Bài giảng Độ đo và tích phân - Thái Thuần Quang

65 trang ngocly 2500

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Độ đo và tích phân - Thái Thuần Quang", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_do_do_va_tich_phan_thai_thuan_quang.pdf

Nội dung text: Bài giảng Độ đo và tích phân - Thái Thuần Quang

thái thuần quang Bài giảng ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Mục lục Chương 1. Độ đo 1 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 k 1.4. Độ đo trên R 14 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R 14 k 1.4.2 Độ đo trên không gian R , (k > 1) 19 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26 1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Tích phân Lebesgue 33 2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54 2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chỉ mục 60
Chương 1 Độ đo 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . .3 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.4. Độ đo trên Rk 14 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Đại số tập hợp Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước. Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó. 1.1.1 Đại số Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng). Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều kiện a) A, B ∈ C =⇒ A ∪ B ∈ C, b) A ∈ C =⇒ Ac = X \ A ∈ C.
1.1. Đại số tập hợp 2 Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ. Với A, B ∈ C, theo b) ta có Ac,Bc ∈ C. Khi đó theo a) Ac ∪ Bc ∈ C và theo b) A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c ∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phép giao hữu hạn. Vì A \ B = A ∩ Bc nên A \ B ∈ C. Do đó A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C. c Do C 6= ∅ nên có A ∈ C như vậy ∅ = A \ A ∈ C và X = ∅ ∈ C. Vậy C là một đại số. Ví dụ 1.1.1.1. 1) P(X) = {A : A ⊂ X} là một đại số. c 2) Nếu A ⊂ X thì C = {X, A, A , ∅} là một đại số. Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp M= 6 ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất C(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số bao hàm M. C(M) gọi là đại số sinh bởi M. Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X). Gọi C(M) là giao của tất cả các đại số trên X bao hàm M. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏ nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số C0(M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C0(M) và C0(M) ⊂ C(M). 0 Vì vậy C (M) = C(M). 1.1.2 σ-đại số Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số. Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều kiện S∞ a) Ai ∈ C (i ∈ N) =⇒ i=1 Ai ∈ C, b) A ∈ C =⇒ Ac ∈ C. c Chứng minh. Giả sử C 6= ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên A ∈ C. ∞ c [ Xét A1 = A ,Ai = A (i ≥ 2). Khi đó X = Ai ∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C. i=1 c Nếu Ai ∈ C thì Ai ∈ C, nên theo a) ∞ ∞ c \ [ c Ai = Ai ∈ C. i=1 i=1 Dễ dàng chứng minh điều ngược lại. Tương tự như đối với một đại số ta có
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3 Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớp M= 6 ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất F(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M. F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M. 1.1.3 σ-đại số Borel Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp trên các tập đó. Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng Fσ nếu H là hợp của một số đếm được các tập đóng. Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng Gδ nếu G là giao của một số đếm được các tập mở. Các tập dạng Fσ,Gδ đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng là tập dạng Fσ. Tập các số vô tỷ là tập dạng Gδ. Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng. Chứng minh. Gọi M, N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X. Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N ) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗi tập mở là phần bù của một tập đóng nên M ⊂ F(N ), do đó F(M) ⊂ F(N ). Vậy F(M) = F(N ). Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở. 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp Cho M ⊂ P(X). Một hàm f : M → R được gọi là một hàm tập hợp. Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu n n n [ [ X A1, ,An ∈ M,Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), Ai ∈ M =⇒ f Ai = f(Ai). i=1 i=1 i=1 Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu ∞ ∞ ∞ [ [ X {Ai}i∈N ⊂ M,Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), Ai ∈ M =⇒ f Ai = f(Ai). i=1 i=1 i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 4 Nếu f là σ-cộng tính và f(∅) = 0 thì f cũng cộng tính. 1.2.2 Độ đo Định nghĩa 1.2.2.1. Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C → R được gọi là một độ đo trên C nếu a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C; b) µ(∅) = 0; c) µ là σ-cộng tính. Hiển nhiên µ cũng là cộng tính. Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo. Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞. ∞ [ Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {Xn}n∈N ⊂ C sao cho X = Xn n=1 và µ(Xn) < +∞ với mọi n ∈ N. Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C. Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay cho µ(A). 2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi ( n nếu A có n phần tử µA = +∞ nếu A có vô hạn phần tử thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm. 3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δa : P(X) → [0, +∞] bởi δa(A) = 1 nếu a ∈ A và δa(A) = 0 nếu a∈ / A. Khi đó δa là một độ đo và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X. Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì a) A, B ∈ C,A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB. Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB − µA. ∞ ∞ [ X b) {Ai}i∈N ⊂ C,A ∈ C,A ⊂ Ai ⇒ µA ≤ µAi. i=1 i=1 ∞ ∞ [ X c) {Ai}i∈N ⊂ C,Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j),A ∈ C, Ai ⊂ A ⇒ µAi ≤ µA. i=1 i=1 Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = ∅ nên µB = µA + µ(B \ A). Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB.
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5 Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được µ(B \ A) = µB − µA. ∞ ∞ ∞ ∞ [ [ [ [ b) Vì A ⊂ Ai nên A = A∩ Ai = (A∩Ai),A = Bi với Bi = A∩Ai. i=1 i=1 i=1 i=1 Đặt n−1 0 0 0 [ B1 = B1,B2 = B2 \ B1, ,Bn = Bn \ Bi. i=1 0 Khi đó Bi ∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn ∞ ∞ [ [ 0 Bi = Bi. i=1 i=1 ∞ ∞ [ 0 X 0 Như vậy A = Bi nên µA = µBi. Ta có i=1 i=1 0 µBi ≤ µBi = µ(A ∩ Ai) ≤ µAi. ∞ X Vậy µA ≤ µAi. i=1 ∞ n n n [ [ [ [ c) Vì Ai ⊂ A nên Ai ⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A, Ai ∈ C nên µ Ai ≤ i=1 i=1 i=1 i=1 ∞ [ µA với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ Ai ≤ µA. i=1 Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn. Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên ∞ ∞ ∞ [ [ [ X = Xn,Xn ∈ C, µXn < +∞; A = A ∩ Xn = (A ∩ Xn). i=1 i=1 i=1 Và ta lại có µ(A ∩ Xn) ≤ µXn < +∞. Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó ∞ ∞ [ [ a) µAi = 0, Ai ∈ C =⇒ µ Ai = 0. i=1 i=1 b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA. ∞ ∞ [ X Chứng minh. a) Đặt A = Ai. Khi đó 0 ≤ µA ≤ µAi = 0. Vậy µA = 0. i=1 i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 6 b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B). Do vậy µ(A ∪ B) = µA. Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩ B) ≤ µB nên µ(A ∩ B) = 0. Từ đó µ(A \ B) = µ(A \ A ∩ B) = µA − µ(A ∩ B) = µA. Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó ∞ ∞ [ [ a) Ai ∈ C,A1 ⊂ A2 ⊂ , Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi. i→∞ i=1 i=1 ∞ ∞ \ \ b) Ai ∈ C,A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , µA1 < +∞, Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi. i→∞ i=1 i=1 Chứng minh. a) Đặt B1 = A1,B2 = A2 \ A1, ,Bn = An \ An−1, ∞ ∞ [ [ Lúc đó các Bi ∈ C, rời nhau và Bi = Ai. Từ đó i=1 i=1 ∞ ∞ n n [ X X [ µ Ai = µBi = lim µBi = lim µ Bi = lim µAn. n→∞ n→∞ n→∞ i=1 i=1 i=1 i=1 b) Theo công thức de Morgan ∞ ∞ \ [ A1 \ Ai = (A1 \ Ai). i=1 i=1 0 Áp dụng phần a) cho các tập Ai = A1 \ Ai ∈ C ta được ∞ [ 0 0 µ Ai = lim µAi. i→∞ i=1 T∞ Do µA1 < +∞ nên µAi < +∞ và µ i=1 Ai < +∞. Ta có ∞ ∞ ∞ \ \ [ 0 0 µA1 − µ Ai = µ A1 \ Ai = µ Ai = lim µAi = µA1 − lim µAi. i→∞ i→∞ i=1 i=1 i=1 ∞ \ Như vậy µ Ai = lim µAi. i→∞ i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 7 Định lý 1.2.2.6. (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm, cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: ∞ ∞ [ [ a) Ai ∈ C,A1 ⊂ A2 ⊂ , Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi. i→∞ i=1 i=1 ∞ \ b) Ai ∈ C,A1 ⊃ A2 ⊃ , Ai = ∅ =⇒ lim µAi = 0. i→∞ i=1 Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ µ là σ-cộng tính. ∞ [ a) Giả sử B = Bi,Bi,B ∈ C và các Bi đôi một rời nhau. Đặt i=1 n [ A1 = B1,A2 = B1 ∪ B2, ,Bn = Bi, i=1 ∞ [ Khi đó vì B = An,A1 ⊂ A2 ⊂ nên µB = lim µAn. Do µ là cộng tính nên ta i→∞ n=1 n X có µAn = µBi. Vậy i=1 n ∞ X X µB = lim µBi = µBn. n→∞ i=1 n=1 b) Giả sử µBi < +∞ với mọi i (vì nếu có một µBi = +∞ thì đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng). Với các ký hiệu như trên ta có ∞ ∞ [ \ ∅ = B \ An = (B \ An) n=1 n=1 0 0 0 với An = B \ An ∈ C và A1 ⊃ A2 ⊃ Vậy 0 lim µ(B \ An) = lim µA = 0. n→∞ n→∞ n n X Nhưng do An ⊂ B và µAn = µBi < +∞ nên ta có µ(B \ An) = µB − µAn. Từ i=1 đó n ∞ X X µB = lim µAn = lim µBi = µBn. n→∞ n→∞ i=1 n=1
1.3. Thác triển độ đo 8 1.3. Thác triển độ đo Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại số chứa C. 1.3.1 Độ đo ngoài ∗ Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ : P(X) → R được gọi là độ đo ngoài nếu: a) µ∗A ≥ 0 với mọi A ⊂ X; ∗ b) µ ∅ = 0; ∞ ∞ [ ∗ X ∗ c) A ⊂ Ai =⇒ µ A ≤ µ Ai. i=1 i=1 Từ c) suy ra c’) Nếu A ⊂ B thì µ∗A ≤ µ∗B. Định lý 1.3.1.2. (Carathéodory) Cho µ∗ là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X. (1.1) ∗ Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ L là một độ đo trên L. Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗. Tập A thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là tập µ∗-đo được. Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với µ∗E ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1’) vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài. Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau: • Bước 1. L là một đại số. Ta có L= 6 ∅ vì ∅ ∈ L. Thật vậy ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ µ E = µ E + µ ∅ = µ (E ∩ ∅) + µ (E \ ∅) với mọi E ⊂ X. Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra µ∗E = µ∗(E \ Ac) + µ∗(E ∩ Ac). Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù. Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn.
1.3. Thác triển độ đo 9 Xét A, B ∈ L. Với E ⊂ X ta có µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) µ∗(E ∩ A) = µ∗(E ∩ A ∩ B) + µ∗((E ∩ A) \ B)(do B ∈ L) µ∗(E \ A) = µ∗((E \ A) ∩ B) + µ∗((E \ A) \ B)(do B ∈ L). Do đó µ∗E = µ∗(E ∩ A ∩ B) + µ∗((E ∩ A) \ B) + µ∗((E \ A) ∩ B) + µ∗((E \ A) \ B). (1.2) Nhưng (E \ A) \ B = E \ (A ∪ B) và (E ∩ A ∩ B) ∪ ((E ∩ A) \ B) ∪ ((E \ A) ∩ B) = E ∩ (A ∪ B) nên từ (1.2) ta suy ra µ∗E ≥ µ∗(E ∩ (A ∪ B)) + µ∗(E \ (A ∪ B)). Vậy A ∪ B ∈ L. ∗ • Bước 2. Hàm tập µ = µ L là cộng tính. Giả sử A, B ∈ L và A ∩ B = ∅. Với mọi E ⊂ X và G = E ∩ (A ∪ B) ta có µ∗G = µ∗(G ∩ A) + µ∗(G \ A). Mặt khác, G ∩ A = E ∩ A và G \ A = E ∩ B nên µ∗G = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ B). (1.3) Chọn E = X ta sẽ được µ(A ∪ B) = µA + µB. • Bước 3. L là một σ-đại số và µ là σ-cộng tính. ∞ [ Xét {Ai}i∈N đôi một rời nhau. Ta chứng minh Ai ∈ L và với mọi E ⊂ X thì i=1 ∞ ∞ ∗ [ X ∗ µ E ∩ Ai = µ (E ∩ Ai). (1.4) i=1 i=1 Theo (1.3) ta có ∗ ∗ ∗ µ (E ∩ (A1 ∪ A2)) = µ (E ∩ A1) + µ (E ∩ A2). Bằng quy nạp ta suy ra với mọi n n n ∗ [ X ∗ µ E ∩ Ai = µ (E ∩ Ai). i=1 i=1
1.3. Thác triển độ đo 10 ∞ n [ [ Đặt A = Ai ta có Ai ∈ L và i=1 i=1 n n ∗ ∗ [ ∗ [ µ E = µ E ∩ Ai + µ E \ Ai i=1 i=1 n n X ∗ ∗ [ = µ (E ∩ Ai) + µ E \ Ai i=1 i=1 n n X ∗ ∗ [ ≥ µ (E ∩ Ai) + µ (E \ A)(do E \ A ⊂ E \ Ai). i=1 i=1 Do n tùy ý ta suy ra ∞ ∗ X ∗ ∗ ∗ ∗ µ E ≥ µ (E ∩ Ai) + µ (E \ A) ≥ µ (E ∩ A) + µ (E \ A) i=1 ∞ ∞ [ ∗ X ∗ (vì E ∩ A = (E ∩ Ai) nên µ (E ∩ A) ≤ µ (E ∩ Ai).) i=1 i=1 Vậy A ∈ L. Chọn E = A ta có ∞ ∗ X ∗ µ A ≥ µ Ai. i=1 ∞ ∗ X ∗ Bất đẳng thức ngược lại luôn đúng nên µ A = µ Ai. i=1 Cuối cùng, nếu {Ai}i∈N ⊂ L thì đặt n−1 0 0 0 [ A1 = A1,A2 = A2 \ A1, ,An = An \ Ai, i=1 0 ta sẽ có các Ai ∈ L đôi một rời nhau và ∞ ∞ [ 0 [ An = An. n=1 n=1 ∞ ∞ [ 0 [ Theo trên An ∈ L nên An ∈ L. i=1 n=1 Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L.
1.3. Thác triển độ đo 11 1.3.2 Định lý thác triển Định lý 1.3.2.1. Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X). Với mỗi A ⊂ X ta đặt ∞ ∞ ∗ n X [ o µ A = inf mAi : {Ai}i∈N ⊂ C, Ai ⊃ A (1.5) i=1 i=1 thì µ∗ là một độ đo ngoài trên X và µ∗A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời mọi tập thuộc σ-đại số F(C) đều µ∗-đo được. ∗ Chứng minh. Dễ thấy µ ∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếm được các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ∗A ≤ µ∗B. Giả sử {An}n∈N ⊂ P(X), ta chứng minh ∞ ∞ ∗ [ X ∗ µ An ≤ µ An (lúc đó c’) sẽ đúng). n=1 n=1 ∞ ∗ [ Với mỗi ε > 0, theo định nghĩa của µ An tồn tại họ {Pni }i∈N ⊂ C, Pni ⊃ An sao i=1 cho ∞ X ε mP ≤ µ∗A + . ni n 2n i=1 ∞ ∞ ∞ [ [ [ Khi đó Pni ⊃ An nên n=1 i=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ [ X X X X ε µ∗ A ≤ mP ≤ µ∗A + n ni n 2n n=1 n=1 i=1 n=1 n=1 hay ∞ ∞ ∗ [ X ∗ µ An ≤ µ An + ε. n=1 n=1 Do ε tùy ý nên ∞ ∞ ∗ [ X ∗ µ An ≤ µ An. n=1 n=1 Vậy µ∗ là một độ đo ngoài. Bây giờ ta chứng minh µ∗A = mA với A ∈ C. ∞ ∞ [ X ∗ Nếu {Pi}i∈N ⊂ C và Pi ⊃ A thì mA ≤ mPi nên mA ≤ µ A. i=1 i=1 ∗ Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ nên µ A ≤ mA + m∅ + m∅ + , tức là µ∗A ≤ mA. Vậy µ∗A = mA.
1.3. Thác triển độ đo 12 Để chứng minh F(C) ⊂ L ta chỉ cần chứng minh C ⊂ L. Xét A ∈ C. Với ε > 0 và E ⊂ X tồn tại {Pi}i∈N ⊂ C để ∞ ∞ [ X ∗ Pi ⊃ E, mPi ≤ µ E + ε. i=1 i=1 Ta có ∞ ∞ ∗ ∗ ∗ [ ∗ [ µ (E ∩ A) + µ (E \ A) ≤ µ Pi ∩ A + µ Pi \ A i=1 i=1 ∞ ∞ ∞ X ∗ X ∗ X ∗ ∗ ≤ µ (Pi ∩ A) + µ (Pi \ A) ≤ µ (Pi ∩ A) + µ (Pi \ A) i=1 i=1 i=1 Do Pi \ A, Pi ∩ A ∈ C nên ∗ ∗ µ (Pi ∩ A) = m(Pi ∩ A) và µ (Pi \ A) = m(Pi \ A). Như vậy ∞ ∞ ∗ ∗ X X ∗ µ (E ∩ A) + µ (E \ A) ≤ m(Pi ∩ A) + m(Pi \ A) ≤ mPi ≤ µ E + ε. i=1 i=1 ∗ ∗ ∗ Do ε tùy ý nên µ (E ∩ A) + µ (E \ A) ≤ µ E với mọi E ⊂ X. Vậy A ∈ L. Định nghĩa 1.3.2.2. Ta nói rằng một độ đo µ trên một σ-đại số L là đủ nếu mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ đo 0 đều thuộc L và có độ đo 0, nghĩa là nếu N ⊂ E, µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0. Định lý 1.3.2.3. Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ∗ bao giờ cũng là độ đo đủ (trên σ-đại số L các tập µ∗-đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo ngoài µ∗ bằng 0. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mọi tập A có µ∗A = 0 đều µ∗-đo được. Lúc đó với mọi E ⊂ X thì µ∗(E ∩ A) ≤ µ∗A = 0 nên µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) ≤ µ∗(E \ A) ≤ µ∗E. Theo (1.10) ta suy ra A ∈ L. Từ các kết quả trên ta suy ra định lý sau.
1.3. Thác triển độ đo 13 Định lý 1.3.2.4. độ đo m trên một đại số C. Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ-đại số L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho 1) µA = mA với mọi A ∈ C, trong đó µ là mở rộng của m; 2) µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m hữu hạn (σ-hữu hạn); 3) µ là đọ đo đủ; 4) Giả sử µ là σ-hữu hạn. Khi đó A ∈ L khi và chỉ khi A = B \ N hay A = B ∪ N (1.6) trong đó B ∈ F(C), µ∗N = µN = 0 với µ∗ là độ đo ngoài xác định từ m theo công thức (1.5). Chứng minh. Ta lấy µ là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ xác định từ m theo công thức (1.5) và L là σ-đại số các tập µ∗-đo được. Theo định lý 1.3.2.1 thì µ là một mở rộng của m. Tính chất 2) là rõ ràng. Theo định lý 1.3.2.3 thì µ là đủ. Ta chỉ cần chứng minh tính chất 4). Nếu A có dạng (1.6) thì hiển nhiên A ∈ L. Ngược lại, ta giả sử A ∈ L. ∗ • Nếu µA < +∞ thì theo cách xây dựng µ với mỗi k ∈ N tồn tại họ {Pi}i∈N ⊂ C ∞ [ sao cho Pki ⊃ A và i=1 ∞ X 1 mP < µA + . ki k i=1 ∞ ∞ [ \ Đặt Bk = Pki và B = Bk thì B ∈ F(C),B ⊃ A và i=1 k=1 ∞ X 1 µB ≤ µB ≤ mP ≤ µA + , ∀k ∈ . k ki k N i=1 Như vậy µB ≤ µA. Nhưng A ⊂ B nên µA = µB. Đặt N = B \ A. Khi đó µN = 0 và A = B \ N. ∞ [ • Ta xét trường hợp µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên A = An với An ∈ L n=1 và µAn < ∞. Theo trường hợp trên, với mỗi n ∈ N ta có Dn ⊃ An với Dn ∈ F(C) để ∞ ∞ [ [ cho µ(Dn \An) = 0. Đặt D = Dn Lúc đó D ∈ F(C) và N = D\A = (Dn \A). n=1 n=1 Ta có ∞ ∞ X X ∗ µN ≤ µ(Dn \ A) ≤ µ (Dn \ An) = 0. n=1 n=1
k 1.4. Độ đo trên R 14 Vậy A = D \ N với D ∈ F(C) và µN = 0. Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \ A ∈ L nên X \ A = B0 \ N 0 với B0 ∈ F(C), µN 0 = 0. Ta suy ra A = (X \ B0) ∪ N 0 hay A = B00 ∪ N 0, 00 0 0 với B = X \ B ∈ F(C) và µN = 0. Độ đo trong định lý 1.3.2.4 được gọi là mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m. Như vậy σ-đại số L các tập µ∗-đo được không khác σ-đại số F(C) nhiều lắm và có thể hu được từ F(C) bằng cách thêm vào hay bớt đi một tập có độ đo ngoài bằng 0 vào các phần tử của F(C). 1.4. Độ đo trên Rk Dựa vào định lý thác triển độ đo, trong phần này ta sẽ xây dựng độ đo Lebesgue trên không gian Euclide k-chiều. 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một trong các dạng sau: (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, +∞), (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞). Như vậy giao của hai gian cũng là một gian, phần bù của một gian cũng là một gian hoặc là hợp của hai gian rời nhau. Gọi C là tập hợp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu hạn các gian đôi một rời nhau: n n [ o C = P ⊂ R : P = ∆i, ∆i là gian, ∆i ∩ ∆j = ∅, với i 6= j . i=1 Bổ đề 1.4.1.1. C là một đại số. Chứng minh bổ đề này xem như bài tập. Sn Xét hàm tập m : C → R xác định bởi: nếu P = i=1 ∆i (các gian rời nhau) thì Pn đặt m(P ) = i=1 |∆i| trong đó |∆i| chỉ độ dài của gian ∆i. Bổ đề 1.4.1.2. Hàm tập m là một độ đo trên đại số C.
k 1.4. Độ đo trên R 15 Chứng minh. Rõ ràng m không âm và m∅ = 0. Trước hết ta nhận xét rằng: k [ a) Nếu có những gian ∆, ∆1, , ∆k mà ∆ ⊂ ∆i thì i=1 k X |∆| ≤ |∆i|. i=1 Sk b) Nếu ∆ ⊃ i=1 ∆i với ∆i ∩ ∆j = ∅ khi i 6= j thì k X |∆| ≥ |∆i|. i=1 Để chứng minh tính σ-cộng tính của hàm tập m ta chứng minh tính chất sau: ∞ [ c) Nếu các gian ∆, ∆1, , ∆k, thỏa mãn ∆ = ∆i với ∆i ∩ ∆j = ∅ khi i 6= j i=1 thì ∞ X |∆| = |∆i|. i=1 n n [ X Với mỗi n ∈ N ta luôn có ∆i ⊂ ∆ nên |∆i| ≤ |∆| do đó i=1 i=1 ∞ X |∆n| ≤ |∆|. n=1 Ta cần chứng minh ∞ X |∆n| ≥ |∆|. n=1 Nếu có một gian ∆k mà |∆k| = +∞ thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. Do đó ta xét trường hợp |∆k| 0 ta chọn gian đóng ∆ ⊂ ∆ sao cho |∆| < |∆ | + 2 , đồng 0 0 ε thời chọn gian mở ∆k ⊃ ∆k sao cho |∆k| < |∆k| + 2k+1 . Các gian mở tạo thành một phủ mở của tập compact ∆0 nên phải có hữu hạn gian ∆0 (i = 1, . . . , p) còn phủ ∆0. Như vậy ki p ∞ 0 X X |∆ | ≤ |∆ki | ≤ |∆k|, i=1 k=1
k 1.4. Độ đo trên R 16 do đó ∞ ε X |∆| no. Tương tự như trường hợp i) ta suy ra ∞ 0 X 0 |∆ | ≤ |∆k| k=1 nên ∞ 0 X 0 no < |∆ | < |∆k| + ε. k=1 Do no tùy ý và ε tùy ý nên ∞ X 0 |∆k| = +∞ = |∆|. k=1 Bây giờ ta chứng minh tính σ-cộng tính của m. ∞ [ Giả sử P = Pi với các P, Pi ∈ C và các Pi đôi một rời nhau. Ta có i=1 n r [ [i P = ∆k,Pi = ∆ij k=1 j=1 ∞ ∞ ∞ r [ [ [ [i ∆k = ∆k ∩ Pi = (Pi ∩ ∆k) = (∆k ∩ ∆ij). i=1 i=1 i=1 j=1 Như vậy ∞ r X Xi |∆k| = |∆k ∩ ∆ij|. i=1 j=1 n [ Với chú ý rằng ∆ij = (∆k ∩ ∆ij), theo định nghĩa của m thì k=1 n n ∞ r X X X Xi mP = |∆k| = |∆k ∩ ∆ij| k=1 k=1 i=1 j=1 ∞ r n ∞ r ∞ X Xi X X Xi X = |∆k ∩ ∆ij| = |∆ij| = Pi. i=1 j=1 k=1 i=1 j=1 i=1
k 1.4. Độ đo trên R 17 Vậy m là một độ đo trên C. Định nghĩa 1.4.1.3. Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo sơ đồ tổng quát của định lý 1.3.2.4 được gọi là độ đo Lebesgue trên R. Ta có một số nhận xét sau: • Với mỗi A ⊂ R độ đo ngoài được xác định bởi công thức ∞ ∞ ∗ n X [ o µ A = inf mPi : Pi ⊃ A, Pi ∈ C . (1.7) i=1 i=1 Định nghĩa này có thể thay bằng ∞ ∞ ∗ n X [ o µ A = inf |∆k| : ∆k ⊃ A, ∆k là khoảng mở . (1.8) k=1 k=1 Thật vậy, gọi α và β là hai số xác định bởi vế phải của (1.7) và (1.8). Vì mỗi khoảng ∞ [ mở ∆k đều thuộc C nên α ≤ β. Ngược lại, với mọi họ {Pi}i∈N ⊂ A mà Pi ⊃ A i=1 ∞ ∞ [ [ thì Pi có dạng ∆k với ∆k là một gian. Với ε > 0 bất kỳ ta chọn khoảng mở i=1 k=1 ∞ 0 0 0 ε [ 0 ∆k sao cho ∆k ⊃ ∆k và |∆k| < |∆k| + 2k . Ta có ∆k ⊃ A và i=1 ∞ ∞ ∞ ∞ X X X ε X |∆0 | ≤ ∆ | + ≤ mP + ε. k k 2k i k=1 k=1 k=1 i=1 Do vậy β ≤ α + ε. Do ε tùy ý nên β ≤ α. • Một tập A được gọi là đo được Lebesgue nếu nó thỏa mãn điều kiện (1.1), tức là µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X. Lúc đó µA = µ∗A. S∞ • Độ đo Lebesgue trên R là σ-hữu hạn và R = n=1[−n, n]. Hiển nhiên nó là độ đo đủ. • Có thể thấy rằng σ-đại số F(C) ở đây chính là σ-đại số Borel trên R vì nếu gọi B là σ-đại số Borel trên R thì F(C) ⊃ B (vì F(C) cũng chứa lớp các khoảng mở).Mặt khác, vì B ⊃ C nên B ⊃ F(C). Vậy mọi tập Borel trên R đều đo được. Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nào cũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không. Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R. Đây là hệ quả của (1.8).
k 1.4. Độ đo trên R 18 Định lý 1.4.1.4. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìm được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆k}k phủ N và có tổng độ dài bé hơn ε : [ X ∆k ⊃ N; |∆k| 0 tồn tại ε ε khoảng mở ∆ = (x − 3 , x + 3 ) chứa x và |∆| 0 tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G \ A) 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) 0 tồn tại hệ khoảng mở {∆k}k∈N phủ A sao cho |∆k| < µA + ε. k=1 ∞ [ Đặt G = ∆k thì G ⊃ A, G mở và k=1 ∞ X µG ≤ |∆k| < µA + ε. k=1 Do µA < +∞ nên µ(G \ A) = µG − µA < ε. b) µA = +∞. ∞ [ Ta có A = (A ∩ [−n, n]). Tập An = A ∩ [−n, n] có độ đo hữu hạn nên theo n=1 ε trường hợp a) tồn tại Gn ⊃ An,Gn mở và µ(Gn \ An) < 2n+1 .
k 1.4. Độ đo trên R 19 ∞ [ Tập G = Gn là tập mở chứa A và n=1 ∞ ∞ X X ε ε µ(G \ A) ≤ µ(G \ A ) ≤ = 0 tồn tại G mở, G ⊃ Ac sao cho µ∗(G \ Ac) 1) k Những kết quả ở phần trên có thể mở rộng cho không gian R , k > 1. k Trong R ta gọi gian là một tập bằng tích Descartes của k gian trong R, tức là tập hợp các điểm x = (ξ1, ξ2, . . . , ξk) trong đó ξi chạy trong một gian nào đó của R. Nếu ξi thuộc gian có hai đầu mút αi, βi(i = 1, 2, . . . , k) thì thể tích của gian ∆ bằng k Y |∆| = (βi − αi). i=1 Nếu có một gian mà αi = βi thì ta quy ước |∆| = 0, còn nếu có một gian trong R vô hạn và không có gian nào có độ dài bằng 0 thì |∆| = +∞. k Gọi Ck là lớp các tập hợp của R có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu hạn các gian rời nhau. Ta có kết quả tương tự như với đô đotrên R. 1) Ck là một đại số. n k [ 2) Nếu với mỗi P ∈ C có dạng P = ∆i, trong đó ∆i là những gian ròi nhau, i=1 ta đặt n X m(P ) = |∆i|. i=1 Khi đó hàm tập m là một độ đo trên Ck.
k 1.4. Độ đo trên R 20 3) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µk trên một σ-đại số Lk ⊃ F(Ck) ⊃ k k k k C . Độ đo µ này gọi là độ đo Lebesgue trên R , và các tập thuộc L gọi là tập đo k được theo Lebesgue trên R . k k k F(C ) chính là σ-đại số Borel trong R (do đó mọi tập Borel trong R đều đo được. k Các định lý 1.4.1.4 và 1.4.1.6 cũng đúng đối với R và cũng được chứng minh tương tự. k Một đặc điểm đáng chú ý của độ đo Lebesgue trên R là nó bất biến qua phép dời, tức la nếu E0 là ảnh của E qua một phép dời nào đó và nếu tập này đo được thì tập kia cũng đo được và µE = µE0. Tập hợp đo được theo Lebesgue cũng không bao gồm tất cả mọi tập con của k k R . Người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian R dều tồn tại tập không đo được theo Lebesgue. Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue là k chưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian R không thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho k a) Độ đo xác định trên mọi tập con của R ; b) Đọ đo bất biến qua phép dời; c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó. Ví dụ 1.4.2.1. (Tập không đo được trong R) Để xây dựng ví dụ này ta cần nhắc lại tiên đề chọn: Nếu {Ai}i∈I là một họ gồm S các tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂ i∈I Ai sao cho E ∩ Ai chứa duy nhất một phần tử với mọi i ∈ I. Gọi µ là độ đo Lebesgue trên R Trên [0, 1] ta xét quan hệ tương đương ∼ xác định như sau: x, y ∈ [0, 1], x ∼ y khi và chỉ khi x − y ∈ Q. Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên [0, 1]. Khi đó [0, 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương. Theo tiên đề chọn tồn tại tập E ⊂ [0, 1] sao cho giao của nó với mọi lớp tương đương nói trên gồm đúng một điểm. Khi đó E không đo được Lebesgue. Thật vậy, giả sử E đo được Lebesgue. ta đánh số tất cả các số hữu tỷ trong [−1, 1] là r1, r2, Với mỗi n ∈ N đặt En = {rn + x : x ∈ E} và nhận xét rằng En là đo được Lebesgue. Dễ thấy rằng En ∩ Em = ∅ nếu n 6= m và µEn = µE với ∞ [ mọi n ∈ N (vì µ bất biến đối với phép tịnh tiến). Hơn nữa, [0, 1] ⊂ En ⊂ [−1, 2]. n=1 Theo tính σ-cộng tính của µ ta có ∞ ∞ [ X µ En = µ(En) = lim nµE ≤ µ([−1, 2]) = 3. n→∞ n=1 n=1
1.5. Hàm số đo được 21 ∞ [ Từ đây ta được µE = 0 do đó µ En = 0. Nhưng điều này là không thể xảy ra n=1 ∞ [ vì [0, 1] ⊂ En và µ([0, 1]) = 1. Vậy E không đo được Lebesgue. n=1 1.5. Hàm số đo được Trong giải tích khi làm việc trên các hàm số liên tục người ta gặp phải một hạn chế lớn, đó là, giới hạn của một dãy hàm số liên tục không nhất thiết là liên tục. Để tránh sự hạn chế này người ta xây dựng một lớp các hàm số, rộng hơn lớp các hàm số liên tục, kín đối với các phép toán giải tích, gọi là lớp hàm số đo được. 1.5.1 Các định nghĩa và phép toán Định nghĩa 1.5.1.1. Cho F là một σ-đại số các tập con của X và A ∈ F. Một hàm số f xác định trên X được gọi là đo được trên tập A đối với σ-đại số F nếu (∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) a} ∈ F. (1.10) (∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) ≤ a} ∈ F. (1.11) (∀a ∈ R), {x ∈ A : f(x) ≥ a} ∈ F. (1.12) Ta thấy (1.9) ⇔ (1.12) vì {x ∈ A : f(x) < a} = {x ∈ A : f(x) ≥ a}c và F là một σ-đại số. Tương tự (1.10) ⇔ (1.11). Ta cần chứng minh (1.9) ⇔ (1.11). (1.9) ⇒ (1.11). Ta có 1 f(x) ≤ a ⇔ ∀n ∈ : f(x) < a + . N n 1 Vì mỗi tập {x ∈ A : f(x) < a + n } ∈ F nên ∞ \ 1 {x ∈ A : f(x) ≤ a} = {x ∈ A : f(x) < a + } ∈ F. n n=1
1.5. Hàm số đo được 22 (1.11) ⇒ (1.9). Ta có 1 f(x) a = {x ∈ En : f(x) > a} n n n \ o \ x ∈ En : f(x) > a = {x ∈ En : f(x) > a}. n n 4) Nếu f đo được thì k.f cũng đo được. Nếu f(x) = c (hằng số) trên A thì f đo được. (Bài tập) 5) Nếu µA = 0 và µ đủ thì f xác định trên A sẽ đo được. (Bài tập) k Ví dụ 1.5.1.1. 1) Trên không gian R với độ đo Lebesgue nếu f là hàm liên tục trên A ∈ Lk thì f sẽ đo được trên A. Thật vậy, với mỗi a ∈ R thì {x ∈ A : f(x) < a} = f −1(−∞, a) = A ∩ G k k với G là tập mở của R , do đó {x ∈ A : f(x) < a} ∈ L . 2) Với A ⊂ X, ta định nghĩa hàm đặc trưng của A như sau ( 1, nếu x ∈ A χA(x) = 0, nếu x∈ / A.
1.5. Hàm số đo được 23 Với a ∈ thì R  , nếu a ≥ 1 ∅ {x ∈ A : χA(x) > a) = X, nếu a 0) cũng đo được. 2) Nếu f, g đo được trên A và hữu hạn thì các hàm số f ± g, f.g, f max{f, g}, min{f, g} cũng đo được, và nếu g(x) 6= với mọi x ∈ A thì g cũng đo được. Chứng minh. Ta ký hiệu A[f > a] để chỉ {x ∈ A : f(x) > a}. 1) Với a > 0 ta có α 1 1 1 1 1 A[|f| a , nếu a > 0
1.5. Hàm số đo được 24 1 f 1 f nên g2 đo được. Ta có g = f.g. g2 nên g đo được. Định lý 1.5.1.3. Nếu {fn}n∈N là một dãy các hàm số đo được và hữu hạn thì các hàm số sup fn, inf fn, lim fn, lim fn cũng đo được, và nếu tồn tại lim fn thì hàm n n n→∞ n→∞ n→∞ này cũng đo được. Chứng minh. Với mỗi a ∈ R ta có ∞ ∞ \ \ A[sup fn ≤ a] = A[fnn ≤ a],A[inf fn ≤ a] = A[fn ≤ a] ∈ F n=1 n=1 nên sup fn, inf fn đo được. Do đó các hàm số lim fn, lim fn cũng đo được. Nếu n n n→∞ n→∞ tồn tại lim fn thì lim fn = lim fn nên lim fn đo được. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Như vậy lớp các hàm đo được kín đối với phép toán giải tích. Theo trên, mọi hàm số liên tục trên một tập A ∈ Lk đều (L)-đo được trên tập đó nên giới hạn của một dãy hàm số liên tục là một hàm số đo được, mặc dù có thể không liên tục. Điều k đó cho thấy rằng lớp các hàm số đo được Lebesgue trong R rộng hơn nhiều so với lớp các hàm số liên tục. Chẳng hạn, hàm số Dirichlet là hàm đo được mặc dù nó gián đoạn tại mọi điểm trên R. 1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.5.2.1. Một hàm số f xác định trên A ∈ F được gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hữu hạn. Giả sử f(A) = {c1, c2, . . . , cn} ⊂ R. Với mỗi i = 1, 2, . . . , n ta đặt Ai = {x ∈ A : n [ f(x) = ci}. Dễ thấy các tập Ai đo được, đôi một rời nhau và A = Ai. Khi đó i=1 n X f = ciχAi . i=1 n [ Ngược lại, nếu f có dạng trên với các tập Ai đo được, rời nhau, A = Ai thì f sẽ i=1 là một hàm đơn giản trên A. Cấu trúc của một hàm số đo được thể hiện qua định lý dưới đậy. Định lý 1.5.2.2. Mỗi hàm số đo được trên một tập A ∈ F đều là giới hạn của một dãy {fn}n∈N các hàm số đơn giản trên A : f = lim fn. n→∞ Nếu f ≤ 0 trên A thì có thể chọn các fn để cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 với mọi n ∈ N.
1.5. Hàm số đo được 25 Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng: 1) Nếu f là hàm số đo được trên A thì f = f + − f − với f + = max{f, 0} và f − = min{f, 0}. Hai hàm f +, f − đều không âm và đo được trên A. Hơn nữa, |f| = f + + f −. 2) Nếu f là hàm số đơn giản trên A và a ∈ R thì f + a, a.f, f.g, fg đều là những hàm đơn giản trên A. Ta chứng minh cho trường hợp f ≥ 0 trên A. Với mỗi n ∈ N ta đặt 0 Cn = {x ∈ A : f(x) ≥ n} i − 1 i Ci = {x ∈ A : ≤ f(x) ≤ }, (i = 1, 2, . . . , n2n). n 2n 2n n2n i [ i Khi đó các Cn đo được, đôi một rời nhau và A = Cn. Ta xác định hàm fn trên i=0 A như sau: ( n nếu x ∈ C0 (f(x) ≥ n) f (x) = n n i−1 i i−1 i 2n nếu x ∈ Cn ( 2n ≤ f(x) ≤ 2n ). Dễ thấy fn là hàm đơn giản trên A. và fn ≥ 0. Ta chứng minh fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N, với mọi x ∈ A. n i Với x ∈ A tồn tại i ∈ {0, 1, 2, . . . , n2 } để x ∈ Cn. • Nếu i = 0 thì fn(x) = n. Khi f(x) ≥ n + 1 thì fn+1(x) = n + 1 > fn(x). Khi n ≤ f(x) = = f (x). n+1 2n+1 2n+1 2n n
1.5. Hàm số đo được 26 Vậy fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N. Bây giờ ta chứng minh lim fn = f. n→∞ Với x ∈ A mà f(x) < +∞ thì với n đủ lớn ta có fn < n cho nên tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , n2n} để i − 1 i ≤ f (x) < . 2n n 2n i−1 Như vậy fn(x) = 2n suy ra 1 |f (x) − f(x)| ≤ → 0 khi n → ∞. n 2n Nếu f(x) = +∞ thì f(x) ≥ n với mọi n ∈ nên fn(x) = n và lim fn(x) = +∞ = N n→∞ f(x). Xét f là hàm đo được trên A. Lúc đó f = f + − f −. Theo chứng min trên tồn tại hai dãy hàm đơn giản {f +}, {f −} xác định trên A để lim f + = f + và n n n→∞ n − − + − lim f = f . Đặt fn = f − f . Khi đó fn cũng là hàm đơn giản và n→∞ n n n + − lim fn = f − f = f. n→∞ Nhận xét rằng, trong trường hợp f ≥ 0, dãy hàm đơn giản {fn} trong chứng minh trên có tính chất 0 ≤ fn ≤ n với mỗi n ∈ N. 1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” Giả sử (X, A, µ) là một không gian độ đo với A là một σ-đại số. Ta nói một tính chất P (x) nào đó thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A nếu tồn tại B ∈ A sao cho µB = 0 và P (x) thỏa mãn với mọi x ∈ A \ B. Đôi khi để chỉ rõ độ đo µ (trong trường hợp đang xét nhiều độ đo) ta viết “µ- h.k.n” thay cho “h.k.n”. Ví dụ 1.5.3.1. 1) Hàm f : A → R là hữu hạn h.k.n trên A nếu f(x) ∈ R với mọi x ∈ A ngoại trừ trên một tập B ⊂ A mà B ⊂ B0 và µB0 = 0. 2) Dãy {fn}n các hàm xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A về hàm f nếu có tập B ⊂ A sao cho µB = 0 và fn(x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ A \ B. 3) Hai hàm f, g xác định trên A la bằng nhau h.k.n trên A nếu {x ∈ A : f(x) 6= g(x)} ⊂ B với µB = 0. Hai hàm bằng nhau h.k.n.trên A được gọi là tương đương trên A và thường ký hiệu là f ∼ g. Chú ý rằng quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên lớp các hàm xác định trên A. Định lý 1.5.3.1. Nếu µ là độ đo đủ thì mọi hàm số g tương đương với một hàm f đo được trên A cũng đo được trên A.
1.5. Hàm số đo được 27 Chứng minh. Từ định nghĩa của hàm tương đương ta suy ra hai tập hợp A[f 0, lim µ{x ∈ A : |fn(x) − f(x)| ≥ ε} = 0. n→∞ µ Ký hiệu fn → f. Với giả thiết µ là độ đo đủ ta có các nhận xét: µ µ 1) Nếu fn → f trên A và f ∼ g thì fn → g trên A. Thật vậy, đặt B = {x ∈ A : f(x) 6= g(x)} ta có {x ∈ A : |fn(x) − g(x)| ≥ ε} = {x ∈ A \ B : |fn(x) − f(x)| ≥ ε} ∪ B ⊂ {x ∈ A : |fn(x) − f(x)| ≥ ε} ∪ B, nhưng µB = 0 nên 0 ≤ µ(A[|fn − g| ≥ ε]) ≤ µ(A[|fn − f| ≥ ε]) → 0 khi ∈ n → ∞. µ Vậy fn → g. µ µ 2) Nếu fn → f và fn → g trên A thì f ∼ g. Thật vậy, với ε > 0 tùy ý ta có ε ε A[|f − g| ≥ ε] ⊂ A[|f − f| ≥ ] ∪ A[|f − g| ≥ ] n 2 n 2 vì nếu x không thuộc tập hợp ở vế phải thì ε ε |f (x) − f(x)| < và |f (x) − g(x)| < n 2 n 2
1.5. Hàm số đo được 28 lúc đó |f(x) − g(x)| 0} ∞ [ 1 = {x ∈ A : |f(x) − g(x)| ≥ } n n=1 có độ đo bằng 0, tức là f ∼ g trên A. Như vậy, nếu bỏ qua một tập có độ đo 0 (tức là không phân biệt hai hàm tương đương) thì giới hạn của một dãy hàm đo được hội tụ có thể xem là duy nhất. Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và sự hội tụ h.k.n. Ta giả thiết µ là độ đo đủ. Định lý 1.5.4.2. Nếu một dãy hàm số {fn}n∈N đo được trên A hội tụ h.k.n về một µ hàm f thì f đo được trên A, và nếu µA 0 tùy ý ta đặt ∞ ∞ [ \ Ai = {x ∈ A : |fi(x) − (x)| ≥ ε}; Cp = Ai; C = Cp. i=p p=1 Khi đó Cp ⊃ Cp+1 với mọi p. Ta có µCp < +∞ với mọi p nên µC = lim µCp. p→∞ Nếu x ∈ C thì x ∈ Cp với mọi p ∈ N. Do vậy với mỗi p ∈ N tồn tại i ≥ p để x ∈ Ai, suy ra |fi(x) − f(x)| ≥ ε. Vậy fi(x) 9 f(x) nên x ∈ B. Suy ra C ⊂ B. Mà µB0 nên µC = 0. Do đó lim µCp = 0. p→∞ µ Vì Ap ⊂ Cp với mọi p nên µAp ≤ µCp và do đó lim µAp = 0, nghĩa là fn → f p→∞ trên A.
1.5. Hàm số đo được 29 Nhận xét. ∞ [ a) Ở đây không những lim µAp = 0 mà lim µ Ai = 0 p→∞ p→∞ i=p b) Điều kiện µA < +∞ không thể bỏ qua. Chẳng hạn, lấy A = R và µ là độ đo Lebesgue trên R. Xét ( 1 nếu n ≤ x ≤ n + 1 fn(x) = 0 tại các điểm khác. Khi đó fn(x) → 0 tại mọi x ∈ R nhưng với mọi n ∈ N 1 µ{x ∈ : |f (x) − 0| ≥ } = 1 0 R n 2 9 µ nghĩa là fn 9 0. c) Sự hội tụ theo độ đo của một dãy hàm nói chung không kéo theo sự hội tụ h.k.n của dãy đó. Thật vậy, với mỗi k ∈ N ta xác định k hàm số fik, (i = 1, 2, . . . , k) trên [0, 1] như sau: ( i−1 i i nếu k ≤ x < k fik(x) = 0 tại các điểm khác. Lúc đó dãy hàm ϕ1 = f11, ϕ2 = f12, ϕ3 = f22, ϕ4 = f13, ϕ5 = f23, ϕ6 = f33, hội tụ theo độ đo về hàm 0 nhưng không hội tụ về 0 tại bất kỳ điểm nào của [0, 1]. Tuy nhiên ta có Định lý 1.5.4.3. Nếu dãy hàm đo được {fn}n∈N hội tụ theo độ đo về hàm f thì có dãy con {fnk } của dãy {fn}n∈N hội tu h.k.n về f ∞ X Chứng minh. Chọn dãy số dương εk sao cho εk < +∞. Khi đó lim εk = 0. Do k→∞ k=1 µ fn → f trên A nên với mỗi k ∈ N tồn tại nk ∈ N sao cho với mọi n ≥ nk ta có µ{x ∈ A : |fn(x) − f(x)| ≥ εk} < εk. Có thể chọn sao cho n1 < n2 < . . . < nk < . . . và nk → ∞ khi k → ∞. Ta có µ{x ∈ A : |fnk (x) − f(x)| ≥ εk} < εk. Đặt ∞ ∞ [ \ B = µ{x ∈ A : |fnk (x) − f(x)| ≥ εk}; B = Bi. k=1 i=1
1.5. Hàm số đo được 30 ∞ ∞ X X Lúc đó µB ≤ µBi ≤ εk. Do vậy lim µBi ≤ lim εk = 0, nên µB = 0. i→∞ i→∞ k=i k=i Bây giờ, nếu x ∈ A \ B thì có i ∈ N để x∈ / Bi, tức là với mọi k ≥ i ta có |fnk (x) − f(x)| 0 tồn tại một tập hợp đo được B ⊂ A sao cho µ(A \ B) 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ(A \ F ) < ε và f liên tục trên F. Bài tập . 1.1. Chứng minh rằng một lớp C các tập con của X là một đại số khi và chỉ khi C 6= ∅ và a) A ∈ C,B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C. b) A ∈ C ⇒ Ac = X \ A ∈ C. . 1.2. Chứng minh rằng họ tất cả các tập A ⊂ X sao cho A hoặc Ac hữu hạn tạo thành một đại số trên X. Họ tất cả các tập A ⊂ X sao cho A hoặc Ac không quá đếm được tạo thành một σ-đại số trên X. . 1.3. Cho µ là một độ đo trên đại số C và A, B ∈ C. Chứng minh rằng µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µA + µB. . 1.4. Cho µ là một độ đo trên đại số C. Nếu A, B ∈ C thì ta viết A ∼ B nếu µ(A∆B) = 0. Chứng minh rằng “∼" là một quan hệ tương đương và nếu A ∼ B thì µA = µB = µ(A ∩ B). . 1.5. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X. Chứng minh rằng với mọi A, B ⊂ X ta có |µ∗A − µ∗B| ≤ µ∗(A∆B).
1.5. Hàm số đo được 31 . 1.6. Cho đại số C = {∅,X} và độ đo µ xác định trên C như sau: µ(∅) = 0 và µ(X) = 1. Hãy tìm độ đo ngoài µ∗ và σ-đại số các tập µ∗-đo được. . 1.7. Cho m là một độ đo hữu hạn trên đại số C, µ∗ là độ đo ngoài cảm sinh bởi m. Chứng minh A ⊂ X là µ∗-đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0, tồn tại C ∈ C sao cho µ∗(A∆B) n − 1. Chứng n \ minh µ Ai > 0. i=1 . 1.13. Cho A là một tập con đo được của [a, b]. Xét hàm số f :[a, b] → R mà f(x) = µ(A ∩ [a, x]) với x ∈ [a, b]. Chứng minh f liên tục trên [a, b]. . 1.14. Cho A là tập con đo được của R với µA = p > 0. Chứng minh rằng nếu 0 < q < p thì tồn tại một tập con đo được của A có độ đo bằng q. . 1.15. Cho (X, A) là một không gian đo được, A ∈ A, f : A → R là một hàm đo được và p là một số nguyên dương. Chứng minh rằng hàm số sau đo được trên A.  |f(x)|p nếu f(x) hữu hạn  h(x) = β− nếu f(x) = −∞  β+ nếu f(x) = +∞
1.5. Hàm số đo được 32 trong đó β−, β+ tuỳ ý thuộc R. . 1.16. Chứng minh rằng nếu hàm số [f(x)]3 là hàm số đo được trên E thì f(x) cũng đo được trên E. . 1.17. Chứng minh rằng nếu hàm số [f(x)]2 là hàm số đo được trên E thì không thể suy ra f(x) đo được trên E. n . 1.18. Giả sử f : R → R là hàm liên tục, còn g1, . . . , gn : R → R là những hàm đo được. Chứng minh rằng hàm h(x) = f(g1(x), . . . , gn(x)) là hàm đo được. . 1.19. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) đo được trên doạn bất kỳ [α, β], với a b, trong đó a < b.
Chương 2 Tích phân Lebesgue 2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1. Tích phân Lebesgue Trong chương này ta xét không gian độ đo (X, A, µ). 2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm Giả sử f là hàm đơn giản không âm xác định trên một tập hợp A ∈ A. Khi đó n X f = ciχAi i=1 n [ với các tập Ai đo được, rời nhau và Ai = A, ci ≥ 0. i=1 Ta định nghĩa tích phân của hàm f với độ đo µ trên tập A là n Z X fdµ = ciµAi. A i=1
2.1. Tích phân Lebesgue 34 Ta sẽ kiểm tra giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyến tính các hàm đặc trưng. Thật vậy, giả sử n s X X f = ciχAi = djχBj . i=1 j=1 s s [ [ Vì Ai = Ai ∩ A = Ai ∩ Bj = (Ai ∩ Bj) và các tập Ai ∩ Bj đôi một rời nhau j=1 j=1 nên n n s n s X X h X i X X ciµAi = µ(Ai ∩ Bj) = ciµ(Ai ∩ Bj). i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Tương tự ta cũng có s s n X X X djµBj = djµ(Ai ∩ Bj). ij=1 j=1 i=1 Nếu Ai ∩ Bj 6= ∅ thì ci = dj vì f(x) = ci trên Ai và f(x) = dj trên Bj. Do đó n s X X ciµAi = djµBj. i=1 ij=1 2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm Để chuẩn bị cho định nghĩa ta cần các bổ đề sau: Bổ đề 2.1.2.1. Nếu f, g là các hàm đơn giản không âm trên A mà f ≤ g thì Z Z f ≤ g. A A Chứng minh. Giả sử n m X X f = aiχAi ; g = bjχBj i=1 j=1 n m [ [ trong đó các Ai đôi một rời nhau, các Bj đôi một rời nhau và A = Ai = Bj i=1 j=1 m n [ [ Đặt Cij = Ai ∩ Bj. Khi đó Ai = Cij,Bj = Cij và j=1 i=1 n n m n m Z X X X X X fdµ = aiµAi = ai µCij = aiµCij. A i=1 i=1 j=1 i=1 j=1
2.1. Tích phân Lebesgue 35 Tương tự m n Z X X gdµ = bjµCij. A j=1 i=1 Trên Cij ta có f(x) = ai, g(x) = bj nên theo giả thiết f ≤ g nên ai ≤ bj, do đó Z Z f ≤ g. A A Bổ đề 2.1.2.2. Nếu hai dãy hàm đơn giản không âm {fn}n, {gn}n trên A có tính chất fn ≤ fn+1, gn ≤ gn+1 với mọi n và lim fn = lim gn = f trên A thì n→∞ n→∞ Z Z lim fn = lim gn. n→∞ A n→∞ A n X Chứng minh. a) Giả sử f là hàm đơn giản trên A, tức là f = αiχAi . Ta chứng i=1 Z Z minh lim fk = f. k→∞ A A Lấy t ∈ (0, 1) tùy ý và đặt Aik = {x ∈ Ai : fk(x) ≥ tαi}. ∞ ∞ [ [ Do fk ≤ fk+1 nên Aik ⊂ Ai,k+1 và Ai = Aik. Thật vậy, rõ ràng Aik ⊂ Ai. k=1 k=1 Nếu x ∈ Ai thì f(x) = αi. Vì dãy {fk(x)}k tăng và hội tụ về f(x) và t ∈ (0, 1) nên ∞ [ sẽ tồn tại k đủ lớn để fk(x) ≥ tαi, vậy x ∈ Aik. Do đó Aik ⊃ Ai. Như vậy k=1 µAi = lim µAik. k→∞ Vì các Ai đôi một rời nhau nên các Aik (với i thay đổi) rời nhau. Đặt Φk = n X tαiχAik . Lúc đó Φk ≤ fk ≤ f trên A. Theo bổ đề 2.1.2.1 i=1 Z Z Z Φk ≤ fk ≤ f. A A A Cho k → ∞ ta được n n Z X X Z Φk = tαiµAik → tαiµAi = t f A i=1 i=1 A nên Z Z Z t f ≤ lim fk ≤ f. A k→∞ A A
2.1. Tích phân Lebesgue 36 Z Z Cho t → 1 ta được lim fk = f. k→∞ A A b) Xét một số tự nhiên m và đặt hn = min{fn, gm}. Lúc đó hn cũng là hàm đơn giản không âm trên A. Theo giả thiết f % f = lim g ≥ g nên h % g n Z Zn→∞ n m n m khi n → ∞. Theo phần a) ta suy ra lim hn = gm. Nhưng hn ≤ fn nên n→∞ Z Z Z AZ A hn ≤ fn Cho n → ∞ ta có gm ≤ lim fn. Cho m → ∞ ta được A A A n→∞ A Z Z lim gm ≤ lim fn. m→∞ A n→∞ A Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bất đẳng thức ngược lại. Do đó bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta xét hàm f đo được, không âm xác định trên A. Khi đó tồn tại dãy hàm đơn giản, không âm {fn}n đơn điệu tăng sao cho limn→∞ fn = f. Tích phân của hàm f trên A được định nghĩa Z Z fdµ = lim fn. A n→∞ A Z Nhờ vào các bổ đề 2.1.2.1, 2.1.2.2 thì lim fn tồn tại và xác định duy nhất n→∞ A khồng phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm {fn}n. 2.1.3 Tích phân các hàm đo được Với hàm đo được f ta có f = f + − f − với f + = max{f, 0}, f − = − min{f, 0}. Z Z Nếu hiệu f + − f − có nghĩa (tức là không có dạng ∞ − ∞) thí ta định nghĩa A A đó là tích phân của hàm f trên A và viết Z Z Z f = f + − f −. A A A Z Nếu f hữu hạn ta nói f khả tích trên A. Như vậy f khả tích trên A nếu và chỉ A nếu f +, f − cùng khả tích trên A. k k k Trong trường hợp X = R , A = L , µ = µ (độ đo Lebesgue) tích phân xây dựng như trên gọi là tích phân Lebesgue và được ký hiệu Z (L) f(x)dx A hay ZZ Z (L) f(ξ1, ξ2, . . . , ξk)dξ1dξ2 . . . dξk. A
2.2. Các tính chất sơ cấp 37 Từ định nghĩa của tích phân ta nhận được Z a) cdµ = cµA, (c là hằng số) A Z b) (αχB)dµ = αµ(A ∩ B), A n n Z X X c) αiχBi dµ = αiµ(A ∩ Bi). A i=1 i=1 Z Định lý 2.1.3.1. a) Nếu µA = 0 và f đo được trên A thì f = 0. A b) Nếu µA 0 để 0 ≤ f ≤ K trên A. Gọi {fn}n là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng hội tụ Z về f. Khi đó 0 ≤ fn ≤ K và fn ≤ KµA. Do vậy A Z Z 0 ≤ f = lim fn ≤ KµA < +∞. A n→∞ A Từ định lý này ta thấy rằng mọi hàm bị chặn và liên tục h.k.n trên một hình k k hộp đóng và bị chặn ∆ của R đều khả tích Lebesgue trên R . Như vậy, lớp các hàm k khả tích Lebesgue trên R bao gồm tất cả các hàm khả tích Riemann và ngoài ra còn nhiều hàm số khác nữa. Chẳng hạn như hàm Dirichlet trên [0, 1] là không khả tích Riemann, trong khi đó tích phân Lebesgue của nó bằng 0. 2.2. Các tính chất sơ cấp Trong phần này ta luôn giả thiết các hàm số và các tập hợp dề cập đến đều đo được. 2.2.1 Tính chất cộng tính Z Z Z Định lý 2.2.1.1. Nếu A ∩ B = ∅ thì f = f + f nếu vế phải và vế trái A∪B A B có nghĩa.
2.2. Các tính chất sơ cấp 38 Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp vế trái có nghĩa, trường hợp kia được chứng minh tương tự. a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A thì n n X [ f = αiχEi , Ei = A ∪ B i=1 i=1 và các Ei đôi một rời nhau. Ta có Ei = (A ∩ Ei) ∪ (B ∩ Ei) và hai tập ở vế phải rời nhau. Do đó n n n Z X X X Z Z f = αiµEi = αiµ(A ∩ Ei) + αiµ(B ∩ Ei) = f + f. A∪B i=1 i=1 i=1 A B b) Nếu f ≥ 0 trên A ∪ B thì tồn tại dãy hàm {fn}n đơn giản, không amm, tăng và hội tụ về f. Ta có Z Z Z fn = fn + fn. A∪B A B Cho n → ∞ ta được Z Z Z f = f + f. A∪B A B c) Nếu f là hàm đo được ta viết f = f + − f −. Theo b) ta có Z Z Z Z Z Z f + = f + + f +, f − = f − + f −. A∪B A B A∪B A B Z Nếu f có nghĩa thì vế trái của một trong hai đẳng thức trên là hữu hạn, do Z A∪B Z Z Z đó f + − f − và f + − f − có nghĩa. Khi đó trừ vế theo vế hai đẳng thức A A B B trên ta được Z Z Z f = f + f. A∪B A B Z Z Hệ quả 2.2.1.2. Nếu E ⊂ A và tồn tại f thì tồn tại f; nếu f khả tích trên A E A thì f cũng khả tích trên E. Z Chứng minh. Ta có A = (A \ E) ∪ E. Bởi tính cộng tính, nếu tồn tại f ta sẽ có Z A f và E Z Z Z f = f + f. A E A\B
2.2. Các tính chất sơ cấp 39 Z Z Z Nếu f vô hạn thì f + f không thể hữu hạn, do đó nếu f khả tích trên E E A\B A thì f cũng khả tích trên E. Z Z Hệ quả 2.2.1.3. µB = 0 thì f = f. A∪B A Bạn đọc tự chứng minh (xét các trường hợp A ∩ B = ∅ và A ∩ B 6= ∅). 2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự Z Z Định lý 2.2.2.1. a) Nếu f ∼ g trên A thì f = g. Nói riêng, nếu f = 0 h.k.n Z A A trên A thì f = 0. A Z Z Z b) Nếu f ≤ g trên A thì f ≤ g. Nói riêng, nếu f ≥ 0 trên A thì f ≥ 0. A A A Chứng minh. a) Đặt B = {x ∈ A : f(x) = g(x)}. Khi đó µ(A \ B) = 0. Theo hệ quả 2.2.1.3 ta có Z Z Z Z f = f; g = g. A B A B Suy ra điều phải chứng minh. b) Nếu f, g đều là các hàm đơn giản thì tính chất đã được chứng minh bởi bổ đề 2.1.2.1. Nếu f, g ≤ 0 trên A thì tồn tại các dãy hàm đơn giản, không âm fn % f, gn % g trên A. Do f ≤ g ta có thể giả sử fn ≤ gn với mọi n ∈ N. Khi đó Z Z fn ≤ gn. A A Z Z Cho n → ∞ ta được f ≤ g. A A Nếu f ≤ g thì ta có f + ≤ g+ và f − ≥ g− nên Z Z Z Z f + ≤ g+, f − ≥ g−. A A A A Từ đó suy ra Z Z Z Z Z Z f + − f − ≤ g+ − g− hay f ≤ g. A A A A A A Hệ quả 2.2.2.2. Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn h.k.n. trên A.
2.2. Các tính chất sơ cấp 40 Chứng minh. Đặt B = {x ∈ A : f(x) = +∞}. Khi đó f khả tích trên B. Nhưng Z trên B thì f ≥ K với mọi K > 0 nên f ≥ KµB. Đẳng thức này đúng với mọi A K nên ta phải có µB = 0 Tương tự, µ{x ∈ A : f(x) = −∞} = 0. Vậy f hữu hạn h.k.n. trên A. Z Hệ quả 2.2.2.3. Nếu f ≥ 0 trên A và f = 0 thì f = 0 h.k.n. trên A. A S∞ Chứng minh. Đặt B = {x ∈ A : f(x) > 0}. Khi đó B = n=1 Bn với Bn = {x ∈ A : 1 f(x) ≥ n }. Ta có Z Z 1 0 = f ≥ f ≥ µBn A Bn n nên µBn = 0 với mọi n. Vậy µB = 0. Chú ý rằng, nếu bỏ điều kiện f ≥ 0 thì kết quả trên không còn đúng. 2.2.3 Tính chất tuyến tính Z Z Định lý 2.2.3.1. a) cf = c f, (c ∈ R); A A Z Z Z b) (f + g) = f + g nếu vế phải có nghĩa. A A A Chứng minh. a) Nếu f là hàm đơn giản thì đẳng thức là hiển nhiên. Nếu f ≥ 0 thì tồn tại dãy hàm đơn giản, không âm fn % f. Lúc đó cfn cúng đơn giản và Z Z • Nếu c ≥ 0 thì cfn % cf và do cfn = c fn nên khi nto∞ ta được Z Z A A cf = c f. A A • Nếu c < 0 thì cf ≤ 0 nên (cf)+ = 0, (cf)− = −cf và theo định nghĩa Z Z Z Z Z Z cf = 0 − (−cf). Theo trên ta có (−cf) = −c f nên cf = c f A A A A A A Trường hợp f tùy ý ta có • f = f + − f − và (cf)+ = cf +, (cf)− = cf − nếu c ≥ 0, • (cf)+ = −cf −, (cf)+ = −cf + nếu c < 0. Như vậy trong mỗi trường hợp ta Z Z đều có cf = c f. A A b) • Trường hợp f, g ≥ 0 và đơn giản trên A. Lúc đó n m X X f = αiχAi , g = βiχBj . i=1 j=1
2.2. Các tính chất sơ cấp 41 Đặt Cij = Ai ∩ Bj ta sẽ có n m m n X X X X f = αiχCij , g = βiχCij . i=1 j=1 j=1 i=1 Như vậy n m X X f + g = (αi + βj)χCij i=1 j=1 nên n m Z X X Z Z (f + g) = (αi + βj)µCij = f + g. A i=1 j=1 A A • Trường hợp f, g ≥ 0. Lúc đó tồn tại hai dãy hàm đơn giản không âm fn % f, gn % g trên A. Dễ thấy fn + gn % f + g. Vì vậy Z Z Z Z Z Z (f + g) = lim (fn + gn) = lim fn + lim gn = f + g. A n→∞ A n→∞ A n→∞ A A A • Trường hợp tổng quát ta sẽ có phân tích f = f + − f −, g = g+ − g− và Z Z Z Z Z Z f + g = f + − f − + g+ − g− . A A A A A A Z Z Z Z Z Nếu f + = +∞ (hay f − = +∞) thì f − (hay f +) phải hữu hạn để f A Z A Z A Z A Z A có nghĩa. Nếu g+ = +∞ (hay g− = +∞) thì g− (hay g+) phải hữu hạn Z A Z ZA Z A Z A để g có nghĩa. Do đó để f, g có nghĩa và f + g có nghĩa thì hoặc là A A A Z A ZA bốn tích phân đều hữu hạn hoặc nhiều lắm là f + = g+ = +∞ và hai tích A A phân còn lại phải hữu hạn (hoặc ngược lại). Vì vậy ta viết được Z Z Z Z Z Z Z Z f + g = f + − g+ − f − + g− = (f + + g+) − (f − + g−). A A A A A A A A Z Z Bây giờ ta chứng minh nếu f, g ≥ 0 và f − g có nghĩa thì A A Z Z Z (f − g) = f − g. A A A Đặt h = f − g = h+ − h−. Khi đó f ≥ h+, g ≥ g−, vì vậy f − h+ = g − h− = k ≥ 0. Ta suy ra f = h+ + k và g = h− + k và Z Z Z Z Z Z Z Z f = (h+ + k) = h+ + k, g = (h− + k) = h− + k. A A A A A A A A
2.2. Các tính chất sơ cấp 42 Z Z Vì f − g có nghĩa nên A A Z Z Z Z Z Z f − g = h+ − h− = h = (f − g). A A A A A A Nhờ kết quả vừa chứng minh ta viết Z Z Z (f + + g+) − (f − + g−) = [(f + + g+) − (f − + g−)] A A A Z Z = [(f + − f −) + (g+ − g−)] = (f + g) A A hay Z Z Z (f + g) = f + g. A A A 2.2.4 Tính chất khả tích Z Định lý 2.2.4.1. a) Nếu f có nghĩa thì A Z Z f ≤ |f|. A A b) f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A. c) Nếu |f| ≥ g h.k.n. trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A. d) Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích. Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g khả tích. Z Z Z Chứng minh. a) Ta có f = f + − f − nên A A A Z Z Z Z Z Z Z + − + − + − f = f − f ≤ f + f = (f − f ) = |f|. A A A A A A A b) Do f = f + − f − và |f| = f + + f − nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A. Z Z c) Vì |f| ≤ g h.k.n. trên A nên |f| ≤ g < +∞. Vậy |f| khả tích, do đó f A A khả tích. d) Từ tính chất tuyến tính của tích phân ta suy ra f ± g khả tích khi và chỉ khi f, g khả tích. Ngoài ra, nếu f khả tích và g bị chặn thì |f.g| ≤ K|f|, nên Z Z |f.g| ≤ K |f| < +∞. A A
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 43 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 2.3.1 Các kết quả về giới hạn Z Z Định lý 2.3.1.1. (Levi) Nếu 0 ≤ fn % f thì fn → f. A A Chứng minh. Nếu mọi fn đều là hàm đơn giản thì điều cần chứng minh chính là định nghĩa của tích phân. Trường hợp fn bất kỳ thì với mõi n tồn tại một dãy hàm (n) (n+1) (n) đơn giản không âm gm % fn. Do fn+1 ≥ fn nên ta có thể xem gm ≥ gm . Vậy (k) (n) với k ≤ n ta có gn ≤ gn ≤ fn và do đó Z Z Z (k) (n) gn ≤ gn ≤ fn. A A A Cho n → ∞ ta được Z Z Z (n) (n) fk ≤ lim gn ≤ f, fk ≤ lim gn ≤ lim fn. n→∞ A n→∞ A n→∞ A Cho n → ∞ ta lại được Z Z Z (n) (n) f ≤ lim gn ≤ f, lim fk ≤ lim gn ≤ lim fn. n→∞ n→∞ A n→∞ A n→∞ A Như vậy Z Z (n) (n) lim gn = f và lim fn = lim gn . n→∞ n→∞ A n→∞ A (n) (n) (n+1) Nhưng gn đơn giản và gn ≤ gn+1 với mọi n nên Z Z Z (n) (n) lim gn = lim gn = f. n→∞ A A n→∞ A Tóm lại Z Z f = lim fn. A n→∞ A Định lý 2.3.1.2. (Sự hội tụ đơn điệu) Nếu fn % f và f1 khả tích trên A thì Z Z fn → f. A A Chứng minh. Ta có 0 ≤ fn − f1 % f − f1 nên theo định lý Levi Z Z lim (fn − f1) = (f − f1). n→∞ A A
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 44 Z Do f1 hữu hạn nên A Z Z Z Z lim fn − f1 = f − f1. n→∞ A A A A Z Z Từ đó suy ra lim fn = f. n→∞ A A Chú ý rằng nếu fn % f và f khả tích thì định lý vẫn đúng. Hệ quả 2.3.1.3. Nếu un ≥ 0 trên A thì ∞ ∞ Z X X Z un = un. A n=1 n=1 A ∞ ∞ ∞ X Z X X Nếu thêm giả thiết un < +∞ thì chuỗi un(x) hội tụ h.k.n. và hàm un n=1 A n=1 n=1 khả tích trên A. n ∞ X X Thật vậy, đặt fn = uk. Khi đó 0 ≤ fn % un. Theo định lý Levi ta có k=1 n=1 ∞ Z Z X lim fn = un. n→∞ A A n=1 Nhưng n n Z Z X X Z fn = uk = uk A A k=1 k=1 A nên n ∞ ∞ ∞ X Z X Z X X Z lim uk = un hay un = un. n→∞ k=1 A n=1 A n=1 n=1 A ∞ ∞ ∞ X Z X X Nếu un < +∞ thì un < +∞ nên hàm un khả tích trên A, và do đó n=1 A n=1 n=1 ∞ X nó hữu hạn h.k.n. trên A, tức là chuỗi un(x) hội tụ h.k.n. trên A. n=1 Bổ đề 2.3.1.4. (Fatou) Nếu fn ≥ 0 trên A thì Z Z lim fn ≤ lim fn. A n→∞ n→∞ A
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 45 Chứng minh. Đặt gn = inf{fn, fn+1, }. Lúc đó 0 ≤ gn % lim fn nên Z Z lim gn = lim fn. n→∞ A A Z Z Nhưng gn ≤ fn nên gn ≤ fn do đó A A Z Z Z lim gn = lim gn ≤ lim fn. n→∞ A n→∞ A n→∞ A Vậy ta có điều phải chứng minh. Chú ý. 1) Nếu fn ≥ g và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng. 2) Nếu fn ≤ g và g khả tích trên A thì Z Z lim fn ≥ lim fn. A n→∞ n→∞ A Định lý 2.3.1.5. (Lebesgue - Sự hội tụ bị chặn) Nếu |fk| ≤ g với g khả tích trên A và fn → f (h.k.n. hay theo độ đo) thì Z Z lim fn = f. n→∞ A A Chứng minh. a) Trường hợp fn → f h.k.n. Vì |fn| ≤ g nên −g ≤ fn ≤ g. Theo bổ đề Fatou ta có Z Z Z Z lim fn ≥ lim fn, lim fn ≤ lim fn. A n n A A n n A Như vậy Z Z Z Z lim fn ≤ lim fn ≤ lim fn ≤ lim fn. A n n A n A A n Nhưng lim fn = lim fn = f nên Z Z Z Z f ≤ lim fn ≤ lim fn ≤ f. A n A n A A Vậy ta có điều phải chứng minh. µ b) Trường hợp fn → f trên A. Z Z Theo định nghĩa của giới hạn trên tồn tại mọt dãy nk sao cho fnk → lim fn. A A Dãy {f } hội tụ theo đọ đo về f nên có dãy con {f } hội tụ h.k.n. về f. Theo nk k nki phần a) ta có Z Z Z Z lim f = lim f = lim f = f. n nk nki A k→∞ A i→∞ A A
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 46 Tương tự ta chứng minh được Z Z lim fn = f A A nên ta có điều phải chứng minh. 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue Định lý 2.3.2.1. Nếu f là một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và k bị chặn ∆ của R thì f cũng khả tích Lebesgue và hai tích phân đó bằng nhau Z Z (R) f = (L) f. ∆ ∆ Chứng minh. Ta giới hạn việc chứng minh cho trường hợp k = 1 và ∆ = [a, b]. Xét n k phân hoạch [a, b] thành 2 đoạn bởi các điểm chia xk = a + 2n (b − a) và các tổng Darboux tương ứng 2n 2n b − a X b − a X Ω = M , ω = m n 2n nk n 2n nk k=1 k=1 trong đó Mnk = sup f(x), mnk = inf f(x). x∈[x ,x ) x∈[xk−1,xk) k−1 k Theo định nghĩa tích phân Riemann ta có Z b I = (R) f(x)dx = lim Ωn = lim ωn. a n→∞ n→∞ Ta định nghĩa các hàm fn và fn xác định bởi fn(x) = Mnk, fn(x) = mnk nếu x ∈ xk−1, xk), còn tại x = b chúng được xác định một cách tùy ý. Khi đó Z Z (L) fn = Ωn, (L) fn = ωn. [a,b] [a,b] Do dãy {fn}n không tăng và dãy {fn}n không giảm và fn(x) ≤ f(x) ≤ fn. h.k.n trên [a, b] nên fn(x) & f(x) ≥ f(x), fn(x) % f(x) ≤ f(x). Do đó Z Z (L) f = lim Ωn = I = lim ωn = (L) f. [a,b] n→∞ n→∞ [a,b]
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 47 Ta suy ra Z Z (L) |f − f| = (L) (f − f) = 0 [a,b] [a,b] nên f = f h.k.n. trên [a, b], tức là f = f = f h.k.n. trên [a, b]. Vậy Z I = (L) f. [a,b] 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập Trên không gian độ đo (X, A, µ) ta cho hàm tập f xác định và có tích phân trên X. Ta xây dựng hàm tập λ : A → R Z A 7→ λ(A) = fdµ. A Hàm tập λ được gọi là tích phân bất định của f. Định lý 2.3.3.1. Hàm tập λ là σ-cộng tính, tức là, nếu có An ∈ A, các An đôi một ∞ [ rời nhau và A = An thì n=1 ∞ Z X Z f = f. A n=1 An Sn Chứng minh. a) Xét f ≥ 0. Đặt Bn = k=1 Ak. Khi đó n i Z X Z Z X Z = f và lim = nfty f. n→∞ Bn k=1 Ak Bn k=1 Ak ∞ [ Do B1 ⊂ B2 ⊂ ⊂ A và A = Bn nên 0 ≤ χBn f % f trên A. Như vậy n=1 Z Z Z Z f = χB f, suy ra lim f = f. Vậy n n→∞ Bn A Bn A ∞ Z X Z f = f. A n=1 An b) Với f có dấu bất kỳ ta có f = f + − f −. Theo a) thì ∞ ∞ Z X Z Z X Z f + = f + và f − = f −. A n=1 An A n=1 An
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 48 Z Vì f có nghĩa nên vế trái của một trong hai đẳng thức trên phải hữu hạn, do đó A vế phải tương ứng cũng hữu hạn nên ta viết được ∞ ∞ Z Z Z X Z Z X Z f = f + − f − = f + − f − = f. A A A n=1 An An n=1 An Nhận xét. 1. Nếu f ≥ 0 và đo được trên X thì hàm tập λ là một độ đo trên σ-đại số A. ∞ X Z 2. Nếu |f| 0 tồn tại σ > 0 sao cho Z fdµ 0 tồn tại n ∈ để (f − f ) < với moi n ≥ n . Chọn σ = ε . Lúc 0 N n 0 2n0 A 2 đó nếu E ⊂ A mà µE < σ thì Z Z Z Z Z ε ε ε f = (f − fn0 ) + fn0 ≤ (f − fn0 ) + fn0 < + n0µE < + = ε. E E E A A 2 2 2 Chú ý. Đối với tích phân Riemann đối với mọi hàm không bị chặn đều không (R)- khả tích nhưng lại có nhiều hàm (L)-khả tích. Đặc biệt mọi hàm f ≥ 0 mà tích phân
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 49 Z b Riemann f(x)dx tồn tại với mọi ε > 0 và nhận giá trị hữu hạn I khi ε → 0 đều a+ε (L)-khả tích trên [a, b] và ta có Z Z b (L) f(x)dx = lim f(x)dx. [a,b] ε→0 a+ε Thật vậy, ta có thể chứng minh được lúc đó hàm f sẽ đo được trên [a, b] và Z Z (L) f(x)dx = (L) f(x)dx. [a,b] (a,b] ∞ [ 1 Ta viết (a, b] = [a + , b] trong đó các tập [a + 1 , b] tạo thành một dãy tăng. Do n n n=1 f ≥ 0 nên hảm tập tích phân là một đọ đo trên σ-đại số các tập con đo được của [a, b]. Do vậy Z Z Z b (L) f(x)dx = lim (L) f(x)dx = lim f(x)dx = I. n→∞ 1 n→∞ 1 [a,b] [a+ n ,b] a+ n Khi một hàm số được xét trên toàn R (hay trên nửa đường thẳng số) thì tích phân Riemann của một hàm như vậy chỉ có thể tồn tại như một tích phân suy rộng. Ở đây cũng như vậy, nếu một tích phân như vậy hội tụ tuyệt đối thì tích phân Lebesgue tương ứng tồn tại và có cùng giá trị. Nhưng ngược lại, nếu tích phân đó hội tụ sin x có điều kiện thì khi đó hàm đang xét không (L)-khả tích. Ví dụ hàm x không (L)-khả tích trên R vì Z +∞ sin x (L) dx = +∞, −∞ x Z +∞ sin x nhưng tích phân suy rộng dx tồn tại như ta đã biết và có giá trị bằng π. −∞ x Z 1 Ví dụ 2.3.3.1. Tính (L) 2 dx. [0,+∞) 1 + x ∞ [ Ta có [0, +∞) = [0, n] và dãy [0, n] tăng, f(x) > 0 nên n=1 Z 1 Z 1 2 dx = lim 2 dx [0,+∞) 1 + x n→∞ [0,n] 1 + x Z n 1 π = lim (R) 2 dx = lim [arctan n − arctan 0] = . n→∞ 0 1 + x n→∞ 2 Z 1 Rõ ràng (L) 2 dx chính là giá trị của tích phân suy rộng trên [0, +∞). [0,+∞) 1 + x
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 50 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp Cho hai không gian độ đo (X, A1, µ1), (Y, A1, µ1). Đặt C = {A1 × A2 : A1 ∈ A1,A2 ∈ A2}. Dễ kiểm tra C là một đại số trên X × Y. Xét hàm tập µ0 : C → R cho bởi µ0(A1 × A2) = µ1A1 × µ2A2. Định lý 2.4.0.3. µ0 là một độ đo trên C. Chứng minh. i) C là một đại số. ii) µ0 ≥ 0 và nếu A1 × A2 = ∅ thì ít nhất một trong hai tập A1 và A2 bằng ∅, nên µ1A1 × µ2A2 = 0. Do đó µ0(∅) = 0. iii) Hàm tập µ0 cộng tính. ∞ [ Giả sử P, Pn ∈ C mà P = Pn với các Pn đôi một rời nhau. Khi đó n=1 P = A × B, Pn = An × Bn với A, An ∈ A1, B, Bn ∈ A2. Với mỗi x ∈ X ta đặt x x P = {y ∈ Y :(x, y) ∈ P }, Pn = {y ∈ Y :(x, y) ∈ Pn} và với mỗi y ∈ Y ta đặt y y P = {x ∈ X :(x, y) ∈ P },Pn = {{x ∈ X :: (x, y) ∈ Pn}. Các tập xP và P y lần lượt gọi là lát cắt của P tại x, y. Ta có ( ( x B nếu x ∈ A x Bn nếu x ∈ An P = Pn = ∅ nếu x∈ / A ∅ nếu x∈ / An. ∞ ∞ [ x [ x x Do P = Pn nên P = Pn, hơn nữa các Pn đôi một rời nhau. Do vậy n=1 n=1 ∞ x X x µ2( P ) = µ2( Pn). (2.1) n=1 Xét các hàm đơn giản ϕ, ϕn trên X ( ( µ2B nếu x ∈ A µ2Bn nếu x ∈ An ϕ(x) = ϕn(x) = 0 nếu x∈ / A, 0 nếu x∈ / An.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 51 Do (2.1) ta suy ra ∞ X ϕ(x) = ϕn(x). n=1 Như vậy ∞ Z X Z ϕdµ1 = ϕndµ1. X n=1 X Ta có ∞ ∞ ∞ ∞ X Z X Z X X ϕndµ1 = µ2Bndµ1 = (µ1An × µ2Bn) = µ0Pn n=1 X n=1 An n=1 n=1 Z Z ϕdµ1 = µ2Bdµ1 = µ2B × µ1A = µ0P. X A ∞ X Do đó µ0P = µ0Pn. Vậy µ0 là một độ đo trên C. n=1 Định nghĩa 2.4.0.4. Thác triển tiêu chuẩn của độ đo µ0 từ đại số C lên σ-đại số thành độ đo µ được gọi là tích của hai độ đo µ1 và µ2 (theo thứ tự đó) và ký hiệu µ = µ1 ⊗ µ2, A = A1 ⊗ A2. Tương tự, có thể định nghĩa tích của n độ đo trên những đại số A1, , An và ký hiệu µ = µ1 ⊗ ⊗ µn, A = A1 ⊗ ⊗ An. Đặc biệt, nếu µ1 = = µn = ν thì độ đo tích sẽ gọi là lũy thừa bậc n của ν và ký n n hiệu ν . Ví dụ, độ đo Lebesgue trên R là lũy thừa bậc n của độ đo Lebesgue trên R. Ta thấy rằng độ đo tích luôn là độ đo đủ cho dù các độ đo µ1, . . . , µn có đủ hay không. Dễ dàng chứng minh rằng nếu µ1, . . . , µn hữu hạn (σ-hữu hạn) thì độ đo tích µ cũng hữu hạn (σ-hữu hạn). 2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó Giả sử G là một miền thuộc mặt phẳng xOy giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = ϕ(x), y = ψ(x) trong đó ψ(x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó diện tích của miền G được tính bằng Z b S(G) = [ϕ(x) − ψ(x)]dx. a
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 52 Hiệu ϕ(x0) − ψ(x0) biểu diễn độ dài của thiết diện của miền G theo đường hẳng x = x0. Ta sẽ mở rộng công thức đo diện tích này cho trường hợp độ đo tích tùy ý µ = µ1 ⊗ µ2. Sau đây ta sẽ xét µ = µ1 ⊗ µ2, với µ1 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại số A1 ⊂ P(X) và µ2 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại số A2 ⊂ P(X), và A = A1 ⊗A2. Định lý 2.4.1.1. A ∈ A thì x y a) A ∈ A2 hầu khắp x ∈ X, A ∈ A1 hầu khắp y ∈ Y ; b) Hai hàm ϕA, ψA xác định dưới đây là đo được lần lượt trên X, Y : ( ( µ (xA) nếu xA ∈ A µ (Ay) nếu Ay ∈ A ϕ (x) = 2 2 ψ (x) = 1 1 . A x A y 0 nếu A/∈ A2, 0 nếu A ∈/ A1, Z Z c) µA = ϕAdµ1 = ϕAdµ2. X Y Z x Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tập A, ϕA đo được và µA = ϕAdµ1. Phần X còn lại được chứng minh tương tự. 1) Trường hợp µA < +∞. i) A = C × D với C ∈ A1,D ∈ A2. Khi đó ( D nếu x ∈ C xA = ∅ nếu x∈ / C, x nên A ∈ A2 với mọi x ∈ X; ( µ2D nếu x ∈ C ϕA(x) = 0 nếu x∈ / C. Hàm ϕA đo được trên X và Z Z ϕAdµ1 = µ2Ddµ1 = µ2D × µ1C = µA. A C ∞ [ ii) A = An trong đó An ⊂ An+1 và An có dạng ở 1.i). Khi đó n=1 ∞ x [ x x x A = An và An ⊂ An+1. n=1 x x Theo 1.i) thì An ∈ A2 với mọi x ∈ X nên A ∈ A2 và x x ϕA(x) = µ2( A) = lim µ2( An). n→∞
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 53 n x n n Nhưng ϕA(x) = µ2( An) theo 1.i) nên ϕA đo được, hơn nữa 0 ≤ ϕA % ϕA do đó hàm ϕA đo được trên X. Theo định lý Levi thì Z Z n ϕAdµ1 = lim ϕAdµ1 = lim µ2An = µA. X n→∞ X n→∞ ∞ \ iii) A = An với An ⊃ An+1 và An có dạng ở 1.ii) (trong đó µA1 < +∞). Khi n=1 đó ∞ x \ x x x A = An và An ⊃ An+1. n=1 x x Theo 1.ii) thì An ∈ A2 A ∈ A2 và x x n ϕA(x) = µ2( A) = lim µ2( An) = lim ϕ (x), n→∞ n→∞ A n n 1 mà hàm ϕA đo được nên ϕA đo được. Ta có 0 ≤ ϕA & ϕA và ϕA khả tích nên Z Z n ϕAdµ1 = lim ϕAdµ1 = lim µAn = µA. X n→∞ X n→∞ iv) µA = 0. Khi đó tồn tại B ∈ A,B có dạng 1.iii), B ⊃ A để µA = µB. Với mỗi Z x x x x x ∈ X thì B ∈ A2 và A ⊂ B. Ta có ϕB(x) = µ2( B) ≥ 0 và ϕBdµ1 = µB = 0 X x x nên ϕB = 0 hầu khắp X và µ2 đủ nên A ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2( A) = 0. Lúc đó ϕA(x) = 0 trên X nên Z ϕAdµ1 = 0 = µA. X v) Với A ∈ A, µA < +∞ thì tồn tại B, E ∈ A mà B có dạng 1.iii) còn E có dạng x x x x 1.iv) để cho A = B \ E. Khi đó A = B \ E nên A ∈ A2 hầu khắp X. x x x Vì µ2( A) = µ2( B) − µ2( E) nên ϕA = ϕB − ϕE đo được, và ϕA = ϕB hầu khắp X. Z Z ϕAdµ1 = ϕBdµ1 = µB = µA. X X 2) Trường hợp A ∈ A và µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên ∞ [ A = Ap,Ap ∈ A,Ap ⊂ Ap+1 p=1 ∞ x [ x x và µAp < +∞ với mọi p ∈ N. Lúc đó A = Ap, Ap ∈ A2 hầu khắp X, p=1 x x x x x Ap ⊂ Ap+1 nên A ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2( A) = lim µ2( Ap). Như vậy p→∞
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 54 0 ≤ ϕAp % ϕA hầu khắp X nên Z Z ϕAdµ1 = lim ϕAp dµ1 = lim µAp = µA. X p→∞ X p→∞ Định lý được chứng minh. 2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue Bây giờ ta xét Y = R và µ2 là độ đo Lebesgue trên R. Cho M ⊂ X là tập thuộc σ-đại số A1 và f là hàm khả tích không âm trên M. Xét tập Af = {(x, y) ∈ X × R : x ∈ M, 0 ≤ y ≤ f(x)} và goi là đồ thị dưới của hàm f. Z Định lý 2.4.2.1. Đồ thị dưới Af của f là một tập đo được và µAf = fdµ1. M Chứng minh. Ta thấy rằng nếu Af ∈ A thì ( x f(x) nếu x ∈ M µ2( Af ) = 0 nếu x∈ / M. Theo định lý trên ta có Z µAf = fdµ1. M Do vậy chỉ cần chứng minh Af ∈ A. 1) Trường hợp µ1M 0 ta chọn được hai hàm đơn giản, không âm ϕ, ψ sao cho ϕ ≤ f ≤ ψ trên M và ε ψ − ϕ < µM . Lúc đó Aϕ ⊂ Af ⊂ Aψ và Z Z Z Z Z ϕdµ1 ≤ fdµ1 ≤ ψdµ1; ψdµ1 − ϕdµ1 < ε. X X X X X
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 55 Ta có Z Z µ(Aψ \ Aϕ) = µAψ − µAϕ = ψdµ1 − ϕdµ1 n. Khi đó fn đo được, không âm, bị chặn và lim fn = f trên M. Ta có n→∞ ∞ [ Af = Afn . n=1 Theo phần b) thì Afn đo được nên Af đo được. 2) Trường hợp µ1M = +∞. ∞ [ Vì µ1 là σ-hữu hạn nên M = Mi với µ1Mi < +∞ với mọi i và Mi ⊂ Mi+1. i=1 ∞ [ i i Khi đó A = Af với Af là đồ thị dưới của hàm f trên tập Mi có độ đo hữu hạn, i=1 i Theo phần 1) thì Af đo được, do đó Af cũng đo được. Khi X = R còn M là một đoạn và f là một hàm khả tích Riemann thì định lý nàu mô tả cách biểu diễn hình học của tích phân như là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm và trục hoành. 2.4.3 Định lý Fubini Ta nhận xét rằng nếu trên X, Y, Z đã cho ba độ đo µ1, µ2, µ3 hì độ đo tích µ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3 có thể định nghĩa là (µ1 ⊗ µ2) ⊗ µ3 hay µ1 ⊗ (µ2 ⊗ µ3). Định lý 2.4.3.1. (Fubini) Cho hai không gian với độ đo đủ, σ-hữu hạn (X, A1, µ1), (Y, A2, µ2) và µ = µ1 ⊗ µ2, A = A1 ⊗ A2. Giả sử f là hàm đo được trên A ∈ A. Nếu f ≥ 0 hay f khả tích trên A thì Z Z Z Z Z fdµ = fdµ2 dµ1 = fdµ1 dµ2. (2.2) A X xA Y Ay Chứng minh. Gọi µ3 là dộ đo Lebesgue trên R và ký hiệu λ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3, ξ = µ2 ⊗ µ3, µ = µ1 ⊗ µ2.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 56 Giả sử f ≥ 0, ta đặt W = {(x, y, z) ∈ X × Y × R :(x, y) ∈ A, 0 ≥ z ≥ f(x, y)}. Theo định lý 2.4.2.1 ta có Z λ(W ) = fdµ. (2.3) A Mặt khác, theo định lý 2.4.1.1 ta có Z x λ(W ) = ξ(W )dµ1 (2.4) A trong đó x W = {(y, z) ∈ Y × R :(x, y, z) ∈ W } = {(y, z) ∈ Y × R :(x, y) ∈ A, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} x = {(y, z) ∈ Y × R : y ∈ A, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}. Do đó theo định lý 2.4.2.1 ta có Z x ξ(W ) = fdµ2. (2.5) xA So sánh ba đẳng thức (2.3), (2.4), (2.5) ta được Z Z Z fdµ = fdµ2 dµ1. A X xA Trường hợp với f khả tích ta viết f = f + − f − và áp dụng điều vừa chứng minh đối với hai hàm không âm f +, f − ta được điều cần chứng minh. Việc chứng minh bất đẳng thức còn lại của định lý là tương tự. Trong điều kiện đã nêu, định lý Fubini cho phép ta thay một tích phân bội bằng một tích phân lặp hay thay đổi thứ tự lấy tích phân trong một tích phân lặp. Nhận xét. Các ví dụ dưới đây chứng tỏ ằng sự tồn tại của hai tích phân lặp nói chung không kéo theo tính khả tích của hàm f trên A. Tuy nhiên nếu ít nhất một trong hai tích phân Z Z Z Z |f|dµ2 dµ1, |f|dµ1 dµ2 X xA Y Ay hữu hạn thì f sẽ khả tích trên A và ta sẽ có đẳng thức (2.2). Z Z Thật vậy, giả sử |f|dµ2 dµ1 hữu hạn và bằng M. Hàm |f| đo được, X xA không âm trên A nên theo định lý Fubini ta có Z Z Z |f|dµ = |f|dµ2 dµ1 = M < +∞. X X xA Vậy |f| khả tích trên A, do đó f khả tích trên A và đẳng thức (2.2) xảy ra.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 57 Ví dụ 2.4.3.1. 1) Giả sử ( xy nếu (x, y) 6= (0, 0) f(x, y) = (x2+y2)2 0 nếu (x, y) = (0, 0) Z 1 Z 1 với (x, y) ∈ A = [−1, 1]2. Khi đó f(x, y)dx = 0 với mọi y và f(x, y)dy = 0 −1 −1 với mọi x. Do đó Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx = 0. −1 −1 −1 −1 Nhưng Z 1 Z 1 Z 1 Z 2π | sin ϕ cos ϕ| Z 1 dr |f(x, y)|dxdy = dr dϕ = 2 = +∞ −1 −1 0 0 r 0 r nên hàm f không khả tích trên A. 2) Giả sử A = [−1, 1]2 và  22n nếu 1 ≤ x ≤ 1 ; 1 ≤ y ≤ 1  2n 2n−1 2n 2n−1 f(x, y) = 2n+1 1 1 1 1 2 nếu 2n+1 ≤ x ≤ 2n ; 2n ≤ y ≤ 2n−1 0 trong các trường hợp còn lại. Có thể chứng tỏ rằng Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 f(x, y)dx dy = 0, f(x, y)dy dx = 1. 0 0 0 0 Bài tập . 2.1. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên A. Đặt Aˆn = {x ∈ A : |f(x)| ≥ n}. Chứng minh rằng lim nµ(Aˆn) = 0. n→∞ . 2.2. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên A thì với mọi ε > 0 ta có µ{x ∈ A : |f(x)| ≥ ε} < ∞. . 2.3. Cho f là hàm số không âm, bị chặn và đo được trên A. Giả sử µ{x ∈ A : Z f(x) ≥ α} = β. Chứng minh rằng (L) fdµ ≥ αβ. A
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 58 . 2.4. Giả sử f, g là các hàm L khả tích trên A và α ≤ f(x) ≤ β h.k.n. Chứng minh rằng tồn tại γ ∈ [α, β] để Z Z f|g|dµ = γ |g|dµ. A A X . 2.5. Cho chuỗi số dương an và hàm f : [0, +∞) → R với f(x) = an khi X n ≤ x 0 trên A Z và µ(A) > 0 thì fdµ > 0. A Z t . 2.10. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên [a, b]. Chứng minh rằng nếu f(x)dµ = 0 a với mọi t ∈ [a, b] thì f(x) = 0 h.k.n. . 2.11. Cho f ≥ 0 trên A. Đặt ( f(x) nếu f(x) ≤ n fn(x) = 0 nếu f(x) > n. Z Z Chứng minh rằng lim fndµ = fdµ. n A A . 2.12. Chứng minh rằng nếu hàm f :[a, b] → R có đạo hàm bị chặn h.k.n trên [a, b] thì đạo hàm của nó (L)-khả tích trên [a, b]. . 2.13. Xét tính (R) và (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên [0, 1] : ( cos x + x nếu x vô tỷ f(x) = 0 nếu x hữu tỷ
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 59 Z 1 . 2.14. Tính (L) fdµ với 0  2 10x nếu x hữu tỷ  1 f(x) = x nếu x vô tỷ 2 . 2.15. Xét tính (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên miền đã chỉ ra 1 a) f(x) = √ , x ∈ [0, 1); 1 − x 1 b) f(x) = , x ∈ (0, 1]; x2 sin x c) f(x) = , x ∈ (1, ∞). x . 2.16. Tính tính phân của các hàm số sau trên [0, 1]. ( ( sin x nếu x hữu tỷ sin x nếu cos x hữu tỷ a) f(x) = b) f(x) = cos x nếu x vô tỷ sin2 x nếu cos x vô tỷ . 2.17. Tính các tính phân sau Z dx Z dx a) (L) √ ; b) (L) √ 2 3 [0,1] 1 − x [1,2] x − 1 1 1 . 2.18. Cho hàm số f(x) = cos . Xét tính (L)-khả tích của hàm f trên (0, 1). x x . 2.19. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên [0, 1] thì hàm f(αx) là (L)-khả tích trên [0−, 1/α], với α > 0 và Z Z f(x)dµ = f(αx)dµ. [0,1] [0,1/α] sin αx . 2.20. Cho hàm số f(x) = với α là hằng số. Chứng minh rằng x Z A a) Tồn tại lim f(x)dx. A→∞ 0 b) f không (L)-khả tích trên (0, ∞).
Chỉ mục (X, C, µ), 4 Lebesgue về sự hội tụ bị chặn, 45 Af , 54 Levi, 43 L-đo được, 18 Lusin, 30 χA, 22 thác triển, 11 A1 ⊗ A2, 51 C(M), 2 bổ đề Fatou, 45 F(M), 3 L, 8 cộng tính, 3 µ∗, 8 gian, 14, 19 µ1 ⊗ µ2, 51 σ-đại số, 2 hầu khắp nơi (h.k.n.), 26 Borel, 3 hàm sinh bởi M, 3 đặc trưng, 22 σ-cộng tính, 3 đơn giản, 24 σ-trường, 2 đo được, 21 f ∼ g, 26 + bằng nhau h.k.n., 26 f , 25 tập hợp, 3 f −, 25 µ tương đương, 26 fn → f, 27 hội tụ đồ thị dưới, 54 h.k.n, 26 độ đo, 4 theo độ đo, 27 σ-hữu hạn, 4 hữu hạn h.k.n, 26 đếm, 4 đủ, 12 không gian độ đo, 4 cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗, 8 Dirac, 4 tích phân hữu hạn, 4 bội, 56 Lebesgue, 17 lặp, 56 ngoài, 8 Lebesgue, 33 tích, 51 Riemann, 46 tầm thường, 4 tập đại số, 1 µ∗-đo được, 8 sinh bởi M., 2 Borel, 3 định lý dạng Fσ, 3 Carathéodory, 8 dạng Gδ, 3 Egorov, 30 trường, 1 Fubini, 55 hội tụ đơn điệu, 43
Chỉ mục 61