Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois

328 trang ngocly 1840

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_li_thuyet_mo_rong_truong_va_galois.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois

NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế 12-2006
˘ ˆ ¯DAC TÍNH KY˜ THUAT ˙ ˙ • Có theˆ’ tra cu´’u d¯e´ˆn tu`’ng phaˆ`n cu’ a giáo trình ba˘`ng cách click vào Bookmarks bên leˆ` trái cu’ a Acrobat Reader. • Có siêu kiên ke´ˆt tham kha’ o chéo và tham chie´ˆu d¯e´ˆn các tài lieˆu tham kha’ o ˙ (305). • Có siêu liên ke´ˆt d¯eˆ’ tra cu´’u các thuaˆt ngu˜’ hoa˘c noˆi dung cu theˆ’ ba˘`ng Chı’ muc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (307) o’’ cuo´ˆi giáo trình. • Có theˆ’ liên ke´ˆt vo´’i trang web chı’ ra. • Có siêu liên ke´ˆt d¯eˆ’ tham kha’ o nhanh hu’o´’ng daˆ˜n gia’ i cu’ a tu`’ng bài taˆp (250). ˙ • Có theˆ’ d¯oc trên mang, download hoa˘c nhanh chóng in thành giáo trình d¯oc. ˙ ˙ ˙ ˙ • Có theˆ’ dùng d¯eˆ’ trình chie´ˆu vo´’i chu´’c na˘ng View|Full Screen. ii
MUC LUC ˙ ˙ ` ` LO’I NÓI¯ DAˆU ix HU’O´’NG DAˆ˜N SU’’ DUNG xiii ˙ VÀI NÉT VEˆ` LICH SU’’ 1 ˙ a) Lich su’’ gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ˙ b) Cuoˆc d¯o`’i cu’ a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˙ ´ ’ Chu’o’ng 0 KIEˆ N THU´’C CHUAˆ N BI 21 ˙ 0.1 Tru’o`’ng. Da˘c so´ˆ cu’ a tru’o`’ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¯ ˙ 0.2 Vành d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii
0.3 Moˆt so´ˆ nhóm hu˜’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ˙ ˙ 0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˙ ’ Chu’o’ng 1 MO’ ROˆ NG TRU’O`’NG 45 ˙ § 1 Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ ˙ ˙ 1.1 Mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ 1.2 Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ˙ § 2 Mo’’ roˆng d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ˙ 2.1 Vành con và tru’o`’ng con sinh ra bo’’i moˆt taˆp . . . . . . . . . 53 ˙ ˙ 2.2 Ca´ˆu trúc cu’ a mo’’ roˆng d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ˙ § 3 Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ 3.1 Tính cha´ˆt cu’ a mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ iv
3.2 Tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ. Tru’o`’ng d¯óng d¯ai so´ˆ. Bao d¯óng ˙ ˙ d¯ai so´ˆ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 ˙ § 4 Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ 4.1 Ba bài toán du’ng hình coˆ’ d¯ieˆ’n . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ 4.2 Dieˆ`u kieˆn caˆ`n d¯eˆ’ d¯a giác d¯eˆ`u p canh du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ˙ § 5 Tru’o`’ng phân rã cu’ a moˆt d¯a thu´’c. Da thu´’c tách d¯u’o’c . . . . . . . 91 ˙ ¯ ˙ 5.1 Tru’o`’ng phân rã cu’ a moˆt d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . 91 ˙ 5.2 Da thu´’c tách d¯u’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ¯ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ˙ ´ Chu’o’ng 2 LÍ THUYEˆ T GALOIS 109 § 6 Tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu và tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . 109 ˙ ˙ 6.1 Nhóm các tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . 110 ˙ ˙ v
6.2 Tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . 114 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ˙ § 7 Mo’’ roˆng tách d¯u’o’c, chuaˆ’n ta˘´c và Galois . . . . . . . . . . . . . . 124 ˙ ˙ 7.1 Mo’’ roˆng tách d¯u’o’c và d¯inh lí phaˆ`n tu’’ nguyên thu’ y . . . . . 124 ˙ ˙ ˙ 7.2 Tiêu chuaˆ’n cu’ a mo’’ roˆng Galois và chuaˆ’n ta˘´c . . . . . . . . 127 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ˙ § 8 Dinh lí co’ ba’ n cu’ a Lí thuye´ˆt Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ¯ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ˙ § 9 Moˆt so´ˆ u´’ng dung cu’ a Lí thuye´ˆt Galois . . . . . . . . . . . . . . . 156 ˙ ˙ 9.1 Tru’o`’ng hu˜’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 ˙ 9.2 Tru’o`’ng và d¯a thu´’c chia d¯u’o`’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3 Da giác d¯eˆ`u du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa . . . . . . . 169 ¯ ˙ ˙ 9.4 Dinh lí co’ ba’ n cu’ a d¯ai so´ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ¯ ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ˙ § 10 Nhóm Galois cu’ a d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.1 Bieˆt thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˙ vi
10.2 Nhóm Galois cu’ a d¯a thu´’c baˆc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ˙ 10.3 Da thu´’c baˆc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ¯ ˙ 10.4¯ Da thu´’c toˆ’ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ˙ § 11 Tiêu chuaˆ’n gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c cu’ a d¯a thu´’c . . . . . . . . . 201 ˙ 11.1 Mo’’ roˆng ca˘n và tiêu chuaˆ’n gia’ i d¯u’o’c . . . . . . . . . . . . . 201 ˙ ˙ 11.2 Tính không gia’ i d¯u’o’c cu’ a d¯a thu´’c có baˆc lo´’n ho’n bo´ˆn . . . . 211 ˙ ˙ 11.3 Nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a các d¯a thu´’c toˆ’ng quát có baˆc không quá 4213 ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 ˙ PHU LUC 223 ˙ ˙ A Nhóm gia’ i d¯u’o’c và nhóm d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ˙ BDinh lí Sylow và Dinh lí Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239 ¯ ˙ ¯ ˙ C Bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a moˆt tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . 242 ˙ ˙ D So’ lu’o’c veˆ` Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ˙ HU’O´’NG DAˆ˜ N GIA’ I BÀI TAˆ P 250 ˙ vii
BA’ NG KÍ HIEˆU VÀ QUY U’O´’C 302 ˙ TÀI LIEˆU THAM KHA’ O 305 ˙ CHI’ MUC 307 ˙ viii
` ˆ` LO’I NÓI¯ DAU Lí thuye´ˆt Galois là moˆt trong nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ nha´ˆt cu’ a d¯ai so´ˆ, taˆp ho’p ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhieˆ`u kie´ˆn thu´’c và phu’o’ng pháp cu’ a các lı˜nh vu’c toán hoc khác nhau, nha˘`m gia’ i ˙ ˙ quye´ˆt các bài toán coˆ’ d¯ieˆ’n và nhu˜’ng va´ˆn d¯eˆ` quan trong khác cu’ a d¯ai so´ˆ hieˆn d¯ai. ˙ ˙ ˙ ˙ Moˆt trong nhu˜’ng u´’ng dung chu’ ye´ˆu cu’ a Lí thuye´ˆt Galois là gia’ i quye´ˆt bài toán ˙ ˙ tìm nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình d¯a thu´’c, d¯a˘c bieˆt chı’ ra ra˘`ng phu’o’ng trình ˙ ˙ ˙ baˆc lo´’n ho’n bo´ˆn không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c. Ma˘t khác, Lí thuye´ˆt Galois cho ˙ ˙ ˙ phép xác d¯inh d¯a giác d¯eˆ`u n canh du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. Bên canh ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó, chúng ta nhaˆn d¯u’o’c tu`’ Lí thuye´ˆt Galois lo`’i gia’ i cho ba bài toán du’ng hình coˆ’ ˙ ˙ ˙ d¯ieˆ’n, d¯ó là không theˆ’ (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) chia ba moˆt góc, ga´ˆp d¯ôi hình laˆp ˙ ˙ phu’o’ng hoa˘c caˆ`u phu’o’ng d¯u’o`’ng tròn. ˙ Do taˆ`m quan trong cu’ a Lí thuye´ˆt Tru’o`’ng và Galois mà tu`’ na˘m 1986, môn hoc ˙ ˙ này d¯ã d¯u’o’c Boˆ Giáo duc và d¯ào tao d¯u’a vào trong chu’o’ng trình chính thu´’c cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ khoa Toán các tru’o`’ng Dai hoc và Cao d¯a˘’ ng, d¯a˘c bieˆt là cho khoa Toán các Tru’o`’ng ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ Su’ pham. Ho’n the´ˆ, Lí thuye´ˆt Galois cu˜ ng d¯u’o’c gia’ ng day cho các lo´’p Cao Hoc, xem ˙ ˙ ˙ ˙ nhu’ kie´ˆn thu´’c co’ ba’ n d¯eˆ’ tu`’ d¯ó mo’’ roˆng cho nhu˜’ng nghiên cu´’u lí thuye´ˆt và u´’ng ˙ dung sâu sa˘´c ho’n. ix ˙
Giáo trình này ra d¯o`’i trên co’ so’’ bài gia’ ng cu’ a tác gia’ cho sinh viên Khoa Toán, Tru’o`’ng Dai hoc su’ pham Hue´ˆ suo´ˆt ho’n 10 na˘m tru’c tie´ˆp gia’ ng day môn hoc này. ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Trong quá trình d¯ó, ba’ n tha’ o d¯u’o’c chı’nh su’’a và boˆ’ sung sao cho vu`’a phù ho’p vo´’i ˙ ˙ chu’o’ng trình cu’ a Boˆ Giáo duc và Dào tao, vu`’a d¯áp u´’ng nhu caˆ`u su’’ dung các công ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ cu mo´’i cu’ a d¯ai so´ˆ tính toán, vu`’a boˆ’ sung nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c liên quan khó có theˆ’ ˙ ˙ tìm d¯u’ trong moˆt vài quyeˆ’n sách tham kha’ o. Vì the´ˆ, giáo trình ra d¯o`’i, tru’o´’c he´ˆt, ˙ nha˘`m d¯áp u´’ng nhu caˆ`u su’’ dung cu’ a sinh viên d¯ai hoc, cao d¯a˘’ ng và hoc viên cao ˙ ˙ ˙ ˙ hoc ngành toán. Bên canh d¯ó, giáo trình có theˆ’ là moˆt tài lieˆu tham kha’ o boˆ’ ích cho ˙ ˙ ˙ ˙ giáo viên phoˆ’ thông trung hoc và hoc sinh gio’ i. Ho có theˆ’ tìm tha´ˆy trong giáo trình ˙ ˙ ˙ này co’ so’’ toán hoc cha˘t che˜ cho vieˆc tìm nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình d¯a ˙ ˙ ˙ ˙ thu´’c, cu’ a các bài toán du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa, nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c veˆ` lich ˙ ˙ su’’ toán hoc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio´’i thieˆu veˆ` Maple, moˆt trong ˙ ˙ ˙ ˙ nhu˜’ng heˆ tho´ˆng tính toán d¯ai so´ˆ manh me˜ và phoˆ’ bie´ˆn nha´ˆt hieˆn nay. Thông qua ˙ ˙ ˙ ˙ nhu˜’ng ví du minh hoa, giáo trình chı’ ra kha’ na˘ng tính toán manh me˜ cu’ a Maple ˙ ˙ ˙ cu˜ ng nhu’ vieˆc hoˆ˜ tro’ d¯a˘´c lu’c cu’ a phaˆ`n meˆ`m này cho các giáo viên phoˆ’ thông, cho ˙ ˙ ˙ sinh viên và hoc sinh trong hoat d¯oˆng gia’ ng day, nghiên cu´’u và hoc taˆp toán. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ x
Giáo trình d¯u’o’c biên soan trên nguyên ta˘´c d¯a’ m ba’ o d¯aˆ`y d¯u’ và cha˘t che˜ cu’ a kie´ˆn ˙ ˙ ˙ thu´’c. Deˆ’ làm vieˆc vo´’i giáo trình này, d¯oˆc gia’ chı’ caˆ`n moˆt so´ˆ kie´ˆn thu´’c co’ so’’ cu’ a d¯ai ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ tuye´ˆn tính, lôgic, d¯ai so´ˆ d¯ai cu’o’ng nhu’ d¯ã hoc trong na˘m thu´’ nha´ˆt và thu´’ hai ˙ ˙ ˙ cu’ a Dai hoc hoa˘c Cao d¯a˘’ ng. Ngoài nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c d¯ó, nhu˜’ng khái nieˆm mo´’i d¯u’o’c ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯inh nghı˜a và nhu˜’ng ke´ˆt qua’ mo´’i d¯eˆ`u d¯u’o’c chu´’ng minh d¯aˆ`y d¯u’ . Phaˆ`n kie´ˆn thu´’c ˙ ˙ boˆ’ sung, ne´ˆu chu’a d¯u’o’c hoc trong nhu˜’ng na˘m d¯aˆ`u tiên cu’ a chu’o’ng trình Dai hoc, ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ Cao d¯a˘’ ng, se˜ d¯u’o’c gio´’i thieˆu chi tie´ˆt trong Phu luc. Cuo´ˆi moˆ˜i tie´ˆt (§), giáo trình ˙ ˙ ˙ ˙ cung ca´ˆp moˆt heˆ tho´ˆng phong phú các bài taˆp tu`’ deˆ˜ d¯e´ˆn khó, ba˘´t d¯aˆ`u tu`’ bài tra˘´c ˙ ˙ ˙ nghieˆm lí thuye´ˆt nha˘`m giúp d¯oˆc gia’ na˘´m moˆt cách cha˘´c cha˘´n nhu˜’ng khái nieˆm và ˙ ˙ ˙ ˙ ke´ˆt qua’ chu’ ye´ˆu. Gaˆ`n 150 bài taˆp trong giáo trình d¯eˆ`u có phaˆ`n hu’o´’ng daˆ˜n gia’ i d¯aˆ`y ˙ d¯u’ trong noˆ˜ lu’c giúp d¯oˆc gia’ có theˆ’ tu’ hoc. Qua thu’c te´ˆ gia’ ng day, tác gia’ cho ra˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc day-hoc toán hieˆn nay nói chung, o’’ d¯ai hoc nói riêng, ngu’o`’i day và ngu’o`’i hoc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ caˆ`n khai thác su’ hoˆ˜ tro’ hieˆu qua’ cu’ a các phaˆ`n meˆ`m toán hoc. Có su’ hoˆ˜ tro’ này, ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc day-hoc có nhu˜’ng thay d¯oˆ’i tích cu’c và cha´ˆt lu’o’ng giáo duc d¯u’o’c ca’ i thieˆn rõ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ reˆt. Cùng vo´’i vieˆc na˘´m vu˜’ng kie´ˆn thu´’c lí thuye´ˆt, có kha’ na˘ng gia’ i quye´ˆt các bài ˙ ˙ toán u´’ng dung, ngu’o`’i hoc caˆ`n bie´ˆt su’’ dung các phaˆ`n meˆ`m hoˆ˜ tro’ cho các muc d¯ích ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ xi
tính toán cu theˆ’. Có nhieˆ`u tính toán ra´ˆt khó và phu´’c tap tru’o´’c d¯ây nay tro’’ nên ˙ ˙ vô cùng d¯o’n gia’ n vo´’i su’ tro’ giúp cu’ a các phaˆ`n meˆ`m toán hoc. Trên tinh thaˆ`n d¯ó, ˙ ˙ ˙ o’’ nhu˜’ng vi trí thích ho’p, tác gia’ boˆ’ sung các leˆnh và ví du minh hoa cho vieˆc su’’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dung Maple. ˙ Deˆ’ hoàn thành giáo trình này, tác gia’ d¯ã nhaˆn d¯u’o’c su’ hoˆ˜ tro’ cu’ a nhieˆ`u the´ˆ heˆ ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ sinh viên và hoc viên cao hoc trong vieˆc phát hieˆn, su’’a chu˜’a sai sót trong giáo ˙ ˙ ˙ ˙ trình. Nhieˆ`u thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆp và ban bè cu˜ ng d¯ã d¯óng góp nhieˆ`u ý kie´ˆn quý ˙ ˙ báu trong quá trình biên soan. Nhân dip giáo trình này ra d¯o`’i, tác gia’ , moˆt laˆ`n ˙ ˙ ˙ nu˜’a, go’’i lo`’i ca’ m o’n sâu sa˘´c d¯e´ˆn các thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆp, ban bè và sinh viên veˆ` ˙ ˙ nhu˜’ng giúp d¯o˜’ vô giá trên. Ma˘c dù d¯ã co´ˆ ga˘´ng, giáo trình này không theˆ’ tránh kho’ i nhu˜’ng thie´ˆu sót. Tác ˙ gia’ vô cùng bie´ˆt o’n ne´ˆu nhaˆn d¯u’o’c nhu˜’ng ý kie´ˆn d¯óng góp, bình luaˆn và nhu˜’ng ˙ ˙ ˙ phát hieˆn loˆ˜i trong giáo trình này cu’ a d¯oˆc gia’ gaˆ`n xa. Moi ý kie´ˆn d¯óng góp, trao d¯oˆ’i ˙ ˙ ˙ xin gu’’i veˆ` d¯ia chı’ : TS. Nguyeˆ˜n Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o`’ng Dai hoc su’ pham ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ Hue´ˆ, 32 Lê Lo’i, Thành pho´ˆ Hue´ˆ, email: nctu2000@yahoo.com. ˙ Hue´ˆ ngày 25 tháng 4 na˘m 2007. xii
HU’O´’NG DAˆ˜N SU’’ DUNG ˙ Lí thuye´ˆt Galois có nhieˆ`u cách tie´ˆp caˆn khác nhau. Moˆt cách tie´ˆp caˆn có nhieˆ`u ˙ ˙ ˙ u’u d¯ieˆ’m là trình bày Lí thuye´ˆt Galois trên co’ so’’ Lí thuye´ˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Quan ˙ d¯ieˆ’m d¯ó cu’ a Boˆ Giáo duc và d¯ào tao d¯u’o’c chúng tôi tho´ˆng nha´ˆt trong vieˆc biên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ soan giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u´’ng vo´’i Lí thuye´ˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và ˙ ˙ Lí thuye´ˆt Galois. Moˆ˜i chu’o’ng d¯u’o’c chia ra thành các tie´ˆt (§) tu’o’ng u´’ng vo´’i 4-5 gio`’ ˙ hoc taˆp trên lo´’p. Ngoài ra, giáo trình có boˆ’ sung phaˆ`n Kie´ˆn thu´’c chuaˆ’n bi (Chu’o’ng ˙ ˙ ˙ 0), nha˘`m nha˘´c lai nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c cu˜ chu’ ye´ˆu có liên quan sau này. Giáo trình co´ˆ ˙ ga˘´ng trình bày theo thu´’ tu’ ho’p lí nha´ˆt cu’ a vieˆc gia’ ng day-hoc taˆp môn hoc. Tuy ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhiên tùy theo muc d¯ích mà d¯oˆc gia’ có theˆ’ su’’ dung theo moˆt thu´’ tu’ phù ho’p khác. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Sau khi d¯oc xong phaˆ`n lí thuye´ˆt cu’ a tie´ˆt, d¯oˆc gia’ caˆ`n tu’ mình gia’ i quye´ˆt các bài ˙ ˙ ˙ taˆp cuo´ˆi tie´ˆt và tra’ lo`’i bài taˆp tra˘´c nghieˆm (có theˆ’ tham kha’ o phaˆ`n hu’o´’ng daˆ˜n, ne´ˆu ˙ ˙ ˙ caˆ`n). Các bài taˆp d¯u’o’c sa˘´p xe´ˆp tu`’ deˆ˜ d¯e´ˆn khó ; nhu˜’ng bài taˆp (*) d¯òi ho’i su’ tu’ duy ˙ ˙ ˙ ˙ cao ho’n. Nhu’ d¯ã trình bày, ne´ˆu có d¯ieˆ`u kieˆn, d¯oˆc gia’ nên khai thác su’’ dung Maple ˙ ˙ ˙ thông qua các ví du và noˆi dung cu theˆ’ trong giáo trình. ˙ ˙ ˙ Tu`’ (§ 8), giáo trình su’’ dung thêm các kie´ˆn thu´’c sâu sa˘´c ho’n cu’ a d¯ai so´ˆ d¯ai cu’o’ng. ˙ ˙ ˙ xiii
Nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c này d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt trong Phu luc. ˙ ˙ ˙ Các d¯inh lí, meˆnh d¯eˆ`, heˆ qua’ , boˆ’ d¯eˆ` d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ theo tu`’ng tie´ˆt, ví du “Meˆnh d¯eˆ` ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 2.3” na˘`m trong § 2 và d¯u’o’c trích daˆ˜n là “Meˆnh d¯eˆ` 2.3” hoa˘c gon ho’n là “2.3”. Các ˙ ˙ ˙ ˙ công thu´’c hoa˘c phu’o’ng trình d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ tu`’ d¯aˆ`u d¯e´ˆn cuo´ˆi giáo trình veˆ` bên pha’ i, ˙ ˙ ví du ˙ 3 2 Df = −4p − 27q (1) d¯u’o’c trích daˆ˜n là “(1)”. Riêng phaˆ`n Phu luc, moi d¯inh lí, meˆnh d¯eˆ`, d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vo´’i moˆt chu˜’ cái d¯u´’ng tru’o´’c, ví du “Meˆnh d¯eˆ` A.2.” d¯u’o’c trích daˆ˜n là “Meˆnh d¯eˆ` A.2.” ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hay d¯o’n gia’ n là “A.2.”. Giáo trình có ba’ ng các kí hieˆu su’’ dung trong giáo trình và ˙ ˙ phaˆ`n Chı’ Muc (307) (Index) nha˘`m giúp d¯oˆc gia’ deˆ˜ dàng tra cu´’u d¯u’o’c noˆi dung khái ˙ ˙ ˙ ˙ nieˆm hoa˘c kie´ˆn thu´’c caˆ`n thie´ˆt. ˙ ˙ xiv
VÀI NÉT VEˆ` LICH SU’’ 1 ˙ ’ ’ ´ A) LICH SU’ GIAI PHU’O’NG TRÌNH¯ DA THU’C ˙ Ngày nay, ngu’o`’i ta tin ra˘`ng, vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc hai d¯ã d¯u’o’c các ˙ ˙ ˙ nhà toán hoc coˆ’ d¯ai Babilon quan tâm cách d¯ây gaˆ`n 4000 na˘m. Nhu˜’ng ta´ˆm d¯a´ˆt sét ˙ ˙ có niên d¯ai 1600 BC d¯u’o’c tìm tha´ˆy cu’ a neˆ`n va˘n minh Babilon còn ghi lai vieˆc tìm ˙ ˙ ˙ ˙ nghieˆm cu’ a nhu˜’ng phu’o’ng trình baˆc hai cu theˆ’. Tuy nhiên, nhu˜’ng lo`’i gia’ i trên ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c mô ta’ ba˘`ng phu’o’ng pháp hình hoc và do d¯ó chı’ liên quan d¯e´ˆn nhu˜’ng phu’o’ng ˙ ˙ trình baˆc hai có heˆ so´ˆ lo´’n ho’n 0. ˙ ˙ Nhu˜’ng phu’o’ng pháp hình hoc d¯eˆ’ gia’ i phu’o’ng trình baˆc hai tie´ˆp tuc d¯u’o’c nhà ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc vı˜ d¯ai Hy Lap Euclid (325 BC-265 BC) d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn. Mãi d¯e´ˆn the´ˆ kı’ thu´’ 7, ˙ ˙´ ˙ ˙ nhà toán hoc Aˆ n Doˆ Brahmagupta (598-665), mo´’i trình bày moˆt cách gia’ i phu’o’ng ˙ ¯ ˙ ˙ trình baˆc hai có su’’ dung so´ˆ âm và các kí hieˆu, d¯ánh da´ˆu su’ phát trieˆ’n cu’ a d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Vieˆc xét moˆt cách d¯aˆ`y d¯u’ nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình baˆc hai ba˘`ng phu’o’ng pháp ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ chı’ d¯u’o’c thu’c hieˆn bo’’i các nhà toán hoc Arab, tiêu bieˆ’u là al-Khwarizmi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 1Thông tin trong phaˆ`n này d¯u’o’c tham kha’ o chu’ ye´ˆu tu`’ [5] và [7]. ˙
2 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ (780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hoc Arab lai chu’a bie´ˆt d¯e´ˆn so´ˆ âm, do d¯ó trong ˙ ˙ cuo´ˆn sách cu’ a mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d¯ã phân thành 6 loai phu’o’ng trình baˆc hai, u´’ng vo´’i 6 chu’o’ng trong cuo´ˆn sách và trình ˙ ˙ bày cách gia’ i cho tu`’ng loai. Dây d¯uo’c xem là cuo´ˆn sách d¯aˆ`u tiên veˆ` d¯ai so´ˆ và tu`’ ˙ ¯ ˙ ˙ “Algebra” (d¯ai so´ˆ) ra d¯o`’i tu`’ tên cu’ a cuo´ˆn sách này. De´ˆn na˘m 1145, cuo´ˆn sách noˆ’i ˙ ¯ tie´ˆng cu’ a nhà toán hoc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136) ˙ d¯u’o’c xua´ˆt ba’ n o’’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cu˜ ng trình bày d¯aˆ`y ˙ d¯u’ nghieˆm cu’ a các phu’o’ng trình baˆc hai. ˙ ˙ Tru’o`’ng phái toán hoc Italy kho’’i d¯aˆ`u khoa’ ng na˘m 1500 vo´’i cuo´ˆn sách cu’ a Luca ˙ Pacioli (1445-1517) xua´ˆt ba’ n na˘m 1494, d¯u’o’c bie´ˆt d¯e´ˆn vo´’i tên vie´ˆt ta˘´t là “Suma”, ˙ trong d¯ó lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc hai d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt ba˘`ng ngôn ngu˜’ d¯ai ˙ ˙ ˙ so´ˆ hieˆn d¯ai. Pacioli không d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba nhu’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ông lai nha˘´c d¯e´ˆn vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc bo´ˆn. Ông vie´ˆt, theo ngôn ngu˜’ ˙ ˙ ˙ cu’ a d¯ai so´ˆ ngày nay, “phu’o’ng trình baˆc bo´ˆn x4 = a + bx2 gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng phu’o’ng ˙ ˙ ˙ pháp nhu’ d¯o´ˆi vo´’i phu’o’ng trình baˆc hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và ˙ x4 + a = bx2 thì không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c”. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 3 ˙ Ngu’o`’i d¯aˆ`u tiên tìm d¯u’o’c nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba là Scipione ˙ ˙ ˙ del Ferro (1465-1526), moˆt giáo su’ noˆ’i tie´ˆng cu’ a Dai hoc Bologna, Italy. Ferro tìm ˙ ¯ ˙ ˙ d¯u’o’c nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx = n. Ta´ˆt nhiên, ne´ˆu bie´ˆt su’’ ˙ ˙ ´ dung khái nieˆm so´ˆ âm cu’ a các nhà toán hoc Aˆ n Doˆ, thì công thu´’c nghieˆm d¯ó là ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ d¯u’ d¯eˆ’ gia’ i ta´ˆt ca’ các dang cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba. Tuy nhiên, lúc ba´ˆy gio`’, Ferro ˙ ˙ không bie´ˆt d¯ieˆ`u d¯ó. Ferro gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình baˆc ba nêu trên vào na˘m 1515, ˙ ˙ nhu’ng giu˜’ bí maˆt cho d¯e´ˆn tru’o´’c lúc qua d¯o`’i na˘m 1526 mo´’i tie´ˆt loˆ cho moˆt ngu’o`’i hoc ˙ ˙ ˙ ˙ trò cu’ a mình là Antonio Fior. Fior là moˆt ngu’o`’i hoc toán bình thu’o`’ng và ngay laˆp ˙ ˙ ˙ tu´’c làm rò rı’ lo`’i gia’ i cu’ a thaˆ`y mình ra ngoài. Tin d¯oˆ`n veˆ` lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba lan roˆng kha˘´p Bologna và các vùng lân caˆn, kích thích nhà toán hoc nghieˆp ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx2 = n không lâu sau d¯ó. N. Fontana (d¯u’o’c bie´ˆt d¯e´ˆn vo´’i tên Tartaglia) quye´ˆt d¯inh công ˙ ˙ bo´ˆ thành công cu’ a mình. Moˆt cuoˆc thách d¯o´ˆ khoa hoc noˆ’ ra giu˜’a Tartaglia và Fior ˙ ˙ ˙ na˘m 1535. Luaˆt cu’ a cuoˆc thi d¯o’n gia’ n là moˆ˜i ngu’o`’i se˜ d¯u’a ra 30 phu’o’ng trình baˆc ˙ ˙ ˙ ba cho d¯o´ˆi thu’ , hen trong 50 ngày, ai gia’ i d¯u’o’c nhieˆ`u ho’n thì tha˘´ng. Ta´ˆt ca’ các ˙ ˙ phu’o’ng trình mà Fior d¯u’a ra cho Tartaglia d¯eˆ`u có dang x3 + mx = b và Fior tin ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
4 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 1: Chân dung Tartaglia cha˘´c là Tartaglia không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c. Tru’o´’c tho`’i han cuo´ˆi cùng 8 ngày, Tatarlia ˙ ˙ d¯ã tìm d¯u’o’c phu’o’ng pháp toˆ’ng quát gia’ i ta´ˆt ca’ phu’o’ng trình baˆc ba. Tru’o´’c công ˙ ˙ chúng, Tartaglia d¯u’a ra lo`’i gia’ i cu’ a 30 bài toán trong vòng 2 gio`’ và d¯u’o’c công nhaˆn ˙ ˙ là ngu’o`’i tha˘´ng cuoˆc. Tuy nhiên, ông không công bo´ˆ lo`’i gia’ i chi tie´ˆt. ˙ Chie´ˆn tha˘´ng cu’ a Tartaglia lan d¯e´ˆn Milan, kích thích moˆt nhà toán hoc nghieˆp ˙ ˙ ˙ du’ khác, bác sı˜ Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano laˆp tu´’c mo`’i Tartaglia ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 5 ˙ d¯e´ˆn tha˘m Milan vào na˘m 1539 và tìm cách thuye´ˆt phuc Tartaglia tie´ˆt loˆ lo`’i gia’ i ˙ ˙ phu’o’ng trình baˆc ba cho mình. Tartaglia d¯oˆ`ng ý vo´’i giao u’o´’c Cardano pha’ i giu˜’ ˙ bí maˆt veˆ` lo`’i gia’ i cho d¯e´ˆn khi Tartaglia tu’ mình xua´ˆt ba’ n công trình d¯ó. Nhu’ng ˙ ˙ Cardano không giu˜’ giao u’o´’c, lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba và baˆc bo´ˆn d¯ã d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ xua´ˆt hieˆn chi tie´ˆt trong quyeˆ’n sách “Ars Magna” noˆ’i tie´ˆng cu’ a Cardano, xua´ˆt ba’ n ˙ na˘m 1545. Tartaglia vô cùng tu´’c giaˆn và trong moˆt bài báo cu’ a mình xua´ˆt ba’ n sau ˙ ˙ d¯ó, Tartaglia kha˘’ ng d¯inh lai công lao cu’ a mình và lên án su’ pha’ n boˆi cu’ a Cardano. ˙ ˙ ˙ ˙ Trong “Ars Magna”, cuo´ˆn sách tie´ˆng Latinh d¯aˆ`u tiên trên the´ˆ gio´’i veˆ` d¯ai so´ˆ, ˙ Cardano có d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn công lao cu’ a Tartaglia chính là tác gia’ cu’ a công thu´’c ˙ nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba, nhu’ng ông cu˜ ng gia’ i thích thêm ra˘`ng vieˆc chu´’ng ˙ ˙ ˙ minh công thu´’c cu˜ ng nhu’ trình bày lo`’i gia’ i chi tie´ˆt là cu’ a ông cùng các hoc trò cu’ a ˙ mình. Da˘c bieˆt, cuo´ˆn sách cu’ a Cardano laˆ`n d¯aˆ`u tiên trình bày lo`’i gia’ i cho 20 loai ¯ ˙ ˙ ˙ phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc bo´ˆn. Các lo`’i gia’ i này d¯eˆ`u có chung phu’o’ng pháp là tìm ˙ nghieˆm cu’ a moˆt phu’o’ng trình phu baˆc ba (ngày nay ta goi là gia’ i thu´’c baˆc ba), ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ roˆ`i su’’ dung nó d¯eˆ’ gia’ i phu’o’ng trình baˆc bo´ˆn d¯ã cho. Tác gia’ cu’ a ke´ˆt qua’ này là ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
6 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 2: Chân dung G. Cardano Lodovico Ferari (1522-1565), moˆt trong nhu˜’ng hoc trò xua´ˆt sa˘´c nha´ˆt cu’ a Cardano. ˙ ˙ Moˆt lí do nu˜’a d¯eˆ’ gia’ i thích cho quye´ˆt d¯inh cu’ a Cardano là ông phát hieˆn ra ra˘`ng ˙ ˙ ˙ Ferro là ngu’o`’i d¯ã gia’ i d¯u’o’c các phu’o’ng trình baˆc ba tru’o´’c d¯ó 30 na˘m. ˙ ˙ Su’ ra d¯o`’i cu’ a Ars Magna truyeˆ`n ca’ m hu´’ng cho nhieˆ`u nhà toán hoc trên the´ˆ ˙ ˙ gio´’i tie´ˆp tuc nghiên cu´’u veˆ` phu’o’ng trình d¯a thu´’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy), ˙ Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh), ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 7 ˙ Hình 3: Chân dung N. Abel Tschirnhaus (1651-1708, Du´’c), Euler (1707-1783, Thuy Sı˜), Bezout (1730-1783, ¯ ˙ Pháp). Sau khi gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba và bo´ˆn, va´ˆn d¯eˆ` tìm nghieˆm ˙ ˙ ˙ ca˘n thu´’c cho phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc na˘m d¯u’o’c d¯a˘t ra moˆt cách tu’ nhiên và thu ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hút su’ quan tâm cu’ a nhieˆ`u nhà toán hoc trong moˆt tho`’i gian dài. Euler tha´ˆt bai ˙ ˙ ˙ ˙ trong noˆ˜ lu’c cu’ a mình nhu’ng d¯at d¯u’o’c moˆt phu’o’ng pháp mo´’i gia’ i phu’o’ng trình ˙ ˙ ˙ ˙ baˆc bo´ˆn. Lagrange (1736-1813), moˆt nhà toán hoc Italy-Pháp, d¯ã d¯at d¯u’o’c bu’o´’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
8 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ tie´ˆn quan trong trong vieˆc nghiên cu´’u ba’ n cha´ˆt quá trình tìm nghieˆm cu’ a phu’o’ng ˙ ˙ ˙ trình baˆc nho’ ho’n na˘m ; quá trình d¯ó phu thuoˆc vào vieˆc xác d¯inh các hàm nghieˆm ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mà chúng không d¯oˆ’i du’o´’i tác d¯oˆng cu’ a các hoán vi d¯a˘c bieˆt trên taˆp nghieˆm cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯a thu´’c ; ông cu˜ ng d¯ã chı’ ra ra˘`ng quá trình d¯ó không theˆ’ thu’c hieˆn d¯u’o’c d¯o´ˆi vo´’i d¯a ˙ ˙ ˙ thu´’c baˆc na˘m. Tu`’ d¯ó, gia’ thuye´ˆt veˆ` vieˆc không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình baˆc na˘m ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng ca˘n thu´’c tro’’ thành moˆt thách thu´’c cho các nhà toán hoc. Na˘m 1813, Ruffini ˙ ˙ (1765-1822, Italy) d¯ã co´ˆ ga˘´ng d¯u’a ra moˆt chu´’ng minh cho gia’ thuye´ˆt trên, ra´ˆt tie´ˆc ˙ chu´’ng minh cu’ a ông còn nhieˆ`u d¯ieˆ’m không chính xác. Va´ˆn d¯eˆ` chı’ d¯u’o’c gia’ i quye´ˆt ˙ tron ven bo’’i thaˆ`n d¯oˆ`ng toán hoc ngu’o`’i Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vào ˙ ˙ ˙ na˘m 1824. Abel chu’a kip gia’ i quye´ˆt bài toán toˆ’ng quát ho’n là “khi nào moˆt phu’o’ng ˙ ˙ trình d¯a thu´’c baˆc n có theˆ’ gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c” thì ông qua d¯o`’i lúc chu’a tròn ˙ ˙ 27 tuoˆ’i. Công trình cu’ a Abel chı’ d¯u’o’c công nhaˆn và xua´ˆt ba’ n sau d¯ó, na˘m 1830. ˙ ˙ Ba na˘m sau, moˆt bi kich tu’o’ng tu’ cu˜ ng xa’ y ra vo´’i Evariste Galois (1811-1832), ˙ ˙ ˙ moˆt thaˆ`n d¯oˆ`ng toán hoc khác. Su’ ra d¯i d¯oˆt ngoˆt cu’ a ông d¯ã không kip cho the´ˆ gio´’i ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc nhaˆn ra moˆt trong nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ nha´ˆt cu’ a d¯ai so´ˆ, mà tu`’ d¯ó deˆ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dàng có câu tra’ lo`’i cho bài toán toˆ’ng quát trên. Pha’ i d¯o’i d¯e´ˆn na˘m 1843, mu’o`’i moˆt ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 9 ˙ Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuoˆ’i na˘m sau ngày ông qua d¯o`’i, nhu˜’ng tuyên bo´ˆ sau cu’ a nhà toán hoc Pháp Joseph ˙ Liouville (1809-1882) trong bu´’c thu’ gu’’i cho Vieˆn Hàn Lâm Khoa Hoc Pháp mo´’i ˙ ˙ d¯ánh da´ˆu su’ thu`’a nhaˆn chính thu´’c cu’ a coˆng d¯oˆ`ng toán hoc dành cho E. Galois. ˙ ˙ ˙ ˙ Liouville vie´ˆt : Hy vong tôi se˜ mang d¯e´ˆn cho Vieˆn Hàn Lâm moˆt su’ quan tâm d¯a˘c bieˆt ba˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc công bo´ˆ ra˘`ng tôi d¯ã phát hieˆn d¯u’o’c trong các công trình cu’ a Evariste ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
10 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Galois lo`’i gia’ i hoàn ha’ o và sâu sa˘´c cho bài toán noˆ’i tie´ˆng: khi nào thì phu’o’ng trình d¯a thu´’c gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c. ˙ Abel và Galois, hai so´ˆ phaˆn ba´ˆt hanh vo´’i nhieˆ`u d¯ieˆ’m tu’o’ng d¯oˆ`ng kì la, xua´ˆt hieˆn ˙ ˙ ˙ ˙ và bie´ˆn ma´ˆt nhu’ hai veˆt sao ba˘ng sáng chói trên baˆ`u tro`’i toán hoc. Su’ toˆ`n tai nga˘´n ˙ ˙ ˙ ˙ ngu’ i cu’ a ho d¯ã d¯eˆ’ lai nhu˜’ng di sa’ n vı˜ d¯ai cho va˘n hóa nhân loai. Công trình cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ Abel và Galois khép lai moˆt chu’o’ng cu’ a lich su’’ gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c và mo’’ ˙ ˙ ˙ ra nhieˆ`u chu’o’ng mo´’i cu’ a d¯ai so´ˆ hieˆn d¯ai, kho’’i nguoˆ`n cho nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ ˙ ˙ ˙ ˙ cùng nhieˆ`u u´’ng dung quan trong khác. ˙ ˙ ˆ ` ’ B) CUOCD¯ O’I CUA EVARISTE GALOIS ˙ Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 na˘m 1811 tai Bourg-la-Reine, moˆt vùng ˙ ˙ ngoai ô cu’ athu’ d¯ô Paris nu’o´’c Pháp, trong moˆt gia d¯ình trí thu´’c. Bo´ˆ Galois là moˆt ˙ ˙ ˙ ngu’o`’i noˆ’i tie´ˆng, nhieˆ`u na˘m là thi tru’o’’ng cu’ a Bourg-la-Reine. Me ông am hieˆ’u ˙ ˙ nhieˆ`u lı˜nh vu’c nhu’ trie´ˆt hoc, ngôn ngu˜’, thaˆ`n hoc. Galois d¯u’o’c me day tie´ˆng Hy ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ lap, Latinh, thaˆ`n hoc cho d¯e´ˆn na˘m 12 tuoˆ’i. ˙ ˙ Tháng 10 na˘m 1823, Galois ba˘´t d¯aˆ`u d¯e´ˆn tru’o`’ng và vào hoc lo´’p 4, Tru’o`’ng Louis- ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 11 ˙ le-Grand. Tai d¯ây, Galois so´’m chu´’ng kie´ˆn su’ noˆ’i daˆy cu’ a hoc sinh hu’o’’ng u´’ng cuoˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ cách mang cho´ˆng lai vua Louis XVIII và sau d¯ó là vua Charles X. Gaˆ`n 40 hoc sinh ˙ ˙ ˙ cu’ a tru’o`’ng bi d¯uoˆ’i hoc trong na˘m hoc d¯aˆ`u tiên cu’ a Galois. Vieˆc hoc cu’ a Galois ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ trong na˘m hoc d¯aˆ`u tiên dieˆ˜n ra thuaˆn lo’i. Galois d¯at d¯ieˆ’m so´ˆ to´ˆt và nhaˆn d¯u’o’c hoc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ boˆ’ng. Tuy nhiên, vieˆc hoc trên lo´’p ngày càng tro’’ nên kém ha´ˆp daˆ˜n và Galois pha’ i ˙ ˙ lu’u ban vào na˘m 1826 do thie´ˆu d¯ieˆ’m môn tu tu`’ hoc. ˙ Na˘m 1827, Galois tham gia khóa hoc toán d¯aˆ`u tiên vo´’i giáo su’ M. Vernier, và ˙ so´’m say mê môn hoc này. Na˘m 1828, Galois thi vào tru’o`’ng École Polytechnique, ˙ tru’o`’ng d¯ai hoc danh giá hàng d¯aˆ`u cu’ a Pháp nhu’ng không d¯oˆ˜. Quay tro’’ veˆ` Louis- ˙ ˙ le-Grand, anh tham gia khóa hoc toán vo´’i giáo su’ Louis Richard (1795-1849) và ˙ ba˘´t d¯aˆ`u nghiên cu´’u nhu˜’ng d¯eˆ` tài riêng bieˆt cu’ a mình. Galois tìm d¯oc các giáo trình ˙ ˙ toán cao ca´ˆp nhu’ Hình hoc cu’ a Legendre, lí thuye´ˆt Langrange Richard vie´ˆt veˆ` ˙ Galois “Sinh viên này chı’ quan tâm d¯e´ˆn nhu˜’ng lı˜nh vu’c khó nha´ˆt cu’ a toán hoc”. ˙ ˙ Su´’c hút cu’ a toán hoc làm anh cheˆ’nh ma’ ng ho’n vo´’i vieˆc hoc trên lo´’p. Phie´ˆu nhaˆn ˙ ˙ ˙ ˙ xét veˆ` Galois nhu˜’ng na˘m d¯ó d¯eˆ`u mô ta’ anh là moˆt hoc sinh “khác thu’o`’ng, laˆp ˙ ˙ ˙ di, d¯oˆc d¯áo và khép kín”. Tháng 4 na˘m 1829, Galois có công trình toán d¯aˆ`u tiên ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
12 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 5: Chân dung Galois d¯u’o’c anh trai ve˜ lai na˘m 1848 ˙ ˙ xua´ˆt ba’ n trên tap chí Annales de Mathématiques veˆ` liên phân so´ˆ. Cuo´ˆi tháng 5 và ˙ d¯aˆ`u tháng 6, Galois gu’’i cho Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp các ke´ˆt qua’ nghiên cu´’u ˙ ˙ veˆ` nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình d¯ai so´ˆ. Cauchy (1789-1857) là ngu’o`’i d¯u’o’c phân công ˙ ˙ ˙ pha’ n bieˆn và ông d¯ã bác bo’ các ke´ˆt qua’ này. ˙ Tha’ m kich ba˘´t d¯aˆ`u xa’ y ra vo´’i Galois khi cha anh tu’ tu’’ tu`’ moˆt su’ vu cáo ác hieˆ’m ˙ ˙ ˙ ˙ cu’ a vi thaˆ`y te´ˆ vùng Bourg-la-Reine. Cha cu’ a Galois là moˆt chính khách theo phái ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 13 ˙ coˆng hòa. Nhu˜’ng xung d¯oˆt chính tri phu´’c tap tho`’i ba´ˆy gio`’ giu˜’a phái coˆng hòa và ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ba’ o hoàng d¯ã lôi cuo´ˆn và góp phaˆ`n d¯aˆ’y d¯e´ˆn nhu˜’ng bi kich liên tie´ˆp cho Galois ˙ và gia d¯ình anh. Cái che´ˆt cu’ a cha gây so´ˆc manh me˜ và tác d¯oˆng lo´’n d¯e´ˆn cuoˆc d¯o`’i ˙ ˙ ˙ Galois sau này. Chı’ vài tuaˆ`n sau cái che´ˆt cu’ a cha, Galois pha’ i tra’ i qua laˆ`n thi thu´’ hai vào Tru’o`’ng École Polytechnique. Và Galois lai ro´’t ! Không na’ n chí, tháng 12 na˘m 1829, Galois ˙ thi và d¯oˆ˜ vào tru’o`’ng École Normal. Trong kì thi d¯ó, vi giám kha’ o môn toán d¯ã có ˙ nhaˆn xét veˆ` Galois nhu’ sau : ˙ Hoc sinh này nhieˆ`u khi dieˆ˜n ta’ moˆt cách ro´ˆi ra˘´m ý tu’o’’ng cu’ a mình nhu’ng ˙ ˙ là moˆt hoc sinh thông minh và có kha’ na˘ng d¯a˘c bieˆt trong nghiên cu´’u. ˙ ˙ ˙ ˙ Còn nhu˜’ng nhaˆn xét cu’ a vi giám kha’ o môn va˘n hoc là : ˙ ˙ ˙ ¯Dây là hoc sinh duy nha´ˆt tra’ lo`’i ra´ˆt toˆ`i câu ho’i cu’ a tôi và to’ ra không bie´ˆt ˙ gì ca’ . Tru’o´’c d¯ây, nhieˆ`u ngu’o`’i nói vo´’i tôi ra˘`ng hoc sinh này có na˘ng khie´ˆu ˙ d¯a˘c bieˆt veˆ` toán hoc. Tôi thaˆt su’ ngac nhiên veˆ` d¯ánh giá d¯ó vì sau kì thi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ này, tôi cho ra˘`ng anh ta không thông minh la˘´m. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
14 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Cuo´ˆi na˘m 1829, Galois lai gu’’i moˆt công trình khác veˆ` lí thuye´ˆt phu’o’ng trình cho ˙ ˙ Cauchy. Moˆt laˆ`n nu˜’a Cauchy không thu`’a nhaˆn ke´ˆt qua’ cu’ a Galois. Tháng 2 na˘m ˙ ˙ 1830, Galois gu’’i công trình “Veˆ` d¯ieˆ`u kieˆn moˆt phu’o’ng trình gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n ˙ ˙ ˙ thu´’c” cho Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp d¯eˆ’ tham du’ gia’ i thu’o’’ng toán hoc cu’ a Vieˆn. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Thu’ kí Vieˆn, giáo su’ noˆ’i tie´ˆng J. Fourier (1768-1830), là ngu’o`’i pha’ n bieˆn công ˙ ˙ trình cu’ a Galois. Nhu’ng Fourier qua d¯o`’i d¯oˆt ngoˆt vào tháng 4 na˘m 1830. Và công ˙ ˙ trình cu’ a Galois không bao gio`’ d¯u’o’c tìm tha´ˆy nu˜’a. Khoa’ ng tho`’i gian này, Galois ˙ bie´ˆt ra˘`ng moˆt bài báo cu’ a nhà toán hoc quá co´ˆ Abel d¯u’o’c xua´ˆt ba’ n trên Bulletin ˙ ˙ ˙ de Férussac có moˆt phaˆ`n ke´ˆt qua’ gio´ˆng cu’ a mình. Sau khi tìm d¯oc các bài báo cu’ a ˙ ˙ Abel và Jacobi (1804-1851,¯ Du´’c), Galois d¯ã hoàn thành các nghiên cu´’u veˆ` các hàm elliptic và tích phân aben. Galois d¯ã d¯a˘ng 3 công trình trên Bulletin de Férussac trong tháng 4 na˘m 1830. Trong tháng 6, Galois bie´ˆt tin gia’ i thu’o’’ng toán hoc cu’ a ˙ Vieˆn hàn lâm d¯ã d¯u’o’c trao d¯oˆ`ng tho`’i cho Abel và Jacobi. ˙ ˙ Tháng 6 na˘m 1830, nu’o´’c Pháp suc sôi vo´’i nhu˜’ng xung d¯oˆt giu˜’a phe coˆng hòa ˙ ˙ ˙ và ba’ o hoàng. Vua Charles X bi truc xua´ˆt kho’ i Pháp, nhu’o`’ng ngai vàng cho vua ˙ ˙ Louis-Phillipe. Các cuoˆc bieˆ’u tình, bao loan, d¯àn áp tie´ˆp tuc xa’ y ra thu’o`’ng xuyên ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 15 ˙ trên các d¯u’o`’ng pho´ˆ Paris. Hieˆu tru’o’’ng tru’o`’ng École Normal, GS. M. Guigniault, ˙ nho´ˆt hoc sinh trong tru’o`’ng d¯eˆ’ tránh không cho hoc sinh tham gia xuo´ˆng d¯u’o`’ng. ˙ ˙ Trèo tu’o`’ng ra ngoài không thành, Galois vie´ˆt moˆt bài báo d¯a˘ng trên Gazette des ˙ Écoles d¯eˆ’ pha’ n d¯o´ˆi vieˆc khóa cu’’a nho´ˆt hoc sinh trong tru’o`’ng cu’ a hieˆu tru’o’’ng. ˙ ˙ ˙ Galois bi d¯uoˆ’i hoc và tham gia vào pháo binh, moˆt binh chu’ ng trong quân d¯oˆi ˙ ˙ ˙ ˙ hoàng gia. Tuy nhiên, d¯e´ˆn tháng 12 na˘m 1830, pháo binh bi gia’ i tán bo’’i sa˘´c leˆnh ˙ ˙ cu’ a nhà vua do lo so’ binh chu’ ng này là mo´ˆi d¯e doa cho ngai vàng. ˙ ˙ Galois co´ˆ ga˘´ng quay tro’’ lai làm toán. Anh mo’’ moˆt lo´’p hoc veˆ` d¯ai so´ˆ cao ca´ˆp thu ˙ ˙ ˙ ˙ hút khoa’ ng 40 sinh viên. Nhu’ng sau buoˆ’i hoc d¯aˆ`u tiên, so´ˆ sinh viên gia’ m moˆt cách ˙ ˙ nhanh chóng và cuo´ˆi cùng lo´’p hoc tan rã. Nhu˜’ng công trình cuo´ˆi cùng trong d¯o`’i ˙ Galois là 2 bài báo nho’ d¯a˘ng trên Annales de Gergonne (tháng 12 na˘m 1830) và trên Gazette des Écoles (tháng 1 na˘m 1831). Tháng 1 na˘m 1831, theo go’i ý cu’ a vieˆn sı˜ Vieˆn hàm lâm khoa hoc Pháp Poisson ˙ ˙ ˙ ˙ (1781-1840), laˆ`n thu´’ ba, Galois gu’’i công trình nghiên cu´’u veˆ` phu’o’ng trình cu’ a mình cho Vieˆn hàn lâm. ˙ Chính su’ nu’o´’c Pháp lai lôi cuo´ˆn Galois, ngu’o`’i d¯ang mang tâm trang na˘ng neˆ` ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
16 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ khi pha’ i d¯o´ˆi ma˘t vo´’i nhu˜’ng ba´ˆt hanh doˆ`n daˆp. Ngu’o`’i thanh niên này liên tie´ˆp ro’i ˙ ˙ ˙ vào vòng xoáy cu’ a nhu˜’ng ý nghı˜ và hành d¯oˆng tiêu cu’c. Cuo´ˆi na˘m 1830, mu’o`’i chín ˙ ˙ sı˜ quan pháo binh bi ba˘´t veˆ` toˆi âm lu’u laˆt d¯oˆ’ ngai vàng, nhu’ng d¯u’o’c tha boˆ’ng sau ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó. Ngày 9 tháng 5 na˘m 1831, nhu˜’ng ngu’o`’i coˆng hòa toˆ’ chu´’c moˆt bu˜’a tieˆc chào ˙ ˙ ˙ mu`’ng su’ kieˆn này và phô tru’o’ng thanh the´ˆ. Pha´ˆn khích tu`’ không khí cu’ a bu˜’a ˙ ˙ tieˆc, Galois d¯eo kính, tay caˆ`m dao ga˘m kêu goi moi ngu’o`’i cho´ˆng lai nhà vua. Sau ˙ ˙ ˙ ˙ bu˜’a tieˆc, Galois bi ba˘´t giam o’’ nhà tù Sainte-Pélagie. Ra tòa, Galois d¯u’o’c tha boˆ’ng ˙ ˙ ˙ vào ngày 15 tháng 6 na˘m 1831. Ngày 14 tháng 7, kı’ nieˆm su’ kieˆn nguc Bastille, ˙ ˙ ˙ ˙ Galois lai xua´ˆt hieˆn o’’ hàng d¯aˆ`u trong cuoˆc bieˆ’u tình raˆ`m roˆ cu’ a nhu˜’ng ngu’o`’i coˆng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hòa, vo´’i trang phuc pháo binh, tay caˆ`m súng và kie´ˆm. Galois lai bi to´ˆng giam vào ˙ ˙ ˙ Sainte-Pélagie. Laˆ`n này Galois bi ke´ˆt án 6 tháng tù giam. Trong tù, Galois nhaˆn ˙ ˙ d¯u’o’c tin veˆ` so´ˆ phaˆn haˆ’m hiu cu’ a công trình khoa hoc mà anh gu’’i laˆ`n thu´’ 3 cho ˙ ˙ ˙ Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp. Poisson nhaˆn xét veˆ` công trình cu’ a Galois : ˙ ˙ ˙ Chúng tôi d¯ã co´ˆ ga˘´ng d¯eˆ’ hieˆ’u chu´’ng minh cu’ a Galois. Ra´ˆt tie´ˆc, laˆp luaˆn ˙ ˙ cu’ a tác gia’ không rõ ràng và nhu˜’ng ke´ˆt qua’ d¯at d¯u’o’c chu’a d¯u’ d¯eˆ’ chúng tôi ˙ ˙ kha˘’ng d¯inh d¯u’o’c tính d¯úng d¯a˘´n cu’ a công trình Tôi cho ra˘`ng tác gia’ nên ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 17 ˙ biên soan lai toàn boˆ ke´ˆt qua’ cu’ a mình trong moˆt công trình tho´ˆng nha´ˆt d¯eˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ có tính thuye´ˆt phuc lo´’n ho’n. ˙ Tháng 3 na˘m 1832, dich ta’ hoành hành o’’ Paris. Galois cùng các tù nhân d¯u’o’c ˙ ˙ chuyeˆ’n d¯e´ˆn nhà an du’o˜’ng Sieur Faultrier. Tai d¯ây, moˆt co’n gió mát tu’o’’ng chu`’ng ˙ ˙ có theˆ’ làm diu d¯i nhu˜’ng d¯au buoˆ`n vô taˆn trong lòng ngu’o`’i tù tre’ . Galois d¯em lòng ˙ ˙ yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu’ a moˆt nhà vaˆt lí trong vùng. Ba´ˆt hanh ˙ ˙ ˙ thay, d¯a´ˆy là moˆt mo´ˆi tình d¯o’n phu’o’ng và lai là kho’’i d¯aˆ`u cho bi kich lo´’n nha´ˆt cu’ a ˙ ˙ ˙ Galois. Sau khi d¯u’o’c tu’ do vào ngày 29 tháng 4 na˘m 1832, Galois tie´ˆp tuc theo ˙ ˙ ˙ d¯uoˆ’i cô gái no, nhu’ng cô luôn tìm cách tu`’ cho´ˆi tình ca’ m cu’ a anh. ˙ Trong tho`’i gian này, nghe theo lo`’i khuyên cu’ a Poisson, Galois la˘ng le˜ xâu chuoˆ˜i ˙ lai nhu˜’ng phát minh cu’ a mình ba˘`ng nhu˜’ng trang vie´ˆt voˆi vàng (Hình 6). ˙ ˙ The´ˆ roˆ`i, Galois bi lôi vào cuoˆc d¯a´ˆu súng d¯inh meˆnh vào ngày 30 tháng 5 na˘m ˙ ˙ ˙ ˙ 1832 vo´’i Perscheux d’Herbinville. Nguyên nhân cu’ a cuoˆc d¯a´ˆu súng vaˆ˜n chu’a thu’c ˙ ˙ su’ rõ ràng nhu’ng cha˘´c cha˘´n là có liên quan tru’c tie´ˆp d¯e´ˆn Stephanie-Felice du ˙ ˙ Motel. Nhu’ tiên d¯oán d¯u’o’c ke´ˆt cuc, d¯êm 29 tháng 5, Galois thu´’c tron d¯eˆ’ vie´ˆt bu´’c ˙ ˙ ˙ thu’ cuo´ˆi cùng cho ngu’o`’i ban Auguste Chevalier, tóm ta˘´t lai toàn boˆ phát minh ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
18 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 6: Moˆt trang ba’ n tha’ o cu’ a Galois ˙ cu’ a mình. Ra´ˆt nhieˆ`u d¯oan trong bu´’c thu’ bi bôi xóa nhieˆ`u laˆ`n vo´’i chú thích “tôi ˙ ˙ không có d¯u’ tho`’i gian”. Sáng hôm sau, Galois bu’o´’c chân d¯e´ˆn d¯a´ˆu tru’o`’ng và ke´ˆt cuc ˙ tiên lieˆu d¯ã xa’ y ra. Cuo´ˆi ngày, moˆt ngu’o`’i nông dân trong vùng phát hieˆn Galois ˙ ˙ ˙ bi trong thu’o’ng na˘`m trên cánh d¯oˆ`ng và d¯u’a anh vào beˆnh vieˆn. Ngày 31 tháng 5 ˙ ˙ ˙ ˙ na˘m 1832, Galois trút ho’i tho’’ cuo´ˆi cùng tai beˆnh vieˆn Cochin và d¯u’o’c an táng tai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 19 ˙ Montparnasse 2 ngày sau d¯ó. Anh cu’ a Galois và Chavalier gu’’i bu´’c thu’ cùng toàn boˆ nhu˜’ng ba’ n tha’ o dang ˙ do’’ cu’ a Galois cho Gauss (1777-1855,¯ Du´’c) và Jacobi nhu’ di chúc cu’ a anh. Không hieˆ’u vì lí do gì, không có moˆt pha’ n u´’ng hoa˘c ý kie´ˆn nào tu`’ Gauss và Jacobi. May ˙ ˙ ma˘´n là sau d¯ó, công trình cu’ a Galois d¯e´ˆn d¯u’o’c tay Liouville. Mu’o`’i moˆt na˘m sau, ˙ ˙ Liouville d¯ã vie´ˆt thu’ thông báo cho Vieˆn hàn lâm Pháp veˆ` su’ d¯úng d¯a˘´n và sâu sa˘´c ˙ ˙ trong ke´ˆt qua’ cu’ a Galois ; ông d¯ã cho xua´ˆt ba’ n nhu˜’ng phát minh cu’ a Galois trên tap chí Revue Encyclopédia cu’ a mình vào na˘m 1846. ˙ Galois ke´ˆt thúc bu´’c thu’ d¯inh meˆnh cu’ a mình ba`˘ng nhu˜’ng dòng : ˙ ˙ Xin gu’’i cho Gauss và Jacobi d¯eˆ’ ho d¯ánh giá công khai, không pha’ i veˆ` tính ˙ d¯úng d¯a˘´n mà là taˆ`m quan trong cu’ a nhu˜’ng d¯inh lí này. Tôi hi vong haˆu ˙ ˙ ˙ ˙ the´ˆ se˜ có ngu’o`’i tha´ˆy d¯u’o’c su’ sâu sa˘´c cu’ a chúng cu˜ ng nhu’ gia’ i mã d¯u’o’c ta´ˆt ˙ ˙ ˙ ca’ nhu˜’ng bí aˆ’n hieˆn tho`’i. ˙ Phát minh mà Galois d¯em lai cho khoa hoc d¯eˆ’ tu`’ d¯ó haˆu the´ˆ d¯ã, d¯ang và se˜ tie´ˆp ˙ ˙ ˙ tuc “gia’ i mã” là lí thuye´ˆt mang tên ông : Lí thuye´ˆt Galois. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 20 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Chu’o’ng 0 ’ KIE´ˆ N THU´’C CHUAˆ N BI ˙ ✧✧✧ Trong phaˆ`n Kie´ˆn thu´’c chuaˆ’n bi, ta nha˘´c lai các kie´ˆn thu´’c co’ ba’ n nha´ˆt cu’ a d¯ai ˙ ˙ ˙ so´ˆ d¯ai cu’o’ng se˜ d¯u’o’c su’’ dung trong cuo´ˆn sách này. Chu´’ng minh cu’ a các ke´ˆt qua’ ˙ ˙ ˙ này deˆ˜ dàng tìm tha´ˆy trong các giáo trình d¯ai so´ˆ o’’ Cao d¯a˘’ ng và Dai hoc. Các kie´ˆn ˙ ¯ ˙ ˙ thu´’c sâu sa˘´c ho’n veˆ` Lí thuye´ˆt nhóm caˆ`n thie´ˆt se˜ d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt trong Phaˆ`n ˙ Phu luc. Da˘c bieˆt, vieˆc gia’ i quye´ˆt các bài taˆp cuo´ˆi tie´ˆt này tao d¯ieˆ`u kieˆn cho d¯oˆc gia’ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ na˘´m to´ˆt ho’n các tính cha´ˆt và phu’o’ng pháp co’ ba’ n su’’ dung trong Lí thuye´ˆt tru’o`’ng ˙ và vành d¯a thu´’c. 21
’ 22 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ` ˘ ´ˆ ’ ` 0.1 TRU’O’NG.¯ DAC SO CUA TRU’O’NG. ˙ Tru’o`’ng là moˆt vành giao hoán có d¯o’n vi khác 0 và moi phaˆ`n tu’’ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ khác 0 d¯eˆ`u kha’ nghich. ˙ Nhaˆ n xét 0.1. Tru’o`’ng là moˆt mieˆ`n nguyên, d¯a˘c bieˆt tru’o`’ng không có u’o´’c cu’ a 0. ˙ ˙ ˙ ˙ Ví du 1. Q là tru’o`’ng các so´ˆ hu˜’u tı’ vo´’i các phép toán coˆng và nhân thông thu’o`’ng. ˙ ˙ Tu’o’ng tu’, ta có tru’o`’ng R các so´ˆ thu’c và tru’o`’ng các so´ˆ phu´’c C. ˙ ˙ Ví du 2. Vành thu’o’ng Zn = Z/nZ là moˆt tru’o`’ng khi và chı’ khi n nguyên to´ˆ. ˙ ˙ Tru’o`’ng Zp vo´’i p nguyên to´ˆ là tru’o`’ng hu˜’u han có p phaˆ`n tu’’. ˙ Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành bie´ˆn d¯o’n vi thành d¯o’n ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. vi. Tu’o’ng tu’ nhu’ vành, ta có khái nieˆm d¯o’n ca´ˆu, toàn ca´ˆu và d¯a˘’ ng ˙ ˙ ˙ ˙ ca´ˆu tru’o`’ng. Cho F là moˆt tru’o`’ng. Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng tu`’ F vào F goi là moˆt tu’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯oˆ`ng ca´ˆu (tu’ d¯a˘’ng ca´ˆu) tru’o`’ng. Taˆp ta´ˆt ca’ các tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu tru’o`’ng vo´’i phép toán ˙ ˙ ˙ tích các ánh xa tao thành moˆt nhóm, ký hieˆu Aut(F ). ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 0.2. Moi d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng d¯eˆ`u là d¯o’n ca´ˆu. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 23 ˙ Moˆt vành con A chu´’a phaˆ`n tu’’ 1 cu’ a tru’o`’ng F d¯u’o’c goi là tru’o`’ng ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ con ne´ˆu A oˆ’n d¯inh vo´’i phép la´ˆy phaˆ`n tu’’ nghich d¯a’ o. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 0.3. ˙ (i) Moˆt tru’o`’ng con cu’ a F là moˆt tru’o`’ng vo´’i các phép toán ca’ m sinh. ˙ ˙ (ii) Giao cu’ a moˆt ho khác roˆ˜ng các tru’o`’ng con là moˆt tru’o`’ng con. ˙ ˙ ˙ Cho F là moˆt tru’o`’ng. Xét ánh xa ˙ ˙ ϕ : Z −→ F m 7→ m 1F . Deˆ˜ dàng chu´’ng minh ra˘`ng ϕ là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành. Xét Ker(ϕ), ta có các tru’o`’ng ˙ ho’p sau: ˙ • Ker(ϕ) 6= 0. Do Z là mieˆ`n nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vo´’i p > 0 là so´ˆ nguyên du’o’ng nho’ nha´ˆt tho’ a p 1F = 0. Rõ ràng p là moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ. Suy ra ˙ ’ ϕ ca’ m sinh moˆt d¯o’n ca´ˆu tu`’ Zp vào F , do d¯ó F chu´’a moˆt tru’o`’ng con d¯a˘ng ca´ˆu ˙ ˙ vo´’i Zp. Tru’o`’ng con này chu´’a trong ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F . So´ˆ nguyên to´ˆ p d¯u’o’c goi là d¯a˘c so´ˆ cu’ a tru’o`’ng F . ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 24 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ’ • Ker(ϕ) = 0, tu´’c là 0 là so´ˆ nguyên duy nha´ˆt d¯eˆ m 1F = 0. Khi d¯ó ϕ mo’’ roˆng duy ˙ nha´ˆt thành moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng tu`’ Q vào F d¯inh bo’’i ˙ ˙ m/n 7→ ϕ(m)ϕ(n)−1. Do d¯ó F chu´’a moˆt tru’o`’ng con d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i Q và ˙ tru’o`’ng con này chu´’a trong ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F . Khi d¯ó ta nói F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ 0. ˙ Cho F là moˆt tru’o`’ng. Giao cu’ a ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F goi là ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a F . Tu`’ ke´ˆt qua’ trên, ta có: ’ Meˆnh d¯eˆ` 0.4. Moˆt tru’o`’ng d¯a˘c so´ˆ p có tru’o`’ng con nguyên to´ˆ d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i Zp xác ˙ ˙ ˙ ’ d¯inh bo’’i m 7→ m1F . Moˆt tru’o`’ng d¯a˘c so´ˆ 0 có tru’o`’ng con nguyên to´ˆ d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i Q ˙ ˙ ˙ m −1 xác d¯inh bo’’i 7→ (m1F )(n1F ) . ˙ n Nhaˆ n xét 0.5. Chú ý ra˘`ng chı’ có duy nha´ˆt moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tu`’ Q hay Zp vào moˆt ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng cho tru’o´’c F và d¯oˆ`ng ca´ˆu d¯ó xác d¯inh nhu’ trong meˆnh d¯eˆ` trên. Thaˆt vaˆy, gia’ ˙ ˙ ˙ ˙ su’’ F có d¯a˘c so´ˆ 0 và φ : Q −→ F là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Khi d¯ó ∀m ∈ N, ˙ ˙ φ(m) = φ(1 + ··· + 1) = mφ(1) = m1F . ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 25 ˙ Ho’n nu˜’a, φ(−m) = −φ(m) = −(m1F ) = (−m)1F . Hay φ(m) = m1F , ∀m ∈ Z. Do d¯ó −1 φ(m/n) = (m1F )(n1F ) vo´’i moi m/n ∈ Q. ˙ Tu’o’ng tu’ vo´’i tru’o`’ng ho’p F có d¯a˘c so´ˆ p và φ : Zp −→ F là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu, ta luôn ˙ ˙ ˙ ˙ có φ(m) = m1F . ´ 0.2 VÀNH¯ DA THU’C Cho A là moˆt vành giao hoán có d¯o’n vi 1 6= 0. Ký hieˆu A[x] là vành các d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ bie´ˆn x siêu vieˆt có heˆ tu’’ trong A. Moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ n f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ A[x], an 6= 0 goi là có baˆc n, kí hieˆu deg(f). Khi d¯ó vành A chu´’a trong A[x] nhu’ moˆt vành con. ˙ ˙ ˙ ˙ ’ Meˆnh d¯eˆ` 0.6 (Tính phoˆ dung cu’ a vành d¯a thu´’c). Cho vành d¯a thu´’c A[x] và ˙ ˙ R là moˆt vành giao hoán và α ∈ R. Khi d¯ó moi d¯oˆ`ng ca´ˆu vành τ : A −→ R mo’’ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 26 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ roˆng duy nha´ˆt thành d¯oˆ`ng ca´ˆu vành ϕ tu`’ A[x] vào R tho’a ˙ ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), ∀ a ∈ A. Meˆnh d¯eˆ` 0.7. Cho f, g ∈ A[x] và g 6= 0 có heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u kha’ nghich. Khi d¯ó, toˆ`n ˙ ˙ ˙ tai duy nha´ˆt q, r ∈ D[x] sao cho f = gq + r vo´’i r = 0 hay deg(r) < deg(g).D¯ a ˙ thu´’c q (tu’o’ng u´’ng r) goi là thu’o’ng (tu’o’ng u´’ng du’) cu’ a phép chia (Euclide) f cho g. ˙ Vành d¯a thu´’c trên tru’o`’ng d¯óng moˆt vai trò d¯a˘c bieˆt quan trong trong Lí thuye´ˆt ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng tru’o`’ng và Galois. Suo´ˆt trong cuo´ˆn sách này, ta kí hieˆu F là moˆt tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ne´ˆu không có gia’ i thích khác. Heˆ qua’ 0.8. Moi id¯êan cu’ a F [x] d¯eˆ`u là id¯êan chính. Ho’n the´ˆ id¯êan (f) ⊂ F [x] là ˙ ˙ to´ˆi d¯ai khi và chı’ khi f ba´ˆt kha’ quy. ˙ Thuaˆt toán Euclide cho phép ta tìm u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt cu’ a 2 d¯a thu´’c cho tru’o´’c ˙ và ho’n the´ˆ, cho phép ta tìm các d¯a thu´’c s, t trong heˆ qua’ sau: ˙ Heˆ qua’ 0.9. Cho f, g ∈ F [x]. Ký hieˆu d = (f, g). Khi d¯ó toˆ`n tai các d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ s, t ∈ F [x] sao cho sf + tg = d. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 27 ˙ Vo´’i Maple, các thuaˆt toán trên trong Q[x] d¯u’o’c cho bo’’i các leˆnh theˆ’ hieˆn trong ˙ ˙ ˙ ˙ ví du sau: ˙ Su’’ dung Maple 1. ¯Deˆ’ tính du’ và thu’o’ng cu’ a phép chia d¯a thu´’c ˙ f = x5 + 2 x4 + x3 + x − 1 cho g = x3 − x + 3, ta có theˆ’ dùng leˆnh rem hoa˘c quo: ˙ ˙ > rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’q’); −7 − 3 x − x2 > q; x2 + 2 x + 2 Nhu’ the´ˆ khi chia f cho g ta d¯u’o’c thu’o’ng là x2 + 2x + 2 và du’ là ˙ −7 − 3x − x2. Deˆ’ tính u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt trong Q[x], ta dùng leˆnh ¯ ˙ > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x); 1 ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 28 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Leˆnh trên cu˜ ng cho ta tính d¯u’o’c d¯a thu´’c s, t sao cho sf + tg = d nhu’ ví du sau ˙ ˙ ˙ d¯ây. > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’s’,’t’); 1 > s,t; 64 24 1 149 18 79 22 1 − + x − x2, + x2 + x − x3 + x4 511 511 511 511 511 511 511 511 Tính toán trong vành Zp[x], ta dùng leˆnh Rem và Gcdex tu’o’ng u´’ng. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.10. Cho f ∈ Z[x] ba´ˆt kha’ quy trên Z. Khi d¯ó f ba´ˆt kha’ quy trên Q. ˙ Cho D là moˆt mieˆ`n nguyên Gauss. Moˆt d¯a thu´’c thuoˆc vành D[x] ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ goi là chuaˆ’n ta˘´c ne´ˆu heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u cu’ a f ba˘`ng 1. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.11. Cho f ∈ Z[x] là moˆt d¯a thu´’c chuaˆ’n ta˘´c. Ne´ˆu g ∈ Q[x] là moˆt u’o´’c ˙ ˙ ˙ chuaˆ’n ta˘´c cu’ a f trong Q[x] thì g ∈ Z[x]. Chu´’ng minh. Xem BT 0. 14. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 29 ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.12 (Tiêu chuaˆ’n ba´ˆ t kha’ quy cu’ a Eisenstein). ˙ Cho f = a xn + ··· + a ∈ Z[x]. Ne´ˆu toˆ`n tai moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ p sao cho: n 0 ˙ ˙ 2 p - an, p|ai, ∀ i = 0, . . . , n − 1 và p - a0 thì f ba´ˆt kha’ quy trong Q[x]. n r Meˆnh d¯eˆ` 0.13. Cho f = a0 + ··· + anx ∈ Q[x]. Ne´ˆu phaˆ`n tu’’ ∈ Q, vo´’i ˙ s (r, s) = 1, là nghieˆm cu’ a f thì r | a và s | a . ˙ 0 n Su’’ dung Maple 2. Maple có theˆ’ tìm dang nhân tu’’ hóa cu’ a moˆt d¯a thu´’c khác 0 ˙ ˙ ˙ ba´ˆt ky` trong Q[x] hay Z [x] ba˘`ng leˆnh factor hay Factor. p ˙ > factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5); (2 x2 + 1) (x2 + 2 x + 5) > Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13; 2 (x + 4) (x2 + 7) (x + 11) Xét vành thu’o’ng Zm. Toàn ca´ˆu chính ta˘´c Z −→ Zm mo’’ roˆng taˆ`m thu’o`’ng thành ˙ n n toàn ca´ˆu vành Z[x] −→ Zm[x] bie´ˆn f = anx +···+a0 thành f := anx +···+a0. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 30 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.14. Cho f ∈ Z[x]. Ne´ˆu toˆ`n tai moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ p không chia he´ˆt heˆ tu’’ ˙ ˙ ˙ ˙ cao nha´ˆt cu’ a f và f ba´ˆt kha’ quy trong Zp[x] thì f ba´ˆt kha’ quy trong Q[x]. Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 8. ˙ Chú ý ra˘`ng, meˆnh d¯eˆ` trên chı’ cho moˆt d¯ieˆ`u kieˆn d¯u’ . Có nhu˜’ng d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ ˙ ˙ ˙ quy trong Q[x] nhu’ng a’ nh cu’ a nó trong Zp[x] là kha’ quy vo´’i moi so´ˆ nguyên to´ˆ p, ˙ xem Bài taˆp 0. 6. ˙ 0.3 MOˆ T SO´ˆ NHÓM HU˜’U HAN ˙ ˙ Ca´ˆp cu’ a moˆt nhóm (nhân) hu˜’u han G là so´ˆ phaˆ`n tu’’ cu’ a nhóm, kí hieˆu (G : 1) hay ˙ ˙ ˙ |G|. Ca´ˆp cu’ a moˆt phaˆ`n tu’’ a ∈ G là ca´ˆp cu’ a nhóm con cyclic sinh ra bo’’i a. Ta gio´’i ˙ thieˆu moˆt so´ˆ nhóm hu˜’u han quan trong se˜ ga˘p trong noˆi dung cu’ a cuo´ˆn sách này. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ a) Nhóm dihedral D2n Nhóm dihedral D2n còn goi là nhóm các phép d¯o´ˆi xu´’ng cu’ a d¯a giác d¯eˆ`u n canh ˙ ˙ ’ ’ ’ Pn, tu´’c là nhóm các phép bie´ˆn d¯oˆi d¯a˘ng cu’ cu’ a ma˘t pha˘ng bie´ˆn Pn thành chính nó. ˙ ˙ Goi σ là phép quay có tâm là tâm cu’ a Pn và góc quay là 2π/n (góc d¯inh hu’o´’ng). ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 31 ˙ Rõ ràng σ có ca´ˆp n. Goi τ là phép d¯o´ˆi xu´’ng truc vo´’i truc d¯o´ˆi xu´’ng d¯i qua moˆt d¯ı’nh ˙ ˙ ˙ ˙ chon tru’o´’c cu’ a Pn. Ca´ˆp cu’ a τ ba˘`ng 2. Khi d¯ó ˙ i j D2n = {τ σ | i = 0, 1 ; j = 1, . . . , n} có ca´ˆp ba˘`ng 2n. Deˆ˜ dàng chı’ ra ra˘`ng n 2 −1 D2n = . b) Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn là nhóm các phép hoán vi n phaˆ`n tu’’ cu’ a taˆp ˙ ˙ Ω = {1, . . . , n}, có ca´ˆp ba˘`ng n!. Moˆ˜i phaˆ`n tu’’ cu’ a Sn goi là moˆt phép the´ˆ. Nhóm ˙ ˙ d¯o´ˆi xu´’ng Sn vo´’i n ≥ 3 là moˆt nhóm không giao hoán. ˙ ’ Moˆt vòng xích σ = (a1 a2 . . . am) goˆ`m các so´ˆ tu’ nhiên phân bieˆt cu’ a Ω bieˆu dieˆ˜n ˙ ˙ ˙ moˆt phép the´ˆ cu’ a Sn d¯inh bo’’i σ(ai) = ai+1 vo´’i 1 ≤ i ≤ m − 1, σ(am) = a1 và ˙ ˙ giu˜’ nguyên các phaˆ`n tu’’ còn lai cu’ a Ω. ˙ Vòng xích σ goi là có d¯oˆ dài m ne´ˆu nó chu´’a m phaˆ`n tu’’. Hai vòng xích goi là d¯oˆc ˙ ˙ ˙ ˙ laˆp ne´ˆu chúng không có phaˆ`n tu’’ chung. Tích cu’ a 2 vòng xích d¯oˆc laˆp có tính giao ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 32 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ hoán. Có theˆ’ chu´’ng minh deˆ˜ dàng ke´ˆt qua’ sau. Meˆnh d¯eˆ` 0.15. Moi phép the´ˆ d¯eˆ`u có theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n moˆt cách duy nha´ˆt (sai khác thu´’ ˙ ˙ ˙ tu’) du’o´’i dang tích cu’ a các vòng xích d¯oˆc laˆp. Bieˆ’u dieˆ˜n này d¯u’o’c goi là bieˆ’u dieˆ˜n ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vòng xích cu’ a phép the´ˆ. Ví du 3. Trong S12, cho phép the´ˆ σ d¯inh bo’’i: ˙ ˙ σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8 Ta có σ = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9). Khi d¯u’o’c bieˆ’u dieˆ˜n ba˘`ng tích cu’ a các vòng xích d¯oˆc laˆp, nghich d¯a’ o cu’ a phép the´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c xác d¯inh moˆt cách deˆ˜ dàng ba˘`ng cách vie´ˆt d¯a’ o ngu’o’c các phaˆ`n tu’’ trong các vòng ˙ ˙ ˙ ˙ xích d¯oˆc laˆp cu’ a nó. Ví du, vo´’i phép the´ˆ σ o’’ trên, ta có ˙ ˙ ˙ σ−1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9). Ta cu˜ ng deˆ˜ dàng chu´’ng minh d¯u’o’c ke´ˆt qua’ sau. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.16. Ca´ˆp cu’ a phép the´ˆ σ ba˘`ng boˆi chung nho’ nha´ˆt cu’ a d¯oˆ dài cu’ a các ˙ ˙ ˙ vòng xích trong bieˆ’u dieˆ˜n vòng xích cu’ a σ. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 33 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 16. ˙ Moˆt vòng xích có d¯oˆ dài ba˘`ng 2 goi là moˆt phép chuyeˆ’n trí. Moi vòng xích d¯eˆ`u ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c bieˆ’u dieˆ˜n (không duy nha´ˆt) ba˘`ng tích cu’ a các phép chuyeˆ’n trí, cha˘’ ng han : ˙ ˙ σ = (a1 a2 . . . am) = (a1 am) ··· (a1 a3)(a1 a2). (1) Tu`’ d¯ó suy ra : Meˆnh d¯eˆ` 0.17. Moi phép the´ˆ d¯eˆ`u bieˆ’u dieˆ˜n d¯u’o’c du’o´’i dang tích cu’ a các phép ˙ ˙ ˙ ˙ chuyeˆ’n trí. ’ Nhu’ the´ˆ taˆp ho’p T ta´ˆt ca’ các phép chuyeˆn trí cu’ a Sn sinh ra Sn. Ke´ˆt qua’ sau ˙ ˙ cu˜ ng d¯u’o’c su’’ dung sau này. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.18. Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn d¯u’o’c sinh bo’’i vòng xích (1 2 . . . n) và phép ˙ ˙ chuyeˆ’n trí (1 2). Chu´’ng minh. Cho c = (1 2 . . . n) và t = (1 2). Goi G là nhóm con sinh bo’’i t và ˙ c. Khi d¯ó G chu´’a phaˆ`n tu’’ c tc−1 = (2 3), nên chu´’a c(2 3)c−1 = (3 4), ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 34 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ và do d¯ó chu´’a các phép chuyeˆ’n trí dang (m m + 1). Suy ra G chu´’a các phaˆ`n tu’’ ˙ (1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ; nhu’ the´ˆ G chu´’a các phép chuyeˆ’n trí dang (1 m). Do d¯ó G chu´’a các phaˆ`n tu’’ dang ˙ ˙ (1 m)(1 r)(1 m) = (m r) vo´’i moi m, r ∈ {1, . . . , n}. Ta´ˆt ca’ các phép chuyeˆ’n trí ˙ sinh ra Sn nhu’ d¯ã tha´ˆy o’’ meˆnh d¯eˆ` trên. Do d¯ó G = Sn. ˙ Ta nha˘´c lai khái nieˆm da´ˆu cu’ a phép the´ˆ và gio´’i thieˆu nhóm thay phiên An. ˙ ˙ ˙ ¯Da˘t ˙ Y ∆n = (xi − xj). 1≤i<j≤n Vo´’i σ ∈ Sn, tác d¯oˆng cu’ a σ trên ∆n d¯inh bo’’i: ˙ ˙ Y ¡ ¢ σ(∆n) = xσ(i) − xσ(j) . 1≤i<j≤n Do σ là moˆt song ánh, moˆ˜i nhân tu’’ (xi − xj) cu’ a ∆n xua´ˆt hieˆn d¯úng moˆt laˆ`n vo´’i ˙ ˙ ˙ da´ˆu + hay − trong σ(∆n). Nhu’ the´ˆ, ta có σ(∆n) = ±∆n. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 35 ˙ Da˘t ¯ ˙ σ(∆n) sign(σ) = ∈ {±1} ∆n goi là da´ˆu cu’ a phép the´ˆ σ. ˙ Phép the´ˆ σ goi là phép the´ˆ cha˘˜n ne´ˆu sign(σ) = 1, là phép the´ˆ le’ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ne´ˆu sign(σ) = −1. Meˆnh d¯eˆ` 0.19. Ánh xa sign : Sn −→ {±1} là moˆt toàn ca´ˆu nhóm. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta có Q ¡ ¢ Q ¡ ¢ xτ σ(i) − xτ σ(j) xσ(i) − xσ(j) 1≤i<j≤n 1≤i<j≤n sign(τ σ) = Q ¡ ¢ Q xσ(i)−σ(j) (xi − xi) 1≤i<j≤n 1≤i<j≤n = sign(τ ) sign(σ). Deˆ˜ tha´ˆy ra˘`ng sign là moˆt toàn ánh vì a’ nh cu’ a phép chuyeˆ’n trí (1 2) ba˘`ng −1. Nhu’ ˙ the´ˆ sign là moˆt toàn ca´ˆu nhóm. ˙ ’ Heˆ qua’ 0.20. Taˆp ho’p ta´ˆt ca’ các phép the´ˆ cha˘˜n trong Sn là moˆt nhóm con chuaˆn ˙ ˙ ˙ ˙ ta˘´c cu’ a Sn có chı’ so´ˆ ba˘`ng 2, goi là nhóm thay phiên (trên n phaˆ`n tu’’), kí hieˆu An. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 36 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Ví du 4. Ta tính da´ˆu cu’ a phép chuyeˆ’n trí tùy ý (i j). Ta d¯ã bie´ˆt phép chuyeˆ’n trí ˙ (1 2) là moˆt phép the´ˆ le’ . Goi τ = (1 i)(2 j) là phép the´ˆ hoán vi 1 cho i và 2 cho j. ˙ ˙ ˙ Khi d¯ó ta có (i j) = τ (1 2)τ . Vì sign là d¯oˆ`ng ca´ˆu nhóm, ta có sign(i j) = (−1) sign(τ )2 = −1. Vaˆy phép chuyeˆ’n trí là phép theˆ’ le’ . ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.21. Moˆt vòng xích d¯oˆ dài m là phép the´ˆ le’ khi và chı’ khi m là so´ˆ cha˘˜n. ˙ ˙ ˙ Suy ra, moˆt phép the´ˆ σ là le’ khi và chı’ khi so´ˆ các vòng xích d¯oˆ dài cha˘˜n trong bieˆ’u ˙ ˙ dieˆ˜n vòng xích cu’ a σ là moˆt so´ˆ le’. ˙ Chu´’ng minh. Moˆt vòng xích d¯oˆ dài m có theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n nhu’ tích cu’ a m − 1 phép ˙ ˙ chuyeˆ’n trí (xem (1)). Do moˆ˜i phép chuyeˆ’n trí là le’ , suy ra d¯ieˆ`u pha’ i chu´’ng minh. c) Nhóm quaternion Nhóm quaternion Q8 là nhóm có 8 phaˆ`n tu’’, xác d¯inh nhu’ sau. Cho ˙ Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, vo´’i phép nhân d¯inh bo’’i: ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 37 ˙ • 1a = a1 = a vo´’i moi a ∈ Q8 ; ˙ • (−1)(−1) = 1 ; (−1)a = a(−1) = −a vo´’i moi a ∈ Q8 ; ˙ • ii = jj = kk = −1 ; • ij = k ; ji = −k ; • jk = i ; kj = −i ; • ki = j ; ik = −j. Deˆ˜ dàng kieˆ’m tra ta´ˆt ca’ các tiên d¯eˆ` cu’ a nhóm d¯eˆ`u tho’ a mãn. 0.4 HÀM EULER Ta nha˘´c lai khái nieˆm hàm Euler và moˆt so´ˆ tính cha´ˆt quan trong cu’ a nó. Phaˆ`n ˙ ˙ ˙ ˙ chu´’ng minh các tính cha´ˆt này d¯u’o’c thu’c hieˆn trong phaˆ`n Bài taˆp. ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 38 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Hàm Euler ϕ là moˆt ánh xa tu`’ N∗ vào N∗ d¯inh bo’’i ˙ ˙ ˙ ϕ(n) = #{m ∈ N | m ≤ n, (m, n) = 1}. ¯Dinh nghı˜a. ˙ Nghı˜a là ϕ(n) là so´ˆ các so´ˆ tu’ nhiên không lo´’n ho’n n và nguyên ˙ to´ˆ cùng nhau vo´’i n. Moˆt so´ˆ tính cha´ˆt cu’ a hàm Euler d¯u’o’c phát bieˆ’u trong meˆnh d¯eˆ` sau. ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.22. Kí hieˆu ϕ là hàm Euler. Khi d¯ó: ˙ ˙ (i) ϕ(p) = p − 1 vo´’i p là so´ˆ nguyên to´ˆ ; (ii) ϕ(pm) = (p − 1)pm−1 ; (iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) vo´’i moi (a, b) = 1 ; ˙ ´ m1 mr (iv) Neˆu a = p1 ··· pr thì 1 1 ϕ(a) = a(1 − ) ··· (1 − ); p1 pr P (v) ϕ(d) = n. d|n ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 39 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 17. ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 0. 1 . Chon d¯úng (D), sai (S) cho các meˆnh d¯eˆ` sau: ˙ ¯ ˙ a) Hai d¯a thu´’c ba´ˆt ky` cu’ a F [x] d¯eˆ`u toˆ`n tai u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt. ˙ b) Tu’o’ng u´’ng tu`’ F [x] vào Z cho bo’’i f 7→ deg(f) là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành. ˙ c) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a nó. ˙ d) Vành Zn là moˆt mieˆ`n nguyên khi và chı’ khi nó là moˆt tru’o`’ng. ˙ ˙ e) Moi d¯a thu´’c trên tru’o`’ng F d¯eˆ`u có moˆt nghieˆm trong F . ˙ ˙ ˙ f) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trên Q d¯eˆ`u ba´ˆt kha’ quy trên Z. ˙ g) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trên Q thì ba´ˆt kha’ quy trên R. ˙ h) Có vô han các d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy baˆc n trên Q (trên R, trên C). ˙ ˙ i) Nhu˜’ng d¯a thu´’c nguyên to´ˆ cùng nhau thì có baˆc khác nhau. (Xem HD 250) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 40 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ✍ 0. 2 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ p > 0. Xét ánh xa ˙ ˙ ϕ : F −→ F a 7→ ap. goi là ánh xa Frobenius. Chu´’ng minh ra˘`ng ϕ là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Suy ra ˙ ˙ ˙ ne´ˆu F là tru’o`’ng hu˜’u han thì ϕ là moˆt tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu. (Xem HD 250) ˙ ˙ ˙ ✍ 0. 3 . Cho D là mieˆ`n nguyên và FD là tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a nó. Cho K là moˆt ˙ tru’o`’ng và τ : D −→ K là moˆt d¯o’n ca´ˆu vành. Chu´’ng minh ra˘`ng toˆ`n tai duy ˙ ˙ nha´ˆt moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng ϕ : FD −→ K sao cho ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ D. Suy ˙ ra tính duy nha´ˆt cu’ a tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a D. (Xem HD 250) ✍ 0. 4 . Xác d¯inh các tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a tru’o`’ng các so´ˆ hu˜’u ty’. Tu’o’ng tu’, xác d¯inh các tu’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ p d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a Zp; suy ra công thu´’c Fermat a ≡ a mod p vói moi a ∈ Z. (Xem ˙ HD 251) ✍ 0. 5 . Chu´’ng minh ra˘`ng moˆt tru’o`’ng F có d¯a˘c so´ˆ 0 (tu’o’ng u´’ng p nguyên to´ˆ) khi và ˙ ˙ chı’ khi toˆ`n tai moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯o’n ca´ˆu) tru’o`’ng tu`’ Q (tu’o’ng u´’ng Zp) vào F . Ho’n ˙ ˙ nu˜’a, d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng d¯ó là duy nha´ˆt. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 41 ˙ (Xem HD 252) ✍ 0. 6 . Cho f = x4 − 10x2 + 1 ∈ Z[x]. Chu´’ng minh ra˘`ng f ba´ˆt kha’ quy trên Z nhu’ng kha’ quy khi xét nhu’ moˆt d¯a thu´’c trong Zp[x] vo´’i moi p nguyên to´ˆ. ˙ ˙ (Xem HD 252) ✍ 0. 7 . Chu´’ng minh Heˆ qua’ 0.8. (Xem HD 252) ˙ ✍ 0. 8 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.14. (Xem HD 253) ˙ 5 4 3 2 ✍ 0. 9 . Tìm d = (f, g) vo´’i f, g ∈ Z11[x] cho bo’’i f = x +2x +3x +3x −5x+2, g = 3 2 2x + 7x + 5x − 2. Tìm s, t ∈ Z11[x] sao cho sf + tg = d. Nên su’’ dung Maple. ˙ (Xem HD 253) ✍ 0. 10 . Chu´’ng minh dang toˆ’ng quát cu’ a MD. 0.10: cho D là mieˆ`n nguyên Gauss và ˙ ¯ FD là tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a D. Ne´ˆu f ∈ D[x] ba´ˆt kha’ quy trên D thì ba´ˆt kha’ quy trên FD. (Xem HD 253) ✍ 0. 11 . Xác d¯inh tính ba´ˆt kha’ quy cu’ a các d¯a thu´’c sau d¯ây. Trong tru’o`’ng ho’p kha’ quy, ˙ ˙ tìm dang nhân tu’’ hóa cu’ a d¯a thu´’c trên tru’o`’ng chı’ ra. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 42 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ a) x4 + 1 trên Q. e) x3 − 7x2 + 3x + 3 trên Q. b) x4 + 1 trên R. f) x4 + 15x3 + 7 trên Q. 4 c) x7 + 11x3 − 33x + 22 trên Q. g) x + 7 trên Z17. 4 3 2 3 d) x + x + x + x + 1 trên Q. h) x − 5 trên Z11. (Xem HD 253) ✍ 0. 12 . Tìm nghieˆm cu’ a các d¯a thu´’c sau d¯ây (tru’o´’c tiên trong Q sau d¯ó trong R, C). ˙ a) x3 + 1. d) x2 + 1. b) x3 − 6x2 + 11x − 6. e) x4 + x3 + x2 + x + 1. c) x5 + x + 1. f) x4 − 6x2 + 11. (Xem HD 254) ✍ ´ ’ ´ 2 ´ 0. 13 . Tìm taˆt ca’ các d¯a thu´’c chuaˆn ta˘c x + bx + c ∈ Z5[x].D¯ a thu´’c nào baˆt kha’ quy ? Trong moˆ˜i tru’o`’ng ho’p, tính ∆ := b2 − 4c. Du’ d¯oán và chu´’ng minh tiêu ˙ ˙ chuaˆ’n ba´ˆt kha’ quy theo ∆. (Xem HD 254) ✍ 0. 14 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.11. (Xem HD 254) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 43 ˙ p2 − p ✍ 0. 15 . Cho p là moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ. Chu´’ng minh ra˘`ng trong Zp[x] có d¯úng d¯a ˙ 2 thu´’c chuaˆ’n ta˘´c ba´ˆt kha’ quy baˆc 2. (Xem HD 255) ˙ ✍ 0. 16 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.16 ba˘`ng cách chu´’ng minh các kha˘’ ng d¯inh sau. ˙ ˙ i • Ne´ˆu σ = (a1 a2 . . . am) thì vo´’i moi i ∈ {1, 2, . . . , m}, ta có σ (ak) = ak+i ˙ vo´’i k + i d¯u’o’c la´ˆy tha˘ng du’ theo modulo m. ˙ ˙ • Trong moˆt nhóm nhân G, cho a, b là 2 phaˆ`n tu’’ giao hoán d¯u’o’c, khi d¯ó ˙ ˙ (ab)n = anbn vo´’i moi n ∈ Z. ˙ ✍ 0. 17 . Cho ϕ là hàm Euler. Chu´’ng minh ra˘`ng a) ne´ˆu q | n thì ϕ(qn) = qϕ(n); b) ne´ˆu (p, n) = 1 và p nguyên to´ˆ thì ϕ(pn) = (p − 1)ϕ(n); c) suy ra ne´ˆu p nguyên to´ˆ và (p, n) = 1 thì ϕ(pmn) = (p − 1)pm−1ϕ(n); d) suy ra ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀(a, b) = 1 ; ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 44 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI P ˙ e) ϕ(d) = n. (Xem HD 255) d|n * 0. 18 . Cho F là moˆt tru’o`’ng. Chu´’ng minh ra˘`ng moi nhóm con hu˜’u han cu’ a nhóm ˙ ˙ ˙ nhân F ∗ = F − {0} là moˆt nhóm cyclic. Suy ra ne´ˆu F là tru’o`’ng hu˜’u han thì ˙ ˙ F ∗ là nhóm cyclic. (Xem HD 256) * 0. 19 . Xác d¯inh taˆp các tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a tru’o`’ng R. (Xem HD 257) ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Chu’o’ng 1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✧✧✧ § 1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG. BAˆC CU’ A MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ˙ ˙ 1.1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Cho tru’o`’ng K và F là moˆt tru’o`’ng con cu’ a K. Khi d¯ó F ⊂ K goi ˙ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và K d¯u’o’c goi là moˆt mo’’ roˆng (tru’o`’ng) cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . Moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K còn d¯u’o’c kí hieˆu là K : F hay ˙ ˙ ˙ ˙ K/F . 45
46 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Nhaˆ n xét 1.1. (i) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u là mo’’ roˆng cu’ a tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a nó. ˙ ˙ ˙ (ii) Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a chúng ˙ ˙ trùng nhau. Ví du 5. Q ⊂ R, Q ⊂ C, R ⊂ C là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. ˙ ˙ Ví du 6. Cho F là moˆt tru’o`’ng và F (x) là tru’o`’ng các phân thu´’c hu˜’u ty’ bie´ˆn x siêu ˙ ˙ vieˆt trên F .Doˆ`ng nha´ˆt F vo´’i các phân thu´’c ha˘`ng, ta có F ⊂ F (x) là moˆt mo’’ roˆng ˙ ¯ ˙ ˙ tru’o`’ng. Cho K : F và L : F là các mo’’ roˆng tru’o`’ng cu’ a F . Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu ˙ ˙ (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng ϕ : K −→ L tho’ a ϕ(a) = a, ∀ a ∈ F goi là ˙ F -d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -d¯a˘’ ng ca´ˆu). Mo’’ roˆng K : F d¯u’o’c goi là F -d¯a˘’ ng ca´ˆu ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ vo´’i mo’’ roˆng L : F ne´ˆu toˆ`n tai moˆt F -d¯a˘’ ng ca´ˆu tu`’ K vào L, kí ˙ ˙ ˙ hieˆu K ∼= L. Ne´ˆu K = L thì các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -d¯a˘’ ng ca´ˆu) goi ˙ F ˙ là F -tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu). ˙ ˙ Toˆ’ng quát ho’n, ta có: ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 47 ˙ ˙ ˙ Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho ˙ τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng.¯ Doˆ`ng ca´ˆu ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ (d¯a˘’ ng ca´ˆu) ϕ : K −→ L goi là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ ne´ˆu ˙ ˙ ˙ ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ F . Mo’’ roˆng F ⊂ K goi là d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i mo’’ roˆng E ⊂ L ne´ˆu toˆ`n tai ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. các d¯a˘’ ng ca´ˆu i : F −→ E và moˆt mo’’ roˆng cu’ a nó j : K −→ L, ˙ ˙ ˙ nghı˜a là j(a) = i(a), ∀a ∈ F. Nhaˆ n xét 1.2. Quan heˆ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng là moˆt quan heˆ tu’o’ng ˙ ˙ ∼ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’ng. Da˘c bieˆt, quan heˆ “=F ” là moˆt quan heˆ tu’o’ng d¯u’o’ng. ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 1.3. Cho K : F và L : F là các mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho ϕ : K −→ L là moˆt ˙ ˙ ˙ F -d¯oˆ`ng ca´ˆu. Cho α ∈ K là moˆt nghieˆm cu’ a f ∈ F [x]. Khi d¯ó ϕ(α) ∈ L là moˆt ˙ ˙ ˙ nghieˆm cu’ a f. ˙ Chu´’ng minh. Goi f = a xn + ··· + a . Ta có ˙ n 0 n f(α) = anα + ··· + a0 = 0. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
48 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Suy ra n 0 = ϕ(f(α)) = anϕ(α) + ··· + a0 = f(ϕ(α)). Nghı˜a là ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ Ta có dang toˆ’ng quát cu’ a meˆnh d¯eˆ` trên, xem Bài taˆp 1. 8. ˙ ˙ ˙ 1.2 BAˆ C CU’ A MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ˙ Cho K : F là moˆt mo’’ roˆngtru’o`’ng. Khi d¯ó K có ca´ˆu trúc cu’ a moˆt không gian véc ˙ ˙ ˙ to’ trên F vo´’i phép nhân vô hu’o´’ng là phép nhân trên K. Moˆt co’ so’’ cu’ a F −không ˙ gian véc to’ K cu˜ ng d¯u’o’c goi là co’ so’’ cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F . ˙ ˙ ˙ Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F là chieˆ`u cu’ a F −không gian véc to’ ˙ ˙ K, kí hieˆu [K : F ]. Ne´ˆu [K : F ] hu˜’u han thì ta goi K : F là moˆt ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng hu˜’u han. Ne´ˆu mo’’ roˆng K : F không hu˜’u han thì goi là ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ Ví du 7. Xét mo’’ roˆng tru’o`’ng C : R. Ta bie´ˆt moi phaˆ`n tu’’ cu’ a C d¯u’o’c vie´ˆt moˆt cách ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ duy nha´ˆt du’o´’i dang a + bi vo´’i a, b ∈ R. Do d¯ó {1, i} là moˆt co’ so’’ cu’ a C : R. Suy ˙ ˙ ra [C : R] = 2. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 49 ˙ ˙ ˙ Ví du 8. Các mo’’ roˆng tru’o`’ng R/Q, C/Q,K(x)/K là các mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 1.4. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng F ⊂ K ba˘`ng 1 khi và chı’ khi F = K. Nói cách ˙ ˙ ˙ khác baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng ba˘`ng 1 khi và chı’ khi mo’’ roˆng là taˆ`m thu’o`’ng. Thaˆt ˙ ˙ ˙ ˙ vaˆy, ne´ˆu K = F.α thì 1 = aα, kéo theo α = a−1 ∈ F . Do d¯ó F = K. ˙ ¯Dinh lí 1.5. Cho K : F và L : K là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó L : F là moˆt mo’’ ˙ ˙ ˙ roˆng tru’o`’ng và ˙ [L : F ] = [L : K][K : F ]. Ho’n the´ˆ ne´ˆu {ei}i∈I và {fj}j∈J laˆ`n lu’o’t là co’ so’’ cu’ a K : F và L : K thì ˙ {eifj}i∈I,j∈J là moˆt co’ so’’ cu’ a L : F . ˙ Chu´’ng minh. Kí hieˆu E = {e } ,S = {f } và ES = {e f } . Cho u ∈ L. Khi d¯ó ˙ i i∈I j j∈J i j i∈I,j∈J P ’ ’ u = ajfj vo´’i aj ∈ K. Do aj bieˆu thi tuye´ˆn tính qua E nên thay aj trong bieˆu ˙ dieˆ˜n cu’ a u bo’’i các toˆ’ ho’p tuye´ˆn tính cu’ a S , ta có bieˆ’u dieˆ˜n tuye´ˆn tính cu’ a u qua ˙ ES. Do d¯ó ES là heˆ sinh cu’ a không gian véc to’ L trên F . ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng ES d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính. Xét moˆt toˆ’ ho’p tuye´ˆn tính trong L P ˙ ˙ P P ˙ ˙ cho bo’’i aijeifj = 0 vo´’i aij ∈ F . Ta vie´ˆt ( aijei)fj = 0 nhu’ moˆt quan heˆ i,j j i ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
50 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ P tuye´ˆn tính taˆ`m thu’o`’ng cu’ a S. Do S d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính, ta có aijei = 0 vo´’i moi ˙ ˙ i ˙ j. Ma˘t khác, do E d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính, ta có aij = 0 vo´’i moi i, j. Vaˆy ES d¯oˆc laˆp ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ tuye´ˆn tính. Nhaˆ n xét 1.6. ¯Dinh lý trên cho tha´ˆy ra˘`ng L : F là mo’’ roˆng hu˜’u han khi và chı’ ˙ ˙ ˙ ˙ khi L : K và K : F là các mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 1. 1 . Trong các tru’o`’ng ho’p sau, d¯âu là mo’’ roˆng tru’o`’ng ? ˙ √ ˙ a) Q ⊂ A := {a + b 2 | a, b ∈ Q} ; √ b) Q ⊂ B := {a + b α | a, b ∈ Q} vo´’i α ∈ N ; √ c) Q ⊂ C := {a + b 3 2 | a, b ∈ Q} ; d) Q ⊂ D := {a + bi | a, b ∈ Q} ? (Xem HD 257) ✍ 1. 2 . Xác d¯inh baˆc cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng tìm d¯u’o’c trong bài taˆp trên. (Xem HD ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 257) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 51 ˙ ˙ ˙ √ √ ✍ 1. 3 . Chu´’ng minh ra˘`ng Q[ 3] := {a + b 3 | a, b ∈ Q} và √ √ Q[ 5] := {a + b 5 | a, b ∈ Q} d¯eˆ`u là các mo’’ roˆng tru’o`’ng baˆc 2 cu’ a Q ˙ ˙ nhu’ng không d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i nhau. (Xem HD 257) ✍ 1. 4 . Chu´’ng minh ra˘`ng mo’’ roˆng R : Q là vô han. (Xem HD 258) ˙ ˙ ✍ 1. 5 . Chu´’ng minh ra˘`ng moi tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng ϕ : K −→ K d¯eˆ`u là P −tu’ d¯oˆ`ng ˙ ˙ ˙ ca´ˆu vo´’i P là tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a K. (Xem HD 258) ✍ 1. 6 . Chu´’ng minh ra˘`ng quan heˆ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng là moˆt quan heˆ ˙ ˙ ˙ ˙ tu’o’ng d¯u’o’ng. ✍ 1. 7 . Cho F ⊂ K là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Moˆt tru’o`’ng E tho’ a F ⊂ E ⊂ K d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ goi là tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng F ⊂ K. Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng baˆc nguyên to´ˆ không có tru’o`’ng trung gian nào khác F và K. (Xem HD ˙ 258) ✍ 1. 8 . a) Cho τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Khi d¯ó τ mo’’ roˆng thành moˆt d¯o’n ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
52 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ca´ˆu vành τ∗ : F [x] −→ E[x] d¯inh bo’’i: ˙ n n τ∗(a0 + ··· + anx ) = τ (a0) + ··· + τ (an)x . ’ ’ Da˘c bieˆt, chı’ ra ra˘`ng ne´ˆu τ là d¯a˘ng ca´ˆu tru’o`’ng thì τ∗ là d¯a˘ng ca´ˆu vành và ¯ ˙ ˙ ’ khi d¯ó, ne´ˆu f ∈ F [x] ba´ˆt kha’ quy trên F thì τ∗(f) ba´ˆt kha’ quy trên E. ¯Deˆ d¯o’n gia’ n, ta thu’o`’ng vie´ˆt τ∗f thay cho τ∗(f). b) Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng; cho τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ˙ ˙ ca´ˆu tru’o`’ng và ϕ : K −→ L là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ . Chu´’ng minh ra˘`ng ne´ˆu ˙ ˙ α ∈ K là nghieˆm cu’ a f ∈ F [x] thì ϕ(α) ∈ L là nghieˆm cu’ a τ f. ˙ ˙ ∗ (Xem HD 258) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 53 ˙ ’ § 2 MO’ ROˆ NG¯ DO’N ˙ 2.1 VÀNH CON VÀ TRU’O`’NG CON SINH RA BO’’I MOˆ T TAˆ P ˙ ˙ Cho K là moˆt tru’o`’ng và S là moˆt taˆp con cu’ a K. Giao cu’ a ta´ˆt ca’ ˙ ˙ ˙ các vành con (tru’o`’ng con) cu’ a K chu´’a S là moˆt vành con (tru’o`’ng ˙ ¯Dinh nghı˜a. con) cu’ a K, goi là vành con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S. Vành con ˙ ˙ (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S là vành con (tru’o`’ng con) nho’ nha´ˆt cu’ a K chu´’a S. Cho F ⊂ K là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho S là moˆt taˆp con cu’ a K. ˙ ˙ ˙ ˙ Vành con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i F ∪ S trong K d¯u’o’c goi là vành ¯Dinh nghı˜a. ˙ ¡ ˙ ˙ con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S trên F , kí hieˆu F [S] tu’o’ng u´’ng ¢ ˙ F (S) . Ne´ˆu S = {s1, . . . , sn} thì ta kí hieˆu F [s1, . . . , sn] cho F [S]. Tu’o’ng tu’ kí hieˆu ˙ ˙ ˙ F (s1, . . . , sn) cho F (S). Nhaˆ n xét 2.1. ˙ (i) Ta có F (s1, . . . , sn) = F (s1, . . . , sn−1)(sn), ∀ n ≥ 2. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
54 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ (ii) Ne´ˆu S ⊂ F , d¯a˘c bieˆt khi S = ∅ thì F [S] = F (S) = F . Trong tru’o`’ng ho’p ˙ ˙ ˙ S 6= ∅ ta có ke´ˆt qua’ sau: Meˆnh d¯eˆ` 2.2. Cho mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K và ∅ 6= S là moˆt taˆp con cu’ a K. Khi d¯ó ˙ ˙ ˙ ˙ n P o i1 in (i) F [S] = ai1···ins1 ··· sn | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N vo´’i quy u’o´’c hu˜’u han s0 = 1, ∀ s ∈ S˙ ; nf o (ii) F (S) = := fg−1 | f, g ∈ F [S], g 6= 0 . Nói cách khác, taˆp F (S) là g ˙ tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a F [S]. Chu´’ng minh. (i) Da˘t ¯ ˙ n X o i1 in E = ai1···ins1 ··· sn | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N . hu˜’u han ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng E là vành con nho’ nha´ˆt chu´’a F ∪ S. Rõ ràng F ⊂ E do quy u’o´’c trên. Taˆp E là moˆt vành con vì nó là moˆt nhóm con và d¯óng kín vo´’i ˙ ˙ ˙ phép nhân. Cuo´ˆi cùng moi vành con cu’ a K chu´’a F ∪ S d¯eˆ`u chu´’a các phaˆ`n tu’’ ˙ cu’ a E. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 55 ˙ (ii) Hieˆ’n nhiên do tính nho’ nha´ˆt cu’ a tru’o`’ng các thu’o’ng. √ √ Ví du 9. C = R[i] = R(i). Tu’o’ng tu’, ta có Q[ 2] = Q( 2). ˙ ˙ ´ˆ ’ ’ ˆ 2.2 CAU TRÚC CUA MO’ RONG¯ DO’N ˙ Mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K goi là mo’’ roˆng d¯o’n ne´ˆu toˆ`n tai α ∈ K ˙ ˙ ˙ ˙ sao cho K = F (α). Phaˆ`n tu’’ α goi là phaˆ`n tu’’ nguyên thu’ y cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ mo’’ roˆng d¯o’n. Chú ý ra˘`ng moˆt mo’’ roˆng d¯o’n có theˆ’ có nhieˆ`u phaˆ`n ˙ ˙ ˙ tu’’ nguyên thu’ y khác nhau. Ví du 10. Các mo’’ roˆng R ⊂ C, Q ⊂ Q(π), Q ⊂ Q(i),F ⊂ F (x) là các mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ d¯o’n. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng. Phaˆ`n tu’’ u ∈ K d¯u’o’c goi là d¯ai so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ trên F ne´ˆu nó là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c f khác 0 trong F [x]. ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ Moˆt phaˆ`n tu’’ u ∈ K không d¯ai so´ˆ trên F d¯u’o’c goi là siêu vieˆt trên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
56 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Mo’’ roˆng K : F d¯u’o’c goi là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ ne´ˆu moi phaˆ`n tu’’ cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ K d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên F . ˙ √ √ √ Ví du 11. Các phaˆ`n tu’’ i, 2, 2 + 3 5 d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên Q. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 2.3. Na˘m 1844, Liouville (1809-1882, Pháp) chu´’ng minh su’ toˆ`n tai cu’ a ˙ ˙ ˙ so´ˆ siêu vieˆt (trên Q). Na˘m 1873, Hermite (1822-1901, Pháp) chu´’ng minh so´ˆ e siêu ˙ vieˆt. Sau d¯ó, so´ˆ π siêu vieˆt d¯u’o’c Lindemann (1852-1939, Du´’c) chu´’ng minh na˘m ˙ ˙ ˙ ¯ 1882. Na˘m 1874, Cantor (1845-1918, Pháp) chu´’ng minh ra˘`ng taˆp các so´ˆ d¯ai so´ˆ ˙ ˙ trên Q là d¯e´ˆm d¯u’o’c và taˆp các so´ˆ thu’c R là không d¯e´ˆm d¯u’o’c. Nhu’ the´ˆ, so´ˆ các so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ thu’c siêu vieˆt là “nhieˆ`u ho’n” so´ˆ các so´ˆ thu’c d¯ai so´ˆ. Tuy nhiên, nói chung, ra´ˆt khó ˙ ˙ ˙ ˙ d¯eˆ’ chu´’ng minh moˆt so´ˆ thu’c cu theˆ’ là siêu vieˆt. ˙ ˙ ˙ ˙ Na˘m 1934, Gel’fond (1906-1968, Nga) và Schneider d¯oˆc laˆp chu´’ng minh bài toán ˙ ˙ thu´’ 7 noˆ’i tie´ˆng cu’ a Hilbert (1862-1943), ra˘`ng các so´ˆ αβ là siêu vieˆt, trong d¯ó α, β ˙ d¯ai so´ˆ trên Q, α 6= 0, 1 và β ∈/ Q. ˙ Bây gio`’, chúng ta se˜ phân tích sâu ho’n veˆ` ca´ˆu trúc cu’ a các mo’’ roˆng d¯o’n F (u) ˙ u´’ng vo´’i các tru’o`’ng ho’p u d¯ai so´ˆ hoa˘c siêu vieˆt trên F . ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 57 ˙ Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K. Xét d¯oˆ`ng ca´ˆu vành : ˙ ˙ ϕ : F [x] −→ F [u] f 7→ f(u). Rõ ràng ϕ là moˆt toàn ca´ˆu. Xét Ker(ϕ), có 2 tru’o`’ng ho’p nhu’ sau : ˙ ˙ • Ker(ϕ) = 0. Nghı˜a là u siêu vieˆt trên F . Khi d¯ó ϕ là moˆt d¯a˘’ ng ca´ˆu, do d¯ó ˙ ˙ F (x) ∼= F (u). • Ker(ϕ) 6= 0. Nghı˜a là u d¯ai so´ˆ trên F . Do F [x] là mieˆ`n nguyên chính nên ˙ Ker(ϕ) = (f), vo´’i 0 6= f ∈ F [x]. Khi d¯ó f chính là d¯a thu´’c có baˆc nho’ ˙ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm. Suy ra f ba´ˆt kha’ quy và do d¯ó Ker(ϕ) là id¯êan to´ˆi ˙ ˙ d¯ai (xem 0.8). Theo d¯inh lý d¯oˆ`ng ca´ˆu vành, ta có F [x]/Ker(ϕ) ∼= F [u]. Do ˙ ˙ F [x]/Ker(ϕ) là moˆt tru’o`’ng nên F [u] = F (u). ˙ Nhu’ the´ˆ, ta d¯ã chu´’ng minh ke´ˆt qua’ sau d¯ây : Meˆnh d¯eˆ` 2.4. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K. ˙ ˙ ˙ ∼ (i) Ne´ˆu u siêu vieˆt trên F thì F (u) =F F (x), tru’o`’ng các phân thu´’c hu˜’u ty’ trên F . ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
58 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ (ii) Ne´ˆu u d¯ai so´ˆ trên F thì ˙ ∼ F (u) = F [u] =F F [x]/(f) vo´’i f 6= 0 là moˆt d¯a thu´’c có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm. ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 2.5. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F . Khi d¯ó : ˙ ˙ ˙ (i) Da thu´’c 0 6= f ∈ F [x] có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm khi và chı’ khi f ¯ ˙ ˙ ˙ ba´ˆt kha’ quy nhaˆn u làm nghieˆm. Dieˆ`u d¯ó tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i f(u) = 0 và f chia ˙ ˙ ¯ he´ˆt moi d¯a thu´’c nhaˆn u làm nghieˆm. ˙ ˙ ˙ (ii) Ne´ˆu f và g là 2 d¯a thu´’c cu’ a F [x] có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm thì ˙ ˙ ˙ deg(f) = deg(g) và ho´’n the´ˆ f ∼ g. Trong các d¯a thu´’c có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn ˙ ˙ u làm nghieˆm, toˆ`n tai duy nha´ˆt moˆt d¯a thu´’c có heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u ba˘`ng 1, d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó d¯u’o’c goi là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. Baˆc cu’ a f d¯u’o’c goi là baˆc cu’ a u (trên F ). ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Heˆ qua’ 2.6. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F có baˆc n. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Khi d¯ó moi phaˆ`n tu’’ cu’ a F (u) d¯u’o’c vie´ˆt duy nha´ˆt du’o´’i dang ˙ ˙ ˙ n−1 a0 + a1u + ··· + an−1u , ai ∈ F ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 59 ˙ vo´’i moi i = 0, . . . , n − 1. Nói cách khác taˆp {1, u, ··· , un−1} là moˆt co’ so’’ cu’ a ˙ ˙ ˙ F (u): F . Suy ra mo’’ roˆng d¯o’n F (u): F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Goi f là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. Cho α ∈ F (u). Goi ˙ ˙ α = b + b u + ··· + b um. Xét g = b + b x + ··· + b xm. Toˆ`n tai q, r ∈ F [x] 0 1 m 0 1 m ˙ t sao cho g = fq + r vo´’i r = a0 + a1x + ··· + atx , vo´’i t < n. Rõ ràng t α = g(u) = r(u) = a0 + a1u + ··· + atu . Ho’n nu˜’a, ne´ˆu có 2 bieˆ’u dieˆ˜n n−1 n−1 α = a0 + a1u + ··· + an−1u = c0 + c1u + ··· + cn−1u , thì chúng trùng nhau, nghı˜a là a = c , ∀ i = 0, . . . , n − 1. Thaˆt vaˆy, ne´ˆu không i i ˙ ˙ n−1 thì 0 = (a0 − c0) + ··· + (an−1 − cn−1)u trái vo´’i gia’ thie´ˆt u có baˆc n. ˙ Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. Dieˆ`u ngu’o’c lai nói chung không ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ d¯úng. Sau này, ta se˜ xác d¯inh d¯ieˆ`u kieˆn d¯eˆ’ moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han là mo’’ roˆng d¯o’n ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
60 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Heˆ qua’ 2.7. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u, v ∈ K d¯ai so´ˆ trên F . Ne´ˆu ˙ ˙ ˙ ˙ u và v có cùng moˆt d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u thì toˆ`n tai duy nha´ˆt moˆt F -d¯a˘’ng ca´ˆu tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ϕ : F (u) −→ F (v) sao cho ϕ(u) = v. Chu´’ng minh. Thaˆt vaˆy các mo’’ roˆng d¯o’n F (u) và F (v) d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i F [x]/(f) ˙ ˙ ˙ vo´’i f là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u và v. Ta tha´ˆy ra˘`ng, u´’ng vo´’i moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ trên F có moˆt lo´’p các d¯a thu´’c ba´ˆt ˙ ˙ ˙ ˙ kha’ quy liên ke´ˆt vo´’i nhau trên F nhaˆn u làm nghieˆm. Ngu’o’c lai, ta chu´’ng minh ˙ ˙ ˙ ˙ ra˘`ng : Meˆnh d¯eˆ` 2.8. Cho F là moˆt tru’o`’ng và f ∈ F [x] là moˆt d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy. Khi ˙ ˙ ˙ d¯ó toˆ`n tai moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α): F sao cho α là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Da˘t K := F [x]/(f). Theo (0.8), nha´ˆt a ∈ F vo´’i a ∈ K, ta có K : F ¯ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Da˘t α = x. Rõ ràng f(α) = f = 0 và K = F (α). ˙ ˙ ¯ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 61 ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 2. 1 . Xác d¯inh tính d¯úng, sai cho các meˆnh d¯eˆ` sau : ˙ ˙ a) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u có moˆt mo’’ roˆng không taˆ`m thu’o`’ng. ˙ ˙ ˙ b) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u có moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ không taˆ`m thu’o`’ng. ˙ ˙ ˙ ˙ c) Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯eˆ`u là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ ˙ d) Moi mo’’ roˆng tru’o`’ng d¯eˆ`u là mo’’ roˆng d¯o’n. ˙ ˙ ˙ e) Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ f) Moi mo’’ roˆng d¯o’n siêu vieˆt cu’ a moˆt tru’o`’ng cho tru’o´’c d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ ˙ g) Moi d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u d¯eˆ`u ba´ˆt kha’ quy. ˙ h) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm d¯eˆ`u có ˙ ˙ ˙ ˙ cùng baˆc. ˙ i) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm d¯eˆ`u là ˙ ˙ ˙ ˙ d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
62 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ j) Baˆc cu’ a d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm goi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ là baˆc cu’ a u. (Xem HD 258) ˙ ✍ 2. 2 . Cho K = Q[α] vo´’i α ∈ C là nghieˆm cu’ a d¯a thu´’c x3 − x2 + x + 2. Bieˆ’u dieˆ˜n ˙ các phaˆ`n tu’’ (α2 + α + 1)(α2 − α) và (α − 1)−1 cu’ a K nhu’ các d¯a thu´’c theo α có baˆc không quá 2. (Xem HD 258) ˙ ✍ 2. 3 . Mô ta’ các mo’’ roˆng d¯o’n F (α) vo´’i α là moˆt nghieˆm cu’ a các d¯a thu´’c sau trên ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng chı’ ra : a) x2 − 5 ∈ Q[x] ; b) x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ Q[x] ; 2 c) x + x + 1 ∈ Z2[x] ; d) x3 + 2 ∈ Q[x]. (Xem HD 259) ✍ 2. 4 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han và f ∈ F [x] là moˆt d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy ˙ ˙ ˙ ˙ có deg(f) > 1. Chu´’ng minh ra˘`ng ne´ˆu [K : F ] và deg(f) nguyên to´ˆ cùng nhau thì f không có nghieˆm trong K. (Xem HD 259) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 63 ˙ ✍ 2. 5 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và [K : F ] = n. Cho f ∈ F [x] là d¯a thu´’c ˙ ˙ ba´ˆt kha’ quy baˆc m tho’ a (m, n) = 1. Chu´’ng minh ra˘`ng f ba´ˆt kha’ quy trên K. ˙ (Xem HD 259) ✍ 2. 6 . Xác d¯inh baˆc và chı’ ra moˆt co’ so’’ cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng : ˙ ˙ ˙ ˙ √ √ √ a) Q ⊂ Q( 2, i); b) Q ⊂ Q( 3 5, −2) ; √ √ √ √ c) Q ⊂ Q( 18, 3 2); d) Q ⊂ Q( 27, 3 + 12) ; √ √ √ e) Q ⊂ Q( 18, 4 2); f) Q ⊂ Q(u, 3 2) vo´’i u là nghieˆm cu’ a x4 + 6x2 + 3. ˙ (Xem HD 260) √ ✍ 2. 7 . Xác d¯inh ta´ˆt ca’ tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a các tru’o`’ng Q(i), Q( 3 2). (Xem HD 260) ˙ ˙ √ √ √ √ ✍ 2. 8 . Chu´’ng minh ra˘`ng Q( a, b) = Q( a + b), ∀ a, b ∈ N. (Xem HD 260) ’ ✍ 2. 9 . Bieˆu dieˆ˜n các tru’o`’ng con sau cu’ a Z2(x) : 2 a) Z2(x ) ; b) Z2(x + 1). (Xem HD 260) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
64 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 2. 10 . Tìm d¯a thu´ c to´ˆi tieˆ’u cu’ a các phaˆ`n tu’ sau d¯ây trên truo`ng chı’ ra : √ ’ ’ ’ ’ 5 + 1 a) trên Q ; √2 i 3 − 1 b) trên Q ; 2 2 c) α ∈ Z3(t)(α) vo´’i α tho’ a α = t + 1 trên Z3(t) ; √ √ d) 4 5 + 5 trên Q ; √ √ e) 3 2 + 3 4 trên Q ; f) u2 + u vo´’i u là nghieˆm cu’ a x3 + 3x2 − 3 ; ˙ g) ξ + ξ6 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q ; h) ξ + ξ2 + ξ4 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q ; i) ξ2 + ξ5 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q. (Xem HD 260) ✍ 2. 11 . Cho α và β laˆ`n lu’o’t là nghieˆm cu’ a x2 − 2 và x2 − 4x + 2 thuoˆc Q[x]. Chu´’ng ∼˙ ˙ ˙ minh ra˘`ng Q(α) =Q Q(β). (Xem HD 261) ✍ 2. 12 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ khác 2 và f là moˆt d¯a thu´’c baˆc 2 có heˆ tu’’ trong ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 65 ˙ F . Chu´’ng minh ra˘`ng ca’ 2 nghieˆm cu’ a f d¯eˆ`u thuoˆc moˆt mo’’ roˆng d¯o’n F (u) vo´’i ˙ ˙ ˙ ˙ u2 ∈ F . Suy ra tính cha´ˆt “moi d¯a thu´’c baˆc 2 d¯eˆ`u gia’ i d¯u’o’c trên mo’’ roˆng tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ˙ cu’ a F nhaˆn d¯u’o’c ba˘`ng cách ghép vào các ca˘n baˆc 2 cu’ a các phaˆ`n tu’’ cu’ a F ”. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng to’ ra˘`ng tính cha´ˆt d¯ó không d¯úng vo´’i tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ 2. (Xem HD 261) ˙ √ ✍ 2. 13 . a) Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng baˆc 2 trên Q d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i Q( d) vo´’i ˙ ˙ ˙ d ∈ Z là moˆt so´ˆ không chính phu’o’ng. ˙ b) Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng baˆc 2 trên R d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i C. ˙ ˙ ˙ (Xem HD 262) ✍ 2. 14 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và [K : F ] = n. Chu´’ng minh ra˘`ng baˆc cu’ a ˙ ˙ ˙ phaˆ`n tu’’ u ∈ K là moˆt u’o´’c cu’ a n. Suy ra ne´ˆu n nguyên to´ˆ thì K = F (u) vo´’i ˙ moi u ∈ K \ F . (Xem HD 262) ˙ ✍ 2. 15 . Tìm ta´ˆt ca’ các d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy baˆc 2 trên Z3. Mô ta’ các mo’’ roˆng d¯o’n baˆc 2 ˙ ˙ ˙ ’ trên Z3. Chu´’ng minh ta´ˆt ca’ các mo’’ roˆng d¯o’n d¯ó là d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i nhau. ˙ (Xem HD 262) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
66 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 2. 16 . Cho E = F (α) là moˆt mo’’ roˆng thu’c su’ cu’ a F vo´’i α là nghieˆm chung cu’ a x3 −1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ và x4 + x2 + 1. Xác d¯inh d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. (Xem HD 262) ˙ ✍ 2. 17 . Cho i : F −→ E là moˆt d¯a˘’ ng ca´ˆu tru’o`’ng. Goi α là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ˙ f = a + a x + ··· + a xn ∈ F [x] ba´ˆt kha’ quy. Goi β là moˆt nghieˆm cu’ a d¯a 0 1 n ˙ ˙ ˙ thu´’c n i∗f := i(a0) + i(a1)x + ··· + i(an)x ∈ E[x]. Chu´’ng minh toˆ`n tai moˆt mo’’ roˆng j : F (α) −→ E(β) cu’ a i sao cho j(α) = β. ˙ ˙ ˙ Ke´ˆt qua’ trên mo’’ roˆng cho Heˆ qua’ 2.7. (Xem HD 262) ˙ ˙ ✍ 2. 18 . Cho mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α) vo´’i f ∈ F [x] là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. Cho K : F ˙ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ a) Ne´ˆu ϕ : F (α) −→ K là moˆt F -d¯oˆ`ng ca´ˆu thì ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ ˙ b) Ánh xa ϕ 7→ ϕ(α) xác d¯inh moˆt song ánh giu˜’a taˆp các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu tu`’ F (α) ˙ ˙ ˙ ˙ vào K và taˆp các nghieˆm cu’ a f trong K. Suy ra so´ˆ các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu ba˘`ng so´ˆ ˙ ˙ nghieˆm phân bieˆt cu’ a f trong K. (Xem HD 262) ˙ ˙ ✍ 2. 19 . Cho mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α) vo´’i f ∈ F [x] là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. Cho ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 67 ˙ τ : F −→ K là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Chu´’ng minh: ˙ a) Ne´ˆu ϕ : F (α) −→ K là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ thì ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ τ f trong K. Xem Bài taˆp 1. 8 veˆ` d¯inh nghı˜a cu’ a τ f. ∗ ˙ ˙ ∗ b) Ánh xa ϕ 7→ ϕ(α) là moˆt song ánh giu˜’a taˆp các mo’’ roˆng cu’ a τ vo´’i taˆp các ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nghieˆm phân bieˆt cu’ a τ f trong K. ˙ ˙ ∗ Bài taˆp này là dang toˆ’ng quát cu’ a bài taˆp trên. (Xem HD 263) ˙ ˙ ˙ * 2. 20 . Chu´’ng minh các mo’’ roˆng Q ⊂ R và Q ⊂ C d¯eˆ`u không pha’ i là các mo’’ roˆng d¯o’n. ˙ ˙ (Xem HD 263) * 2. 21 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ khác 2 và cho E : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng có baˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng 2. Da˘t ¯ ˙ S(E) = {a ∈ F ∗ | a = b2, vo´’i b ∈ E}. Chu´’ng minh ra˘`ng: a) S(E) là moˆt nhóm con cu’ a F ∗ chu´’a (F ∗)2; ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
68 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ b) Hai mo’’ roˆng baˆc hai E, E0 cu’ a F là F -d¯a˘’ ng ca´ˆu khi và chı’ khi S(E) = ˙ ˙ S(E0); c) Toˆ`n tai vô han các mo’’ roˆng baˆc hai E1,E2 cu’ a Q sao cho ˙ ˙ ˙ ˙ Ei Ej, ∀ i 6= j. d) Toˆ`n tai duy nha´ˆt (sai khác d¯a˘’ ng ca´ˆu) moˆt tru’o`’ng có d¯úng p2 phaˆ`n tu’’. ˙ ˙ (Xem HD 264) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 69 ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ˆ ˜ ’ ˆ ´ˆ § 3 MO’ RONG HU’U HAN VÀ MO’ RONG¯ DAI SO ˙ ˙ ˙ ˙ ´ˆ ’ ’ ˆ ’ ˆ ´ˆ 3.1 TÍNH CHAT CUA MO’ RONG HU˜’U HAN VÀ MO’ RONG¯ DAI SO ˙ ˙ ˙ ˙ Ta bie´ˆt ra˘`ng moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ là mo’’ roˆng hu˜’u han. Ta có ke´ˆt qua’ toˆ’ng quát ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ho’n sau d¯ây : Meˆnh d¯eˆ` 3.1. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u1, . . . , un ∈ K sao cho u1 d¯ai ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ trên F và u d¯ai so´ˆ trên F (u , . . . , u ), ∀ j = 2, . . . , n. Khi d¯ó F (u , . . . , u ) j ˙ 1 j−1 1 n là mo’’ roˆng hu˜’u han trên F . ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta chu´’ng minh ba˘`ng quy nap trên n. Vo´’i n = 1 ta có mo’’ roˆng d¯o’n ˙ ˙ d¯ai so´ˆ nên là mo’’ roˆng hu˜’u han. Gia’ thie´ˆt ke´ˆt qua’ d¯úng cho k.Da˘t ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ E = F (u1, . . . , uk). Ta có [F (u1, . . . , uk+1): F ] = [F (u1, . . . , uk+1): E][E : F ]. Theo gia’ thie´ˆt quy nap, ta có [E : F ] hu˜’u han. Ma˘t khác, ta có mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ ˙ F (u1, . . . , uk+1): E = E(uk+1): E có uk+1 d¯ai so´ˆ trên E nên là mo’’ roˆng ˙ ˙ hu˜’u han. Suy ra F (u1, . . . , uk+1): F là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
70 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.2. Moi phaˆ`n tu’’ cu’ a moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han baˆc n d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ và có baˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ là moˆt u’o´’c cu’ a n. ˙ Chu´’ng minh. Cho K : F là mo’’ roˆng hu˜’u han và d¯a˘t n = [K : F ]. Xét u ∈ K. ˙ ˙ ˙ Taˆp ho’p {1, u, . . . , un} là moˆt taˆp goˆ`m n+1 phaˆ`n tu’’ trong K nên phu thuoˆc tuye´ˆn ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ n tính. Do d¯ó toˆ`n tai quan heˆ tuye´ˆn tính không taˆ`m thu’o`’ng a0+a1u+···+anu = 0. ˙ ˙ n Nói cách khác u là nghieˆm cu’ a d¯a thu´’c f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ F [x] khác ˙ 0. Do d¯ó u d¯ai so´ˆ trên F . Ma˘t khác, ta có ˙ ˙ [K : F ] = [K : F (u)][F (u): F ] = n. Do d¯ó [F (u): F ] | n. Vaˆy baˆc cu’ a u là u’o´’c cu’ a n. ˙ ˙ Sau này (xem 3.6) ta se˜ chı’ ra ra˘`ng toˆ`n tai các mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ không hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ Heˆ qua’ 3.3. Moˆt mo’’ roˆng K : F là mo’’ roˆng hu˜’u han khi và chı’ khi toˆ`n tai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ u , . . . , u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F sao cho K = F (u , . . . , u ). 1 n ˙ 1 n Chu´’ng minh. Gia’ su’’ [K : F ] = n. Goi {u1, . . . , un} là moˆt co’ so’’ cu’ a mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ K : F . Theo meˆnh d¯eˆ` trên u , . . . , u d¯ai so´ˆ trên F . Rõ ràng K = F (u , . . . , u ). ˙ 1 n ˙ 1 n Dieˆ`u kieˆn d¯u’ có d¯u’o’c do Meˆnh d¯eˆ` 3.1. ¯ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 71 ˙ ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.4. Cho F ⊂ K ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó L : F là mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ khi và chı’ khi L : K và K : F là các mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ne´ˆu L : F d¯ai so´ˆ thì rõ ràng các mo’’ roˆng L : K và K : F d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Ngu’o’c lai, gia’ su’’ L : K và K : F d¯ai so´ˆ. Xét u ∈ L. Do u d¯ai so´ˆ trên K nên ta ˙ ˙ ˙ ˙ n có b0 + b1u + ··· + bnu = 0 vo´’i bi ∈ K không d¯oˆ`ng tho`’i ba˘`ng 0. Xét mo’’ roˆng ˙ F (b0, . . . , bn, u): F , theo Meˆnh d¯eˆ` 3.1, d¯ó là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han. Do d¯ó u d¯ai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ trên F . ` ˆ` ’ ´ˆ ` ´ˆ 3.2 TRU’O’NG CON CÁC PHAN TU’¯DAI SO. TRU’O’NG¯ DÓNG¯ DAI SO. BAO ´ˆ ˙ ˙ ¯DÓNG¯ DAI SO. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.5. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Taˆp ho’p ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ E = {u ∈ K | u d¯ai so´ˆ trên F } ˙ là moˆt tru’o`’ng con cu’ a K chu´’a F , goi là tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a K trên ˙ ˙ ˙ F . Suy ra E : F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Vì moi phaˆ`n tu’’ thuoˆc F d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên F nên F ⊂ E. Cho ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
72 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ u, v ∈ E. Xét mo’’ roˆng F (u, v): F . Theo (3.1) và (3.2), ta có F (u, v) là d¯ai so´ˆ trên ˙ ˙ F . Suy ra F (u, v) ⊂ E. Suy ra u − v, uv ∈ F (u, v) ⊂ E và ne´ˆu u 6= 0 ta có u−1 ∈ F (u, v) ⊂ E. Vaˆy E là tru’o`’ng. ˙ Nhaˆ n xét 3.6. Tru’o`’ng con E các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a R trên Q là moˆt mo’’ roˆng vô ˙ ˙ ˙ ˙ han trên Q. Thaˆt vaˆy, ne´ˆu [E : Q] = n thì deˆ˜ dàng chı’ ra moˆt phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ thuoˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ R có baˆc lo´’n ho’n n.Dieˆ`u này mâu thuaˆ’n vo´’i Meˆnh d¯eˆ` 3.2. ˙ ¯ ˙ Moˆt tru’o`’ng K d¯u’o’c goi là d¯óng d¯ai so´ˆ ne´ˆu moi d¯a thu´’c baˆc lo´’n ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ho’n 0 d¯eˆ`u có ít nha´ˆt moˆt nghieˆm trong K. ˙ ˙ Ví du 12. Tru’o`’ng các so´ˆ phu´’c C là moˆt tru’o`’ng d¯óng d¯ai so´ˆ.D¯ ây là moˆt ke´ˆt qua’ coˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ieˆ’n thu’o`’ng d¯u’o’c goi là Dinh lí co’ ba’ n cu’ a d¯ai so´ˆ. Ta se˜ d¯u’a ra moˆt chu´’ng minh ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ cu’ a d¯inh lí này trong § 9. ˙ Nhaˆ n xét 3.7. Cho K là moˆt tru’o`’ng. Các meˆnh d¯eˆ` sau là tu’o’ng d¯u’o’ng : ˙ ˙ ˙ (i) K d¯óng d¯ai so´ˆ ; ˙ (ii) moi d¯a thu´’c thuoˆc K[x] có baˆc lo´’n ho’n không d¯eˆ`u phân tích thành tích các ˙ ˙ ˙ nhân tu’’ baˆc nha´ˆt ; ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 73 ˙ ˙ ˙ ˙ (iii) moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trong K[x] d¯eˆ`u là d¯a thu´’c baˆc nha´ˆt ; ˙ ˙ (iv) moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a K d¯eˆ`u trùng vo´’i K. ˙ ˙ ˙ Cho mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F . Tru’o`’ng K d¯u’o’c goi là bao d¯óng d¯ai ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ cu’ a F ne´ˆu K d¯óng d¯ai so´ˆ và K : F là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Ví du 13. Tru’o`’ng C là bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a R nhu’ng không pha’ i là bao d¯óng d¯ai so´ˆ ˙ ˙ ˙ cu’ a Q. Meˆnh d¯eˆ` 3.8. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng, trong d¯ó K d¯óng d¯ai so´ˆ. Kí hieˆu E là ˙ ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a K : F . Khi d¯ó E là moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a F . ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta d¯ã bie´ˆt F ⊂ E là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. Cho ˙ ˙ n f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ E[x] là moˆt d¯a thu´’c baˆc lo´’n ho’n 0. Do K d¯óng d¯ai so´ˆ, d¯a thu´’c f có nghieˆm u ∈ K. Rõ ˙ ˙ ˙ ˙ ràng F (a0, . . . , an, u): F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ (Meˆnh d¯eˆ` 3.1) nên u d¯ai so´ˆ trên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . Suy ra u ∈ E. Vaˆy E d¯óng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 3.9. Moi tru’o`’ng con cu’ a C d¯eˆ`u toˆ`n tai moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ.Sau này ta se˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ chı’ ra ra˘`ng moi tru’o`’ng d¯eˆ`u toˆ`n tai moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ, xem (C.1) trong Phu luc. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
74 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 3. 1 . Chon d¯úng, sai cho các meˆnh d¯eˆ` sau : ˙ ˙ a) Moi mo’’ roˆng hu˜’u han cùng baˆc d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ ˙ b) Các mo’’ roˆng trên cùng moˆt tru’o`’ng F và F -d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i nhau thì có cùng ˙ ˙ baˆc. ˙ c) Moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d) Moi mo’’ roˆng siêu vieˆt d¯eˆ`u là mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ e) Moi phaˆ`n tu’’ cu’ a C d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên R. ˙ ˙ f) Moi mo’’ roˆng cu’ a R d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ g) Moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a Q d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ h) Tru’o`’ng con A các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a C trên Q là tru’o`’ng con lo´’n nha´ˆt cu’ a C ˙ sao cho nó là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a Q. (Xem HD 264) ˙ ˙ ✍ 3. 2 . Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a R d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i R hoa˘c vo´’i C. ˙ ˙ ˙ ˙ (Xem HD 265) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 75 ˙ ˙ ˙ ˙ ✍ 3. 3 . Xét mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ F (x) vo´’i bie´ˆn x siêu vieˆt trên F . Cho mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ M ⊂ F (x) vo´’i M chu´’a F nhu’ moˆt tru’o`’ng con thu’c su’. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ ˙ M ⊂ F (x) là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. (Xem HD 265) ˙ ˙ ˙ ✍ 3. 4 . Xét tính ba´ˆt kha’ quy các d¯a thu´’c sau trên tru’o`’ng d¯u’o’c chı’ ra : √ ˙ a) x3 + 4 trên Q( 11) ; √ b) x2 + 1 trên Q( −2) ; √ √ c) x5 + 5x2 − 25x − 5 trên Q( 2, 3, 1 − i). (Xem HD 265) ✍ 3. 5 . Trong moˆ˜i tru’o`’ng ho’p sau, xét xem u có sinh ra mo’’ roˆng d¯u’o’c chı’ ra cu’ a tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ Q hay không ? √ √ √ √ a) u = 2 + 5 trong Q( 2, 5) ; 2 √ √ b) u = + 3 3 trong Q( 3 3) ; √3 2 − 1 √ c) u = √ trong Q( 2) ; 1 + 2 d) u = v2 + v + 1 trong Q(v), vo´’i v là nghieˆm cu’ a f = x3 + 5x − 5. ˙ (Xem HD 265) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
76 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 3. 6 . Cho F ⊂ K là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ và f ∈ K[x] là moˆt d¯a thu´’c khác 0. Chu´’ng minh ˙ ˙ ˙ ra˘`ng toˆ`n tai g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là u’o´’c cu’ a g. ˙ (Xem HD 265) ✍ 3. 7 . Cho E : F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. Chu´’ng minh ra˘`ng E là bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ F ne´ˆu moi d¯a thu´’c f ∈ F [x] có baˆc lo´’n ho’n 0 d¯eˆ`u phân rã trong E. ˙ ˙ (Xem HD 266) * 3. 8 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han vo´’i F là tru’o`’ng vô han. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ K : F là mo’’ roˆng d¯o’n khi và chı’ khi K chı’ có hu˜’u han các tru’o`’ng con chu´’a F . ˙ ˙ (Xem HD 266) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 77 ˙ § 4 DU’NG HÌNH BA˘` NG THU’O´’C KE’ VÀ COMPA ˙ Ta se˜ u´’ng dung lí thuye´ˆt veˆ` mo’’ roˆng tru’o`’ng d¯eˆ’ tìm câu tra’ lo`’i cho 3 bài toán ˙ ˙ du’ng hình xua´ˆt hieˆn tho`’i Hy Lap coˆ’ d¯ai và xét bài toán du’ngd¯a giác d¯eˆ`u n-canh ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. ˆ’ ˆ’ 4.1 BA BÀI TOÁN DU’NG HÌNH CO ¯DIEN ˙ Ba bài toán du’ng hình coˆ’ d¯ieˆ’n là: dùng thu’o´’c ke’ và compa d¯eˆ’ ˙ • “chia 3 moˆt góc” cho tru’o´’c ; ˙ • “ga´ˆp d¯ôi moˆt hình laˆp phu’o’ng”, tu´’c là du’ng moˆt hình laˆp phu’o’ng có theˆ’ tích ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ga´ˆp d¯ôi theˆ’ tích moˆt hình laˆp phu’o’ng cho tru’o´’c ; ˙ ˙ • “caˆ`u phu’o’ng d¯u’o`’ng tròn”, tu´’c là du’ng moˆt hình vuông có dieˆn tích ba˘`ng dieˆn ˙ ˙ ˙ ˙ tích cu’ a moˆt hình tròn cho tru’o´’c. ˙ Ta xây du’ng các khái nieˆm co’ ba’ n veˆ` d¯ieˆ’m và so´ˆ du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
78 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Trong ma˘t pha˘’ ng R2, cho 2 d¯ieˆ’m P = (0, 0), ˙ 0 ’ 2 P1 = (1, 0). Moˆt d¯ieˆm P ∈ R d¯u’o’c goi là du’ng d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) ne´ˆu toˆ`n tai dãy hu˜’u han P0,P1, ,Pn ˙ ˙ ’ sao cho P = Pn và vo´’i moi j ≥ 2, d¯ieˆm Pj xác d¯inh tu`’ ˙ ˙ Sj−1 := {P0,P1, ,Pj−1} bo’’i moˆt trong 3 “phép du’ng” sau : ˙ ˙ • giao cu’ a 2 d¯u’o`’ng tha˘’ ng phân bieˆt, trong d¯ó moˆ˜i d¯u’o`’ng tha˘’ ng ˙ ’ ´ ’ ¯Dinh nghı˜a. d¯i qua 2 d¯ieˆm baˆt ky` cua Sj−1 ; ˙ ’ ’ • giao cu’ a moˆt d¯u’o`’ng tha˘ng qua 2 d¯ieˆm cu’ a Sj−1 và moˆt d¯u’o`’ng ˙ ˙ tròn có tâm tai moˆt d¯ieˆ’m cu’ a S và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng ˙ ˙ j−1 ’ cách giu˜’a 2 d¯ieˆm trong Sj−1 ; • giao cu’ a 2 d¯u’o`’ng tròn phân bieˆt, trong d¯ó moˆ˜i d¯u’o`’ng tròn có ˙ tâm tai moˆt d¯ieˆ’m cu’ a S và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng cách ˙ ˙ j−1 ’ giu˜’a 2 d¯ieˆm trong Sj−1. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 79 ˙ Moˆt d¯u’o`’ng tha˘’ ng goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu nó d¯i qua 2 d¯ieˆ’m du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. Moˆt d¯oan tha˘’ ng goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu 2 d¯ieˆ’m mút du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. d¯u’o’c. Moˆt d¯u’o`’ng tròn goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu có tâm là moˆt d¯ieˆ’m ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ du’ng d¯u’o’c và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng cách giu˜’a 2 d¯ieˆ’m du’ng ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. ˙ Moˆt so´ˆ thu’c x d¯u’o’c goi là du’ng d¯u’o’c (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. ne´ˆu d¯ieˆ’m (x, 0) ∈ R2 du’ng d¯u’o’c. Rõ ràng, d¯oˆ dài cu’ a moˆt d¯oan ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ tha˘’ ng du’ng d¯u’o’c là moˆt so´ˆ thu’c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Moˆt góc β goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu cos β (tu’o’ng d¯u’o’ng sin β) là so´ˆ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ thu’c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ 2 ’ ¯Dinh lí 4.1. Cho P = (α, β) ∈ R là moˆt d¯ieˆm du’ng d¯u’o’c. Khi d¯ó ˙ ˙ ˙ ˙ [Q(α, β): Q] = 2r vo´’i r ∈ N. Chu´’ng minh. Cho P0,P1, ,Pn = P là moˆt dãy hu˜’u han nhu’ trong d¯inh nghı˜a ˙ ˙ ˙ ’ cu’ a d¯ieˆm du’ng d¯u’o’c . Da˘t K0 = K1 = Q và Kj = Kj−1(αj, βj) vo´’i 2 ≤ j ≤ n ˙ ˙ ¯ ˙ và Pj = (αj, βj). Deˆ˜ dàng tha´ˆy ra˘`ng các so´ˆ thu’c αj, βj là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
80 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ t baˆc 1 hoa˘c baˆc 2 có heˆ tu’’ trong Kj−1. Do d¯ó [Kj : Kj−1] = 2 vo´’i t ∈ N. Suy ra ˙ ˙ ˙ ˙ m [Kn : Q] = [Kn : Q(α, β)][Q(α, β): Q] = 2 vo´’i m ∈ N. Do d¯ó [Q(α, β): Q] = 2r vo´’i r ∈ N. Heˆ qua’ 4.2. Không theˆ’ chia ba góc π/3 ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. ˙ √ ¡ ¢ Chu´’ng minh. Dieˆ’m (−1/2, 3/2) = cos(π/3), sin(π/3) là du’ng d¯u’o’c. Da˘t ¯ ˙ ˙ ¯ ˙ u = cos(π/9), v = sin(π/9). Chia ba góc π/3 tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i vieˆc d¯ieˆ’m (u, v) ˙ du’ng d¯u’o’c. Ta có ˙ ˙ cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4 cos3(π/9) − 3 cos(π/9). Hay 1/2 = 4u3 − 3u. Suy ra 8u3 − 6u − 1 = 0.D¯ a thu´’c 8x3 − 6x − 1 ba´ˆt kha’ quy trên Q nên [Q(u): Q] = 3. Tu`’ Dinh lí 4.1, suy ra (u, v) không du’ng d¯u’o’c. Nói ¯ ˙ ˙ ˙ cách khác không theˆ’ chia ba góc π/3 ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. Dùng phu’o’ng pháp tu’o’ng tu’, ta có các ke´ˆt qua’ sau d¯ây : ˙ √ Heˆ qua’ 4.3. Không theˆ’ du’ng d¯u’o’c d¯ieˆ’m ( 3 2, 0). Nói cách khác không theˆ’ ga´ˆp d¯ôi ˙ ˙ ˙ hình laˆp phu’o’ng có canh ba˘`ng 1. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 81 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 4. ˙ √ Heˆ qua’ 4.4. Không theˆ’ du’ng d¯u’o’c d¯ieˆ’m ( π, 0). Nói cách khác không theˆ’ du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c hình vuông có dieˆn tích ba˘`ng dieˆn tích hình tròn bán kính 1. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 5. ˙ ˆ` ˆ ˆ` ˆ’ ˆ` ˘` 4.2¯ DIEU KIEN CAND¯ E ¯DA GIÁC¯ DEU P CANH DU’NG¯ DU’O’C BANG ˙ ˙ ˙ ˙ THU’O´’C KE’ VÀ COMPA Ta nha˘´c lai các ke´ˆt qua’ so’ ca´ˆp quen thuoˆc trong du’ng hình. ˙ ˙ ˙ Boˆ’ d¯eˆ` 4.5. (i) Trung d¯ieˆ’m cu’ a d¯oan tha˘’ng du’ng d¯u’o’c là du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (ii) Ne´ˆu 3 d¯ı’nh cu’ a moˆt hình bình hành du’ng d¯u’o’c thì d¯ı’nh còn lai du’ng d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i phép du’ng d¯u’o`’ng tha˘’ng song song vo´’i moˆt d¯u’o`’ng tha˘’ng cho ˙ ˙ tru’o´’c qua moˆt d¯ieˆ’m cho tru’o´’c). ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 6 ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
82 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ’ Boˆ d¯eˆ` 4.6. Ne´ˆu (a, 0) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c thì (0, a) và (−a, 0) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Tru’o´’c tiên ta du’ng truc tung. Dieˆ’m (−1, 0) du’ng d¯u’o’c vì nó là giao ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ cu’ a truc hoành vo´’i d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) và d¯i qua (1, 0). Truc tung là d¯u’o`’ng ˙ ˙ tha˘’ ng d¯i qua giao d¯ieˆ’m cu’ a 2 d¯u’o`’ng tròn laˆ`n lu’o’t có tâm (1, 0) và (−1, 0) bán kính ˙ ba˘`ng 2. Dieˆ’m (0, a) du’ng d¯u’o’c vì nó là moˆt trong 2 giao d¯ieˆ’m cu’ a truc tung vo´’i d¯u’o`’ng ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ tròn tâm (0, 0) d¯i qua (a, 0). Ngoài ra d¯u’o`’ng tròn này ca˘´t truc hoành tai d¯ieˆ’m ˙ ˙ (−a, 0) nên d¯ieˆ’m (−a, 0) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 4.7. ¯Dieˆ’m (a, b) du’ng d¯u’o’c khi và chı’ khi a và b du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ne´ˆu a và b du’ng d¯u’o’c, tu´’c là các d¯ieˆ’m (a, 0) và (b, 0) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Suy ra d¯ieˆ’m (0, b) du’ng d¯u’o’c. Dieˆ’m (a, b) du’ng d¯u’o’c vì nó là d¯ieˆ’m thu´’ tu’ cu’ a hình ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ bình hành có 3 d¯ieˆ’m (0, 0), (a, 0) và (0, b) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Ngu’o’c lai, ne´ˆu (a, b) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c. Xét 2 d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) d¯i ˙ ˙ ˙ ˙ qua (a, b). Giao d¯ieˆ’m cu’ a chúng là (a, b) và (a, −b).D¯ u’o`’ng tha˘’ ng d¯i qua 2 d¯ieˆ’m này ca˘´t truc hoành tai (a, 0) nên (a, 0) du’ng d¯u’o’c. Dieˆ’m (0, b) du’ng d¯u’o’c vì nó ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 83 ˙ là d¯ieˆ’m thu´’ tu’ cu’ a hình bình hành có 3 d¯ieˆ’m (0, 0), (a, 0) và (a, b) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ De´ˆn lu’o’t d¯ieˆ’m (b, 0) du’ng d¯u’o’c vì nó là moˆt trong các giao d¯ieˆ’m cu’ a truc hoành ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ và d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) d¯i qua (b, 0). ¯Dinh lí 4.8. Taˆp ta´ˆt ca’ các so´ˆ du’ng d¯u’o’c là moˆt tru’o`’ng con cu’ a R. Ho’n nu˜’a, ne´ˆu c ˙ ˙ √ ˙ ˙ ˙ du’ng d¯u’o’c và c > 0 thì c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Goi E là taˆp ta´ˆt ca’ các so´ˆ du’ng d¯u’o’c. Cho a, b ∈ E. Ta d¯ã chu´’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ¡ ¢ minh −a ∈ E. Do (a, 0) và (b, 0) du’ng d¯u’o’c, d¯ieˆ’m giu˜’a Q = a+b, 0 du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ 2 ˙ ˙ Giao d¯ieˆ’m cu’ a truc hoành và d¯u’o`’ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0). Do d¯ó ˙ a + b du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Deˆ’ chu´’ng minh ab ∈ E, ta chı’ caˆ`n xét tru’o`’ng ho’p ab 6= 0 và b 6= 1. Do (b − 1) ¯ ˙ du’ng d¯u’o’c nên d¯ieˆ’m (0, b − 1) du’ng d¯u’o’c. Theo Boˆ’ d¯eˆ` 4.5, d¯ieˆ’m (a, b − 1) du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. Giao d¯ieˆ’m cu’ a d¯u’o`’ng tha˘’ ng qua (0, b) và (a, b − 1) vo´’i truc hoành là d¯ieˆ’m ˙ ˙ (ab, 0). Vaˆy ab du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng a−1 ∈ E ne´ˆu a 6= 0. Do a ∈ E, ta có 1 − a ∈ E, hay d¯ieˆ’m (0, 1 − a) du’ng d¯u’o’c. Theo Boˆ’ d¯eˆ` 4.5, d¯ieˆ’m (1, 1 − a) du’ng d¯u’o’c. Du’o`’ng tha˘’ ng qua ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ (0, 1) và (1, 1 − a) ca˘´t truc hoành tai (a−1, 0). Vaˆy a−1 ∈ E. ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú