sĩt, r t mong đưc s gĩp ý chân tình c a quý Th y Cơ trong H i đ ng b mơn Tốn S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. Mt l n na tơi xin c m ơn Ban lãnh đo nhà tr ưng t o điu ki n t t cho tơi và c m ơn quý th y cơ trong t Tốn tr ưng Nam Hà, các đng nghi p, b n bè đã đĩng gĩp ý ki n cho tơi hồn thành chuyên đ này. Tơi xin chân thành cám ơn./. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 36
  38. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI TÀI LI U THAM KH O 1. Sách giáo khoa gi i tích 12 2. Sách giáo viên gi i tích 12 3. Tuy n t p các chuyên đ và k thu t tính tích phân - Tr n Ph ươ ng 4. ðo hàm và tích phân - Võ ði Mau & Võ ði Hồi ðc 5. Chuyên đ tích phân và đi s t h p xác su t - Ph m An Hịa & Nguy n V ũ Thanh 6. Các d ng tốn c ơ b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa 7. Tr c nghi m khách quan gi i tích và tích phân - ðồn V ươ ng Nguyên. Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 37
  39. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI NH N XÉT Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 38
  40. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 39
  41. CHUYÊN ð:”CÁC PH ƯƠ NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY ỄN DUY KHƠI Tr ưng THPT Nam Hà – Biên Hịa – ðng Nai Trang 40