Giáo trình Sóng gió (Phần 1) - Vũ Thanh Ca

110 trang ngocly 2390

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sóng gió (Phần 1) - Vũ Thanh Ca", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_song_gio_phan_1_vu_thanh_ca.pdf

Nội dung text: Giáo trình Sóng gió (Phần 1) - Vũ Thanh Ca

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI SÓNG GIÓ VŨ THANH CA HÀ NỘI – 11/2010 1
Giới thiệu về tác giả Giáo trình Sóng gió được PGS. TS. Vũ Thanh Ca biên soạn bằng Tiếng Anh cùng với GS. J.A. Battjes tại Đại học Công nghệ Delft năm 2002 trong khuôn khổ dự án Nâng cao Năng lực ngành Kỹ thuật Bờ biển tại trường Đại học Thuỷ lợi. Từ năm 2006 giáo trình được dịch ra Tiếng Việt và được dùng làm tài liệu giảng dạy cho ngành Kỹ thuật Bờ biển tại trường Đại học Thuỷ lợi. PGS. TS. Vũ Thanh Ca tốt nghiệp Đại học Quốc gia Hà Nội chuyên ngành Hải dương học năm 1980. Sau khi tốt nghiệp đại học, ông có thời gian phục vụ trong quân đội sau đó về công tác tại Trung tâm Khí tượng Thuỷ văn Biển. Năm 1990 ông sang học và nhận bằng Thạc sĩ Kỹ thuật Bờ biển tại Học viện công nghệ Châu Á. Từ năm 1990 đến 1994, ông làm nghiên cứu sinh ngành Kỹ thuật Môi trường tại Đại học Saitama (Nhật Bản). Sau khi nhận bằng Tiến sĩ, TS. Vũ Thanh Ca đã ở lại giảng dạy và trở thành Phó giáo sư tại Đại học Saitama năm 1996. Năm 2002 ông trở về công tác tại Trung tâm Khí tượng Thuỷ văn Biển, sau đó là Viện Khoa học Khí tượng, Thuỷ văn và Môi trường. Từ năm 2008 ông đảm nhận chức vụ Viện trưởng Viện Nghiên cứu, Quản lý Biển và Hải đảo thuộc Tổng cục Biển và Hải đảo. PGS. TS. Vũ Thanh Ca hoạt động rộng và có nhiều bài viết xuất bản trong các lĩnh vực động lực học sông, cửa sông và ven biển; vận chuyển bùn cát; cấu trúc rối, truyền nhiệt, quan trắc và mô hình hoá lớp biên khí quyển. PGS. TS. Vũ Thanh Ca tham gia giảng dạy môn học Sóng Gió cho ngành Kỹ thuật Bờ biển tại Đại học Thuỷ lợi. Địa chỉ liên hệ: PGS. TS. Vũ Thanh Ca Viện Nghiên cứu Quản lý Biển và Hải đảo 28 Phạm Văn Đồng, Dịch Vọng, Cầu Giấy, Hà Nội Điện thoại: (04) 3761 8216 E-mail: ca_vuthanh@yahoo.com 2
LỜI GIỚI THIỆU CHO LẦN XUẤT BẢN THỨ NHẤT Giáo trình Sóng Gió được biên soạn và dùng cho sinh viên năm thứ ba ngành Kỹ thuật Bờ biển, Trường đại học Thuỷ lợi. Giáo trình này cũng có thể được dùng để giảng dạy cho các chương trình sau đại học của các ngành liên quan. Ngoài ra, cuốn sách này cũng có thể được dùng làm tài liệu tham khảo cho các nghiên cứu sóng gió phục vụ cho khai thác và bảo vệ các nguồn lợi biển. Giáo trình này được biên soạn với sự tài trợ của Chính phủ Hà Lan trong khuôn khổ Dự án HWRU/CE. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. J.A. Battjes về những góp ý cho nội dung của giáo trình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến nhiều người khác như GS.TS. Lê Kim Truyền - Hiệu trưởng Trường đại học Thuỷ lợi, PGS.TS. Vũ Minh Cát, GS. K. d’Angremond, TS. Van de Graaf, ông K. Pilarczyk, TS. J. van Dijk, cô Van der Varst và nhiều đồng nghiệp khác tại Trường đại học Thuỷ lợi đã giúp đỡ và hỗ trợ nhiệt tình cho việc biên soạn và chỉnh lý cuốn giáo trình này. 3
CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG 1.1 Mục đích và nội dung của giáo trình Giáo trình này có mục đích trình bày một cách tương đối chi tiết những vấn đề liên quan tới việc tạo ra, lan truyền, biến dạng và tiêu tán của sóng gió. Nội dung của giáo trình này nằm trung gian giữa một giáo trình lý thuyết cơ sở và một giáo trình thực hành dành cho kỹ sư. Lý thuyết toán học tuyến tính về sóng tiến hình sin và phương pháp thống kê mô tả sóng gió được trình bày chi tiết bởi vì chúng cung cấp cơ sở để hiểu về các quá trình sóng. Các quá trình sóng khác được trình bày khá sơ lược vì chúng quá phức tạp (như mô hình số trị về sự lan truyền và biến dạng của sóng trong vùng ven bờ), hoặc là vì những lý thuyết toán học về chúng không tồn tại (thí dụ hiện tượng sóng vỡ). Sinh viên học giáo trình này cần có những kiến thức cơ bản về giải tích và cơ học chất lỏng. Tuy nhiên, để giúp đỡ sinh viên có thể hiểu được những phương trình cơ bản của động lực học sóng, những phương trình cơ bản và cần thiết của cơ học chất lỏng sẽ được rút ra và phân tích trong Chương 2. 1.2 Sóng đại dương Rất khó tìm thấy một mặt nước thoáng trong tự nhiên mà không có sóng. Các sóng này là sự thể hiện của các lực tác động lên mặt nước, chống lại những lực có xu hướng giữ cho mặt nước nằm ngang là trọng lực và sức căng mặt ngoài. Các lực này có thể là những lực gây nên bởi một cơn gió giật, hay lực gây nên bởi một hòn đá rơi xuống mặt nước. Các lực này sẽ tạo ra sóng, và trọng lực và sức căng mặt ngoài sẽ làm cho sóng lan truyền. c ướ ệ t ng ặ ng ng l ừ ọ ỷ dài dài ỳ ng m ai tr c sóng l ọ Sóng gió và ự l c ă ngòai ngòai ứ Sóng ng Sóng chu k ng sóng (t Sóng s ượ ng l nh) ă ị N đ Tần số (vòng/s) Hình 1. 1: Sơ đồ phân bố năng lượng sóng theo tần số (Massel, 1996) Nói chung, các sóng trong đại dương có thể được phân chia thành 5 loại: sóng âm, sóng sức căng mặt ngoài, sóng trọng lực, sóng nội và sóng có quy mô hành tinh. Sóng âm gây ra do tính nén được của nước biển. Sóng trọng lực là do lực trọng trường 4
tác động lên các hạt nước đã bị dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng trên bề mặt biển hay là trên một bề mặt đẳng địa thế bên trong một chất lỏng phân tầng (sóng mặt hay sóng nội). Tại bề mặt tiếp xúc giữa khí và nước, sự kết hợp của rối do gió và lực căng mặt ngoài tạo ra sóng sức căng mặt ngoài với tần số lớn. Mặt khác, sóng có quy mô hành tinh hay sóng Rossby được tạo ra bởi những biến đổi của độ xoáy thế trong tình trạng cân bằng, gây ra bởi những thay đổi của độ sâu hoặc vĩ độ. Tất cả những dạng sóng trên có thể xảy ra đồng thời, tạo ra những dạng dao động phức tạp. Bảng 1.1: Chu kỳ và cơ chế thành tạo của các loại sóng khác nhau Dạng sóng Cơ chế vật lý thành tạo Chu kỳ Sóng sức căng Sức căng mặt ngoài < 10-1 s mặt ngoài Sóng gió Ứng suất cắt của gió, trọng lực < 15 s Sóng lừng Sóng gió < 30 s Sóng đập Nhóm sóng 1 - 5 min Seiche Thay đổi về trường gió 2 - 40 min Cộng hưởng cảng Sóng đập, seich 2 - 40 min Tsunami Động đất, đất đá lở 10 min - 2 h Nước dâng bão Ứng suất gió và biến đổi của áp suất không 1 - 3 days khí Sóng triều Trọng lực gây ra do tác động của mặt trăng, 12 - 24 h mặt trời và lực ly tâm do trái đất quay Dải tần số liên quan đến ngoại lực rất rộng và những phản ứng của bề mặt đại dương có một dải bước sóng và chu kỳ đặc biệt rộng, từ các sóng sức căng mặt ngoài có chu kỳ nhỏ hơn 1s, sóng gió và sóng lừng có chu kỳ tới chừng 15s, tới những sóng triều và sóng nước dâng do gió có chu kỳ vài giờ tới vài ngày. Hình 1.1 và Bảng 1.1 trình bày sơ đồ phân bố năng lượng sóng bề mặt theo tần số cũng như cơ chế hình thành các sóng này. Hình vẽ này cho ta khái niệm về tầm quan trọng tương đối của các dạng dao động khác nhau của bề mặt biển, nhưng không nhất thiết phản ánh năng lượng thực sự của mỗi sóng ở một vùng nào đó. Sóng trọng lực có tầm quan trọng lớn nhất đối với những hoạt động kỹ thuật trên biển, vì ảnh hưởng của sóng do gió gây ra đối với các công trình biển là nguy hiểm nhất. Các công trình biển cần được thiết kế sao cho chúng có khả năng chịu đựng tất cả các lực và vận tốc dòng nước do các sóng đó gây ra. Một hiểu biết đầy đủ về tương tác của sóng với các công trình ngoài khơi hiện nay đã trở thành một yếu tố quyết định cho việc tính toán thiết kế các công trình biển bền vững với chi phí tiết kiệm nhất. Thủ tục tính toán áp lực sóng nói chung bao gồm những bước sau đây: a) thiết lập chế độ 5
sóng gần công trình b) đánh giá những điều kiện sóng thiết kế cho công trình và c) lựa chọn và áp dụng một mô hình tính sóng để xác định tải trọng của lực tác động lên công trình. Để thực hiện các việc trên, cần biết kiến thức về sóng bề mặt. Vai trò của sóng đối với môi trường vùng ven biển cần được đánh giá đúng. Sóng tiến tới bờ, vỡ và tiêu tán năng lượng trên bãi cát. Sóng gió và sóng bão tác động những lực rất lớn lên các công trình tự nhiên và nhân tạo ven bờ. Dòng ven do sóng tạo ra kết hợp với các dòng chảy có nguyên nhân khác vận chuyển trầm tích và tạo ra những khu vực bồi và xói. Kiến thức về chuyển động sóng và cán cân bùn cát cho ta chìa khóa để lựa chọn đúng đắn phương pháp và loại công trình cần thiết cho bảo vệ bờ. Những dạng khác của sóng đại dương, như sóng với quy mô hành tinh, sóng triều và nước dâng do gió, bão, sóng nội và sóng giao thoa tại vùng bờ, có vai trò nhỏ hơn đối với ngành kỹ thuật bờ biển và đại dương sẽ không được trình bày ở trong giáo trình này. 1.3 Các định nghĩa cơ bản Đỉnh Vận tốc truyền sóngc Bước sóng L Độ cao sóng H Mực nước trung bình h Bụng Đáy biển Hình 1.2 Các thông số để định nghĩa một sóng Các thông số cần thiết để định nghĩa một sóng bề mặt được trình bày trên hình 1.2. Như đã chỉ ra trên hình, mực nước cao nhất trong một sóng được gọi là đỉnh sóng, mực nước thấp nhất được gọi là bụng sóng. Khoảng cách giữa một bụng sóng và một đỉnh sóng liên tiếp được gọi là độ cao sóng (H). Một nửa của độ cao sóng là biên độ sóng a. Khoảng cách nằm ngang giữa hai đỉnh sóng liên tiếp được gọi là bước sóng L. Đối với một sóng tiến, thời gian để hai đỉnh sóng liên tiếp tới một điểm cố định trong không gian được gọi là chu kỳ sóng T. Tốc độ di chuyển của đỉnh một sóng tiến được gọi là vận tốc pha hay vận tốc truyền sóng. Các sóng có chu kỳ và độ cao tại một vị trí không thay đổi theo thời gian được gọi là sóng điều hòa. Sóng trong tự nhiên rất hiếm 6
khi là sóng điều hòa và truyền theo một hướng cố định. Nếu một sóng ký được đặt đâu đó tại một điểm ở giữa đại dương để đo mực nướcζ như là hàm của thời gian thì kết quả đo sẽ giống như trong Hình 1.3. Các sóng biểu diễn trên hình này được gọi là sóng ngẫu nhiên. Sóng do gió tạo thành độ ngẫu nhiên rất cao, nhưng sau khi lan truyền một quãng đường dài, chúng trở thành các sóng lừng có tính chất gần sóng điều hòa hơn. ζ ()t Hình 1.3 Thí dụ về một giản đồ sóng ký z z=z(x,y,t) y x MWL (z=0) w v u z = - h Hình 1.4 Hệ tọa độ Để có thể mô tả chuyển động sóng, ta nhất thiết phải xác định một hệ tọa độ. Một hệ tọa độ Cartesian thông thường được dùng để mô tả chuyển động sóng được vẽ trên Hình 1.4. Như đã chỉ ra trên hình, hệ tọa độ có gốc đặt tại mực nước trung bình (z=0), và có trục x nằm ngang hướng theo phương truyền sóng và trục z hướng lên trên. Mực nước tự do trên MWL được ký hiệu làζ , và phương trình mô tả bề mặt thoáng trở thành z= ζ () x,, y t , với t là thời gian. 1.4 Sóng ngắn và sóng dài Theo quan điểm thuỷ lực, có thể phân chia dòng chảy thành những dạng khác nhau dựa trên tầm quan trọng tương đối của các thành phần khác nhau trong cán cân động lượng. Nếu như ta xét đến động lượng theo phương thẳng đứng, có thể phân biệt dòng chảy thành dòng chảy với gia tốc theo phương thẳng đứng nhỏ tới mức có thể bỏ qua, 7
và dòng chảy với gia tốc theo phương thẳng đứng lớn đáng kể và không thể bỏ qua. Trong thuỷ lực của dòng chảy dừng trong kênh hở, các loại dòng chảy nêu trên tương ứng là dòng chảy đều hay dòng chảy biến đổi chậm (đường cong nước vật) hoặc là dòng chảy dừng biến đổi nhanh (dòng chảy qua miệng cống, dòng chảy qua đập v.v.). Trong dòng chảy biến đổi chậm, tốc độ biến đổi của vận tốc theo không gian là nhỏ. Nói một cách khác, bán kính cong của các đường dòng trong mặt phẳng thẳng đứng lớn hơn độ sâu nước rất nhiều. Điều này có nghĩa là gia tốc theo phương thẳng đứng là không đáng kể, và như vậy phân bố áp suất theo phương thẳng đứng rất gần với áp suất tĩnh. Khi đó, áp suất do sóng gây ra có thể coi là đồng nhất theo phương thẳng đứng. Gradient áp suất sẽ có xu hướng duy trì một dòng chảy đồng nhất theo phương thẳng đứng. Tuy rằng điều này có nghĩa là trong trường hợp này, ảnh hưởng của lực cản đáy trở nên đáng kể và như vậy lớp biên sát đáy sẽ tạo ra một dòng chảy không đồng nhất theo phương thẳng đứng, việc lấy trung bình dòng chảy theo phương thẳng đứng là hoàn toàn chấp nhận được. Kết quả là tọa độ thẳng đứng như một biến độc lập bị loại khỏi bài toán. Sự khác biệt giữa dòng chảy biến đổi chậm và dòng chảy biến đổi nhanh cũng giống như sự khác biệt giữa sóng ngắn và sóng dài (thực ra thì sóng dài có thể coi là dòng chảy biến đổi chậm không dừng). Các khác biệt này được tập hợp trong Bảng 1.2 và được giải thích trên hình 1.5. Bảng 1.2 Sự khác biệt giữa dòng chảy dừng biến đổi chậm (sóng dài) và dòng chảy dừng biến đổi nhanh (sóng ngắn) Tính chất dòng chảy Dòng chảy dừng biến đổi Dòng chảy dừng biến đổi chậm và sóng dài nhanh và sóng ngắn Độ cong theo phương Yếu Mạnh thẳng đứng của các đường dòng Không đáng kể Đáng kể Gia tốc thẳng đứng Xấp xỉ thuỷ tĩnh Tính phi thuỷ tĩnh rất Phân bố áp suất đáng kể Gần như đồng nhất (ngoại Rất không đồng nhất Profile vận tốc trừ lớp biên đáy) Đáng kể Không đáng kể Lực cản đáy 8
(p) (u) (p) (u) a) Sóng dài b) Sóng ngắn Hình 1.4 Profile áp suất (p) và vận tốc (u) bên dưới sóng dài và sóng ngắn CÂU HỎI 1. Hãy xác định khoảng chu kỳ của các loại sóng sức căng mặt ngoài, sóng gió và sóng lừng, sóng ngoại trọng lực, sóng dài. 2. Sự khác nhau về bản chất giữa sóng gió và sóng sức căng mặt ngoài là gì? 3. Sự khác nhau cơ bản giữa sóng ngắn và sóng dài là gì? 9
CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG 2.1 Các phương pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng Có hai phương pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng. Phương pháp thứ nhất là phương pháp Lagrange. Phương pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theo thời gian. Phương pháp thứ hai là phương pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tính chất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian. Trong bài giảng này, chỉ trừ khi nói rõ ràng, ta mặc nhiên thừa nhận là phương pháp Euler sẽ được dùng để mô tả chuyển động của chất lỏng do tính thuận tiện của nó. Trong phương pháp này, một hệ tọa độ cần được thiết lập và chuyển động của chất lỏng đối với hệ tọa độ đó sẽ được xem xét. Hệ tọa độ này có thể là hệ tọa độ được vẽ trên hình 1.4 hoặc trên hình 2.1. 2.2 Đạo hàm thời gian Giả thiết rằng ta dùng phương pháp Lagrange để mô tả chuyển động của chất lỏng và khảo sát sự thay đổi của một tính chất vật lý s của một hạt lỏng chuyển động cùng với chất lỏng. Tốc độ thay đổi toàn bộ của tính chất vật lý này có thể được chia thành hai phần: một phần biểu thị thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại vị trí cho trước và một phần biểu thị sự thay đổi của tính chất vật lý gây ra do sự thay đổi vị trí của hạt lỏng. Như vậy, có thể viết phương trình sau: ds ∂s ∂s = + ui (2.1) dt ∂t ∂xi Ở đây, quy định Eistein về việc tổng được lấy theo chỉ số lặp lại trong một số hạng đơn đã được áp dụng. Trong phương trình (2.1), ký hiệu d/ dt biểu thị tốc độ thay đổi toàn phầncủa tính chất vật lý s của hạt lỏng và được coi là đạo hàm toàn phần hoặc là đạo hàm Lagrange. Ký hiệu ∂ / ∂t biểu thị tốc độ thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại một điểm cố định và được gọi là tốc độ thay đổi địa phương theo thời gian của tính chất vật lý đó. 2.3 Phương trình thể tích kiểm tra Hình 2.1 chỉ ra một thể tích kiểm tra cố định trong không gian trong một hệ tọa độ cho trước. Tại một thời gian cho trước t nào đó, một khối chất lỏng lấp đầy thể tích kiểm tra này. Một lát sau, tại thời điểm t + Dt, một phần của khối chất lỏng này đã chảy ra khỏi thể tích kiểm tra và chất lỏng từ ngoài thể tích kiểm tra sẽ chảy vào trong để thay thế. 10
z Thể tích kiểm tra y x O Hình 2.1 Thể tích kiểm tra và khối chất lỏng tại các thời điểm t và t + Dt. Giả thiết là B biểu thị tổng lượng của một tính chất nào đó của chất lỏng (như khối lượng, động lượng hay nhiệt lượng v.v.) chứa trong thể tích kiểm tra V. Ký hiệu b là lượng của B trên một đơn vị khối lượng (mật độ của B) sao cho B= ∫ ρ bdV (2.2) V Định luật bảo toàn của tính chất vật lý yêu cầu rằng tốc độ thay đổi tổng cộng của tính chất vật lý bên trong thể tích kiểm tra bằng tốc độ thay đổi địa phương của tính chất vật lý cộng với tốc độ của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra trừ đi tốc độ của tính chất vật lý đi vào trong thể tích kiểm tra. Điều này khi thể hiện bằng phương trình thì có thể được viết như sau: dB ∂ BB− = ρbdV + lim out in (2.3) ∫ Δt →0 dtCV ∂ t Δt Ở đây Bout và Bin lần lượt là lượng của tính chất vật lý ra khỏi và đi vào thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian Δt . Hình 2.2 Một diện tích vô cùng bé trên bề mặt của thể tích kiểm tra Bởi vì tính chất B chuyển động cùng với chất lỏng, tốc độ chảy ra của B từ thể tích kiểm tra chỉ có thể là hàm số của vận tốc dòng chảy trên bề mặt thể tích kiểm tra. Như chỉ ra trên hình 2.2, khối lượng chất lỏng chảy ra khỏi thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian Dt qua một diện tích rất nhỏ trên bề mặt thể tích kiểm tra 11
là ρ()ur⋅ n r Δ A Δ t với nr là vector đơn vị vuông góc với phần tử bề mặt ΔAvà hướng ra ngoài. ()ur⋅ n r ký hiệu tích vô hướng của hai vector. Đại lượng B chảy ra khỏi phần tử bề mặt trong khoảng thời gian vô cùng bé này sẽ là ρb( ur ⋅ nr)Δ AΔ t . Tích phân trên toàn bộ bề mặt cho ta: BB− lim out in =ρb() ur ⋅ n r dA (2.4) Δt →0 ∫ Δt S Như vậy, phương trình (2.3) có thể được viết là: dB ∂ = ∫ρbdV+ ∫ ρ b() ur ⋅ n r dA (2.5) dtCV ∂ t S với S là diện tích của bề mặt thể tích kiểm tra. Nếu như không có điểm nguồn hoặc điểm hút của tính chất vật lý ở bên trong thể tích kiểm tra thì ta sẽ có phương trình sau: dB ∂ = ∫ρbdV+ ∫ ρ b() ur ⋅ n r dA = 0 (2.6) dtCV ∂ t S Tại điểm này, ta có được phương trình bảo toàn cho thể tích kiểm tra. Tuy nhiên, rất khó đánh giá từng số hạng trong phương trình (2.6). Để có thể làm được điều này, như đã chỉ ra trên hình 2.3, thể tích kiểm tra được chia nhỏ thành một số vô hạn các thể tích kiểm tra vô cùng bé. Sau đó, thay vì khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra, ta khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi mỗi thể tích kiểm tra vô cùng bé. Tốc độ chảy ra khỏi một thể tích như thế này trừ đi tốc độ chảy vào thể tích này là ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u y ⎞ ⎛ ∂u ⎞ x ⎜ ⎟ z ⎜u x + Δx⎟Δ y Δ z +⎜ u y + Δy⎟Δ x Δ z +⎜ u z + Δz⎟ΔΔ y x ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ (2.7) ⎛ ∂u ∂u y ∂u ⎞ r ⎜ x z ⎟ r −()ux Δ y Δ z + uy Δ x Δ z + uz Δ x Δ y = ⎜ + + ⎟Δx Δ y Δ z =() ∇ ⋅ u Δ V ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ r r r r r r r Ở đây ∇ =i ∂/// ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z với i, j và k lần lượt là các vector đơn vị theo các hướng x, y và z. Lấy tổng của tất cả tốc độ chảy ra từ mỗi thể tích kiểm tra với giới hạn là thể tích của mỗi phần tử tiến tới zero sẽ cho ta tốc độ chảy ra từ thể tích kiểm tra. Sau đó, dùng định lý phân kỳ để liên hệ giữa các tích phân thể tích và bề mặt, ta có: r ∫ρb() ur ⋅ nr dA = ∫ ∇ ⋅ (ρbur) dV (2.8) S CV Như vậy, từ các phương trình (2.5), (2.6) và (2.8), ta có thể rút ra phương trình sau: 12
⎡ ∂ r r ⎤ ∫ ⎢ ()ρb+ ∇ ⋅ ( ρ bu )⎥ dV = 0 (2.9) CV ⎣∂t ⎦ Hình 2.3 Các thể tích vô cùng bé bên trong thể tích kiểm tra Bởi và thể tích kiểm tra CV là tuỳ ý chọn, rõ ràng là nếu có một điểm trong không gian mà tại đó đại lượng trong ngoặc vuông bên vế trái của phương trình (2.9) khác zero, ta có thể điều chỉnh thể tích kiểm tra sao cho nó chỉ chứa điểm này. Điều này có nghĩa là tích phân bên vế trái của phương trình (2.9) khác zero và phương trình này không được thỏa mãn đối với thể tích kiểm tra này. Như vậy, để đảm bảo là phương trình (2.9) được thỏa mãn cho toàn bộ miền tính, đại lượng trong ngoặc vuông ở vế trái của phương trình (2.9) phải là zero tại tất cả mọi điểm trong miền nghiên cứu. Hay nói cách khác ∂ r ()ρb+ ∇⋅ ( ρ bur ) = 0 (2.10) ∂t u2.4 Định l ật bảo toàn vật chất và phương trình liên tục Nếu như đại lượng vật lý nói ở trên được lấy là khối lượng chất lỏng thì b trong phương trình (2.10) bằng 1, và phương trình bảo toàn vật chất trở thành ∂ρ r r ∂ρ ∂ + ∇ ⋅()ρu = 0 hoặc + ()ρui = 0 (2.11) ∂t ∂t∂ xi Phương trình (2.11) thường được gọi là phương trình liên tục của dòng chảy lỏng. 2.5u Định l ật bảo toàn động lượng và phương trình chuyển động 2.5.1 Phương trình chuyển động của Cauchy Phương trình chuyển động được rút ra bằng cách liên hệ B với động lượng của toàn hệ thống. Động lượng là một đại lượng vector, là tích của khối lượng và vận tốc. Như vậy, b là vector vận tốc ur . Từ định luật chuyển động của Newton, tốc độ thay đổi của động lượng trong một hệ với khối lượng bất biến bằng lực tác dụng: r dB r = F (2.12) dt r Ở đây F là lực tác dụng lên hệ. Như vậy bằng cách sử dụng phương trình 13
(2.12), phương trình (2.5) trở thành: r ∂ F = ∫()ρur dV+ ∫ ρ u r ( u r ⋅ n r ) dA (2.13) CV ∂t S r Trong đó F là tổng của tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng trong thể tích r kiểm tra. Ký hiệu lực tác động lên một đơn vị khối lượng lỏng (mật độ lực) là f , ta có: r r F= ∫ fdV (2.14) CV Dùng định lý phân kỳ và phương trình (2.14), có thể viết phương trình (2.13) cho mỗi thành phần trên mỗi hướng như sau: ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎢ f − ()ρu − ()ρu u⎥ dV = 0 (2.15) ∫ i ∂t i ∂x i j CV ⎣⎢ j ⎦⎥ Bởi vì thể tích kiểm tra là tuỳ ý, từ phương trình (2.15) ta có thể rút ra phương trình sau: ∂ ∂ ()ρui + (ρui u j) = f i (2.16) ∂t ∂x j Dùng phương trình liên tục (Eq. 2.11), ta có thể viết lại phương trình (2.16) như sau: ∂ui ∂ui ρ+ ρu j = f i (2.17) ∂t ∂x j Hình 2.4 Lực áp suất theo hướng x Phương trình (2.17) là phương trình Cauchy của chuyển động của chất lỏng. Số hạng đầu tiên trong vế trái của phương trình biểu thị tốc độ thay đổi địa phương của động lượng tại một điểm trong khi số hạng thứ hai biểu thị tốc độ thay đổi của động lượng tại điểm đó gây ra do dòng chảy (ảnh hưởng của hiện tượng bình lưu). Đối với bài toán sóng trọng lực bề mặt, chỉ có áp suất, ứng suất cắt và trọng lực là cần được xem xét. Áp suất dư tác động lên một đơn vị thể tích của chất lỏng có thể tìm được dễ dàng bằng cách xem xét hình lập phương vô cùng bé như chỉ ra trên hình 2.4. Trong hình, chỉ có lực áp suất tác động lên các bề mặt vuông góc với trục x là được vẽ. Lực áp suất dư tác động theo hướng x lên một đơn vị thể tích là: 14
1 ⎡ ⎛ ∂p ⎞ ⎤ ∂p ⎢ pΔ y Δ z −⎜ p + Δx⎟ΔΔ y z⎥ = − (2.18) ΔV ⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎦ ∂x Ứng suất cắt tác động theo hướng x lên một thể tích vô cùng bé được chỉ ra trên hình 2.5. Trong hình, chỉ số thứ nhất củaτ chỉ trục tọa độ vuông góc với bề mặt của hình lập phương và chỉ số thứ hai chỉ ra hướng của thành phần của ứng suất. Thành phần của ứng suất tác động theo hướng vuông góc với bề mặt được bao hàm trong áp suất và như vậy không được tính đến. Như đã chỉ ra trong hình, lực dư trên một đơn vị thể tích do ứng suất nhớt gây ra theo hướng i là: ⎛ ∂τ ∂τ ∂τ ⎞ ∂τ f = −⎜ xi + yi + zi ⎟ = − ji (2.19) ()i τ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x∂ y∂ z⎠ ∂ x j Trọng lực theo hướng i là tích của trọng lượng của phần tử được xem xét nhân với cosine của góc giữa phương thẳng đứng và hướng i. ∂h ()fi g = −ρ g (2.20) ∂xi Ở đây, chiều dương của h hướng lên phía trên. Tiếp theo, dùng các phương trình từ (2.18) tới (2.20), phương trình (2.17) trở thành ∂ui ∂ui ∂p ∂h ∂τ ji ρ+ ρu j = − − ρg − (2.21) ∂t ∂x j ∂xi ∂xi ∂ x j Hình 2.5 Ứng suất cắt theo hướng x trên thể tích vô cùng bé Phương trình (2.21) chứa tensor ứng suất cắtτ . Để có thể viết được phương trình này dưới dạng áp dụng được, tensor này nhất định phải được biểu thị dưới dạng những đại lượng cơ bản như vận tốc và những đạo hàm của nó. Để có thể làm được việc này, ta phải khảo sát kỹ các đặc tính của chất lỏng chuyển động. 2.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng 0 r 0 Hãy xem xét một điểm xi trong một chất lỏng mà tại đó vận tốc là u (xem 15
0 r 0 r hình 2.6). Tại một điểm lân cận với tọa độ là xi + Δ x , vận tốc là u+ Δ u . Giả thiết rằng ur là một hàm liên tục của các biến không gian thì ta có thể khai triển Taylor 0 hàm này tại lân cận điểm xi như sau: r 2 r 2 r0 r r 0 ∂u ∂ u (Δxi ) u+ Δ u = u + Δxi + 2 + (2.22) ∂xi ∂xi !2 Bỏ qua các số hạng bậc hai và nhỏ hơn, từ phương trình (2.22) ta có thể rút ra phương trình sau: ∂ui Δui = Δx j (2.23) ∂x j Hay, bằng cách cộng vào và trừ đi những số hạng giống nhau vào vế phải của phương trình (2.23), ta có: 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ Δu = ⎜ i + j ⎟Δx + ⎜ i − j ⎟Δx (2.24) i ⎜ ⎟ j ⎜ ⎟ j 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ Như vậy tensor ∂ui/ ∂ x j đã được chia thành một tensor bất đối xứng ωij và một tensor đối xứng dij lần lượt được định nghĩa như sau: 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω = ⎜ i − j ⎟ (2.25) ij ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω = ⎜ i − j ⎟ (2.26) ij ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠ Hình 2.6 Chuyển động của những điểm lân cận 16
Hình 2.7 Một phần tử lỏng ở vị trí ban đầu Thời điểm t+Δt Hình 2.8 Chuyển động của phần tử lỏng Hãy xem xét một phần tử lỏng hình chữ nhật với một góc nằm tại gốc tọa độ, như trên hình 2.7. Chất lỏng chuyển động với vận tốc biến đổi trong không gian và vận tốc chuyển động của chất lỏng tại gốc tọa độ là ur 0 , vận tốc tại điểm a là ur a = ur 0 +() ∂ ur / ∂ y Δ y , và vận tốc tại điểm c là ur c = ur 0 +( ∂ ur / ∂ x) Δ x . Hãy xem xét hạt lỏng này sau một khoảng thời gian Dt, như thấy trên hình 2.8. Điểm o chuyển động được một quãng đường ur 0 Δ t , điểm a chuyển động được một quãng đường ur a Δ t , v.v. Bởi vì vận tốc chuyển động tại các điểm khác nhau nói chung là khác nhau một chút, phần tử lỏng đã bị biến dạng và không còn là hình chữ nhật nữa. Để có thể thấy rõ tính chất của sự biến dạng này, trước hết ta hãy xem xét trường hợp ∂u ∂u ∂u ∂u x = − y và x = y = 0 (2.27) ∂y ∂x ∂x ∂y Bởi vì không có sự biến đổi vận tốc chuyển động theo hướng x dọc theo trục x, các cạnh a-b và o-c không dài ra và cũng không ngắn đi; tương tự, các cạnh o-a và b-c cũng giữ nguyên chiều dài. Sau một khoảng thời gian Dt, hạt lỏng trở thành hình dạng như trên hình 2.9. Điểm a đã chuyển động được một quãng đường dài hơn một khoảng là ∂ux / ∂ y Δ y Δ t theo hướng x so với điểm o, và điểm c đã chuyển động được một quãng đường dài hơn một khoảng là ∂uy / ∂ xΔ xΔ t theo hướng y so với điểm o. Góc giữa cạnh o-a và phương thẳng đứng là∂ux / ∂ yΔ t ; góc giữa cạnh o-c và phương nằm ngang là ∂uy / ∂ xΔ t . Như vậy, với những giả thiết như trên, phần tử lỏng đã trải qua một quá trình dịch chuyển vị trí và quay. Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy rằng điều kiện cho chuyển động như thế này làωij ≠ 0 và dij = 0 . Xem xét tiếp tensor ωij ta thấy rằng nó mô tả chuyển động quay của phần tử lỏng. 17
Để định lượng sự biến dạng của phần tử lỏng, một vector xoáy được định nghĩa như sau: 1 r ωr = ∇ × ur (2.28) 2 Với ký hiệu × biểu thị tích vector của hai vector. Thời điểm t+Δt Hình 2.9 Sự quay của phần tử lỏng Bởi vì ωij đã được xác định là vận tốc quay của phần tử lỏng, dij có thể được xem là vận tốc biến dạng của phần tử lỏng. Có nghĩa là ωij biểu thị sự quay của phần tử lỏng như là một vật rắn trong khi đó dij biểu thị sự chuyển động tương đối của các điểm khác nhau trên phần tử lỏng. Như vậy, chuyển động của một chất lỏng bao gồm: 1. một sự di chuyển của chất lỏng như với vật rắn cộng với 2. một sự quay của chất lỏng như với vật rắn (tensor bất đối xứng) cộng với 3. một sự biến dạng (tensor đối xứng). Các hiệu ứng trên được diễn tả bằng một chuyển động đơn giản với vận tốc biến đổi như thấy trên hình 2.10. Một phần tử lỏng gần gốc tọa độ bị biến dạng và quay như trên hình vẽ để tạo ra một dòng chảy như thế này. Hình 2.10 Dòng chảy với vận tốc biến đổi tạo ra chuyển động quay và chuyển động biến dạng thuần túy 18
2.5.3 Mối liên hệ giữa vận tốc biến dạng và ứng suất – Phương trình Navier-Stokes Trong phương trình chuyển động của chất lỏng, tensor ứng suất cắt nhất định phải được liên hệ với những tính chất vật lý của dòng chảy. Cơ sở cho mối liên hệ này là định luật Newton về tính nhớt. Nếu như có một chất lỏng với vận tốc chảy theo hướng trục x chỉ biến đổi theo hướng trục y thì ứng suất cắt tác động lên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với trục y chỉ có một thành phần theo hướng x và được biểu thị như sau: du τ= − μ x (2.29) yx dy Trong đó μ là hệ số tỷ lệ giữa ứng suất nhớt và gradient vận tốc và được gọi là độ nhớt (hay độ nhớt động lực) của chất lỏng. Độ nhớt là một tính chất của chất lỏng và là một hằng số cơ bản theo quan điểm cơ học chất lỏng. Một chất lỏng tuân theo định luật Newton được gọi là chất lỏng Newton. Các chất lỏng không tuân theo định luật này được gọi là các chất lỏng phi Newton. May mắn là nước và không khí trong những điều kiện thông thường nhất là các chất lỏng Newton. Dấu âm trong phương trình (2.29) có nghĩa là động lượng được vận chuyển từ nơi cao (với vận tốc lớn) tới nơi thấp (với vận tốc nhỏ). Dùng định luật Newton về tính nhớt, ta có thể rút ra phương trình chuyển động cơ bản của chất lỏng, phương trình Navier-Stokes như sau du ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂p ∂2u ρi = ρ⎜ i + u i ⎟ = − + μi + ρg ( 2.30) ⎜ j ⎟ 2 i dt ⎝ ∂t ∂x j ⎠ ∂xi ∂xi với gi là thành phần gia tốc trọng trường theo phương i. Phương trình Navier-Stokes có thể viết dưới dạng vector như sau: Δ = ∂2/// ∂x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (2.31) Ở đây Δ = ∂2/// ∂x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 là ký hiệu của toán tử Laplace, và g vector gia tốc trọng trường. Phương trình Navier-Stokes (2.31) biểu thị sự bảo toàn động lượng của chất lỏng. Số hạng đầu tiên trong ngoặc đơn ở vế trái của phương trình này biểu thị tốc độ biến đổi địa phương của động lượng, số hạng thứ hai biểu thị tốc độ biến đổi của động l ượng gây ra do bình lưu (hay đối lưu); số hạng thứ nhất ở vế phải biểu thị sự biến đổi của động lượng gây ra bởi áp suất, số hạng thứ hai biểu thị sự khuyếch tán động lượng gây ra bởi độ nhớt, và số hạng cuối cùng biểu thị sự thay đổi của động lượng gây ra bởi trọng lực. Các phương trình Navier-Stokes cho các thành phần vận tốc dòng chảy theo các hướng (2.30) cùng với phương trình liên tục (2.11) tạo nên một hệ bốn phương trình 19
cho bốn ẩn dùng để mô tả dòng chảy: ba thành phần vận tốc dòng chảy theo ba hướng và áp suất. Đối với các bài toán cơ học chất lỏng nói chung, mật độ của chất lỏng cũng là những đại lượng chưa biết và cần phải được xác định dựa trên phương trình trạng thái. Tuy nhiên, trong các bài toán về sóng gió, mật độ nước có thể xem là không đổi. 2.5.4 Chất lỏng lý tưởng Một chất lỏng có độ nhớt bằng không được gọi là chất lỏng lý tưởng. Đối với loại chất lỏng này, phương trình liên tục và phương trình động lượng có thể được viết như sau: ∂ρ ∂ + ()ρui = 0 (2.32) ∂t∂ xi ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂p ρ⎜ i + u i ⎟ = − + ρg (2.33) ⎜ j ⎟ i ⎝ ∂t ∂x j ⎠ ∂xi Phương trình (2.33) được gọi là phương trình Euler của dòng chảy. Trong các bài toán về sóng, loại trừ sóng vỡ gần bờ, sóng gần công trình và sóng trong nước rất nông, ảnh hưởng của độ nhớt là có thể bỏ qua và nước được coi là chất lỏng lý tưởng. Đối với những vấn đề thuộc động lực sóng, nước có thể được coi là không nén được và như vậy các phương trình (2.32) và (2.33) trở thành: ∂u i = 0 (2.34) ∂xi ∂ui ∂ui 1 ∂p + u j = − + gi (2.35) ∂t ∂x j ρ ∂xi Chuyển động của chất lỏng lý tưởng có thể coi là không xoáy mặc dù trong thực tế nó có thể quay với một tốc độ quay không đổi. Trong trường hợp này, nếu ta xem xét một hạt lỏng hình cầu, ta thấy rằng tất cả các lực là gây ra bởi áp suất và trọng lực mà không có lực gây ra do biến dạng cắt. Như vậy, tất cả các lực phải tác dụng theo hướng vào tâm của hạt lỏng và không có lực nào gây ra (hay buộc dừng lại) chuyển động quay. Điều kiện không có chuyển động quay được biểu thị như sau: ∂u ∂u i − j = 0 (2.37) ∂x j ∂xi Khi một chuyển động là không xoáy, có thể biểu thị dòng chảy bằng thế vận tốc Φ , được định nghĩa như sau: ∂Φ ui = (2.37) ∂xi Thay thế phương trình (2.37) vào (2.36) cho thấy rằng điều kiện không xoáy được tự động thỏa mãn. Ngược lại, thế vận tốc tồn tại chỉ khi nào dòng chảy là không xoáy. 20
Tiếp tục, ta giả thiết rằng ngoài tính không nhớt, chất lỏng là không nén được. Khi đó phương trình liên tục biểu thị phân kỳ bằng không: ∂u i = 0 (2.38) ∂xi Thế (2.37) vào (2.38) cho ta: ∂2 Φ 2 = ΔΦ = 0 (2.39) ∂xi Phương trình này được gọi là phương trình Laplace's. Bài toán dòng chảy không nhớt đã trở thành bài toán với một phương trình cho một ẩn là thế vận tốc Φ . Hơn nữa, phương trình này là tuyến tính trong khi hệ phương trình ban đầu là phi tuyến. Như vậy, các giả thiết (hay phép xấp xỉ) về tính không xoáy và tính không nén được đã cho ta những đơn giản hóa vô cùng lớn. Một khi đã biết thế vận tốc bằng cách giải phương trình (2.39), phương trình chuyển động cho phép ta tính được áp suất. Thế định nghĩa của thế vận tốc, phương trình (2.37) vào phương trình (2.35) cho ta: ∂ ∂Φ ∂Φ ∂2 Φ 1 ∂p + = − + gi (2.40) ∂t∂ xi∂ x j∂ x i ∂ x j ρ ∂xi Số hạng thứ hai của phương trình (2.40) có thể được biểu thị là: ∂Φ ∂2 Φ ∂ ⎛ 1 ∂Φ ∂Φ ⎞ ∂ u u = ⎜ ⎟ = j j (2.41) ⎜ ⎟ ∂xj∂ x i ∂ x j∂ x i ⎝ 2 ∂ xj∂ x j ⎠ ∂ xi 2 2 2 2 2 Chú ý rằng uj u j = u1 + u2 + u3 = u và gia tốc trọng trường chỉ có một thành phần theo phương thẳng đứng, sau khi đã thay đổi thứ tự đạo hàm, phương trình (2.40) có thể được viết lại dưới dạng: ∂ ⎛ ∂Φ 1 2 p ⎞ ⎜ +u + + gz⎟ = 0 (2.42) ∂xi ⎝ ∂ t 2 ρ ⎠ Phương trình (2.42) chỉ ra rằng đại lượng trong ngoặc đơn là không thay đổi theo các tọa độ không gian. Như vậy, nếu như có biến đổi, nó chỉ có thể là hàm của thời gian ∂Φ 1 p +u 2 + +gz = f() t (2.43) ∂t 2 ρ Nếu chuyển động là dừng, vế phải của phương trình này trở thành hằng số. Ta có thể lấy hằng số đó bằng không và rút ra được phương trình sau: 1 p u 2 + +gz = 0 (2.44) 2 ρ Phương trình này được gọi là phương trình Bernoulli, được rút ra với các giả thiết (1) chất lỏng không nén được, (2) dòng chảy không xoáy, và (3) dòng chảy dừng. 21
Với hầu hết các dòng chảy, điều kiện không xoáy có nghĩa là không có ứng suất cắt và như vậy không cần điều kiện là dòng chảy không có ma sát. Với những giới hạn này, phương trình (2.44) là một phương trình cho một điểm (ngược với phương trình dạng tích phân áp dụng cho một thể tích), bởi vì nó được rút ra từ một phương trình vi phân và được áp dụng cho tất cả các điểm trong trường dòng chảy. CÂU HỎI 1. Sự khác nhau cơ bản của các phương pháp mô tả dòng chảy chất lỏng là gì? 2. Các phương trình toán học mô tả dòng chảy dựa trên các định luật cơ bản nào? 3. Các phương trình Euler dựa trên các giả thiết cơ bản nào? 4. Phương trình Laplace thuộc lớp phương trình gì? 5. Các giả thiết cơ bản của phương trình Bernoulli là gì? 22
CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT TUYẾN TÍNH VỀ SÚNG BỀ MẶT TRONG VÙNG NƯỚC CÓ ĐỘ SÂU KHÔNG ĐỔI 3.1 Các phương trình cơ bản và điều kiện biên 3.1.1 Các giả thiết trong lý thuyết sóng tuyến tính Trong chương này và chương 4, chỉ có những lý thuyết cơ bản nhất về sóng đại dương được trình bày. Nói một cách khác, tất cả những hiệu ứng không quan trọng đối với hiện tượng sóng trọng lực bề mặt sẽ bị bỏ qua. Hơn nữa, để đơn giản hóa, các giả thiết sau đây được sử dụng trong lý thuyết sóng tuyến tính: - chất lỏng không nhớt có mật độ không đổi (không nén được và đồng nhất) dưới ảnh hưởng của trọng lực; - không có lực tác động lên bề mặt tự do phía trên của chất lỏng; - có thể bỏ qua sức căng mặt ngoàI; - đáy của chất lỏng là đáy rắn, không thấm nước và nằm ngang; - sóng tuần hoàn, đỉnh dài và lan truyền mà không thay đổi hình dạng. Các thông số độc lập đủ để mô tả chuyển động sóng tương ứng với những giả thiết trên là: - khối lượng riêng (r) - gia tốc trọng trường (g) - độ sâu trung bình (h) - độ cao sóng (H) - bước sóng (L) Độ sâu tương đối h/L là một biến quan trọng để đánh giá ảnh hưởng của đáy lên chuyển động sóng, như đã trình bày trong chương 1. Tỷ số H/L, được gọi là độ dốc sóng, là thước đo cường độ chuyển động sóng. Tỷ số này không thể vượt quá một giá trị cho trước có bậc 10-1, bởi vì hiện tượng sóng vỡ. ζ (,)x t áp suất p Hình 3.1 Hệ tọa độ và các thông số cần thiết Trong chương này, các phương trình cơ bản mô tả chuyển động sóng với những 23
giả thiết trên sẽ được rút ra. Bởi vì sóng được nghiên cứu là sóng tuần hoàn, có đỉnh dài (sóng hai chiều hay sóng đơn) lan truyền mà không thay đổi hình dạng, nếu hướng trục x theo hướng lan truyền của sóng, bài toán biến thành bài toán hai chiều. Như vậy, hệ tọa độ mà chúng ta chọn sẽ giống như trên hình 3.1. Dễ dàng tìm ra rằng với hệ tọa độ này, phương trình mô tả bề mặt tự do khi có một sóng truyền theo hướng trục x với tốc độ truyền sóng c có thể được viết như sau: z= ζ ( x− ct) (3.1) Mối liên hệ giữa bước sóng, vận tốc truyền sóng và chu kỳ có thể được viết như sau: L= cT (3.2) Các biến phụ thuộc mô tả trường dòng chảy khi có sóng là các thành phần vận tốc dòng chảy theo các trục x và z, và áp suất. Các biến này lần lượt được ký hiệu lần lượt là u, w và p. 3.1.2 Điều kiện không nén được – Phương trình liên tục Như đã chỉ ra, bài toán được xem xét có thể coi là bài toán hai chiều. Trong trường hợp này, như đã chỉ ra trong chương 2 (phương trình 2.34), điều kiện không nén được của chất lỏng dẫn đến phương trình liên tục có dạng sau: ∂u ∂v + = 0 (3.3) ∂x ∂y 3.1.3 Các phương trình động lượng Với các giả thiết trong phần (3.1.1), phương trình động lượng cho chuyển động hai chiều của chất lỏng (các phương trình 2.35) khi có sóng có thể được viết như sau: du ∂u ∂u ∂u 1 ∂p = + u + w = − (3.4) dt ∂t ∂x ∂z ρ ∂x dw ∂w ∂w ∂w 1 ∂p = + u + w = − − g (3.5) dt ∂t ∂x ∂z ρ ∂z Các phương trình (3.4) và (3.5) không đối xứng vì có sự xuất hiện của g trong (3.5). Hai phương trình này có thể viết dưới dạng tương tự bằng cách thế g=()() ∂/ ∂ z gz vào (3.5) và cộng thêm một đại lượng bằng không ()()∂/ ∂x gz vào (3.4). Việc này cho ta một phương trình đối xứng: ∂u ∂u ∂u ∂ ⎛ p ⎞ + u + w + ⎜ + gz⎟ = 0 (3.6) ∂t ∂x ∂z∂ x ⎝ ρ ⎠ và: ∂w ∂w ∂w ∂ ⎛ p ⎞ + u + w + ⎜ + gz⎟ = 0 (3.7) ∂t ∂x ∂z∂ z ⎝ ρ ⎠ Vì sóng là sóng hai chiều, chúng ta chỉ đưa ra các điều kiện biên tại mặt thoáng 24
và tại đáy. Điều kiện động học cho chất lỏng không nhớt chỉ ra rằng không có hạt lỏng nào xuyên qua bề mặt bao bọc chất lỏng. Điều này dẫn tới các phương trình sau: w = 0 tại z= − h (3.8) và: dζ w = tại z= ζ ( x, t) (3.9) dt Phương trình (3.9) có thể khai triển thành: ∂ζ ∂ζ w = + u tại z= ζ ( x, t) (3.10) ∂t ∂x Điều kiện biên động lực liên quan tới ứng suất. Bởi vì đáy là cứng nên không một điều kiện biên nào cần thiết tại đáy. Điều kiện không có ứng suất tại mặt thoáng cho ta: p = 0 tại z= ζ ( x, t) (3.11) Điều kiện là ứng suất cắt bằng không tại mặt thoáng không cần đưa ra ở đây vì chất lỏng được giả thiết là không nhớt, và như vậy ứng suất cắt bằng không tại tất cả mọi nơi. Như đã chỉ ra trong chương 2, cường độ xoáy của một chất lỏng lý tưởng bằng hằng số. Như vậy, chuyển động bắt đầu không có xoáy sẽ mãi mãi không xoáy. Đối với một chất lỏng thực khi có sóng, các xoáy có thể được tạo thành trong lớp biên do sóng. Tuy nhiên, ngoại trừ đới sóng vỡ, độ dày của lớp biên khi có sóng là rất nhỏ. Bên ngoài lớp biên mỏng này, dòng chảy do sóng tạo nên có thể coi là không xoáy. Như đã chỉ ra trong chương 2, điều kiện không xoáy đảm bảo sự tồn tại của một thế vận tốc Φ thỏa mãn phương trình Laplace: ∂2 Φ ∂2 Φ + = 0 (3.12) ∂x 2 ∂z 2 Trong trường hợp này, ta có thể đưa hàm f(t) trong vế phải của phương trình Bernoulli (2.43) vào trong thế vận tốc mà không đánh mất tính tổng quát của bài toán. Như vậy, phương trình Bernoulli (2.43) trở thành: ∂Φ 1 p +u 2 + +gz = 0 (3.13) ∂t 2 ρ Với thế vận tốc, các phương trình điều kiện biên cho dòng chảy khi có sóng ((3.8), (3.10) và (3.13)) trở thành: ∂Φ = 0 tại z= − h (3.14) ∂z ∂Φ ∂ζ ∂Φ ∂ζ = + tại z= ζ ( x, t) (3.15) ∂z∂ t∂ x∂ x 25
2 2 ∂Φ 1 ⎡⎛ ∂Φ ⎞ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎤ p + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + +gz = 0 tại z= ζ ( x, t) (3.16) ∂t2 ⎣⎢⎝ ∂ x⎠ ⎝ ∂ z ⎠ ⎦⎥ ρ Đồng thời, ta tuyến tính hóa các phương trình (3.15) và (3.16) bằng cách bỏ qua các số hạng bậc hai, tức là u 2 và v 2 , và các điều kiện biên động lực trên bề mặt (3.15) và (3.16) cho ta các điều kiện biên sau đây: ∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞ = ⎜ ⎟ (3.17) ∂t⎝ ∂ z ⎠ z=ζ 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ζ = − ⎜ ⎟ (3.18) g⎝ ∂ t ⎠ z=ζ Để có thể sử dụng các điều kiện biên này, cần phải giả thiết thêm là biên độ của các sóng là đủ nhỏ để các phương trình (3.17) và (3.18) có thể được đơn giản hóa thành các điều kiện biên: ∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞ = ⎜ ⎟ (3.19) ∂t⎝ ∂ z ⎠ z=0 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ζ = − ⎜ ⎟ (3.20) g⎝ ∂ t ⎠ z=0 Cùng với các điều kiện biên (3.14), (3.19) và (3.20), cần phải chú ý rằng nghiệm vật lý của bài toán truyền sóng phải là điều hòa cả theo biến không gian x và thời gian t. 3.2 Lời giải giải tích của bài toán sóng trọng lực bề mặt Bài toán biên hoàn chỉnh cho sóng trọng lực bề mặt có thể được phát biểu lại như sau. Phương trình vi phân: ∂2 Φ ∂2 Φ + = 0 (3.21) ∂x 2 ∂z 2 với các điều kiện biên: ∂Φ = 0 tại z= − h (3.22) ∂z ∂ζ ⎛ ∂Φ ⎞ = ⎜ ⎟ tại z = 0 (3.23) ∂t⎝ ∂ z ⎠ 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ζ = − ⎜ ⎟ tại z = 0 (3.24) g⎝ ∂ t ⎠ Để giải bài toán này với các điều kiện biên, ta giả thiết rằng thế vận tốc có thể được biểu thị như sau: Φ()x,, z t = X( x) Z( z) T( t) (3.25) Với X, Z và T lần lượt là các hàm chỉ của các biến số x, z và t. Thế (3.25) vào (3.21), chúng ta có: 26
X " Z " = − = −k 2 (3.26) X Z với dấu phẩy kép biểu thị đạo hàm bậc hai và k 2 là một hằng số. Kết quả là ta có hai phương trình vi phân thường: X"+ k2 X = 0 (3.27) Z"− k2 Z = 0 (3.28) Nghiệm của (3.27) và (3.28) là X= Bcos kx+ Dsin kx và Z= Eekz + Ge −kz với B, D, E và G là các hằng số tích phân. Như vậy, nghiệm có thể viết dưới dạng: Φ()(x, z , t = B cos kx + Dsin kx)( Eekz + Ge−kz ) T( t) (3.29) Từ quan điểm vật lý, ta có thể thấy rằng đối với sóng đơn, nghiệm nhất thiết phải là hàm tuần hoàn đơn giản của biến thời gian. Như vậy, có thể biểu thị T(t) bằng các hàm cosω t hay sinω t . Có bốn tổ hợp độc lập của các số hạng thỏa mãn điều kiện tuần hoàn cả với x và t và là nghiệm của phương trình Laplace là: Φ1 = A 1 Z( z )cos kx cosω t (3.30) Φ2 = A 2 Z( z )sin kx sinω t (3.31) Φ3 = A 3 Z( z )sin kx cosω t (3.32) Φ4 = A 4 Z( z )cos kx sinω t (3.33) Triển khai nghiệm dưới dạng này cho phép ta tìm giá trị của các hằng số tích phân. Bởi vì phưong trình Laplace là tuyến tính, một tổ hợp thích hợp của các nghiệm này sẽ thỏa mãn cả phương trình Laplace và các điều kiện biên. Các điều kiện biên (3.22) và (3.24) bây giờ sẽ được áp dụng cho nghiệm (3.30). kz −kz Từ (3.30), ∂Φ1 / ∂z = kA1 ( Ee − Ge)cos kx cosω t . −kh kh Áp dụng điều kiện ∂Φ1 /∂z = 0 tại z= − h cho ta Ee= Ge . Vì vậy: E= Ge2kh (3.34) Từ đó ta có: ek( z+ h) + e − k( z + h) Φ = 2A Ge kh coskx cosω t 1 1 2 (3.35) kh = 2A1 Gecosh k() z+ hcos kx cosω t Áp dụng điều kiện biên tại mặt thoáng ζ 1 = −1/g()∂Φ1 / ∂ t z=0 cho ta kh ζ1 = (2 ωA1 Ge / g) cosh k() z+ hcos kx sinω t . Giá trị cực đại của ζ là biên độ a xảy ra khi coskx sinω t = 1. Như vậy: ag A Gekh = (3.36) 1 2ω cosh kh Và điều này dẫn tới: ζ 1 = a cos kx sinω t (3.37) Phương trình này diễn tả một hệ “sóng đứng” với bước sóng là L= 2π / k và 27
biên độ a. Thế vận tốc Φ1 giờ trở thành: aGcosh k( z+ h) Φ = coskx cosω t (3.38) 1 ω cosh kh Điều kiện cần để cho Φ1 là hàm tuần hoàn của x với bước sóng L là k được định nghĩa là k= 2π / L . Đại lượng này được gọi là số sóng. Có thể tìm các hằng số khác trong các nghiệm cơ bản của Φ bằng phương pháp trên. Kết quả là ta có: agcosh k( z+ h) Φ = coskx cosω t 1 ω cosh kh agcosh k( z+ h) Φ = sinkx sinω t 2 ω cosh kh agcosh k( z+ h) Φ = sinkx cosω t 3 ω cosh kh agcosh k( z+ h) Φ = coskx sinω t 4 ω cosh kh Vì tính chất tuyến tính của phương trình Laplace, một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm trên cũng là nghiệm. Như vậy: agcosh k( z+ h) Φ = Φ - Φ = cos()ω t− kx (3.39) 2 1 ω cosh kh Như ta sẽ chỉ ra dưới đây, phương trình (3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến theo hướng trục x. Từ (3.24) và (3.39), ta có phương trình mô tả mặt nước: 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ζ = − ⎜ ⎟ =asin()ω t − kx (3.40) g⎝ ∂ t ⎠ z=0 Phương trình này tuần hoàn cả theo x và t. Nghiệm này thường được coi là nghiệm sóng tiến. Đại lượng: ψ (,)x t= ω t− kx (3.41) được gọi là pha sóng. Nếu ta chuyển động cùng với sóng sao cho tại tất cả các thời điểm t vị trí tương đối của chúng ta đối với mặt sóng là cố định. Khi đó phaψ (x, t)(= ω t− kx ) sẽ là hằng số. Tốc độ di chuyển của ta phải thỏa mãn điều kiện: dx ω L = = = c (3.42) dt k T c được gọi là vận tốc pha của sóng, hay là vận tốc truyền sóng. Như vậy, phương trình (3.39) là thế vận tốc của một sóng tiến theo hướng trục x. Ta có thể thấy rằng với phương trình (3.39) ta có thể mô tả hoàn chỉnh trường vận tốc bên dưới một sóng. Đồng thời, từ phương trình Bernoulli ta có thể xác định trường áp suất. Bằng cách tương tự, ta có thể tìm được thế vận tốc cho một sóng tiến theo 28
hướng âm của trục x bằng tổ hợp (Φ1+ Φ 2 )như sau: agcosh k( z+ h) Φ = Φ + Φ = cos()kx+ ω t (3.43) 1 2 ω cosh kh Dao động mực nước trong trường hợp này là: ζ = asin( kx+ ω t) (3.44) Tương tự ta có: agcosh k( z+ h) Φ = −() Φ + Φ = cos()kx− ω t (3.45) 3 4 ω cosh kh và: agcosh k( z+ h) Φ = −() Φ − Φ = − cos()kx+ ω t (3.47) 4 3 ω cosh kh ζ = asin() kx+ ω t (3.48) Các thế vận tốc (3.45) và (3.47) lần lượt trùng với (3.39) và (3.43), chỉ có điều là chúng bị lệch pha đối với gốc của hệ tọa độ. Từ biểu thức của thế vận tốc, chúng ta có thể tìm ra một loạt các tính chất của sóng. Tính chất quan trọng nhất là sự phân tán sóng. Trước khi rút ra mối liên hệ phân tán, chúng ta hãy xem xét kỹ thế vận tốc và một số đặc tính vật lý của nó. Chúng ta hãy xem xét một phương pháp đơn giản để tìm hàm thế vận tốc. Giả thiết rằng ta xem xét một sóng tiến. Như vậy, thế vận tốc có dạng Φ ~ ei() kx−ω t và có thể được viết như sau Φ = Z() zRe{ ei( kx−ω t )} (3.49) Ở đây Re biểu thị phần thực của lời giải phức. Như vậy, lời giải thực tế của bài toán có dạng: Φ = Z() zcos( kx−ω t) (3.50) Dùng lời giải này thế vào phương trình Laplace, ta có Z"− k2 Z = 0 (3.51) Lời giải của phương trình này là: Z= Bcosh kz+ Dsinh kz (3.52) Với B và D là các hằng số. Như vậy: Φ = ()Bcosh kz+ Dsinh kz cos( kx −ω t) (3.53) Điều kiện biên được thỏa mãn bởi (3.53) là: ∂Φ = 0 tại z= − h (3.54) ∂z 1 ⎛ ∂Φ ⎞ ζ = − ⎜ ⎟ tại z = 0 (3.55) g⎝ ∂ t ⎠ Dùng (3.54), ta có Bcosh kh− Dsinh kh = 0. Như vậy: D= Btanh kh (3.56) Dùng (3.55), ta có: 29
Bω ζ = − sin()kx−ω t (3.57) g Định nghĩa: Bω a = − (3.58) g với a là biên độ sóng. Như vậy: ζ = asin( kx−ω t) (3.59) Kết quả là: agcosh k( z+ h) Φ = cos()kx−ω t (3.60) ω cosh kh Áp suất dưới sóng được xác định như sau: ∂Φ cosh k( z+ h) p = −ρ− ρgz = − ρ ag sin()kx−ω t − ρ gz (3.61) ∂t cosh kh Bằng cách tương tự, ta có thể có được ba dạng lời giải của p bằng cách dùng tích các nghiệm thích hợp. Nếu như sóng tiến lan truyền từ − ∞ tới ∞ theo một gócθ với trục x thì dạng củaΦ vàζ nhất định phải được biến đổi để có: agcosh k() z+ h Φ = cos()kx cosθ+ kysin θ − ω t (3.62) ω cosh kh ζ = asin() kx cosθ + kysinθ −ω t (3.63) 3.3 Mối liên hệ phân tán của chuyển động sóng Bằng cách phối hợp điều kiện biên động học (phương trình 3.23) và điều kiện biên động lực (phương trình 3.24), điều kiện sau có thể được rút ra: ∂2 Φ ∂Φ + g = 0 tại z = 0 (3.64) ∂t 2 ∂z Hãy xem xét một sóng tiến theo hướng x với thế vận tốc được cho bởi: agcosh k( z+ h) Φ = cos()kx−ω t (3.65) ω cosh kh ta có: ∂2 Φ cosh k( z+ h) = −agω cos()kx−ω t ∂t 2 cosh kh ∂Φ ag2 ksinh k( z+ h) g = cos()kx− ω t ∂z ω cosh kh Thế các giá trị này vào (3.64) tại z = 0 cho ta: ω 2 = gktanh kh (3.66) Mối liên hệ này được gọi là mối liên hệ phân tán tuyến tính, bởi vì nó được rút ra dựa trên sự tuyến tính hóa các điều kiện biên bề mặt. Thông thường, để thuận tiện nó được gọi một cách đơn giản là mối liên hệ phân tán. Một công thức giống hệt như 30
(3.66) cũng có thể tìm được đối với một sóng lan truyền theo hướng ngược với hướng của trục x. Bởi vìω = kc , phương trình (3.66) có thể được viết thành: g c 2 = tanh kh (3.67) k Phương trình (3.67) biểu thị tốc độ lan truyền của sóng bề mặt như là hàm của độ sâu h và bước sóng L. Để tìm được bước sóng, mối liên hệ phân tán (3.66) có thể được viết lại như sau: gT 2 ⎛ 2πh ⎞ L = tanh⎜ ⎟ (3.68) 2π ⎝ L ⎠ Với một độ sâu h và chu kỳ sóng T cho trước, bước sóng L có thể được xác định từ (3.68) bằng thuật toán thử và hiệu chỉnh. Phương trình (3.66), (3.67) và (3.68) được gọi là mối liên hệ phân tán của sóng nước. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về việc phân loại sóng nước. Sóng nước được phân thành ba loại chính căn cứ vào độ sâu tương đối của biển, được định nghĩa là tỷ số h/L, trong đó h là độ sâu của biển còn L là bước sóng. Nếu độ sâu tương đối là nhỏ hơn 1/20 (hay kh ≤ 3/1 ) thì độ sâu được xem là nhỏ so với bước sóng và sóng được gọi là sóng nước nông (hay sóng dài). Nếu tỷ số lớn hơn 1/2 (hay kh ≥ 3 ), sóng được gọi là sóng nước sâu (hay sóng ngắn). Khi mà 1/ 20<h / L < 1/ 2 (hay 1/ 3<kh < 3 ), sóng được gọi là sóng tại độ sâu trung gian và nói chung là trong điều kiện này các phương trình truyền sóng là không đơn giản. Tuy nhiên, trong đa số trường hợp, sóng có thể xem hoặc là sóng nước nông hoặc là sóng nước sâu. Đối với trường hợp sóng nước sâu hoặc là sóng nước nông, ta có thể đơn giản hóa mối liên hệ phân tán (3.66), (3.67) và (3.68). Với sóng nước nông, ta có thể xấp xỉ tanh kh = kh và như vậy mối liên hệ phân tán (3.67) trở nên đơn giản hơn: c2 = gh (3.69) Phương trình này chính là phương trình truyền sóng triều hay sóng nước dâng. Trong trường hợp này, vận tốc pha của sóng trở nên không phụ thuộc vào bước sóng (hay nói cách khác là số sóng hay chu kỳ sóng). Đối với sóng nước sâu, ta có thể xấp xỉ tanh kh = 1, và như vậy mối liên hệ phân tán (3.67) và (3.68) có thể biểu thị như sau: gL gT 2 c 2 = hoặc L = (3.70) 2π 2π Như vậy, vận tốc pha và bước sóng không phụ thuộc vào độ sâu. Khi g = 9.81 m/s2, thì: LT= 1.56 2 (3.71) Ở đây đơn vị của L là m. 31
3.4 Chuyển động của hạt nước và áp suất Như đã thấy, thế vận tốc của sóng có biên độ nhỏ truyền theo hướng trục x là: agcosh k( z+ h) Φ = cos()kx−ω t ω cosh kh Dùng định nghĩa của các thành phần vận tốc của hạt lỏng chúng ta có thể tìm ra biểu thức của các thành phần vận tốc theo phương nằm ngang và thẳng đứng như sau: dx ∂Φ agkcosh k( z+ h) =u = = − sin()kx−ω t (3.72) dt ∂x ω cosh kh dz ∂Φ agksinh k( z+ h) =w = = − cos()kx−ω t (3.73) dt ∂z ω cosh kh Hướng truyền sóng tiến Hình 3.2. Biến thiên của vận tốc hạt lỏng theo độ sâu. Các phương trình này biểu thị các thành phần vận tốc do sóng gây ra tại một độ sâu z bất kỳ. Tại một độ sâu cho trước vận tốc dòng chảy là tuần hoàn cả theo x và t. Với một góc pha cho trước, α = kx−ω t , hàm hyperbolic của z tạo nên sự suy giảm vận tốc theo quy luật mũ từ mặt tới đáy. Các số liệu thực nghiệm cho thấy tại z = - L/2 vận tốc trở nên bé tới mức có thể bỏ qua, và bên dưới độ sâu này trên thực tế là không có chuyển động (hình 3.2). Gia tốc địa phương dễ dàng tìm được từ (3.72) và (3.73) và có thể biểu thị như sau ∂u cosh k( z+ h) = agk cos()kx−ω t (3.74) ∂t cosh kh và ∂w sinh k( z+ h) = −agk sin()kx−ω t (3.75) ∂t cosh kh Dịch chuyển theo phương thẳng đứng của hạt lỏng không thể lớn hơn biên độ sóng a. Vì vậy, ta giả thiết rằng dịch chuyển thẳng đứng của mỗi hạt lỏng từ vị trí trung bình của nó là nhỏ. Ta có thể tính dịch chuyển thẳng đứng và nằm ngang của hạt lỏng này từ vị trí trung bình của nó bằng cách dùng mối liên hệ: x =ξ = dịch chuyển nằm ngang của hạt lỏng từ vị trí trung bình. 32
agkcosh k( z+ h) =∫udt = − ∫sin()kx−ω t dt ω cosh kh (3.76) agkcosh k() z+ h = − cos()kx−ω t ω 2 cosh kh và: z =η = dịch chuyển thẳng đứng của hạt lỏng từ vị trí trung bình. agksinh k( z+ h) =∫ wdt = − ∫ cos()kx−ω t dt ω cosh kh (3.77) agksinh k() z+ h = sin()kx−ω t ω 2 cosh kh Bằng cách dùng mối liên hệ phân tán, ω 2 = gktanh kh , (3.76) và (3.77) có thể tiếp tục được đơn giản hóa để có được biểu thức sau: cosh k( z+ h) ξ = −a cos()kx−ω t (3.78) sinh kh sinh k() z+ h η = a sin()kx−ω t (3.79) sinh kh Cả hai phương trình này có thể được kết hợp để có: ξ 2 η 2 + = 1 (3.80) α 2 β 2 Ở đây: cosh k( z+ h) α = a (3.81) sinh kh sinh k( z+ h) β = a (3.82) sinh kh Nước nông Nước sâu trung bình Nước sâu Hình 3.3. Sơ đồ quỹ đạo của hạt nước Phương trình (3.80) diễn tả một ellipse với một nửa trục chính (nằm ngang) là a và một nửa trục phụ (thẳng đứng) là b. Quỹ đạo của hạt lỏng nói chung là có dạng hình ellipse. Dạng đặc biệt của quỹ đạo hạt lỏng tại nước sâu và nước nông có thể dễ dàng biết được bằng cách xem xét các giá trị của a và b. Đối với sóng nước nông, có thể dễ dàng thấy: 33
a ak( z+ h) α = và β = (3.83) kh kh Khoảng cách dịch chuyển nằm ngang cực đại là không đổi từ mặt tới đáy đại dương. Khoảng cách dịch chuyển cực đại theo phương thẳng đứng biến đổi từ giá trị không tại đáy tới biên độ sóng a tại mặt nước. Đối với sóng nước sâu, các giá trị a và b được cho bởi ekz e kh + e−kz e − kh α = a (3.84) ekh − e−kh ekz e kh − e−kz e − kh β = a (3.85) ekh − e −kh Vậy, khi h → ∞ ta có: α = ae kz và β = ae kz (3.86) Các trục chính và trục phụ có giá trị bằng nhau và như vậy quỹ đạo của hạt nước đã biến thành hình tròn. Bán kính của các hình tròn này được cho bởi công thức ae kz , và như vậy suy giảm rất nhanh theo độ sâu. Trong trường hợp này khoảng cách dịch chuyển cực đại theo phương thẳng đứng tại bề mặt cũng bằng biên độ sóng a. Hình 3.3 diễn tả phác thảo về quỹ đạo chuyển động của các hạt lỏng khi có sóng. Trường áp suất khi có một sóng tiến có thể được xác định từ phương trình Bernoulli được tuyến tính hóa như sau: p ∂Φ = − − gz (3.87) ρ ∂t Dùng thế vận tốc Φ cho một sóng tiến theo hướng trục x, phương trình (3.87) trở thành: p cosh k( z+ h) = ag sin()kx−ω t − gz ρ cosh kh Hay: cosh k( z+ h) p= aρ g sin()kx−ω t − ρ gz (3.88) cosh kh Từ biểu thức của áp suất (3.87), có thể tìm được một loạt các đại lượng vật lý quan trọng như lực tác động của sóng và mô men. Ký hiệu áp suất do sóng gây ra là p+ , ta có: cosh k( z+ h) p= aρ g sin()kx− ω t (3.89) + cosh kh Tại nước sâu, phương trình (3.88) trở thành: kz p+ = aρ gesin() kx−ω t (kh >> 1) (3.90) Tại nước nông, phương trình này trở thành: p+ = aρ gsin() kx−ω t= ρ gζ (kh << 1) (3.91) Đây chỉ là biểu thức đối với áp suất tĩnh, một điều kiện đã được giả thiết trước 34
đối với sóng dài. 3.5 Vận tốc nhóm và năng lượng sóng Chúng ta hãy xem xét trường hợp một nhóm sóng được biểu thị bằng một chuỗi vô hạn các dao động thành phần. Để đơn giản hóa, ta hãy xem hai sóng chuyển động theo hướng trục x, có cùng biên độ và pha biểu thị bằng (kx−ω t). Như vậy dao động mực nước có thể được biểu thị bằng: ζ T = asin() k1 x−ω 1 t+ asin( k2 x−ω 2 t) (3.92) Phương trình này có thể được viết lại như sau: ⎡1 1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ζ T = 2a cos () k1− k 2 x −()ω1 − ω 2 t asin () k1+ k 2 x −()ω1 + ω 2 t (3.93) ⎣⎢2 2 ⎦⎥ ⎣⎢2 2 ⎦⎥ Như vậy, điểm có biên độ bằng không sẽ là điểm phân chia các nhóm sóng đơn. Có thể tìm các điểm nút này bằng cách tìm giá trị không của thành phần cosine trong (3.93). Bây giờ, điều kiện ζ T max = 0 cho ta: 1 1 π ()k− k x −())(ω − ω t =2 n + 1 (3.94) 2 1 2 2 1 2 2 Hay ω1−ω 2 (2n + 1)π xnode = t + (3.95) k1− k 2 k1− k 2 Bởi vì vị trí của tất cả các điểm nút là hàm của thời gian, chúng không dừng. Tại t = 0 ta sẽ có các điểm nút tại x= [(2 n+ 1)π ] /( k1− k 2 ), n = 0, 1, 2,3, v.v. Như vậy, khoảng cách giữa hai điểm nút liên tiếp là: 2π LL1 2 ()x2− x 1 = Δ x = = (3.96) k1− k 2 LL2− 1 Tốc độ lan truyền của các điểm nút này (và như vậy là tốc độ lan truyền của nhóm sóng) được gọi là vận tốc nhóm và được biểu thị bằng: dxnode ω1− ω 2 =cg = (3.97) dt k1− k 2 Ở đây cg được xác định tại giới hạn khi màω1 tiến tớiω 2 , tức là cg = dω / dk . Ta biết rằng ω = ck và như vậy với bước sóng L và vận tốc pha c, phương trình (3.97) có thể được viết như sau: d() ck dc dc dL dc c = =c + k =c + k =c − L (3.98) g dk dk dL dk dL Tuy nhiên, bằng cách dùng mối liên hệc2 = ( g/ k) tanh kh , vận tốc nhóm được biểu thị bằng: 35
d() ck c⎛ 2 kh ⎞ cg = =⎜1 + ⎟ = cn (3.99) dk 2 ⎝ sinh 2kh ⎠ Trong đó: 1 ⎛ 2kh ⎞ 1 n =⎜1 + ⎟ ≤n ≤ 1 (3.100) 2 ⎝ sinh 2kh ⎠ 2 Đối với nước sâu n ≈ 1/ 2 , và đối với nước nông n ≈ 1. Từ đó ta có thể thấy rằng bởi vì các sóng đơn luôn luôn lan truyền nhanh hơn nhóm sóng, chúng xuất hiện ở điểm nút cuối của nhóm và chuyển động lên đầu của nhóm. Tại đây, áp suất tại điểm nút buộc chúng biến mất và sau đó lại tiếp tục xuất hiện tại điểm đầu của nhóm sóng sau. Thí dụ 3.1 Hãy rút ra phương trình(3.99) và tìm điều kiện giới hạn cho sóng nước sâu và sóng nước nông. Lời giải Chúng ta biết rằng vận tốc nhóm được cho bởi: d() ck dc c = =c + k g dk dk trong đó c= g/ k() tanh kh 1/ 2 . Như vậy: dc ⎛ 1 ⎞ 1/ 2 g 1 −1/ 2 =g⎜ − ⎟ k −3 / 2 ()tanh kh + ())tanh khsec h2 kh h . ( dk ⎝ 2 ⎠ k 2 Như vậy: dc 1 g 1 g sech2 kh k = − ()tanh kh 1/ 2 + ()tanh kh 1/ 2 ()kh dk 2 k 2 k tanh kh 1 1 1 1 c2 kh = −c + ckh = −c + . 2 2 sinhkh cosh kh 2 2 sinh 2kh Vì thế: dc c⎛ 2 kh ⎞ cg = c + k =⎜1 + ⎟ = cn , dk 2 ⎝ sinh 2kh ⎠ Trong đó cg là vận tốc nhóm, c là vận tốc pha và: cg 1 ⎛ 2kh ⎞ =⎜1 + ⎟ = n , c 2 ⎝ sinh 2kh ⎠ đối với độ sâu trung gian. Với nước nông kh → 0 , n = 1, và với nước sâu, kh → ∞ , n = 1/ 2 . Một tính chất rất quan trọng của sóng là khả năng vận chuyển năng lượng của chúng từ vùng này tới vùng khác. Như vậy, kiến thức về mật độ năng lượng và vận chuyển năng lượng là rất quan trọng để hiểu sự lan truyền của sóng. 36
Trong những phần trước, chúng ta đã xem xét những thay đổi của các tính chất của chuyển động sóng theo tọa độ thẳng đứng và pha. Khi xem xét năng lượng, tốt hơn là xem xét trường sóng một cách tổng quát hơn bằng cách đưa ra các định nghĩa về trung bình pha hay các đại lượng được tích phân theo phương thẳng đứng. Điều này được thực hiện với mật độ năng lượng (E) cũng như tốc độ vận chuyển năng lượng ( E f ). Chúng ta hãy tính thế năng khi mà có một sóng tiến trên bề mặt tự do. Để xác định đại lượng này, trước hết ta hãy tìm thế năng của sóng ở trên z = - h tại những vị trí có sóng. Sau đó ta sẽ lấy đại lượng này trừ đi thế năng của nước yên tĩnh. Hình 3.4 Phác thảo định nghĩa của thế năng Thế năng (đối với z = - h) của một cột nước với độ cao h + ζ , chiều dài dx và 1 đơn vị chiều rộng (xem hình 3.4) là: Δ()PE1 = (độ cao đối với trọng tâm)× gΔ M ⎛ h +ζ ⎞ (h +ζ )2 Δ()PE1 = ⎜ ⎟()h+ζ ρ g Δ x = ρgΔ x ⎝ 2 ⎠ 2 Như vậy, thế năng trung bình trên một đơn vị diện tích bề mặt là: ρg t++ T x L PE = h+ ζ 2 dxdt (3.101) 1 ∫∫() 2LT t x Dùng ζ =asin() kx −ω t , ta có: ρgh2 ρ ga 2 PE = + 3.(102) 1 2 4 Thế năng trong trường hợp lặng sóng sẽ là: ρg t++ T x L ρgh 2 PE = h2 dxdt = (3.103) 2 ∫∫ 2LT t x 2 Như vậy, thế năng trung bình do một sóng tiến trên mặt tự do gây ra sẽ là: ρga 2 PE= PE − PE = (3.104) 1 2 4 Động năng của một phần tử nhỏ với chiều dàiδx và chiều caoδz , chiều rộng một đơn vị chuyển động với các thành phần vận tốc u và w (như trên hình 3.5) được cho 37
bởi công thức: 1 1 δ ()KE=() u2 + w 2 δ M =( u2 + w 2 )ρδ x δ z (3.105) 2 2 Như vậy, động năng trung bình trên một đơn vị diện tích bề mặt là: ρ t++ T x L ζ =0 KE = ∫∫∫()u2+ w 2 dxdzdt (3.106) 2LT t xh− Hình 3.5. Phác thảo định nghĩa của động năng Dùng các thành phần vận tốc tương ứng với sóng tiến ζ = Asin() kx−ω t , ta có: ρga 2 KE = (3.107) 4 Như vậy, năng lượng toàn phần là: ρga 2 E= PE + KE = (3.108) 2 Tiếp theo, ta xem xét sự vận chuyển năng lượng qua một mặt thẳng đứng từ mặt đến đáy có chiều rộng đơn vị và vuông góc với hướng sóng tiến (như vậy x = const). Các hạt lỏng đi ngang qua mặt này (với vận tốc u) mang theo động năng và thế năng ( ()2/1 ρ(u2+ w 2 ) + ρ gz trên một đơn vị thể tích). Khi chúng cắt ngang mặt phẳng này, áp suất (p) tác động lên chúng và thực hiện công (với tốc độ pu trên một đơn vị diện tích). Như vậy tốc độ vận chuyển năng lượng qua một đơn vị diện tích mặt đứng tại x = constant được cho bởi: ⎡ 1 2 2 ⎤ p+ρ() u + w + ρ gz⎥ u (3.109) ⎣⎢ 2 ⎦ Tốc độ vận chuyển trung bình thời gian của năng lượng qua một đơn vị chiều rộng tích phân theo phương thẳng đứng được định nghĩa là: ζ T 2/ ⎡ 1 ⎤ E =p +ρ u2 + w 2 + ρ gz udzdt (3.110) f ∫∫⎢ ()⎥ −−h T 2/ ⎣ 2 ⎦ Chỉ giữ lại các số hạng bậc hai, từ phương trình trên ta có phương trình gần đúng sau: 38
02T / E= p udzdt (3,111) f ∫∫ + −−h T / 2 Thế (3.72) và (3.89) vào (3.111) ta có: Ef = Enc= Ecg (3.112) Như vậy, ta thấy rằng vận tốc nhóm là vận tốc vận chuyển năng lượng. 3.6 Năng lượng của sóng phức hợp Ta đã thấy ở trên là trong việc tính toán cả hai thành phần năng lượng sóng, ta đã dùng bình phương biên độ dao động của mặt tự do. Ta cũng đã biết rõ rằng một hàm tuần hoàn bất kỳ ζ (t) với chu kỳ 2T có thể biểu thị bằng một chuỗi Fourier như sau: ∞ a0 ⎛ nπ t nπ t ⎞ ζ ()t = + ∑⎜an cos + bn sin ⎟ (3.113) 2 n=1 ⎝ T T ⎠ T với điều kiện là ζ t dt hữu hạn. Ở đây a và b lần lượt là biên độ của cosine và ∫ () n n −T sine của sóng thành phần thứ n. Có thể dễ dàng thấy rằng (3.113) có thể viết dưới dạng số phức như sau: ∞ inπ t/ T ζ ()t= ∑ Cn e với C0= a 0 / 2 , Cn= ( a n− ib n )/ 2 , C−n= ( a n+ ib n )/ 2 . n=−∞ Hệ số Fourier phức Cn có thể được xác định từ biểu thức: 1 T C = ζ t e−inπ t dt , n = 0,± 1,± 2, n ∫ () 2T −T Và định lý Parseval cho các hàm điều hòa cho ta: ρg T ρg T ρg T ⎛ ∞ inπ t ⎞ ζ 2 t dt = ζt ζ t dt = ζ t⎜ C eT ⎟ dt ∫() ∫ () () ∫ ()⎜ ∑ n ⎟ 2T −T 2T −T 2T −T ⎝ n=−∞ ⎠ ∞ ⎛ 1 T inπ t ⎞ = ρg C ⎜ ζ t eT dt⎟ ∑ n ⎜ ∫ () ⎟ n=−∞ ⎝ 2T −T ⎠ ∞ = ρg∑ Cn C−n n=−∞ ∞ 2 = ρg∑ Cn n=−∞ 2 ∞ ⎡a 0 1 2 2 ⎤ =ρ g⎢ +∑()an + b n ⎥ ⎣ 4 2 n=1 ⎦ 39
Như vậy thế năng là: 2 ∞ ⎡a 0 1 2 2 ⎤ PE=ρ g⎢ +∑()an + b n ⎥ ⎣ 4 2 n=1 ⎦ Số hạng đầu tiên của kết quả này rõ ràng là phù hợp với (3.104) cho một sóng tiến đơn với biên độ a0 ()= a . CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Lý thuyết sóng tuyến tính còn có các tên gọi khác là gì? 2. Trình bày các giả thiết cơ bản của lý thuyết sóng tuyến tính. 3. Có các loại điều kiện biên nào được sử dụng trong lý thuyết sóng tuyến tính? 4. Hãy liệt kê các phương trình khác nhau của quan hệ phân tán. 5. Tiêu chuẩn phân biệt sóng ở các vùng nước khác nhau là như thế nào? 6. Xác định công thức gần đúng xác định các biểu thức sinhx, coshx và tanhx cho các giá trị rất nhỏ và rất lớn của x sử dụng khai triển chuỗi Taylor. 7. Năng lượng sóng được truyền đi với tốc độ của nhóm sóng hay tốc độ của pha sóng? 8. (a) Một đoàn sóng lan truyền vuông góc vào bờ trên địa hình đáy với các đường đẳng sâu thẳng và song song với nhau. Chiều dài và chiều cao sóng nước sâu lần lượt là 300 m và 2 m. Chiều dài sóng và vận tốc nhóm ở độ sâu 30 m bằng bao nhiêu? (b) Năng lượng trung bình trên một đơn vị diện tích bề mặt tại ví trí quan tâm đó bằng bao nhiêu? (c) Thực hiện phần (a) cho trường hợp cùng các đặc tính sóng nước sâu, nhưng đường đỉnh sóng nước sâu tạo thành góc 60° so với các đường đẳng sâu. 9. Quan trắc các chuyển động chất điểm nước trong một hệ sóng biên độ nhỏ cho bán trục lớn = 0.1 m, bán trục nhỏ = 0.05 m, ứng với độ sâu nước tổng cộng bằng 1 m. Các số liệu quan trắc này áp dụng cho chất điểm nước có vị trí trung bình ở giữa độ sâu cột nước. Các giá trị độ cao sóng, chu kỳ sóng và bước sóng bằng bao nhiêu? 10. Một con sóng lan truyền vào bờ có H0 = 1 m, T = 15 s. Tại một vị trí gần bờ cụ thể (độ sâu = 5 m) biểu đồ khúc xạ sóng biểu thị rằng khoảng cách giữa các đường trực giao (tia sóng) bằng một nửa khoảng cách này ở nước sâu. (a) Xác định độ cao sóng và chiều dài sóng tại vị trí gần bờ. 40
(b) Giả sử không có khúc xạ sóng, nhưng các thông số sóng nước sâu giống như phần (a), và sóng sẽ vỡ khi tỷ số H/h đạt 0,8, sóng vỡ ở độ sâu nào? 11. (a) Chøng minh r»ng c¸c ®iÒu kiÖn biªn tuyÕn tÝnh t¹i bÒ mÆt z = ζ , biÓu thÞ b»ng thÕ vËn tèc Φ , cã thÓ ®−îc viÕt lµ w = ζ t = −Φ z vµ Φ tt− gζ t = 0 ⎛ agcosh k( z+ h) ⎞ ⎜Φ = cos()kx−ω t ⎟ ⎝ ω cosh kh ⎠ (b) Sau ®ã chøng minh r»ng mèi liªn hÖ ph©n t¸n lµω 2 = gktanh kh víi h lµ ®é s©u cña biÓn, k lµ sè sãng ()= 2π / L , L lµ b−íc sãng, ω lµ tÇn sè gãc ()= 2π /T , T lµ chu kú sãng vµ g lµ gia tèc träng tr−êng. (c) ViÕt mét ®o¹n ch−¬ng tr×nh ng¾n b»ng ng«n ng÷ FORTRAN ®Ó tÝnh b−íc sãng (L) b»ng c¸ch sö dông mèi liªn hÖ ph©n t¸n víi thuËt to¸n lÆp. Cho T = 5, 10, 15 s vµ ®é s©u h = 5, 10, 20 m. VÏ ®å thÞ biÓu diÔn kÕt qu¶ ®¹t ®−îc. (g = 9.81 m/s2). 12. (a) B¾t ®Çu b»ng thÕ vËn tèc: agcosh k() z+ h Φ = cos()kx−ω t ω cosh kh chøng minh r»ng cho ®é s©u trung gian, c¸c h¹t láng bªn d−íi mét sãng tiÕn chuyÓn ®éng theo nh÷ng quü ®¹o ellipse kÝn cho bëi x2/α 2+ z 2 / β 2 = 1, víi: acosh k() z+ h asinh k( z+ h) α = vµ β = sinh kh sinh kh (b) X¸c ®Þnh quü ®¹o cña h¹t láng trong tr−êng hîp n−íc s©u vµ n−íc n«ng. (c) VÏ h×nh ®Ó minh häa c¸c kÕt qu¶ trªn. 13. TÝnh ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña mét chuçi sãng tiÕn t¹i n−íc s©u. Sau ®ã, tõ ®iÒu kiÖn lµ c¸c n¨ng l−îng ®ã b»ng nhau, t×m c«ng thøc c2 = gL 2/ π . 41
CHƯƠNG 4 NH ỮNG LÝ THUYẾT SÓNG PHI TUYẾN CHO VÙNG CÓ ĐỘ SÂU KHÔNG ĐỔI 4.1 Giới thiệu chung Không có một lời giải chính xác nào cho các phương trình đầy đủ về sóng được trình bày trong chương 3. Điều này là do các số hạng phi tuyến trong các điều kiện biên trên bề mặt tự do. Trong các xấp xỉ tuyến tính, các số hạng này bị bỏ qua hoàn toàn. Tuy nhiên, trong các lý thuyết phi tuyến thì chúng được tính đến bằng cách xấp xỉ. Rất nhiều lý thuyết về sóng phi tuyến với phương pháp giải quyết và mức độ chính xác của việc xấp xỉ khác nhau đã được đưa ra. Trong chương này, ta sẽ trình bày một cách định tính tổng quan về những lý thuyết này. Lý thuyết sóng phi tuyến đầu tiên do Stokes (1847) đưa ra. Lý thuyết của ông về mặt nguyên tắc là có thể áp dụng cho tất cả các độ sâu. Tuy nhiên, trong thực tế, đối với nước nông thì kết quả lý thuyết này chỉ chấp nhận được khi mà độ cao sóng rất nhỏ. Một loại lý thuyết thứ hai là chỉ áp dụng cho các điều kiện sóng nước nông. Những lý thuyết này sẽ được trình bày trong mục 4.3. Các lý thuyết vừa nói cho ta các biểu thức giải tích về nhiều hệ số cần thiết cho việc tính toán sóng. Các lý thuyết số trị cho ta thuật toán để xác định giá trị của các hệ số cho một tập hợp cho trước các điều kiện đầu vào. Một số lý thuyết số trị sẽ được trình bày trong mụ c 4.4. Vấn đề về tính đúng đắn của các lý thuyết sẽ được xử lý trong mục 4.5. 4.2 Lý thuyết Stokes Stokes (1847) dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp, có thể được mô tả sơ qua như sau. Kết quả của lý thuyết tuyến tính được dùng để tìm một xấp xỉ thứ nhất cho các số hạng phi tuyến bị bỏ qua. Việc hiệu chỉnh các kết quả của phép xấp xỉ thứ nhất (tuyến tính) của nghiệm được tiến hành bằng cách tính đến điều trên. Bằng cách dùng nghiệm đã được hiệu chỉnh lần thứ nhất, một xấp xỉ lần thứ hai cho các số hạng phi tuyến được tiến hành. Sau đó là xấp xỉ lần thứ ba. Nếu như quá trình này hội tụ thì nó có thể cứ được tiếp tục cho đến khi đại lượng hiệu chỉnh trở nên đủ bé. Thật ra thì một giới hạn thực tế sẽ đạt được sớm mà không phải tiến hành nhiều phép xấp xỉ vì các biểu thức toán học trở nên rất dài và rất khó tìm ra các xấp xỉ bậc cao. 42
Như đã trình bày ở trên, các biểu thức toán học trong những xấp xỉ bậc cao rất dài. Bởi vậy, để dễ dàng hơn trong việc áp dụng những lý thuyết này, người ta đã chuẩn bị những đồ thị và bảng như là những đồ thị và bảng của Skjelbreia (1959) cho xấp xỉ bậc 3, trong đó tất cả những số hạng có bậc 3 hay nhỏ hơn được giữ nguyên và những số hạng khác bị bỏ qua. Trong phần tiếp theo, một số kết quả sẽ được trình bày chủ yếu dưới dạng định tính. Một số phương trình của lý thuyết bậc hai sẽ được trình bày với mục đích diễn giải. 4.2.1 Mặt cắt bề mặt nước Biểu thức bậc 2 đối với mặt nước có thể được viết như sau: ˆ ˆ ζ()SSS= ζ1 cos + ζ 2 sin (4.1) trong đó: ˆ ζ 1 = a (4.2) 1 coshkh( 2+ cosh 2kh) ζˆ = ka 2 (4.3) 2 2 sinh 2 kh Điểm S=0 được chọn tại một đỉnh sóng. Hình 4.1 trình bày một phác thảo của (4.1). Một số hạng tuyến tính điển hình là tỷ lệ với acos S hay asin S , trong đó a là biên độ của dao động mực nước trong phép xấp xỉ tuyến tính, và S=()ω t − kx là pha. Bởi vì các thành phần phi tuyến bao gồm các tích như là u 2 , xấp xỉ đầu tiên cho các số hạng này bao gồm các số hạng tỷ lệ với a2cos 2 S= ( 1/ 2) a 2 ( 1+ cos 2S), và các số hạng tương tự vớisin 2 S . Điều này cũng áp dụng được cho hiệu chỉnh thứ nhất của xấp xỉ tuyến tính của nghiệm chính xác. Tiếp tục theo cách này, ta có thể tìm được những xấp xỉ liên tiếp của nghiệm chính xác dưới dạng những số hạng liên tục của một chuỗi số mũ của a (các số hạng tỷ lệ với a, a 2 , a 3 , v.v ). Nếu a là đủ nhỏ (đối với L và h), mỗi số hạng bậc cao sẽ nhỏ hơn nhiều những số hạng bậc thấp hơn và nếu như khi đó chuỗi được kết thúc bằng một một vài số hạng thì ta có thể tìm được một xấp xỉ tiện lợi. Mặt cắt sóng dường như có các đỉnh hẹp hơn và nhọn hơn mặt cắt biểu thị bằng hàm cosine, và bụng rộng hơn và phẳng hơn. Hệ quả là mực nước tại đỉnh sóng trên mực biển trung bình (MWL) cao hơn một nửa chiều cao sóng, với giá trị vượt quá là ˆ ζ 2 (tới bậc 2). Điều này quan trọng cho việc tính toán lực sóng tác động lên các công trình ở nước nông hay là cho việc xác định độ cao cần thiết của khoảng không giữa mặt dưới của cầu tàu hay bến mà mực MWL (còn được gọi là “khoảng không”). 43
ζ 1+ ζ 2 ζ 1 ζ 2 MWL Hình 4.1 Mặt cắt bề mặt nước khi có sóng xấp xỉ bằng lý thuyết bậc 2 của Stokes Tính bất đối xứng như ở trên thường được quan sát thấy rõ ràng trong các sóng thực. Mặt cắt thực đo dường như được dự báo rất tốt bằng lý thuyết Stokes bậc 2 và bậc 3 cho sóng nước sâu, nhưng sự phù hợp là kém hơn cho các điều kiện nước nông. Từ lý thuyết có thể rút ra một chỉ thị cho quá trình này, thí dụ như tỷ số của biên độ bậc hai và biên độ bậc nhất cần phải nhỏ để phương pháp tiếp cận Stokes là có giá trị. Tại nước sâu, tỷ số này là (xem các phương trình 4.2 và 4.3): ζˆ 1 π H 2 ≅ka ≅ (kh >> 1) (4.4) ˆ ζ 1 2 2 L Tỷ số này thường là nhỏ (lớn nhất là vào khoảng 0.2) vì rằng sóng vỡ giới hạn độ dốc có thể có của sóng. Mặt khác tại nước sâu hơn tỷ số trên trở thành (xem các phương trình 4.2 và 4.3): ζˆ 3 3 HL2 HL2 1 ≅ ()kh−3 ka ≅ ≅10−2 × (kh >h tại nước nông. Tỷ số HL2 thường được gọi là số Ursell, ký hiệu bởi U : h3 r HL2 U = (4.6) r h3 Nếu U r là quá lớn thì chuỗi Stokes phân kỳ. Một chỉ thị cho điều này là sự xuất ˆ ˆ hiện của một cực đại thứ hai tại bụng sóng khi mà ζ2> ζ 1 4/ như được phác thảo trên hình Fig. 4.2. Khi mà cực đại thứ hai tại bụng sóng không được quan trắc ở sóng thực tại nước nông thì sự xuất hiện của nó trong các kết quả tính toán chỉ ra rằng lý 44
thuyết được sử dụng trong các điều kiện vượt quá giới hạn áp dụng của nó. Hình 4.2 Cực đại thứ hai tại bụng sóng do lý thuyết Stokes bậc 2 dự báo tại nước rất nông. Các đo đạc mực nước khi có sóng lớn tại nước nông cho thấy các profile mặt nước với bụng dài và phẳng cùng với đỉnh hẹp và nhọn, như chỉ ra trên hình 4.3. Nếu profile này được xấp xỉ bằng một tổng các thành phần điều hòa dạng cosin (cos S, cos 2S v.v.) thì cần có một số lượng lớn các thành phần. Điều này có nghĩa là chuỗi cần phải được tính tại một bậc rất cao. Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn và mất thời gian, và do vậy trong thực tế, không nên áp dụng chuỗi Stokes trong các điều kiện đó, thậm chí cả khi mà nó không phân kỳ. Hình 4.3 Profile mặt nước khi có sóng đo được tại nước nông. 4.2.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt nước Trong xấp xỉ phi tuyến, vận tốc hạt nước không còn là đối xứng qua giá trị trung bình (bằng 0 nếu chỉ có sóng). Vận tốc nằm ngang của hạt nước có dạng bất đối xứng gần giống với mặt nước. Vì vậy, vận tốc có giá trị tuyệt đối lớn hơn bên dưới đỉnh so với bên dưới bụng. Điều này ảnh hưởng mạnh tới việc tính toán áp lực sóng lên công trình, đặc biệt là trong các điều kiện nước nông. Các số hạng bậc cao trong các chuỗi vận tốc hạt nước giảm nhanh hơn theo khoảng cách dưới bề mặt so với các số hạng bậc thấp. Vận tốc ở gần đáy được dự báo khá tốt bằng lý thuyết tuyến tính. Trong lý thuyết tuyến tính, quỹ đạo hạt nước là đối xứng cả theo phương đứng và phương ngang. Trong các lý thuyết phi tuyến, không thể bỏ qua sự bất đối xứng của vận tốc hạt nước. Vì vậy quỹ đạo hạt nước không còn là đối xứng. Sau một chu kỳ sóng thì hạt nước tiến về phía trước một chút, như vẽ trên hình 4.4. 45
Hình 4.4 Quỹ đạo hạt nước xấp xỉ bằng các lý thuyết sóng phi tuyến Vậy, sóng gây ra vận chuyển khối lượng đối với hệ quy chiếu của ta. Một cách khác là ta có thể chọn một hệ quy chiếu sao cho vận tốc vận chuyển khối lượng tổng cộng dư tích phân theo phương thẳng đứng bằng 0. Trong trường hợp này các hạt nước trong phần thấp của profile thẳng đứng sẽ có vận tốc dư ngược lại và chỉ có các hạt nước ở trên là có vận tốc dư theo hướng sóng. Với độ chính xác bậc hai, vận tốc trung bình thời gian của một hạt nước tại một độ cao trung bình z0 trong các điều kiện sóng nước sâu được cho bởi: 2kz0 u() z0 = kaω ae kh >> 1 (4.7) Với nước trung bình và nước nông, lý thuyết Stokes cho dự đoán không chính xác về vận tốc vận chuyển vật chất. Điều này là do ảnh hưởng của độ nhớt (chỉ giới hạn trong lớp biên mỏng gần đáy). Longuet-Higgins (1953) đã phân tích kỹ càng về tốc độ vận chuyển vật chất do sóng gây ra tính theo các lý thuyết sóng khác nhau và có tính đến ảnh hưởng của độ nhớt. 4.2.3 Mối liên hệ phân tán và vận tốc pha Trong xấp xỉ Stokes bậc 2, mối liên hệ phân tán giống như trong lý thuyết tuyến tính. Trong lý thuyết bậc 3, xuất hiện một thành phần hiệu chỉnh phi tuyến tỷ lệ với bình phương độ dốc sóng. Hiệu ứng của nó là làm tăng vận tốc pha. Do vậy, vận tốc pha tại mọi độ sâu không chỉ phụ thuộc vào tần số mà còn phụ thuộc vào biên độ. Tuy rằng hiệu chỉnh là tương đối nhỏ nhưng nó thể trở nên đáng kể khi mà khác biệt trong vận tốc pha là đáng kể, như trong trường hợp nhóm sóng. 4.2.4 Hàm lượng năng lượng và vận chuyển năng lượng Trong xấp xỉ bậc thấp nhất, hàm lượng năng lượng (E) và tốc độ vận chuyển năng lượng là tỷ lệ với a 2 . Hiệu chỉnh phi tuyến cho đại lượng này bao gồm các thành phần tỷ lệ với a 4 v.v Năng lượng tổng cộng của sóng có độ cao nào đó trở nên nhỏ hơn giá trị tính theo lý thuyết sóng tuyến tính. Có thể thấy được điều này mà 46
không cần các tính toán chi tiết về thế năng trung bình, bằng với ()2/1 ρg ζ 2 . Với các sóng hình sin, ζ 2 =()1/ 2a2 = () 1/8 H 2 . Tỷ số ζ 2/ H 2 giảm khi mà profile trở nên nhọn hơn. Tại nước sâu, các hiệu chỉnh phi tuyến cho E và E f là đáng kể cho các sóng gần vỡ. Chúng là quan trọng trong nước nông, nhưng trong trường hợp đó chuỗi Stokes là không phù hợp ngoại trừ các giá trị nhỏ của độ cao sóng tương đối, như đã thảo luận ở trên. 4.3 Lý thuyết Cnoidal Một cách tiếp cận khác cho sóng phi tuyến tại nước nông đã được Boussinesq đưa ra. Các phương trình Boussinesq mô tả sóng tại nước nông có tính đến một chút ảnh hưởng của áp suất phi thuỷ tĩnh xảy ra dưới đỉnh sóng khi mà độ cong là khá lớn thậm chí nếu bước sóng là lớn hơn nhiều so với độ sâu. Vì vậy, lời giải của các phương trình Boussinesq có một số tính chất của sóng dài và một số tính chất của sóng ngắ n. Lời giải của các phương trình Boussinesq biểu thị các sóng chu kỳ có dạng không đổi được diễn tả bằng một hàm có sử dụng ký hiệu "cn". Vì vậy lời giải đã được gọi là sóng cnoidal và lý thuyết tương ứng với nó là lý thuyết cnoidal. Thực ra là hiện nay một tiếp cận khác và một mức độ xấp xỉ khác đã được sử dụng nhưng do lý do nguyên nhân lịch sử, lý thuyết trên vẫn được gọi là lý thuyết cnoidal. Trong phần sau ta sẽ mô tả các kết quả của phép xấp xỉ do Skovgaard và cộng sự (1974) sử dụng. Rất nhiều thông số sóng do các tác giả xác định theo lý thuyết Cnoidal được trình bày trong bảng 4.1. Bảng 4.1 Các thông số sóng xác định từ lý thuyết Cnoidal HƯỚNG DẪN TÍNH SÓNG CNOIDAL 1 THAM SỐ ĐỊA PHƯƠNG 2 NƯỚC NÔNG 47 1.1 Cho: h, H và T Xác định: L, c Cho: Ha và T (hoặc La) tại độ sâu H g 2 Tính L = T Xác định: Hb và Lb tại độ sâu hb 0 2π 2 (= 1.561 T trong hệ SI), Kiểm tra* Tính L0 và La sử dụng 1.1 T / h
Trước khi đi vào chi tiết, ta hãy đưa ra hai nhận xét chung. Thứ nhất là lý thuyết cnoidal về bản chất chỉ giới hạn cho điều kiện nước nông với tiêu chuẩn 1 2 h/ L0 ≤ 1 (hayT() gh ≥ 8) là thoả mãn. Thứ hai, một thông số quan trọng trong lý 2 3 thuyết là số Ursell (Ur = HL/ h , phương trình 4.6). Các hàm toán học dạng cnoidal mô tả nghiệm cho một giá trị nào đó của U r được giảm xuống cho hai trường hợp giới hạn: U r → 0 và U r → ∞ . Trường hợp đầu tiên tương ứng với H/ h → 0 (vì rằng L/h>> 1 trong lý thuyết cnoidal). Các kết quả trong trường hợp này trở thành các kết quả của lý thuyết sóng tuyến tính cho vùng nước nông. Trường hợp giới hạn thứ hai tương ứng với L/ h → ∞ (vì H/h là giới hạn; thực tế là đã giả thiết rằng H/h<< 1). Điều này dẫn tới tên gọi là sóng cô lập. 4.3.1 Profile mặt nước Profile mặt nước p dự báo theo lý thuyết cnoidal chỉ phụ thuộc vào U r (xem hình 4.5). Với U r → 0 , profile mặt nước có dạng hình sin. Khi giá trị U r tăng lên, đỉnh sóng trở nên nhọn hơn và bụng sóng trở nên dài hơn và phẳng hơn. Nói chung các profile dự báo phù hợp tốt với các profile đo đạc được. ζ −ζ trough H x− x crest L Hình 4.5 Các profile mặt nước dự báo theo lý thuyết sóng Cnoidal (Skovgaard và cộng sự, 1974). 4.3.2 Vận tốc và quỹ đạo hạt lỏng Trong lý thuyết sóng cnoidal bậc nhất, vận tốc nằm ngang của hạt lỏng là gần như tỷ lệ với mực mặt nước và thay đổi theo khoảng cách từ đáy theo một đường parabol. Có thể tham khảo Skovgaard và cộng sự (1974) về các công thức với umax và 49
umin (Bảng 4.1). 4.3.3 Vận tốc pha 1 Vận tốc pha trong lý thuyết sóng cnoidal có bậc biên độ là ()gh 2 , hơi giảm hơn một chút vì giá trị giới hạn của tỷ số giữa bước sóng và độ sâu (hiệu ứng phụ thuộc vào tần số như trong lý thuyết cho sóng ngắn) và tăng lên một chút do ảnh hưởng của tính hữu hạn của biên độ (hiệu ứng phi tuyến). 4.3.4 Hàm lượng năng lượng và tốc độ vận chuyển năng lượng Năng lượng thế trung bình trên một đơn vị diện tích (PE, phương trình 3.103) là tỷ lệ thuận với ζ 2 . Với một mặt sóng dạng hình sin, ζ 2= H 2 8/ . Với mặt sóng 2 2 cnoidal với dạng mặt nước phụ thuộc vào U r , tỷ số BH= ζ / là một hàm giảm của U r . Với phép xấp xỉ bậc thấp nhất, tốc độ vận chuyển năng lượng trong sóng cnoidal p p= ρ gζ được tính từ (3.111), với + cho bởi xấp xỉ tĩnh học + , và u bởi biểu thức tuyến tính cho sóng dài u= cζ / h . Điều đó cho 1 02T / E = p udzdt=ρ gc ζ2 = B ρ gH2 c (4.8) f ∫∫ + T −−h T 2/ Thực ra, p+ không phải là thuỷ tĩnh và giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn ρgζ tại các điểm thấp hơn MWL. Vì vậy, (4.8) tính quá tốc độ vận chuyển năng lượng. 4.4. Các lý thuyết số trị Các lý thuyết ở trên cung cấp các biểu thức giải tích cho các hệ số xuất hiện trong các chuỗi số mũ giả thiết với bậc chính xác cho trước. Sự phức tạp của các biểu thức tăng nhanh với sự gia tăng của bậc chính xác. Vì lý do đó mà các xấp xỉ giải tích bậc cao là không khả thi. Tuy nhiên có thể đưa ra các thuật toán để tính các hệ số này bằng phương pháp số trị. Theo cách này, có thể dùng các xấp xỉ có độ chính xác rất cao (khoảng 100) để mở rộng phạm vi áp dụng của lý thuyết và tăng cường độ chính xác. Các lý thuyết thuộc dạng này được gọi là các lý thuyết số trị. Cần nhận thấy rằng tên này không có nghĩa là lời giải số trị cho các phương trình vi phân cơ bản, thí dụ như bằng phương pháp sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn. Một lý thuyết được biết đến rất rộng rãi là lý thuyết hàm dòng do Dean (1965) 50
xây dựng. Việc sử dụng nó khá dễ dàng nhờ việc xuất bản các bảng (Dean, 1974). Các bảng này đã được xây dựng để áp dụng cho kỹ thuật. Ngoài các thông số khác, nó chứa số liệu về vận tốc pha, vận tốc hạt lỏng, gia tốc và áp lực cũng như moment sóng trên các hình trụ đứng. Các đại lượng này được lập bảng cho 10 độ sâu tương đối 10 ( h/ L0 trong khoảng từ 0.02 tới 2) và 4 độ cao sóng tương đối ( HH/max = 1/ 4,1/ 2,3/ 4 và 1, trong đó H max là độ cao cực đại của sóng có bước sóng hay chu kỳ cho trước tại một độ sâu cho trước). Chaplin (1980) đã xây dựng một phiên bản nữa của lý thuyết hàm dòng có độ chính xác cao hơn cho các sóng rất dốc. Ông đã so sánh kết quả của mình và các kết quả của Dean (1974) với kết quả của lý thuyết chính xác của Cokelet (xem dưới đây). Các giá trị tính theo các bảng của Dean là chính xác với ba giá trị nhỏ của HH/ max , nhưng với HH/max = 1 có một sự sai khác lớn (cụ thể là sai số 30% trong vận tốc hạt nước cực đại ). Rienecker và Fenton (1981) đã đưa ra những cải tiến về lý thuyết hàm dòng và một thuật toán để tính tập hợp các hệ số bằng một sơ đồ lặp hiệu quả với tốc độ hội tụ nhanh. Một lý thuyết số trị khác do Cokelet (1977) đề xuất đã sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số của các bậc khác nhau để mở rộng lời giải tới các bậc rất cao. Thêm vào đó, Cokelet dùng một kỹ thuật toán đặc biệt để cải tiến cách lấy tổng của các chuỗi được tạo thành. Bằng cách đó ông đã có thể tính toán rất nhiều đặc tính của sóng với độ chính xác tới hai chữ số sau dấu phẩy, thậm chí cho sóng cao nhất có thể có như đã được kiểm chứng bằng cách so sánh với các lý thuyết đã được xây dựng độc lập cho trường hợp đặc biệt này. Có vẻ như từ khía cạnh thực tế, công trình của Cokelet có thể được xem là cho một lời giải chính xác về các vấn đề cổ điển như các sóng trọng lực bề mặt phi tuyến và không xoáy. Kết quả của ông có thể được dùng như tiêu chuẩn để đánh giá các lý thuyết xấp xỉ khác nhau. Cokelet đã trình bày các bảng về các tính chất độc lập về pha và trung bình của sóng mà không phải là các giá trị tức thời như vận tốc và gia tốc hạt lỏng. Việc sử dụng lý thuyết của ông vào thực tế kỹ thuật yêu cầu phải viết một số chương trình máy tính khá phức tạp. Cuối cùng là cần phải kể đến công trình của Williams (1985) người đã phát triển một công thức thay thế có khả năng hội tụ nhanh ngay cả với những sóng cao nhất. Các kết quả của ông, kể cả áp suất thay đổi theo pha và vận tốc, gia tốc và dịch chuyển nằm ngang và thẳng đứng đã được lập thành bảng. 51
4.5 Giới hạn áp dụng của các lý thuyết khác nhau Trước khi tìm ra lời giải có độ chính xác cao, một câu hỏi thông thường nhất là các xấp xỉ bậc thấp (như Stokes bậc 1, 2 hay 3 hay cnoidal bậc 1 hay 2) là áp dụng được cho một phối hợp cho trước của độ dốc sóng và độ sâu tương đối. Vì vậy, người ta đã cố gắng xác lập giới hạn áp dụng của các xấp xỉ bậc thấp. Từ quan điểm học thuật, việc xác lập miền áp dụng là một việc làm không phù hợp sau khi Cokelet và những người khác đã tìm được lời giải bậc cao hầu như là chính xác. Không có một câu trả lời duy nhất cho câu hỏi là xấp xỉ bậc thấp nào của một tập hợp các xấp xỉ cho trước là áp dụng phù hợp nhất cho một phối hợp cho trước của H/L và h/L. Câu trả lời phụ thuộc vào các thông số dùng để so sánh (vận tốc pha, độ cao cực đại của đỉnh sóng v.v ). Từ quan điểm thực tế, việc quyết định dùng xấp xỉ này hay xấp xỉ kia phụ thuộc không chỉ vào độ chính xác có thể đạt được mà còn phụ thuộc vào độ chính xác mà bài toán thực tế yêu cầu và công sức phải bỏ ra. Trong mối liên hệ này, cần nhận thấy rằng việc chỉ chú ý tới độ chính xác vài phần trăm chẳng có ý nghĩa đáng kể nếu các số liệu đầu vào có sai số khoảng 10% hay 20%. Vì rằng có rất nhiều lý thuyết nên khi xem xét khả năng cũng như công sức có thể bỏ ra của người làm nghiệp vụ, không thể đưa ra một nhận xét chung nào về xấp xỉ nào là xấp xỉ tốt nhất. Tuy nhiên, các nhận xét sau có thể được xem như là hướng dẫn chung: Một xấp xỉ bậc cao không nhất thiết là tốt hơn một xấp xỉ bậc thấp vì rằng chuỗi sử dụng có thể phân kỳ. Ví dụ như với các giá trị của số Ursell lớn, lý thuyết Stokes bậc 1 (lý thuyết tuyến tính) cho kết quả xấp xỉ của vận tốc hạt nước lớn hơn so với xấp xỉ Stokes bậc 2 và bậc 3. Điều nói trên cũng đúng cho các lý thuyết cnoidal. Tính phi tuyến là tương đối quan trọng với các giá trị địa phương (như độ cao đỉnh sóng, vận tốc hạt nước cực đại) hơn là đối với các giá trị chung (vận tốc pha, hàm lượng năng lượng trung bình v.v ). Biên độ tương đối của các thành phần phi tuyến giảm theo độ sâu dưới bề mặt tự do. CÂU HỎI 1. Các lý thuyết sóng phi tuyến bao gồm những lý thuyết nào? 2. Xác định phạm vi thích hợp của lý thuyết sóng Stockes bậc hai. Giá trị ràng buộc của thông số Ursell là bao nhiêu? 3. Tính toán áp suất dưới các sóng Stockes với độ chính xác bậc hai. 4. Phạm vi phù hợp của các lý thuyết sóng là như thế nào? 52
CHƯƠNG 5 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA SÓNG DO GIÓ TẠO RA 5.1 Cơ chế tạo sóng do gió 5.1.1 Profile vận tốc gió và ứng suất gió trên mặt biển khơi Loại trừ một số rất ít loại sóng gây ra do các nguyên nhân khác (như do tàu thuyền đi qua v.v ) thì sóng biển là do gió tạo ra. Gió tác động lên mặt nước một ứng suất nhất định. ứng suất này thông thường được đại diện bằng vận tốc ma sát. Vận tốc gió trên mặt biển thường được biểu diễn bằng một chỉ số là độ cao đo vận tốc gió tính bằng m từ mực nước biển (MWL) . Thí dụ, biểu thị vận tốc gió tại độ cao 10 m trên mực nước biển. Giá trị vận tốc gió này thường được chấp nhận để sử dụng cho hầu hết các hoạt động trên biển. Một giá trị rất thông dụng của vận tốc gió là giá trị tại độ cao 19,5m, bởi vì nhiều máy đo vận tốc gió trên các tàu lớn được đặt ở độ cao này. Tốc độ gió có thể được đo bằng m/s, km/h, dặm/giờ, hay knots (hải lý trên giờ). Các giá trị này liên hệ với nhau như sau: 1 m/s = 3.6 km/h = 2.24 dặm/h = 1.94 knots Profile tốc độ gió trên biển khơi được Pierson (1964) chấp nhận là tốc độ gió do Sheppard (1958) đề nghị cho các điều kiện của biển khơi là 2/1 Uy / U10 = 1 + ( C10 ln y /10) / k (5.1) với U y là vận tốc gió tại độ cao y trên mặt biển, C10 là một hệ số trở kháng phụ thuộc vào vận tốc gió, và k là hằng số von Karman (= 0.4). Ứng suất gió tác động lên bề mặt nước được cho như sau: 2 τ= ρ au* (5.2) với ρa là mật độ không khí và u* là vận tốc ma sát gần mặt nước. Ứng suất này còn có thể được biểu thị như sau: 2 τ= ρ aCU y y (5.3) với C y là hệ số trở kháng, biến đổi theo vận tốc gió. Ứng suất này bị ảnh hưởng bởi độ ghồ ghề của mặt nước do sóng gây ra. Giá trị của hệ số C10 như trong phương trình (5.1) đã được Sheppard (1958) và Wilson (1960) rút ra, và được Wu (1969) tổng kết lại. Silvester (1974a) đã dùng một số kết quả để vẽ đồ thị và đề nghị một mối liên hệ sau: 53
2/1 C10 = 0.00065U10 (5.4) đối với U10 <15 m/s , và một giá trị không đổi C10 = 0.0024 với U10 ≥15 m/s . Thế vào phương trình (5.1) cho ta các giá trị của vận tốc gió tại các độ cao như chỉ ra trên hình 5.1. Giá trị của hệ số này tại các độ cao khác được rút ra nhờ sử dụng phương trình (5.1). Hình 5.1 Liên hệ giữa vận tốc gió tại 10m và 19.5m trên mực nước biển 5.1.2 Các lý thuyết về cơ chế tạo sóng do gió Gió có thể tạo ra dòng chảy trong biển do tác dụng một ứng suất vào bề mặt biển, hoặc là tạo sóng do các biến động áp suất. Một khi đã có gió thì sẽ có những xoáy rối do gió gây ra. Các xoáy rối này được gió vận chuyển đi theo hướng gió, đồng thời chuyển động lên xuống phía trên bề mặt nước. Những biến động áp suất gây ra do chuyển động của các xoáy rối này sẽ tạo ra những dao động trên bề mặt nước và như vậy tạo ra sóng. Dòng chảy do gió tạo ra trên bề mặt cũng ảnh hưởng tới nước ở một độ sâu nào đó. Sự lõm của bề mặt nước gây ra bởi các xoáy rối là rất nhỏ, tuy nhiên, khi được duy trì trong một khoảng thời gian nào đó cùng với phần lồi lên của mặt nước do nó tạo ra, nó sẽ phát triển. Điều này cũng giống như một luồng gió chạy trên mặt nước như trong hình 5.2 mà độ lớn của tốc độ gió sẽ tạo nên một bước sóng nào đó. Nếu như luồng gió đứng yên thì sẽ không có sóng tạo thành. Nếu như nó chuyển động chậm thì phần lõm xuống sẽ tự biến mất. Tuy nhiên, nếu như nó chuyển động với tốc độ bằng với tỷ lệ giữa bước sóng và chu kỳ, sóng sẽ lớn lên. Rối trong không khí là rối ba chiều, vì vậy, các chỗ lõm là ngẫu nhiên cả về không gian và thời gian. Như vậy, sóng được tạo thành tại rất nhiều hướng mà chỉ những sóng chuyển động cùng tốc độ 54
với các xoáy rối là lớn lên. Góc cộng hưởng với hướng gió càng lớn thì chu kỳ sóng càng nhỏ, và sóng có chu kỳ lớn nhất là sóng chuyển động theo hướng gió. Luồng giú Hình 5.2 Sóng gây ra bởi một luồng gió chuyển động (Theo Silvester và Hsu, 1997) Một khi gió đã thổi thì nó sẽ tạo ra rất nhiều sóng có độ cao và chu kỳ khác nhau. Một khi sóng đã được tạo ra trong một khoảng thời gian đủ dài, các sóng ngắn sẽ phát triển đến một độ cao tới hạn nào đó và sau đó sẽ bị vỡ. Các sóng dài cũng giúp cho quá trình sóng vỡ bằng cách làm giảm bước sóng của các sóng ngắn nằm trên đỉnh của nó (Longuet Higgins và Stewart 1960; Wu 1971) và làm cho chúng vỡ trên mặt trước của các sóng này (hiện tượng sóng bạc đầu). Đây cũng là một phương pháp dịch chuyển năng lượng từ các sóng thành phần ngắn tới các sóng thành phần dài và làm tăng độ cao của các sóng thành phần dài. Khi mà đà và thời gian tác động của gió tăng lên, tổng năng lượng của sóng sẽ tăng lên tới khi bão hoà và tất cả năng lượng gió hấp thụ được sẽ bị tiêu tán do sóng vỡ. Trạng thái này được gọi là sóng phát triển hoàn toàn hay FAS. Khi đó các đặc trưng sóng phụ thuộc vào tốc độ gió dừng mà không phụ thuộc vào đà hay thời gian tác động của gió. Ở đây sẽ trình bày ngắn gọn bốn giai đoạn tạo sóng xảy ra đồng thời, đã được Silvester (1974a) và rất nhiều nhà nghiên cứu khác thảo luận rất kỹ. Các cơ chế này là cộng hưởng, dòng cắt, hiệu ứng che chắn và sóng vỡ. Phillips (1957) đã có những đóng góp đáng kể cho ngành hải dương học do đã đề xuất rằng các nhiễu động ngẫu nhiên của áp suất trên bề mặt nước là nguồn gốc của chuyển động sóng. Các dao động áp suất này phải tác động trong một khoảng thời gian đáng kể trong lúc chuyển động trên mặt nước với một vận tốc bằng vận tốc truyền sóng. Các xoáy rối nhỏ gần mặt nước chuyển động chậm hơn các xoáy rối lớn nằm cách xa mặt nước hơn. Tuy nhiên, các sóng có chu kỳ khác nhau có thể được tạo thành đồng thời, và như đã trình bày ở trên, các sóng nhỏ hơn phát triển nhanh hơn. Những dao động này không nhất thiết phải lan truyền theo hướng gió, mà có thể lan truyền theo một hướng tạo với hướng gió một góc nào đó. Quá trình cộng hưởng này chỉ áp dụng cho các sóng có độ cao rất nhỏ và không được tính đến khi nghiên cứu liên kết biển khí. Sau quá trình bắt đầu này, các quá trình tạo sóng khác xảy ra. 55
Đồng thời với thời điểm mà Phillips công bố lý thuyết của mình, Miles (1957) đưa ra lý thuyết dòng chảy cắt dựa trên phân bố logarit của vận tốc gió theo phương thẳng đứng. Tuy rằng bỏ qua các dao động rối, lý thuyết này tính đến áp suất tác dụng theo phương thẳng đứng với bề mặt nước. Nó giả thiết rằng mặt nước ban đầu bị nhiễu động khi có gió thổi ở phía trên sẽ tạo ra những vùng hút và nén không cùng pha với sóng. Điều đó gây ra lực tác động lên mặt sau của đỉnh sóng làm cho mặt nước tại đây chuyển động xuống phía dưới. Việc này giúp cho sóng phát triển. Tuy nhiên, lý thuyết này trở nên bất cập khi mà các đường dòng tách khỏi bề mặt đỉnh sóng. Khi đó, sự phát triển của sóng cần được giải thích bằng một số cơ chế khác. Stewart (1961) đã làm việc này. Hai lý thuyết trên bổ sung cho nhau vì rằng cộng hưởng do rối tạo ra những dao động ban đầu với một phổ chu kỳ rộng, trong khi dòng chảy cắt giúp cho các sóng ngắn hơn phát triển. Cộng hưởng tạo ra sự gia tăng năng lượng một cách tuyến tính, trong khi cơ chế thứ hai tạo ra sự gia tăng năng lượng theo hàm mũ. Các sóng có vận tốc truyền gần với tốc độ gió (hay c/U → 0.8) có thể đạt tới độ dốc tới hạn (H/L) chỉ bằng cách phát triển theo cơ chế cộng hưởng. Các sóng ngắn hơn (c << U) sẽ vượt qua giai đoạn phát triển tuyến tính và phát triển theo hàm mũ trước khi đạt tới giới hạn này. Phillips và Katz (1961) đã tính thời gian thực hiện việc chuyển đổi này đối với các sóng có chu kỳ khác nhau. Longuet-Higgins và những người khác (1963) đã đo sóng bằng phao và kết luận rằng 90% dao động áp suất không khí là phối hợp với sóng và chỉ 10% là phối hợp với rối do gió. gió cắt mạnh vector vỡ của các sóng nhỏ chuyển động hạt của các sóng lớn Hình 5.3: Sự chuyển dịch động năng có thể có từ các sóng ngắn bị vỡ cho các sóng có chu kỳ dài (theo Silvester và Hsu, 1997) Sóng tiếp tục phát triển quá các điều kiện được Miles dự báo bằng một cơ chế gọi là hiệu ứng che chắn. Điều này có nghĩa là tồn tại một lực hút ở mặt trước và một lực đẩy ở mặt sau của các sóng đã hình thành. Stanton (1937) đã khẳng định sự tồn tại của cơ chế này và nhờ nó mà Jeffreys (1925) đã giải thích quá trình hình thành sóng một cách hoàn chỉnh. Chỉ có áp suất tác dụng theo phương vuông góc với mặt nước là được tính đến còn lực tác dụng theo phương tiếp tuyến với bề mặt là bị bỏ qua. Vì các hạt nước tại đỉnh sóng chuyển động theo hướng gió, dường như là bất kỳ một ứng lực nào tác động lên nó cũng có xu hướng gia tăng đường kính của quỹ đạo hạt, tức là gia tăng độ cao sóng. Hino (1966) liên kết các phương trình của Phillips và Miles mà 56
không dùng một yếu tố thực nghiệm nào. Ông đã chứng minh rằng ở trạng thái FAS (sóng đã phát triển hoàn toàn), đóng góp của áp suất trong ứng lực toàn phần đạt tới 100%, trong lúc tại đầu đón gió của đà, đóng góp này chỉ là 50%. Điều này có thể hiểu được là vì độ ghồ ghề của bề mặt nước tăng lên dọc theo đà, và như vậy cho phép gió tác động tốt hơn tới sóng. Trạng thái ổn định sẽ đạt tới khi mà năng lượng hấp thụ được từ gió được tiêu tán bởi sóng vỡ, rối, nhiều hiệu ứng khác và dòng chảy gió. Sóng vỡ là một phần rất quan trọng của quá trình tạo sóng mà nhiều nhà nghiên cứu cho là một cơ chế tiêu tán năng lượng. Tuy nhiên, khi mà sóng vỡ, như đã chỉ ra trên hình 5.3, động năng có thể được chuyển đổi sang chuyển động quỹ đạo của các hạt nước mặt. Quá trình vỡ trên đỉnh của các sóng dài hơn có thể được gia tăng nhờ tốc độ gió. Tuy nhiên, khi mà tốc độ lan truyền của các sóng dài này tiệm cận tới vận tốc gió, (C/U = 1.0), quá trình này suy giảm và do vậy kết thúc quá trình gia tăng năng lượng. Longuet-Higgins (1969) đã đưa ra cơ sở lý thuyết cho quá trình chuyển đổi năng lượng từ các sóng ngắn hơn tới các sóng dài hơn. Ông phát biểu rằng "Khi mà các sóng ngắn suy giảm nhanh chóng vì buộhc p ải vỡ trên mặt trước của các sóng dài, năng lượng của các sóng dài được gia tăng nhanh chóng. Các kết quả tính toán cho thấy rằng cơ chế này có khả năng truyền năng lượng cho sóng biển với một tốc độ quan trắc được." sóng vỡ Khu vực tỷ lệ với năng lượng trên một đơn vị diện tích bề mặt đại dương tăng theo hàm mũ tăng theo quy luật tuyến tính vòng/giây Hình 5.4 Phổ năng lượng đặc trưng cho sóng đại dương Chuỗi số liệu đo đạc sóng tại một số điểm trong đại dương có thể được phân tích để cho ta năng lượng của các thành phần theo tần số (f). Phân bố năng lượng theo tần số này có thể được vẽ thành đồ thị, như đồ thị trên hình 5.4, mà ở đó năng lượng được đo bằng bình phương biên độ của mỗi sóng thành phần với tần số f. 5.1.3 Sóng gió và sóng lừng Nếu như sóng vẫn đang được tạo thành và duy trì nhờ gió, sóng được gọi là sóng gió. Sóng đã rời khỏi khu vực tạo sóng và phân tán trên biển được gọi là sóng lừng. Mỗi loại sóng có các tính chất riêng biệt và ảnh hưởng khác nhau tới động lực học ven bờ. Sóng gió: Các dao động của bề mặt nước là rất phức tạp, bao gồm các sóng có 57
bước sóng và độ cao khác nhau, lan truyền theo các hướng khác nhau. Vì vậy, quá trình này tạo ra các sóng chính có độ dốc lớn, và chúng làm cho các sóng nhỏ vỡ ra trên mặt của chúng. Điều này làm cho các sóng dốc hơn trở thành bất đối xứng và dốc hơn ở mặt trước. Các đặc trưng này làm cho sóng gió dễ dàng bị vỡ và như vậy những vùng nước nông hay dòng chảy ngược dễ dàng tiêu tán những sóng này. Bản chất đa hướng của sóng gió được vẽ trên hình 5.5, với các sóng ở hđầu gió c ủ yếu là các sóng ngắn và lan truyền theo hướng gió. Tiến thêm về phía cuối gió ta thấy rằng các sóng lớn hơn và dài hơn có xu hướng lan truyền theo hướng gió hơn, nhưng không phải hoàn toàn như vậy. Điều này mang lại tầm quan trọng của chiều rộng đà trong quá trình tạo sóng, bởi vì các sóng ngắn lan truyền theo một hướng xiên với hướng gió cần phải đạt tới sự bất ổn định và vỡ để năng lượng của chúng biến thành năng lượng của các sóng dài hơn. Một đà rất hẹp sẽ không cho phép điều này xảy ra, loại trừ trong mô hình máng sóng hay vực sâu gần cửa sông khi mà phản xạ sóng xảy ra. Sơ đồ phân bố năng lượng theo hướng của sóng được vẽ trên hình 5.6, với các đường trung bình cos 2 θ và cos 4 θ áp dụng riêng rẽ cho các sóng ngắn và dài. Như ta đã thấy, một phần năng lượng được vận chuyển gần như là theo các hướng vuông góc với hướng vector gió cả hai bên. Chiều dài đà Chiều rộng đà Hướng gió Hình 5.5 Dạng đỉnh đặc trưng của sóng dọc theo đà (Theo Silvester và Hsu, 1997) Sóng dài nhất Năng lượng sóng Trung bình tương đối Trung bình Sóng ngắn nhất Góc tạo thành với hướng gió trung Hình 5.6 Phân bố năng lượng theo hướng trong các sóng có chu kỳ khác nhau trong điều kiện gió đặc biệt (Theo Silvester và Hsu, 1997) 58
Sóng lừng: Các sóng có một chu kỳ nào đó trong đà sẽ có một hướng phát triển tối ưu, như ta thấy trên hình 5.4. Một khi đã được tạo thành, các sóng này sẽ lan truyền theo hướng cho trước và đi ra khỏi miền gió lớn hay bão. Các sóng này được gọi là sóng lừng và lan truyền qua một khoảng cách rất dài, thậm chí là vượt đại dương. Trong miền cuối gió hay miền phân tán, như thấy trên hình 5.6, các sóng phân tán theo hình tròn và theo các tia từ cuối của đà. Phạm vi của hướng sóng lừng Thoát ra Phạm vi của đỉnh sóng Hướng gió Vùng tiêu tán Độ rộng của năng lượng Phổ tồn tại trong cùng thời gian sóng Hình 5.8 Ph ổ sóng và sự lan truyền sóng trong vùng phân tán (Theo Silvester và Hsu, 1997) Phần lớn năng lượng sóng tập trung vào khoảng 30o xung quanh vector tốc độ gió. Phần của năng lượng FAS lan truyền tới bất cứ điểm nào cuối gió được quyết định bởi góc tạo bởi hai đường thẳng nối hai biên giới của đà tới điểm đó. Điểm đó càng ở xa thì góc càng nhỏ và càng ít năng lượng từ vùng gió mạnh được lan truyền tới. Như vậy, chiều rộng của đà có tầm quan trọng rất lớn đối với kích thước của các sóng lừng trong vùng phân tán, hay đôi khi được gọi là vùng suy giảm, bởi vì năng lượng của sóng không bị tiêu tán mà chỉ bị phân tán rộng ra. Khoảng cách càng lớn thì càng ít sóng có thể tương tác, và như vậy là độ cao sóng càng giảm. Sóng trong phạm vi đà có thể ổn định trong một khoảng thời gian nào đó sau một khoảng thời gian ổn định tại một điểm cho trước. Tuy nhiên, trong miền phân tán sóng lừng sẽ thay đổi liên tục bởi vì các sóng dài hơn sẽ tới một điểm nào đó trước, sau đó là các sóng có chu kỳ trung bình với độ cao lớn hơn, và sau cùng là các sóng nhỏ với chu kỳ ngắn nếu như chúng có thể tới điểm đó. Điều này được biểu thị bằng phổ sóng tại các điểm khác nhau trong phạm vi miền phân tán như trên hình 5.8. Phần 59
diện tích phía bên dưới đường cong phổ diễn tả độ cao sóng thống kê H 3/1 , hay độ cao trung bình của 1 phần 3 số sóng lớn nhất (thường được xem là độ cao sóng có nghĩa), thường được dùng trong thiết kế kỹ thuật. Trong vùng tam giác, lân cận phần cuối gió của đà, tất cả các sóng thành phần chuyển động đồng thời và như vậy dạng bề mặt biển cũng phức tạp y như ở trong đà, trừ việc sóng không bị vỡ. sóng lừng nhỏ sóng lừng lớn đường đi của hoàn lưu lục địa Hình 5.9 Quỹ đạo của các cơn bão trong khoảng 40-60o độ vĩ (Davies, 1964) Một đặc điểm nữa của sóng lừng là tính bất biến của hướng sóng tại các điểm khác nhau ở trên bờ. Mặc dù đà sóng có thể trải rộng theo một vĩ độ, các sóng lừng xuất hiện từ vùng này tập trung trong một dải hướng hẹp, đặc biệt là khi chúng bị khúc xạ qua một thềm lục địa nông trước khi vào tới đường bờ. Như ta đã thấy trên hình 5.8, các sóng đi qua một điểm cách xa đà sóng có hướng rất gần nhau. Thậm chí nếu như đà sóng dịch chuyển sang bên một chút, các sóng xuất hiện từ đà về cơ bản là có cùng hướng. Một đặc điểm quan trọng của sóng bão trên đại dương là chúng được gây ra bởi các cơn bão di chuyển từ tây sang đông giữa các vĩ độ 40o tới 60o ở cả hai bán cầu, như chỉ ra trên Hình 5.9 (Davies 1964). Quỹ đạo của các cơn bão dao động từ bắc tới nam theo mùa. Một số các cơn bão thậm chí vượt qua vĩ tuyến 30o trong một khoảng thời gian ngắn. Như ta đã thấy trong hoàn lưu gió tại mỗi bán cầu, các sóng bão mạnh nhất, và như vậy là các sóng lừng chính, lan truyền từ hướng đông tới xích đạo. Do vậy bờ tây của các lục địa luôn tiếp nhận các sóng lừng từ hướng đó. Ở các bờ đông sóng lừng tới từ phần đuôi các cơn bão di chuyển từ bờ ra khơi. Trường sóng ở đây được bổ sung bởi các sóng lừng và sóng bão giữa các vĩ độ 10o và 25o tại cả hai bán cầu. Các sóng này có xu hướng lan truyền về phía tây và đi khỏi đường xích đạo. Vì vậy, chế độ sóng tại các bờ phía đông và phía tây lục địa có thể khác nhau một cách đáng kể. Thậm chí tại vị trí mà tâm bão ở gần với một bờ biển trước khi vượt qua nó, các sóng lừng sẽ tập trung vào một dải hẹp trong lúc các sóng bão tại nước sâu có thể trải ra một dải rất rộng, như chỉ ra trên hình 5.10. Các sóng lừng có độ cao nhỏ so với bước sóng, hay là độ dốc của chúng (H/L) là nhỏ. Do đó chúng có dạng hình sin và rất bền vững. Khi mà chúng vượt qua đại 60