Bài giảng Giải tích I - Bùi Xuân Diệu

98 trang ngocly 1800

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích I - Bùi Xuân Diệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giai_tich_i_bui_xuan_dieu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích I - Bùi Xuân Diệu

BÙI XUÂN DIỆU KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ -TÍCH PHÂN -HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải Hà Nội- 2009
MỤC LỤC Mục lục 1 Chương1.Hàmsốmộtbiếnsố(13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N, Z, Q, R 5 2 Trịtuyệtđốivàtínhchất . 5 3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần 3.1 Bàitập 7 4 Dãysố 10 4.1 Bàitập 11 5 Giớihạnhàmsố 14 6 Vôcùnglớn,vôcùngbé 15 6.1 Vôcùngbé(VCB) 15 6.2 Vôcùnglớn(VCL) 16 6.3 Bàitập 16 7 Hàmsốliêntục 18 7.1 Bàitập 20 8 Đạohàmvàviphân 22 8.1 Bàitập 24 9 Cácđịnhlývềhàmkhảvivàứngdụng 28 9.1 Cácđịnhlývềhàmkhảvi 28 9.2 QuitắcL’Hospital 29 10 Cáclượcđồkhảosáthàmsố 33 10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) 33 10.2 Khảosátvàvẽđườngcongchodướidạngthamsố . . . . . . . . . . . 34 10.3 Khảosátvàvẽđườngcongtronghệtoạđộcực . . . . . . . . . . . . . 35 10.4 Bàitập 35 Chương2.Phéptínhtíchphânmộtbiếnsố. . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Tíchphânbấtđịnh 37 1
2 MỤC LỤC 1.1 Nguyênhàmcủahàmsố 37 1.2 Cácphươngpháptínhtíchphânbấtđịnh . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3 Tíchphânhàmphânthứchữutỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4 Tíchphânhàmlượnggiác 45 1.5 Tíchphâncácbiểuthứcvôtỷ 47 2 Tíchphânxácđịnh 49 2.1 Địnhnghĩatíchphânxácđịnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Cáctiêuchuẩnkhảtích 49 2.3 Cáctínhchấtcủatíchphânxácđịnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Cácphươngpháptínhtíchphânxácđịnh . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Hệthốngbàitập 52 3 Cácứngdụngcủatíchphânxácđịnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1 Tínhdiệntíchhìnhphằng 59 3.2 Tínhđộdàiđườngcongphẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Tínhthểtíchvậtthể 63 3.4 Tínhdiệntíchmặttrònxoay. . 65 4 Tíchphânsuyrộng 67 4.1 Tíchphânsuyrộngvớicậnvôhạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Tíchphânsuyrộngcủahàmsốkhôngbịchặn . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Tíchphânsuyrộnghộitụtuyệtđốivàbánhộitụ . . . . . . . . . . . 70 4.4 Cáctiêuchuẩnhộitụ 71 4.5 Bàitập 72 Chương3.Hàmsốnhiềubiếnsố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1 Giớihạncủahàmsốnhiềubiếnsố . . 79 1.1 Giớihạncủahàmsốnhiềubiếnsố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.2 Tínhliêntụccủahàmsốnhiềubiếnsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.3 Bàitập 80 2 Đạohàmvàviphân 81 2.1 Đạohàmriêng 81 2.2 Viphântoànphần 82 2.3 Đạohàmcủahàmsốhợp 82 2.4 Đạohàmvàviphâncấpcao 83 2.5 Đạohàmtheohướng-Gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6 Hàmẩn-Đạohàmcủahàmsốẩn 85 2.7 Bàitập 85 3 Cựctrịcủahàmsốnhiềubiếnsố 92 3.1 Cựctrịtựdo 92 2
MỤC LỤC 3 3.2 Cựctrịcóđiềukiện 94 3.3 Giátrịlớnnhất-Giátrịnhỏnhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3
4 MỤC LỤC 4
CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT) §1. SƠ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LÔGIC; CÁC TẬP SỐ: N, Z, Q, R 1. Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần này Đại số đã dạy) mà chỉ nhắc lại những phép suy luận cơ bản thông qua bài giảng các nội dung khác nếu thấy cần thiết. 2. Giới thiệu các tập số; cần nói rõ tập Q tuy đã rộng hơn Z nhưng vẫn chưa lấp đầy trục số còn tập R đã lấp đầy trục số và chứa tất cả các giới hạn của các dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N Z Q R. ⊂ ⊂ ⊂ §2. TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa và nêu các tính chất sau x 0, x = 0 x = 0, x + y x + y ; • | | ≥ | | ⇐⇒ | | ≤ | | | | x y x y , x A x A hoặc x A • | − | ≥ || | − | || | | ≥ ⇐⇒ ≥ ≤− x B B x B. • | | ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤ 5
6 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) §3. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM: HÀM CHẴN, HÀM LẺ, HÀM TUẦN HOÀN, HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC 1. Định nghĩa hàm số: Nhắc lại định nghĩa ở phổ thông. Chú ý nếu viết dưới dạng ánh xạ f : X R thì tập → xác định đã rõ chính là X còn biểu thức của f (dưới dạng biểu thức giải tích) là chưa rõ, có thể không tìm được biểu thức ấy. Còn nếu hàm số được cho dưới dạng biểu thức giải tích thì cần phải xác định rõ miền xác định của hàm số. Trong chương trình chỉ tập trung vào cách cho hàm số dạng một hay nhiều biểu thức giải tích. Một số hàm Dirichlet, dấu, phần nguyên có thể nêu dưới dạng ví dụ hay thể hiện qua các phần dạy khác. Tập giá trị của hàm số: 2. Hàm số đơn điệu 3. Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn). 4. Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất của đồ thị và kết quả f (x)= hàm chẵn + hàm lẻ). 5. Hàm tuần hoàn: Nêu qua định nghĩa, ví dụ là các hàm số lượng giác. Trong phạm vi chương trình chủ yếu là xem có số T = 0(T > 0) nào đó thỏa mãn 6 f (x + T) = f (x) mà không đi sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > 0 bé nhất). 6. Hàm hợp: định nghĩa và ví dụ. 7. Hàm ngược: (a) Định nghĩa (b) Mối quan hệ giữa đồ thị của hai hàm (c) Định lý về điều kiện đủ để tồn tại hàm ngược, (tăng hay giảm) (d) Trên cơ sở định lý trên xây dựng các hàm số lượng giác ngược và vẽ đồ thị của x chúng. Ở phổ thông học sinh đã biết y = a , y = loga x là các hàm ngược của nhau 8. Hàm số sơ cấp 6
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 7 (a) Nêu các hàm số sơ cấp cơ bản: α x y = x , y = a , y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x. (b) Định nghĩa hàm số sơ cấp: Nêu ví dụ về 3 lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic. 3.1 Bài tập Bài tập 1.1. Tìm TXĐ của hàm số 2x a) y = 4 lg(tan x) b) y = arcsin 1 + x q√x c) y = d) y = arccos(2sin x) sin πx Lời giải. a. TXĐ = π/4 + kπ x π/2 + kπ, k Z b. TXĐ = 1/3 x 1 { ≤ ≤ ∈ } {− ≤ ≤ } π π c. TXĐ = x 0, x Z d. TXĐ = + kπ x + kπ, k Z { ≥ 6∈ } {− 6 ≤ ≤ 6 ∈ } Bài tập 1.2. Tìm miền giá trị của hàm số x a. y = lg(1 2 cos x) b. y = arcsin lg − 10 Lời giải. a. MGT = ∞ y lg3 b. MGT = π/2 y π/2 {− ≤ ≤ } {− ≤ ≤ } Bài tập 1.3. Tìm f (x) biết 1 1 x a. f x + = x2 + b. f = x2. x x2 1 + x x 2 Lời giải. a.ĐS: f (x)= x2 2 với x 2. b. ĐS: f (x)= x = 1. − | |≥ 1 x ∀ 6 − Bài tập 1.4. Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) 1 x 1 a. y = 2x + 3. b. y = − c. y = (ex + e x) 1 + x 2 − 1 3 Lời giải. a)ĐS: y = x 2 − 2 1 x b) ĐS: y = y = − 1 + x 7
8 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 1 c) Ta có y = (ex e x) nên hàm số đã cho không là một đơn ánh. Ta phải xét trên 2 0 2 − − miền: 1 Trên miền x 0, từ y = (ex + e x) ex = y y2 1 x = ln(y + y2 1). Ta ≥ 2 − ⇒ ± − ⇒ − có song ánh: p p [0, +∞) [1, +∞) → 1 x x x y = (e + e− ) 7→ 2 ln(y + y2 1) y − ← q Vậy hàm ngược trên miền x 0 là y = ln(x + √x2 1), x 1. ≥ − ≥ Trên miền x 0, tương tự ta có hàm ngược là y = ln(x √x2 1), x 1. ≤ − − ≤ Bài tập 1.5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số x x a. f (x)= a + a− (a > 0) b. f (x)= ln(x + √1 x2) − c. f (x)= sin x + cos x Lời giải. a. ĐS: hàm số đã cho là hàm số chẵn. b. ĐS: hàm số đã cho là hàm số lẻ. c. ĐS: hàm số đã cho không chẵn, không lẻ. Bài tập 1.6. Chứng minh rằng bất kì hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng đối xứng ( a, a) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và − một hàm số lẻ. Lời giải. Với mỗi f (x) bất kì ta luôn có 1 1 f (x)= [ f (x)+ f ( x)] + [ f (x) f ( x)] 2 − 2 − − g(x) h(x) | {z } | {z } trong đó g(x) là một hàm số chẵn, còn h(x) là một hàm số lẻ. Bài tập 1.7. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có) a. f (x)= A cos λx + B sin λx 8
3. Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 9 1 1 b. f (x)= sin x + sin2x + sin3x 2 3 c. f (x)= sin2 x d. f (x)= sin(x2) Lời giải. a) Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho. Khi đó f (x + T)= f (x) x R ∀ ∈ A cos λ(x + T)+ B sin λ(x + T)= A cos λx + B sin λx x R ⇔ ∀ ∈ A[cos λx cos λ(x + T)] + B[sin λx sin λ(x + T)] = 0 x R ⇔ − − ∀ ∈ λT λT λT 2sin − [A sin(λx + )+ B cos(λx + )] = 0 x R ⇔ 2 2 2 ∀ ∈ λT sin = 0 ⇔ 2 2kπ T = . ⇔ λ 2π Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = . λ | | b. Theo câu a) thì hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin2x tuần hoàn với 2π 1 1 chu kì π, hàm số sin3x tuần hoàn với chu kì . Vậy f (x)= sin x + sin2x + sin3x 3 2 3 tuần hoàn với chu kì T = 2π 1 cos 2x c. f (x)= sin2 x = − tuần hoàn với chu kì T = π 2 d. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T > 0.Khi đó sin(x + T)2 = sin(x2) x. ∀ 1. Cho x = 0 T = √kπ, k Z, k > 0. ⇒ ∈ 2. Cho x = √π k là số chính phương. Giả sử k = l2, l Z, l > 0. ⇒ ∈ π 3. Cho x = ta suy ra điều mâu thuẫn. 2 r Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. Bài tập 1.8. Cho f (x)= ax + b, f (0)= 2, f (3)= 5. Tìm f (x). − − 7 Lời giải. ĐS: f (x)= x 2. 3 − Bài tập 1.9. Cho f (x)= ax2 + bx + c, f ( 2)= 0, f (0)= 1, f (1)= 5. Tìm f (x). − 9
10 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 7 17 Lời giải. ĐS: f (x)= x2 + x + 1. 6 6 1 Bài tập 1.10. Cho f (x)= (ax + a x), a > 0. Chứng minh rằng : 2 − f (x + y)+ f (x y)= 2 f (x) f (y). − Bài tập 1.11. Giả sử f (x)+ f (y)= f (z). Xác định z nếu: a. f (x)= ax, a = 0. b. f (x)= arctan x 6 1 1 + x c. f (x)= d. f (x)= lg x 1 x − Lời giải. x + y a. ĐS: z = x + y b. ĐS: z = 1 xy − xy x + y c. ĐS: z = d. ĐS: z = x + y 1 + xy §4. DÃY SỐ Định nghĩa dãy số, các khái niệm về dãy đơn điệu, bị chặn, giới hạn và các phép toán. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn (tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu, tiêu chuẩn Cauchy). 1. Nhắc lại định nghĩa dãy số và các khái niệm về dãy bị chặn, đơn điệu 2. Định nghĩa giới hạn dãy số và nêu một ví dụ. Các khái niệm về dãy số hội tụ, phân kỳ. Nêu tính chất giới hạn nếu có là duy nhất, mọi dãy hội tụ đều bị chặn. 3. Các phép toán 4. Ý tưởng về giới hạn ∞ 5. Các tiêu chuẩn hội tụ (a) Đơn điệu bị chặn, ví dụ mô tả số e. (b) Tiêu chuẩn kẹp (c) Định nghĩa dãy Cauchy, tiêu chuẩn Cauchy. Nêu ví dụ dãy (an): 1 1 1 a = 1 + + + + phân kỳ. n 2 3 ··· n 10
4. Dãy số 11 4.1 Bài tập Bài tập 1.12. Tìm giới hạn của các dãy số sau: a. x = n n2 n b. x = n(n + a) n c. x = n + 3 1 n3 n − − n − n − n pnπ qsin2 n cos3 n p d. x = sin e. x = − n 2 2 n n 1 a Lời giải. a.ĐS: b. ĐS: c. ĐS: 0 d.ĐS:phânkì e.ĐS: 0 2 2 1 Bài tập 1.13. Xét dãy số xn = xn 1 + , x0 = 1. − xn 1 − a. Chứng minh rằng dãy x không có giới hạn hữu hạn. { n} b. Chứng minh rằng lim xn =+∞. n ∞ → 1 Bài tập 1.14. Xét u = (1 + )n.Chứng minh rằng u là một dãy số tăng và bị chặn. n n { n} Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 1 1 + 1 1 + (1 + )+ + (1 + ) (n + 1) n 1 (1 + )n. n n ≥ r n 1 1 (1 + )n+1 (1 + )n ⇒ n + 1 ≥ n Hơn nữa ta có 1 n 1 = ( + )n = k un 1 ∑ Cn. k n k=0 n k 1 k! = 1.2 k 2 − k 2 ≥ ∀ ≥ 1 n.(n 1) (n k + 1) 1 1 1 Ck = < n. k − − . k k 1 ⇒ n k! n k! ≤ 2 − 1 1 1 < + + + + + < un 1 1 2 k 1 3. ⇒ 2 2 2 − 1 1 Bài tập 1.15. Cho s = 1 + + + .Chứng minh rằng s tăng và bị chặn. n 1! n! { n} Lời giải. Chú ý : lim un = lim sn = e. n +∞ n +∞ → → 1 + a + + an Bài tập 1.16. Tính lim ; a < 1, b < 1. n +∞ 1 + b + + bn → | | | | 11
12 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) Lời giải. 1 + a + + an 1 an+1 1 b 1 b lim = lim − . − = − n +∞ 1 + b + + bn n +∞ 1 a 1 bn+1 1 a → → − − − Bài tập 1.17. Tính lim 2 + 2 + + √2 (n dấu căn). n +∞ → q p Lời giải. Đặt u = 2 + 2 + + √2 ta có u2 = 2 + u . Trước hết chứng minh u n n+1 n { n} là một dãy số tăng vàq bị chặn,p 0 un 2. Theo tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, un là một ≤ ≤ 2 { } dãy số hội tụ. Giả sử lim un = a,0 − 0 < < . 2 ⇒ 2n n 1 − Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh. 12
5. Giới hạn hàm số 13 2n Bài tập 1.21. Chứng minh rằng lim = 0. n +∞ n! → Lời giải. Ta có 2n 2 2 2 2 2 0 0. n +∞ n +∞ → → n(n 1) 2 Lời giải. Đặt α = √n n 1 n = (1 + α )n > − α2 α2 1,1 √n a √n n n > a lim √n a = 1 n +∞ ≤ ≤ ∀ ⇒ → 1 0 n thì lim √a1.a2 an = a. n +∞ n +∞ → ∀ → 13
14 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) §5. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa giới hạn hàm số (a) Nêu các định nghĩa: lim f (x) trong quá trình + x x , x x , x x−, x ∞ → o → o → o → (b) Tính duy nhất của giới hạn 2. Các phép toán 3. Giới hạn của hàm hợp: Nếu có lim u(x) = uo, lim f (u) = f (uo) và có hàm hợp f (u(x)) thì lim f (u(x)) = x x u u x x → o → o → o f (uo). lim B(x) ln A(x) B(x) x xo Áp dụng lim A(x) = e → . x x → o 4. Giới hạn vô cùng Bài tập 1.27. Tính x100 2x + 1 0 a. lim − x 1 x50 2x + 1 0 → − (xn an) nan 1(x a) 0 b. lim − − − − x a (x a)2 0 → − Pn(x) (x x0).Pn 1(x) Pn 1(x) TQ : Pn(x0)= Qm(x0)= 0. lim = lim − − = lim − . x x0 Qm(x) x x0 (x x0).Qm 1(x) x x0 Qm 1(x) → → − − → − 49 n(n 1) Lời giải. a.ĐS: b. ĐS: − .an 2 24 2 − Bài tập 1.28. Tìm giới hạn x + x + √x ∞ √x a. lim ĐS : = 1 x +∞ q √px + 1 ∞ ∼ √x → b. lim (√3 x3 + x2 1 x) (∞ ∞) x +∞ → − − − Lời giải. a. x + x + √x √x lim = lim = 1 x +∞ q √ √ → px + 1 x b. 2 3 x 1 1 lim ( x3 + x2 1 x)= lim − = x +∞ − − x ∞ 3 (x3 + x2 1)2 + x√3 x3 + x2 1 + x2 3 → p → − − p 14
6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 15 §6. VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ 6.1 Vô cùng bé (VCB) 1. Định nghĩa; nêu mối liên hệ lim f (x)= ` f (x)= ` + α(x); x a → ⇐⇒ trong đó α(x) VCB trong quá trình x a. Phân biệt với khái niệm rất bé. − → 2. Một số tính chất: (a) Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó). (b) Tích của VCB với một đại lượng bị chặn. (c) Tích các VCB. 3. So sánh các VCB trong cùng một quá trình (a) VCB cùng bậc, VCB tương đương Nêu các công thức thay tương đương hay dùng trong quá trình x 0 → x sin x tan x arcsin x arctan x ∼ ∼ ∼ ∼ ax 1 ex 1 − ln(a + x) ∼ − ∼ ln a ∼ 1 αx √m 1 + αx 1 ln √m 1 + αx = ln (1 + αx) − ∼ m ∼ m x2 1 cos x . − ∼ 2 (b) Vô cùng bé bậc cao i. Định nghĩa ii. Hiệu hai VCB tương đương iii. Tích hai VCB 4. Qui tắc ngắt bỏ các VCB và qui tắc thay tương đương (a) Nếu α α, β β thì ∼ ∼ α α lim = lim ; lim (α.γ) = lim (α.γ) β β α + α1 α (b) Nếu α1 = o (α) , β1 = o (β) thì lim = lim β + β1 β 15
16 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 5. Ứng dụng khử một số dạng vô định Chú ý: Học sinh hay nhầm Thay tương đương khi có hiệu hai VCB • Nếu f là một hàm, α α = f (α) f (α). • ∼ 6 ⇒ ∼ 6.2 Vô cùng lớn (VCL) 1. Định nghĩa 2. Mối liên hệ giữa VCB và VCL. Từ đó suy ra các kết quả tương tự như đối với các VCB. 3. Qui tắc thay tương đương và ngắt bỏ VCL. ∞ 4. Ứng dụng khử dạng . ∞ Chú ý: Còn tồn đọng một số dạng vô định, ví dụ x sin x lim − ; lim xsin x; x 0 x3 x 0+ → → 6.3 Bài tập Bài tập 1.29. Tìm giới hạn √m 1 + αx n 1 + βx 0 a. lim − x 0 x 0 → p √m 1 + αx. n 1 + βx 1 0 b. lim − x 0 x 0 → p Lời giải. a. √m 1 + αx n 1 + βx √m 1 + αx 1 n 1 + βx 1 − = − − x p x − p x α β Vì √m 1 + αx 1 x, n 1 + βx 1 x, nên − ∼ m − ∼ n p √m 1 + αx n 1 + βx α β lim − = x 0 x m − n → p b. √m 1 + αx. n 1 + βx 1 n 1 + βx 1 √m 1 + αx 1 α β lim − = lim √m 1 + αx. − + − = + x 0 x x 0 x x m n → p → p ! 16
6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 17 Bài tập 1.30. Tìm giới hạn sin x sin a 0 a. lim − b. lim (sin √x + 1 sin √x) x a x a 0 x +∞ − → − → √cos x √3 cos x 0 1 cos x cos 2x cos 3x 0 c. lim − d. lim − x 0 sin2 x 0 x 0 1 cos x 0 → → − 1 Lời giải. a.ĐS: cos a b.ĐS:0 c.ĐS: − d. ĐS : 14 12 Bài tập 1.31. Tìm giới hạn x 1 2 x−+1 x 1 1 ∞ a. lim − b. lim (cos √x) x (1 ) x ∞ x2 + 1 x 0+ → → c. lim [sin(ln(x + 1)) sin(ln x)] d. lim n2(√n x n+√1 x), x > 0 x ∞ n ∞ → − → − x 1 x2 1 x+−1 Lời giải. a) Đây không phải là dạng vô định, lim − = 1. x ∞ x2 + 1 → lim B(x) ln A(x) B(x) x x b) Áp dụng công thức lim A(x) = e → 0 . x x → 0 1 ln cos √x sin √x 1 lim ln cos √x x = lim = lim − = (L’Hospital) x 0+ x 0+ x x 0+ 2√x −2 → → → nên 1 1 x lim ln cos √x = e− 2 x 0+ → c) ĐS: 0. d) lim n2(√n x n+√1 x), x > 0 n ∞ → − 2 1 1 = lim n (x n x n+1 ) n ∞ → − 1 1 = lim n2x n+1 (x n(n+1) 1) n ∞ − → 1 n(n+1) 2 1 x 1 1 = lim n x n+1 . − . n ∞ 1 n(n + ) → 1 n(n + 1) 1 n 1 x n(n+1) 1 = lim .x n+1 . − n ∞ n + 1 → 1 n(n + 1) = ln x 17
18 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) Bài tập 1.32. Khi x 0 cặp VCB sau có tương đương không ? → α(x)= x + √x và β(x)= esin x cos x − q Lời giải. ĐS: β(x)= o(α(x)) Bài tập 1.33. Tìm giới hạn lim B(x) ln A(x) B(x) x x Áp dụng lim A(x) = e → 0 . x x → 0 1 ∞ tg x ∞ a. lim (1 2x) x (1 ) b. lim (sin x) (1 ) x 0+ − x π → → 2 1 sin x 1 + tg x sin x sin x x sin x c. lim (1∞) d. lim − (1∞) x 0 1 + sin x x 0 x → → Thay tương đương : eαx eβx 0 eαx eβx 0 e. lim − f. lim − x 0 x 0 x 0 sin αx sin βx 0 → → − ax xa 0 g. lim − x a x a 0 → − Lời giải. 2 a. ĐS: e− b. ĐS: 1 c. ĐS: 1 d. ĐS: e e. ĐS: α β f. ĐS: 1 g. ĐS: aa(ln a 1) − − §7. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Định nghĩa: Cho f (x) xác định trong một lân cận nào đó của xo (xác định cả tại xo) nếu có lim = f (xo) x x → o ( ε > 0, δ(ε, x ) > 0: x, x x < δ ta có f (x) f (x ) < ε) . ∀ ∃ o ∀ | − o| | − o | 2. Liên tục một phía và mối quan hệ với liên tục. 3. Các khái niệm hàm liên tục trên một khoảng, một đoạn. Hình ảnh hình học. 4. Các phép toán số học đối với các hàm số cùng liên tục (tại xo, bên phải xo, bên trái xo). 5. Sự liên tục của hàm ngược 18
7. Hàm số liên tục 19 Định lý 1.1. (Sự liên tục của hàm ngược) Nếu X là một khoảng, y = f (x) đồng biến (nghịch biến) liên tục trên X. Khi đó có hàm ngược y = g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên f (X). Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược là liên tục trên tập xác định của chúng. 6. Sự liên tục của hàm hợp Suy ra kết quả: X-khoảng, đoạn, nửa đoạn. Mọi hàm số sơ cấp xác định trên X thì liên tục trên X. 7. Các định lý về hàm liên tục Định lý 1.2. Nếu f (x) liên tục trên khoảng (a, b) mà giá trị f (x ), x (a, b) dương o o ∈ (hay âm) thì tồn tại một lân cận U(x ) sao cho x U(x ), f (x) cũng dương hay âm. o ∀ ∈ o Hình ảnh hình học. Định lý 1.3. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trên đoạn đó. Hình ảnh hình học. Định lý 1.4. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt được GTLN, NN trên đoạn này. Hình ảnh hình học. * Liên tục đều, hình ảnh hình học của liên tục đều. Định lý 1.5. (Định lý Cantor) Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì nó liên tục đều trên đó (thay [a, b] bằng khoảng (a, b) thì định lý không còn đúng). Mô tả hình học. Định lý 1.6. (Định lý Cauchy) Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và có f (a). f (b) < 0 thì α (a, b) để f (α)= 0. ∃ ∈ Nêu một ví dụ, nêu ứng dụng dùng để thu hẹp khoảng nghiệm của phương trình. Hình ảnh hình học. Corollary 1.1. Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a, b] , A = f (a) = B = f (b) thì nó nhận 6 mọi giá trị trung gian giữa A và B. Corollary 1.2. Cho f (x) liên tục trên [a, b] , m, M lần lượt là các GTNN, LN của hàm số trên đoạn này thì [m; M] là tập giá trị của hàm số. 8. Điểm gián đoạn của hàm số 19
20 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) (a) Định nghĩa: Nếu hàm số không liên tục tại điểm xo thì ta nói nó gián đoạn tại xo; xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số. Hình ảnh hình học (đồ thị không liền nét tại điểm gián đoạn). Như vậy nếu x là điểm gián đoạn của f (x) thì hoặc x MXĐ hoặc x MXĐ o o 6∈ o ∈ nhưng không xảy ra lim f (x) = f (xo), x xo theo nghĩa (cả hai phía hay một x x → o → phía). Ở đây ta quan tâm đến X như là một khoảng, nửa khoảng hay một đoạn. Do x MXĐ của f (x) nên có thể có rất nhiều điểm gián đoạn, ta chỉ quan tâm o 6∈ đến những điểm gián đoạn thuộc tập xác định hay là những điểm đầu mút của khoảng xác định. (b) Phân loại điểm gián đoạn Giả sử xo là điểm gián đoạn của f (x) i. Điểm gián đoạn loại 1: + Nếu lim f (x) = f (x ) và lim f (x)= f (x ) thì xo được gọi là điểm gián + o o− ∃ x x x x− → o → o đoạn loại 1 của hàm số f (x). Giá trị f (x+) f (x ) gọi là bước nhảy của | o − o− | hàm số. + Đặc biệt: nếu f (xo ) = f (xo−) thì xo được gọi là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số. Khi đó nếu hàm số chưa xác định tại xo thì ta có thể bổ sung thêm giá trị của hàm số tại xo để hàm số liên tục tại điểm xo. Còn nếu hàm số xác định tại điểm xo thì ta có thể thay đổi giá trị của hàm số tại điểm này để hàm số liên tục tại xo. ii. Điểm gián đoạn loại 2: Nếu xo không là điểm gián đoạn loại 1 thì ta nói nó là điểm gián đoạn loại 2. (c) Chú ý: Với quan điểm xem điểm gián đoạn bỏ được là trường hợp đặc biệt của điểm gián đoạn loại 1 với xo là điểm gián đoạn (đầu mút của khoảng hay đoạn) của f (x), mà có lim f (x) hữu hạn thì ta cũng xem xo là điểm gián đoạn bỏ được x x → o của hàm số. (d) Các ví dụ. 7.1 Bài tập Bài tập 1.34. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0 a/ 1 cos x − nếu x = 0 f (x)= x 6 a nếu x = 0   20
7. Hàm số liên tục 21 1 ĐS : a = 2 b/ ax2 + bx + 1 nếu x 0 g(x)= ≥ a cos x + b sin x nếu x < 0  ĐS : a = 1  Bài tập 1.35. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số 8 sin 1 eax ebx a. b. x c. y = cotg x y = 1 y = − 1 2 e x 1 x − − Gợi ý & Đáp số. a.ĐS:LoạiI b.ĐS:LoạiII c.ĐS:bỏđược Bài tập 1.36. Xét sự liên tục của các hàm số sau a/ x sin 1 nếu x = 0 f (x)= x 6 0 nếu x = 0  ĐS : liên tục.  b/ 1 e− x2 nếu x = 0 f (x)= 6 0 nếu x = 0  ĐS : liên tục.  c/ sin πx nếu x vô tỉ f (x)= 0 nếu x hữu tỉ  ĐS : gián đoạn.  21
22 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) Bài tập 1.37. Chứng minh rằng nếu f , g là các hàm số liên tục trên [a, b] và f (x) = g(x) với mọi x là số hữu tỉ trong [a, b] thì f (x)= g(x) x [a, b]. ∀ ∈ Bài tập 1.38. Chứng minh rằng phương trình x5 3x 1 có ít nhất một nghiệm trong − − (1,2). Bài tập 1.39. Cho f (x) = ax2 + bx + c, biết 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng f (x) có ít nhất một nghiệm trong (0,1). Bài tập 1.40. Chứng minh rằng nếu f : [0,1] [0,1] liên tục thì tồn tại x [0,1] sao cho → 0 ∈ f (x0)= x0. Bài tập 1.41. Chứng minh rằng mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực. §8. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. Định nghĩa đạo hàm (a) Nêu lại định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học, cơ học (b) Đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm trái, phải, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục. 2. Các phép toán 3. Đạo hàm của hàm hợp: có chứng minh [ f (u(x))]0 = fu0 .u0x. Ý tưởng chứng minh: ta có 0 u (xo + ∆x) = u (xo) + u (xo) ∆x + o (∆x) f [u (x + ∆x)] f [u (x )] = f u + u0 (x )∆x + o (∆x) f (x ) = f 0 (u ) .δ + o δ o − o  o o  − o u o y y  δy  f [u (x + ∆x)] f [u(x )]  = lim o − o | {z } ⇒ ∆x 0 ∆x → 4. Đạo hàm của hàm ngược: Dùng 1 trong 2 định lý sau (có chứng minh) Định lý 1.7. Nếu x = ϕ (y) có đạo hàm tại y và ϕ0 (y ) = 0, có hàm ngược y = f (x) o o 6 và hàm ngược này liên tục tại xo = ϕ (yo), suy ra nó có đạo hàm tại điểm xo và 1 f 0 (xo) = . ϕ0 (yo) 22
8. Đạo hàm và vi phân 23 Định lý 1.8. Nếu x = ϕ(y) có đạo hàm và y và ϕ0 (y ) = 0, biến thiên đơn điệu o o 6 trong lân cận điểm yo thì nó sẽ tồn tại hàm ngược y = f (x) và hàm này cũng có đạo 1 hàm tại điểm xo, f 0 (xo)= . ϕ0 (yo) Từ đó xây dựng công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược. 5. Bảng đạo hàm cơ bản Nêu ý tưởng tính đạo của các hàm số sơ cấp và các hàm số cho dưới dạng nhiều biểu thức giải tích. 6. Vi phân của hàm số (a) Định nghĩa i. Nêu định nghĩa ∆ f = A.∆x + o (∆x) ii. Nêu ý nghĩa: biểu thức df (xo) = A.∆x là tuyến tính với ∆x nên tính nó đơn giản. (b) Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân, từ đó suy ra df (xo) = f 0 (xo) .∆x. Lập luận suy ra ∆x = dx = df (x ) = f 0 (x )dx. ⇒ o o (c) Tính bất biến của dạng thức vi phân (cấp 1) d Ví dụ: Tính x3 2x6 x9 . d (x3) − − (d) Ý nghĩa hình học của vi phân y y = f (x) yo + ∆y T df (xo)= MT Mo yo b M O xo xo + ∆x x (e) Ứng dụng tính gần đúng, nêu một ví dụ. (f) Qui tắc lấy vi phân 7. Đạo hàm và vi phân cấp cao: (a) Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa, ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2; • 23
24 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) Các phép toán (Công thức Leibniz chỉ nói phương pháp chứng minh). • (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (n) n (n k) (k) (u.v) = ∑ Ck .u − .v k=0 Các ví dụ về đạo hàm cấp cao của các hàm: • 1 y = xα, y = , y = sin (ax + b) , x + a y = cos (ax + b) , y = eax, y = x2 + 1 ex, y = ex sin x. Đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản: (xα)(n) = α(α 1) (α n + 1)xα n • − − − [(1 + x)α](n) = α(α 1) (α n + 1).(1 + x)α n • − − − 1 (n) n! = ( 1)(n). • 1 + x − (1 + x)n+1 1 (n) n! = • 1 x (1 x)n+1 − − (sin x)(n) = sin x + nπ • 2 (cos x)(n) = cos x + nπ • 2 (ax)(n) = ax. (ln a)n • (n 1)! (ln x)(n) = ( 1)n 1. − • − − xn (b) Vi phân cấp cao: Định nghĩa • Biểu thức của vi phân cấp cao • Các phép toán • Dạng thức của vi phân cấp cao không còn đúng đối với hàm hợp. • 8.1 Bài tập Bài tập 1.42. Tìm đạo hàm của hàm số 1 x khi x 2 −   24
8. Đạo hàm và vi phân 25 Bài tập 1.43. Với điều kiện nào thì hàm số xn.sin 1 khi x = 0 f (x)= x 6 0 khi x = 0   a. liên tục tại x = 0 b. khả vi tại x = 0 c. có đạo hàm liên tục tại x = 0 Gợi ý & Đáp số. a. ĐS: n > 0 b. ĐS: n > 1 c. ĐS: n > 2 Bài tập 1.44. Chứng minh rằng hàm số f (x)= x a .ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số | − | liên tục và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a. 6 Lời giải. f+0 (a)= ϕ(a) = f 0 (a)= ϕ(a) 6 − − Bài tập 1.45. Tìm vi phân của hàm số 1 x x a. y = arctg (a = 0) b. y = arcsin (a = 0) a a 6 a 6 1 x a c. y = .ln − (a = 0) d. y = ln x + x2 + a 2a | x + a | 6 | | p Gợi ý & Đáp số. dx dx a. dy = b. dy = .(sign a) a2 + x2 √a2 x2 dx dx− c. dy = d. dy = x2 a2 √x2 + a − Bài tập 1.46. Tìm d d sin x d(sin x) a. I = (x3 2x6 x9) b. J = ( ) c. K = d(x3) − − d(x2) x d(cos x) Gợi ý & Đáp số. 1 sin x a. I = 3x6 4x3 + 1 b. J = cos x c. K = cotg x, x = kπ, k Z − − 2x2 − x − 6 ∈ Bài tập 1.47. Tính gần đúng giá trị của biểu thức 2 0,02 a. lg11 b. 7 − 2 + 0,02 r 25
26 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 1 Lời giải. a) Xét f (x)= lg x, x = 10, x = 1, ta có lg11 lg10 + = 1, 043 0 4 ≈ 10ln10 2 0,02 4 4 b) 7 − = 7 1. Xét f (x)= 7 1, x = 2, x = 0,02 2 + 0,02 2 + 0,02 − x − 0 4 Tar có r r 7 4 1 4 6 4 1 −7 f (x + x)= 1 + 0, 02. .( 1) .−2 = 1 0, 02. = 4 r2 − 7 2 − 2 − 7 Bài tập 1.48. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số x2 1 + x a. y = , tính y(8) b. y = , tính y(100) 1 x √1 x − − c. y = x2.ex, tính y(10) d. y = x2.sin x, tính y(50) Gợi ý & Đáp số 8! 197! a. y(8) = , x = 1 b. y(100) = (399 x), x < 1 (1 x)9 6 2100(1 x)100√1 x − − − − 45 c. y(10) = 210e2x(x2 + 10x + ) d. y(50) = x2 sin x + 100x cos x + 2450 sin x 2 − Bài tập 1.49. Tính đạo hàm cấp n của hàm số x 1 a. y = b. y = x2 1 x2 3x + 2 −x − c. y = d. y = eax.sin(bx + c) √3 1 + x ( 1)n 1 1 Lời giải. a. y(n) = − n! + 2 (x 1)n+1 (x + 1)n+1 − 1 1 b. y(n) = n! (1 x)n+1 − (2 x)n+1 − − ( 1)n 1 3n + 2x c. y(n) = − − (1.4 (3n 5)) , n 2, x = 1 n n+ 1 3 − (1 + x) 3 ≥ 6 d Tính y0 rồi dự đoán và chứng minh bằng quy nạp (n) n ax b a y = (a2 + b2) 2 e sin(bx + c + nϕ), ở đó, sin ϕ = , cos ϕ = √a2 + b2 √a2 + b2 26
8. Đạo hàm và vi phân 27 Bài tập 1.50. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 1 1 1/ y = 2/ y = a + bx √a + bx 1 ax + b 3/ y = 4/ y = x2 x2 cx + d − 5/ y = sin2 x 6/ y = sin3 x 7/ y = sin ax.sin bx 8/ y = sin2 ax. cos bx 9/ y = sin4 x + cos4 x 10/y = x cos ax 11/ y = x2 cos ax 12/y = x2 sin ax a + bx 13/ y = ln a bx − (1.1) ( 1)n.n!bn Lời giải. 1/ y(n) = − (a + bx)n+1 ( 1)n.(2n 1)!!bn 2/ y(n) = − − 2n √n a + bx 1 1 1 ( 1)n.n! 1 n+1 1 n+1 3/ y = = ( 1 ) nên y(n) = − x2 x2 2a x a − x+a 2a x a − x + a − − " − # ax + b a 1 1 1 ad ( 1)n.n! 4/ y = = + b ad nên y(n) = b − cx + d c c − c d c − c n+1 x + c d x + c 1 1 5/ y = sin2 x = cos 2x nên y(n) = 2n 1 cos 2x + nπ 2 − 2 − − 2 6/ y = sin3 x = 3 sin x 1 sin3x nên y(n) = 3 sin x + nπ 1 3n sin 3x + nπ 4 − 4 4 2 − 4 2 7/ y = sin ax.sin bx = 1 [cos(a b)x cos(a + b)x] nên 2 − − 1 nπ 1 nπ y(n) = (a b)n cos (a b)x + (a + b)n cos (a + b)x + 2 − − 2 − 2 2 h i h i cos bx 8/ y = sin2 ax. cos bx = 1 [cos(2a + b)x + cos(2a b)x] nên 2 − 4 − 1 nπ 1 nπ 1 nπ y(n) = bn cos bx + (2a + b)n cos (2a + b)x + (2a b)n cos (2a b)x + 2 2 − 4 2 − 4 − − 2 h i h i 4 4 3 1 (n) n 1 nπ 9/ y = sin x + cos x = 4 + 4 cos 4x nên y = 4 − cos 4x + 2 (n) n nπ n 1 (n 1)π 10/ y = a x cos ax + 2 + na − cos ax + −2 27
28 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) ( ) nπ (n 1)π (n 2)π 11/ y n = anx2 sin ax + + 2nan 1x sin ax + − + n(n 1)an 2 sin ax + − 2 − 2 − − 2 ( ) nπ (n 1)π (n 2)π 12/ y n = anx2 cos ax + + 2nan 1x cos ax + − + n(n 1)an 2 cos ax + − 2 − 2 − − 2 (n 1)!bn 13/ y(n) = − . [(a + bx)n + ( 1)n(a bx)n] (a2 b2x2)n − − − §9. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG 9.1 Các định lý về hàm khả vi 1. Cực trị của hàm số: Nên dùng định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) liên tục trên (a, b), ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm x (a, b) nếu U(x ) (a, b) sao cho f (x) f (x ) không đổi dấu x o ∈ ∃ o ⊂ − o ∀ ∈ U(x ) x . o \ { o} Nếu f (x) f (x ) 0 thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x . • − o o 2. Định lý Fermat (có chứng minh) Định lý 1.9. Cho f (x) liên tục trên khoảng (a, b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x (a, b) và có đạo hàm tại x thì f 0 (x )= 0. o ∈ o o Có chứng minh và mô tả hình học, chú ý giả thiết liên tục ở đây là do định nghĩa cực trị. 3. Định lý Rolle: có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học 4. Định lý Lagrange: Có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học 5. Định lý Cauchy Chú ý: (a) Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange, định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy. Các giả thiết trong các định lý này là cần thiết. (b) Nêu dạng khác của định lý Lagrange: ∆ f = f 0 (x + θ∆x) , θ (0,1). o ∈ (c) Nên tìm một ví dụ hấp dẫn về định lý Lagrange. 28
9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 29 9.2 Qui tắc L’Hospital Qui ước nói một quá trình nào đó là hiểu + x x , x x , x x−, x +∞, x ∞, x ∞. → o → o → o → →− → 0 1. Qui tắc 1 khử dạng . 0 Nếu f (x) và g(x) là các VCB trong cùng một quá trình nào đó và trong chính quá f 0 (x) trình ấy ta có lim = A hữu hạn hay vô hạn thì trong quá trình ấy ta có g0 (x) f (x) lim = A. Ý tưởng chứng minh: g(x) (a) Nếu f (x) và g(x) liên tục trong lân cận điểm x , g0 (x ) = 0, x = x , o o 6 ∀ 6 o f (xo)= g(xo)= 0. Với x = x ta có 6 o f (x) f (x) f (x ) (Cauchy) f 0 (c) = − o = , g(x) g(x) g(x ) g0 (c) − o c nằm giữa x và xo. f 0 (x) Khi x xo thì c xo. Do lim = A, suy ra x x 0 → → → o g (x) f (x) f 0 (c) lim = lim = A. x xo g(x) c xo 0 → → g (c) (b) Nếu chỉ có lim f (x) = lim g(x) = 0 mà các hàm số chưa chắc đã xác định tại x x x x → o → o xo. Ta xây dựng 0, x = xo 0, x = xo F(x) = ; G(x)= .  f (x), x = x g(x), x = x  6 o  6 o 1  (c) Nếu x ∞, đặt y = . → x ∞ 2. Qui tắc 2 khử dạng . ∞ (Thay VCB bằng VCL trong qui tắc 1.) 3. Ví dụ 29
30 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) x sin x ax (a) lim − ; (d) lim ; x 0 3 x ∞ x → arcsin x → (b) lim xx; (e) x 0+ ··· → (c) lim xα ln x; x 0+ → Chú ý f (x) Hai qui tắc trên chỉ là điều kiện đủ để tìm lim . • g(x) 1 x2 sin Có thể nêu ví dụ lim x x 0 sin x → Trong quá trình tìm giới hạn có dạng vô định, nên kết hợp cả thay tương đương với • dùng qui tắc L’Hospital. Có thể dùng qui tắc L’Hospital nhiều lần. Bài tập 1.51. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. Lời giải. Xét n chẵn, giả sử phương trình có 3 nghiệm thực x1 < x2 < x3, khi đó tồn tại c (x , x ), c (x , x ) sao cho f (c ) = f (c ) = 0. Tức là phương trình xn 1 = p có 2 1 ∈ 1 2 2 ∈ 2 3 0 1 0 2 − − n nghiệm thực, điều này mâu thuẫn do n chẵn. Xét n lẻ, giả sử phương trình có 4 nghiệm thực x1 < x2 < x3 < x4, khi đó theo định lý n 1 p Rolle, phương trình x − + n = 0 có 3 nghiệm thực, trong khi theo trên ta vừa chứng minh thì nó không thể có quá 2 nghiệm thực do n 1 chẵn. − f (b) f (a) f (c) Bài tập 1.52. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng − = 0 không áp g(b) g(a) g (c) − 0 dụng được với các hàm số f (x)= x2, g(x)= x3, 1 x 1 − ≤ ≤ Bài tập 1.53. Chứng minh các bất đẳng thức a b a a b a. sin x sin y x y b. − < ln < − ,0 b a | − |≤| − | a b b ≤ ≤ Lời giải. a. Xét hàm số f (t) = sin t, thoả mãn điều kiện của định lý Lagrange trong khoảng [x, y] bất kì. Khi đó c [x, y] sao cho ∃ ∈ sin x sin y = f 0(c).(x y)= cos c.(x y) sin x sin y x y − − − ⇒| − |≤| − | b. Xét hàm số f (x)= ln x, thoả mãn điều kiện của định lý Lagrange trong khoảng [b, a] nên b 1 a a b ln a ln b = f 0(c)(a b) ln = (b a) ln = − − − ⇒ a c − ⇒ b c Vậy a b a a b − < ln < − , do b < c < a. a b b 30
9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 31 Bài tập 1.54. Tìm giới hạn x 1 a. lim x + x + √x x (∞ ∞) b. lim (∞ ∞) x +∞ − − x 1 x 1 − ln x − → r q → − 1 1 e x cos 0 ex sin x x(1 + x) 0 c. lim − x d. lim − x ∞ 1 0 x 0 x3 0 → 1 1 2 → − − x πxq tg πx ∞ e. lim tg ln(2 x) (∞.0) f. lim 2 x 1 2 − x 1 ln(1 x) ∞ → → − − sin x 0 2 1 ∞ g. lim x (0 ) h. lim(1 a tg x) x sin x (1 ) x 0+ x 0 − → → i. lim(1 cos x)tg x (00) k. lim (sin x)tg x (1∞) x 0 − x π → → 2 Gợi ý & Đáp số. 1 1 a. nhân liên hợp, ĐS: b. quy đồng, L’Hospital, ĐS: 2 2 1 c. Dùng khai triển Taylor, ĐS: ∞ d. khai triển Taylor hoặc L’Hospital, ĐS: 3 2 e. L’Hospital, ĐS: f. L’Hospital, ĐS: ∞ π − B(x) lim B(x) ln A(x) B(x) lim B(x) ln A(x) a g. Ad lim A(x) = e , ĐS: 1 h. Ad lim A(x) = e , ĐS: e− i. Ad lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), ĐS: 1 k. Ad lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), ĐS: 1 Bài tập 1.55. Tính các giới hạn sau 1 1 1 sin x x cos x a. lim [x x2 ln(x + )] b. lim cotg x = − x ∞ − x x 0 x x − x2 sin x → → 1 ex 5 3 2 2 c. lim x− [sin(sin x) x. 1 x ] d. lim[ln(1 + x) x ] x 0 − − x 0 − x → → x2 p cos x e 2 x ln(1 + x) e. lim − − f. lim − x 0 x4 x 0 x2 → → 1 1 sin x x tg x x g. lim = − h. lim − x 0 x − sin x x sin x x 0 x sin x → → − 1 cos2 x 1 1 i. lim − j. lim x 0 x sin2x x 0 x − ex 1 → → − 2 arctg x k. lim ( arctg x)x l. lim x +∞ π x 0 sin x x → → ln x sin x − x cos x m. lim n. lim − x 0+ 1 + 2ln(sin x) x 0 x3 → → x2 ln(cos ax) o. lim p. lim , a = 0, b = 0 x 0 √1 + x sin x √cos x x 0 ln(cos bx) 6 6 → − → 31
32 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) Gợi ý & Đáp số. 1 1 a. ĐS: b. Ad khai triển Taylor, ĐS: 2 3 7 3 c. ĐS: d. Ad khai triển Taylor, ĐS: 45 − 2 1 1 e. Ad khai triển Taylor, ĐS: f. Khai triển Taylor, hoặc L’Hospital, ĐS: − 12 2 g. Khai triển Taylor, hoặc L’Hospital, ĐS: 0 h. L’Hospital, ĐS: 2 1 1 i. L’Hospital, ĐS: j. quy đồng, ad L’Hospital, ĐS: 2 2 2 k. ĐS: e− π l. L’Hospital, ĐS: ∞ 1 1 m. L’Hospital, ĐS: n. L’Hospital, ĐS: 2 3 4 a2 o. Nhân liên hợp, ĐS: p. L’Hospital, thay tương đương, ĐS: 3 b2 x sin x Bài tập 1.56. Chứng minh rằng lim − tồn tại và bằng 1 nhưng không tính được x ∞ x + x → cos bằng quy tắc L’Hospital. Lời giải. x sin x 1 sin x lim − = lim − x = 1 x ∞ x + x x ∞ + cos x → cos → 1 x Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital một cách hình thức thì ta có x sin x 1 cos x lim − = lim − x ∞ x + cos x x ∞ 1 sin x → → − Tuy nhiên giới hạn ở vế phải không tồn tại, có thể kiểm tra bằng cách chọn 2 dãy xk = π 2kπ và yk = 2 = 2kπ Bài tập 1.57. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x 0 → 1 1 a b x3 sin3 x(1 + ax + bx2) f (x)= = − sin3 x − x3 − x2 − x x3 sin3 x Lời giải. Tại lân cận của x = 0, ta có thể viết x3 sin x = x + o(x3) − 3! do đó x3 MS = x3[x + o(x3)]3 = x6 + o(x6) − 3! 32
10. Các lược đồ khảo sát hàm số 33 và 1 TS = x3 sin3 x(1 + ax + bx2)= x3 [x3 + ax4 + (b )x5 + cx6 + o(x6)] − − − 2 ax4 + (b 1 )x5 + cx6 + o(x6) f (x)= − 2 ⇒ − x6 + o(x6) Do đó để tồn tại giới hạn hữu hạn của f (x) khi x 0, ta phải có a = 0, b = 1 → 2 Bài tập 1.58. Cho f là một hàm số thực, khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f ”(x) trên (a, b), chứng minh rằng x (a, b) có thể tìm được ít nhất 1 điểm c (a, b) sao cho ∀ ∈ ∈ f (b) f (a) (x a)(x b) f (x) f (a) − (x a)= − − f ”(c) − − b a − 2 − Lời giải. Lấy x (a, b) bất kì. 0 ∈ f (b) f (a) (x a)(x b) Đặt ϕ(x) := f (x) f (a) − (x a) − − .λ − − b a − − 2 − Trong đó λ được xác định bởi điều kiện : f (b) f (a) (x a)(x b) ϕ(x )= f (x ) f (a) − (x a) 0 − 0 − .λ = 0 0 0 − − b a 0 − − 2 − Khi đó ta có ϕ(x0)= ϕ(a) = ϕ(b)= 0 Ta có hàm ϕ liên tục, khả vi trên [a, x0], đo đó ϕ thoả mãn các điều kiện trong định lý Rolle, suy ra tồn tại c (a, x ) sao cho ϕ (c ) = 0. Tương tự như thế, tồn tại c (x , b) 1 ∈ 0 0 1 2 ∈ 0 sao cho ϕ0(c2)= 0. Mặt khác, f (b) f (a) a + b ϕ0(x)= f 0(x) − λ(x ) − b a − − 2 − Theo giả thiết, f có đạo hàm cấp 2, do đó ϕ cũng có đạo hàm cấp 2, và ϕ”(c1)= ϕ”(c2)= 0, nên theo định lý Rolle ta có tồn tại c (c , c ) sao cho ϕ”(c) = f ”(c) λ = 0 λ = f ”(c), ∈ 1 2 − ⇒ và ta có : f (b) f (a) (x a)(x b) f (x) f (a) − (x a)= − − f ”(c) − − b a − 2 − §10. CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) Mục này học sinh đã được nghiên cứu tương đối kĩ trong chương trình phổ thông nên chỉ nhấn mạnh cho sinh viên những điểm cần chú ý trong quá trình khảo sát hàm số và khảo sát một số hàm số khác với chương trình phổ thông như hàm số có chứa căn thức, Sơ đồ khảo sát 33
34 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 1. Tìm MXĐ của hàm số, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số (nếu có). 2. Xác định chiều biến thiên: tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số. 3. Tìm cực trị (nếu có). 4. Xét tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có). 5. Tìm các tiệm cận của hàm số (nếu có). 6. Lập bảng biến thiên. 7. Tìm một số điểm đặc biệt mà hàm số đi qua (ví dụ như giao điểm với các trục toạ độ, ) và vẽ đồ thị của hàm số. 10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số x = x(t) Giả sử cần khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số y = y(t)  1. Tìm MXĐ, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của các hàm sốx(t), y(t) (nếu có). 2. Xác định chiều biến thiên của các hàm số x(t), y(t) theo biến t bằng cách xét dấu các đạo hàm của nó. 3. Tìm các tiệm cận của đường cong (a) Tiệm cận đứng: Nếu lim y(t) = ∞ và lim x(t) = x0 thì x = x0 là một tiệm t t0(∞) t t0(∞) cận đứng của đường cong.→ → (b) Tiệm cận ngang: Nếu lim x(t)= ∞ và lim y(t)= y0 thì y = y0 là một tiệm t t0(∞) t t0(∞) cận ngang của đường cong.→ → (c) Tiệm cận xiên: Nếu lim y(t)= ∞ và lim x(t)= ∞ thì đường cong có thể có t t (∞) t t (∞) → 0 → 0 tiệm cận xiên. Nếu y(t) a = lim , b = lim [y(t) ax(t)] t t (∞) x(t) t t (∞) − → 0 → 0 thì y = ax + b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 4. Để vẽ đường cong được chính xác hơn, ta xác định tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc biệt. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm bằng dy y = t0 dx xt0 34
10. Các lược đồ khảo sát hàm số 35 Ngoài ra có thể khảo sát tính lồi lõm và điểm uốn (nếu cần thiết) bằng cách tính các đạo hàm cấp hai y d t0 d2y x y ”x y x ” t0 tt t0 t0 t 2 = = −3 dx dx xt0 5. Xác định một số điểm đặc biệt mà đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị hàm số. 10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 10.4 Bài tập Bài tập 1.59. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số a. y = x3 + x ĐS : hàm số tăng với mọi x b. y = arctg x x ĐS : hàm số giảm với mọi x − Bài tập 1.60. Chứng minh các bất đẳng thức a. 2x arctg x ln(1 + x2) x R ≥ ∀ ∈ 2 b. x x ln(1 + x) x x 0 − 2 ≤ ≤ ∀ ≥ Lời giải. a. Xét hàm số f (x)= 2x arctg x ln(1 + x2) f (x)= 2 arctg x. − ⇒ 0 – Nếu x 0, f (x) 0 f (x) f (0)= 0 ≥ 0 ≥ ⇒ ≥ – Nếu x 0, f (x) 0 f (x) f (0)= 0 ≤ 0 ≤ ⇒ ≤ 2 b. Tương tự, xét g(x)= x x ln(1 + x), h(x) = ln(1 + x) x − 2 − − x2 x g0(x)= < 0, h0(x)= < 0 g(x) g(0)= 0, h(x) h(0)= 0. −1 + x −1 + x ⇒ ≤ ≤ Bài tập 1.61. Tìm cực trị của hàm số 3x2 + 4x + 4 x + 1 a. y = = 3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 b. y = x ln(1 + x) − c. y = 3 (1 x)(x 2)2 − − Lời giải.p a) x(x + 2) 8 y0 = − , y = y( 2)= , y = y(0)= 4 (x2 + x + 1)2 min − 3 max 35
36 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) b) x y0 = , y = y(0)= 0 ⇒ 1 + x min c) 3 2 3 4 1 (x 2) 2 √1 x 3 x y0 = − + − = − −3 3 (1 x)2 3 √3 x 2 3 (1 x)2(x 2) p − − − − p √3 p – Xét x = 4 , ta có y = y( 4 )= 4 1 3 min 3 − 3 – Xét x2 = 1, y0 không đổi dấu, hàm số không đạt cực trị tại x2 = 1 – Xét x3 = 2, ta có ymax = y(2)= 0 Bài tập 1.62. Chứng minh các bất đẳng thức sau a. ex > 1 + x x = 0 ∀ 6 3 b. x x 0 − 6 ∀ 3 c. tg x > x + x 0 0 ta có 1 x 1 x+1 1 + < e < 1 + x x Bài tập 1.64. Tính các giới hạn sau 1 1 1 sin x x cos x [a.] lim [x x2 ln(x + )] [b.] lim cotg x = − x ∞ − x x 0 x x − x2 sin x → → x 3 1 e 5 2 2 [c.] lim x− [sin(sin x) x. 1 x ] [d.] lim[ln(1 + x) x ] x 0 − − x 0 − x → p → 36
CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Nguyên hàm của hàm số Chương này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x)? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa 2.2. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên một tập D nếu F (x)= f (x), x D hay dF(x)= f (x)dx. 0 ∀ ∈ Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý 2.10. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D, thì: Hàm số F(x)+ C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x), với C là một hằng số bất • kỳ. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x)+ C, trong • đó C là một hằng số. Như vậy biểu thức F(x)+ C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x), mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm. 37
38 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Định nghĩa 2.3. Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x)+ C, với x D, trong đó C là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. ∈ Tích phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là f (x)dx. Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu Z thức dưới dấu tích phân và hàm số f (x) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy f (x)dx = F(x)+ C, với F(x) là nguyên hàm của f (x). Z Các tính chất của tích phân bất định 0 f (x)dx = f (x) hay d f (x)dx = f (x)dx • Z Z F0(x)dx = F(x)+ C hay dF(x) = F(x)+ C • Z Z af (x)dx = a f (x)dx (a là hằng số khác 0) • Z Z [ f (x) g(x)] dx = f (x)dx g(x)dx • ± ± HaiZ tính chất cuối cùngZ là tính chấtZ tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung [α f (x)+ βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx Z Z Z trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0. Các công thức tích phân dạng đơn giản xα+1 dx xαdx = + C, (α = 1) = ln x + C α + x Z 1 6 − Z | | sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C Z − Z dx dx = cotgx + C = tgx + C 2 2 x Z sin x − Z cos ax axdx = + C, (a > 0, a = 1) exdx = ex + C a Z ln 6 Z dx 1 a + x dx 1 x = ln + C = arctg + C a2 x2 2a a x x2 + a2 a a Z − − Z dx dx x 2 = ln x+ x + α + C = arcsin + C √x2 + α √a2 x2 a Z p Z − 1 a2 x a2 x2dx = x a2 x2 + arcsin + C 2 2 a Z − − p 1 p x2 + adx = x x2 + a + a ln x + x2 + a + C 2 Z h i p p p 38
1. Tích phân bất định 39 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định: [α f (x)+ βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx Z Z Z Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân. 3 4 5 Example 1.1. (2x√x 3x2)dx = 2 x 2 dx 3 x2dx = x 2 x3 + C • 5 Z − Z − Z − 3 1 3 dx x4 2sin x + x x dx = 2 sin xdx + x dx x = 2 cos x + 4 ln x + C • Z − Z Z − Z − − | | dx 1 1 1 = dx = + arctgx + C • x2(1 + x2) x2 − 1 + x2 − x Z Z 2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: nếu f (x)dx = F(x)+ C thì f (u)du = F(u)+ C , trong đó u = u(x) là Z Z một hàm số khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng g(x)dx = f (u(x))u0 (x)dx, trong đó f (x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x). Khi đó tích phân cần tính trở thành g(x)dx = f (u(x))u0 (x)dx = f (u(x))du = F(u(x)) + C Z Z Z Trong trường hợp đơn giản u(x)= ax + b thì du = adx, dođónếu f (x)dx = F(x)+ C ta suy ra Z 1 f (ax + b)dx = F(ax + b)+ C a Z 1 Example 1.2. sin axdx = a cos ax + C • Z − ax eax e dx = a + C • Z 39
40 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số esin x cos xdx = esin xd(sin x)= esin x + C • Z Z 3 dx = ( + 2 ) ( )= tg x + + cos4 x 1 tg x d tgx 3 tgx C • Z Z 3 x√1 + 3x2dx = 1 √1 + 3x2d(1 + 3x2)= 1 √1 + 3x2 + C • 6 9 Z Z • arccos x arcsin x π I = dx = arcsin x arcsin xd(arcsin x) √1 x2 2 − Z − Z nên π 1 I = arcsin2 x arcsin3 x + C ⇒ 4 − 3 3. Phương pháp đổi biến Xét tích phân I = f (x)dx, trong đó f (x)là một hàm số liên tục. Để tính tích phân Z này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t), sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi đó ta có I = f (x)dx = f [φ(t)] φ0(t)dt Z Z Giả sử hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ0(t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t), ta có g(t)dt = G(t)+ C I = G [h(x)] + C Z ⇒ Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ(x), trong đó ψ(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x)= g [ψ(x)] ψ0(x). Khi đó ta có I = f (x)dx = g [ψ(x)] ψ0(x)dx Z Z Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có I = G [ψ(x)] + C Chú ý: Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến số cũ. 40
1. Tích phân bất định 41 x Example 1.3. (a) Tính tích phân I = dx 1 2 x Z r − Đặt x = 2sin2 t, t 0, π , ta tính được ∈ 2 x 2sin2 t dx = 4sin t cos tdt, = = tgt 2 x s2(1 sin2 t) r − − Suy ra x I = dx = 4 sin2 tdt = 2t sin2t + C 1 2 x − Z r − Z x Đổi lại biến x, với t = arcsin 2 , ta thu được xp x I = dx = 2 arcsin 2x x2 + C 1 2 x 2 − − Z r − r p e2x (b) Tính tích phân I = dx 2 ex + 1 Đặt ex = t exdx =Zdt, ta có ⇒ t 1 I = dt = 1 dt = t ln t + 1 + C 2 t + 1 − t + 1 − | | Z Z Đổi lại biến x, ta được I = ex ln(ex + 1)+ C. 2 − dx (c) Tính tích phân I = 3 x Z √1 + 4 Đặt t = 2 x dt = 2 x ln2dx, tích phân trở thành − ⇒ − − dt 1 dt 1 2 I3 = − = = ln(t + t + 1)+ C 2 2 t ln2√1 + t− −ln2 √t + 1 −ln2 Z Z p Đổi lại biến x, ta có: 1 x x I = ln(2− + √4 + 1)+ C 3 −ln2 − 4. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu uv = d(uv)= udv + vdu ⇒ Z Z Z Suy ra udv = uv vdu Z − Z Xét tích phân I = f (x)dx. Ta cần biểu diễn Z f (x)dx = [g(x)h(x)] dx = g(x) [h(x)dx] = udv 41
42 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x), v = h(x)dx. Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứaZ một trong các hàm số sau đây: ln x, ax, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể: Trong các tích phân xnekxdx; xn sin kxdx; xn cos kxdx , n nguyên dương, ta • thường chọn u = xn. Z Z Z Trong các tích phân xα lnn xdx, α = 1 và n nguyên dương, ta thường chọn • 6 − u = lnn x. Z Trong tích phân xnarctgkxdx; xn arcsin kxdx, n nguyên dương, ta thường • chọn u = arctgkx hoặcZ u = arcsin kxZ ; dv = xndx. Example 1.4. Tính các tích phân bất định (a) I1 = ln xdx = x ln x dx = x ln x x + C Z − Z − 2 (b) I2 = x sin xdx Z Đặt u = x2, dv = sin xdx v = cos x, ta được ⇒ − 2 I2 = x cos x + 2 x cos xdx − Z Đặt u = x, dv = cos xdx v = sin x, ta được ⇒ I = x2 cos x + 2 x sin x sin xdx = x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C 2 − − − Z xexdx (c) I = 3 (x + )2 Z 1 Đặt u = xex; dv = dx v = 1 ; du = (x + 1)exdx, ta được (x+1)2 ⇒ − x+1 xex xex ex I = + exdx = + ex + C = + C 3 x + 1 x + 1 x + 1 − Z − xexdx (d) I = 4 x Z √1 + e x Đặt √1 + ex = t e dx = 2dt, ta có I = 2 [ln(t 1)+ ln(t + 1)] dt = 2(t √1+ex 4 ⇒ Z − − 1) ln(t 1)+ 2(t + 1) ln(t + 1) 4t + C Đổi lại biến x ta có − − xexdx = 2(x 2)√1 + ex + 4ln 1 + √1 + ex 2x + C √1 + ex − − Z x arcsin x (e) I5 = dx 2 Z √1 x Đặt u = arcsin− x; dv = xdx du = dx ; v = √1 x2, ta được √1 x2 √1 x2 − ⇒ − − − I = 1 x2 arcsin x + dx = 1 x2 arcsin x + x + C 5 − − − − p Z p 42
1. Tích phân bất định 43 x (f) I6 = e cos 2xdx Đặt uZ = cos 2x; dv = exdx v = ex; du = 2sin2xdx, ta được ⇒ − x x I6 = e cos 2x + 2 e sin2xdx Z Đặt u = sin2x; dv = exdx v = ex; du = 2 cos 2xdx, ta được ⇒ I = ex cos 2x + 2 ex sin2x 2 ex cos 2xdx = ex cos 2x + 2ex sin2x 4I + 5C 6 − − 6 Z ex Vậy I6 = 5 (cos 2x + 2sin2x) + C. Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức; và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này. 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng P(x) , trong đó Định nghĩa 2.4. f (x)= Q(x) P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng r(x) f (x)= H(x)+ Q(x) trong đó là đa thức thương, là phần dư trong phép chia. Khi đó r(x) là một phân H(x) r(x) Q(x) thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức được tìm bởi công thức tích phân cơ bản. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x) trong hai trường hợp đặc Q(x) biệt: mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên. Phương pháp hệ số bất định Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x) thành tổng (hiệu) Q(x) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm Q(x) = (x α )a1 (x α )am (x2 + p x + q )b1 (x2 + p x + q )bn − 1 − m 1 1 n n trong đó α , p , q là các hằng số, a , b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j n. i j j i j ≤ ≤ ≤ ≤ 43
44 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x α)a, a là số nguyên dương thì • − trong phân tích của phân thức P(x) xuất hiện các hạng tử dạng Ai , trong đó là Q(x) (x α)i Ai − hằng số và 1 i a. ≤ ≤ Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x2 + px + q)b, b là số nguyên • B x+C dương thì trong phân tích của phân thức P(x) xuất hiện các hạng tử dạng j j , Q(x) (x2+px+q)j trong đó B , C là các hằng số và 1 j b. j j ≤ ≤ Sau khi viết được phân tích của P(x) , ta tìm các hằng số bằng cách quy đồng mẫu Q(x) Ai, Bj, Cj số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của xn, n R ở hai vế. Như vậy việc dùng phương pháp hệ ∈ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau: Adx Adx I. II. x a (x a)k Z − Z − (Mx + N)dx (Mx + N)dx III. IV. 2 + + ( 2 + + )m Z x px q Z x px q trong đó Adx 1. x a = A ln x a + C Z − | − | 2. Adx = A + C (x a)k (k 1)(−x a)k 1 Z − − − − 3. (Mx + N)dx Mt + (N Mp/2) = − dt (a = q p2/4, đổi biến t = x + p/2) x2 + px + q t2 + a2 − Z Z q Mtdt (N Mp/2)dt = + − 2 + 2 2 + 2 Z t a Z t a t = ln(t2 + a2) + (N Mp/2) arctg + C − a 2N Mp 2x + p = ln(x2 + px + q)+ − arctg + C 4q p2 4q p2 − − p p 4. (Mx + N)dx Mt + (N Mp/2) = − dt (a = q p2/4, đổi biến t = x + p/2) (x2 + px + q)m (t2 + a2)m − Z Z q Mtdt (N Mp/2)dt = + − ( 2 + 2)m ( 2 + 2)m Z t a Z t a Tích phân thứ nhất: Mtdt = M + (t2+a2)m 2(m 1)(t2+a2)m 1 C − − − Tích phân thứ hai cóZ thể tính theo phương pháp tích phân từng phần như ở ví dụ trong phần trước 44
1. Tích phân bất định 45 Example 1.5. Tính các tích phân bất định x4 x3 + 2x2 2x + 1 a. I = − − dx 1 (x2 + 2)(x 1) Ta cóZ − x4 x3 + 2x2 2x + 1 1 A Bx + C − − = x + = x + + (x2 + 2)(x 1) (x2 + 2)(x 1) x 1 x2 + 2 − − − Quy đồng mẫu số ở hai vế 3 = (A + B)x2 + (C B + 2)x C − − A + B = 0 A = 1 Đồng nhất hệ số của x2, x và hệ số tự do, ta được C B + 2 = 0 B = 1  − ⇒  −  C = 1  C = 1 Suy ra − −   x4 x3 + 2x2 2x + 3 1 1 2x 1  − − = x + (x2 + 2)(x 1) x 1 − 2 x2 + 2 − x2 + 2 − − Vậy tích phân bằng x2 ln(x2 + 2) 1 x I = + ln x 1 arctg + C 2 | − | − 2 − √2 √2 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 b. I = dx 2 (x + )2(x2 + x + ) Z 1 2 3 Ta viết 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 2 1 4 = 2 + (x + 1)2(x2 + 2x + 3) x + 1 − (x + 1)2 − x2 + 2x + 3 Suy ra 1 x + 1 I = 2x + 2ln x + 1 + 2√2arctg + C | | x + 1 − √2 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1. Phương pháp chung Xét tích phân R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức Z t hữu tỷ đối với sin x, cos x. Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tg 2 , khi đó 2t 1 t2 2t 2dt sin x = ; cos x = − ; tg x = ; dx = 1 + t2 1 + t2 1 t2 1 + t2 − tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t. 45
46 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số sin x cos x + 2 Example 1.6. Tính tích phân − dx 1 + sin x + cos x Ta viết Z sin x cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx − dx = + 2 + x + x + x + x + x + x Z 1 sin cos − Z 1 sin cos Z 1 sin cos x Đặt t = tg 2 , suy ra dx dt = = ln 1 + t + C + x + x + t Z 1 sin cos Z 1 | | Thay lại biến cũ, ta được sin x cos x + 2 x − dx = ln 1 + sin x + cos x + ln 1 + tg + C 1 + sin x + cos x − | | 2 Z 2. Tích phân dạng sinm x cosn xdx, trong đó m, n là các số nguyên Z Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x. • Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x. • Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: • 1 cos 2x 1 + cos 2x sin2 x = − ; cos2 x = 2 2 rồi đưa về tích phân dạng sink 2x cosl 2xdx. Z Example 1.7. Tính các tích phân bất định I = sin3 x cos2 xdx • 1 Đặt cosZ x = t sin xdx = dt ta có ⇒− t5 t3 cos5 x cos3 x sin3 x cos2 xdx = (1 t2)t2( dt)= + C = + C 5 3 5 3 Z Z − − − − I = sin4 x cos2 xdx • 2 Sử dụngZ công thức hạ bậc ta có (1 cos 2x)2 1 + cos 2x 1 I = − dx = 1 cos 2x cos2 2x + cos3 2x dx 2 4 2 8 − − Z Z I = 1 x sin2x 1+cos 4x dx + 1 (1 sin2 2x)d(sin2x) ⇒ 2 8 − 2 − 2 2 − Vậy Z Z 1 x sin2x sin4x sin2x sin3 2x I2 = + + C ⇒ 8 2 − 2 − 8 2 − 6 ! 46
1. Tích phân bất định 47 Đối với tích phân I2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức 3sin x sin3x 3 cos x + cos 3x sin3 x = − ; cos3 x = 4 4 Áp dụng vào tích phân I2 , ta có: 1 1 + cos 4x 3 cos 2x + cos 6x I = 1 cos 2x + dx 2 8 − − 2 4 Z 1 x sin2x sin4x sin6x = + + C 8 2 − 8 − 8 24 3. Tích phân R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt Z Đặt t = cos x nếu R( sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − Đặt t = sin x nếu R(sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − Đặt t = tg x nếu R( sin x, cos x)= R(sin x, cos x). • − − dx Example 1.8. Tính tích phân sin x cos4 x Đặt t = cos x dt = sin xdx,Z ta có ⇒ − dx dt 1 1 1 1 = − = + + dt sin x cos4 x (1 t2)t4 t4 t2 2(t 1) − 2(t + 1) Z Z − Z − 1 1 1 t 1 = + ln − + C −3t3 − t 2 t + 1 nên dx 1 1 1 1 cos x = + ln − + C 4 3 x + x Z sin x cos x −3 cos x − cos 2 1 cos 1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ Xét tích phân có dạng R(x, √α2 x2)dx, R(x, √x2 α2)dx, trong đó R(u, v) là các ± − hàm số hữu tỷ. Z Z Đặt x = α tg t đối với tích phân R(x, √α2 + x2)dx. • Z Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t đối với tích phân R(x, √α2 x2)dx. • Z − α α Đặt x = hoặc x = đối với tích phân R(x, √x2 α2)dx. t t • cos sin Z − 47
48 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc tính bốn loại tích phân cơ bản sau dx = ln x + √x2 + α + C • √x2+α Z dx = arcsin x + C • √a2 x2 a Z − √ 2 2 1 √ 2 2 a2 x a x dx = 2 x a x + 2 arcsin a + C • Z − − √x2 + adx = 1 x√x2 + a + a ln x + √x2 + a + C • 2 Z h i Example 1.9. Tính các tích phân sau 2 3 1. (1 x )− 2 dx Z − Đặt x = sin t, t π , π dx = cos tdt, √1 x2 = cos t, thì ∈ − 2 2 ⇒ − 3 dt 2 2 (1 x )− dx = 2 = tg t + C = tg(arcsin x)+ C Z − Z cos t 2. dx x2√1+x2 Z Đặt x = tgt dx = dt , ta có ⇒ cos2 t dx cos tdt 1 1 = = + C = + C 2 2 2 t ( x) Z x √1 + x Z sin t −sin −sin arctg m/n r/s ax+b ax+b Tính các tích phân có dạng R x, cx+d , , cx+d dx Z ax + b Đặt = tk, với k là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số căn, đưa về dạng hữu tỉ với t. cx + d (R là hàm hữu tỉ) 48
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 2.5. Giả sử hàm số f (x) xác định và bị chặn trên [a, b]. Chia [a, b] thành n khoảng nhỏ [xi, xi+1] bởi phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b. Trong mỗi đoạn [xi, xi+1] ta chọn điểm ξ [x , x ] và thành lập biểu thức i ∈ i i+1 n 1 − Sn = ∑ f (ξi) xi với xi = xi+1 xi (2.1) i=0 4 4 − Biểu thức Sn được gọi là tổng tích phân. Gọi λ = max xi. Nếu tồn tại giới hạn hữu 1 i n 4 ≤ ≤ hạn I = lim Sn không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và không phụ thuộc vào cách λ 0 → chọn điểm ξi thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và kí hiệu là b f (x)dx. Trong trường hợp đó ta nói hàm số f (x) khả tích trên [a, b]. Za Remark 2.1. Trong định nghĩa trên ta đã xét hàm số f (x) trong khoảng đóng [a, b] tức là b a đã giả thiết a < b. Bây giờ nếu b < a ta định nghĩa f (x)dx := f (x)dx và khi a = b a − b b Z Z ta định nghĩa f (x)dx = 0. Za 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích Định lý 2.11. Điều kiện cần và đủ để hàm số bị chặn f (x) khả tích trên [a, b] là lim(S λ 0 − s)= 0, trong đó: → n+1 n+1 S = ∑ Mi xi, s = ∑ mi xi i=1 4 i=1 4 Mi = sup f (x), mi = inf f (x) x [x ,x ] x [xi,xi+1] ∈ i i+1 ∈ Áp dụng định lý 2.11 chúng ta có thể chứng minh được các định lý sau: Định lý 2.12. Nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 2.13. Nếu f (x) bị chặn trên [a, b] và có một số điểm gián đoạn trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. Định lý 2.14. Nếu f (x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b]. 49
50 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2.3 Các tính chất của tích phân xác định b Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết f (x)dx ta Za hiểu là f (x) được giả thiết là khả tích trên [a, b]. Tính chất 1. • b b b [α f (x)+ βg(x)]dx = α f (x)dx + β g(x)dx Za Za Za Tính chất 2. • Cho 3 khoảng đóng [a, b], [a, c], [b, c], nếu f (x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Za Za Zc Tính chất 3. Giả thiết a < b. Khi đó: • b (i) Nếu f (x) 0, x [a, b] thì f (x)dx 0 ≥ ∀ ∈ Za ≥ b b (ii) Nếu f (x) g(x) x [a, b] thì f (x)dx g(x)dx ≤ ∀ ∈ Za ≥ Za (iii) Nếu f (x) khả tích trên [a, b] thì f (x) khả tích trên [a, b] và: | | b b f (x)dx f (x) dx | |≤ | | Za Za (iv) Nếu m f (x) M, forallx [a, b] thì ≤ ≤ ∈ b m(b a) f (x)dx M(b a) − ≤ ≤ − Za . Tính chất 4.(Định lý trung bình thứ nhất) • Giả sử f (x) khả tích trên [a, b] và m f (x) M, x [a, b], khi đó tồn tại µ sao cho: ≤ ≤ ∀ ∈ b f (x)dx = µ(b a), m µ M. − ≤ ≤ Za Đặc biệt, nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c [a, b] sao cho: ∈ b f (x)dx = f (c)(b a). − Za 50
2. Tích phân xác định 51 Tính chất 5.(Định lý trung bình thứ hai) • Giả thiết (i) f (x) và f (x)g(x) khả tích trên [a, b]. (ii) m f (x) M, x [a, b]. ≤ ≤ ∀ ∈ (iii) g(x) không đổi dấu trên [a, b]. Khi đó b b f (x)g(x)dx = µ g(x)dx, m µ M. ≤ ≤ Za Za Đặc biệt nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c [a, b] sao cho: ∈ b b f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx. Za Za 2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) Giả sử f (x) là một hàm khả tích trên [a, b], khi đó với mỗi x [a, b] thì f cũng khả tích x ∈ trên [a, x]. Ta xác định hàm số F(x)= f (t)dt. Za Định lý 2.15. (1) Nếu f (t) khả tích trên [a, b] thì F(x) liên tục trên [a, b]. (2) Nếu f liên tục tại x [a, b] thì F(x) có đạo hàm tại x và F (x )= f (x ). 0 ∈ 0 0 0 0 Định lý 2.16 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu f (x) liên tục trong khoảng đóng [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì b f (x)dx = F(b) F(a). − Za 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 1. Sử dụng công thức tích phân từng phần. Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong [a, b]. Khi đó: b b udv = uv b vdu |a − Za Za 51
52 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2. Sử dụng các phép đổi biến số. b Định lý 2.17 (Đổi biến x := ϕ(t)). Xét I = f (x)dx với f (x) liên tục trong [a, b]. Za Thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t) thoả mãn 3 điều kiện sau: (1) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong [a, b]. (2) ϕ(a) = α; ϕ(b)= β. (3) Khi t biến thiên trong [α, β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b. Khi đó ta có công thức: b β f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt. Za Zα b Định lý 2.18 (Đổi biến t := ϕ(x)). Giả sử tích phân cần tính có dạng I = f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx. Za Trong đó ϕ(x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó: b ϕ(b) f [ϕ(x)].ϕ0(x)dx = f (t)dt. Za ϕZ(a) 3. Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp. 2.6 Hệ thống bài tập Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm tích phân. Chúng ta có các công thức sau: x 0 f (t)dt = f (x) (2.2) Za x g(x) 0 f (t)dt = f (g(x)).g0 (x) (2.3) Za x Công thức 2.2 chúng ta đã biết trong Định lý 2.15, còn công thức 2.3 được suy ra từ công thức đạo hàm của hàm hợp. 52
2. Tích phân xác định 53 Bài tập 2.1. Tính các đạo hàm: y y x3 d 2 d 2 d dt a) et dt b) et dt c) dx dy dx √1 + x4 Zx Zx xZ2 Lời giải: y x d 2 d 2 2 a) et dt = et dt = ex ( do y là hằng số) dx −dx − Zx Zy y d 2 2 b) et dt = ey ( do x là hằng số) dy Zx x3 x2 x3 d dt d dt d dt 2x 3x2 c) = + = − + dx √1 + x4 −dx √1 + x4 dx √1 + x4 √1 + x8 √1 + 12x2 xZ2 Za Za Dạng 2. Tính giới hạn của hàm số dựa vào công thức L’Hospital và đạo hàm của hàm tích phân. Bài tập 2.2. Tìm giới hạn: sin x x √tg tdt (arctg t)2dt Z Z a)A = lim 0 b)B = lim 0 x 0+ tg x x +∞ √ 2 → → x + 1 √sin tdt Z0 Lời giải: sin x tg x a) Nhận xét: lim √tg tdt = lim √sin tdt = 0 nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta x 0+ x 0+ → Z0 → Z0 có: sin x 0 √tg tdt Z ! tg(sin x). cos x lim 0 = lim = 1 A = 1 x 0+ tg x x 0+ ( x) 1 ⇒ → 0 → psin tg . cos2 x √sin tdt ! p Z0 53
54 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số x b) Nhận xét: lim (arctg t)2dt = lim √x2 + 1 = ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital x +∞ x +∞ → Z0 → ta có: x 0 (arctg t)2dt Z ! (arctg x)2 π2 π2 lim 0 = lim = B = x +∞ √ 2 x +∞ x 4 ⇒ 4 → x + 1 0 → √x2+1 Dạng 3. Sử dụng công thức tổng tích phân để tính giới hạn của một số dãy số đặc biệt. Xuất phát từ công thức tính tổng tích phân 2.1 n 1 − Sn = ∑ f (ξi) xi với xi = xi+1 xi i=0 4 4 − Nếu chúng ta chia đoạn [a, b] thành n khoảng có độ dài bằng nhau bởi phân hoạch a = x < x < < x = b, trong đó x = a + (b a) i thì: 0 1 n i − n n 1 b a − Sn = − ∑ f (ξi) với ξi [xi, xi+1] n i=0 ∈ Khi đó nếu hàm f (x) khả tích trên [a, b], và chọn ξi = xi ta được công thức: b n 1 b a − b a lim − ∑ f a + − .i = f (x)dx (2.4) n ∞ n n → " i=0 !# Za Còn nếu chọn ξi = xi+1 ta được công thức: b b a n b a lim − ∑ f a + − .i = f (x)dx (2.5) n ∞ n n → "i=1 !# Za Bài tập 2.3. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn: a/ A = lim 1 + 1 + 1 + + 1 ∞ nα nα+β nα+2β nα+(n 1)β n ··· − → h i b/ B = lim 1 1 + 1 + 1 + 2 + + 1 + n n ∞ n n n n → ··· q q p Lời giải: 54
2. Tích phân xác định 55 a/ Viết 1 1 1 1 1 A = lim + + + + n ∞ n α β 2β ··· (n 1)β → " α + n α + n α + −n # 1 Áp dụng công thức 2.4 với a = 0, b = 1, f (x)= α+βx ta được: 1 1 1 α + β A = dx = ln α + βx β α Z0 1 Nếu áp dụng công thức 2.5 với a = 0, b = 1, f (x)= α+βx ta được: 1 1 1 1 α + β A0 = lim + + + = A = ln n ∞ nα + β nα + 2β ··· nα + nβ β α → h i b/ Áp dụng công thức 2.5 với a = 0, b = 1, f (x)= √1 + x ta được: 1 2 B = √1 + xdx = (2√2 1) 3 − Z0 Nếu áp dụng công thức 2.4 với a = 0, b = 1, f (x)= √1 + x ta được: 1 1 n 1 2 B0 = lim 1 + 1 + + + 1 + − = B = (2√2 1) n ∞ n n n 3 → r ··· r ! − Bài tập 2.4. Tính lim 1 n (2n)! n ∞ n n! → q ! Dạng 3. Tính tích phân xác định (xem mục 2.5) Bài tập 2.5. Tính các tích phân: e 2 sin2 x cos x a. ln x (x + 1)dx d. dx | | (1 + tg2 x)2 Z1 Z0 e 3 x b. (x ln x)2dx e. arcsin dx 1 + x Z1 Z0 r π 1 2 3 x n c. (x 2x + 5)e− 2 dx f . cos x cos nxdx − Z0 Z0 Lời giải: 55
56 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số a/ Các câu a, b, c dễ, giải bằng phương pháp tích phân từng phần. Đáp số như sau: e2 + 5 5e3 2 144 Ia = , I = − , Ic = 98 4 b 27 − √e d/ 2 sin2 x cos x I = dx d (1 + tg2 x)2 Z0 2 = sin2 x. cos x. cos4 xdx Z0 2 = sin2 x.(1 sin2 x)d(sin x) − Z0 sin3(2) 2sin5(2) sin7(2) = + 3 − 5 7 e/ 3 x I = arcsin dx e 1 + x Z0 r 3 3 x 1 1 1 = x arcsin x. . . 2 dx 1 + x − 1 x 2 x (x + 1) r 0 Z0 1+x x+1 − 3 q q 1 √x = π dx − 2 x + 1 Z0 √3 1 t = π .2tdt (đặt √x = t) − 2 t2 + 1 Z0 √3 1 = π 1 dt − − t2 + 1 Z0 √3 = π (t arctg t) − − 0 4π h i = √3 3 − 56
2. Tích phân xác định 57 f/ π 2 n In = cos x cos nxdx Z0 π 2 1 = cosn xd sin nx n Z0 π π 2 1 n 2 1 n 1 = cos x sin nx + sin nx.n. cos − x.sin xdx n 0 n Z0 π 2 n 1 = sin nx. cos − x.sin xdx Z0 Suy ra π π 2 2 n n 1 2In = cos x cos nxdx + sin nx. cos − x.sin xdx Z0 Z0 π 2 n 1 = cos − x cos(n 1)xdx − Z0 = In 1 − Vậy theo phép truy hồi ta có = 1 n = π In 2 .I0 2n+1 π π 2 2 n n Bài tập 2.6. Tính In = sin xdx, Jn = cos xdx Z0 Z0 Dạng 4. Chứng minh các đẳng thức tích phân Bài tập 2.7. Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0,1] thì: π π 2 2 π π π a/ f (sin x)dx = f (sin x)dx, b/ xf (sin x)dx = f (sin x)dx 2 Z0 Z0 Z0 Z0 Lời giải. Đây là bài tập dễ, câu a) đặt t = π x, còn câu b) đặt t = π x. 2 − − Bài tập 2.8. Áp dụng kết quả của bài tập 2.7 hãy chứng minh π π 2 2 √sin x √cos x π dx = dx = √sin x + √cos x √sin x + √cos x 4 Z0 Z0 57
58 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.9. Giả sử f (x) liên tục trên [ a, a](a > 0), hãy chứng minh − a 0 nếu f (x) là hàm số lẻ trên [ a, a] a − I = f (x)dx =  2 f (x)dx nếu f (x) là hàm số chẵn trên [ a, a] Za  − − Z0  Bài tập 2.10. Cho f (x) liên tục, chẵn trên [ a, a], chứng minh − a a f (x)dx = f (x)dx với 0 b = 1 1 + bx ≤ 6 Za Z0 − Áp dụng tính π π 1 2 2 1 2x cos 2x x2 sin x I = dx, I = dx, I = | | dx 1 (x2 + 1)(ex + 1) 2 2002x + 2x 3 1 + 2x Z1 Zπ Zπ − − 2 − 2 b b Bài tập 2.11. Chứng minh xm(a + b x)ndx = xn(a + b x)mdx − − Za Za 1 Áp dụng tính I = x2(1 x)ndx và chứng minh n − Z0 n k k 1 1 2 1 ∑ ( 1) Cn. = + k=0 − k + 3 n + 1 − n + 2 n + 3 Dạng 5. Chứng minh các bất đẳng thức tích phân Bài tập 2.12. Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Khi đó f 2(x), g2(x) cũng khả tích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức sau (a < b) b 2 b b f (x)g(x)dx f 2(x)dx . g2(x)dx ≤ Za ! Za ! Za ! (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt) Lời giải. Xét 2 trường hợp: b b TH1. Nếu f 2(x)dx = g2(x)dx = 0 thì: Za Za b b b f 2(x)+ g2(x) 0 f (x)g(x)dx f (x)g(x) dx dx = 0 ≤ ≤ | | ≤ 2 Za Za Za Khi đó ta có dấu ” = ” xảy ra. 58
3. Các ứng dụng của tích phân xác định 59 b b TH2. Nếu ít nhất một trong hai tích phân f 2(x)dx, g2(x)dx khác 0, không mất tính Za Za b tổng quát ta giả sử f 2(x)dx = 0 6 Za b Khi đó [α f (x)+ g(x)]2 0 [α f (x)+ g(x)]2 0. Suy ra ≥ ⇒ ≥ Za b b b f 2(x)dx .α2 + 2 f (x)g(x)dx .α + g2(x)dx 0 α R (2.6) ≥ ∀ ∈ Za Za Za Biểu thức ở vế trái là tam thức bậc 2 đối với α nên 2.6 đúng với mọi α R khi và chỉ ∈ khi b 2 b b 2 2 0 = f (x)g(x)dx f (x)dx . g (x)dx 0. 4 − ≤ Za ! Za ! Za ! Ta có điều phải chứng minh. §3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 Tính diện tích hình phằng 1. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ Descartes (tính diện tích "hình thang cong") a x b ≤ ≤ b y = f (x) Nếu S giới hạn bởi  thì S = f (x) g(x) dx (2.7) y = g(x) | − |  Za f , g C[a, b]  ∈   c y d ≤ ≤ d x = ϕ(y) Nếu S giới hạn bởi  thì S = ϕ(y) ψ(y) dy (2.8) x = ψ(y) | − |  Zc ϕ, ψ [c, d]   ∈   59
60 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số a x b ≤ ≤ t y = 0 2 Nếu S giới hạn bởi  thì S = ψ(t)ϕ (t) dt (2.9)  0  x = ϕt Z | |  t1 y = ψt    Trong đó giả thiết rằng phương trình ϕ(t) = a, ψ(t) = b có nghiệm duy nhất là t1, t2 và ϕ, ψ, ϕ C[t , t ]. 0 ∈ 1 2 Bài tập 2.13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a/ Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x y + 4 = 0. − b/ Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x. c/ Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x d/ Đường y2 = x2 x4 − Lời giải: Các câu a), b), c) có thể vẽ hình và tính toán dễ dàng như sau: 1 a. S = [(x + 4) (x2 + 4)]dx = 1 − 6 Z0 1 √2 b. S = (2x x2)dx + (2x x3)dx = 3 − − 4 Z0 Z2 2 c. S = 2 (√4x x2) √2x)dx = 2π 16 − − − 3 Z0 Riêng câu d) nếu khảo sát để vẽ đồ thị đường cong : y2 = x2 x4 thì không đủ thời gian C − nên ta có thể lý luận như sau: Trước hết ta có điều kiện 0 x 1, và nhận xét rằng ≤ ≤ nếu M(x, y) thì M ( x, y) . Do đó S = 4S(D), trong đó D là miền giới hạn bởi: ∈ C 0 ± ± ∈ C 0 x 1 ≤ ≤ . Do miền D nằm hoàn toàn trong hình vuông 0 x 1,0 y 1, hơn y = √x2 x4 ≤ ≤ ≤ ≤  − nữa hàm số y = √x2 x4 liên tục, y(0) = y(1) = 0 nên đồ thị của nó trong [0,1] phải có  − hình dáng như hình vẽ dưới đây: y 1 b O 1 x 60
3. Các ứng dụng của tích phân xác định 61 1 Áp dụng công thức 2.7 ta có S(D)= √x2 x4dx = 1 S = 4 − 3 ⇒ 3 Z0 61
62 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 2. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có dạng hình quạt) ϕ = α β  ϕ = β 1 2 Nếu S giới hạn bởi  thì S = r (ϕ)dϕ (2.10) r = r(ϕ) 2  Zα r(ϕ) C[α, β]  ∈   Bài tập 2.14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường hình tim r2 = a2 cos 2ϕ Lời giải: Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong toạ độ cực và nhận xét tính đối xứng của hình vẽ ta có: π 4 1 S = 4S(D)= 4. r2(ϕ)dϕ = a2 2 Z0 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình y = f (x) y = f (x) b AB a x b thì s = 1 +[ f (x)]2 (2.11)  0  ≤ ≤ Z  f C1[a, b] a q ∈  Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình tham số: x = x(t) y = y(t) β  AB α t β thì s = [x (t)]2 +[y (t)]2dt (2.12)  0 0  ≤ ≤ Z x(t), y(t) C1[a, b] α q ∈  2 2 > x0 (t)+ y0 (t) 0 t [α, β]  ∀ ∈  Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực: r = r(ϕ) β AB α ϕ β thì s = r2(ϕ)+ r 2(ϕ)dϕ (2.13)  0  ≤ ≤ Z r(ϕ) C1[α, β] α q ∈   62
3. Các ứng dụng của tích phân xác định 63 Bài tập 2.15. Tính độ dài đường cong ex+1 a/ y = ln ex 1 khi x biến thiên từ 1 đến 2. − t x = a(cos t + ln tg 2 ) π π b/ khi t biến thiên từ 3 đến 2 y = a sin t  Lời giải: a/ Ta có 2 2 x x 2x 2 e e e + 1 1 + y0 (x)= 1 + = ex + 1 − ex 1 e2x 1 − ! − ! Nên áp dụng công thức 2.11 ta được: 2 e4 e2x + 1 (t=e2x) t + 1 e2 + 1 s = dx = = ln e2x 1 2t(t 1) e2 Z1 − eZ2 − b/ Áp dụng công thức 2.12 ta có π 2 2 2 2 2 2 cos t cos t 2 x0 (t)+ y0 (t)= a . s = a dt = a ln sin2 t ⇒ s sin2 t √ Zπ s 3 3 3.3 Tính thể tích vật thể Trường hợp vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a, x = b. Giả thiết ta biết rằng diện tích S của thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳn x = x0 là S(x0), và S(x) là hàm số xác định, khả tích trên [a, b]. Khi đó b V = S(x)dx (2.14) Za Bài tập 2.16. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y2 = a2 và y2 + z2 = a2(a > 0). Lời giải: Do tính đối xứng nên V = 8V trong đó V = V x 0, y 0, z 0 . Một 0 0 ∩{ ≥ ≥ ≥ } điểm M(x,0,0) Ox, qua M ta dựng thiết diện của V vuông góc với Ox thì được một hình ∈ 0 vuông có cạnh là √a2 x2, do đó S(x)= a2 x2. Áp dụng công thức 2.14 ta được − − a 16 V = 8 (a2 x2)dx = a3 − 3 Z0 63
64 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.17. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 y2, các mặt phẳng − toạ độ và mặt phẳng x = a. Lời giải: Sau khi vẽ hình và áp dụng công thức 2.14 ta có: a 2 16 16 V = S(x)dx mà S(x)= (4 y2)dy = nên V = a − 3 3 Z0 Z0 a x b ≤ ≤ Trường hợp vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong y = 0   y = f (x) quanh trục Ox, trong đó f C[a, b] thì  ∈  b V = π f 2(x)dx (2.15) Za Tương tự, nêú vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong c y d ≤ ≤ x = 0 quanh trục Oy, trong đó ϕ C[c, d] thì  ∈  x = ϕ(y)   d V = π ϕ2(y)dy (2.16) Zc Bài tập 2.18. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x x2 và y = 0. − a/quanhtrụcOxmộtvòng b/quanhtrụcOymộtvòng. Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.15 ta được: 2 V = π (2x x2)dx = − Z0 b/ Áp dụng công thức 2.16 ta được: 1 1 2 2 V = π 1 + 1 y dy π 1 1 y dy = Z − − Z − − 0 p 0 p 64
3. Các ứng dụng của tích phân xác định 65 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay a x b ≤ ≤ Cho hình thang cong giới hạn bởi y = 0 với f C1[a, b]. Quay hình thang cong  ∈  y = f (x) này quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay. Khi đó diện tích xung quanh của vật  thể được tính theo công thức: b S = 2π f (x) 1 + f 2(x)dx (2.17) | | 0 Za q c y d ≤ ≤ Tương tự nếu quay hình thang cong x = 0 với ϕ C1[c, d], quanh trục Oy thì:  ∈  x = ϕ(y)   d S = 2π ϕ(y) 1 + ϕ 2(y)dy (2.18) | | 0 Zc q Bài tập 2.19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau a/ y = tg x,0 a2 + b2 = 1 Oy(a b) c/ 9y2 = x(3 x)2,0 x 3 quanh trục Ox. − ≤ ≤ 65
66 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.17 ta có: π 4 S = 2π tg x 1 + (1 + tg2 x)dx Z0 q 1 dt = 2π t 1 + (1 + t2)2. (đặt t = tg x) 1 + t2 Z0 q 1 1 + (1 + t2)2 = π .d(t2 + 1) 1 + t2 Z0 p 2 √1 + s2 = π ds (đặt s = 1 + t2) s Z1 √5 1 = π 1 + du u2 Z 1 √2 − 1 √5 1 √5 + 1 = π. √5 √2 + ln − ln ( − 2 √2 1 − √2 + 1 ) h − i b/ Nhận xét tính đối xứng của miền và áp dụng công thức 2.18 ta có: b a a y 2 S = 2.2π b2 y2. 1 + . dy b − s b b2 y2 Z0 q − b p a = 4π b4 + (a2 b2)y2dy b − Z0 q b a b4 = 4π a2 b2 y2 + dy b − s a2 b2 p Z0 − b a b4 = 4π a2 b2 y2 + βdy( đặt β = ) b − a2 b2 p Z0 q − b a 1 = 4π a2 b2. y y2 + β + β ln y + y2 + β b − 2 | | h q q i0 p 1 y2 + βdy = y y2 + β + β ln y + y2 + β 2 | | ! Z q h q q i 66
4. Tích phân suy rộng 67 c/ Trước hết 2 2 2 (3 x)(1 x) 2 (1 x) 9y = x(3 x) 18yy0 = 3(3 x)(1 x) y0 = − − y0 = − − ⇒ − − ⇒ 6y ⇒ 4x Nên áp dụng công thức 2.17 ta có: 3 3 √x(3 x) (1 x)2 1 S = 2π − . 1 + − dx = 2π. (3 x)(1 + x)dx = 3π 3 4x 6 − Z0 r Z0 §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn hữu hạn [a, b] và bị chặn trên đoạn đó. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của hàm số không bị chặn. 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, +∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A] , (a A < +∞). ≤ A Định nghĩa 2.6. Giới hạn của tích phân f (x)dx khi A +∞ được gọi là tích phân suy → Za rộng của hàm số f (x) trên khoảng [a, +∞) và ký hiệu như sau +∞ A f (x)dx = lim f (x)dx A +∞ Za → Za +∞ Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ. Ngược lại, Za nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ. Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng ( ∞, a] và − ( ∞, +∞) bởi các công thức sau − a a +∞ A f (x)dx = lim f (x)dx và f (x)dx = lim f (x)dx A ∞ A +∞,A0 ∞ Z∞ →− ZA Z∞ → →− AZ − − 0 67
68 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Ta có thể viết +∞ +∞ a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Z∞ Za Z∞ − − khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ. Qua các định nghĩa trên ta thấy rằng tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định (hiểu theo nghĩa thông thường) khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Do đó có thể dùng công thức Leibniz để tính tích phân, sau đó cho cận tiến ra vô cùng. A f (x)dx = F(A) F(a) − Za kí hiệu F(+∞) = lim F(A) A ∞ → thì có thể viết +∞ ∞ f (x)dx = F(+∞) F(a) = F(x) + − |a Za +∞ dx Example 4.1. 1. Tính tích phân x ln x(lnln x)2 eZ2 Ta có A A dx 1 A 1 1 dx 1 = = nên lim = 2 ∞ 2 x ln x(lnln x) −lnln x e2 ln2 − lnln A ⇒ A + x ln x(lnln x) ln2 Z2 → Z2 e e Vậy +∞ dx 1 = x ln x(lnln x)2 ln2 eZ2 +∞ dx 2. Tính tích phân (x2 + 1)2 Z∞ − A Trước hết ta tính dx , đặt x = tg t dx = dt = cos2 tdt, (x2+1)2 (1+x2)2 1+tg2 t Z ⇒ A0 A arctg A dx 1 + cos 2t t sin2t arctgA = dt = + (x2 + 1)2 2 2 4 Z Z arctgA0 A0 arctg A0 68
4. Tích phân suy rộng 69 Khi A +∞, A ∞ thì arctg A π ; arctg A π , suy ra → 0 →− → 2 0 →− 2 +∞ π dx t sin2t 2 π 2 2 = + = (x + 1) 2 4 π 2 Z∞ 2 − − 0 0 0 3. x sin xdx = lim x sin xdx = lim ( x cos x + sin x) A = lim (A cos A sin A) A ∞ A ∞ − | A ∞ − Z∞ →− AZ →− →− −Giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ. 4. Xét sự hội tụ của tích phân +∞ dx I = xα Z1 Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α > 1, và phân kỳ khi và chỉ khi α 1. ≤ 4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, b) và khả tích trên mọi đoạn [a, t], (t < b bất kỳ), và lim f (x)= ∞. Điểm x = b được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị) của hàm số x b f (x). → t Định nghĩa 2.7. Giới hạn của tích phân f (x)dx khi t b , được gọi là tích phân suy → − Za rộng của hàm số f (x) trên khoảng [a, b) và được ký hiệu như sau: b t f (x)dx = lim f (x)dx t b− Za → Za Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ. Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f (x) không bị chặn trên khoảng (a, b] và (a, b) lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường. b b b t0 f (x)dx = lim f (x)dx và f (x)dx = lim f (x)dx + + t a t a ,t0 b− Za → Zt Za → → Zt Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b, ta có thể viết b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Za Za Zc khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ. 69
70 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 1 dx Example 4.2. 1. Xét sự hội tụ của tích phân √1 x2 Z1 − − 0 0 0 dx dx π = lim = lim arcsin x = lim ( arcsin t) = √ 2 t 1 √ 2 t 1 t 1 − 2 Z 1 x →− Z 1 x →− →− 1 − t − t − 1 1 t dx dx π = lim = lim arcsin x = lim arcsin t = √ 2 t 1 √ 2 t 1 t 1 2 Z 1 x → Z 1 x → → 0 − 0 − 0 nên 1 0 1 dx dx dx = + = π √1 x2 √1 x2 √1 x2 Z1 Z1 Z0 − − − − − 1 dx 2. Xét sự hội tụ của tích phân I = xα Z0 Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α < 1, phân kỳ khi và chỉ khi α 1. ≥ 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ Định lý 2.19. +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ • | | Za Za b +∞ Nếu f (x) dx (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì f (x)dx cũng hội tụ • | | Za Za Định nghĩa 2.8. +∞ +∞ +∞ Nếu f (x) dx hội tụ thì ta nói f (x)dx hội tụ tuyệt đối, còn nếu f (x)dx hội tụ • | | Za Za Za +∞ +∞ nhưng f (x) dx phân kì thì ta nói f (x) dx bán hội tụ. | | | | Za Za b b Nếu f (x) dx (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì ta nói f (x)dx hội tụ • | | Za Za b b b tuyệt đối, còn nếu f (x)dx hội tụ nhưng f (x) dx phân kì thì ta nói f (x) dx | | | | Za Za Za bán hội tụ. 70
4. Tích phân suy rộng 71 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 2.20 (Tiêu chuẩn so sánh). 1. Cho hai hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, A](a A) và ≤ 0 f (x) g(x), x a ≤ ≤ ≥ Khi đó +∞ +∞ i) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ Za Za +∞ +∞ ii) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ Za Za 2. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A](a A) và +∞ +∞ ≤ f (x) lim = k(0 < k < +∞). Khi đó các tích phân f (x)dx và g(x)dx hoặc cùng x +∞ g(x) → Za Za hội tụ, hoặc cùng phân kỳ. Corollary 2.3. Cho f và g là hai hàm số dương khả tích trên [a, +∞). Khi đó +∞ +∞ f (x) 1. Nếu lim = 0 và nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ. x +∞ g(x) → Za Za +∞ +∞ f (x) 2. Nếu lim =+∞ và nếu g(x)dx phân kì thì f (x)dx phân kì. x +∞ g(x) → Za Za Tương tự chúng ta cũng có các tiêu chuẩn hội tụ cho trường hợp tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn. Định lý 2.21 (Tiêu chuẩn so sánh). 1. Cho hai hàm số f (x) và g(x) khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường là x = a sao cho 0 f (x) g(x), x (a, b] ≤ ≤ ∀ ∈ Khi đó b b i) Nếu g(x)dx hội tụ thì f (x)dx hội tụ Za Za 71
72 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số b b ii) Nếu f (x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ Za Za 2. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường x = a. Nếu tồn tại giới hạn f (x) lim = k(0 1 a) I1 = α a x phân kì nếu α 1 Z  ≤ b dx hội tụ nếu α < 1 b dx hội tụ nếu α < 1 b) I2 = α , I20 = α a (x a) phân kì nếu α 1 a (b x) phân kì nếu α 1 Z −  ≥ Z −  ≥   4.5 Bài tập Bài tập 2.20. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau: 0 +∞ a. xexdx b. cos xdx Z∞ Z0 − +∞ 1 dx dx c. d. (x2 + 1)2 x(1 x) Z∞ Z0 − − p 72
4. Tích phân suy rộng 73 0 0 Lời giải. a. xexdx = ex(x 1) = 1 − Z∞ ∞ − − ∞ +∞ + b. cos xdx = sin x . Do không tồn tại giới hạn lim sin x nên tích phân đã cho x +∞ Z → 0 0 phân kì. π +∞ 2 dx +∞ dx c. . Đặt thì 2 π 2 2 = 2 2 2 x = tg t I = 2 cos tdt = 2 (x + 1) 0 (x + 1) Z∞ Z Z0 − 1 1 2 1 dx dx dx d. = + x(1 x) x(1 x) x(1 x) Z0 Z0 Z1 − − 2 − p p I1 p I2 | {z } | {z } 1 1 – Xét tích phân I1 có điểm bất thường là x = 0. Khi x 0, . Mặt → x(1 x) ∼ √x 1 − dx p khác tích phân hội tụ nên I hội tụ. √x 1 Z0 1 1 – Xét tích phân I2 có điểm bất thường là x = 1. Khi x 1, . → x(1 x) ∼ √1 x 1 − − dx p Mặt khác tích phân hội tụ nên I2 hội tụ. √1 x Z0 − Vậy I = I1 + I2 hội tụ. b dx Trong trường hợp tổng quát, muốn tính I = ta thực hiện phép đổi (x a)(b x) Za − − biến p x = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ sẽ chuyển I về tích phân xác định π 2 I = 2 dϕ = π Z0 73
74 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Bài tập 2.21. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau 1 1 1 dx √xdx √xdx a. b. c. tg x x esin x 1 √1 x4 Z0 − Z0 − Z0 − +∞ +∞ 2 +∞ ln(1 + x)dx e x x2dx d. e. − dx f. x x2 x4 x2 + 1 Z1 Z1 Z0 − Lời giải. a. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và 1 1 1 lim : = x 0 tg x x x3 3 → − 1 1 dx dx Mặc khác phân kì nên cũng phân kì. x3 tg x x Z0 Z0 − b. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và khi x 0, esin x 1 sin x x nên 1 1 → − ∼ ∼ √x 1 dx √xdx . Do hội tụ nên cũng hội tụ. esin x 1 ∼ √x √x esin x 1 − Z0 Z0 − c. Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = và khi x 1 thì → √x √x 1 = √1 x4 (1 x)(1 + x + x2 + x3) ∼ 2√1 x − − − 1 1 p dx √xdx Do hội tụ nên cũng hội tụ. √1 x √1 x4 Z0 − Z0 − +∞ +∞ ln(1 + x) 1 dx ln(1 + x)dx d. Ta có > với mọi x > e 1. Mà phân kì nên cũng x x − x x Z1 Z1 phân kì. +∞ x2 2 e 1 dx e. Ta có e x 0 nên − 0. Mặt khác hội tụ nên − x2 x2 x2 Z0 +∞ 2 e x − dx cũng hội tụ. x2 Z1 x2 1 f. Khi x +∞ thì nên tích phân đã cho hội tụ. → x4 x2 + 1 ∼ x2 − 74
4. Tích phân suy rộng 75 +∞ Bài tập 2.22. Nếu f (x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) 0 khi x +∞ không? → → Za +∞ +∞ Lời giải. f (x)dx hội tụ không suy ra được f (x) 0 khi x +∞. Vídụnhư sin(x2)dx → → Za Z0 hội tụ (xem bài tập 2.24) nhưng không tồn tại giới hạn lim sin(x2). x +∞ → +∞ Bài tập 2.23. Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim f (x)= A = 0. Hỏi f (x)dx x +∞ 6 → Za có hội tụ không? +∞ +∞ f (x) Lời giải. Theo giả thiết lim = 1, mà Adx phân kì nên f (x)dx cũng phân kì. x +∞ A → Za Za Bài tập 2.24. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau +∞ +∞ +∞ 2 x2 2 a. sin(x )dx b. e− dx c. 1 cos dx − x Z0 Z0 Z1 π 1 1 2 2 x dx p p 1 q 1 d. e. (tg x) dx f. x − (1 x) − dx 3 (1 x2)5 − Z0 − Z0 Z0 +∞p 1 p 1 x f (x)dx g. x − e− dx h. ( f C[0,1]) √1 x2 ∈ Z0 Z0 − dt Lời giải. a. Thựchiệnphépđổibiến x = √t, dx = , đưa tích phân đã cho về dạng 2√t +∞ 1 sin tdt I = 2 √t Z0 Ta có thể viết π +∞ 2 +∞ sin tdt sin tdt sin tdt = + √t √t √t Z Z Zπ 0 0 2 I1 I2 sin t | {z } | {z } Vì lim = 0 nên tích phân I1 thực chất là tích phân xác định nên hội tụ, do đó chỉ t 0 √ → t cần xét I2. +∞ +∞ ∞ +∞ +∞ sin t d(cos t) cos t + 1 cos t 1 cos t = = = = I2 dt 3/2 dt 3/2 dt √t − √t − √t π − 2 t −2 t Zπ Zπ 2 Zπ Zπ 2 2 2 2 75
76 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số +∞ cos t 1 cos t Vì nên dt hội tụ. Vậy ta có I2 cũng hội tụ và tích phân đã cho t3/2 ≤ t3/2 t3/2 Zπ 2 hội tụ. +∞ +∞ x2 x x 1 x2 b. Ta có với x > 1 thì e− 0. 2 p 0 thì khi x , (tg x)p = = → 2 cos x  π  ∼ π p sin x x  2 −  2 − nên I hội tụ nếu 0 0;{z còn I chỉ} hội| tụ khi {z1 q 0. Vậy I chỉ hội tụ khi p > 0, q > 0. g. Nếu p 1 thì tích phân đã cho chỉ có điểm bất thường tại +∞ và ≥ p+1 p 1 x 1 x lim [x − e− ] : = lim = 0 x +∞ x2 x +∞ ex → → 76
4. Tích phân suy rộng 77 p 1 x nên x − e− dx hội tụ. x Z+∞ → Nếu p 0 và I2 hội| tụ{z với p bất} kì.| {z } +∞ p 1 x Vậy x − e− dx hội tụ nếu p > 0. Z0 h. Mặc dù tích phân đã cho là tích phân suy rộng có điểm bất thường là x = 1 nhưng ta có thể đưa I về tích phân thường bằng cách đổi biến. Đặt x = sin θ, trên [0, c] ta có π 1 c arcsin c 2 f (x)dx f (x)dx = lim = lim f (sin θ)dθ = f (sin θ)dθ 2 2 √1 x c 1− √1 x c 1− Z0 − → Z0 − → Z0 Z0 Vì f là một hàm số liên tục trên [0,1] nên hàm hợp f (sin θ) là một hàm số liên tục và π bị chặn trên 0, và tích phân đã cho là tích phân xác định nên hội tụ. 2 h i Bài tập 2.25. Tính các tích phân suy rộng sau +∞ +∞ +∞ ax ax dx a. e− sin bxdx b. e− cos bxdx c. 1 + x4 Z0 Z0 Z0 +∞ ∞ a sin bx + b cos bx + b Lời giải. a. e ax sin bxdx = e ax = − − a2 + b2 − a2 + b2 Z 0 0 +∞ ∞ b sin bx a cos bx + b b. e ax cos bxdx = − e ax = − a2 + b2 − a2 + b2 Z 0 0 1 c. Thực hiện phép đổi biến x = ta có t +∞ +∞ +∞ dx t2dt x2dx I = = = 1 + x4 1 + t4 1 + x4 Z0 Z0 Z0 Do đó 1 +∞ +∞ +∞ +∞ 1 + dx dx x2dx (1 + x2)dx x2 2I = + = = 1 + x4 1 + x4 1 + x4 1 Z Z Z Z x2 + 0 0 0 0 x2 77
78 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 1 Lại đặt z = x ta được − x +∞ ∞ 1 z 1 z + π I = = arctg = 2 z2 + 2 √ √ √ Z∞ 2 2 2 ∞ 2 2 − − 78
CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số Ta nói rằng dãy điểm M (x , y ) dần tới điểm M (x , y ) trong R2 và viết M M • { n n n } 0 0 0 n → 0 khi n +∞ nếu lim d(Mn, M0)= 0 hay nếu xn x0, yn y0. n +∞ → → → → Giả sử hàm số z = f (M) = f (x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm • M0(x0, y0), có thể trừ tại điểm M0. Ta nói rằng hàm số f (x, y) có giới hạn là l khi M dần đến M0 nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận V dần đến M0 ta đều có lim f (xn, yn)= l n +∞ → Khi đó ta viết lim f (x, y)= l hay lim f (M)= l (x,y) (x ,y ) M M0 → 0 0 → Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một • biến số. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng • đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự. Nhận xét: Theo định nghĩa trên, muốn chứng minh sự tồn tại của giới hạn của hàm số nhiều • biến số là việc rất khó khăn vì phải chỉ ra lim f (xn, yn) = l với mọi dãy số xn n +∞ → { → 79
80 Chương 3. Hàm số nhiều biến số x , y y . Trong thực hành, muốn tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số, 0} { n → 0} phương pháp chứng minh chủ yếu là đánh giá hàm số, dùng nguyên lý giới hạn kẹp để đưa về giới hạn của hàm số một biến số. Với chiều ngược lại, muốn chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều • biến số, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy x x , y y và x x , y y { n → 0 n → 0} { n0 → 0 n0 → 0} sao cho lim f (xn, yn) = lim f (xn0 , yn0 ) n +∞ n +∞ → 6 → hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) (x , y ) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai → 0 0 giới hạn khác nhau. 1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M là một điểm thuộc D. Ta nói rằng • 0 hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu lim f (M) = f (M0) M M → 0 Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì limM M f (M) được hiểu là giới hạn → 0 của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D. Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc • D. Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên • tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó liên tục đều, bị chặn trong miền ấy, đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đó. 1.3 Bài tập Bài tập 3.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau 1 a. z = b. z = (x2 + y2 1)(4 x2 y2) x2 + y2 1 − − − − q y 1 c. z = arcsinp − d. z = x sin y x p Bài tập 3.2. Tìm giới hạn (nếu có) của các hàm số sau x2 y2 πx a. f (x, y)= − (x 0, y 0) b. f (x, y)= sin (x ∞, y ∞) x2 + y2 → → 2x + y → → 80
2. Đạo hàm và vi phân 81 Lời giải. a. Nếu cho (x, y) (0,0 theo phương của đường thẳng y = kx thi ta có → x2 k2x2 1 k2 1 k2 f (x, kx) = − = − − khi x 0 x2 + k2x2 1 + k2 → 1 + k2 → Vậy khi (x, y) (0,0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới → hạn khác nhau. Do đó không tồn tại lim f (x, y). (x,y) (0,0) → b. Nếu cho (x, y) (0,0 theo phương của đường thẳng y = kx thi ta có → πx π π f (x, kx)= sin = sin sin khi x 0 2x + kx 2 + k → 2 + k → Vậy khi (x, y) (0,0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới → hạn khác nhau. Do đó không tồn tại lim f (x, y). (x,y) (0,0) → §2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x , y ) D. Nếu cho y = y , • 0 0 ∈ 0 hàm số một biến số x f (x, y0) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì đạo hàm đó gọi là 7→ ∂ f ∂ đạo hàm riêng của f với biến x tại M và được kí hiệu là hay f (x, y). 0 ∂x ∂x ∂ f f (x + x, y ) f (x , y ) = lim 0 4 0 − 0 0 ∂x x 0 x 4 → 4 Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x , y ) D. Nếu cho x = x , • 0 0 ∈ 0 hàm số một biến số x f (x0, y) có đạo hàm tại điểm y = y0 thì đạo hàm đó gọi là 7→ ∂ f ∂ đạo hàm riêng của f với biến x tại M và được kí hiệu là hay f (x, y). 0 ∂y ∂y ∂ f f (x , y + y) f (x , y ) = lim 0 0 4 − 0 0 ∂y y 0 y 4 → 4 Chú ý: Các đạo hàm riêng của các hàm số n biến số (với n 3) được định nghĩa tương tự. ≥ Khi cần tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến số nào, xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, còn các biến còn lại là các hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm như hàm số một biến số. 81
82 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 2.2 Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M (x , y ) D, M(x + • 0 0 0 ∈ 0 x , y + y ) D. Biểu thức f = f (x + x , y + y ) f (x , y )(x , y ) được 4 0 0 4 0 ∈ 4 0 4 0 0 4 0 − 0 0 0 0 gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu như có thể biểu diễn số gia toàn phần dưới dạng f = A. x + B y + α y + β y 4 4 4 4 4 trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x , y còn α, β 0 khi M M , thì ta nói 0 0 → → 0 hàm số z khả vi tại M , còn biểu thức A. x + B y + α y được gọi là vi phân toàn 0 4 4 4 phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz. Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Đối với hàm số một biến số, sự tồn tại đạo hàm tại điểm x tưong đương với sự khả • 0 vi của nó tại x0. Đối với hàm số nhiều biến số, sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0) chưa đủ để nó khả vi tại M0 (xem bài tập 3.3). Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0. Định lý 3.22. Nếu hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của M0 và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f (x, y) khả vi tại M0 và dz = f 0 x + f 0 y x 4 y 4 2.3 Đạo hàm của hàm số hợp Cho D là một tập hợp trong R2 và các hàm số ϕ f D ϕ(D) R2 R → ⊂ → và F = f ϕ là hàm số hợp của hai hàm số f và ϕ: ◦ F(x, y)= f (u(x, y), v(x, y)) ∂ f ∂ f Định lý 3.23. Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục trong ϕ(D) và nếu u, v có các ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v ∂F ∂F đạo hàm riêng , , , trong D thì tồn tại các đạo hàm riêng , và ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂ f ∂u ∂ f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂ f ∂u ∂ f ∂v (3.1) = +  ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y  82
2. Đạo hàm và vi phân 83 Công thức 3.1 có thể được viết dưới dạng ma trận như sau ∂u ∂u ∂F ∂F ∂ f ∂ f ∂x ∂y =   ∂x ∂y ∂v ∂v ∂u ∂v  ∂x ∂y      trong đó ma trận ∂u ∂u ∂x ∂y  ∂v ∂v   ∂x ∂y      được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ ϕ, định thức của ma trận ấy được gọi là định thức D(u, v) Jacobi của u, v với x, y và được kí hiệu là . D(x, y) 2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng f , f là những đạo hàm riêng • x0 y0 cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau: ∂ ∂ f ∂2 f = = f ”(x, y) ∂x ∂x ∂x2 xx   ∂ ∂ f ∂2 f  = = f ”(x, y) ∂y ∂x ∂y∂x yx   ∂ ∂ f ∂2 f  = = f ”(x, y) ∂x ∂y ∂x∂y xy ∂ ∂ f ∂2 f  = = f (x y)  2 yy” , ∂y ∂y ∂y   Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, Định lý 3.24 (Schwarz). Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng fxy”, fyx” và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì fxy” = fyx” tại M0. Xét hàm số z = f (x, y), vi phân toàn phần của nó dz = f dx + f dy, nếu tồn tại, cũng • x0 y0 là một hàm số với hai biến số x, y. Vi phân toàn phần của dz, nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là d2z. Ta có công thức 2 2 2 d z = fxx”dx + 2 fxy”dxdy + fyy”dy 83
84 Chương 3. Hàm số nhiều biến số 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient Cho f (x, y, z) là một hàm số xác định trong một miền D R3 và ~l = (l , l , l ) là một • ∈ 1 2 3 véctơ bất kì trong R3. Giới hạn, nếu có, f (M + t~l) f (M) lim 0 − t 0 t → ~ ∂ f được gọi là đạo hàm của hàm số f theo hướng l tại M0 và được kí hiệu là (M0). ∂~l Nếu~l trùng với véctơ đơn vị i của trục Ox thì đạo hàm theo hướng~l chính là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f ∂ f ∂ f (M0)= (M0) ∂~l ∂x Vậy đạo hàm riêng theo biến x chính là đạo hàm theo hướng của trục Ox, cũng như ∂ f ∂ f vậy, , là các đạo hàm của f theo hướng của trục Oy và Oz. Định lý sau đây cho ∂y ∂z ta mối liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và đạo hàm riêng: Định lý 3.25. Nếu hàm số f (x, y, z) khả vi tại điểm M0(x0, y0, z0) thì tại M0 có đạo hàm theo mọi hướng~l và ta có ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f (M0)= (M0) cos α + (M0) cos β + (M0) cos γ ∂~l ∂x ∂y ∂z trong đó (cos α, cos β, cos γ) là cosin chỉ phương của~l. Cho f (x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M (x , y , z ). Người ta gọi gradient • 0 0 0 0 của f tại M0 là véctơ ∂ f ∂ f ∂ f (M ), (M ), (M ) ∂x 0 ∂y 0 ∂z 0 và được kí hiệu là grad−−→ f (M0). Định lý 3.26. Nếu hàm số f (x, y, z) khả vi tại M0 thì tại đó ta có ∂ f ~ (M0)= grad−−→ f .l ∂~l ∂ f ~ Chú ý: (M0) thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số f tại M0 theo hướng l. Từ công thức ∂~l ∂ f ~ ~ ~ ∂ f ~ (M0) = grad−−→ f .l = grad−−→ f l . cos grad−−→ f , l ta có ~ (M0) đạt giá trị lớn nhất bằng ∂l ∂l ~ ~ grad−−→ f l nếu l có cùng phương với grad−−−→f . Cụ thể 84
2. Đạo hàm và vi phân 85 Theo hướng ~l, hàm số f tăng nhanh nhất tại M nếu ~l có cùng phương, cùng hướng • 0 với grad−−−→f . Theo hướng~l, hàm số f giảm nhanh nhất tại M nếu~l có cùng phương, ngược hướng • 0 với grad−−−→f . 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn Cho phương trình F(x, y) = 0 trong đó F : U R là một hàm số có các đạo hàm • → riêng liên tục trên tập mở U R2 và F (x , y ) = 0. Khi đó phương trình F(x, y) = 0 ⊂ y0 0 0 6 xác định một hàm số ẩn y = y(x) trong một lân cận nào đó của x0 và có đạo hàm Fx0 y0(x)= − Fy0 Tương tự, cho phương trình F(x, y, z) = 0 trong đó F : U R là một hàm số có các • → đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U R3 và F (x , y , z ) = 0. Khi đó phương trình ⊂ z0 0 0 0 6 F(x, y, z)= 0 xác định một hàm số ẩn z = z(x, y) trong một lân cận nào đó của (x0, y0) và có đạo hàm Fx0 Fy0 z0x = , zy0 = − Fz0 − Fz0 2.7 Bài tập Bài tập 3.3. Chứng minh rằng hàm số xy nếu 2 2 (x, y) = (0,0) f (x, y)= x + y 6  0 nếu (x, y) = (0,0) có các đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không liên tục tại (0,0) và do đó không khả vi tại (0,0). Bài tập 3.4. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau x 3 a) z = ln x + x2 + y2 b) z = y2 sin c) z = xy y q 1 x2 y2 z d) z = arctg − e) u = xy , (x, y, z > 0) f) u = e x2+y2+z2 , (x, y, z > 0) s x2 + y2 Lời giải. a. 1 + x y √x2+y2 1 √x2+y2 z0x = = ; zy0 = x + x2 + y2 x2 + y2 x + x2 + y2 p p p 85
86 Chương 3. Hàm số nhiều biến số b. x x x z0 = y cos ; z0 = 2y sin x cos . x y y y − y c. 3 y3 1 2 y3 z0x = y x − ; zy0 = 3y ln x.x d. 1 ∂ x2 y2 y2 z0 = − = x x2 y2 2 2 4 4 − + 1 ∂x s x + y ! x x y x2+y2 − p 1 ∂ x2 y2 y z0 = − = − y x2 y2 2 2 4 4 − + 1 ∂y s x + y ! x y x2+y2 − p e. z yz 1 yz z 1 yz z u0x = y x − ; uy0 = x zy − .ln x; uz0 = x y ln y ln x f. 1 x 1 y 1 z x2+y2+z2 2 x2+y2+z2 2 x2+y2+z2 2 u0x = e . − ; uy0 = e − ; uz0 = e − . (x2 + y2 + z2)2 (x2 + y2 + z2)2 (x2 + y2 + z2)2 Bài tập 3.5. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của các hàm số f (x, y) sau a. 2 x arctg y nếu x = 0 f (x, y) = x 6 0 nếu x = 0   b. x sin y y sin x − nếu (x, y) = (0,0) x2 + y2 6 f (x, y) =  0 nếu (x, y) = (0,0) .  86
2. Đạo hàm và vi phân 87 Lời giải. a. Ta dễ thấy hàm số liên tục với mọi (x, y) = (0, y). 2 6 2 Xét x = 0, vì x arctg y π x nên lim x. arctg y = 0 = f (0, y) . Vậy f (x, y) liên x ≤ 2 | | x 0 x R2 → tục trên . Với x = 0 các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục: 6 y 2 2x2y2 2x3y z0 = arctg , z0 = x x − x4 + y4 y x4 + y4 Xét tại x = 0, 2 f (h, y) f (0, y) h 0, y = 0 fx0 (0, y) = lim − = arctg y =  h 0 h  π , y = 0  → 2  6  f (0, y + k) f (0, y)  fy0 (0, y) = lim − = lim 0 = 0 k 0 k k 0  → → Vậy ta thấyf (x, y) liên tục trên R2 (0,0) ; f (x, y) liên tục trên R2.  x0 \ y0 b. Hàm số liên tục trên R2 (0,0), còn tại (0,0) thì \ x sin y ysinx xy sin y sin x 1 sin y sin x 0 − = ≤ x2 + y2 x2 + y2 y − x ≤ 2 y − x nên x sin y ysinx lim − = 0 x 0 x2 + y2 y→0 → Vậy f (x, y) liên tục trên R2. Bài tập 3.6. Giả sử z = yf x2 y2 , ở đó f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với − hàm số z hệ thức sau luôn thoả mãn 1 1 z z0 + z0 = x x y y y2 Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 z0 = yf x y .2x, z0 = f x y + y. f x y . ( 2y) x − y − − − nên 1 1 f x2 y2 z z0x + zy0 = − = 2 x y y y Bài tập 3.7. Tìm đạo hàm của hàm số hợp sau đây u2 2v2 2 2 a. z = e − , u = cos x, v = x + y . p 87