Giáo trình Toán cao cấp 2 - Chương 1: Tập hợp Quan hệ - Ánh xạ

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp 2 - Chương 1: Tập hợp Quan hệ - Ánh xạ

1. 1 LI NĨI ðU Giáo trình này đưc vit cho sinh viên h đào to đi hc t xa các ngành kinh t, k thut và đưc biên son theo đ cương chi tit hc phn Tốn cao cp, trong phương thc đào to theo h thng tín ch ca Trưng ði hc Vinh. Vì đc thù ngành hc và thi lưng hn ch trong hai tín ch, nên chúng tơi khơng đi sâu vào nhng vn đ nng v lý thuyt mà tp trung vào nhng kt qu và ng dng ca nĩ. Bên cnh đĩ, chúng tơi cũng ch ra nhng tài liu cn thit đ nhng ngưi hc tìm đc. Ni dung chính ca giáo trình này là nhng vn đ m đu ca đi s tuyn tính, gii tích c đin và đưc trình bày trong bn chương. Chương 1 trình bày các kin thc v tp hp quan h và ánh x. Chương 2 trình bày v đnh thc, ma trn và h phương trình tuyn tính. Chương 3 trình bày v phép tính vi phân hàm mt bin. Chương 4 trình bày v phép tính tích phân hàm mt bin. Mt s vn đ, trong đĩ hc viên đã đưc làm quen chương trình ph thơng. Trong giáo trình này, chúng tơi vn trình bày đy đ các vn đ trên nhưng mc đ sâu và tng quát hơn. ð to điu kin thun li cho ngưi đc, sau các đnh nghĩa, đnh lý chúng tơi đưa ra nhiu ví d minh ho, sau mi chương cĩ đưa ra hưng dn t hc các vn đ trng tâm và h thng các bài tp. Mc dù chúng tơi đã cĩ rt nhiêu c gng nhưng chc rng cịn cĩ nhng thiu sĩt. Chúng tơi rt mong nhn đưc s gĩp ý, phê bình ca bn đc. CÁC TÁC GI 1
2. 2 CHƯƠNG 1 TP HP QUAN H ÁNH X 1.1. Tp hp tp con các tp bng nhau 1.1.1. Khái nim chung Chúng ta trình bày lý thuyt v tp hp theo quan đim "ngây thơ". C th, tp hp (set) là mt khái nim tốn hc đưc xem như là khái nim gc xut phát (nguyên thu), khơng đưc đnh nghĩa mà ch mơ t. Chng hn, tp hp đim, tp hp các đưng thng, tp hp s. Trong thc t thưng dùng các t đng nghĩa: lp, h, b, tồn th Tp hp thưng đưc gi ngn gn là tp: tp A, tp đĩng, tp ch s ð biu th mt tp hp ta dùng các ch vit in hoa như A, B, C, , X, Y, Z Các đi tưng hp thành tp hp gi là các phn t ca nĩ. Nu x là phn t ca A ta vit x∈ A và nĩi là x thuc A. Nu phn t y khơng là phn t ca A thì ta vit y∉ A và nĩi y khơng thuc A. Các phn t ca mt tp hp cĩ th là các đi tưng c th hoc tru tưng như ngưi, vt th hoc các hàm s, s t nhiên Mt tp hp đưc coi là hồn tồn xác đnh nu ta cĩ th phân bit các đi tưng nào thuc nĩ và nhng đi tưng khơng thuc nĩ. Thơng thưng cĩ th đưa ra mt tp hp bi mt trong hai cách: a) Lit kê các phn t ca tp, ví d A= { aaaa1,,, 2 3 4 } . b) Ch ra mt s tính cht chung cho mi phn t thuc tp, ví d A={ x ∈ℝ x 2 ≤ 1} Tp X gm các phn t x cĩ tính cht P(x) đưc ký hiu là: X= { xPx( )} . Mt tp hp cĩ th ch gm mt s hu hn phn t hoc gm vơ hn phn t, tương ng gi là tp hu hn (finite set) và tp vơ hn (infinite set). Tp hp rng (empty set), ký hiu bi ∅ , là tp hp khơng cha phn t nào. Tp cĩ duy nht mt phn t gi là tp đơn t. Ví d: {∅}. 1.1.2. Tp con. S bng nhau gia các tp Ta nĩi tp A gi là tp con (subset) ca tp B nu mi phn t ca A đu là phn t ca B nghĩa là nu x∈ A thì x∈ B , ký hiu A⊆ B hoc B⊇ A . 2
3. 3 Ta quy ưc tp rng là tp con ca mi tp: ∅ ⊆ A. Nu đng thi A⊆ B và B⊆ A , thì ta nĩi A bng B và ký hiu: A= B . Như vy, ta cĩ: AB= ⇔( xA ∈ ⇔∈ xB ). Ta nĩi tp A là tp con thc s (proper subset) ca tp B nu A là tp con ca B và A≠ B , ký hiu A⊂ B . Ví d: {xy,} ⊂ { xyz , , }. Mi tp hp mà mi phn t là mt tp con ca tp A đưc gi là h các tp hp con (family of subsets) ca A, ký hiu P( A ) . Nhn xét: Nu tp A gm n phn t thì tp P( A ) gm 2n phn t (chng minh nhn xét này dành cho bn đc như mt bài tp). 1.1.3. Sơ đ Ven (Venn schema) ð th hin tp hp mt cách trc quan ngưi ta v mt đưng cong đơn kín (chng hn đưng trịn hay elip) và coi tp A là min phng gii hn bi đưng cong đĩ. Tp con B ca A s đưc biu th bi mt min con ca A . B A 1.1.4. Các tp hp s Tp hp ℕ các s t nhiên (The set of natural numbers): ℕ = {0,1,2, }. Tp ℤ các s nguyên (The set of integer numbers): ℤ ={0, ± 1, ± 2, } . Tp hp ℚ các s hu t (The set of rational numbers): a  ℚ=a, b ∈ ℤ , b ≠ 0  . b  3
4. 4 Tp hp I các s vơ t (The set of irrational numbers); Tp ℝ các s thc (The set of real numbers); Tp ℂ các s phc (The set of complex numbers): ℂ=+{a biab, ∈ ℝ } , i 2 =− 1 . Tp P các s nguyên t (The set of prime numbers). 1.1.5. Các phép tốn liên kt các tp hp T các tp hp cho trưc cĩ th to nên các tp hp mi nh nhng phép tốn sau đây: 1.1.5.1. Phép hp Hp ca hai tp A, B ký hiu A∪ B là tp hp gm mi phn t thuc A hoc thuc B, tc là: A∪ B ={ xx ∈ A hoc x∈ B }. T đnh nghĩa ta suy ra các tính cht sau: a) A∪ A = A bA) ∪ B = B ∪ A cAB) ()()∪ ∪=∪ CA BC ∪ dA)⊂ B ⇒ A ∪ BB = . Phép chng minh xem như bài tp. Do tính cht c) Ta cĩ th b du ngoc khi vit hp ca ba hay nhiu tp. Tng quát hơn cho mt h tp {Ai , i∈ M } . Hp ∪ Ai là tp hp gm mi i∈ M phn t thuc ít nht mt trong các tp Ai : ∪ Ai={ xiMxA ∃∈: ∈ i } . i∈ M 1.1.5.2. Phép giao Giao ca hai tp A, B, ký hiu A∩= B{ xx ∈ Ax; ∈ B } . T đnh nghĩa d dàng chng minh các tính cht: a) A∩ A = A . bA)∩ B = B ∩ A . cAB)()()∩ ∩ CA =∩ BC ∩ . Do c) ta khơng cn vit du ngoc khi biu th hp ca ba hay nhiu tp. 4
5. 5 d) Nu A⊃ B thì A∩ B = B . Các phép tốn hp và giao liên h nhau bi tính phân b: eAB)( ∪) ∩= C( AC ∩) ∪( BC ∩ ) . fAB)()()()∩ ∪= C AC ∪ ∩ BC ∪ . Ta chng minh mt tính cht, chng hn tính cht e): • Nu x∈∪( AB) ∩⇒∈∪ C x( ABxC); ∈ ⇒x ∈( A ∩ C ) hoc xBC∈( ∩) ⇒∈ xAC( ∩) ∪( BC ∩ ) • Nu x∈( AC ∩) ∪( BC ∩ ) ⇒x ∈( A ∩ C ) hoc x∈( B ∩ C ) ⇒x ∈( A ∪ B )và xC∈⇒∈ x( AB ∪) ∩ C . g Cĩ th m rng đnh nghĩa phép giao t hai sang mt h tp tuỳ ý. Giao ca h mt tp {Ai , i∈ M } là tp hp gm các phn t chung ca h Ai , tc là: ∩ Ai={ xx ∈ A i , ∀∈ i M } . i∈ M Nu A∩ B = ∅ ta nĩi các tp A, B ri nhau hoc khơng giao nhau. H tp {Ai , i∈ M } gi là ri nhau tng đơi mt nu bt kỳ hai tp nào trong chúng là ri nhau. 1.1.5.3. Phép tr Ta gi hiu ca tp A và tp B (theo th t đĩ), ký hiu A\ B là tp gm mi phn t thuc A nhưng khơng thuc B: AB\={ xx ∈ Ax , ∉ B } . Nhn thy rng, phép tr khơng cĩ tính cht giao hốn, nghĩa là nĩi chung B\ A≠ A \ B . Nu B⊂ A thì hiu A\ B gi là phn bù (complement) ca B trong A, ký hiu CA ( B ) . ðc bit, khi mi tp đưc xét đu là các tp con ca mt tp c đnh X thì ta vit C( B ) thay cho CX ( B ) và gi vn tt là phn bù ca B trong X. Bên cnh ký hiu C( B ) ta cịn dùng ký hiu B đ ch phn ca B trong X. 1.1.5.4. Hiu đi xng 5
6. 6 Hiu đi xng ca tp A và tp B, ký hiu A÷ B đưc đnh nghĩa bi: AB÷ =( AB\) ∪ ( BA \ ) Ta cĩ B÷ A = A ÷ B và đĩ là lý do phép tốn này cĩ tên "hiu đi xng". Ngồi ra hiu đi xng cũng cĩ tính cht kt hp (xem phn bài tp cui tit này). 1.1.6. Cơng thc Demorgan Gia các phép tốn hp, giao và b sung cĩ các mi liên h sau gi là cơng thc Demorgan. Các tp đưc nêu đu là các tp con ca mi tp hp c đnh cho trưc. a) ∪ Ai= ∩ A i iM∈ iM ∈ b) ∩ Ai= ∪ A i iM∈ iM ∈ Nĩi riêng A∪ A = A ∩ A 1 2 1 2 A1∩ A 2 = A 1 ∪ A 2 Phép chng minh các tính cht này coi như bài tp dành cho ngưi đc. 1.1.7. Tích Descartes ca các tp hp. Tích Descartes ca các tp A và B đưc ký hiu A× B là tp hp mi cp cĩ th t (a, b ) mà a∈ Ab; ∈ B : AB×={( aba,) ∈∈ Ab , B }. Nĩi riêng A2 = A × A là bình phương Descartes ca A. Ví d. 1. Cho A= { abc, , } và B= { x, y } , ta cĩ: AB× = {( ax,,,,,,,,,,,) ( ay) ( bx) ( by) ( cx) ( cy )}. Nhn xét. Nu A, B là các tp hu hn cĩ s phn t tương ng là m và n thì tích A× B gm mn phn t. 2. Gi ℝ là tp các s thc, khi đĩ ℝ2 = ℝ × ℝ là tp hp mi cp cĩ th t (x, y ) vi x,y là các s thc. Như vy, ℝ2 biu th tp mi đim ca mt phng to đ, cịn ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ là tp mi b ba cĩ th t các s thc, tc mi đim ca khơng gian ba chiu thơng thưng. 6
7. 7 3. Nu A=[ abB,] , = [ cd , ] là các đon thng, thì tích Descartes A× B biu th tp mi đim ca hình ch nht. 4. Cho A là tp mi đim ca hình trịn tâm O thuc mt phng Oxy, B là tp mi đim ca đon thng [O, h ] ca trc Oz trong h to đ vuơng gĩc Oxyz thì A× B biu th tp hp mi đim ca hình tr cĩ chiu cao bng h, đáy là hình trịn A. 7
8. 8 1.2. Quan h hai ngơi 1.2.1. Quan h hai ngơi trên mt tp hp Cho tp X khác rng. Ta gi mt quan h hai ngơi trên tp X là tp con ℜ ca tp tích X x X. Nu cp phn t (a, b) thuc ℜ thì ta nĩi a cĩ quan h ℜ vi b và vit aℜ b . Ví d. 1. Trong tp ℝ mi s thc, quan h "a= b " hoc quan h "a≤ b " là các quan h hai ngơi. 2. Trên tp mi đưng thng trên mt phng, quan h vuơng gĩc hoc quan h song song gia hai đưng thng là các quan h hai ngơi. 3. Trên tp hp ℕ∗ các s nguyên dương, quan h “ a là ưc ca b” là mt quan h hai ngơi. 4. Trên tp P(X) các tp con ca tp X, quan h bao hàm A⊆ B là mt quan h hai ngơi. Chú ý : Tính cht đc trưng cho quan h ℜ khơng nht thit tho mãn đi vi mi cp phn t ca X, xem ví d 2, 3 hoc 4. 1.2.2. ð th ca mt quan h hai ngơi Cho ℜ là mt quan h hai ngơi trên tp X. Nu a và b là hai phn t ca X sao cho aℜ b thì cĩ cp th t (a, b ) là mt phn t ca tích Descartes X× X . Gi G⊂ X × X là tp hp các cp (a, b ) tho mãn quan h ℜ. Ta nĩi G là đ th ca quan h hai ngơi ℜ. Ví d. 1. ð th ca quan h "a= b " trên tp ℝ mi s thc là đưng phân giác ca các gĩc vuơng I và III trên mt phng to đ. 2. ð th ca quan h "a≤ b " trên tp ℝ là na mt phng k c biên nm dưi đưng phân giác nĩi ví d 1. 3. ð th ca quan h "a2+ b 2 = 1" là đưng trịn bán kính, tâm ti gc trên mt phng to đ. 1.2.3. Các tính cht cĩ th cĩ ca quan h hai ngơi trong mt tp hp Quan h ℜ trong tp X (ℜ ⊆ X 2 ) cĩ th cĩ các tính cht sau: Tính phn x : aℜ a, ∀ a ∈ X (tc là (aa,)∈ℜ , ∀ aX ∈ ). Tính đi xng : abℜ ⇒ ba ℜ (tc là nu (a, b )∈ℜ thì (b, a )∈ℜ ). 8
9. 9 Tính phn đi xng: (aℜ b và baℜ) ⇒ ab = . Tính bc cu : (aℜ b ) và (bcℜ) ⇒ ac ℜ . Ví d. Trong tp hp P(X) các tp con ca tp hp X quan h bao hàm A⊆ B cĩ tính phn x, phn đi xng và bc cu mà khơng cĩ tính đi xng. Trong tp hp mi đa thc ca mt bin s thc, quan h bng nhau cĩ mi tính cht nêu trên. Các quan h đnh nghĩa trong các mc dưi đây cĩ vai trị đc bit quan trng trong nhiu lĩnh vc tốn hc. 1.2.4. Quan h tương đương Quan h ℜ trong tp X gi là quan h tương đương (equivalence relation) nu nĩ cĩ tính phn x, đi xng, bc cu. Trong trưng hp này, ta vit a∼ b thay vì aℜ b . Ví d 1. Quan h song song gia các đưng thng trong tp mi đưng thng ca khơng gian (coi 2 đưng thng trùng nhau là song song); quan h đng dng gia các tam giác; quan h cùng tnh (đng hương tnh) ca tp hp dân trên thành ph Vinh là các ví d trc quan ca quan h tương đương. Ví d 2. Cho p là s nguyên ln hơn 1 c đnh. Ta xác đnh mt quan h ∼ trong tp ℤ mi s nguyên bi: a∼ b khi và ch khi a− b chia ht cho p, tc a và b cĩ cùng phn dư vi nhau trong phép chia cho p . D nghim li rng quan h này cĩ các tính phn x, đi xng, bc cu nên nĩ là quan h tương đương, ta gi nĩ là quan h đng dư theo modulo p và vit: a≡ b(mod p ). ð nghiên cu sâu hơn quan h tương đương ta cn khái nim phân hoch ca mt tp hp đưc đnh nghĩa như sau: 1.2.5. Phân hoch ca mt tp Cho tp X khác rng. Ta gi phân hoch ca X là mt h các tp con khác rng ca X, tng đơi mt khơng giao nhau sao cho hp ca mi tp con ca h bng X. S các phn t (tp con ca X) thuc h này cĩ th hu hn hay vơ hn min là khơng giao nhau tng cp và tồn b h đĩ phi “lát kín “ tp X. 9
10. 10 Như s thy trong mc dưi, mi quan h tương đương trong tp X đnh ra mt phân hoch ca X. 1.2.6. Các lp tương đương Gi s ∼ là mt quan h tương đương trên tp X. Vi mi phn t a∈ X , ký hiu C( a ) là tp hp mi phn t thuc X tương đương vi a, gi C( a ) là lp tương đương cha a: Ca( ) ={ x ∈ Xx∼ a }. Do tính phn x : a∼ a nên mi tp con C( a ) khơng rng. Hơn na, nu Ca( ) ∩ Cb( ) ≠ ∅ thì Ca( ) = Cb( ). Tht vy, gi s c∈ Ca( ) ∩ Cb( ), th thì cĩ: c∈ C( a ) và c∈ C( b ) . Tc là c∼ ac, ∼ b hay b∼ c ∼ a . T đĩ, do tính cht bc cu suy ra b∼ a , vy b∈ C( a ) . Lp lun tương t cũng cĩ a∈ C( b ) , tc là Ca( ) = Cb( ). Ta thu đưc đnh lý: Mt quan h tương đương trong X xác đnh mt phân hoch ca X, mi phn t ca phân hoch này là mt lp tương đương. H các lp tương đương này đưc gi là tp thương , ký hiu X / ∼ . ð hình dung đưc rõ nét hơn v cu trúc này ta xét mt ví d tiêu biu v tp thương các lp đng dư trong tp ℤ mi s nguyên. Ví d. Ta xét quan h đng dư đã gp phn trên trong tp ℤ mi s nguyên, quan h a≡ b(mod p ). Xác đnh các lp tương đương sau đây: C(0,) C( 1,) C( 2, ,) Cp( − 1 ) trong đĩ Cr( ),0≤ r ≤ p − 1, là lp tương đương gm mi s nguyên khi chia cho p cịn dư r. Các lp tương đương này đưc gi là các lp đng dư theo modp. Trong trưng hp này, tp thương ℤp = ℤ/ ∼ là tp hu hn. ði vi quan h song song, mi lp tương đương là tp hp mi đưng thng cùng phương, mi đưng thng thuc lp này cĩ th đi din cho phương ca lp, tc là khái nim phương thc cht là lp tương đương các đưng thng song song. Trong ví d này tp thương X / ∼ là tp vơ hn. 1.2.7. Quan h th t 10
11. 11 Quan h hai ngơi ℜ trong tp X đưc gi là quan h th t (order relation) nu nĩ cĩ tính phn đi xng và bc cu. Nu ngồi ra vi bt kỳ hai phn t nào x∈ Xy, ∈ X đu cĩ xℜ y hoc yℜ x thì quan h th t đĩ gi là th t tồn phn (hay th t tuyn tính ). Khi ℜ là mt quan h th t trong X, ta nĩi X đưc sp th t bi ℜ, và thay vì xℜ y ta vit x≤ y và đc " x bé hơn hoc bng y" hoc " x đi trưc y ". Ta cũng vit y≥ x và đc là ‘ y ln hơn hoc bng x’. Nu x≤ y và x≠ y ta vit x x ). Tp X trong đĩ đã xác đnh mt quan h th t gi là tp đưc sp th t. Ví d 1. Quan h < hoc ≤ thơng thưng trong tp hp các s thc là các quan h th t tồn phn, ℝ là tp đưc sp th t. Ví d 2. Quan h bao hàm ⊆ trong tp P(X) mi tp con ca tp X là quan h th t b phn. Tuy nhiên nĩ khơng là th t tồn phn. Ví d 3. Quan h "a⋮ b " tc a chia ht cho ca b trong ℕ∗ là quan h th t b phn. 11
12. 12 1.3. Ánh x 1.3.1. ðnh nghĩa. Cho X và Y là hai tp hp tuỳ ý khác rng. Nu cĩ mt quy tc f đt tương ng mi phn t x∈ X vi mt phn t y∈ Y thì ta nĩi cĩ mt ánh x t X ti Y, ký hiu f: X֏ Y . Tp X đưc gi là tp xác đnh hay ngun ca ánh x f , tp Y gi là tp giá tr hay đích ca ánh x f . Phn t y∈ Y ng vi mi phn t x∈ X bi quy tc f đã cho gi là nh ca phn t x, ký hiu y= f( x ) hoc x֏ y . Nĩi riêng, khi X và Y là các tp hp s thì khái nim ánh x tr thành khái nim hàm s đã bit. ð khi phi lp li, mi tp đưc nêu đu gi s khác rng. 1.3.2. nh và nghch nh ca các tp con Cho f: X→ Y là mt ánh x t X vào Y; A⊆ X là tp con ca X; B⊆ Y là tp con ca Y. Ta gi nh ca A bi f là tp con ca Y đưc xác đnh bi fA( ) ={ fxx( ) ∈ A }. ðc bit f( X ) , nh ca min xác đnh X đưc gi là min giá tr ca ánh x f và ký hiu bi f( X) = Im f . Nghch nh ca tp con B⊂ Y bi ánh x f là tp con ca X xác đnh bi: f−1 ( B) ={ xXfx ∈( ) ∈ B } Nĩi riêng f−1 ( Y) = X là min xác đnh ca ánh x f. Khi A={ xB}, = { y } ta vit f( x ) thay vì fx({ }); f−1 ( y ) và gi vn tt là nh ca x và nghch nh ca y theo trình t tương ng. Cn đ ý là f−1 ( B), B ≠ ∅ cĩ th là tp rng. Các tính cht ca nh và nghch nh s đưc gii thiu trong phn bài tp. 1.3.3. ðơn ánh Tồn ánh Song ánh Cho f: X→ Y là ánh x. Ta nĩi: 12
13. 13 f là đơn ánh nu fx( 1) = fx( 2 ) thì x1= x 2 , nĩi cách khác hai phn t khác nhau s cĩ nh khác nhau: ∀xx12, ∈ Xx , 12 ≠⇒ x fx ()(). 1 ≠ fx 2 f là tồn ánh nu f( X) = Y , nĩi cách khác vi mi y∈ Y đu tn ti x∈ X sao cho f( x) = y . f là song ánh nu f va đơn ánh và va tồn ánh, nĩi khác đi, vi bt kỳ y∈ Y đu tn ti duy nht mt phn t x∈ X sao cho f( x) = y . Nu f: X→ Y là đơn ánh thì f: X→ Im f s là tồn ánh và do đĩ là song ánh. Ánh x f: X→ X cho bi fx( ) = x, ∀ x ∈ X gi là ánh x đng nht trên X, ký hiu là id X . D thy id X là song ánh. Trưng hp X = ℝ là tp mi s thc thì id ℝ chính là hàm s bc nht y = x thơng thưng. Ví d. Các ánh x f : ℝ→ ℝ cho bi ax.֏ fx( ) = sin x 2x bx. ֏ fx() = 1+ x2 khơng là đơn ánh, cũng khơng là tồn ánh. Ánh x x֏ fx( ) = e x là đơn ánh; cịn ánh x x֏ fx( ) =2 x + 3 là song ánh. Ánh x x֏ f( x) = arctgx t ℝ vào ℝ là đơn ánh; cũng ánh x đĩ t ℝ π π  vào khong m − ;  li là song ánh. 2 2  1.3.4. Tích ca các ánh x Cho các ánh x fX:→ YgY ;: → Z . Ánh x h: X→ Z xác đnh bi ∀x ∈ Xhx, ( ) = gfx( ( )) đưc gi là hp thành hay tích ca ánh x f và g , ký hiu h= g f . Ví d. f và g là các ánh x t ℝ vào ℝ bi: fx( ) =sin xgy ; ( ) = y 2 2 Khi đĩ (gfx )( ) =(sin x) = sin 2 x . 13
14. 14 Cịn ( fgx )( ) = sin ( x 2 ). T đnh nghĩa, suy ra tính cht: a) Nu fX:→ YgY ;: → Z . k: Z→ S thì kgf( ) = ( kg ) f (tính kt hp). Do tính cht này, cĩ th m rng phép tốn hp các ánh x t hai sang mt s hu hn ánh x cho trưc và ký hiu k g f cĩ ý nghĩa hồn tồn xác đnh. b) Gi s f: X→ Y và g: Y→ Z . là các ánh x thì - Nu f và g đu là đơn ánh thì g f là đơn ánh. - Nu f và g đu là tồn ánh thì g f là tồn ánh - Nu f và g đu là song ánh thì g f là song ánh. Phép chng minh các tính cht này xem như bài tp. 1.3.5. Ánh x ngưc Gi s f: X→ Y là ánh x. Nu tn ti mt ánh x g: Y→ X sao cho g f= idX; f g = id Y thì ta gi g là ánh x ngưc ca f . Nhn xét: Ánh x ngưc nu cĩ thì duy nht . Tht vy, gi s ánh x f cĩ các ánh x ngưc là g và k . Khi đĩ, ta cĩ gid==X g() kf gk = () fg == kid Y k . T nhn xét trên, nu f cĩ ánh x ngưc g: Y→ X thì ta ký hiu g= f −1 và −1 − 1 cĩ: f f= idX; f f = id Y . −1 Nhn xét: Ánh x f −1 cũng là ánh x ngưc ca f hay ( f−1 ) = f . Vy f và f −1 là cp ánh x ngưc ca nhau. Nĩi riêng, khi Y= X và f−1 = f nghĩa là f−1 ( x) = fx( ), ∀ xX ∈ thì f gi là ánh x đi hp. 1.3.6. ðnh lý. Ánh x f: X→ Y cĩ ánh x ngưc khi và ch khi f là mt song ánh. Chng minh. Gi s f: X→ Y là song ánh. Th thì vi bt kỳ y∈ Y đu tn ti duy nht mt phn t x∈ X sao cho f( x) = y . Khi đĩ: Ánh x g= f−1 : Y → X xác đnh bi: f−1 ( y) = x ⇔ yfx = ( ) 14
15. 15 là ánh x ngưc ca ánh x f . Gi s f: X→ Y cĩ ánh x ngưc là g: Y→ X . Ta chng minh f: X→ Y là song ánh. Tht vy, vi x1, x 2 ∈ X : Nu fx( 12) =⇒ fx( ) gfx( ( 1)) = gfx( ( 2)) ⇒ idxX() 1 = idx X () 212 ⇒= xx . Do đĩ f: X→ Y là đơn ánh. Bây gi gi s y∈ Y khi đĩ tn ti x= gy( ) ∈ X sao cho fx()= fgy (()) = fgy () == idyY () y hay f: X→ Y là tồn ánh và do đĩ đnh lý đưc chng minh. g Chng hn, nu ℝ∗ là tp mi s thc khác 0 thì ánh x f : ℝ∗→ ℝ ∗ xác đnh 1 bi f() x = là ánh x đi hp. x Ánh x f : ℝ→ ℝ bi f( x) = x 3 cĩ ánh x ngưc là f−1 ( x) = 3 x . Nu f: X→ Y là song ánh thì ánh x hp f−1 f là ánh x đng nht trên X, −1 −1 tc là f f= i X . Tương t f f= i Y là ánh x đng nht trên Y. Nu f: X→ Y , g: Y→ Z là các song ánh thì g f cũng là song ánh và −1 (gf) = f−1 g − 1 . Phép chng minh xem như bài tp. 1.3.7. Thu hp và m rng ca mt ánh x Gi s f: X→ Y là mt ánh x, A⊂ X là tp con thc s ca X. Ánh x g: A→ Y bi gx( ) = fx( ); ∀ xA ∈ gi là thu hp ca ánh x (restriction of a mapping) f: X→ Y trên tp A, ta ký hiu g= f A . Nu X'⊃ XX, ' ≠ X thì ánh x h: X' → Y sao cho hx( ) = fx( ); ∀ xX ∈ đưc gi là m rng ca ánh x (extension of map) f: X→ Y trên tp X ' . Ta cũng nhn thy là vi mt ánh x f: X→ Y cho trưc cĩ th tn ti nhiu m rng ca nĩ ngay c khi tp X ' đưc hồn tồn xác đnh. 15
16. 16 1.3.11. Phép th bc n. Cho X= {0,1,2, , n } là mt tp hp cĩ n phn t. Mt song ánh f: X→ X đưc gi là phép th bc n (trên X). Ký hiu S n là tp hp các phép th bc n (trên X). Mt phép th bc n f: X→ X cĩ th vit dưi dng: 1 2 n    f(1) f (2) fn ( )  trong đĩ ( f(1), , f ( n ) ) là mt hốn v ca (1,2, , n) . Ngưc li, nu ( f(1), , f ( n ) ) là mt hốn v ca (1,2, , n) thì ánh x f: X→ X cho bi 1 2 n  f =   f(1) f (2) fn ( )  là mt song ánh, do đĩ nĩ là phép th bc n. Như vy, s phép th bc n bng s hốn v ca n phn t. Vì s hốn v ca n phn t bng n! cho nên ta cĩ 1.3.12. ðnh lý. S các phép th bc n bng n! hay #Sn = n !. 1.3.13. ðnh nghĩa. Cho f: X→ X là phép th bc n. Cp ( fifj( ), ( )) ,1 ≤ i fj () . Phép th f: X→ X đưc gi là phép th chn ( l) nu s nghch th ca nĩ chn (l). Cho phép th f: X→ X bc n. Du sign( f ) đưc đnh nghĩa bi sign( f )= ( − 1) t trong đĩ t là s các nghch th ca f: X→ X . Ví d. Phép th đng nht trên X là phép th chn vì s nghch th ca nĩ bng 0. S dng đnh nghĩa du ca phép th, ta thu đưc 1.3.14. Mnh đ. Cho f, g∈ S n là phép th bc n, ta cĩ sign( g f )= sign () f signg () . 16
17. 17 HƯNG DN T HC CHƯƠNG 1 1. Hiu rõ các khái nim tp hp, tp hp con, h các tp hp con ca mt tp hơp cho trưc. 2. Thc hành các phép tốn trên các tp hp c th. Bit cách xác đnh tp hp. 3. Nm vng khái nim ánh x; cĩ k năng xây dng ánh x; bit kim tra tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh ca mt ánh x; xác đnh ánh x ngưc ca mt song ánh. 4. Trưc khi gii các bài tp khĩ hơn, hc viên cĩ th làm quen vi các câu hi đơn gin sau: 1. Hãy lit kê phn t ca các tp hp sau: a) Tp hp các s t nhiên cĩ 2 ch s vi tng ca hai ch s bng 15. b) Tâp hp các s chn t tp hp A = {0,1,2,4,5,7,9,10,15,14 }. c) Tp hp các s nguyên t chn khơng vưt quá 50. 2. Cho tâp hp sau: X = {1,2,4,5 }. Hãy lit kê các phn t các tp hp dưi đây : a) Các s đưc vit bi 4 ch s thuc X. b) Các s ca tp hp X tho mãn: 0≤x < 5. c) Các s ca tp hp X tho mãn: 2<x ≤ 5. 3. Hãy ch ra tính cht đc trưng cho các phn t ca các tp hp sau : A = {1, 2, 4, 8, 16, 32 } B ={ 1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 4, 9, 16, 25} D = {2, 3, 5, 7} 4. Cho các tp A={ abcB,,,} ={ abcdC ,,,,} =×={ ab ,,,,} D{ ab , }. Xác đnh quan h bao hàm gia các tp A, B, C, D. 5. Trên đon thng AB ln lưt ly hai đim phân bit C và D khơng trùng vi hai đu mút A, B. Hãy lit kê các đon thng to bi 4 đim A, B, C, D. Hưng dn: Cĩ 6 đon thng AC, AD, AB, CD, CB, DB. 6. Trên cnh BC ca tam giác ABC ln lưt ly hai đim phân bit D và E khơng trùng vi hai đnh B, C. Hãy lit kê các tam giác to bi 6 đim A, B, C, D, E. Hưng dn: Cĩ 6 tam giác ABC, ABD, ABE, ADE, AEC, ADC. 7. Cho hàm s y= x 2 . Tìm các giá tr ca y vi x ∈{1, − 1, 2, 3, 4, − 4 }. 8. Chng minh rng: Trong tp hp X = P(A) các tp con ca tp hp A, quan h bao hàm ⊆ cĩ tính phn x, phn đi xng, bc cu và khơng cĩ tính đi xng. 17
18. 18 9. Chng minh rng: Quan h cùng tính chn l trong tp hp các s t nhiên N là quan h cĩ các tính cht phn x, đi xng, bc cu nhưng khơng cĩ tính phn xng. Hưng dn: (2,4) và (4,2) thuc quan h này nhưng 2 khơng bng 4. 10. Trên mt phng (P) ly mt đim O c đnh. ðnh nghĩa quan h hai ngơi S như sau: Vi mi đim M, N thuc P; M S N khi và ch khi các đim O, M, N thng hàng. Hãy kim tra các tính cht cĩ th cĩ ca quan h S . BÀI TP CHƯƠNG 1 1. a) Cho X={ abcY,,;} = { abcx ,,, }trong đĩ các ch cái khác nhau biu th các phn t khác nhau; các ch trùng nhau biu th mt phn t. Các mnh đ sau đúng hay sai? a) X = Y b) X⊆ Y c) X∩ Y = X . 2. Chng minh các tính cht sau ca các tp con ca mt tp c đnh X. a) ( A) = A b) AB \ = B ∪ A cA) ⊂ B ⇒ B ⊂ A A∪ B = X d) ⇒ B = A . A∩ B = ∅ 3. Chng minh vi mi tp A, B, C tuỳ ý: aA. \( AB \ ) = A ∩ B bA.∩()()() BC \ =∩ AB \ AC ∩ cAB.\()()()∪ AC \ = ABC \ ∩ dAB.\()()()()∪ BA \ =∪ AB \ AB ∩ eA.∩() B \ A = ∅ . 4. Chng minh các tính cht sau ca hiu đi xng a) A− ∅ = A b) ()() AB− −=− CA BC − cA) ∩()()() BC − = AB ∩ − AC ∩ dA)∪ B = AB − −() A ∩ B . 5. Chng minh. 18
19. 19 n  n  n aA.∪i − ∪ B i  ⊂ ∪ () AB ii − i=1  i = 1  i = 1 n  n  n bA.∩i − ∩ B i  ⊂ ∪ () AB ii − . i=1  i = 1  i = 1 6. Tìm tp X tho mãn aA. − X = B A∩ X = B A,B,C đã cho B⊂ A ⊂ C . b. A∪ X = C A\ X= B c.  A,B,C đã cho B⊂ AA; ∩ C =∅ . X\ A= C 1  3  7. Cho A=∪[][]0;1 2;3 ; B = 0; ∪ 1; trong đĩ [a, b ] ký hiu các đon thng 2  2  cĩ các mút a, b. Biu din hình hc tp A× B . 8. Chng minh các tính cht. aAB.( ∩×∩) ( CD) =×∩×( AC) ( BD ) bA.∩i× ∩ B i = ∩ () AB ii × iI∈ iI ∈ iI ∈ cAB.()()()()×∪× CD ⊂ AC ∪×∪ BD dAB.()()() \×=× C AC \ BC × eA.\×()()() BC =× AB \. AC × 9. Trong tp ℝ mi s thc, ta đnh nghĩa hai quan h ℜ; ℜ ' bi abℜ ⇔ a2 ≤ b 2 abℜ ⇔cos a = cos b Trong đĩ các ký hiu = và ≤ hiu theo nghĩa thơng thưng. Các quan h này cĩ là quan h tương đương ? Cĩ là quan h th t ? 10. Trên tp ℝ mi s thc quan h ℜ xác đnh bi abℜ⇔ a3 − b 3 =− ab Cĩ là quan h tương đương ? Nu phi, hãy ch ra các lp tương đương. 11. Gi ℕ = {0,1,2, } là tp mi s t nhiên ℕ2 = ℕ × ℕ . Trên tp ℕ2 quan h ℜ quan h ℜ xác đnh (ab,)ℜ( cd , ) ⇔+=+ adbc cĩ là quan h tương đương? 12. Trên tp A gm mi tam thc bc hai 19
20. 20 A={ fx( ) =++≠∈ ax2 bxca, 0, x ℝ} Cho quan h ℜ xác đnh bi fx( ) ℜ gx( ) ⇔( f(1) = g ( 1 )) và (g(2) = f ( 2 )) . Chng minh ℜ là quan h tương đương. 13. Cho E là tp khác rng, ℜ là quan h trên E cĩ tính phn x và bc cu. Chng t rng quan h ℑ trên E xác đnh bi xyℑ⇔( xy ℜ) ∧( yx ℜ ) là quan h tương đương. 14. Trong s các ánh x t X vào Y dưi đây, ánh x nào là đơn ánh, tồn ánh, song ánh? Trưng hp tn ti hãy ch ra ánh x ngưc. aX.=[ 4;9;] Y =[ 21;96;] fxxx () =++2 2 3. bXY.==ℝ ; fx() =− 32. x x 1  x2 cX.=ℝ ; Y = 0; , fx() = . 3  1 +x2 + x 4 1+ x  dX.=−()() 1;1 , Y =ℝ , fx = ln  . 1− x  15. Ch ra cp cp ánh x f và g sao cho a) g f tn ti nhưng f g khơng tn ti. b) g f và f g đu tn ti nhưng khác nhau. 16. Chng minh các tính cht ca nh và nghch nh. afA. ( ∪ B) = fA( ) ∪ fB( ) bfA. ()()()∩ B ⊂ fA ∩ fB Ch ra mt ví d chng t fAB( ∩) ≠ fA( ) ∩ fB( ) . cf.−1( AB∪) = f − 1( A) ∪ f − 1 ( B ) . df.−1()()() AB∩ = f − 1 A ∩ f − 1 B . ef.\−1()()() AB= f − 1 Af \. − 1 B 17. Cho ánh x f : ℝ→ ℝ bi fx( ) = x2 −3 x + 2 a) Xác đnh f (ℝ) . b) Cho A =[ − 1;2] . Xác đnh f−1 ( A ). 18. ℤ là tp hp mi s nguyên; a, b , c , d ∈ℤ sao cho ad− bc = 1. 20
21. 21 Xét ánh x f : ℤ2→ ℤ 2 bi f( xy,) ֏ ( ax+ bycx , + dy ) . Ký hiu ℑ là tp hp mi ánh x như th. a) Chng minh rng f là song ánh. b) Chng minh rng: ℑ đĩng kín đi vi lut hp thành các ánh x nghĩa là nu f, g ∈ℑ thì g f ∈ℑ . 19. Gi ℝ 3[x ] là tp mi đa thc cĩ h s thc, cĩ bc ≤ 3; ℝ 2[x ] là tp mi đa thc cĩ h s thc, cĩ bc ≤ 2 ; α, β là h s thc cho trưc, α≠ β . Xét ánh x f: P→ T bi fpx:( ) ֏ px( +−α) px ( + β ); ∀ pxP( ) ∈ . a) Chng minh f là tồn ánh. b) f cĩ là song ánh hay khơng? 20. Cho hai ánh x fA:→ CgB ;: → D . Ta đnh nghĩa ánh x hA: × B → C × D bi hab( ,) =( fagb( ) ,( )) ∀∈×( ab , ) AB . Chng minh rng: a) Nu f, g là đơn ánh thì h đơn ánh. b) Nu f, g là tồn ánh thì h tồn ánh. c) Các mnh đ đo ca a, b cĩ đúng hay khơng? 21. Gi ℝ 3[x ] là tp mi đa thc cĩ h s thc và cĩ bc ≤ 3; ℝ 4[x ] là tp mi đa thc cĩ h s thc và cĩ bc ≤ 4 và ánh x f: P→ S đưc đnh nghĩa bi: fpx:( ) ֏ ( 21 x+) px( ) +( 1 − xpx2) ' ( ) , trong đĩ p' ( x ) là đo hàm ca p(x). Chng minh rng f là đơn ánh. 21
22. 22 CHƯƠNG 2 MA TRN, ðNH THC VÀ H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH 2.1. Ma trn 2.1.1. Khái nim v ma trn Ta gi mt ma trn c m x n là mt bng các s thc: a11 a 12 a 1 n    a a a Α= 21 22 2 n  ⋮ ⋮ ⋮    an1 a n 2 a nn  gm mn phn t ca K đưc xp thành m hàng và n ct. Vi 1≤≤in , 1 ≤≤ jn phn t aij đưc là phn t hàng th i và ct j ca ma trn A. ð đơn gin ma trn A đưc vit dưi dng A=  a  . ij  m× n Các ma trn A=  a  và A=  b  đưc gi là bng nhau nu chúng ij  m× n ij  m× n cùng cp và abijij= ij , ∀ , = 1,2, , n . Ma trn cp n x n đưc gi là ma trn vuơng cp n. Các phn t a11, a 22 , , a nn gi là các phn t nm trên đưng chéo chính ca ma trn vuơng A cp n. Ma trn cĩ 1 hàng gi là ma trn hàng. Ma trn cĩ 1 ct gi là ma trn ct. Ma trn cp m x n gm mn s 0 gi là ma trn khơng cp m x n ký hiu Om× n . Ma trn vuơng A cp n cĩ các phn t nm trên đưng chéo chính bng 1 và nm ngồi đưng chéo chính đu bng 0 gi là ma trn đơn v cp n: 1 0 0  0 1 0  I =  . n ⋮ ⋮ ⋮    0 0 1  Cho mt ma trn vuơng   cp n. A=  a ij  Ma trn A đưc gi là ma trn chéo nu aij =0, 1 ≤≠≤ ijn , nghĩa là A cĩ dng sau: 22
23. 23 a11 0⋯ 0  0a ⋯ 0  Α = 22  . ⋮ ⋮ ⋯⋮    0 0 ⋯ ann  Ma trân A đưc gi là ma trn tam giác trên nu aij =0, i j , nghĩa là a11 0⋯ 0  0a ⋯ 0  Α = 22  ⋮ ⋮ ⋯ ⋮    an1 a n 2 ⋯ a nn  2.1.2. Các phép tốn ma trn 2.1.2.1. Phép cng hai ma trn cùng cp Cho các ma trn cùng cp A=  a  và B=  b  . Tng ca các ma trn ij  m× n ij  m× n A và B là ma trn cùng cp C=  c  trong đĩ: ij  m× n cabijij= ij + ij , ∀ , = 1,2, , n . Tính cht. Cho A, B, C là các ma trn cùng cp. Khi đĩ: a) (A + B) + C = A + (B + C). b) A + B = B + A. c) A + O = B + O = O, trong đĩ O là ma trn cùng cp vi A, B. d) A + ( A) = ( A) + A = O; A là ma trn đi. 2.1.2.2. Phép nhân mt s vi mt ma trn Cho ma trn A=  a  và s thc λ . Tích ca s thc λ vi A là ma trn ij  m× n B=  b  và bai=λ , ∀= 1,2, , mj ; = 1,2, , n . ij  m× n ij ij T các đnh nghĩa phép cng các ma trn v phép nhân mt s vi ma trn d dàng kim chng các tính cht sau. 23
24. 24 Tính cht. Cho A, B là các ma trn c m× n và các s thc λ, γ . Khi đĩ a) 1. A= A , b) (λγ) A= λγ( A ) , c) (λγ+) A = λ A + γ A , d) λ( AB+) = λ A + λ B . 2.1.2.3. Phép nhân hai ma trn Cho các ma trn A=  a  và B=  b  . Tích ca hai ma trn A và B là ij  m× n ij  n× p ma trn C= c trong đĩ [ ik ]m× p n cababik=+++= ik11 i 22 k ab innk∑ abi ijjk ; = 1,2, , mk , = 1,2, , p . j=1 Khi đĩ, ta ký hiu C = AB. Chú ý rng, ai1, a i 2 , , a in là các phn t hàng th i ca A và các phn t b1k, b 2 k , , b nk ct th k ca B. Như vy, vi A,B là các ma trn vuơng cp n thì, nĩi chung AB≠ BA . Tính cht. 1) Cho A,B là các ma trn c m× nn, × pp , × q và s thc λ . Khi đĩ: a) A(BC ) = (AB )C, b) λ( AB) =( λ A) B = A( λ B ), c) AIn= I m A = A . 2) Nu A, B là các ma trn c m× n , C là ma trn c n× p thì ( A + B ) C = AC + BC. 3) Nu A là ma trn c m× n và B, C là các ma trn c n× p thì A ( B + C ) = AB + AC. 4) Cho A là ma trn c m× n . Khi đĩ ΑΟnp, =Ο mp ,,, Ο km Α=Ο kn ,. 2.1.3. Phép chuyn v. Cho ma trn A c m× n a11 a 12⋯ a 1 n    a a⋯ a Α = 21 22 2 n  . ⋮ ⋮ ⋯⋮    am1 a m 2 ⋯ a mn  Ma trn 24
25. 25 a11 a 22⋯ a m 1    a a⋯ a Αc = 12 22m 2  ⋮ ⋮ ⋯⋮    a1n a 2 n⋯ a mn  đưc gi là ma trn chuyn v ca A. Ma trn chuyn v ca A cịn ký hiu là A '. Như vy, nu Α=a  , Α=c  a *  thì a= a * , vi mi i, j . i j  j i  ij ji Tính cht ca ma trn chuyn v. c 1) Nu A=  a  và B=  b  thì AB= Bc A c . ij  m× n ij  n× p ( ) c 2) Nu A, B là các ma trn cùng c thì ( AB+) = Ac + B c . c 3) Nu A là ma trn tuỳ ý, thì (λA) = λ A c vi mi s thc λ . Chng minh. Ta ch chng minh tính cht 1). Gi s   và   c∗ c  ∗ . A=  a ij  Bb=jk  , A = aB ij , =  b kj c Khi đĩ ∗ ∗ ∗ c c ' . aij=== ab ij,, jk bABc kj[ ik] ,( AB) = c ki , BA =  c ki n n n ∗ ∗∗∗∗ ' Ta cĩ: ccki== ik∑ ab ij jk = ∑ ab ji kj = ∑ bac kj ji = ki . j=1 j = 1 j = 1 c Vy, ( AB) = Bc A c . Ma trn vuơng A cp n đuc gi là ma trn đi xng (tương ng, phn đi xng) nu Ac = A (tương ng, Ac = − A ). 2.1.4. Các phép bin đi sơ cp Cho các ma trn A trên K. Các phép bin đi sơ cp các hàng ca ma trn A là các phép bin đi sau: 1) ði v trí hai hàng ca ma trn A. 2) Nhân mt hàng ca ma trn A vi mt s . Tc là tt c các phn t ca hàng đĩ đưc nhân vi s thc khác khơng λ . 3) Cng vào hàng th i ca A vi bi λ ca hàng th j. Tương t ta cĩ các phép bin đi sơ cp trên các ct ca ma trn A. Nu ma trn B nhn đưc t ma trn A nh các phép bin đi sơ cp các hàng ca A thì ta nĩi A tương đương vi B, kí hiu A∼ B . 25
26. 26 2.1.5. ðnh nghĩa. Cho ma trn   c . Α = ai j  m× n Hàng th i ca A gi là bng khơng nu tt c các phn t ca hàng đĩ bng khơng tc là ai j =0, j = 1,2, , n . Phn t ai j đưc gi là phn t đu tiên khác khơng ca hàng th i nu ai k = 0 vi k=1,2, , j − 1 và ai k ≠ 0. Các khái nim ct bng khơng và phn t đu tiên khác khơng ca ct đưc đnh nghĩa tương t. Ma trn A gi là ma trn cĩ dng bc thang nu nĩ cĩ các tính cht sau 1) Nu hàng th i ca A bng khơng thì hàng th i +1 ca A cũng bng khơng. 2) Nu các phn t đu tiên khác khơng ca hai hàng th i và i +1 ca A nm trên các ct th j và th k thì j 1 và đnh lí đúng vi mi ma trn cĩ (m −1) hàng. Nu A là ma trn khơng thì nĩ là ma trn dng bc thang. Gi thit A khác ma trn khơng. Gi s ji là ct đu tiên ca A khác khơng. Nh phép đi ch a các hàng ta gi thit a ≠ 0 . Cng vào hàng th i ca A, vi bi −ij i ,i = 2, , n , 1 ji a 1 ji ca hàng th nht, ma trn A đưc đưa v dng 26
27. 27 0⋯ 0 aij, a 1, j+ 1 ⋯ a 1 n  1 1  0⋯ 0 0 b ⋯ b 2,1j1+ 2 n  Α = . ⋮⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋮    0⋯ 0 0 b ⋯ b  mj,1+ 1 mn  Ma trn b2,1j+ ⋯ b 2 n  1  ⋮ ⋯ ⋮  . b⋯ b  mj,1+ 1 mn  Cĩ m 1 hàng. Theo gi thit quy np, ma trn này cĩ th đưa v dng bc thang nh các phép bin đi sơ cp hàng. Do đĩ ma trn A cũng đưc đưa v dng bc thang nh các phép bin đi sơ cp hàng. ðnh lí đưc chng minh. 2.2. ðNH THC 2.2.1. ðnh nghĩa. Gi s đã cho mt ma trn vuơng cp n vi các phn t là các s thc: a11 a 12 a 1 n    a a a Α= 21 22 2 n  .     an1 a n 2 a nn  ðnh thc cp n ca ma trn A, ký hiu bi det (Α) hoc Α là tng: det(Α) =Α = ∑ Sfa( ) 1f()()() 1 a 2 f 2 a nfn , f∈ S n trong đĩ S( f ) là du ca phép th f , cịn Sn là tp hp các phép th bc n. Nhn xét: (1) det(A) cĩ n ! s hng, mt na mang du cng, mt na mang du tr. (2) Mi s hng ca det(A) là tích ca n phn t nm trên các hàng khác nhau và các ct khác nhau ca ma trn A. 27
28. 28 a11 0 0 0a 0 Ví d: 1) 22 = a a a 11 22 n 0 0 an 2) Nu mt hàng nào đĩ hoc mt ct nào đĩ ca đnh thc gm tồn s 0 thì đnh thc đĩ bng 0. 2.2.2. Các tính cht ca đnh thc 1) ðnh thc ca mt ma trn vuơng khơng thay đi qua phép chuyn v: Α= Α ' . Chng minh. Gi s   là ma trn vuơng cp n và ' là ma trn Α= ai j  Β=Α = bi j chuyn v ca A. Ta cĩ abij= ji ∀ ij, = 1, , n . Theo đnh nghĩa ca đnh thc, ta cĩ: Α Sfa a a = ∑ ( ) 1f()()() 1 2 f 2 nf n f∈ S n Β Sgb b b . = ∑ ( ) 1g()()() 1 2 g 2 ng n g∈ S n Xét mt s hng tng quát ca tng Α : Sfa( ) 1f()()() 1 a 2 f 2 a nf n . Khi đĩ trong Β tương ng cĩ mt s hng Sfb−1 b b ( ) 1f−1()()() 12 f − 1 2 nf − 1 n −1 Bi vì Sf( )= Sf( ) và aij= b ji , cho nên ta cĩ: Sfbb−1 b= Sfaa a = Sfaa a ( ) 1122f−−−111()()() f nfn( ) f −− 11()()() 1122 f fnn − 1 ( ) 1f()()() 1 2 f 2 nfn Vy Α và Β cĩ các s hng ging ht nhau, hay Α = Β . 2) Nu nhân mt hàng (ct) ca đnh thc vi mt s λ thì đnh thc cũng đưc nhân lên vi s λ đĩ. Chng minh. Cho   là mt ma trn vuơng cp n. Nhân dãy i ca A vi s Α= ai j  λ ta cĩ ma trn a11 a 12 a 1 n    a a a Β= 21 22 2 n      an1 a n 2 a nn  28
29. 29 Khi đĩ, cĩ   Β=Sfaa λ a a = γ Sfaa a =Α λ ∑() 1f()()() 1 2 f 2 () ifi nfn()  ∑ () 1 f()()() 1 2 f 2 nfn  f∈ Sn f∈ S n  3) Tính cht cng đi vi mi hàng (ct) a11 a 12 a 1n aaa 1112 1 n aaa 1112 1 n a21 a 22 a 2n aaa 2122 2 n aaa 2122 2 n = + bcbcbci1122+ ii + i inin + bb i 12 i b in ci1 c i 2 c in an12 a n a nn aaa nn 12 nn an1 a n 2 a nn Chng minh. Vì abcjij= ij + ij ∀= 1,2, , n cho nên Α=Sfaa a a = Sfaa bc + a ∑() 1f()()()() 1 2 f 2 ifi nfn ∑ () 1 f()()()() 1 2 f 2 ( ifi ifi) nfn() f∈ S n =∑Sfaa( ) 1f()()()() 1 2 f 2 b ifi a nfn + ∑ Sfaa( ) 1 f()()()() 1 2 f 2 c ifi a nfn =+ D1 D 2 f∈ Sn f∈ S n 4) Nu đi ch hai hàng cho nhau thì đnh thc đi du. Chng minh : Gi s B là ma trn thu đưc t ma trn A bng cách đi hàng th i cho hàng th k, vi i < k. Ta cĩ , Α = ∑ Sfa( ) 1f()()()() 1 a ifi a kfk a nfn f∈ S n . Β = ∑ Sfa( ) 1f()()()() 1 a kf i a if k a nf n f∈ S n Xét mt s hng ca Β là : Sfaa( ) 11f()()()()() 2 f 2 a kf i a if k a nf n . Xét phép th sau vi i < k 1 2 k i n  g =  1 2 k i n  Các nghch th ca g là (ki−+) ( ki −−=) 1 2( ki −−) 1 Do đĩ g là phép th l hay S( g )=− 1. ðt h = f g cĩ S(h)= Sfg( ) = SjSg( ) . ( ) =− Sf( ) Vy: Sfaa( ) 1f()()()()() 1 2 f 2 a kfi a ifk a nfn= Sfaa( ) 11 h()()()()() 2 h 2 a khi a ihi a nhn 29
30. 30 = − Shaa( ) 11h()()()()() 2 h 2 a khk a ihi a nhn . Khi f chy khp Sn thì h = f g cũng chy khp Sn , nên : . Β=∑Sfaa( ) 1f()()()()() 1 2 f 2 a kfi a ifk a nfn =− ∑ Sfaa( ) 11 h()()() 2 h 2 a nfn =−Α f∈ Sn h∈ S n 5) Nu đnh thc D cĩ hai hàng (ct) ging nhau thì đnh thc đĩ bng khơng. Chng minh. Khi đi ch hai hàng (ct) thì đnh thc D khơng thay đi. Mt khác theo tính cht (4) thì nĩ phi đi du. Vì vy cĩ D = D hay D = 0. 6) ðnh thc cĩ hai hàng (ct) t l thì đnh thc đĩ bng 0. Chng minh . ðưa h s t l ra ngồi đnh thc. Ta cĩ đnh thc cĩ 2 hàng (ct) ging nhau. Vy đnh thc này bng 0. 7) Nu mt hàng ca đnh thc là t hp tuyn tính ca các hàng khác nghĩa là tn ti các s λλ12, , , λλi− 1 , i + 1 , , λ n sao cho ai j=∑λ k aj kj ( = 1, , n ) k≠ i Khi đĩ, theo tính cht cng ca mi hàng (tính cht 3) cĩ D là tng ca (n 1) đnh thc cĩ hai hàng t l. Vì vy, D bng 0. 8) Ta cĩ th cng vào mt hàng ca đnh thc mt bi ca hàng khá mà đnh thc vn khơng thay đi. Chng minh. Tính cht (8) là mt trưng hp riêng ca (7) vi các λi =0 tt c tr mt s λk nào đĩ. 9) Ta cĩ th cng vào mt hàng ca đnh thc t hp tuyn tính ca các hàng cịn li mà đnh thc vn khơng thay đi. Chng minh. Thc hin tính cht (8) nhiu ln ta cĩ tính cht (9). 2.2.3. Phn bù, phn bù đi s ca mt phn t a11 a 12 a 1 n a a a Cho đnh thc cp n: D= 21 22 2 n (1) an1 a n 2 a nn Kí hiu M,1i j ≤i , j ≤ n , là đnh thc cp n −1 nhn đưc t đnh thc D bng cách xố hàng th i và ct th j ca D. Ta gi Mi j là phn bù ca phn t ai j . Kí hiu i+ j Αij =( − 1) M ij là phn bù đi s ca phn t ai j . 30
31. 31 2.2.6. Cơng thc khai trin. Cho đnh thc D cp n, ta cĩ cơng thc khai trin: 1) Khai trin D theo hàng i: D=aii11 Α+ a ii 2 Α++ 2 a inin Α , vi 1≤i ≤ n . 2) Khai trin D theo ct j : D=a11jj Α+ a 2 j Α++ 2 j a njnj Α , vi 1≤j ≤ n . 2.2.7. ðnh thc Vandermonde 1 1 1 1 a1 a 2 a 3 a n 2 2 2 2 D= a1 a 2 a 3 a n n−1 n − 1 n − 1 n − 1 a1 a 2 a 3 a n Ta chng minh rng: a− a D=−()aaaa2131()()() − aan − 1 aa n −= n − 1 ∏ ( j i ) 1≤i 2 và cơng thc đúng vi n −1. Cng vào hàng th i ca đnh thc D vi bi −a1 ca hàng th i−1, 2 ≤ i ≤ n , ta cĩ 1 1 1 1 0aa21− aa 21 − aa 21 − 0a2− aa a 2 − aa a 2 − aa D= 212313n 1 n . n−1 nn −− 21 n − 2 n − 1 n − 2 0a2− aa 123 a − aa 13 an − aa 1 n Khai trin đnh thc D theo ct th nht và rút các tha s chung ca các ct cĩ: 31
32. 32 1 1 1 a2 a 3 a n 2 2 2 D=−()aaaa2131()() − aaan − 123 a a n n−2 n − 2 n − 2 a2 a 3 a n Tip theo dùng gi thit quy np ta cĩ: D=−(aaaa2 1) ( n − 1 ) ∏( aa ji −=) ∏ ( aa ji − ) . 2≤<≤ijn 1 ≤<≤ ijn Ví d. Gii phương trình: 1 1 1 1 1 1− x 1 1 1 12−x 1 = 0 1 1 1 n− x Nhân dịng th nht vi (1) ri cng vào các dịng cịn li, cĩ 1 1 1 1 0− x 0 0 0 01−x 0 = 0 0 0 0 n− 1 − x Khai trin đnh thc tam giác v trái cĩ (−x)(1 − xn) ( −−= 1 x ) 0 hay x=0, x = 1, , xn =− 2, xn =− 1. 2.2.8. Phn bù đi s ca đnh thc con. Gi s Μ là mt đnh thc con cp k ca đnh thc D = Α to bi k hàng và k ct: ii12, , , ijjk ; 12 , , , j k ca D. ðt: sii=++++12 ijjk 12 + ++ j k . Khi đĩ: s S (−1) Μ ' đưc gi là phn bù đi s ca đnh thc con M trong D, trong đĩ M ' là đnh thc con cp n k thu đưc t đnh thc D bng cách xĩa đi k hàng và k ct: ii12, , , ijjk ; 12 , , , j k . 32
33. 33 2.2.9. ðnh lí Laplace. Cho A là ma trn vuơng cp n và k hàng tùy ý ca A vi 1≤k ≤ n − 1 . Khi đĩ đnh thc Α bng tng ca tt c các đnh thc con cp k nm trên k hàng đã cho vi phn bù đi s ca nĩ. Ví d. Khai trin đinh thc sau theo ðnh lý Laplace: 12 0 0 3400 121+ 2 + 1 + 2 64 =.() − 1 =− (4.1 3.2).1.(6.5 −=−=− 5.4) ( 2).10 20. 5764 34 55 9 8 5 5 2.2.10. ðnh lí v đnh thc ca tích ma trn vuơng. ðnh thc ca tích các ma trn vuơng bng tích các đnh thc ca các ma trn này. Nghĩa là, nu Α, Β là các ma trn vuơng cp n thì ΑΒ = Α Β . 2.2.11. ðnh nghĩa. Ma trn vuơng A cp n đưc gi là cĩ nghch đo , hay gi là kh nghch , nu tn ti ma trn Α' vuơng cp n tho mãn đng thc: ' ' ΑΑ =Α Α= In . Ma trn Α' trên đưc gi là ma trn nghch đo ca ma trn A. 2.2.12. ðnh lý. Ma trn nghch đo ca mt ma trn vuơng A nu cĩ là duy nht. Chng minh. Gi s B và C là các ma trn nghch đo ca ma trn A, ta cĩ ΑΒ=ΒΑ=Ε,CC Α = Α=Ε . T đĩ: Β=ΒΕ=Β( ΑC) =ΒΑ( ) C =Ε C = C. Ma trn nghch đo ca A (nu cĩ) đưc kí hiu bi Α−1 . 2.2.13. ðnh nghĩa. Ma trn vuơng A đưc gi là ma trn khơng suy bin nu Α ≠ 0 . 2.2.14. ðnh lý. Ma trn vuơng A cĩ ma trn nghch đo khi và ch khi A là ma trn khơng suy bin. Chng minh: (i) Nu ma trn A cĩ ma trn nghch đo ⇒ Tn ti ma trn −1 −1 − 1 Α ⇒ΑΑ =In ⇒ΑΑ. = 1 ⇒Α≠ 0 ⇒Α là ma trn khơng suy bin. (ii) Gi s ngưc li, ma trn A khơng suy bin ⇒ Α ≠ 0. Gi   và là phn bù đi s ca Α= ai j  Αi j ai j , i, j= 1,2, , n . 33
34. 34 Ta chng minh rng, ma trn Α11 Α 21 Α n 1    1 Α Α Α Β = 12 22n 2  . Α     Α1n Α 1 n Α nn  là ma trn nghch đo ca A. Tht vy, ta xét tích: a1112 a a 1n Α 11 Α 21 Α n 1     a a a Α Α Α 1 ΑΒ = 2122 2n  12 22 n 2  .    Α    ann12 a a nn Α 12 n Α n Α nn  n  Α i= j Trưc ht ta cĩ nhn xét sau đây: ∑aikΑ jk =  nu . k=1  0 i≠ j S dng nhn xét này, ta cĩ  Α0 0 0  1 0 0 0      1 0Α 0 0  0 1 0 0 ΑΒ = =  = Ι . Α     n     0 0 0 1 0 0 0 Α    Tương t: ΒΑ=Ι . Vy, Β =Α −1 . 2.2.15. Mnh đ. Nu A, B là các ma trn khơng suy bin thì tích AB là ma trn khơng −1 suy bin và (ΑΒ) =Β−1 Α − 1 . Chng minh. Ta cĩ (ΑΒ)( Β−1 Α − 1 ) =Ι và (Β−1 Α − 1 )( ΑΒ) =Ι . −1 Do đĩ: (ΑΒ) =Β−1 Α − 1 . 2.2.16. ðnh nghĩa. Hng ca ma trn A là cp cao nht ca các đnh thc con khác khơng ca A. Ta kí hiu ca hng ma trn A là r (Α) . Nhn xét: + Nu A là ma trn cp (m, n ) thì r(Α) ≤ min( m , n ). + r(Α) = r ( Α ' ) . + r (Α) =0 ⇔Α là ma trn khơng. 34
35. 35 2.2.17. Mnh đ. Gi s r là hng ca ma trn A, khi đĩ: i) Cĩ mt đnh thc con cp r ca A khác khơng. ii) Mi đnh thc con cp ln hơn r ca A đu bng khơng. 2.2.18. Mnh đ. Các phép bin đi sau khơng làm thay đi hng ca ma trn: i) B đi mt hàng (ct) tồn s 0. ii) B đi mt trong hai hàng (ct) ging nhau. iii) Nhân mt hàng (ct) vi mt s khác 0. iv) ði ch hai hàng (ct) cho nhau. v) Cng vào mt hàng (ct) vi mt t hp tuyn tính ca các hàng (ct) vi khác. Ví d. Tìm hng ca ma trn sau bng phép bin đi sơ cp: 1− 3 4 2  Α= 2 1 14    −1 − 2 1 − 2  1342− 1342 −  1  L2 L2− 2L 1  7  Α →0770 − →1 0110 −  L  5 3 0550−  0110 −  1− 34 2  L+ 2L3   →2 0 1 − 1 0 .   0 0 0 0  Vy: r (Α) = 2. 35
36. 36 2.3. H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH CRAMER 2.3.1. ðnh nghĩa. Cho h phương trình tuyn tính gm n phương trình, n n: axax111+ 122 ++⋯ axb 1n n = 1  axax211+ 222 ++⋯ axb 2n n = 2  (1)  ⋮  axaxn11+ n 22 ++⋯ axb nn n = n . trong đĩ abij, i ,1≤ ijn , ≤ là các s thc. H (1) đưc gi là h phương trình tuyn tính Cramer nu đnh thc các h s a11 a 12⋯ a 1 n a a⋯ a D = 21 22 2 n ⋮ an1 a n 2 ⋯ a nn ca h phương trình đã cho là khác 0. 2.3.2. ðnh lý Cramer. Nu h phương trình (1) là h phương trình Cramer (1) thì h (1) cĩ nghim duy nht cho bi cơng thc sau: D x=j , j = 1,2, , n , j D trong đĩ D j là đnh thc thu đưc t đnh thc D bng cách thay ct th j bi ct các h s t do b1, b 2 , , b n . Ví d. Gii và bin lun h phương trình sau theo tham s thc m mx+ y + z = 1  x+ my + z = 1  x+ y + zm = 1. Gii. Tính đnh thc h s ca h phương trình đã cho: m 1 1 D=1 m 1 =− ( m 1)(2 m + 2) . 1 1 m 1) Nu m≠1, m ≠ 2 thì D ≠ 0, do đĩ h đã cho là h Cramer và cĩ nghim duy nht. Vì x,y,z cĩ vai trị bình đng trong h phương trình cho nên: 36
37. 37 m 1 1 1m 1 D1 1 m ( m − 1)2 1 x=== y z x = = D D( mm− 1)(2 + 2) m + 2 2) Nu m =1 thì h tr thành: x+ y + z = 1 Do đĩ, h cĩ vơ s nghim: (,,)(,,1xyz= ab −− ab ); ∀∈ ab ,ℝ . 2) Nu m =2 thì h tr thành: −2x + y += z 1   x−2 y + z = 1   x+ y −2 z = 1. Cng ba phương trình ca h li ta cĩ: 0x+ 0 y + 0 z = 3 . Do đĩ, trong trưng hp này h phương trình vơ nghim. 37