Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề 15: Hình học giải tích trong không gian

Nội dung text: Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề 15: Hình học giải tích trong không gian

1. Chuyên đề 15: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian • x'Ox : trục hoành x' ' • yOy : trục tung K ' e • zOz : trục cao y' 3 y • O : gốc toạ độ O K JG JJGJJG K e2 • eee,,: véc tơ đơn vị e1 123 x z' Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz) II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: JJJJG 1. Định nghĩa 1: Cho M ∈ kg( Oxyz). Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo JG JJGJJG JJJJGJGJJGJJG z eee123,,bởi hệ thức có dạng : OM= xe123+∈ ye+ y e với x,y,z \ . M Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. y Ký hiệu: M(x;y;z) O ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M ) x đn/ JJJJGJGJJGJJG M(xyz ; ; ) ⇔=++ OM xe12 ye ze3 • Ý nghĩa hình học: z R M 2 z M 3 M xOP= ; y= OQ ; z = OR O y y x Q p M x 1 117
2. G G 2. Định nghĩa 2: Cho a∈ kg( Oxyz). Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo JG JJGJJG G JG JJGJJG eee,,bởi hệ thức có dạng : aaeae= +∈ + a e với a ,a \ . 123 11 2 2 33 1 2 G a Bộ số (a1;a2;a3G) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . Ký hiệu: aaa= (;12 ) GGđn/ JGJJGJJG aa=(a123 ;a ;a ) ⇔=++ a11ea 22ea 33e II. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A(;;)xyzA AA và B(x;;)B yzBB thì JJJG ABxxyyzz=−(;;)B AB − AB − A GG Định lý 2: Nếu aa==(;123aa ; ) và bbbb (;123 ; ) thì ⎧a11= b GG ⎪ * ab=⇔ ⎨a22 = b ⎪ ⎩ab33= GG * ab+=(;a + ba + ba ; + b) GG 112233 * ab−=(;a − ba − ba ; − b) G 112233 * k.(;;a= ka123 ka ka ) ()k ∈ \ III. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ: G GGG  Định lý 3 : Cho hai véc tơ abb và với ≠ 0 GG GG ab cùng phương ⇔∃ !k ∈\ sao cho a =k .b GG a ≠ Nếu 0 thì số k trongG trường hợp nàyG được xác định như sau: a b k > 0 khi G cùng hướng G k < 0 khi a ngược hướng b G a k = G b JJJG JJJG  Định lý 4 : A,BC , thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC 118
3. G G  Định lý 5: Cho hai véc tơ aaaa==(;123 ; ) và bbbb (;123 ; ) ta có : ⎧a11= kb GG⎪ ab cùng phương ⇔=⇔ ⎨ak22baab a 12312 : : = :bb : 3 ⎪ ⎩akb33= IV. Tích vô hướng của hai véc tơ: Nhắc lại: GG G G G G ab cos(,)= a b a b GG2 2 aa= GG GG ab⊥⇔ ab .0 = G G  Định lý 6: Cho hai véc tơ aaaa==(;122 ; ) và bbbb (;123 ; ) ta có : G G ab. =+ ab11 a 2 b 2 + ab 33 G  Định lý 7: Cho hai véc tơ aaaa= (;123 ; ) ta có : G 222 aaaa=++123  Định lý 8: Nếu A(;)xyA AB và B(x;B y) thì ABxxyyzz=−+−+−()()()222 G BA BAG BA  Định lý 9: Cho hai véc tơ aaaa==(;123 ; ) và bbbb (;123 ; ) ta có : GG ab⊥⇔ a11 babab + 2 2 + 33 =0 G G  Định lý 10: Cho hai véc tơ aaaa==(;123 ; ) và bbbb (;123 ; ) ta có : G G GG ab. ab++ ab ab cos(ab , ) ==GG 11 2 2 33 ab 222222 . aaa123123++. bbb ++ V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M được gọi là chiaJJJG đoạnJJJ AB G theo tỷ số k ( k ≠ 1 ) nếu như : MAkMB= . • • • A M B 119
4. JJJG JJJG  Định lý 11 : Nếu A(;;)xyzA AA , B(x;;)B yz BB và MAkMB= . ( k ≠ 1 ) thì ⎧ x − kx. x = A B ⎪ M 1− k ⎪ ⎪ ykyA − . B ⎨yM = ⎪ 1− k ⎪ zA − kz. B ⎪zM = ⎩ 1− k ⎧ x + x x = A B ⎪ M 2 ⎪ ⎪ yyA + B Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ ⎨yM = ⎪ 2 ⎪ zA + zB ⎪zM = ⎩ 2 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông . b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI. Tích có hướng của hai véc tơ: G G 1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ aaaa==(; ; ) và bbbb (; ; ) là một véc tơ được GG 123 123 ⎡⎤ ký hiệu : ⎣ab; ⎦ có tọa độ là : 1 2 3 G GG ⎛⎞aaaa2331aa12 aaaa= (;123 ; ) ⎡⎤ab;;;= ⎜⎟ Cách nhớ: G ⎣⎦ bbbbbb ⎝⎠233112 bbbb= (;123 ; ) 2. Tính chất: GG G GG G ⎡⎤ ⎡⎤ • ⎣⎦ab;⊥⊥ a và ⎣⎦ ab; b A 1 JJJG HJJG • SABΔABC = .;⎡⎤AC 2 ⎣⎦ B C D' JJJG JJJG D C • SAB.ABCD = ⎡⎤; AD C' ⎣⎦ A' A B' JJJGJJJG JJJG B ' D • VA''' '= ⎡⎤B;.ADAA ABCD. A B C D ⎣⎦ C A 120 B
5. 1 JJJG JJJG JJJG D • VABAC= .;.⎡⎤AD ABCD 6 ⎣⎦ C GGGGGA ⎡⎤ • aba cùng phương ⇔= ⎣⎦ ;b 0 B GGG GG G ⎡⎤ • abc, , đồng phẳng ⇔= ⎣⎦ab , . c 0 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b. Tính diện tích tam giác ABC c. Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Các định nghĩa: 1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: 1. VTCP của đường thẳng : G G G đn ⎪⎧a ≠ 0 a là VTCP của đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨G ⎩⎪a có giá song song hoặc trùng với (Δ ) K a K a ()Δ Chú ý: • Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau. • Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó. 2. Cặp VTCP của mặt phẳng: K a K b a α b G α a Cho mặt phẳngG xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi là VTCP của đường b thẳng JGa JvàJG là VTVP của đường thẳng b. Khi đó : Cặp (,)ab được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó. 121
6. K 3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng : n α G G G đn ⎪⎧n ≠ 0 n là VTPT của mặt phẳng α ⇔ ⎨G ⎩⎪n có giá vuông góc với mpα Chú ý: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau. • Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó. 4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó: G ⎪⎧aaaa= (;123 ; ) Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : ⎨G thì mpα có một VTPT là : ⎩⎪bbbb= (;123 ; ) GGG⎛⎞aaaaaa ⎡⎤ 233112 nab==⎣⎦;;;⎜⎟ ⎝⎠bbbb2331bb12 K K K n= [,] a b K a K b α BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II. Phương trình của mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M (;;)xyz và có một G 0000 VTPT nABC= (;; ) là: K n= (;;) A B C A()()()xx− 000+−+−= Byy Czz 0 M0(;;) x 0 y 0 z 0 α K z n= (;;) A B C Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng : α M 0 y AxByCzD+++=0 với ABC222+ +≠0 là phương trình tổng quát của một mặt phẳng . x 122
7. Chú ý : G • Nếu ()α :AxByCzD+++=0 thì (α) có một VTPT là nABC= (;; ) ()Oyz z • M0000(;;)():xyz∈+++=⇔+++α AxByCzD 0 Ax0ByCzD 0 0 =0 Các trường hợp đặc biệt: 1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: y • (Oxy):z = 0 O • (Oyz):x = 0 ()Oxz x • (Oxz):y = 0 2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: ⎧Aa(;0;0) ()Oxy ⎪ • Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ⎨Bb(0; ;0) (a,b,c≠ 0) ⎪ ⎩Cc(0;0; ) x yz C là: ++=1 abc c O b a B BÀI TẬP ÁP DỤNG: A Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : 1. Một số quy ước và ký hiệu: ⎧atb11= ⎪ ⎪atb22= ⎧(,aa12 , ,) an ⎪ Hai bộ n số : ⎨ được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t ≠ 0 sao cho ⎨. (bb , , , b ) ⎩ 12 n ⎪. ⎪ ⎩⎪atbnn= aa12 an Ký hiệu: aa12: : : an= bb 12 : : : bn hoặc === bb12 bn 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α, β xác định bởi phương trình : JJG ():α A xByCzD+++=0 có VTPT n= ( ABC ; ; ) 1111 JJ1111G ():β A xBy++CzD+=0 có VTPT n = ( AB ; ;)C 2222 K 2222 K n1 n2 K K K n2 K n1 n1 α n 2 β α α β β 123
8. A11B BC 11 C 11 A (αβ ) cắt ( ) ⇔≠ A111 :BCABC : 2 : 2 : 2 (hay: ≠≠hoặc hoặc ≠) A22B BC 22 C 22 A A BCD (αβ ) // ( ) ⇔==≠ 111 1 A222BCD 2 A BCD (αβ ) ≡⇔=== ( ) 111 1 A222BCD 2 Đặc biệt: α ⊥⇔β A12A +BB 12 + CC 12 =0 3. Chùm mặt phẳng : α β γ a. Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt phẳng . • Δ gọi là trục của chùm • Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết i. Trục của chùm hoặc ii. Hai mặt phẳng của chùm b. Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α, β cắt nhau xác định bởi phương trình : ():α A xByCzD+ ++=0 1111 ():β Ax2222+++= By Cz D 0 Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của α và β đều có phương trình dạng: 22 ():(γλAx1111++++ By Cz D)(μ Ax 2 +++ By 2 Cz 2 D 2) = 0 (λ +≠ μ 0) Chú ý: λ =≠≡0 và μγ 0 thì β λ ≠=≡0 và μγα 0 thì Đặc biệt : α β Nếu λ ≠≠≠ 0 và μγαβ 0 thì và trong trường hợp này γ phương trình γ có thể viết dưới dạng sau: 1. m(A1111xByCzD++++) (A2222 xByCzD +++) = 0 hoặc 2. (A1111xByCzD++++) n (A 2 xB +222yCzD+ +=)0 124
9. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. Phương trình của đường thẳng: 1.Phương trình tham số của đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ()Δ đi qua điểm M (;;)xyz G 0000 và nhận aaaa= (;123 ; ) làm VTCP là : K z a ⎧x =+xta01 ⎪ ( Δ ) ():Δ=+⎨yy02 ta (t ∈\ ) ⎪ M ⎩zz=+03 ta 0 M(,,) x y z y O x 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng ()Δ đi qua điểm M (;;)xyz G 0000 và nhận aaaa= (;123 ; ) làm VTCP là : x − xyyzz−− ():Δ==000 aaa123 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. ⎧():α Ax1111+++= By Cz D 0 Xem ()Δ=α ∩β với ⎨ ta có định lý sau. ⎩():β Ax2222+ By++= Cz D 0 Định lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: ⎧Ax1111+++= By Cz D 0 ⎨ với A111 :B :CABC≠ 2 : 2 : 2 ⎩Ax2222+++= By Cz D 0 là phương trình tổng quát của một đường thẳng. G ⎪⎧():α Ax1111+++= By Cz D0 ( nα = ( A111 ; B ; C )) Chú ý: Nếu ():Δ ⎨ G thì ( Δ ) có một VTCP là : ⎩⎪():β A2222xByCzD+++=0 ( nβ = ( ABC222 ; ; )) GGG ⎛⎞B CC AA B ⎡⎤111111 ann==⎣⎦αβ,;;⎜⎟ ⎝⎠B222222CC AA B 125
10. II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : K M a ()Δ ()Δ K K a n K K n n M M K ()Δ α α α a Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : x −−−xyyzz G đường thẳng ()Δ==: 000 có VTCP aaaa= (; ; ) và qua M (;;)xyz aaa 123 0000 123 G và mặt phẳng ()α :AxByCzD+++=0 có VTPT nABC= (;; ) Khi đó : (Δ⇔++≠ ) cắt (α ) Aa123BaCa 0 ⎧Aa123++=Ba Ca 0 (Δ⇔ ) // (α ) ⎨ ⎩Ax000+ By++≠ Cz D 0 ⎧Aa123++=Ba Ca 0 (Δ⊂ ) (α ) ⇔ ⎨ ⎩Ax000+ By++= Cz D 0 K a K n Đặc biệt: (Δ⊥ ) (α ) ⇔ a :aa : = ABC : : 123 α ⎧pt()Δ Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( Δ ) và (α ) ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩pt()α Suy ra: M(x,y,z) 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : Δ K Δ K 1 u 1 M ' a M K M 0 0 u Δ 0 K 1 K K M ' b K Δ 0 M 0 u u' K u' Δ 1 Δ 2 u' Δ 2 2 ' ' M 0 M M Δ 2 0 0 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x −−−xyyzz G ():Δ==000 có VTCP uabc = ( ; ; ) và qua M ( xyz ; ; ) 1 abc 0000 JG xx−−−000 yy zz '''' '''' ():Δ==2 có VTCP uabc = ( ; ; ) và qua M0000 ( xyz ; ; ) abc''' 126
11. G JG JJJJJJJG •Δ ( ) và ( Δ ) đồng phẳng ⇔ ⎡⎤uu ,'' . MM = 0 12 ⎣⎦⎢⎥00 G JG JJJJJJJG ⎧⎡⎤uu,.'' MM = 0 ⎪⎣⎦⎢⎥00 •Δ (12 ) cắt ( Δ ) ⇔ ⎨ ''' ⎩⎪abc::≠ a : b : c ''' ' ' ' •Δ (12 ) // ( Δ ) ⇔ abc : : =abc::≠− ( x00 x ):( y 00 − y ):( z 00 − z ) ''' ' ' ' •Δ (12 ) ≡Δ ( ) ⇔ abc : : = a : b : c = ( x00000 − x ) : ( y − y ) : ( z − z0 ) G JG JJJJJJJG •Δ ( ) và ( Δ ) chéo nhau ⇔ ⎡⎤uu ,'' . MM ≠ 0 12 ⎣⎦⎢⎥00 ⎧pt()Δ1 Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ()Δ1 và ()Δ2ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩pt()Δ2 Suy ra: M(x,y,z) III. Góc trong không gian: 1. Góc giữa hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α, β xác định bởi phương trình : K ():α A1111xByCzD+ ++=0 n= (;;) A B C 1 1 1 1 ():β Ax2222+++= By Cz D 0 K n= (;;) A B C Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ()α &()β ta có công thức: 2 2 2 2 AA12++ BB 12 CC 12 cosϕ = α ABC222222++. ABC ++ 111 222 00 ≤ϕ ≤ 90 0 β 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ()Δ x − xyyzz−− K Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ():Δ==000 a= (;;) a b c abc K và mặt phẳng ()α :AxByCzD+ ++=0 n= (;;) A B C Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ()Δ &()α ta có công thức: α 00 ≤ϕ ≤ 90 0 Aa++ Bb Cc sinϕ = A222222+ BCabc+++. 3.Góc giữa hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x −−−xyyzz ():Δ==000 1 abc x −−−xyyzz ():Δ==000 2 abc''' 127
12. K a1 = (;;) a b c Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ()&()Δ1Δ2ta có công thức: Δ1 aa'''++ bb cc cosϕ = 222 '2'2'2 Δ 2 K abcabc++. ++ a2 = ( a '; b '; c ') IV. Khoảng cách: 00 ≤ϕ ≤ 90 0 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ():α AxByCzD+ ++=0 và điểm M0000(;;)xyz Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính bởi công thức: M(;;) x y z 0 0 0 0 AxByCzD000+ ++ dM(;)0 Δ= ABC222++ H α 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( Δ ) đi qua điểm M (;;)xyz và có VTCP G 0000 uabc= (;;). Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ()Δ được tính bởi công thức: M JJJJJJG G 1 ⎡ ⎤ K ⎣M01Mu; ⎦ u ( Δ ) dM(,)1 Δ= G u M0(;;) x 0 y 0 z 0 H 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau : G (Δ=10 ) có VTCP uabc ( ; ; ) và qua M ( xyz0 ;0 ;0 ) JG '''' '''' (Δ=20 ) có VTCP uabc ( ; ; ) và qua M ( xyz0 ;0 ;0 ) Khi đó khoảng cách giữa ()Δ1 và ()Δ2 được tính bởi công thức K u Δ1 M 0 G JG JJJJJJJG ⎡⎤uu,.'' MM ⎣⎦⎢⎥00 K d(,ΔΔ12 ) = G JG u' ⎡⎤' M ' uu, 0 Δ 2 ⎣⎦⎢⎥ 128
13. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN 1 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cosα = 6 Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : ⎧x=1 + t x y−1 z +1 ⎪ d1 : = = &:d 2 ⎨y= −1 − 2 t 2 1 −1 ⎪ ⎩z=2 + t 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : x− 2 y+ 2 z − 3 x−1 y−1 z +1 d : = = &:d = = 1 2 −1 1 2 −1 2 1 1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) . 1. Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông . 2. Tính thể tích tứ diện ABCD. 3. Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH. Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1). 1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 2. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC). 3. Tính thể tích tứ diện OABC. Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: ⎧x = 1+ t ⎧xyz−+−=240 ⎪ ΔΔ12:⎨⎨ và :yt=2+ ⎩xyz+−+=2240 ⎪ ⎩z = 12+ t 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2 2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng ⎧(2mx++−+−= 1) (1 mym ) 1 0 dm : ⎨ ⎩mx++++=(2 m 1) z 4 m 2 0 Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) 1. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) 2. Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB ⎧210x +++=yz Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨ và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0 ⎩xyz+++=20 129
14. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P). ⎧⎧x − az−= a 03ax + y −=30 Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: d12:⎨⎨ và d: ⎩⎩yz− +=10x− 3 z − 6 = 1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau 2. Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2 Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ . 1. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b a 2. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Bài 13: 2. Trong không gian với hệ tọa dộ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng x y+1 z ⎧31x − z +=0 d1 : == và d2 : ⎨ 121 ⎩21xy+ −=0 1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau. 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song x −−−47yz3 với đường thẳng Δ==: 14−2 Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0;0; a 3 ), B(a;0;0), C(0; a 3 ;0) (a>0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1), ⎧3211x − y −=0 B(0;-1;3) và đường thẳng d : ⎨ ⎩yz+−=380 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK. 2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình x +−+=yz10 Bài 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : xy−+12 z ⎧x + yz−+20 = ():d12== và (d):⎨ 311 ⎩x +=10 Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) sao cho Δ vuông góc với (d1) và cắt (d2). Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : xyz++−132 ⎧3280x −−=y ():d12== và (d):⎨ 321−− ⎩5212xz+ +− =0 1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên. 3. Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) sao cho Δ cắt cả d1 và d2. Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : x +−−112yz ():d == và (P):x-y-z-1=0 223 130
15. Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) sao cho Δ ⊥ d và Δ //(P) . Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : xyz−+11 ⎧x − 24yz+− =0 ():d12== và (d):⎨ 211− ⎩221xy− ++= z 0 và mặt phẳng ()Pxyz:++−= 1 0. Lập phương trình đường thẳng Δ sao cho Δ ⊥ ()P và Δ cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x −−12yz ():d == và điểm I(2;-1;3) 21− 3 Gọi K là điểm đối xứng của I qua (d) . Tìm toạ độ điểm K. Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x yz−+13 ():d == và điểm A(1;2;1) 34 1 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d). Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧⎧2103x ++=yx+−+=yz 30 ():d12⎨⎨ và (d): ⎩⎩x-y+z-1=0 2xy−+= 1 0 1. Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 . 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và d2 . 3. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ. Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = 0. 1. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P). 2. Viết phương trình chính tắc của giao tuyến của (P) và (Q). 3. Gọi K là điểm đối xứng của A qua (P). Tìm toạ độ điểm K. ⎧234x + y −=0 Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) và B(7;-2;3) và đường thẳng (d): ⎨ ⎩yz+−40 = 1. Chứng minh (d) và AB đồng phẳng . 2. Tìm toạ độ giao điểm I0 của đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 3. Tìm I ∈(d) sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất. Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0 1. Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). 2. Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) và mặt phẳng (P): z = 0 1. Tìm M ∈ (P) sao cho MA+MB là nhỏ nhất. 2. Tìm N∈ (P) sao cho NANB− là lớn nhất. Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Tìm M∈ (P) sao cho MAMB− là lớn nhất. Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : x yz−+41 ():d == và (P):x-y+3z+8=0 43 2 Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P) Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 131
16. xyz−−21 ⎧x + 320z −= ():d12== và (d):⎨ 112− ⎩y −=30 1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 2. Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 . Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x −+15yz xy − 1 z−5 ():d == và (d): = = 12101 0− 2 3 1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 2. Tìm toạ độ các điểm A, B của đường vuông góc chung AB của d1 và d2 . Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) x −++12yz3 và đường thẳng ():d ==. 212− 1. Tìm toạ độ điểm M nằm trên (d) sao cho AMAB⊥ . 2. Tìm toạ độ điểm N nằm trên (d) sao cho VNABC = 3. Bài 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) và S(0;5;8) 1. Chứng minh rằng SB ⊥ OA . 2. Chứng minh rằng hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Tìm toạ độ điểm K. 3. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh OS và AB.Tìm toạ độ M thuộc SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Bài 33: Cho hai đường thẳng : xyz−−−123 ⎧x + 2yz−= 0 ():d12== và (d):⎨ 123 ⎩235xy− +−= z 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) Bài 34: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt hai đường thẳng : ⎧⎧x = 12−=tx−t ⎪⎪ (dyt12 ) :⎨⎨= và (d ) : y=+ 4 2t ⎪⎪ ⎩⎩zt==41 z Bài 35: Cho bốn điểm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3) 1. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D nằm trên cùng một mặt phẳng . 2. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB. 3. Tìm trên đường thẳng AB điểm M sao cho tổng MC+MD là nhỏ nhất. Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D. Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P):x-2 = 0 , (Q):y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q). Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) và C(1,1,3) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. Bài 39: Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai đường ⎧2x+−= y 2 0 ⎧x− y++= 4z 10 0 thẳng (d1 ) : ⎨ và (d2 ) : ⎨ ⎩2x+−= z 3 0 ⎩2x− 4y−+= z 6 0 Bài 40: Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3,2,1) song song với mặt phẳng 132
17. ⎧xy10+ −= (P): x+y+z-2 = 0 và vuông góc với đường thẳng (d) : ⎨ ⎩4y+ z+= 1 0 ⎧x3z2− −= 0 Bài 41:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): ⎨ và có khoảng cách ⎩y5z10+ −= đến điểm A(1,-1,0) bằng 1. Bài 42: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình là : ⎧x8z230+ += ⎧x2z30− −= (d1 ) : ⎨ và (d2 ) : ⎨ ⎩y4z100− += ⎩y2z20+ += 1. Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo nhau. 2. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) . 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) sao cho (P)//(Q). 4. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz và cắt cả (d1) và (d2) MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I. Phương trình mặt cầu: 1. Phương trình chính tắc: Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là : z ( S ) ():()(Sxa−+−+−=222 yb )( zc ) R2 (1) I R M (;; x y z ) Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu O y Đặc biệt: Khi I ≡ O thì ():Cx222++= y z R2 x 2. Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình : xyz222++−222 axbyczd − − += 0 với abcd222++−>0 là phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính Rabc= 222++−d. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ()α và mặt cầu (S) có phương trình : ():α AxByCzD+ ++=0 ():(Sxa−+−+−= )222 ( yb ) ( zc ) R2 Gọi d(I;α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α 133
18. Ta có : 1. (αα ) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I; ) R ()S ()S I ()S I R R ()C M I R H r H M H M α α α Chú ý: Khi α cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường trịn (C). Đường trịn (C) này cĩ: ⎪⎧Ax+++= By Cz D 0 • Phương trình là: ⎨ 2222 ⎩⎪()()()x −+−+−=aybzcR • Tâm là hình chiếu vuơng gĩc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng α • Bán kính rRdI=−22(,α ) Hết 134