Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 3: Cơ sở của phương pháp - Nguyễn Xuân Thành

127 trang ngocly 2980

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 3: Cơ sở của phương pháp - Nguyễn Xuân Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_phuong_phap_phan_tu_huu_han_bai_3_co_so_cua_phuong.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 3: Cơ sở của phương pháp - Nguyễn Xuân Thành

Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân BÀI GIẢNG 3 (cơ sở của phương pháp - phần 2/2) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 22 tháng 8 năm 2013
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thuật ngữ thường gặp Phương trình vi phân chi phối hệ Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị) Trường xấp xỉ Điều kiện tương thích Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ) Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ) Bậc tự do Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu Trạng thái khả dĩ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị ∫︁ Công thực 푊 = 푃 0 Số gia của công thực Δ푊 : Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 = 푃 훿 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 = 훿푃 훿 2 Thành phần biến phân bậc cao + 훿 hơn hai (훿2 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Định nghĩa Công khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của công thực Công thức tính Nếu ngoại lực là các lực tập trung 푃푖, với 푖 = 1, 2, . . . , 푛, thì 훿푊 = P 훿u trong đó: [︀ ]︀ P = 푃1 푃2 ··· 푃푛 [︀ ]︀ 훿u = 훿 1 훿 2 ··· 훿 푛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Công thức tính [︀ ]︀ Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀ ]︀ hoặc lực phân bố bề mặt t = 푡 푡 푡 , thì ∫︁ ∫︁ 훿푊 = f 훿u Ω + t 훿u 푆 Ω 푆 trong đó: [︀ ]︀ 훿u = 훿 훿 훿 Trường hợp bài toán phẳng thì: [︀ ]︀ [︀ ]︀ [︀ ]︀ f = t = 푡 푡 훿u = 훿 훿
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công khả dĩ Công thức tính [︀ ]︀ Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀ ]︀ hoặc lực phân bố bề mặt t = 푡 푡 푡 , thì ∫︁ ∫︁ 훿푊 = f 훿u Ω + t 훿u 푆 Ω 푆 trong đó: [︀ ]︀ 훿u = 훿 훿 훿 Trường hợp bài toán phẳng thì: [︀ ]︀ [︀ ]︀ [︀ ]︀ f = t = 푡 푡 훿u = 훿 훿
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Quan hệ giữa lực và chuyển vị 푃 ∫︁ 푃 Công bù thực 푊 * = 푃 0 Số gia của công bù thực Δ푊 *: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푊 * = 훿푃 Thành phần biến phân bậc hai 1 훿2푊 * = 훿 훿푃 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2푃 )
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Định nghĩa Công bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của công bù thực Công thức tính Nếu ngoại lực là các lực tập trung 푃푖, với 푖 = 1, 2, . . . , 푛, thì 훿푊 * = u 훿P trong đó: [︀ ]︀ u = 1 2 ··· 푛 [︀ ]︀ 훿P = 훿푃1 훿푃2 ··· 훿푃푛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Công thức tính [︀ ]︀ Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀ ]︀ hoặc lực phân bố bề mặt t = 푡 푡 푡 , thì ∫︁ ∫︁ 훿푊 * = u 훿f Ω + u 훿t 푆 Ω 푆 trong đó: [︀ ]︀ 훿t = 훿푡 훿푡 훿푡 Trường hợp bài toán phẳng thì: [︀ ]︀ [︀ ]︀ [︀ ]︀ 훿f = 훿 훿 훿t = 훿푡 훿푡 훿u = 훿 훿
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Công bù khả dĩ Công thức tính [︀ ]︀ Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀ ]︀ hoặc lực phân bố bề mặt t = 푡 푡 푡 , thì ∫︁ ∫︁ 훿푊 * = u 훿f Ω + u 훿t 푆 Ω 푆 trong đó: [︀ ]︀ 훿t = 훿푡 훿푡 훿푡 Trường hợp bài toán phẳng thì: [︀ ]︀ [︀ ]︀ [︀ ]︀ 훿f = 훿 훿 훿t = 훿푡 훿푡 훿u = 훿 훿
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng 휎 ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε 0 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ푈0: Thành phần biến phân bậc nhất 훿푈0 = 휎 훿ε Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 = 훿휎 훿ε 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2ε)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng khả dĩ Định nghĩa Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng thực. Năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ∫︁ 훿푈 = 훿푈0 Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng khả dĩ Định nghĩa Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng thực. Năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ∫︁ 훿푈 = 훿푈0 Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng khả dĩ Công thức tính Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ: 훿푈0 = 휎 훿ε [︀ ]︀ trong đó: 휎 = 휎 휎 휎 휎 휎 휎 và [︀ ]︀ 훿ε = 훿휀 훿휀 훿휀 훿훾 훿훾 훿훾 Năng lượng biến dạng khả dĩ: ∫︁ ∫︁ 훿푈 = 훿푈0 Ω = 휎 훿ε Ω Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng khả dĩ Công thức tính Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ: 훿푈0 = 휎 훿ε [︀ ]︀ trong đó: 휎 = 휎 휎 휎 휎 휎 휎 và [︀ ]︀ 훿ε = 훿휀 훿휀 훿휀 훿훾 훿훾 훿훾 Năng lượng biến dạng khả dĩ: ∫︁ ∫︁ 훿푈 = 훿푈0 Ω = 휎 훿ε Ω Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Thế năng biến dạng bù khả dĩ Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố Mật độ năng lượng biến dạng bù 휎 휎 ∫︁ * 푈0 = ε 휎 0 Số gia của mật độ năng lượng * biến dạng bù Δ푈0 : Thành phần biến phân bậc * nhất 훿푈0 = ε 훿휎 Thành phần biến phân bậc hai 1 휀 훿2푈 * = 훿ε 훿휎 0 2 Thành phần biến phân bậc cao hơn hai (훿2휎)
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng bù khả dĩ Định nghĩa Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù thực. Năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ∫︁ * * 훿푈 = 훿푈0 Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng bù khả dĩ Định nghĩa Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù thực. Năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ∫︁ * * 훿푈 = 훿푈0 Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng bù khả dĩ Công thức tính Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ: * 훿푈0 = ε 훿휎 [︀ ]︀ trong đó: ε = 휀 휀 휀 훾 훾 훾 và [︀ ]︀ 훿휎 = 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 Năng lượng biến dạng bù khả dĩ: ∫︁ ∫︁ * * 훿푈 = 훿푈0 Ω = ε 훿휎 Ω Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Năng lượng biến dạng bù khả dĩ Công thức tính Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ: * 훿푈0 = ε 훿휎 [︀ ]︀ trong đó: ε = 휀 휀 휀 훾 훾 훾 và [︀ ]︀ 훿휎 = 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 훿휎 Năng lượng biến dạng bù khả dĩ: ∫︁ ∫︁ * * 훿푈 = 훿푈0 Ω = ε 훿휎 Ω Ω Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 훿u thỏa mãn các điều kiện tương thích. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 훿u thỏa mãn các điều kiện tương thích. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 훿u thỏa mãn các điều kiện tương thích. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 훿u thỏa mãn các điều kiện tương thích. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 훿u thỏa mãn các điều kiện tương thích. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 = 훿푈 Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ P 훿u + f 훿u Ω + t 훿u 푆 = 휎 훿ε Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường ứng suất 휎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 = 훿푈 Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ P 훿u + f 훿u Ω + t 훿u 푆 = 휎 훿ε Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường ứng suất 휎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 = 훿푈 Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ P 훿u + f 훿u Ω + t 훿u 푆 = 휎 훿ε Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường ứng suất 휎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 = 훿푈 Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ P 훿u + f 훿u Ω + t 훿u 푆 = 휎 훿ε Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường ứng suất 휎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 훿P, 훿f, 훿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 훿P, 훿f, 훿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 훿P, 훿f, 훿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 훿P, 훿f, 훿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Phát biểu Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho: Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 훿P, 훿f, 훿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 * = 훿푈 * Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ u 훿P + u 훿f Ω + u 훿t 푆 = ε 훿휎 Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 * = 훿푈 * Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ u 훿P + u 훿f Ω + u 훿t 푆 = ε 훿휎 Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 * = 훿푈 * Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ u 훿P + u 훿f Ω + u 훿t 푆 = ε 훿휎 Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý công bù khả dĩ Công thức của nguyên lý Công thức chung: 훿푊 * = 훿푈 * Triển khai cụ thể: ∫︁ ∫︁ ∫︁ u 훿P + u 훿f Ω + u 훿t 푆 = ε 훿휎 Ω Ω 푆 Ω Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực. Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Gọi là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có = −푃 , do đó: 훿 = −푃 훿 = −훿푊 Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 훿푊 = 훿푈, ta có: 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Gọi là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có = −푃 , do đó: 훿 = −푃 훿 = −훿푊 Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 훿푊 = 훿푈, ta có: 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Gọi là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có = −푃 , do đó: 훿 = −푃 훿 = −훿푊 Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 훿푊 = 훿푈, ta có: 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Gọi là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có = −푃 , do đó: 훿 = −푃 훿 = −훿푊 Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 훿푊 = 훿푈, ta có: 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Gọi là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có = −푃 , do đó: 훿 = −푃 훿 = −훿푊 Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 훿푊 = 훿푈, ta có: 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng Gọi * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so * * * với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng bù tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có * = − 푃 , do đó: 훿 * = − 훿푃 = −훿푊 * Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 훿푊 * = 훿푈 *, ta có: * * * * * 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 * * Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng Gọi * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so * * * với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng bù tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có * = − 푃 , do đó: 훿 * = − 훿푃 = −훿푊 * Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 훿푊 * = 훿푈 *, ta có: * * * * * 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 * * Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng Gọi * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so * * * với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng bù tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có * = − 푃 , do đó: 훿 * = − 훿푃 = −훿푊 * Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 훿푊 * = 훿푈 *, ta có: * * * * * 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 * * Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng Gọi * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so * * * với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng bù tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có * = − 푃 , do đó: 훿 * = − 훿푃 = −훿푊 * Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 훿푊 * = 훿푈 *, ta có: * * * * * 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 * * Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng Gọi * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so * * * với trạng thái đầu; Π = 푈 + là thế năng bù tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có * = − 푃 , do đó: 훿 * = − 훿푃 = −훿푊 * Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 훿푊 * = 훿푈 *, ta có: * * * * * 훿푈 + 훿 = 훿(푈 + ) = 훿Π = 0 * * Như vậy 훿Π = 0 hay Π đạt giá trị dừng. Phát biểu Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân NỘI DUNG CHÍNH 1 Các khái niệm về "khả dĩ" Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ 2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng 3 Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Giới thiệu Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố) Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể PDE khó giải nên Lược sử Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm của trường này đạt cực trị. Sử dụng thế năng tổng cộng Π làm phiếm hàm Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị , 푣 và 푤 tại một phân tố tại tọa độ ( , , ) được biểu diễn gần đúng như sau: 푙 푛 ∑︁ ∑︁ ∑︁ = 푖 푖, 푣 = 푖 푖, 푤 = 푖 푖 푖=1 푖=푙+1 푖= +1 trong đó 푖 = 푖( , , ) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm của trường này đạt cực trị. Sử dụng thế năng tổng cộng Π làm phiếm hàm Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị , 푣 và 푤 tại một phân tố tại tọa độ ( , , ) được biểu diễn gần đúng như sau: 푙 푛 ∑︁ ∑︁ ∑︁ = 푖 푖, 푣 = 푖 푖, 푤 = 푖 푖 푖=1 푖=푙+1 푖= +1 trong đó 푖 = 푖( , , ) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm của trường này đạt cực trị. Sử dụng thế năng tổng cộng Π làm phiếm hàm Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị , 푣 và 푤 tại một phân tố tại tọa độ ( , , ) được biểu diễn gần đúng như sau: 푙 푛 ∑︁ ∑︁ ∑︁ = 푖 푖, 푣 = 푖 푖, 푤 = 푖 푖 푖=1 푖=푙+1 푖= +1 trong đó 푖 = 푖( , , ) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Như vậy, các chuyển vị thực của hệ , 푣 và 푤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 푖. Các 푖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π đạt giá trị dừng. Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 푈. Cùng với thế năng của ngoại lực được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π = 푈 + = Π ( 푖) Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 푖 tìm được từ phương trình: 휕Π = 0 với 푖 = 1, 2, . . . , 푛 휕 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Như vậy, các chuyển vị thực của hệ , 푣 và 푤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 푖. Các 푖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π đạt giá trị dừng. Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 푈. Cùng với thế năng của ngoại lực được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π = 푈 + = Π ( 푖) Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 푖 tìm được từ phương trình: 휕Π = 0 với 푖 = 1, 2, . . . , 푛 휕 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Như vậy, các chuyển vị thực của hệ , 푣 và 푤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 푖. Các 푖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π đạt giá trị dừng. Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 푈. Cùng với thế năng của ngoại lực được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π = 푈 + = Π ( 푖) Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 푖 tìm được từ phương trình: 휕Π = 0 với 푖 = 1, 2, . . . , 푛 휕 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Như vậy, các chuyển vị thực của hệ , 푣 và 푤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 푖. Các 푖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π đạt giá trị dừng. Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 푈. Cùng với thế năng của ngoại lực được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π = 푈 + = Π ( 푖) Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 푖 tìm được từ phương trình: 휕Π = 0 với 푖 = 1, 2, . . . , 푛 휕 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Nội dung phương pháp Như vậy, các chuyển vị thực của hệ , 푣 và 푤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 푖. Các 푖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π đạt giá trị dừng. Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 푈. Cùng với thế năng của ngoại lực được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π = 푈 + = Π ( 푖) Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 푖 tìm được từ phương trình: 휕Π = 0 với 푖 = 1, 2, . . . , 푛 휕 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển vị tại các nút q푖 của phần tử. Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 푖 được biểu diễn từ các chuyển vị tại nút q푖 u = Nq푖 trong đó N là ma trận các hàm dạng. Biến dạng của phân tố: ε = ∇u = Bq푖 trong đó B = ∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển vị tại các nút q푖 của phần tử. Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 푖 được biểu diễn từ các chuyển vị tại nút q푖 u = Nq푖 trong đó N là ma trận các hàm dạng. Biến dạng của phân tố: ε = ∇u = Bq푖 trong đó B = ∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển vị tại các nút q푖 của phần tử. Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 푖 được biểu diễn từ các chuyển vị tại nút q푖 u = Nq푖 trong đó N là ma trận các hàm dạng. Biến dạng của phân tố: ε = ∇u = Bq푖 trong đó B = ∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 0 phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*): 1 1 푈 = 휎 ε = ε Eε 0 2 2 Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 휎0 thì: 휎 = E(ε − ε0) + 휎0 Dẫn đến: ∫︁ ∫︁ (︂1 )︂ 푈 = 푈 Ω = ε Eε − ε Eε + ε 휎 Ω 0 2 0 0
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 0 phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*): 1 1 푈 = 휎 ε = ε Eε 0 2 2 Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 휎0 thì: 휎 = E(ε − ε0) + 휎0 Dẫn đến: ∫︁ ∫︁ (︂1 )︂ 푈 = 푈 Ω = ε Eε − ε Eε + ε 휎 Ω 0 2 0 0
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng ε ∫︁ 푈0 = 휎 ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 0 phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*): 1 1 푈 = 휎 ε = ε Eε 0 2 2 Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 휎0 thì: 휎 = E(ε − ε0) + 휎0 Dẫn đến: ∫︁ ∫︁ (︂1 )︂ 푈 = 푈 Ω = ε Eε − ε Eε + ε 휎 Ω 0 2 0 0
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên, ta có: ∫︁ (︂1 )︂ Π = ε Eε − ε Eε + ε 휎 Ω 2 0 0 ∫︁ ∫︁ − u f Ω − u t 푆 − q P Thay thế các u = Nq푖 và ε = Bq푖 ở trên vào, ta có: 1 Π = q K q − q R 2 푖 푖 푖 푖 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên, ta có: ∫︁ (︂1 )︂ Π = ε Eε − ε Eε + ε 휎 Ω 2 0 0 ∫︁ ∫︁ − u f Ω − u t 푆 − q P Thay thế các u = Nq푖 và ε = Bq푖 ở trên vào, ta có: 1 Π = q K q − q R 2 푖 푖 푖 푖 푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Trong công thức trên, K푖 và R푖 tương ứng là ma trận độ cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 푖. Cụ thể: ∫︁ K푖 = B EB Ω ∫︁ ∫︁ R푖 = B Eε0 Ω − B 휎0 Ω ∫︁ ∫︁ + N f Ω + N t 푆 + P Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng của phần tử 푖 cho ta công thức để xác định các bậc tự do khái quát của phần * tử (là các chuyển vị nút q푖 của phần tử ) sau: 휕Π = 0 hay K푖q푖 = R푖 휕q푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Triển khai cụ thể Trong công thức trên, K푖 và R푖 tương ứng là ma trận độ cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 푖. Cụ thể: ∫︁ K푖 = B EB Ω ∫︁ ∫︁ R푖 = B Eε0 Ω − B 휎0 Ω ∫︁ ∫︁ + N f Ω + N t 푆 + P Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng của phần tử 푖 cho ta công thức để xác định các bậc tự do khái quát của phần * tử (là các chuyển vị nút q푖 của phần tử ) sau: 휕Π = 0 hay K푖q푖 = R푖 휕q푖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Phát biểu Xét 1 thanh chịu lực dọc trục 푞 = như hình vẽ sau 푞 = , 퐿 Hãy: (a) xác định chuyển vị dọc trục tại điểm có tọa độ và tại đầu tự do theo phương pháp biến phân; và (b) nếu coi hệ trên chỉ có một phần tử, xác định ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút tương đương của phần tử đó.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Gọi ( ) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ . Thế năng tổng cộng của hệ là: 퐿 퐿 ∫︁ 1 ∫︁ Π = ,2 − 2 0 0 푖 Chọn các hàm cơ sở 푖 = , khi đó: 푛 ∑︁ 2 3 푛 ( ) = 푖 푖 = 1 + 2 + 3 + ··· + 푛 푖=1 Chú ý! Không có số hạng 0 (do điều kiện biên chuyển vị yêu cầu phải bằng 0 tại = 0).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Gọi ( ) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ . Thế năng tổng cộng của hệ là: 퐿 퐿 ∫︁ 1 ∫︁ Π = ,2 − 2 0 0 푖 Chọn các hàm cơ sở 푖 = , khi đó: 푛 ∑︁ 2 3 푛 ( ) = 푖 푖 = 1 + 2 + 3 + ··· + 푛 푖=1 Chú ý! Không có số hạng 0 (do điều kiện biên chuyển vị yêu cầu phải bằng 0 tại = 0).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức = 1 , thì từ biểu thức của Π ở trên, ta có: 퐿 퐿3 Π = 2 − 2 1 3 1 Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta: 2 Π 퐿 = 0 =⇒ 1 = 1 3 Do vậy: 퐿2 퐿3 = và | = 3 =퐿 3
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức = 1 , thì từ biểu thức của Π ở trên, ta có: 퐿 퐿3 Π = 2 − 2 1 3 1 Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta: 2 Π 퐿 = 0 =⇒ 1 = 1 3 Do vậy: 퐿2 퐿3 = và | = 3 =퐿 3
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức = 1 , thì từ biểu thức của Π ở trên, ta có: 퐿 퐿3 Π = 2 − 2 1 3 1 Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta: 2 Π 퐿 = 0 =⇒ 1 = 1 3 Do vậy: 퐿2 퐿3 = và | = 3 =퐿 3
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Nếu ta chỉ sử dụng 2 số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, 2 tức = 1 + 2 , thì sau khi thay vào biểu thức của Π rồi lấy đạo hàm riêng phần theo 1 và 2, ta có: [︂ ]︂ [︂ ]︂ 3 [︂ ]︂ 1 퐿 1 퐿 4 퐿 2 = 퐿 4퐿 /3 2 12 3퐿 hay [︂ ]︂ 퐿 [︂7퐿]︂ 1 = 2 12 −3 퐿 퐿3 Do vậy: = (7퐿 − 3 2) và | = 12 =퐿 3
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (a) Nếu ta chỉ sử dụng 2 số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, 2 tức = 1 + 2 , thì sau khi thay vào biểu thức của Π rồi lấy đạo hàm riêng phần theo 1 và 2, ta có: [︂ ]︂ [︂ ]︂ 3 [︂ ]︂ 1 퐿 1 퐿 4 퐿 2 = 퐿 4퐿 /3 2 12 3퐿 hay [︂ ]︂ 퐿 [︂7퐿]︂ 1 = 2 12 −3 퐿 퐿3 Do vậy: = (7퐿 − 3 2) và | = 12 =퐿 3
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (b) Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục tại đầu trái là 푞1 và tại đầu phải là 푞2. ( ) 푞1 , 푞2 퐿 Khi đó, có thể biểu diễn = Nq (hồi sau sẽ rõ) với: [︁ ]︁ [︂푞 ]︂ N = 1 − và q = 1 퐿 퐿 푞2
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (b) Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục tại đầu trái là 푞1 và tại đầu phải là 푞2. ( ) 푞1 , 푞2 퐿 Khi đó, có thể biểu diễn = Nq (hồi sau sẽ rõ) với: [︁ ]︁ [︂푞 ]︂ N = 1 − và q = 1 퐿 퐿 푞2
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (b) Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/퐿 1/퐿]︀ Bài toán kéo nén đơn: E = , nên: 퐿 ∫︁ [︂ 1 −1]︂ K = B B = 퐿 −1 1 0 퐿 ∫︁ [︂ 퐿2/6]︂ R = N f = 퐿2/3 0 Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 3 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 푞2 = 퐿 /(3 ).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (b) Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/퐿 1/퐿]︀ Bài toán kéo nén đơn: E = , nên: 퐿 ∫︁ [︂ 1 −1]︂ K = B B = 퐿 −1 1 0 퐿 ∫︁ [︂ 퐿2/6]︂ R = N f = 퐿2/3 0 Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 3 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 푞2 = 퐿 /(3 ).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân Ví dụ Lời giải câu (b) Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/퐿 1/퐿]︀ Bài toán kéo nén đơn: E = , nên: 퐿 ∫︁ [︂ 1 −1]︂ K = B B = 퐿 −1 1 0 퐿 ∫︁ [︂ 퐿2/6]︂ R = N f = 퐿2/3 0 Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 3 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 푞2 = 퐿 /(3 ).