›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương mở đầu: Đại cương về giải tích tổ hợp - Phan Trung Hiếu

pdf 32 trang ngocly 630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương mở đầu: Đại cương về giải tích tổ hợp - Phan Trung Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_mo_dau_dai_cuong_ve_giai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương mở đầu: Đại cương về giải tích tổ hợp - Phan Trung Hiếu

  1. 9/2/2015 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): XÁC SUẤT Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. THỐNG KÊ Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Giảng viên: Phan Trung Hiếu Chỉ được vắng 1 ngày có phép. 45 tiết -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): LOG Tự luận, không được sử dụng tài liệu. O 2 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không Khi không có SV xung phong lên làm thì GV trừ điểm). sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. 3 4 Trang web môn học: Nội dung: SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp. tuần, điểm quá trình trên trang web sau: Chương 1: Đại cương về Xác suất. Chương 2: Biến ngẫu nhiên. Chương 3: Một số phân phối xác suất quan trọng. Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số. Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê. 5 6 1
  2. 9/2/2015 Tài liệu học tập: Dụng cụ hỗ trợ học tập: [1] Bài giảng trên lớp. Máy tính FX 500MS, FX 570MS, [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng FX 570ES, FX 570ES Plus. dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh, Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011. Các tài liệu tham khảo khác. 7 8 I. Tập hợp: Chương 0: 1.1. Khái niệm: ĐẠI CƯƠNG VỀ -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa. GIẢI TÍCH TỔ HỢP -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau Giảng viên: Phan Trung Hiếu cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này trở thành phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XSTK tại phòng A . LOG O 10 1.2. Ký hiệu: 1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: ▪ Tập hợp: A, B, C, ,X, Y, Z, Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn ▪ Phần tử: a, b, c, ,x, y, z, (đếm được, thấy được cụ thể) ▪ x là một phần tử của tập hợp A: x A Ví dụ 1:Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và ▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x A bé hơn 6: ▪ A : số phần tử của tập hợp A. A 2, 3, 4, 5 3 A 5 A 0 A A 4 11 12 2
  3. 9/2/2015 Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn Trưng tính: 1000: - Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử B 0,1, 2, , 997, 998, 999 trong tập hợp. - Hay dùng khi số phần tử là vô hạn. 500 B B 1000 Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn: Chú ý: Phương pháp liệt kê A x x và x  2  - Không quan tâm thứ tự liệt kê. 10 A 101 A 4 A - Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại. 13 14 Ví dụ 2: Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5 phòng A } bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký  Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín, chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai không tự cắt. môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể Ví dụ 1: thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể 3 3 A 2 7 thao. 5 7 bạn đăng ký 4 7 A A CL BB A 2,3,4,5 3 2 2 3 bạn không đăng ký 15 16 1.4. Tập hợp con: I. Tập hợp: A là tập con của B, ký hiệu: AB  BA Ví dụ: A {1, 2, 3, 5, 7} A chứa trong B B chứa A BA B {1, 5} A A B  x A x B CA B C {1, 2, 8} 17 18 3
  4. 9/2/2015 1.5. Tập hợp rỗng:  1.6. Tập hợp bằng nhau: -Là tập hợp không chứa một phần tử nào. Ví dụ 1: A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng AB A . mà có số tuổi lớn hơn 80} A  AB BA Ví dụ 2: B x x và x2 1 B  Quy ước:  là tập con của mọi tập hợp. Chú ý: ()X là tập tất cả các tập con của X. ()X {AAX  }. (X ) 2n , n: số phần tử của X. 19 20 II. Các phép toán tập hợp: 2.2. Phép hợp: 2.1. Phép giao: A B x| x Ahay x B A B x| x Avà x B A B A B AB AB A B AB   (A và B rời nhau) 22 21 2.3. Phép lấy hiệu: II. Các phép toán tập hợp: A\ B x| x Avà x B Ví dụ: A {1, 2, 3, 4} A B B {3, 4, 5, 6, 7} C {2, 8, 9} AB\ AB {3, 4} AB {1,2,3,4,5,6,7} AC {2} AC {1,2,3,4,8,9} BC  BC {2,3,4,5,6,7,8,9} 23 24 4
  5. 9/2/2015 II. Các phép toán tập hợp: 2.4. Phép lấy bù: Ví dụ: A x X| x A A {1, 2, 3, 4} B {3, 4, 5, 6, 7} A X C {6, 7, 8, 9} AB\ {1, 2} CB\ {8, 9} A Nhận xét: AC\ A AA\  AA  CA\ C B \  B AA X 25 26 II. Các phép toán tập hợp: III. Các tính chất: Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên 3.1. Phân phối: dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn ABCABAC     hơn 10. Hỏi A ? ABCABAC     Giải 3.2. De Morgan: X {1, 2, 3, 4, 5, } ABAB  A {11, 12, 13, 14, 15, } ABAB  A x X| x A 1, 2, 3, 4, ,10 3.3: A A X BA BA BBABA    B 27 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có IV. Quy tắc đếm: mấy cách chọn 1 quần để mặcmặc? 4.1. Quy tắc cộng: Giải TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. Công việc TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây:3 cách. n 1 1 cách Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. Phương án 2 n2 cách Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 thực hiện (Trường hợp)   quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa k nk cách khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển. n1 n 2 nk cách Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 10 + 8 + 6 = 24 cách. 30 29 5
  6. 9/2/2015 4.2. Quy tắc nhân: Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để Công việc mặc? Giải 1 n1 cách Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. 2 n cách thực hiện 2 Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:3 cách. Bước   Vậy có: cách. k nk cách 4 3 12 n1 n 2 nk cách 32 31 Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh Tóm lại: chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà -Khi thực hiện một công việc có nhiều phương trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng. 1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách -Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua lập một đoàn như trên? nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng 12 18 216 cách. quy tắc nhân. 33 34 V. Giải tích tổ hợp: k 5.2. Tổ hợp ( C n ): 5.1. Hoán vị: n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật. nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n n! cách. k vật khác nhau. n! C n cách. Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào k!( n k )! (0 k n ; k , n ) a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi: 3! 6 cách Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: 2! 2 cách nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp. 3 C 40 9880 cách. c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3! 6 cách Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ bài 52 lá? 3 C 52 22100 cách. 35 36 6
  7. 9/2/2015 k 5.3. Chỉnh hợp (A n ): Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào k nếu: Xếp có lặp lại, có hoàn lại n cách. a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc Xếp không lặp lại, không hoàn lại nhiều chức danh? 403 64000 cách. n! b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức k danh? 3 An cách. A40 59280 cách. (n k )! (0 k n ; k , n ) k k Nhận xét: An C n .! k 37 38 Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2 người, một người lau bảng, một người quét lớp VI. Một vài ví dụ tổng hợp: Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1 cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người? chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp: 2 a) Năm người vào ghế? A5 20 cách. Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy b) Sao cho C ngồi chính giữa? c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế? cách: Giải 3 a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường?C 5 cách. a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 5! cách. b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: 1 cách. 3 B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách. tường?A5 cách. Vậy có: 4! cách. c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: 2! cách. B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách. 39 Vậy có: cách. 2! 3! 40 Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh 3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người, văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên nhóm 3 có 3 người? một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau. Giải Giải B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1: Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách. 4 C10 cách. Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách. B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2: Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách. 3 C6 cách. Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách. B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3: Vậy có: cách. 3 4! 2! 6! 3! C3 cách. 4 3 3 Vậy có: C10.C6 .C3 cách. 42 41 7
  8. 9/2/2015 Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6 Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra người trong đó: cùng màu? a) có 3 nam và 3 nữ. Giải b) có đúng 2 nữ. 2 c) có ít nhất 2 nữ. TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ:C4 cách. TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: 2 d) có nhiều nhất 2 nữ. C3 cách. e) có không quá 1 nữ. Vậy có: C 2 C 2 cách. Giải 4 3 a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: 3 C7 cách. B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: 3 C4 cách. 3 3 Vậy có: CC7. 4 cách. b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: 2 C4 cách. B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: 4 C7 cách. 2 4 Vậy có: CC4. 7 cách. 43 44 c) có ít nhất 2 nữ ( 2 nữ) Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. 2 4 Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3 TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: CC 4. 7 cách. 3 3 màu? TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: CC 4. 7 cách. Giải TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: CC 4. 2 cách. 4 4 7 Lấy 4 bi trong 15 bi:C15 cách. 2 4 3 3 4 2 Vậy có: CCCCCC4 7 4 7 4 7 cách. Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu: TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: 1 1 2 d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2 nữ) C4 .C5.C6 cách. 6 1 2 1 TH1: chọn 6 nam: C 7 cách. TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: C4 .C5 .C6 cách. TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: CC 1. 5 cách. TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: 2 1 1 4 7 C4 .C5 .C6 cách. TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: CC 2. 4 cách. 1 1 2 1 2 1 2 1 1 4 7 Có: CCCCCCCCC4 5 6 4 5 6 4 5 6 cách để số bi 6 1 5 2 4 Vậy có: CCCCC7 4 7 4 7 cách. lấy ra có đủ cả 3 màu. e) có không quá 1 nữ ( 1 nữ) Vậy có: 6 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 TH1: chọn 6 nam: C 7 cách. C .C .C C .C C .C 1 5 C15 4 5 6 C4. 5 6 C4 . 5 6 TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: CC 4. 7 cách. 6 1 5 645 cách thỏa yêu cầu. Vậy có: CCC7 4. 7 cách. 45 46 Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán nam. Hỏi có mấy cách? sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên Giải học tập, 1 ủy viên đời sống nếu: 4 a) Chọn bất kỳ. A30 cách. B1: Chọn 2 nam từ 3 nam rồi xếp vào 2 chỗ đầu 3 2 b) Lớp trưởng là nữ. 10.A29 cách. tiên: A3 cách. 3 c) Có đúng 1 nam.20.C10 .4! cách. B2: Chọn 3 chỗ từ 4 chỗ còn lại rồi xếp 3 người 4 3 d) Toàn là nữ. A10 cách. còn lại vào 3 chỗ đó:A cách. 4 4 4 e) Có ít nhất 1 nam.AA cách. 2 3 30 10 Vậy có: A3 . A4 cách. 47 48 8
  9. 9/2/2015 I. Hiện tượng ngẫu nhiên: Chương 1: Hiện tượng tất định: Hiện tượng ngẫu nhiên: ĐẠI CƯƠNG VỀ là những hiện tượng là những hiện tượng mà XÁC SUẤT mà khi thực hiện dù được thực hiện trong trong cùng một điều cùng một điều kiện như Giảng viên: Phan Trung Hiếu kiện như nhau sẽ nhau vẫn có thể cho cho kết quả như nhiều kết quả khác nhau. nhau. biết trước kết quả không biết trước được LOG sẽ xảy ra kết quả sẽ xảy ra O 2 -Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát 1.2. Không gian mẫu (  ): Tập hợp tất cả các của lý thuyết xác suất. kết quả có thể xảy ra của phép thử. -Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu Ví dụ 1: nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”. ▪ T: tung một con súc sắc  {1,2,3, 4,5,6} |  | 6. 1.1. Phép thử (T ):thí nghiệm, phép đo, sự quan sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không ▪ T: tung một đồng xu thể dự đoán trước được.  {,}SN |  | 2. Ví dụ: T: tung một con súc sắc ▪ T: tung hai đồng xu  {,,,}SS SN NS NN |  | 4. T: mua 1 tờ vé số Ví dụ 2: T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy ▪ T: tung 2 con súc sắc |  | 6 6 36. 3 4 Ví dụ 3: 1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. ▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Thường được ký hiệu là A, B, C, Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Ví dụ 1: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi T: tung một con súc sắc  {1,2,3,4,5,6}. 2 |  | C10 45. A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” Ví dụ 4: A {2, 4,6} |A | 3. ▪ Một kho có 50 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Khi nào biến cố T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm A xảy ra? 1 |  | C50 50. Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra. 5 6 1
  10. 9/2/2015 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Ví dụ 3: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi 2 |  | C10 45. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được 2 bi đỏ”  {1,2,3, 4,5,6}. 2 |A | Số cách lấy được 2 bi đỏ C 4 6. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm B: “Lấy được 2 bi khác màu” không vượt quá 6” 1 1 A {1,2,3, 4,5,6} . |B | CC6 4 24. Chú ý: B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”  A  : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra). B .  A : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra). 8 7 II. Phép toán trên các biến cố: Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong một ngày. 2.1. Quan hệ kéo theo: D0 :“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày” D :“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày” AB : biến cố A kéo theo biến cố B 1 D2 :“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày” D3 :“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày” AB A xảy ra thì suy ra B xảy ra B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”. Trong các biến cố D i ( i 0, 3) trên, biến cố A nào kéo theo biến cố B? DB0  DB1  DB2  DB3  B  9 10 2.2. Quan hệ tương đương: 2.3. Tổng của các biến cố: AB : biến cố A tương đương với biến cố B ABAB   AB A + B xảy ra có ít nhất 1 trong hai biến cố AB BA A, B xảy ra hoặc A, A xảy ra thì suy ra B xảy ra hoặc B, A B và ngược lại. hoặc cả A và B đều xảy ra.  11 12 2
  11. 9/2/2015 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. 2.4. Tích của các biến cố: A: “Sinh viên A đậu”. ABAB.   B: “Sinh viên B đậu”. A.B xảy ra A xảy ra VÀ B xảy ra C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” CAB . Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy (tất cả) ngẫu nhiên ra 3 bi. T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”. Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”. A B A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” AT Đ.  13 14 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con A: “Sinh viên A đậu”. thú. B: “Sinh viên B đậu”. A1 :“Viên đạn thứ 1 trúng con thú”. C: “SV A và SV B đều đậu” CAB . A2 :“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”. Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy. A: “Con thú bị trúng đạn”. A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”. Chọn câu đúng: B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”. a) A A1 b) A A2 c) A A1 A 2 C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy” d). A A A CAB . 1 2 e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. 15 16 Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi III. Quan hệ giữa các biến cố: đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu 3.1. Xung khắc: nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. T1 : “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”. A và B xung khắc T2 :“Bi lấy từ hộp II là bi trắng”. A và B không bao giờ cùng xảy ra. A: “2 bi lấy ra là bi trắng”. AB   Chọn câu đúng: a) A T1 b) A T2 c). A T1 T 2 d) A T T A 1 2 B e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.  17 18 3
  12. 9/2/2015 Ví dụ 1: Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được lá ách”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”. B: “Lấy được lá cơ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. b) A và C xung khắc. c) B và C không xung khắc. d) Tất cả đều sai. 19 20 Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. 3.2. Đối lập: A: “Lấy được 2 lá ách”. A và B được gọi là đối lập nhau B: “Lấy được 2 lá cơ”. luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra Chọn câu đúng: (có 1 và chỉ 1) a) A và B xung khắc. Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A. b) A và B không xung khắc. A: “Không xảy ra biến cố A”. AA  A A AA  21  22 Ví dụ 1: Ví dụ 2: T: tung một đồng xu T: tung một con súc sắc A: “Xuất hiện mặt ngửa”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Xuất hiện mặt xấp”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”. A và B đối nhau. Chọn câu đúng: a) A và B không xung khắc. b) A và B đối nhau. c) B và C không xung khắc. d) B và C đối nhau. 23 24 4
  13. 9/2/2015 Ví dụ 3: Nhận xét: T: tung một con súc sắc đều không xảy ra A và B  A và B A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”. đều xảy ra không đối nhau. Chọn câu đúng: a)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”.  đối nhau xung khắc. b) A 1, 2, 3 .  c)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất  A xảy ra A không xảy ra. là 3”. d) Cả hai câu b và c đều đúng. 25 26 Ví dụ 4: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt Si : “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2) IV. Các tính chất của biến cố: Hãy biểu diễn các biến cố sau theo S i : ABBAABBA ; a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. ASS . 1 2  (ABCABCABCABC ) ( );(.). .(.) b) B: “Không có ai thi đậu”. BSS 1. 2  ABCABAC.( ) . . ; c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. CSS 1 2  d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. DSSSS 1 2 1 2 ABABBABA ;. e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. ESS 1. 2  AAAA ;.  f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. FSSSS 1 2 1 2 AAAAAAAAA ;;.;.    g) G: “Có sinh viên thi đậu”.GSS 1 2 C ABABABAB .;. h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”.  A A HSSSSSS 1 2 1 2 1 2 BF  BA. BA. BBABA (.)(.) 27 B 28 V. Nhóm đầy đủ các biến cố: Ví dụ 1: AA ,  là một nhóm đầy đủ. Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi AAAA1, 2 , 3 , , n   là nhóm đầy đủ xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. AAAA1 2  3  n  T: “Lấy được viên trắng”. AAi j khi i j Đ: “Lấy được viên đỏ”. X: “Lấy được viên xanh”. luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra. {T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ. A 1 A 2  An 30 29 5
  14. 9/2/2015 VI. Định nghĩa xác suất: 6.1. Định nghĩa cổ điển: |A | Xác suất của một biến cố là một con số đặc PA() trưng cho khả năng xảy ra khách quan của | | biến cố đó. |A |: số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra. Ký hiệu: | |:số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. P(A): xác suất của biến cố A. Chú ý:  0 PAA ( ) 1,   P( ) 1 P( ) 0 PAPA( ) 1 ( ) 32 31 Ví dụ 2: Từ một hộp đựng 20 quả cầu đỏ, 5 Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 quả cầu đen, 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác đồng thời 4 quả. Tính xác suất để: suất để người được chọn là nam. Giải a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen. T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ. |  | C 1 30. c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ. 30 d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu. A: “Người được chọn là nam” |A | C 1 20 20. e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu. |A | 20 PA() 0,6667. Giải | | 30 T: lấy ngẫu nhiên ra 4 quả từ 27 quả 4 |  | C 27 17550. 33 34 a) A: “4 quả cầu lấy ra cùng màu đen” c) C: “4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”. 4 |A | C5 5 C : “4 quả cầu lấy ra không có quả đỏ”. |A | 5 PA() 0,0003. |C | C 4 35 | | 17550 7 |C | 35 b) B: “4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ” PC() | | 17550 |B | 3 1 C 20.C 7 7980 |B | 7980 PC() 1 PC ( ) PB() 0, 4547. 35 3503 | | 17550 1 0,998. 17550 3510 35 36 6
  15. 9/2/2015 d) D: “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu” ChúV. ý (ĐịnhĐiều kiện nghĩa của định xác nghĩa suất: cổ điển): D 4 4 | | C 20 C5 4850  Các kết quả trong không gian mẫu  phải |D | 4850 đồng khả năng xảy ra. PD() 0, 2764.  Không gian mẫu phải hữu hạn. | | 17550  e) E: “4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu” E : “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”. E D PE() 1 PE ( ) 4850 254 1 0,7236. 17550 351 37 38 6.2. Định nghĩa theo thống kê: Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút -Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi. hiện k lần thì tỷ số Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì k : Tần suất của biến cố A. xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng: n 91 -Trong thực tế, khi n đủ lớn thì 0,91 100 k PA() n 39 40 Ví dụ 2: T: tung một đồng xu. 6.3. Định nghĩa theo hình học: Xét một phép thử đồng khả năng, không gian S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp” PS() 0,5 mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” PN() 0,5 một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để diện tích, thể tích). Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền . kiểm chứng: Người thí Số lần Số lần Tần nghiệm tung ngửa suất A: điểm M thuộc miền S   PN( ) 0,5  Buffon 4040 2048 0,5069 độ đo của S Pearson 12000 6019 0,5016 PA() độ đo của  Pearson 24000 12012 0,5005 41 42 7
  16. 9/2/2015 Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình 6.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn: tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm. -Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác Giải suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp thực tế nó không xảy ra trong một phép thử. 22 3 S 3 cm2 -Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác  4 suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong ???1 ??? r cm S cm2 thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử. 3 S 3 / 3 PA( ) 0,6046. 3 3 3 43 44 6.5. Xác suất có điều kiện: Chú ý: P() AB P() AB  PBA( | ) PAB( | ) PB( ) 0 PA() PB()  PABPAB( | ) 1 ( | ) P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra. B: thông tin.  PAABPABPAB(1 2 | ) ( 1 | ) ( 2 | ) nếu A 1 và A 2 xung khắc. 45 46 Giải Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn Toán Văn giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. 3 2 2 Tính xác suất: a) chọn được bạn giỏi Toán. T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 10 bạn 1 b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán. |  | C10 10. c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn. a) A: “Chọn được bạn giỏi Toán” 1 d) chọn được bạn không giỏi môn nào. |A | C 5 5. e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn |A | 5 được bạn giỏi Toán? PA() 0,5. | | 10 47 48 8
  17. 9/2/2015 b) B: “Chọn được bạn chỉ giỏi Toán” d) D: “Chọn được bạn không giỏi môn nào” 1 C 1 3. |B | C 3 3. |D | 3 |B | 3 |D | 3 PB() 0,3. PD() 0,3. | | 10 | | 10 c) C: “Chọn được bạn giỏi ít nhất một môn” e) V: “Chọn được bạn giỏi Văn” C 1 7. |C | 7 P(V | A )=? |C | 7 PC() 0,7. PVA(.) | | 10 PVA( | ) PA() 50 49 V.A: “Chọn được bạn giỏi cả 2 môn” Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn 1 |VA . | C 2 2. lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi 2 đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ? PVA(.) 0,2 Giải 10 Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”. PVA( . ) 0, 2 Đ : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”. PVA( | ) 0, 4. 2 PA( ) 0,5 4 P Đ |Đ 0,5714. 2 1 7 51 52 Ví dụ 3: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa, Giải trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa. Một M : “Người đó mở được khóa ở lần thứ i”. i (i 1,2,3) người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa khóa cho đến khi nào mở được mới dừng. 1 a)PM()1 . a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần 10 đầu tiên. b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần 1 b) P M | M1 thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa. 2 9 c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều 1 c) P M |MM1. 2 không mở được khóa. 3 8 53 54 9
  18. 9/2/2015 6.6. Biến cố độc lập: Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy  A và B cũng độc lập với nhau. ra hay không xảy ra của biến cố này không A và B cũng độc lập với nhau. làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. A và B cũng độc lập với nhau. Ví dụ 1: A, B độc lập PABPA( | ) ( ) T: tung 2 đồng xu. hoặc A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”. PBAPB( | ) ( ) B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Hệ quả: A và B độc lập. A, B độc lập PABPAPB( . ) ( ). ( ) 55 56 Ví dụ 2: T: tung 1 đồng xu. Giải A: “Xuất hiện mặt sấp”. Lấy mẫu Lấy mẫu B: “Xuất hiện mặt ngửa”. có hoàn lại không hoàn lại A và B không độc lập. Lần 1 lấy ra quan sát Lần 1 lấy ra quan rồi bỏ trở lại vào hộp, sát rồi để ra ngoài Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2 sau đó lấy tiếp lần 2. luôn, sau đó lấy tiếp bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi. lần 2. a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ? b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ? 58 57 Lấy mẫu Lấy mẫu Nhận xét: có hoàn lại không hoàn lại Lấy mẫu Lấy mẫu a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”. có hoàn lại không hoàn lại 2 P ()Đ1 Kết quả 10 Kết quả độc lập nhau b) Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”. không độc lập nhau Đ = Đ |Đ + Đ |Đ 2 2 2 1 2 1 P ()Đ2 P(Đ ) = Đ |Đ 10 2 P()2 1 P()Đ2 |Đ1 1 2 1 = + = 9 9 3 59 60 10
  19. 9/2/2015 VII. Các công thức tính xác suất: 7.2. Công thức nhân xác suất: 7.1. Công thức cộng xác suất: PABPABPBPBAPA(.) (|).() (|).() P()()()() A B P A P B P AB  Đặc biệt: Nếu A, B độc lập thì PABPAPB( . ) ( ). ( )  Đặc biệt: Nếu A, B xung khắcAB  thì Tổng quát: PABPAPB()()() PAAAPAPAAPAAAPAAAA(12 n ) ().( 121312 | ).( | ) ( n | 121 n ) Tổng quát: Nếu A ,A , ,A đôi một xung 1 2 n Hệ quả: Nếu A1,A2, ,An độc lập (toàn bộ) khắc thì với nhau thì PAAAPAPAPA(1 2 n ) () 1 () 2 () n PAAAPAPAPAPA( ) ( ).( ).( ) ( )  Hệ quả: 1 2n 1 2 3 n PAPAPAPA()1 (); ()1 () 62 61 Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II Giải hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động Đ1: “Động cơ I chạy tốt” cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. PÑPÑ(1 ) 1 ( ) 10,8 0,2. P(Đ1 ) 0,8 1 Tính xác suất để: Đ : “Động cơ II chạy tốt” a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt. 2 PÑPÑ(2 ) 1 ( ) 10,7 0,3. b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt. P(Đ2 ) 0,7 2 c) Có động cơ chạy tốt. a) A: “Cả 2 động cơ đều chạy tốt” d) Có 1 động cơ chạy tốt. A Đ1.Đ2 PA() Đ .Đ P()1 2 P(Đ1 ).P()Đ2 (Vì Đ1 và Đ2 độc lập) 0,8.0,7 0,56. 63 64 c) Cách 1: C: “Có động cơ chạy tốt” b) B: “Cả 2 động cơ đều không chạy tốt” = “Có ít nhất một động cơ chạy tốt” C Đ1 +Đ2 PC() Đ +Đ B Đ1.Đ2 P()1 2 P()Đ1 +P()Đ2 -P()Đ1.Đ2 PB() P()Đ .Đ 1 2 0,8 + 0,7 - 0,56 (Vì Đ1 và Đ2 độc lập) P(Đ1 ).P()Đ2 0,94. 0,2.0,3 0,06. 65 66 11
  20. 9/2/2015 Cách 2: Dùng biến cố đối lập Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản C: “Không có động cơ nào chạy tốt” C B phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế PC() 1 P (C ) phẩm. Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ hộp I là 0,2; từ hộp II là 0,3. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi 1 PB ( ) 1 0,06 0,94. hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để: d) D: “Có 1 động cơ chạy tốt” a) Lấy được 2 chính phẩm. b) Lấy được 1 bi chính phẩm và 1 phế phẩm. D Đ1.Đ2 + Đ1.Đ2 Giải PD() P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2) C1: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp I”. 0,8 0,3 0,2 0,7 0,38. P(C1 ) 0, 2 P(C 1 ) 1 P (C1 ) 10,2 0,8. C2: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp II”. P(C 2 ) 0,3 P(C 2 ) 1 P (C 2 ) 10,3 0,7. 67 68 a) A: “Lấy được 2 chính phẩm” A C1.C2 (Vì C và C độc lập) PA() P()C1.C2 P(C1 ).P()C2 1 2 P()C .()P C 2 +P()C 1 .()P C 0,20,3 0,06. 1 2 b) B: “Lấy được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm” 0,2.0,7 0,8.0,3 B C .C 2 + C 1.C 1 2 0,38. PBP()() C1.C 2 +C 1.C2 P()C1.C 2 +P()C 1.C2 (Vì C1.C 2 và C 1 .C2 xung khắc) 69 70 Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ Giải thanh toán M và N. Tỉ lệ khách hàng của ngân M: “Khách hàng sử dụng thẻ loại M”. hàng sử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%, N: “Khách hàng sử dụng thẻ loại N”. Ta có: P(M)=0,6 ; P(N)=0,55 ; P(M.N)=0,3. 55% và cả hai loại là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 a) A: “Người đó có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”. khách hàng của ngân hàng. Tính xác suất người A = M + N đó: P(A) = P(M + N) = P(M) + P(N) – P(M.N) a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng. = 0,6 + 0,55 – 0,3 = 0,85. b) Chỉ sử dụng loại thẻ M. b) B: “Người đó chỉ sử dụng loại thẻ M”. c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng. BMN . d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng. PBPMN()(.) PMPMN( ) ( . ) 0,6 0,3 0,3. 71 72 12
  21. 9/2/2015 c) C: “Người đó chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng”. Ví dụ 4: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong CMNMN đó có 5 sản phẩm xấu. Lấy lần lượt 2 sản phẩm PCPMNMN()( ) PMNPMN(.)(.) (không hoàn lại). Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu. Ta có: Giải PMN( . ) 0,3 A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”. PMN(.) PNPMN( ) ( . ) 0,55 0,3 0,25 A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”. A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu” PC( ) 0,3 0,25 0,55. d) D: “Người đó không sử dụng thẻ của ngân hàng”. AAA 1. 2 DMN . PDPMN()(.) PMNPA()() 1 PA ( ) 1 0,85 0,15. 73 74 Ví dụ 5: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ. PAPAA()() 1 2 PA(1 ).PAA(2 | 1 ) 2 Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi 5 4 1 C 5  cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác 20 19 19 C 2 Chú ý: 20 suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3.  Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật Giải (i 1,2,3) và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật. Đi : “Lấy được bi đỏ ở lần thứ i”.  PABPABPAB( . ) ( ) 1 ( ). A: “Việc lấy bi dừng ở lần thứ 3” AÑÑÑÑÑÑ PABPABPAB( ) ( . ) 1 ( . ). 12 3 1 2 3 75 76 PAPÑÑÑÑÑÑ()( ) 12 3 1 2 3 7.3. Công thức xác suất đầy đủ: PÑÑÑPÑÑÑ(.)(.) Nếu {A1, A2, , An} là nhóm đầy đủ thì 12 3 1 2 3 A1 A2 An PÑPÑÑPÑÑÑ( ). ( | ). ( | ) 12 1 3 1 2 H PÑPÑÑPÑÑÑ( ). ( | ). ( | )  12 1 3 1 2 2 8 1 8 2 1 2 PHPHAPAPHAPAPHAPA() (|)() (|)() (| )() 10 9 8 10 9 8 45 1 1 2 2 n n Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác suất của một biến cố qua một nhóm đầy đủ. 77 78 13
  22. 9/2/2015 7.4. Công thức Bayes: VI. Các công thức tính xác suất: Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng Nếu {A1, A2, , An} là nhóm đầy đủ các biến cố sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của thì phân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà PHAPA( | ). ( ) máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%. PAH( | ) k k k PH() Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50%. Tỷ lệ PHAPA( | ). ( ) phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là k k PHAPAPHAPAPHAPA(|)()1 1 (|)() 2 2 (|n )() n 5%, 4% và 10%. Lấy 1 sản phẩm của nhà máy. Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm? các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất để nào khi một biến cố đã xảy ra. nó do phân xưởng II sản xuất? 80 79 Giải A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I” P(A) =0,4 B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II” P(B) =0,1 5% 4% H C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III” P(C) =0,5  10% (phế phẩm) a) H: “Lấy được phế phẩm” P(H|A) = 0,05 I II III P(H|B) = 0,04 (40%) (10%) (50%) P(H|C) = 0,1 T: lấy 1 sản phẩm của nhà máy. Vì {A, B, C} là nhóm đầy đủ nên ta có PH() PHAPA( | ). ( ) PHBPB( | ). ( ) PHCPC( | ). ( ) 0,05 . 0,4 + 0,04 . 0,1 + 0,1. 0,5 0,074. 81 82 Ví dụ 2: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi b) PHB( | ).()PB P(B |H ) vàng. Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng. PH() a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 0,04 . 0,1 ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ. 0,074 b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 2 0,0541. ra 2 bi. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi 37 đỏ. 84 83 14
  23. 9/2/2015 Giải Giải H : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). H : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). i i 1 1 1 1 P(H ) = . P(H ) = . P(H ) = . P(H1) = . 2 1 2 2 2 2 2 a) A: “Lấy được bi đỏ”. b) B: “2 bi lấy ra có 1 bi đỏ”. 1 1 1 1 C 8 C10 10 CC. 24 1 1 P(A|H ) = 8 . P(A|H ) = . 8 3 . CC10. 4 40 1 1 2 1 P(B|H1) = 2 P(B|H2) = . C 11 C14 14 C 55 2 11 11 C14 91 Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có PAPAHPHPAHPH() (|1 ).() 1 (| 2 ).( 2 ) PBPBHPHPBHPH() (|1 ).() 1 (| 2 ).() 2 8 1 10 1 24 1 40 1     11 2 14 2 55 2 91 2 111 0, 7208. 2192 154 0, 4379. 85 5005 86 15
  24. Trong các bài tập từ chương 1 trở về sau, các kết quả gần đúng cần quy tròn đến 4 chữ số thập phân. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển I. PHƯƠNG PHÁP: II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.1/trang6; 1.31/tr27; 1.4/tr8; 1.5/tr9; 1.8/tr11; 1.10/tr13; 1.9/tr12; 1.18/tr18; 1.6/tr11. -Sách lý thuyết: 3/tr26; 4/tr27. Cần làm: Bài 1: bài 1.2/tr7 (Câu b và c-sách bài tập). Bài 2: bài 1.3/tr8 (sách bài tập). Bài 3: bài 1.76/tr51 (sách bài tập). Bài 4: bài 1.82/tr53 (sách bài tập). Bài 5: Một lô hàng gồm 3 phế phẩm và 7 chính phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra: a) Có 2 phế phẩm. b) Có từ 1 đến 2 chính phẩm. c) Đều là chính phẩm. d) Có ít nhất 1 phế phẩm. ĐS: a) 0,3; b) 0,3333; c) 0,1667; d) 0,8333. Bài 6: Một công ty tuyển 3 nhân viên cho 3 vị trí: Trưởng phòng điều hành, Trưởng phòng tài chính, Trưởng phòng kinh doanh. Biết có 30 người dự tuyển, trong đó có 10 nữ. Tính xác suất để trong 3 người được tuyển có Trưởng phòng tài chính là nữ. ĐS: 0,3333. 76
  25. Bài 7: Có 5 khách vào thuê phòng nghỉ ở một khách sạn. Biết khách sạn đó có 10 tầng và việc chọn tầng của mỗi người là ngẫu nhiên. Tính xác suất: a) Không có người nào thuê tầng 2. b) Có 2 người thuê ở tầng 2. c) Có 2 người thuê ở tầng 2 và 2 người thuê ở tầng 3. ĐS: a) 0,5905; b) 0,0729; c) 0,0024. Làm thêm: Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xếp thành hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) 3 nam ngồi cạnh nhau. ĐS: a) 0,1; b) 0,2. Bài 2: Có 2 lô hàng. Lô I có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô II có 15 chính phẩm và 3 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để a) nhận được 2 chính phẩm. b) nhận được 2 sản phẩm cùng chất lượng. c) nếu lấy từ mỗi lô ra 2 sản phẩm thì nên lấy từ lô nào để được 2 chính phẩm với xác suất cao hơn? ĐS: a) 0,6944; b) 0,7222; c) lô II. Bài 3: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất 1 bi đỏ. ĐS: 0,58. Bài 4: bài 1.7/tr11 (sách bài tập). Bài 5: bài 1.11/tr14 (sách bài tập). Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện I. PHƯƠNG PHÁP: 77
  26. II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.27/tr24; 1.26/tr24; 1.25/tr23; 1.32/tr28; 1.39/tr32; 1.40/tr32; 1.30/tr27; 1.28/tr25; 1.41/tr33; 1.42/tr33; 1.43/tr34; 1.44/tr35; 1.33/tr28; 1.83/tr53. -Sách lý thuyết: VD7/trang20; 1/tr26; 14/tr28; VD2/tr16; 2/tr26; VD4/tr18; VD5/tr18; VD8/tr21; VD9/tr21. Cần làm: Bài 1: bài 1.34/tr29 (sách bài tập). Bài 2: Có 3 người độc lập cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất là 0,7; người thứ hai là 0,8; người thứ ba là 0,5. Tìm xác suất để a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia. b) Có người không bắn trúng bia. c) Có 1 người bắn trúng bia. d) Có không quá 1 viên đạn bắn trúng bia. ĐS: a) 0,07; b) 0,72; c) 0,22; d) 0,25. Bài 3: Tỉ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh này là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng. Tính xác suất để người đó a) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp. b) không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp. c) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp. d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp. e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp. ĐS: a) 0,14; b) 0,86; c) 0,93; d) 0,02; e) 0,05. Bài 4: bài 1.20/tr19 (sách bài tập). Bài 5: bài 22/tr29 (sách lý thuyết). Bài 6: Một người có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị hỏng. Người đó lần lượt thử từng bóng đèn (không hoàn lại) cho đến khi chọn được bóng tốt thì dừng. Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2. ĐS: 0,3333. Bài 7: Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất thi đậu của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,9. Tìm xác suất để: a) Có 2 sinh viên thi đậu. ĐS: 0,398. b) Nếu có 2 sinh viên thi đậu. Tìm xác suất để sinh viên A thi rớt. ĐS: 0,3166. Bài 8: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng trong đó chỉ có 3 chìa mở được kho, anh ta mở ngẫu nhiên từng chìa một cho tới khi mở được kho. Tìm xác suất để: a) anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho. ĐS: 0,175. b) anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở. ĐS: 0,7083. 79
  27. Làm thêm: 1 1 3 Bài 1: Cho A và B là hai biến cố sao cho P(A) , P(B) và P(A B) . 3 2 4 Tính P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) . ĐS: 1/12; 1/4; 11/12; 1/4; 5/12. Bài 2: Cho A và B là hai biến cố sao cho P(A) 0,4, P(B) 0,3 và P(A B) 0,1. Tính P(AB AB). ĐS: 0,5. Bài 3: Một người có 1 hộp bi gồm 3 bi đỏ và 4 bi đen. Giả sử bị rơi mất 1 bi màu đỏ, hãy tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra 2 bi thì người đó có được 2 bi đỏ. ĐS: 0,0667. Bài 4: bài 1.78/tr52 (sách bài tập). Bài 5: Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ. Thực hiện 3 lần lấy không hoàn lại, mỗi lần 4 bi. Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi đỏ. ĐS: 0,2909. Dạng 3: Tính xác suất bằng công thức đầy đủ, công thức Bayes I. PHƯƠNG PHÁP: 80
  28. II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.56/trang40; 1.57/tr41; 1.67/tr45; 1.62 c&d/tr42; 1.64/tr44; 1.65/tr44; 1.71/tr48; 1.72/tr48; 1.73/tr49. -Sách lý thuyết: VD11/tr24; VD13/tr25; VD12/tr24. Cần làm: Bài 1: bài 1.60/tr42 (sách bài tập). Bài 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng 1 và 2. Phân xưởng 1 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 2. Tỷ lệ bóng đèn hỏng của phân xưởng 1 là 10%, phân xưởng 2 là 20%. Một người mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy. a) Tính xác suất để người đó mua được bóng đèn hỏng. b) Giả sử người đó mua được bóng đèn không bị hỏng, tính xác suất để bóng đèn này do phân xưởng 2 sản xuất. ĐS: a) 0,12; b) 0,1818. Bài 3: bài 1.61/tr42 (sách bài tập). 81
  29. Bài 4: Có 3 hộp thuốc. Hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu. Hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu. Hộp III có 3 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ngẫu nhiên 2 ống thuốc. a) Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu. b) Tìm xác suất để được 2 ống thuốc tốt. c) Giả sử khi rút ra 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt. Tìm xác suất để các ống đó ở hộp II. ĐS: a) 0,2921; b) 0,6921; c) 0,2889. Bài 5: Có 5 hộp bi, trong đó có 3 hộp loại I và 2 hộp loại II. Hộp loại I có 10 viên bi, trong đó có 6 bi trắng. Hộp loại II có 10 viên bi, trong đó có 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. a) Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng. b) Tính xác suất để chọn được hộp bi II, biết rằng 2 bi lấy ra là 2 bi trắng. ĐS: a) 0,2533; b) 0,2105. Bài 6: bài 1.63/tr44 (sách bài tập). Bài 7: bài 1.86/tr54 (sách bài tập). Bài 8: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định T. Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0,8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm định dương tính là 0,9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là 0,5. Tính các xác suất: a) Phép kiểm định là dương tính. b) Phép kiểm định cho kết quả đúng. ĐS: a) 0,75; b) 0,8. Làm thêm: Bài 1: bài 32/tr32 (sách lý thuyết). Bài 2: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. Gặp ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để gặp người công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học. ĐS: 0,1667. Bài 3: Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người, nhóm thứ II có 7 người, nhóm thứ III có 4 người và nhóm thứ IV có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ I, nhóm II, nhóm III và nhóm IV theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất? ĐS: nhóm II. Bài 4: bài 1.59/tr42 (sách bài tập). Bài 6: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). Bài 7: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. 82
  30. Gặp ngẫu nhiên 2 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để có ít nhất một người tốt nghiệp phổ thông trung học trong số 2 người gặp. ĐS: 0,3079. Bài 8: Có 3 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 3 có 8 bi xanh và 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. b) Tính xác suất để chọn được hộp bi 1, biết rằng bi lấy ra là bi đỏ. ĐS: a) 0,7; b) 0,4444. Bài 9: Có 20 kiện hàng, trong đó có 8 kiện loại I, 7 kiện loại II và 5 kiện loại III, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Số phế phẩm có trong mỗi kiện loại I, II và III lần lượt là 1, 3 và 5. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm. b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất kiện lấy ra là loại II. ĐS: a) 0,27; b) 0,3889. Bài 10: Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm xấu. ĐS: 0,3968. Bài 11: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi từ hộp 2. a) Tìm xác suất lấy ra được bi đỏ. Giả sử lấy được bi đỏ. Tìm xác suất: b) Bi đỏ đó là của hộp 1. c) Hai bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 đều là đỏ. ĐS: a) 0,4833; b) 0,1379; c) 0,1609. Bài 12: Có 2 hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 3 bi xanh. Hộp II chứa 6 bi trắng và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp I bỏ vào hộp II và sau đó lại lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra 1 bi. Tìm xác suất viên bi lấy ra là viên bi xanh. ĐS: 0,4286. Bài 13: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Sau đó, chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 3 sản phẩm đó. Tìm xác suất chọn được phế phẩm. ĐS: 0,4333. Bài 14: Có 2 lô hàng: Lô I có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B; Lô II có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm đem bán. Các sản phẩm còn lại ở 2 lô được dồn chung lại thành lô III. Từ lô III lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất đó là sản phẩm loại A. ĐS: 0,45. Bài 15: Có 3 lô hàng giống nhau, mỗi lô có 10 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Lấy 1 sản phẩm ở lô I bỏ sang lô II, rồi lấy 1 sản phẩm ở lô II bỏ sang lô III, sau đó lấy 1 sản phẩm ở lô III bỏ ra ngoài. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A. ĐS: 0,4545. 83
  31. Bài 16: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ hai 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ hai bỏ sang lô thứ nhất 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. ĐS: 0,6818. Bài 17: Có 3 xạ thủ độc lập cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,9; 0,7; 0,8. Nếu có 1 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,4; Nếu có 2 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,7; Nếu có 3 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt. a) Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt. b) Biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt. Tìm xác suất mục tiêu trúng 1 viên đạn. ĐS: a) 0,8194; b) 0,0449. Bài 18: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). Bài 19: bài 39/tr33 (sách lý thuyết). 84