›
›

Bài giảng Xử lý số liệu trắc địa - Thái Văn Hòa

pdf 74 trang ngocly 2490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý số liệu trắc địa - Thái Văn Hòa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xu_ly_so_lieu_trac_dia_thai_van_hoa.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số liệu trắc địa - Thái Văn Hòa

  1. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 KHOA QUẢN LÝ ĐẤT ĐAI & BẤT ĐỘNG SẢN BỘ MÔN CÔNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH BÀI GIẢNG XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA GV: THÁI VĂN HÒA BM: CÔNG NGHỆ ĐỊA CHÍNH Email: thaihoa@hcmuaf.edu.vn hoa.cndc@gmail.com Tell: 0908670778 hoặc 0964027940 Website: Tp. Hồ Chí Minh - 2014 YÊU CẦU MÔN HỌC I. Chuyên cần 10% - Nghỉ 1 buổi học trừ 2 điểm chuyên cần. - Nghỉ từ 3 buổi trở lên cấm thi cuối môn học. I. Hoàn thành nội dung bài tập lớn 30% - Bình sai lưới bằng phần mềm và làm trực tiếp. II. Thi cuối kỳ 60% - Đề mở (Không dùng máy Vi tính và điện thoại) - Thời gian 60’. GV: Thái Văn Hòa 1
  2. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 MỞ ĐẦU 1. Nhiệm vụ và nội dung môn học + Nhiệm vụ: Nhiệm vụ của môn học là giảng dạy lý thuyết cơ bản và phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa, đặt cơ sở tốt cho việc đi sâu học tập và nghiên cứu bình sai trắc địa. + Nội dung môn học: - Lý thuyết sai số ngẫu nhiên: Gồm các đặc tính của sai số ngẫu nhiên và luật truyền sai số ngẫu nhiên; định nghĩa trọng số, sai số trung phương và phương pháp xác định trọng số. - Khái niệm và xây dựng mô hình hàm số và mô hình ngẫu nhiên của bình sai trắc địa, nguyên lý và phương pháp bình phương nhỏ nhất. - Các phương pháp cơ bản của bình sai trắc địa: Phương pháp bình sai điều kiện; phương pháp bình sai gián tiếp (tham số). GV: Thái Văn Hòa 2
  3. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 2. Sơ lược lịch sử phát triển của bình sai trắc địa Gauss (30/4/1777 – 23/2/1855) 3. Các đơn vị đo thường dùng trong trắc địa a, Khoảng cách km, m, dm, cm, mm. b, Đo góc Radian, độ, Grad. Ký hiệu: Radian: rad; Độ: 0, phút: ', giây: "; Grad: g, phút grad: c, giây grad: cc. Tính chuyển giữa đơn vị Radian và Độ: 0 = 1800/ = 570 17' 44",81; ’ = 60. 0 3437,7468’  ” = 3600. 0 206265” (206264,806247096”) GV: Thái Văn Hòa 3
  4. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 4. Sai số đo + Nguyên nhân của sai số: - Máy đo - Người đo - Điều kiện ngoại cảnh + Phân loại sai số: - Sai số ngẫu nhiên - Sai số hệ thống - Do máy, dụng cụ đo Loại máy Sai số đo góc () Sai số đo cạnh (mm) TS02 7 2+2ppmxD GV: Thái Văn Hòa 4
  5. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 - Do người đo - Điều kiện ngoại cảnh GV: Thái Văn Hòa 5
  6. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 -Khái niệm sai số ngẫu nhiên: Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt, nếu sai số biểu hiện có tính chất ngẫu nhiên về độ lớn và dấu, tức từ sai số đơn lẻ mà xét, độ lớn và dấu của sai số đó không có tính quy luật, nhưng từ tổng thể của số lượng lớn sai số mà xét thì có quy luật thống kê nhất định, loại sai số này gọi là sai số ngẫu nhiên. - Khái niệm sai số hệ thống: Trong điều kiện đo như nhau tiến hành đo một loạt, nếu sai số biểu hiện có tính chất hệ thống về độ lớn và dấu, hoặc biến đổi theo một quy luật nhất định, hoặc là một hằng số thì loại sai số đó gọi là sai số hệ thống. CHƯƠNG 1: TIÊU CHUẨN ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ LAN TRUYỀN SAI SỐ 1.1. Tính quy luật của sai số ngẫu nhiên Giả thiết tiến hành đo n lần, các trị đo là , , , , giả định trị thực của các đại lượng đo là , , , vì các trị đo đều có sai số, do đó giữa trị đo và trị thực tồn tại sai lệch, giả thiết là Δ = (1-1) Hoặc theo dạng ma trận: Δ = (1-2) Hoặc biểu diễn qua kỳ vọng toán: = (1-3) Δ = GV: Thái Văn Hòa 6
  7. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Xét ví dụ: Tại một khu đo, trong điều kiện như nhau, đã đo độc lập toàn bộ các góc trong của 358 tam giác, vì các trị đo có sai số nên tổng 3 góc trong của tam giác không bằng trị thực 1800 . Dựa vào (1-1), sai số thực của tổng 3 góc trong của các tam giác được tính theo công thức: = 180 + + (i=1,2, , 358) Lấy khoảng chia sai số d là 0,20", sắp xếp dãy sai số này theo dấu và độ lớn; thống kê số lượng vi sai số xuất hiện trong mỗi khoảng, tần suất (ở đây n = 358) của sự kiện “sai số xuất hiện trong khoảng j”, kết quả ghi trong bảng 1-1. Bảng 1-1 có giá trị âm có giá trị dương Khoảng S/l T/s Sl T/s Ghi chú sai số " vj vj 0,000,20 45 0,126 0,630 46 0,128 0,640 d =0,20"; 0,200,40 40 0,112 0,560 41 0,115 0,575 Sai số có 0,400,60 33 0,092 0,460 33 0,092 0,460 giá trị bằng 0,600,80 23 0,064 0,320 21 0,059 0,295 giá trị bên 0,801,00 17 0,047 0,235 16 0,045 0,225 trái khoảng 1,001,20 13 0,036 0,180 13 0,036 0,180 chia được 1,201,40 6 0,017 0,085 5 0,014 0,070 tính vào 1,401,60 4 0,011 0,055 2 0,006 0,030 khoảng chia >1,60 0 0 0 0 0 0 đó Tổng 181 0,505 177 0,495 GV: Thái Văn Hòa 7
  8. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Từ bảng 1-1 có thể thấy, tình trạng phân bố sai số có các tính chất sau đây: - Trị tuyệt đối của sai số có một giá trị giới hạn nhất định; - Sai số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhiều hơn sai số có giá trị tuyệt đối lớn; - Số lượng các sai số âm, dương có giá trị tuyệt đối bằng nhau xấp xỉ như nhau. Hình 1-1 Hình 1-2 GV: Thái Văn Hòa 8
  9. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Đường cong phân bố xác suất sai số, hoặc đường cong phân bố sai số. Hình 1-3 Quy luật của sai số ngẫu nhiên: 1. Trong đ/kiện đo nhất định, giá trị tuyệt đối của sai số có một giới hạn nhất định, nói cách khác, sai số vượt quá một giới hạn nhất định, xác suất xuất hiện của nó bằng không; 2. Xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đối nhỏ lớn hơn xác suất xuất hiện sai số có trị tuyệt đố lớn; 3. Xác suất xuất hiện sai số âm, dương có trị tuyệt đối bằng nhau là như nhau; 4. Theo (1-3) có thể biết, kỳ vọng toán của sai số ngẫu nhiên bằng không, tức = = = 0 (1-4) Hoặc, trị trung bình lý thuyết của sai số ngẫu nhiên bằng không. GV: Thái Văn Hòa 9
  10. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Mật độ xác suất của là: = (1-5) Trong đó:  là sai số trung phương (trong toán thống kê thường gọi  là độ lệch chuẩn, trong trắc địa gọi là sai số trung phương và thường ký hiệu là m). Trong công thức trên, sau khi đã xác định , thì có thể vẽ đường cong phân bố sai số tương ứng. Vì E( )=0, nên đường cong nhận trục tung có hoành độ bằng 0 làm trục đối xứng. Khi  khác nhau, vị trí của đường cong không thay đổi, nhưng hình dạng của đường cong phân bố có thay đổi. Từ những nghiên cứu trên đây cho thấy, sai số ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố N(0, 2). ĐƯỜNG CONG PHÂN BỐ CHUẨN GV: Thái Văn Hòa 10
  11. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.2. Tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác Xét hai ví dụ trên: Hình 1-1 Hình 1-2 1.2.1. Phương sai và sai số trung phương Hàm mật độ xác suất của sai số là 1 = 2 Từ định nghĩa của phương sai, ta biết = = = Do  chính là sai số trung phương σ = (1-6) GV: Thái Văn Hòa 11
  12. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Dựa vào định nghĩa của tích phân có thể viết = = = lim → = lim → Thực tế, số lượng trị đo n luôn là hữu hạn, từ số lượng hữu hạn của sai số thực của các trị đo chỉ có thể tìm được giá trị ước lượng của phương sai và sai số trung phương. = (1-7) = ± Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung bình ta có công thức: [] = 1 Trong đó + + + (1-8) = = GV: Thái Văn Hòa 12
  13. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Tính sai số trung phương một lần đo theo trị trung bình ta có công thức: [] = 1 Trong đó + + + (1-8) = = 1.2.2. Các loại sai số khác a, Sai số trung bình Trong điều kiện đo nhất định, kỳ vọng toán của trị tuyệt đối của một dãy sai số ngẫu nhiên độc lập gọi là sai số trung bình. Giả thiết  biểu thị sai số trung bình, ta có = Δ = Hoặc viết dưới dạng: = lim → Tức sai số trung bình là giá trị giới hạn của trị trung bình của trị tuyệt đối của một dãy các sai số ngẫu nhiên độc lập. GV: Thái Văn Hòa 13
  14. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Vì số lượng n các trị đo luôn là hữu hạn, do đó trên thực tế cũng chỉ có thể dùng trị ước lượng của  để đánh giá độ chính xác, ký hiệu , nhưng vẫn gọi đơn giản là sai số trung bình, thì [||] = (1-9) Nếu tính theo trị trung bình ta có [||] = (1-10) với = Công thức quan hệ lý thuyết giữa sai số trung bình và sai số trung phương. = ; = (1-11) b, Sai số xác suất Xác suất sai số ngẫu nhiên xuất hiện trong khoảng (a,b) là < ≤ = ∫ Sai số xác suất được định nghĩa là xác suất sai số xuất hiện trong khoảng (- ,+ ) bằng 1/2, tức 1 = 2 Cách tìm sai số xác suất gần đúng: sắp xếp giá trị tuyệt đối độ lệch từ nhỏ tới lớn sau đó lấy giá trị  nằm giữa chuỗi ( = ). Quan hệ giữa sai số xác suất và sai số trung phương. ≈ ; ≈ (1-12) GV: Thái Văn Hòa 14
  15. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 c, Sai số giới hạn Sai số trung phương không đại biểu cho độ lớn bé của sai số cá biệt, mà đại biểu cho độ phân tán của phân bố sai số. Dựa vào bảng phân bố chuẩn tra được, trong một dãy lớn các sai số của các trị đo cùng độ chính xác, xác suất sai số xuất hiện trong khoảng (-, +), (-2, +2) và (-3, +3) phân biệt là: < < + ≈ 68,3% 2 < < +2 ≈ 95,5% (1-13) 3 < < +3 ≈ 99,7% Do đó, thường lấy 3 lần sai số trung phương làm sai số giới hạn gh của sai số ngẫu nhiên và gọi là sai số giới hạn, tức gh = 3 (1-14) Trong thực tiễn cũng lấy 2 làm sai số giới hạn, lấy trị ước lượng của sai số trung phương thay cho , tức lấy 2 hoặc 3 làm sai số giới hạn. Đồng thời, (1-14) cũng phản ánh quan hệ xác suất giữa sai số trung phương và sai số thực. Trong trắc địa, nếu một sai số nào đó vượt quá sai số giới hạn thì xem là sai lầm, trị đo tương ứng cần loại bỏ không dùng. GV: Thái Văn Hòa 15
  16. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 d, Sai số tương đối Đối với một số kết quả đo, có khi nếu chỉ dựa vào sai số trung phương thì vẫn chưa thể hoàn toàn kết luận được kết quả đo tốt hay không. Sai số trung phương tương đối là một tỷ số không đơn vị, trong trắc địa thường biến đổi để tử số bằng 1, tức 1/N. Đối với sai số thực và sai số giới hạn, có khi cũng dùng sai số tương đối để biểu thị. Ví dụ, khi đo đường chuyền kinh vĩ, quy phạm quy định sai số khép tương đối không được vượt quá 1/2.000, đó là sai số giới hạn tương đối; còn trong thực tế đo sinh ra sai số khép tương đối, đó là sai số thực tương đối. Sai số thực, sai số trung phương, sai số giới hạn đều gọi là sai số tuyệt đối. 1.3. Luật truyền hiệp phương sai 1.3.1. Phương sai Giả thiết có trị đo X và Y, định nghĩa hiệp phương sai của chúng là = (1-15) = (1-16) Trong thực tế, n luôn là hữu hạn, do đó cũng chỉ có thể tìm được trị ước lượng của nó, ký hiệu là = (1-17) GV: Thái Văn Hòa 16
  17. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Nếu = 0 biểu thị sai số giữa hai trị đo (hoặc hai dãy trị đo) không ảnh hưởng lẫn nhau, hoặc nói cách khác, sai số của chúng là không tương quan và gọi các trị đo này là các trị đo không tương quan; Nếu ≠ 0, biểu thị sai số của chúng là tương quan, gọi các trị đo này là các trị đo tương quan. Vì trong trắc địa các trị đo và sai số của các trị đo đều là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn, mà đối với biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, “không tương quan” và “độc lập” là tương đương, do đó các trị đo không tương quan cũng gọi là các trị đo độc lập, tương tự, các trị đo tương quan cũng gọi là các trị đo không độc lập. Giả thiết có n trị đo tương quan không cùng độ chính xác Xi (i=1,2, ,n), kỳ vọng toán và phương sai của chúng là và , hiệp phương sai giữa chúng là (i ≠ j), dùng ma trận để biểu thị là: = ; = = = GV: Thái Văn Hòa 17
  18. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Xét hai dãy trị đo , và ,, kỳ vọng toán của chúng phân biệt là và . Ký hiệu = thì ma trận hiệp phương sai của Z là = trong đó DXX và DYY phân biệt là ma trận hiệp phương sai của X và của Y. DXY là ma trận hiệp phương sai tương hỗ của vector trị đo X liên quan đến Y. Khi số chiều của X và Y là n = r = 1 (tức X, Y đều là một trị đo), ma trận hiệp phương sai tương hỗ chính là hiệp phương sai của X liên quan đến Y. = (1-18) = = (1-19) Nếu DXY = 0, thì gọi X và Y là các vector trị đo độc lập với nhau. GV: Thái Văn Hòa 18
  19. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.3.2. Phương sai của hàm tuyến tính các trị đo Giả thiết có trị đo ,, kỳ vọng toán là , ma trận hiệp phương sai là . Giả thiết hàm số tuyến tính của X là = + (1-20) trong đó = Tìm phương sai DZZ của Z. Trước tiên, tìm kỳ vọng của (1-20), ta được = + = + Theo định nghĩa của phương sai, ta biết, phương sai của Z là = = Do đó: = = (1-21) Khi các phần tử Xi (i=1, 2, , n) trong vector độc lập với nhau, hiệp phương sai = 0, biểu thức trên có dạng: = = + + + (1-22) Thường gọi các biểu thức (1-21), (1-22) là luật truyền hiệp phương sai. GV: Thái Văn Hòa 19
  20. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ [1-3] Giả thiết X là hàm của các trị đo độc lập L1, L2, L3 2 4 = + + 7 7 7 Biết sai số trung phương của L1, L2, L3 là 1=±3mm, 2=±2mm, 3=±1mm. Tính sai số trung phương của X. Giải: Vì L1, L2, L3 là các trị đo độc lập, theo (1-32) ta có 1 2 4 = + + 7 7 7 1 4 16 = 9 + 4 + 1 = 0,84 () 49 49 49 = ±0,9 1.3.3. Ma trận hiệp phương sai của nhiều hàm tuyến tính của các trị đo Giả thiết có trị đo ,, kỳ vọng toán và ma trận hiệp phương sai DXX như (1-28), có t hàm số tuyến tính của X: = + + + + = + + + + (1-23) = + + + + Tìm phương sai của Z1, Z2, , Zt và hiệp phương sai giữa chúng. GV: Thái Văn Hòa 20
  21. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ký hiệu = ; = ; , = ; = thì (1-23) có thể viết , = ,, + , (1-24) Cần tìm ma trận hiệp phương sai DZZ của Z. Kỳ vọng toán của Z là = + = + Do đó, ma trận hiệp phương sai của Z là = ,, (1-25) 1.3.4. Trường hợp hàm số phi tuyến tính Giả thiết có hàm số phi tuyến tính của trị đo , Z=f(X) (1-26) Hoặc viết dưới dạng Z=f(X1, X2, , Xn) (1-27) Biết ma trận hiệp phương sai DXX của . Tìm phương sai DZZ của Z? Giới thiệu 2 cách tính phổ biến hiện nay xử lý hàm phi tuyến tính: - Khai triển theo chuỗi Taylor - Vi phân toàn phần. GV: Thái Văn Hòa 21
  22. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Khai triển theo chuỗi Taylor: Giả thiết trị đo X có trị gần đúng là , , = thì có thể khai triển Taylor hàm (1-27) tại điểm ,: = , , , + + (1-28) + + + á ố ạ ậ 2 ở ê = + + + (1-29) + , , , Ký hiệu = = = , , , thì = + Do đó phương sai DZZ của Z là: = = GV: Thái Văn Hòa 22
  23. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Vi phân toàn phần Nếu ký hiệu = = 1,2, , = = = , , , thì (1-28) được viết thành = + + + = . Dễ thấy, biểu thức trên đây là vi phân toàn phần của hàm phi tuyến tính (1-27). Khi ứng dụng luật truyền hiệp phương sai, chỉ cần biết ma trận hệ số K trong biểu thức. Do đó, để tính phương sai của hàm phi tuyến tính, chỉ cần tìm vi phân toàn phần của nó là được. Nếu có t hàm số phi tuyến tính Z1=f1(X1, X2, , Xn) Z2=f2(X1, X2, , Xn) Zt=ft(X1, X2, , Xn) Lấy vi phân toàn phần t hàm số = + + + = + + + = + + + GV: Thái Văn Hòa 23
  24. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Tương tự ký hiệu ma trận hệ số K, ẩn số X ta được = . Ma trận hiệp phương sai của = 1.4. Ứng dụng luật truyền hiệp phương sai trong trắc địa 1.4.1. Độ chính xác trị trung bình cộng của các trị đo độc lập cùng độ chính xác Giả thiết đo N lần độc lập, cùng độ chính xác một đại lượng, được các trị đo L1, L2, , LN, sai số trung phương đều bằng . Trị trung bình cộng x của N trị đo là = = + + + Phương sai của trị trung bình cộng x là 1 1 1 = + + + = Hoặc sai số trung phương của trị trung bình cộng x là = (1-30) GV: Thái Văn Hòa 24
  25. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.4.2. Ảnh hưởng tổng hợp của một số sai số độc lập Trong trắc địa thường gặp trường hợp: một kết quả đo đồng thời chịu ảnh hưởng tổng hợp của nhiều sai số độc lập. Ví dụ ảnh hưởng sai số ngắm chuẩn, sai số đọc số, sai số lệch mục tiêu và sai số lệch máy đối với đo góc. Trong trường hợp này, sai số thực của kết quả là tổng đại số của các sai số độc lập, tức = + + + Ở đây sai số thực độc lập với nhau, sự xuất hiện của các sai số đều là ngẫu nhiên, do đó có thể từ (1-32) và để ý đến ij=0 sẽ có được biểu thức quan hệ phương sai giữa chúng = + + + Tức phương sai của kết quả đo bằng tổng phương sai của các sai số độc lập đối ứng. 1.5. Trọng số, phương pháp thường dùng xác định trọng số 1.5.1. Khái niệm trọng số Giả thiết có các trị đo Li (i = 1, 2, , n), phương sai của chúng là ( = 1,2, , ), nếu chọn một hằng số bất kỳ 0, thì định nghĩa: = (1-31) Là trọng số của trị đo Li Tính chất của trọng số: - Đối với một dãy các trị đo, tỷ số trọng số của chúng bằng tỷ số của nghịch đảo phương sai tương ứng. - Phương sai có thể là phương sai của trị đo của cùng một đại lượng, cũng có thể là phương sai của trị đo không cùng một đại lượng. - 0 là hằng số tuỳ ý chọn. GV: Thái Văn Hòa 25
  26. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 P1 4 Ví dụ: 1 Lưới thuỷ chuẩn như hình 1-8, 2 P3 A đã biết chiều dài của các tuyến là 5 S = 1,5 km; S = 2,5 km; 1 2 3 P2 S3 = 2,0 km; S4 = 4,0 km; Hình 1-8 S5 = 3,0 km. Trong lưới thuỷ chuẩn này, nếu chúng ta không biết cụ thể trị số của sai số trung phương của chênh cao đo được trên tuyến 1 km, mà chỉ biết độ chính xác của chênh cao đo được trên tuyến 1 km là như nhau. Lúc đó, giả định sai số trung phương của chênh cao trên mỗi km là km. Sai số trung phương của chênh cao đo được trên các tuyến là: Nếu chọn: thì được: Nếu chọn: thì được: Nhóm trọng số này mặc dù 0 có trị số khác, độ lớn bé cũng khác với nhóm trước, nhưng chúng cũng phản ánh độ chính xác của các chênh cao như nhóm trước. GV: Thái Văn Hòa 26
  27. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Nhận xét: Chọn một giá trị 0, tức có một nhóm trọng số tương ứng. Một nhóm trọng số của các trị đo, độ lớn bé của chúng khác nhau tuỳ thuộc sự khác nhau của 0, nhưng 0 được chọn với bất kỳ giá trị nào, quan hệ tỷ lệ giữa các trọng số vẫn không thay đổi. Để trọng số có tác dụng so sánh độ chính xác cao thấp, trong một bài toán chỉ có thể chọn một giá trị 0, không thể chọn nhiều giá trị 0, nếu không sẽ phá vỡ quan hệ tỷ lệ giữa các trọng số. Chỉ cần cho trước những điều kiện nhất định. 1.5.2. Sai số trung phương trọng số đơn vị Sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương có trọng số bằng 1. Do đó, thường gọi 0 là sai số trung phương trọng số đơn vị, còn gọi là phương sai trọng số đơn vị, trị đo có trọng số bằng 1 gọi là trị đo trọng số đơn vị. Khi xác định một nhóm trọng số của các trị đo của cùng một loại đại lượng, đơn vị của sai số trung phương trọng số đơn vị 0 được chọn thường giống như đơn vị của sai số trung phương của các trị đo. Vì trọng số là tỷ số của bình phương sai số trung phương trọng số đơn vị và bình phương sai số trung phương của trị đo, do đó trọng số thường là một số không đơn vị. GV: Thái Văn Hòa 27
  28. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.5.3. Phương pháp thường dùng để xác định trọng số trong trắc địa 2 P P2 a, Trọng số của đo thuỷ chuẩn 1 6 Giả thiết trong lưới thuỷ 3 1 5 P4 Chuẩn như hình 1-9 có n (=7) tuyến đo chênh cao giữa hai A 7 4 điểm trên mỗi tuyến, chênh cao P3 đo được trên các tuyến là Hình 1-9 h1, h2, , hn, số trạm máy trên các tuyến phân biệt là N1, N2, , Nn. Giả thiết độ chính xác đo chênh cao trên mỗi trạm máy là như nhau, sai số trung phương đều là tr, sai số trung phương của chênh cao đo trên các tuyến là: = (i = 1, 2, , n) Nếu pi là trọng số của hi và giả thiết sai số trung phương trọng số đơn vị là = Được = (i = 1, 2, , n) (1-32) và có quan hệ Tức khi chênh cao đo trên các trạm máy là cùng độ chính xác thì trọng số của chênh cao đo trên các tuyến tỷ lệ nghịch với số trạm máy. GV: Thái Văn Hòa 28
  29. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Từ (1-32) có thể thấy, nếu số trạm máy trên tuyến Ni = 1 thì trọng số của nó pi = C Khi p = 1, có Ni = C Có thể thấy, hằng số C có 2 ý nghĩa: (1) C là hằng số của chênh cao đo của một trạm máy; (2) C là số trạm máy của chênh cao đo trọng số đơn vị. Ví dụ [1-8] Giả thiết trong lưới thuỷ chuẩn như Hình 1-9, đã biết số trạm máy trên các tuyến phân biệt là 40, 25, 50, 20, 40, 50, 25. Hãy xác định trọng số của chênh cao đo được trên các tuyến. Giải: Giả thiết lấy C = 100, theo (1-32), được GV: Thái Văn Hòa 29
  30. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Trong đo thủy chuẩn, nếu đã biết sai số trung phương của chênh cao đo được trên 1 km đều như nhau, bằng km và đã biết chiều dài của các tuyến là S1, S2, , Sn, sai số trung phương của chênh cao đo được trên các tuyến là = (i = 1, 2, , n) Nếu ký hiệu = Thì = (i = 1, 2, , n) (1-33) Tức khi chênh cao đo được trên mỗi km có độ chính xác như nhau, thì trọng số của chênh cao đo được trên các tuyến tỷ lệ nghịch với số km của các tuyến. Từ (1-77) có thể thấy, nếu Si = 1 thì pi = C; còn khi pi = 1, Si = C. Ở đây ý nghĩa của C: - C là trọng số của chênh cao đo được trên tuyến 1 km; - C là số km trên tuyến của chênh cao đo trọng số đơn vị. GV: Thái Văn Hòa 30
  31. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 b, Trọng số của trị trung bình cộng của các trị đo cùng độ chính xác Giả thiết L1, L2, , Ln là trị trung bình của N1, N2, , Nn lần đo cùng độ chính xác, nếu sai số trung phương của mỗi lần đo đều là ; sai số trung phương của Li là: = ; = → = = 1,2, , Tức trọng số của trị trung bình cộng tính được từ các lần đo cùng độ chính xác tỷ lệ thuận với số lần đo. Nếu lấy N = 1 thì = ; còn khi p = 1 thì C = N . i i i Do đó C cũng có hai ý nghĩa: - C là trọng số đảo của một lần đo; - C là số lần đo của trị đo trọng số đơn vị. 1.6. Sai số tính toán – Làm tròn số Thường trong trắc địa, kết quả đo và xử lý viết dưới dạng số thập phân. Tùy theo độ chính xác mà cắt bỏ những số thập phân cuối bằng cách làm tròn số. Thường sai số làm tròn giới hạn bằng 0,5 đơn vị của chữ số thập phân cuối cùng còn giữ lại. Nguyên tắc khi làm tròn số: - Nếu phần bỏ đi trong số thập phân nhỏ hơn 0,5 đơn vị của số cuối cùng cần giữ lại thì sau khi bỏ phần thừa chữ số đó giữ nguyễn. - Nếu phần bỏ đi trong số thập phân lớn hơn 0,5 đơn vị của số cuối cùng cần giữ lại thì sau khi bỏ phần thừa chữ số cuối cùng tang thêm 1 đơn vị. - Trong trường hợp phần bỏ đi bằng 0,5 đơn vị của chữ số cần giữ lại, thì sau khi bỏ phần thừa, thêm vào chữ số cuối cùng một đơn vị nếu số đó là số lẻ, còn giữ nguyên nếu nó là số chẵn. GV: Thái Văn Hòa 31
  32. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ: Làm tròn các số sau: 10,532; 10,545; 10,576; 10,555 đến 2 số lẻ. 10,53; 10,54; 10,58; 10,56 Ví dụ: Làm tròn các số sau: 10,532; 10,545; 10,576; 10,555 đến 2 số lẻ. 10,53; 10,54; 10,58; 10,56 GV: Thái Văn Hòa 32
  33. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.7. Lan truyền của sai số hệ thống 1.7.1. Sai số hệ thống của trị đo và phương sai của sai số tổng hợp a, Sai số hệ thống Giả thiết có trị đo Ln,1, trị thực của đại lượng đo là ,, thì sai số tổng hợp  của L có thể định nghĩa là Ω = Nếu trong , ngoài sai số ngẫu nhiên còn có sai số hệ thống , tức Ω = Δ + = Kỳ vọng toán của  là E() = E( ) +  =  0 Vì = Ω = = nên  cũng chính là giá trị sai lệnh kỳ vọng toán của trị đo L so với trị thực của đại lượng đo. Sai số hệ thống trong trị đo L càng nhỏ, tức  càng nhỏ, trị sai lệnh của kỳ vọng toán của L so với trị thực càng nhỏ, hoặc nói cách khác, L càng chuẩn xác. Do đó, có khi cũng gọi  = E() là độ chuẩn xác của L. GV: Thái Văn Hòa 33
  34. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 b, Phương sai của sai số tổng hợp Khi trong trị đo L vừa tồn tại sai số ngẫu nhiên , vừa tồn tại sai số hệ thống , thường dùng phương sai E(2) của sai số tổng hợp của trị đo để biểu trưng độ tin cậy của trị đo. Phương sai của sai số tổng hợp là = Ω = Δ + 2. Δ + = Ω = + (1-34) Khi sai số hệ thống  bằng 1/5, 1/3 sai số trung phương , thì L tương ứng = 1,02; = 1,05 Do đó, trên thực tế ứng dụng, khi phần sai số hệ thống nhỏ hơn hoặc bằng 1/3 phần sai số ngẫu nhiên thì ảnh hưởng của sai số hệ thống có thể bỏ qua không tính. 1.7.2. Lan truyền của sai số hệ thống Vì các trị đo có ảnh hưởng của sai số hệ thống nên hàm của các trị đo cũng có sai số hệ thống, gọi đó là lan truyền của sai số hệ thống. Giả thiết đã biết sai số hệ thống của trị đo Li là = Ω = Giả thiết có hàm tuyến tính = + + + + Từ đó dễ dàng viết biểu thức quan hệ giữa sai số tổng hợp của hàm Z và sai số tổng hợp i của các Li: Ω = Ω + Ω + + Ω GV: Thái Văn Hòa 34
  35. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Theo quy luật tính kỳ vọng toán, biết (Ω) = (Ω) + (Ω) + + (Ω) Do đó, được = Ω = (1-35) Đó là công thức lan truyền sai số hệ thống của hàm tuyến tính. Nếu hàm Z là phi tuyến tính: cũng có thể dùng quan hệ vi phân của chúng thay cho quan hệ sai số: Ký hiệu: Được: GV: Thái Văn Hòa 35
  36. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 1.7.3. Lan truyền liên hợp của sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên Khi trong các trị đo đồng thời có sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống, còn cần phải nghiên cứu ảnh hưởng liên hợp của chúng đối với hàm các trị đo. Ở đây chỉ thảo luận trường hợp các trị đo độc lập. Giả thiết có hàm số (1-36) trong đó L1, L2 là các trị đo độc lập, giả thiết sai số tổng hợp của chúng là trong đó 1, 2 và 1, 2 phân biệt là sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống bao hàm trong L1 và L2, và giả thiết phương sai do sai số ngẫu nhiên của L1, L2 là , . Từ (1-123) có thể viết quan hệ sai số Bình phương cả hai vế, được Lấy kỳ vọng toán, thì phương sai sai số tổng hợp của hàm Z là GV: Thái Văn Hòa 36
  37. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Để ý đến Được (1-37) Mở rộng kết quả trên đây đối với hàm số tuyến tính Quan hệ giữa sai số tổng hợp của chúng là Phương sai của sai số tổng hợp của Z là (1-38) Khi Z là hàm phi tuyến tính, có thể dùng quan hệ vi phân thay cho quan hệ sai số. Lúc đó, hệ số ki trong hai biểu thức trên là đạo hàm riêng . Khi k1 = k2 = = kn = 1, (1-38) có dạng (1-39) Trong nhiều tài liệu gọi đó là công thức tính sai số quân phương. GV: Thái Văn Hòa 37
  38. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ [1-15] Khi dùng thước thép để đo chiều dài, gồm n đoạn thước, giả thiết đã biết sai số trung phương đọc số và ngắm chuẩn của mỗi đoạn thước là , còn sai số kiểm nghiệm thước là . Hãy tính sai số trung phương tổng hợp của toàn bộ chiều dài. Giải: Tổng chiều dài đo là S = L1 + L2 + + Ln trong đó L1 = L2 = = Ln = L 1 = 2 = = n =  1 = 2 = = n =  Từ (1-38), sai số trung phương toàn bộ chiều dài là Vì cho nên GV: Thái Văn Hòa 38
  39. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH TOÁN BÌNH SAI VÀ NGUYÊN LÝ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU 2.1. Khái quát bình sai và mô hình toán trong bình sai trắc địa 2.1.1. Khái quát bình sai Trong trắc địa, thường là xác định các đại lượng hình học. Để xác định một mô hình hình học, không cần phải biết tất cả các yếu tố của mô hình mà chỉ cần biết một số yếu tố trong đó là được, các yếu tố khác có thể thông qua các yếu tố này để xác định. Dùng t để biểu thị số lượng các yếu tố cần thiết. Các yếu tố cần thiết, không chỉ cần xét số lượng mà còn cần xét chủng loại của chúng. C A B D A B C Hình 2-1 Hình 2-2 Từ đó có thể thấy, sau khi một mô hình hình học đã cho, có thể xác định duy nhất số lượng t và loại của các yếu tố cần thiết của mô hình đó, t chỉ liên quan đến mô hình hình học, không liên quan đến các đại lượng đo thực tế. GV: Thái Văn Hòa 39
  40. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ý nghĩa của t: - Đối với một mô hình hình học bất kỳ, giữa t yếu tố cần thiết của nó không được tồn tại quan hệ hàm số, tức một yếu tố bất kỳ trong đó không thể được biểu đạt thành hàm số của (t-1) yếu tố còn lại. - Trong một mô hình hình học, ngoài t đại lượng độc lập, nếu tăng thêm 1 đại lượng thì tất nhiên phải sinh ra một quan hệ hàm số tương ứng. Đặt r = n - t (2-1) Trong trắc địa số trị đo dư còn gọi là “độ tự do”. 2.1.2. Mô hình toán trong bình sai trắc địa a, Phương pháp bình sai điều kiện Phương pháp bình sai lấy các phương trình điều kiện làm mô hình hàm số gọi là phương pháp bình sai điều kiện. Lưới thuỷ chuẩn như hình 2-2, A là điểm thuỷ chuẩn đã biết độ cao, B, C, D đều là các điểm chưa biết. Vector trị thực của các đại lượng đo trong lưới là = Để xác định độ cao 3 điểm B, C, D, số trị đo cần thiết t = 3, số trị đo dư r = n - t = 3. Cần viết 3 phương trình điều kiện độc lập tuyến tính, có thể là: GV: Thái Văn Hòa 40
  41. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 = + = 0 = + = 0 = + = 0 Ký hiệu 1 1 1 0 0 0 = 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 Các phương trình điều kiện có dạng = 0 Tổng quát: Nếu có n trị đo Ln,1, t trị đo cần thiết thì cần lập r = n - t phương trình điều kiện, tức F = 0 (2-2) Nếu các phương trình điều kiện có dạng tuyến tính, có thể trực tiếp viết + = 0 (2-3) Thay = + Δ vào (2-3) và ký hiệu W=-(AL+A0) (2-4) thì (2-3) có dạng A - W =0 (2-5) (2-3) hoặc (2-5) là mô hình hàm số của bình sai điều kiện. Độ tự do của bình sai điều kiện là số trị đo dư r GV: Thái Văn Hòa 41
  42. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 b, Phương pháp bình sai gián tiếp Chọn trong mô hình hình học t đại lượng độc lập làm tham số bình sai, mỗi đại lượng đo biểu đạt thành hàm của các tham số đã chọn, thành lập n biểu thức quan hệ hàm số, lấy đó làm mô hình hàm số của bình sai, gọi là phương pháp bình sai gián tiếp, còn gọi là phương pháp bình sai tham số. Trong tam giác ABC C (Hình 2-3) đại lượng đo là 3 góc, = chọn góc ∠ và ∠ làm tham số bình sai A B giả thiết là và Hình 2-3 Tham số bình sai: = Phương trình trị bình sai: = = = + 180 Dạng ma trận: = + Trong đó: = ; = 1 0 0 = 0 1 ; = 0 1 1 180 GV: Thái Văn Hòa 42
  43. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Tổng quát: Nếu bài toán bình sai có n trị đo, t trị đo cần thiết, chọn t đại lượng độc lập làm tham số bình sai , mỗi đại lượng đo nhất định có thể được biểu đạt thành hàm của t tham số, tức có = () (2-6) Nếu các hàm đều là tuyến tính, dạng chung là = + (2-7) Thay = + Δ vào (2-7) và ký hiệu l=L-d (2-8) Ta được: Δ = (2-9) Để ý đến E( ) = 0, biểu thức trên được viết = (2-10) (2-7) hoặc (2-9) là mô hình hàm số của bình sai gián tiếp. Mặc dù phương pháp bình sai gián tiếp là chọn t tham số độc lập, nhưng số trị đo dư không vì phương pháp bình sai khác nhau mà khác nhau, độ tự do vẫn là r=n-t. GV: Thái Văn Hòa 43
  44. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 c, Phương pháp bình sai điều kiện kèm tham số Trong bài toán bình sai, số lượng các trị đo là n, số trị đo cần thiết là t, có thể lập r = n - t phương trình điều kiện. Bây giờ giả thiết tăng thêm u đại lượng độc lập làm tham số, 0 < u < t, mỗi một tham số tăng thêm cần phải tăng thêm một phương trình điều kiện. Lấy các phương trình điều kiện có chứa tham số làm mô hình hàm số của bình sai, gọi là phương pháp bình sai điều kiện kèm tham số. Ví dụ, tam giác ABC trong hình 2-3, các đại lượng đo là 3 góc, = , chọn góc ∠ làm tham số bình sai , lúc đó, r = n - t = 3 – 2 = 1, có 1 phương trình điều kiện, vì tăng thêm 1 tham số, nên phải tăng thêm 1 phương trình điều kiện nữa. Viết phương trình điều kiện như sau + + 180 = 0 = 0 Ký hiệu 1 1 1 0 180 = ; = ; = 1 0 0 1 0 Biểu thức trên có thể viết + + = 0 Nói chung, trong một bài toán bình sai, số lượng trị đo là n, số trị đo cần thiết là t, số trị đo dư r = n – t, lại tăng thêm u tham số độc lập, 0 < u < t, thì tổng số phương trình điều kiện cần thành lập là c = r + u, dạng chung là , = 0 (2-10) GV: Thái Văn Hòa 44
  45. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Nếu các phương trình điều kiện là tuyến tính, thì có dạng ,, + ,, + = 0 (2-11) Thay = + Δ vào biểu thức trên và ký hiệu W=-(AL+A0) (2-12) ta được ,Δ, + ,, = 0 (2-13) (2-11) hoặc (2-13) là mô hình hàm số của phương pháp bình sai điều kiện kèm ẩn số. Bài toán bình sai này, vì đã chọn u tham số độc lập cho nên tổng số phương trình từ r đã tăng lên đến c = r + u. Độ tự do của bình sai là r = c – u. d, Phương pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện Nếu tiến hành bình sai gián tiếp, cần chọn t đại lượng độc lập làm tham số bình sai, thành lập n phương trình trị đo theo quan hệ hàm số giữa mỗi một trị đo và các tham số đã chọn. Nếu trong bài toán bình sai, không chọn t tham số mà chọn u > t tham số, trong đó bao gồm t tham số độc lập, thì s = u – t tham số đã chọn thêm là hàm của t tham số độc lập, tức giữa u tham số tồn tại s quan hệ hàm số, chúng là các quan hệ cần phải thoả mãn dùng để ràng buộc các tham số. Do đó, khi tiến hành bình sai gián tiếp chọn u > t tham số, ngoài n phương trình trị đo, còn phải tăng thêm s phương trình điều kiện ràng buộc các tham số, gọi phương pháp bình sai này là phương pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện (tức có điều kiện hạn chế). GV: Thái Văn Hòa 45
  46. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Các phương trinh trong bình sai gián tiếp kèm điều kiện: = Φ = 0 Mô hình hàm số dạng tuyến tính là: Δ = . (2-14) = 0 Độ tự do của bài toán bình sai này là r = n – (u-s) d, Phương pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện Nếu tiến hành bình sai gián tiếp, cần chọn t đại lượng độc lập làm tham số bình sai, thành lập n phương trình trị đo theo quan hệ hàm số giữa mỗi một trị đo và các tham số đã chọn. Nếu trong bài toán bình sai, không chọn t tham số mà chọn u > t tham số, trong đó bao gồm t tham số độc lập, thì s = u – t tham số đã chọn thêm là hàm của t tham số độc lập, tức giữa u tham số tồn tại s quan hệ hàm số, chúng là các quan hệ cần phải thoả mãn dùng để ràng buộc các tham số. Do đó, khi tiến hành bình sai gián tiếp chọn u > t tham số, ngoài n phương trình trị đo, còn phải tăng thêm s phương trình điều kiện ràng buộc các tham số, gọi phương pháp bình sai này là phương pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện (tức có điều kiện hạn chế). GV: Thái Văn Hòa 46
  47. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Các phương trinh trong bình sai gián tiếp kèm điều kiện: = Φ = 0 Mô hình hàm số dạng tuyến tính là: Δ = . (2-14) = 0 Độ tự do của bài toán bình sai này là r = n – (u-s) e, Mô hình ngẫu nhiên của bình sai Đối với 4 phương pháp bình sai cơ bản trên, số liệu cơ bản nhất đều là vector trị đo ,, khi tiến hành bình sai, ngoài việc thành lập mô hình hàm số, còn phải đồng thời xét đến mô hình ngẫu nhiên, tức ma trận hiệp phương sai của vector trị đo: = = (2-15) Mô hình hàm số của các phương pháp bình sai nói trên cùng với mô hình ngẫu nhiên (2-15) gọi là mô hình toán học của phương pháp bình sai. GV: Thái Văn Hòa 47
  48. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 2.2. Nguyên lý bình phương nhỏ nhất 2.2.1. Ước lượng tham số và tính chất tối ưu của nó Trong thống kê toán học, ước lượng có tính chất tối ưu chủ yếu là yêu cầu ước lượng có tính không chệch, tính nhất trí và tính hiệu quả. Đơn giản như sau: (1) Tính không chệch Giả thiết là ước lượng của tham số , nếu kỳ vọng toán của ước lượng bằng tham số  thì gọi là ước lượng không chệch của , tức = (2-16) (2) Tính nhất trí Ước lượng thoả mãn biểu thức xác suất lim < < + = 1 (2-17) → là ước lượng nhất trí của , trong đó n là số lượng trị đo,  là số dương nhỏ tuỳ ý. (3) Tính hữu hiệu Giả thiết là ước lượng không chệch của , ước lượng có tính không chệch không phải là duy nhất. Nếu hai ước lượng không chệch và , có < (2-18) thì gọi hữu hiệu hơn . Trong đó ước lượng có phương sai nhỏ nhất, tức = , thì ước lượng là ước lượng hữu hiệu nhất của , gọi là ước lượng tối ưu. GV: Thái Văn Hòa 48
  49. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 2.2.2. Nguyên lý bình phương nhỏ nhất Trong thực tiễn sản xuất, thường gặp bài toán dùng các số liệu đo để ước lượng một số tham số chưa biết. Ví dụ, một chất điểm chuyển động đều, vị trí ở thời điểm  là , có thể dùng hàm tuyến tính sau đây để mô tả: trong đó là vị trí ban đầu của chất điểm tại thời điểm  = 0, là tốc độ trung bình, chúng là tham số chưa biết cần phải ước lượng. Nhưng thực tế khi đo, trị đo không phải là mà là , là sai số đo. Do đó có (i = 1, 2, ,n) (2-19) Ký hiệu thì (2-19) có dạng (2-20) Đây là mô hình hàm số của bình sai gián tiếp. GV: Thái Văn Hòa 49
  50. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Theo yêu cầu của nguyên lý bình phương nhỏ nhất thì đường ước lượng phù hợp “tốt nhất” đối với các điểm đo là tổng bình phương các độ lệch từ các điểm đo đến đường đó là nhỏ nhất. Hình 2-4 Giả thiết trị ước lượng của trị đo yi là , vi là số hiệu chỉnh của trị đo yi, là trị ước lượng của i, thì từ có thể viết: (i = 1, 2, , n) Nguyên lý bình phương nhỏ nhất là tìm trị ước lượng và của và phải thoả mãn điều kiện: (2-21) Ký hiệu biểu thức trên có thể viết (2-22) Ước lượng thỏa mãn (2-52) gọi là ước lượng bình phương nhỏ nhất của . Qua chứng minh trên đây có thể thấy, bài toán ước lượng tham số chỉ cần có quan hệ tuyến tính (2-19) thì bất luận các trị đo tuân theo phân bố thống kê nào cũng đều có thể tiến hành ước lượng tham số theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Do đó phương pháp ước lượng này được ứng dụng rộng rãi trong thực tế. GV: Thái Văn Hòa 50
  51. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Công thức tổng quát: (2-23) Đó là nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Ma trận P trong nguyên lý bình phương nhỏ nhất gọi là ma trận trọng số, được định nghĩa là . Giả thiết L1, L2, , Ln là các trị đo độc lập, trọng số của chúng là P1, P2, , Pn, ta có (i = 1, 2, , n) Trong đó: Nếu L1, L2, , Ln là các trị đo tương quan, ta có Đặc biệt, khi các trị đo cùng độ chính xác, P = I, nguyên lý bình phương nhỏ nhất là VTV = min (2-24) GV: Thái Văn Hòa 51
  52. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ [2-1] Đo n lần cùng độ chính xác một đại lượng, được . Hãy ước lượng đại lượng đó theo nguyên lý bình phương nhỏ nhất. Giải: Giả thiết trị ước lượng của đại lượng đó là , ta có Theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất thì phải thoả mãn VTV = min. Lấy đạo hàm bậc nhất VTV đối với và cho bằng không, được Thay vào, ta được Từ đó, ta có GV: Thái Văn Hòa 52
  53. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 CHƯƠNG 3: BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN 3.1. Nguyên lý bình sai điều kiện Mô hình toán của bình sai điều kiện = 0 (3-1) Mô hình ngẫu nhiên = = (3-2) Số phương trình điều kiện: r = n – t Trong đó: n là tổng số các trị đo, t là số trị đo cần thiết. Thay số hiệu chỉnh , (trị ước lượng) của trong (3-1), phương trình điều kiện là = 0 (3-3) V tìm được phải thoả mãn VTPV = min. Trị bình sai: = + (3-4) 3.1.1. Phương trình cơ sở Giả thiết có r phương trình điều kiện tuyến tính các trị bsai: + + + + = 0 (3-5) + + + + = 0 + + + + = 0 Trong đó: ai, bi, , ri (i = 1, 2, , n) là hệ số phương trình điều kiện. a0, b0, , r0 là số hạng hằng số của phương trình điều kiện. Thay = + vào (3-5), được các phương trình điều kiện + + + = 0 + + + = 0 (3-6) + + + = 0 GV: Thái Văn Hòa 53
  54. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Trong đó: wa, wb, , wr gọi là sai số khép của phương trình điều kiện ( + + + + ) = + + + + = (3-7) + + + + = Ký hiệu = ; = ; = ; = ; = (3-6) được viết: = 0 (3-8) (3-5) được viết: + = 0 (3-9) (3-7) được viết: = + (3-10) Tìm cực trị của hàm theo phương pháp hệ số nhân Lagrange, giả thiết hệ số nhân = , là vector số liên hệ. Lập hàm số: Φ = 2 Lấy đạo hàm bậc nhất của  đối với V và cho bằng không: Φ = 2 2 = 0 Chuyển vị hai vế, được: = Tính số hiệu chỉnh: = = (3-11) * Cách giải phương trình cơ sở Thay (3-11) vào (3-8), được: A = 0 Ký hiệu: = A = A (3-12) ta có: = 0 Số liên hệ K: = (3-13) GV: Thái Văn Hòa 54
  55. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Khi P là ma trận đường chéo, (3-11) và (3-13) có dạng + + + = 0 (3-14) + + + = 0 + + + = 0 (3-15) = + + + Sau khi giải được số liên hệ K từ phương trình chuẩn, thay K vào phương trình số hiệu chỉnh (3-11), được số hiệu chỉnh V, sau đó tính trị bình sai: = + 3.1.2. Các bước tính toán bình sai điều kiện - Dựa vào trường hợp cụ thể của bài toán bình sai điều kiện, lập phương trình điều kiện (3-8), số phương trình điều kiện bằng số trị đo dư r, các phương trình điều kiện phải độc lập với nhau. - Dựa vào hệ số của phương trình điều kiện, sai số khép và trọng số của các trị đo để lập phương trình chuẩn (3-13), số phương trình chuẩn bằng số trị đo dư r. - Giải phương trình chuẩn, tính số liên hệ K. - Thay K vào phương trình số hiệu chỉnh (3-11), tính V và tính trị bình sai = + - Để kiểm tra tính chính xác của tính toán bình sai, thường dùng trị bình sai lập lại phương trình điều kiện trị bình sai (3-9) để xem có thoả mãn hay không. GV: Thái Văn Hòa 55
  56. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ [3-1] C Giả thiết đo cùng độ chính xác 3 góc trong của tam giác (H3-1), được các trị đo: A B Hình 3-1 Tính trị bình sai 3 góc theo phương pháp BSĐK. Giải: Điều kiện trị bình sai: Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh Dùng ma trận để biểu thị, ta có Vì các trị đo cùng độ chính xác nên giả thiết trọng số của chúng p1= p2 = p3 =1. Hệ số phương trình chuẩn là Phương trình chuẩn là Giải được ka = -3, thay vào tính số hiệu chỉnh, có Từ đó, trị bình sai của các góc là Để kiểm tra, lập phương trình điều kiện trị bình sai, được 420 12′ 17″ + 780 09′ 06″ + 590 38′ 37″ - 1800 = 0 Trị bình sai của các góc thoả mãn điều kiện hình học: tổng 3 góc trong của hình tam giác bằng 1800, sai số khép bằng 0, tính toán không sai. GV: Thái Văn Hòa 56
  57. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 3.2. Phương trình điều kiện 3.2.1. Lưới thuỷ chuẩn - Điều kiện khép tuyến thuỷ chuẩn: Tổng chênh cao theo một vòng khép kín bằng 0. - Điều kiện giữa hai điểm gốc: Dẫn độ cao từ điểm gốc này đến điểm gốc khác phải được độ cao bằng độ cao của điểm gốc đó. Ví dụ: Lưới H3-3, số phương trình điều kiện r = 6 - 2 = 4. Lưới H3-4, số phương trình điều kiện r = 6 - 3 = 3. D A B A D E F C B C Hình 3-3 Hình 3-4 3.2.2. Lưới đo góc - Phương trình điều kiện hình: Trong hình đa giác khép kín gồm n cạnh, khi đo tất cả các góc thì tổng các góc sau bình sai phải bằng trị lý thuyết của nó (n-2)*1800. - Phương trình điều kiện vòng: Tại điểm trung tâm nếu đo tất cả các góc thì tổng trị bình sai của chúng bằng 3600. - Phương trình điều kiện cực: Xuất phát từ một cạnh bất kỳ dùng trị bình sai các góc tính chuyền về cạnh đó phải nhận được giá trị ban đầu của nó. Lưới hình 3-5, trong đó A, B là B điểm đã biết toạ độ, C và D là điểm cần xác định toạ độ. Đo 9 D góc ai, bi, ci (i = 1, 2, 3). Có n = 9, t = 4, r = 9 - 4 = 5. A C Cần phải thành lập 5 phương trình điều kiện. Hình 3-5 GV: Thái Văn Hòa 57
  58. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Phương trình điều kiện hình: + + 180 = 0 (i = 1, 2, 3) Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh của chúng là + + = 0 (i = 1, 2, 3) Phương trình điều kiện vòng: + + 360 = 0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là + + = 0 (3-16) Phương trình điều kiện cực: = hoặc = 1 Đó là phương trình điều kiện cực có dạng phi tuyến tính. Khai triển Taylor, giữ lại đến số hạng bậc nhất, được phương trình điều kiện cực dạng tuyến tính. Sau khi đơn giản hoá, có . + . + . . . . + 1 " = 0 (3-17) Đó là dạng tuyến tính của phương trình điều kiện cực (3-16). GV: Thái Văn Hòa 58
  59. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Ví dụ: Lưới đo góc như hình 3-6, 9 B trị đo cùng độ chính xác là 0 0 a1 = 30 52′ 39″,2 a2 = 33 40′ 54″,8 0 0 D a3 = 23 45′ 12″,5 b1 = 42 16′ 41″,2 0 0 b2 = 20 58′ 26″,4 b3 = 28 26′ 27″,9 0 0 c1 = 106 50′ 40″,6 c2 = 125 20′37″,2 A C 0 Hình 3-6 c3 = 127 48′ 39″,0 Hãy viết các phương trình điều kiện? Giải: Số phương trình điều kiện là r = n - t = 9-4=5. Trong đó có 3 phương trình điều kiện hình, 1 phương trình điều kiện vòng và 1 phương trình điều kiện cực: = 1 Dạng tuyến tính của nó là . + . + . . . . + 1 " = 0 Thay trị đo vào, được 1,672. + 1,500. + 2,272. 1,100. 2,609. 1,846. 70,033 = 0 GV: Thái Văn Hòa 59
  60. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN PHÙ HỢP THEO PP ĐIỀU KIỆN Số lượng phương trình điều kiện: 3  Điều kiện phương vị: đầ + á + 1 180 ố = 0  Điều kiện toạ độ: ố đầ = 0 ố đầ = 0 BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN PHÙ HỢP THEO PP ĐIỀU KIỆN Phương trình số hiệu chỉnh: + = 0 ố + = 0 " + ố + = 0 " = đầ + á + 1 180 ố = ố đầ = 0 = ố đầ = 0 Trọng số của trị đo:  Đo góc: = ; chọn = = 1  Đo cạnh: = ; = + . . () GV: Thái Văn Hòa 60
  61. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN THEO PP ĐIỀU KIỆN (T.T) Ma trận hệ phương trình số hiệu chỉnh B: Ma trận trọng số P và sai số khép W: BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN THEO PP ĐIỀU KIỆN Lập hệ phương trình chuẩn: Giải hệ phương trình chuẩn: Tính số hiệu chỉnh: Tính SSTP trọng số đơn vị sau bình sai: Tính trị bình sai: Tính toạ độ sau bình sai: Đánh giá độ chính xác trị bình sai: GV: Thái Văn Hòa 61
  62. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN THEO PP ĐIỀU KIỆN Trường hợp bình sai sơ bộ về góc: Phương trình số hiệu chỉnh: Tính trị bình sai: BÌNH SAI ĐƯỜNG CHUYỀN THEO PP ĐIỀU KIỆN Để giảm ảnh hưởng ss tính toán, ta dùng hệ toạ độ trọng tâm: Toạ độ các điểm trong hệ toạ độ trọng tâm: Phương trình số hiệu chỉnh: GV: Thái Văn Hòa 62
  63. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 3.3. Đánh giá độ chính xác 3.3.1. Phương sai trọng số đơn vị = (3-18) Ma trận phương sai của vector trị bình sai = (3-19) VTPV trong (3-18) có thể được tính trực tiếp từ vector V đã tính được và ma trận P đã biết hoặc cũng có thể tính theo công thức dẫn ra sau đây. (3-20) = (3-21) = 3.3.2. Ma trận hiệp trọng số đảo Trong bình sai điều kiện, các vector cơ bản là L, W, K, V, . Sau tính toán bình sai, chúng đều có thể biểu đạt thành hàm của vector ngẫu nhiên L. Bảng 3-1: Hiệp trọng số đảo của các đại lượng trong bình sai điều kiện L W K V L Q W I AQ 0 K I 0 V 0 0 0 0 GV: Thái Văn Hòa 63
  64. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 3.3.3. Trọng số đảo của các trị bình sai Khi hàm của các trị bình sai là tuyến tính, thường có thể biểu thị dưới dạng = + + + (3-22) Khi hàm của các trị bình sai là phi tuyến tính, lấy vi phân toàn phần, Giả thiết hàm các trị bình sai là = , , , = + + + = + + + Công thức tính trọng số đảo của hàm các trị bình sai = Trong đó: = (3-23) Phương sai của hàm các trị bình sai: = Ví dụ bình sai điều kiện lưới thuỷ chuẩn h1 Bình sai điều kiện và tìm: A P1 (1) Độ cao bình sai của các điểm h6 h5 cần xác định; h P (2) Sai số trung phương trị bình sai 2 h3 3 chênh cao giữa hai điểm P và P 1 2 P2 h7 Bảng: Trị đo và số liệu gốc h4 B Chênh cao Chiều dài Độ cao Tuyến Hình 4-12 đo (m) tuyến đo (km) gốc (m) 1 +1,359 1,1 HA = 5,016 2 +2,009 1,7 HB = 6,016 3 +0,363 2,3 4 +1,012 2,7 5 +0,657 2,4 6 +0,238 1,4 7 -0,595 2,6 GV: Thái Văn Hòa 64
  65. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Giải: 1-Lập các phương trình điều kiện và hàm các trị bình sai. Số phương trình điều kiện r = n – t = 7 – 3 = 4 (1) 4 phương trình điều kiện là v1 – v2 + v5 + 7 = 0 v3 – v4 + v5 + 8 = 0 v3 + v6 + v7 + 6 = 0 v2 – v4 – 3 = 0 (2) Hàm trị bình sai: = Do đó = 0 0 0 0 1 0 0 2 - Định trọng số và lập hệ phương trình chuẩn Lấy C = 1 1 = ; = = Ma trận hệ số phương trình điều kiện là GV: Thái Văn Hòa 65
  66. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Từ đó hệ phương trình chuẩn là 3 - Giải hệ phương trình chuẩn 4 - Tính số hiệu chỉnh (mm) 5 - Tính trị bình sai và thay vào các phương trình điều kiện để kiểm tra (m) Qua kiểm tra, thoả mãn tất cả các phương trình điều kiện. 6 - Tính độ cao bình sai của các điểm P1, P2 và P3 7 - Tính sai số trung phương trọng số đơn vị 8 - Tính sai số trung phương trị bình sai chênh cao giữa hai điểm P1 và P2 GV: Thái Văn Hòa 66
  67. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Bài tập: Chương 3 2 3 4 Cho lưới đo góc như hình vẽ: 5 Giá trị các góc đo: 1: 57 00 57,0 2: 27 22 57,6 1 6 8 7 3: 59 35 57,7 4: 36 00 05,7 5: 46 29 49,3 6: 37 54 10,8 7: 18 00 15,8 8: 77 35 46,3 Hãy bình sai điều kiện, tính góc bình sai? CHƯƠNG 4: BÌNH SAI GIÁN TIẾP 4.1. Nguyên lý bình sai gián tiếp Mô hình hàm số bình sai gián tiếp = (4-1) Mô hình ngẫu nhiên của bình sai gián tiếp = = (4-2) Dùng trị ước lượng của tham số và trị ước lượng V của thay vào, thì (4-1) được viết thành = (4-3) Áp dụng nguyên lý bình phương nhỏ nhất VTPV=min tìm được nghiệm duy nhất của và V. GV: Thái Văn Hòa 67
  68. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 4.1.1. Phương trình cơ sở của bình sai gián tiếp và cách giải Dựa vào bài toán bình sai cụ thể, có thể lập n phương trình trị bình sai: + = + + + + (4-4) Ký hiệu Dạng ma trận của các phương trình trị bình sai là + = + (4-5) Ký hiệu = + = + (4-6) Từ đó, phương trình số hiệu chỉnh (số cải chính) là = (4-7) Theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất: (4-8) GV: Thái Văn Hòa 68
  69. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Giải phương trình cơ sở: Thay (4-7) vào (4-8) để khử V, được = 0 (4-9) Đặt: = ; = (4-9) trở thành = 0 (4-10) Giải phương trình chuẩn, được = (4-11) Thay vào phương trình sai số (4-7), tính được số hiệu chỉnh V, từ đó, kết quả bình sai là = + = + (4-12) 4.1.2. Các bước tính trong bình sai gián tiếp - Dựa vào tính chất của bài toán bình sai, chọn t đại lượng độc lập làm tham số; - Biểu đạt mỗi một trị bình sai của đại lượng đo thành hàm của các tham số đã cho, nếu là hàm phi tuyến tính thì tiến hành tuyến tính hoá, lập phương trình sai số (4-7); - Từ hệ số B của phương trình sai số và số hạng tự do l, lập phương trình chuẩn (4-10), số lượng phương trình chuẩn bằng số lượng tham số t; - Giải phương trình chuẩn, tính tham số (số hiệu chỉnh của trị gần đúng của tham số), tính trị bình sai của tham số = + ; - Tính V từ phương trình sai số, tính trị bình sai của đại lượng đo = + . GV: Thái Văn Hòa 69
  70. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 4.2. PHƯƠNG TRÌNH SỐ HIỆU CHỈNH (CẢI CHÍNH) 1. Xác định số lượng ẩn số và chọn ẩn số - Lưới độ cao: + Số lượng ẩn số bằng số trị đo cần thiết t. + Ẩn số là độ cao các điểm cần xác định. - Lưới mặt bằng: + Số lượng ẩn số bằng số trị đo cần thiết t. + Ẩn số là tọa độ các điểm cần xác định. 2. Viết phương trình số hiệu chỉnh Lưới độ cao = (4-13) Trong đó: B h = = A i : ê đ đượ : ê ầ đú í ừ độ ầ đú Lưới mặt bằng - Phương trình số hiệu chỉnh góc phương vị: = + (4-14) Trong đó: = k : à ươ ị đ đượ : à ươ ị í ừ ọ độ ầ đú j GV: Thái Văn Hòa 70
  71. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 - Phương trình số hiệu chỉnh góc bằng: = + + + (4-15) Trong đó: = = h " " = = bi " " j = = k : ó ằ đ đượ : ó ằ ầ đú í ừ ươ ị ầ đú - Phương trình số hiệu chỉnh chiều dài cạnh đo: = + + (4-16) Trong đó: k Si = ; = j = : Giá trị chiều dài đo được ∶ á ị ề à í ừ ọ độ ầ đú GV: Thái Văn Hòa 71
  72. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 3. Lập hàm cần đánh giá độ chính xác Tương tự như viết phương trình số hiệu chỉnh, nhưng không cần tính số hạng tự do. - Hàm đánh giá độ chính xác phương vị cạnh = + (4-17) - Hàm đánh giá độ chính xác chiều dài cạnh = + + (4-18) 4. Lập và giải hệ phương trình chuẩn Đặt B = ; = Hệ phương trình chuẩn: = 0 (4-19) T T Đặt: Nbb = B PB ; W = B Pl Hệ phương trình chuẩn: = 0 (4-20) GV: Thái Văn Hòa 72
  73. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 Nghiệm hệ phương trình chuẩn = (4-21) Ma trận số hiệu chỉnh = (4-22) 5. Trị bình sai - Trị đo sau bình sai: = + (4-23) - Ẩn số sau bình sai: = + (4-24) 6. Đánh giá độ chính xác sau bình sai - Sai số trung phương trọng số đơn vị = (4-25) - Sai số trung phương của các ẩn số = (4-26) - Sai số trung phương của hàm = = = (4-27) GV: Thái Văn Hòa 73
  74. Xử lý số liệu trắc địa 03/2014 VÍ DỤ BÌNH SAI GIÁN TIẾP KẾT THÚC MÔN HỌC CHÚC CÁC BẠN HỌC TẬP TỐT GV: Thái Văn Hòa 74