Giáo trình Toán - Thống kê - Toán C1

pdf

82 trang ngocly 1800

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán - Thống kê - Toán C1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_thong_ke_toan_c1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán - Thống kê - Toán C1

Khoa Kinh tế-Luật ĐHQG Tp HCM GIÁO TRÌNH MƠN TỐN - THỐNG KÊ TỐN C1
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - T P H P I. Khái ni m t p h p 1. T p h p và ph n t Khái ni m t p h p là m t trong nh ng khái ni m u tiên c a tốn h c khơng ưc nh ngh a. Do ĩ ta cĩ th hi u m t cách ơn gi n t p h p là m t gom gĩp các v t th mà ta g i là ph n t . Ng ưi ta kí hi u t p h p b i các ch in hoa A, B, C, , X, Y Các ph n t c a t p h p ưc kí hi u b i các ch in th ưng a, b, ,x, y y Ví d 1 : T p h p các s t nhiên t 1 n 10. Tp h p ng ưi Vi t Nam. A Tp h p nh ng ng ưi yêu nhau. x Tp h p nh ng b n nam trong l p cao trên 1,65m. • Nu x là m t ph n t c a t p h p A , ta kí hi u x∈ A . • Nu y khơng là ph n t c a t p h p A kí hi u y∉ A . Biểu đồ Ven của tập hợp A 2. Cách xác nh t p h p a) Li t kê ph n t : Li t kê các ph n t c a t p h p gi a hai d u { } . Ví d 2 : a) T p h p A nh ng s t nhiên t 1 n 5 ưc kí hi u là A = {1, 2, 3, 4, 5 } . b) T p h p B nh ng nghi m th c c a ph ương trình x2 − x = 0 là B = {0, 1 }. Ví d 3 : Li t kê các ph n t c a m i t p h p sau. a) Khơng cĩ gì quý h ơn c l p t do. b) T p h p A các s chính ph ương khơng v ưt quá 100. b) Ch ra tính ch t c tr ưng cho các ph n t Trong vài tr ưng h p, ch ng h n nh ư cho A là t p h p các s nguyên d ươ ng, thì vi c li t kê ph n t tr nên r t khĩ kh n. Khi ĩ thay vì li t kê ph n t ta cĩ th ch ra tính ch t c tr ưng c a các ph n t ĩ là A = { x x là s nguyên d ươ ng }. Ví d 4: T p h p B các nghi m c a ph ương trình 2x2 − 5 x + 30 = ưc vi t theo tính ch t c tr ưng là Bx={ ∈» 2 x2 − 5 x += 30 } 3  Tp h p B ưc vi t theo cách li t kê ph n t là: B = 1,  . 2  B mơn Tĩan- Th ng kê 1 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 5 : Cho t p h p C =−{ 15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15 } . Vi t t p C b ng cách ch rõ các tính ch t c tr ưng cho các ph n t ca nĩ Ví d 6 : Xét t p h p D={ n ∈≤» 3 n ≤ 20 } . Hãy vi t t p D b ng cách li t kê ph n t c a nĩ 3. T p h p r ng • Tp h p khơng ch a ph n t nào là t p h p r ng, kí hi u là ∅ Ví d 7 : Cho E={ x ∈» xx2 ++= 1 0 } thì E = ∅ vì ph ương trình x2 + x +1 = 0 vơ nghi m II. T p h p con 1) nh ngh a: T p A ưc g i là tp con c a t p B và kí hi u là A⊂ B , nu m i ph n t c a t p h p A u là ph n t c a t p h p B . Hay; AB⊂ ⇔∀ xxA( ∈ ⇒ xB∈ ) A B Thay cho A⊂ B , ta c ng cĩ th vi t B⊃ A ( c là B cha A ) Nu A khơng ph i là t p con c a B , ta vi t A⊄ B 2) Tính ch t: T nh ngh a ta suy ra a) A⊂ A , vi m i t p h p A C b) N u A⊂ BB, ⊂ C thì A⊂ C A B c) ∅ ⊂ A, v i m i t p h p A Câu h i: Cho A={ x ∈−≤» 1 x ≤ 3 } . Hãy cho bi t: Các t p con c a A cĩ ch a ph n t 2 và 3. Các t p con c a A khơng ch a 0, 1. Hãy cho m t t p h p C tho C⊄ A và {−1, 2, 3 } ⊂ C . III. T p h p b ng nhau Khi A⊂ B và B⊂ A ta nĩi t p h p A b ng t p h p B và vi t là A= B . Nh ư v y AB= ⇔∀ xxA( ∈ ⇔∈ xB ) Ví d 8 : Xét hai t p h p A={ n ∈»  n là b i c a 4 và 6} B={ n ∈»  n là b i c a 12} 1) Hãy ki m tra các k t lu n sau: a) A⊂ B b) B⊂ A B mơn Tĩan- Th ng kê 2 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2) A cĩ b ng B khơng? IV. Các phép tốn trên t p h p 1. Giao c a hai t p h p Cho hai t p h p A và B . Giao c a A và B , kí hi u là A∩ B là t p h p các ph n t v a thu c A va thu c B A Tc là C x∈ A B x∈ A ∩ B ⇔  x∈ B Ví d 1 : Cho A = {1, 2, 3, 4, 5 } B={ x ∈−» 2 ≤ x ≤ 3 } Cx={ ∈» 2 x2 − 3 x = 0 } a) Li t kê các ph n t c a t p h p B và C b) Tìm A∩ BB, ∩ C và A∩ C 2. H p c a hai t p h p Cho hai t p h p A và B , h p c a hai t p h p A và B , kí hi u A∪ B là t p h p các ph n t thu c A ho c thu c B Tc là A x∈ A x∈ A ∪ B ⇔  B x∈ B Ví d 2 : V i các t p h p A, B và C trong ví d 1 thì A∪ B = { } B∪ C = { } ( A∩ B) ∪ C = { } 3. Hi u và ph n bù c a hai t p h p Cho hai t p h p A và B . Hi u c a hai t p h p A và B , kí hi u là A\ B là t p h p các ph n t ch A B thu c A nh ưng khơng thu c B . Tc là: x∈ A x∈ A\ B ⇔  x∉ B B mơn Tĩan- Th ng kê 3 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c bi t: Khi B⊂ A thì ph n hi u A\ B ưc g i là ph n bù ca B trong A . Kí hi u là CA B Ví d 3 : Cho A là t p h p các h c sinh l p 10 ang h c tr ưng em và B là t p h p các h c sinh ang h c mơn Ti ng Anh c a tr ưng em. Hãy di n t b ng l i các t p h p sau a) A∩ B c) A\ B . b) A∪ B d) B\ A 4. M t s các t p con c a t p h p s th c Trong các ch ươ ng sau, ta th ưng s d ng các t p con sau ây c a t p s th c » Tên g i và kí hi u Tp h p Bi u di n trên tr c s Tp s th c (−∞; + ∞ ) » on [a; b ] {x∈» axb ≤ ≤ } Kho ng (a; b ) Na kho ng [a; b ) Na kho ng (a; b ] Na kho ng (−∞ ; a] + ∞ N a kho ng [a; ) Kho ng (−∞ ; a) Kho ng (a; + ∞ ) Trong các kí hi u trên, kí hi u −∞ c là âm cơ c c, kí hi u +∞ c là d ươ ng vơ c c; a và b ưc g i là các u mút c a on, kho ng hay n a kho ng . Bài t p 1. a) Cho A = { x∈»  x < 20 và x chia h t cho 3}. Hãy li t kê các ph n t c a t p h p A b) Cho t p h p B = {2, 6, 12, 20, 30 }. Xác nh B b ng cách ch ra m t tính ch t c tr ưng cho các ph n t c a nĩ c) Hãy li t kê các ph n t c a t p h p các h c sinh l p em cao d ưi 1m60 2. Trong hai t p h p A và B d ưi ây, t p h p nào là t p h p con c a t p h p cịn l i? Hai tp h p A và B cĩ b ng nhau khơng? a) A là t p h p các hình vuơng B là t p h p các hình thoi B mơn Tĩan- Th ng kê 4 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) A = { n∈»  n là m t ưc chung c a 24 và 30} B = { n∈»  n là m t ưc c a 6} 3. Tìm t t c các t p con c a t p h p sau a) A= { a, b } b) B = {0, 1, 2 } 4. Li t kê các ph n t c a các t p h p sau: a) A={ n ∈» 2 n + 2 . H= x ∈»  g) { } h)  2  .  x−5 x = 0  i) K={ x ∈» x < 4} . j) Lx=∈{ » x()1 − xx( 2 −= 20.) } 5. Xác nh các t p h p sau b ng ph ươ ng pháp nêu tính ch t c tr ưng: a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11 }. b) B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} . 11 1 1 1  c) C = , , , ,  . d) D = {0, 3, 6, 9, 12, 15 } 4 8 16 32 64  6. T p h p A cĩ bao nhiêu t p con, n u: a) A cĩ 2 ph n t . b) A cĩ 3 ph n t . c) A cĩ 4 ph n t . 7. Cho A=∅=; B{ aC} ; ={ abD ,;} = { abc ,,.} Hãy vi t ra t t c các t p h p con c a A, B , C , D. A={3 k +∈ 1 k »} 8. Cho hai t p h p: Ch ng t r ng B⊂ A . B={}6 l +∈ 4 l » . 9. Cho t p h p A , hãy xác nh AAAAA∩, ∪ , ∩∅∪∅ , A , CACA , A ∅ . 10. Cho 3 t p h p A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {2, 4, 6 } C = {1, 3, 5 } B mơn Tĩan- Th ng kê 5 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Tìm ABAB∪∩∪∩∩∪, , ( AB) C , ( AB) CABBC , \, ( \ ) ∩ A . 11. Cho A={0 ; 2; 4; 6; 8; 10} , B = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 } và C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 } . Hãy tìm a) A∩( B ∩ C ) b) A∪( B ∪ C ) c) A∩( B ∪ C ) d) ( A∪ B) ∩ C e) ( A∩ B) ∪ C 12. Cho t p h p A các s t nhiên là ưc c a 18, t p h p B các s t nhiên là ưc c a 30. Xác nh các t p h p A∩ BA, ∪ BABBA , \, \. 13. Cho A={ x ∈» x ≤ 2 } B={ x ∈<» 4 x 2 < 9 }. a) Li t kê các ph n t c a A, B. b) Tìm t t c các t p con c a B. c) Tìm A∩ BA, ∪ BABBA , \, \. 14. Tìm t t c các t p X sao cho {1, 2} ⊂X ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5 }. 15. Cho E={ x ∈≤» 1 x ≤ 10 }và các t p con c a E: A={ x ∈<» 1 x < 6 } , B = {1, 3, 5, 7, 9 }. a) Vi t các t p E, A b ng cách li t kê các ph n t . b) Tìm ph n bù trong E c a A và B. c) Tính s t p con cĩ m t ph n t và 9 ph n t c a E. 16. Cho: Ax=∈−{ » () x3( xx2 +−= 20) } B={ x ∈» x 2 < 5 } và C={ x ∈» x ≤ 4 } . a) Li t kê các ph n t c a A, B, C. b) Xác nh BAC\( ∩) ;( BCAAB ∪) \;\( ) ∩ ( BA \.) c) So sánh B\ ( A∪ C ) và (BA\) ∩( BC \ ) . B mơn Tĩan- Th ng kê 6 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - HÀM S I. Khái ni m v hàm s Trong giáo trình này chúng ta ch xét tr ưng h p c bi t c a hàm s ĩ là hàm s th c. 1. Ánh x Gi s X, Y là hai t p h p tùy ý khác r ng cho tr ưc. M t phép liên k t f t ươ ng ng m i ph n t x∈ X v i duy nh t ph n t y= fx( ) ∈ Y ưc g i là mt ánh x t X vào Y. Kí hi u: f:X→ Y x→ y = f(x) Khi ĩ: X g i là t p h p ngu n ( tp xác nh ) . Y g i là t p hp ích ( tp giá tr ). Ng ưi ta th ưng kí hi u t p xác nh là D f, t p giá tr là R f Ví d 1: a) Gi s X ={1, 2} và Y={a, b, c}. T ươ ng ng 1→ a,2 → b cho ta m t ánh x f:X→ Y b) Gi s Z={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. T ươ ng ng 1→ a,2 → b,3 → c,4 → a cho ta mt ánh x f:Z→ T c) Gi s Z ={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. T ươ ng ng 1→ a,1 → b,3 → c,4 → a khơng ph i là m t ánh x 2. nh ngh a hàm s » Ánh x f sao cho vi m i giá tr x∈ D f cĩ m t và ch m t giá tr t ươ ng ng y ∈ thì ta cĩ mt hàm s th c. Kí hi u: f : X → » x→ y = f(x) • Ta g i là x là bi n s và y= f( x ) là hàm s c a x. • Tp h p Df ưc g i là tp xác nh c a hàm s Mt hàm s cĩ th ưc cho d ưi d ng bng , bi u ho c b ng cơ ng th c. Ghi chú : Khi cho hàm s b ng cơng th c mà khơng ch rõ t p xác nh c a nĩ thì ta cĩ quy ưc sau: B mơn Tĩan- Th ng kê 7 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Tp xác nh c a hàm s y= f( x ) là t p h p t t c các s th c x sao cho bi u th c f( x ) cĩ ngh a Ví d 2: Xét các bi u th c sau, bi u th c nào là hàm s ? Hãy tìm t p xác nh c a chúng f : X → » f : X → » a) b) x2 − 1 x→= y f(x) =+ x 1 x→ y = f(x) = x− 1 f:X→ X f : X → » c) d) x→ y = f(x) = x x→ y = f(x) = c f : X → » e) 2x+ 2 khi x ≥ 1 x→ y = f(x) =  2  x khix<1 f : X → » f) 2x+ 2 khix ≥ 1 x→ y = f(x) =   8 khi x=1 Ví d 3: a) Gi s chi phí cho th c n trung bình hàng tu n c a h gia ình ( C ) ph thu c vào m c thu nh p trung bình hàng tu n c a h gia ình ĩ ( I ) theo m i quan h C=12 + 0,3 I . i) ây cĩ ph i là hàm s khơng? Vì sao? ii) Tìm giá tr c a C khi I b ng 800, 1500, 2000? b) Jeff Simpson l p k ho ch cho cơng vi c kinh doanh c a riêng mình: s n xu t và buơn bán xe p. Anh y mu n tính im hịa v n – là im mà t ng thu nh p b ng v i chi phí b ra. Hay nĩi ơ n gi n ĩ là im mà Jeff khơng mu n ph i l v n( ti n).Jeff ã ưc tính chi phí c nh hàng tháng nh ư (thuê m t b ng, gas, n ưc, in tho i, b o him, v.v) là vào kho ng $1000 m i tháng. Nh ng chi phí khác nh ư: nguyên v t li u, s n xu t, ti n tr cho nhân viên ưc gom vào g i là bi n chi phí và s gia t ng tuy n tính. M u là bi n chi phí cho vi c s n xu t 500 chi c xe p v i giá $9000 m i tháng. Jeff ã xác nh r ng n u bán 500 chi c xe p v i giá $25 m i chi c thì anh y s thu v s ti n là 25*500=1250$. H i im hịa v n mà Jeff quan tâm cĩ giá tr là bao nhiêu ?. II. th c a hàm s th c a hàm s y= f( x ) xác nh trên t p D f là t p h p t t c các im M( x; f( x )) trên m t ph ng to v i m i x∈ D f B mơn Tĩan- Th ng kê 8 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 4: 1 a) V th hàm s f(x)=2x+1; g(x)= g(x)= x 2 2 y y 1 1 -1 O x -1 O x Đồ thị hàm số f(x)=x+1 b) V th hàm s sau Đồ thị hàm số g(x)=1/2x2 f : X → » 2x+ 2 khi x ≥ 1 x→ y = f(x) =  2  x khix<1 III. Các phép tốn i v i hàm s 1. Hàm s m i Cho hai hàm s f cĩ t p xác nh là Df và g cĩ t p xác nh là Dg , ta nh ngh a: (f± g)(x) = f(x) ± g(x) (f.g)(x)= f(x).g(x) f ( )(x)= f(x)/g(x) g Lưu ý: T p xác nh c a các hàm s k t h p này là ph n giao nhau gi a t p xác nh c a hàm s f và g, Dfg+ = D f ∩ D g Riêng i v i hàm s (f /g)(x) thì Df=∩∈ D f{ x D/g(x) g ≠ 0 } . g Ví d 4: a) Cho hàm s f(x)= x;g(x) = 4 − x 2 . Tìm (f± g) (x);f.g( )( x) ; (f/g)( x ) và t p xác nh c a các hàm s m i này. Gi i: Tp xác nh c a hàm s f(x)= x bao g m các giá tr c a x sao cho x≥ 0 ⇔ x0 ≥ , nh ư v y ta ưc Df =[ 0, ∞ ) , t ươ ng t ta ưc Dg =[ − 2,2 ]. Ph n giao c a hai t p xác nh B mơn Tĩan- Th ng kê 9 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - là Df∩ D g =[ 0, ∞∩−) [ 2,2] = [ 0,2 ]. D a trên cách hình thành các hàm s m i t hai hàm s f(x) và g(x) ta cĩ 2 (f± g)(x) =+− x 4 x;Dfg+ =∩= D f D g [] 0,2 2 3 (f.g)(x)= x* 4 −=− x 4x x;Dfg =∩= D f D g [] 0,2 f  x x   (x)= = ;D = [ 0,2 ) 2 2 f g  4− x 4− x g Ví d 5: b) Cho hàm s f(x)=+ 1 x − 2,g(x) =− x 3 . Tìm (f± g) (x);f.g( )( x) ; (f / g)( x) ;7.f . Tìm t p xác nh t ươ ng ng c a các hàm s v a tìm ưc? c) Cho hàm s f(x)= x;g(x) = x . Tìm (f.g)(x) và t p xác nh c a hàm s m i . 2. Hàm s h p Ví d 6: 2 2 Cho hàm s f(x)= x + 3;g(x) = x. Ta cĩ: fg0 = fg(x)() =( x) +=+ 3 x 3 2 và gf0 = g(f(x)) = x + 3 Ví d 7: 2 a) Cho hàm s f(x)=+ x 3;g(y) =+ y 1. Tìm fg0 = f( g(y) )?. 3 b) Cho f(x)= x,g(x) = 1/x,h(x) = x . Tìm (fgh0 0 )( x)= f(g(h(x))) ?. Vy n u bi n s c a m t hàm s này ưc thay b ng hàm s c a m t bi n s mi nào ĩ thì ta cĩ “hàm h p” . (fg0 )( x)= f( g(x) ) Tp xác nh c a hàm h p là t p h p t t c các giá tr c a bi n s sau cùng sao cho bi u th c thu ưc cĩ ý ngh a. Ví d 8: Gi s nhu c u ca m t m t hàng ưc cho b i hàm P=80 − 0,2 Q , hàm t ng doanh thu cĩ d ng nh ư th nào ? Gi i: Vì doanh thu ( TR ) ưc tính b ng t ng s ti n ki m ưc khi bán s n ph m nên TR= PQ. . V y TR là m t hàm s h p. Thay P=80 − 0, 2 Q , ta cĩ TR=−(80 0,2. QQ) . =− 80 Q 0, 2 Q 2 . B mơn Tĩan- Th ng kê 10 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 9: Cho hàm s F(x)= cos2 (x + 9) . Tìm các hàm s f(x), g(x) và h(x) sao cho F= f g h 3. Hàm ng ưc Hàm s ng ưc c a m t hàm s là s o ng ưc m i quan h c a hàm s ĩ. Do ĩ, n u hàm s f: X ⊂» → » sao cho y= f( x ) thì hàm ng ưc x ưc cho b i cơng th c x= g( y ) . Ví d 10: Cho hàm s : y=4 + 5 x thì hàm s ng ưc c a nĩ là x=0,2 y − 0,8 . Lưu ý: Khơng ph i t t c các hàm s u cĩ hàm s ng ưc. iu ki n c n thi t mt hàm s cĩ hàm s ng ưc là hàm s ĩ ph i “ ơn iu”. iu này m b o r ng v i m i giá tr c a x ta cĩ m t giá tr duy nh t c a y và ng ưc l i. Ví d 11: Xét hàm s y=9 x − x 2 v i x∈[0;9 ] . M i giá tr c a x t ươ ng ng v i m t giá tr duy nh t ca y, nh ưng cĩ m t vài giá tr c a y l i t ươ ng ng v i hai giá tr c a x, ch ng h n nh ư y =14;18;20 . Do ĩ hàm s này khơng ơ n iu và nĩ khơng cĩ hàm ng ưc. Ví d 12: Trong các hàm s sau hàm s nào cĩ hàm s ng ưc? f : X → » f : »→ » a) b) x→= y f(x) = x + 1 x→= y f(x) = x2 + 1 f :» →[ 0, +∞) f :(−∞ ;0] →[ 0, +∞) c) d) x→ y = f(x) = x 2 x→ y = f(x) = x 2 Ví d 13: i nhi t t F sang C, ng ưi ta dùng cơng th c: 5 0C=() 0 F − 32 . Hãy tìm cơng th c i t C sang F? 9 IV. Hàm s s ơ c p Hàm s s ơ c p là nh ng hàm s ưc t o thành b i m t s h u h n các phép tốn s h c( cng, tr , nhân, chia), các phép l y hàm h p c a các hàm s s ơ c p c ơ b n và các h ng s , hàm ng ưc. Ví d 14: a) B mơn Tĩan- Th ng kê 11 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - π y=+− 3x x 2 4; y = cos2x + sin(3x- ) + 5 4 x+ 1 − x2 + sinx y=−3 x lg(2x −+ 7) 2; y = là nh ng hàm s s ơ c p x− 3 y= arccosx y=arctg( 2x+1) x2 − 1,khi x ≥ 0 b) f (x) =  khơng ph i là hàm s s ơ c p 2x− 8,khi x 0, khơng i qua O(0,0) n u α > 0 B mơn Tĩan- Th ng kê 12 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - y= x 2 y= x y= x 1/ 2 y= x −1 2. Hàm s m y= f(x) = a,ax > 0,a ≠ 1 » Tp xác nh c a hàm s là Df= , R f =( 0, +∞ ) th c a hàm s y= a x luơn i qua im (0,1) 1  x y= 2 x y =   2  3. Hàm s logarit y= f(x) = loga x,a >≠ 0,a 1 Tp xác nh c a hàm s logarit là Df =( 0, +∞ ) th c a hàm s luơn i qua im (1,0) B mơn Tĩan- Th ng kê 13 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - y= log2 x y= log1/ 2 x 4. Hàm s l ưng giác y= f(x) = sinx, cosx,tgx,cotgx » Tp xác nh c a hàm s y=sinx, y= cosx là Df = , Rf = [-1,1] th c a hàm s y = sinx, y=cosx y= cosx y= sin x π 2 π π − 2 2 π − 2 π  Tp xác nh c a hàm s y= tgx là D=» \(2k +∈ 1) ,k »  ,R = » f 2  f th c a hàm s y= tgx B mơn Tĩan- Th ng kê 14 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - y= tgx π 2 π − 2 » » » Tp xác nh c a hàm s y= cotgx là Df= \{k,k π∈ }, R f = th c a hàm s y=cotgx π y= cotgx 2 π − 2 5. Hàm l ưng giác ng ưc 5.1 Hàm s y= f (x) = arcsin x π π Tp xác nh c a hàm s là D= [-1,1],R = [- , ] f f 2 2 th c a hàm s y= arcsinx B mơn Tĩan- Th ng kê 15 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - π 2 −1 1 π − 2 5.2 Hàm s y= f(x)=arccosx Tp xác nh c a hàm s là Df= [-1,1],R f = [0, π ] th c a hàm s y= arccosx π −1 5.3 Hàm s y=f(x)=arctg(x) π π Tp xác nh c a hàm s là D=» ,R = [ − ,] f f 2 2 th c a hàm s y=arctg(x) B mơn Tĩan- Th ng kê 16 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - π 2 π − 2 5.4 Hàm s y=f(x) =arccotgx » Tp xác nh c a hàm s là Df= ,R f = [0,] π th c a hàm s y=arccotg(x) V. Mt vài tính ch t c a hàm s 1. Hàm s ơ n iu: Cho hàm s f: X ⊂» → » : • Hàm s y= f( x ) g i là ng bi n (t ng) trên kho ng (a; b ) n u ⇒ ∀xx12, ∈( abxx ; ) : 12 fx( 2 ) Ghi chú: T nh ngh a, ta suy ra: fx( 2) − fx( 1 ) f tng trên ()()ab; ⇔∀∈ xx12 , abx ; , 12 ≠ x , > 0 x2− x 1 fx( 2) − fx( 1 ) f gi m trên ()()ab; ⇔∀∈ xx12 , abxx ; , 12 ≠ , < 0 x2− x 1 Ví d 14 : Xét tính ng bi n và ngh ch bin c a các hàm s trên các kho ng ã cho a) y=−3 x2 + 6 x + 8 trên (−10; − 2 ) » Gi i: ∀x1, x 2 ∈ và x1≠ x 2 , ta cĩ: −3xx2 + 68 +−− 3 xx 2 + 6 + 8 fx()()1− fx 2 11( 22 ) = =−++3()x1 x 2 6 (1) xx12− xx 12 − B mơn Tĩan- Th ng kê 17 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - x 12 fx( ) − fx( ) T (1), trên kho ng ã cho 1 2 >18 > 0 x1− x 2 Và do ĩ hàm s ng bi n. x b) y = trên (−∞ ; 7 ) và (7; + ∞ ) . x − 7 2. Hàm s b ch n Hàm s g i là b ch n ( b ch n trên ho c ch n d ưi) n u t p giá tr ca nĩ b ch n ( b ch n trên ho c b ch n d ưi). Ví d 15: Xét tính b ch n c a hàm s sau 3. Hàm s ch n và l Cho hàm s f xác nh trên D −x ∈ D • f là hàm ch n ⇔ ∀x ∈ D thì   f()()− x = fx −x ∈ D • f là hàm l ⇔ ∀x ∈ D thì   f()()− x = − fx Ví d 15 : Xét tính ch n, l c a các hàm s sau a) y= − 2 x Gi i: a) Tp xác nh c a hàm s là D = » . Ta cĩ: ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f()()− x =3 − x 2 − 1 =3x2 − 1 = f( x ) Vy hàm s ã cho là hàm s ch n b) y=3 x 2 − 1 c) y=2 x + 9 d) y=−5 x2 − 3 x + 8 4. Hàm s tu n hồn Hàm s f g i là hàm s tu n hồn n u t n t i s m≠ 0 sao cho (∀∈x Df ) f(x += m) f(x) S d ươ ng bé nh t trong các s m th a mãn ng th c trên g i là chu kì c a hàm s tu n hồn B mơn Tĩan- Th ng kê 18 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 16: Hàm sinx là hàm tu n hồn v i chu kì là 2π . Nh ưng hàm s f(x) =c là hàm tu n hồn nh ưng l i khơng cĩ chu kì. B mơn Tĩan- Th ng kê 19 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch ươ ng 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M ỘT BI ẾN §1. GI ỚI H ẠN – LIÊN TỤC I. Dãy s ố - Gi ới h ạn dãy s ố. 1. Dãy s 1.1 Định ngh ĩa Dãy s là m t t p h p các s c vi t theo m t th t xác nh: {xxx1, 2, 3 , , x n , } . x ∞ x ch dãy s ĩ, ng i ta th ng dùng kí hi u {}n n=1 hay g n h ơn { n} . Trong ch ơ ng này, ta ch xét các dãy s th c. Dãy s th c là m t ánh x : f : »→ » n fn() = x n x x Kí hi u { n}n∈» hay { n} . Lúc ĩ: • n c g i là ch s . • xn c g i là s h ng t ng quát c a dãy.  x1=1, x 2 = 2 Chú ý : Dãy s cịn cĩ th xác nh b i cơng th c t ng quát   xn=2 x n−1 + x n − 2 , ∀≥ n 3 Ghi chú : Ta th ng xét dãy s th c là ánh x t »* vào » . Ví d 1. ∞ 1 111  a)= 1, , , , ,  ; nn=1 2 3 n  b){()− 1n} =−−{ 1,1, 1,1, ,() − 1 n , }; c){ n2} = { 1,4,9, , n 2 , }; n1 2 3 n  d)= , , , , ,  . n+1 234 n + 1  * * Dãy s {xn} gi là t ng n u xn x n +1, ∀ n ∈ » . Trong ví d 1, dãy a) là dãy s gi m, dãy c) là dãy s t ng. Dãy s t ng và dãy s gi m c g i là dãy s ơn iu. * Dãy s {xn} g i là b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho xn ≤ M, ∀ n ∈ » ; * gi là b ch n d i nu t n t i m t s m sao cho xn ≥ m, ∀ n ∈ » ; g i là b ch n n u nĩ va b ch n trên v a b ch n d i. Ví d 2. Trong ví d 1 Dãy a) là dãy s gi m, nĩ b ch n d i b i 0 và b ch n trên b i 1; Dãy b) khơng ph i là dãy s ơn iu, nĩ b ch n d i b i -1 và b ch n trên b i 1; B mơn Tĩan- Th ng kê 1 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Dãy c) là dãy t ng, nĩ b ch n d i b i 1 nh ng khơng b ch n trên, do ĩ nĩ khơng b ch n; Dãy d) là dãy s t ng, nĩ b ch n d i b i 0 và b ch n trên b i 1. 2. Các dãy s ố đặ c bi ệt 2.1 Dãy s ố c ộng 2.1.1 Định ngh ĩa Là m t dãy s tho mãn iu ki n: hai ph n t liên ti p nhau sai khác nhau m t h ng s. Ch ng h n, dãy s 3, 5, 7, 9, 11, là m t c p s c ng v i các phân t liên ti p sai khác nhau h ng s 2. Hng s sai khác chung c g i là cơng sai c a c p s c ng. Các ph n t c a nĩ cng c g i là các s h ng. 2.1.2 S ố h ạng t ổng quát Nu c p s c ng kh i u là ph n t u1 và cơng sai là d, thì s h ng th n c a c p s cng c tính theo cơng th c: un= u 1 + (n − 1)d 2.1.3 T ổng Tng c a n s h ng u c a c p s c ng c g i là t ng riêng th n. Ta cĩ: n(a+ a) n2a[ + (n − 1)d ] S=+++= a a a 1 n = 1 n12 n 2 2 2.2 Dãy s ố nhân 2.2.1 Định ngh ĩa Là m t dãy s tho mãn iu ki n t s c a hai ph n t liên ti p là hng s . T s này c g i là cơng b i c a c p s nhân. Các ph n t c a c p s nhân cịn c g i là các s h ng.Nh v y, m t c p s nhân cĩ d ng a,ar,ar2 ,ar 3 , Trong ĩ r≠ 0 là cơng b i và a là s h ng u tiên 2.2.2 S ố h ạng t ổng quát S h ng th n c a c p s nhân c tính b ng cơng th c n-1 an = ar trong ĩ n là s nguyên th a mãn n>1 Cơng b i khi ĩ là 1 n− 1 an  a n r=  ,r = n− 1 trong ĩ n là s nguyên th a mãn n≥ 1  a  a 2.2.3 T ổng Tng các ph n t c a c p s nhân : B mơn Tĩan- Th ng kê 2 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - n k012 n Sn =∑ ar =++++ ar ar ar ar k= 0 a(1− rn+ 1 ) Hay S = n 1− r 2.3 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci là dãy vơ h n các s t nhiên b t u b ng hai ph n t 0 và 1, các ph n t sau ĩ c thi t l p theo quy t c mi ph n t luơn b ng t ng hai ph n t tr c nĩ . Cơng th c truy h i c a dãy Fibonacci là: 0 ,khin0=   F:F(n):n = = 1 ,khin = 1   F(n−+− 1) F(n 2) ,khin > 1 3. Gi ới h ạn c ủa dãy s ố Tr l i dãy d) c a ví d 1. Bi u di n hình h c c a nĩ c cho hình sau: 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 Ta nh n th y r ng khi n càng l n thì xn càng g n 1, t c là kho ng cách xn −1 càng nh , nĩ cĩ th nh bao nhiêu c ng c mi n là n l n. Ta nĩi r ng dãy {xn} gn t i 1 ( hay cĩ gi i h n là 1) khi n d n t i vơ cùng. Ta cĩ nh ngh a sau: Định ngh ĩa: S a gi là gi i h n c a dãy s {xn} nu v i m i s ε d ơ ng bé tùy ý cho tr c, t n t i m t s t nhiên n0 sao cho v i m i n> n 0 thì xn − a 0 , ta s ch ra r ng tìm c n0 (ε )∈» cho 1 1 1 1 x−0 = n n . Ta cĩ, , t c là khi n > log . n 2n 0 2n ε 2 ε 1 Vy ch c n ch n n ()ε = log thì v i n> n ta cĩ x −0 < ε . 0 2 ε 0 n B mơn Tĩan- Th ng kê 3 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4n− 3 b) Dùng nh ngh a chng minh r ng lim n→∞ n+ 1 4. Các Tính ch ất và định lý v ề gi ới h ạn dãy s ố Dùng nh ngh a gi i h n c a dãy s , cĩ th ch ng minh c các nh lý sau: Định lý 1 . a) Nu m t dãy s cĩ gi i h n thì gi i h n ĩ là duy nh t. b) Nu m t dãy s cĩ gi i h n thì nĩ b ch n. Chú thích : M nh b) c a nh lý 1 là iu ki n c n c a dãy s h i t . T ĩ suy ra rng n u m t dãy s khơng b ch n thì nĩ khơng cĩ gi i h n. Ch ng h n, dãy c) trong ví d 1 khơng cĩ gi i h n vì nĩ khơng b ch n. Định lý 2 . Nu các dãy s {xn} và {yn} u cĩ gi i h n ( limxn→ a ;lim y n → b ) thì n→∞ n →∞ i) lim( xynn±=) lim x n ± lim yab n =± n→∞ n →∞ n →∞ ii) lim( xynn .) = lim x n .lim yab n = . n→∞ n →∞ n →∞ lim xn xn n →∞ a iii) lim = = ( v i iu ki n limyn ≠ 0 ). n→∞ n→∞ ynlim y n b n→∞ Ví d 4. Tính gi i h n các dãy s sau 1 1 a n a){} an= ,{} b n = ⇒ lim 2 n→∞ n n b n 1 1 b n b)a{}n= ,b{} n = ⇒ lim 2 n→∞ n n a n 1 1 a n c)a{}n= ,b{} n = ⇒ lim 2 n→∞ n n b n n− 1 (−1) 1 a n d) {}an= ,{} b n = ⇒ lim n→∞ n n b n Chú ý : Trong tính tốn v gi i h n, cĩ khi ta g p các d ng sau ây g i là d ng vơ nh 0 ∞ , , 0.∞ , ∞−∞ , . Khi ĩ khơng th dùng các k t qu c a nh lý 2, mà ph i dùng 0 ∞ các phép bi n i kh các d ng vơ nh ĩ. 1 1 2 2 2 + + 2n+ n + 1 ∞ 2n+ n + 12 2 Ch ng h n, lim cĩ d ng . Ta bi n i: lim= lim n n = . n→∞ 2 + ∞ n→∞2 + n →∞ 5 3n 5 3n 53 + 3 n2 4.1 Tiêu chu ẩn t ồn t ại gi ới h ạn Định lý 3 . Cho 3 dãy s {xn},{ y n} , { z n }. N u: * a) ∀∈n» , xyzn ≤ n ≤ n ; b) limxn= lim z n = a n→∞ n →∞ thì dãy {yn} cĩ gi i h n và lim yn = a . n→∞ Định lý 4. a) Nu dãy s t ng và b ch n trên thì nĩ cĩ gi i h n. B mơn Tĩan- Th ng kê 4 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) Nu dãy s gi m và b ch n d i thì nĩ cĩ gi i h n. Định lý 5. Dãy s {xn } c g i là dãy c ơ b n ( hay dãy Cauchy) n u v i m i ε > 0 tn t i s n0 >0 sao cho xn− x m n0. Ý ngh a: K t m t lúc nào ĩ tr i hai ph n t b t k ca dãy s gn nhau bao nhiêu cng c. 4.2 Các ví d ụ v ề gi ới h ạn c ủa dãy s ố 3n − 5 1 Ví d 5. Cho dãy s {xn} v i xn = . Ch ng minh lim xn = . V i k nào thì x k n m 9n + 4 n→∞ 3 1 11 1  ngồi kho ng L = −; +  . 3 1000 3 1000  Ta cĩ 5  5 n3 −  3 − 3n − 5n  1 lim= lim = lim n = . n→∞9n + 4 n →∞4  n →∞ 4 3 n9 +  9 + n  n 1 1351n − 19 19 Kho ng cách t x n n b ng x −= −=− = ; 3 n 3 9n+ 43 39() n + 4 39() n + 4 1 1 19 1 x n m ngồi kho ng L khi và ch khi x − > hay > . 3 1000 3() 9n + 4 1000 18988 7 Do ĩ n < = 703 . V y các s c a dãy n m ngồi kho ng L là x 1, x 2, , x 703. 27 27 2n Ví d 6. Ch ng minh r ng lim= 0 . n→∞ n! − 2n 2.2 2 22 2 211 1 41  n 3 Ta cĩ ==2.1. . < 2.1. . . =   . n! 1.2.3 n 34 n 322 2 32  ()n−3 sơ − 1  n 3 2n Vì lim  = 0 nên lim= 0 . n→∞ 2  n→∞ n! Ví d 7. Tính các gi i h n sau: 3 3n2 + 5 n + 4 3n2 + n − 2  a) lim b) lim   n→∞ 2 + n2 n→∞ 4n2 + 2 n + 7  Gi i. 5 4 2 3 + + 3n+ 5 n + 4 2 a) Ta cĩ lim= limn n = 3 . n→∞+ 2 n →∞ 2 2 n +1 n2 B mơn Tĩan- Th ng kê 5 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 2  2 3 3 + − 3 32n+ n −  n n 2   327  b) Ta cĩ lim  = lim   =  = . n→∞2 + + n →∞ 2 7 427n n  4 + +   464  n n 2  Ví d 8. Tìm gi i h n c a các dãy s {xn} sau: 2 3 2 3 n+1 + n a) xn =2 n +− 3 n − 1 b) xn = nn − + n c) xn = . 4 n3 + n − n Gi i. a) Khi n → ∞ , xn =2 n +− 3 n − 1 cĩ d ng vơ nh ∞ − ∞ . Mu n kh d ng vơ nh y, ta nhân t và m u c a x n v i l ng liên h p 2n+ 3 + n − 1 , ta c: ( 23n+−− n 123)( n ++− n 1 ) ()()2n+ 3 − n − 1 limxn = lim= lim n→∞ n →∞ 231nn++−n →∞ 231 nn ++− 4 1+ n + 4 = lim = lim n =+∞ n→∞23n+ + n − 1 n →∞ 2311 + + − nn2 nn 2 1  b) Ta cĩ n2− n 3 = n 3  −1  → −∞ khi n → ∞ , vì v y x=3 nn 2 − 3 + n cĩ d ng n  n 2 3 233 232 ∞ − ∞ . Nhân t và m u c a x n v i l ng liên h p ()nn− − nnn −+ n , ta c: 2  3 nnn23−+3 () nn 23 −− nnnn3 232 −+  ( )  limxn = lim n→∞ n →∞ 2 3 ()nn23− − nnn3 232 −+ n n2 1 1 = lim = lim = n→∞ 2 n →∞ 2 3 nn23− − nnn3 232 −+ n 1  1 3 () 3−1  − 3 −+ 1 1 n  n 1 1  + + 1 1 n1 2  1+ + 2 n n 2 n+1 + n   4 n n c) Ta cĩ xn = = = n . . 4 n3 + n − n 3 1 1  1 1 4 4 4 41+ − 4 n 1+2 −  2 n n  n n 1 1 1+2 + 4 n n Do ĩ limxn = lim n . =+∞ . n→∞ n →∞ 1 1 41+ − 4 n2 n Ví d 9. Tìm gi i h n c a các dãy s {xn} sau: sin n a) lim n→∞ n B mơn Tĩan- Th ng kê 6 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1  4  b)    lim 2−  3 + 2  n→∞n   n  (2n− 1n)( 2 + 3n − 2 ) c) lim n→∞ 4n3− n 2 + 1 d) lim n n+ 1 − n n→∞ ( ) 4.3 Gi ới h ạn m ở r ộng lim x n = +∞ n→∞ lim x n = −∞ n→∞ lim x n = ∞ n→∞ Ví d 10. a) lim n 2 n→∞ b) lim− n2 + 5 n→∞() c) lim− n2 + 5n n→∞() n d) lim()− 1 n 2 n→∞ Gi i. a) Ta cĩ lim n 2 = +∞ n→∞ 4.4 Một s ố gi ới h ạn đặ c bi ệt n 1  lim 1+ = e n→∞ n  1 lim= 0( α > 0) n→∞ nα limn n= 1 n→∞ limn a= 1a() > 0 n→∞  0 ,0 n→∞   1 ,q= 1 Ngồi ra n u q =-1 thì gi i h n khơng t n t i Ví d 11. Tính gi i h n các dãy s sau 3n− 2.4 n a) lim n→∞ 5.4n− 2 n b) lim 24 28 2 2n 2 n→∞( ) B mơn Tĩan- Th ng kê 7 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - II. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố x2 − 4 Ví d 12. Cho hàm s f (x) = . Khi gán cho x l n l t các giá tr càng d n v 1 x− 2 t 2 phía ( 1) nh ng r t g n 1 thì f(x) càng d n v 3 x 0.8 0.9 0.99 0.999 1 1.000001 1.0001 1.001 1.05 1.1 f(x) 2.8 2.9 2.99 2.999 3.000001 3.0001 3.01 3.0 5 3.1 Tơ ng t khi gán cho x các giá tr d n v 2 t 2 phía ( 2) nh ng r t g n 2 thì f(x) càng d n v 4 x 1.8 1.9 1.99 1.9999 2 2.000001 2.00001 2.001 2. 05 2.1 f(x) 3.8 3.9 3.99 3.9999 4.000001 4.00001 4.001 4.05 4.1 Nh n xét r ng f(x) khơng t n t i giá tr t i 2 nh ng các giá tr c a f(x) khi x d n v 2 cho ta c m nh n r ng f(x) s cĩ giá tr x p x là 4 khi x ti n v 2 t c hai phía 1. Định ngh ĩa Gi s hàm s f( x ) xác nh lân c n im a (cĩ th tr t i a ). Ta nĩi hàm s f( x ) cĩ gi i h n là A khi x d n t i a n u v i m i s ε > 0 cho tr c, u t n t i m t s δ > 0 sao cho khi x− a 0 , thì tìm c s δ > 0 sao cho 2x + 1 − 3 a, c ng cĩ th x 0 Ta th y limf( x ) = 0 và limf( x ) = 1 . x→0− x→0+ Do ĩ f( x ) khơng cĩ gi i h n khi x → 0 . Ví d 15. Tính gi i h n các hàm s sau khi x → 0 : B mơn Tĩan- Th ng kê 8 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - x a) f (x) = x 1 b) f (x) = x Ví d 16. Tính gi i h n 1 phía, 2 phía các hàm s sau: 1 2x − 3 1 a) lim d) lim g) lim 2 x− 1 2 x + x→+∞ x x→+∞ 2+ 3 x→ 1 4x− 1 1 1 b) lim e)lim h) lim 2 x− 1 x→+∞ 2x+ 5 x→ 0 x x→ 1 −  x −1  x x> 2 c) lim f )lim l)f (x) =  x→−∞ 2  x+ 1 x→ 3 (x− 3 ) 3x x≤ 2 Nh n xét: Hàm s cĩ th cĩ gi i h n m t phía nh ng khơng ph i lúc nào c ng cĩ gi i hn 2 phía suy ra gi i h n khơng ph i t n t i i v i m i hàm s 2. Các phép tốn v ề gi ới h ạn Định lý 5. Gi s lim f( x) = A , lim g( x) = B . Khi ĩ: x→ a x→ a i) lim ( fx( ) ± gx( )) = AB ± x→ a ii) lim( fxgx( ) .( )) = AB . x→ a f( x ) A iii) lim = , n u B ≠ 0 . x→ a g() x B n iv) limn f(x)=n limf(x)= A; A> 0 , n ch n xa→ xa → k v) limf(x)k= limf(x)  = A k ,k ∈ » . xa→ xa →  lim f (x) vi) limbf(x)= bx→ a = b,b A > 0 . x→ a vii) limlog[]b f(x)= log b limf(x) = log b A(A > 1) . xa→( xa → ) Chú ý: Trong quá trình tìm gi i h n c a hàm s ta n u g p m t s các dng vơ nh 0∞ 0 ∞ sau: ∞−∞;0. ∞ ; ; ; ; ;1;0,∞ 0 ∞ 0 , . thì ph i tìm cách bi n i kh 0 ∞ 1 1 ∞ 0 chúng. Ví d 17. lim sinx lim sin x π π sin x x→ x → 1 4 a) lim =2 = 2 == = π 2 2 2 2 2 x→ 3xx++ 1lim 3x+ x − 1 lim3limlim1 xx +−π  π 324π +− π 2 π () π π π x→ x→ x → x → 3  + − 1 2 2 2 2 2  2 2 2 2 2 ( x − 3) lim(x− 3).lim( x − 3 ) 1.1 1 b) lim =x→2 x → 2 = = x→2 5x− 2 lim() 5 x − lim 2 10 − 2 8 x→2 x → 2 B mơn Tĩan- Th ng kê 9 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 ()x − 3 3 lim( x − 3 ) c) lim=x→3 = 0 x→3 x−2 lim() x − 2 x→3 Ví d 18. x2 −1 0 a) Xét lim . ây ta g p d ng vơ nh . Khi x →1, cĩ th xem x ≠ 1, x→1 x −1 0 x2 −1 ( x−1)( x + 1 ) Ta khai tri n = =x + 1. x−1 x − 1 x2 −1 Do ĩ lim= lim()x + 1 = 2 . x→1x −1 x → 1 x3 −8 b) Tính lim . x→2 x − 2 x3 −8 Vì x3−=−8( x 2)( xx 2 ++ 24 ) nên lim= lim()x2 ++= 2 x 4 12 x→2x − 2 x → 2 Ví d 19. Tính các gi i h n sau: a)lim 7x5− 4x 3 + 2x − 9 x→ + ∞( ) b)lim−− x4 4x 3 + 2x − 9 x→ + ∞() 4x2 − x  c) lim    3  x→−∞ 2x− 5   3x+ 5 d) lim 3 x→ + ∞ 6x− 8 x2 + 2 e) lim x→−∞ 3x− 6 f ) lim x6+ 5 − x 3 x→ + ∞()  2  2x+ 5 x < 0  g)f(x)=  3− 5x 3 ,limf(x),limf(x)  x→ + ∞ x →−∞  3 x≥ 0 1+ 4x + x 3. Tiêu chu ẩn t ồn t ại gi ới h ạn c ủa hàm s ố: Định lý 6. a) N u lân c n c a a, các hàm s fx1( ), f 2 ( x) , fx( ) th a mãn b t ng th c: fx1( ) ≤ fx( ) ≤ fx 2 ( ). b) Nu các hàm s f1( x), f 2 ( x ) cĩ gi i h n khi xa→,lim fx1( ) = lim fxA 2 ( ) = thì hàm xa→ xa → s f( x ) c ng cĩ gi i h n khi x→ a và limf( x) = A . x→ a Định lý 7. B mơn Tĩan- Th ng kê 10 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) N u lân c n im a, hàm s f( x ) t ng và b ch n trên b i s M thì t n t i gi i hn c a f( x ) khi x→ a và limf( x) ≤ M . x→ a b) Nu lân c n im a, hàm s f( x ) gi m và b ch n d i b i s m thì t n t i gi i hn c a f( x ) khi x→ a và limf( x) ≥ m . x→ a sin x Hai nh lý này cho phép ta tìm m t gi i h n quan tr ng, ch ng h n nh : lim= 1 , x→0 x 1  x lim 1 +  = e , T ĩ d a vào nh ng gi i h n này ta cĩ th gi i c nhi u bài x→∞ x  tốn tính gi i h n khác. Ví d 20 . Tính các gi i h n sau: tgxsin x 1 sin x 1 a) lim= lim . = lim .lim == 1.11 xx→→00x xxcos xx →→ 00 x cos x arcsin x b) Xét lim . t arcsin x= t , ta cĩ x= sin t . Khi x → 0 thì t → 0 . x→0 x arcsinx t 1 1 Vy lim= lim = lim = = 1 x→0 t → 0 t → 0 sint sin t xsin t lim tt→0 t arctgx c) Tơ ng t , lim= 1. x→0 x Ví d 21. Tính các gi i h n sau: + 3+ x  x x + 2  x 3 a) lim   b) lim   x→∞ x  x→∞ x −1  Gi i. x x 3+ x  3  ∞ a)  =1 +  cĩ d ng 1 khi x → ∞ . t x = 3t, khi x → ∞ thì t → ∞ . V y x  x  3 3x  3 t  1 t  lim 1+= lim  1 += lim  1 +  = e3 . x→∞x t →∞  t t →∞   t  x+3 x+3 x + 3 x + 2  ∞ x + 2  3  b)   cĩ d ng 1 khi x → ∞ . Ta cĩ  =1 +  . x −1  x−1  x − 1  t x−1 = 3 t , ta cĩ x=3 t + 1 . Khi x → ∞ thì t → ∞ . V y + + 3 x3  1 34 t  11 3 t 4 lim 1+  =+=+ lim  1 lim  1 .lim 1 +==e3 .1 e 3 . x→∞x−1  t →∞  t tt →∞  tt →∞ Ví d 22. Tính các gi i h n sau: B mơn Tĩan- Th ng kê 11 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1  a)lim xsin   x→ 0 x  1 1 b) lim cos x→ + ∞ x x 2+ 3x n c)lim ; n,m ∈ »* x→−∞ 1− x m d)lim x− 4 x→ 4 + 1 e)lim x→ 0 x2 4. M ột s ố gi ới h ạn c ơ b ản sinx lim= 1 x→ 0 x tgx lim= 1 x→ 0 x ex − 1 lim= 1 x→ 0 x ln(1+ x) lim= 1 x→ 0 x 1 lim= 0( α > 0) x→ 0 xα 1  1  x lim 1+= e; lim() 1 += x e x→+∞ x  x → 0 x 1  1 lim 1 − = x→+∞x  e Ví d 23. Tính các gi i h n sau: sin5x 1  a)lim e) lim cos   +   x→ 0 7x x→ 0 x  sinx b) lim 1  + f ) lim sin  +   x→ 0 5 x x→ 0 x  x 2 c)lim x− 3sin x x→ 0 tgx g)lim x→ 0 x x2 2x+ sinx d)lim h)lim x→ 0 1− cosx x→ 0 x 5. Vơ cùng bé và vơ cùng l ớn 5.1 Định ngh ĩa • Hàm s f( x ) gi là m t vơ cùng bé ( vi t t t là VCB ) khi x→ a n u limf( x ) = 0. x→ a B mơn Tĩan- Th ng kê 12 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Trong ĩ a cĩ th là h u han hay vơ cùng. T nh ngh a gi i h n c a hàm s , ta cĩ th suy ra r ng n u f( x) → A khi x→ a thì fx( ) = A + α ( x ) , v i α ( x) là m t VCB khi x→ a . • Hàm s F( x ) g i là m t vơ cùng l n ( vi t t t là VCL) khi x→ a n u limF( x ) = +∞ . x→ a 1 Cĩ th d dàng th y r ng n u f( x ) là m t VCB khi x→ a thì là m t VCL và f() x ng c l i. Ví d 24. Tính các gi i h n sau: g)lim 3x4 + x a)lim(1− cosx) c)lim(sinx) e)limln(1+ x) x→ 0 ( ) x→ 0 x→ 0 x→ 0 4 b)lim x 2 d)lim x f)limex − 1 ()3x+ x x→ 0 x→ 0 x→ 0 h)lim x→ 0 5x 4 5.2 Tính ch ất Nu f( x), gx( ) là hai VCB khi x→ a thì fx( ) ± gx( ), fxgx( ) . ( ) c ng là nh ng VCB khi x→ a . Nu f( x), gx( ) là hai VCL cùng d u khi x→ a thì fx( ) ± gx( ) cng là m t VCL khi x→ a . Tích c a hai VCL khi x→ a c ng là m t VCL khi x→ a . Ví d 25. Tình gi i h n sau lim(x10 -7x 82 +x ln(1+2x 2 )(1− cos3x) x→ 0 5.3 So sánh các VCB a) Bậc c ủa các VCB Định ngh ĩa. Gi s α( x), β ( x ) là hai VCB khi x→ a . α ( x) Nu lim= 0 , ta nĩi r ng α ( x) VCB b c cao h ơn β ( x) hay β ( x) là VCB b c x→ a β ()x th p h ơn α ( x) α ( x) Nu lim = ∞ , ta nĩi r ng α ( x) VCB b c th p h ơn β ( x) hay β ( x) là VCB b c x→ a β ()x cao h ơn α ( x) α ( x) Nu lim=A() ≠ 0, ≠∞ , ta nĩi r ng α ( x) và β ( x) là hai VCB cùng b c. c bi t x→ a β ()x khi A =1 ta nĩi α( x), β ( x ) là t ơ ng ơ ng v i nhau, ký hi u là α(x) ~ β (x) Nu α ( x) là VCB ngang c p v i β k (x)( k > 0) thì ta nĩi α ( x) là VCB c p k so v i VCB β ( x) B mơn Tĩan- Th ng kê 13 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - α ( x) Nu lim khơng t n t i, ta nĩi r ng khơng th so sánh hai VCB α ( x) và β ( x) . x→ a β ()x Ví d 26. a) 1− cos x và 2x u là nh ng VCB khi x → 0 . Vì x x sin2 sin 1− cosx x 1 lim= lim2 = limsin.lim. 2 = 0 x→02x x → 0 x xx →→ 00 2 2 x 2 Nên 1− cos x là VCB b c cao h ơn 2x. 1 1 xsin sin 1 1 1 b) x.sin và 2x là nh ng VCB khi x → 0, Vì limx= lim x = limsin x x→02x x → 0 2 2 x → 0 x 1 1 nh ng khơng t n t i limsin nên xsin và 2x là hai VCB khi x → 0 khơng so sánh x→0 x x c v i nhau. c) 1 –cosx và x 2 là hai VCB ngang c p khi x → 0, và do ĩ 1 – cosx c ng là VCB c p x 2sin 2 1− cosx 1 hai so v i x 2 , vì lim= lim 2 = x0→x2 x0 → x 2 2 sinx x 1 2 → d) sinx và x u là nh ng VCB khi x 0, vì lim2= lim 2 = lim = +∞ nên x0→+x x0 → + x x0 → + x sinx là VCB c p th p h ơn x 2 hay x 2 là VCB c p cao h ơn sinx. b) Vơ cùng bé t ươ ng đươ ng Định ngh ĩa: Hai VCB khi x→ a g i là t ơ ng ơ ng v i nhau n u α ( x) lim= 1 , x→ a β ()x Kí hi u : α( x) ∼ β ( x ) . Nu α ( x) → 0 khi x→ a thì : sinα( x) ∼ α ( x ) , tgα( x) ∼ α ( x ),   acrsinα()() x∼ α x , arctgα()() x∼ α x  α2 (x) 1− cos α (x) ~ k  2 [1+α (x)] − 1~k α (x)    α(x)  eα(x) − 1~ α (x) ln(1+α (x)) ~   2 Định lý 8: N u α ( x) và β ( x) là hai VCB khi xax→ ,α( ) ∼ α1( xx) , β( ) ∼ β 1 ( x ) khi α( x) α ( x ) x→ a thì lim= lim1 . xa→ xa → β()x β 1 () x Th t v y, vì α( x) ∼ α1( xx), β( ) ∼ β 1 ( x ) , ta cĩ B mơn Tĩan- Th ng kê 14 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - α( x) β ( x ) lim= 1,lim = 1 xa→ xa → α1()x β 1 () x α( x)  ααβ( xxx) ( ) ( )  Do ĩ : lim= lim .1 . 1  xa→ xa →   β()x αββ1() xxx 1 () ()  α( x) α( x) β( x) α ( x ) =lim .lim1 .lim 1 = lim 1 . xa→ xa → xa → xa → α1()x β 1() x β() x β 1 () x Định lý 9 : (quy t c ng t b các VCB b c cao). N u α( x), β ( x ) là các VCB khi x→ a, β ( x ) là VCB b c cao h ơn α ( x) thì khi x→ a α( x) + β( x) ∼ α ( x ). αβ( xx) + ( )  β( x)  β ( x ) Th t v y, ta cĩ lim= lim 1 +  =+ 1 lim = 1 xa→α()x xa → α() x  xa → α () x Ví d 27. Ch ng minh r ng sin xx∼ x2+ x 3 khi x → 0 . 3 3 Khi x → 0 thì sinxx= sin x4∼ x 4 ; 3 3 3 x2+=+ x 3 xx 2 2∼ xx 2 = 4 . 3 Vì b c c a x2 cao h ơn b c c a x 2 . Do ĩsin xx∼ x2+ x 3 khi x → 0 . Ví d 28. Tính các gi i h n sau: sin2x+ arcsin 2 x − arctg 2 x a) lim ; x→0 3x 1− cosx + 2sin x − sin3 xxx −+ 2 3 4 b) lim x→0 tgx3−6sin 2 xx + − 5 x 3 Gi i. a) Ta cĩ sin2x+ arcsin2 xarctgx − 2∼ 2 xx +−= 22 x 2 x khi x → 0 sin2x+ arcsin2 xarctgx − 2 2 x 2 Do ĩ lim= lim = x→0 3xx → 0 3 x 3 b) Ta bi n i t s : x 1cos−+x 2sin xxxx − sin324 −+= 3 2sin 2 + 2sin xxxx − sin 324 −+ 3 ∼ 2 x  2 ∼2  + 2xx −3 + 32 x 4 ∼ x khi x → 0 2  Cịn m u s t ơ ng ơ ng v i x3−6 xxx 2 + − 5 3 ∼ x khi x → 0 2x Vy ta c: lim= 2 . x→0 x Ví d 29. Tính các gi i h n sau s d ng các VCB t ơ ng ơ ng B mơn Tĩan- Th ng kê 15 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ln(1+ x − 3x2 + 2x) 3 a)lim x→ 1 ln(1+ 3x − 4x2 + x) 3 e2x − 1 b)lim x→ 0 ln(1− 4x) sin2 3x c)lim x→ 0 ln2 (1+ 2x) 1+ 2x − 1 d)lim x→ 0 tg3x x10−+ 7x 82 x ln(1 + 2x 2 )(1 − cos4x) e)lim 2 x→ 0 sin3x x.(e− 1).arctg(3x)+x 78 − x (x− 1)34 sin (x − 1).(e x1− − 1) f )lim 3 x→ 1 1 ( x 1)2  1 arcsin x-16 x 1 9 (+ −−  ) ()( +− ) c) So sánh các VCL Gi s F( x ) và G( x ) là hai VCL khi x→ a . F( x ) Nu lim = ∞ , ta nĩi F( x ) là VCL b c cao h ơn G( x ) khi x→ a x→ a G() x F( x ) Nu lim= 0 , ta nĩi F( x ) là VCL b c th p h ơn G( x ) khi x→ a x→ a G() x F( x ) Nu lim=A() ≠ 0, ≠∞ , ta nĩi F( x ) và G( x ) là nh ng VCL cùng b c. x→ a G() x F( x ) Nu lim= 1 , ta nĩi F( x ) và G( x ) là hai VCL t ơ ng ơ ng khi x→ a kí h u x→ a G() x Fx( ) ∼ Gx( ) khi x→ a . Cng nh i v i các VCB, ta d dàng ch ng minh ccác nh lý sau. Định lý 10 : N u F( x ) và G( x ) là hai VCL khi x→ a , Fx( ) ∼ FxGx1( ), ( ) ∼ Gx 1 ( ) khi x→ a thì : Fx( ) Fx( ) lim= lim 1 xa→ xa → Gx() Gx1 () Định lý 11: N u F( x ) và G( x ) là hai VCL khi x→ a , G( x ) là VCL b c th p h ơn F( x ) thì khi x→ a , Fx( ) + Gx( ) ∼ Fx( ) (Quy t c ng t b các VCL). Ví d 30. Tính các gi i h n sau 7x3− x 5 + 6 x a) lim x→∞ 12x3+ x 2 − 6 x 7x23− x 5 ++ 648 xx 10 − x 30 b)lim x→∞ 12xx13+− 2 6 xx + 25 − 1000 x 30 B mơn Tĩan- Th ng kê 16 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c)lim( xx4+ 3 2 − x 4 − 1 ) x→∞ d)lim xx2 + 1 − x x→∞ ( ) Gi i. a) Ta cĩ 7x3− x 5 + 6 x∼ 7 x 3 khi x → ∞ 12xx3+ 2 − 6 x∼ 12 x 3 khi x → ∞ . 7xxx3− 5 + 6 77 x 3 Vy lim= lim = . x→∞12x3+ x 2 − 6 x x →∞ 12x3 12 III. Hàm s ố liên t ục 1. Định ngh ĩa Định ngh ĩa 1 . Cho f là m t hàm s liên t c trong kho ng (a, b ), x 0 là m t im thu c ( a, b). Ng i ta nĩi r ng hàm s f liên t c t i x 0 n u: lim fx( ) = fx( 0 ) . (1) x→ x 0 Nu hàm s f khơng liên t c t i x 0, ta nĩi r ng nĩ gián on t i x 0. Nu t: xx=0 +∆ x, ∆= yfx( ) − fx( 0 ) , thì ng th c (1) cĩ th vi t là:   limfx( ) − fx( 0 )  = 0 hay lim∆y = 0 . x→ x 0 ∆x → 0 2 Ví d 31. Ch ng minh hàm s y= x liên t c t i m i x0 ∈ » . 2 22 2 2 Ta cĩ: ∀x ∈ » t xx=+∆0 x thì yxyxx 00 = , ∆=−= 00()() x +∆ xx −= 00 2 xx ∆+∆ x ; lim∆=yx 20 .lim ∆+ x lim ∆ x .lim ∆= x 0 (pcm). ∆→x0 ∆→ x 0 ∆→ xx 00 ∆→ Ví d 32. Ch ng minh hàm s y= sin x liên t c t i m i x0 ∈ » . Ta cĩ: x0 ∈ » , t xxxy=+∆000 thì = sin xy , ∆= sin xx − sin 00 = sin( xx +∆−) sin x 0 = ∆x ∆ x  ∆ x =2sin cosx +  ≤ 2sin . 20 2  2 Do ĩ lim∆y = 0 . ∆x → 0 Tơ ng t nh v y, cĩ th ch ng minh c r ng m i hàm s s ơ c p c ơ b n u liên tc t i nh ng im thu c mi n xác nh c a nĩ. Nh n xét: d dàng trong tính tĩan ng i ta th ng phát bi u nh ngh a 1 d i dng sau: i) f(x 0) ph i xác nh ii) lim f (x) ph i t n t i x→ x 0 iii) limf(x)= f(x0 ) x→ x 0 Ví d 33. Xét s liên t c c a các hàm s sau B mơn Tĩan- Th ng kê 17 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a)f(x)= x2 − 2x + 3 x2 − 9 b)g(x) = x2 − 5x + 6 Gi i. 2 a) Ta cĩ f(x)= x − 2x + 3 là m t hàm s s ơ c p nên xác nh, cĩ gi i h n ∀x ∈ D f . Nên hàm s liên t c t i m i x thu c t p xác nh D f x2 − 9 b) Ta cĩ g(x) = là m t phân th c h u t ( là m t d ng c a hàm s s ơ c p) x2 − 5x + 6 » nên hàm s xác nh, cĩ gi i h n ∀x ∈ Df = \{ 2,3 }. Nên hàm s c ng liên t c t i mi x thu c D f. Riêng t i x=2, 3 ta nghi ng r ng hàm s cĩ ho c khơng liên t c nên ta làm nh sau: * Khi x= 3 thì ta ki m tra 3 iu ki n c a hàm liên t c: x2 − 9 0 i) g(x)= ⇒ g(3) = khơng xác nh nên ta cĩ th b qua 2 iu ki n kia x5x62 − + 0 và k t lu n hàm s khơng liên t c t i x=3. * T ơ ng t khi x=2. Ví d 34. Xét tính liên t c c a hàm s f(x)= x . Định ngh ĩa 2. (Liên t ục trái, ph ải) * Liên t ục trái Mt hàm s f c g i là liên t c trái t i m t im x =c thu c D f n u th a mãn 3 iu ki n sau - f(c) c nh ngh a ( xác nh). - lim f (x) ph i t n t i. x→ c − - limf(x)= f(c) . x→ c − Ta phát bi u t ơ ng t cho tr ng h p liên t c ph i. Định ngh ĩa 2 . Hàm s f c g i là liên t c trong kho ng m ( a, b) n u nĩ liên t c t i mi im c a kho ng ĩ; c g i là liên t c trong kho ng ĩng [a, b] n u nĩ liên t c ti m i im c a kho ng m (a, b), liên t c ph i t i a và liên t c trái t i b. Ví d 35. Tìm t t c các giá tr c a x mà t i ĩ hàm s f(x) khơng liên t c B mơn Tĩan- Th ng kê 18 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  x1+ x1 x b)g(x) = x2 + 1 x+ 3 c)k(x) = x2 + 3x 2. Các phép tốn v ề hàm s ố liên t ục T các nh lý v gi i h n c a t ng, tích, thơ ng và t nh ngh a c a hàm s liên t c ti m t im, cĩ th d dàng suy ra: Định lý 12 . N u f và g là hai hàm s liên t c t i x 0 thì: a) f + g liên t c t i x 0. b) f.g liên t c t i x 0. f c) liên t c t i x 0 n u g( x ) ≠ 0 . g Định lý 13 .N u hàm s u= ϕ ( x ) liên t c t i x 0, hàm s y= f( u ) liên t c t i   u0= ϕ ( x 0 ) thì hàm s h p y=( fgx )( ) = fϕ ( x )  liên t c t i x 0. Ví d 36. Xét tính liên t c c a các hàm s sau: 1+ cosx   2 ,khi x ≠ π sinx  ()x- π  ,khix≠ 0 c)f (x) =  a)f (x)  x  =   1   ,khi x = π 1 ,khix= 0    2  1 ln(1+ 2x) sin ,khix 0  ,khix 0  ≠  3x > b)f (x) =  x  −1 + e  d)f (x) =  a ,khix= 0  2  ,khix≤ 0  3 2.1 Tính ch ất c ủa hàm s ố liên t ục Các nh lý sau ây nêu lên nh ng tính ch t c ơ b n c a hàm s liên t c. Định lý 14. N u hàm s f( x ) liên t c trên on [a, b] thì nĩ b ch n trong on ĩ, tc là t n t i hai s m và M sao cho mfxM≤( ) ≤ ∀∈ xab[ , ] . Định lý 15 . N u hàm s f( x ) liên t c trên on [a, b] thì nĩ t giá tr nh nh t m và giá tr l n nh t M c a nĩ trên on ĩ, t c là t n t i hai im xx1, 2 ∈[ ab , ] sao cho: fx( 1 ) =≤ mfx( ) ∀∈ xab[ ,] ; fx( 2 ) =≥ Mfx( ) ∀∈ xab[ , ]. B mơn Tĩan- Th ng kê 19 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý 16 . ( nh lý v giá tr trung gian) N u hàm s f( x ) liên t c trên on [a, b], m và M là các giá tr nh nh t và l n nh t c a nĩ trên on ĩ thì m i s µ n m gi a m và M, luơn t n t i im ξ ∈[a, b ] sao cho: f (ξ) = µ . Hệ qu ả. N u f( x ) liên t c trên [a, b], f( a). f( b ) < 0 thì trong kho ng (a, b) t n t i mt im ξ sao cho f (ξ ) = 0. Chú ý: Dùng tính ch t c a hàm s liên t c, ta ch ng minh c các cơng th c sau: ln( 1 +α ) eα −1 aα −1 lim= 1 ; lim= 1 ; lim= ln a . T ĩ ta cĩ th suy ra r ng n u α →0 α α →0 α α →0 α α ( x) → 0 khi x→ a thì khi x→ a : ln( 1 +α( x)) ∼ α ( x ) ; eα (x) −1 ∼ α ( x ) ; aα (x) −1∼ α ( x) ln a . 2.2 Các ví d ụ 2x2 + 3 Ví d 37. Tính lim x→±∞ 4x + 2 Khi x → ±∞ , các t s và m u s u là các VCL. Theo nguyên t c ng t b các VCL 2x2+ 3 2 x 2 x 2 lim= lim = lim . x→±∞42x+ x →±∞ 4 x x →±∞ 4 x 2x2 + 3 2 2x2 + 3 2 Vy lim = , lim = − x→+∞ 4x + 2 4 x→−∞ 4x + 2 4 2x Ví d 38. Tìm lim 5 x+3 . x→±∞ 2x 2 x lim Ta cĩ lim5x+3= 5x→±∞ x + 3 = 52 = 25 x→±∞ 2x − 2 Ví d 39. Tìm lim . x→1 3 26+x − 3 0 Ta ph i kh d ng vơ nh . t 26 +x = z 3 , suy ra x= z 3 − 26 . 0 Khi x →1 thì z3 → 27 hay z → 3 . Ta cĩ 3 3 2 22x−2( z−− 262) 254 z 3 − 2( z − 2723) ( zzz −++)( 39 ) = == = =++2()z2 3 z 9 3 26+x − 3 z−3 zz −− 33 z − 3 khi z ≠ 3. 2x − 2 Vy lim= lim 2()z2 ++= 3 z 9 54 x→13 26+x − 3 z → 3 π  sin x −  6  Ví d 40. Tìm lim . π x→ 3− 2cos x 6 B mơn Tĩan- Th ng kê 20 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - π  sin x −  6  0 π π π t f() x = , cĩ d ng khi x → . t x− = z . Khi x → thì z → 0 . Ta 3− 2cos x 0 6 6 6 cĩ z z 2sin cos sinz sin z f() x = = =2 2 = π  3− 3 cosz + sin z 2 z z z 3− 2cos z +  3.2sin+ 2sin cos 6  2 2 2 z cos = 2 (khi z ≠ 0 ). z z 3 sin+ cos 2 2 z cos Vy limf() x = lim2 = 1 π → x→ z 0 z z 6 3 sin+ cos 2 2 tgx− sin x Ví d 41. Tìm lim . x→0 x3 tgx− sin x 0 t f() x = , ta cĩ d ng khi x → 0 . Ta cĩ x3 0 x 2sinx .sin 2 sinx− sin x cos x sinx() 1− cos x f() x = = = 2 . xx3cos xx 3 cos xx 3 cos x x  2 x 2 khi x→0,sin x∼ x ,sin 2 ∼   = 2 2  4 x x 2 2sin.sinx2 2. x 2 1 Vy limf() x = lim2 = lim 4 == lim . xx→→00xx3cos x → 0 xx 3 cos x → 0 4cos x 2 1 Ví d 42. Tìm lim() 1+ x 3x . x→0 1 1 1 1 3 ∞   3 Ta g p d ng 1 khi x → 0 . Ta cĩ lim() 1+=x3x lim() 1 + xee x  ==3 . x→0 x → 0   ln( 1 + x) Ví d 43. Tìm lim x→0 3x − 1 0 Ta ph i kh d ng vơ nh . Khi x → 0 thì : ln( 1 + x) ∼ x và 3x − 1∼ x ln 3. 0 ln( 1 + x) x 1 Vy lim= lim = . x→03x − 1 x → 0 x ln 3 ln 3 1  x Ví d 44. Tìm lim 1 +  x→∞ x2  B mơn Tĩan- Th ng kê 21 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ây, ta cĩ d ng vơ nh 1∞ khi x → ∞ . Ta cĩ 1 2 1 x  1  x  x lim1+=  lim1  +   ==e0 1. x→∞2 x →∞ 2 x   x   Ví d 45. Tính các gi i h n sau: x2 − 2x + 2 2x+ 1  x+ 1 a) lim   x→∞2x+ 3  x2 x2 − 2x + 1  x+ 1 b) lim    2  x→∞ 3x+ 3  x 5x− 4 x  c)lim   x→ 0 2  x+ x  3. Điểm gián đoạn c ủa hàm s ố • Hàm s f( x ) g i là gián on t i x0 n u nĩ khơng liên t c t i x0 . Vy x0 là im gián on c a hàm s f( x ) n u: - Ho c f( x ) khơng xác nh t i x0 ; - Ho c f( x ) xác nh t i x0 , nh ng lim fx( ) ≠ fx( 0 ) ; x→ x 0 - Ho c khơng t n t i limf( x ) . x→ x 0 • Nu f x khơng xác nh t i x , nh ng limfx= lim fx thì x g i là im ( ) 0 −( ) + ( ) 0 xx→0 xx → 0 gián on b c. Ch c n xác nh trên hàm f t i x= x 0 b ng cách cho f( x 0 ) b ng giá tr chung c a hai gi i h n trên, hàm f tr thành liên t c c t i x0 . • Nu t n t i các gi i h n h u h n limfx , lim fx và limfx≠ lim fx thì −( ) + ( ) −( ) + ( ) xx→0 xx → 0 xx→0 xx → 0 x g i là im gián on lo i 1. Ho c limfx− lim fx g i là b c nh y c a f t i 0 −()() + xx→0 xx → 0 x0 . Nh ng im gián on khơng thu c lo i 1 ơc g i là im gián on lo i 2. sin x sin x Ví d 46. Hàm s f() x = khơng xác nh t i x = 0, nh ng lim= 1 . 2 x→0 2 Vy x = 0 là im gían on b c. N u ta b sung giá tr f (0) = 1 , thì hàm s tr nên liên t c c t i x = 0. x +1 khix ≤ 0 Ví d 47. Hàm s f() x =  x −1 khix > 0 Xác nh t i m i x ∈ » , nh ng limfx( ) = 1 ≠− 1 = lim fx( ) . V y x = 0 là im gián on lo i 1, b c nh y c a hàm f x→0− x → 0 + ti B mơn Tĩan- Th ng kê 22 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - x = 0 b ng 1−( − 1) = 2 1 Ví d 48. Hàm s f() x = khơng xác nh ti x = 0. x 1 1 Vì lim= +∞ , lim = −∞ , im x = 0 là im gián on lo i 2 x→0+x x → 0 − x Ví d 49. Tìm im gián an c a các hàm s sau: 5 2x a)f (x) = + x x+ 4 b)g(x)= x3 − 2x 2  3  x≠ 1 c)h(x) = x− 1   3 x= 1 Ví d 50. Tìm a, b các hàm s sau liên t c  π  ax+1 x ≤  2  x x≤ 1 a) f (x) =  c) f (x) =   π x2 + ax+b |x|>1 sinx+b x >   2 (x− 1) 2 3  |x|≠ 1 (x 1) x 0  2  − ≤  x− 1   b) f(x)=  ax+b 0<x<1 d) f (x)=  a x=-1    x x≥ 1  b x=1    B mơn Tĩan- Th ng kê 23 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - §2.ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. Đạo hàm 1. Định ngh ĩa Cho hàm s f( x ) xác nh trong kh ang (a, b ) và x0 ∈( a, b ) . N u t n t i gi i h n c a t s fx( ) − fx( ) 0 (2.1) x− x 0 Khi x→ x 0 thì gi i h n y c g i là o hàm c a hàm s y= f( x ) t i im x0 , kí ' ' hi u là f( x 0 ) hay y( x 0 ). t x− x0 = ∆ x , ta cĩ x= x0 + ∆ x và t ∆=yfx( 0 +∆ x) − fx( 0 ) , t s (1) vi t c ∆y ' ∆y di d ng . V y y() x 0 = lim ∆x ∆x → 0 ∆x Nh n xét: 1) Vì ∆xxx = −0 → 0 ⇔ x → x 0 nên (2.1) cĩ th vi t d i d ng f(x)− f(x0 ) ∆y dy f '(x0 )= lim = lim = (2.2) xx→ xx → 0 xx−0 0 ∆ xdx 2) N u t i x 0 hàm s f cĩ o hàm f’(x 0) thì s gia c a nĩ cĩ th bi u di n thành ∆f(x)0 = f'(x) 0 ∆+α∆ x x (2.3) Trong ĩ α ph thu c vào ∆x và α → 0 khi ∆x → 0 . Th t v y, khi ∆x → 0 thì ∆y → f '(x ) . Do ĩ cĩ th t ∆x 0 ∆y α = − f '(x ) ∆x 0 Rõ ràng α → 0 khi ∆x → 0 và ∆y = ∆ f(x)0 cĩ d ng (2.3) Mt khác ta cĩ α. ∆ x là VCB b c cao h ơn ∆x ( khi ∆x → 0 ) nên (2.3) cịn cĩ d ng ∆f(x)0 = f'(x) 0 ∆+ϑ∆ x x (2.4) 3) T (2.3) suy ra ∆f(x)0 → 0 khi ∆x → 0 , t c là hàm s liên t c t i x0. Nu hàm s f( x ) cĩ o hàm(h u h n) t i x0 thì f( x ) liên t c t i x0 iu ng c l i cĩ th khơng úng. Ví d 51. a) Hàm s f(x) =ax +b cĩ o hàm t i m i x0∈ D f x− 0 1 ,khix> 0 b) Hàm s f(x)= |x| khơng cĩ o hàm t i x 0=0 vì lim =  . x→ 0 x− 0 −1 ,khix < 0 c) Hàm s f(x) = sinx cĩ o hàm trên » và (sinx)’=cosx B mơn Tĩan- Th ng kê 24 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ex+ 1 − x − 2  ,khix≠ − 1 Ví d 52. Cho hàm s y= f(x) =  x+ 1   m ,khix= − 1 a) Xác nh m hàm s liên t c t i x =-1 b) Tìm f’(-1) ng v i m v a tìm c trong câu a   2x+ 1 − cosx  ,khix≠ 0 Ví d 53. Cho hàm s y= f(x) =  x   m ,khix= 0 a) Xác nh m hàm s liên t c t i x=0 b) Tìm f’(0) ng v i m v a tìm c trong câu a 2. Các quy t ắc tính đạ o hàm 2.1 Đạo hàm c ủa t ổng, tích, th ươ ng c ủa hai hàm s ố Nu các hàm s u= ux( ), v = vx( ) cĩ o hàm t i x thì: a) ux( ) + vx( ) c ng cĩ o hàm t i x và ()uv+' = u' + v ' . b) u( x). v( x ) c ng cĩ o hàm t i x và ()uv.' = uv' . + vu ' . . u( x ) u  ' uv'.− vu ' . c) c ng cĩ o hàm t i x, tr khi v( x ) ≠ 0 và   = . v() x v  v 2 2.2 Đạo hàm c ủa hàm s ố h ợp Nu hàm s u= g( x ) cĩ o hàm theo x, hàm y= f( x ) cĩ o hàm theo u thì hàm s ' ' ' hp y= f gx( )  cĩ o hàm theo x và yx( ) = yuux( ). ( ) . Ví d 54. Cho y= sin( cos x ) . Tính y’? t u=cos xy , = sin x . V y yxyuux'( ) = '( ). ' ( ) = cos u .( − sin x) =− cos( cos x) .sin x . 2.3 Đạo hàm c ủa hàm s ố ng ược Định lý 17. N u hàm s y= f( x ) cĩ o hàm t i x, f' ( x ) ≠ 0 , và n u hàm s y= f( x ) cĩ hàm s ng c x= ϕ ( y ) thì hàm s x= ϕ ( y ) cĩ o hàm t i y= f( x ) và 1 ta cĩ ϕ ' ()y = . f' () x Áp d ng nh lý này ta cĩ th tìm o hàm c a m t s hàm l ng giác ng c sau; ' 1 a) ()arcsinx= , x ≠ ± 1. 1− x2 ' 1 b) ()arccosx=− , x ≠± 1. 1− x2 ' 1 c) ()arctgx = . 1+ x2 ' 1 d) ()arccotgx = − . 1+ x2 B mơn Tĩan- Th ng kê 25 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 55. Tính o hàm các hàm s sau a)f(x)= arcsin(3x −+ 3) cos(x2 −+ x 1) 3 b)g(x)= acrtg(3x2 −++ 3x 2) e 5x1− + ln(3x 2 + 3x) 2.4 Bảng đạ o hàm c ủa các hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản Hàm s ố Đạo hàm Hàm s ố Đạo hàm C 0 cosx -sinx xα αxα− 1 tgx 1 cos2 x ax (0< a ≠ 1) ax ln a cotgx 1 − sin2 x ex ex arcsinx 1 1− x 2 log x 1 arccosx 1 a − x ln a 1− x 2 ln x 1 arctgx 1 x 1+ x 2 sin x cos x arccotgx 1 − 1+ x 2 Ví d 56. Tính o hàm các hàm s sau 2 a)y= x x d)y= x x x x b)y= 2 x b)y= x x x cosx c)y= x e c)y= sinx 2.5 Ý ngh ĩa hình h ọc c ủa đạ o hàm V m t hình h c, o hàm c a hàm s f( x ) t i im x0 bi u di n h s gĩc c a ng ti p tuy n c a th c a hàm s y= f( x ) t i im M0( x 0, fx( 0 )) . Khi ĩ ph ơ ng trình ti p tuy n v i ng cong c a hàm s f(x) t i M 0 là ' y= f(x)0 + f(x)(x 0 − x) 0 2.6 Ý ngh ĩa c ơ h ọc c ủa đạ o hàm V m t c ơ h c, n u ph ơ ng trình chuy n ng c a m t ch t im trên ng th ng là ' s= f( t ) thì o hàm f( t 0 ) bi u di n v n tc t c th i c a chuy n ng ĩ th i im ' t0 . V i ý ngh a ĩ, ta c ng cĩ th xem o hàm f( x 0 ) là v n t c bi n thiên c a hàm s f( x ) theo x t i im x0 . 2.7 Đạo hàm m ột phía, đạ o hàm vơ cùng 2.7.1 Đạo hàm m ột phía B mơn Tĩan- Th ng kê 26 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Cho hàm s f và x0∈ D f . Các gi i h n h u h n − f(x)− f(x0 ) + f(x)− f(x0 ) f '(x0 )= lim , f '(x0 )= lim x→ x − x→ x + 0 x− x 0 0 x− x 0 Gi là các o hàm m t phía, l n l t là o hàm trái, ph i c a f t i x 0 Nh n xét: i) Cĩ nh ng hàm s khơng cĩ o hàm t i m t im theo nh ngh a. ii) Nu f xác nh trên [a,b] thì vi c ịi h i o hàm hai phía t i a, b là vơ ngh a. Định lí 17 Hàm s f cĩ o hàm t i x o khi và ch khi nĩ cĩ o hàm trái, ph i t i x o và chúng bng nhau + − f'(x0 )= f'(x 0 ) = f'(x) 0 Nh n xét: − + 1) N u fx'(0 )≠ fx '( 0 ) thì f( x ) khơng cĩ o hàm t i x 0. V m t hình h c, ti p tuy n trái và ti p tuy n ph i c a th hàm s y= f( x ) t i im ( x0, f( x 0 )) khơng trùng nhau. 2) Ng i ta nĩi hàm s f( x ) cĩ o hàm trong kho ng ( a, b) n u nĩ cĩ o hàm t i mi im trong kho ng ĩ, hàm s f( x ) cĩ o hàm trên on [ a, b] n u nĩ cĩ o hàm t i m i im trong kho ng (a, b), cĩ o hàm ph i t i a và o hàm trái t i b. Ví d 57. Tìm o hàm ph i, o hàm trái c a các hàm s sau t i im ã ch ra a)f(x)= x,x = 0 b)f(x)= x2 −+ 5x 6,x = 2,x = 3 c)f(x)= 2x − 2,x = 1 d)f(x)= sinx2 ,x ==π 0,x (x+ a)e−bx ,khix < 0 Ví d 58. Cho hàm s y f(x)  = =  2 ax+ bx + 1 ,khix ≥ 0 Tìm a,b hàm s cĩ o hàm t i x 0 =0. 2.7.2 Đạo hàm vơ cùng ∆y Nu t s → ∞ khi ∆x → 0 thì ta b o f cĩ o hàm vơ cùng t i x 0. T ơ ng t ta ∆x cng cĩ khái ni m o hàm m t phía vơ cùng. N u hàm s f liên t c t i, cĩ o hàm vơ cùng ( ho c o hàm m t phía vơ cùng) t i x 0, thì th c a nĩ t i x 0 cĩ ti p tuy n song song v i Oy ( hình 2.1) ( ho c 2 ti p tuy n nh v y (hình 2.2)). B mơn Tĩan- Th ng kê 27 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - f '(0+ ) = +∞ 3 f '(0) = +∞ 3 2 − f '(x)= x f '(x)= x f '(0 ) = −∞ Hình 2.1 Hình 2.2 3 Đạo hàm c ấp cao Nu hàm s y= f( x ) cĩ o hàm thì y'= f ' ( x ) g i là o hàm c p 1 c a x. o hàm, nu cĩ, c a o hàm c p 1 g i là o hàm c p 2, kí hi u là y"= f " ( x ) . " " ' ' Vy y= fx()() =  fx  . Tơ ng t o hàm c a o hàm c p ( n-1) c a f(x) g i là o hàm c p n, kí hi u là ' (n) ()()n n() n −1  f( x ). V y y= fx() =  f() x  . Ví d 59. y= xα (α ∈», x > 0 ) . Ta cĩ: y'= α x α − 1 , y"=α() α − 1 x α − 2 , y'''=α()() α −1 α − 2 x α − 3 , y()n =αα()()() −1 α − 2 α −+ n 1 x α −n. c bi t, n u α =n ∈ »* thì y= x n , y'= nx n− 1 , ynn(n) =−.( 1.) ( n − 2 2.1) = n ! Do ĩ y(m) = 0 n u m > n. Ví d 60. y= sin x . Tính y(n) ? π  Ta cĩ: y' =cos x = sin x +  , 2  π   π  y'' =cos x +=  sin  x + 2  , 2   2  ()n π  y=sin x + n  . 2  Ví d 61.Tính o hàm c p n các hàm s sau B mơn Tĩan- Th ng kê 28 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a)f(x)= e 3x b)f(x)=cosx Cơng th ức Leibniz Gi s các hàm s u(x), v(x) cĩ o hàm liên ti p n c p n. Khi ĩ, ta cĩ n ()n k()n− k k k n! (0) ( 0 ) ()uv= ∑ Cun . v , trong ĩ Cn = , u= uv, = v . k =0 k!() n− k ! Cơng th c trên g i là cơng th c Leibniz, c ch ng minh b ng ph ơ ng pháp quy np. Ngịai ra ta cịn m t vài quy t c tính o hàm c p cao khác nh sau: n (cu) = cu (n) n (uv+) = un + v n Ví d 62. Tính y(n) n u yx=( 2 +2 x − 3 ) e x . t uev=x , =( x2 +− 2 x 3 ) . Ta cĩ u(n) = e x , v'=+2 x 2, v '' = 2, v ''' = 0 . − − ()n 02x (n) 1x(n1) 2 x ( n 2 ) Do ĩ: yCe=n ( ) .23( xx +−+) Cen( ) () 22 x ++ Ce n ( ) .2 n( n −1) =exxx()2 +−+23 nex x() 22 ++ e x .2 2 x 2 x 2 2 =ex +++−+−=2123( nxn) nn( 1)  ex ++++− 21( nxnn) 3  . Ví d 63. Tính o hàm c p n các hàm s sau: a)y= x3 + x + e 3x n n− 1 b)y= ax0 + ax 1 ++ a n 1+ x c)y = 1− x II. Vi phân 1. Định ngh ĩa ∆y Cho hàm s y= f( x ) cĩ o hàm t i x, theo nh ngh a c a o hàm: f' () x = lim , ∆x → 0 ∆x trong ĩ ∆=y fx( +∆ x) − fx( ) . ∆y Vy khi ∆→x0, = f' () x + α v i α → 0 khi ∆x → 0 . ∆x Do ĩ: ∆=yfx( +∆− x) fx( ) = fxx' ( ). ∆+∆α x . S h ng α∆x là m t VCB b c cao h ơn ∆x . Do ĩ, ∆y và f' ( x) ∆ x là hai VCB t ơ ng ơ ng. Bi u th c f' ( x)∆ x g i là vi phân c a hàm s y= f( x ) t i x, kí hi u là dy hay df(x). V y dy= f' ( x) ∆ x . Nu hàm s cĩ vi phân t i x, ta nĩi f(x) kh vi t i x. Nh v y, i v i hàm s m t bi n s, khái ni m hàm s cĩ o hàm t i x và hàm s kh vi t i x t ơ ng ơ ng nhau. B mơn Tĩan- Th ng kê 29 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nu y= x thì dy= dx =1. ∆ x . V y i v i bi n s c l p x, ta cĩ dx= ∆ x . Do ĩ, ta cĩ th vi t: dy= f' ( x) dx . Định lí 18. Hàm s f kh vi t i x 0 khi và ch khi nĩ cĩ o hàm t i im ĩ 1 1 1 Ví d 64: N u y=1 + ln x , thì y' = . . Do ĩ dy= dx . 2 1+ ln x x 2x 1+ ln x Ví d 65. Tìm m,n các hàm s sau: α+βx ,khix ≤ 1 a)f (x) =  2 x ,khix> 1 m+ nx2 khix < 1  b)f (x) =  1  khix≥ 1  x i) Liên t c trên » ii) Kh vi trên » 2. Vi phân c ủa t ổng, tích, th ươ ng T cơng th c o hàm c a t ng, tích, th ơ ng c a hai hàm s suy ra: du( + v) = du + dv d() uv. = udv + vdu u  vdu− udv d  = () v ≠ 0. v  v 2 3. Vi phân c ấp cao Vi phân c p hai c a hàm s f t i m t im nào ĩ là vi phân t i im y c a vi phân ( cp m t) df và kí hi u d 2f. V y df2 = d(df) Tơ ng t , vi phân c p n c a f là vi phân c a vi phân c p n-1 c a nĩ dfn= d(d n− 1 f) Chú ý: Khi tính vi phân c p cao thì dx là m t s b t kì khơng ph thu c vào x, nên o hàm ( ho c vi phân) c a nĩ s b ng 0. V y df2 == d(df) d(f'dx) == df'.dx (f''dx)dx = f''dx 2 df32= d(df) = d(f''dx 2 ) = f'''dx 3 D th y là dn f= f n dx n Mt s quy t c i v i vi phân c p cao dn (cu)= cd n (u) d(un+ v) = du n + dv n n n knkk0− 0 d(uv)=∑ Cdn u.dv(du = u,dv = v) k= 0 B mơn Tĩan- Th ng kê 30 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4. Ứng d ụng vi phân vào tính g ần đúng ' Vì khi ∆x → 0 , fx( 0+ ∆ x) − fx( 0 ) là VCB t ơ ng ơ ng v i f( x0 ) ∆ x , nên khi ∆x ' khá nh , ta cĩ cơng th c g n úng fx( 0+∆≈ x) fx( 0) + fx( 0 ). ∆ x . Ví d 66. Tính ∆y và dy n u yfx=( ) =+−+ x3 x 2 2 x 1 , n u x bi n thiên t 2 n 2,01. Ta cĩ f (2) = 9; f ()2,01= 9,140701; ∆=y f()()2,01 − f 2 = 0,140701; fx'() =3 x 2 + 2 x − 2; f ' ()2= 14; dy= f' ()2 . ∆= x 14.0,01 = 0,14. Ví d 67. Tính g n úng 4 15,8 . 1 4 Ta c n tính g n úng y= fx() = x t i 16 – 0,2. t x0 =16, ∆ x =− 0,2 . Ta cĩ: −3 ' 4 ' 14 1 fx( 0+∆≈ x) fx( 0) + fx( 0 ). ∆ x . Vì fx()0 ==16 2, fx() = x = 4 4 4 x3 ' 1 1 4 4 0,2 , f() x 0 = = , ta c 15,8≈ 16 − =− 2 0,0062 ≈ 1,9938. 44 16 3 32 32 Ví d 68. Tính g n úng 3 28 5. Các định lý giá tr ị trung bình 5.1 Định lý Rolle . N u f liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) và fa( ) = fb( ) thì ∃c ∈( ab,) : f' ( c ) = 0 . Ý ngh a hình h c c a nh lý Rolle: Nu f kh vi trên (a, b), liên t c trên [a, b] và fa( ) = fb( ) thì C( c, f( c )) trên cung AB vi Aafa( ,( )) , Bbfb( , ( )) sao cho vect ơ ch ph ơ ng c a ti p tuy n t i C cùng ph ơ ng vi vect ơ Ox ( ho c cùng ph ơ ng v i vect ơ AB). 5.2 Định lý Lagrange ( Đị nh lý giá tr ị trung bình) fb( ) − fa( ) Nu f liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) (a≠ b ) thì ∃c ∈()() ab, : f' c = b− a hay fb( ) − fa( ) = fcba' ( )( − ) . 5.3 Định lý Cauchy . Nu f, g liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) và gx' ( ) ≠0, ∀ x ∈ ( ab , ) thì: fb( ) − fa( ) fc' ( ) ∃c ∈() a, b : = . gb()()− ga gc' () 6. Cơng th ức Taylor – Maclaurin. B mơn Tĩan- Th ng kê 31 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Định lý 19. N u f cĩ o hàm c p n là f (n) liên t c trên [a, b] và f cĩ o hàm c p n + n (k) ( n +1) fa( ) k fc( ) n +1 1 trên (a, b) thì ∃c ∈ ( a, b ) sao cho: fb() =∑ () ba −+() ba − k=0 k!() n + 1 ! ' '' (n) ( n +1) fa( ) fa( ) 2 fa( ) n fc( ) n +1 =+fa() () ba −+() ba −++ () ba −+() ba − . 1! 2!n !() n + 1! Cơng th c trên c g i là cơng th c khai tri n Taylor c a f t i a . (n+1) f( c ) n+1 R() b− a g i là sai s ( d s ) b c n c a cơng th c khai tri n Taylor c a f n= ()n +1 ! ti a. Nh n xét: Khi n = 0 thì cơng th c trên tr thành cơng th c Lagrange. Khi a = 0 thì cơng th c Taylor g i là cơng th c Maclaurin. ff'(0) '' ( 0) f(n) ( 0 ) fc( n +1) ( ) fbf()()=+0 bb +2 ++ bn + b n +1 . 1! 2!n !() n + 1! Phát bi u khác: Cho hàm s f cĩ o hàm c p n + 1 trên kho ng m I ch a a. Khi ĩ ∀x ∈ I, ∃ c ∈ ( ax , ) ho c c∈( x, a ) sao cho ' '' (n) ( n +1) fa( ) fa( ) 2 fa( ) n fc( ) n +1 fxfa()()=+() xa −+() xa −++ () xa −+() xa − . 1! 2!n !() n + 1! Ví d 69. Vi t cơng th c khai tri n Taylor c a f(x) t i x = 0 v i a) f( x) = e x b) f( x) = sin x c) f( x) =ln( 1 + x ) . Gi i. a) f( x) = e x , fxe' ( ) =x, , f(n) ( xe) = x ⇒ f(n) (0) = 1, ∀ n ff'()0 '' () 0 f()n() 0 fc() n +1 () ⇒ fxf()()=+0 xx +2 ++ xn + x n +1 1! 2!n !() n + 1! vi c∈(0, x ) ho c c∈( x ,0 ) . xx2 3 xexnθ x n + 1 ⇒ ex =++1 x + ++ + v i 0<θ < 1 . 2!3!n !() n + 1! ()n π  b) f( x) = sin x . Ta cĩ: fx() =sin  xn +  2  π   0 (n= 2 k ) ⇒ ()n f()0= sin n  =  k 2  ()()−1 n = 2 k + 1 B mơn Tĩan- Th ng kê 32 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vy cơng th c khai tri n Taylor c a sinx t i 0 là: k k +1 x3 x 5 x 7 ()−1x2k+ 1 () − 1 cos θ x sinx=−+−++ x + x 2k+ 3 v i 0 30000 2n+1 ()n + 1 ! (*) (*) úng v i m i n ≥ 5 . V y ch n n = 5 ta cĩ: 11 1 1 1 e≈++1 + + + = A th a iu ki n eA− = eA −< 0,0001 . 2 2!22 3!2 3 4!2 4 5!2 5 Ví d 71. Tính g n úng sin1 v i sai s nh h ơn 10 −6 . Ta cĩ: v i 0<θ < 1 B mơn Tĩan- Th ng kê 33 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - k−1 k x3 ()−1x2k − 1 ()() − 1 cos θ x sinx=−++ x + x 2k + 1 3!() 21!k−() 21! k + Cho x = 1 ta c k−1 k 1 ()−1()() − 1 cos θ sin1=−++ 1 + 3!() 2k− 1!() 2 k + 1! k ()()−1 cos θ 1 Sai s < <10,−6 ∀≥k 5 ()2k+ 1!() 2 k + 1! 14 1 Ch n k = 5 ta cĩ sin1≈− 1 ++− () 1 = B th a iu ki n sin1−B < 10 −6 . 3! 9! 7. Qui t ắc L’Hospital 0 7.1 Dạng 0 Cho f, g liên t c trên kho ng m I ch a a và fa( ) = ga( ) = 0 . Gi s f, g kh vi t i f' ( x ) ∀∈xIagx\,{ } ' ( ) ≠∀∈ 0 xIa \ { } và lim = L ( L h u h n ho c vơ h n) thì x→ a g' () x fx( )  fx' ( )  lim=L = lim . '  xa→gx()  xa → gx()  ex− e− x − 2sin x Ví d 72. Tính lim x→0 x− sin x Ta cĩ eexx−−−2sin xee xx +− − 2cos xee xx −+ − 2sin xee xx ++ − 2cos x lim= lim = lim = lim = 4 . x→0xx−sin x → 0 1 − cos x x → 0 sin x x → 0 cos x Ví d 73. x3 − 2x + 1 a)lim x→ 1 2 3x− 4x + 1 x− sinx b)lim x→ 0 x3 ∞ 7.2 Dạng ∞ Cho I là m t kho ng m ch a a. Gi s f, g xác nh và cĩ o hàm h u h n trên f'( x ) Iagx\{ } ,' ( ) ≠ 0 ∀ xIa ∈ \ { } . N u limfx( ) = lim gx( ) = +∞ và lim = L ( L h u xa→ xa → x→ a g'() x hn ho c vơ h n) thì fx( ) fx'( ) lim= lim = L xa→gx() xa → gx'() Ví d 74. B mơn Tĩan- Th ng kê 34 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 ln x 1) limx ln x= lim = limx =−= lim() x 0 x→0 x→0+1 x → 0 + 1 x → 0 + − x x 1 lnx 1 2) lim ()α >= 0 limx = lim = 0 (vì α > 0 ) x→+∞xα x →+∞α x α−1 x →+∞ α x α 1  sin2x− x 2 cos 2 x 3) lim  = lim x→0x22− cot x  x → 0 xx 22 sin (sinxx+ cos x) ( sin xx − cos x ) = lim . x→0 x x 3 sinx− x cos x = 2lim x→0 x3 cosx− cos xxx + sin sin x 2 =2lim = 2lim = x→0 3x2 x → 0 3 x 3 Ví d 75. Tìm gi i h n các hàm s sau: ln x a) lim x→+∞ x2 e2x b) lim x→+∞ 3x 3 B mơn Tĩan- Th ng kê 35 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - §3. ỨNG D ỤNG I. Ứng d ụng c ủa C ấp s ố c ộng và c ấp s ố nhân 1. Tỉ su ất Đặt v ấn đề : Trong tốn tài chính hay trong ngân hàng, kinh t ng i ta thng nĩi v i nhau là cái này cĩ giá tr t ng 10% so v i giá c ho c lãi su t ngân hàng là 5% trong th i h n 1 n m hay n n kinh t t ng tr ng là 12% trong n m nay v.v Vy thì ph n tr m cĩ ý ngh a là gì và t i sao ng i ta hay dùng nĩ?. T su t ch ơn gin là s bi u th m t s r theo d ng r/100 g i là r% c a m t s . Ví d 76. 25 1 a) 25% = = 100 4 30 3 b) 30% = = 100 10 50 5 1 c) 50% = = = 100 10 2 Ví d 77. Tính các giá tr sau a) 15% c a 10 b) 99% c a 25 c) 150% c a 250. 2. Lãi t ức-Ti ền l ời ( Interest): Lãi t c= T ng v n tích l y – V n g c ban u ( Principal). Ví d 78. Vn u t ban u b ra ban u là 12 000 USD. Sau 1 n m v n u t là 14 000 USD. H i lãi t c là bao nhiêu?. 3. Lãi su ất Khi lãi t c bi u th theo t l % i v i s v n ban u cho m t ơn v th i gian thì c g i là lãi su t Lãi tu'c Lãi su t = *100% Vơ'n gơ'c Ví d 79. Nu lãi su t là 12% trong th i h n 1 n m thì 1 tri u ng hơm nay s là bao nhiêu sau 1 n m. Tng v n tích l y = V n g c ban u + Lãi t c= 1+1*12%=1.12 tri u Ví d 80. a) V n u t t ng t $2500 lên $3375. Bi u th s gia t ng v v n u t theo %. B mơn Tĩan- Th ng kê 36 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) Vào th i im u n m 2007 dân s c a p Long Hịa là 8400. N u dân s gia t ng lên 12% vào th i im cu i n m 2007. Xác nh s dân p Long Hịa hi n cĩ. c) Trong m t c a hàng, giá c a hàng hĩa ang c bán là $580. N u giá c gi m xu ng là 20%. Tìm giá c a hàng hĩa sau khi gi m giá.? 4. Y ếu t ố t ăng tr ưởng( scale factor). 4.1 Khi r% t ăng: Ví d 81. Giá c a m t m t hàng là $80 thì khi t ng giá lên 9% h i giá c a m t hàng này là bao nhiêu ?. Cách 1: 9 9%= = 0.09 100 0.09*80= 7.2 7.2+ 80 = 87.2 Cách 2: 100% 80 USD Giá t ng 9% 9%*80=7.2 USD 100 9 Vy theo % thì ta cĩ 100%+9%= + =1 + 0.9 =1.09 100 100 Suy ra giá c a m t hàng này là 80*1.09=87.2 USD Hay ta cĩ th tính nh sau: 100% 80 USD 109% x USD 80*1.09 Vy x= = 87.2USD 1 Ta cĩ cơng th c c a y u t t ng tr ng là 100 r r + =+1 =+ 1r% 100 100 100 Ví d 82. Giá c a m t m t hàng khi t ng giá lên 9% là 87.2 USD tìm giá ban u khi ch a t ng giá. Ta cĩ cơng th c t ng tr ng là 1+r%=1+9%=1.09. V y tìm giá lúc sau ta cĩ th áp dng mơ hình sau 109% 87.2 USD 100% x USD B mơn Tĩan- Th ng kê 37 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 87.2*1 87.2 87.2 Vy x = = 80 USD hay ơ n gi n h ơn ta ch vi c l y = = 80 USD 1.09 1+ r% 1.09 Ví d 83. a) Vào th i im u n m 2007 giá c a m t m t hàng là $29 nh ng do y u t l m phát giá c a nĩ t ng lên 5% trong su t n m 2007 . Tìm giá c a m t hàng vào th i im cu i nm. b) Giá c a m t chi c TV LCD là 850SD bao g m 9.%VAT. Tìm giá g c c a TV LCD ?. c) Bi u th s gia t ng c a v n u t theo % khi t ng t $850 lên $950. 4.2 Khi r% gi ảm: Ví d 84. Gi s r ng v n u t là $80 cho mua c phi u. Do giá c phi u b s t gi m dn n v n u t b gi m xu ng 20%. H i v n u t cịn l i là bao nhiêu?. Gi i. 100% 80 USD Gi m 20% Suy ra % cịn l i là 100%-20%=80% và 80% x USD 80*80% 100 20 Vy x = = 64 USD hay x = 80* (− ) =− (1 r%) =− (1 0.2) = 0.8 100% 100 100 Cơng th c c a y u t t ng tr ng 100 r r − =−1 =− 1r% 100 100 100 Ví d 85. a) Vào th i im u n m 2007 giá c a m t chi c xe h ơi là $ 43 000. N u giá c a chi c xe h ơi b s t gi m i 27% trong su t n m 2007 thì h i giá c a nĩ s cịn l i là bao nhiêu vào th i im cu i n m?. b) Sau khi c a hàng gi m giá 15% thì giá c a hàng hĩa là $39.95 . V y tr c khi c a hàng gi m giá thì giá c a hàng hĩa là bao nhiêu? c) S l ng khách hàng i n gà rán b gi m t 190 295 xu ng 174 989. Xác nh % khách hàng b m t. 5 S ự k ết h ợp các y ếu t ố t ăng tr ưởng: Ví d 86. Giá c a m t m t hàng cĩ m c t ng tr ng là 32% trong sáu tháng u n m 2007 và trong sáu tháng cui n m 2007 cĩ m c t ng tr ng là 10%. Tìm m c t ng B mơn Tĩan- Th ng kê 38 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - tr ng theo % trong c n m 2007. N u giá c a m t hàng là 50 USD thì giá t ng tr ng thêm vào là bao nhiêu. Gi i. Cách 1: Yu t t ng tr ng trong sáu tháng u n m là 1 +r% =1+32%=1.32 Yu t t ng tr ng trong sáu tháng cu i n m là 1+r%=1+10%=1.1 Vy m c t ng tr ng theo c n m là 1.32*1.1=1.452 =1+45.2% Suy ra m c t ng tr ng là 45.2% và t ơ ng ơ ng v i m c giá là 45.2%*50=22.6 USD. Cách 2: Tính theo giá c a m t hàng Yu t t ng tr ng trong sáu tháng u n m là 1 +r% =1+32%=1.32 Lúc này giá c a m t hàng là 1.32 * 50=66 Trong sáu tháng cu i n m giá m t hàng t ng lên nh ng giá lúc này c t ng lên khơng ph i là giá ban u mà là giá ã t ng trong sáu tháng tr c ngh a là 66 c tng ti p thêm 10%. Yu t t ng tr ng trong sáu tháng cu i n m là 1+10%=1.1 và ta cĩ c 66*1.1=72.6 USD. Hay m c t ng tr ng v giá so v i giá ban u là 72.6-50=22.6 USD. Ví d 87 Tìm s thay i v giá c a m t m t hàng theo % n u giá t ng lên 5% trong vịng 6 tháng u n m nhng trong 6 tháng cu i n m l i b gi m giá xu ng 30%. 6 Lãi tích l ũy 6.1 Lãi đơ n ( Simple interest): Khi lãi t c ch tính theo s v n g c mà khơng tính thêm lãi t c l y tích, phát sinh t lãi các th i on tr c, ng i ta g i là lãi t c ơn. Ví d 88. Bn g i ngân hàng $200 v i lãi su t hàng n m là 5%. H i trong m t n m,2 nm, 3 n m b n nh n c bao nhiêu tính theo lãi t c ơn?. M t bao lâu nh n c s ti n là $300?. Gi i. 5 Sau m t n m b n nh n c là 200+ 200* = 210 100 5 Sau hai n m b n nh n c là 200+ 2*200* = 220 100 5 Sau ba n m b n nh n c là 200+ 3*200* = 230 100 5 Sau n n m b n nhân c là 200+ n*200* =⇔+= 300 200 10n 300⇒ n= 10 100 B mơn Tĩan- Th ng kê 39 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6.2 Lãi t ức ghép (Compound Interest) Trong tính tốn lãi t c ghép, lãi t c m i th i on c tính theo s v n g c và c tng s ti n lãi l y tích c trong các th i on tr c ĩ. Nh v y, lãi t c ghép ph n ánh c hi u qu giá tr theo th i gian c a ng ti n cho c ph n ti n lãi tr c ĩ.Cách tính lãi t c ghép th ng c dùng cho th c t . Tr ường h ợp 1: Theo n ăm Ví d 89. Bn g i ngân hàng $200 v i lãi t c ghép là 5%. H i trong 1 n m, 2 n m, 3 nm b n nh n c bao nhiêu theo lãi t c ghép?. M t bao lâu nh n c s ti n là $300?. Gi i. 5 Sau m t n m b n nh n c là 200+ 200* = 210 c ng t ơ ng t nh tr ng h p 100 lãi t c ơn. Nh ng trong n m th hai t t c s ti n ki m c là 210 ( t ng v n l y tích) vì v y 5 cng v i m c lãi su t là 5% nh ng lúc này là 210* =10.50 USD. Sau hai n m b n 100 nh n c là 220.50USD. Chúng ta cĩ th th c hi n phép tính này theo cơng th c sau. 5  5  200*1+  1 +  = 220.5 100  100  Sau m i n m chúng ta cĩ m c t ng tr ng là (1+r%)= (1+5%)=1.05 Vy sau n n m chúng ta cĩ cơng th c t ng quát là 200*(1.05) n =300 200(1.05)n= 300⇒ (1.05) n = 1.5 log1.5 nlog1.05= log1.5⇒ n = log1.05 Áp d ng l y log v i c ơ s 10 ta cĩ n=8.31 Vì n là s ch n nên ta làm trịn c là n=9 n m. Vi n=8 thì 200×= 1.058 295.49 và n=9 thì 200 ×= 1.059 310.27 Tổng quát: Tr c khi i n m t vài ví d k ti p chúng ta tìm hi u th xem cơng th c tính lãi t c kép cĩ th áp d ng cho b t k tr ng h p nào liên quan n lãi t c kép. B mơn Tĩan- Th ng kê 40 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Gi ải thu ật: V i s v n ban u là P (principal) c u t trong n n m, m c lãi su t hàng n m là r% theo lãi t c kép. Giá tr cu i cùng c a s v n c g i là T ng v n ly tích (Amount) hay giá tr t ơ ng lai S (Future Value). 1. Sau m t n m ta cĩ c r r  P=+ PP* = P1 +  1 100 100  2. Sau hai n m ta c r  rr   rr   r  2 r PP1=+++  P1  * =+ P1   1 +=+  P1  =+ P(1 ) 2 100  100  100  100  100  100  1 100 3. Sau n n m ta c S là r  n S= P 1 +  100  Ví d 90. Nu s ti n 1000$ c u t v i lãi su t ghép là 8% n m ghép lãi theo nm thì sau 5 n m thì t ng v n tích l y (g m c v n l n lãi) s là bao nhiêu? Tr ường h ợp 2: Theo quý Vấn đề : Khi lãi t c ghép c k t h p v i nhau th ng xuyên h ơn. Ngh a là lúc này ta xét lãi t c ghép theo t ng quý trong n m và ng i ta chia 1 n m ra làm 4 quý v i mc lãi su t ghép là 5% trong m t n m thì lãi su t ghép t ng quý s ch là 5%:4=1.25% Lúc này quay l i ví d trên ta cĩ Sau quý u tiên v i s v n là 200$ ta cĩ c r r   1.25  P=+ PP* =+ P1  = 2001  +  1 100 100   100  Sau quý th hai 1.25  1.25  1.25  1.25  1.25  1.25  2 P2 =+++×=+2001  2001  2001   1 +=+  2001  100  100  100  100  100  100  Sau n quý ta c 1.25  n 200 1 +  100  Lúc này n u chúng ta mu n cĩ 300 USD thì ta c n B mơn Tĩan- Th ng kê 41 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1.25 n  1.25  n 2001+  =⇔+ 300  1  = 1.5 100   100  1.25  n log 1+  = log (1.5) 10100  10 log (1.5) n=10 = 32.64 log10 (1.0125) Vy chúng ta c n 33 quý hay chính xác là 8 n m thêm 1 quý. So sánh v i giá tr trên Ví d 89?. Kết lu ận: Ta c ng cĩ cơng th c tính lãi su t ghép theo t ng quý c ng là r  n S= P 1 +  100  Nh ng ây n là quý và r% là lãi su t theo quý. Tr ường h ợp 3: Theo 1/m c ủa n ăm ( m đây cĩ th ể là ngày) * Lãi tích l ũy - Lãi su ất liên t ục ( continuos compound) Cơng th c tính lãi t c ghép theo n m là r  n S= P 1 +  100  Bây gi n u lãi su t hàng n m là a% và lãi t c ghép theo 1/m c a 1 n m thì lãi su t a c tính là % cho m i 1/m . V y S lúc này c tính là m a  n S= P 1 +  100m  Gi s chúng ta ch n l a n c ng ch trong vịng m t n m thì ta cĩ n=m. Lúc này gi s lãi su t h ng n m là a=5%, P=100 thì giá tr S trong theo m s là ( m=1 thì ây là 1 n m, m=2 là n a n m, m=4 là quý, m=12 là tháng, m =52 là tu n, m =365 là ngày). B mơn Tĩan- Th ng kê 42 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chúng ta cĩ nh n xét r ng khi m càng l n thì S càng d n n m t giá tr c nh trong tr ng h p này ĩ là 105.13 Vi m t m c lãi su t r trong th i gian t =1 n m thì ta cĩ c lãi tích l y là S= Pe r /100 Và khi iu tra lãi tích l y trong vịng t n m ta cĩ cơng th c t ng quát là S= Pe rt /100 ây t là n m Ví d 91. i P =10$ và r =12% trong su t m t n m. Tìm S n u lãi t c ây là lãi t c ghép a) trong 1 n m c) hàng tháng b) na n m 1 l n d) hàng tu n e) hàng quý Gi ải. Ta cĩ cơng th c t ng quát cho lãi t c ghép là r  n S= P 1 +  100  a) r=12 và n=1 V y S= 10*(1.12) 1=11.20$ b) r=12/2 %=6% và n =2 . V y S =10* (1.06) 2=11.24 c) r=12/12 %=1% và n =12. V y S =10*(1.01) 12 =11.27$ d) r=12/52 %=0.23% và n =52. V y S =10 *(1.0023) 52 =11.27 e) r=12/4 % = 3% và n =4. V y S =10*(1.03)=11.26 Ví d 92. Nu chúng ta u t $2000 v i m c lãi tích l y là 6%. H i sau bao nhiêu ngày thì v n u t s t ng lên $2100. Lãi tích l y c tính theo cơng th c S= Pe rt /100 ⇔2100 = 2000e 6*t /100 ⇔=ln2100 ln(2000e6*t /100 ) =+ ln(2000) ln(e 6*t /100 ) 2100 ⇔6t/100 = ln2100 − ln2000 = ln 2000 100 2100 Vây t =× (ln ) = 0.8132 6 2000 S ngày c tính là =0.8132 * 365 =297 ngày. Nh ận xét: Tru c quá nhi u cách tính lãi su t gây ra m t v n khĩ kh n cho các doanh nghi p khi u t ho c các h gia ình g i ti t ki m. Các doanh nghi p và h B mơn Tĩan- Th ng kê 43 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - gia ình c n cĩ m t chu n m c mà cho phép h cĩ th so sánh gi a vi c ti t ki m hay cho ngân hàng vay. Mt trong nh ng hình th c này là s d ng lãi su t hàng n m gi là APR. Ví d 93. Bn mu n m n 150 ngàn ơ, tr trong vịng 30 n m: (1) Ngân hàng A ra giá 6.5%, v i l phí $5,000 và khơng cĩ "Discount Point". (2) Ngân hàng B ra giá 6.25%, v i l phí là $5,500 và 1 discount point (t c 1% hay là $1,500). T ng c ng "point" và "fee" là $7,000. Qu là khĩ l a ch n n u b n khơng bi t qua cách tính tốn. Cĩ ng i ch n ngân hàng B vì h ch quan tâm vào lãi su t th p; ho c cĩ ng i ch n ngân hàng A vì mu n ĩng l phí th p. Vy âu là cách tính trung th c, nĩi lên t t c nh ng chi phí mà ng i vay ti n ph i tr ? Bn ph i nh h i ho c nhìn vào cái kho n APR phân bi t kh nào là kh chua, kh nào là kh ng t. Ngân hàng A cho b n bi t APR c a h là 6.83%, và ngân hàng B cĩ APR là 6.71%. V y thì ngân hàng B là kh ng t, và mĩn n b n m n mua nhà s cĩ li v lâu v dài. Nh ng ĩ là chuy n v lâu v dài. Nu tính v ng n h n thì ngân hàng A cĩ th s là kh ng t. B i vì ch ơ ng trình m n n c a ngân hàng B, b n ph i ĩng thêm $2,000 l phí. N u b n khơng cĩ s n 2 ngàn ơ ti n m t thì sao? ho c gi nh xe h , nhà d t, gia ình bên Vi t Nam c n g i ti n v g p thì l i là chuy n khác. Ngân hàng A cĩ th là ch n l a thích h p, m c d u APR cĩ cao h ơn ngân hàng B. Ho c n u b n cĩ ý nh ch m n n mua nhà trong vài n m, thì v i ngân hàng A, bn ch ph i tr $948.10 m t tháng (v n l n l i), nhi u h ơn ch ơ ng trình c a ngân hàng B m i tháng $24.52. R i b n l y l phí $2,000 ph i tr thêm cho ch ơ ng trình ca ngân hàng B, chia cho $24.52, ra s thành là 82. ây là s tháng mà b n tính ph i "g g c" t s ti n 2000 ơ ph i ĩng thêm (82 tháng v chi là 6 n m r i). iu này cĩ ngh a là n u b n cĩ ý nh trong c n nhà d i 6 n m r i, thì ngân hàng A cho gi i pháp r h ơn. Và n u b n cĩ ý nh mua nhà dài h ơi, thì thay vì cân nh c lãi su t, bn nên tính t t c các chi phí ph i tr cho mĩn n . Ví d 94. Xác nh lãi su t hàng n m c a m t tài kho n mà cĩ lãi su t danh ngh a ( lãi su t khơng th c) là 8% ghép lãi theo tháng. Gii. B mơn Tĩan- Th ng kê 44 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - APR là lãi su t hàng n m mà cĩ th tính d a trên y u t t ng tr ng. N u m t tài kho n c ngh tr lãi su t là 8% ghép lãi theo tháng thì m i tháng lãi su t ph i tr 8 2 là = = 0.67% . Y u t t ng tr ng theo tháng là 1+ 0.67%=1.0067. N u th i gian là 12 3 8.34 mt n m thì ta cĩ c y u t t ng tr ng s là (1.0067) 12 =1.0834 = 1+ vì ây là 100 ghép lãi theo tháng. Ví d 95 N u lãi su t danh ngh a là 1.75% ghép lãi theo tháng c a m t kh an vay thì APR t ơ ng ng là bao nhiêu?. 7. V ốn chìm Ví d 96. Gi s r ng b n ti t ki m 100$ m i tháng trong vịng 2 n m và g i s ti n ĩ trong 1 tài kho n v i ti n l i là 12% ghép lãi hàng tháng. Tài kho n nh th c g i là V n chìm. Gi s r ng b n ph i tr 100$ hàng tháng cĩ th nh n c y ti n l i trong tháng. M t l n n a chúng ta nh l i cơng th c tính cho 1 kho n u t là r  n S= P 1 +  100  ây r% là lãi su t theo tháng, và n là s tháng =24 tháng. V y lãi su t theo tháng là 12% : 12=1%. u tiên b n g i tit ki m 100$ vào trong tài kho n c a b n cho 24 tháng. Bn s cĩ c s ti n là S=100*(1+1%) 24 Ti p theo b n g i 100$ trong tháng th 2 b n s ti t ki m c là S=100*(1+1%) 23 Vy S= 100(1.01)24 + 100(1.01) 23 ++ 100(1.01) 2 + 100(1.01) 1 Lúc này ta cĩ c t ng ây là m t c p s nhân. S= 100(1.01)1 + 100(1.01) 2 ++ 100(1.01) 23 + 100(1.01) 24 Xác nh a=100(1.01) , r =1.01, n=24. Ta cĩ cơng th c t ng quát là 24 100(1.01)( 1.01− 1 ) 101(1.26973− 1) S = = = 2724.32 (1.01− 1) 0.01 Ví d 97. Gi s r ng th i im k t thúc c a 2 n m c a tài kho n trong ví d trên bn quy t nh ti p t c g i ti t ki m s tin ĩ c ng v i lãi su t nh trên ghép lãi theo tháng. M t bao lâu b n cĩ th cĩ c qu chìm(v n chìm) là 3000$? B mơn Tĩan- Th ng kê 45 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8. Ti ền cho vay- Ti ền th ế ch ấp (Loans / Mortgages): Ví d 98. B n ph i tr s ti n là bao nhiêu trong m i tháng n u b n vay 50000$ trong vịng 20 n m v i m c lãi su t 6% ghép lãi theo n m. Gi i. Kho ng th i gian tr ti n l i gi a các tháng là liên t c. M i tháng tr m t l n và tháng sau c tính d a trên s ti n l i ph i tr c a tháng tr c. ây là m t cách tính tiêu bi u trong tài chính c các ngân hàng cho vay th c hi n. Lúc này là m t ng i i vay chúng ta ph i bi t m i tháng chúng ta ph i tr bao nhiêu ti n l i ch khơng th quan tâm n v n là tháng này thì tr 500$ tháng sau l i tr 550$ s ti n c t ng dn mà khơng bi t chính xác n bao gi k t thúc. Lúc này v i cách tính trung bình s ti n hàng tháng ph i tr chúng ta cĩ th yên tâm v i s ti n chúng ta ph i tr hàng tháng Lãi su t hàng n m là 6% vì v y t ng s ti n ph i tr v i m c lãi su t trong n m u tiên là 6% 50000*6%=3000. Gi x là s ti n trung bình ph i tr hàng tháng. Trong n m u tiên m i tháng ph i tr s ti n là x thì 12 tháng s ti n ph i tr là 12x . S ti n vay n lúc này ph i tr th i im cu i n m là 50000+−= 3000 12x 50000(1.06) − 12x ( vì 50000+3000=53000 là s ti n vay n g m lãi su t th i im k t thúc n m u tiên, m i tháng tr c m t l ng là x thì 12 tháng tr c 12x nên s ti n vay n lúc này ch cịn là 50000+3000 -12x) Trong n m th 2 m i tháng c ng ph i tr s ti n x thì sau 12 tháng s ti n ph i tr là 12x nh ng v i t ng s ti n vay n lúc này ch cịn 50000(1.06)− 12x . S ti n vay n ph i tr là (50000(1.06)−+ 12x) ( 50000(1.06) − 12x) *6% −= 12x =()50000(1.06) − 12x *(1.06) −= 12x 50000*(1.06)2 −− 12x( 1.06) 12x Nh ận xét: M i n m chúng ta * 1.06 và -12x vì v y n m th 3 ta cĩ cơng th c Và c ti p t c nh v y. V y s ti n vay n ph i tr n m th 20 là. Vì ây là n m cu i cùng nên ch c ch n là sau khi tr ti n chúng ta s h t n nên bi u th c này s bng khơng B mơn Tĩan- Th ng kê 46 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - (Bi u th c này cho k t qu =0 vì sau 20 n m ã tr h t c s ti n n ). Lúc này theo cách tính giá tr t ơ ng lai ta d dàng tính c s ti n ph i tr trong vịng 20 n m v i lãi su t 6% ghép lãi hàng n m là S=P(1+r) 20 =50000(1+6%) 20 =160356.77 (1) (2) Vy s ti n ph i tr hàng tháng là x c tính t (1) và (2) 9. Xác định đầ u t ư 9.1 Giá tr ị hi ện t ại (P): r  n S= P 1 +  100  S= Pe rt /100 P: vn g c S: giá tr t ơ ng lai r: lãi su t t: th i gian - i v i tr ng h p liên t c: t chính là n là s n m - i v i tr ng h p u thì t gl là s kho ng trong n n m. Tr ng h p x y ra là cho S, r, t xác nh P. Khi ĩ quá trình này g i là quá trình kh u tr (discounting) và giá tr g c P gl giá tr hi n t i. Lãi su t trong tr ng h p này gl là lãi su t kh u tr - lãi su t chi t kh u- t l chi t kh u ( discount rate) . Cơng th c tính tốn trên lúc này c vi t l i thành − S r  n P= = S 1 +  r  n 100  1+  100  S P= = Se −rt /100 ert /100 B mơn Tĩan- Th ng kê 47 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví d 99. Tìm giá tr hi n t i (P) c a 2000$ trong th i gian 5 n m n u lãi su t chi t kh u là 10% theo các tr ng h p ghép lãi sau a) hàng n m b) tng quý c) liên t c d) na n m 1 l n. Gii. a) Trong tr ng h p này S=2000, r =10% và n=5. V y −n r  − − P=+=+= S1  2000(1 10%)5 2000*(1.1) 5 = 1241.84 100  b) Trong tr ng h p này S=2000, r =10% : 4=2.5% và n = 4*5 = 20. V y −n r  − − P=+=+ S1  2000(1 2.5%)20 = 2000*(1.025) 20 = 1220.54 100  c) Trong tr ng h p này S=2000, r= 10% và t =5 P= Se−rt /100 = 2000e − 10*5/100 = 1213.06 d) Trong tr ng h p này S=2000, r=10%/2=5%,n=5*2=10 −n r  − − P=+=+= S1  2000(1 5%)10 2000*(1.05) 10 = 1227.83 100  9.2 Giá tr ị hi ện t ại rịng ( Net Present Value –NPV). Giá tr hi n t i rịng là hi u s c a giá tr hi n t i dịng doanh thu (cash inflow) tr i giá tr hi n t i dịng chi phí (cash outflow) tính theo lãi su t chi t kh u l a ch n. Khái ni m giá tr hi n t i rịng ơc s d ng trong ho ch nh ngân sách u t (capital budgeting), phân tích kh n ng sinh l i c a m t d án u t , hay c trong tính tốn giá c phi u ) Ý ngh a: Giá tr hi n t i rịng th ng c s d ng ánh giá ho c th m nh v n u t c a d án (Vi c tính tốn NPV r t h u ích khi chu n b ngân sách cho m t d án, b ng phép tính này nhà u t cĩ th ánh giá li u t ng giá tr hi n t i dịng doanh thu d ki n trong tơ ng lai cĩ bù p n i chi phí ban u hay khơng. V i m t d án c th , n u NPV dơ ng thì nhà u t nên ti n hành d án và ng c l i khi NPV âm ) NPV=Giá tr ị hi ện t ại c ủa ti ền vào – Giá tr ị hi ện t ại c ủa ti ền ra B mơn Tĩan- Th ng kê 48 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giá tr ị hi ện t ại c ủa ti ền vào: Là các kho n ti n c nh n b i nhà u t P ( dịng ti n d ơ ng). Giá tr ị hi ện t ại c ủa ti ền ra: Là các kho n ti n ban u c chi ra b i nhà u t (dịng ti n âm). Thơng th ng trong các d án u t , ti n c u t trong giai on u ( dịng ti n âm tr c) thì sau ĩ l i nhu n m i c sinh ra( dịng ti n d ơ ng sau). − r n  r  n SP1= + ⇒ PS1=  +  100   100  P: c g i là Giá tr ị hi ện t ại c ủa ti ền vào. Nh n xét: Vi c tính tốn NPV ph thu c r t nhi u vào tham s t l chi t kh u r, m i nhà u t l i cĩ cách ánh giá r riêng c a mình. Ngồi ra dịng doanh thu, dịng chi phí khơng ng u, giá tr thanh lý tài sn c nh gi a các n m c ng s làm cho vi c tính tốn tr nên ph c t p h ơn nhi u. Ví d 100. Mt nhà u t l a ch n u t vào m t trong ba d án sau: D án A cĩ chi phí u t là 2000$ và thu c 3000$ trong vịng 4 n m D án B cĩ chi phí u t là 2000$ và thu c 4000$ trong vịng 6 n m D án C cĩ chi phí u t là 3000$ và thu c 4800$ trong vịng 5 n m Da vào NPV cho bi t nhà u t nên ch n d án nào v i lãi su t là 10% ghép lãi theo nm. Gi i. NPV c a d án A = 3000(1.1)−4 − 2000 = 49.04 NPV c a d án B = 4000(1.1)−6 − 2000 = 257.90 NPV c a d án C = 4800(1.1)−5 − 3000 = − 19.58 Vy d án B cĩ NPV l n nh t nên ây là s l a ch n u t t t nh t. Riêng d án C cĩ NPV< 0 nên ta cĩ th khơng quan tâm và so sánh v i các d án cịn l i Ví d 101. M t nhà u t nh n c m t l i ngh là n u u t 4000$ bây gi s thu c 10000$, 30000$, 2000$ l n l t cu i n m 1, 2, 3. H i nhà u t cĩ nên ch n l a bi t lãi su t là 10%. Ví d 102. M t kh an u t yêu c u s ti n ban u là 7500$ và s c tr l n l t là 2000$ th i im k t thúc c a n m trong vịng 5 n m. H i nhà u t cĩ nên tham gia v i m c lãi su t là 12%. B mơn Tĩan- Th ng kê 49 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 9.3 T ỷ l ệ l ợi nhu ận n ội t ại (Internal Rate of Return -IRR) – T ỉ su ất hồn v ốn n ội bộ IRR là ch tiêu o l ng t su t sinh li mà b n thân d án t o ra. Ý ngh ĩa c ủa IRR i) V kh n ng sinh l i IRR bi u th t l sinh l i l n nh t mà b n thân d án t c , ph thuơc vào c im phát sinh dịng l i ích và dịng chi phí trong tịan b th i gian th c hiên d án. ii) V kh n ng thanh tốn: IRR bi u th m c lãi vay cao nh t mà d án kh n ng thanh tốn. Ứng d ụng -IRR là ch tiêu hi u qu tài chính quan tr ng nh t c a d án - IRR là ch tiêu b t bu c trong th m nh d án − rn rP n rP  1/n SP1= + ⇒ 1+ = ⇒ 1+ =  ⇒ r?= 100 100 S 100  S r: c g i là IRR. Nh n xét: IRR là t l kh u tr c s d ng trong tính tốn ngu n v n quy giá tr thu n c a dịng ti n hi n t i c a m t d án c th v 0. Hi u m t cách chung nh t, t l hồn v n n i b càng cao thì kh n ng th c thi d án là càng cao. IRR cịn c s dng o l ng, s p x p các d án cĩ tri n v ng theo th t , t ĩ khi n cho cơng ty cĩ th d dàng h ơn trong vi c cân nh c nên th c hi n d án nào. N u gi nh r ng t t c các y u t khác c a các d án là nh nhau thì d án nào cĩ t su t hồn v n n i b cao nh t thì d án ĩ cĩ th c u tiên th c hi n u tiên. IRR ơi khi cịn c g i là t su t hồn v n kinh t ERR (economic rate of return). Ý ngh a: K ho ch c xem là cĩ lãi n u IRR l n h ơn lãi su t hi n th i c a th tr ng (market rate). Ví d 103. Gi s b n u t 1000$ cho m t d án kinh doanh mà ch c ch n s c hồn tr l i $2000 trong th i gian 5 n m. D a vào 2 cách tính a) NPV b) IRR hãy a ra quy t nh chính xác cĩ nên u t v i lãi su t th tr ng là 10% ghép lãi theo n m. Gi i. B mơn Tĩan- Th ng kê 50 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM