Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 12: Tích phân bội ba

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 12: Tích phân bội ba

1. TÍCH PHÂN BỘI BA
2. ĐỊNH NGHĨA Cho  đĩng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z) xác định trong . Phân hoạch  thành những miền con k với thể tích V(k), d là đường kính phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là n Sn= f()() M k V k k =1
3. n Sn= f()() M k V k k =1 f( x , y , z ) dxdydz= lim Sn d→0  gọi là tp bội ba của f trên .
4. Tính chất hàm khả tích Cho  là miền đĩng và bị chận 1/V()= 1 dxdydz (thể tích )  2 / c . f= c . f , ( f + g ) = f + g      3 / = 1  2 ,  1 và  2 không dẫm nhau f=+ f f 1  2  1  2
5. Cách tính tích phân bội ba •Giả sử  là vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z = z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ cĩ đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đĩng và bị chận trong Oxy. •Hình chiếu của  lên Oxy là D. z2 (,) x y f(,,)(,,) x y z dxdydz= f x y z dz dxdy  D z1(,) x y
6. Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D 1.Biến tính trước được chọn tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa . 2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.
7. VÍ DỤ 1/ Tính: I= ydxdydz   Là miền ghạn bởi : y= x2, z + y = 1, z = 0 Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z (z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0). D= hc : y= x2,1 − y = 0 Oxy
8. D: y= x2 ,1 − y = 0 z=1 − y , z = 0 1 ydxdydz  1−y = ydz dxdy -1 1 D 0 =− y(1 y ) dxdy D 11 1 18xx46 =−dx y(1 y ) dy =2 − +dx = 6 2 3 35 −1 x2 0
9. Lưu ý: cĩ thể viết dưới dạng tp lặp 1−y ydxdydz= ydz dxdy 1  D 0 1 1 1−y = dx dy ydz −10x2 -1 1
10. :y = x2 , z + y = 1, z = 0 Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y y= x2,1 y = − z x 1 D= hc : z=0,1 − z = x2 Oxz ydxdydz 1  z 1−z = ydy dxdz -1 D x2
11. 1−z 11−x2 1 ydy dxdz =dx(1 − z )24 − x dz 2 ( ) D x2 −10 x 1 1 6 1 1 2x 4 8 1 = + −x dx = 2 3 3 35 z −1 -1
12. yz+=1 D= hc : Oxz yx= 2 z = 0 D= hc : Oxy
13. 2/ Tính: I=+ (), x y dxdydz  gh bởi:  x+ y + z =3, 3 x + y = 3, 3 x + 2 y = 6, y = 0, z = 0 z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z : z = 3 – y – x và z = 0 D= hc : Oxy 3x+ y = 3,3 x + 2 y = 6, y = 0, (3−xy − = 0)
14. I=+ (), x y dxdydz  3−−xy =+ ()x y dz dxdy D 0 2y 2− 3 3 11 =dy( x + y )(3 − x − y ) dx = 4 y 0 1− 3
15. 3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau: 2x 2 4 I= dx dy zdz 0 0 0 sau đĩ viết lại I theo thứ tự :I= dy dz zdx Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác định trên R2 và 2 mặt khơng cĩ giao tuyến) Hình chiếu lên Oxy của miền :0 x 2, 0 y x/2
16. Hình chiếu lên Oxy của miền :0 x 2, 0 y x/2 Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau: z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 2
17. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
18. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
19. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
20. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
21. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
22. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
23. z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 I= dy dz zdx D= hc : Oyz y=0, y = 1, z = 0, z = 4 1 4 2 I= dy dz zdx 0 0 2y
24. 3/ Tính: I= zdxdydz,  : x2 + y2 2z, x2 + y2 + z2 3  Là miền nằm trong paraboloid. 222 2 2 xy+ 2 2 D= hc : x + y + 3 x + y 2 Oxy 2
25. xy22+ Mặt trên: z=3 − x22 − y Mặt dưới: z = 2 I= zdxdydz  22 3−−xy = zdz 2 2 2 2 x+ y 2 x + y ()D 2 2 2 22 1 22 xy+ = 3 −x − y − dxdy 22 ( ) D
26. 2 2 22 1 22 xy+ 3 −x − y − dxdy 22 ( ) D x== rcos , y r sin 2 22 4 2 r 5 2 I= d 3 − r − rdr = 43 00
27. 4/ Tính: I= xdxdydz,  : y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0 D= hc : y = 1 + x2 , y = 5,(3 x = 0) Oxy 5 3x D D 2 1 I= xdz dxdy D1 0 0 1 + xdz dxdy -2 2 Dx2 3
28. : y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0