›
›

Bài tập Toán ôn thi vào Lớp 10 THPT

pdf 25 trang ngocly 1750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Toán ôn thi vào Lớp 10 THPT", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_toan_on_thi_vao_lop_10_thpt.pdf

Nội dung text: Bài tập Toán ôn thi vào Lớp 10 THPT

  1. C¸c chó ý vμ lêi gi¶I cho mét sè bμi to¸n c¬ b¶n Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - A. to¸n rót gän biÓu thøc I. VÝ dô : 2x x 3x3 2x 4 Rót gän biÓu thøc P:1 ( víi x x3 x3x9 x3 0,x 1,x 9) 2x x 3 x x 3 3x3 2x 4 x 3 Gi¶i : Víi x 0,x 1,x 9 ta cã P: x3 x3 x3 2x6xx3x3x32x4 x3 3x3 x1 :: x3 x3x3 x3 x3 x3 3x1 x3 3 x3 x3 x1 x3 II. Chó ý : Khi rót gän c¸c biÓu thøc lμ c¸c phÐp tÝnh gi÷a c¸c ph©n thøc ta th−êng t×m c¸ch ®−a biÓu thøc thμnh mét ph©n thøc sau ®ã ph©n tÝch tö vμ mÉu thμnh nh©n tö råi gi¶n −íc nh÷ng thõa sè chung cña c¶ tö vμ mÉu. Tr−êng hîp ®Ò bμi kh«ng cho ®iÒu kiÖn th× khi rót gän xong ta nªn t×m ®iÒu kiÖn cho biÓu thøc. Khi ®ã quan s¸t biÓu thøc cuèi cïng vμ c¸c thõa sè ®· ®−îc gi¶n −íc ®Ó t×m ®iÒu kiÖn. VÝ dô víi bμi nμy : + BiÓu thøc cuèi cïng cÇn x0 + C¸c thõa sè ®−îc gi¶n −íc lμ : x1v μ x3 cÇnx1vμ x9 VËy ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa lμ x 0,x 1,x 9 B. ph−¬ng tr×nh bËc hai vμ ®Þnh lÝ viÐt I. VÝ dô §Ò bμi 1: Cho ph−¬ng tr×nh x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0 5 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m 3 b. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng f. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau i. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n 2x1 + 5x2 = -1 22 j. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n xx112 k. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1 vμ x2 cña ph−¬ng tr×nh l. T×m GTNN cña xx12 222 2 m. T×m GTLN cña x1x1221 x14x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1
  2. n. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vμ x2 , chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vμo m Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - x1x112 B 22 xx12 xx 21 Gi¶i : 5 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m 3 5 72 Víi m ta cã ph−¬ng tr×nh : xx22 03x7x20 3 33 72 4.3.2 49 24 25 0; 5 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 75 1 75 x;x2 1263 6 5 1 VËy víi m ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt lμ vμ 2 3 3 b. Chøng minh ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäim nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 VËy víi m 1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng dÊu. e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng khi 2 0 2m 2 1 0 m1 ac 0 m 1 0 m1 1 m 1 2m 1 m b2m10 0 2 a VËy víi m > 1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng d−¬ng. f. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m khi www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2
  3. 2 0 2m 2 1 0 m1 Simpo ac PDF 0 Merge m and 1 Split 0 Unregistered m1 Version1 - v« nghiÖm 2m 1 m b2m10 0 2 a VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm cïng ©m. g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 §Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng ta cã c¸c tr−êng hîp sau : Ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm d−¬ng vμ mét nghiÖm b»ng 0 Thay x = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ta cã m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vμo ph−¬ng tr×nh ta ®−îc x2 - x = 0 xx 1 0 x 0hoÆcx1 ( tháa m·n ) Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng, ®iÒu kiÖn lμ : 2 0 2m 2 1 0 m1 ac 0 m 1 0 m1 1 m 1 2m 1 m b2m10 0 2 a Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu, ®iÒu kiÖn lμ : ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 KÕt hîp c¶ ba tr−êng hîp ta cã víi mäi m th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm d−¬ng h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m c Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã x .x = m1 1 2 a Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau khi x1.x2 = 1 m11 m 2 VËy víi m = 2 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lμ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau. i. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n 2x1 + 5x2 = -1 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) 12 Theo ®Þnh lÝ Viet vμ ®Ò bμi ta cã : x.x12 m 1 (2) 2x12 5x 1 (3) Nh©n hai vÕ cña (1) víi 5 sau ®ã trõ c¸c vÕ t−¬ng øng cho (3) ta ®−îc : 10m 4 5x + 5x – 2 x – 5x = 10m – 5 + 1 3x 10m 4 x (4) 1 2 1 2 113 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m Thay (4) vμo (1) ta cã : x 2m1x 2m1 3322 33 (5) Thay (4) vμ (5) vμo (2) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3
  4. 10m 4 1 4m . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m2 4 16m 9m 9 33 Simpo 40m PDF2 17mMerge 5 and 0 Split Unregistered Version - 2 17 4.40. 5 1089 0; 33 17 33 1 17 33 5 m;m 1280 5 80 8 15 VËy víi mhoÆcm th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò 58 bμi. 22 j. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n xx112 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 22 22 2 Theo ®Ò bμi : xx1xx2xx2xx112 12 1212 xx 12 2xx1(3) 12 Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta cã (2m – 1)2 – 2(m – 1) = 1 (2m - 1)22 - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 22 6m 2 0 2m 3m 1 0 c1 Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ m = 1 ; m = 1 2 a2 1 VËy víi m1hoÆcm th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò 2 bμi. k. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm x1 vμ x2 cña ph−¬ng tr×nh Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m. Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : xx112 xx 2m1 m xx112 12 x.x 1 x x 2x.x 1 x.x m 1 2 12 1 2 12 12 2 mx.x1 12 VËy hÖ thøc cÇn t×m lμ xx2x.x112 12 l. T×m GTNN cña xx12 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1 V× 2m 122 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 2222 22 §Æt A = xx12 0 A xx12 xx 12 x2xxx 1 122 xx 12 4xx 12 Thay (1) vμ (2) vμo ta cã A2m14m14m4m14m44m8m412m211222 2 2 víi mäi m (3) Mμ A0nªntõ(3)A1víimäim DÊu b»ng x¶y ra khi (2m - 2)2 = 0 m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4
  5. VËy GTNN cña Axx 12 lμ 1 x¶y ra khi m = 1 222 2 Simpom. PDF T×m Merge GTLN and cña Split x1x1221 Unregistered x14x Version - Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vμ x2 víi mäi m xx 2m1(1) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 x.x m 1 (2) 12 2 222 22222 2 Ta cã Ax1x 12211212121212 x14xx x 5xx x x 2xx5xx (3) Thay (1) vμ (2) vμo (3) ta ®−îc : A 2m 1 22 5 m 1 2 m 1 4m22 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 2 4m 2 2 2m4m42m2 2 V× m 222 0 víi mäi m A 2 m 2 2 víi mäi m DÊu b»ng x¶y ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2 222 2 VËy GTLN cña Ax1x 1221 x14x lμ 2 khi m = 2 n. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vμ x2 , x1x112 chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vμo m : B 22 xx12 xx 21 Ph−¬ng tr×nh ®· cho lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2m 12 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 2 1 22 V× 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nªn ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai xx 2m1(1) nghiÖm ph©n biÖt x vμ x víi mäi m. Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã : 12 1 2 x.x m 1 (2) 12 xx22 xx x1x112 x1.xx1.x1122 12 12 Ta cã: B 2 2 22 22 xx12 xx 21 xx 1 2 xx 1 2 22 xx12 xx 12 2xx2m1 12 2m12m1 22 2 xx12 m1 2 4m22 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4 4m 1 2224 m1 m1 m1 VËy biÓu thøc B kh«ng phô thuéc vμo gi¸ trÞ cña m. §Ò bμi 2. Cho ph−¬ng tr×nh (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0 a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = -5 b. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu f. *T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tháa m·n x1 + 3x2 = 4 h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mμ tÝch cña chóng b»ng -1 22 i. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 .TÝnh theo m gi¸ trÞ cña Ax 12 x j. T×m m ®Ó A = 6 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5
  6. 1 k. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . Khi ®ã 1 2 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6x 1 6x 1 h·y lËp ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 12vμ 3x21 3x Gi¶i : a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = -5 Thay m = -5 vμo ph−¬ng tr×nh ta cã : -4x2 + 6x = 0 x0 2x 2x 3 0 2x 0 3 2x 3 0 x 2 3 VËy víi m = -5 , ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 0 vμ 2 b. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . Ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi 2m 1 0 m 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m 2 c. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi 2m 1 0 m ( tháa m·n ) 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi m1hoÆcm 2 Chó ý : Tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 còng ®−îc coi lμ cã nghiÖm duy nhÊt d. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi 2m 1 0 m 2 1 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi mv μ m1 2 e. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6
  7. Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = Simpo PDFm+5 Merge and Split Unregistered Version - Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi ac 0 m >-5 Tr−êng hîp chØ cÇn biÕt kÕt qu¶ cña c¸c BPT d¹ng nh− (1), h·y häc thuéc tõ “ngoμi cïng trong kh¸c” vμ dÞch nh− sau : ngoμi kho¶ng hai nghiÖm th× vÕ tr¸i cïng dÊu víi hÖ sè a, trong kho¶ng hai nghiÖm th× vÕ tr¸i kh¸c dÊu víi hÖ sè a ( hÖ sè a lμ hÖ sè lòy thõa bËc hai cña vÕ tr¸i khi khai triÓn, nghiÖm ë ®©y lμ nghiÖm cña ®a thøc vÕ tr¸i ) VÝ dô víi BPT (1) th× vÕ tr¸i cã hai nghiÖm lμ -1 vμ -5 , d¹ng khai triÓn lμ m2 + 6m + 5 nªn hÖ sè a lμ 1 >0. BPT cÇn vÕ tr¸i 0 (2) sÏ cÇn m ngoμi kho¶ng hai nghiÖm (cïng dÊu víi hÖ sè a), tøc lμ m -1 Mét sè vÝ dô minh häa : m3m7 0 m 7hoÆcm3; 2m43m90 3m2 2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4hoÆcm 5 f. *T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng khi 11 mm1 0 2m 1 0 22 ac0 m1m5 0 m1m5 0 m 5hoÆcm 12 I b 2m 2 m 2 m 1 0 m 2hoÆcm 13 0 0 a m1 1 m5hoÆc1m 2 Chó ý : §Ó t×m nghiÖm cña hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh (I) ta lÊy nh¸p vÏ mét trôc sè, ®iÒn c¸c sè mèc lªn ®ã vμ lÊy c¸c vïng nghiÖm. Sau ®ã quan s¸t ®Ó t×m ra vïng nghiÖm chung vμ kÕt luËn. ViÖc lμm ®ã diÔn t¶ nh− sau : (1) (3) (3) www.VNMATH.com(2) www.VNMATH.com(2) 7 5 2 1 1
  8. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ë h×nh trªn c¸c ®−êng (1) ; (2) ; (3) lÇn l−ît lμ c¸c ®−êng lÊy nghiÖm cña c¸c bÊt 1 ph−¬ng tr×nh (1) ; (2) ; (3) trªn trôc sè. Qua ®ã ta thÊy m<-5 hoÆc -1 < m < lμ 2 c¸c gi¸ trÞ chung tháa m·n c¶ ba bÊt ph−¬ng tr×nh (1) ; (2) ; (3) nªn ®ã lμ tËp nghiÖm cña hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh (I) g. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tháa m·n x1 + 3x2 = 4 Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 2m 1 0 m 2 b 2m 2 xx12 1 am1 cm5 Khi ®ã theo ®Ò bμi vμ ®Þnh lÝ Viet ta cã x.x12 2 am1 x3x4 3 12 Tõ (1) vμ (3) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh 2m 4 2m 4 2m 4 m m 4 2m 4 xx x x x xx 12 1 2 1 12 m1 m1 m1 m1 m1 m1 2m 4 m m x3x412 2x22 4 x x 2 m1 m1 m1 Thay vμo (2) ta cã ph−¬ng tr×nh : m4 m m5 .m4.mm5m1dom1 m1m1 m1 5 m22 4m m 5m m 5 2m 5 0 m tháa m·n 2 5 VËy m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 2 h. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mμ tÝch cña chóng b»ng -1 Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8
  9. Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 SimpoTøc l μPDF m1 Merge and Split Unregistered1 1 Version - 2m 1 0 m 2 m5 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã x .x = 1 2 m1 VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm tháa m·n tÝch hai nghiÖm b»ng -1 th× m ph¶i m5 tháa m·n ®iÒu kiÖn (1) vμ 1 m 5 m 1 m 3 tháa m·n m1 VËy m = -3 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 22 i. Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 .TÝnh theo m gi¸ trÞ cña Ax 12 x Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 '22 m2 2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 khi nã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 1 Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet : 2m 1 0 m 2 b 2m 2 xx12 1 am1 cm5 x.x 2 12 am1 2 22 2 2 2 2m 4 2m 5 Ta cã A x1 x 2 x 1 2x 12 x x 2 2x 12 x x 1 x 2 2x 12 x m1 m1 2 2m 4 2 m 5 m 1 4m22 16m 16 2m 12m 10 2m 2 4m 6 222 m1 m1 m1 2m2 4m 6 1 VËy A 2 víi m 1vμ m m1 2 j. T×m m ®Ó A = 6 2m2 4m 6 1 Ta cã A 2 víi m 1vμ m m1 2 2 12m 4m6 2 Víi m 1vμ m tacã A 6 6 2m2 4m 6 6 m 1 2 m1 2 2m22 4m 6 6m 12m 6 4m 2 8m 0 4m m 2 0 m 0hoÆcm 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã m = -2 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 1 k. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . 1 2 2 6x 1 6x 1 Khi ®ã h·y lËp ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lμ 12vμ 3x21 3x Víi m = -1 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -2x + 4 = 0 x2 . P.tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x = 2 Víi m -1 ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 9
  10. 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 SimpoPh−¬ng PDF tr×nh Merge cã haiand nghiÖm Split Unregistered x1 , x2 khi nãVersion lμ ph -− ¬ng tr×nh bËc hai cã 0 m1 Tøc lμ m1 1 1 2m 1 0 m 2 1 Thay x = vμo ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã 2 1 1 (m+1).( )2 - 2(m+2). + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( tháa 2 2 m·n (1)) 1 VËy víi m = -13 th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , x trong ®ã cã mét nghiÖm lμ . 1 2 2 Thay m = -13 ph−¬ng tr×nh trë thμnh -12x2 + 22x - 8 = 0  6x2 - 11x + 4 = 0 11 4 2 Theo ®Þnh lÝ Viet : xx :xx . Khi ®ã : 12663 12 2 11 2 11 22 2 6. 12. 6x 1 6x 1 6x x 6x x 6x x 12xx x x 63614 1 2 11 22 12 1212 7 3x 3x 3x x 3x x2 2 2 1 12 12 3. 3 211 36. 6. 1 6x 1 6x 1 36x x 6 x x 1 36 12.6 12 1 2 36 3x 3x 9x x2 6 21 12 9. 3 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cÇn t×m cã d¹ng y2 - 7y + 6 = 0 (2) Chó ý : Ph−¬ng tr×nh (2) kh«ng nªn lÊy Èn lμ x v× dÔ g©y nhÇm lÉn víi ph−¬ng tr×nh cña ®Ò bμi II. Chó ý : Khi gÆp ph−¬ng tr×nh cã tham sè ( th−êng lμ m) ë hÖ sè a (hÖ sè cña lòy thõa bËc hai)ta cÇn xÐt riªng tr−êng hîp hÖ sè a = 0 ®Ó kÕt luËn tr−êng hîp nμy cã tháa m·n yªu cÇu cña ®Ò bμi hay kh«ng. Sau ®ã xÐt tr−êng hîp a kh¸c 0, kh¼ng ®Þnh ®ã lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai råi míi ®−îc tÝnh . C. hμm sè vμ ®å thÞ I. VÝ dô 5 §Ò bμi 1: Cho hμm sè bËc nhÊt : y = ( 2m – 5 )x + 3 víi m cã ®å thÞ lμ ®−êng 2 th¼ng d T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó a. Gãc t¹o bëi (d) vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän, gãc tï ( hoÆc hμm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn) b. (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) c. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x – 4 d. (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 e. (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x – 4y – 3 = 0 f. (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -2 g. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung ( cã hoμnh ®é ©m) h. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m (hoÆc ë bªn tr¸i trôc tung) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10
  11. i. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x – 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng ( hoÆc ë trªn trôc hoμnh) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - j. Chøng tá (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung Gi¶i : Hμm sè cã a = 2m – 5 ; b = 3 a. Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän, gãc tï Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc nhän khi ®−êng th¼ng d cã hÖ sè a > 0 5 2m – 5 >0 m > ( tháa m·n) 2 Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc tï khi ®−êng th¼ng d cã hÖ sè a 2 5 gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d vμ vμ trôc Ox lμ gãc tï khi m < 2 b. (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 3 -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m – 10 + 3 = -1 m = ( tháa m·n) 2 3 VËy víi m = th× (d ) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) 2 Chó ý : Ph¶i viÕt lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ”, kh«ng ®−îc viÕt lμ “Thay x = 2 ; y = -1 vμo ®−êng th¼ng d ” c. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x - 4 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x - 4 2m 5 3 m 4 m4( tháa m·n) 34 34 VËy m = 4 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m d. (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 31 Ta cã 3x + 2y = 1 yx 22 31 (d) song song víi ®−êng th¼ng 3x + 2y = 1 (d) song song víi ®−êng th¼ng yx 22 37 2m 5 m 7 7 24 m m 11 ( tháa m·n) . VËy lμ gi¸ trÞ cÇn t×m 33 4 4 22 e. (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x - 4y - 3 = 0 13 Ta cã 2x - 4y - 3 = 0 yx 24 13 (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng 2x - 4y - 3 = 0 (d) lu«n c¾t ®−êng th¼ng yx 24 111 5 11 2m 5 m . KÕt hîp víi ®iÒu kiªn ta cã m vμ m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 24 2 4 f. (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -2 Thay x = -2 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng 2x + y = -3 ta ®−îc 2. (-2) + y = -3 y = 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 11
  12.  (d) c¾t ®−êng th¼ng 2x + y = -3 t¹i ®iÓm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 1 = ( 2m – 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( tháa m·n). Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - VËy m = 3 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. g. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung ( cã hoμnh ®é ©m) 3 Thay y = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ta cã 0 = (2m - 5)x + 3 x = 2m 5 35 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm ë bªn tr¸i trôc tung 02m50m ( tháa 2m 5 2 m·n). 5 VËy m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. 2 h. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m (hoÆc ë bªn tr¸i trôc tung) (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 2m – 5 3 m 4 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d) vμ ®−êng th¼ng y = 3x + 1 lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 2 ( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 x ( v× m 4 ) 2m 8 (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 3x + 1 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é ©m 2 5 02m80m4 ( tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn m vμ m 4 ) 2m 8 2 VËy m > 4 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. i. (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng ( hoÆc ë trªn trôc hoμnh) * (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 2m – 5 5 m 5 * Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d) vμ ®−êng th¼ng y = 5x - 3 lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 63 ( 2m – 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10)x = -6 x ( v× m 5 ) 2m 10 m 5 3 Thay x vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng y = 5x - 3 ta cã y = m5 3153m153m 5. 3 m5 m5 m5 (d) c¾t ®−êng th¼ng y = 5x - 3 t¹i ®iÓm cã tung ®é d−¬ng 3m 03mm50mm500m5 m5 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã 0 < m < 5 vμ m lμ gi¸ trÞ cÇn t×m 2 j. Chøng tá (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung Gi¶ sö (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh cã täa ®é ( x0 ; y0). Khi ®ã : y0 = ( 2m – 5 )x0 + 3 víi mäi m 2x0m – 5x0 – y0 + 3 = 0 víi mäi m 2x 0 x 0 00 5x y 30 y 3 00 0 VËy (d ) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung cã täa ®é lμ ( 0 ; 3 ) Chó ý ®Ò bμi 1: www.VNMATH.com www.VNMATH.com 12
  13. 5 * Ta lu«n so s¸nh m t×m ®−îc víi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bμi lμ m ( ®iÒu nμy rÊt 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - rÊt hay quªn) * NÕu ®Ò bμi chØ “Cho ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt” mμ kh«ng cho ®iÒu kiÖn ta vÉn ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh lμ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ( tøc lμ ph¶i cã a 0 vμ lÊy ®iÒu kiÖn ®ã ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn) §Ò bμi 2: Cho ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh y = ( m + 1)x – 3n + 6 . T×m m vμ n ®Ó : a. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 vμ ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) b. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 3 c. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 2 1 d. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 vμ c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 e. (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 f. (d) ®i qua ( 2 ; -5 ) vμ cã tung ®é gèc lμ -3 g. (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) Gi¶i : a. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 vμ ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) m3 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = -2x + 5 m1 2 1 3n 6 5 n 3 (d) ®i qua ®iÓm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1).2 – 3n +6 2m - 3n = -9 Thay m = -3 vμo ta cã 2. (-3) – 3n = -9 n = 1 ( tháa m·n ) VËy m = -3 , n = 1 b. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 m2 (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 3x + 1 m13 5 3n 6 1 n 3 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ -1 0 = ( m + 1 ). (-1) – 3n + 6 m + 3n = 5 Thay m = 2 vμo ta ®−îc 2 + 3n = 5 n = 1 ( tháa m·n ) .VËy m = 2 , n = 1 3 c. (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã 2 tung ®é lμ 1 3 3 (d) c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 0 = ( m + 1 ). – 3n + 6 m - 2 2 2n = -5 5 (d) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 1 1 = -3n + 6 n = . 3 5 5 Thay vμo ph−¬ng tr×nh m - 2n = -5 ta cã m - 2. = -5 m = - 3 3 5 5 VËy n = , m = - 3 3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 13
  14. d. (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 vμ c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - (d) song song víi ®−êng th¼ng y = 2x + 3 m12 m1 3n 6 3 n 1 (d) c¾t ®−êng th¼ng y= 3x + 2 t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é lμ 1 m 1 .1 3n 6 3.1 2 m 3n 2 . Thay m = 1 vμo ta cã 1 – 3n = - 2 n = 1( kh«ng tháa m·n ) VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m vμ n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bμi. Chó ý : Ta th−êng quªn so s¸nh víi ®iÒu kiÖn n1 nªn dÉn ®Õn kÕt luËn sai e. (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) vμ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 (d) ®i qua diÓm ( -3 ; -3 ) 3m1.33n6mn2 (d) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lμ 3 33n6n1 Thay vμo ph−¬ng tr×nh m + n = 2 ta ®−îc m + 1 = 2 m = 1 VËy m = 1 , n = 1 f. (d) ®i qua ( 2 ; -5 ) vμ cã tung ®é gèc lμ -3 (d) ®i qua diÓm ( 2 ; -5 ) 5m1.23n62m3n13 (d) cã tung ®é gèc lμ -3 33n6n3 Thay vμo ph−¬ng tr×nh 2m - 3n = -13 ta ®−îc 2m – 3.3 = -13 m = -2 VËy m = -2 , n = 3 g. (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) (d) ®i qua hai ®iÓm ( -1 ; 3 ) vμ ( -3 ; 1 ) 3m1.13n6 m0 m3n2 2m0 2 1m1.33n6 3m 3n 2 3m 3n 2 n 3 2 VËy m = 0 , m = 3 §Ò bμi 3: Cho hai hμm sè bËc nhÊt y = ( m + 3 )x + 2m + 1 vμ y = 2mx - 3m - 4 cã ®å thÞ t−¬ng øng lμ (d1) vμ (d2) T×m m ®Ó : a. (d1) vμ (d2) song song víi nhau , c¾t nhau , trïng nhau b. (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung c. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh d. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung e. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh f. (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) g. Chøng tá khi m thay ®æi th× ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh , ®−êng th¼ng (d2) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶i : §Ó c¸c hμm sè ®· cho lμ c¸c hμm sè bËc nhÊt ta ph¶i cã : m30 m 3 2m 0 m 0 Chó ý : §iÒu kiÖn trªn lu«n ®−îc dïng so s¸nh tr−íc khi ®−a ra mét kÕt luËn vÒ www.VNMATH.comm www.VNMATH.com 14
  15. a. (d ) vμ (d ) song song víi nhau , c¾t nhau , trïng nhau Simpo 1PDF Merge2 and Split Unregistered Version - (d ) vμ (d ) song song víi nhau m32m m3 m3 1 2 2m 1 3m 4 m 1 (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d ) vμ (d ) trïng nhau m32m m3 ( v« nghiÖm ) 1 2 2m 1 3m 4 m 1 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã: Víi m = 3 th× (d1) vμ (d2) song song víi nhau m3 , m0 , m3 th× (d1) vμ (d2) c¾t nhau Kh«ng cã gi¸ trÞ nμo cña m ®Ó (d1) vμ (d2) trïng nhau b. (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung khi 2m + 1 = - 3m - 4 m 1 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã víi m = -1 th× (d1) vμ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn trôc tung. Chó ý : Giao ®iÓm cña ( d1) vμ ( d2) víi trôc tung lÇn l−ît lμ ( 0 ; 2m + 1) vμ ( 0 ; -3m -4 ) nªn chóng c¾t nhau t¹i 1 ®iÓm trªn trôc tung khi hai ®iÓm ®ã trïng nhau, tøc lμ 2m+1 = -3m – 4. Do ®ã lêi gi¶i trªn nhanh mμ kh«ng ph¶i lμm t¾t. c. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Thay y = 0 vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) vμ (d2) ta cã 2m 1 x m3x2m10 m3 ( V× m3 , m0 ) 2mx 3m 4 0 3m 4 x 2m 2m 1 3m 4 Giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) víi trôc hoμnh lÇn l−ît lμ ;0 vμ ;0 m3 2m (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh khi 2m 1 3m 4 2m 2m 1 m 3 3m 4 4m22 2m 3m 13m 12 m 2 11m 12 0 m3 2m Ph−¬ng tr×nh trªn lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a - b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm m1 = -1 ; m2 = 12 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = -1 hoÆc m = 12 th× d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoμnh Chó ý : Ph¶i kÕt hîp víi c¶ ba ®iÒu kiÖn lμ m3 , m0 , m3 råi míi kÕt luËn. d. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x ( v× m 3 ) m3 (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn ph¶i trôc tung khi hoμnh ®é giao ®iÓm d−¬ng www.VNMATH.com www.VNMATH.com 15
  16. 5m 5 05m5m30m1hoÆcm3 m3 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m3,m1hoÆcm3 e. (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 Hoμnh ®é giao ®iÓm cña (d1) vμ (d2) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Èn x sau : 5m 5 m3x2m12mx3m4 m3x5m5 x ( v× m 3 ) m3 5m 5 Thay x vμo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ( d ) ta cã m3 1 5m 5 5m222 20m 15 2m 5m 3 7m 15m 12 ym3. 2m1 m3 m3 m3 * (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm n»m bªn d−íi trôc hoμnh khi tung ®é giao ®iÓm ©m 7m2 15m 12 0(*) m3 2 22295 2 3 15 Ta cã7m 15m 12 6m 12m 6 m 3m 6 m 1 m 0 44 2 4 Nªn (*) t−¬ng ®−¬ng víi m-3<0 m3 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã : m3,m3,m0 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m f. (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) (d1) vμ (d2) c¾t nhau m32mm3 (d ) c¾t (d ) t¹i ®iÓm ( 1 ; -2 ) 2m32m1 m2 m2 1 2 22m3m4 m2 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = -2 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m. g. Chøng tá khi m thay ®æi th× ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh , ®−êng th¼ng (d2) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶ sö khi m thay ®æi c¸c ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iÓm ( x0 ; y0 ) , tøc lμ : y00 m3x2m1víimäim x00 2m3x y010víimäim x20 x 2 00 3x y 1 0 y 5 00 0 VËy khi ma thay ®æi th× c¸c ®−êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iÓm ( -2 ; -5 ) cè ®Þnh 3 Chó ý : Víi ®−êng th¼ng ( d2 ) ta lμm t−¬ng tù , ®iÓm cè ®Þnh lμ ;4 2 §Ò bμi 4: Cho hai ®−êng th¼ng d1 vμ d2 lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh y = -2x + 4 vμ y = 2x - 2 a. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng trªn. b. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é c¸c ®−êng th¼ng d1 vμ d2 c. Gäi B vμ C lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc hoμnh; D vμ E lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc tung.TÝnh diÖn tÝch c¸c tam gi¸c ABC , ADE , ABE. d. TÝnh c¸c gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh. Gi¶i : e. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng trªn. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 16
  17. Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng lμ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 4 y 41 3 Simpoy2x4 PDF Merge andxx Split Unregistered Version - y2x2 222 2y 2 y 1 3 VËy giao ®iÓm A cña hai ®−êng th¼ng lμ A ;1 2 f. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é c¸c ®−êng th¼ng d1 vμ d2 XÐt ®−êng th¼ng (d1) : y = -2x + 4 Víi x = 0 y = 4 ; y = 0 x = 2. §−êng th¼ng (d1) ®i qua hai ®iÓm ( 0 ; 4 ) vμ ( 2 ; 0 ) XÐt ®−êng th¼ng (d2) : y = 2x - 2 Víi x = 0 y = -2 ; y = 0 x = 1. §−êng th¼ng (d1) ®i qua hai ®iÓm ( 0 ; -2 ) vμ ( 1 ; 0 ) y 4 D d2 3 2 K 1 A O CB -4 -3 -2 -1 1 H 2 3 x -1 -2 E -3 d1 g. Gäi B vμ C lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc hoμnh; D vμ E lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña d1 vμ d2 víi trôc tung.TÝnh diÖn tÝch c¸c tam gi¸c ABC , ADE , ABE. 3 Ta cã : A ;1 , B( 2 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ) , D( 0 ; 4 ) vμ E( 0 ; -2 ) 2 Do ®ã : BC = | 2 – 1| = 1 , DE = | 4 - (-2)| = 6 , BO = | 2 – 0 | = 2 3 Gäi AH lμ ®−êng cao cña ABC , AK lμ ®−êng cao cña ADE AH = 1 , AK = 2 Gäi SABC , SADE , SBDE , SABE lÇn l−ît lμ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC , ADE , BDE , ABE. Ta cã : 111 S AH.BC .1.1 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ABC 222 1139 SAK.DE 6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ADE 2222 11 S BO.DE .2.6 6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) BDE 22 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 17
  18. 93 SSS6 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch ) ABE BDE ADE 22 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - h. TÝnh c¸c gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh. Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh lÇn l−ît lμ DBx vμ ACx OD 4 Tam gi¸c OBD vu«ng t¹i O cã : TgOBD 2 OBD 63,40 OB 2 BDx 18000 63,4 116,6 0 OE 2 Tam gi¸c OCE vu«ng t¹i O cã : TgOCE 2 OCE 63,40 OC 1 ACx 63,40 0 VËy gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d1 vμ d2 víi trôc hoμnh cïng lμ 63,4 . II. chó ý : Khi ®Ò bμi kh«ng cho ®iÒu kiÖn cña tham sè m mμ nãi lμ cho hμm sè bËc nhÊt th× khi lμm bμi ta vÉn ph¶i t×m ®iÒu kiÖn ®Ó cã ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vμ dïng ®iÒu kiÖn nμy ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn D. HÖ ph−¬ng tr×nh §Ò bμi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 5x 2 y 9 x 2 y 5 x3 7 x y3 7 y a) b) c) 2 2 2 2 4x 3 y 2 x 2 y 2 xy 5 x y x y 2 13 2 x yxy 7 d) x2y ( §Æt Èn phô ) e) ( ®èi xøng lo¹i 1 ) 22 21 xy 3316 xy 1 x2y 232xy22 y 32xxyy22 11 f) ( ®èi xøng lo¹i 2 ) g) ( ®¼ng cÊp bËc hai ) 22 22 232yx x xxyy 2525 Gi¶i : x1 x1 a) 5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23 24 4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2 413y2 y 2 3 VËy hÖ cã mét nghiÖm lμ : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 ) x2y5 x52y x52y b) 2 x222 y 2xy 52 52y 2y252yy52 5 20y 4y222y 10y 4y 25 x52y x52y 1 2 2 10y 30y 20 0 y3y202 Ph−¬ng tr×nh (2) lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ c y 1; y 2 12a Víi y = y1 = 1 thay vμo (1) ta cã x = 5 – 2.1 = 3 Víi y = y2 = 2 thay vμo (1) ta cã x = 5 – 2.2 = 1 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ( x ; y ) lμ ( 3 ; 1 ) vμ ( 1 ; 2 ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 18
  19. x7xy7yxy7x7y033 33 x y xx22 yy 7x y 0 c) 22 22 xyxy2 xyxy2 22 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -xyxy2 xyx 22 xyy 7 01 22 xyxy2 2 Tõ (1) => x - y = 0 hoÆc x2 + xy + y2 + 7 = 0 NÕu x – y = 0 x = y thay vμo (2) ta cã : xxxx2xx1022 2 2 15 15 14.1.150 . Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x;x 1222 15 15  HÖ cã nghiÖm xy vμ xy 22 NÕu x2 + xy + y2 + 7 = 0 kÕt hîp víi (2 ta cã hÖ : xyxy7022 xy2xy70 xyxy90 22 22 2 xyxy2 xyxy2 x y 2xy x y 2 PS9 SP90 §Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ 2 2 PS9 S2PS2 S2S9S2 2 SS160* Ph−¬ng tr×nh (*) lμ ph−¬ng tr×nh bËc hai cã 12 4.1.16 63 0 nªn (*) v« nghiÖm. HÖ v« nghiÖm 15 15 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lμ xy vμ xy 22 13 2 d) x2y . §iÒu kiÖn x0,y2 21 1 x2y 11 §Æt a, b ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh : x2y 1 a a3b2a3b2 5a1 5 2a b 1 6a 3b 3 2a b 1 1 3 b2a12.1 55 11 x5 Do ®ã x5 511 ( tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn ) 13y2 33 2y 5 11 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lμ x;y 5; 3 xyxy 7 xyxy 7 e) 22 2 xy 3316 xy xy 23 xyxy 16 SP 7 P7S P 7S §Æt x+y = S , xy = P ta cã hÖ 2 2 2 S2P3S16 S27S3S16 SS20 2 Ph−¬ng tr×nh S – S – 2 = 0 cã d¹ng a - b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ S1 = -1 , S2 = 2  Víi S = S = -1 ta cã P = -7 + 1 = -6 x y 1 . 1 xy 6 x vμ y lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai sau : A2 + A - 6 = 0 14.1.62502 5. Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 19
  20. 15 15 A2;A3 => HÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 2 ; -3 ) vμ ( -3 ; 2 ) 1222 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -  Víi S = S2= 2 ta cã P = -7 - 2 = -9 . => Tù lμm tiÕp. KÕt luËn : HÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm lμ : ( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) , 110;110,110;110 2321xy22 y f) 22 2322yx x Trõ tõng vÕ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : 2(x22 - y )-(x-y ) = 3(y22-x ) 2 x y x y x y 3x y x y 0 x-y2x2y13x3y0 xy5x5y1 0 x-y=0 5x 5y 10  NÕu x - y = 0  x = y thay vμo (1) ta cã 2x2 + x = 3x2 - 2  x2 - x - 2 = 0 Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a – b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lμ x1 = -1 , x2 = 2  HÖ ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = y = -1 vμ x = y = 2 15x  NÕu 5x + 5y – 1 = 0 y thay vμo (1) ta cã : 5 2 222215x 15x 2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0 55 52 4.25. 52 5225 0 5 5225 1 209 5 5225 1 209 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x;x 1250 10 50 10 1 209 1 209 1 209 Víi x = x = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 1 10 10 10 1 209 1 209 1 209 Víi x = x = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 2 10 10 10 KÕt luËn : HÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lμ : 1 209 1 209 1 209 1 209 1; 1 , 2; 2 , ; , ; 10 10 10 10 Chó ý : NÕu hÖ ®èi xøng bËc 3 th× c¸ch lμm vÉn thÕ nh−ng lêi gi¶i dμi vμ khã h¬n rÊt nhiÒu cÇn quan s¸t kÜ xem ë b−íc thø hai cã c¸ch nμo ®¬n gi¶n kh«ng 22 22 22 32xxyy 111 25. 3xxyy 2 25.11 75xxyy 50 25 275 g) xxyy22 2525222 112255275 x22 xyy 11. xxyy 2 5 11.25 75x22222222 50 xyyx 25 11 22 xyyx 55 64 28 xyy 30 0 32 x 14 xyy 15 0 * 3x2 11 Víi y = 0 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ta cã : 2 ( hÖ v« nghiÖm) x25 Víi y 0 chia hai vÕ cña (*) cho y2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : 2 32x2 14x x x 2 15 0 32. 14. 15 0 y yyy x §Æt t = ta cã ph−¬ng tr×nh : 32t2 + 14t – 15 = 0 y Ph−¬ng tr×nh trªn cã ' 72 32. 15 529 0 ' 23 72315 7231 Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : t;t 1232 16 32 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 20
  21. 15 x15 15  Víi t = t = x y . Thay vμo ph−¬ng tr×nh (2) ta cã : 1 16 y 16 16 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 15 15 2222 yyyyyyy2. 5 25 225 480 1280 6400 16 16 256 16 16 1025yyyy22 6400 hoÆc 41 41 41 16 15 16 15 Víi yx . 4116 41 41 16 15 16 15 Víi yx . 4116 41 41 1 x1 1  Víi t = t = x y . Thay vμo ph−¬ng tr×nh (2) ta cã : 2 2 y 22 2 11 2222 2 2 y 2 yyyyyyyy 2. 5 25 4 20 100 25 100 y 4 22 y 2 1 Víi y = 2 x.21 2 1 Víi y = -2 x.21 2 Tãm lai hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lμ : 15 16 15 16 ; , ; , 1; 2 , 1; 2 41 41 41 41 Chó ý : NÕu trong hÖ cã c¸c biÓu thøc cÇn ®iÒu kiÖn th× tr−íc khi gi¶i ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn tr−íc, sau ®ã dïng ®iÒu kiÖn nμy ®Ó so s¸nh tr−íc khi kÕt luËn vÒ nghiÖm cña hÖ 3x m 1 y 12 §Ò bμi 2: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: m1x12 y 24 a. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 2 b. Gi¶i vμ biÖn lu©n hÖ ph−¬ng tr×nh. c. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x 1 f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1. g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn h. Víi ( x ; y ) lμ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ .T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vμ y kh«ng phô thuéc vμo m. Gi¶i : a. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 2 ( tù lμm ) b. Gi¶i vμ biÖn lu©n hÖ ph−¬ng tr×nh. 3x m 1 y 12 1 36x 12 m 1 y 144 2 m1x12y242 m1x12m1 y 24 m 1 Trõ tõng vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trªn ta cã : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 21
  22. m 122 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144 Simpo m PDF 7 Merge m 5 xand 24m Split 168Unregistered 3 Version -  NÕu m = 7 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã : 3x 6y 12 x 2y 4 x2y 4x42y 6x 12y 24 x 2y 4 HÖ v« sè nghiÖm d¹ng ( 4 – 2t ; t ) víi t R  NÕu m = -5 thay vμo hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã : 3x 6y 12 x 2y 4 HÖ v« nghiÖm 6x 12y 24 x 2y 4 24m 16824 m 7 24  NÕu m5v μ m7 tõ (3) ta cã : x m7m5 m7m5 m5 Thay vμo (2) ta cã: 24 24 m 1 2 m 1 12 m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y m5 m5 m5 m5 Tãm l¹i :  NÕu m = -5 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm  NÕu m = -7 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm x = 4 – 2t , y = t víi t R  NÕu m5v μ m7 hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt: 24 12 x,y m5 m5 24 Chó ý : Khi t×m ®−îc x ta kh«ng nªn thay vμo (1) ®Ó t×m y v× khi ®ã hÖ m5 sè cña y vÉn cßn m vμ ta l¹i ph¶i xÐt c¸c tr−êng hîp hÖ sã ®ã b»ng vμ kh¸c 0 ®Ó t×m y c. T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) sao cho x 0 . Nh©n hai vÕ cña (1) víi (x + 5)2 >0 ta ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh 24 m 5 12 m 5 24m 120 12m 60 12m 60 m 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m < -5 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m Chó ý : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 22
  23. Khi nh©n c¶ hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng mét biÓu thøc ta Simpo PDFph¶i Merge chó andý xem Split biÓu Unregistered thøc ®ã Version d−¬ng - ©m ®Ó ®æi chiÒu hay kh«ng ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc NÕu ®Ò bμi cho lμm c©u c ( hoÆc d, e, f, g ) mμ kh«ng cho c©u b th× khi lμm, b−íc 1 ta ph¶i t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, khi ®ã ta tr×nh bμy nh− c©u b tíi (3) vμ lËp luËn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi (3) cã nghiÖm duy nhÊt m5vμ m7 d. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ©m.  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 24 0 HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt ©m khi m5 m50 m50 m 5 12 m 5 0 0 m5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m 1  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1 24 12 36 m 5 31 m 100 m5m5 m5 m5 31 m 0 m 31 m50 m 5 m31 5m31 31 m 0 m 31 m5 v« nghiÖm m50 m 5 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã 5m31 vμ m7 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = -1 24 12 36 2m 10 46 2m 200462m0dom5m23 m5m5 m5 m5 KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = - 23 lμ gi¸ trÞ cÇn t×m g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiªm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn  Theo c©u trªn, ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi m5v μ m7 . www.VNMATH.com www.VNMATH.com 23
  24. 24 12  Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lμ : x,y m5 m5 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 24 12 HÖ cã nghiªm duy nhÊt lμ nghiÖm nguyªn khi vμ lμ c¸c sè nguyªn m5 m5 V× m nguyªn nªn m + 5 lμ −íc cña 24 vμ 12 m 5 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12 m 17;11;9;8;7;6;4;3;2;1;1;7 KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta cã m 17;11;9;8;7;6;4;3;2;1;1  lμ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m h. Víi ( x ; y ) lμ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ. T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vμ y kh«ng phô thuéc vμo m. 3x m 1 y 12 3x my y 12 my y 3x 12 Ta cã I m1x12y24 mx x 12y 24 mx x 12y 24 3x 12 Thay y = 0 vμo hÖ ta cã : x4 m1x24 m7 Thay m = 7 vμo hÖ ta ®−îc 3x 6y 12 x 2y 4 x2y 4 ( hÖ v« sè nghiÖm ) 6x 12y 24 x 2y 4 Do ®ã nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x ; y ) th× y 0 y3x12 m y3x12 I y .x x 12 24 y mx x 12 24 xy 3x22 12x xy 12y 24y 3x 12x 12y 0x4x42y 0 VËy biÓu thøc cÇn t×m lμ x2 – 4x + 4y = 0 Bμi tËp tù lμm Bμi 1 Giaûi caùc heä phöông trình sau : x2 xy y 2 4 x yxy 7 xy x y 11 x2 y 2 13 1) 2) 22 3) 2 2 4) xy x y 2 xy 3316 xy x y xy 30 3(x y ) 2 xy 9 0 x2 y xy 2 30 x y y x 6 x y 4 x4 y 4 34 5) 6) 7) 8) 3 3 2 2 x y 35 x y xy 20 x y xy 4 x y 2 §¸p ¸n 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 10 10 10 10 4) (3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 5) (2;3);(3;2) 6) 22 22 (1; 4), (4;1) Bμi 2 Giaûi caùc heä phöông trình sau ( ®¼ng cÊp bËc hai ): www.VNMATH.com www.VNMATH.com 24
  25. 32xxyy22 11 6x2 xy 2 y 2 56 1) 2) 3) 22 2 2 Simpo PDF Merge xxyy and2525 Split Unregistered Version - 5x xy y 49 23xxy32 5 32 yxy 67 Bμi 3. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: x2y3m 2x y 3(m 2) a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi thay m = -1. b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lμ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. a1x y 4 Bμi 4. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh (a lμ tham sè). ax y 2a a) Gi¶i hÖ khi a = 1. b) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 2. Bμi 5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vμ n ®Ó c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh 21726 mx n y a) mn 12 cã nghiÖm (x ; y) = (1 ; 2) xy 2 66 41mxn 8 2 y 11 b) cã nghiÖm (x ; y) = ( 1; 3 ) 32mxny 5 1 4 Bμi 6 Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 22 313 2 22 xy 21 35xy yx 124 a) b) c) d) 23 xy22 31 5329 1 xy 21 yx 1212 112 xy xy 3 111 xy xy 3 xy 1 xy 3 22 22 x 129xy 756 uuv e) yz 1 f) yz 6 g) h) 22 22 y 325 yx 264 vvu zx 8 zx 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 25