›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Đặng Văn Vinh

pdf 53 trang ngocly 2490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_2_dinh_thuc_dang_van_vinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn
  2. NỘI DUNG I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức III – Khai triển Laplace
  3. I. Định nghĩa và ví dụ A a Cho ij n n là ma trận vuơng cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det (A) a A ij n n Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; Định nghĩa bù đại số của phần tử aij i j Bù đại số của phần tử aij là đại lượng AMij ( 1) ij
  4. I. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: A a11 A a11 a11 a 12 b) k =2: A A a11 a 22 a 12 a 21 a 11 A 11 a 12 A 12 a21 a 22 a11 a 12 a 13 c) k =3: Aaa a AaAaAaA 21 22 23 11 11 12 12 13 13 a31 a 32 a 33 a11 a 12 a 1n d) k =n:A A a11 A 11 a 12 A 12  a 1n A 1 n *
  5. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ 1 2 3 Tính det (A), với A 2 3 0 3 2 4 Giải AAAA 1 11 2  12 ( 3)  13 1 2 3 3 0 A () 1 1 1 2 3 0 ( 1)1 1 12 11 2 4 3 2 4 3 0 2 0 2 3 A 1( 1)1 1 2( 1)1 2 ( 3)( 1)1 3 2 4 3 4 3 2 A 12 16 15 11
  6. II. Tính chất của định thức 1. Cĩ thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đĩ * A ai1 a i 2 a in a ii 1 A 1 a ii 2 A 2  a inin A * a1j a2 j A a1j A 1 j a 2 j A 2 j  a nj A nj  anj
  7. II. Tính chất của định thức Ví dụ 3 1 3 Tính định thức det (A), với A 5 2 2 4 0 0 Giải. Khai triển theo hàng thứ 3 3 1 3 3 1 3 1 3 A 5 2 2 4( 1)3 1 5 2 2 4( 1)3 1 32 2 2 4 0 0 4 0 0
  8. II. Tính chất của định thức Ví dụ 2 3 3 2 3 0 1 4 Tính định thức det (A), với A 2 0 3 2 4 0 1 5
  9. II. Tính chất của định thức Giải Khai triển theo cột thứ hai 2 3 3 2 3 0 1 4 AAAAAA     ( 3) 0 0 0 3 2 0 3 2 12 22 32 42 12 4 0 1 5 3 1 4 A 3 2 3 2  87 4 1 5
  10. II. Tính chất của định thức Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. Ví dụ 2 1 3 0 4 0 3 6 7 1 A 0 0 5 2 8 2( 3)541 120 0 0 0 4 9 0 0 0 0 1
  11. II. Tính chất của định thức Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức h h 1.Nếu AB  i i thì |BA | | | h h  h 2.Nếu AB  i i j thì |BA | | | h h 3. Nếu AB  i j thì |BA | | |
  12. II. Tính chất của định thức Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức 1 1 2 1 2 3 5 0 A 3 2 6 2 2 1 3 1
  13. II. Tính chất của định thức Giải 1 1 2 1 h2 h 2 2 h 1 1 1 2 1 2 3 5 0 h h 3 h | A| 3 3 1 0 1 1 2 3 2 6 2 0 1 0 1 h4 h 4 2 h 1 2 1 3 1 0 3 7 1 1 1 2 Khai triển theo cột đầu tiên | A | 1( 1)1 1 1 0 1 3 7 1 1 1 2 1 1 | A| 1 0 1 1( 1)1 2 19 4 15 4 0 15
  14. II. Tính chất của định thức Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác khơng tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
  15. II. Tính chất của định thức Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức 3 2 1 1 2 3 2 0 A 3 1 4 2 4 1 3 1
  16. II. Tính chất của định thức Giải 3 2 1 1 3 2 1 1 2 3 2 0 h3 h 3 2 h 1 2 3 2 0 | A| 3 1 4 2 3 5 2 0 h4 h 4 h 1 4 1 3 1 1 1 4 0 2 3 2 Khai triển theo cột số 4 | A | 1( 1)1 4 3 5 2 1 1 4 2 3 2 5 8 |A | 5 8 0 ( 2)  ( 1)1 3 30 5 5 5 5 0
  17. II. Tính chất của định thức det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận cĩ một hàng (cột) bằng khơng, thì det (A) = 0 Ma trận cĩ hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).
  18. II. Tính chất của định thức Định lý Ma trận vuơng A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0. Chứng minh Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đĩ tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0 Giả sử det(A) 0. Khi đĩ T AAA11 12 1n 1 1 AAA21 22 2n AP A , với P A A    AAAn1 n 2  nn
  19. II. Tính chất của định thức * a j1 a j1  a j1 A * ai1 ai1  ai1 * |A |, i j ai1 A j 1 a i 2 A j 2  a in A jn 0, i j * a j1 a j1  a j1 B * a j1 a j1  a j1 *
  20. II. Tính chất của định thức Tính chất của ma trận nghịch đảo 1 1. det(A 1 ) det(A ) n 1 2. Nếu A khả nghịch, thì det(PAA ) (det( )) Chứng minh.
  21. II. Tính chất của định thức Cơng thức tính ma trận nghịch đảo A-1 Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đĩ T AAA11 12 1n 1 1 AAA21 22 2n AP A , với P A A    AAAn1 n 2  nn
  22. II. Tính chất của định thức 1 1 1 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A 2 3 1 3 4 0 Giải. det(A) 2 0 A khả nghịch Tính 9 bù đại số của các phần tử 3 1 2 1 2 3 A ( 1)1 1 4; A ( 1)1 2 3; A ( 1)1 3 1 11 4 0 12 3 0 13 3 4 AAAAAA21 4; 22 3; 23 1; 31 2; 32 1; 33 1 4 4 2 1 A 1 3 3 1 2 1 1 1
  23. Ví dụ 1 Tính det(A), nếu 2 1 1 3 3 2 1 2 A 4 1 0 1 3 3 2 2
  24. Ví dụ 2 Tính det(A), với 4 1 1 0 3 2 4 1 A 2 1 3 1 5 1 2 3
  25. Ví dụ 3 2 1x 3 3 2x2 3 1 f() x 3 5x3 2 x 1 6 3 2x 1 9 Khẳng định nào sau đây đúng? a) Bậc của f(x) là 5. b) Bậc của f(x) là 4. c) Bậc của f(x) là 3. d) Các câu khác đều sai.
  26. Ví dụ 4 Tính định thức của ma trận sau 1 0 1 i A 0 1 i 1 i i 1
  27. Ví dụ 5 Tính định thức 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 I 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1
  28. Ví dụ 6 Giải phương trình, với a, b, c là các số thực. 1 x x2 x 3 1 a a2 a 3 0 1 b b2 b 3 1 c c2 c 3
  29. Ví dụ 7 Giải phương trình 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 2 x  1 0      1 1 1  n x
  30. Ví dụ 8 Tính định thức 1 1 1 1 1 0 1 1 I 1 1 0 1      1 1 1 0
  31. Ví dụ 9 Tính định thức 1 2 3  n 1 0 3  n Dn 1 2 0 0      1 2 3 0
  32. Ví dụ 10 Tính định thức 3 2 2 2 2 3 2 2 Dn 2 2 3 2      2 2 2 3
  33. Ví dụ 11 Giải phương trình trong C 2x 2 3 x 2 3 4 0 0 0 7 6 0 0 5 3
  34. Ví dụ 12 Tính định thức 7 5 0 0 2 7 5 0 Dn 0 2 7 0      0 0 0 7
  35. Giải ví dụ 9 Khai triển theo hàng 1, ta cĩ DAAn 711 5 12 7 5 0 0 2 5 0  0 2 7 5 0 0 7 5  0 1 1 1 1 Dn 7( 1)0 2 7 0 5( 1) 0 2 7  0           0 0 0 7 0 0 0  7 7 5 0 0 2 7 5 0 1 1 DDn 7 n 1 5.2( 1) 0 2 7 0      0 0 0 7
  36. DDDn 7 n 1 10 n 2 DDDDn 5 n 1 2( n 1 5 n 2 ) DDDDn 1 5 n 2 2( n 2 5 n 3 ) 2 DDDDn 5 n 1 2 ( n 2 5 n 3 ) n 2 DDDDn 5 n 1 2 ( 2 5 1 ) (* )
  37. DDDn 7 n 1 10 n 2 DDDDn 2 n 1 5( n 1 2 n 2 ) DDDDn 1 2 n 2 5( n 2 2 n 3 ) n 2 DDDDn 2 n 1 5 ( 2 2 1 ) ( ) ()&()* DDDn theo 1 và 2 n 2 DDDDn 5 n 1 2 ( 2 5 1 ) (* )
  38. Ví dụ 13 Tính định thức 5 3 0 0 2 5 3 0 Dn 0 2 5 0      0 0 0 5
  39. Ví dụ 14 Tính định thức 9 5 0 0 4 9 5 0 Dn 0 4 9 0      0 0 0 9
  40. Ví dụ 15 Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tính định thức 1 2 1 A 2 3 1 3 5 2
  41. Ví dụ 16 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau 1 0 0 0 2 1 0 0 A 5 4 1 0 1 2 3 2
  42. Ví dụ 17 Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch 1 1 2 1 2 1 5 3 A 5 0 7 m 1 2 3 3
  43. Ví dụ 18 Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau khả nghịch. 1 2 1 1 1 1 A 2 3 m 2 3 2 3 2 1 5 7 5
  44. Ví dụ 19 1 1 1 Cho A 2 3 1 . 1) Tính det (A-1). 3 3 5 2) Tính det (5A)-1. 3) Tính det (PA).
  45. Ví dụ 20 Cho AMRBMRAB 3 [ ]; 3 [ ];det( ) 2;det( ) 3. 1) Tính det (4AB)-1. 2) Tính det (PAB).
  46. III. Khai triển Laplace Cho k là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n; i1, i2, , ik và j1, j2, , jk là những số tự nhiên thỏa 1 i1 i 2 ik n ;1 j 1 j 2 j k n Định nghĩa định thức con cấp k Định thức con cấp k, ký hiệu bởi a i 1 , , i k , là định thức thu được từ j1, , jk A bởi những phần tử giao của k hàng i1, i2, , ik và k cột j1, j2, , jk .
  47. III. Khai triển Laplace Đại lượng A i1 , , in ( 1) i1 , in j 1 j nM i1 , i n j1 , , jn j1 , , jn i, , i được gọi là bù đại số cấp k của a 1 k j1, , jk Định lý (Khai triển Laplace) Định thức của ma trận vuơng A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k rút ra từ k hàng (hoặc k cột) nào đĩ với bù đại số của chúng.
  48. III. Khai triển Laplace Tính định thức bằng khai triển Laplace. bước 1. Chọn k hàng (hoặc k cột) tùy ý bước 2. Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã k chọn. Tổng cộng cĩ C n định thức con cấp k. bước 3. Tìm tất cả các bù đại số cấp k tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. bước 4. Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số của chúng.
  49. III. Khai triển Laplace Ví dụ 21 Tính định thức của A bằng cách sử dụng khai triển Laplace. 2 3 1 1 3 0 1 0 A 5 2 4 1 1 0 2 0
  50. III. Khai triển Laplace Giải Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4. 3 0 1 0 1 0 2 0 2 Tồn tại C 4 6 định thức con cấp 2 nhưng chỉ cĩ 1 khác khơng. 3 1 2,4 3 1 2,4 2 4 1 3 a 5 A1,3 ( 1) 1 1,3 1 2 2 1 2,4 2,4 det(A ) a1,3 . A 1,3 5.1 5
  51. Ví dụ 22 Tính det(A) sử dụng khai triển Laplace 2 1 2 3 5 1 0 3 0 2 A 3 4 2 5 1 2 0 1 0 4 3 2 5 2 1
  52. III. Khai triển Laplace Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4. 1 0 3 0 2 2 0 1 0 4 2 Tồn tại C 5 10 định thức con cấp 2 nhưng chỉ cĩ 2 khác khơng. 1 3 5 2,4 1 3 a1,3 5 2,4 1 3 2 4 2 1 A1,3 ( 1) 4 5 1 2 2 1 1 2 3 2 a2,4 0 a2,4 10 1,5 2 4 3,5 1 4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 det(A ) a1,3 . A 1,3 a 1,5 . A 1,5 a 3,5 . A 3,5
  53. II. Tính chất của định thức Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép tốn. Nếu một máy tính siêu tốc độ cĩ thể tính tỉ tỉ phép tốn trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000 25 năm (cần 25! , khoảng 1.5x10 phép tốn). Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính det (A). Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và chia. Bất kể máy tính nào cũng cĩ thể tính định thức cấp 25 trong vịng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép tốn.