Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng

1. Chương 3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
2. I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC ❖ Tiến hành n phép thử độc lập. ❖ A là biến cố cần quan tâm. P(A) = p đối với mọi phép thử. P( ҧ ) = 1 – p = q. ❖ Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử. X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, , n với các xác suất tương ứng: k k n – k P(X = k) = Cn .p .q (x = 0, 1, , n) X đgl có phân phối nhị thức. Ký hiệu: X ~ B(n; p).
3. I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 1 : Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,7. Người đó bắn 8 viên đạn. Gọi X là số viên đạn trúng bia. X có phân phối nhị thức không? Ví dụ 2 : Một xí nghiệp có 3 máy cùng sản xuất ra 1 loại sp. Xác suất để các máy 1, 2, 3 sản xuất ra sp tốt là 0,9; 0,95; 0,85. Cho cả 3 máy cùng sản xuất, mỗi máy 1 sp. Gọi Y là số sp tốt thu được. Y có phân phối nhị thức không?
4. I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Tính chất : Nếu X ~ B(n,p) thì: ➢ P(k X k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + + P(X = k + h) ➢ E(X) = np ➢ Var(X) = npq ➢ np – q Mod(X) np + p
5. I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 1 : Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,7. Người đó bắn 8 viên đạn. a) Tính xác suất người đó bắn trúng 5 viên đạn. b) Tính xác suất người đó bắn trúng từ 3 đến 6 viên đạn. c) Tìm số viên đạn bắn trúng trung bình. d) Tìm số viên đạn bắn trúng tin chắc nhất.
6. II. PHÂN PHỐI POISSON ❖ Tiến hành giống phân phối nhị thức. ❖ n lớn. ❖ p rất nhỏ. ❖ Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong rất nhiều phép thử. X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, với các xác suất tương ứng: λk P(X = k) = Ck .p k .q n - k .e - λ n k! X đgl có Poisson. Ký hiệu: X ~ P().
7. II. PHÂN PHỐI POISSON Tính chất : Nếu X ~ P() thì: ➢ P(k X k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + + P(X = k + h) ➢ E(X) =  ➢ Var(X) =  ➢  - 1 Mod(X) 
8. II. PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ : Một máy dệt có 800 ống sợi. Xác suất để trong khoảng thời gian 10p có 1 ống sợi bị đứt là 0,5%. a) Tìm xác suất để trong 10p máy làm việc có 3 ống sợi bị đứt. b) Tìm xác suất để trong 10p máy làm việc có không quá 5 ống sợi bị đứt. c) Tìm số ống sợi bị đứt trung bình trong 10p. d) Tìm số ống sợi bị đứt tin chắc nhất trong 10p.
9. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI ❖ Xét tập hợp có N phần tử. ❖ Trong tập đó, M phần tử có tính chất A. ❖ Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử. ❖ Gọi X số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra. X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị nguyên trong [n1; n2] với các xác suất tương k n - k ứng: CM .C N - M P(X = k) = n (k [n12 ; n ]) CN X đgl có phân phối siêu bội. Ký hiệu: X ~ H(N; M; n).
10. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Các số n1, n2 được xác định như sau: n1 = max{0; M + n – N}, n2 = min{n; M}. Tính chất : Nếu X ~ H(N; M; n) thì: ➢ P(k X k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1) + + P(X = k + h) M ➢ E(X) = np, với p = N N - n ➢ Var(X) = npq. N - 1
11. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Ví dụ : Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sp loại A và 4 sp loại B. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 3 sp. a) Tìm xác suất có 2 sp loại A trong 3 sản phẩm lấy ra. b) Tìm xác suất có không quá 2 sp loại A trong 3 sản phẩm lấy ra. c) Tìm số sp loại A trung bình có trong 3 sp lấy ra.
12. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội : Lấy không hoàn lại Lấy có hoàn lại Khi n rất nhỏ so với các số N, M, N – M thì phân phối siêu bội H(N,M,n) được xấp xỉ bằng phân phối nhị thức B(n; p = M/N). Khi đó các công thức tính xác suất của phân phối H(N; M; n) sẽ được thay bằng các công thức tính xác suất của phân phối B(n; p).
13. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội : Ví dụ : 1 kiện hàng có 10000 sp, trong đó có 7000 sp loại A. Rút từ kiện ra 10 sp để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sp lấy ra. Tính P(X < 2)?
14. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Định nghĩa : ĐLNN liên tục X nhận giá trị trong khoảng (- ; + ) đgl là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có 0.45 dạng: 0.4 0.35 (x - μ)2 - 0.3 1 2σ2 0.25 f(x) = .e 0.2 0.15 σ 2π 0.1 0.05 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X đgl có phân phối chuẩn. Ký hiệu: X ~ N(; 2).
15. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn : • f(x) > 0, x. • Khi x → thì f(x) → 0. • Đạt cực đại tại điểm x = . • Đồ thị có dạng hình chuông, đối xứng qua 0.45 đường thẳng x = . 0.4 0.35 0.3 E(X) =  0.25 0.2 Mod(X) =  0.15 2 0.1 Var(X) =  0.05 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
16. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Phân phối chuẩn chính tắc : Xét X ~ N(; 2). −휇 Đặt 푍 = 휎 Khi đó Z là ĐLNN liên tục nhận giá trị trong khoảng (- ; + ) và có hàm mật độ có dạng: z2 1 - f(z) = .e 2 2π Z ~ N(0; 1) Z đgl có phân phối chuẩn chính tắc.
17. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Phân phối chuẩn chính tắc : Ta ký hiệu z là giá trị của Z thỏa mãn điều kiện: zα > 0 P(Z > zα ) = α 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 z 2 3
18. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Các công thức tính xác suất : Nếu X ~ N(; 2) thì: x12 - μ x - μ P(x12 X x ) = P Z σσ x21 - μ x - μ = Φ - Φ σσ 0.45 0.4 Với (z) là tích phân 0.35 (z) 0.3 của f(z) trên khoảng 0.25 0.2 (0;z) và có giá trị được 0.15 0.1 cho trong bảng phụ 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 z 2 3 lục.
19. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Các công thức tính xác suất : Nếu X ~ N(; 2) thì: ε P( X - μ ε) = 2Φ σ Lưu ý: • (z) là hàm đơn điệu tăng. 0.45 • (z) = - (- z), z. 0.4 0.35 (z) • (z) 0,5; z 4. 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 z 2 3
20. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ 1 : Trọng lượng của 1 loại trái cây là ĐLNN X có phân phối chuẩn với trung bình là 200g và độ lệch chuẩn là 6g. a) Tính tỉ lệ những trái có khối lượng từ 194g đến 212g. b) Trái có khối lượng không dưới 209g là trái loại I. Tính tỉ lệ trái loại I. c) Xác định a để P(X ≤ a) = 0,98.
21. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ 2 : Đường kính của một loại trục máy do một nhà máy sản xuất là ĐLNN có phân phối chuẩn với đường kính trung bình (theo thiết kế) là  = 20mm và độ lệch tiêu chuẩn  = 0,04mm. Trục máy được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu đường kính của nó sai lệch so với đường kính thiết kế không quá 0,072mm. Tìm tỷ lệ trục máy đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy.
22. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất của phân phối chuẩn : 2 2 ➢ Nếu X1 ~ N(1; 1 ); X2 ~ N(2; 2 ) và X1, X2 độc lập thì: 2 2 X1 + X2 ~ N(1 + 1; 1 + 2 ) 2 ➢ Mở rộng: Nếu : X1 ~ N(1; 1 ); 2 X2 ~ N(2; 2 ); 2 Xn ~ N(n; n ); và X1, , Xn độc lập thì: n n n 2 Xi ~ N( μ i ,  σ i ) i=1 i=1 i=1
23. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất của phân phối chuẩn : ➢ Mở rộng: Nếu X1, , Xn độc lập, có cùng 2 quy luật phân phối và E(Xi) = ; Var(Xi) =  thì với n đủ lớn (n > 30), ta có xấp xỉ: n 2 Xi ~ N( nμ; nσ ) i = 1 (Định lý giới hạn trung tâm) ➢ Nếu X ~ N(; 2) và a là hằng số thì: aX ~ N(a; a22)
24. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội : Nếu X ~ B(n; p) thì khi n lớn, p không quá gần 0 cũng không quá gần 1 (0,1 < p < 0,9) thì ta xấp xỉ X ~ N(np; npq). B(n; p); n lớn; 0,1 < p < 0,9 N(np; npq) Khi đó các công thức tính xác suất của phân phối B(n; p) sẽ được thay bằng các công thức tính xác suất của phân phối N(np; npq).
25. III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội : B(n; p); n lớn; 0,1 < p < 0,9 N(np; npq) 1 k - np * P(X = k) = .f(z); z = npq npq k - np k - np * P(k X k ) = Φ21 - Φ 12 npq npq Lưu ý : • Giá trị của f(z) được cho trong bảng phụ lục. • Khi dùng công thức xấp xỉ để tính P(k1 ≤ X ≤ k2) cần phải có các dấu “=“
26. IV. PHÂN PHỐI CHUẨN Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối siêu bội : Ví dụ : Xác suất để 1 máy sản xuất được sp loại A là 0,8. Tìm xác suất để trong 900 sp máy sản xuất ra có: a) 744 sp loại A. b) từ 708 đến 738 sp loại A.
27. Tổng kết chương 3 • Cách nhận biết các loại PPXS? • Công thức tính XS tương ứng với mỗi loại PPXS? • Công thức tìm E(X), Var(X), Mod(X) tương ứng với mỗi loại PPXS? • Các công thức xấp xỉ?