Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 4: Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng - Trần Minh Tú

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 4: Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng - Trần Minh Tú

1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYÊTTHUYÊT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 4 Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
3. NỘI DUNG 4.1.4.1. Hệ Hệ toạ toạ độ độ v vààccááccccááchch mô mô tả tả chuyển chuyển động động 4.2.4.2. Vận Vận tốc tốc v vààgiagia tốc tốc chuyển chuyển động động 4.3.4.3. Quan Quan hệ hệ chuyển chuyển vị vị - - biến biến dạng dạng b béé 4.4.4.4. Biến Biến dạng dạng ch chínhính––PhươngPhương của của biến biến dạng dạng ch chínhính 4.5.4.5. Cường Cường độ độ biến biến dạng dạng 4.6.4.6. Ten-xơ Ten-xơ quay quay 4.7.4.7. Vận Vận tốc tốc––GiaGia tốc tốc biến biến dạng dạng––TenxơTenxơ vận vận tốc tốc xo xoááyy 4.8.4.8. Điều Điều kiện kiện tương tương th thíchích của của c cáácc biến biến dạng dạng 4.9.4.9. Quan Quan hệ hệ chuyển chuyển vị vị - - biến biến dạng dạng lớn lớn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
4. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động 4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ độ - Hệtoạđộđồnghành và t hệ toạ độ qui chiếu M t=0 1 • Hệ trục toạ độ vuông góc u M x2 Descrates x, y, z có thể biểu r X R diễn dạng x , x , x hoặc x với 2 1 2 3 i x1 i=1, 2, 3 b X3 x3 X1 • X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi là hệ trục X - tọa độ điểm vật chất ban đầu, X t toạ độ đồng hành (t=0) i i ∉ M - điểm vật chất (t=0) • x x x (x ) – 1 2 3 i M - điểm vật chất (t≠0) hệ toạ độ qui chiếu (t≠0) 1 - Vec tơ chuyển vị của điểm M: uMMrbR= 1 =+− July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
5. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động 4.1.2 Chuyển vị Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng tháinày sang trạng tháikhácgọilà chuyển vị • Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang ƒƒChuyChuyểnển vị vị cứng cứng trạng thái mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi Chuyển vị • Khoảng cách giữa ƒƒChuyChuyểnển vị vị gây gây biến biến dạng dạng Khoảng c ch giữa các phần tử vật chất thay đổi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
6. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động -Chọn 2 hệ trục toạ độ đồng hành và qui chiếu cùng gốc, phương và chiều - Vec tơ chuyển vị của điểm M: u urR=− R r -Hình chiếu cácthành phần chuyển vị lên 3 trục: u=x-Xiii •• LLagrangeagrange Mô tả chuyển động •• EulEulerer July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
7. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động •• MMôtảôtảLLagrangeagrange Mô tả các phần tử vật chất tại các thời u điểm t khác nhau R ⎧ xxXXXt11123= (, , ,) r ⎪ ⎨ xxXXXt22123= (, , ,)(4.1) ⎪ ⎩ xxXXXt33123= (, , ,) xi -vịtrí điểm vật chất tại xii==xX(,123 X , Xt ,)(,) xXtii thời điểm t đang xét - Xi -vịtrí điểm vật chất tại uuXt= ( i , ) thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
8. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động • Cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động). • Cố định thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong môi trường tại thời điểm t • Nếu cả Xi và t cùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyển động của môi trường . July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
9. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động •• MMôtảôtảEulEulerer Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không u gian M1 ở thời điểm t R r ⎧XXxxxt11123= (,,,) ⎪ ⎨XXxxxt22123= (, , ,) (4.2) ⎪ ⎩XXxxxt33123= (, , ,) xi -vịtrí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - toạ XXxxxtXxtii==(,,,)123 ii (,) độ (biến số) Euler í uuxt= (), x = x (t) - Xi -vịtr điểm vật chất tại i i i thời điểm t=0 - July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
10. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động • NếucốđịnhM1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vật chất lần lượt chuyển tới M1 theo thời gian t. • mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng chảy, tại cácđiểmkhácnhaucủathành ống) • mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
11. 4.1. Hệ toạ độ và cáccách mô tả chuyển động 4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange M Mô tả Lagrange Biến Lagrange Xi Chuyển động JJ ≠≠ 00 Mô tả Euler ô tả Euler Biến Euler xi ∂∂xx ∂ x 11 1 Đại lượng nghiên cứu A ∂∂XX12 ∂ X 3 dx ∂∂xx ∂ x J ==i 22 2 ≠0 AAXXXtii= (,,,)123 dXj ∂∂ X12 X ∂ X 3 ∂∂xx33 ∂ x 3 ∂∂XX12 ∂ X 3 AAxxxtii= (,123 , ,) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
12. 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.1. Đạo hàm vật chất: Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật chất gọi là đạo hàm vật chất của đại lượng đó Lagrange dA ∂A dA A= A( i X, ) t→ = ĐĐạiại lư lượngợng A A dt ∂t dt Euler A= A( i , x) t dA ∂A 3 ∂A = + ∑ vi dt ∂t i=1 ∂xi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
13. 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.2. Vận tốc Vận tốc chuyển động tức thời của các phần tử vật chất là đạo hàm của các chuyển vị theo thời gian. du vu==i = ve dt ii Lagrange Euler uAxttii= ( (),) uuXtXtiii=∉(),; i du1 ∂∂∂uXt111()iii,,, uXt( ) uXt( ) du111∂∂ u u ∂ u 1 ∂ u 1 v1 == + + vv11==+ +v2 +v3 dt∂∂∂ t t t dt∂∂ t x123 ∂ x ∂ x ∂uXt, ∂∂uxt,, uxt i dui i ( j ) i ij( ) ij( ) vuii== = vuii== +vk dt∂ t ∂∂txk July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
14. 4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động 4.2.3. Gia tốc Là đạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc dv av==i = ae dt ii Lagrange Euler uAxttii= ( (),) uuXtxtiii=∉(),; i dv1 ∂∂vXt11(),, vXt 12( ) ∂vXt13( , ) dv111∂∂ v v ∂ v 1 ∂ v 1 a1 == + + aaaa11==+ +2 + 3 dt∂∂∂ t t t dt∂∂ t x12 ∂ x ∂ x 3 dvij() X,, t∂ v ij( X t ) dvij( x,, t) ∂∂ v ij( x t) vij( x , t ) ai == avik==+ dt ∂t dt∂∂ t xk July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
15. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3.1. Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho x 2 Xét hai điểm vật chất M, N lân cận nhau n1 M(x1,x2,x3) và N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3) u* Ngoại lực => Biến dạng: M=>M1 và N=> N1 m 2 1 * u 1 Cácthành phần của vec tơ chuyển vị u2 n m u 1 * e2 u3 uudu* =+ u MMuuu,, 11 1 3 1123() O * e1 uudu22=+ 2 x NNuuu1123,, e3 1 ()* uudu33=+ 3 uux11= ( i ) x uux22= ( i ) khai triển Taylor 3 uux33= ( i ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
16. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé x 2 * ∂∂∂uuu11 1 u11=+ u dx 1 + dx 2 + dx 3 n1 ∂∂xx12 ∂ x 3 * * ∂∂∂uuu22 2 u2 u=+ u dx + dx + dx m 1 22 1 2 3 * ∂∂xx12 ∂ x 3 1 u2 n u ∂∂∂uuu m u 1 * u* =+ u33 dx + dx + 3 dx e2 u3 33 1 2 3 u3 ∂∂xx12 ∂ x 3 O e1 x Nếu hai điểm khảo sát nằm trong e3 1 một mặt phẳng song song với một mặt toạ độ, đồng thời song song với một trong hai trục của mặt x 3 * ∂u1 uu11=+ dx 1 phẳng toạ độ thì cácphươngtrình ∂x1 ∂u trên có dạng đơn giản hơn uu* =+2 dx dx= dx = 0 22∂x 1 MN//Ox1x2x3, và MN//Ox1 => 23 1 * ∂u3 uu33=+ dx 1 ∂x1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
17. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 4.3.2. Liênhệvi phângiữacácthành phần chuyển vị và biến dạng bé Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi) Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2 M => M1: chuyển vị MM1: M u (x ,x ), u (x ,x ) 1 1 2 2 1 2 ∂ u2 x dx 2 u1+ 1 Điểm lân cận N => N : chuyển vị NN : ∂ u ∂ x1 1 1 2 dx u2+ 2 ∂ x2 P ∂u1 ∂u2 1 ud11+ xud21+ x β ∂x1 ∂x1 P N1 2 ∂ u Điểm lân cận P => P : chuyển vị PP : N 2 1 1 2 α 2 u + dx dx M1 2 1 u ∂ x1 M N ∂u1 ∂u u1 ∂ u ud+ x 2 dx 1 dx 12ud22+ x 1 u1+ 1 ∂x ∂ x1 2 ∂x2 x1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
18. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé - Biến dạng dài tỉ đối theo cácphương ∂ u2 ε ,ε x dx x1, x2 là 11 22 2 u1+ 1 ∂ u ∂ x1 2 dx MNdx= u2+ x 2 M11NMN− 1 ∂ 2 P1 ε11 = β MN MN12 M11NMN= 12 cosα P N1 2 ∂ u N 2 (Biến dạng bé) 2 α 2 u + dx dx M1 2 1 u ∂ x ∂u ∂u M 1 1 ε = 2 N ε11 = ; 22 u1 ∂ u ∂x ∂x dx 1 dx 1 2 1 u1+ 1 ∂ x1 - Biến dạng góc trong mặt phẳng x x là γ 1 2 12 x1 β tgββsin ∂uu∂ γ12 =+αβ ∂u1 21 ε = γγ12== 212 ε 12 = + 11 ∂xx∂ Biến dạng bé: α tgααsin ; ∂x1 12 ∂u ∂u ∂u ∂∂uu 2 3 2 21 (4.15) ε 22 = γγ23== 322 ε 23 = + γ =+ ∂x ∂xx∂ 12 ⎛⎞u 2 23 ∂∂x12x 1 ∂ui ∂ j ∂u3 ∂u3 ∂u1 ε ij =+⎜⎟ ε = γγ==2 ε = + 2 ⎜⎟∂∂xx 33 13 31 13 ⎝⎠ji ∂x3 ∂xx13∂ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 18(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
19. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé x 4.3.3 Ten xơ biến dạng bé 2 à x +dx 1. Biến dạng d i theo phương bất kỳ 2 2 K1 ds1 Khảo sát một vi phân chiều dài ds = MK x M theo phương ν bất kỳ 2 1 K - Toạ độ ban đầu: M ds M ( xxx123,,) = Mx( i ) x 1 x1+dx1 K ()xdxxdxxdxKxdx112233+++=+,, ( ii) x1 Khi biến dạng MK => M1K1=ds1 x3 à chuyển vị của M l ui x3+dx3 M1()xuii+ x3 ds22− ds Kx()+++ dxu du Biến dạng dài theo phương ν 2εε+=2 1 1 iiii νν νν ds2 222 εεεενν =+++111lll 222 3332( εεε 1212 llllll + 1313 + 2323) li=dxi/ds July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 19(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
20. 4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé 2. Ten xơ biến dạng bé–Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng tháibiếndạngtạimột điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dàitheo ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng •••TTenxơenxơlệ lệchch bi biếnến d dạngạng ⎡⎤11 ε11γγ 12 13 ⎡εε− ε ε ⎤ ⎡⎤⎢⎥22 11 tb 12 13 εεε11 12 13 ⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥D =−εεεε ⎢⎥⎢⎥11 ε ⎢ 21 22 tb 23 ⎥ Tε ==ε 21εε 22 23 γ21 ε 22 γ 23 ⎢ ε εεε− ⎥ ⎢⎥⎢⎥22(4.19) ⎣ 31 32 33 tb ⎦ ⎢⎥εεε ⎢⎥ ⎣⎦31 32 33 ⎢⎥11 γγε31 32 33 ⎣⎦⎢⎥22 •••TTenxơenxơc cầuầu bi biếnến d dạng:ạng: 1 ⎡⎤ε tb 00 ε tb =++()εεε11 22 33 TDT=+ ⎢⎥ 3 ε εε0 T = 00ε ε 0 ⎢⎥tb ⎢⎥ ⎣⎦00ε tb July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 20(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
21. 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính 4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính • Tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên ba phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính • Cácbiếndạngtươngứngtheocácphươngnàygọilà biến dạng chính, ký hiệu là ε11,,εε 22 33 •Các biến dạng chính được xác định từ phương trình: 3 2 ε -J1ε + J2ε -J3 = 0 (4.23) J1112233=++ε εε ε11εε 12 13 J = ε εε εε ε εεε 3212223 J =++11 12 22 23 11 13 2 ε εε εε21 22 ε 32εεε 33 31 33 31 32 33 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 21(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
22. 4.5. Cường độ biến dạng 4.5. Cường độ biến dạng Cườngđộbiếndạnglà một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của ten-xơ lệch biến dạng 2 2 22 222 (4.25) ε i =()εε11 − 22 +−()() εε 22 33 +− εε 33 11 +6() εεε12 ++ 23 31 3 4.6. Ten-xơ quay Ngoài biến dạng dàivà biến dạng góc, phân tố còn bị quay. Sự quay nàyđược đặc trưng bởi góc quay của đường chéo phân tố. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 22(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
23. 4.6. Ten-xơ quay • Xétgóc quay của đường chéoMQcủa hình x 2 chiếuphântốhình lập phương trên mặt P1 Ox x quay quanh trục x , ta ký hiệu là ω12 1 2 3 P Q αα/2/2 – –MNMN quay quay g góóccαα α/2 ω N 1 12 β/2 – MP quay góc β β/2 – MP quay góc β α αβ1 ⎛⎞∂∂uu x ω =−=21 − MN1 12 ⎜⎟ x 222⎝⎠∂∂xx12 2 •Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay ngược chiều kim đồng hồ ta có: P P1 Q Q 1 1 ⎛⎞∂∂uu21 ω12 =−⎜⎟ 2 ∂∂xx β ⎝⎠12 1 ⎛⎞∂u ∂u 3 2 (4.26) β/2 1 ⎛⎞∂u ∂u ω23 =−⎜⎟ 2 3 2 ∂∂xx ω13 =−⎜⎟⎝⎠23 2 ⎝⎠∂∂xx31 MNx 1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 23(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
24. 4.6. Ten-xơ quay 11⎛⎞∂u j ∂∂uu 1 ⎛⎞∂u ∂u j ii i εij = γωij =+=+⎜⎟ij ωijj=−=−⎜⎟ω i ⎜⎟ ⎜⎟ 22∂∂xxij ∂ x j 2 ⎝⎠∂∂xxji ⎝⎠ Ten xơ biến dạng có thể biểu diễn ⎡⎤∂∂∂uuu11 1 ⎢⎥ ⎡⎤εεε ∂∂xx12 ∂ x 3 11 12 13 ⎢⎥⎡ 0 ω −ω ⎤ ⎢⎥⎢⎥∂∂∂uuu 12 31 ⎢⎥2212⎢ ⎥ Tε ==εεε21 22 23 ⎢⎥ +−ω12 0 ω23 ⎢⎥∂∂xx ∂ x⎢ ⎥ ⎢⎥12 3⎢ ⎥ ⎢⎥εεε ⎣ ωω31− 23 0 ⎦ ⎣⎦31 32 33 ⎢⎥∂∂∂uuu ⎢⎥33 3 ⎣⎦∂∂xx12 ∂ x 3 ⎡⎤0 ωω12− 31 ⎢⎥Ten xơ quay T =−ωω0 ω ⎢⎥12 23 ⎢⎥ ⎣⎦ωω31− 23 0 (4.30) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 24(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
25. 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy 4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy • Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến dạng theo thời gian • tenxơ vận tốc biến dạng bé ⎡ 11⎤ • tenxơ vận tốc biến dạng bé ⎡⎤iii iii εεε ⎢ εγγ⎥ ⎢⎥11 12 13 1122 12 13 ⎢⎥⎢ ⎥ iii⎢11 i i i⎥ T i ==⎢⎥εεε γ ε γ ε ⎢⎥21 22 23⎢ 22 21 22 23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥εεεiii 11iii ⎢⎥31 32 33 ⎢ γγε⎥ ⎣⎦⎣⎢ 2231 32 33 ⎦⎥ •• tenxơtenxơv vậnận tố tốcc xo xoááyy ⎡⎤0 ωωii− (đạo hàm bậc nhất của các ⎢⎥12 31 thành phần tenxơ quay theo ⎢⎥ii Tω =−ωω0 thời gian) ⎢⎥12 23 ⎢⎥ωωii− 0 ⎣⎦31 23 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 25(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
26. 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy •• BBààiitotoáánnthu thuận:ận: bi biếtết 3 3 th thàànhnh phphầnần chuy chuyểnển v vịị => => 6 6 th thàànhnh ∂u1 ∂uu21∂ ε = γγ12== 212 ε 12 = + phần biến dạng: OK !!! 11 ∂xx∂ phần biến dạng: OK !!! ∂x1 12 ∂u ∂u ∂u ε = 2 γγ==2 ε =3 +2 22 23 32 23 •• BBààiitotoáánnngư ngược:ợc: Bi Biếtết 6 6 th thàànhnh ∂x2 ∂xx23∂ ∂u ∂u ∂u phphầnần bi biếnến d dạngạng => => 3 3 th thàànhnh ε = 3 γγ==2 ε =3 +1 33 13 31 13 phần chuyển vị ??? ∂x3 ∂xx13∂ phần chuyển vị ??? f* 33 ẩn, ẩn, 6 6 phương phương tr trìnhình => => giữa giữa S ccáácthcthàànhnh phần phần biến biến dạng dạng phải phải có ràng buộc V có ràng buộc CCáácc phân phân tố tố h hìnhình hộp hộp đứng đứng f cạnhcạnh nhau nhau trước trước biến biến dạng, dạng, giữagiữa ch chúúngng không không c cóó khekhe hở. hở. ĐiĐiềukiệntươngthều kiện tương thíchích NếuNếu sự sự biến biến dạng dạng của của c cáácc phân tố nàylà tùyý thì giữa July 2009 phânTran tố Minh nà Tuyl–àUniversitytùyý th ofì Civilgiữa Engineering – Ha noi 26(39) chchúúngng c cóókhekhe hởEmail: hở tpnt2002@yahoo.com
27. 4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng Phương trình tương thích biến dạng ∂∂22ε εεγ ∂ 2 ∂ 2 Nhóm1: Quan hệ giữa 11+= 22 2 12 =12 ∂x22∂∂∂∂∂xxxxx cácthành phần biến 21 1212 dạng trong một mặt ∂ 2ε ∂∂∂222ε εγ 11 +=33 2 13 =13 phẳng 22 ∂x31∂∂∂∂∂xxxxx 1313 2 222 ∂ ε 22 ∂∂∂ε 33 εγ23 23 22+=2 = ∂x32∂∂∂∂∂xxxxx 2323 Nhóm2: Quan hệ giữa cácthành phần biến 2 dạng trong cácmặt ∂∂ε11 ∂ ⎛⎞∂∂εε23 31 ε12 =−++⎜⎟ phẳng khác nhau ∂∂xx23 ∂ x 1⎝⎠ ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂∂2εε∂ ⎛⎞∂∂ε ε 22 =−++⎜⎟31 12 23 ∂∂xx31 ∂ x 2⎝⎠ ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ x 1 ∂∂2ε ∂ ⎛⎞∂ε εε∂ 33 =−++⎜⎟12 23 31 ∂∂xx12 ∂ x 3⎝⎠ ∂ x 3 ∂ x 1 ∂ x 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 27(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
28. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9.4.9. Quan Quan hệ hệ chuyển chuyển vị vị - - biến biến dạng dạng lớn lớn -Khixácđịnhtenxơbiếndạngbé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức ds22− ds 2εε+=2 1 νν νν ds2 2 - Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν không thể bỏ qua, nghiệm củaphươngtrình (*) phụ thuộc vào ds22− ds 1 Tenxơ biến dạng Green ToToạạ độ độ vật vật chất chất 22 ds−= ds1ij2 G dXi dX j LagrangeLagrange ds22−= ds 1 ToToạạ độ độ không không gian gian 22 ds−= ds1ij2 A dxij dx EulerEuler Tenxơ biến dạng Almansi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 28(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
29. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn ToToạạ độ độ vật vật chất chất Lagrange Lagrange ⎡⎤GGG11 12 13 ⎢⎥ Tenxơ biến dạng Green TGGG= G ⎢⎥21 22 23 1 ⎛⎞∂u ∂∂∂uuu ⎢⎥GGG GG==j +ikk + ⎣⎦31 32 33 ij ji ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂XXijij ∂∂ XX ⎡⎤222 ∂∂∂uuu1121 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂u3 G11 =+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + ∂X2 ∂∂∂ XXX 1⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 111 á à ⎡⎤222 C cthnh phần trên ∂∂∂uuu2121 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂u3 G22 =+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + đường chéo của tenxơ ∂X2 ∂∂∂ XXX 2⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 222 biến dạng Green đặc ⎡⎤222 ∂∂uu331 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂uu12 G33 =+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + trưng cho biến dạng dài ∂X2 ∂∂∂ XXX 3⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 333 theo phương cáctrục 11⎡⎤⎡∂uu1 ∂ 2 ∂∂ uuuu 11 ∂∂ 22∂∂uu33⎤ G12 =++⎢⎥⎢ + + ⎥ toạ độ, cácthành phần 22⎣⎦⎣∂X 2 ∂X 1 ∂∂ XXXXXX 12 ∂∂ 12 ∂∂ 12⎦ 11⎡⎤⎡∂∂uu∂∂∂∂∂uuuuu∂u⎤ còn lại dặc trưng cho G =++3311122 + +3 13 ⎢⎥⎢ ⎥ biến dạng góc trong các 22⎣⎦⎣∂X1 ∂X 3 ∂∂ XXXXXX 31 ∂∂ 31 ∂∂ 31⎦ mặt phẳng vuông góc 11⎡⎤⎡∂∂uu21∂∂uu33∂∂uu12∂u2∂u3⎤ G12 =++⎢⎥⎢ + + ⎥ 22⎣⎦⎣∂X 3 ∂X 2 ∂∂ XXXXXX 23 ∂∂ 23 ∂∂ 23⎦ với trục toạ độ. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 29(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
30. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn ToToạạ độ độ không không gian gian Euler Euler ⎡⎤A11AA 12 13 ⎢⎥ Tenxơ biến dạng Almansi TAAA= A ⎢⎥21 22 23 ⎛⎞∂u 1 j ∂∂∂uuuikk ⎢⎥ AA== + + ⎣⎦A31AA 32 33 ij ji ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xijijxxx ∂∂ ⎡⎤222 ∂∂∂uuu1121 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂u3 A11 =−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + ∂∂∂∂xxxx2 Cácthành phần trên đường 1111⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎡⎤222 chéo của tenxơ biến dạng ∂∂∂uuu1121 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂u3 A22 =−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + ∂∂∂∂xxxx2 Almansi đặc trưng cho biến 2222⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 222 dạng dài theo phương các ∂∂uu1 ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂uu 33⎢⎥12 A33 =−⎜⎟⎜⎟⎜⎟ + + trục toạ độ, cácthành phần ∂∂∂∂xxxx33332 ⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦còn lại dặc trưng cho biến 11⎡⎤⎡∂∂uu ∂∂∂∂ uuuu∂∂uu⎤ A =+−12 1122 + +33 12 ⎢⎥⎢ ⎥ dạng góc trong cácmặt 22⎣⎦⎣∂xx2 ∂ 1 ∂∂ xxxxxx 12 ∂∂ 12 ∂∂ 12⎦ ó 11⎡⎤⎡∂∂uu∂∂∂∂∂uuuuu∂u⎤ phẳng vuông g c với trục toạ A =+−3311122 + +3 13 ⎢⎥⎢ ⎥ độ. 22⎣⎦⎣∂x1 ∂ x 3 ∂∂ xx 31 ∂∂ xx 31 ∂∂ xx 31⎦ 11⎡⎤⎡∂∂∂∂∂uuuuu21∂∂uu33122∂u3⎤ A23 =+−⎢⎥⎢ + + ⎥ 22⎣⎦⎣∂x3 ∂ x 2 ∂∂ xx 23 ∂∂ xx 23 ∂∂ xx 23⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 30(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
31. 4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn 4.9.3. Trường hợp biến dạng bé - Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất cácthành phần chuyển vị. - Trong trường hợp biến dạng bé, cácthành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thểbỏqua 1 ⎛⎞∂u ∂u TenxơbiếndạngbTenxơbiếndạngbééGreenGreen L =+j i ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂XXij 1 ⎛⎞∂u ∂u TenxơbiếndạngbTenxơbiếndạngbééEulerEuler E =+i j ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xxji -So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến Lagrange và Euler là như nhau, do vậy lúcnày không cần phân biệt cách mô tả. Như vậy: 1 ⎛⎞∂u ∂u LE===ε i +j ij ij ij ⎜⎟ 2 ⎝⎠∂∂xxj i July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 31(39) Email: tpnt2002@yahoo.com
32. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 32(39) Email: tpnt2002@yahoo.com