Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề: Hàm số bậc 3

Nội dung text: Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề: Hàm số bậc 3

1. OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3 Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a ≠ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b − b 1) y” = 0 ⇔ x = (a ≠ 0 ) a3 − b x = laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. a3 2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau : i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng) ii) a 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 0 ta coù : i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > α ⎧y'= 0 coù 2 ng hieäm phaân bieät thoûaα < x1 < x2 ⎪ ⇔ ⎨y(α ) < 0 ⎪ ⎩⎪ x(y 1).y(x2 )< 0 ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < α
2. ⎧y'= 0 coù 2 ng hieäm phaân bieät thoûa x1 0 ⎪ ⎩⎪ x(y 1).y(x2 )< 0 Töông töï khi a < 0 . 6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M ∈ (C). Neáu M ≡ I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn. 7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau ⇔ y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán) 8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α laø 1 nghieäm cuûa (1). Neáu x = α laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù 3 2 2 ax + bx + cx + d = (x - α)(ax + b1x + c1) 2 nghieäm cuûa (1) laø x = α vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau: i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = α thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ α thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = α vaø 1 nghieäm khaùc α thì (1) coù 2 nghieäm. v) neáu (2) coù nghieäm keùp ≠ α thì (1) coù 2 nghieäm BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø y = −x3 + mx2 − m vaø y = kx + k + 1. (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). 2) Goïi Δ laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E ∈ Δ vôùi (C). 3) Tìm E ∈ Δ ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau. 4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh. 5) Tìm M ∈ (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C). (II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi. 6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau.
3. 7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. 8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. 9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +∞). 10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng. 11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau. 12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1). 13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. BAØI GIAÛI PHAÀN I : m = 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm) 1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 2 2 0 0 ⇔ e . 3 Bieän luaän : 5 i) Neáu e 2 3
4. ⇒ (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ coù 3 tieáp tuyeán. 5 ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2 3 ⇒ (1) coù 2 nghieäm ⇒ coù 2 tieáp tuyeán. 5 iii) Neáu – 1 ⎪ 3 ⇔ ⎨ x1 ,x 2 laø nghieäm cuûa (2) ⎪ (− 3x2 + 6x )( − 3x2 + 6x ) = − 1 ⎪ 1 1 2 2 ⎩ ⎧ 5 e ⎪ 3 ⎪ 3e− 1 ⇔ x+ x = ⎨ 1 2 2 ⎪ x .x= 1 ⎪ 1 2 ⎩⎪ 9x1 .x 2 (x 1 − 2)(x2 − 2) = − 1 ⎧ 5 ⎪ e ⇔ ⎨ 3 ⎩⎪ 9[1− (3e − 1) + 4] = − 1 55 ⎛ 55 ⎞ ⇔ e = . Vaäy E ⎜ ,1⎟ 27 ⎝ 27 ⎠ 4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3) Ta coù Δ' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3 Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3). Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù : x+ x − b 3 4 = =1 2 2a y+ y −(x3 + x3 ) + 3(x2 + x2 ) − 6 3 4 = 3 4 3 4 = −1 2 2 Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4. 5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ≠ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng : ∀ M ∈ (C), ta coù : i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
5. ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) ∈ (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng : 3 2 y = k(x – x0) −x0 + 3x0 − 3 (D) Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : 32 2 32 −+xx( −=−+ 33))3336( xxxxxx −00 − + 0 − ( 5 ) 3 3 2 2 2 ⇔ x− x0 − 3(x − x0 ) + (x − x0 )( − 3x + 6x) = 0 2 2 2 ⇔ x− x0 = 0 ∨ x + xx0 + x 0 − 3x − 3x0 − 3x + 6x = 0 2 2 ⇔ x= x0 hay 2x− (3 + x0 )x − x 0 + 3x0 = 0 ⇔ x= x0 hay (x− x0 )(2x+ x0 − 3)= 0 3− x ⇔ x= x hay x = 0 0 2 Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) ∈ (C) 3− x ⇔ x = 0 ⇔x = 1 0 2 0 Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán). Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0 Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), ∀m ⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m ⎧x2 − 1 = 0 ⎧x= 1 ⎧x= − 1 ⇔ ⇔ hay ⎨ 3 ⎨ ⎨ ⎩y+ x = 0 ⎩y= − 1 ⎩y= 1 Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1). 2 Vì y' = – 3x + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø : a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau. 2 ± 10 ⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m = – 1 ⇔ m = . 2 7) Haøm coù cöïc trò ⇔ y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät. ⇔ 3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät. 2m ⇔ x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät. 3 ⇔ m ≠ 0. Khi ñoù, ta coù : ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ y =⎜ m2 x − m⎟ +⎜ x − m⎟ y' ⎝ 9 ⎠ ⎝ 3 9 ⎠ vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø : 2 y =m2 x − m (vôùi m ≠ 0) 9 8) Khi m ≠ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù : 2m x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 3
6. ⎛ 2 2 ⎞⎛ 2 2 ⎞ ⇒ y(x1).y(x2) = ⎜ m x1 − m⎟⎜ m x2 − m⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 9 ⎠ 2 4 = −m2 (x + x ) + m2 = −m4 + m 2 9 1 2 27 Vôùi m ≠ 0, ta coù y(x1).y(x2) ⇔m > 4 2 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. ⎧y'= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 ,x 2 ⇔ ⎨ ⎩y(x1 ).y(x 2 ) 2 Nhaän xeùt : 3 3 i) Khi m thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm. 2 9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Neáu m ≠ 0 ta coù hoaønh 2m ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø . 3 ⎡2m ⎤ i) Neáu m 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎡ 2m ⎤ Do ñoù, ycbt ⇔ m > 0 vaø [1,2]⊂ 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ 2m ⇔ ≥2 ⇔ m ≥ 3 3 b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0. ⎛ 2m ⎤ Khi m ≤ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân ⎜− ∞, vaø haøm soá cuõng nghòch bieán treân ⎝ 3 ⎦⎥ [0, +∞). Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +∞) thì m ≤ 0. Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn. m 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3
7. (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau. ⇔ y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh. ⎧ 3 3 ⎧ 3 3 ⎪ m > m > ⎪ 2 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎛ m ⎞ m3 m2 ⎪ y⎜ ⎟ = 0 ⎪ − +m. −m = 0 ⎩⎪ ⎝ 3 ⎠ ⎩⎪ 27 9 ⎧ 3 3 m > ⎪ ± 3 6 ⇔ ⎨ 2 ⇔m = 2m2 2 ⎪ −1 = 0 ⎩⎪ 27 11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø – x3 + mx2 – m = kx + k + 1 ⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3 ⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x2 ⇔ x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät ⇔ (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1 ⎧1+ m + 1 +k +m + 1 ≠ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩(m+ 1) − 4(k + m + 1) > 0 k ≠ −2m − 3 ⎪⎧ ⇔ (*) m2 − 2m − 3 ⎨ k < ⎩⎪ 4 b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) ∈ (Cm) neân ta coù : (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau. ⎛ m 2m3 ⎞ ⇒ (Dk) qua ñieåm uoán ⎜ ; − m ⎟ cuûa (Cm) ⎝ 3 27 ⎠ 2m3 ⎛ m ⎞ ⇒ −m = k⎜ +1⎟ + 1 27 ⎝ 3 ⎠ 2m3 − 27m − 27 ⇒ k = ( ) 9(m+ 3) Vaäy ycbt ⇔ k thoûa (*) vaø ( ). 12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) ⇔ m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3 ⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2 ⇔ x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13) m+ 1 ⇔ x = – 1 ∨ x = 2
8. y' (–1) = – 2m – 3 2 ⎛ m+ 1⎞ ⎛ m+ 1⎞ ⎛ m+ 1⎞ 1 'y ⎜ ⎟ = −3⎜ ⎟ + 2m⎜ ⎟ = (m2 – 2m – 3) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1 4 Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1. 13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø : h = – 3x2 + 2mx b m Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi x = − = (hoaønh ñoä ñieåm uoán) 2a 3 Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. 2 ⎛ m ⎞ m2m 2 Nhaän xeùt : −3x2 + 2mx = − 3⎜ x2 − ⎟ + ≤ ⎝ 3 ⎠ 3 3 Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù : i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát. ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.