Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 5 (Hệ thanh - Phần 2/3: Các ma trận phần tử) - Nguyễn Xuân Thành

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 5 (Hệ thanh - Phần 2/3: Các ma trận phần tử) - Nguyễn Xuân Thành

1. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng BÀI GIẢNG 5 (hệ thanh - phần 2/3 các ma trận phần tử) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 09 tháng 9 năm 2013
2. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng NỘI DUNG CHÍNH 1 Véc-tơ lực nút tương đương Khi tải trọng phân bố đều Khi tải trọng có dạng lực tập trung 2 Ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Cách xác định Phương trình cân bằng của phần tử
3. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng NỘI DUNG CHÍNH 1 Véc-tơ lực nút tương đương Khi tải trọng phân bố đều Khi tải trọng có dạng lực tập trung 2 Ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Cách xác định Phương trình cân bằng của phần tử
4. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng phân bố đều Xét phần tử thanh chịu kéo/nén và uốn đồng thời, hai đầu nút cứng, chịu tải trọng phân bố đều và 푅2 푅5 푅 푅 푅 3 , , 6 푅 1 ∙ ∙ 4 푖 푗 퐿 Véc-tơ lực nút tương đương (xem lại Bài giảng 3): ∫︁ R = N p Ω Ω
5. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng phân bố đều [︂ ]︂ Triển khai cụ thể với p = và: [︂ ( ) 0 0 ( ) 0 0 ]︂ N = 1 4 0 2( ) 3( ) 0 5( ) 6( ) trong đó: ( ) = 1 − ( ) = 1 퐿 4 퐿 2 3 2 3 ( ) = 1 − 3 + 2 ( ) = − 2 + 2 퐿2 퐿3 3 퐿 퐿2 2 3 2 3 ( ) = 3 − 2 ( ) = − + 5 퐿2 퐿3 6 퐿 퐿2
6. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng phân bố đều Có kết quả sau [︂ 퐿 퐿 퐿2 퐿 퐿 퐿2 ]︂ R = − 2 2 12 2 2 12 Các trường hợp phần tử loại khác Tiến hành tương tự trên.
7. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Xét phần tử thanh chịu kéo/nén và uốn đồng thời, hai đầu nút cứng, chịu tải trọng tập trung , 푃 và , tương ứng cách đầu trái của phần tử một đoạn bằng 휂퐿, 휉퐿, và 훾퐿 푅2 푃 푅5 푅 푅 푅 3 , , 6 푅 1 ∙ ∙ 4 푖 푗 휉퐿 휂퐿 훾퐿 퐿
8. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Tải trọng tập trung có thể được coi là một dạng đặc biệt của tải trọng phân bố, cụ thể như sau: Tải trọng tại tọa độ = 휂퐿 có thể được coi là tải trọng phân bố ( ) với quy luật: ( ) = 훿( − 휂퐿) Tải trọng 푃 tại tọa độ = 휉퐿 có thể được coi là tải trọng phân bố ( ) với quy luật: ( ) = 푃 훿( − 휉퐿) Tải trọng tại tọa độ = 훾퐿 có thể được coi là giá trị giới hạn của cộng tác dụng của hai tải trọng tập trung có giá trị là −푃 đặt tại = 훾퐿 và 푃 đặt tại = 훾퐿 + Δ khi Δ → 0, trong đó 푃 = Δ
9. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Nhắc lại kiến thức toán Trong các công thức trên thì 훿(∙) là Dirac delta Tính chất của Dirac delta 퐿 ∫︁ ( )훿( − ) = ( ) 0 Phép toán giới hạn ( + Δ ) − ( ) lim = ′( ) Δ →0 Δ
10. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Triển khai cụ thể, ta có thành phần thứ 1 của véc-tơ lực nút tương đương như sau: 퐿 ∫︁ 푅1 = 1( ) ( ) 0 퐿 ∫︁ = 1( ) 훿( − 휂퐿) 0 퐿 ∫︁ = 1( )훿( − 휂퐿) 0 = 1(휂퐿)
11. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Triển khai cụ thể, ta có thành phần thứ 2 của véc-tơ lực nút tương đương như sau: 퐿 ∫︁ 푅2 = 2( ) 푃 훿( − 휉퐿) 0 ⎧ 퐿 ⎨ ∫︁ + lim 2( ) 훿 [ − (훾퐿 + Δ )] Δ →0 ⎩Δ 0 퐿 ⎫ ∫︁ ⎬ − 2( ) 훿( − 훾퐿) Δ ⎭ 0 [︂ ]︂ 2(훾퐿 + Δ ) − 2(훾퐿) = 2(휉퐿)푃 + lim Δ →0 Δ ′ = 2(휉퐿)푃 + 2(훾퐿)
12. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung Tương tự, ta có các thành phần khác ′ 푅3 = 푃 3(휉퐿) + 3(훾퐿) 푅4 = 4(휂퐿) ′ 푅5 = 푃 5(휉퐿) + 5(훾퐿) ′ 푅6 = 푃 6(휉퐿) + 6(훾퐿) Khi các tải tập trung tại giữa phần tử 휉 = 휂 = 훾 = 1/2: 1 (퐿/2) = (퐿/2) = (퐿/2) = (퐿/2) = 1 2 4 5 2 퐿 (퐿/2) = − (퐿/2) = 3 6 8 3 ′ (퐿/2) = − ′ (퐿/2) = − 2 5 2퐿 1 ′ (퐿/2) = ′ (퐿/2) = − 3 6 4
13. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Khi tải trọng có dạng lực tập trung ⎡ ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 푃 3 ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ 2 2퐿 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 푃 퐿 ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ 8 4 ⎥ Như vậy, nếu 휉 = 휂 = 훾 = 1/2 thì: R = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 푃 3 ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2퐿 ⎥ ⎣ 푃 퐿 ⎦ − − 8 4 Các trường hợp phần tử khác Thực hiện theo cách tương tự trên
14. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng NỘI DUNG CHÍNH 1 Véc-tơ lực nút tương đương Khi tải trọng phân bố đều Khi tải trọng có dạng lực tập trung 2 Ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Cách xác định Phương trình cân bằng của phần tử
15. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học 푞2 푞5 푞3 푞6 푞1 , , , 휌 푞4 푖 푗 퐿 Gọi 풯 là động năng của hệ và định nghĩa Lagrangian của hệ ℒ như sau ℒ = 풯 − Π trong đó Π là thế năng tổng cộng của hệ
16. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Nguyên lý Hamilton Trong mọi cách chuyển động mà thỏa mãn các điều kiện biên động học của hệ tại mọi thời điểm và bắt đầu cũng như kết thúc với các giá trị chuyển vị thực, tại hai thời điểm 푡1 và 푡2 bất kỳ tại mọi điểm của hệ, thì trạng thái chuyển động thực sự từ thời điểm 푡1 đến thời điểm 푡2 của hệ là trạng thái mà làm cho phiếm hàm đạt cực trị: ⎛ 푡 ⎞ 푡 ∫︁ 2 ∫︁ 2 ⎝ = ℒ 푡⎠ → cực trị hay 훿 = 훿 ℒ 푡 = 0 푡1 푡1
17. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Phương trình Lagrange Xuất phát với Nguyên lý Hamilton, có thể biến đổi về phương trình Lagrange. Gọi 푅푖 là các lực khái quát ứng với các tọa độ khái quát 푞푖 Động năng 풯 của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ (thể hiện thông qua các tọa độ khái quát 푞푖) và trạng thái vận tốc của hệ (thể hiện thông qua đạo hàm theo thời gian 푞˙푖 của các tọa độ khái quát): 풯 = 풯 (푞1, 푞2, . . . , 푞 , 푞˙1, 푞˙2, , 푞˙ , 푡) Thế năng biến dạng 푈 của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ: 푈 = 푈(푞1, 푞2, . . . , 푞 , 푡) Thế năng của các lực khái quát: = − (푅1푞1 + 푅2푞2 + ··· + 푅 푞 )
18. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Phương trình Lagrange Từ các phương trình trên và biểu thức của Nguyên lý Hamilton, giao hoán thứ tự phép tích phân và phép lấy biến phân, ta có: 푡2 ∫︁ (︂ 휕풯 휕풯 휕풯 휕풯 훿푞1 + 훿푞2 + ··· + 훿푞 + 훿푞˙1 휕푞1 휕푞2 휕푞 휕푞˙1 푡1 휕풯 휕풯 휕푈 휕푈 + 훿푞˙2 + ··· + 훿푞˙ − 훿푞1 − 훿푞2 − · · · 휕푞˙2 휕푞˙ 휕푞1 휕푞2 휕푈 )︂ − 훿푞 + 푅1훿푞1 + 푅2훿푞2 + ··· + 푅 훿푞 푡 = 0 휕푞 Tích phân từng phần của số hạng sau 푡2 푡2 ∫︁ 휕풯 [︂휕풯 ]︂푡2 ∫︁ (︂휕풯 )︂ 훿푞˙ 푡 = 훿푞 − 훿푞 푡 휕푞˙ 푖 휕푞˙ 푖 푡 휕푞˙ 푖 푖 푖 푡1 푖 푡1 푡1
19. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Phương trình Lagrange Số hạng đầu tiên của biểu thức tích phân từng phần có giá trị bằng 0 vì 훿푞푖(푡1) = 훿푞푖(푡2) = 0 là điều kiện cơ bản ngay khi phát biểu nguyên lý Hamilton. Do đó: 푡2 (︃ )︃ ∫︁ ∑︁ [︂ (︂휕풯 )︂ 휕풯 휕푈 ]︂ − + − + 푅 훿푞 푡 = 0 푡 휕푞˙ 휕푞 휕푞 푖 푖 푖=1 푖 푖 푖 푡1 Do biểu thức này phải đúng với mọi 훿푞푖 và mọi 푡1 ≤ 푡2, nên: (︂휕풯 )︂ 휕풯 휕푈 − + = 푅푖 푡 휕푞˙푖 휕푞푖 휕푞푖
20. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Cách xác định Động năng của phần tử 1 ∫︁ 풯 = u˙ u˙ 휌 Ω 2 Ω trong đó 휌 là khối lượng riêng của vật liệu, và u˙ là véc-tơ vận tốc. Do u = Nq, nên u˙ = Nq˙ . Khi đó: ⎛ ⎞ 1 ∫︁ 풯 = q˙ 휌N N Ω q˙ 2 ⎝ ⎠ Ω ⏟ ⏞ M Ma trận M được gọi là ma trận khối lượng.
21. Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng Phương trình cân bằng của phần tử Kết hợp với biểu thức của thế năng biến dạng 푈 = (︀q Kq)︀ /2, từ các phương trình Lagrange ta có Phương trình chuyển động không cản của phần tử: Mq¨ + Kq = R trong đó M là ma trận khối lượng của phần tử. Nhận xét: Khi hệ chuyển động với gia tốc nhỏ, số hạng Mq¨ không đáng kể, có thể bỏ qua, ta lại có phương trình quen thuộc trong bài toán tĩnh Kq = R