Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Nội dung text: Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

1. Tp chí Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 NGHIÊN CỨU Quy trình mô hình hóa trong d y h c Toán tr ưng ph thông Nguy n Danh Nam * Tr ng i h c S ph m - i h c Thái Nguyên, S 20, L ơ ng Ng c Quy n, TP. Thái Nguyên, Vi t Nam Nh n ngày 12 tháng 8 n m 2014 nh s a ngày 28 tháng 8 nm 2015; chp nh n ng y 25 ng 9 nm 2015 Tóm t ắt: Bài báo trình bày quy trình v n d ng ph ư ng pháp mô hình hóa trong d y h c Toán tr ưng ph thông. Thông qua ho t ng mô hình hóa, h c sinh hi u sâu h n v nh ng v n liên quan gi a Toán h c và th c tin. T ó khuy n khích, t o ng c cho h c sinh tích c c v n d ng tri th c Toán h c trong sách giáo khoa gi i quy t các bài toán th c ti n. K t qu nghiên c u ã kh ng nh tính kh thi c a vi c t ch c các ho t ng mô hình hóa trong quá trình d y h c nh m bi d ưng cho h c sinh n ng l c s d ng ngôn ng Toán h c và n ng l c gi i quy t v n . T khóa: Mô hình, mô hình hóa, toán h c hóa, bài toán th c ti n. 1. Đặt v ấn đề ∗∗∗ Mô hình hóa (MHH) trong d y h c Toán là quá trình giúp h c sinh (HS) tìm hi u, khám Mô hình ưc mô t nh ư m t v t dùng thay phá các tình hu ng n y sinh t th c ti n b ng th mà qua ó ta có th th y ưc các c im công c và ngôn ng Toán h c v i s h tr c tr ưng c a v t th th c t . Thông qua mô ca công ngh thông tin. Quá trình này òi h i hình, ta có th thao tác và khám phá các thu c HS c n có các k n ng và thao tác t ư duy Toán tính c a i t ưng mà không c n n v t th t. hc nh ư phân tích, t ng h p, so sánh, khái quát Tuy nhiên iu này còn ph thu c vào ý c a hóa, tr u t ưng hóa. tr ưng ph thông, MHH ng ưi thi t k mô hình và b i c nh áp d ng c a di n t m i quan h gi a các hi n t ưng trong mô hình ó. Mô hình s d ng trong d y Toán là t nhiên và xã h i v i ni dung ki n th c Toán mt mô hình tr u t ưng s d ng ngôn ng toán hc trong sách giáo khoa thông qua ngôn ng hc mô t v m t h th ng nào ó. Nó có th Toán h c nh ư kí hi u, th , s , công th c, hi u là các hình v , b ng bi u, hàm s , th , ph ư ng trình. T ó có th th y ho t ng ph ư ng trình, h ph ư ng trình, s , bi u , MHH giúp HS phát tri n s thông hiu các khái bi u t ưng hay th m chí c các mô hình o trên ni m và quá trình Toán h c, h th ng hóa các máy vi tính [1]. khái ni m, ý t ưng Toán h c và nm ưc cách ___ th c xây d ng m i quan h gi a các ý t ưng ∗ T.: 84-979446224 ó. Cách ti p c n này giúp vi c h c Toán c a Email: danhnam.nguyen@dhsptn.edu.vn 1
2. 2 N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 HS tr nên có ý ngh a h n, t o ng c và ni m * Giai on 3: Áp d ng các ph ư ng pháp và say mê h c Toán [2]. công c Toán h c phù h p MHH bài toán và Tóm l i, có th nói mô hình ưc dùng mô phân tích mô hình ó. t m t tình hung th c ti n nào ó, mô hình Toán * Giai on 4: Thông báo k t qu , i chi u hc ưc hi u là s d ng công c Toán h c th mô hình v i th c ti n và ư a ra k t lu n. hi n nó d ưi d ng c a ngôn ng Toán h c, trong Quá trình gi i quy t v n (GQV ) và ó MHH là quá trình t o ra các mô hình gi i MHH có nh ng c im t ư ng t nhau giúp quy t các v n Toán h c liên quan n các tình rèn luy n cho HS nh ng k n ng toán h c c n hu ng th c ti n [3]. Do ó, v i tri th c Toán h c, thi t. Do ó, chúng h tr và b sung cho nhau. giáo viên (GV) có th s d ng mô hình gi i Quy trình MHH ưc xem là khép kín vì nó thích, giúp HS hi u v các hi n t ưng trong th c ưc dùng mô t các tình hu ng n y sinh t t cu c s ng và tính ng d ng th c ti n c a Toán th c ti n và k t qu c a nó l i ưc dùng hc. Trong d y h c Toán, MHH có th ưc th c gi i thích và c i thi n các v n trong th c ti n hi n thông qua các d án h c t p, GV có th chia [6, tr.71]. S d ng MHH tr ưng ph thông HS thành các nhóm nh cùng tìm hi u, khám nh m giúp HS gi i quy t v n b ng cách: (i) phá th gi i bng ph ư ng ti n toán h c v i s thu th p, hiu và phân tích các thông tin Toán hưng d n c a GV [4]. Do v y, MHH ưc s hc; (ii) áp d ng Toán h c mô hình hóa các dng hi u và gi i quy t các v n th c ti n tình hu ng th c ti n. Do v y, quá trình MHH nh ư m t ph ư ng ti n d y và h c Toán ưc c th hóa theo s d ưi ây (Hình 1): tr ưng ph thông b i vì nó là môi tr ưng HS Tuy nhiên, trong th c t d y h c, quy trình tìm hi u, khám phá các ki n th c Toán h c c ng MHH trên luôn tuân theo m t c ch iu nh ư các ki n th c liên môn khác. ch nh phù h p nh m làm n gi n hóa và làm cho v n tr nên d hi u h n i v i HS 2. N ội dung nghiên c ứu tr ưng ph thông [4]. C ch iu ch nh này th 2.1. Quy trình mô hình hóa hi n m i liên h m t thi t gi a Toán h c v i các v n trong th c ti n (Hình 2): Quá trình MHH các tình hu ng th c t trong d y h c Toán s d ng các công c và T c ch iu ch nh quá trình MHH, ngôn ng Toán h c ph bi n nh ư công th c, chúng tôi xu t các b ưc t ch c ho t ng thu t toán, ph ư ng trình, h ph ư ng trình, bng MHH trong d y h c môn Toán nh ư sau: bi u, bi u t ưng, th , kí hi u. Theo Swetz & - B ưc 1: Tìm hi u, xây d ng c u trúc, làm Hartzler (1991), quy trình MHH gm 4 giai sáng t , phân tích, n gi n hóa v n , xác on ch y u sau ây [5, 6, 7]: nh gi thuy t, tham s , bi n s trong ph m vi * Giai on 1: Quan sát hi n t ưng th c ca v n th c t . ti n, phác th o tình hu ng và phát hi n các y u - Bưc 2: Thi t l p m i liên h gi a các gi t (tham s ) quan tr ng có nh h ưng n v n thuy t khác nhau ã ư a ra. th c ti n. - Bưc 3: Xây d ng bài toán b ng cách l a * Giai on 2: L p gi thuy t v m i quan ch n và s d ng ngôn ng Toán h c mô t tình h gi a các y u t trong bài toán s d ng ngôn hu ng th c t c ng nh ư tính toán n ph c ng Toán h c. T ó thi t l p mô hình Toán tp c a nó. hc t ư ng ng.
3. N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 3 r Hình 1: Quy trình MHH trong d y h c Toán. Hình 2: C ch iu ch nh quá trình MHH. - B ưc 4: S d ng các công c Toán h c ph c t p cao h n sao cho phù h p v i th c ti n thích h p gi i bài toán. (Hình 3). - Bưc 5: Hi u ưc l i gi i c a bài toán, ý 2.2. T ch c ho t ng mô hình hóa trong d y ngh a c a mô hình Toán h c trong hoàn c nh hc Toán th c t . - B ưc 6: Ki m nghi m mô hình ( ưu im Trong ch ư ng trình sách giáo khoa c a và h n ch ), kim tra tính h p lí và t i ưu c a nhi u n ưc trên th gi i, ho t ng MHH ưc mô hình ã xây d ng. ư a vào phát tri n các thao tác tư duy và k nng GQV b ng khám phá tri th c. Thông - B ưc 7: Thông báo, gi i thích, d oán, qua ho t ng MHH, HS bi t cách xây d ng, ci ti n mô hình ho c xây d ng mô hình có
4. 4 N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 ci ti n m t mô hình Toán h c gi i quy t Ví d ụ 1 (Bài toán h Eyre). Có nhi u h vn trong th c ti n cu c s ng. làm ưc nưc Úc b c n trong ph n l n th i gian c a iu này, HS c n ph i x lí các s li u th c t , nm, nó ch có n ưc trong m t th i gian nh t s d ng các ph ư ng pháp bi u di n s li u khác nh sau nh ng tr n m ưa rào. H Eyre phía nhau, l a ch n và áp d ng các công c và nam n ưc Úc là m t ví d cho hi n t ưng ph ư ng pháp Toán h c phù h p gi i quy t này. V n t ra là hãy tính kho ng th i bài toán n y sinh t chính các tình hu ng trong gian mà h b c n h t n ưc m i khi h ưc th c ti n [6]. ch a y n ưc? g Hình 3: Các b ưc t ch c ho t ng MHH. t ch c ho t ng MHH bài toán này, nhóm xác nh nh ng tham s quan tr ng và GV ã th c hi n theo quy trình g m 7 b ưc lo i b nh ng tham s ph . Các tham s xu t nh ư sau: hi n trong bài toán ưc các nhóm ưa ra nh ư * B c 1: Tìm hi u v n th c ti n. ây là sau: kích th c, hình dáng, sâu, di n tích b mt bài toán m , các iu ki n ban u c a bài mt, nhi t , m, tc bay h ơi c a n c, toán ch ưa rõ ràng. Do v y, tr ưc h t GV ã t s th m n c, l ng m a, l ng n c ban u, ch c cho HS suy ngh và th o lu n v nh ng s h th c v t và ng v t, m n c a n c, h li u c n thi t c n thu th p nh m n gi n hóa th ng thoát n c. Sau khi th o lu n và nghiên bài toán. GV h ưng d n HS li t kê các t khóa, cu k l ưng v iu ki n t nhiên c a h Eyre, di n t l i v n và xác nh n v tính. Các GV ã h ưng d n HS l a ch n các tham s nh t khóa ưc ưa ra: sâu , th tích , c n, y. hưng nhi u n kh n ng b c n n ưc c a h , Vn có th ưc di n t l i nh ư sau: Kho ng lo i b m t s tham s ph nh ư: nhi t , bao nhiêu ngày thì h s b c n h t n c? m, h th c v t và ng v t, m n c a n ưc, h th ng thoát n ưc, * B c 2: L p gi thuy t. Li t kê nh ng yu t (tham s ) có liên quan n v n trên * B c 3: Xây d ng bài toán. Sau khi xác nh m thi t l p iu ki n ban u c a bài toán. nh ưc các tham s c b n, GV ã nh GV ã s d ng k thu t ng não yêu c u các hưng cho HS thi t l p các iu ki n ban u,
5. N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 5 xây d ng công th c tính toán, l p ph ư ng trình tích m t áy ( ); th tích và nh p s li u vào b ng tính Excel. iu ki n nưc b m t ( ). GV ã h ưng ban u ưc xác nh nh ư sau: th tích c a h dn HS s d ng b ng tính Excel và máy tính Eyre ( V = 1000.000 m 3); t s sâu (t s gi a cm tay l p chu trình l p cho n khi t sâu l n nh t và bán kính l n nh t, r = 3 ưc giá tr (B ng 1). 0.0001); t c bay h i trên ngày ( e = 0.003 m / 1 m 2 di n tích b m t); t c th m n ưc trên * Bc 5: Hi u l i gi i bài toán. T k t qu ngày ( p = 0.0008 m 3/ 1 m 2 di n tích m t áy trên ta th y ngày th 51. h); giá tr x p x c a s π (3.141592654). Sau GV ã h ưng d n HS quay tr l i v n ó, GV ã t ch c cho HS th o lu n và l a hi u yêu c u c a bài toán. HS th o lu n v k t ch n hình nón là mô hình bi u di n t t nh t cho qu th i im chu trình l p là cu i m i ngày. h n ưc Eyre. Cu i cùng, GV ã h ưng d n HS Do v y, k t thúc th o lu n, câu tr l i ưa ra là s d ng các công th c tính các i l ưng: ph i sau 50 ngày thì h Eyre s c n h t n ưc bán kính h , sâu, di n tích b m t, di n tích (Hình 6). mt áy h , th tích b m t i do n ưc bay h i * B c 6: Ki m nghi m mô hình. Th o lu n ho c do th m n ưc (Hình 4). v nh ng ưu im và h n ch c a mô hình trên, * B c 4: Gi i bài toán. ây là b ưc HS ã nh ng ki n th c toán h c s d ng trong quá s d ng các s li u, công th c tính ã th o lu n trình gi i quy t v n . GV ã nh h ưng quá trên tính kho ng th i gian mà th tích c a trình th o lu n ti p theo cho HS nh ư: tìm hi u h nh h n ho c b ng không (theo n v th c t ki m nghi m l i gi i c a bài toán, c i ngày). Trong quá trình tính l ưng n ưc b m t, ti n mô hình b ng cách thay i hình d ng bi u các em ã phát hi n ra c n ph i s d ng chu di n ho c b sung thêm các tham s khác (t c trình l p xác nh s ngày h s c n n ưc bay h i, nhi t , m, h ng th c v t (Hình 5). xung quanh, ) và th c hi n mô ph ng trên máy Nh ư v y, các công th c tính ưc xác nh vi tính. K t thúc b ưc này, GV ã gi i thi u thêm cho HS nh ng ki n th c Toán h c ph c tp h n nh ư: hàm s nhi u bi n, th tích c a các nh ư sau: bán kính h ( ); sâu hình kh i ph c t p, tác ng c a môi tr ưng ( ); di n tích b m t ( ); di n n v n bi n i khí h u, (Hình 7). d Hình 4: HS phác h a mô hình h Eyre.
6. 6 N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 Hình 5: L p lu n c a HS v cách gi i bài toán h Eyre. Bng 1. Bng tính chu trình l p th tích c a h Eyre Bán Di n tích b Di n tích Th tích S ngày Th tích sâu kính mt mt áy nưc b m t 0 1000.000 2122.6 0.2122 14140894.6 14140894.7 53735.4 1 946265 2082.9 0.2083 13629713.1 13629713.1 51792.9 50 123.4 105.6 0.0106 35033 35033 133.1 51 -9.7 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! Hình 6: Mô hình bi u th quá trình c n n ưc c a h Eyre.
7. N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 7 Hình 7: HS i chi u v i bài toán trong th c t . * B c 7: Thông báo, gi i thích, d oán. - Hàm s bi u di n n ng su t lao ng (tính Thông báo do nhóm ho c i di n nhóm trình theo c p qu n bò) c a công nhân. làm ưc bày nh m giúp GV ánh giá s n ph m và n ng iu này, HS ã ph i thu th p các s li u th c t lc gi i quy t v n c a t ng nhóm. T ó, ca m t nhóm i di n công nhân xác nh GV h ưng d n HS bi t s d ng ngôn ng và hàm s bi u di n t t nh t. K t qu là n ng su t lao ng c a công nhân ưc mô t b i hàm s công c c a Toán h c mô t các ý t ưng f(t) = 6,37.e- 0,04t , trong ó t là s gi làm vi c Toán h c, bi u di n các v n trong th c ti n. liên ti p. Ví d ụ 2 (N ng su t lao ng). Các nhà - Th o lun v ý t ưng Toán h c cho vi c qu n lí mt công ti d t may nh n ra r ng n ng tính n ng su t lao ng trong m t kho ng th i su t lao ng c a công nhân gi m d n theo s gian nh t nh (tính theo n v gi ). V i s th i gian làm vi c liên ti p c a h , có l do s hưng d n c a GV, nhóm HS ã v th c a mt m i ho c do công vi c nhàm chán. Hãy hàm s f(t) = 6,37.e- 0,04t và s d ng khái ni m giúp các nhà qu n lí xác nh khi nào công tích phân xác nh tính t ng s n ph m d t nhân nên ưc ngh gi i lao h có th làm t t may trong kho ng th i gian làm vi c c a ngày hn công vi c c a mình. (m i ngày làm vi c 8 ti ng). bài toán n gi n h n, GV ã h ưng d n HS tính t ng s n Tư ng t Ví d 1, trong bài toán này, GV ph m d t may trong kho ng th i gian 2 gi làm ã h ưng d n HS th c hi n quá trình MHH vi c liên ti p, trong ó chú ý n 2 gi làm vi c thông qua 7 b ưc nói trên nh m xác nh ưc u tiên và 2 gi làm vi c cu i cùng. D ưi ây các y u t sau ây: là bài làm c a HS nhóm th c nghi m: d Hình 8: HS xây d ng và nh h ưng gi i bài toán.
8. 8 N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 S l ưng s n ph m (c p qu n bò) c a m t qu n bò), t ư ng ng v i ph n di n tích gi i h n công nhân trong hai gi làm vi c u tiên và hai bi hàm s f (t) = 6,37e−0,04t và tr c t trên gi làm vi c cu i cùng c a ngày. Trong hai gi on [0, 2]. T ư ng t , trong hai gi làm vi c làm vi c u, s l ưng s n ph m mong i cu i cùng, s l ưng sn ph m ưc xác nh 2 −0,04t 8 ưc xác nh b i tích phân 6,37e dt và −0,04t ∫0 bi tích phân 6,37e dt và k t qu tính ∫6 kt qu nhóm HS tính ưc x p x 12,24 (c p ưc x p x 9,63 (c p qu n bò). g Hình 9: HS tính n ng su t lao ng trong 2 gi u và 2 gi cu i. 4 Nh ư v y, d a vào mô hình trên ta th y r ng v = πr 3 , trong ó r là bán kính hình c u. di n tích c a ph n di n tích gi i h n b i th 3 hàm s f(t) v i tr c hoành trên kho ng [6, 8] Công th c này ưc xác nh thông qua tích nh h n nhi u so v i trên kho ng [0, 2]. T ó, phân (th tích c a v t th khi xoay n a hình GV ã h ưng d n HS ưa ra l i khuyên cho các tròn y = r 2 − x2 quanh tr c hoành) [8]. Công nhà qu n lí công ti d t may v th i im nên th c trên có th giúp nhà s n xu t bi t ph i s cho công nhân c a mình ngh gi i lao tr ưc khi dng bao nhiêu kim lo i sn xu t m t cái tr th c hi n ti p công vi c c a mình nâng cao hình c u ho c giúp ch ti m bán kem xác nh nng su t lao ng c a công ti. ng th i, GV ưc s l ưng kem c n thi t t hàng sn ã gi i thi u thêm cho HS m t s ng d ng c a xu t h p kem có d ng hình c u. Tuy nhiên, khái nim tích phân trong khoa h c, k thu t, trong th c t , n u yêu c u v hình d ng c a h p th ư ng m i và công nghi p. Cu i cùng, GV ã kem không ph i hình c u mà là hình qu táo, thi t k thêm bài toán s d ng tích phân xác qu chanh hay qu lê thì sao? nh gi i quy t tình hu ng trong th c ti n Gi s c n xác nh th tích c a v t th có sau ây: dng hình qu lê, GV ã t ch c cho HS th o Ví d ụ 3 (Xác nh th tích v t th ). Nhi u lu n và xác nh các y u t sau ây: công th c tính th tích trong hình h c c ng s - Xác nh hàm s bi u di n n a trên c a dng n khái ni m tích phân. Ví d , th tích v hình d ng qu lê. Nhóm HS ã s d ng ph n ca hình c u ưc tính b i công th c
9. N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 9 mm Toán h c ng GeoGebra d oán mô rng, n u HS có th xây d ng ưc bài toán thì hình là hàm s b c b n d ng t ng quát y = ax 4 + có th gi i ưc bài toán ó. Vì th , tr ng i bx 3 + cx 2 + dx + e, thay i các h s c a hàm u tiên c a HS ó chính là toán h c hóa v n s xác nh ưc hàm s bi u di n t t nh t. th c ti n. Tr ng i ti p theo trong quy trình Kt qu là nhóm HS xác nh ưc hàm s có mô hình hóa c a HS ó là v n i chi u và ph ư ng trình bi u di n là ki m nghi m mô hình trong th c ti n. a s các y = − ,0 016 x4 − ,0 094 x3 − ,0 068 x2 − ,0 242 x + ,3132 . em u không có thói quen xem xét ý ngh a k t qu ca bài toán trong th c ti n, quan tr ng h n Hình 10: Xác nh th tích v t th hình d ng qu lê. na ó là vi c d oán và c i ti n mô hình ã - Ti p theo, GV h ưng d n nhóm HS s xây d ng. Kt qu rút ra t th c nghi m kh ng nh vi c s d ng ph ư ng pháp MHH trong d y dng ph n m m Maple tính th tích kh i hc Toán giúp HS phát tri n các k n ng Toán tròn xoay t o b ng cách xoay hàm s trên hc, ng th i nó còn h tr GV t ch c d y quanh tr c hoành. Do ó, tr ưc tiên nhóm HS hc theo ph ư ng pháp dy h c GQV có hi u ã xác nh các giao im c a th hàm s y = qu h n và khuy n khích HS h c t p có ý ngh a f(x) v i tr c hoành ( x = -6,347 và x = 2,502). 1 2 hn, tìm hi u sâu ki n th c, rèn luy n các k T ó, th tích c a v t th hình d ng qu lê nng gi i quy t các v n và ng d ng tri th c ưc tính b ng công th c tích phân sau: Toán h c trong th c ti n cu c s ng. ,2 502 2 π ∫ (− ,0 016 x4 − ,0 094 x3 − ,0 068 x2 − ,0 242 x + ,3132 ) dx − ,6 347 Kt qu nhóm HS thu ưc là dung tích c a 3. K ết lu ận vt th hình d ng qu lê x p x b ng 352 ml. Nh ư v y, k t qu nghiên c u th c nghi m Ho t ng MHH hoàn toàn có th ưc v n cho th y, h u h t HS u ánh giá mô hình hóa dng trong d y h c Toán các tr ưng ph các v n th c ti n là bài toán không quen thông d a theo quy trình 7 b ưc ã xu t thu c và r t khó. a s các em u g p khó trên. Các bài toán MHH có c im là yêu c u bưc u tiên ó là tìm hi u bài toán, c th HS toán h c hóa các tình hu ng, th ưng là các nhi u HS nh n xét r ng bài toán không d tình hu ng th c ti n. Toán h c hóa là thành ki n gi i, không bi t s d ng ki n th c Toán ph n quan tr ng c a bài toán MHH vì nó d a hc nào gi i quy t, Chính vì v y, nhi u HS trên các ý t ưng toán h c quan tr ng giúp HS ã g p lúng túng trong b ưc l p gi thuy t và có th ào sâu và phát tri n s thông hi u Toán xây d ng bài toán. Tuy nhiên, chúng tôi nh n ra hc. Vì v y, GV nên l a ch n các tình hu ng
10. 10 N.D. Nam / Tp Khoa h c HQGHN: Nghiên c u Giáo d c, T p 31, S 3 (2015) 1-10 th c ti n òi h i vi c thu th p các s li u, kh o Hi th o khoa h c cán b tr các tr ưng s ư ph m toàn qu c, NXB à N ng, 2013. sát th c t , phân tích tin t c trên báo chí ho c [3] Peter Lancaster, 1976. Mathematics: Models of trên m ng Internet. Qua nghiên c u chúng tôi the real world. Englewood Cliffs, New Jersey, nh n th y, tho lu n nhóm là ph ư ng pháp hi u USA, 2010. qu giúp HS thi t l p mô hình chuy n nh ng [4] Richard Lesh, Peter Galbraith, Christopher Haines, Andrew Hurford, Modeling students’ mathematical vn Toán h c trong sách giáo khoa thành modeling competences. Springer, 2010. nh ng v n trong cu c s ng; tranh lu n v [5] Juergen Maasz, John O’Donoghue, Real-world nh ng ưu im và hn ch c a các mô hình ã problems for secondary school mathematics xây d ng nh m ánh giá, ch n l c và c i ti n students. Sense Publishers, 2008. mô hình cho phù h p v i th c ti n. iu này [6] Jonathan Borwein, Keith Devlin, Experimentelle Mathematik. Spektrum giúp cho HS phát tri n các k n ng GQV , k Akademischer Verlag, 2009. nng h p tác và kh n ng nh n thc tri th c [7] Chan Chun Ming Eric, Mathematical modeling Toán h c m c cao. as problem solving for children in the Singapore mathematics classrooms. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Tài li ệu tham kh ảo vol.32 (01) (2009) 36. [8] Tr n Trung, ng Xuân C ư ng, Nguy n V n [1] Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal, Hng, Nguy n Danh Nam, ng d ng công ngh Mathematical applications and modelling. World thông tin vào d y h c môn toán tr ưng ph Scientific Publishing. thông, NXB Giáo d c Vi t Nam, 2011. [2] Nguy n Danh Nam, Ph ư ng pháp mô hình hóa [9] Kai Velten, Mathematical modeling and trong d y h c toán tr ưng ph thông. K y u simulation. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KgaA, 2009. Modeling Process in Teaching and Learning Mathematics Nguy n Danh Nam Thái Nguyên University of Education No.20, Lơ ng Ng c Quy n Street, Thái Nguyên City, Vietnam Abstract: The paper presents the process of applying modeling to teaching and learning mathematics at secondary schools. Through modeling activities, students achieve a deeper understanding of problems which represent the relationship between mathematics and real-world situations. As a result, modeling activity motivates students to use mathematical knowledge in textbooks to solve real-life problems. The findings of the research show the feasibility of organizing modeling tasks in teaching mathematics which is aimed to develop student’s ability of using mathematical language and problem-solving skills. Keywords: Model, Modeling, Mathematization, Real-life problem.