Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số thống kê
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_chuong_6_uoc_luong.pdf
Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số thống kê
- Chương 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ
- I. Mẫu thống kê : Ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu trên các phần tử của tập hợp M. M gọi là tổng thể, số phần tử của M ký hiệu là N. Thông thường không thể lấy hết các phần tử của M để quan sát X vì những lý do sau - Số N quá lớn. - Thời gian và kinh phí không cho phép. - Có thể làm hư hại hết các phần tử của M. Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để quan sát X, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n.
- Điều kiện để chọn mẫu : - Các phần tử của mẫu lấy ngẫu nhiên từ M. - Các phần tử của mẫu được lấy một cách độc lập với nhau. Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên (X1 , , Xn ) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M.
- Tính chất mẫu lý thuyết : 1) Các Xi có cùng phân phối như X. 2) Các Xi độc lập với nhau. Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu ( x1 , , xn ) và gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X. Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản : Đánh số các phần tử của M từ 1 đến N. Và lập các phiếu cũng đánh số như vậy. Trộn đều các phiếu, sau đólấy lần lượt có hoàn lại n phiếu. Các phần tử của M có số thứ tự trong các phiếu lấy ra sẽ được chọn làm mẫu.
- II. Các đặc trưng mẫu : 2 Cho mẫu (X1 , , Xn ), ký hiệu EX = μ và DX = σ . 1. Trung bình mẫu : 1 n XX= ∑ i n i=1 1 n nμ EX===∑ EX i μ nni=1 1 n nσ 22σ DX DX ===22∑ i nnni=1 σ DX = n
- Mẫu thực nghiệm : ( x1 , , xn ) 1 n X = ∑ xi n i=1 a) Mẫu có lặp : Xx1 . . . xk Tổng ni n1 . . . nk n Trong đó ni là tần số giá trị xi trong mẫu và n1+ + nk = n. 1 k X = ∑ nxii n i=1
- b) Mẫu chia khoảng : X (a1, a2] . . . (ak, ak+1]Tổng ni n1 . . . nk n Trong đó ni là tần số giá trị trong mẫu rơi vào (ai,ai+1] và n1+ + nk = n. aa+ θ = ii+1 i 2 1 k X = ∑ niiθ n i=1
- 2. Phương sai mẫu : n 221 s =−∑()XXi n i=1 n −1 Es22= σ n sX22=−() X 2 n 221 XX= ∑ i n i=1
- Phương sai mẫu có điều chỉnh : n 221 SXX=−∑()i n −1 i=1 n Ss22= n −1 ES 22= σ Cho mẫu thực nghiệm ( x1 , , xn ). a) Mẫu có lặp : k 221 snxX=−∑ ii() n i=1 k 221 SnxX=−∑ ii() n −1 i=1 k 221 Xnx= ∑ ii n i=1
- b) Mẫu chia khoảng : k 221 snX=−∑ ii()θ n i=1 k 221 SnX=−∑ ii()θ n −1 i=1 k 221 Xn= ∑ iiθ n i=1 3. Tỷ lệ mẫu : Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại L trên tổng thể M. Xét mẫu (X1 , , Xn), với Xi = 1 nếu phần tử thứ i của mẫu thuộc loại L, Xi = 0 nếu ngược lại.
- Gọi m số phần tử loại L trên mẫu, khi đó mX= ++ X m 1 n và f = được gọi là tỷ lệ mẫu (tần suất) của các n phần tử loại L (trên mẫu). mn1 p Ef= E=++==( ) EX EX p nn 1 n n m 1 npq pq Df== D( ) DX ++== DX nn221 n n n III. Ước lượng điểm : Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X. ˆ Dựa vào mẫu (X1 , , Xn ) cần tìm đại lượng θ (X1 , ,X n ) làm xấp xỉ cho θ, gọi là ước lượng điểm của θ.
- 1. Ước lượng không chệch ˆ θ ( X 1 , , X n ) được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu ˆ EXθ (1 , , Xn ) = θ Khi đósai số của ước lượng bằng ˆ EX(θθ (1 , , Xn )− )= 0 2. Các phương pháp tìm ước lượng điểm : Hợp lý cực đại, Bình phương nhỏ nhất. Ví dụ :Các tham số của biến X là μ = EX và DX= σ2. • X là ước lượng không chệch của μ . • s2 là ước lượng chệch của σ2. • S2 là ước lượng không chệch của σ2. • f là là ước lượng không chệch của tỷ lệ p.
- IV. Ước lượng tham số bằng khoảng tin cậy (KTC) : 1. Khái niệm chung : Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X. Dựa vào mẫu (X1 , , Xn ) cần tìm hai đại lượng θ1(X1 , , Xn ) , θ2(X1 , , Xn ) sao cho P(θ1 ≤ θ ≤ θ2 ) = γ (*) với γ đủ lớn cho trước , thường γ = 95% hay 99%. Xác suất γ gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng. Khoảng [θ1 , θ2] gọi là khoảng tin cậy cho θ. Ý nghĩa của (*) : Có γ100% số lần lấy mẫu cỡ n thì θ ∈[θ1 , θ2]. Có (1-γ)100% số lần lấy mẫu cỡ n thì θ ∉[θ1 , θ2].
- 2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng : Giả sử tham số là μ = EX chưa biết của biến ngẫu 2 nhiên X và σ = DX. Dựa vào mẫu (X1 , , Xn ) cần tìm hai đại lượng μ1(X1 , , Xn ) , μ2(X1 , ,Xn ) sao cho P(μ1 ≤ μ ≤ μ2 ) = γ 1) Khi n ≥ 30, σ2 đã biết. Xét thống kê X − μ ZN= ~(0,1) σ n Dựa vào luật phân phối đã biết của Z ta tìm z sao cho PZ().≤ z= γ
- Từ đóta có σ μ1,2 =±Xz1+γ 2 n 1+ γ Trong đó làz1+γ phân vị mức của Φ(x), tức 2 2 là 1+ γ Φ=()z1+γ 2 2 2) Khi n ≥ 30, σ2 không biết. S μ1,2 =±Xz1+γ 2 n
- 3) Khi n < 30, σ2 đã biết và X ~ N(μ, σ2 ) σ μ1,2 =±Xz1+γ 2 n 4) Khi n < 30, σ2 không biết và X ~ N(μ, σ2 ). Xét thống kê X − μ Ttn= ~(− 1) S n Dựa vào luật phân phối Student với (n -1) bậc tự do của T ta có n−1 S μ =±X t 1,2 1+γ n 2
- n−1 Trong đót là phân vị mức 1 + γ của luật 1+γ 2 2 phân phối Student với (n-1) bậc tự do. 3. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ : Giả sử tham số p là tỷ lệ các phần tử loại L trên tổng thể M. Xét mẫu (X1 , , Xn) với Xi = 0 nếu phần tử thứ i của mẫu thuộc loại L, Xi = 1 nếu ngược lại. Cần tìm hai đại lượng p1(X1 , , Xn), p2(X1 , , Xn) sao cho P(p1 ≤ p ≤ p2 ) = γ
- Xét mẫu cỡ lớn : nf ≥ 10, n(1-f) ≥ 10 và thống kê fp− ZN= ~(0,1) pp(1− ) n Trong đó f tỷ lệ mẫu. Từ đó f (1− f ) pfz1,2 =±1+γ 2 n
- 4. Độ chính xác của ước lượng và xác định cỡ mẫu : 1) Trường hợp kỳ vọng Độ chính xác của ước lượng cho tham số μ =EX với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho PX()− μ ≤=εγ Từ đó, ta có σ ε = z 1+γ 2 2 n , nếu σ đã biết S ε = z 1+γ 2 2 n , nếu σ không biết
- • Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n : 2 ⎡ ⎤ σ , nếu σ2 đã biết. nz≥ ⎢ 1+γ ⎥ ⎣⎢ 2 ε ⎦⎥ 2 ⎡ ⎤ S 2 nz≥ ⎢ 1+γ ⎥ , nếu σ không biết. ⎣⎢ 2 ε ⎦⎥
- 2) Trường hợp tỷ lệ Độ chính xác của ước lượng f cho tham số p với độ tin cậy γ là số ε > 0 sao cho Pf()− p≤=ε γ Từ đó, ta có f (1− f ) ε = z1+γ 2 n • Cho ε và γ tìm cỡ mẫu n 2 ⎡ ff(1− ) ⎤ nz≥ ⎢ 1+γ ⎥ ⎣⎢ 2 ε ⎦⎥