Giáo trình Toán tài chính - Phan Đức Châu

110 trang ngocly 3080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán tài chính - Phan Đức Châu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_tai_chinh_phan_duc_chau.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán tài chính - Phan Đức Châu

Trường đại học Kinh doanh và công nghệ hà nội Phan đức châu Toán tài chính Hà nội -2009
Lời nói đầu Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng. Toán Tài chính xây dựng một cách có hệ thống các công thức, phương trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, tư bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu, Toán tài chính cũng còn được áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án đầu tư, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh toán các khoản nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt được áp dụng trên thị trường chứng khoán. Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng, Quản trị kinh doanh . Cuốn sách này bước đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính. Có một số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn chưa được áp dụng trong các ngân hàng ở Việt Nam, nhưng trong tương lai không xa, sẽ được dùng phổ biến theo tập quán của các ngân hàng trên thế giới. Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị trường chứng khoán chưa được đề cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này. Cuốn sách này được dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và sinh viên trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Hy vọng cuốn sách đáp ứng được yêu cầu đào tạo của Nhà trường. Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính. Đó là các bảng cho sẵn các giá trị với 6 hoặc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thường dùng trong Toán tài chính, giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn. Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc. Người biên soạn 3
Mục lục Chương I. Lãi đơn 9 Đ1. Đại cương 9 1. Định nghĩa 9 2. Lãi đơn 9 3. Giá trị thu được 10 4. Lãi suất trung bình 10 5. Lãi suất hiệu dụng 11 Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn 11 1. Phương pháp số và ước số cố định 11 2. Trường hợp năm dân sự 12 Chương II. Chiết khấu theo lãi đơn 14 Đ1. Chiết khấu 14 1. Thương phiếu 14 2. Chiết khấu 14 3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn 14 4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15 5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý 16 Đ2. Thực hành chiết khấu 17 1. Chi phí chiết khấu (agio) 17 2. Giá trị ròng của thương phiếu 18 3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18 Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơn 20 1. Các định nghĩa 20 2. Định lý về sự tương đương 21 4
Đ4. Một số bài toán ứng dụng 23 1. Bài toán về thời hạn trả chung 23 2. Bài toán về thời hạn trả trung bình 23 Chương III. Lãi gộp 25 Đ1. Đại cương 25 Đ2. Công thức tính lãi gộp 25 1. Giá trị thu được 25 2. áp dụng 25 3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26 4. Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương 29 Đ3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30 1. Hiện tại hoá 30 2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30 3. Chiết khấu theo lãi gộp 31 Đ4. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 32 1. Định nghĩa 32 2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu 33 3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34 4. Các ví dụ áp dụng 34 Đ5. So sánh các loại chiết khấu 37 1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp 37 2. So sánh Ec và Er 37 3. So sánh Ec và e 37 4. So sánh Er và e 38 5. Tóm tắt 38 5
Đ 6. Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38 1. Tư bản hoá liên tục 38 2. Hiện tại hoá liên tục 39 Chương IV. Dãy niên kim 40 Đ1. Đại cương 40 1. Định nghĩa 40 2. Các loại dãy niên kim 40 Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 1. Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 2. Các ví dụ áp dụng 41 3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44 Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45 1. Số tiền thu được 45 2. Giá trị hiện tại 45 Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46 1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46 2. Thời hạn trả trung bình 47 3. Sự tương đương của các dãy niên kim 48 Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 48 1. Tổng quát 48 2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49 3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49 Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 51 1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR 51 2. Ví dụ 53 6
Chương V. Thanh toán nợ thông thường 55 Đ1. Đại cương 55 1. Phương thức vay vốn 55 2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường 55 3. Bảng thanh toán nợ 56 Đ2. Thanh toán nợ thông thường 56 1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56 2. Các quy tắc cơ bản 58 3. Ví dụ 60 4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (ak = a = const) 61 5. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (mk = m = const) 63 Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 64 1. Vay nợ với tiền lãi trả trước 64 2. Thanh toán nợ gốc một lần 66 Chương VI . Thanh toán nợ trái phiếu 67 Đ1. Đại cương 67 Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67 1. Cơ sở dữ liệu 67 2. Các công thức 68 3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt 70 4. Bảng thanh toán nợ 71 5. Tình hình thanh toán trái phiếu 73 Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 74 1. Median của trái phiếu 74 2. Thời hạn trung bình của trái phiếu 75 7
Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 76 1. Khái niệm 76 2. Trường hợp niên kim cố định 77 3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77 4. Ví dụ 78 5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu 79 Chương VII. Định giá các khoản nợ 81 Đ1. Định giá khoản nợ thông thường 81 1. Định giá 81 2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81 3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt 84 Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu 87 1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87 2. Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89 3. Các ví dụ 89 Bài tập 92 8
Chương I Lãi đơn Đ1. Đại cương 1. Định nghĩa Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm cho người cho vay, sau một khoảng thời gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu. Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu. Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g. đang xét và số tiền đi vay. Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay. Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thường được tính bằng %. Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị được xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt đầu tính lãi. Giá trị thu được (Số tiền thu được) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm đang xét (thời hạn cho vay). 2. Lãi đơn Lãi đơn là tiền lãi được tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất cố định. Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay. Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi suất một năm. Khi đó I = C.i.a Thông thường, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9). Khi đó C.t.a I (1) 100 Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có C.t.m I (2) 1200 Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có C.t.n I (3) 36000 9
3. Giá trị thu được Gọi C’ là giá trị (số tiền) thu được của khoản vốn ban đầu C C.t.n  sau n ngày, ta có C' C I C (4a) 36000 C.t.m  sau m tháng, ta có C’ = C + I = C + (4b) 1200 C.t.a  sau a năm, ta có C’ = C + I = C + (4c) 100 Ví dụ: Một khoản vốn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10. Tính số tiền thu được vào ngày 31/12, biết lãi suất là 9% năm. Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. Số tiền thu được tính theo công thức (4a) là 100.000.000x9x91 C' 100.000.000 102.275.000 đ 36000 4. Lãi suất trung bình Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi. Giả sử có p khoản vốn Ci cho vay với là lãi suất ti và thời hạn cho vay ni tương ứng. Gọi T là lãi suất trung bình, ta có: p C .T.n p C .t .n i i  i i i i 1 36000 i 1 36000 Từ đó, ta tìm được p  Ci t i n i i 1 T p (5)  Ci n i i 1 Ví dụ: Một người cho vay 3 khoản vốn như sau Vốn Lãi suất Thời hạn cho vay 3800 USD 7,5% Từ 25/5 đến 15/7 6420USD 8,2% Từ 25/5 đến 31/7 780 USD 8,5% Từ 25/5 đến 31/8 Tính lãi suất trung bình. 10
Giải: Tương ứng với 3 khoản vốn trên, thời hạn cho vay là 51, 67, 98 ngày. Lãi suất trung bình tính theo công thức (5) là (3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98) T 8,04 (3800x51) (6420x67) (780x98) Lãi suất trung bình là 8,04% 5. Lãi suất hiệu dụng Trường hợp người cho vay được trả lãi trước, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận. Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu được một khoản lãi I. Do I được trả trước, nên thực tế vào thời điểm 0, người đó chỉ cho vay khoản tiền là (C-I). Số vốn (C-I) ban đầu đã tạo nên số tiền lãi I. Gọi t’ là lãi suất hiệu dụng, khi đó: (C I).t'.n C.t.n I 36000 36000 C Từ đó suy ra t' t (6) C I Ta thấy ngay t’> t. Ví dụ: Một người cho vay 20.000 USD trả lãi trước với lãi suất thoả thuận 9%. Thời hạn cho vay là 20 tháng. Tính lãi suất hiệu dụng. Giải: Số tiền lãi thu được C.t.m 20000x9x20 I = 3000 (USD) 1200 1200 Vậy lãi suất hiệu dụng là: 20000 t' x 9 10,58 20000 3000 Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58% Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn 1. Phương pháp số và ước số cố định Trong công thức Ctn I = 36000 11
ta chia cả tử và mẫu cho t và được Cn I = 36000 t 36000 Kí hiệu N = Cn và D = , ta sẽ có t N I = (7) D Đại lượng N được gọi là số. Đại lượng D được gọi là ước số cố định. Giá trị D sẽ ổn định khi lãi suất chưa thay đổi và được dùng chung cho các trường hợp vốn và thời hạn khác nhau. Phương pháp tính I qua công thức (7) gọi là phương pháp số và ước số cố định Ví dụ: Sử dụng phương pháp số và ước số cố định, tìm tổng lãi do đầu tư các nguồn vốn sau với lãi suất 9%: 5500 euro từ 1/3 đến 31/7 2625 euro từ 1/3 đến 31/8 870 euro từ 1/3 đến 30/9 Giải: Thời hạn đầu tư từng nguồn vốn lần lượt là n1 = 152, n2 = 183, n3 = 213 (ngày) 36000 Ước số cố định D = 4000 9 Tổng lãi thu được: 1 1 IIII (N N N ) (C n C n C n ) 123D 123D 112233 1 (5500x52 2625x183 5500x213) 621,97 euro 4000 2. Trường hợp năm dân sự Một năm dân sự có 365 ngày. Do đó khi sử dụng công thức tính lãi thương mại (một năm có 360 ngày) để tính lãi trong trường hợp năm dân sự ta phải điều chỉnh như sau: 36500 N Đặt D’ = thì số tiền lãi dân sự là I’ = t D' Ví dụ: Sự chênh lệch giữa lãi thương mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu tư với lãi suất 9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng. Tìm nguồn vốn C. 12
Giải: Cx9,5x72 Cx9,5x72 Từ 1,14 36000 36500 ta có Cx9,5x72x(36500 36000) 1,14 36000x36500 và tìm được nguồn vốn 36000x36500x1,14 C= 4.380 triệu đồng 9,5x72x500 13
Chương II Chiết khấu theo lãi đơn Đ1. Chiết khấu 1. Thương phiếu Thương phiếu là chứng từ biểu thị một quan hệ tín dụng, một nghĩa vụ trả tiền, được lập ra trên cơ sở các giao dịch thương mại. Thông thường, thương phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu. Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một người (người ký phát) gửi cho một người khác (người bị ký phát) để yêu cầu người này phải trả, vào một ngày xác định, số tiền ghi trên hối phiếu cho chính người ký phát hoặc cho một người xác định (người được hưởng) Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một người lập và ký tên, gửi cho một người khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản tiền cho người đó hoặc cho người được hưởng. Số tiền ghi trên thương phiếu được gọi là mệnh giá của thương phiếu. Ngày mà người bị ký phát phải trả tiền được gọi là ngày đáo hạn của thương phiếu. Một thương phiếu có thể được chuyển nhượng dễ dàng. 2. Chiết khấu Khi chưa đến ngày đáo hạn, người được hưởng đem thương phiếu đến ngân hàng yêu cầu chiết khấu. Chiết khấu thương phiếu là một nghiệp vụ tài chính thực hiện bằng việc bán lại thương phiếu chưa đến hạn cho ngân hàng: ngân hàng trả một số tiền ghi trên thương phiếu sau khi đã trừ bớt một khoản tiền. Khoản tiền bị trừ bớt được gọi là tiền chiết khấu. Giá trị hiện tại của thương phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu. Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có V = C - E (1) 3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn Số tiền chiết khấu thương mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thương phiếu, thường được kí hiệu là Ec. 14
Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu được gọi là ngày thỏa thuận. Gọi t là lãi suất chiết khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn. Số tiền chiết khấu thương mại Ec được tính như công thức lãi đơn: Ctn Cn E (2) c 36000 D Khi đó giá trị hiện tại thương mại sẽ là Vc = C - Ec. Vậy Ctn C(36000 tn) VC (3) c 36000 36000 hay Cn C(D n) VC (3’) c D D Ví dụ: Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 của một thương phiếu chiết khấu với lãi suất 9% là 7.868 USD. Nếu thương phiếu này được chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8. Tìm mệnh giá và ngày đáo hạn của thương phiếu. Giải: Khi chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, số tiền chiết khấu ít hơn 72 USD hay giá trị hiện tại sẽ lớn hơn 72 USD so với giá trị hiện tại vào ngày 25/8. Vậy giá trị hiện tại vào ngày đó là 7.868 + 72 = 7.940 (USD) Theo công thức (3) ta có: C(36000 9x30) 7940 36000 suy ra C = 8.000 (USD) Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có 8000x9xn 8000 7868 hay n = 66 (ngày) 36000 Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8. Đó là ngày 30/10 4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu, thường được ký hiệu là Er. Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu Vr 15
Vậy V n E = r r D V n V (D n) Từ CVEV r r , ta tìm được r r r D D D V = C (4) r D n Mặt khác CD Cn E = C - V = C - r r D n D n ta có Cn N E (5) r D n D n Ví dụ: Một thương phiếu có mệnh giá 1.260 euro được chiết khấu 45 ngày trước ngày đáo hạn (thường gọi: có thời hạn 45 ngày). Giả sử lãi suất chiết khấu là 6%, tìm số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý, giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu. Giải: 36000 Ước số cố định D = 6000 6 Cn 1260x45 Chiết khấu thương mại: E = 9,45 (euro) c D 6000 Cn 1260 x 45 Chiết khấu hợp lý: E = 9,38 (euro) r D n 6000 45 Giá trị hiện tại thương mại: Vc = C - Ec = 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro) Giá trị hiện tại hợp lý: Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro) 5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý a) So sánh: N N Từ E = và E , ta có E E c D r D n c r Chiết khấu thương mại luôn luôn lớn hơn chiết khấu hợp lý. 16
Chú thích: Khi tính theo lãi đơn, đại bộ phận các Ngân hàng sử dụng chiết khấu thương mại, vì điều đó có lợi cho Ngân hàng. b) Chênh lệch: Ta tính Ec - Er N N Nn E - E c r D D n D(D n) N n D n E n Vậy E - E = r (6) c r D D N n D Ec n hay Ec - Er = (7) D n D n Sự chênh lệch giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý bằng chiết khấu thương mại của chiết khấu hợp lý, hoặc bằng chiết khấu hợp lý của chiết khấu thương mại c) Tỉ số N E D n Ta tính c D (8) E r N D D n d) Quan hệ giữa C, Ec và Er 1 1 D n D n n Ta xét E rE c N N N Cn 1 1 1 Vậy (9) E rE c C Đ2. Thực hành chiết khấu 1. Chi phí chiết khấu (agio) Khi một thương phiếu được đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các hoạt động tài chính. Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio). Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau: Tiền chiết khấu Các loại hoa hồng 17
Thuế đánh vào các hoạt động tài chính Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng. Chúng được phân thành các loại sau: Tiền hoa hồng được tính tỉ lệ thuận theo thời hạn. Công thức tính các loại hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhượng) tương tự như tính chiết khấu nhưng với lãi suất khác, Tiền hoa hồng được tính không phụ thuộc vào thời hạn, Tiền hoa hồng cố định. Đó là các lệ phí tính theo từng thương phiếu như lệ phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấp thuận chiết khấu, 2. Giá trị ròng của thương phiếu Giá trị ròng của thương phiếu là số tiền mà người được hưởng thực sự nhận được sau khi đã khấu trừ agio. Vậy: Giá trị ròng = Mệnh giá - agio Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu 3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tăng lãi suất mà người được hưởng phải gánh chịu. Lãi suất chiết khấu t thoả thuận được rút ra từ công thức: Ctn E = . c 36000 Vậy E . 36000 t = c Cn Trên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải Ec), vì vậy lãi suất thực tế chiết khấu T sẽ được tính bởi công thức: agio . 36000 T = (10) Cn Khi thay mệnh giá bởi giá trị ròng, ta thu được công thức tính lãi suất giá thành chiết khấu T’ agio . 36000 T’ = (11) (Giỏ tri rũng) . n Chú thích: t < T < T’ 1 1 n (12) T T' 36000 18
Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng. Ví dụ 1: Một thương phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu ngày 1/10. Người được hưởng chấp nhận các điều kiện sau: Lãi suất chiết khấu: 8,60% Lãi suất hoa hồng chuyển nhượng: 0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn) Lệ phí phục vụ: 1 euro/1 thương phiếu Lệ phí báo có: 2,5 euro/1 thương phiếu Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60% Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu. Giải: a) Tính agio Từ 1/10 đến 30/11 có 60 ngày. 1000 x 8,60 x 60 Tiền chiết khấu E : 14,333 c 36000 1000 x 0,40 x 60 Hoa hồng chuyển nhượng: 0,666 36000 Hoa hồng cố định: 1+2,5 = 3,500 Thuế 17,60% của 3,5 = 3,5 x 17,60% = 0,616 Vậy agio: 19,12 (euro) b) Giá trị ròng: 1000 - 19,12 = 980,88 (euro) c) Lãi suất chiết khấu thực tế: 19,12 x 36000 T = 11,47 (%) 1000 x 60 d) Lãi suất giá thành: 19,12 x 36000 T’ = 11,71(%) 980,88 x 60 Ví dụ 2: Ngày 1/10 một doanh nghiệp đưa đến Ngân hàng một thương phiếu để chiết khấu. Ngày đáo hạn của thương phiếu là 31/12. Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suất giá thành chiết khấu. Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. 1 1 n Từ công thức , ta có T T' 3600 1 1 n 36.000 T.n T' T 36.000 36000.T 19
Vậy 36000.T 36000 x 9,6 T’ = 9,84 (% ) 36000 - T.n 36000 9,6 x 91 Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơn 1. Các định nghĩa a) Sự tương đương của hai thương phiếu Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức. Ngày mà hai thương phiếu tương đương được gọi là thời điểm tương đương. Thời điểm này phải xẩy ra trước ngày đáo hạn của hai thương phiếu. Gọi C1, C2 là mệnh giá của hai thương phiếu, V1, V2 là giá trị hiện tại của hai thương phiếu. Tại thời điểm tương đương, ta có V1 = V2 C1 - E1 = C2 - E2 Thông thường trong tính toán tương đương của các thương phiếu, ta dùng chiết khấu thương mại. Gọi n1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu. Ta có sơ đồ sau: Thời điểm tương đương n1 n2 V1 = V2 C1 C2 Tại thời điểm tương đương: C n C n C 1 1 C 2 2 (13) 1 D 2 D hay C (D n ) C (D - n ) 1 1 2 2 D D Vậy C D n 1 2 (14) C2 D n1 20
Chú thích: n1 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra sau thời điểm thứ nhất, nếu p < 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra trước thời điểm thứ nhất. 21
Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trước ngày đáo hạn của cả hai thương phiếu. Tại thời điểm tương đương thứ 2, gọi n’1 và n’2 là thời hạn của hai thương phiếu. Khi đó n’1 = n1 - p , n’2 = n2 - p và C D n' D - (n - p) 1 2 2 ( ) C 2 D n'1 D (n1 p) So sánh (*) và ( ): D n 2 (D - n2 ) p (D - n2 )p (D - n 1 )p (n1-n2) p = 0 D n1 (D n1 ) p Vì hai thương phiếu khác nhau nên n1 n2 , vậy p = 0 . Đó là điều phải chứng minh. Định lý 2 Thời điểm tương đương của một thương phiếu với một nhóm các thương phiếu khác là duy nhất, trừ trường hợp mệnh giá của thương phiếu đó bằng tổng các mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm. Trong trường hợp này, nếu sự tương đương đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tương đương luôn luôn xẩy ra tại mọi thời điểm (trước tất cả các ngày đáo hạn của mọi thương phiếu). Chứng minh: Vào thời điểm tương đương, ta có p Cn Ck .n k C = (Ck ) (*) D k 1 D Nếu có một thời điểm tương đương thứ 2 cách thời điểm tương đương ban đầu s ngày, thì tại thời điểm tương đương này, ta có: C(n s) p C (n s) k k C  C k D k 1 D p p Cn Cs Ck n k Ck s C -  C k +  D D k 1 D k 1 D Cs s p p Ck Cs s  C k D D k 1 k 1 p C -  Ck . s 0 ( ) k 1 p Nếu C Ck thì s = 0, hay thời điểm tương đương là duy nhất. k=1 p Nếu C Ck thì ( ) được thoả mãn với mọi s. k=1 Đó là điều phải chứng minh. 22
Chú thích: p Trong chứng minh trên, giả thiết (*) đã dẫn đến hệ thức ( ). Vậy nếu chỉ có C Ck k 1 thì không phải lúc nào cũng có (*). Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tương đương đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào đó rồi. Đ4. Một số bài toán ứng dụng 1. Bài toán về thời hạn trả chung Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung. Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán sau: Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung) Biết n tìm C Việc tính toán trên thương phiếu cũng được áp dụng cho trường hợp thanh toán các khoản nợ theo lãi suất đơn Ví dụ: Ngày hôm nay, một người đi vay muốn thay thế 3 khoản nợ: 10.000 euro, 20.000 euro, 30.000 euro với thời hạn trả nợ tương ứng 30 ngày, 60 ngày, 90 ngày bằng một khoản nợ trả sau 40 ngày. Tìm số tiền của khoản nợ đó, biết lãi suất là 6%. Giải: 36000 Ước số chung D 6000 . Gọi số tiền của khoản nợ thay thế là C. 6 Phương trình tương đương là 40 30 60 90 C 1 = 10000 1 20000 1 30000 1 6000 6000 6000 6000 Từ đó tính được C = 59697,98 euro 2. Bài toán về thời hạn trả trung bình Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất có mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời hạn trả trung bình. 23
Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình. Vào ngày thay thế, phương trình tương đương là p p p Cn Ck n k Cn 1 C  C k C Ck C k n k D k 1 D D k 1 D k 1 p p Vì C = C k , nên Cn = Ck n k k 1 k 1 p Ck n k k 1 Vậy n = p (16) C k k 1 Chú ý: Trong công thức (16), ta không cần sử dụng đến lãi suất. Ví dụ: Để thanh toán một khoản nợ 33.150 USD, người đi vay thoả thuận sẽ trả cho chủ nợ theo cách sau: Trả ngay: 20% khoản nợ, Phần còn lại: trả hàng tháng một khoản tiền bằng nhau trong 18 tháng liên tiếp, lần trả đầu tiên sẽ sau ngày thoả thuận 1 tháng, Giả sử lãi suất 10%, tính: Số tiền trả hàng tháng Thời hạn trả trung bình Giải: a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = Ck, k = 1, ,18) Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD Phương trình tương đương: Vx10x1 Vx10x2 Vx10x18 26520 V V V 1200 1200 1200 10V 26520 = 18V - 1 2 18 1200 57 26520 = 18V - V 40 Ta tìm được V = 1600 USD b) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏa thuận (1600 x 1) (1600 x 2) (1600 x 18) n 5,9 tháng 1600 x 18 24
Chương III Lãi gộp Đ1. Đại cương Một khoản vốn được gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số tiền lãi thu được sẽ được gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốn mới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục như vậy cho đến hết thời kỳ cuối cùng. Quá trình tính giá trị tương lai của một khoản vốn theo phương thức tính lãi gộp được gọi là quá trình lãi được vốn hóa hay tư bản hoá. Đ2. Công thức tính lãi gộp 1. Giá trị thu được Gọi Co là số tiền ban đầu, n là số thời kỳ, i là lãi suất trong một thời kỳ, Ck là giá trị thu được sau k thời kỳ. Ta tính lần lượt C1 = Co + Coi = Co(1+i) 2 C2 = C1 + C1i = C1(1+i) = Co(1+i) 3 C3 = C2 + C2i = C2(1+i) = Co(1+i) Bằng quy nạp, ta có công thức tính giá trị (số tiền) thu được sau n thời kỳ: n Cn = Co(1+i) (1) Chú thích: Dãy các giá trị thu được Cn  tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i) Tiền lãi In thu được sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa Cn và C0 hay In = Cn - Co. Vậy n In = Co[(1+i) -1] (2) 2. áp dụng Công thức (1) có 4 đại lượng Co ,C n ,i, n. Các bài toán áp dụng yêu cầu tìm đại lượng thứ 4, khi đã cho biết 3 đại lượng. 25
Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính. Đó là bảng cho sẵn các giá trị của 5 hàm số sau: Bảng I II III IV V (1+i)n - 1 1 - (1+i)-n i n -n Hàm số -n (1+i) (1+i) i i 1 - (1+i) Khi sử dụng các bảng tài chính, ta đối chiếu để tra tìm các số liệu. Vì các dữ liệu ban đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thường dùng phương pháp nội suy. Hiện nay trong các Ngân hàng, song song với tra bảng, người ta còn sử dụng máy tính. Ví dụ 1: Tính số tiền thu được của một khoản vốn 100.000.000 đồng sau 10 năm với lãi suất 6 tháng là 3%, biết quá trình tư bản hoá 6 tháng. Giải: Ta có Co = 100.000.000, n = 2x10 = 20, i = 0,03 20 Vậy C20 = 100.000.000 (1+0,03) Dùng bảng I, đối chiếu cột 3% và dòng n = 20, ta có 1,806111. Đó chính là giá trị của (1+0,03)20. Từ đó Co = 180.611.100 đồng. Ví dụ 2: Giá trị thu được của một khoản vốn 100.000 USD cho vay trong 8 năm là 202.941,8 USD. Tìm lãi suất hàng năm. Giải: 8 Ta có C8 = C0(1+i) 202 941,8 = 100 000(1+i)8 (1+i)8 = 2,029418 Dùng bảng I, đối chiếu ở dòng 8, tìm số 2,029418. Số đó ở cột 9,25. Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%. 3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên u u Xét trường hợp n = k+ , trong đó k  và 0 < < 1 v v Có 2 cách tính Cn : a) Phương pháp thương mại Để tính giá trị thu được Cn ta vẫn sử dụng công thức (1) với 26
u n = k+ . v Ta gọi đó là giá trị thu được thương mại, ký hiệu Cnc . Vậy u k v Cnc = C0(1+i) (3) Vì n không nguyên, nên khi tính (3), ta không thể dùng bảng để trực tiếp tìm (1+i) n được, mà phải sử dụng phương pháp nội suy. Ví dụ: Tìm (1+i) 12,6 với i = 10(%) Với n = 12 và i = 10, tra bảng ta có: 3,138428 Với n = 13 và i = 10, tra bảng ta có: 3,452271 Phương pháp nội suy tuyến tính dựa trên giả thiết giá trị của hàm số (1+i) n biến thiên trong khoảng 12 ≤ n ≤ 13 như là một hàm bậc nhất và có đồ thị là một đoạn thẳng. 3,452271 B C 3,138428 A M N 12 12,6 13 n Ta có CM AM BN x AM = CM = BN AN AN Vậy (3,452271 - 3,138428)x 0,6 CM = = 0,1883058 1 Từ đó (1+i)12,6 3,138428 + 0,1883058 = 3,3267338 Chú thích: Khi sử dụng máy tính thì (1+i)12,6 3,32313384 Do đó việc dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng. b) Phương pháp hợp lý u u Tách n = k + thành 2 phần: k và . v v k Sau k thời kỳ (k nguyên), số tiền thu được theo lãi gộp sẽ là Ck = C0(1+i) . 27
u u Trong phần thời kỳ tiếp theo, số tiền C sẽ tạo thêm một khoản lãi (đơn) là: C . i. v k k v Tổng hai số tiền trên được gọi là số tiền (giá trị) thu được hợp lý (kí hiệu Cnr ): u u C = C + C i = C (1+i ) nr k k v k v Vậy u C = C (1+i) k (1+ i) (4) nr 0 v c) So sánh Cnc và Cnr Ta đã tìm được u k v Cnc = C0(1+i) (1+i) u C = C (1+i) k (1+i ) nr 0 v u u So sánh C và C đưa về so sánh hai đại lượng (1+i) v và (1+i ) nc nr v Kí hiệu f(x) = (1+i) x và g(x) = 1+ix với i > 0. f(x) là một hàm mũ dạng y = a x với a = 1+i > 1 g(x) là một hàm bậc nhất y = ix + 1 với hệ số góc i dương Ta có f(0) = g(0) = 1 và f(1) = g(1) = 1 + i với x > 1 : f(x) > g(x) x = 1 : f(x) = g(x) 0 < x < 1 : f(x) < g(x) f(x) g(x) 1 x 0 1 u u u u u Vì 0 < < 1 nên f( ) < g( ) hay (1+i ) v < 1+i . v v v v 28
Từ đó Cnc 1+i 4 b) Lãi suất tương đương Hai lãi suất được gọi là tương đương, nếu trong cùng một thời gian tính theo lãi gộp, ta đều có cùng một giá trị thu được. Giả sử i là lãi suất năm, trong một năm chia làm k thời kỳ tư bản hóa và ik là lãi suất một thời kỳ. Giả sử hai lãi suất đó tương đương. Với một đơn vị tiền tệ, theo hai lãi suất trên, sau một năm thu được 1 k (1+i) và (1+ik) . k Do hai lãi suất là tương đương nên (1+ik) = 1+i Vậy 1 k ik = (1+i) -1 (6) 29
c) So sánh lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương áp dụng công thức khai triển Newton k k j j (1+x) = Ck x j 0 k(k 1) ta có: 1+i = (1+i )k = 1 + ki + i 2 + .+ i k k k 2! k k 1+i > 1 + kik i Vậy i > ki hay j = i . k k k j và i là hai lãi suất tỉ lệ, ik và i là hai lãi suất tương đương. Do đó trong lãi gộp, lãi suất tỉ lệ luôn luôn cao hơn lãi suất tương đương. Đ3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 1. Hiện tại hoá Hiện tại hoá là một nghiệp vụ tài chính tính giá trị hiện tại của một số tiền được trả trong tương lai. Giá trị hiện tại đó bằng số tiền trả trong tương lai trừ đi phần lãi gộp phát sinh. Như thế, hiện tại hoá là nghiệp vụ đảo của nghiệp vụ tư bản hóa. Từ công thức n Cn = C0 (1 i) (1) ta có công thức tính giá trị hiện tại C0 của một số tiền Cn được trả sau n thời kỳ: n C0 C n (1 i) (7) 0 n | | C0 Cn n n C0 C n (1 i) Cn = C0 (1 i) Chú thích: Các giá trị của hàm số (1 i ) n được cho trong Bảng tài chính II. 2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý Giả sử Co là giá trị của một khoản vốn tại thời điểm gốc, ta cần tính các giá trị của khoản vốn đó vào các thời điểm (-m) và n -m 0 n C m C0 Cn 30
Khi sử dụng công thức (1), ta có n m Cn C 0 (1 i) và C0= C-m (1 i) Như thế m n Cn C m (1 i) Ví dụ: Một người mua một mặt hàng trả tiền sau có 2 phương án thanh toán: Phương án 1: Sau 1 năm trả 165.000.000 đồng, Phương án 2: Sau 3 năm trả 100.000.000 đồng và sau 4 năm trả tiếp 100.000.000 đồng. Tính phương án nào có lợi cho người mua hàng, giả sử lãi suất 8%/năm. Giải: So sánh các giá trị hiện tại của số tiền phải trả theo 2 phương án vào thời điểm 0 (thời điểm mua hàng): * Phương án 1: PA1 = 165.000.000 x (1+0,08)-1 = 152.777.778 đồng * Phương án 2: PA2 =100.000.000 x (1+0,08)-3 +100.000.000 x (1+0,8)-4 = 152.886.209 đồng. Như vậy phương án 1 có lợi cho người mua hàng theo lãi suất giả định 8% năm. 3. Chiết khấu theo lãi gộp Gọi C là mênh giá của một thương phiếu, V’ là giá trị hiện tại ở ngày thoả thuận chiết khấu, n là thời hạn của thương phiếu. Theo công thức tính lãi gộp thì V’ = C(1+i)-n (8) Vậy số tiền chiết khấu theo lãi gộp là e = C - V’ = C[1 - (1+i)-n] (9) Ta xem cách chiết khấu như trên được thực hiện theo phương thức nào. Trong lãi đơn với phương thức chiết khấu thương mại, người sở hữu thương phiếu nhận D - n được một số tiền V = C . Sau n thời kỳ, số tiền V sản sinh tiền lãi đơn c D c n IV . c c D Vậy tới ngày đáo hạn thì tổng số tiền sẽ là n D n D n D n D2 n 2 VV V C C C c cD c D D D D 2 31
Với phương thức chiết khấu hợp lý, người sở hữu thương phiếu nhận được một số tiền D n V = C . Số tiền V sẽ phát sinh tiền lãi đơn I = V . r D n r r r D Sau n thời kỳ thì tổng số tiền là n D n D DN VV V C . C r rD r D D n D Trở lại chiết khấu theo lãi gộp, người sở hữu thương phiếu nhận được số tiền là V’. Sau n thời kỳ, số tiền V’ sản sinh tiền lãi I = V’(1+i)n - V’ Vậy vào ngày đáo hạn, số tiền sẽ là V’ + I = V’+ V’(1+i)n - V’= V’(1+i)n = C(1+i)-n (1+i)n = C Do đó cách chiết khấu theo lãi gộp như trên chính là phương thức hợp lý. Chú thích: Trong nghiệp vụ tài chính dài hạn, vì thời gian khá lớn và tính theo lãi gộp, nên các ngân hàng đều dùng duy nhất phương thức này nhằm bảo đảm quyền lợi của khách hàng. Ví dụ: Một thương phiếu có mệnh giá 20.000 euro, thời hạn 4 năm, được đem chiết khấu theo lãi gộp. Số tiền chiết khấu là 4.742,10 euro. Tính lãi suất chiết khấu hàng năm. Giải: Số tiền chiết khấu e = 20.000[1 - (1+i)-4] = 4.742,10 (1+i)-4 = 0,762895 Tra bảng II, dòng 4, số liệu 0,762895 cho i = 7% Đ4. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 1. Định nghĩa a) Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu đều có cùng giá trị hiện tại vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất. Giả sử 2 thương phiếu có mệnh giá C và D và thời hạn tương ứng là n và m thời kỳ. Vào thời điểm tương đương, ký hiệu thời điểm 0, các giá trị hiện tại là ' n ' m V1 C(1 i) ; V2 D(1 i) Vậy ta có phương trình tương đương C(1+i)-n = D(1+i)-m (10) b) Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương vào một ngày nào đó, nếu tổng các giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu vào ngày đó đều bằng nhau, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất. 32
Xét 2 nhóm thương phiếu {Ck, nk, k = 1, , s} và {Bj, mj, j = 1, , q} Vào thời điểm tương đương, ta có phương trình s q nk m j Ck (1 i)  B j (1 i) (11) k 1 j 1 Chú thích: Ngày chiếu khấu tương đương bao giờ cũng xẩy ra trước tất cả những ngày đáo hạn của mọi thương phiếu. 2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu Định lý Với lãi gộp, nếu sự tương đương đã xẩy ra vào một ngày nào đó, thì sự tương đương xẩy ra tại mọi thời điểm bất kỳ (trước ngày đáo hạn của các thương phiếu đang xét) Chứng minh: a) Trường hợp 2 thương phiếu tương đương Vào thời điểm tương đương, thời điểm 0, ta có C(1+i)-n = D(1+i)-m (*) Nhân hai vế của (*) với (1+i)p C(1+i)-n(1+i)p = D(1+i)-m(1+i)p hay C(1+i)-(n-p) = D(1+i)-(m-p) ( ) 0 p n m | | | | C D Vế trái ( ) là giá trị của C tính tại thời điểm p, về phải ( ) là giá trị của D tính tại thời điểm p. Phương trình ( ) chính là phương trình tương đương tại thời điểm p bất kỳ. b)Trường hợp 2 nhóm thương phiếu tương đương Vào thời điểm 0, ta có phương trình tương đương s q nk m j Ck (1 i)  B j (1 i) k 1 j 1 Nhân 2 vế với (1+i)p: s q (nk p) (mj p) Ck (1 i)  B j (1 i) k 1 j 1 Đó chính là phương trình tương đương tại thời điểm p. 33
Chú thích 1: Khác với trường hợp lãi đơn (sự tương đương chỉ xẩy ra vào một thời điểm duy nhất), khi tính sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp, ta có thể lựa chọn thời điểm tương đương thuận lợi trong các tính toán Chú thích 2: Các bài toán về sự tương đương của các thương phiếu cũng được áp dụng cho các bài toán về sự thay thế tương đương các khoản nợ. 3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình Tương tự như trong trường hợp lãi đơn, việc thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất cho ta bài toán về thời hạn trả chung. Nếu mệnh giá của thương phiếu thay thế duy nhất bằng tổng các mênh giá của các thương phiếu trong nhóm, ta sẽ có bài toán về thời hạn trả trung bình 4. Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Một người đi vay muốn thay thế 4 khoản nợ sau: 24.000 USD trả sau 1 năm, 16.000 USD trả sau 1 năm 6 tháng, 30.000 USD trả sau 2 năm 6 tháng, 40.000 USD trả sau 4 năm, bằng một khoản nợ duy nhất trả sau 5 năm. Giả sử lãi suất là 6% năm, tính số tiền thay thế phải trả. Giải: Gọi mỗi thời kỳ là 6 tháng và lãi suất tương đương một thời kỳ là j thì: (1+j)2 = 1+i = 1,06 (i = 0,06) Ta có sơ đồ sau, khi đặt thời điểm thay thế là thời điểm 0: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | | | | | | | | | | 24.000 16.000 30.000 40.000 C | >| |. >| | >| | >| Vào thời điểm thứ 10, phương trình tương đương là C = 24.000(1+j)8 + 16.000(1+j)7+ 30.000(1+j)5 + 40.000(1+j)2 = 24.000x(1,06)4+16.000x(1,06)3,5+ 30.000x(1,06)2,5 + 40.000x(1,06) = 127.023,57 USD 34
Ví dụ 2: Hãy xác định thời hạn trả của khoản nợ duy nhất thay thế cho 3 khoản nợ sau: 10.000 USD trả sau 6 tháng, 18.000 USD trả sau 18 tháng, 20.000 USD trả sau 30 tháng. Biết lãi suất 6 tháng là 2,5%, và khoản nợ duy nhất là 50.000 USD. Giải: Mỗi thời kỳ có độ dài 6 tháng. ta viết phương trình tương đương vào thời điểm 0 và gọi x là thời hạn của khoản nợ 50.000USD thay thế. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 3 4 5 x 10.000 18.000 20.000 50.000 Vào thời điểm 0, phương trình tương đương là: 50.000 x 1,025-x = 10.000 x 1,025-1 +18.000 x 1,025-3 +20.000 x 1,025-5 50.000 x 1,025-x = 44,147972 1,025-x = 0,882959 Sử dụng logarit giải phương trình trên, ta được ln0,882959 x = - 5,04 5 thời kỳ 7 ngày = 30 tháng 7 ngày ln1,025 Ví dụ 3: Ngày1/7/1990, một người gửi vào ngân hàng một số tiền 4.000 USD. Ngày 1/7/1994, người đó rút 3.000 USD. Ngày 1/7/1998 số dư trong tài khoản là 2.110,87 USD. Vào ngày 1/7 hàng năm, ngân hàng đều thực hiện tư bản hoá. Hỏi: a) lãi suất hàng năm b) lãi suất 6 tháng tỉ lệ, lãi suất 6 tháng tương đương 35
Giải: Trong tính toán, ta coi khi người đó rút 3.000USD như người đó gửi (- 3000) USD. Do đó ta có sơ đồ sau: 1/7/1990 1/7/1994 1/7/1998 4000 -3000 2110,87 a) Vào ngày 1/7/1998, phương trình tương đương là: 4000(1 + i)8 - 3000(1+i)4 = 2110,87 Đặt x = (1+i)4, ta có phương trình bậc 2: 4x2 - 3x - 2,11087 = 0 Phương trình có hai nghiêm: x1 = 1,192522; x2 = -0,4425 Vậy (1+i)4 = 1,192522 từ đó tìm được lãi suất hàng năm là i = 1,1925221/4 - 1 = 4,5% b) Lãi suất 6 tháng tỉ lệ j: j = i/2 = 2,25% Lãi suất 6 tháng tương đương k: (1+k)2 = 1+i = 1,045 k = 1,045 - 1 = 2,225% Ví dụ 4: Một xí nghiệp dự tính mua một cỗ máy có thời hạn sử dụng 3 năm. Sau 3 năm, cỗ máy đã được khấu hao hết. Khi đưa vào sử dụng, riêng cỗ máy này đem lại các khoản thu sau: 30.000.000 đồng vào cuối năm thứ 1, 24.000.000 đồng vào cuối năm thứ 2 và 20.000.000 đồng vào cuối năm thứ 3. Ngay vào đầu năm thứ 1, xí nghiệp phải trả ngay tiền mua cỗ máy đó. Giả sử lãi suất đầu tư là 10% năm, tính số tiền tối đa cần thiết mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy. Giải: Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 3 30.000.000 24.000.000 20.000.000 36
Ta tính tổng các giá trị hiện tại các khoản thu được vào thời điểm 0 (thời điểm trả tiền mua máy): -1 -2 -3 C = 30.000.000x(1,1) + 24.000.000x(1,1) + 20.000.000x(1,1) = 62.133.734 Vậy số tiền tối đa mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy là 62.133.734 đồng với lãi suất đầu tư giả định là 10%0 Đ5. So sánh các loại chiết khấu 1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp Gọi: C : mệnh giá của thương phiếu, n : thời hạn của thương phiếu, i : lãi suất chiết khấu, Ec : số tiền chiết khấu thương mại theo lãi đơn, Er : số tiền chiết khấu hợp lý theo lãi đơn, e : số tiền chiết khấu (hợp lý) theo lãi gộp, Vc : giá trị hiện tại thương mại theo lãi đơn, Vr : giá trị hiện tại hợp lý theo lãi đơn, V’ : giá trị hiện tại chiết khấu theo lãi gộp. Ta có các công thức sau: Ec = Cin; Vc = C(1-in) in C E = C V = r 1 in r 1 in e = C[1 - (1+i)-n] V’ = C(1+i)-n 2. So sánh Ec và Er Từ 1 Er 3. So sánh Ec và e -n Để so sánh Vc và V’ ta so sánh hai đại lượng (1-in) và (1+i) Khi đặt f(x) = (1+i)x và g(x) = 1 + ix thì (1+i)-n = f(-n) và 1-in = g(-n) Vì f(x) > g(x) với x g(-n) hay (1+i)-n > (1-in) Do đó Vc e 37
4. So sánh Er và e 1 1 Tương tự ta so sánh V và V’ hay so sánh và (1+i)-n = r 1 in (1 i) n n Với n > 1 : ( 1 + i) > 1 + in, nên V’ Er n Với n = 1 : ( 1 + i) = 1 + in, nên V’ = Vr hay e = Er n Với 0 Vr hay e 1 : Er < e < Ec Đ6. Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 1. Tư bản hoá liên tục Khi nghiên cứu các bài toán kinh tế, vấn đề tư bản hoá liên tục tương ứng với tình huống lý tưởng là số vốn hoạt động liên tục: số tiền lãi sinh ra được nhập ngay tức khắc để tạo thành nguồn vốn mới và nguồn vốn mới này lại tiếp tục sinh ra tiền lãi, Giả sử i là lãi i suất năm và trong một năm có k lần tư bản hoá. Khi đó lãi suất tỉ lệ là . Gọi C là số k n tiền thu được sau n năm, ta có: i C = C (1 + )kn n 0 k Cho k + , ta có tình huống tư bản hoá liên tục. Vậy: k ( ).in i kn i 1 in Cn, lt = lim Cn = lim C0 1 = C0 lim 1 = C0 e k k k k k ( ) i Ta tìm được công thức tính giá trị thu được của số tiền C0 sau n năm khi tư bản hóa liên tục: in Cn, lt = C0 e (12) Ví dụ: Một người gửi 1 đơn vị tiền tệ với lãi suất 10 % năm. Quá trình tư bản hoá liên tục. Tìm số tiền mà người đó có được sau 1 ngày ( Một năm có 365 ngày). 38
Giải: 1 0,1 x Sau một ngày, một đơn vị tiền tệ trở thành e 365 = 1,000274 đơn vị 2. Hiện tại hoá liên tục Từ công thức (12) nếu gọi C là giá trị của 1 khoản tiền trả sau n năm, và Vlt là giá trị hiện tại (liên tục) thì in C = Vlt e Do đó, giá trị hiện tại liên tục của C là -in Vlt = Ce (13) Ví dụ: Tính giá trị hiện tại của một khoản tiền 10.000 euro được trả sau 4 năm với lãi suất 5% năm trong 2 trường hợp: Tư bản hoá hàng năm Tư bản hoá liên tục Hãy so sánh các kết quả nhận được và nêu nhận xét về lãi suất. Giải: Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá hàng năm: -n -4 V1 = C(1 + i) = 10.000x1,05 = 8227,02 euro Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá liên tục: -in -0,05x4 V2 = Ce = 10.000 x e = 8187,31 euro Gọi j là lãi suất hàng năm sao cho trong quá trình tư bản hoá hàng năm, số tiền C có giá trị hiện tại là V2: 1 C C 4 4 4 C = V2(1 + j) (1+j) = j = - 1 = 5,127% V2 V2 Lãi suất 5% khi tư bản hoá liên tục tương đương với lãi suất 5,127% khi tư bản hoá hàng năm. 39
Chương IV Dãy niên kim Đ1. Đại cương 1. Định nghĩa Niên kim là khoản tiền bỏ ra với quãng thời gian bằng nhau. Quãng thời gian được gọi là thời kỳ. Một thời kỳ có thể là một năm, 6 tháng, một quý, một tháng. Các niên kim tạo thành một dãy niên kim nhằm các mục đích: Hình thành một khoản vốn Thanh toán một khoản nợ 2. Các loại dãy niên kim Người ta phân loại các dãy niên kim theo các tiêu chí sau: Các niên kim được đóng vào đầu hay vào cuối kỳ Các niên kim bằng nhau (niên kim cố định) hay khác nhau Số lượng các niên kim là hữu hạn hay vô hạn. Trường hợp số niên kim hữu hạn, có thể số lượng niên kim đã được xác định từ trước, hay chưa rõ (chẳng hạn số lượng niên kim phụ thuộc vào tuổi thọ của một người). Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ Xét một dãy có n niên kim, mỗi niên kim đều được trả vào cuối kỳ. Người ta quy định thời điểm gốc (thời điểm 0) của dãy niên kim này là thời điểm xẩy ra đúng một thời kỳ trước niên kim đầu tiên được thực hiện. Cần chú ý xác định đúng thời điểm gốc trong các phép tính về dãy niên kim. 1. Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ Số tiền (giá trị) thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ, ký hiệu Vn, là tổng các số tiền thu được của các niên kim tính ở thời điểm thứ n. Gọi a là niên kim cố định. 40
Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n a a a a a(1+i) a(1+i)n-2 a(1+i)n-1 Vậy 2 n-2 n-1 Vn = a + a(1+i) + a(1+i) + .+ a(1+i) + a(1+i) Đó là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1 = a và công bội q = 1+i. Ta có qn 1 (1 i) n 1 V u a n 1 q 1 (1 i) 1 Cuối cùng, ta có công thức tính số tiền thu được của dãy n niên kim cố định a: (1 i)n 1 V a (1) n i Chú thích 1: (1 i)n 1 Giá trị hàm số được cho trong Bảng tài chính III. i Chú thích 2: Trong công thức (1) có 4 đại lượng, các bài toán xoay quanh việc cho 3 đại lượng, cần tìm đại lượng thứ 4. Khi biết a, n, Vn, cần tìm i, ta không thể dùng các cách tính khác ngoài việc sử dụng Bảng tra tài chính III. 2. Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: (Tính giá trị thu được Vn ) Sử dụng Bảng tài chính III và phương pháp nội suy, tìm giá trị thu được của một dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim là 100.000.000 đồng, với lãi suất 6,20% Giải: Tra bảng III với n = 10, i = 6,25% ta có giá trị 13,336572 i = 6,00% ta có giá trị 13,180795 41
Theo phương pháp nội suy, ta có: 13,336572 B C 13,180795 A M N 6,00 6,20 6,25 i CM AM BN.AM CM BN AN AN (13,336572 13,180795)x0,20 CM = = 0,1246216 0,25 (1 i)10 1 Với i = 6,20% thì 13,180795 0,1246216 13.3054166 i Cuối cùng V10 = 100.000.000 x 13,3054166 = 1.330.541.660 đồng Ví dụ 2: (Tính niên kim a) Một khoản vốn 242.149,2 euro vừa được hình thành nhờ một dãy 14 niên kim cố định cuối kỳ. Biết lãi suất một thời kỳ là 8%, tính số tiền của niên kim cố định. Giải: Ta có (1 i)n 1 V a 242149,2 14 i (1 i)n 1 Bảng tài chính III với n = 14, i = 8% cho ta giá trị 24,21492 i Vậy số tiền của niên kim là 242149,2 a = 10.000 euro 24,21492 Ví dụ 3: (Tính số niên kim n) Cần phải có một dãy bao nhiêu niên kim cố định a = 10.000 USD cuối kỳ để tạo thành một khoản vốn 1.000.000 USD? Giả sử lãi suất i = 7%. 42
Giải: V ln( n i 1) (1 i)n 1 V Từ n ta có thể tìm thấy n = a i a ln(1 i) Tuy nhiên n phải là một số nguyên dương, vì vậy ta chỉ cần sử dụng bảng III sau đó điều chỉnh a thích hợp (mặc dù a đã cho) Với dữ liệu đã cho, ta có (1 i )n 1 1.000.000 100 i 10.000 Tra bảng III, cột 7% cho giá trị 94,460786 với n = 30 và giá trị 102,073041 với n = 31 Vậy n [30,31] cần điều chỉnh a theo 2 cách sau: V với n = 30 thì a = n 10.586,40 USD 94,460.786 V với n = 31 thì a = n 9796,910 USD 102,073.041 Ví dụ 4: (Tính lãi suất i) Biết số tiền thu được của một dãy 11 niên kim cố định cuối kỳ là 150.000 euro. Mỗi niên kim là 10.000 euro. Tìm lãi suất i Giải: Với dữ liệu đã cho, ta có (1 i )11 1 150.000 15 i 10.000 Bảng III dòng 11 cho giá trị 14,971.643 với i = 6% và giá trị 15,170.108 với i = 6,25% 15,170108 B 15 C 14,971643 A M N 0,06 i 0,0625 Theo phương pháp nội suy ta có: AM CM AN.CM AM AN BN BN 43
Từ đó ta có: (0,0625 0,06) x (15 -14,971643 AM = 0,0036 15,170108 - 14,971643 Vậy lãi suất i cần tìm là: 0,06 + 0,0036 = 0,06036 hay i = 6,036 % 3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ là tổng các giá trị hiện tại của các niên kim tính tại thời điểm gốc, thời điểm 0, ký hiệu là V0. Ta lập sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n a a a a a(1+i)-1 a(1+i)-2 . a(1+i)-(n-1) a(1+i)-n Giá trị hiện tại của các niên kim tính tại thời điểm gốc là: -n -(n-1) -1 V0 = a(1+i) + a(1+i) + + a(1+i) -n Đó là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với u1 = a(1+i) và công bội q = 1+i. qn 1 (1 i)n 1 1 (1 i) n V u a (1+i)-n a o 1 q 1 i i Ta có công thức tìm giá trị hiện tại V0 của dãy n niên kim cố định a 1 (1 i) n V = a (2) 0 i Chú thích 1: 1 (1 i) n Giá trị hàm số được cho trong bảng tài chính IV i Chú thích 2: -n Ta coi V0 là giá trị hiện tại của Vn. Khi đó V0 = Vn(1+i) . Thay Vn từ công thức (1) (1 i)n 1 1 (1 i) n V = a (1 i) n a . 0 i i Ta tìm lại công thức (2) 44
Chú thích 3: Trong công thức (2) có 4 đại lượng. Các bài toán áp dụng đều đưa về tìm đại lượng thứ 4 khi cho biết 3 đại lượng. Chú thích 4: Thông thường, người ta ngầm định sử dụng các niên kim cuối kỳ. Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ Xét một dãy n niên kim cố định. Mỗi niên kim đều được thực hiện vào đầu kỳ. 1. Số tiền thu được Gọi V’n là số tiền thu được của dãy niên kim đang xét, tính ở thời điểm thứ n. Ta có sơ đồ sau: 0 1 . n-1 n a a a a(1+i) a(1+i)n-1 a(1+i)n Như vậy (1 i )n 1 V’ = a(1+i) + a(1+i)2 + +a(1+i)n = a(1 i ) n (1 i ) 1 Ta tìm được công thức tính giá trị thu được của dãy n niên kim cố định a thực hiện vào (1 i )n 1 đầu kỳ: V’ = a(1 i ) (3) n (1 i ) 1 2. Giá trị hiện tại Gọi V’o là giá trị hiện tại của dãy niên kim đang xét tính tại thời điểm 0. Ta có (1 i )n 1 V’ = V’ (1+i)-n = a(1 i ) (1+i)-n o n (1 i ) 1 1 (1 i ) n V’ = a(1 i ) (4) o i Cũng có thể tìm thấy (4) qua sơ đồ tương ứng tự như cách tìm công thức (2) 45
Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p Cho một dãy n niên kim cố định a cuối kỳ. Trong Đ3, ta tính được Vo và Vn Xét thời điểm p bất kỳ, p có thể có giá trị âm hay dương. Gọi Vp là giá trị của dãy niên kim đó tính tại thời điểm p. Khi đó, giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p sẽ là p -(n-p) Vp = Vo(1+i) = Vn(1+i) (5) Ví dụ 1: Một người mua lại một cửa hàng. Trong ngày bàn giao, người bán đề nghị 2 phương thức thanh toán: Trong 12 năm liên tiếp, vào cuối mỗi năm trả một số tiền 30.000 USD. Lần trả đầu tiên được thực hiện đúng 1 năm sau ngày bàn giao Đúng 4 năm sau ngày bàn giao trả một khoản tiền duy nhất Giả sử lãi suất là 4% năm, hãy tính khoản tiền cần trả duy nhất đó để cho 2 phương thức thanh toán tương đương nhau. Giải: Ngày bàn giao chính là thời điểm gốc của dãy 12 niên kim cố định. 1 1,04 12 Ta có: V 30.000 = 30.000 x 9,385074 = 281.552,22 o 0,04 Khoản tiền duy nhất trong phương án 2 chính là V4 của dãy niên kim. 4 4 Vậy V4= Vo (1+i) = 281.552,22 x 1,04 = 329.376,4 USD Ví dụ 2: Cho một dãy 8 niên kim cố định. Thời kỳ là 1 năm. Biết a = 10.000 USD và i = 6%, hãy tìm giá trị của dãy niên kim đó tính tại các thời điểm sau: 1 năm trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 18 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 3 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 46
Giải: 1 năm trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm 0, 18 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm (-1/2), 3 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm 3/4. Ta cần tìm Vo, V1 , V3 2 4 -1 -1/2 0 3/4 1 3 tháng 18 tháng Theo công thức (5), ta tìm được: 1-1,06 8 V = 10.000 62.097,94 USD 0 0,06 1 2 V 1 = V0 (1,06) 60.314,85 USD 2 3 4 V 3 = V0 (1,06) 64.871,80 USD 4 2. Thời hạn trả trung bình Khi thay thế một dãy niên kim bằng một khoản tiền trả vào một thời hạn nào đó, ta cần có sự tương đương các giá trị của chúng. Giả sử có một dãy n niên kim cố định a và số tiền thay thế C=na, khi đó thời hạn của khoản tiền thay thế được gọi là thời hạn trung bình. Thời hạn này tính trên trục thời gian với 0 là thời điểm gốc của dãy niên kim. Ký hiệu thời hạn trả trung bình là p. Tại thời điểm 0, phương trình tương đương cho: p V0 C(1 i) 1 (1 i) n i a na(1 i) p (1 i) p n (6) i 1 (1 i) n Từ hệ thức (6) ta tìm được p Chú thích: i Giá trị của biểu thức được cho trong bảng tài chính V 1 (1 i) n 47
3. Sự tương đương của các dãy niên kim Hai dãy niên kim được gọi là tương đương nhau nếu giá trị của chúng vào cùng thời điểm p bất kỳ đều bằng nhau. Ví dụ: So sánh dãy (A) gồm 8 niên kim, mỗi niên kim là 1.000.000 đồng, thời kỳ là 6 tháng, niên kim đầu tiên được thực hiện sau 6 tháng, với dãy niên kim (B) gồm 10 niên kim, mỗi niên kim là 900.000 đồng, thời kỳ là 6 tháng, niên kim đầu dược thực hiện sau 1 năm, lãi suất một thời kỳ là 6%. Giải: Chọn thời điểm so sánh là thời điểm gốc của dãy (A), đối với dãy (B) thời điểm này là (- 1). Ta tính (A) (B) V0 và V 1 1 1,06 8 V (A) = 1.000.000. 6.209.794 0 0,06 1 1,06 10 V(B) V(B) x1,06 1 900.000 1,06 1 1- 0 0,06 = 900.000 x 7,360087 x 0,943396 = 6.249.128,9 Vậy (A) (B) V0 < V 1- Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 1. Tổng quát Cho một dãy n niên kim cuối kỳ, mỗi niên kim là ak. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n | | | | | a1 a2 an-1 an Khi đó: n k V0  a k (1 i) (7) k 1 n n k Vn  a k (1 i) (8) k 1 n và Vn V 0 (1 i ) (9) Thông thường việc cho các giá trị a k thường cho đặc biệt: chúng lập thành một cấp số cộng hoặc một cấp số nhân. 48
2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng Cho dãy n niên kim {ak} lập thành một cấp số cộng với công bội d. Khi đó ak = a1 + (k-1)d. Thay vào công thức (8): n n k Vn = [a1 (k 1)d] (1 i) k 1 n-1 n-2 1 = a1(1+i) + (a1+d)(1+i) + + (a1+(n-2)d)(1+i) + (a1+(n-1)d) n-1 n-2 1 n-2 n-3 1 = a1 [(1+i) + (1+i) + +(1+i) + 1] + d[(1+i) + 2(1+i) + +(n-2)(1+i) + (n-1)] (1 i )n 1 (1 i )n 1 = a1 + d S = a1 + d S (1 i ) 1 i Tính: S = (1+i)n-2 + 2(1+i)n-3 + +(n-2)(1+i)1 + (n-1) S(1+i) = (1+i)n-1 + 2(1+i)n-2 + +(n-2)(1+i)2 + (n-1)(1+i) S(1+i)-S = Si = [ (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + +(1+i)1 + 1 ] - n n = (1 i ) 1 - n (1 i ) 1 Vậy: 1 (1 i )n 1 S = n i i Cuối cùng: n (1 i )n 1 1 (1 i ) 1 (1 i )n 1 d (1 i )n 1 dn Vn = a1 + d n = a1 + - i i i i i i i (1 i )n 1 dn V = d - (10) n a1 i i i -n Dễ dàng tìm được giá trị V0 theo công thức V0 = Vn(1+i) 1 (1 i ) n dn V = d - (1 i ) n (10’) 0 a1 i i i 3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân Cho dãy n niên kim {ak} lập thành một cấp số nhân với công sai q. Khi đó k-1 ak =a q 49
Thay vào công thức (8), ta có n n a 1 a n q k V aqk 1 (1 i) n k qk (1 i) n = (1 i)n ( ) (*) n   k  k 1 k 1 q (1 i) q k 1 1 i a Nếu q = 1+i thì V qn n naq n 1 n q Nếu q 1+i , ta nhận xét tổng trong (*) là tổng n số hạng của một cấp số nhân có q q u = và công bội . Từ đó: 1 1+i 1 i q ( )n 1 a q qn (1 i) n 1 i qn (1 i) n V (1 i)n . 1 i a(1 i)n 1 . . a. n q 1 i q n q (1 i) q (1 i) 1 (1 i) 1 i qn (1 i) n Vậy V a. (11) n q (1 i) -n Dễ dàng tìm được giá trị V0 theo công thức V0 = Vn(1+i) qn (1 i) n V = a.(1 i) n . (11’) 0 q (1 i) Ví dụ: Một người muốn lập một quỹ vốn theo cách sau: Trong 10 năm liên tiếp, cứ cuối mỗi năm gửi một khoản tiền. Khoản tiền đầu tiên là 10.000 USD, các khoản tiền năm sau tăng thêm 5% khoản tiền năm trước. Giả sử lãi suất là 6% năm. Hỏi số tiền của quỹ vốn lập được ngay sau khi gửi khoản tiền cuối cùng. Giải: Các khoản tiền gửi lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1,05. áp dụng công thức vừa tìm được với a = 10.000, i = 0,06, số tiền quỹ vốn vừa hình thành là 1,0510 1,06 101,06 10 1,05 10 V 10.000 10.000 10 1,05 1,06 0,01 1,790848 1,628895 10.000 161.953 USD 0,01 50
Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR Xét một dự án đầu tư gồm có n thời kỳ. Dự án bắt đầu từ thời điểm thứ 0 và kết thúc sau thời điểm thứ n. Một thời kỳ là một quãng thời gian bằng nhau, thường được tính bằng năm. Đối với một dự án, có 2 luồng tiền: Luồng tiền đầu tư Dk , k=0, ,n Luồng tiền thu được Rk , k=0, ,n Thông thường vào các thời kỳ đầu dự án đầu dự án thì Rk= 0 và vào các thời kỳ cuối dự án thì Dk = 0. Dự án được bắt đầu từ thời điểm 0, vì lúc đó đã phải đầu tư khoản tiền D0. Đặt CFk = Rk - Dk (k = 0, ,n) Luồng tiền CFk , k=0, ,n là luồng tiền lãi tịnh (thuần) thu được đối với người đầu tư. Để thẩm định một dự án đầu tư, thường dùng hai tiêu chuẩn: NPV và IRR a) NPV (Giá trị hiện tại tịnh (thuần)) NPV là giá trị tính tại thời điểm 0 của dãy niên kim CFk . Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n D0 D1 D2 Dn R0 R1 R2 Rn CF0 CF1 CF2 CFn -1 CF1(1+i) -2 CF2(1+i) -n CFn(1+i) n k Với lãi suất đầu tư giả định là i trong một thời kỳ, thì NPV = CFk (1 i) (12) k 0 n k Thông thường R0 = 0, nên NPV = -D0 + CFk (1 i) k 1 Một dự án được gọi là khả thi (theo lãi suất i) nếu NPV > 0. 51
Biết NPV, nhà đầu tư có thể: Biết một dự án là khả thi hay không, Có sự lựa chọn đầu tư nếu có đồng thời nhiều dự án xem xét. Chú thích: Thời điểm tính NPV không phải thời điểm gốc của dãy niên kim {CFk} như đã nêu trong Đ2 Giá trị NPV hoàn toàn phụ thuộc vào lãi suất đầu tư giả định i và là một hàm giảm theo i. b) IRR (Tỉ suất hoàn vốn nội bộ) IRR là "lãi suất" làm cho NPV = 0 Ký hiệu IRR = r thì r là nghiệm của phương trình: n k CFk (1 r) 0 (13) k 0 Với lãi suất đầu tư bằng IRR, các khoản tiền đầu tư và lợi nhuận cân bằng. Do đó, nếu trên thị trường tài chính, lãi suất thực tại i i > IRR thì dự án không khả thi, i 0; y2 < 0) CN BN y 2 MC y1 y 1 MC (r2 r 1 ) MC CN y1 y 2 y 1 y 2 52
Khi đó ta sẽ tìm được r = MC + r1 Chú thích: r1 r r 2 Ta có thể dùng thuật toán sau . Khi đó y1 0 y 2 r-r1 0-y 1 y 1 y 1 = r-r1 = (r 2 -r 1 ) r = r 1 + (r 2 -r 1 ) r2 -r 1 y 2 -y 1 y 1 -y 2 y 1 -y 2 2. Ví dụ Một dự án đầu tư gồm các khoản giải ngân như sau: 40.000 USD vào cuối năm 2010; 20.000 USD vào cuối năm 2011; 20.000 USD vào cuối năm 2012; 20.000 USD vào cuối năm 2013 Dự án sẽ kết thúc sau 7 năm. Bắt đầu vào cuối năm 2011 cho đến khi kết thúc, hàng năm sẽ thu được một khoản lãi 18.100 USD. Tính luồng tiền lãi tịnh, từ đó tính NPV với lãi suất đầu tư 10%. Nêu kết luận. Tìm IRR Giải: a) Ta có: D0 = 40.000 R0 = 0 D1 = 20.000 R1 = R2 = R7 =18.100 D2 = 20.000 D3 = 20.000 D4 = D5 = D6 = D7 = 0 Vậy: CF0 = - 40.000 CF1 = CF2 = CF3 = -1.900 CF4 = CF5 = CF6 = CF7 = 18.100 53
Khi đó: NPV = - 40.000 - 1.900x[1,1-1+ 1,1-2 + 1,1-3] + 18.100x[1,1-4 + 1,1-5 + 1,1-6 + 1,1-7] = -1.629,1 Dự án không khả thi với lãi suất đầu tư mong muốn là 10%. b) Đặt IRR = r, ta có phương trình: - 40.000 - 1.900[(1+r)-1+ (1+r)-2 + (1+r)-3] + +18.100[(1+r)-4 + (1+r)-5 + (1+r)-6 + (1+r)-7] = 0 Ta đã biết * Vế phải khi r = 10 và có giá trị là NPV(10) = y2 = -1.629,1 * Với i = 8%, ta tính NPV(8) = 2.688,6 = y1 Từ đó 2.688,6 r = 0,08 x (0,10 0,08) 0,08 0,0125 0,0925 2.688,6 1.629,1 Vậy tỉ suất hoàn vốn nội bộ là: IRR = 9,25% 54
Chương V Thanh toán nợ thông thường Đ1. Đại cương 1. Phương thức vay vốn Để huy động một nguồn vốn, thường có hai phương thức sau: Người đi vay vay vốn của một chủ nợ. Chủ nợ có thể là một người, một ngân hàng, thậm chí cả một tập đoàn ngân hàng hoặc một tổ chức tài chính. Khoản vay như vậy được gọi là vay nợ thông thường. Các ngân hàng, công ty, Nhà nước, cần có một nguồn vốn lớn sẽ phát hành trái phiếu. Do đó có rất nhiều các chủ nợ. Khoản vay đó được gọi là vay nợ trái phiếu. Chương V đề cập đến việc thanh toán nợ thông thường. Thanh toán nợ trái phiếu sẽ được nêu trong chương VI 2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường Có nhiều cách thanh toán: trả một lần, trả dần làm nhiều lần. Trong phần này ta xét đến việc thanh toán trả dần nhiều lần bằng các niên kim. Mỗi niên kim gồm hai phần: phần trả hết số tiền lãi do số dư nợ sinh ra trong thời kỳ phần thanh toán nợ gốc Trường hợp số tiền niên kim lại nhỏ hơn số tiền lãi phát sinh, ta vẫn phải bảo đảm trả hết phần lãi đó và như vậy số dư nợ tăng lên. Do đó, phần thanh toán nợ gốc có thể mang giá trị âm. Gọi D0 là số tiền vay ban đầu. Đó chính là số dư nợ tính ở thời điểm 0. Gọi ak là niên kim cuối thời kỳ thứ k, mk là khoản thanh toán nợ gốc ở thời kỳ thứ k, Dk là số dư nợ sau khi thực hiện niên kim ak. Giả sử i là lãi suất một thời kỳ và Ik là số tiền lãi phải trả hết do số dư nợ Dk-1 sinh ra. Vậy Ik = D k-1. i Gọi n là số các niên kim dùng để thanh toán hết khoản nợ D0. Ta có các công thức sau: Ik = Dk-1. i, ak = Ik + mk, Dk = Dk-1 - mk (1) D0 = m1 + m2 + + mn (2) Dn = 0 (3) 55
3. Bảng thanh toán nợ Để dễ theo dõi việc thanh toán nợ, ta lập Bảng thanh toán nợ. Trong bảng cần thể hiện liên tiếp các niên kim với hai thành phần của nó và số dư nợ. Do đó bảng có 5 cột sau: Thời kỳ, Niên kim, Lãi, Thanh toán nợ gốc, Số dư nợ. Bảng thanh toán nợ Thời kỳ Niên kim Lãi Thanh toán nợ gốc Số dư nợ (k) (ak) (Ik) (mk) (Dk) 0 D0 1 a1 = I1 + m1 I1 = D0. i m1 D1 = D0 - m1 2 a2 = I2 + m2 I2 = D1. i m2 D2 = D1 - m2 k ak = Ik + mk Ik = Dk-1. i mk Dk = Dk-1 - mk n an = In + mn In = Dn-1. i mn Dn = Dn-1 - mn = 0 Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp, cho mọi cách thức thanh toán bằng niên kim. Đ2. Thanh toán nợ thông thường 1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc Theo công thức (1), ta có: ak+1 = Ik+1 + mk+1 = Dk. i + mk+1 = (Dk-1 - mk). i + mk+1 ak = Ik + mk = Dk-1. i + mk Trừ các vế của hai hệ thức trên: ak+1 - ak = mk+1 - mk.i - mk Cuối cùng ak+1 - ak = mk+1 - mk(1+i) (4) Mệnh đề 1: a) Khi các niên kim cố định, các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+i. 56
b) Khi các khoản thanh toán nợ gốc cố định, các niên kim lập thành một cấp số D .i cộng với công sai d = - 0 n Chứng minh: a) Vì aj = a = const, nên ak+1 - ak = 0. Từ (4) ta có mk+1 = mk(1+i) hay m k là một cấp số nhân với công bội q = 1+i D b/ Vì m = m = const, nên m = 0 j n D0 .i D0 i Từ (4) ta có ak+1 - ak = m - m(1+i) = -m.i = - hay ak+1 = ak + n n D .i Dãy a là một cấp số cộng với công sai d = - 0 k n Mệnh đề 2: Khi các niên kim cố định, mỗi niên kim được tính bởi công thức: i a = D . (5) 0 1 (1 i) n Chứng minh: Khi các niên kim là cố định, ta có m k là một cấp số nhân. Mặt khác D0 = m1 + m2 + + mn là tổng n số hạng của một cấp số nhân, nên: qn 1 (1 i)n 1 i D m m m D 0 1 q 1 1 i 1 0 (1 i)n 1 Ta có: i 1 a = a = m + I = m + D .i = D + D .i = D .i 1 1 1 1 1 0 0 n 0 0 n (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) n D .i = D .i 0 . 0 (1 i)n 1 1 (1 i) n Đó chính là công thức (5) Chú thích: * Trong khi chứng minh mệnh đề 2, ta còn tìm được kết quả sau: Khi các niên kim cố định, khoản thanh toán nợ gốc đầu tiên được tính bằng: i m1 = D 0 n (1 i) 1 (6) i * Trong công thức (5), giá trị của biểu thức được cho trong Bảng V. 1 (1 i) n 57
2. Các quy tắc cơ bản Quy tắc 1: (Sự tương đương ở thời điểm n, thời điểm kết thúc vay nợ) Giá trị thu được của khoản vốn vay tính ở thời điểm n bằng tổng các số tiền thu được của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ. n n n k D0 (1 i)  ak (1 i) (7) k 1 Chứng minh: Xét dãy niên kim ak (k=1, ,n) và lập sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n | | | | | a1 a2 an-1 an | >| an-1(1+i) n-2 | >| a2(1+i) n-1 | >| a1(1+i) n D0 | >| D0(1+i) Tổng giá trị thu được của n niên kim {ak} (dùng để thanh toán khoản nợ) tính tại thời n n-1 n-2 n k điểm n là a1(1+i) + a2(1+i) + + an-1(1+i) + an = ak (1 i ) (*) k 1 n Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm n là D0(1+i) ( ) Hai đại lượng đó phải bằng nhau. Từ đó có (7). Quy tắc 2: (Sự tương đương ở thời điểm 0, thời điểm bắt đầu vay nợ) Số tiền nợ khi đi vay bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm gốc của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ. n k D0  a k (1 i) (8) k 1 Chứng minh: Nhân hai vế (7) với (1+i)-n, ta có (8). 58
Quy tắc 3: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 | ap-1(1+i) p-2 | >| a2(1+i) p-1 | >| a1(1+i) p D0 | . >| D0(1+i) Tổng giá trị thu được của p niên kim {ak: k=1, p} tính tại thời điểm p là p p-1 p-2 p k a1(1+i) + a2(1+i) + .+ ap = ak (1 i ) k 1 p Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm p là D0(1+i) . Vậy p p p k D0(1+i) = ak (1 i ) + Dp . Từ đó có (9). k 1 Quy tắc 4: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n) Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm p của tất cả (n-p) niên kim sắp được thực hiện n p j Dp  a p j (1 i) (10) j 1 59
Chứng minh: Xét các niên kim ap+1, ap+2, , an dùng để bảo đảm cho việc thanh toán khoản nợ Dp. Lập sơ đồ sau: p p+1 p+2 n | | | | Dp ap+1 ap+2 an -1 ap+1(1+i) |< | |< | -(n-p) -(n-p) an(1+i) = ap+(n-p)(1+i) |< | Tổng giá trị (n-p) niên kim đó tính tại thời điểm p là n - p -1 -2 -(n-p) -j ap+1(1+i) + ap+2(1+i) + .+ ap+(n-p)(1+i) =  ap+j (1+i) j=1 Vì số tiền này dùng để thanh toán phần dư nợ Dp, nên n-p -j Dp = ap+j (1+i) . Ta được (10) j=1 Nhận xét: a) Nếu aj = a = const, thì từ (8) ta có n (1 i) n 1 1 (1 i) n(1 i) n 1 D a (1 i) k a(1 i) 1 a a (11) 0  1 n k 1 (1 i) 1 i i(1 i) Đó chính là công thức (5) k-1 b) Nếu dãy ak lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+i, thì ak = a1(1+q) Từ (8) ta có n n 1-k k 1- 1 D0  a 1 (1 i) (1 i )  a1 (1 i) na1 (1 i ) (12) k 1 k 1 3. Ví dụ Một xí nghiệp vay một khoản tiền 1.000.000 USD, với lãi suất 6%, được thanh toán bằng 6 niên kim cố định. Niên kim thứ 1 được thực hiện một năm sau ngày ký hợp đồng vay vốn. Hãy lập bảng thanh toán nợ. Giải: Vì ak = a, nên D .i 1.000.000 x 0,06 a = 0 203.362,60USD 1 (1 i) n1 1,06 6 60
Đồng thời I1 = D0.i = 60.000 n1 = a1 - I1 = a - I1 = 203.362,60 - 60.000 = 143.362,60 D1 = D0 - m1 = 856.637,40 Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 1.000.000,00 1 203.362,60 60.000,00 143.362,60 856.637,40 2 203.362,60 51.398,24 151.964,36 704.673,04 3 203.362,60 42.280,38 161.082,22 543.590,82 4 203.362,60 32.615,45 170.747,15 372.843,67 5 203.362,60 22.370,62 180.991,98 191.851,69 6 203.362,79 11.511,10 191.851,69 0,00 Chú ý: Vì phải bảo đảm thanh toán hết nợ, nên ta điều chỉnh ở a6 4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (ak = a = const) a) Các kết quả đã có: m là một cấp số nhân với công bội q = 1+i k  i k 1 m1 D 0 n ; mk m 1 (1 i) (1 i) 1 i (1 i)n 1 a D0 - n ; D0 a n 1 - (1 i) i(1 i) b) Tình hình thanh toán nợ Sau khi thực hiện niên kim thứ p, gọi Rp là khoản tiền đã thanh toán được và Dp là số dư nợ. Ta thiết lập các công thức tính Rp và Dp. Ta có: (1 i)p 1 i (1 i)p 1 (1 i)p 1 R m m m D x D p 1 p 1 (1 i) 1 0 (1 i)n 1 i 0 (1 i)n 1 Vậy (1 i)p 1 RD (13) p 0 (1 i)n 1 61
Ta có: (1 i)p 1 (1 i)n (1 i) p Dp D 0 R p D 0 1 n D 0 n (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i)n 1 (1 i)n (1 i) p a i(1 i) n (1 i)n 1 Vậy 1- (1 i) n-p D a (14) p i c) Ví dụ: Một khoản nợ được thanh toán bằng 10 niên kim cố định. Khoản thanh toán nợ gốc thứ 1 là 79.504,60 USD và khoản thanh toán nợ gốc thứ 3 là 87.653,8125 USD. Tìm: Lãi suất vay nợ Số tiền vay nợ lúc ban đầu, biết a = 129.504,60 USD Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 4 Giải: m 87.653,8125 * m = m (1+i) 2 (1 i) 2 3 1,1025 3 1 m 79.504,60 1 Bảng I cho i = 5% (1 i)n 1 1,0510 1 * D a 129.504,60 1.000.000USD 0 i(1 i) n 0,05(1,05)10 Cách khác: a m1 129.504,60 79.504,60 a = a = D i + m D0 = 1.000.000 1 0 1 i 0,05 * D9 - m10 = D10 = 0 m10 = D9 Ta lại có a10 = D9i + m10 = m10(1+i) Vậy a10 a 129.504,60 m10 123.337,40USD 1 i 1 i 1,05 62
1 (1 i) 4 101 1,05 6 * D a 129.504,60 657.325,47USD 4 i 0,05 Chú thích: Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là a n mn = (15) 1 i Quả vậy: Từ Dn = Dn-1 - mn = 0, ta có Dn-1 = mn . Từ an = Dn-1i + mn = mni + mn = mn(1+i), suy ra điều phải chứng minh. Do đó, nếu ak = a thì khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là a m n 1 i 5 Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (mk = m = const) D Vì D = m + m + + m = n.m, nên m 0 0 1 2 n n D i Dãy a là một cấp số cộng với công sai d = 0 , nên k n D i a a 0 k 1 k n Ta có: D 1 a = I + m = D i + 0 D (i ) 1 1 1 0 n 0 n Ví dụ: Lập bảng thanh toán nợ với khoản thanh toán nợ gốc cố định, biết rằng D0 = 500.000 euro, i = 5%, n = 5 Giải: D D = 500.000, m = 0 100.000, 0 n D i 500.000 x 0,05 d = 0 5000 n 5 a1 = D0i + m1 = 500.000 x 0,05 +100.000 = 125.000 63
Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 500.000 1 125.000 25.000 100.000 400.000 2 120.000 20.000 100.000 300.000 3 115.000 15.000 100.000 200.000 4 110.000 10.000 100.000 100.000 5 105.000 5.000 100.000 0 Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 1. Vay nợ với tiền lãi trả trước a) Trường hợp tổng quát Việc thanh toán vẫn được tiến hành bằng n niên kim ak, nhưng lãi được trả trước. Như vậy khi ký hợp đồng vay số tiền D0, người đi vay đã phải trả ngay khoản tiền lãi phát sinh trong thời kỳ đầu. Ta phải thay đổi công thức tính ở (1) như sau: Ik = Dki (k = 0,1 ,n) Như vậy In = Dni = 0 Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 I0 = D0i D0 1 a1 = D1i + m1 I0 = D1i m1 D1 = D0 - m1 k ak = Dki + mk Ik = Dki mk Dk = Dk-1 - mk n-1 an-1 = Dn-1i + mn-1 In-1 = Dn-1i mn-1 Dn-1 = Dn-2 - mn-1 n am = mn In = 0 mn Dn = Dn-1 - mn = 0 Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp thanh toán 64
b) Trường hợp riêng: Các niên kim cố định ak = a = const Ta có : ak+1 = ak Dk+1i + mk+1 = Dki + mk mk+1 + (Dk+1 - Dk)i = mk mk+1 - mk+1 i = mk 1 m = m ( ) k+1 k 1 i 1 Như thế m  lập thành một cấp số nhân với công bội k 1 i 1 1 i Vì > 1, nên khi viết = 1 + r, ta sẽ có r = 1 i 1 i 1 i Do đó mk+1 = mk(1+r) hay {mk} lập thành một cấp số nhân với công bội 1+r. (1 r)n 1 r Vì D m m m ,nên m = D 0 1 n 1 r 1 0 (1 r)n 1 Ta còn có: r r(1 r) 1 a = a = m = m (1+r)n-1 = D . (1+r)n-1 = D n n 1 0 (1 r)n 1 0 1 (1 r) n c) Ví dụ: Lập bảng thanh toán nợ với các niên kim cố định, lãi trả trước, biết D0 = 40.000 USD, i = 5%, n = 5 Giải: i 0,05 r = 0,05263 1 i 1 0,05 r 0,05263 m = D = 40.000 = 7.201,06 7.201 1 0 (1 r)n 1 (1,05263)5 1 4 4 a = m5 = m1(1+r) = 7.201,06 x (1,05263) = 8.841 I0 = D0i = 40.000 x 0,05 = 2.000 I1 = a1 - m1 = 8.841 - 7.201 = 1.640 D1 = D0 - m1 = 40.000 - 7.201 = 32.799 65
Bảng thanh toán nợ k ak Ik mk Dk 0 2.000 40.000 1 8.841 1.640 7.201 32.799 2 8.841 1.261 7.580 25.219 3 8.841 862 7.979 17.240 4 8.841 442 8.399 8.841 5 8.841 0 8.841 0 2. Thanh toán nợ gốc một lần Tuy việc trả số tiền vay D0 được thực hiện một lần, vào lần cuối cùng, nhưng do D0 khá lớn, nên người đi vay phải lập một quỹ ngầm (sinking fund), để chuẩn bị cho việc thanh toán nợ. Thông thường người đi vay gửi đều đặn vào ngân hàng một số tiền cố định sao cho khi kết thúc thời hạn đi vay thì quỹ ngầm đủ bảo đảm thanh toán hết khoản nợ đã vay. Giả sử thời hạn vay D0 là n thời kỳ. Có 2 trường hợp: Cuối mỗi kỳ, người đi vay phải trả một khoản lãi I = D0i cho chủ nợ. Niên kim cuối cùng thanh toán hết nợ gốc, Trả một lần cả gốc lẫn lãi. Gọi i’ là lãi suất ngân hàng, nơi người đi vay chuẩn bị quỹ ngầm. Ta tính số tiền cần gửi vào ngân hàng tương ứng với hai trường hợp trên: a) Gọi a’ là số tiền cố định mà người đó gửi vào ngân hàng cuối mỗi thời kỳ. Do tiền lãi được trả cho chủ nợ từng thời kỳ, nên dãy n niên kim a' chỉ để chuẩn bị trả cho khoản nợ gốc D0, hay D0 là giá trị thu được của dãy niên kim cố định. Ta đã có công thức (1 i')n 1 i' a' D a' D i' 0 0 (1 i')n 1 Do đó người đi vay, trên thực tế, phải chuẩn bị các niên kim ak là ak = a’ + I Phần lãi I = D0i trả cho chủ nợ, phần a’ gửi vào ngân hàng. n b) Vào cuối thời kỳ n, giá trị thu được của khoản vay ban đầu là D0(1+i) . Do đó n D0(1+i) phải bằng giá trị thu được của dãy n niên kim a’. Vậy n (1 i') 1 n n i' a' D0 (1 i) a' D0 (1 i) n i' (1 i') 1 66
Chương VI Thanh toán nợ trái phiếu Đ1. Đại cương Khi cần huy động một nguồn vốn lớn, người đi vay (ngân hàng, xí nghiệp, Chính phủ, ) phát hành trái phiếu. Trái phiếu là một giấy chứng nhận do người đi vay xác nhận một phần vốn vay trong một khoản vay lớn dài hạn. Trái phiếu là một loại chứng khoán. Người chủ nợ (người chủ trái phiếu) có thể thu hồi vốn trước thời hạn (khi trái phiếu của họ chưa được thanh toán) bằng cách chuyển nhượng trái phiếu trên thị trường chứng khoán. Trái phiếu có các đặc điểm sau: Mệnh giá: duy nhất đối với một loại trái phiếu, mệnh giá trái phiếu thường nhỏ để dễ phát hành Cupông: tiền lãi tính trên mệnh giá với lãi suất trái phiếu Giá phát hành: thấp hơn hoặc bằng mệnh giá Giá thanh toán: cao hơn hoặc bằng mệnh giá. Nhiều trường hợp giá thanh toán tăng dần theo các đợt thanh toán. ở đây ta xét giá thanh toán cố định Tiền bù thanh toán (tiền khuyến khích): Hiệu giữa giá thanh toán và giá phát hành Với các trái phiếu dài hạn thường thanh toán hàng năm bằng các niên kim qua việc quay số, bốc thăm từng đợt. Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 1. Cơ sở dữ liệu Đối với một khoản nợ trái phiếu, ta có các dữ liệu sau: a) N : Số lượng trái phiếu phát hành b) C : Mệnh giá của mỗi trái phiếu c) i : Lãi suất trái phiếu d) c : Cupông trả cho mỗi trái phiếu c=Ci e) E : Giá phát hành mỗi trái phiếu E ≤ C f) R : Giá thanh toán mỗi trái phiếu R C g) Ak : Số lượng các trái phiếu được thanh toán trong đợt k 67
h) Rk : Số lượng các trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k i) Nk : Số lượng các trái phiếu còn lưu thông (chưa được thanh toán) sau đợt k j) ak : Niên kim thứ k. Đó là số tiền thanh toán đợt k bao gồm: * Ik : số tiền trả cupông cho Nk-1 trái phiếu còn đang lưu thông đến thời điểm thanh toán * mk : số tiền thanh toán cho Ak trái phiếu. Như vậy ak = Ik + mk = cNk-1 + RAk Ta lập bảng sau để theo dõi hai dữ liệu quan trọng ak và Nk k ak Nk 1 a1 = cN + RA1 N1 = N - A1 2 a2 = cN1 + RA2 N2 = N1 - A2 k ak = cNk-1 + RAk Nk = Nk-1 - Ak n an = cNn-1 + RAn Nn = Nn-1 - An = 0 2. Các công thức n NA  k (1) k 1 ak-1 - ak = R [Ak+1 - Ak(1+r)] (2) n k c RN  ak (1 r) với r = (3) k 1 R Chứng minh: a) Có n đợt thanh toán. Mỗi đợt có Ak (k=1, ,n) trái phiếu được thanh toán. Số lượng trái phiếu phát hành là N. Vậy N = A1 + A2 + . + An . Ta được (1) b) Tính ak-1 - ak = (cNk + RAk+1) - (cNk-1 + RAk) = RAk+1 - RAk - c(Nk-1-Nk) = RAk+1 - RAk - cAk c = R [A - A (1+ )] k+1 k R = R [Ak+1 - Ak(1+r)] Ta được (2) 68
c) Trước hết ta chứng minh hệ thức tổng quát sau bằng quy nạp: k k j-k RNk = RN(1 r)  aj (1 r) (k=1, ,n) (*) j 1 Với k = 1, (*) trở thành RN1 = RN(1+r) - a1 c R(N-A ) = RN(1+ ) - a 1 R 1 - RA1 = Nc - a1 a1 = cN + RA1 (Đúng) Giả sử đã có (*) với k. Nhân hai vế với (1+r) sau đó trừ đi ak+1: k k 1 (k 1)- j RNk(1+r) - ak+1 = RN(1 r)  aj (1 r) - ak+1 j 1 k 1 c k 1 (k 1)- j RNk(1+ ) - ak+1 = RN(1 r)  aj (1 r) ( ) R j 1 Vế phải ( ) chính là vế phải (*) với (k+1) Xét vế trái ( ) c RN (1+ ) - a = RN + cN - a = RN - cN - ( cN + RA ) k R k+1 k k k+1 k k k k+1 = R (Nk - Ak+1) = RNk+1 Đó là vế trái của (*) cho (k+1). Hệ thức (*) được chứng minh. Sử dụng (*) với k=n và chú ý Nn = 0, ta có n n n j RN(1 r)  ak (1 r) j 1 Khi nhân hai vế với (1+r)-n, ta được (3). Chú thích: c Ci Từ r = = nên khi C < R thì r < i và khi C = R thì r = i R R Từ Nn = Nn-1 - An = 0, ta có Nn-1 = An . Vậy an = cNn-1 + RAn = cAn + RAn = An(c+R) = An(rR + R) = RAn(1 + r). a Niên kim cuối cùng sẽ được tính bởi A = n n R(1 r) 69
3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt a) Thanh toán bằng các niên kim cố định ak = a = const * Từ công thức (2) ta có Ak+1 = Ak(1+r), hay dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. Vậy k-1 Ak = A1(1+r) N là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nên (1 r)n 1 (1 r)n 1 NA A 1 (1 r) 1 1 r Số trái phiếu thanh toán lần đầu là r AN (4) 1 (1 r)n 1 * Số trái phiếu thanh toán đợt k là r AN (1 r)k 1 (5) k (1 r)n 1 * Từ (3) ta có n 1 (1 r) n RN a (1 r) k a k 1 r suy ra số tiền thanh toán mỗi đợt: r a RN (6) 1 (1 r) n * Số lượng trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k: k (1 r)k 1 r (1 r)k 1 RAA N k j 1 n j 1 (1 r) 1 (1 r) 1 r (1 r)k 1 RN (7) k (1 r)n 1 * Sau đợt k, số lượng trái phiếu còn đang lưu thông (chưa thanh toán): n (1 r)k 1 NANR = NN k j k n j k 1 (1 r) 1 (1 r)n (1 r) k NN (8) k (1 r)n 1 a * Số lượng trái phiếu thanh toán đợt cuối cùng A = n R(1 r) 70
b) Số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định Ak = const N Có tất cả n đợt thanh toán, nên A = . Từ (2), ta có k n N N N N c N a - a = R [ - (1+r)] = - R r = - R = - c k-1 k n n n n R n N Vậy dãy {a } lập thành một cấp số cộng với công sai d = - c . k n Dễ dàng tìm được a1 và ak: N R a = cN + RA = cN + R = N (c+ ) 1 1 n n R N a = a + (k-1)d = N (c+ ) + (k-1)( - c ) k 1 n n 4. Bảng thanh toán nợ Bảng thanh toán nợ trái phiếu được thiết lập như bảng thanh toán nợ thông thường. Tuy nhiên cần điều chỉnh làm tròn để số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt là một số nguyên dương. Mặt khác, khi lập bảng thanh toán cần biết số lượng trái phiếu còn đang lưu thông (chưa được thanh toán) sau mỗi đợt. Bảng có các cột sau: Thời kỳ : k Niên kim (Số tiền thanh toán) : ak = Ik + mk Lãi (Tiền trả các cupông) : Ik = cNk-1 Thanh toán trái phiếu gốc Số lượng trái phiếu : Ak Số tiền : mk = RAk Số dư trái phiếu chưa thanh toán : Nk = Nk-1 - Ak Thanh toán Thời Niên kim Lãi trái phiếu gốc Số dư trái phiếu kỳ Số lượng Số tiền chưa thanh toán (k) (ak = Ik+ mk) (Ik) (Ak) (mk) (Nk) 0 N0 = N 1 a1 = cN0 + RA1 I1 = cN0 A1 m1 = RA1 N1 = N0 - A1 k ak = cNk-1+ RAk Ik = cNk-1 Ak mk = RAk Nk = Nk-1 - Ak . n an In An mn Nn = 0 71
Ví dụ: Một công ty phát hành 10.000 trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh toán bằng 6 đợt với niên kim bằng nhau. Biết giá thanh toán cho mỗi trái phiếu là 225 USD, lập bảng thanh toán trái phiếu Giải: Khi thanh toán với các niên kim cố dịnh, dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, C = 200, R = 225, i = 0,045, n = 6, c c = Ci = 9, r = = 0,04 R Từ (4), về mặt lý thuyết số trái phiếu thanh toán đợt đầu là: r 0,04 10.000 10.000 AN 10.000x 1507,619 1 (1 r )n 1 1,046 1 1,04 6 1 6,632975 0,04 k-1 Lần lượt tính Ak = A1 (1,04) và làm tròn kết quả: A1 = 1507,619 1508 A2 = 1507,619x1,04 = 1567,924 1568 A3 = 1567,924x1,04 = 1630,641 1631 A4 = 1630,641x1,04 = 1695,867 1696 A5 = 1695,867x1,04 = 1763,701 1764 A6 = 1763,701x1,04 = 1834,249 1834 Tổng A1+A2+A3+A4+A5+A6 = 10.001 Thừa 1 trái phiếu, nên ta điều chỉnh như sau: A1 = 1507, A2 = 1568, A3 = 1631, A4 = 1696, A5 = 1764, A6 = 1834 72
Bảng thanh toán trái phiếu Thời Thanh toán trái phiếu gốc Số trái phiếu còn kỳ Niên kim Lãi Số lượng Số tiền lưu thông (k) (ak) (Ik) (Ak) (mk=RAk) (Nk) 0 10.000 1 429.075 90.000 1.507 339.075 8.493 2 429.237 76.437 1.568 352.800 6.925 3 429.300 62.325 1.631 366.975 5.294 4 429.246 47.646 1.696 381.600 3.598 5 429.382 32.382 1.764 396.900 1.834 6 429.156 16.506 1.834 412.650 0 10.000 2.250.000 5. Tình hình thanh toán trái phiếu Để theo dõi việc thanh toán trái phiếu, cần biết hai đại lượng: số trái phiếu đã thanh toán cho đến hết đợt k hoặc số trái phiếu còn lưu thông sau khi thanh toán đợt k. a) Trường hợp ak = a Trong phần 3 ta đã tìm được: (1 r)k 1 (1 r)n (1 r) k RN ; NN k (1 r)n 1 k (1 r)n 1 b) Trường hợp ak = a và R = C (thanh toán ngang mệnh giá) Khi R = C thì r = i, nên (1 i)k 1 (1 i )n (1 i ) k RN ; NN k (1 i)n 1 k (1 i)n 1 Ví dụ: Một khoản nợ trái phiếu với 10.000 trái phiếu, mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá thanh toán 230 USD, được thanh toán bằng 15 niên kim cố định. Tính số trái phiếu còn chưa thanh toán sau đợt 8. Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, C = 200, R = 230, i = 0,0575, n = 15, c 11,50 c = Ci = 11,50, r = = = 0,05 R 230 73
Từ (8) ta có (1,05)15 (1,05) 8 N 10.000 = 5574,72 8 (1,05)15 1 Chọn N8 = 5575. Sau đợt 8, còn 5575 trái phiếu chưa thanh toán. Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 1. Median của trái phiếu Median của trái phiếu là khoảng thời gian để thanh toán được một nửa số trái phiếu phát hành. N Gọi p là median thì R = p 2 (1 r)p 1 Nếu a = a , thì R = N . Vậy ta có phương trình k p (1 r)n 1 (1 r)p 1 N N (1 r)n 1 2 Giải phương trình này, ta nhận được: 1 ln{1 [(1 r)n 1]} p = 2 (9) ln(1 r) Cũng có thể dùng Bảng III, khi viết (1 r)p 1 1 (1 r) n 1 r 2 r Sau đó làm tròn để p nguyên dương. Ví dụ: Tìm median của trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 5,75%, giá thanh toán 230 USD bằng 18 niên kim cố định. Giải: Từ C = 200, R = 230, i = 0,0575 ta có c 11,5 c = Ci = 200x0,0575 = 11,5, r = = = 0,05 R 230 Vậy (1,05)p 1 1 (1,05) 18 1 = 0,5x28,132385 = 14,0661925 0,05 2 0,05 Tra Bảng III thì 10 < p < 11. Vậy ta chọn (chẳng hạn) p = 11 74
2. Thời hạn trung bình của trái phiếu a) Thời hạn trung bình của trái phiếu là khoảng thời gian lưu thông trung bình của trái phiếu. Như thế có A1 trái phiếu lưu thông 1 thời kỳ, A2 trái phiếu lưu thông 2 thời kỳ, , An trái phiếu lưu thông n thời kỳ. Gọi n là thời hạn trung bình, thì n kA k n k 1 (10) N b) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi các niên kim cố định Nếu ak = a thì dãy {Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r. k-1 Khi đó Ak = A1(1+r) , từ (10) và (8) ta có A n r 1 n r n 1 k(1 r)k 1 N k(1 r) k 1 S n  n N k 1 (1 r) 1 N k 1 (1 r) 1 n Ta tính tổng S = k(1 r)k 1 như sau: k 1 S = 1 + 2(1+r) + 3(1+r)2 + + n(1+r)n-1 S(1+r) = (1+r) + 2(1+r)2 + 3(1+r)3 + + n(1+r)n S(1+r) - S = Sr = n(1+r)n - [1 + (1+r) + (1+r)2 + .+ (1+r)n-1] (1 r)n 1 = n(1+r)n - (1 r) 1 Vậy 1 (1 r)n 1 S = [ n(1+r)n - ] r r Cuối cùng, thời hạn trung bình là: r 1 (1 r)n 1 n(1 r) n 1 n [ n(1+r)n - ] = (*) (1 r)n 1 r r (1 r)n 1 r 1 r n [ n ]1 (11) r 1- (1 r) n- n [(1 r)n 1] n 1 hoặc từ (*) n (1 r)n 1 r 1 n n (n - ) + (11’) r (1 r)n 1 75
c) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi số trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định N Nếu A = const thì A = . Do đó từ (10) k k n N n k n  1 (n 1)n n 1 n k 1 N n 2 2 d) Ví dụ: Tìm thời hạn trung bình của trái phiếu, biết n = 20 năm, thanh toán ngang mệnh giá với lãi suất i = 9,5%, trong hai trường hơp: niên kim cố định số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định Giải: Vì R = C nên r = i = 0,095 Trường hợp niên kim cố định, theo công thức (11’) thời hạn trung bình là: 1 n 1 20 n (n - ) + = (20 - ) + = 13,3 năm r (1 r)n 1 0.095 (1,095)20 1 Trường hợp số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định, thời hạn trung bình là: n 1 20 1 n = = 10,5 năm 2 2 Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 1. Khái niệm Khi phát hành N trái phiếu với giá E, thì nguồn vốn huy động được là EN. Người phát hành phải dùng n niên kim ak để thanh toán các trái phiếu và cupông. Như vậy giá trị hiện tại (tại thời điểm phát hành) của dãy niên kim đó theo một lãi suất x sẽ bằng EN. Lãi suất x cao hơn lãi suất trái phiếu i. Nếu bổ sung thêm một khoản tiền F mà nhà phát hành phải trả cho các chi phí, thì trên thực tế nhà phát hành chỉ huy động được một nguồn vốn (EN - F). Khi đó lãi suất thực tế x’ còn cao hơn lãi suất x. Định nghĩa 1 Lãi suất trung bình đầu tư là lãi suất x thỏa mãn phương trình: n k EN =  ak (1 x ) (12) k 1 76
Sơ đồ minh hoạ: | | | | EN a1 a2 an -1 a1(1+x) |< | -2 a2(1+x) |< | -n an(1+x) |< | Định nghĩa 2 Lãi suất giá thành là lãi suất x’ thỏa mãn phương trình: n k EN - F =  ak (1 x ') (13) k 1 2. Trường hợp niên kim cố định Khi ak = a, theo công thức (6) r a RN 1 (1 r) n thay vào (12), ta có r n r 1 (1 x ) n EN = RN (1 x ) k RN n  n 1 (1 r) k 1 1 (1 r) x 1 (1 x ) nE 1 (1 r ) n (14) x R r Dựa vào bảng tài chính IV và phương pháp nội suy ta tìm được lãi suất trung bình đầu tư x. F Ký hiệu f = , thì f là chi phí cho một trái phiếu. Một cách tương tự ta có N 1 (1 x ') nE f 1 (1 r ) n (15) x' R r Từ công thức (15) ta tìm được lãi suất giá thành x’. 3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định N Nc Khi A = const thì A = và dãy {a } là một cấp số cộng công sai d = - . k k n k n Nc Thay a = a1 -(k-1) vào các phương trình (12) và (13), ta sẽ tìm được x và x’. k n 77
4. Ví dụ Ví dụ 1: Công ty P&P phát hành 10.000 trái phiếu mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanh toán bằng 18 niên kim cố định. Giá phát hành 199 USD, giá thanh toán 225 USD. Tìm: Lãi suất trung bình đầu tư Lãi suất giá thành, khi chi phí cho mỗi trái phiếu là 6,5 USD Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 10.000, n = 15, C = 200, E = 199, R = 225, f = 6,5, i = 0,045 Ta có c 9 c = Ci = 200x0,045 = 9, r = = 0,04 R 225 Lãi suất trung bình đầu tư tìm được từ (14): 1(1 x ) 18E 1(1 r ) 18 199 1 (1,04) 18 199 x12,659297 x R r 225 0,04 225 1 (1 x ) 18 11,196545 x Bảng IV cho biết x nằm giữa 5,50% và 5,75%. Khi sử dụng phương pháp nội suy tìm được x = 5,56% Lãi suất giá thành tìm được từ (15): 1 (1 x ') 18E f 1 (1 r) 18(199 6,56) 1 (1,04) 18 x' R r 225 0,04 192,44 x12,659297 225 1 (1 x ') 18 10,827356 x' Bảng IV cho x’ 6% 78
Ví dụ 2: Một công ty phát hành 40.000 trái phiếu có mệnh giá 6.000 USD. Thanh toán ngang mênh giá bằng 10 niên kim cố định. Lãi suất 11,25%. Giá phát hành 5.960 USD. Chi phí cho mỗi trái phiếu bằng 2% mệnh giá. Tìm lãi suất giá thành trái phiếu. Giải: Các dữ liệu đã cho: N = 40.000, n = 10, C = R = 6.000, E = 5.960, i = r = 0,1125, f = 6.000x2% = 120 áp dụng (15): 1 (1 x ') 10E f 1 (1 r ) 10 (5.960 120) 1 (1,1125) 10 x' R r 6.000 0,1125 1 (1 x ') 10 (5840/6000)x5,828002 = 5,672588 x' Kết hợp bảng IV và nội suy, ta tìm được x’ = 11,93% 5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu Lãi suất trung bình đầu tư x được tính trên tổng thể tất cả các trái phiếu. Vậy đó là lãi suất trung bình được tính chung cho toàn bộ những người đầu tư mua trái phiếu. Tuy nhiên, đối với từng người đầu tư thì lãi suất đầu tư trái phiếu của họ còn phụ thuộc vào thứ tự đợt thanh toán. Vì vậy, các lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu sẽ khác nhau. Gọi t là lãi suất đầu tư cho các trái phiếu thanh toán đợt k. Lúc phát hành, người đầu tư bỏ một khoản tiền E (giá phát hành) để mua một trái phiếu. Cứ sau mỗi đợt (từ đợt 1 đến đợt k-1), người đó đươc trả cupông c = Ci. Đến đợt k, người đó được trả c và R. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 k-1 k | | | | | E c c c c+R Tại thời điểm phát hành, phương trình tương đương đối với trái phiếu thanh toán đợt k là: [ c(1+t)-1 + c(1+t)-2 + + c(1+t)-k ] + R(1+t)-k = E 1 (1 t) k c + R(1+t)-k = E (16) t Tương tự, gọi t’ là lãi suất đầu tư đối với các trái phiếu thanh toán đợt k’, ta có phương trình tương đương đối với trái phiếu này tại thời điểm phát hành là: 1 (1 t') k' c + R(1+t’ ) -k’ = E (16’) t' 79
Các phương trình (16) và (16’) cho các giá trị t và t’ khác nhau. Ví dụ: Trái phiếu có mệnh giá 5.000 USD được phát hành với giá 4.987 USD và thanh toán ngang mệnh giá. Giả sử lãi suất trái phiếu là 8,75%. Tính lãi suất đầu tư của người mua có trái phiếu thanh toán vào các đợt: 1, 2, 10. Giải: Các dữ liệu đã cho: C = 5.000, E = 4.987, R = 5.000, i = 0,0875, c = Ci = 5.000x0,0875 = 437,5 a) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 1, ta có phương trình -1 -1 437,5 (1+t1) + 5.000 (1+t1) = 4.987 4.987 (1+t1) = 5.000 + 437,5 1+t1 = 5.437,5/4.987 = 1,0903 Vậy t1 = 9,03 % b) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 2, ta có phương trình -1 -2 -2 437,5 (1+t2) + 437,5 (1+t2) + 5.000 (1+t1) = 4.987 2 4.987 (1+t2) - 437,5 (1+t2) - 5.437,5 = 0 Đặt 1+t2 = z, ta có phương trình 4.987 z2 - 437,5 z - 5.437,5 = 0 Giải phương trình và chọn z > 1, ta tìm được z = 1.0889. Vậy t2 = 8,89 % c) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 10, ta có phương trình 10 1 (1 t10 ) -10 437,5 + 5.000 (1+t10) = 4.987 (*) t10 Với t = 0,0875, vế trái (*) cho giá trị 5.000 Với t = 0,09 , vế trái (*) cho giá trị 4.919,78 Bằng phương pháp nội suy ta tìm được 5.000 4.987 t = 8,75 + (9 - 8,75)x = 8,75 + 0,0405 = 8,7905 10 5.000 4.919,78 Vậy t10 = 8,79 % Nhận xét: Càng thanh toán về sau, lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu càng giảm. 80
Chương VII Định giá các khoản nợ Đ1. Định giá khoản nợ thông thường 1. Định giá Xét trường hợp người chủ nợ một khoản nợ thông thường (chưa thanh toán hết) cần ngay một số vốn. Người đó đưa chiết khấu các niên kim còn lại mà người đó sẽ được hưởng. Khi đó cần định giá khoản nợ. Giả sử lãi suất chiết khấu (còn gọi lãi suất định giá) là t. Để thuận tiện tính toán, ta gọi các niên kim còn lại là a1, a2, , an. Thời điểm trước niên kim a1 một thời kỳ được gọi là thời điểm (ngày) định giá. Số dư nợ đến ngày định giá là K Định giá của khoản nợ là tổng các giá trị hiện tại (tính tại thời điểm định giá) của dãy niên kim {ak}, ký hiệu V: n V -1 -2 -n k = a1(1+t) + a2(1+t) + + an(1+t) = ak (1 t) (1) k 1 Ví dụ: Một khoản vay thông thường 100.000 USD được thanh toán bằng 20 niên kim cố định, với lãi suất vay 10%. Ngay sau niên kim thứ 8, người chủ nợ đưa các niên kim còn lại đi chiết khấu với lãi suất chiết khấu 9,5%. Hỏi số tiền mà người chủ nợ sẽ nhận được? Giải: Số tiền mỗi niên kim cố định i 0,10 a = V = 10.000x = 10.000x0,117460 = 11.746 1 (1 i ) n 1 1,10 20 Vào ngày định giá còn 20 - 8 = 12 niên kim. Số tiền người chủ nợ nhận được là định giá của 12 niên kim với lãi suất t = 9,5%: 12 12 1 (1 t ) 12 V = a(1 t) k = a (1 t) k = a = 11.746 x 6,983839 k 1 k 1 t = 81.042,17 USD 2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần Khi thanh toán nợ, các niên kim ak gồm hai phần: phần trả lãi Ik và phần thanh toán nợ gốc mk ak = Ik + mk 81
Thay vào (1) n n n V k k k = (Ik m k )(1 t) = Ik (1 t) + mk (1 t) k 1 k 1 k 1 Đặt n U k = Ik (1 t) (2) k 1 U được gọi là quyền thu lợi toàn phần của khoản nợ, n P = k mk (1 t) (3) k 1 P được gọi là quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần của khoản nợ. Khi đó: V = U + P (4) 3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Quyền thu lợi đơn vị, ký hiệu u, là đại lượng u = U / (Ki) (5) Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị, ký hiệu p, là đại lượng p = P / K (6) Từ đó U = K.i.u, P = K.p V = K.i.u + K.p (7) Chú thích: Đại lượng K.i chính là tiền lãi phải thanh toán trong đợt thanh toán đầu tiên sau ngày định giá. 4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị a) Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Vào ngày định giá khoản nợ K = D0 được thanh toán bằng n niên kim {ak}. Gọi i là lãi suất cho vay, t là lãi suất định giá, Dk là số dư nợ sau khi thanh toán niên kim ak. Ta có: Ik = Dk-1i, Dk = Dk-1 - mk, Dn-1 = mn Từ (5) và (2), ta có n n n 1 k 1 k 1 k u =  Ik (1 t) =  Dk 1 i (1 t) = Dk 1 (1 t) (a) Ki k 1 Ki k 1 K k 1 82
Nhân hai vế của (a) với (1+t) n 1-n 1-n 1 (k-1) 1 j 1 k u(1+t) = Dk 1 (1 t) =  Dj (1 t) = Dk (1 t) (b) K k 1 K j 0 K k 0 (Đặt j = k-1, sau đó đổi j thành k) Từ (6) và (3), ta có n 1 k p =  mk (1 t) (c) K k 1 Cộng (b) và (c): 1-n n 1 k 1 k u(1+t) + p = Dk (1 t) +  mk (1 t) K k 0 K k 1 n-1 n-1 1 k k n = D0  D k (1 t)  m k (1 t) m n (1 t) K k 1 k 1 1-n 1 k n = D0  (D k mk ) (1 t) Dn 1 (1 t) (vì mn = Dn-1 ) K k 1 1-n 1 k n = D0  D k-1 (1 t) Dn 1 (1 t) (vì Dk + mk = Dk-1 ) K k 1 n 1 k = D0  D k-1 (1 t) K k 1 n D0 1 k = D1-k (1 t) = 1 + u (vì D0 = K và theo (a) ) K K k 1 Vậy u(1+t) + p = 1+u u.t + p = 1 Từ đó ta có công thức tính u theo p: 1 p u = (8) t b) Quan hệ của định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị Thay (8) vào (7), 1 p i p V = Ki + Kp = K - K.i + Kp t t t Từ đó ta có công thức tính V theo p: i i V = K [ (1 )p ] (9) t t 83
c) Chú thích: p K Nếu t = i thì V = K (A) Nếu t > i thì V 0. Từ (5) và (8), ta có 1- p > 0 hay p 1 hay V > K t t i i Nếu t = i thì 1- = 0. Khi đó [ (1 )(p 1) 1 ] =1 hay V = K t t i i Nếu t > i thì 1- > 0. Khi đó [ (1 )(p 1) 1 ] < 1 hay V < K t t 5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị là đại lượng p = P / K trong đó n k P = mk (1 t) k 1 K là khoản nợ tại thời điểm định giá và K = m1 + m2 + + mn Ta sẽ tìm công thức tính p trong một số trường hợp thanh toán đặc biệt. a) Thanh toán nợ một lần vào niên kim cuối cùng, trả lãi hàng năm -n Do m1 = m2 = .= mn-1 = 0, mn = K, nên P = K(1+t) Vậy p = (1+t)-n (10) b) Thanh toán bằng các khoản nợ gốc cố định K Do m1 = m2 = .= mn = , nên n n K K 1 (1 t) n P =  (1 t) k . k 1 n n t 84
Vậy 1 1 (1 t) n p (11) n t c) Các khoản thanh toán nợ gốc lập thành một cấp số nhân với công bội (1+z) Ta có k-1 mk = m1(1+z) n n (1 z) 1 (1 z) 1 K = m1 + m2 + .+ mn = m1 = m1 (1 z) 1 z Từ đó ta có z m1 = K (1 z)n 1 Vậy n n n 1 z k P = k k-1 k 1 mk (1 t) = m1 (1 z) (1 t) = m1 (1 z )  k 1 k 1 k 1 1 t n 1 z 1 1 1 z 1 t 1 (1 z)n (1 t) n = m . = m . 1 1 z 1 t 1 z 1 z t (1 t) n 1 1 t z 1 (1 z)n (1 t) n z 1 (1 z)n (1 t) n = K = K (1 z)n 1 z t (1 t) n (1 z)n 1 (1 t) n t-z z (1 z)n (1 t ) n 1 = K (khi nhân cả tử và mẫu với (1+t)-n) (1 z)n 1 z - t z (1 t ) n (1 z)-n = K (khi nhân cả tử và mẫu với (1+z)-n) 1- (1 z) n- z - t z (1 t ) n (1 z)-n và ta có p = (12) 1- (1 z) n- z - t Trường hợp riêng: các niên kim cố định Khi các niên kim cố định thì {mk} lập thành một cấp số nhân với công bội 1+i. áp dụng (12) với z = i , ta nhận được i (1 t ) n (1 i) -n p = (12’) 1- (1 i ) n- i - t 85
d) Ví dụ Ví dụ 1: Một khoản nợ 10.000 USD được định giá 7 năm trước thời hạn thanh toán. Khoản nợ được thanh toán một lần vào năm cuối cùng, lãi trả hàng năm với lãi suất i = 11%. Hỏi khoản tiền định giá, nếu lãi suất định giá t = 10%. Giải: Theo công thức (10), sở hữu danh nghĩa đơn vị p = (1+t)-7 = 1,10-7 = 0,513158 K = 10.000, Theo công thức (9), khoản tiền định giá sẽ là: i i 0,11 0,11 V = K [ (1 )p ] = 10.000 (1 )x0,513158 = 10.486,84 USD t t 0,10 0,10 Ví dụ 2: Một khoản nợ 15.000 USD được thanh toán bằng 15 niên kim. Lãi trả hàng năm, các khoản thanh toán nợ gốc cố định. Lãi suất cho vay 9%. Tính định giá khoản nợ tại thời điểm sau khi niên kim thứ 5 được thực hiện, biết lãi suất định giá 10%. Giải: Khi định giá còn n = 15 - 5 = 10 niên kim chưa thanh toán. Khoản tiền nợ khi định giá: 15.000 K = x10 = 10.000 USD 15 Theo (11), quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị: 1 1 (1 t) n 1 1 1,10 10 p = 0,6144567 n t 10 0,10 Theo (9), số tiền định giá: 0,09 0,09 V = 10.000 (1 )x0,6144567 = 9.614, 46 USD 0,10 0,10 86
Ví dụ 3: Một khoản nợ danh nghĩa trong ngày định giá là 100.000 USD được thanh toán bằng 15 niên kim cố định. Lãi suất cho vay 9%. Tìm định giá khoản nợ, biết lãi suất định giá 8%. Giải: Theo công thức (12’), quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị: i (1 t ) n (1 i) -n 0,09 1,08 15 1,09 -15 p = = 1- (1 i ) n- i - t 1-1,09-15 0,09 - 0,08 0,315242 0,274538 = 0,124059 x = 0,50496975 0,01 Theo (9), số tiền định giá: 0,09 0,09 V = 100.000 (1 )x0,50496975 = 106.187,980 USD 0,08 0,08 Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu Đối với khoản nợ thông thường, ta có: V = U + P Định giá = Quyền thu lợi toàn phần + Quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần Ta sẽ mở rộng các hệ thức này cho khoản nợ trái phiếu, bằng cách đưa ra một số bổ sung, định nghĩa lại và thay đổi khi cần thiết. 1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá Đại lượng U liên quan đến tiền lãi Ik, tiền trả cho các cupông, mà cupông luôn luôn được tính theo mệnh giá C. Đại lượng P liên quan đến phần thanh toán nợ mk với giá thanh toán R. Vì R = C, nên cả hai đại lượng trên đều chỉ tính theo C. Giả sử trong ngày định giá còn N trái phiếu lưu thông. Khi đó khoản nợ là K = NC. Tất cả các công thức trong Đ1 đều được áp dụng cho loại trái phiếu này, không cần một sự thay đổi nào. Đặt V = V/N và gọi là định giá trung bình (hay giá trị nội tại) của trái phiếu U = U/N và gọi là quyền thu lợi trung bình của trái phiếu P = P/N và gọi là quyền sở hữu danh nghĩa trung bình của trái phiếu Đó là các đại lượng tính trung bình cho một trái phiếu. 87
Khi đó V = U + P (13) Giá trị nội tại = Quyền thu lợi trung binh + Quyền sở hữu danh nghĩa trung bình Từ V = K.i.u + K.p, ta có V/N = K.i.u/N+ K.p/N hay V = C.i.u + C.p (14) Lưu ý rằng cupông c = Ci Mặt khác, từ (9) i i V = K [ (1 )p ] t p nên ta có i i V = C [ (1 )p ] (15) t t Ví dụ: Vào ngày định giá, số trái phiếu còn lưu thông là N = 10.000. Cho mệnh giá C = 5.000 USD, lãi suất trái phiếu i = 9%. Thanh toán trái phiếu bằng 20 niên kim cố định, giá thanh toán ngang mênh giá. Với lãi suất định giá t = 10%, tại ngày định giá, hãy tính giá trị nội tại của trái phiếu. Phân tích giá trị đó qua quyền thu lợi trung bình và quyền sở hữu danh nghĩa trung bình. Giải: Khi R = C và trái phiếu được thanh toán bằng niên kim cố định thì các khoản thanh toán nợ lập thành một cấp số nhân công bội 1+i = 1,09 Sở hữu danh nghĩa đơn vị: i (1 t ) n (1 i) -n 0,09 1,10 20 1,09 -20 p = = 1- (1 i ) n- i - t 1-1,09-20 0,09 - 0,10 0,148644 0,178431 = 0,109546x = 0,32630467 0,09 0,10 Giá trị nội tại; i i 0,09 0,09 V = C [ (1 )p ] = 5.000 1( )x 0,32630467 = 4.633,14 USD t t 0,10 0,10 Quyền sở hữu danh nghĩa trung bình P = C.p = 5.000x0,32630467 = 1.31,52 USD Quyền thu lợi trung bình: U = V - P = 4.633,14 - 1.31,52 = 3.034,53 USD 88
Chú thích: Nếu t C Nếu t = i thì V = C (B) Nếu t > i thì V C. Đại lượng thứ hai (quyền sở hữu danh nghĩa) liên quan đến thanh toán trái phiếu với giá thanh toán R cao hơn C. Cho nên số tiền thanh toán trước đây mk cần được nhân R thêm với hệ số . C R Do đó quyền sở hữu trung bình Cp trở thành Cp = R.p. C Ta mở rộng công thức (14) và định lại giá trị nội tại trung bình: V = C.i.u + R.p (16) 1 p Vẫn giữ nguyên công thức u = thay vào (16), ta có t 1 p Ci Ci V = C.i. + R.p = R p (17) t t t Thay cupông c = Ci vào (17) c c V = R p (17’) t t Chú thích: Kết quả (16) là kết quả mở rộng của (14), vì khi R = C, kết quả (16) trở lại (14). 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Một trái phiếu được phát hành với các điều kiện sau: thanh toán trong 15 năm, mệnh giá C = 1.800 USD, lãi suất vay i = 9,5%, giá thanh toán R = 1.840 USD, số lượng thanh toán trái phiếu hàng năm cố định. 89