Bài giảng Giải tích II - Tô Văn Ban

142 trang ngocly 2350

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích II - Tô Văn Ban", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_ii_to_van_ban.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích II - Tô Văn Ban

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PGS TS Tô Văn Ban (Chủ biên) TS Tạ Ngọc Ánh, TS Hy Đức Mạnh BÀI GIẢNG CHI TIẾT GIẢI TÍCH II Hà nội, 6-2013
BỘ MÔN DUYỆT BÀI GIẢNG CHI TIẾT Thay mặt nhóm Chủ nhiệm Bộ môn (Dùng cho 75 tiết giảng) môn học Học phần: GIẢI TÍCH II Nhóm môn học: Giải tích Bộ môn: Toán Tô Văn Ban Khoa: Công nghệ Thông tin Tô Văn Ban Chủ biên: PGS TS Tô Văn Ban Thành viên: TS Tạ Ngọc Ánh TS Hy Đức Mạnh Thông tin về nhóm môn học TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị 1 Tô Văn Ban PGS TS 2 Nguyễn Xuân Viên PGS TS 3 Nguyễn Đức Nụ Giảng viên chính TS 4 Vũ Thanh Hà Giảng viên chính TS 5 Tạ Ngọc Ánh Giảng viên TS 6 Bùi Văn Định Giảng viên ThS 7 Bùi Hoàng Yến Giảng viên ThS 8 Nguyễn Thị Thanh Hà Giảng viên chính ThS 9 Nguyễn Văn Hồng Giảng viên ThS 10 Nguyễn Thu Hương Giảng viên ThS 11 Đào Trọng Quyết Giảng viên ThS 12 Nguyễn Hồng Nam Giảng viên ThS Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1408, Nhà A1 (Gần đường HQ Việt) Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com Bài giảng 1: Hàm số nhiều biến số Chương, mục: 1 Tiết thứ: 1- 5 Tuần thứ: 1 Mục đích, yêu cầu: Nắm sơ lược về Học phần, các quy định chung, các chính sách của giáo viên, các địa chỉ và thông tin cần thiết, bầu lớp trưởng Học phần. Nắm được các khái niệm căn bản về các loại tập mở, đóng, miền trong n . Một số kết quả căn bản về giới hạn, liên tục của hàm nhều biến, tương đồng với những khái niệm này ở hàm 1 biến. Nắm được khái niệm và thuần thục tính đạo hàm riêng, vi phân của hàm nhiều biến. - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu 1
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: Giới thiệu về môn học và các quy định Chương 1: Hàm số nhiều biến số §1.1 Giới hạn – Liên tục §1.2 Đạo hàm – Vi phân . Giới thiệu học phần GIẢI TÍCH II (15 phút) Để thấy bản chất của hiện tượng cũng như mở rộng khả năng đi vào cuộc sống của toán học chúng ta cần nghiên cứu giải tích trong phạm vi nhiều biến. Với hàm nhiều biến, nhiều khái niệm và kết quả với hàm một biến không còn bảo toàn mà có những biến thể tinh vi, uyển chuyển và hứa hẹn những ứng dụng vô cùng rộng lớn. GTII - một sự tiếp tục Giải tích I - hướng chủ yếu vào phép tính vi phân, phép tính tích phân của hàm nhiều biến. Chúng ta sẽ thấy rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn cho thấy mảng ứng dụng vô tiền khoáng hậu của lý thuyết, đảm bảo sự trường tồn của toán học. Các khái niệm, định lý, tính chất thường được phát biểu bằng lời và kết hợp với công thức Chính sách riêng Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào điểm quá trình 0.5 điểm. Chữa bài tập sai không bị trừ điểm. Sự hiện diện trên lớp: Không đi học 5 buổi sẽ không được thi. Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb 1 Giáo trình Giải Tô Văn Ban Nxb Giáo dục 2012 tích II 2 Giải tích II & III Trần Bình KH và KT 2007 3 Toán học cao cấp Nguyễn Đình Giáo dục 2007 (T3-2) Trí và 4 Bài tập Giải sẵn Trần Bình KH và KT 2007 giải tích 2, 3 5 Calculus: A R. Adams Addison Wesley 1991 Complete Course 6 Calculus (Early Jon Rogawski W.H.Freeman and Co. 2007 Transcendentals), Đề Bài tập về nhà GTII (trong tài liệu [1]) 2
Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa trên lớp CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 12(b); 15; 18(b); 21(b); 22; 23(a); 24(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e). Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 24(c); 26(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 1.17; VD 1.26A; VD 1.27; VD 1.28; VD 1.29 (i, ii); VD 1.30; VD 1.37; VD 1.39 CHƯƠNG II Bổ trợ: 1(b, d); 2(b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; 19(b); 20(a, c); 24; 27(a). Chính: 1(e); 5(f); 6(a); 7(e, f); 8(b, d); 9(g); 10(f, g, h); 14(c, d); 19(c); 20(f); 21(c, d); 22(b, c, e); 23(a, b). VD 2.11; VD 2.13; VD2.25 ; VD 2.26; VD 2.27; VD 2.33; VD 2.34; VD2.37 ; VD 2.40 CHƯƠNG III Bổ trợ: 1(d,e), 2, 4. 5(a) , 11, 14(a), 15(a, c), 17(a), 18(d), 19(a, d), 22(a, e), 26(c), 27(a); 29(a, b), 30. Chính: 7; 8; 14(c); 16(c, d); 22(d); 24(c, d, e, f, h); 25. VD3.16 ; VD3.23 ; VD3.23 ; VD3.25 ; VD3. 26 ; VD3.27 ; VD3.28 ; VD3. 29 ; VD3.31 ; VD3.32 ; VD 3.33; VD3.34 . CHƯƠNG IV Bổ trợ: 2(a); 3(a) 8; 10(e); 12(b); 15(b,c); 18(b); 20(a); 21(d); 23(a); 24(b, e); 26(a, b, d); 28(a, b); 31(c). Chính: 3(b); 10(b, c, d, e); 12(e, f, g); 13(b); 15(f, g); 18(c, d); 19(a, b, c, d, e); 24(e); 26(f, h, i, j); 27(c, d,e); 28(d, e, f, g); 30(d, e, f); 31(b); 32; 33(a, b, c). VD 4. 34; VD 4.35 ; VD 4.36; VD 4.48; VD 4.49; VD 4.50; VD 4.51 ; VD 4.52; VD 4.53; VD 4.54((i), (ii)). CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm 1 Lý thuyết 2.0 2 Chương 1: Hàm số nhiều biến số 2.0 3 Chương 2: Tích phân bội 2.0 4 Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 2.0 5 Chương 4: phương trinh vi phân 2.0 Điểm bài thi 10đ Điểm quá trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% 10đ + điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70% Hình thức thi: Thi viết 3
Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa chỉ Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ § 1.1. GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1.1.1. Tập hợp trong n a. Không gian n Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự x (x1, , xn ), xi . (Hiện thời ta viết đậm các phần tử của V). Trong V đưa vào phép cộng và và phép nhân với vô hướng: x (x1, , xn ), y (y1, , yn ), xi, yi , x y (x1 y1, , xn yn ), x ( x1, , xn ), . Khi đó V trở thành không gian véc tơ trên ; phần tử của V gọi là véc tơ, đôi khi gọi là điểm. * Tích vô hướng. Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là x.y , (có tài liệu viết là x,y ) xác định bởi: x.y x1y1 xn yn . * Không gian Euclide n . Không gian véc tơ V có trang bị tích vô hướng vừa nêu gọi là không gian Euclide n chiều, ký hiệu là n . Tích vô hướng nêu trên có các tính chất thông thường đã biết ơt phổ thông. Khi x.y 0 ta nói hai véc tơ x và y là trực giao với nhau, và viết x  y . * Khoảng cách. Khoảng cách giữa x (x1, ,xn ) và y (y1, , yn ) ký hiệu bởi d(x, y), xác định theo công thức d(x, y) (x y )(x y) . 2 2 d(x, y) (y1 x1) (yn xn ) . (1.1) Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đây: d(x,y) d(y,x) : tính đối xứng d(x, y) 0; d(x, y) 0 x y : tính xác định dương d(x,y) d(y,z) d(x,z) : bất đẳng thức tam giác Trong 2 , điểm hay được ký hiệu là (x,y), trong 3 là (x,y,z). 4
Đồng nhất điểm M với bộ số (x, y,z) là toạ độ của nó trong một hệ toạ độ trức chuẩn; thay cho điểm M, ta viết (x, y,z) hay đầy đủ hơn M(x, y,z). Khoảng cách (1.1) chính là khoảng cách thông thường. Trong 2 : Điểm M có thể đồng nhất với toạ độ (x, y) của nó; thay cho điểm M ta viết (x, y), hay đầy đủ hơn M(x, y). Trong phần còn lại của chương này các kết quả được trình bày chủ yếu trong 2 . Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho n . b. Phân loại tập hợp trong n Lân cận. Cho a 2;  lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U (a) , là tập hợp xác định bởi: 2 U (a) {x  : d(x,a) }. Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp E  2 nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: U (x)  E, ( 0). Đồng thời, tập E gọi là một lân cận của điểm a. Tập mở. Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó. Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U (a) là tập mở. Điểm biên. Điểm x gọi là điểm biên của E nếu trong một -lân cận bất kì của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E . Tập các điểm biên của E kí hiệu là (E) , gọi là biên của E. Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E; điểm biên của E có thể thuộc E, có thể không thuộc E. Tập đóng. E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng E E   E . (a) (b) (c) (d) Hình 1.1. (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) trong 2 Chẳng hạn, các tập sau đây là đóng (xem Hình 1.1): 5
+ Hình cầu đóng tâm a, bán kính  . + Mặt cầu đóng tâm a, bán kính  . Tập bị chặn. Tập E được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình cầu mở nào đó chứa nó.  hình cầu đóng nào đó chứa nó  hình cầu đóng tâm O chứa nó Tập compắc. Tập đóng và bị chặn được gọi là tập compact. Miền. Mỗi tập mở là một miền mở. Miền mở cùng với biên của nó gọi là miền đóng. Miền mở, miền đóng gọi chung là miền. Miền mà từ 2 điểm bất kỳ của nó có thể nối với nhau bởi một đường gẫy khúc nằm hoàn toàn trong miền gọi là miền liên thông. Sau đây, khi đã quen, ta không còn phải viết chữ đậm cho phần tử của n nữa. Ví dụ 1.1. Cho các tập hợp sau đây trong 2 (xem Hình 1.2): D1 {(x, y) : a x b, c y d}: tập hợp mở (Không chứa biên) D2 {(x, y) : a x b, c y d}: Không mở, không đóng D3 {(x, y) : a x b, c y d}: tập hợp đóng (chứa biên) Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes để chỉ các hình chữ nhật đó: D1 được ký hiệu bởi (a, b) (c, d) , , D3 bởi [a, b] [c, d] . # y y y A B A B A B d d d D1 D2 D3 c c c D C D C D C a b x a b x a b x Hình 1.2. Hình chữ nhật trong 2 1.1.2. Hàm nhiều biến số a. Định nghĩa. Cho D  n . Ánh xạ f : D  x (x1, ,xn ) f (x) f (x1, ,xn )  được gọi là hàm số trên D. D: tập xác định, f: hàm số; x: biến số (hay đối số). Lưu ý rằng biến số có n thành phần, mỗi thành phần xem như một biến độc lập (cho nên hàm số trên n hay được gọi là hàm nhiều biến). b. Các phương pháp biểu diễn hàm số (☼) Biểu diễn bằng biểu thức giải tích. Biểu diễn bằng đồ thị 6
Sử dụng các đường (đồng) mức Bảng dữ liệu. 1.1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến a. Giới hạn của dãy điểm 2 Ta nói dãy điểm {un} {(xn , yn )}  hội tụ đến u0 (x0, y0) nếu lim d(un ,u0 ) 0 . (1.2) n Khi đó ta viết lim (xn , yn ) (x0, y0), hay đơn giản lim un u0 hoặc n n un u0 (khi n ). Giới hạn của dãy điểm tương đương với giới hạn của từng tọa độ: lim (xn , yn ) (x0, y0 ) lim xn x0; lim yn y0. (1.3) n n n * Điểm giới hạn (điểm tụ). Điểm a được gọi là điểm giới hạn của tập n D   nếu có một dãy {un} các phần tử khác a của D hội tụ đến a. b. Giới hạn của hàm số 2 Định nghĩa. Cho hàm số f(u) xác định trên D  và a (x0, y0) là một điểm giới hạn của D. Ta nói hàm f(u) có giới hạn   khi u dần đến a nếu:  0, 0 , sao cho u D , 0 d(u,u0)  f (u)  . (1.4) Khi đó ta viết lim f (u)  hay f (u)  khi u a . u a Để đầy đủ, ta còn viết limf (x, y)  (hay f (x, y)  khi (x, y) (x0, y0)) (1.5) (x,y) (x0,y0) Định lý 1.1. Hàm f(u) có giới hạn  khi u dần đến a khi và chỉ khi {un}  D; un a; lim un a lim f (un )  . (1.6) n n Hệ quả. Nếu lim f (u)  thì với u (x, y) dần đến a (x0, y0) theo một u a đường cong tuỳ ý trong D, f(u) dần đến  . Hình 1.5. Điểm dần đến (x0, y0 ) theo những đường khác nhau Lưu ý. Các kết quả thông thường đối với giới hạn của hàm 1 biến như giới hạn của tổng, hiệu, định lý kẹp vẫn còn đúng cho giới hạn của hàm nhiều biến. Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn 1 1 i) lim (x2 y2)sin ; ii) lim (x2 y2)sin . (x, y) (1,0) x2 y2 (x, y) (0,0) x2 y2 7
1 Giải. i) lim (x2 y2)sin sin1. x,y 1,0 x2 y2 ii) Hàm số xác định trên 2 /{(0,0)}. Ta có 0 f (x, y) x2 y2 0 (khi (x, y) (0,0) . Theo định lí kẹp, lim f (x, y) 0 lim f (x, y) 0 . (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến. y Chẳng hạn khi (x, y) (0,3); x2 2 e x 1 khi (x, y,z) (0,0,0). # y2 z2 1.1.4. Sự liên tục của hàm số Cho hàm số f (x, y), (x, y) D , trong đó D là tập tuỳ ý của 2 và (x0, y0 ) D là điểm giới hạn của D. Ta nói f(x, y) liên tục tại (x0, y0 ) nếu lim f (x, y) f (x0, y0) . (1.7) (x, y) (x0, y0) Giả sử a (x0, y0) D, u (x, y) (x0 x, y0 y) D . Đặt f f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) Khi đó hàm số f(u) liên tục tại (x0, y0 ) khi và chỉ khi lim f 0. (1.8) ( x, y) (0,0) * Hàm f(x,y) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm (x0, y0 ) D . Lưu ý. Các định lí về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Chẳng hạn Định lý 1.2. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội D thì bị chặn trên đó và đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (x1, y1), (x2, y2) D để f (x1, y1) m Min f (x, y); f (x2, y2) M Max f (x, y) . (x,y) D (x,y) D Định lý 1.3. Hàm f(x,y) liên tục trên tập đóng, giới nội thì liên tục đều trên đó, tức là với mọi  0 , tìm được số  sao cho với (x, y), (x , y ) D mà d((x, y), (x , y ))  thì f (x, y) f (x , y )  . xy (x, y) (0,0) Ví dụ 1.5. Cho hàm số u f x, y x2 y2 0 (x, y) (0,0) 8
Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm (x0, y0 ) (0,0) (vì là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0). Tại (x0, y0 ) (0,0) , theo bất đẳng thức Cauchy. x2 y2 xy (x2 y2 ) (x2 y2 ) 1 0 xy . 2 x2 y2 2 (x2 y2) 2 Trường hợp 1: 1 1 ( 1)/2 lim f (x, y) lim d(u,0) 0 f (0,0) . (x,y) (0,0) u 0 2 Vậy f(x,y) liên tục tại (0,0). Trường hợp 2: 1. Xét (x, y) (0,0) theo đường y = x. x2 1 f x, y f x, x 0 khi x 0 . Vậy f(x,y) không 2x2 2x2 1 liên tục tại (0,0). # § 1.2. ĐẠO HÀM - VI PHÂN 1.2.1. Đạo hàm riêng Định nghĩa. Cho hàm số z f (x, y) xác định trong tập mở D  2 , lấy điểm M0(x0, y0) D . Cố định y y0 thì f (x, y0 ) là hàm một biến x. Nếu hàm này có đạo hàm tại x x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z f (x, y) theo biến x (biến thứ nhất) tại điểm M0 (x0, y0 ) , kí hiệu bởi một trong các cách sau: z(x , y ) f (x , y ) z (x , y ), f (x , y ), 0 0 , 0 0 . x 0 0 x 0 0 x x Như vậy, cho x đủ nhỏ sao cho (x0 x, y0) D . Đặt: xz f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) gọi là số gia riêng của hàm số z f (x, y) đối với biến x tại (x0, y0 ) . Khi đó f (x , y ) z 0 0 lim x . x x 0 x y (x0, y0) (x0 x, y0) y0 O x0 x0 x x Hình 1.6. Cách lập số gia riêng của hàm số Đạo hàm riêng theo biến y tại (x0, y0 ) , kí hiệu là 9
f (x , y ) z(x , y ) f (x , y ), z (x , y ), 0 0 hay 0 0 . y 0 0 y 0 0 y y n 3: định nghĩa tương tự. Quy tắc. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Ví dụ 1.7. Tính các đạo hàm riêng của hàm số x i. z xy , (x 0). ii. z arctan , (y 0) . y z z Giải. i. y xy 1; xy ln x. x y z 1 1 y z 1 x x ii. ; . # x 1 (x / y)2 y x2 y2 y 1 (x / y)2 y2 x2 y2 1.2.2. Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa Cho hàm số z f (x, y) xác định trong tập mở D. Trong D lấy các điểm (x0, y0), (x, y) (x0 x, y0 y) . Biểu thức f f (x0 x, y0 y) f (x0y0) được gọi là số gia toàn phần của hàm f(x,y) tại (x0, y0 ) . Nếu số gia f có thể biểu diễn dưới dạng f A x B y x  y (1.9) trong đó A, B là những hằng số không phụ thuộc vào x, y (chỉ phụ thuộc vào (x0, y0 ) ), (x, y) 0,  (x, y) 0 khi x 0 vµ y 0 thì ta nói: + Hàm số f(x,y) khả vi tại (x0, y0 ) ; + Biểu thức A x B y gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại (x0, y0 ) (ứng với số gia x, y của đối số x, y tương ứng), kí hiệu là dz(x0, y0 ) hay df (x0, y0) . Như vậy, dz(x0, y0 ) A x B y . * Hàm số z f (x, y) gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D. Tính chất. Nếu f(x,y) khả vi tại (x0, y0 ) thì liên tục tại đó. CM: f A x B y x  y 0 khi x, y 0 . Vậy hàm liên tục tại (x0, y0 ) . 2 Định lí 1.5. Cho hàm f(x,y) xác định trong tập mở D  và (x0, y0 ) D . (i) (Điều kiện cần để hàm khả vi). Nếu f(x,y) khả vi tại điểm (x0, y0 ) thì tồn tại các đạo hàm riêng fx (x0, y0), fy (x0, y0) . Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi A fx (x0, y0), B fy (x0, y0); nói cách khác, df (x0, y0) fx (x0, y0) x fy (x0, y0) y . 10
(ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi). Nếu hàm số z f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm (x0, y0 ) thì khả vi tại đó và dz(x0, y0) fx (x0, y0) x fy (x0, y0) y . (1.10) Chứng minh (i) Từ giả thiết, f A x B y x  y . Xét y y0 const thì y 0 và f xf A x x . Do đó: xf A x x fx (x0, y0 ) lim lim A . x 0 x x 0 x ' Tương tự, fy (x0, y0) B. (ii) Với x, y đủ nhỏ thì f f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 y) f (x0, y0 y) f (x0, y0). Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến f fx (x0 1 x, y0 y) x fy (x0, y0 2 y) y trong đó 0 1 1; 0 2 1. Vì fx , fy liên tục tại (x0, y0 ) nên f fx (x0, y0 )  x fy (x0, y0 )  y trong đó 0,  0 khi x 0, y 0 . Vậy f fx (x0, y0) x fy (x0, y0) y  y (đpcm). Chú ý. Giống như trường hợp một biến, nếu x, y là biến độc lập thì dx x; dy y . Từ đó, df (x0, y0 ) fx (x0, y0)dx fy (x0, y0)dy . Hệ quả. Nếu fx (x, y), fy (x, y) liên tục trong tập mở D thì f (x, y) f (x, y) df (x, y) dx dy . (1.11) x y Ví dụ 1.8. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x,y), dz(0,1) (nếu có) của các hàm số z x3 y3 3xy. z z Giải. 3x2 3y, 3y2 3x , là những hàm liên tục trên 2 . x y Vậy hàm số là khả vi trên 2 và dz 3[(x2 y)dx (y2 x)dy]. dz(0,1) 3dx 3dy 3( dx dy) . # Chú ý. Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo để hàm số khả vi. Xét ví dụ sau. Ví dụ 1.9. (tài liệu [1]) # 11
Ứng dụng vi phân để tính gần đúng. Nếu đặt x x0 x, y y0 y (hay x x x0, y y y0) , từ định nghĩa vi phân ta có z f (x, y) f (x0, y0) fx (x0, y0 )(x x0) fy (x0, y0 )(y y0 ) (x x0 ) (y y0 ) fx (x0, y0)(x x0) fy (x0, y0)(y y0 ) df (x0, y0 ). Dẫn đến công thức xấp xỉ f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) fx (x0, y0) x fy (x0, y0) y ( f (x0, y0 ) df (x0, y0) ). (1.12) Công thức này cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi phân. Vế phải là biểu thức tuyến tính của các biến x, y nên công thức cũng có tên là xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại lân cận điểm (x0, y0 ) . Hình 1.7. Ý nghĩa hình học của vi phân Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (1.12) để tính giá trị xấp xỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải: + Xác định dạng hàm f, + Xác định điểm (x0, y0 ) , ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) f (x0, y0), các đạo hàm riêng fx (x0, y0), fy (x0, y0), + Xác định các số gia x, y ; các số gia này phải đủ bé. 1,02 Ví dụ 1.10. Tính xấp xỉ A arctan . 0,95 Các bạn hãy trả lời câu hỏi “giá như?” (x0, y0) Giá trị lẻ thứ nhất x } Dạng hàm f(x,y) Giá trị lẻ thứ hai y 12
y Giải. Xét hàm số z arctan tại lân cận điểm (1,1). x 1 y y 1 z x 1,1 , 2 x2 x2 y2 2 y 1,1 1,1 1 x 1 1 x 1 z y 1,1 . 2 x x2 y2 2 y 1,1 1,1 1 x Suy ra A z 1 0,05;1 0,02 z 1,1 ( 1/ 2) 0,05 (1/ 2) 0,02 0,035 0,785 0,035 0,820.(Giá trị đúng A 0,8209 ). # 4 Công thức (1.12) được áp dụng hiệu quả để tính sai số của đại lượng đo. b) Thảo luận - Về tập mở, đóng, biên, bị chặn, com pắc, liên thông, miền mở, miền đóng, miền. - Sự giống, khác nhau của hàm 1 biến, nhiều biến. c) Tự học - Định nghĩa giưới hạn hàm số, - Định nghĩa liên tục, liên tục đều - Định nghĩa vi phân theo biến x. d) Bài tập chuẩn Bài 6, (Chương I) bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr Chú ý: Bài tập về nhà cho cả chương CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 12(b); 15; 18(b); 21(b); 22; 23(a); 24(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e). Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 24(c); 26(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 1.17; VD 1.26A; VD 1.27; VD 1.28; VD 1.29 (i, ii); VD 1.30; VD 1.37; VD 1.39 13
Bài giảng 2: Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: 6-10 Tuần thứ: 2 Mục đích, yêu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính Giới han và xét tính liên tục Nắm được khái niệm và biết cách tính ĐH hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm theo hướng, ý nghĩa ĐH theo hướng. - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Giới han – Liên tục §1.2 Đạo hàm – Vi phân ĐS 6. a) Continuous , discontinuous, C; b) D; c) C; d) D; e) C. § 1.2. ĐẠO HÀM - VI PHÂN 1.2.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp F(x, y) f (u(x, y),v(x, y)), (x, y) D . Tính chất. Hợp của các hàm liên tục là hàm liên tục. f f Định lí 1.6. Giả sử hàm f (u,v) có các đạo hàm riêng , liên tục trong u v u u v v , các hàm u(x, y), v(x, y) có các đạo hàm riêng , , , liên tục trong x y x y F F D. Khi đó trong D tồn tại các đạo hàm riêng , và x y F F u F v , x u x v x (1.13) F F u F v . y u y v y Để tiện kí hiệu, ta không phân biệt f và F khi tính đạo hàm riêng, vậy f f u f v f f u f v , . x u x v x y u y v y Xem CM trong [1]. Chú ý. i) Trường hợp z f (u(x, y)) thì z df (u(x, y)) u(x, y) z df (u(x, y)) u(x, y) . ; . . (1.14) x du x y du y 14
ii) Trường hợp z f (x, y), y y(x) z f (x, y(x)) (hàm một biến) thì dz f f dy . (1.15) dx x y dx iii) Trường hợp z f (x, y), x x(t), y y(t) z f (x(t), y(t)) thì dz f dx f dy . . (1.16) dt x dt y dt iii) Trường hợp z f (u,v,w) thì f f (u(x, y),v(x, y),w(x, y)). Lúc đó f f u f v f w , x u x v x w x (1.17) f f u f v f w . y u y v y w y u u(x, y) iv) Cho phép đổi biến biến mỗi điểm (x, y) D thành điểm v v(x, y) (x, y) (u(x, y), v(x, y)) , ma trận u v x x J u v y y gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u u(x, y), v v(x, y) . Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của phép đổi D(u,v) biến, ký hiệu là : D(x,y) u u D u,v x y det . (1.18) D x, y v v x y Nhận xét ký hiệu: Các biến tham gia ở tử: Chỉ hàm số Các biến tham gia ở mẫu: Chỉ đối số Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm của hàm số hợp i) z ln(u2 v2) với u xy, v x / y; ii) z exy ln(x2 y2) . z z u z v 2u 2v 1 2 Giải. i) .y . ; x u x v x u2 v2 u2 v2 y x z z u z v 2u 2v x 2(y4 1) x . 2 2 2 2 2 4 y u y v y u v u v y y(y 1) ii) Thực ra, khi đạo hàm ta không cần viết ra các hàm trung gian u, v, w , nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng x, y, z # Sự bất biến dạng của vi phân 15
Xét z f (u,v) , u, v là hai biến độc lập. Khi đó f f dz du dv . (*) u v Vẫn xét z f (u,v) nhưng với u, v là biến phụ thuộc: u u(x, y), v v(x, y) . z f (u(x, y),v(x, y)). Áp dụng (*): f f dz dx dy . x y f f u f v Từ chỗ , , thay vào được x u x v x f u f v f u f v dz dx dy u x v x u y v y f u f f v v dx dy dx dy u x y v x y f f du dv . ( ) u v Như vậy công thức ( ) cùng dạng với (*). Ta nói: Vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập hay biến phụ thuộc). Áp dụng. Nếu u u(x, y), v v(x, y) là các hàm khả vi thì d u v du dv; d(uv) udv vdu; u vdu udv d ; df (u) f (u)du . (1.19) v v2 Các công thức này đúng cho u, v là biến độc lập nên đúng cho u, v là biến phụ thuộc. Ví dụ 1.13. Tính vi phân của các hàm số sau y2 i) z arcsin ; ii) z arc tan (xy2 ) . x Giải. 1 y2 x 2xydy y2dx y( ydx 2x dy) i) dz d . 2 x 2 4 x2 2 4 y2 x y x x y 1 x 1 1 ii) dz d(xy2) (y2dx 2xydy) . 1 (xy2)2 1 x2y4 1.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn 16
a. Khái niệm (*). Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y: F(x,y) = 0. (1.20) Nếu với mọi giá trị x0 trong một khoảng nào đó, có một (hoặc một số) giá trị y0 sao cho F(x0, y0) 0 thì ta nói rằng hệ thức (1.20) xác định một (hoặc một số) hàm ẩn y theo x: y y(x) trong khoảng ấy. Vậy hàm số y f (x) được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (1.20) nếu khi thế y f (x) vào (1.20), ta được đồng nhất thức: f (x, y(x)) 0 . x2 y2 a a Ví dụ. 1, y a2 x2 và y a2 x2 , a2 b2 b b x2 y2 x ( a, a). Ta nói hệ thức 1 xác định 2 hàm ẩn trong khoảng ( a, a). a2 b2 Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh. Chẳng hạn, ta không thể giải x qua y hay y qua x từ biểu thức x y yx 1 (x, y 0) , mặc dầu tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc này. Hàm ẩn vừa nói từ 1 ràng buộc, ràng buộc có 2 biến. Mở rộng: Từ 1 (2, 3 ) ràng buộc, các ràng buộc có nhiều biến. Chẳng hạn * Hệ hai phương trình F(x, y,z,u, v) 0 (1.22) G(x, y,z,u, v) 0 Nếu từ đây có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm u u(x, y,z) (1.23) v v(x, y,z) xác định trong một miền G  2 nào đó, sao cho khi thay vào (1.22) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói (1.22) xác định một (hoặc một số) cặp hàm ẩn u, v của 3 biến x, y, z . Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (0 m n), thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại. b. Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lí 1.7. Định lý tồn tại và khả vi của hàm ẩn: Xem [1] Giả sử các điều kiện của Định lí 1.7 thoả mãn, thay y = f(x) vào (1.20) thì F(x, y(x)) 0 với mọi x đủ gần x0 . Lấy đạo hàm 2 vế theo x: Fx (x, y(x)) Fx (x, y(x)) Fy (x, y(x))y (x) 0 y x , Fy (x, y(x)) hay viết gọn: 17
F dy(x) x . CÁCH NH Ớ! (1.24) dx F y Định lí 1.8. Cho F(x,y,z) là hàm ba biến xác định trên tập mở G  3 , (x0, y0,z0) G sao cho F(x0, y0,z0) 0. Giả sử rằng hàm F liên tục và có các đạo hàm riêng Fx , Fy , Fz liên tục tại lân cận (x0, y0,z0) . Hơn nữa, giả sử rằng Fz (x0, y0,z0 ) 0. Khi đó tồn tại hàm ẩn z z(x, y) tại một lân cận của (x0, y0 ) , liên tục, khả vi liên tục tại lân cận (x0, y0 ) và z(x0, y0) z0 . Để tính các đạo hàm riêng của z(x,y), ta thay z z(x, y) vào (1.21): F(x, y,z(x, y)) 0 với mọi (x,y) trong lân cận (x0, y0 ) . Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, rồi theo biến y ta được F F z 0 x z x . F F z 0. y z y Do Fz 0 , điều này dẫn đến F F z z y x , . CÁCH NH Ớ! (1.25) x F y F z z Ví dụ 1.14. Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z z(x, y) xác định từ phương trình F(x, y,z) ez xy x2 z3 1 0. z F y 2x z F x Giải. x , y . # z z x Fz e 3z x Fz e 3z 1.2.5. Đạo hàm theo hướng - Gradient Bổ đề.  là véc tơ đơn vị  (cos , cos, cos), ( , ,  lần lượt là góc hợp bởi  với các tia Ox, Oy, Oz ) Định nghĩa. Cho hàm u(x,y,z) xác định trong tập mở D  3, M0 (x0, y0,z0) D ,  (a,b,c) là véc tơ đơn vị. Nếu hàm một biến F(t) u(x0 ta, y 0 tb,z 0 tc) có đạo hàm tại t 0 thì F (0) được gọi là đạo hàm theo hướng  của hàm u(x0, y0,z0 ) u(M0 ) u(x,y,z) tại M0, kí hiệu là (hay ).     18
Bây giờ lấy  i (1,0,0) là véc tơ đơn vị của trục Ox thì F(t) u(x0 t, y0,z0), F (0) u x (x0, y0,z0) . Vậy: u u Đạo hàm theo hướng i bằng đạo hàm riêng theo biến x: . i x u u u u Tương tự, , . j y k z * Lưu ý rằng t 0 M M theo hướng  . Vậy, đao hàm theo hướng 0  biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số theo hướng đó.  Định nghĩa. Nếu  không là véc tơ đơn vị (|  | 1), gọi 0 là véc tơ  u u đơn vị của  ; đặt .  0 Chúng ta có thể tự hiểu đạo hàm theo hướng trong 2 . Định lý 1.10. Nếu hàm số u u(x, y,z) khả vi tại điểm M (x , y ,z ) thì 0 0 0 0 tại đó có đạo hàm theo mọi hướng  và u(M ) u(M ) u(M ) u(M ) 0 0 cos + 0 cos 0 cos (1.29)  x y z trong đó , ,  là góc tạo bởi  với các trục Ox, Oy, Oz . Chứng minh. Vì u(x,y,z) khả vi tại M0 nên F(t) F(0) 1 u(x t cos , y t cos,z t cos ) u(x , y ,z ) t t 0 0 0 0 0 0 1 [u (M ) t cos u (M ) t cos u (M ) t cos  t x 0 x 0 x 0 P t cos Q t cos R t cos ] trong đó P, Q, R 0 khi t 0. Qua giới hạn khi t 0 ta được đpcm.  u u Hệ quả. . ( )  * Gradient  Định nghĩa. Gradient của hàm u tại M0 là véc tơ, ký hiệu bởi grad u(M0 ) , xác định như sau  u(M0) u(M0 ) u(M0) grad u(M0) , , (1.30) x y z (Giả sử các ĐHR tồn tại)  u(M ) u(M ) u(M ) Như vậy: grad u(M ) 0 i 0 j 0 k . 0 x y z 19
Hệ quả. Cho u(x, y,z) khả vi tại M0(x0, y0,z0). Khi đó u(M )  (i) 0 grad u(M )  ;  0  u(M )  (ii) grad u(M ) 0 grad u(M ) . (1.31) 0  0 Chứng minh.  (cos , cos,cos ), (i) trực tiếp suy ra từ (1.29). Ta nhận được (ii) từ chỗ    grad u(M0)  grad u(M0)  cos grad u(M0),  .  Hệ quả. Cho u là hàm khả vi tại M0 . Giá trị cực đại của đạo hàm theo u(M ) hướng 0 là   2 2 2 grad u(M0 ) (u x ) (u y ) (u z ) ,  xảy ra khi  cùng chiều với grad u(M0 ) .  grad u(M0 ) là hướng mà theo đó, tại M0 hàm số biến thiên nhanh nhất:  + Theo hướng grad u : Hàm tăng nhanh nhất;  + Theo hướng -grad u : Hàm giảm nhanh nhất. Nếu u(x,y,z) là nhiệt độ của chất điểm M(x,y,z) thì:  Khi di chuyển theo hướng grad u , chất điểm đến chỗ ấm hơn nhanh nhất; Theo hướng ngược lại, sẽ đến chỗ lạnh hơn nhanh nhất.  u Ví dụ 1.15. Cho hàm số u x3 y3 z3 3xyz ; tính grad u và tại   M0 1,2 1 biết  là véc tơ đơn vị của M0M1 với M1 2,0,1 . 2 u x 3x 3yz  2 2 2 2 Giải. u y 3y 3zx grad u 3(x yz, y zx, z xy) . 2 u z 3z 3xy  + grad u(M0 ) 3( 1,3,3) .   M0M1 (1, 2,2) 1 2 2 + M0M1 1, 2,2  , , M0M1 3 3 3 3  u(M0 ) 1 2 2 .grad u(M0) 3 1. 3. 3. 1.  3 3 3 u(M )   Suy ra 0 grad u(M )  grad u(M ) 3 19 .  0 0  Dấu “=” xảy ra khi  grad u(M0). # 20
Chữa bài tập (1 tiết) 13(b, c); 24(c); 26(d); 33 b) Thảo luận - Sự giống, khác nhau của x  dx; y  dy - Nhắc lại các công thức vi phân hàm ẩn - Đưa ra 1 hàm mà bạn thích, tính grad tại điểm tổng quát, tại điểm đặc biệt c) Tự học - Chuẩn bị cho bài mới: Đạo hàm, vi phân cấp cao, CT Taylor. d) Bài tập chuẩn Các bài tập còn lại bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr 21
Bài giảng 3: Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: 11-15 Tuần thứ: 3 Mục đích, yêu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm riêng, vi phân, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm theo hướng. Nắm được ĐL Schwarz về đổi thứ tự lấy ĐH khi tính ĐH riêng cấp cao Thuần thục tính vi phân cấp 2 của hàm 2, 3 biến. Nắm được QT tìm cực trị của hàm 2, 3 biến. Xử lý trong trường hợp đặc biệt Nắm chắc phương pháp nhân tử Lagrange để tìm CT điều kiện Tìm được GTLN, GTNN của một số hàm đơn giản - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Đạo hàm – Vi phân §1.2 Đạo hàm – Vi phân §1.3 Cực trị §1.4 Giá trị LN, NN § 1.2. ĐẠO HÀM - VI PHÂN 1.2.6. Đạo hàm và vi phân cấp cao 2 Định nghĩa. Giả sử fx (x, y), fy (x, y) tồn tại trong tập mở D  . Như vậy, các đạo hàm riêng cấp một là những hàm số. Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một, nếu tồn tại, gọi là đạo hàm riêng cấp hai. Có 4 đạo hàm riêng cấp hai:  f 2f  f 2f fx x (x, y), fy x (x, y), x x x2 x y yx  f 2f  f 2f fx y (x, y), fy y (x, y). y x xy y y y2 Cứ thế ta định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn. Ví dụ 1.16. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z x2 ln x y . 22
x2 x2 z 2x ln(x y) , z . x x y y x y 3x2 x(x 2y) x2 z xx 2ln(x y) , z x y , z y y . # (x y)2 (x y)2 (x y)2 Định lí 1.11 (Schwarz). Nếu trong một lân cận của điểm (x0, y0 ) tồn tại các đạo hàm riêng hỗn hợp fx y (x, y), fy x (x, y) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0, y0 ) thì chúng bằng nhau tại (x0, y0 ) : fx y (x0, y0) fy x (x0, y0). (1.32) Như vậy, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Định lý còn đúng cho trường hợp số biến n 3 cũng như cấp các đạo hàm riêng hỗn hợp 3. Vi phân cấp cao. Giả sử ta đã tính được vi phân cấp một df fx dx fy dy. Vi phân của df - khi coi dx, dy là những hằng số - nếu tồn tại, được gọi là vi phân cấp hai của z, kí hiệu d2f : 2 d f d(df ) d(fx dx fx dy) . (1.33) Cứ như vậy, ta định nghĩa vi phân cấp cao hơn Công thức tính. Khi x, y là những biến độc lập, các số gia dx x, dy y không phụ thuộc vào x, y. Giả sử tồn tại d2f thì 2 d f d(df ) d(fx dx fy dy) (fx dx fy dy) x dx (fx dx fy dy) y dy 2 2 fx x (dx) (fy x fx y )dx dy fy y (dy) . Giả sử fx y, fy x liên tục, khi đó chúng bằng nhau. Vậy 2 2 2 d f fx x (dx) 2fx ydx dy fy y (dy) . (1.34) Công thức tượng trưng 2 2   d f dx dy f (1.35) x y Tương tự n n   d f dx dy f . (1.36) x y Xảy ra công thức tương tự cho hàm nhiều biến hơn, 2 2    d f (x, y,z) dx dy dz f x y z 2f 2f 2f 2f 2f 2f dx2 dy2 dz2 2 dxdy 2 dxdz 2 dydz . x2 y2 z2 xy xz yz 23
Nếu x, y không là biến độc lập thì giống trường hợp một biến, bất biến dạng không còn đối với vi phân cấp cao. x z Ví dụ 1.17. Cho z là hàm của x, y xác định từ ln 1. Tính dz,d2z . z y Giải. Có thể tính các đạo hàm riêng rồi thay vào công thức tính vi phân. Song cách sau đơn giản hơn. Giả sử yz 0 , vi phân 2 vế phương trình đã cho, dùng (1.19) thu được: zdx xdz y ydz zdy 2 2 z z y yzdx xydz yzdz z2dy 0 z(ydx zdy) dz yz 0;x z (*) y(x z) Vi phân hai vế (*) rồi rút gọn dẫn đến: z2(ydx xdy)2 d2z . # y2(x z)3 1.2.7. Công thức Taylor Định lí 1.12. Giả sử hàm z f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n 1 trong một  -lân cận nào đó của điểm M0 (x0, y0 ) . Giả sử M(x0 x, y0 y) cũng thuộc  -lân cận đó. Khi đó xảy ra đẳng thức 1 f (x x, y y) f (x , y ) d1f (x , y ) d2f (x , y ) . 0 0 0 0 0 0 2! 0 0 1 1 dnf (x , y ) d(n 1)f (x  x, y  y), n! 0 0 (n 1)! 0 0 (0<  < 1). (1.37) Khi dùng lũy thừa tượng trưng, ta có thể viết lại (1.37) dưới dạng k n 1   f (M) f (M0 )  x y f (M0 ) k 1 k! x y n 1 1   x y f (M1) (1.38) n 1 ! x y ( M1 thuộc đoạn M0M1 ). hay viết phần dư dạng Peano: k n 1   f (M) f (M0 )  x y f (M0 ) k 1 k! x y n + ( x, y). x2 y2 (1.39) với lim ( x, y) 0 . ( x, y) (0,0) 24
Đặc biệt, với n = 1 ta được công thức số gia giới nội cho hàm nhiều biến f (M ) f (M ) f (M) f (M ) 1 x 1 y (1.40) 0 x y M1 là điểm trên đoạn thẳng MM0 . Chứng minh. (Xem [1]) § 1.3. CỰC TRỊ 1.3.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến 2 Định nghĩa. z f (x, y), (x, y) D  , M0 (x0, y0 ) là một điểm trong của D. Giả sử U là một lân cận đủ nhỏ của M0 . * M U mà f (M) f (M0 ) thì: M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x,y); Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực tiểu tại M0 , f (M0) gọi là giá trị cực tiểu. * Tương tự với cực đại. Điểm cực tiểu, cực đại gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. z O y0 y D x0 M0 Hình 1.8. Cực trị địa phương của hàm 2 biến Ví dụ 1.18. Xét cực trị hàm số z x2 2x y2 4y 7 . G. z (x 1)2 (y 2)2 2 2 . Dấu bằng đạt được x 1, y 2. Vậy ( 1, 2) là đểm cực tiểu của hàm số đã cho, zCT z( 1,2) 2 . # Định lí 1.13 (Điều kiện cần của cực trị). Giả sử hàm số z f (x, y) đạt cực f (M ) f (M ) trị tại M (x , y ) , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng 0 , 0 . Khi đó 0 0 0 x y f (M ) f (M ) 0 0 0 . (1.41) x y 25
Chú ý. * Điều ngược lại không đúng. Cụ thể là: Có thể tại (x0, y0 ) , cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu (fx fy 0 ), nhưng hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0 ) . * Ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó: f f } điểm tới hạn (nghi ngờ CT). + 0: điểm dừng x y + Hoặc  ít nhất một trong các đạo hàm riêng Định lí 1.14 (Điều kiện đủ của cực trị). Cho D là một tập mở của 2 . Giả sử hàm hai biến z f (x, y), (x, y) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng (x0, y0 ) D . Coi vi phân cấp hai 2 2 2 2  f (x0, y0) 2  f (x0, y0 )  f (x0, y0) 2 d f (xo, yo ) dx 2 dx dy dy x2 xy y2 là dạng toàn phương của các biến dx, dy. 2 i) Nếu d f (xo , yo ) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại M0 . 2 ii) Nếu d f (xo , yo ) xác định âm thì f đạt cực đại tại M0 . 2 iii) Nếu d f (xo , yo ) đổi dấu thì M0 không là điểm cực trị. 2 Lưu ý. Nếu d f (xo , yo ) suy biến (tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 để 2 d f (x0, y0,z0 ) 0 ) thì chưa có kết luận. Chứng minh (☼). (Xem tài liệu [1]) Nhận xét. Đặt 2f (M ) 2f (M ) 2f (M ) A 0 , B 0 , C 0 , x2 xy y2 B2 AC. (1.42) 2 A B Ma trận của dạng toàn phương d f (xo , yo ) là . B C Từ Đại số tuyến tính ta biết rằng dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó dương; xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính đổi dấu, định thức con chính thứ nhất âm. Từ đó Định lý 1.14'. Giả sử xảy ra các giả thiết của Định lý 1.14. Khi đó i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại M0 . ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại M0 . iii) Nếu 0 thì M0 không là điểm cực trị. 26
Hình 1.9. Điểm yên ngựa Lưu ý. Khi 0, chưa có kết luận: Hàm f có thể đạt, cũng có thể không đạt cực trị tại M0 . Để tiện lợi, người ta gọi điểm M0 ở trường hợp iii) là điểm yên ngựa (saddle point) (xem Hình 1.9a, b), dù rằng thực ra tình huống như ở Hình 1.9a mới đáng gọi là như thế. Tổng quát cho trường hợp số biến lớn hơn 2. Định lí 1.15. Cho D là một tập mở trong 3 . Giả sử hàm z f (x, y,z), (x, y,z) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng M0 (x0 , y0,z0 ) D , tại đó  f (x , y ,z )  f (x , y ,z )  f (x , y ,z ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. (1.43)  x  y  z Xét dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz 2 2    d f (x0 , y0,z0 ) dx dy dz f (x0 , y0,z0) . x y z Khi đó, 2 Nếu d f (x0 , y0,z0 ) xác định dương thì (x0 , y0,z0) là điểm cực tiểu; 2 Nếu d f (x0 , y0,z0 ) xác định âm thì (x0 , y0,z0) là điểm cực đại; 2 Nếu d f (x0 , y0,z0 ) không xác định thì (x0 , y0,z0) không là điểm cực trị. Ví dụ 1.19. Xét cực trị của hàm số z x3 y3 3xy . 2 z x 3x 3y 0 M0 (0,0) Giải. là các điểm dừng. 2 M (1,1) z y 3y 3x 0 1 z x x 6x; z x y 3; z y y 6y. + Tại M0 : A 0; B 3; C 0 9 0 : Không đạt cực trị. 27
+ Tại M1 : A 6; B 3; C 6 9 36 25 0 . Vậy M1 là điểm cực tiểu của z (z đạt cực tiểu tại M1), zCT z(1,1) 5.# y2 z2 2 Ví dụ 1.20. Tìm cực trị của hàm số u x (x, y,z 0) . 4x y z Giải. Điểm dừng của hàm số xác định từ hệ y2 u 1 0 x 2 4x y z2 1 u 0 M ,1,1 (điểm dừng duy nhất). y 2 2x y 2 2z 2 u 0 z 2 y z y2 y 1 2z2 2z 2 4 u x x , u x y , u x z 0, u y y , u y z , u z z 2x3 2x2 2x y3 y2 y z3 Tính các đạo hàm riêng cấp hai này tại M, dẫn đến d2u(M) 4dx2 3dy2 6dz2 4dxdy 4dydz . Đây là dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz. Ma trận của dạng toàn 4 2 0 phương này là A 2 3 2 . 0 2 6 Xét các định thức con chính của nó, 4 2 0 4 2 A 4 0, A 8 0, A 2 3 2 32 0 . 1 2 2 3 3 0 2 6 Vậy A là ma trận xác định dương, từ đó d2u(M) xác định dương. (Để chứng tỏ tính xác định dương của d2u(M) ta còn có thể dùng cách sơ cấp hơn sau đây : d2u(M) 4dx2 3dy2 6dz2 4dxdy 4dydz 1 1 4(dx2 2. dxdy dy2) 2(dy2 2dydz dz2) 4dz2 2 4 2 1 2 2 4 dx dy 2(dy dz) 4dz 0.) 2 Vì vậy hàm u đạt cực tiểu tại M, uCT u(M) 4 . # 1.3.2. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa. Cho hàm số f (x, y), (x, y) D  2 . Nếu f (M) f (M0 ), M D , giá trị A f (M0) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) - hay cực đại toàn cục - của hàm f trên D. Tương tự, ta định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) - hay cực tiểu toàn cục. 28
Khi đã tìm được các điểm cực trị (địa phương), ta cần làm thêm các lí luận phụ để kiểm tra xem đấy có phải là điểm cực trị toàn cục hay không. Trường hợp 1: miền đóng, giới nội Chúng ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, giới nội D thì đạt GTLN - GTNN trên đó. Vậy nếu GTLN (GTNN) đạt tại một điểm trong của D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn. Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên. Dẫn đến quy tắc sau. Quy tắc (Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội) Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: M1, ,Mk ; Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: N1, , N Tính giá trị hàm số tại các điểm này: f (M1); ; f (Mk ); f (N1); ; f (N ) ; Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận được. Hình 1.10. Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội Trường hợp 2: miền không giới nội Các nhận xét sau là có ích trong một số trường hợp: + (x0, y 0) : lim z(x, y) : Hàm số không đạt GTLN; (x,y) (x0,y0) + (x0, y0 ) : lim z(x, y) : Hàm số không đạt GTNN. (x,y) x0,y0 (Chỉ cần (x, y) (x0, y0 ) theo một đường cong (L) nào đó). 2 + z(z,y) liên tục trên , (x0, y0 ) là điểm dừng duy nhất, 2 2 z(x, y) khi x y : (x0, y0 ) là điểm cực tiểu. Ví dụ 1.21. Tìm GTLN - GTNN của hàm số z x2y xy2 3xy trong miền D {0 x 2, 0 y 2}. Giải. 2 z 2xy y 3y 0 x M (1,1), M (0,0), M (3,0), M (0,3) . 2 1 2 3 4 z x 2xy 3x 0 Tuy nhiên chỉ có điểm M1(1,1) là điểm trong của D, z(1,1) 1. 29
* y 0, x [0, 2] z 0. * y 2, x [0, 2] z 2x2 2x, z 4x 2 ; 1 1 1 z 0 tại x , z , z(2) 4, z(0) 0 . 2 2 2 Vai trò x, y như nhau, so sánh mọi giá trị đã tính, ta thấy: Max z Max{ 1, 0, 4} 4, đạt được tại (2,2) . Min z Min{ 1, 0, 4} 1, đạt được tại (1,1). # Ví dụ 1.22. Chứng tỏ rằng hàm số f (x, y) x2 (1 y)3 y4 có một điểm dừng duy nhất, cũng là điểm cực tiểu địa phương, nhưng hàm số không đạt được giá trị nhỏ nhất. ' ' Giải. Hệ fx fy 0 x = y = 0, vậy (0,0) là điểm dừng duy nhất. f (x, y) f (0,0) x2 (1 y)3 y4 0, x và y 1. Vậy (0,0) là điểm cực tiểu địa phương. 3 5 1 1 Mặt khác , lim f (x, x) lim x 1 x x x x nên f không có GTNN. Rõ ràng hàm f cũng không có GTLN. # 1.3.3. Cực trị có điều kiện Baì toán1. Tìm cực trị của hàm u f (x, y,z) với điều kiện F(x, y,z) 0 . Cách 1. Từ điều kiện F(x,y,z) = 0 giải ra z z(x, y) , thế vào hàm đã cho ta được u f (x, y,z(x, y)) : Bài toán cực trị với hàm hai biến đã biết. Phải lưu ý giá trị hàm thu được trên biên của tập xác định (mới). Ví dụ 1.23. Tìm cực trị của hàm số z 6x 2xy2 1 với điều kiện x 2y2 2 . Giải. Từ điều kiện nhận thì 2y2 2 x 0 x 2 . z 6x x(2 x) 1 x2 4x 1. z 2x 4, z 0 x 2. x 2 2 z’ 0 5 z   11 y 2 0 Như vậy cực đại điều kiện là 5, đạt được tại ( 2, 2); Cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại (2, 0). 30
Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange) i) Lập hàm Lagrange (x, y,z,) f (x, y,z) F(x, y,z) . ii) Ta tìm các điểm dừng (thông thường) của hàm 4 biến này.  x  y  z   0 hay fx (x, y,z) Fx (x, y,z) 0 fy (x, y,z) Fy (x, y,z) 0 (1.44) fz (x, y,z) Fz (x, y,z) 0 F(x, y,z) 0 iii) Từ đây ta tính được i và Ni (xi, yi,zi ) . Các điểm Ni (xi, yi,zi ) gọi là các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện. iv) Coi  cố định, lập hàm 3 biến x, y,z  (x, y,z) f (x, y,z) F(x, y,z) . (1.45) Tính vi phân cấp hai của hàm này: 2 2 2 d  (x, y,z) d f (x, y,z) d F(x, y,z). (1.46) v) Thay  i, (x, y,z) (xi, yi,zi ) và dx, dy, dz thỏa mãn điều kiện dF(Ni ) Fx (Ni )dx Fy (Ni )dy Fz (Ni )dz 0 . (1.47) vào biểu thức của d2 (x, y,z) ở (1.46) ta được d2 (N ) , là một dạng toàn  i i phương của 2 trong 3 biến dx, dy, dz. vi) Kết luận: *d2 (N ) 0 N (x , y ,z ) là điểm cực tiểu điều kiện. i i i i i i * d2 (N ) 0 N (x , y ,z ) là điểm cực đại điều kiện. i i i i i i *d2 (N ) không xác định N (x , y ,z ) không là điểm CTĐK. i i i i i i * Khi cần tìm GTLN-GTNN điều kiện, nếu tập {(x, y,z) : F(x, y,z) 0} là compact (đóng và giới nội), không cần thực hiện bước iv - vi, chỉ cần so sánh giá trị của hàm f(x,y,z) tại các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện Ni(x i, y i,z i ). Baì toán 2. Tìm cực trị của hàm z f (x, y) với điều kiện F(x,y) = 0. Tương tự BT 1, (một chút thay đổi về ký hiệu). Các bài toán trên được tổng quát sang trường hợp có nhiều biến hơn, và (hoặc) có nhiều ràng buộc hơn. Baì toán3. Tìm cực trị của hàm u f (x, y,z) với hai ràng buộc G(x, y,z) 0 (1.48) H(x, y,z) 0 ta tiến hành tương tự Bài toán 1, cụ thể như sau. i) Lập hàm Lagrange của 5 biến (x, y,z,,) f (x, y,z) F(x, y,z) G(x, y,z) . (1.49) 31
ii) Tìm điểm dừng của hàm  thỏa mãn  x  y  z     0 : fx (x, y,z) Fx (x, y,z) G x (x, y,z) 0 fy (x, y,z) Fy (x, y,z) Gy (x, y,z) 0 fz (x, y,z) Fz (x, y,z) G z (x, y,z) 0 (1.50) F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0 iii) Giải ra i , i và các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện Ni (xi, yi,zi ) . iv) Coi ,  cố định, lập hàm ba biến x, y, z  (x, y,z) f (x, y,z) F(x, y,z) G(x, y,z). Tính vi phân cấp hai của hàm này 2 2 2 2 d  (x, y,z) d f (x, y,z) d F(x, y,z) d G(x, y,z) (1.51) v) Thay  i ,  i; (x, y,z) (xi, yi,zi ), và dx, dy, dz thỏa mãn: dF(Ni ) Fx (Ni )dx Fy (Ni )dy Fz (Ni )dz 0 (1.52) dG(Ni ) Gx (Ni )dx Gy (Ni )dy Gz (Ni )dz 0 vào biểu thức của d2 (x, y,z) ở (1.51) ta được d2 (N ) là dạng toàn  ii i phương của một trong 3 biến dx, dy, dz. vi) Kết luận tương tự như đã làm ở Bài toán 1. Ví dụ 1.24. Tìm cực trị điều kiện của các hàm số với điều kiện chỉ ra ở bên i) z x y, x2 y2 1; x2 y2 z2 ii) u x2 y2 z2, 1 (a b c). a2 b2 c2 Giải. i) Đặt (x, y,) x y (x2 y2 1)  x 1 2x 0  y 1 2y 0 2 2   x y 1 0 2  1/ 2 1 1/ 2, 2 1/ 2 , điểm dừng điều kiện tương 1 1 1 1 ứng là (x1, y1) , và (x2, y2) , . 2 2 2 2 2 2 Đặt  (x, y) x y (x y ) . 2 2 2 d (x, y) ; d  (x, y) (dx dy ). dx, dy: d(x2 y2 1) 0 xdx ydy 0 . 1 1 1 * Với  1 , (x1, y1) , 2 2 2 32
1 1 dx, dy: dx dy 0 dy dx . 2 2 2 1 2 2 2 d  x1, y1 (dx dx ) 2 dx 0 (dx 0). 1 2 1 1 Vậy , là cực tiểu điều kiện (CTĐK), zCTĐK z(x , y ) 2 . 2 2 1 1 1 1 1 * Với  2 , làm tương tự trên, (x2, y2) , là điểm cực 2 2 2 đại điều kiện và z(x2, y2) 2 . Nếu chỉ cần tìm GTLN - GTNN điều kiện, vì đường tròn x2 y2 1 là đóng và giới nội nên sau khi tìm được các giá trị 1,2, (x1, y1), (x2, y2 ) ta thực hiện như sau: f (x1, y1) 2, f (x2, y2) 2 , GTLN ĐK Max( 2, 2) 2 , GTNN ĐK = Min( 2, 2) 2 . x2 y2 z2 ii) Đặt (x, y,z,) x2 y2 z2  1 . 2 2 2 a b c  2x 2x / a2 0 x 2  y 2x 2y / b 0  2x 2z / c2 0 z x2 y2 z2 1 0 a2 b2 c2 x 0 y 0 z 0 Từ 3 phương trình đầu ta được , , . 2 2 2  a  b  c 2  1 c M1,2 (0, 0, c), 2  2 b M3,4 (0, b, 0), 2  3 a M5,6 ( a, 0, 0). x2 y2 z2 * Đặt  (x, y,z) x2 y2 z2  1  2 2 2 a b c dx2 dy2 dz2 d2 (x, y,z) 2dx2 2dy2 2dz2 2  2 2 2 a b c  2  2  2 2 1 dx 1 dy 1 dz . a2 b2 c2 33
Xác định dx, dy, dz từ ràng buộc: x2 y2 z2 xdx ydy zdz dF(x, y,z) d 1 2 0 (*) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 + Tại  1 c và M M1,2 , ràng buộc (*) trở thành cdz 2 0 hay dz 0 . c2 c2 c2 Khi đó d2 (0,0, c) 2 1 dx2 1 dy2 0. 1 2 2 a b Vậy (0, 0, c) là điểm cực tiểu điều kiện và z(0, 0, c) c2 . * Làm tương tự, suy ra ( a, 0, 0) là điểm CĐĐK và z( a, 0, 0) a2 . 2 * Với  2 b , M M3,4 (0, b, 0)) , tương tự trên, phải có dy = 0. b2 b2 d2 (0, b,0) 2 1 dx2 1 dz2 . 2 2 2 a c Vì a b c nên đây là dạng toàn phương không xác định. Vậy hàm số không có cực tiểu điều kiện tại điểm này. # Chữa Bài tập 35(i, j, k, l); 36(e) ĐS. 35. i) (6,3) is maximum, (0,0) is saddle; j) (3,1) is a saddle point, ( 1,1) is minimum; 5 k) 0,0 is minimum, ,0 , 1, 4 are saddle points; 3 2 l) ( 2,2) are minima, 0, is a saddle point. 5 36 e) minimum f ( 2, 2) 8 , (0,0) is a saddle; b) Thảo luận - Nhắc lại về vi phân cấp 2 của hàm 2, 3 biến - Quy tắc tính cực trị của hàm 2 biến c) Tự học - Chuẩn bị cho bài mới: d) Bài tập chuẩn Các bài tập còn lại bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr 34
Bài giảng 4: Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: 16-20 Tuần thứ: 4 Mục đích, yêu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp cao, vi phân cấp cao, tìm cực trị, cực trị có điều kiện và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Nắm được khái niệm độ cong, bán kính cong, tâm cong Phương trình tiếp tuyến ĐC PT pháp diện, pháp tuyến của mặt cong  Ý nghĩa của véc tơ grad - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Đạo hàm – Vi phân và Cực trị, GTLN, NN §1.5 Sơ lược về hình học vi phân * Chữa bài tập (2 tiết) 36(f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); ĐS. 36. f) minimum f ( 1, 2,3) 24; g) maximum z(0;1) / 2 1; h) minimum z(1,1) z( 1, 1) 2, (0,0) is a saddle. i) minimum z(1, 1) 3; j) (1,0) is a saddle; 2 4 k) maximum z 0, , (0,0) is a saddle. 3 27 40. d) Minu u( 1,0,0) 1, Max u u(0,0, 2) 4 ; e) Min u u( 1,0,1) 0; f) Max u u(2,2, 1) 9, Minu u( 2, 2,1) 9 . § 1.5. SƠ LƯỢC VỀ HÌNH HỌC VI PHÂN Hình học vi phân: Dùng các phương pháp của phép tính vi phân để nghiên cứu hình học. 1.5.1. Đường cong phẳng a. Tiếp tuyến, pháp tuyến. Ở phổ thông chúng ta biết rằng, nếu đường cong C là đồ thị của hàm số y f (x) thì phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 (x0, y0 ) (y0 f (x0)) trên đường cong là 35
y f (x0)(x x0) y0 . Bây giờ giả sử đường cong C có phương trình tham số x x(t) t , x(t), y(t) là liên tục. y y(t) Đường cong trơn: x(t), y(t) khả vi liên tục trên [ , ], x 2 (t) y 2 (t) 0 t Nếu tại điểm t0 [ , ] nào đó mà x (t0 ) y (t0 ) 0 thì điểm tương ứng M0 (x(t0), y(t0)) trên C gọi là điểm kỳ dị. Chúng ta không xét trường hợp đường cong có điểm kỳ dị. Bây giờ lấy t0 [ , ] và giả sử điểm tương ứng trên đường cong là y (t0 ) M0 (x0, y0 ) . Ta đã biết hệ số góc của tiếp tuyến tại M0 là k y x . Vậy x (t0 ) y (t0 ) phương trình tiếp tuyến có dạng y y0 (x x0 ) hay x (t0 ) x x y y 0 0 . (1.53) x (t0 ) y (t0 ) Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến là (t0) (x (t0 ), y (t0 )) . Suy ra phương trình pháp tuyến: x (t0 )(x x0 ) y (t0)(y y0) 0 (1.54) b. Độ cong Định nghĩa độ cong của đường cong tại 1 điểm (xem [1]) Cách tính độ cong + Đường cong cho dưới dạng phương trình y f (x) thì y K . (1.55) (1 y 2 )3/2 + Đường cong cho dưới dạng tham số x x(t), y y(t) thì x y x y K . (1.56) (x 2 y 2 )3/2 c. Đường tròn mật tiếp Cho trước điểm M trên đường cong. Nhiều khi cần phải xấp xỉ đường cong tại lân cận điểm M bằng một cung tròn nào đó. Đường tròn chứa cung tròn đó phải tiếp xúc với đường cong tại M, có cùng bề lõm với đường cong và có độ cong bằng độ cong của đường cong tại M (Hình 1.14). Đường tròn đó gọi là đường tròn mật tiếp (còn gọi là đường tròn chính khúc) với đường cong tại M. Bán kính của đường tròn mật tiếp gọi là bán kính cong, tâm của đường tròn mật tiếp gọi là tâm cong của đường cong (tại điểm M). 36
M0 M Hình 1.14. Đường tròn mật tiếp, tâm cong, bán kính cong d. Bán kính cong Theo trên, bán kính cong bằng nghịch đảo của độ cong. Vây, Nếu đường cong cho dưới dạng phương trình y f (x) - tương ứng phương trình tham số - thì bán kính cong được tính lần lượt theo công thức: (1 y 2 )3/2 R , (1.57) y (x 2 y 2 )3/2 R . (1.58) x y x y e. Tọa độ tâm cong. Lưu ý. Người ta cũng có công thức tính độ cong, bán kính cong cho trường hợp đường cong cho dưới dạng tọa độ cực. f. Túc bế, thân khai Xét đường cong phẳng C. Mỗi điểm M trên C có tương ứng một tâm cong I. Quỹ tích L các tâm cong I của đường cong C gọi là đường túc bế của C, còn C gọi là thân khai cuả L (xem Hình 1.15.) Nếu C cho bởi phương trình y = f(x) hay phương trình tham số thì phương trình túc bế dưới dạng tham số lần lượt là Hình 1.15. Đường thân khai C và đường túc bế L (1 y 2 )y X x y (tham số x hoặc y) (1.61) 1 y 2 Y y y 37
(x 2 y 2 )y x0 x x y x y (tham số t) (1.62) (x 2 y 2 )x y0 y x y x y Ví dụ1.57. Tìm đường túc bế của parabole y2 2px (p 0). Giải. Rõ ràng là x 0, ta có y 2p x . p p Vì y , y , thay vào (1.61) nhận được túc bế 2x 2 2x x 3y2 X 3x p X p 2p ( 2px)3 hay Y y3 2 Y p 2 p (xem Hình 1.14 khi p = 2). # 1.5.2. Đường cong trong không gian a. Hàm véc tơ của đối số vô hướng   Định nghĩa. Nếu với mỗi t [a, b] có tương ứng với một véc tơ V V(t)   thì ta nói, ta đã có một hàm véc tơ của đối số vô hướng t, ký hiệu V V(t), t [a, b]. Các véc tơ nói đến ở định nghĩa l à véc  tơ tự do. Ta có thể đưa chúng về cùng gốc là gốc tọa độ O bằng cách đặt OM V(t). Ký hiệu  r(t) OM gọi là hàm bán kính véc tơ của điểm M. Từ đây, ta chỉ cần xét hàm bán kính véc tơ r r(t) . Nếu M có tọa độ (x,y,z) thì x x(t), y y(t), z z(t) (1.63) r x(t) i y(t) j z(t)k . (1.64) Khi t biến thiên từ a đến b, điểm M vạch nên đường cong C nào đó trong không gian. C được gọi là tốc đồ của hàm véc tơ r r(t) . Hệ (1.63) được gọi là phương trình tham số của C, (1.64) gọi là phương trình véc tơ của C. Sự liên tục. Hàm véc tơ r r(t) được gọi là liên tục nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là những hàm liên tục. Khi đó đường cong C được gọi là đường cong liên tục. Sự khả vi. Hàm véc tơ r r(t) gọi là khả vi tại điểm t0 nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là khả vi tại t0 ; gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm t (a, b). Đạo hàm của hàm véc tơ r r(t) , ký hiệu bởi r r (t) tính theo công thức 38
r r (t) x (t) i y (t) j z (t)k . (1.65) Nếu các hàm x(t), y(t), z(t) là khả vi trong khoảng (a, b) thì đường cong C gọi là đường cong trơn. Ta cũng chỉ xét trường hợp đường cong không có điểm bất thường, nghĩa là chỉ xét trường hợp x 2 (t) y 2 (t) z 2 (t) 0, t . Nếu đường cong C liên tục, có thể phân thành một số hữu hạn cung trơn thì C được gọi là trơn từng khúc (xem Hình 1.16). Lưu ý. Để đường C trơn từng khúc, trước hết nó phải liên tục. Hình 1.16. Đường cong trơn từng khúc Ý nghĩa của véc tơ đạo hàm * Ý nghĩa hình học. Véc tơ đạo hàm của hàm véc tơ trùng phương với phương của tiếp tuyến của tốc đồ của hàm véc tơ tại điểm tương ứng. * Ý nghĩa cơ học. Khi coi t là tham số thời gian, độ dài của véc tơ đạo hàm r r (t) của hàm bán kính véc tơ tại thời điểm t bằng tốc độ của điểm M tại thời điểm đó và được tính theo công thức dr V(t) x 2(t) y 2(t) z 2(t) . (1.66) dt b. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong Như đã nói, véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến là  T r (t) x (t) i y (t) j z (t)k . Vậy, phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0,z0) trên đường cong ứng với giá trị t0 của tham số là: x x y y z z 0 0 0 (1.67) x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) (quy ước khi mẫu số bằng 0 thì tử số cũng vậy), và phương trình mặt phẳng pháp với đường cong tại M0 là: x (t0)(x x0) y (t0)(y y0 ) z (t0)(z z0) 0 . (1.68) Với r x (t) i y (t) j z (t)k , đặt i j k i j k  B r  r x y z x (t) y (t) z (t) , x y z x (t) y (t) z (t)    N B  T . 39
  (C) M0     Chuẩn hóa các véc tơ B,T, N ta được    T B N   ,   ,   . T B N Mặt phẳng qua M0 , + Có cặp véc tơ chỉ phương ,  (véc tơ pháp) gọi là mặt phẳng mật tiếp; + Có cặp véc tơ chỉ phương ,  (véc tơ pháp  ) gọi là mặt phẳng pháp; + Có cặp véc tơ chỉ phương ,  (véc tơ pháp  ) gọi là mặt phẳng trực đạc. Các véc tơ đơn vị , ,  với các mặt phẳng vừa nêu gọi là tam diện Frénet. Với đường cong trong không gian, người ta cũng xét độ cong, bán kính cong, hơn nữa độ xoắn; tuy nhiên chúng ta không trình bày ở đây. Ví dụ 1.58. Tìm các véc tơ , ,  của đường đinh ốc trụ là quỹ đạo của một điểm M vừa quay đều xung quanh một trục d với vận tốc góc không đổi , vừa tịnh tiến dọc theo trục đó với vận tốc không đổi C. Giải. Lập hệ trục Oxyz (xem Hình 1.17).  Chiếu M xuống mặt Oxy được điểm M gọi  là góc hợp bởi trục Ox với OM . Theo giả thiết  t , từ đó phương trình tham số của chuyển động là x a cos t, y a sin t, z Ct (t 0). Tính các đạo hàm ta được x asin t, y acost, z C; x a2 cost, y a2 sin t, z 0. Từ đó nhận được i j k  B asin t acost C a2 cost a2 sin t 0 Ca2 sin t i Ca2cost j a23 k,    N B  T a2(C2 a22 )cost i a2(C2 a22)sin t j. Vậy các véc tơ đơn vị cần tìm là 40
 T asin t acost C   i j k, T a22 C2 a22 C2 a22 C2  B Csin t Ccost a   i j k, B a22 C2 a22 C2 a22 C2  N   cost i sin t j. N Trong trường hợp a C  1, t thì M(-1, 0, π). 1 1 1 1  0, , ,  0, , ,  ( 1, 0, 0) 2 2 2 2 Mặt phẳng mật tiếp (véc tơ pháp ) là: y z 0 , Mặt phẳng pháp (véc tơ pháp  ) là : y z 0, Mặt phẳng trực đạc (véc tơ pháp  ) là : x 1 0. # Hình 1.17. Đường đinh ốc trụ 1.5.3. Mặt cong a. Khái niệm mặt cong Cho hàm ba biến F(x,y,z) xác định trong miền G  3 . Tập hợp S các điểm M(x,y,z) thỏa mãn phương trình F(x, y,z) 0 hay tổng quát hơn F(x, y,z) k (1.69) được gọi là mặt cong, phương trình (1.69) gọi là phương trình của mặt. Đôi khi từ (1.69) ta có thể giải ra dưới dạng z z(x, y) , hay x x(y,z), hay y y(z,x) (1.70) 41
thì mỗi phương trình này cũng được gọi là phương trình của mặt, mặt được gọi là cho dưới dạng hiện. Chúng ta chỉ xét trường hợp mặt cong liên tục, ở đó hàm F(x,y,z) liên tục. Mặt S được gọi là trơn nếu hàm F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục và không đồng thời bằng không:  Nói cách khác, trên S thì véc tơ gradient grad F(M) khác không. Mặt S được gọi là trơn từng mảnh nếu nó liên tục, có thể phân thành hữu hạn mảnh trơn. Lưu ý. Để mặt S trơn từng mảnh, trước hết nó phải liên tục. b. Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong Giả sử mặt S cho bởi (1.69). Tại M0(x0, y0,z0) S, + Véc tơ pháp tuyến với mặt: n0 n(M0 ) Fx (M0 ) i Fy (M0) j Fz (M0)k. (1.72) Ta còn viết véc tơ pháp tuyến dưới dạng tọa độ n(M0 ) Fx (M0 ), Fy (M0 ), Fz (M0 ) . (1.73) + Phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện lần lượt là x x y y z z 0 0 0 , (1.74) Fx (M0) Fy (M0 ) Fz (M0) Fx (M0)(x x0 ) Fy (M0 )(y y0 ) Fz (M0 )(z z0) 0. (1.75) Hình 1.18. Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong Đặc biệt, nếu mặt cho dưới dạng z f (x, y) F(x, y,z) z f (x, y) , tại điểm M0(x 0, y 0,f (x 0, y 0)) S thì véc tơ pháp tuyến, phương trình pháp tuyến và phương trình tiếp diện lần lượt là n0 fx (x0, y0 ), fy (x0, y0 ), 1 , (1.76) x x y y z z 0 0 0 , (1.77) fx (x0, y0) fy (x0, y0 ) 1 fx (x0, y0 )(x x0) fy (x0, y0)(y y0) (z z0) 0. 42
hay z z0 fx (x0, y0 )(x x0) fy (x0, y0)(y y0). (1.78) Ví dụ 1.59. Viết phương trình tiếp diện của mặt S: x2 y2 2z2 10 song song với mặt P : x y z 0. Giải. (Q1) : (x 2) (y 2) (z 1) 0 x y z 5 0. (Q2 ) : (x 2) (y 2) (z 1) 0 x y z 5 0. # 43
TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Các định lí về giới hạn, liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm, các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến. Đạo hàm hàm hợp: F F(u(x, y),v(x, y)) F F u F v F F u F v , . x u x v x y u y v y Đạo hàm hàm số ẩn: z z(x, y) xác định từ F(x, y,z) 0 z F z F x , y . x Fz y Fz Các phép toán về vi phân d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, u vdu udv d , df (u) f (u)du . v v2 Dù u, v là biến độc lập hay biến phụ thuộc luôn có f f dz du dv . u v Tính gần đúng f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) fx (x0, y0) x fy (x0, y0) y Đạo hàm theo hướng  (cos , cos, cos): u(M )  u(M ) u(M ) u(M ) 0 grad u(M )  0 cos + 0 cos 0 cos .  0 x y z u  grad u u 2 u 2 u 2 .  x y z  Dấu bằng xảy ra khi  cùng phương với grad u . Điều kiện cần của cực trị. f (x, y) khả vi, đạt cực trị tại M0 thì f (M ) f (M ) 0 0 0 . x y Điều kiện đủ của cực trị Cho M0 (x0, y0 ) là điểm dừng của hàm z f (x, y). Đặt 2f (M ) 2f (M ) 2f (M ) A 0 , B 0 , C 0 , B2 AC. x2 xy y2 i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại M0 . ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại M0 . iii) Nếu 0 thì M0 không là điểm cực trị. 44
Trường hợp 3 biến Tại điểm dừng M0 (x0 , y0,z0 ) D của hàm u f (x, y,z) tính 2 2    d f (M0) dx dy dz f (M0 ) . x y z 2 Nếu d f (M0 ) xác định dương thì M0 là điểm cực tiểu. 2 Nếu d f (M0 ) xác định âm thì M0 là điểm cực đại. Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội D + Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: M1, ,Mk ; + Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: N1, , N ; + Tính: f (M1); ; f (Mk ); f (N1); ; f (N ) ; + Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận được. Cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm f(x,y,z) với điều kiện F(x, y,z) 0 , ta có thể dùng a) Đưa về trường hợp ít biến hơn b) Phương pháp nhân tử Lagrange: i) Lập hàm Lagrange (x, y,z,) f (x, y,z) F(x, y,z) . ii) Tìm các nghiệm i, xi, yi, zi, i 1, ,k từ hệ  x fx (x, y,z) Fx (x, y,z) 0  y fy (x, y,z) Fy (x, y,z) 0  z fz (x, y,z) Fz (x, y,z) 0   F(x, y,z) 0 iii) Kiểm tra xem các điểm dừng điều kiện Ni (xi, yi,zi ) có là điểm cực trị điều kiện hay tại đó đạt GTLN, GTNN điều kiện hay không. Tiếp tuyến của đường - pháp tuyến, tiếp diện của mặt Tiếp tuyến của đường cong x x(t), y y(t), z z(t) tại điểm M0(x0, y0,z0) trên đường ứng với giá trị t t0 của tham số là: x x y y z z 0 0 0 . x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong F(x, y,z) 0 tại điểm M0(x0, y0,z0) trên mặt có phương trình lần lượt là: x x y y z z 0 0 0 , Fx (M0) Fy (M0 ) Fz (M0) Fx (M0) (x x0) Fy (M0) (y y0) Fz (M0) (z z0) 0 45
Bài giảng 5: Tích phân bội Chương, mục: 2 Tiết thứ: 21-25 Tuần thứ: 5 Mục đích, yêu cầu: Nắm định nghĩa TP bội, cách xác định cận TP Một số ứng dụng Thấy lợi ích của dùng đổi biến toạ độ cực Nắm được một số các đổi biến tổng quát khác - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: §2.1. Tích phân kép Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI § 2.1. TÍCH PHÂN KÉP 2.1.1. Mở đầu a. Định nghĩa Cho hàm số z f (x, y) , xác định trên D là miền giới nội, có diện tích. Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi các mảnh nhỏ đó là ( S1), ,( Sn ) và diện tích tương ứng của chúng là S1, , Sn . Trên mỗi mảnh ( Si ) lấy điểm Mi tùy ý: Mi (xi, yi ) ( Si ) . Lập tổng tích phân Hình 2.1. Hình trụ cong n In f (xi, yi ) Si (2.1) i 1 Gọi di là đường kính của mảnh ( Si ): di d( Si ) Sup{MN : M, N ( Si )}. Nếu khi n sao cho Max(di ) 0, In dần đến giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn các điểm Mi trên ( Si ) thì ta nói: 46
+ Hàm f(x,y) khả tích trên D; + I được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên D, ký hiệu là f (x, y) dxdy ; D + D là miền lấy tích phân; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân. Lưu ý. Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có diện tích (hay cầu phương được). Không cần quan tâm nhiều, đại thể đó là các tập thông thường. b. Ý nghĩa hình học Thể tích V f (x, y)dxdy. (2.2) D Cho f (x, y) 1, được công thức tính diện tích miền phẳng: dt(D) dxdy . (2.3) D c. Điều kiện tồn tại. Cho D là miền giới nội, (có diện tích). * Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục trên D thì khả tích trên D. * Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục từng mảnh trên D thì khả tích trên D. Chú ý. Để tham khảo, chúng ta nên biết điều kiện rộng rãi nhất của khả tích (xem [15] tr 130): d. Tính chất của tích phân kép Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định. Định lý 2.1. Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên miền (có diện tích) D nào đó, và a là một số thực. Khi đó i) Các hàm f (x, y) g(x, y), af(x,y), f (x, y) khả tích trên D và (f (x, y) g(x, y))dxdy f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy, D D D a f (x, y)dxdy a f (x, y)dxdy, D D f (x, y)dxdy f (x, y) dxdy . (2.4) D D ii) Nếu D có thể tách thành hai miền (có diện tích) và không dẫm lên nhau (phần chung chỉ có thể là một phần biên của mỗi miền): D D1  D2 , thì f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy . (2.5) D D1 D2 iii) Nếu f (x, y) g(x, y), (x, y) D thì f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy . (2.6) D D 47
iv) Các hàm f (x, y)g(x, y), f 2 (x, y), g2 (x, y) khả tích trên D và 2 f (x, y)g(x, y)dx dy f 2 (x, y) dx dy g2 (x, y)dx dy (2.7) D D D (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Nghiệm đúng Định lý về giá trị trung bình. 2.1.2. Cách tính trong tọa độ Descates a. Miền lấy tích phân có dạng hình chữ nhật Định lý 2.2. Cho D {(x, y) : a x b, c y d} và giả sử f(x,y) là hàm d liên tục trên D. Khi đó tích phân f (x, y)dy xác định với mọi x [a, b] và c b d b d f (x, y)dxdy f (x, y)dy dx : dx f (x, y)dy . D a c a c Đổi vai trò hai biến ta thu được d b f (x, y)dxdy dy f (x, y)dx . (2.9) D c a Xét trường f (x, y) h(x).k(y) . Theo Định lý 2.2, b d b d h(x).k(y)dx dy dx h(x).k(y) dy h(x)dx . k(y)dy . D a c a c b d Hệ quả. h(x).k(y)dxdy h(x)dx. k(y)dy . (2.10) {a x b; c y d} a c Ví dụ 2.1. Tính i) (x y2 )dxdy , ii) sin 2x 2y dx dy . 0 x,y 1 {0 x /2, 1 y 2} 1 1 1 3 1 2 y y 1 1 5 Giải. i) I dx (x y )dy xy dx x dx . 3 y 0 3 6 0 0 0 0 /2 2 cos2x 2y 3 ii) J sin 2x dx. 2y dy /2 . 2 . # 2 0 ln 2 1 ln 2 0 1 b. Miền lấy tích phân có dạng bất kỳ Nếu D là hình thang cong D {(x, y) : a x b, y (x) y y (x)} 1 2 (Hình 2.2a), y1(x), y2 (x) liên tục trên [a, b], hàm f(x,y) liên tục trên D thì 48
b y2(x) b y2(x) f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy f (x, y)dy dx. (2.11) D a y1(x) a y1(x) D-hình thang cong đáy//Ox: D {(x, y) : c y d, x (y) x x (y)} 1 2 f(x,y), x1(y), x2(y) là những hàm liên tục thì Hình 2.2. Một số miền lấy tích phân thông dụng trong 2 d x2(y) d x2(y) f (x, y)dxdy dy f (x, y)dx f (x, y)dx dy. (2.12) D c x (y) c x (y) 1 1 D vừa có dạng ở Hình 2.2a, vừa có dạng ở Hình 2.2b (xem Hình 2.2c): Chọn một trong hai công thức (2.11) hoặc (2.12). Từ đó b y2(x) d x2(y) f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx (2.13) D a y (x) c x (y) 1 1 Dường như luôn có một thứ tự lấy tích phân thuận lợi hơn thứ tự kia! Hướng dẫn cách xác định cận TP (xem [1]). Ví dụ 2.2. Tính I x2 (y x)dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường D y x2 và x y2 . Giải. x y2 0 y x . Giao điểm: y x2, y2 x x 0, x 1. 1 x 1 y2 1 I dx x2(y x)dy x2 x3y y x dx . # 2 y x2 504 0 x2 0 49
Ví dụ 2.3. Cho D là miền giới hạn bởi các đường y 3 y x, y x 1, y 1, y 3. Tính I (x2 y2)dxdy . D 1 Giải. D {(x, y) :1 y 3, y 1 x y}. O 1 3 x y 3 3 x3 I dy (x2 y2)dx y2x x y dy 3 x y 1 1 y 1 1 3 y3 (y 1)3 y3 y2(y 1) dy 14 . # 3 3 1 1 2 2 Ví dụ 2.4. Tính tích phân dy ex dx . (Không có nguyên hàm sơ cấp) 0 2y 2 x/2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 I dx ex dy xex dx ex d(x2) ex 2 e4 1 . 2 4 4 0 4 0 0 0 0 2.1.3. Đổi biến số với tích phân kép a. Công thức đổi biến tổng quát Để tính tích phân kép nhiều khi ta dùng phép đổi biến x x(u, v) . (2.14) y y(u,v), (u,v) D' + x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, giới nội D  Oxy, ( D có diện tích); + (2.14) xác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ D D  Oxy ; + Định thức Jacobi D(x, y) x u x v J det 0, (u,v) D' ; D(u, v) y u y v (có thể trừ ra tại một số hữu hạn đường). Khi đó f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u,v)) J dudv . (2.15) D D ' 50
Chú ý. i) Tính chất của định thức Jacobi là: D(u, v) D(x, y) 1 0 . (2.16) D(x, y) D(u, v) D(u, v) D(x, y) Điều này có thể giúp ta tính định thức Jacobi J thuận lợi hơn. ii) Bằng đổi biến u x, v y ta nhận được kết quả hữu ích sau: * Cho D là miền đối xứng qua trục Ox, D1 là phần miền D phía trên trục Ox (xem Hình 2.3a) thì 2 f (x, y)dxdy, f (x, y) ch½n víi biÕn y f (x, y) dxdy D1 (2.17) D 0, f (x, y) lÎ víi biÕn y (Hàm f(x,y) chẵn với biến y nếu f (x, y) f (x, y), (x, y) D lẻ với biến y nếu f (x, y) f (x, y), (x, y) D ). * Tương tự khi miền D đối xứng qua trục tung. Hình 2.3. Miền đối xứng qua trục Ox (a) và qua trục Oy (b) Ví dụ 2.5. Tính tích phân I (x y)4(x 2y)5dxdy. D trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 2, x y 3, x 2y 1, x 2y 2. Giải. D {(x, y) : 2 x y 3, 1 x 2y 2}. Đặt 2 1 2 1 x u v u x y 3 3 3 3 1 J det . v x 2y 1 1 1 1 3 y u v 3 3 3 3 Khi đó miền D trở thành D {(v,v) : 2 u 3, 1 v 2}. 51
3 2 1 1 u5 v6 I du u4v5 dv 3 2 147,7 . 3 3 5 2 6 1 2 1 Chú ý. Dùng tính chất (2.16) ta có cách thứ hai để tính J thuận lợi hơn: D(u,v) 1 1 D(x, y) 1 1 3 J . # D(x, y) 1 2 D(u,v) D(u,v) 3 D(x, y) b. Đổi biến tọa độ cực x r cos Xét đổi biến tọa độ cực . Định thức Jacobi của phép biến đổi là y rsin . D(x, y) x r x  cos rsin  J det r 0 (trừ ra tại O(0,0)). D(r,) y r y  sin  r cos f (x, y)dxdy f (r cos,rsin ) r drd . (2.18) D D ' Đặc biệt, nếu miền D có dạng hình quạt như ở Hình 2.4 ta nhận được D {  , r1() r r2 ()},  r2() f (x, y)dxdy d f (r cos,rsin )r dr . (2.19) D r1() Hình 2.4. Miền hình quạt Cách xác định cận: Xem [1] R4 Ví dụ 2.6. i) Chứng minh rằng (x2 y2)dxdy . 4 {x2 y2 R2} 1 ii) Tính tích phân I sin(xy2 dxdy , 2 2 D 1 x y với D là nửa trên hình tròn tâm O, bán kính 1. Giải. i) Đặt x r cos, y rsin  thì J r , từ đó 52
2 R r4 R4 I d r2 r dr 2 . R . 4 0 2 0 0 2 1 ii) I sin(xy )dxdy dxdy I1 I2 2 2 D D 1 x y I1 0 (lý do?) I2 : đặt x r cos, y rsin  , J r , 1 r 1 r I I2 d dr d dr 2 2 2 2 2 0 0 1 r cos  r sin  0 0 1 r 1 2 d(r 1) 2 1 = d 1 r 0 ( 2 1). # 2 0 0 2 1 r Tọa độ cực co giãn (☼) (xem tài liệu [1]) x r cos x a r cos a (2.20) y b r sin  y rsin  b Nhận xét. Hình dung tọa độ cực co giãn thuận lợi thông qua các đường đồng mức (Hình 2.5b). Các điểm trên trục tọa độ Ox, Oy có góc cực như nhau với tọa độ cực thông thường cũng như tọa độ cực co giãn: Với cả hai loại tọa độ cực, các điểm trên tia Ox đều có góc cực là 0, các điểm trên tia Oy đều có góc cực là / 2 , các đường đồng mức  0, / 2, , 3 / 2, 2 , vẫn là các tia Ox, Oy, (☼) Khi dùng tọa độ cực co giãn x a r cos, y b rsin  , định thức Jacobi của phép biến đổi là J abr . Từ đó ta nhận được f (x, y)dxdy ab f (ar cos,brsin ) r drd . (2.21) D D ' x2 y2 Ví dụ 2.7. Tính diện tích hình giới hạn bởi elip 1, tia Ox và tia: 9 4 i) y x (x 0); ii) y 2x / 3 (x 0) . x 3r cos Giải. Xét phép đổi biến tọa độ cực (co giãn) ; J 6r . y 2rsin  i) y x 2rsin 3r cos tan  3 / 2  1 arctan (3 / 2) .  1 1 r2 3 S dxdy d 6r dr  6. |1 3 3arctan . 1 2 0 1 2 D 0 0 53
Nhận xét. Nhiều người nhầm 1 / 4. ii) y 2x / 3 2rsin  (2 / 3)3r cos tan  1  2 / 4 . /4 1 r2 3 S dxdy d 6r dr 6. |1 . # 4 2 0 4 D 0 0 2 2 2 3 x y  Ví dụ 2.8. Tính ( xy x y sin(y ))dxdy ; D 1. 9 16 D  2 3 Giải. I ( xy y )dxdy x dxdy sin (y )dxdy I1 I2 I3 . D D D D là miền đối xứng qua trục Oy, hàm f(x,y) = x lẻ với biến x, vậy I2 0 . 3 Tương tự, D đối xứng qua Ox, sin (y ) lẻ với biến y nên I3 0. Từ đó 2 2 I I1 xy y dxdy 4 (xy y )dxdy D D1 x2 y2  trong đó D1 1, x, y 0. 9 16  Đặt x 3rcos, y 4rsin , J 12r , ta được 1 /2 I 4 dr (3rcos 4rsin  16r2sin 2)12r d 0 0 r4 /2 4,12 1 (6sin 2 8(1 cos2))d 24(3 2 ). # 4 0 0 Chú ý. i) Để thuận lợi, người ta còn dùng phép đổi trục x X x0 X x x0 y Y y0 Y y y0 để đưa gốc về (x0 , y0 ) ; tiếp theo dùng đổi biến X rcos, Y rsin  . Việc xác định cận của các biến r,  nhiều khi khá dễ. Thực chất của hai lần đổi biến trên là sử dụng phép đổi biến tọa độ cực dịch chuyển x rcos x0 x x0 r cos , với J r . y rsin y0 y y0 rsin ii) Nhiều khi miền lấy tích phân cho phép ta sử dụng cả tọa độ cực thông thường và tọa độ cực dịch chuyển. Tuy nhiên khi thực hiện lấy tích phân lặp với loại tọa độ này thì dễ, với loại khác lại khó hơn nhiều. Không có một gợi ý cho điều này. iii) Đôi khi, người ta còn dùng đổi biến tọa độ cực co giãn dịch chuyển x x0 a r cos , với J ab r . y y0 brsin  54
2.1.4. Ứng dụng của tích phân kép a. Ứng dụng hình học Diện tích mảnh phẳng + Thể tích vật thể (đã biết) Diện tích mặt cong (S) : z f (x, y), (x, y) D  2 2 2 dt(S) 1 (fx ) (fy ) dxdy . (2.22) D Để áp dụng (2.22), D: Hình chiếu của S lên Oxy. Ví dụ 2.9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Lemniscat (L): (x2 y2 )2 a2 (x2 y2 ) (a 0). Giải. x rcos, y rsin , dẫn đến (r2 )2 a2 (r2cos2 r2 sin2 ) r a cos2 . Từ tính đối xứng, a cos 2 /4 /4 r2 S 4S 4 dxdy 4 d r dr 4 r a cos 2d 1 2 r 0 S1 0 0 0 /4 2 2 /4 2 2 a cos2d a sin 2 0 a . # 0 Ví dụ 2.10. Tính diện tích của mặt xác định bởi giao của các mặt trụ x2 z2 a2, y2 z2 a2 (a 0). Giải. Từ tính đối xứng, dt(S) 16dt(S1), trong đó S1 là mặt như Hình 2.6. 2 2 2 2 2 Trên (S1) thì x z a , z 0 hay (S1): z a x , (x, y) D ; D là hình chiếu của (S1) xuống mặt Oxy, (tam giác OAB). Vậy a x 2 2 2 2x dt(S1) 1 (z x ) (z y ) dxdy dx 1 dxdy 2 2 D 0 0 2 a x 55
a x a dx dy a2. 2 2 0 0 a x Suy ra dt(S) 16a2 . # Ví dụ 2.11. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi mặt trụ x2 y2 2x và mặt cầu x2 y2 z2 4 . Giải. Khi chiếu vật thể V lên mặt Oxy ta được miền D giới hạn bởi đường x2 y2 2x (x 1)2 y2 1: đường tròn tâm I(1,0) bán kính 1. x2 y2 z2 4, z 0 z 4 x2 y2 . Từ tính đối xứng, thể tích V được tính bởi V 2 4 x2 y2 dxdy . D Chuyển qua tọa độ cực: x rcos, y rsin  thì J r , x2 y2 2x r2cos2 r2 sin2  2r cos r 2cos . /2 2cos V 2 d 4 r2 r dr /2 0 1 2 /2 16(3 4) 2. . (4 r2)3/2 2cos  d . # 2 3 0 9 /2 b. Một số ứng dụng cơ học * Khối lượng bản phẳng D: m (x, y)dxdy; (2.23) D * Trọng tâm G(xG , yG ) : 1 1 x x (x, y)dxdy, y y (x, y)dxdy. (2.26) G m G m D D Đặc biệt, nếu vật đồng chất thì (x, y) const , công thức trên trở thành 1 1 x x dxdy, y y dxdy (2.27) G S G S D D 56
trong đó S là diện tích miền D. Ví dụ 2.12. Tính khối lượng, mô men quán tính với các cạnh OA, OB, điểm O cũng như tọa độ trọng tâm của một phần tư hình tròn D, biết rằng khối lượng riêng tại điểm M trên D tỷ lệ với khoảng cách đến mỗi cạnh OA, OB. Giải Xét hệ trục như Hình 2.8. Ta có, (x, y) : x2 y2 R 2  D . x 0, y 0  Khối lượng riêng là (x, y) Kxy . Hình 2.8. 1/4 hình tròn 2 2 R R x R 4 1 2 R2 x2 K R * m Kxydxdy dx Kxydy K x y dx . 2 0 8 D 0 0 0 2 2 R R x K R6 * M M K x2xydxdy K dx x3ydy OA OB 24 D 0 0 2 2 R R x K R5 * x (x, y)dxdy K x.xydxdy K dx x2ydy 15 D D 0 0 K R5 KR 4 8 8 x : R. Từ tính đối xứng, x y R. # G 15 8 15 G G 15 * Chữa bài tập (2 tiết): ĐS. 1. e) 2(e - 2).; 5. f): 20/3; 6(a): ; 7. e) (3 2ln 2) / 4 ; f) 8 2ln(1 2) . 5 8: b) 3 ; d) (1/3) ln (b/a); 9: g) 7/24 ; 6 3 3 1 10: f) 64 / 3; g) 8 ; h) 16a3 / 3. 14: c) ; d) 2a2( 2) . 12 b) Thảo luận - Viết công thức chuyển TP kép sang TP lặp, cận của biến x trước, cận của biến y sau; Ngược lại - Nêu toạ độ Descates và toạ độ cực của vài điểm đặc biệt. - Vẽ một số hình, nêu cách xác định cận tích phân. c) Tự học VD 2.11; VD2.25 ; VD 2.26; VD 2.27; d) Bài tập Bổ trợ: 1(b, d); 2(b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; Tài liệu Tài liệu [1], tr 57
Bài giảng 6: Tích phân bội (tiếp) Chương, mục: 2 Tiết thứ: 26-30 Tuần thứ: 6 Mục đích, yêu cầu: Nắm cách xác định cận TP Một số ứng dụng Nắm được một số các đổi biến tổng quát khác Thực chất đổi biến toạ độ trụ là gì. - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: §2.2. Tích phân bội ba § 2.2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.2.1. Mở đầu a. Định nghĩa Cho u f (x, y,z), (x, y,z) V  3 , V: miền giới nội, có thể tích. Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi các mảnh nhỏ đó là ( V1), ,( Vn ) và thể tích tương ứng của chúng là V1, , Vn . Trên mỗi mảnh ( Vi ) lấy điểm Mi tùy ý: Mi (xi , yi,zi ) ( Vi ) . Lập tổng TP n In f (xi , yi,zi ) Vi , (2.28) i 1 Gọi di là đường kính của mảnh ( Vi ): di d( Vi ) Sup{MN : M, N Vi}. Nếu khi n sao cho Max(d1, ,dn ) 0, In dần đến giới hạn I hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn các điểm Mi trên ( Vi ) thì ta nói: + Hàm f(x,y,z) khả tích trên V; + I được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên V, ký hiệu là f (x, y,z) dxdydz (hay f dxdydz hay f (x, y,z) dV ); V V V + V là miền lấy tích phân; f(x,y,z) là hàm dưới dấu tích phân. 59
Lưu ý. Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có thể tích. Đại thể, đó là miền không quá "lạ lùng"; miền ta xét thông thường luôn có thể tích. b. Điều kiện tồn tại. Cho V là miền giới nội, (có thể tích). * f(x,y,z) liên tục trên V thì khả tích trên V; * f(x,y,z) bị chặn, liên tục từng mảnh trên V thì khả tích trên V. c. Tính chất của tích phân bội ba Giống với tích phân xác định. 2.2.2. Cách tính trong tọa độ Descates a. Miền lấy tích phân là hình hộp V = {(x, y,z) : a x b, c y d, e z f} b d f f (x, y,z)dV dx dy f (x, y,z)dz V a c e (Có thể đổi sang một thứ tự khác). b. Miền lấy tích phân có dạng hình trụ cong 2 V {(x, y,z) : (x, y) D  , z1(x, y) z z2 (x, y)}. z2(x,y) z2(x,y) I f (x, y,z)dxdydz f (x, y,z)dz dxdy : dxdy f (x, y,z)dz. V D z1(x,y) D z1(x,y) Hình 2.9. Miền hình trụ cong Hơn nữa, nếu miền D là hình thang cong có đáy // Oy (xem Hình 2.9) D {(x,y): a x b, y1(x) y y2 (x)}, b y2(x) z2(x,y) I f (x, y,z)dxdydz dx dy f (x, y,z)dz. (2.30) V a y1(x) z1(x,y) 60
Lưu ý. (ii) Miền D chính là hình chiếu của vật thể V lên mặt Oxy. (iii) Để xác định các cận tích phân: Xem [1]. Nếu vật thể có dạng hình trụ cong, với đường sinh song song với trục Ox (hoặc Oy) thì cần điều chỉnh thủ tục đi ít nhiều; chẳng hạn để tìm miền D ta phải chiếu vật thể V lên các mặt Oyz (hoặc Ozx). Ví dụ 2.13. Tính tích phân bội ba 1 I dxdydz , 3 V (1 x y z) V là vật thể giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặt phẳng x y z 1. G. x y z 1 z 1 (x y). Chiếu V xuống mặt phẳng Oxy ta nhận được tam giác OAB. Vậy Hình 2.10. Vật thể ở Ví dụ 2.13 1 x y 1 1 x 1 I dx dy dz 3 0 0 0 (1 x y z) 1 1 x 2 (1 x y z) z 1 x y dx dy 2 z 0 0 0 1 1 x 1 1 1 1 5 dx dy ln 2 . # 2 2 4 2 16 0 0 (1 x y) Ví dụ 2.14. Tính tích phân I xyzdxdydz với V là miền giới hạn bởi V các mặt x 0, y 0, z 0, x 1, y 2, z x2 y2. 61
Hình 2.11. Miền ở Ví dụ 2.14 Giải. Chiếu V xuống Oxy ta được D {0 x 1, 0 y 2}. Vậy 2 2 1 2 x y 1 2 2 z z x2 y2 121 I dx dy xyzdz dx xy dy . # 2 z 0 60 0 0 0 0 0 c. Tính tích phân theo thiết diện b f (x, y,z)dxdydz dx f (x, y,z)dydz . (2.31) V a S(x) Xảy ra công thức tương tự khi xét các thiết diện  Oy hay  Oz . Ví dụ 2.15 . Tính tích phân I x4dxdydz V x2 y2 z2 trong đó V là miền giới hạn bởi elipsoid 1. a2 b2 c2 a a a Giải. I dx x4dydz x4dx. dydz x4 dt(S(x))dx . a S(x) a S(x) a x2 y2 z2 y2 z2 x2 Bởi vì 1 1 hay a2 b2 c2 b2 c2 a2 y2 z2 x2 1 dt(S(x)) bc 1 . 2 2 a2 x2 x2 b 1 c 1 a2 a2 a x2 4 Từ đó I x4 bc 1 dx bca5 . # 2 35 a a 2.2.3. Đổi biến số trong tích phân bội ba a. Công thức đổi biến tổng quát Có thể dùng đổi biến x x(u,v,w) 3 y y(u,v,w) (u,v,w) V  . (2.32) z z(u,v,w) + Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng V  Oxyz, ( V có thể tích); + (2.32) xác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ V V  Oxyz ; 62
+ Định thức Jacobi x u x v x w D(x, y,w) J det y y y 0 (u,v,w ) V (2.33) D(u,v,w) u v w z u z v z w (có thể trừ ra tại một số hữu hạn mặt). Khi đó f (x, y,z)dxdydz f (x(u, v, w), y(u, v, w),z(u, v,w)) J dudvdw . (2.34) V V Nhận xét. Bằng cách đổi biến u x, v y, w z ta nhận được kết quả hữu ích sau: * Cho V là miền đối xứng qua mặt phẳng Oxy, V1 là phần miền V phía trên mặt phẳng Oxy thì 2 f (x, y,z)dxdydz, nÕu f(x,y,z) ch½n víi biÕn z f (x, y,z)dxdydz V1 V 0, nÕu f(x,y,z) lÎ víi biÕn z * Phát biểu tương tự khi miền V đối xứng qua mặt Oyz hoặc Ozx. b. Đổi biến tọa độ trụ * Toạ độ trụ. M(x,y,z) trong hệ tọa độ Descates vuông góc Oxyz, tọa độ trụ của nó là bộ ba số (r,,z) , trong đó (r,) là tọa độ cực của hình chiếu M của M lên mặt phẳng Oxy (xem Hình 2.13 ). z M(x,y,z) y  r x M' Hình 2.13. Tọa độ trụ Rõ ràng là r 0, 0  2 , z . x r cos y rsin  (2.35) z z 63
Duy chỉ có các điểm trên trục Oz thì r 0,  tùy ý, z xác định. Các điểm khác có tương ứng 1 - 1 giữa hai loại tọa độ. Ta có thể viết M(x,y,z) hoặc M (r,,z) Tọa độ trụ suy rộng ở đó r, có thể nhận giá trị bất kỳ, kể cả giá trị âm, hay tọa độ trụ co giãn. Định thức Jacobi của phép đổi biến (2.35) là cos rsin  0 J det sin  r cos 0 r . 0 0 1 Nhận được công thức tích phân bội ba trong tọa độ trụ f (x, y,z) dxdydz f (r cos,rsin ,z) r ddr dz . (2.36) V V Hình 2.14. Miền hình trụ cong trong tọa độ trụ Khi miền V có dạng hình trụ cong và hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxy có dạng hình quạt (xem Hình 2.14) thì  r2() z2(r cos , r sin ) f (x, y,z) dxdydz d dr f (r cos,rsin ,z) r dz V r1() z1(r cos , r sin ) Ví dụ 2.16. Tính tích phân I zdxdydz với V là miền giới hạn bởi các V mặt z x2 y2 và z h (h 0). 64
Giải. Xét đổi biến tọa độ trụ z x r cos y rsin  J r . h z z z x2 y2 h y r2cos2 r2 sin2  r. h x Hình 2.15. Hình nón 2 h h 2 h z2 h r h4 I d dr zrdz d r h dr 2 (h2 r2 )dr . # 2 r 2 4 0 0 r 0 0 0 Nhận xét. Để thuận lợi khi xác định các cận của tích phân lặp, trước hết ta chiếu miền V lên mặt Oxy. Dùng công thức (2.29) ta được z2(x,y) I f (x, y,z)dxdydz f (x, y,z)dz dxdy V D z1(x,y) rồi dùng tọa độ cực để tính tích phân trên miền D. Thủ tục "đưa về tọa độ cực" thuận lợi hơn dùng trực tiếp tọa độ trụ. 2.2.4. Ứng dụng của tích phân bội ba a. Ứng dụng hình học Thể tích vật thể: V dxdydz . (2.44) V Ví dụ 2.18. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 2 2 2 (S1) : x y z 9, (S2 ) : x y 8z. 2 2 Giải. Vật thể V nằm giữa mặt dưới z1 (x y ) / 8 và mặt trên 2 2 z2 9 (x y ) 0. 2 2 2 x y z 9 x2 y2 8 Giao tuyến hai mặt: 2 2 x y 8z z 1 D {(x, y) : x2 y2 8}, là hình tròn tâm O, bán kính R 8 . Từ đó z2(x,y) 2 2 1 2 2 V dxdydz dxdy dz 9 (x y ) (x y ) dxdy . 8 V D z1(x,y) D 65
Dùng tọa độ cực x rcos, y rsin  với J r. Vậy 2 8 2 1 2 40 I d 9 r r r dr (đvtt). # 8 3 0 0 b. Một số ứng dụng cơ học Khối lượng riêng (x, y,z) tại điểm M(x, y,z) V , (x, y,z) . * Khối lượng vật thể V: m (x, y,z)dxdydz. (2.45) V * Tọa độ trọng tâm xG , yG ,zG của V: 1 x x (x, y,z)dxdydz, G m V 1 y y (x, y,z)dxdydz, (2.46) G m V 1 z z (x, y,z)dxdydz. G m V Đặc biệt, (x, y,z) const (vật đồng chất), 1 1 1 x x dxdydz, y ydxdydz, z zdxdydz (2.47) G V G V G V V V V V: là thể tích vật thể V. Ví dụ 2.19. Tính tọa độ trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt trụ parabolic y x2 và các mặt y z, z 0, y 1. Giải. Mặt dưới và mặt trên của vật thể là z 0 và z y . Ta có y 1 1 1 1 4 V dxdydz dx dy dz dx ydy . 5 V 1 x2 0 1 x2 Từ tính đối xứng, x dxdydz 0. V y 1 1 1 1 4 ydxdydz dx dy ydz dx y2 dy . 7 V 1 2 0 1 2 x x y 1 1 1 1 y2 2 zdxdydz dx dy zdz dx dy . 2 7 V 1 x2 0 1 x2 66
Hình 2.19. Miền ở Ví dụ 2.19 5 5 Vậy (x , y ,z ) 0, , . # G G G 7 14 Chữa bài tập. ĐS. 19.c) 0; 20. f) π/60; 21: c) (e 2) ; d) 16a2 / 9 . 2a2( 2) . b) Thảo luận - Viết công thức chuyển TP bội ba sang TP lặp, cận của biến x trước, cận của biến y sau rồi đến của z; Thứ tự khác. - Nêu một số đổi biến tổng quát với miền lấy TP cụ thể (không tính TP). c) Tự học VD 2.13; d) Bài tập Bổ trợ: Tài liệu Tài liệu [1], tr 67
Bài giảng 7: Tích phân bội (tiếp) Chương, mục: 2 Tiết thứ: 31-35 Tuần thứ: 7 Mục đích, yêu cầu: Thấy lợi ích đặc biệt của đổi biến toạ độ cầu Khi nào nên dùng đổi biến TĐ cầu. Lợi ích của TP phụ thuộc tham số - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: §2.2. Tích phân bội ba (tiếp) §2.3. Tích phân phụ thuộc tham số § 2.2. TÍCH PHÂN BỘI BA c. Đổi biến tọa độ cầu (1 tiết) * Tọa độ cầu. Cho ứng mỗi điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz với bộ ba số (r,, ) như Hình 2.16, được gọi là tọa độ cầu của điểm M. Gốc tọa độ O ứng với r 0,  và tùy ý. Các điểm còn lại trên trục Oz có r xác định,  tùy ý, 0 hoặc . Đối với các điểm còn lại có tương ứng 1 - 1 giữa tọa độ cực và tọa độ cầu: 3 Oz  {(r ,, ) : 0 r, 0  2 , 0 }. (Cũng có thể chọn khoảng biến thiên của  là  .). x rcossin y rsin sin (2.38) z rcos 68
z M(x,y,z) r y  x M' Hình 2.16. Tọa độ cầu Nhận xét. Một số tài liệu ký hiệu góc x OM là φ, góc z OM là . Tuy nhiên, ta ký hiệu như trên để phù hợp với nhiều tài liệu khác, và đặc biệt là phù hợp với các phần mềm tính toán hiện đại. Hà Nội có tọa độ (cầu) (6300, 108, 69) (ở đây góc tính theo độ). * Đổi biến số dùng tọa độ cầu. Dùng đổi biến tọa độ cầu (2.38) để tính tích phân bội ba rất hiệu quả. Định thức Jacobi của phép đổi biến là: cossin rsin sin r coscos 2 J det sin sin rcossin rsin cos r sin (2.39) cos 0 rsin I f (x, y,z) dxdydz V f (r cossin ,rsin sin ,r cos ) r2 sin drdd . (2.40) V Công thức đúng kể cả khi miền V có chứa những điểm trên trục Oz. Trong trường hợp miền cho ở Hình 2.17 thì: 2 1( ) r2(, ) I d d f (r cossin ,rsin sin ,rcos ) r2 sin dr . (2.41) 1 1( ) r1(, ) 69
Hình 2.17. Xác định cận tích phân bội ba trong tọa độ cầu Xác định các cận tích phân: Xem [1]. Tọa độ cầu co giãn Để tính tích phân.bội ba người ta cũng hay dùng tọa độ cầu co giãn: x a r cossin , y brsin sin , . (2.42) z crcos , (a,b,c 0). Lưu ý rằng khi đó J abc r2 sin , ta được I abc f (r cossin ,rsin sin ,r cos ) r2 sin dr dd . (2.43) V 1 Ví dụ 2.17. Tính tích phân dxdydz với V là phần giới hạn 2 2 2 V x y z bởi 2 mặt cầu (S ) : x2 y2 z2 1, 1 . 2 2 2 (S2) : x y z 4 (z 0) nằm phía trên mặt phẳng Oxy. Giải. Xét phép đổi biến x r cossin 2 y rsin sin ta được J r sin . z r cos 70
2 2 2 Trên (S1) : (r cossin ) (rsin sin ) (r cos ) 1 r 1, Tương tự, trên (S2) : r 2. 2 /2 2 1 r2 Từ đó I d d r2 sin dr 2 ( cos ) /2 2 3 . # r 0 2 1 0 0 1 Ta nên dùng kiểu đổi biến nào cho bài toán tích phân bội ba cụ thể? Theo kinh nghiệm của chúng tôi, điều này chủ yếu dựa vào miền lấy tích phân. § 2.3. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 2.3.1. Tích phân thường phụ thuộc tham số Định nghĩa. Cho f(x,y) xác định trên D [a, b] [c, d] sao cho với mọi y cố định trên đoạn [c, d], hàm số f(x,y) khả tích (theo biến x) trên đoạn [a, b]. Đặt b I(y) f (x, y)dx, y [c, d]. a Tích phân I(y) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số y. (Là hàm của y). d J(x) f (x, y)dy, x [a, b]. c Định lý 2.3. Nếu f(x,y) là hàm liên tục trên D [a, b] [c, d] thì: (i) I(y) là hàm liên tục trên đoạn [c, d], J(x) là hàm liên tục trên đoạn [a, b]; (ii) I(y) là hàm khả tích trên [c, d], J(y) là hàm khả tích trên [a, b] và d b b d dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy (2.51) c a a c (công thức đổi thứ tự lấy tích phân). f (x, y) (iii) Ngoài ra, nếu giả thiết thêm rằng tồn tại và liên tục trên D thì y d b b f (x, y) I (y) f (x, y)dx dx, y [c, d] (2.52) dy y a a (công thức đạo hàm dưới dấu tích phân). Chứng minh (☼) Ví dụ 2.20. Tính các tích phân 1 xb xa 1 dx i) I dx (0 a b), ii) J (0 a). ln x 2 2 2 0 0 (x a ) 71
xb xa b 1 b Giải. i) Nhận thấy rằng xydy I xydy dx . ln x a 0 a Áp dụng công thức đổi thứ tự lấy tích phân ta đi đến b 1 b xy 1 b 1 b 1 I xy dx dy 1 dy dy ln . y 1 0 y 1 a 1 a 0 a a ii) Xuất phát từ đẳng thức 1 dx 1 1 J(a) arctan ,  a L 2 2 a a 0 x a trong đó , L là những số dương bất kỳ,  L . Áp dụng công thức đạo hàm dưới dấu tích phân ta được 1 1  1 1 1 1 1 1 J (a) dx 2a dx arctan . a 2 2 2 2 2 2 a a 2 0 x a 0 (x a ) a a 1 1 1 1 1 1 J J (a) dx arctan . (*) 2 2 2 2 3 a 2 2 0 (x a ) 2a 2a (a 1) Vì , L dương tùy ý nên (*) đúng với mọi a dương. 1 dx J (a) , n 3, 4, # n 2 2 n 0 (x a ) 2.3.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số v(y) I(y) f (x, y)dx u(y) trong đó hàm số f(x,y) xác định trên hình chữ nhật [a, b] [c, d] , các hàm u(y), v(y) xác định trên đoạn [c, d] và nhận giá trị trên đoạn [a, b]: a u(y) b, a v(y) b, y [c, d]. Định lý 2.4. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên hình chữ nhật [a, b] [c, d] , các hàm số (y), (y) liên tục trên đoạn [c, d] và nhận giá trị trên đoạn [a, b] thì (i) I(y) là hàm liên tục trên [c, d]. v(y) v(y) d f (x, y) (ii) f (x, y)dx dx f (v(y), y)v (y) f (u(y), y)u (y). dy y u(y) u(y) sin x Ví dụ 2.21. Tính đạo hàm hàm số f (x) sin (tx)dt x 72
sin x Giải. f (x) t cos(tx)dt sin(xsin x)cosx sin x2. # x 2.3.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Xét tích phân suy rộng với cận vô hạn phụ thuộc tham số I(y) f (x, y)dx (2.54) a trong đó f(x,y) là hàm số xác định trên dải vô hạn [a, ) [c, d] . Định nghĩa. Giả sử tồn tại tích phân b Ib (y) f (x, y)dx y [c, d], b a . a * Tích phân suy rộng (2.54) gọi là hội tụ tại y [c, d] nếu tồn tại giới hạn hữu hạn b lim Ib (y) lim f (x, y)dx I(x) . b b a Cụ thể là:  0, B 0 : b B Ib (y) I(y) . * Tích phân suy rộng (2.54) được gọi là hội tụ đều trên đoạn [c, d] nếu  0, B 0 : b B, y [c, d] Ib (y) I(y) . Nếu tích phân suy rộng I(y) hội tụ đều trên đoạn [c, d] thì cũng hội tụ đều trên đoạn con [ , ] bất kỳ của nó. Định lý 2.5. Nếu tồn tại hàm g(x) sao cho (i) f (x, y) g(x) x [a, ), y [c, d], (ii) Tích phân suy rộng g(x)dx hội tụ a thì tích phân I(y) hội tụ tuyệt đối và đều trên [c, d]. sin xy Ví dụ 2.22. Xét tích phân I(y) dx . 2 2 0 1 x y sin xy 1 1 Ta thấy y; tích phân dx hội tụ. Vậy tích 2 2 2 2 1 x y 1 x 0 1 x phân đã cho hội tụ đều trên . # Định lý 2.6 73
a) Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên [a, ) [c, d] còn tích phân suy rộng I(y) f (x, y)dx hội tụ đều trên đoạn [c, d] thì I(y) là hàm số liên tục trên a [c, d]. b) Với những giả thiết ở phần a) thì d d f (x, y)dx dy f (x, y)dy dx (2.55) c a a c (Công thức đổi thứ tự lấy tích phân). c) Giả sử * f(x,y) liên tục trên [a, ) [c, d] ; * Tích phân I(y) f (x, y)dx hội tụ với mọi y [c, d] ; a f (x, y) * Đạo hàm riêng tồn tại và liên tục trên [a, ) [c, d] ; y f (x, y) * Tích phân dx hội tụ đều trên [c, d]. y a Khi đó d f (x, y) f (x, y)dx dx y [c, d] (2.56) dy y a a (Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân). Ta thấy công thức đạo hàm dưới dấu tích phân khá giống với công thức đạo hàm dưới dấu tổng xét đến ở Giáo trình Giải tích I. Lưu ý. Tất cả các định nghĩa, tính chất vừa nêu ở trên về tích phân suy rộng với cận vô hạn vẫn còn đúng khi chuyển sang tích phân suy rộng của hàm không bị chặn trên đoạn hữu hạn. Độc giả có thể phát biểu các định lý cho riêng mình. Ví dụ 2.23. Tính các tích phân e ax e bx i) I dx (a, b 0) , x 0 2 ii) I e x dx (tích phân Poisson-Euler). 0 Giải. i) Không hạn chế tổng quát coi 0 a b . Xét tích phân 74
1 I(y) e yx dx (y 0) . y 0 Ta thấy 0 f (x, y) e xy e ax , tích phân e axdx hội tụ. a Vậy I(y) hội tụ đều trên [a, b]. Lấy tích phân hai vế ta được b b e ax e bx b 1 dy e yx dx dx e yx dy dx dy ln y b . x y a a 0 0 a 0 a Từ đó I ln(b / a). Công thức đúng cả khi 0 < b < a. 2 2 ii) Đặt x ut, (u 0), ta được I u e u x dx . 0 2 Nhân hai vế với e u rồi lấy tích phân trên đoạn [0, ) : 2 2 2 2 2 2 2 e u Idu ue u e u x dx du ue u e u x dx du . 0 0 0 0 0 Vế trái là I2 . Đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải ta được 2 2 1 dx I2 ue u (1 x ) du dx dx I . 2 2 4 2 0 0 0 1 x Nhận xét. Chúng ta nhận được tích phân Poisson-Euler nổi tiếng hay dùng trong Lý thuyết Xác suất: 2 e x dx . # Ví dụ 2.24 ( Hàm Gamma Γ(x)). Hàm Gamma xác định theo công thức (x) tx 1e tdt (x 0) . 0 Trước hết ta có 1 x 1 t x 1 t (x) t e dt t e dt 1(x) 2 (x). 0 1 Sau đây là một số tính chất của hàm Gamma. * (1) 1 * (n 1) n! (n 1,2, ) 1 * (x 1) x(x) (x 0) *  . 2 75
1 1 u2 u2  e 2udt 2 e dt 2. . # 2 u 2 0 0 Chữa bài tập: 22: b) 4 (R5 r5) /15 ; c) 8π/5 ; e) / 48. 23. a) a3 / 240 ; b) 32 / 3. TÓM TẮT CHƯƠNG 2 (xem [1]) b) Thảo luận - Liên hệ toạ độ D với toạ độ cầu. - Công thức đối biến TĐ cầu - Xác định cận tích phân trong TĐ cầu c) Tự học VD2.37 ; VD 2.40 d) Bài tập Bổ trợ: 22(d); 24(c, d, e, f, h); 25. Tài liệu Tài liệu [1], tr 76
Bài giảng 8: Tích phân đường và tích phân mặt Chương, mục: 3 Tiết thứ: 36-40 Tuần thứ: 8 Mục đích, yêu cầu: Tích phân đườngt loại I: Nắm được công thức tính, vài ứng dụng. TP đường loại II: Các công thức tính, Cách nhớ và áp dụng của công thức Green. Điều kiện TP độc lập với đường lấy TP. - Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính: § 3.1Tích phân đường loại I §3.2. Tích phân đường loại II Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT § 3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 3.1.1. Mở đầu a. Bài toán khối lượng đường cong vật chất (xem [1]) b. Định nghĩa. u f (M) xác định trên cung L A B là đường cong liên tục trong không gian, không tự cắt, (có độ dài). Chia A B thành n cung nhỏ bởi các  điểm chia liên tiếp A0 A, A1, , An B . Gọi độ dài cung Ai 1Ai là si . Trên  cung Ai 1Ai chọn điểm Mi tùy ý. Lập tổng TP n In f (Mi ) si i 1 Nếu khi n sao cho Max si 0 mà tổng tích phân dần đến giới hạn i 1, , n hữu hạn I xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung A B và cách chọn các điểm Mi thì: + Giới hạn I được gọi là tích phân đường loại một của hàm f(M) trên cung A B, và ký hiệu là f (M)ds (hay f (M)ds , f (x, y,z)ds, f ds ). A B L L L Lưu ý. Trong định nghĩa có nói đến đường cong có độ dài, là đường cong thông thường ta vẫn gặp, coi mọi đường cong ta xét đều có độ dài. 77
c. Điều kiện tồn tại. Nếu cung A B giới nội, trơn từng khúc, còn f(M) bị chặn và liên tục từng khúc trên A B thì hàm f(M) khả tích trên A B. d. Tính chất i) Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của đường cong: f (M)ds f (M)ds . A B B A ii) Tích phân đường loại một có các tính chất khác giống với tích phân xác định thông thường như tính chất tuyến tính, hệ thức Chasles, xác định dương e. Ý nghĩa hình học - cơ học * Chiều dài s của cung A B có thể tính thông qua tích phân đường loại một: s ds. (3.2) A B * Diện tích của bức rèm (hay hàng rào) (Hình 3.1) cho bởi Hình 3.1. Bức rèm S f (x, y)ds C * Nếu cung vật chất A B có khối lượng riêng (M) (x, y,z) tại điểm M(x, y,z) thì khối lượng đường cong được tính bởi công thức m (x, y,z)ds . (3.3) A B Trọng tâm G(xG , yG , zG ) của cung AB xác định như sau: 78