›
›

Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng

pdf 43 trang ngocly 1960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_4_huynh_the_phung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng

  1. GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IV Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
  2. 1 Mục lục Chương 1. Tích phân bội 4 1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn 4 1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Tích phân trên tập bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Tập đo được Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất . . . . . . . 9 1.3. Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . 16 1.5.2. Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Tích phân phụ thuộc tham số 22
  3. 2 2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.1. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2. Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.3. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. Tích phân đường - Tích phân mặt 29 3.1. Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3. Cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.4. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tích phân đường loại II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . 34 3.2.4. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.5. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường . . . . . . . . 35 3.3. Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.1. Mặt hai phía định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  4. 3 3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . 39 3.4.5. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.6. Công thức Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  5. 4 Chương 1. TÍCH PHÂN BỘI 1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn 1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch Ta gọi một hộp trong Rn là tập hợp có dạng Yn D = Ij, (1.1) 1 trong đó, Ij là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (aj, bj), (aj, bj], [aj, bj), [aj, bj]) . Nếu các Ij đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp ◦ đóng (mở). Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì D và D lần lượt là các hộp mở (có thể rỗng) và đóng. Khoảng Ij được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm. D được gọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng Ij là không suy biến. Lúc đó, nếu k < n thì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại. ◦ Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi D = ∅. D được gọi là hộp mở tương đối k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở. Chẳng hạn hộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng có các cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R2 là các đoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối hai chiều trong R3 là các hình chữ nhật (không kể các cạnh) có các cạnh song song với 2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm. Có thể kiểm tra được rằng mọi hộp đóng n chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3n hộp mở tương đối (có chiều từ 0 đến n) rời nhau!! Với mỗi hộp D được cho bởi (1.1), ta gọi giá trị Yn Vol(D) := λ(Ij), (1.2) 1
  6. 5 ◦ ¯ với λ(Ij) ký hiệu độ dài của khoảng Ij, là thể tích của D. Rõ ràng, D, D và D có cùng thể tích và hộp có thể tích bằng không khi và chỉ khi nó là hộp suy biến. Ta cũng dễ dàng chứng minh được kết quả sau Bổ đề 1.1. Giả sử D1,D2, ··· ,Dm là các hộp có phần trong rời nhau sao cho hợp của chúng cũng là một hộp D trong Rn. Lúc đó Xm Vol(D) = Vol(Dk). 1 Bây giờ xét hộp đóng Yn D = [aj, bj] = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn]. 1 Phân hoạch P của D là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [a1, b1], ··· , [an, bn]: 1 1 1 a1 = x0 < x1 < ··· < xk(1) = b1; 2 2 2 a2 = x0 < x1 < ··· < xk(2) = b2; ··· n n n an = x0 < x1 < ··· < xk(n) = bn. Lúc đó P sẽ xác định một họ P(D) gồm m = k(1) × k(2) × · · · × k(n) hộp đóng con có phần trong rời nhau. Ta gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị sau i i ρ(P) := max{xj − xj−1 | 1 ≤ j ≤ k(i); 1 ≤ i ≤ n}. Cuối cùng, môt phân hoạch Q được gọi là mịn hơn phân hoạch P (hay P thô hơn Q) nếu với mọi E0 ∈ Q(D) tồn tại E ∈ P(D) sao cho E0 ⊂ E. Lúc đó ta ký hiệu P¿Q. 1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann Cho f là hàm bị chặn trên hình hộp D và P là một phân hoạch của D ta đặt bk := sup{f(x) | x ∈ Dk}, ak := inf{f(x) | x ∈ Dk}; Dk ∈ P(D). Lúc đó, các tổng Xm Xm ∗ S (f; P) := bk. Vol(Dk); S∗(f; P) := ak. Vol(Dk) k=1 k=1 lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên D tương ứng với phân hoạch P. Ta có thể chứng minh các tính chất sau đây của tổng Darboux:
  7. 6 ∗ a) S (f; P) ≥ S∗(f; P) với mọi phân hoạch P. b) Nếu Q là phân hoạch mịn hơn P thì ∗ ∗ S∗(f; P) ≤ S∗(f; Q) ≤ S (f; Q) ≤ S (f; P). c) Với mọi phân hoạch P và Q của D ta có ∗ S∗(f; P) ≤ S (f; Q). Cho f là hàm bị chặn trên hộp đóng D. Ta gọi tích phân dưới và tích phân trên của f trên D lần lượt là các giá trị sau Z Z− ∗ f := sup S∗(f; P); f := inf S (f; P). P P −D D ở đây, sup và inf được lấy trên tất cả các phân hoạch của D. Rõ ràng, ta luôn luôn R R− có f ≤ f. Hàm f sẽ được gọi là khả tích trên D nếu −D D Z Z− f = f = I. −D D Lúc đó, I được gọi là tích phân Riemann của hàm f trên hộp D và được ký hiệu bởi một trong các cách sau Z Z Z f; f(x)dx; f(x1, x2, ··· , xn)dx1 ··· dxn D D D hay ZZ Z ··· f(x1, x2, ··· , xn)dx1 ··· dxn. D Đặc biệt, trongRR trườngRRR hợp 2 hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân trên D bởi hay , và được gọi là tích phân hai lớp hay ba lớp. Cụ thể, với RRD D RRR n = 2 ta có D f(x, y)dxdy còn với n = 3 thì D f(x, y, z)dxdydz. Ví dụ 1.1. Tích phân hàm hằng, hàm Dirichlet. Định lý 1.1. Hàm bị chặn f là khả tích trên D khi và chỉ khi với mọi ² > 0 tồn tại ∗ phân hoạch P sao cho S (f; P) − S∗(f; P) < ².
  8. 7 1.1.3. Các tính chất cơ bản a) Nếu f khả tích trên D và α ∈ R thì hàm αf cũng khả tích trên D và Z Z αf = α f. D D b) Nếu f, g là các hàm khả tích trên D thì f ± g cũng khả tích trên D và Z Z Z (f ± g) = f ± g. D D D c) Nếu f, g đều khả tích trên D, đồng thời f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ D, thì Z Z f ≤ g. D D d) Nếu f là hàm khả tích trên D và m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ D thì Z m Vol(D) ≤ f(x)dx ≤ M Vol(D). D 1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue Một tập S ⊂ Rn được gọi là có độ đo (n−chiều) không nếu với mọi ² > 0 tồn tại một dãy các hình hộp đóng (Dk)k sao cho [∞ X∞ S ⊂ Dk và Vol(Dk) 0 ta đặt ω(f, x, δ) := sup{|f(y) − f(y0)| : y, y0 ∈ D ∩ B(x; δ)}.
  9. 8 Ta gọi dao độ của hàm f tại x là giá trị sau ω(f, x) := lim ω(f, x, δ) = inf ω(f, x, δ). δ→0+ δ>0 Bổ đề 1.2. Hàm f liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi ω(f, x0) = 0. Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm bị chặn trên hình hộp đóng D và ² là một số dương sao cho ω(f, x) < ² với mọi x ∈ D. Lúc đó tồn tại một phân hoạch P của D mà ∗ S (f; P) − S∗(f; P) < ². Vol(D). Bổ đề 1.4. Cho f là một hàm bị chặn trên tập đóng D. Lúc đó, với mọi số dương ² tập hợp sau là đóng {x ∈ D | ω(f, x) ≥ ²}. Bây giờ cho D ⊂ D˜ là hai hình hộp, f là hàm xác định trên D. Ta định nghĩa hàm mở rộng: ( f(x), x ∈ D, f˜(x) := 0, x ∈ D˜ \ D. ˜ Lúc đó, áp dụngR ĐịnhR lý Lebesgue ta thấy f khả tích trên D khi và chỉ khi f khả ˜ ˜ tích trên D và D˜ f = D f. Hệ quả 1.1. Nếu f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm f.g cũng vậy. Hệ quả 1.2 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thoả mãn m ≤ f(x) ≤ M; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ D, với m và M là các hằng số. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M] sao cho Z Z f(x)g(x)dx = µ g(x)dx. D D Hệ quả 1.3. Nếu f là hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm |f| cũng vậy. Hơn nữa, ta có ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f(x)dx¯ ≤ |f(x)|dx. D D 1.2. Tích phân trên tập bất kỳ 1.2.1. Tập đo được Jordan n n Cho G ⊂ R . Ta gọi hàm χG : R → R xác định bởi ( 1 nếu x ∈ G, χG(x) = 0 nếu x 6∈ G
  10. 9 là hàm đặc trưng của tập hợp G. Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn được gọi là đo được Jordan nếu tồn tại hình hộp đóng D ⊃ G sao cho hàm χG khả tích trên D. Lúc đó số Z Vol(G) := χG D được gọi là thể tích của G. Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau: - Thể tích của tập đo được Jordan G không phụ thuộc việc chọn hình hộp D chứa nó. - Mọi hình hộp đều đo được và thể tích của nó trùng với định nghĩa thể tích cho bởi Công thức (1.2). - Một tập có thể tích không thì có độ đọ không (xem Bài tập 1.4). Tuy nhiên, một tập có độ đo không có thể không đo được Jordan, nên không có thể tích không. Định lý 1.3. Tập bị chặn G là đo được Jordan nếu và chỉ nếu ∂G có độ đo không. Điều này là do ∂G chính là tập hợp điểm gián đoạn của hàm χG. Hệ quả 1.4. a) Nếu G là tập đo được Jordan và D là một hình hộp chứa G thì D \ G cũng đo được Jordan. Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G). b) Nếu G1 và G2 là đo được Jordan, thì hợp, giao, hiệu của chúng cũng vậy. Hơn nữa: Vol(G1 ∪ G2) = Vol(G1) + Vol(G2) − Vol(G1 ∩ G2). 1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất Cho G ⊂ Rn và f là một hàm số xác định trên một hình hộp đóng D ⊃ G. Ta nói hàm f khả tích trên G nếu hàm f.χG khả tích trên D và viết Z Z f := fχG. G D Cũng như định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa này hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn hình hộp D. Nếu G là tập đo được Jordan và f là hàm khả tích trên D, thì f cũng khả tích trên G. Sau đây là một số tính chất của tích phân trên tập đo được. Định lý 1.4. Cho G là tập đo được và f, g là các hàm khả tích trên G. Lúc đó, a) Với mọi số thực α, hàm αf khả tích trên G và Z Z αf = α f. G G
  11. 10 b) Các hàm f ± g khả tích trên G và Z Z Z (f ± g) = f ± g. G G G c) Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ G, thì Z Z f ≤ g. G G d) Hàm |f| khả tích trên G và ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f(x)dx¯ ≤ |f(x)|dx. G G e) Hàm f.g khả tích trên G, hơn nữa nếu m ≤ f(x) ≤ M; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ G, với m và M là các hằng số, thì tồn tại µ ∈ [m, M] sao cho Z Z f(x)g(x)dx = µ g(x)dx. G G Định lý 1.5. Giả sử G1, G2 là các tập đo được Jordan sao cho Vol(G1 ∩ G2) = 0. Lúc đó, nếu f khả tích trên mỗi tập G1 và G2, thì f cũng khả tích trên G1 ∪ G2 và Z Z Z f = f + f. G1∪G2 G1 G2 1.3. Định lý Fubini 1.3.1. Công thức tổng quát Cho G = D × E ⊆ Rm+k, với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk. Giả sử f(x, y), x ∈ D, y ∈ E, là hàm m + k biến khả tích trên G. Với mỗi x ∈ D ta đặt Z Z− ∗ J∗(x) := f(x, y)dy, J (x) := f(x, y)dy; x ∈ D. −E E ∗ Định lý 1.6. Với các giả thiết như trên các hàm J∗(x) và J (x) đều khả tích trên D, có tích phân bằng nhau và bằng tích phân của hàm f trên G. Cụ thể, Z Z Z ∗ f(x, y)dxdy = J∗(x)dx = J (x)dx, D×E D D
  12. 11 hay Z Z Z Z Z− f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy = dx f(x, y)dy. D×E D D −E E Nếu hàm f(x, y) liên tục trên G thì f khả tích. Mặt khác, lúc đó với mọi x ∈ D. R ∗ hàm f(x, ·) liên tục nên khả tích trên E. Do đó, J∗(x) = J (x) = E f(x, y)dy. Áp dụng định lý trên ta trực tiếp thu được kết quả sau Định lý 1.7 (Fubini). Nếu f(x, y) là hàm liên tục trên tập G = D × E ⊆ Rm+k, với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk, thì ta có công thức tích phân lặp Z Z Z Z Z f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx. D×E D E E D n Trường hợp nếu G = [a1, b1] × · · · × [an, bn] ⊂ R và f là hàm liên tục trên G thì bằng cách sử dụng Định lý Fubini n − 1 lần ta nhận được công thức Z Z Z Z b1 b2 bn f = dx1 dx2 ··· f(x1, ··· , xn)dxn. G a1 a2 an Vì vai trò các biến là bình đẳng nên thứ tự lấy tích phân có thể thực hiện tuỳ ý mà không làm ảnh hưởng đến kết quả. Nếu f(x), g(y) lần lượt là các hàm liên tục trên các hình hộp D ⊂ Rm và E ⊂ Rk thì hàm tích h(x, y) = f(x)g(y) liên tục trên hình hộp G = D × E và Z µZ ¶ µZ ¶ f(x)g(y)dxdy = f(x)dx g(y)dy . D×E D E 1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp Bây giờ ta xét trường hợp G là hình thang cong trong mặt phẳng được cho dưới dạng: G = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}, với ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Cách tính tích phân trên G được cho bởi định lý sau Định lý 1.8. Tập hợp G như trên là đo được Jordan trong R2 và với mọi hàm hai biến f(x, y) liên tục trên G, f khả tích và ZZ Z Z b ϕ2(x) f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy. G a ϕ1(x)
  13. 12 Thật ra kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp f không liên tục. Ta có khẳng định sau Định lý 1.9. Giả sử f(x, y) là hàm khả tích trên G, sao cho với mọi x ∈ [a, b] tồn tại tích phân Z ϕ2(x) J(x) := f(x, y)dy. ϕ1(x) Lúc đó, hàm J(x) xác định, khả tích trên [a, b] và ZZ Z Z Z b b ϕ2(x) f(x, y)dxdy = J(x)dx = dx f(x, y)dy. G a a ϕ1(x) Tương tự, nếu G có dạng G = {(x, y) | y ∈ [c, d], ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)}, và các điều kiện cần thiết thoả mãn, ta cũng có công thức tích phân lặp ZZ Z Z d ϕ2(y) f(x, y)dxdy = dy f(x, y)dx. G c ϕ1(y) 1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp Trước hết, ta xét trường hợp miền lấy tích phân G ⊂ R3 là hình trụ mở rộng: G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D; ϕ1(x, y) ≤ z ≤ ϕ2(x, y)}, 2 trong đó, D là một tập compact đo được Jordan trong R và ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục trên D. Định lý 1.10. Với các giả thiết như trên, G là một tập đo được Jordan trong R3. hơn nữa, nếu f(x, y, z) là hàm liên tục trên G thì ZZZ ZZ Z ϕ2(x,y) f(x, y, z)dxdydz = dxdy f(x, y, z)dz. G D ϕ1(x,y) Định lý này cũng được mở rộng cho trường hợp hàm f không liên tục như khẳng định của kết quả sau Định lý 1.11. Nếu f(x, y, z) là một hàm khả tích trên G và hơn nữa, với mỗi (x, y) ∈ D, tích phân sau tồn tại Z ϕ2(x,y) J(x, y) = f(x, y, z)dz, ϕ1(x,y) thì hàm J(x, y) xác định, khả tích trên D và ZZZ ZZ Z ϕ2(x,y) f(x, y, z)dxdydz = dxdy f(x, y, z)dz. G D ϕ1(x,y)
  14. 13 Kết hợp Định lý 1.8 và Định lý 1.10 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.5. Nếu f(x, y, z) là một hàm liên tục trên tập G = {(x, y, z) | x ∈ [a, b], y1(x) ≤ y ≤ y2(x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}, với y1(x), y2(x), z1(x, y) và z2(x, y) là các hàm liên tục, thì ta có ZZZ Z Z Z b y2(x) z2(x,y) f(x, y, z)dxdydz = dx dy f(x, y, z)dz. G a y1(x) z1(x,y) 1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội 1.4.1. Công thức tổng quát Ta đã biết trong lý thuyết tích phân hàm một biến, nếu x = g(t) là phép đổi biến liên tục khả vi từ [α, β] lên [a, b] và f(x) là hàm khả tích trên [a, b] thì ta có công thức đổi biến Z g(β) Z β f(x)dx = f(g(t))g0(t)dt. g(α) α Nếu hơn nữa, g là đơn ánh thì công thức trên có thể viết lại là Z Z f(x)dx = (f ◦ g)(t)|g0(t)|dt. g([α,β]) [α,β] Công thức này sẽ được mở rộng cho tích phân bội. Cho G là một tập mở trong không gian Rn và g : G → Rn là một ánh xạ được cho bởi y = g(x) = (g1(x), g2(x), ··· , gn(x)); x ∈ G, với gi, 1 ≤ i ≤ n, là các hàm n−biến khả vi liên tục trên G. Với mỗi điểm x ∈ G Jacobian của g tại đó được ký hiệu bởi   ∂g1 ··· ∂g1 ∂x1 ∂xn  . . .  D(x) = det(Jg(x)) = det  . .  . ∂gn ··· ∂gn ∂x1 ∂xn g sẽ được gọi là một phép đổi biến trên G nếu nó khả vi liên tục, đơn ánh và tập hợp {x ∈ G | D(x) = 0} có độ đo không. Định lý 1.12. Giả sử g là một phép đổi biến trên tập mở bị chặn G và f(y) là một hàm khả tích trên g(G) thì hàm (f ◦ g)(x)|D(x)| cũng khả tích trên G và Z Z f(y)dy = (f ◦ g)(x)|D(x)|dx. g(G) G
  15. 14 Định lý này cho phép chúng ta có thể đưa việc tính tích phân trên một miền có dáng điệu “xấu” về việc tính tích phân trên một miền khác có hình thù “đẹp” hơn. Các mục tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy các ứng dụng cụ thể của định lý này. 1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cực trong mặt phẳng (x, y) = g(r, ϕ), được cho bởi hệ ( x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯cos ϕ −r sin ϕ¯ D(r, ϕ) = det(J (r, ϕ)) = ¯ ¯ = r. g ¯sin ϕ r cos ϕ ¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân hai lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cực là ZZ ZZ f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. g(G) G Điều quan trọng là với miền H cho trước trong R2 chúng ta cần nhận ra miền G tương ứng sao cho H = g(G). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ. H = {(x, y) | x2 + y2 ≤ a2; x ≤ 0} → G = {(r, ϕ) | 0 ≤ r ≤ a; π ≤ ϕ ≤ 2π} H = {(x, y) | a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2} → G = {(r, ϕ) | a ≤ r ≤ b; 0 ≤ ϕ ≤ 2π} π π H = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2x} → G = {(r, ϕ) | − ≤ ϕ ≤ ; 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}. 2 2 Ví dụ 1.2. Tích diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đường Lemniscat (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2). Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trong một góc phần tư của mặt phẳng toạ độ. Phương trình của phần đường cong trong 2 2 π góc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r = 2a cos(2θ), θ ∈ [0, 4 ]. Vì vậy dùng phép đổi biến sang toạ độ cực ta có √ ZZ Z π Z a 2 cos(2θ) Z π 2 4 4 a S = dxdy = 4 dθ rdr = 4a2 cos(2θ)dθ = . H 0 0 0 2
  16. 15 1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ trụ trong không gian (x, y, z) = g(r, ϕ, z), được cho bởi hệ  x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,  z = z. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯ ¯ ¯cos ϕ −r sin ϕ 0¯ ¯ ¯ D(r, ϕ, z) = ¯sin ϕ r cos ϕ 0¯ = r. ¯ 0 0 1¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ trụ là ZZZ ZZZ f(x, y, z)dxdydz = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz. g(G) G Phép đổi biến này phù hợp khi H = g(G) là một hình có dạng “trụ”. Chẳng hạn, nếu H = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ z ≤ 2} thì G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; r2 ≤ z ≤ 2}. Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cầu (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ), được cho bởi hệ  x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ  z = ρ cos θ. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯ ¯ ¯sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin θ sin ϕ¯ ¯ ¯ 2 D(ρ, θ, ϕ) = ¯sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ ¯ = ρ sin θ. ¯ cos θ −ρ sin θ 0 ¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cầu là ZZZ ZZZ fdxdydz = f(ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2 sin θdρdθdϕ. g(G) G Một cách tự nhiên, phép đổi biến này lại phù hợp khi H = g(G) có dạng “cầu”. Chẳng hạn, nếu H = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 2; y ≥ 0}
  17. 16 thì √ G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ π}. Còn nếu p H = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ z; x2 + y2 + z2 ≤ 1} thì π G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. 4 1.5. Ứng dụng của tích phân bội 1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng Giả sử G ⊂ R2 và f(x, y) là một hàm không âm, xác định trên G. Lúc đó, T := {(x, y, z) | (x, y) ∈ G; 0 ≤ z ≤ f(x, y)} ⊂ R3 là một tập hợp trong R3 có dạng hình trụ, mà đáy dưới là tập G × {0} và đáy trên là đồ thị của f trên G. Định lý 1.13. Nếu G đo được Jordan trong R2 và f không âm, khả tích trên G, thì T là một tập đo được Jordan trong R3 và có thể tích là ZZ Vol(T ) = f(x, y)dxdy. G Đặc biệt, nếu f(x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ G thì thể tích của T đúng bằng diện tích của G vì vậy ZZ s(G) = dxdy. G 1.5.2. Diện tích mặt cong Trước hết, giả sử H = (ABCD) là một hình bình hành trong không gian, ta −→ −−→ ký hiệu a và b lần lượt là các vec-tơ AB và AD và α là góc lập bởi các vec-tơ này. Một cách tự nhiên, diện tích của H được định nghĩa bởi biểu thức p s(H) := kakkbk| sin(α)| = kak2kbk2 − ha, bi2. Bây giờ cho S là mặt cong trơn trong không gian, xác định bởi hệ phương trình tham số  x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ G,  z = z(u, v),
  18. 17 trong đó, G là một miền đo được Jordan, bị chặn trong R2. Người ta cũng tìm cách định nghĩa diện tích của S. Với mỗi hình chữ nhật ∆ = [u, u + h] × [v, v + k] nằm gọn trong G cho tương ứng một mảnh cong S∆ ⊂ S. Khi h và k khá bé, ta có thể xem diện tích của S∆ xấp xỉ bằng diện tích của hình bình hành H∆ = (ABCD), với A(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) −→ −−→ 0 0 0 và các vec-tơ a = AB, b = AD được xác định bởi a = (xu(u, v), yu(u, v), zu(u, v))h, 0 0 0 b = (xv(u, v), yv(u, v), zv(u, v))k (hình bình hành này nằm trong tiếp diện của S tại A). Vì vậy, nếu P là một đa hộp nằm trong G, có diện tích gần bằng G bao gồm một số hữu hạn các hình chữ nhật ∆i khá bé, thì diện tích của S xấp xỉ bằng tổng X σ(P ) = s(H∆i ). i Ký hiệu độ mịn của P bởi γ(P ) = max{ρ(∆i)}. Từ sự phân tích trên, ta sẽ định nghĩa diện tích mặt cong S là giới hạn sau nếu nó tồn tại. s(S) := lim σ(P ) (1.3) γ(P )→0 m(P )→m(G) Định lý 1.14. Giới hạn trong (1.3) tồn tại, không phụ thuộc cách chọn P . Hơn nữa, ta có ZZ p s(S) = kak2.kbk2 − ha, bi2dudv, G 0 0 0 0 0 0 với a = (xu, yu, zu), b = (xv, yv, zv). Đặc biệt, nếu S được cho dưới dạng hiển: S = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ G}, với G là miền đo được trong R2 và f là hàm khả vi liên tục, thì ZZ q 0 2 0 2 s(S) = 1 + fx(x, y) + fy(x, y) dxdy, G 1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng Nhắc lại rằng nếu một hệ gồm k chất điểm rãi trên mặt phẳng mà khối lượng và toạ độ chất điểm thứ i là mi và Mi(xi, yi), 1 ≤ i ≤ k, thì khối lượng của hệ là m = m1 + m2 + ··· + mk và trọng tâm I(xI , yI ) của hệ có các toạ độ được tính bởi P P k x m k y m x = 1 i i ; y = 1 i i . I m I m
  19. 18 Bây giờ cho G là một bản phẳng (tức là một hình phẳng có khối lượng) không đồng chất mà tỷ khối tại mỗi điểm (x, y) ∈ G được cho bởi f(x, y) ≥ 0. Giả sử G đo được và f là hàm khả tích trên G. Bằng một thủ tục xấp xỉ tương tự, ta đi đến định nghĩa và công thức tính khối lượng và toạ độ của trọng tâm I của bản phẳng sau đây ZZ m = f(x, y)dxdy; ZZ G ZZ 1 1 xI = xf(x, y)dxdy; yI = yf(x, y)dxdy. m G m G 1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong không gian, có tỷ khối tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f(x, y, z) ≥ 0. Cũng dưới giả thiết T đo được và f khả tích ta cũng có công thức tính khối lượng của cố thể ZZZ m = f(x, y, z)dxdydz (1.4) T và các toạ độ của trọng tâm I(xI , yI , zI ): ZZZ 1 xI = xf(x, y, z)dxdydz; ··· m G Mặt khác, từ (1.4) ta cũng nhận được công thức tính thể tích của T cho trường hợp f(x, y, z) = 1 với mọi (x, y, z) ∈ T : ZZZ v(T ) = dxdydz T 1.6. Thực hành tính toán Để thực hành tính tích phân trước tiên ta cần nạp gói lệnh student: [> with(student); 1.6.1. Tích phân bội a. Tích phân bội 2. Để tính tích phân bội 2 của hàm f(x, y) trên hình hộp ∆ = [a, b] × [c, d] ta dùng lệnh Doubleint. Chú ý rằng không có lệnh doubleint! Cú pháp: [> Doubleint(f(x, y), x=a b, y=c d); Vì đây là lệnh trơ nên chỉ cho công thức hình thức. Để biết giá trị của nó ta phải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf.
  20. 19 Ví dụ: [> m:= Doubleint(x∧2*exp(x*y),x=-1 1, y=0 2); Z 2 Z 1 m := x2e(xy)dxdy 0 −1 [> value(m); 1 3 e2 + e(−2) 4 4 [> evalf(m); 1.948765487 b. Tích phân bội 3. Để tính tích phân bội 3 của hàm f(x, y, z) trên hình hộp ∆ = [a, b] × [c, d] × [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (không có lệnh tripleint). Cú pháp: [> Tripleint(f(x, y, z), x=a b, y=c d, z=e g); Ví dụ: [> Tripleint(x*z∧2+z*sin(x*y),z=0 2,x=0 1,y=1 2); Z 2 Z 1 Z 2 xz2 + zsin(xy) dzdxdy 1 0 0 1.6.2. Tích phân lặp a. Tích phân lặp 2 lớp. Để tính tích phân Z b Z y2(x) dx f(x, y)dy a y1(x) ta dùng lệnh [> int(int(f(x,y), y=y1(x) y2(x)), x=a b); Ví dụ: [> int(int(x*exp(y), y=1 x∧2), x=0 2); 1 1 e4 − 2e − 2 2 [> evalf(%); 1.948765487 b. Tích phân lặp 3 lớp. Tương tự, để tính tích phân Z b Z y2(x) Z z2(x,y) dx dy f(x, y, z)dz a y1(x) z1(x,y) ta dùng lệnh [> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y) z2(x,y)),y=y1(x) y2(x)),x=a b);
  21. 20 1.7. Bài tập i i i 1.1. Cho hình hộp D với các phân hoạch: P : {x0 x2. Hãy tìm ω(f, (0, 0)), ω(f, (2, 4)). 1.4. Chứng minh rằng một tập bị chặn có thể tích 0 khi và chỉ khi, với mọi ² > 0 tồn tại một số hữu hạn các hình hộp mở (hoặc đóng) phủ nó và có tổng thể tích bé hơn ². Khẳng định này có còn đúng đối với tập có độ đo 0 hay không? 1.5. Chứng minh rằng một tập G có thể tích 0 thì ∂G cũng có thể tích 0. Tuy nhiên, chứng tỏ tồn tại các tập có độ đo 0 nhưng biên của nó không có độ đo 0. 1.6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau Z 1 Z ex Z 2 Z ln x I = dx f(x, y)dy; J = dx f(x, y)dy. 1 −1 e 1 0 1.7. Tính các tích phân hai lớp ZZ ln(1 + x2 + y2)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0}, ZZD arctan(x2 + y2 − 1)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≤ 0}, ZZD 1 p dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 9, x ≤ y}, 2 2 D 1 + x + y ZZ xdxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 − 2x ≤ 0, x ≥ 1}, ZZD √ 2 xdxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x ≥ }, 2 ZZD (x + y)dxdy; D = {(x, y) | x2 + y2 − 4y ≤ 0, x ≥ 0}, D ZZ p |y − x2|dxdy; D = {(x, y) | |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}, ZZD |x2 + y|dxdy; D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 0}. D
  22. 21 1.8. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi p D ={(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2(x2 − y2), x2 D ={(x, y) | + y2 ≤ x + y}, 4 √ p D ={(x, y) | 4 x + 4 4y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0}. 1.9. Tính tích phân ba lớp ZZZ (1 + x + y)dxdydz, V với V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0 và 3x + 6y − 2z = 6. 1.10. Tính tích phân ba lớp ZZZ xdxdydz, V với V là miền giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = x2 + y2 − 1. 1.11. Tính thể tích vật thể V , giới hạn bởi (các) mặt a) 2z = x2 + y2, y + z = 4; b) x2 + y2 = 2x, x + z = 2, x − z = 2; c) (x2 + y2 + z2)3 = 3xyz; d) (x2 + y2)2 + z4 = y; µ ¶ x2 y2 2 e) + + z2 = x2y; 4 9 ³ ´ 2 ³ ´ 2 2 y 3 z 3 f) x 3 + + = 1; 2 3 g) x2 + y2 = 2x, z = x2 + y2, z = 0. RRR 1.12. Đổi biến sang toạ độ trụ và viết lại cận của tích phân I = V f(x, y, z)dxdydz, với V là miền giới hạn bởi các mặt: a) x2 + y4 = z, z = 2. p b) x = z2 + y2, x = 6 − z2 − y2.
  23. Chương 2. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng Cho hàm hai biến f(x, y) xác định trên hình chữ nhật ∆ = [a, b] × [c, d]. Giả sử với mọi y ∈ [c, d] hàm f(·, y) khả tích trên [a, b]. Lúc đó bằng cách đặt Z b G(y) := f(x, y)dx, (2.1) a ta được G là một hàm xác định trên đoạn [c, d] và (2.1) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hằng số. Sau đây ta sẽ khảo sát các tính chất cơ bản của hàm G là tính liên tục, khả vi và khả tích. Lưu ý rằng thay vì y ∈ [c, d] ta có thể xét y ∈ D ⊂ Rm và lúc đó G(y) là một hàm m biến. Tuy nhiên, hầu hết các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số G(y) đối với y ∈ Rm tương tự như khi xét y ∈ R nên ở đây ta chỉ xét hàm G(y) với y ∈ R. Định lý 2.1. Nếu f(x, y) liên tục trên ∆ thì hàm G liên tục trên [c, d]. 0 Định lý 2.2. Giả sử hàm f(x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng fy(x, y) trên ∆. Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và Z b 0 0 G (y) = fy(x, y)dx, ∀y ∈ (c, d), a Z b Z b 0 0 0 0 G+(c) = fy+(x, c)dx, G−(d) = fy−(x, d)dx. a a Định lý 2.3. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆. Lúc đó, các hàm Z d Z b F (x) = f(x, y)dy; x ∈ [a, b]; G(y) = f(x, y)dx; y ∈ [c, d] c a
  24. 23 Z b Z d đều khả tích và F (x)dx = G(y)dy. Tức là, ta có Công thức Fubini: a c Z b Z d Z d Z b dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx. (2.2) a c c a Ví dụ sau đây cho thấy rằng (2.2) không nhất thiết đúng nếu f không liên tục. Ví dụ 2.1. Cho hàm ( 2 2 x −y , (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) = (x2+y2)2 0, (x, y) = (0, 0). Lúc đó f không liên tục tại điểm (0, 0) và Z Z Z Z 1 1 π π 1 1 dx f(x, y)dy = 6= − = dy f(x, y)dx. 0 0 4 4 0 0 2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số Cho f(x, y) liên tục trên ∆ = [a, b] × [c, d], các hàm α, β :[c, d] → [a, b]. Lúc đó, với mỗi y ∈ [c, d] ta có Z β(y) G(y) = f(x, y)dx α(y) là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hàm theo y. Định lý 2.4. Nếu f(x, y) liên tục trên ∆, α và β liên tục trên [c, d] thì G liên tục trên [c, d]. Tức là, Z Z β(y) β(y0) lim f(x, y)dx = f(x, y0)dx, ∀y0 ∈ [c, d]. y→y0 α(y) α(y0) 0 Định lý 2.5. Giả sử hàm f(x, y) liên tục cùng với đạo hàm riêng fy(x, y) trên ∆ và α, β khả vi trên [c, d]. Lúc đó, G khả vi trên [c, d] và Z β(y) 0 0 0 0 G (y) = fy(x, y)dx + β (y)f(β(y), y) − α (y)f(α(y), y). α(y)
  25. 24 2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều Cho f : ∆ = [a, b) × D → R với D ⊂ R và −∞ 0, ∃ b0 ∈ [a, b), ∀ y ∈ D, ∀b ∈ [b0, b): ¯ f(x, y)dx¯ 0, nhưng không hội tụ đều trên (0, +∞). 2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân (2.3) hội tụ đều trên tập D khi và chỉ khi với mọi ² > 0, tồn tại b0 ∈ [a, b) sao cho ¯Z ¯ ¯ b2 ¯ ¯ ¯ ¯ f(x, y)dx¯ < ², ∀b1, b2 ∈ [b0, b), ∀y ∈ D. b1
  26. 25 Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Weierstrass). Nếu tồn tại hàm g khả tích trên [a, b) và số b0 ∈ [a, b) sao cho g(x) ≥ |f(x, y)|, ∀x ∈ [b0, b), ∀y ∈ D, thì tích phân (2.3) hội tụ đều. Bổ đề 2.1 (Bonnet). Cho α(x) là hàm đơn điệu và g(x) là hàm khả tích trên [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho Z b Z c Z b g(x)α(x)dx = α(a) g(x)dx + α(b) g(x)dx. a a c Định lý 2.8 (Tiêu chuẩn Dirichlet). Giả sử f(x, y) = g(x, y)h(x, y), thoả mãn ¯ ¯ ¯Z b0 ¯ ¯ ¯ i) sup ¯ g(x, y)dx¯ < +∞, (b0,y)∈∆ ¯ a ¯ ii) Với mỗi y hàm h(·, y) đơn điệu và lim h(x, y) = 0, đều theo y. x→b− Z ∞ Lúc đó, tích phân f(x, y)dx hội tụ đều trên D. a Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn Abel). Giả sử f(x, y) = g(x, y)h(x, y) thoả mãn Z ∞ i) Tích phân g(x, y)dx hội tụ đều trên D, a ii) Với mỗi y hàm h(·, y) đơn điệu và sup |h(x, y)| < +∞. (x,y)∈∆ Z ∞ Lúc đó, tích phân f(x, y)dx hội tụ đều trên D. a 2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều Trong mục này ta luôn xét ∆ = [a, +∞) × [c, d]. Z +∞ Định lý 2.10. Nếu f liên tục trên ∆ và f(x, y)dx hội tụ đều về hàm G(y), a thì G liên tục trên [c, d]. Z +∞ Định lý 2.11. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆ và f(x, y)dx hội tụ đều về hàm a G(y). Lúc đó, G khả tích trên [c, d]. Hơn nữa, tồn tại tích phân suy rộng của hàm Z d Z d Z +∞ F (x) = f(x, y)dy trên [a, +∞) và ta có G(y)dy = F (x)dx. Tức là c c a Z d Z +∞ Z +∞ Z d dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy. c a a c
  27. 26 Chú ý rằng kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân của G(y) là vô hạn (như [c, +∞), (−∞, d], (−∞, +∞)). Chẳng hạn, ta có kết quả sau: Giả sử f(x, y) là liên tục, không âm trên [a, ∞) × [c, ∞) và các hàm Z ∞ Z ∞ G(y) = f(x, y)dx, F (x) = f(x, y)dy a c liên tục. Lúc đó ta có Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx, a c c a 0 Định lý 2.12. Giả sử f(x, y) liên tục trên ∆ và tồn tại đạo hàm riêng fy sao cho Z +∞ 0 tích phân fy(x, y)dx hội tụ đều về hàm g(y) trên [c, d]. Lúc đó, hàm G khả vi a trên [c, d] và có đạo hàm đúng bằng g. Nói cách khác, µZ +∞ ¶0 Z +∞ 0 f(x, y)dx = fy(x, y)dx. a y a 2.4. Một số tích phân quan trọng 2.4.1. Hàm Gamma Hàm Gamma hay Tích phân Euler loại I là tích phân phụ thuộc tham số Z ∞ Γ(p) = xp−1e−xdx, p > 0. (2.4) 0 Sử dụng các kết quả về hội tụ đều ta chứng minh được các tính chất sau: a) Tích phân (2.4) hội tụ trên (0, +∞) và hội tụ đều trên [p0, p1] với mọi p1 > p0 > 0. b) Hàm Γ(p) liên tục trên (0, +∞). c) Γ(p + 1) = pΓ(p), Γ(1) = 1, Γ(n) = n!, lim pΓ(p) = 1. p→0 Z ∞ d) Γ(p) = 2 e−x2 x2p−1dx. 0 2.4.2. Hàm Beta Hàm Beta hay Tích phân Euler loại II là tích phân phụ thuộc tham số Z 1 B(p, q) = xp−1(1 − x)q−1dx, p > 0, q > 0. (2.5) 0
  28. 27 Ta cũng có các tính chất sau của hàm B(p, q): a) Tích phân (2.5) hội tụ trên miền D = (0, +∞) × (0, +∞) và hội tụ đều trên các hình chữ nhật [p0, p1] × [q0, q1] với p1 > p0 > 0 và q1 > q0 > 0. b) Hàm B(p, q) liên tục trên D. Z π 2 c) B(p, q) = 2 sin2p−1(t) cos2q−1(t)dt. 0 1 d) B(p, q) = B(q, p), B(1, 1) = 1, B(p, 1) = p . q p e) B(p, q + 1) = B(p, q); B(p + 1, q) = B(p, q). Đặc biệt p + q p + q (m − 1)!(n − 1)! B(m, n) = . (m + n − 1)! Γ(p)Γ(q) f) B(p, q) = . Γ(p + q) µ ¶ µ ¶ Z ∞ √ 1 1 1 √ 2 π g) B , = π ⇒ Γ = π ⇒ e−x dx = . 2 2 2 0 2 2.4.3. Tích phân Dirichlet Tích phân Dirichlet là tích phân phụ thuộc tham số Z ∞ sin(yx) D(y) = dx, y ∈ R. (2.6) 0 x Sau đây là các tính chất của tích phân Dirichlet: a) Tích phân (2.6) hội tụ trên R, hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] ⊂ R \{0}. π b) D(y) = sgn y. 2 2.5. Thực hành tính toán Tích phân phụ thuộc tham số thực ra là các hàm được định nghĩa bởi công thức tích phân. Vì vậy, mọi thao tác trên tích phân phụ thuộc tham số (như tính giới hạn, đạo hàm, tích phân) đơn giản chỉ là thao tác trên chính hàm này. Ta có thể hiểu nhanh điều đó qua các ví dụ minh hoạ sau đây: Z 1+a 1 * Để tính lim 2 2 dx. Ta viết: a→0 a 1 + x + a [> limit(int(1/(1+x∧2+a∧2),x=a 1+a),a=0); 1 π 4
  29. 28 x2 Z 1 − xe y2 * Tính đạo hàm của hàm F (y) = 2 dx : 0 y [> F:= y − > int((x/y∧2)*exp(-x∧2/y∧2),x=0 1); x2 Z 1 − xe y2 F := y− > 2 dx 0 y [> diff(F(y),y); − 1 e y2 − y3 2.6. Bài tập 2.1. Tính đạo hàm của các tích phân phụ thuộc tham số: Z x3−x Z ln(y2+1) F (x) := arctan(1 + xy)dy; G(y) := cos(x2 + y)dx. cos x sin y 2.2. Tính các tích phân Z ∞ µ ¶2 Z ∞ Z ∞ sin ax cos ax 2 dx, 2 2 dx, sin(x ) cos(2ax)dx. 0 x 0 (1 + x ) −∞ Z ∞ 2.3. Chứng minh tích phân G(y) = e−(x−y)2 dx hội tụ đều trên (−∞, β], với mọi 0 β ∈ R, nhưng không hội tụ đều trên R. 2.4. Chứng minh Công thức Frullani Z ∞ f(ax) − f(bx) b dx = f(0) ln (a > 0, b > 0), 0 x a Z ∞ f(x) trong đó, f là hàm liên tục và tích phân dx có nghĩa với mọi A > 0. A x 2.5. Sử dụng Tích phân Dirichlet và Công thức Frullani để tính các tích phân sau Z Z Z ∞ sin4(ax) − sin4(bx) ∞ sin ax cos bx ∞ sin ax sin bx dx, dx, dx. 0 x 0 x 0 x 2.6. Dùng các hàm Gamma và Beta để tính các tích phân sau Z Z √ Z Z a √ ∞ 4 x ∞ dx 1 dx x2 a2 − x2dx, dx, , √ , 2 3 n n 0 0 (1 + x) 0 1 + x 0 1 − x Z π Z ∞ Z π Z ∞ p−1 2 2 2 x ln x sin6 x cos4 xdx, x2ne−x dx, tann xdx, dx. 0 0 0 0 1 + x
  30. Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT 3.1. Tích phân đường loại I 3.1.1. Định nghĩa _ Cho C = AB là một đường cong trơn (trong mặt phẳng hoặc trong không gian), và f là một hàm xác định tại mọi điểm M ∈ C. Ta nói một phân hoạch của C là một tập hợp P = {A0,A1, ··· ,Am} ⊂ C _ _ sao cho A0 = A, Am = B và các cặp cung Ai−1Ai, AiAi+1 chỉ có một điểm chung là _ Ai. Ký hiệu ∆si là độ dài cung Ai−1Ai và ρ(P) := max{∆s1, ∆s2, ··· , ∆sm}. _ Trên mỗi cung Ai−1Ai ta chọn một điểm Mi và lập tổng Xm σ(P) := f(Mi).∆si. 1 Nếu tồn tại giới hạn Z _ fds := lim σ(P) AB ρ(P)→0 không phụ thuộc vào cách chọn P và các điểm Mi, thì giới hạn này được gọi là tích _ phân đường loại I của hàm f trên AB và f được gọi là khả tích trên C.
  31. 30 3.1.2. Các tính chất. Từ định nghĩa tích phân đường loại I, ta có ngay các tính chất sau mà việc kiểm chứng là không có gì khó khăn: _ Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên AB, λ là một số thực. Lúc đó _ a) f cũng khả tích trên cung BA và Z Z _ fds = _ fds. AB BA Khi A = B, tức C là một đường cong kín, thì có hai chiều đi từ A đến chính nó trên C. Tuy nhiên, nhờ tính chất này nên việc lấy tích phân theo cả hai chiều đều cho cùng kết quả. _ b) λf khả tích trên AB và Z Z _ λfds = λ _ fds. AB AB _ c) f ± g khả tích trên AB và Z Z Z _ f ± gds = _ fds ± _ gds. AB AB AB R d) Nếu f ≥ 0 thì _ fds ≥ 0. AB _ e) |f| khả tích trên AB và Z ¯Z ¯ ¯ ¯ |f|ds ≥ ¯ fds¯ . _ ¯ _ ¯ AB AB _ f) Nếu β ≥ f(M) ≥ α với mọi M ∈ AB, thì Z _ _ β.s(AB) ≥ _ fds ≥ α.s(AB). AB _ Đặc biệt, nếu f liên tục thì tồn tại M0 ∈ AB sao cho Z _ _ fds = f(M0).s(AB). AB _ _ g) Nếu C ∈ AB thì f khả tích trên AB khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai _ _ cung AC và CB. Hơn nữa, lúc đó Z Z Z _ fds = _ fds + _ fds. AB AC CB
  32. 31 3.1.3. Cách tính. _ Giả sử AB là đường cong phẳng có phương trình tham số ( _ x = x(t), AB : t ∈ [a, b], y = y(t); với các hàm x(t), y(t) khả vi liên tục. Từ định nghĩa tích phân đường và sử dụng công thức vi phân cung: p ds = x0(t)2 + y0(t)2dt, ta có thể chứng minh được công thức tính tích phân đường loại I là Z Z b p 0 2 0 2 _ f(x, y)ds = f(x(t), y(t)) x (t) + y (t) dt. (3.1) AB a _ Nếu AB là đường cong trơn trong không gian ta cũng có công thức tương tự: Z Z b p 0 2 0 2 0 2 _ f(x, y, z)ds = f(x(t), y(t), z(t)) x (t) + y (t) + z (t) dt. (3.2) AB a _ Trường hợp đường cong phẳng AB là đồ thị của hàm số y = g(x), x ∈ [a, b], từ (3.1) ta có Z Z b p 0 2 _ f(x, y)ds = f(x, g(x)) 1 + g (x) dx. (3.3) AB a _ Cuối cùng nếu AB là đường cong trơn từng khúc thì các công thức trên vẫn còn đúng, bằng cách lấy tích phân trên từng cung nhỏ rồi cộng lại. 3.1.4. Ứng dụng. a) Diện tích mặt cong. Giả sử C là một đường cong phẳng và f(x, y) ≥ 0 với mọi (x, y) ∈ C. Lúc đó, từ định nghĩa ta suy ra mặt cong S = {(x, y, z) | (x, y) ∈ C; f(x, y) ≥ z ≥ 0} trong không gian có diện tích mặt đúng bằng tích phân đường loại I của f trên C. Tức là Z DT (S) = f(x, y)ds. C b) Khối lượng, trọng tâm của dây. Cho một dây chất điểm được biểu thị bởi một đường cong C (phẳng hoặc trong không gian), với khối lượng riêng tại mỗi chất
  33. 32 điếm M ∈ C là f(M) ≥ 0. Lúc đó, bằng một lập luận quen thuộc, khối lượng của cả dây và toạ độ trọng tâm I của dây được tính bởi Z m = fds; C Z Z 1 1 xI = x.fds, yI = y.fds, ··· m C m C 3.2. Tích phân đường loại II. 3.2.1. Định nghĩa. _ Cho C = AB là một đường cong trơn phẳng và F (x, y) = (P (x, y),Q(x, y)) là một hàm vec-tơ xác định tại mọi điểm M(x, y) ∈ C. Với mỗi phân hoạch P = {A0,A1, ··· ,Am} ⊂ C _ và mỗi cách chọn các điểm Mi ∈ Ai−1Ai, ta lập tổng Xm σ¯(P) := (P (Mi).∆xi + Q(Mi).∆yi). (3.4) 1 Nếu tồn tại giới hạn Z _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy := lim σ¯(P) (3.5) AB ρ(P)→0 không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch P và các điểm Mi, thì giới hạn này được _ gọi là tích phân đường loại II của hàm vec-tơ F = (P, Q) trên AB. _ _ Chú ý rằng, nếu xét cung BA thay vì cung AB, thì một phân hoạch P0 = 0 0 0 0 0 {A0,A1, ··· ,Am} bây giờ phải có A0 = B và Am = A. Do đó, khi lập tổng ở (3.4) ta nhận được σ¯(P0) với dấu ngược lại. Cuối cùng, khi qua giới hạn ta nhận được Z Z _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy. BA AB Trường hợp đường cong khép kín. Nếu C là đường cong kín, tức là A = B, thì khác với tích phân đường loại I, tích phân đường loại II lấy theo hai chiều khác nhau trên C sẽ cho ra hai giá trị có dấu ngược nhau. Vì vậy, trong trường hợp này cần chỉ rõ tích phân lấy theo chiều nào. Để thống nhất, người ta quy ước trên đường cong kín bất kỳ một chiều dương (+) và một chiều âm (-). Giả sử đường cong kín C xác định một hình phẳng giới nội D. Lúc đó, chiều (+) trên C là chiều mà đi dọc theo
  34. 33 nó sẽ thấy miền D nằm về bên trái, còn chiều (-) là chiều ngược lại. Định nghĩa này cũng được áp dụng cho cả trường hợp C là hợp của một số hữu hạn đường cong kín rời nhau mà vẫn tạo ra hình phẳng D liên thông. Lúc đó, D được gọi là miền đa liên. Với quy ước chiều như vậy, tích phân đường loại II của hàm F trên đường cong kín C theo chiều dương được ký hiệu là I P (x, y)dx + Q(x, y)dy, C còn theo chiều âm là I − P (x, y)dx + Q(x, y)dy. C 3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II _ Giả sử AB là đường cong phẳng có phương trình tham số ( _ x = x(t), AB : t ∈ [a, b], y = y(t); với các hàm x(t), y(t) khả vi liên tục và P (x, y), Q(x, y) là các hàm liên tục. Lúc đó, từ biểu thức (3.5) ta có công thức tích phân đường loại II như sau Z Z b ¡ 0 0 ¢ _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t) dt. (3.6) AB a _ Trường hợp AB là đồ thị hàm y = f(x), x ∈ [a, b] ta có Z Z b ¡ 0 ¢ _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, f(x)) + Q(x, f(x))f (x) dx. (3.7) AB a _ Đặc biệt, nếu AB là một đoạn thẳng trên đường thẳng y = y0 thì Z Z b _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = P (x, y0)dx. (3.8) AB a _ Bây giờ giả sử AB là đường cong trong không gian, được cho bởi hệ  x = x(t), _  AB : y = y(t) t ∈ [a, b],  z = z(t);
  35. 34 _ và P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) là các hàm xác định, liên tục trên AB. Bằng một thủ tục tương tự, ta cũng có định nghĩa tích phân đường loại II của hàm vec-tơ _ (P, Q, R) trên cung AB và cũng có công thức tính tương tự: Z Z b ¡ 0 0 0 ¢ _ P dx + Qdy + Rdz = P (··· )x (t) + Q(··· )y (t) + R(··· )z (t) dt. AB a 3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II Giả thiết rằng trong mặt phẳng R2 có một trường lực F , tức là tại mỗi điểm (x, y) ∈ R2 có một lực tác động F (x, y) = (P (x, y),Q(x, y)). Hãy tính công khi một _ chất điểm có khối lượng đơn vị di chuyển từ A đến B trên cung AB _ Rõ ràng, với mỗi phân hoạch P = {A0,A1, ··· ,Am} của cung AB và với mỗi _ cách chọn các điểm Mi ∈ Ai−1Ai, công của lực sinh ra khi điểm vật chất di chuyển từ A đến B xấp xỉ bằng tổng Xm ω(P) = (P (Mi).∆xi + Q(Mi).∆yi). 1 Như vậy, một cách hợp lý, ta định nghĩa công W của lực sinh ra khi điểm vật _ chất di chuyển trên cung AB là giới hạn của ω(P) khi ρ(P) → 0, mà đó chính là _ tích phân đường loại II của F trên AB. Tóm lại, ta có ZZ W = _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy. AB 3.2.4. Công thức Green Định lý 3.1. Cho D là miền giới nội, có biên C gồm một hoặc nhiều đường cong kín, trơn từng khúc. Giả sử P (x, y), Q(x, y) là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trên một miền chứa D ∪ C. Lúc đó, I ZZ I ZZ ∂P ∂Q P (x, y)dx = − dxdy; Q(x, y)dy = dxdy. C D ∂y C D ∂x Vì vậy, ZZ µ ¶ I ∂Q ∂P − dxdy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. D ∂x ∂y C Áp dụng định lý cho trường hợp P (x, y) = −y và Q(x, y) = x ta có công thức tính diện tích của miền D: ZZ I I I 1 m(D) = dxdy = xdy = − ydx = (xdy − ydx). D C C 2 C
  36. 35 3.2.5. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường Định lý 3.2. Cho P (x, y), Q(x, y) là hai hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trên một miền đơn liên D. Lúc đó, 4 mệnh đề sau tương đương: ∂P ∂Q a) (x, y) = (x, y), với mọi (x, y) ∈ D. ∂y ∂x I b) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với mọi đuờng cong kín C ⊂ D. ZC _ c) _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy, với AB ⊂ D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A và B AB mà không phụ thuộc đường cong đi từ A đến B. d) P (x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của một hàm U nào đó trong D. Hệ quả 3.1. Nếu P (x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của một hàm U(x, y) trên miền đơn liên D, thì Z _ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = U(B) − U(A). AB ∂P ∂Q Hệ quả 3.2. Nếu = với mọi (x, y) ∈ R2, thì P (x, y)dx + Q(x, y)dy là vi ∂y ∂x phân toàn phần của hàm sau trên R2: Z x Z y U(x, y) = P (u, y0)du + Q(x, v)dv + C x0 y0 Z y Z x = Q(x0, v)dv + P (u, y)du + C. y0 x0 3.3. Tích phân mặt loại I 3.3.1. Định nghĩa Cho S là một mặt cong trơn trong không gian, và f là một hàm xác định tại mọi điểm M ∈ S. Ta nói một phân hoạch của S là một tập hợp các mảnh cong P = {S1, S2, ··· , Sm} sao cho Si ∩ Sj = ∅, với mọi i 6= j và ∪Si = S. Ký hiệu ∆Si và ρ(Si) lần lượt là diện tích và đường kính của mảnh cong Si. Ta gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị ρ(P) := max{ρ(S1), ρ(S2), ··· , ρ(Sm)}.
  37. 36 Trên mỗi mảnh Si ta chọn một điểm Mi(xi, yi, zi) và lập tổng Xm σ(P) := f(Mi).∆Si. 1 Nếu tồn tại giới hạn ZZ f(x, y, z)dS := lim σ(P) S ρ(P)→0 không phụ thuộc vào cách chọn P và các điểm Mi, thì giới hạn này được gọi là tích phân mặt loại I của hàm f trên S và f được gọi là khả tích trên S. 3.3.2. Cách tính Giả sử S là mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số  x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D,  z = z(u, v), và f là hàm liên tục trên S. Lúc đó, f khả tích trên S. Mặt khác, từ định nghĩa và từ công thức tính diện tích mặt cong (1.3) ta có thể thiết lập công thức tính tích phân mặt loại I như sau ZZ ZZ p f(x, y, z)dS = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) kak2kbk2 − ha, bi dudv, (3.9) S D 0 0 0 0 0 0 trong đó, a = (xu, yu, zu) và b = (xv, yv, zv). Nếu ký hiệu vec-tơ v = a × b, tức là ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ¯ ¯ 0 0 ¯ ¯ 0 0 ¯ ¯yu zu¯ ¯zu xu¯ ¯xu yu¯ v = (A, B, C); A = ¯ 0 0 ¯ ; B = ¯ 0 0 ¯ ; C = ¯ 0 0 ¯ , (3.10) yv zv zv xv xv yv thì công thức (3.9) có thể viết lại là ZZ ZZ √ f(x, y, z)dS = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B2 + C2 dudv, (3.11) S D Đặc biệt, nếu S là mặt trơn được cho dưới dạng hiển S = {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D}, thì ta có công thức đơn giản hơn: ZZ ZZ q 0 2 0 2 f(x, y, z)dS = f(x, y, g(x, y)) 1 + gx(x, y) + gy(x, y) dxdy. (3.12) S D
  38. 37 3.3.3. Ứng dụng Tương tự tích phân đường loại I, tích phân mặt loại I có thể được sử dụng để tính khối lượng và toạ độ trọng tâm của một mặt cong. Cụ thể, nếu một mặt vật chất được biểu thị bởi một mặt cong trơn S, với khối lượng riêng tại mỗi chất điếm M ∈ S là f(M) ≥ 0, thì khối lượng của mặt và toạ độ trọng tâm I của mặt được tính bởi ZZ m = f(x, y, z)dS; S ZZ ZZ ZZ 1 1 1 xI = x.fdS, yI = y.fdS, zI = z.fdS. m S m S m S 3.4. Tích phân mặt loại II 3.4.1. Mặt hai phía định hướng Giả sử S là một mặt cong trơn, tại mỗi điểm M ∈ S ta có hai vec-tơ pháp tuyến đơn vị đối chiều nhau là n+(M) và n−(M). Nếu ta cho M di chuyển trên một _ đường cong kín đơn AA trên S và giữ cho n+(M) biến thiên liên tục, thì n+(M) xuất phát từ giá trị n+(A) sẽ kết thúc ở giá trị n+(A) hoặc n−(A). Nếu trong mọi trường hợp vec-tơ pháp kết thúc là n+(A) thì S được gọi là mặt hai phía. Trường _ hợp ngược lại, tồn tại một đường cong kín AA mà khi di chuyển theo nó pháp tuyến kết thúc là n−(A), thì S được gọi là mặt một phía. Những mặt thông thường như mặt phẳng, mặt cầu, mặt cong hiển z = f(x, y) đều là mặt hai phía, trong khi “lá Moebius” là mặt một phía. Ở đây, ta chỉ xét mặt hai phía. Mặt hai phía, tại mỗi điểm M trên đó đã xác định các vec-tơ pháp n+(M) và n−(M), được gọi là mặt định hướng. Hướng của n+ được gọi là hướng dương và hướng ngược lại là hướng âm. Giả sử S là một mặt định hướng. Lúc đó, người ta cũng quy định hướng cho các đường cong kín C ⊂ S theo quy tắc “vặn nút chai”. Cụ thể, hướng dương của C là hướng mà nếu đi theo nó (với thân người hướng theo vec-tơ n+) thì ta sẽ thấy mảnh cong giới hạn bởi C nằm về phía tay trái. Đối với mặt hai phía trơn từng mảnh, việc định hướng có thể được tiến hành trên từng mảnh sao cho hướng của những đường biên chung của hai mảnh kề nhau là ngược nhau. Đối với mặt cong kín như mặt cầu, mặt ê-lip, người ta thường định hướng “ra ngoài” và “vào trong”; đối với mặt được cho dưới dạng hiển z = f(x, y) người ta thường định hướng “lên trên” và “xuống dưới”
  39. 38 3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II Cho S là mặt cong trơn, định hướng, với n+(M) = (nx(M), ny(M), nz(M)) là vec-tơ pháp đơn vị theo hướng dương tại điểm M ∈ S. Lúc đó, với mỗi hàm vec-tơ F (x, y, z) = (P (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)) xác định trên S, ta có tương ứng một hàm số f xác định trên S bởi f(x, y, z) = F (x, y, z).n+(x, y, z) = P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz. Nếu tồn tại tích phân mặt loại I của hàm f trên S, thì giá trị này được gọi là tích phân mặt loại II của hàm vec-tơ F trên S, hàm vec-tơ F được gọi là khả tích loại II trên S và viết ZZ ZZ ¡ ¢ P dydz + Qdzdx + Rdxdy = P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz dS. S S Rõ ràng, nếu mặt S được định hướng ngược lại thì tích phân nhận được cũng đổi dấu. 3.4.3. Cách tính Giả sử S là mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số  x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D,  z = z(u, v), và F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ liên tục trên S. Lúc đó, F khả tích loại II trên S. 0 0 0 0 0 0 Tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S các vec-tơ a = (xu, yu, zu) và b = (xv, yv, zv) lập thành cặp vec-tơ chỉ phương của tiếp diện tại đó. Vì vậy vec-tơ v được định nghĩa trong (3.10) chính là một vec-tơ pháp của mặt cong tại (x, y, z). Trước tiên giả sử v và n+ cùng hướng. Lúc đó 1 n+ = √ (A, B, C). A2 + B2 + C2 Từ định nghĩa ta có ZZ ZZ µ ¶ P.A + Q.B + R.C P dydz + Qdzdx + Rdxdy = √ dS 2 2 2 S ZZS A + B + C ¡ ¢ = P.A + Q.B + R.C dudv. (3.13) D
  40. 39 Trường hợp S được định hướng ngược lại, n+ trái chiều với v, thì tích phân có thêm dấu trừ: ZZ ZZ ¡ ¢ P dydz + Qdzdx + Rdxdy = − P.A + Q.B + R.C dudv. (3.14) S D Đặc biệt, nếu S là mặt được cho dưới dạng hiển z = g(x, y), (x, y) ∈ D, và được định hướng lên trên, thì ZZ ZZ ¡ 0 0 ¢ P dydz + Qdzdx + Rdxdy = R − P.gx − Q.gy dxdy. (3.15) S D Nếu S là mặt trơn từng mảnh thì tính tích phân trên từng mảnh rồi cộng lại. 3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II Giả sử dòng vật chất với mật độ h(x, y, z), chịu tác động của trường lực G(x, y, z). Hàm vec-tơ h.G = F = (P, Q, R) được gọi là trường lực của dòng. Lượng của dòng chảy qua mặt S trong một đơn vị thời gian được gọi là thông lượng của dòng và được tính bởi ZZ Φ = P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 3.4.5. Công thức Stokes Định lý Stokes là mở rộng của Định lý Green cho đường cong kín trong không gian. Định lý 3.3. Giả thiết S là mặt cong trơn định hướng, có biên là một đường cong kín đơn C, F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ khả vi liên tục trên miền mở chứa S. Lúc đó, Z ZZ 0 0 0 0 0 0 P dx + Qdy + Rdz = (Qx − Py)dxdy + (Ry − Qz)dydz + (Pz − Qx)dzdx. C S Hệ quả 3.3. Giả thiết V là miền “đơn liên mặt” và các hàm P, Q, R liên tục cùng 0 0 0 0 0 0 các đạo hàm riêng Py, Pz, Qz, Qx, Rx, Ry. Khi ấy, các tính chất sau tương đương ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R a) = , = , = , với mọi (x, y, z) ∈ V. ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x I b) P dx + Qdy + Rdz = 0, với mọi đuờng cong kín C ⊂ V . C
  41. 40 Z _ c) _ P dx + Qdy + Rdz, với AB ⊂ V , chỉ phụ thuộc vào hai mút A và B mà AB không phụ thuộc đường cong đi từ A đến B. d) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz là vi phân toàn phần của một hàm U nào đó trong V . 3.4.6. Công thức Ostrogradski Định lý Green cho ta công thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân đường. Định lý Ostrogradski dưới đây cho ta công thức liên hệ giữa tích phân ba lớp và tích phân mặt. Định lý 3.4. Giả thiết S là mặt cong kín, trơn từng mảnh, bao quanh miền V trong R3, được định hướng ra ngoài. Nếu hàm vec-tơ F = (P, Q, R) khả vi liên tục trên miền mở chứa V thì ZZ ZZZ µ ¶ ∂P ∂Q ∂R P dydz + Qdzdx + Rdxdy = + + dxdydz. S V ∂x ∂y ∂z Hệ quả 3.4. Giả thiết V là miền đơn liên trong R3 và F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ khả vi liên tục trên V . Lúc đó, tích phân của F trên bất kỳ mặt cong kín trơn từng mảnh trong V bằng không khi và chỉ khi ∂P ∂Q ∂R (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ V. ∂x ∂y ∂z 3.5. Thực hành tính toán Thực ra, để có thể tính toán được các tích phân đường, mặt ta luôn luôn phải đưa chúng về dạng tích phân một hoặc hai lớp. Cụ thể, để tính tích phân đường loại I ta dùng các công thức (3.1)-(3.3), tích phân đường loại II dùng các công thức (3.6)-(3.8), tích phân mặt loại I dùng các công thức (3.9), (3.11), (3.12) và tích phân mặt loại II dùng các công thức (3.13)-(3.15). Như vậy, để giải các bài toán cụ thể bằng tích phân đường, mặt trước hết chúng ta cần tìm ra biểu diễn chính xác của các đường, mặt liên quan, sau đó thiết lập công thức tích phân (một hoặc hai lớp) tương ứng và cuối cùng chúng ta mới dùng các lệnh của Maple để tính các tích phân này. 3.6. Bài tập 3.1. Tính tích phân đường loại I sau Z (x2y + xy2)ds, C
  42. 41 với C là đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 2. 3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân đường loại hai Z 3 2 2 2 I = _ (2x sin y + y + y )dx + (x cos y + 3xy + 1)dy, AO _ với AO là đường gấp khúc ABO, với A(2, 0), B(0, 5) và O(0, 0). Z 3 2 2 J = _ (2x sin y + y + x)dx + (x cos y + 3xy + 1)dy, AO _ với AO là đường gấp khúc ABCO, với A(2, 0), B(1, 5), C(0, 3) và O(0, 0). 3.3. Tính tích phân đường: I (x2 + 2y)dx + (x + 2y2)dy, L với L là đường Elipse: (x − 1)2 + 4y2 = 1. 3.4. Đưa tích phân đường loại I sau về tích phân xác định Z (x2 cos(xy) + yex)ds, C với C là đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 2. 3.5. Đưa tích phân đường loại II sau về tích phân xác định I x2 cos(xy)dx + yexdy, C với C là đường tròn tâm I(1, 0) bán kính 1. 3.6. Dùng công thức Green tính các tích phân đường I I (x + y)dx + (xy + x − y)dy; (xy + x + y)dx + (x − y)dy x2+y2=4x x2+y2=2y 3.7. Cho S là mặt cầu đơn vị: (S): x2 + y2 + z2 = 1. a) Hãy biểu diễn mặt cầu này dưới dạng tham số. Xác định một vec-tơ pháp của mặt S tại điểm M(x, y, z) ∈ S. b) Giả sử S là mặt vật chất và khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S là x2 + y2. Hãy tính khối lượng của mặt S
  43. 42 3.8. Cho mặt vật chất được biểu diễn dưới dạng hiển (S): x = y2 + z2;(y, z) ∈ D, trong đó D là phần tư thứ I của hình tròn tâm (0, 0) bán kính 1. Cho biết khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S là ρ(x, y, z) = yz. Hãy tính khối lượng của mặt S 3.9. Đưa tích phân mặt loại I sau về tích phân hai lớp ZZ (x + 2y + 3z)dS, S với S là hợp của bốn mặt của tứ diện OABC, trong đó O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). 3.10. Tính khối lượng của mặt Parabol: z = 4 − x2 − y2; z ≥ 0. Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm M(x, y, z) là ρ(x, y, z) = xy. → 3.11. Tính thông lượng của trường vec-tơ F = (0, 0,R), với R(x, y, z) = x + y + z, qua mặt z = x2 + y2; z ≤ 1, được định hướng lên trên. 3.12. Hãy áp dụng Công thức Ostrogradsky để tính tích phân mặt ZZ x3dydz + y3dzdx + z3dxdy. S Trong đó S là mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, hướng ra ngoài. 3.13. Đưa tích phân mặt loại II sau về tích phân hai lớp ZZ xdydz + ydzdx + zdxdy, S với S là hợp của bốn mặt ngoài của tứ diện OABC, trong đó O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). 3.14. Dùng công thức Ostrogradski tính tích phân mặt ZZ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, S với S là phía ngoài của nửa mặt cầu trên: x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0. 3.15. Tính tích phân mặt ZZ I = xzdydz + x2ydzdy + y2zdzdx S với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 1, z = 0, z = 2. 3.16. Tính tích phân mặt ZZ I = zdxdy, p S với S là phía trên của mặt z = 4 − x2 − y2 bị chắn bởi mặt x2 + y2 = 2x.