Giáo trình Phân tích ứng suất (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Phân tích ứng suất (Phần 2)

1. 3-9. Hãy xác định ứng suất trong nêm phẳng cho trên hình B-3-9 với các hàm Airy: ϕ()r, θ = r2 ( Acos2θ + Bsin 2 θ + C θ + D) cho trường hợp hình a),b),c). ϕ()r, θ = r3 ( A cos3θ + B sin 3 θ + C cos θ + Dsin θ) cho trường hợp hình d). y y y y q γx q α α q α α α α t ` t x x x x a) b) c) d) Hình B-3-9 CHƯƠNG 4 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 4.1 Những khái niệm mở đầu Ở phần trên ta thấy việc tìm nghiệm của bài toán đàn hồi dưới dạng các hàm giải tích gặp rất nhiều khó khăn về mặt toán học, và giải được rất ít bài toán với các điều kiện biên và tải trọng đơn giản. Nhờ phương pháp số người ta đã xác định được giá trị bằng số của các hàm nghiệm tại một số điểm trong vật thể, từ đó nội suy cho các điểm còn lại. Một trong các phương pháp số được sử dụng rộng rãi và hiệu quả là phương pháp Phần tử hữu hạn. Trong phần này sẽ giới thiệu cách dùng phương pháp Phần tử hữu hạn để giải các bài toán trên. Phương pháp Phần tử hữu hạn là một phương pháp tính đang được áp dụng hết sức rộng rãi hiện nay trên thế giới, vì phương pháp này rất thuận tiện cho việc áp dụng máy tính điện tử; cho phép tính kết cấu với những sơ đồ tính toán khá phức tạp, phản ánh tương đối đầy đủ tình hình làm việc của kết cấu thực; cho phép tự động hóa tính toán kết cấu, tiết kiệm được nhiều lao động và thời gian. Phương pháp này cho các kết quả bằng số tại các điểm cần tìm, thay cho việc tìm kết quả là các hàm giải tích của các bài toán cơ học vật rắn biến dạng. Phương pháp này không chỉ được áp dụng trong lĩnh vực cơ học vật rắn biến dạng, mà còn trong nhiều lĩnh vực khác. Trong phạm vi hết sức hạn chế của một chương của giáo trình, ta sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản của phương pháp và sẽ được trình bày thông qua bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi.
2. 4.1.1 Rời rạc hóa sơ đồ tính. Véc tơ chuyển vị nút, véc tơ ngoại lực nút, véc tơ phản lực liên kết nút Trong phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng biện pháp rời rạc hóa. Một kết cấu liên tục được coi là tập hợp các phần tử nối với nhau tại các điểm nút. Trên hình 4-1 a, b, c cho thấy hệ thanh gồm các phần tử là các thanh thẳng được nối với nhau bởi các nút khớp hoặc nút cứng tại đầu thanh .Trên hình 4-1 f, i cho hình ảnh các phần tử của bản phẳng, của vật thể khối. Nút phần tử được đặc trưng bởi số bậc tự do của nó. Đó là các chuyển vị thẳng của nút (ui,vi) hay đạo hàm của nó (góc xoay ϕi), chúng được gọi là thông số chuyển vị nút. Toàn bộ m chuyển vị nút của một phần tử được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành véc tơ chuyển vị nút của một phần tử: ⎧δ1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ {}δ e = ⎨ ⎬ (a) ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎩δ m ⎭ Xét phần tử tam giác ba điểm nút của bản phẳng trên hình 4-1g véc tơ chuyển vị nút của phần tử này là: i j i j e) a) c) f) y b) d) i j u i j u i j ui uj ϕi ϕi v vj vi vj i x 2 i) g) i h) i k j 5 3 6 4 Hình 4-1 ⎧δ1 ⎫ ⎧ui ⎫ ⎪δ ⎪ ⎪v ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪δ 3 ⎪ ⎪u j ⎪ {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪δ 4 ⎪ ⎪v j ⎪ ⎪δ ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ k ⎪ ⎩⎪δ 6 ⎭⎪ ⎩⎪vk ⎭⎪ Còn véc tơ chuyển vị nút của phần tử thanh i-j hai đầu nút khớp và hai đầu nút cứng trên hình 4-1b, d lần lượt có kích thước là (4 x 1) và (6 x 1):
3. u ⎧δ1 ⎫ ⎧ i ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ ⎧u ⎫ δ vi ⎧ 1 ⎫ i ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪v ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪δ 3 ⎪ ⎪ i ⎪ {}δ = = ; {}δ = = e ⎨ ⎬ ⎨u ⎬ e ⎨ ⎬ ⎨u ⎬ ⎪δ 3 ⎪ ⎪ j ⎪ ⎪δ 4 ⎪ ⎪ j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩δ 4 ⎭ v j δ 5 v j ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ ⎪ ⎩ 6 ⎭ ⎩⎪ϕ j ⎭⎪ Hình 4-1g cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng và các chuyển vị nút của nó. Toàn bộ n chuyển vị nút của một hệ được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành một véc tơ chuyển vị của toàn kết cấu: ⎧Δ1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪Δ 2 ⎪ {}Δ = ⎨ ⎬ (b) ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎩Δ n ⎭ Nút của một phần tử không nhất thiết phải ở tại các đỉnh của phần tử, mà còn có thể nằm trên các biên của phần tử; hình 4-1h cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng gồm 6 nút và véc tơ chuyển vị nút có kích thước (12 x 1). Khi tính toán, tải trọng tác dụng trên hệ được thay thế bằng một hệ lực tập trung (P, M) đặt tại các điểm nút, có các thành phần tươ ng ứng với chuyển vị nút. Với một phần tử, véc tơ tải trọng nút {f}e (lực nút do tải trọng) tương ứng với véc tơ chuyển vị nút {δ}e của phần tử. Còn với toàn kết cấu, tương ứng với véc tơ chuyển vị nút {Δ} có véc tơ tải trọng nút {F}. Khi rời rạc hóa kết cấu, số lượng phần tử được phân chia càng lớn, kích thước phần tử càng nhỏ thì mức độ chính xác càng cao; song số lượng phần tử của hệ cũng như kích thước của phần tử nhất thiết phải là hữu hạn. Tại mỗi nút, tất cả các phần tử nối vào nó đều có cùng chung một chuyển vị, nên điều kiện liên tục đã được đảm bảo tại các nút. Khi tách xét riêng một phần tử (hình 4-2a), có thể xem giữa phần tử xét và các phần tử lân cận được liên kết với nhau bằng các thanh liên kết tại các điểm nút. Phản lực trong các thanh liên kết nút (lực nút) và chuyển vị nút {δ }e là tương ứng với nhau và lập thành véc tơ phản lực liên kết nút {N}e . Trong toàn thể kết cấu ta có một hệ tọa độ chung để xác định vị trí của tất cả các bộ phận (các phần tử) tham gia vào kết cấu đó (còn gọi là hệ trục tọa độ tổng thể). Ví dụ với bài toán không gian ta thường ký hiệu hệ trục tọa độ chung là oxyz. Trên từng phần tử ta lại có hệ trục tọa độ riêng cho từng phần tử ( còn gọi là hệ trục tọa độ cục bộ ), và ta thường ký hiệu cho hệ trục tọa độ cục bộ là ox yz . Việc tính toán và xác định các đại lượng nghiên cứu của từng phần tử trong hệ trục tọa độ cục bộ rất tiện lợi. Sau khi xác định được các đại lượng này ứng với hệ trục tọa độ cục bộ, dùng phép chuyển trục tọa độ đã biết trong toán ta hoàn toàn đưa về tính toán trong hệ trục tọa độ chung. Các đại lượng được tính toán trong hệ tọa độ cục bộ sẽ có thêm ký hiệu dấu ngang ở trên. Ví dụ : véc tơ chuyển vị nút và véc tơ phản lực liên kết nút của phần tử e trong hệ tọa độ riêng là:
4. ⎧δ 1 ⎫ ⎧N 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪N 2 ⎪ {}δ e = ⎨ ⎬ ; {}N e = ⎨ ⎬ ⎪M ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩δ m ⎭ ⎩N m ⎭ 4.1.2 Quan hệ giữa véc tơ phản lực liên kết nút và véc tơ chuyển vị nút. Ma trận độ cứng của một phần tử Trong giai đoạn vật liệu biến dạng đàn hồi tuyến tính, giữa véc tơ các phản lực liên kết nút (thường gọi là véc tơ các lực nút) {}N e và véc tơ chuyển vị nút {δ}e của một phần tử có quan hệ phụ thuộc tuyến tính. Chẳng hạn phần tử tam giác của bài toán phẳng (Hình 4-2) lực nút thứ nhất NN1 = ix (lực tại liên kết ngang của nút i và theo hướng của δ 1 = ui ) được tính bằng tổng các lực nút do chuyển vị của tất cả các nút của phần tử gây nên: N1 = Nix = k11δ 1 + k 12 δ 2 + k 13 δ 3 + k 14 δ 4 + k 15 δ 5 + k 16 δ 6 (c) Trong đó: k ij - phản lực đơn vị tại liên kết thứ i (lực nút thứ i) do chỉ riêng chuyển vị nút thứ j bằng đơn vị (δj = 1) gây nên, và được gọi là hệ số độ cứng. Các gạch ngang trên các ký hiệu chỉ rõ các đại lượng đó được xét trong hệ tọa độ riêng của phần tử e. 2 δ 2 = v NN2 = iy 1 y i i x δ 1 = ui NN1 = ix k j 5 3 i i 6 4 Hình 4-2 Nếu viết phương trình dạng (c) cho lần lượt theo thứ tự đủ cả 6 lực nút của phần tử tam giác trên hình 4-2, ta được hệ 6 phương trình đại số tuyến tính, viết dưới dạng ma trận như sau: ⎧N 1 ⎫ ⎡k11 k 12 L k 16 ⎤⎧δ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪N 2 ⎪ ⎢k21 k 22 L k 26 ⎥⎪δ 2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ (d) ⎪M ⎪ ⎢LLLL ⎥⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎩N 6 ⎭ ⎣k61 k 62 L k 66 ⎦⎩δ 6 ⎭ hay {}[]{}Ne= k eδ e (4-1) Trong đó: {},{}N eδ e lần lượt là véc tơ lực nút phần tử và véc tơ chuyển vị nút phần tử e được viết trong hệ tọa độ riêng của phần tử, còn []k e là ma trận độ cứng của phần tử cũng được viết trong hệ tọa độ riêng của phần tử đó Khi tính toán kết cấu, cần phải lập ma trận độ cứng phần tử []k e cho tất cả các phần tử của hệ.
5. 4.1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị Khi phần chia kết cấu thành các phần tử nối với m nhau tại các điểm nút, tại mỗi nút có thể có nhiều P.t phần tử được nối vào. Giả sử tại nút s trong bài toán 1 phẳng cứ m phần tử được nối như trên hình 4-3. Tại 3 2 đó m phần tử có chung một chuyển vị, nên điều kiện liên tục cũng như điều kiện cân bằng tại nút s đều được thỏa mãn. Hình 4-3 Theo phương trình (c) chuyển vị của tất cả các nút của m phần tử được nối tại nút s, đều gây ⎧N sx ⎫ nên lực nút tại nút s, do đó véc tơ lực nút tại nút s là ⎨ ⎬ bằng tổng các lực nút do chuyển vị ⎩N sy ⎭ nút của m phần tử xung quanh gây nên - tính theo (c). ⎧ m ⎫ ()N ⎧N ⎫ ⎪∑ sx e ⎪ m sx ⎪ e=1 ⎪ {}N s = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = []ke {}δ e N m ∑ e ⎩ sy ⎭ ⎪ ⎪ e=1 ∑()N sx e ⎩⎪ e=1 ⎭⎪ Nếu hệ ở trạng thái cân bằng thì véc tơ lực nút tính ở trên phải cân bằng với véc tơ ngoại lực tại nút s và viết được phương trình biểu diễn điều kiện cân bằng của nút s trong hệ tọa độ chung như sau: m {}Ns = ∑[] ke {}δ e = { Fs } (e) e=1 Trong đó: {Ns} là véc tơ lực nút tại nút s do các chuyển vị nút của tất cả các phần tử nối tại nút s gây nên được lập ở hệ tọa độ chung của kết cấu, còn k , δ là ma trận cứng và véc tơ [ ]ee{ } chuyển vị nút của phần tử thứ e cũng được viết trong hệ tọa độ chung của kết cấu và xác định được từ [],k e {δ }e nhờ phép biến đổi tọa độ (sẽ được trình bày trong mục 4.7). {Fs} - véc tơ ngoại lực nút s là tổng của các ngoại lực đặt chính tại nút s với các lực nút do các ngoại lực đặt trong các phần tử quanh nút s tính qui đổi về tại nút đó. Nếu viết phương trình dạng (e) cho lần lượt theo thứ tự toàn bộ các nút của kết cấu, ta được hệ phương trình đại số có dạng: [K] {Δ} = {F} (4-2) Trong đó: [K] - ma trận độ cứng của toàn kếợt cấu đư c thành lập từ các ma trận độ cứng của từng phần tử []k e trong (4-1). {Δ} - véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu. {F} - véc tơ ngoại lực nút. Hệ phương trình (4-2) thực chất là hệ phương trình cân bằng lực tại toàn bộ các nút của hệ. Sau khi xét điều kiện biên (nút không có chuyển vị hoặc có chuyển vị đã biết trước) thì hệ này hoàn toàn có thể giải được. Bản chất của nó giống hệ phương trình chính tắc trong phương pháp chuyển vị và là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn.
6. Giải hệ phương trình (4-2), tìm được véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu {Δ} ở hệ tọa độ chung, từ đó sẽ tìm được chuyển vị nút {δ }e của mỗi phần tử trong hệ tọa độ riêng của phần tử, sau đó xác định được nội lực, ứng suất, biến dạng của điểm bất kỳ trong phần tử (cũng như của kết cấu) nhờ các quan hệ đã có trong Cơ kết cấu và Lý thuyết đàn hồi. Như vậy, vấn đề cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là phải thiết lập được hệ phương trình (4-2), tức xác định được [K] và {F}, mà trước hết là xác định được ma trận cứng phần tử []k e và véc tơ lực nút qui đổi []f e . 4.2 Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng phần tử []k e 4.2.1 Hàm chuyển vị và hàm dạng Như đã nói ở trên, sau khi xác định các chuyển vị nút của một phần tử, ta phải xác định trạng thái biến dạng, ứng suất và chuyển vị tại điểm bất kỳ trong phần tử. Bởi vậy trước hết ta phải thiết lập mối quan hệ giữa véc tơ biến dạng, véc tơ ứng suất, véc tơ chuyển vị tại điểm bất kỳ trong phần tử với véc tơ chuyển vị nút phần tử. Mặt khác, nếu biết véc tơ chuyển vị {}u ta sẽ xác định được véc tơ biến dạng{}ε theo (1-13); sau đó xác định được véc tơ ứng suất {}σ theo (1-19). Ở đây ta chọn chuyển vị nút của phần tử {δ }e làm ẩn, và biểu diễn các đại lượng trên qua {δ }e . Do đó, quan hệ đầu tiên ta phải thiết lập là quan hệ giữa véc tơ chuyển vị {u} với véc tơ chuyển vị nút của phần tử {δ }e . Do không biết chính xác quan hệ này, nên ta chỉ có thể giả thiết gần đúng nó. Đơn giản nhất là giả thiết qui luật thay đổi của chuyển vị trong một phần tử. Với vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, có thể giả thiết chuyển vị tại một điểm bất kỳ M trong phần tử dưới dạng một đa thức, chẳng hạn với bài toán phẳng (Hình 4-4) là: m u(,)(,)(,) x y= α1 ϕ 1 x y+ α2 ϕ 2 x y +L + αm ϕ m (,)(,)x y = ∑αi ϕ i x y (4-3) i=1 Trong đó: ϕi(x,y) là hàm chứa tọa độ x, y của điểm M bất kỳ đang xét. αi là hệ số hằng của đa thức. u(x, y) được gọi là hàm chuyển vị, đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc đồng thời đảm bảo mức độ chính xác của lời giải bài toán cũng như vừa đủ đơn giản trong thuật toán giải. y δ 1 i δ 2 v(x,y) u(x,y) δ 4 δ 5 k M δ 3 δ 6 j x Hình 4-4 Chuyển vị tại một điểm gồm nhiều thành phần (chẳng hạn, với bài toán phẳng là hai), do đó (4-3) viết dưới dạng ma trận được:
7. ⎪⎧u(,) x y ⎪⎫ {}u = ⎨ ⎬ = [M ]{α } (f) ⎩⎪v(,) x y ⎭⎪ Trong đó [M] là ma trận chứa các tọa độ x, y của điểm bất kỳ đang xét. Áp dụng (f) cho các điểm nút i, j, k (ở hệ tọa độ phần tử), ta được vế trái là véc tơ chuyển vị nút phần tử {δ }e : {δ }e = [A]{α} (g) Trong đó [A] là ma trận chứa các ma trận [M] đã thay x, y lần lượt bằng tọa độ cụ thể của các điểm nút i, j, k. Với phần tử tam giác, {δ }e có cấp 6, do đó [A] có cấp (6 x 6), và {α} phải có cấp 6, như vậy ta thấy được khi giả thiết hàm chuyển vị (4-3) số hệ số hằng α phải bằng số chuyển vị nút của phần tử. −1 Từ (g) rút ra: {α}=[]A { δ}e (h) Thay (h) vào (f), được chuyển vị {u} tại một điểm bất kỳ M trong phần tử biểu diễn qua chuyển vị nút {δ }e của phần tử đang xét: −1 {u}=[][][] M ⋅ A{δ}e = N { δ}e (4-4) -1 Trong đó: [N] = [M].[A] gọi là hàm dạng, chứa các tọa độ xi, yi, của các điểm nút của phần tử và các biến x, y là tọa độ của điểm bất kỳ M đang xét. 4.2.2 Véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất tại một điểm trong phần tử Cần thiết lập biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại điểm M bất kỳ trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử {δ }e . Sử dụng các công thức trong chương 1 hoặc 2, chẳng hạn với bài toán phẳng, ta có: Theo công thức (2-7), quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị viết dưới dạng ma trận: ⎧⎫∂ ⎪⎪0 ⎪⎪∂x ⎧⎫ε x ⎪⎪⎪⎪∂ ⎧⎫u {}εε==⎨⎬⎨y 0 ⎬⎨⎬ =∂[]{}u (i) ∂y v ⎪⎪⎪γ ⎪⎩⎭ ⎩⎭xy ⎪⎪∂∂ ⎪⎪ ⎩⎭∂∂y x Trong đó [∂] là ma trận chứa các toán tử đạo hàm. Thay thế {u} tính theo (4-4) vào (i), được cách biểu diễn {ε}e qua chuyển vị nút {δ }e : {ε}e =[] ∂[NB]{ δ}e =[]{ δ}e (4-5) Trong đó ma trận [B] = [∂][N] chứa các đạo hàm của hàm dạng. Theo công thức (2-9), quan hệ giữa ứng suất và biến dạng viết dưới dạng ma trận:
8. ⎡⎤ ⎧⎫σμεxx⎢⎥10⎧⎫ ⎪⎪ E ⎢⎥⎪⎪ {}σ ==⎨⎬σμyy10⎨⎬ εε=[]D {} (k) 1− μ 2 ⎢⎥ ⎪⎪τμγ⎢⎥1− ⎪⎪ ⎩⎭xy ⎢⎥00 ⎩⎭xy ⎣⎦2 Trong đó [D] là ma trận chứa các hằng số đàn hồi của vật liệu. Thay thế {ε}e tính theo (4-5) vào (k) được cách biểu diễn {σ }e thông qua chuyển vị nút {δ }e : {σ}=[][]DB ⋅ ⋅{δ }e (4-6) 4.2.3 Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi Giả sử có một vật thể đàn hồi có thể tích V, diện tích bề mặt chịu tải là SP, diện tích bề mặt có điều kiện biên chuyển vị là Sn (Hình 4-5). Ngoại lực tác dụng vào vật gồm: (X,Y,Z) - Lực thể tích trong một đơn vị thể tích: X, Y, Z. S (XP,YP,ZP) n V - Lực bề mặt trong một đơn vị diện tích: XP, YP, ZP. SP Gọi chuyển vị khả dĩ của phần tử ứng với ngoại lực trên là u, v, w ta được cụng khả dĩ của các ngoại lực: Hình 4-5 W=( Xu + Yv + Zw)( dv + X u + Y v + Z w) ds (a) ∫∫∫ ∫∫ PPP VSP và thế năng ngoại lực: A = - W (b) Mặt khác, trong vật thể đàn hồi tuyến tính xuất hiện nội lực và biến dạng, tạo nên thế năng biến dạng của vật thể: 1 U = (σε+ σε + σε + τγ + τγ + τγ )dV (c) ∫∫∫ x x y y z z xy xy yz yz zx zx V 2 Khi đó thế năng toàn phần của vật thể là: Φ = U + A = U - W (d) Theo nguyên lý Lagrange, khi có chuyển vị khả dĩ cho phép, nếu vật thể ở trạng thái cân bằng và thỏa mãn điều kiện biên thì thế năng toàn phần của hệ đạt giá trị dừng: δΦ = δ(U – W) = 0 (4-7) Phương trình này là cơ sở để rút ra các phương trình cân bằng và các điều kiện biên, đó là cơ sở của phương pháp chuyển vị trước đây, cũng như phương pháp phần tử hữu hạn sau này. 4.2.4 Thế năng toàn phần Φe của một phần tử. Ma trận cứng phần tử []k e , và véc tơ lực nút qui đổi P { q }e Để thiết lập biểu thức tính Φe của một phần tử, ta lập các biểu thức tính công khả dĩ ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue của phần tử đó.
9. Xét trường hợp phần tử vừa chịu tải trọng tập trung đặt tại nút là {P}e (tương ứng với chuyển vị nút {δ }e ), vừa chịu tải trọng phân bố trên bề mặt phần tử có cường độ tại điểm M bất ⎧ ⎫ ⎪q x ⎪ kỳ là {}q = ⎨ ⎬ (với bài toán phẳng). ⎩⎪q y ⎭⎪ Công khả dĩ ngoại lực We (không xét lực thể tích) tính được: T W=δ P + uT q dΩ (l) e {}e {}e ∫{}{ } Ωe Thay thế {u} tính theo (4-5) vào (l), ta được: T WP=δ + δ NT q dΩ (m) e {}e {}e{} e ∫[]{ } Ωe Thế năng biến dạng Ue của phần tử tính theo (d) được: 1 T U = {ε} {} σ dv e 2 ∫ e Ve Thay thế {ε} theo (4-6) và {σ} theo (4-7), ta được: 1 T ⎛ ⎞ U = {}δ ⎜ [][][]BT D⋅ B dv ⎟ ⋅ {}δ (n) e 2 e ⎜ ∫ ⎟ e ⎝ Ve ⎠ Thế năng toàn phần Φe của một phần tử tính được: ⎛ ⎞ 1 T ⎜ T ⎟ T T Φe =UW e − e = {}δ e [][][]B D⋅ B dv ⋅{}δ e − {δ} {P} + { δ } [N] {} q dΩ (o) 2 ⎜ ∫ ⎟ e e e ∫ ⎝Ve ⎠ Ωe Theo nguyên lý cực tiểu của thế năng toàn phần (δΦ = 0), tiến hành lấy đạo hàm riêng lần lượt với từng chuyển vị nút và cho bằng không, ta được hệ m phương trình (cho phần tử có m chuyển vị nút): ⎧ ∂Φ e ⎫ ⎪ ⎪ ∂δ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ∂Φ e ⎪ ∂Φ e ⎪ ⎪ (p) = ⎨ ∂δ 2 ⎬ = {}0 ∂{}δ e ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ ⎪ ∂Φ e ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂δ m ⎭ Thay thế biểu thức Φe theo (o) vào (p) và áp dụng phép đạo hàm riêng đối với ma trận ∂XT AX ∂XBT ( = 2AX ; = B) , được: ∂X ∂X ⎛ ⎞ ⎜ [][][]BT D⋅ B dv ⎟ ⋅δ = P+ [ N]T q dΩ (q) ⎜ ∫ ⎟ {}e { }e ∫ { } ⎝ Ve ⎠ Ωe là một hệ phương trình đại số tuyến tính, dạng:
10. []ke{δ}e ={ f }e (4-8) Trong đó: []k e là ma trận độ cứng của phần tử e: [][][][]k= BT D ⋅ B dv e ∫ (4-9) Ve f= P + NT q dΩ (4-10) { }e { }e ∫[]{ } Ωe {f }e là véc tơ lực nút phần tử do ngoại lực tác dụng lên phần tử (gồm ngoại lực đặt đúng nút {P}e và ngoại lực đặt trong phần tử {P q }e ) T Pq = N q dΩ (4-11) { }e ∫[]{ } Ωe So sánh hệ phương trình (4-8) vừa lập với hệ phương trình (4-1) trước đây, cho thấy (4-8) chính là phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực tại các nút của một phần tử. Tất cả các biểu thức, phương trình đã rút ra ở trên là cho một phần tử hữu hạn e trong hệ tọa độ riêng của nó. Tương tự lập cho toàn bộ các phần tử và chuyển đổi về hệ tọa độ chung rồi gộp lại cho toàn hệ, ta được hệ phương trình cơ bản dạng (4-2) trước đây: [K] {Δ} = {F} Muốn có ma trận cứng toàn hệ [K] trước hết phải xác định được ma trận cứng []k e của từng phần tử; muốn có véc tơ lực nút toàn hệ do ngoại lực {F}, trước hết phải xác định được các lực nút từng phần tử {P}e và {P q }e . Như vậy, trong mục 4.2 này đã cho ta các công thức cơ bản để tính: - Ma trận độ cứng phần tử theo (4-9): [][][][]k= BT D ⋅ B dv e ∫ Ve Véc tơ lực nút phần tử do ngoại lực đặt trong phần tử gây nên theo (4-11): T Pq = N q dΩ { }e ∫[]{ } Ωe Trong đó [B] = [∂][N] theo (4-6) và hàm dạng [N] = [M].[A]-1 theo (4-5) Tùy theo loại bài toán cụ thể (hệ thanh, tấm, bản, hệ khối) mà xác định được: - Ma trận các toán tử đạo hàm [∂] trong (i) ({ε}=[ ∂]{u}) - Ma trận các hằng đàn hồi [D] trong (k) ({σ}= [D]{ ε}) Cuối cùng còn lại các ma trận [M], [A] đều phải xuất phát từ hàm chuyển vị đã giả thiết: {u}= [ M ]{α } theo (f) và {δ }e = [A]{α} theo (g). Hàm chuyển vị {u} được giả thiết dựa trên hai cơ sở: - Dựa vào biểu thức thế năng toàn phần Φ đã lập được đối với mỗi loại bài toán, sao cho hàm chuyển vị {u} được giả thiết có bậc thấp nhất đủ để tiến hành lấy được đạo hàm các biểu thức trong Φ.
11. - Dựa vào số chuyển vị nút của loại phần tử để giả thiết sao cho số số hạng của hàm chuyển vị (số phần tử trong {α}) bằng số chuyển vị nút của phần tử. Như vậy, khi nghiên cứu bài toán cụ thể, trước hết phải thiết lập được biểu thức thế năng toàn phần Φe để có căn cứ giả thiết {u}, xác định [∂] và [D]. Sau đây ta sẽ xét cách áp dụng các công thức trên để lập ma trận độ cứng phần tử []k e và véc tơ lực nút phần tử {P q }e cho một số loại bài toán. 4.3 Ma trận độ cứng của phần tử tam giác trong bài toán phẳng Trong mục 4.2, để minh họa cách áp dụng nguyên lý Lagrange lập ma trận cứng phần tử []k e , ta đã sử dụng phần tử tam giác của bài toán phẳng. Trong mục này, chỉ cụ thể hóa hơn để thấy rõ được bản chất của đường lối xây dựng một ma trận cứng phần tử []k e cho một bài toán bất kỳ. Như trên đã biết, với bài toán phẳng, cácđại lượng y 2 chuyển vị u, biến dạng ε, ứng suất σ, tải trọng tác dụng trong i 1 phần tử q và thế năng biến dạng U, công ngoại lực W, thế năng v, qy toàn phần Φ đều là các hàm của hai biến x, y (Hình 4-6). u, qx k 5 M(x,y) 4 Chuyển vị tại mỗi điểm của phần tử gồm hai thành phần 3 ⎧u(,) x y ⎫ 6 j x {}u = ⎨ ⎬ nên véc tơ chuyển vị nút và véc tơ lực nút ⎩v(,) x y ⎭ Hình 4-6 tương ứng của phần tử gồm 6 thành phần: ⎧δ 1 ⎫ ⎧u i ⎫ ⎧ f 1 ⎫ ⎧P ix ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪v i ⎪ ⎪ f 2 ⎪ ⎪P iy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 j ⎪ ⎪ ⎪δ ⎪ ⎪u ⎪ f P jx {}δ = = ; ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ (a) e ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ {}f e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ δ 4 v j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎪P jy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 5 u k P kx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 6 v k ⎪ ⎪ ⎪P ky ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ f 6 ⎭ ⎩ ⎭ Biểu thức thế năng toàn phần Φe của phần tử e: 1 Φ = {}{εT σ }dv− {}{} uT q dΩ (b) e 2 ∫ ∫ Ve Ω e Trong đó biến dạng {}ε theo (i) của mục 4.2: ⎧ ∂ ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎧ ⎫ ∂x ε x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪⎧u⎫ ⎧u⎫ {}ε = ⎨ε y ⎬ = ⎨ 0 ⎬⎨ ⎬ =[] ∂ ⎨ ⎬ (c) ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎪⎩v⎭ ⎩v⎭ γ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩∂y∂ x ⎭ Ứng suất {}σ theo (k) của mục 4.2:
12. ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ σ x ⎢1μ 0 ⎥ ε x ⎪ ⎪ E ⎢ ⎥⎪ ⎪ {}σ = ⎨σ y ⎬ = 2 ⎢μ 1 0 ⎥⎨ε y ⎬ =[]D ⋅{}ε (d) ⎪ ⎪ 1− μ ⎪ ⎪ τ ⎢ 1− μ ⎥ γ ⎩ xy ⎭ ⎢0 0 ⎥⎩ xy ⎭ ⎣ 2 ⎦ Như vậy, căn cứ vào biểu thức Φe chứa đạo hàm bậc nhất của chuyển vị {}u và phần tử tam ⎧u⎫ giác có 6 chuyển vị nút, cần chọn hàm chuyển vị {}u = ⎨ ⎬ tại một điểm M bất kỳ trong phần tử ⎩v⎭ là hai đa thức bậc nhất gồm 6 hệ số hằng như sau: u=α1 +α 2 x +α 3 y v =α 4 +α 5x + α 6 y có dạng ma trận: ⎧⎫α1 ⎪⎪ ⎧⎫⎡uxy(, ) 1 x y 0 0 0⎤⎪⎪α2 {}uM==⎨⎬⎢⎥⎬ = ⎨[]{}α (f) ⎩⎭⎣vxy(, ) 0 0 0 1 x y⎦⎪⎪M ⎪⎪ ⎩⎭α6 Thay thế lần lượt tọa độ các điểm nút i, j, k vào (f), ta được: ⎧δ 1 ⎫ 1 x y 0 0 0 ⎧α ⎫ ⎪ ⎪ ⎡ i i ⎤ 1 ⎢ ⎥⎪ ⎪ δ 2 ⎪ ⎪ 0 0 0 1 xi y i α 2 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ δ 3 ⎢1 x y 0 0 0 ⎥⎪α ⎪ ⎪ ⎪ j j ⎪ 3 ⎪ (g) {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ =[]A ⋅{}α ⎪δ 4 ⎪ ⎢0 0 0 1 xj y j ⎥⎪α 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢1 x y 0 0 0 ⎥⎪α ⎪ ⎪δ 5 ⎪ ⎢ k k ⎥⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎣⎢0 0 0 1 xk y k ⎦⎥⎩⎪α 6 ⎭⎪ ⎩δ 6 ⎭ Lấy nghịch đảo của ma trận [A] ta được: ⎡ai 0 aj 0 ak 0 ⎤ ⎢b0 b 0 b 0 ⎥ ⎢ i j k ⎥ −1 1 ⎢ci 0 cj 0 ck 0 ⎥ []A = ⎢ ⎥ (h) 2Δ ⎢ 0ai 0 aj 0 ak ⎥ ⎢ 0b 0 b 0 b ⎥ ⎢ i j k ⎥ ⎣⎢ 0ci 0 cj 0 ck ⎦⎥ Trong đó: ai= x j y k − x k y j bi= y j− y k= y jk ( ) i ci= x k− x j= x k j các ký hiệu còn lại aj, bj, cj, ak, bk, ck cũng tính theo (i) với qui tắc biến đổi chỉ số vòng (thuận hay ngược chiều kim đồng hồ).
13. 1 xi y i 2Δ = 1 xj y j (Δ là diện tích của phần tử tam giác) (k) 1 xk y k Xác định ma trận hàm dạng theo (4-4): [N] = [M].[A]-1 ta được: 1 ⎡ai+ b i x + c i y 0 aj+ b j x + c j y 0 ak+ b k x + c k y 0 ⎤ []N = ⎢ ⎥ 2Δ ⎣ 0 ai+ b i x + c i y 0 aj+ b j x + c j y 0 ak+ b k x + c k y⎦ ( ) l Theo (4-5) tìm được ma trận [B]: ⎡bi 0 bj 0 bk 0 ⎤ 1 ⎢ ⎥ []BN= [][] ∂ ⋅ = 0c 0 c 0 c (m) 2Δ ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ci b i c j b j c k b k ⎦ Theo (4-9) xác định ma trận cứng []k e của phần tử tam giác có bề dày h không đổi như sau: [][][][][][][][][][]k= BT D ⋅ B dv = BT D ⋅ B ⋅ hd Ω = h Δ BT D ⋅ B (n) e ∫ ∫ Ve Δ trong đó [D] đã nhận được theo (d). Nếu dùng các ký hiệu: E C = ; C = μ cho bài toán ứng suất phẳng 1 1− μ 2 2 E(1− μ ) μ C = ; C = cho bài toán biến dạng phẳng (o) 1 (1+μ )(1 − 2 μ ) 2 1− μ CC(1− ) C = 1 2 cho cả hai bài toán 12 2 ⎡ CCC1 1 2 0 ⎤ thì: D = ⎢CCC 0 ⎥ ( ) p [] ⎢ 1 1 ⎥ ⎣⎢ 0 0 C12 ⎦⎥ Thay (p) vào (n) tính được ma trận cứng phần tử []k e : 2 2 ⎡ Cb1 i+ C12 c i ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢CCbc1 2i i+ C 12 bc i i Cc1 i+ C12 b i ()đx ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ h Cbb1i j+ C 12 cc i j C1Cbc 2j i+ C 12 bc i j Cb1 j+ C12 c j []k e = ⎢ 2 2 ⎥ 4Δ⎢CCbc1 2i j+ Cbc 12 j i Ccc1 i j+ Cbb 12 i j CCbc1 2 j j+ Cbc12 j j Cc1 j+ Cb12 j ⎥ ⎢ Cbb+ Ccc CCbc+ Cbc Cbb+ Ccc CCbc+ Cbc Cb2 + Cc2 ⎥ ⎢ 1i k 12 i k 1 2k i 12 i k1 j k12 j k 1 2 k j12 j k 1 k12 k ⎥ 2 2 ⎣⎢CCbc1 2i k+ Cbc 12 k i Ccc1 i k+ Cbb 12 i k CCbc1 2 j k+ Cbc12 k j Ccc1 j k+ Cbb12 j k CCbc1 2 k k+ Cbc12 k k Cc1 k+ Cb12 k ⎦⎥ ) 2( 1 - 4
14. ⎧qx ⎫ Theo (4-11) xác định được véc tơ lực nút do lực phân bố bề mặt {}q = ⎨ ⎬ trên phần tử: ⎩qy ⎭ ⎡ ai+ b i x + c i y 0 ⎤ ⎢ 0 a+ b x + c y ⎥ ⎢ i i i ⎥ T 1 ⎢aj+ b j x + c j y 0 ⎥ ⎧qx ⎫ Pq = N q dΩ = ⋅ dxdy (q) {}e ∫[]{} ∫ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ 2Δ 0 a+ b x + c y q y Ωe Δ ⎢ j j j ⎥ ⎩ ⎭ ⎢a+ b x + c y 0 ⎥ ⎢ k k k ⎥ ⎣⎢ 0 ak+ b k x + c k y⎦⎥ 2Δ Trường hợp chọn gốc tọa độ là trọng tâm của tam giác thì ta có: a= a = a = ; i j k 3 xdxdy = 0 ; ydxdy = 0 và lực nút phần tử P q tính theo (q) trở thành: ∫ ∫ { }e y ⎧qx ⎫ 4 ⎪q ⎪ 132 ⎪ y ⎪ i j Δ ⎪qx ⎪ {}P q e = ⎨ ⎬ (r) q 3 ⎪ y ⎪ 7 l k 5 x ⎪qx ⎪ ⎪ ⎪ 8 6 ⎪q ⎪ ⎩ y ⎭ Hình 4-7 Cũng với bài toán phẳng, nếu ta dùng loại phần tử có số nút khác đi (tức số chuyển vị nút cũng khác) thì phải giả thiết hàm chuyển vị khác đi. Chẳng hạn, khi dùng phần tử hình chữ nhật với 4 điểm nút (số chuyển vị nút bằng 8) như hình 4-7 thì hàm chuyển vị phải được giả thiết với 8 hệ số hằng như sau: u(,) x y = α1+α 2x + α 3 y+ α 4 xy v(,) x y =α5 +α 6x +α 7 y+α 8 xy ⎡1 x y xy 0 0 0 0 ⎤ và []M = ⎢ ⎥ ( ) s ⎣0 0 0 0 1 x y xy⎦ (Ở đây nếu chỉ dùng hàm chuyển vị bậc nhất thì không thể lập được hàm chuyển vị có véc tơ {}α gồm 8 thành phần). 4.4 Ma trận cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu kéo nén Xét phần tử là một thanh thẳng i-j chịu tải trọng dọc theo trục thanh, giả sử lực phân bố q(x) như trên hình (4-8). Thanh chịu kéo nén đơn nên chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mọi điểm trên mỗi tiết diện đều như nhau và chỉ phụ thuộc vào một biến x (trục x chọn trùng với trục thanh, gốc tại i). q(x) x i j x l δ 1 = ui δ 2 = u j f1 = Pix f2 = Pjx
15. Hình 4-8 Lúc này véc tơ chuyển vị nút {δ }e và véc tơ lực nút phần tử tương ứng {f }e là: ⎪⎪⎪⎪⎧⎫δ 1 ⎧⎫ui ⎪⎧ f 1 ⎪⎫ ⎧Pix ⎫ {}δ e ==⎨⎬⎨⎬; {}f e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (a) u P ⎩⎭⎪⎪δ 2 ⎩⎭⎪⎪j ⎩⎪ f 2 ⎭⎪ ⎩ jx ⎭ 4.4.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φe , các ma trận [∂] và [D] 1 l Thế năng toàn phần: Φ =σε ⋅dv − q()() x ⋅ u x dx (b) e ∫ ∫ V 2 0 Với thanh thẳng chịu kéo nén đơn, có: du du d ε = và σ=EE ε = từ đó [];[]∂ =DE = (c) dx dx dx Thay (c) vào (b) được: ll1 du du Φ =E ⋅Fdx − q()() x ⋅ u x dx (d) e ∫∫ 002 dx dx 4.4.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] Căn cứ trong biểu thức thế năng toàn phần Φe chứa đạo hàm bậc 1 của u(x) và phần tử thanh i-j có hai chuyển vị nút, ta giả thiết u(x) là đa thức bậc 1 với hai số hạng như sau: ⎧α1 ⎫ u() x =α1 + α 2 x = [1 x ]⎨ ⎬ == [[] MM ]{}ε{α } (e) ⎩α 2 ⎭ Thay vào (e) lần lượt tọa độ của 2 điểm nút i và j (xi = 0; xj = 1) được ma trận [A]: ⎪⎧δ 1 ⎪⎫ ⎡1 0⎤⎧α1 ⎫ {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥⎨ ⎬ = []A {}α (f) ⎩⎪δ 2 ⎭⎪ ⎣1 l⎦⎩α 2 ⎭ Theo (4-4) xác định được ma trận hàm dạng [N]: ⎡ 1 0⎤ −1 ⎢ ⎥ ⎡l − x x⎤ [][N= M ][] ⋅ A = [1 x ] ⋅ −1 1 = ⎢ ⎥ (g) ⎢ ⎥ ⎣ l l ⎦ ⎣ l l ⎦ Theo (4-5) xác định được ma trận [B]: dxx⎡⎤⎡⎤l − 11 []BN=∂ [][] = ⎢⎥⎢⎥= − (h) dx ⎣⎦⎣⎦ll ll 4.4.3 Lập ma trận độ cứng phần tử []k e Theo (4-9):
16. ⎧ 1⎫ ⎡ 1 1 ⎤ − − l ⎪ ⎪ ⎡ 1 1⎤ l ⎢ 2 2 ⎥ [][][][]k= BT D ⋅ B dv = l ⋅E ⋅ − Fdx= EF l l dx (i) e ∫ ∫ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ∫ ⎢ ⎥ V 0 1 ⎣ ⎦ 0 ⎢ 1 1 ⎥ e ⎪ ⎪ l l − ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ l ⎭ ⎣⎢ l l ⎦⎥ Trường hợp thanh có tiết diện không đổi: EF ⎡ 1− 1⎤ []k e = ⎢ ⎥ ) ( 3 1 - 4 l ⎣−1 1⎦ 4.4.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử []P q e do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên Theo (4-11) có: q ⎧l − x⎫ ll a) T ⎪ ⎪ l ql i j q {}Pq e = [] N q() x dx = ⎨ ⎬q() x dx l ∫∫x 2 00⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ q ⎩ l ⎭ b) - Trường hợp thanh chịu lực phân bố đều q(x) = q = const ql i j ql (Hình 4-9a): 6 3 c) i P j ⎧ − x⎫ ⎧q ⎫ l l l − a a a l ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧P ⎫ P P ⎪ l ⎪ ⎪ 2 ⎪ ix l l {}P q e = ⎨ ⎬q() x dx = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ l ∫ x q P 0 ⎪ ⎪ ⎪ l⎪ ⎩ jx ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Hình 4-9 ⎩ l ⎭ ⎩ 2 ⎭ x - Trường hợp thanh chịu lực phân bố tam giác q() x= q (Hình 4-9b): l ⎧⎫l − x ⎧ql⎫ l ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪l qx ⎪⎪6 {}Pdq ==⎨⎬x ⎬⎨ ( ) m e ∫ x q 0 ⎪⎪l ⎪⎪l ⎩⎭⎪⎪l ⎩⎭⎪ 3 ⎪ - Trường hợp trong thanh có lực tập trung P đặt tại điểm x = a hướng dọc theo trục thanh (Hình 4-9c): ⎧0 khi x≠ a Đặt q()() x= P ⋅ϕ x x= a trong đó ϕ x= a = ⎨ ⎩1khi x= a ⎧ − x⎫ ⎧ − a⎫ l P l l ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ l ⎪ ⎪ l ⎪ {}P q e = ⎨ ⎬P⋅ϕ() xx= a dx = ⎨ ⎬ (n) ∫ x a 0 ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ l ⎭ ⎩ l ⎭ Nếu lực P đặt đúng tại đầu thanh: ⎧Pix ⎫ ⎧P⎫ Khi a = 0 có {}P q e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩Pjx ⎭ ⎩0 ⎭ ⎧Pix ⎫ ⎧0 ⎫ Khi a = l có {}P q e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩Pjx ⎭ ⎩P⎭
17. Như vậy, khi lực đặt đúng nút thì nó chính là lực nút {P}e trong véc tơ lực nút {f}={ P}e + { P q }e theo (4-10) 4.5 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu uốn phẳng Xét phần tử là một thanh thẳng i-j chịu tải trọng phân bố dọc theo trục thanh và có hướng vuông góc với trục thanh (Hình 4-10 a). Chọn trục x trùng với trục thanh, gốc tại i. Chuyển vị tại một tiết diện mặt cắt bất kỳ trong thanh bao gồm chuyển vị thẳng y vuông góc với trục thanh và góc xoay của tiết diện ϕ đều là hàm của một biến x. dy Vì góc xoay ϕ của tiết diện có thể tính được từ chuyển vị thẳng y, (ϕ = ) nên y được dx nhận làm thông số chuyển vị cơ bản. Véc tơ chuyển vị nút {δ }e và lực nút tương ứng {f }e của phần tử là: ⎧ ⎫ ⎧δ 1 ⎫ ⎧vi ⎫ f 1 ⎧Piy ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ f 2 ⎪ ⎪M iy ⎪ {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ; {}f e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (a) v j P ⎪δ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f 3 ⎪ ⎪ jy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ϕ j M ⎩δ 4 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ f 4 ⎭ ⎩ jy ⎭ y q(x) a) b) x i θ x j l ρ Mx Mx δ4 = ϕ j δ2 = ϕi 1 δ 3 = v j δ 1 = v i Hình 4-10 4.5.1 Biểu thức thếi năng toàn phjần Φe , các ma trận [∂], [D] Trên cơ sở giả thiết tiết diện phẳng đã sử dụng trong Sức bền vật liệu, với việc nhận chuyển vị y theo phương vuôngf= góc M với trục thanh làm chuyển vị cơ bản thì đặc trưng cho ứng suất σ bây 2 i f4 = M j d2 y giờ là nội lực mô men uốn: M= − EJ , và đặc trưng cho biến dạng ε là góc xoay tương đối θ dx 2 giữa hai mặt cắt của phân tố có chiều dài bằng đơn vị (Hình 4-10b). Ta có: 2 M x d f= f f1 = fiy 3 jy θ = = − 2 y() x EJ x dx Như vậy, thế năng biến dạng:
18. 1 l e 1 l e 1 d2 y d2 y U = {}{}σT ε dv= Mθ dx =( −EJ )( − ) e ∫∫2 ∫ 2 2 dx 2 dx 2 Ve 0 0 l Mặt khác, công ngoại lực: W=∫ q()() x ⋅ y x dx và biểu thức thế năng toàn phần Φe có được: 0 1 l e d2 y()() x d2 y x l e Φ = EJ ⋅ )()()dx− q x ⋅ y x dx (b) e ∫ 2 2 ∫ 2 0 dx dx 0 d 2 Từ đó, các ma trận []∂=−;J[]DE = dx2 4.5.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] Do trong biểu thức thế năng toàn phần Φe chứa đạo hàm bậc 2 của y(x) và phần tử thanh i-j có 4 chuyển vị nút, ta giả thiết u(x) là đa thức bậc 3 với 4 số hạng như sau (trong trường hợp này là y(x)): ⎧α1 ⎫ ⎪ ⎪ 2 3 2 3 ⎪α 2 ⎪ y() x =α1 + α 2x + α 3 x + α 4 x = []1 x x x ⎨ ⎬ = []M {}α (c) ⎪α 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩α 4 ⎭ (Nếu chọn y(x) là đa thức bậc 2 thì chỉ được 3 số hạng, chưa bằng được số chuyển vị nút của phần tử). Thay tọa độ của các điểm nút i, j vào (c) được: ⎧⎫vyix= ()=0 ⎧⎫δ 1 ⎪⎪10 0 0 dy ⎡⎤⎧⎫α1 ⎪⎪⎪⎪ϕ = () ⎢⎥ ix=0 01 0 0 ⎪⎪ ⎪⎪δ 2 ⎪⎪dx ⎢⎥ ⎪⎪α2 {}δ e ==⎨⎬⎨ ⎬ = ⎨⎬=[]A {}α (d) vy= () ⎢⎥23 δ 3 jx=l 1 ll l α3 ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎪ ⎪⎪⎪dy ⎪⎢⎥012 32 ⎪⎪α ⎩⎭δ 4 ⎪⎪ϕ = () ⎣⎦ll⎩⎭4 ⎩⎭jxdx =l Xác định ma trận hàm dạng theo (4-5): ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 0 ⎥ −1 2 3 3 2 3 1 N= M ⋅ A = 1 x x x ⋅ ⎢ ⎥ = [][ ][] []−2 − 2 − ⎢ l l l l⎥ ⎢ 2 1 2 1 ⎥ − ⎢ 3 2 3 2 ⎥ ⎣ l l l l ⎦ ⎡⎤1111 23x323−+xxxxxxxx 322 −+2 3 23 − 2 32 − (e) ⎢⎥3232()ll() ll() l ()l ⎣⎦llll Theo (4-6) xác định được ma trận [B]:
19. d [BN ]= [ ∂ ][ ] = − [N ] = dx2 ⎡⎛ 6 12x ⎞ ⎛ 4 6x ⎞ ⎛ 6 12x ⎞ ⎛ 2 6x ⎞⎤ =⎢⎜ 2 − 3 ⎟ ⎜ − 2 ⎟ ⎜−2 + 3 ⎟ ⎜ − 2 ⎟⎥ (f) ⎣⎝ l l⎠ ⎝ l l⎠ ⎝ l l⎠ ⎝ l l ⎠⎦ 4.5.3 Lập ma trận độ cứng phần tử []k e Theo (4-9) tính [][][][]k= BT D ⋅ B dv với [B] theo (f) và [D] = EJ e ∫ Ve ⎡ 36 144x 144 x2 ⎤ ⎢ 4− 5 + 6 ⎥ ⎢ l l l ⎥ ⎢ 24 84x 72 x2 16 48x 36 x2 ⎥ − + − + l ⎢ 3 4 5 2 3 4 ()đx ⎥ l l l l l l []ke = EJ⎢ ⎥ ∫ ⎢ 36 144x 144 x2 24 84x 72 x2 36 144x 144 x2 ⎥ 0 − + − − + − − + ⎢ 4 5 6 3 4 5 4 5 6 ⎥ ⎢ l l l l l l l l l ⎥ 12 60x 72 x2 8 36x 36 x2 12 60x 72 x2 4 24 x 36 x2 ⎢ − + − + − + − − + ⎥ ⎢ 3 4 5 2 3 4 3 4 5 2 3 4 ⎥ ⎣ lll lll llllll ⎦ (g) Với EJ không đổi, có: ⎡ 12 ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎢ l ⎥ 6 4 ⎢ ()đx ⎥ ⎢ 2 ⎥ l l ) 4 (1- 4 []ke = EJ ⎢ ⎥ ⎢ 12 6 12 ⎥ −3 − 2 3 ⎢ l l l ⎥ ⎢ 6 2 6 4 ⎥ ⎢ 2 − 2 ⎥ ⎣ l l l l ⎦ 4.5.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử []P q e do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên Áp dụng công thức (4-11), ví dụ với q(x) = q = const: ⎧ 1 ⎫ ⎧ q ⎫ (2x3− 3 x 2 + 3 ) l ⎪ 3 l l ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪l ⎪ ⎪ ⎪ 1 q 2 ⎪ (x3− 2 x 2 + 2 x )⎪ ⎪ l ⎪ ll2 l l ⎪ ⎪ T ⎪l ⎪ ⎪ 12 ⎪ {}Pq e = [] N qdx = ⎨ ⎬qdx = ⎨ ⎬ ∫∫1 q (h) 00⎪ 2 3 ⎪ ⎪ l ⎪ 3 (3lx− 2 x ) ⎪ l ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 3 2 ⎪ ⎪ ql ⎪ 2 ()x−l x − ⎩ l ⎭ ⎩⎪ 12 ⎭⎪ Với ý nghĩa k ij theo công thức (4-1) trước đây, là phản lực tại liên kết thứ i (lực nút thứ i) do chỉ riêng chuyển vị liên kết nút thứ j bằng 1 đơn vị gây nên; trong trường hợp thanh thẳng có
20. tiết diện không đổi, các đại lượng δ, u, ε, σ đều là hàm của một biến x, nên hàm chuyển vị u(x) đã giả thiết ở trên là chính xác, và k ij có thể dễ dàng tính theo lý thuyết Cơ học kết cấu. a) b) q δ2 = ϕ = 1 4EJ i 2EJ q 2 q 2 l l l l 12 12 l 6EJ l 6EJ ql ql 2 2 l l Hình 4-11 2 2 Chẳng hạn, các phần tử trên cột thứ hai của ma trận cứng phần tử []k đã lập trong công thức (4-14) chính là các phản lực liên kết nút đầu thanh do chuyển vị đơn vị của liên kết nút hai gây nên (Hình 4-11a). 6EJ 4EJ k12 = Yi = 2 ; k22 = M i = l l 6EJ 2EJ k32 = Y j = 2 ; k42 = M j = l l Tương tự, véc tơ lực nút {}P q e do tải trọng đặt trong phần tử gây nên, thay cho cách tính theo công thức (h) có thể tính bằng phản lực liên kết nút đầu thanh với dấu ngược lại. Ví dụ với q = const (Hình 4-11b) ⎧⎫⎧⎫qq − ll ⎪⎪⎪⎪22 ⎪⎪⎪⎪22 ⎧⎫Piy qq ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪− ll ⎪M i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12 ⎪⎪⎪ 12 {}Pq ==−=⎨ ⎬⎨ ⎬⎨⎬ e P qq ⎪ jy ⎪⎪− ll ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪22 ⎪⎪⎪ ⎩⎭M j ⎪⎪⎪⎪22 qq ⎪⎪⎪⎪+−ll ⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪12 12 4.6 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực phức tạp 4.6.1 Phần tử thanh đồng thời chịu uốn phẳng và kéo nén 4.6.1.1 Phần tử thanh hai đầu ngàm Xét phần tử thanh thẳng i-j tiết diện không đổi, nối với phần tử thanh lân cận bằng nút cứng ở hai đầu. Khi tách xét riêng phần tử này, các liên kết ở hai đầu được coi là ngàm (Hình 4-12). Lúc này véc tơ chuyển vị nút và lực nút tương ứng gồm 6 thành phần: δ6 = ϕ j ⎧δ 1 ⎫ ⎧ f ⎫ P δ3 = ϕi ⎧ui ⎫ 1 ⎧ ix ⎫ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 5 = v ⎪δ 2 ⎪ vi ⎪ f 2 ⎪ Piy j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 2 = v ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪M ⎪ x ⎪δ 3 ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ f 3 ⎪ ⎪ i ⎪ {}δ = = ; {}f = = e ⎨ ⎬ ⎨u ⎬ e ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ j Pjx δ 1 = u δ 4 = u ⎪δ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎪ ⎪ i j ⎪ ⎪ ⎪v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ Pjy δ 5 j f jy y Piy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ Pjx ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ Mj δ 6 ⎩ j ⎭ j Pix ⎩ ⎭ ⎩ f 6 ⎭ ⎩ ⎭ Mi x i j l
21. Hình 4-12 Kết hợp với hai trường hợp riêng, phần tử thanh chịu kéo nén ở mục 4.3 và phần tử thanh chịu uốn phẳng ở mục 4.4, lập được ma trận độ cứng của phần tử hai đầu ngàm: ⎡ EF ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ 12EJ ⎢ 0 ()đx ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ l ⎥ 6EJ 4 EJ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ []k = l l (4-15) e ⎢ EF EF ⎥ ⎢− 0 0 ⎥ ⎢ l l ⎥ ⎢ 12EJ 6 EJ 12EJ ⎥ ⎢ 0 −3 − 2 0 3 ⎥ ⎢ l l l ⎥ ⎢ 6EJ 2 EJ 6EJ 4 EJ ⎥ 0 0 − ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ l l l l ⎦ 4.6.1.2 Phần tử thanh đầu ngàm đầu khớp Đó là trường hợp thanh thẳng tiết diện không đổi, nối với các thanh lân cận bằng nút cứng ở đầu i và nút khớp ở đầu j (Hình 4-13). Lúc này véc tơ chuyển vị nút và lực nút tương ứng gồm 5 thành phần: ⎧δ 1 ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ f ⎫ ui 1 ⎧Pix ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 2 f ⎪ ⎪ ⎪vi ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪Piy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 {}δ e = ⎨δ ⎬ = ⎨ϕi ⎬ ; {}f e = ⎨ f 3 ⎬ = ⎨Mi ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 4 u j P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎪ jx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 5 v j f Pjy ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ 5 ⎭ ⎩ ⎭ Ma trận độ cứng phần tử []k e lập được: ⎡ EF ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ 3EJ ⎢ 0 ()đx ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ l ⎥ ⎢ 3EJ 3 EJ ⎥ (4-16) []k e = 0 2 ⎢ l l ⎥ ⎢ EF EF ⎥ ⎢− 0 0 ⎥ ⎢ l l ⎥ ⎢ 3EJ 3 EJ 3EJ ⎥ ⎢ 0 −3 − 2 0 3 ⎥ ⎣ l l l ⎦
22. y y 2 5 2 4 4 x 3 1 1 x i j i j 3 l l 5 Hình 4-13 Hình 4-14 4.5.1.3 Phần tử thanh đầu khớp đầu ngàm Đó là trường hợp thanh thẳng tiết diện không đổi, nối với các thanh lân cận bằng nút khớp ở đầu i và nút cứng ở đầu j (Hình 4-14). Lúc này véc tơ chuyển vị nút và lực nút tương ứng gồm 5 thành phần: ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ δ 1 ⎧u ⎫ f 1 ⎧P ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ix ⎪ δ 2 f ⎪ ⎪ ⎪vi ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪Piy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ {}δ e = ⎨δ 3 ⎬ = ⎨u j ⎬ ; {}f e = ⎨ f 3 ⎬ = ⎨Pjx ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 4 v P ⎪ ⎪ ⎪ j ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎪ jy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ 5 ϕ f M ⎩ ⎭ ⎩ j ⎭ ⎩ 5 ⎭ ⎩ j ⎭ Ma trận độ cứng phần tử []k e lập được: ⎡ EF ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ 3EJ ⎢ 0 ()đx ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ l ⎥ EF EF ⎢ 0 ⎥ − (4-17) []k e = ⎢ l l ⎥ ⎢ 3EJ 3EJ ⎥ ⎢ 0 3 0 3 ⎥ ⎢ l l ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3EJ 3EJ 3 EJ ⎥ 0 2 0 − 2 ⎣⎢ l l l ⎦⎥ Với phần tử thanh hai đầu liên kết khớp có []k e theo (4-13), hai đầu liên kết ngàm có []k e theo (4-15), đầu i ngàm đầu j khớp có []k e theo (4-16), đầu i khớp đầu j ngàm có []k e theo (4-17), đã đủ thuận tiện để tính mọi loại hệ thanh phẳng (dàn,dầm , khung phẳng). Trường hợp gặp những thanh có liên kết đầu thanh khác với các phần tử trên, đều có thể quan niệm đưa về loại phần tử đã xét để lập ma trận cứng phần tử []k e . Chẳng hạn, với phần tử thanh trên hình 4-15a, có thể lập []k e theo (4-15) của phần tử hai đầu liên kết ngàm; với P đã cho, có lực nút f5 = − P (lực đặt đúng nút). Với phần tử thanh trên hình 4-15b có thể lập []k e theo (4-15) của phần tử hai đầu liên kết ngàm; với P1, P2, M3 đã cho có lực nút f4 = + P1 ,, f5 = − P2 f6 = − M 3 (lực đặt đúng nút). Với phần tử thanh trên hình 4-15c, có thể lập []k e theo (4-15) của phần tử hai đầu liên kết ngàm; với P đã cho có lực nút f4 = P (lực đặt đúng nút). Với phần tử thanh trên hình 4-15d, có thể lập
23. []k e theo (4-16) của phần tử đầu i ngàm đầu j khớp cố định, còn lực nút phần tử {f }e gồm hai thành phần: {P}e do lực tập trung đặt đúng nút và {P q }e do mô men tập trung M đặt trong phần tử gây nên: P a) i j 0 0 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ P2 ⎧ f ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M3 P 1 ⎧ 0 ⎫ 3M 3M b) 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ i j ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ f 2 ⎪ 0 l l ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ ⎪ M ⎪ c) P {}f e = ⎨ f 3 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ + ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ i j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ M f − P d) 2 ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ − P ⎪ M P ⎪ ⎪ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 i j f 5 3M 3M ⎩ ⎭ ⎪− ⎪ ⎪− ⎪ l ⎩⎪ 2l ⎭⎪ ⎩⎪ 2l ⎭⎪ 3M 3M 2l 2l Hình 4-15 4.6.2 Phần tử thanh không gian Xét trường hợp tổng quát, phần tử thanh thẳng tiết diện không đổi, nối với các thanh lân cận bằng nút cứng ở hai đầu thanh (phần tử thanh hai đầu ngàm không gian). Lúc này véc tơ chuyển vị nút và lực nút tương ứng gồm hai thành phần (Hình 4-16): u ⎧ i ⎫ P ⎪ ⎪ ⎧ ix ⎫ vi ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Piy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y wi ⎪ ⎪ Piz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 11 ⎪ϕ ix ⎪ 5 ⎪M ix ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 4 8 x ϕ iy ⎪ ⎪ 7 10 ⎪ ⎪ M iy ⎪ ⎪ 3 ij9 ⎪ϕ iz ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪M iz ⎪ 12 {}δ e = ⎨ ⎬ ; {}f = u j e ⎨ P ⎬ z ⎪ ⎪ ⎪ jx ⎪ ⎪v j ⎪ ⎪ P jy ⎪ Hình 4-16 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪w j ⎪ P ⎪ jz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ϕ jx M ⎪ ⎪ ⎪ jx ⎪ ⎪ ⎪ ϕ jy ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ jy ⎪ ϕ ⎩⎪ jz ⎭⎪ ⎩⎪M jz ⎭⎪ Trong đó: ϕiz và Miz là góc xoay và mô men uốn quanh trục z (uốn trong mặt phẳng x, y). ϕix và Mix là góc xoắn và mô men xoắn quanh trục x. Ma trận độ cứng phần tử []k e lập được:
24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 EF 1 l 12EJ z 2 0 3 l 12EJ y 3 0 0 3 l GJ 4 0 4 0 xoan ()đx l 6EJ y 4EJ y 5 0 5 − 2 0 l l 6EJ 4EJ 6 0 z 0 0 0 z k = 2 []e l l EF EF 7 − 0 0 0 0 0 l l 12EJ z 6EJ z 12EJ z 8 0 − 3 0 0 0 − 2 0 3 l l l 12EJ y 6EJ y 12EJ y 9 0 0 − 3 0 2 0 0 0 3 l l l GJ GJ 10 0 0 0 xoan 0 0 0 0 0 xoan l l 6EJ y 2EJ y 6EJ y 4EJ y 11 0 0 − 2 0 0 0 0 2 0 l l l l 6EJ z 2EJ z 6EJ z 4EJ z 12 0 2 0 0 0 0 − 2 0 0 0 l l l l (4-18) 4.7 Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ chung của kết cấu. Ma trận biến đổi tọa độ Trong các mục trước, ta đã lập được các ma trận cứng phần tử []k e và véc tơ lực nút phần tử {P q }e hay {f }e là đối với hệ trục tọa độ riêng của từng phần tử. Tuy nhiên, trong phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn []KF⋅{Δ}= { }, các ma trận độ cứng [K], véc tơ chuyển vị nút {}Δ , véc tơ lực nút {}F là của toàn hệ, được xác định từ các phần tử tập hợp lại và phải xét trong một hệ tọa độ chung cho toàn kết cấu. Vì vậy cần thiết phải chuyển đổi các ma trận []k e , {f }e đã lập ở hệ tọa độ riêng của từng phần tử sang []k e , {f }e ở hệ tọa độ chung của toàn kết cấu. Xét phần tử thanh i-j hai đầu liên kết ngàm bị biến dạng và dời vị trí i’-j’ (Hình 4-17). Hệ trục tọa độ riêng của phần tử là x, y trong đó x trùng trục thanh, gốc tại i. Hệ trục tọa độ chung của kết cấu là x, y có phương lập với hệ trục riêng của phần tử một góc θ. Góc θ là dương khi trục chung xoay tới trục riêng cùng tên theo chiều ngược kim đồng hồ. Lúc này các véc tơ chuyển vị nút tương ứng trong hai hệ trục tọa độ là: ⎧ 1 ⎫ ⎧u i ⎫ ⎧ f ⎫ ⎧ ix ⎫ δ 1 P δ ⎧ui ⎫ f ⎧Pix ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪vi ⎪ ⎪ f 2 ⎪ ⎪Piy ⎪ δ vi f Piy ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 3 ⎪ ⎪ϕ i ⎪ ⎪ f 3 ⎪ ⎪M i ⎪ ⎪δ 3 ⎪ ⎪ i ⎪ ⎪ f3 ⎪ ⎪M i ⎪ {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ; {}f e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ; {}δ e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ; {}f e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (a) δ u j f Pjx ⎪δ 4 ⎪ ⎪u j ⎪ ⎪ f 4 ⎪ ⎪P jx ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ ⎪ ⎪v ⎪ ⎪ f ⎪ ⎪P ⎪ δ 5 v j f P jy 5 j 5 jy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 6 ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ f6 ⎪ M ⎪δ 6 ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M j ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ j ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ j ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ j ⎭ ⎩ f 6 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ϕj= ϕ j P jy MMj = y j Pjx y jx MMi = i P j’ y P iy P jy x Pix P ix ϕ= ϕ i i j’ i’ y v j j v j θ x P i iy
25. Hình 4-17 Xét quan hệ chuyển vị nút tại nút thứ i (liên kết ngàm) giữa hệ tọa độ chung của kết cấu với hệ tọa độ riêng của từng phần tử (Hình 4-18): ui = ucosθ + v sin θ i i y y v i’ vui =−iisinθ + vc osθ i ϕi= ϕ i vi Viết dưới dạng ma trận, được: x ⎧u i ⎫ ⎡ cosθ sin θ 0⎤ ⎧ui ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ u i x ⎨vi ⎬ = − sinθ cos θ 0 ⋅ ⎨vi ⎬ θ ⎢ ⎥ i u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ i ϕ ⎢ 0 0 1⎥ ϕ ⎩⎪ i ⎭⎪ ⎣ ⎦ ⎩ i ⎭ Hình 4-18 hay {δi }e = [ λi ]e {} δ i e (d) trong đó []λi e - ma trận biến đổi véc tơ chuyển vị nút i (liên kết ngàm) từ hệ tọa độ chung về hệ tọa độ riêng của phần tử e: ⎡ cosθ sin θ 0⎤ λ =⎢ − sinθ cos θ 0⎥ (e) []i e ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 1⎦⎥ Tương tự, với nút đầu j, có: δj = λ δ { }e [ j ]e { j }e Với cả phần tử thanh i-j, được phép biến đổi véc tơ chuyển vị nút phần tử từ hệ tọa độ chung {}δ e về hệ tọa độ riêng {δ }e là: ⎪⎧δ i ⎪⎫ ⎡[]λi 0 ⎤ ⎧δ i ⎫ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎨ ⎬ hay {δ }e =[L]e ⋅{δ}e (4-19) ⎪ j ⎪ 0 []λ j δ j ⎩δ ⎭e ⎣ ⎦ e ⎩ ⎭ Trong đó []L e - ma trận biến đổi véc tơ chuyển vị nút của phần tử e khi xoay trục, còn gọi là ma trận biến đổi tọa độ.
26. ⎡ cosθ sin θ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢− sinθ cos θ 0 []0 ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎥ []L e = ⎢ ⎥ (4-20) ⎢ cosθ sin θ 0⎥ ⎢ []0 − sinθ cos θ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 1⎦⎥ Tương tự, đối với véc tơ lực nút của phần tử, ta có: {f}e =[] Le ⋅{} f e (f) Do []λ e và []L e là các ma trận biến đổi của phép biến đổi trực giao, có tính chất: −1 T −1 T []λ= [] λ ; []LLe = [ ]e nên theo (4-19) có thể tìm được chuyển vị nút phần tử ở hệ tọa độ chung {}δ e từ chuyển vị nút phần tử ở hệ tọa độ riêng {δ }e như sau: T {}δ e =[]L e ⋅{δ }e ) 1( 2 - 4 Tương tự, với lực nút phần tử: T {}fe =[] Le ⋅{ f }e ) ( 2 2 - 4 Thay thế các biểu thức {δ }e theo (4-19) và {f }e theo (f) vào hệ phương trình cân bằng tại các nút của phần tử đã lập theo (4-8) trước đây: []ke ⋅{δ }e = { f }e được: []ke ⋅[] L e ⋅{}δ e =[]Le ⋅{ f }e T hay ([]Le [] ke ⋅[] L e ⋅{}δ e = {f }e ) đã có dạng hệ phương trình (4-8) ở trên song {δ}e và {f }e thuộc hệ tọa độ chung của kết cấu: []k e ⋅{}δ e = {}f e ( ) g với []k e - ma trận độ cứng của phần tử e ở hệ tọa độ chung của kết cấu, được xác định từ ma trận độ cứng phần tử đã lập trong hệ tọa độ riêng của phần tử: T []ke= [] L e [] ke ⋅[] L e ) ( 3 2 - 4 Thay thế []k e đã tính theo (4-15) vào, được công thức tính ma trận độ cứng phần tử thanh hai đầu liên kết ngàm ở hệ trục tọa độ chung của kết cấu như sau:
27. ⎡ EF 12EJ ⎤ c 2 + s 2 ⎢ 3 ⎥ l l ⎢ EF12 EJ EF 12EJ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ( − 3 )cs s + 3 c ()đx ⎢ l l l l ⎥ ⎢ 6EJ 6EJ 4EJ ⎥ − s c ⎢ 2 2 ⎥ []k e = ⎢ l l l ⎥ EF 2 12EJ 2 EF12 EJ 6EJ EF 2 12EJ 2 ⎢−( c + 3 s )(− + 3 )cs 2 s c + 3 s ⎥ ⎢ l l l l l l l ⎥ EF12 EJ EF 12EJ 6EJ EF12 EJ EF 12EJ ⎢ (− + )(cs −s 2 + c 2 ) − c ( − )cs s 2 + c2 ⎥ ⎢ 3 3 2 3 3 ⎥ l l l l l l l l l ⎢ 6EJ 6EJ 2EJ 6EJ 6EJ 4EJ ⎥ ⎢ − 2 s 2 c 2 s − 2 c ⎥ ⎣ l l l l l l ⎦ (4-24) trong đó l,,c s là chiều dài thanh, cosθ và sinθ được tính thông qua tọa độ của các điểm nút: 2 2 xj− x i yj− y i l ij =()()xi − x j + yi − y j ; cosθ = ; sinθ = (4-25) l ij l ij Ma trận biến đổi [λi ]e đã lập theo (e) là cho trường hợp nút i là nút cứng (liên kết ngàm) có ba chuyển vị nút. Nếu là nút khớp, véc tơ chuyển vị nút chỉ có hai chuyển vị thẳng, không có chuyển vị góc xoay nên []λ sẽ nhận được từ (e) bằng cách xóa bỏ dòng và cột tương ứng với chuyển vị góc xoay tại nút đó: ⎡ cosθ sin θ ⎤ []λ = ⎢ ⎥ (h) ⎣− sinθ cos θ ⎦ Do đó với các phần tử có các nút đầu thanh khác với phần tử hai đầu ngàm đã xét ở trên []L e , []k e sẽ khác đi như sau: - Trường hợp phần tử thanh hai đầu nút khớp (Hình 4-19) ⎡ c s []0 ⎤ ⎡ c2 ()đx ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ − s c EF cs s L = ⎢ ⎥ ; ⎢ ⎥ (4-26) []e []k e = 2 2 ⎢ c s ⎥ l ⎢−c − cs c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣[]0 − s c ⎦ ⎣⎢−cs − s cs s ⎦⎥ Cần lưu ý ở trường hợp này, để áp dụng công thức (4-23) tính [k]e , ma trận []k e đã lập theo (4-13) trước đây cần sửa lại thành dạng tương ứng với phần tử có 4 chuyển vị nút: ⎡ 1 0− 1 0⎤ j x ⎢ 0 0 0 0⎥ EF ⎢ ⎥ (4-26)’ []k e = i θ x l ⎢−1 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎣ ⎦ Hình 4-19 - Trường hợp phần tử thanh đầu i liên kết ngàm, đầu j liên kết khớp (Hình 4-20)
28. ⎡ c s 0 ⎤ x ⎢ ⎥ j ⎢− s c 0[] 0 ⎥ i θ x []L e = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c s⎥ Hình 4-20 ⎣⎢ []0 − s c⎦⎥ ⎡ EF 3EJ ⎤ c 2 + s 2 ⎢ 3 ⎥ l l ⎢ EF3 EJ EF 3EJ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ( − 3 )cs s + 3 c ()đx ⎢ l l l l ⎥ 3EJ 3EJ 3EJ []k = ⎢ − s c ⎥ e ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ l l l ⎥ EF 2 3EJ 2 EF3 EJ 3EJ EF 2 3EJ 2 ⎢−( c + 3 s )(− + 3 )cs 2 s c + 3 s ⎥ ⎢ l l l l l l l ⎥ EF3 EJ EF 3EJ 3EJ EF3 EJ EF 3EJ ⎢ (− + )(cs −s 2 + c 2 ) − c ( − )cs s 2 + c 2 ⎥ ⎢ 3 3 2 3 3 ⎥ ⎣ l l l l l l l l l ⎦ ) 7( 2 - 4 - Trường hợp phần tử thanh đầu i liên kết khớp, đầu j liên kết ngàm (Hình 4-21) ⎡ c s []0 ⎤ x ⎢ ⎥ j ⎢− s c ⎥ i θ x []L e = ⎢ c s 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢[]0 − s c 0⎥ Hình 4-21 ⎣⎢ 0 0 1⎦⎥ ⎡ EF 3EJ ⎤ c 2 + s 2 ()đx ⎢ 3 ⎥ ⎢ l l ⎥ EF3 EJ EF 2 3EJ 2 ⎢ ( − 3 )cs s + 3 c ⎥ ⎢ l l l l ⎥ EF 3EJ EF3 EJ EF 3EJ []k = ⎢−( c 2 + s 2 )(− + )cs c 2 + s 2 ⎥ e ⎢ 3 3 3 ⎥ ⎢ l l l l l l ⎥ EF3 EJ EF 2 3EJ 2 EF3 EJ EF 2 3EJ 2 ⎢ (− + 3 )(cs −s + 3 c )( − 3 )cs s + 3 c ⎥ ⎢ l l l l l l l l ⎥ ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ ⎥ − 2 s 2 c 2 s − 2 c ⎣⎢ l l l l l ⎦⎥ ) ( 8 2 - 4 4.8 Phương pháp số mã lập ma trận cứng [K] và véc tơ lực nút {}F của toàn kết cấu Hệ phương trình cơ bản để giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn đã cho ở công thức (4-2): [K] {Δ} = {F} trong đó véc tơ ẩn chuyển vị nút {Δ} gồm các thành phần xếp theo thứ tự chuyển vị nút của toàn kết cấu, véc tơ lực nút {}F và ma trận cứng toàn hệ [K] cũng có các thành phần xếp theo thứ tự tương ứng với chuyển vị nút.
29. []K và {}F ở đây được lập từ các ma trận độ cứng [k]e và lực nút {f }e của từng phần tử trong kết cấu ở hệ tọa độ chung. Đối với mỗi phần tử e có một hệ phương trình cân bằng dạng (4-8) ở hệ tọa độ chung là: []k e ⋅{}δ e = {}f e trong đó {}δ e là véc tơ chuyển vị nút có các thành phần được xếp theo thứ tự đã được qui định sẵn cho từng phần tử. Cấu trúc của ma trận cứng [k]e và véc tơ lực phần tử {}f e cũng tương ứng với chuyển vị nút {δ}e . Do thứ tự các thành phần trong véc tơ chuyển vị nút {δ}e của từng phần tử nói chung khác với thứ tự trong véc tơ chuyển vị nút {}Δ của toàn kết cấu, nên cần lưu ý xếp đúng vị trí của từng phần tử trong []k e và {}f e vào []K và {F}. Việc sắp xếp này thường được áp dụng phương pháp số mã có nội dung như sau: Mỗi chuyển vị nút và lực nút tương ứng được dùng hai số mã để đặt tên: 1- Số mã cục bộ là số mã từ 1 đến m (m là tổng số chuyển vị nút của phần tử). Đó là thứ tự sắp xếp trong véc tơ chuyển vị nút {}δ e và lực nút {f }e của một phần tử. Nếu các phần tử có các chuyển vị nút (m) như nhau thì số mã cục bộ của chuyển vị nút giống nhau. 2- Số mã toàn thể là số mã 1 đến n (n là tổng số chuyển vị nút của toàn kết cấu). Đó là thứ tự sắp xếp trong véc tơ chuyển vị nút {}Δ và lực nút {F} của toàn kết cấu. Mỗi thành phần của []k e hoặc {}f e tương ứng với một số mã toàn thể của chuyển vị nút cụ thể. Căn cứ vào số mã toàn thể của chuyển vị nút cụ thể này mà sắp xếp trị của thành phần [k]e và{}f e vào đúng vị trí trong ma trận []K và véc tơ {F} của toàn kết cấu. Có thể minh họa nội dung sắp xếp trên y qua ví dụ sau (Hình 4-22). Trên hình đã ghi (1,2) (3,4,5) (6,7) x tên của phần tử và số mã toàn thể của chuyển A (1) B (2) C vị nút. Sự tương ứng giữa số mã cục bộ và số (3) mã toàn thể của chuyển vị nút trong từng D (8,9) phần tử được ghi trong bảng: Hình 4-22 Phần tử Số mã cục bộ 1 2 3 4 5 6 Tên Loại θ0 Số mã toàn thể 1 A B 00 1 2 3 4 5 2 B C 00 3 4 5 6 7 3 B D - 900 3 4 8 9 Với từng phần tử, lập được ma trận độ cứng phần tử [k]e và véc tơ lực nút phần tử {f }e ở hệ tọa độ chung, với các ký hiệu phân biệt như sau:
30. CB→ 1 2 3 4 5 ↓ 1 * (đx ) 1 ⎧*⎫ 2 * * 2 ⎪*⎪ ⎪ ⎪ []k 1 = 3 * * * 3 ; {}f 1 = ⎨*⎬ 4 * * * * 4 ⎪*⎪ ⎪ ⎪ 5 * * * * * 5 ⎩⎪*⎭⎪ ↑ 1 2 3 4 5 ←TT Căn cứ bảng số mã đã lập trên, với mỗi phần tử của ma trận [k]e và véc tơ {}f e được sắp xếp vào ma trận độ cứng []K và véc tơ lực nút {F} của toàn hệ. Chẳng hạn, phần tử k43 của [k]3 được xếp vào trị k98 trong []K ; phần tử f4 của {f }2 được xếp vào trị của f6 trong {}F .
31. Các thành phần trong ma trận của từng phần tử được xếp vào cùng một vị trí của ma trận toàn hệ đều được cộng lại với nhau. 4.9 Cách xử lý điều kiện biên Để giải được hệ phương trình [K] {Δ} = {F}, cần phải có định thức của ma trận []K khác không (det[]K ≠ 0), tức là hệ phương trình không suy biến. Với bài toán kết cấu, điều này chỉ có thể đạt được khi điều kiện biên được thỏa mãn (kết cấu phải bất biến hình). Đó là điều kiện cho trước một số chuyển vị nút nào đó bằng không hoặc bằng một giá trị xác định. 1- Trường hợp tại một nút của phần tử có liên kết giữ cho chuyển vị nút bằng không (với ví dụ cho trên hình 4-24, các chuyển vị nút 1, 2, 6, 7, 8, 9 đều bằng không), ta xử lý như sau: + Không cho số mã của chuyển vị nút đó, hoặc ghi “0”. Việc đánh số mã toàn thể của chuyển vị nút theo thứ tự và véc tơ chuyển vị nút toàn hệ {Δ} chỉ bao gồm các chuyển vị nút còn lại. Với hệ đã cho trên hình 4-22 được đánh số lại như trên hình 4-23 và bảng số mã cũng được lập lại: Phần tử Số mã cục bộ 1 2 3 4 5 6 Tên Loại θ0 Số mã toàn thể 1 A B 00 0 0 1 2 3 2 B C 00 1 2 3 0 0 3 B D - 900 1 2 0 0 + Khi lập []k e và {f }e , các dòng và cột tương ứng với số mã chuyển vị nút bằng không trên đều ghi số không (0): Chẳng hạn, với phần tử 3: CB→ 1 2 3 4 y ↓ 1 Δ (đx ) 1 ⎧Δ⎫ (0,0) (1,2,3) (0,0) x ⎪ ⎪ A (1) B (2) C 2 ΔΔ 2 Δ ⎪ ⎪ (3) []k 3 = ;{}f = ⎨ ⎬ 3 0 0 0 0 3 0 ⎪ ⎪ D (0,0) 4 0 0 0 0 0 ⎩⎪0 ⎭⎪ ↑ ← 1 2 0 0 TT Hình 4-23 Cuối cùng, với toàn hệ ta được: * +Δ (đx ) 1 ⎧*+Δ⎫ +Δ +Δ 2 ⎪ ⎪ []K = ; {}F = ⎨*+Δ⎬ *+ * + * + 3 ⎪ *+ ⎪ 1 2 3 ⎩ ⎭
32. 2- Trường hợp một chuyển vị nút được cho trước một giá trị xác định, chẳng hạn, Δm = a (kể cả a = 0). Khi lập chương trình cho máy tính có thể xử lý theo hai cách sau: a/ Xử lý kiểu gán số không - Trong ma trận [K ] đã lập được, gán Kmm: = 1; còn với mọi i, j khác m ta gán: Kkj: = 0; Kim: = 0. Trong véc tơ {}F đã lập được, ta gán Fm= a. Ví dụ với hệ phương trình của bài toán có [K] cấp (4x4), có điều kiện biên Δm = Δ2 = a, sau khi xử lý điều kiện biên như trên, ta được: ⎡K11 ()đx ⎤ ⎧Δ1 ⎫ ⎧F1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 1 ⎪Δ 2 ⎪ ⎪ a ⎪ ⎢ ⎥ ⋅⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ KK31 0 33 ⎪Δ3 ⎪ ⎪F3 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣KKK41 0 43 44 ⎦ ⎩Δ 4 ⎭ ⎩F4 ⎭ Như vậy hệ phương trình []K {}Δ = {F} trên đã thỏa mãn điều kiện biên, vì phương trình thứ hai lúc này chính là Δ2 = a. b/ Xử lý kiểu cộng một số vô cùng lớn Sử dụng một số A vô cùng lớn, chẳng hạn A ≥ 1020 và thực hiện phép gán các trị của ma trận []K và {}F đã lập được theo thứ tự sau: - Gán Kmm: = Kmm + A - Sau đó gán Fm: = Kmm.a Sau khi xử lý điều kiện biên, cũng đối với ví dụ ma trận [K] cấp (4x4) như trên, ta được: ⎡K11 ()đx ⎤ ⎧Δ1 ⎫ ⎧ F1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ KKA21 22 + ⎪Δ 2 ⎪ ⎪()K22 + A a⎪ ⎢ ⎥ ⋅ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ KKK31 32 33 ⎪Δ3 ⎪ ⎪ F3 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣KKKK41 42 43 44 ⎦ ⎩Δ 4 ⎭ ⎩ F4 ⎭ Hệ phương trình trên đã thỏa mãn điều kiện biên, vì phương trình thứ hai: K21Δ 1 +() K22 + A Δ2 + K 23Δ 3+ K 24Δ 4 = () K22 + A a Chia cả hai vế cho ()KA22 + lại được Δ 2 = a . 4.10 Cách đánh số mã nút để hạn chế bề rộng băng của ma trận [K ] Sau khi sắp xếp các thành phần của ma trận cứng phần tử [k]e vào ma trận cứng toàn hệ []K , ta được []K thường có dạng băng, đối xứng qua đường chéo chính (Hình 4-24). Khi giải hệ phương trình [K] {Δ} = {F} bằng máy tính, bộ nhớ chỉ cần lưu giữ các trị của các thành phần nằm trong băng hoặc nửa băng mà thôi. Do đó, bề rộng băng (ký hiệu B – số phần tử thuộc phạm vi băng trên một dòng của ma trận []K ) quyết định trực tiếp tới số lượng ô bộ nhớ của máy tính cần sử dụng và thời gian chạy máy để giải hệ phương trình.
33. Trường hợp hệ gồm các điểm nút đều có số chuyển ⎡ Đường chéo chính⎤ vị nút như nhau thì bề rộng băng được tính theo công ⎢ ⎥ thức sau: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ B = 2(d+1)m - 1 []K = ⎢ ⎥ ⎢ B ⎥ Trong đó: m – số chuyển vị nút của một nút ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ d – số lớn nhất trong các hiệu số giữa số mã ⎣⎢ ⎦⎥ nút lớn nhất và nhỏ nhất của một phần tử. Hình 4-24 Tùy theo cách đánh mã số nút, có d khác nhau mà bề rộng băng khác nhau. Ví dụ với hệ cho trên hình 4-25 gồm 48 phần tử thanh, 24 điểm nút. Giả sử mỗi nút đều có hai chuyển vị nút (m = 2) thì bài toán có 24 x 2 = 48 ẩn. 5 9 13 17 1 2 3 4 5 6 a) 1 21 b) 2 22 7 12 3 23 13 18 4 24 8 12 16 20 19 20 21 22 23 24 Hình 4-25 + Nếu đánh số mã nút có thứ tự lần lượt theo cạnh ngắn (Hình 4-25a) có hiệu số mã nút: - Với phần tử thanh ngang, bằng 4. - Với phần tử thanh đứng, bằng 1. - Với phần tử thanh xiên, bằng 5. Do đó hiệu số mã nút lớn nhất d = 5 và bề rộng băng: B = 2(5 + 1)2 -1 = 23 và tổng số ô nhớ của máy tính cần dùng cho các phần tử nằm trong băng là 840. + Nếu đánh số mã nút có thứ tự lần lượt theo cạnh dài (Hình 4-25b) có hiệu số mã nút: - Với phần tử thanh ngang, bằng 1. - Với phần tử thanh đứng, bằng 6. - Với phần tử thanh xiên, bằng 7. Do đó hiệu số mã nút lớn nhất d = 7 và bề rộng băng: B = 2(7 + 1)2 -1 = 31 và tổng số ô nhớ của máy tính cần dùng cho các phần tử nằm trong băng là 1006. Như vậy, qua ví dụ trên cho thấy nếu đánh số mã nút lần lượt theo cạnh ngắn thì bề rộng băng sẽ nhỏ hơn. Do đó khi đánh số mã nút cần đánh sao cho trị của d nhận được là nhỏ nhất. 4.11 Xác đỊnh nội lực của phần tử thanh Sau khi giải hệ phương trình [K] {Δ} = {F}, được véc tơ chuyển vị nút toàn kết cấu {Δ} trong hệ tọa độ chung: Nghĩa là biết được chuyển vị nút của từng phần tử. Với bài toán phẳng của vật thể đàn hồi ta xác định được trường chuyển vị, trường biến dạng, trường ứng suất theo (4-5), (4-6), (4-7). Còn đối với kết cấu hệ thanh, ta sẽ xác định được nội lực tại các đầu thanh.
34. Căn cứ phương trình quan hệ giữa phản lực liên kết nút và chuyển vị nút của một phần tử e theo công thức (4-1): {N}e = [] k e {δ }e (a) Nếu biết chuyển vị nút phần tử {δ }e ở hệ trục tọa độ riêng của phần tử đó thì có thể tìm được phản lực liên kết nút {N}e (lực nút) của phần tử, và đó cũng chính là các nội lực tại điểm của phần tử sát với nút (hay nội lực tại điểm nút của phần tử) do các chuyển vị nút gây ra. Chuyển vị nút {δ }e của phần tử ở hệ tọa độ riêng có thể tìm được từ chuyển vị nút phần tử {}δ e ở hệ tọa độ chung theo công thức chuyển trục (4-19): {δ }e =[]L e ⋅{}δ e (b) []L e - ma trận biến đổi tọa độ, được thiết lập cho từng loại phần tử khác nhau theo các công thức (4-20, 26,27,28). Trong khi lập trình ta sử dụng phương pháp số mã để tìm lại {δ }e . {}δ e - chuyển vị nút phần tử ở hệ tọa độ chung, nhận được từ véc tơ chuyển vị nút toàn kết cấu {}Δ sau khi giải hệ phương trình. Thay thế (b) và (a) được nội lực tại các điểm nút của phần tử do các chuyển vị nút phần tử gây nên: {N}e =[] ke [] L e ⋅{}δ e (c) Xét trường hợp tổng quát, trong phần tử còn có tải trọng tác dụng thì nội lực {N}e tính trên còn phải thêm nội lực {N q }e do tải trọng trong phần tử gây nên. Dùng ký hiệu []Se = [] ke [] L e (4-29) Cuối cùng được nội lực tại các điểm nút của phần tử là: {NS}e =[]e ⋅{}δ e + {N q }e (4-30) Nội lực {N q }e tính bằng lực nút phần tử {P q }e theo công thức (4-11) do ngoại lực đặt trên phần tử nhưng lấy dấu ngược lại, hay cũng chính bằng phản lực liên kết nút phần tử {R q }e do tải trọng đặt trên phần tử gây nên: {N q }e = − {P q }e = {R q }e (d) Khi tính hệ thanh phẳng, các phần tử đơn giản là các đoạn thanh thẳng, có thể theo (4-29) lập sẵn các công thức tính ma trận []S e cho từng loại đoạn thanh. - Phần tử thanh hai đầu liên kết ngàm (Hình 4-26): Với []k e theo (4-15) và []L e theo (4-20), lập được: (c = cosθ, s = sinθ)
35. ⎡ EF EF EF EF ⎤ ⎢ c s 0 − c − s 0 ⎥ l l l l ⎢ 12EJ 12EJ 6EJ 12EJ 12EJ 6EJ ⎥ ⎢− 3 s 3 c 2 3 s − 3 c 2 ⎥ ⎢ l l l l l l ⎥ 6EJ 6EJ 4EJ 6 EJ 6EJ 2EJ ⎢ − s c s − c ⎥ ⎢ 2 2 2 2 ⎥ []S = l l l l l l (4-31) e ⎢ EF EF EF EF ⎥ ⎢ − c − s 0 c s 0 ⎥ ⎢ l l l l ⎥ ⎢ 12EJ 12EJ 6EJ 12EJ 12EJ 6EJ ⎥ 3 s − 3 c −2 − 3 s 3 c − 2 ⎢ l l l l l l ⎥ ⎢ 6EJ 6EJ 2EJ 6 EJ 6EJ 4EJ ⎥ ⎢ − 2 s 2 c 2 s − 2 c ⎥ ⎣ l l l l l l ⎦ NM6 = ji x x N 4 y j y j NX4 = ji NM3 = ij N 3 N 5 i θ NY5 = ji i θ x N 1 x NX1 = ij NY2 = ij N 2 Hình 4-26 Hình 4-27 - Phần tử thanh đầu i liên kết ngàm, đầu j liên kết khớp (Hình 4-27): Với []k e theo (4-15) và []L e theo (4-27), lập được: ⎡ EF EF EF EF ⎤ ⎢ c s 0 −c − s ⎥ l l l l ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3 EJ 3EJ ⎥ ⎢− 3 s 3 c 2 3 s − 3 c⎥ ⎢ l l l l l ⎥ 3EJ 3EJ 3EJ 3 EJ 3EJ []S = ⎢− s c s − c⎥ (4-32) e ⎢ 2 2 2 2 ⎥ l l l l l ⎢ EF EF EF EF ⎥ ⎢ −c − s 0 c s ⎥ ⎢ l l l l ⎥ ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3 EJ 3EJ ⎥ 3 s −3 c −2 − 3 s 3 c ⎣⎢ l l l l l ⎦⎥ - Phần tử thanh đầu i liên kết khớp, đầu j liên kết ngàm (Hình 4-28): Với []k e theo (4-16) và []L e theo (4-28), lập được: ⎡ EF EF EF EF ⎤ ⎢ c s −c − s 0 ⎥ l l l l ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ ⎥ ⎢− 3 s 3 c 3 s − 3 c 2 ⎥ ⎢ l l l l l ⎥ EF EF EF EF S = ⎢ −c − s c s 0 ⎥ (4-33) []e ⎢ ⎥ l l l l ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ ⎥ ⎢ 3 s −3 c − 3 s 3 c − 2 ⎥ ⎢ l l l l l ⎥ ⎢ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ 3EJ ⎥ − 2 s 2 c 2 s − 2 c ⎣⎢ l l l l l ⎦⎥
36. x x N 3 N 3 y j y j N 5 N 4 = 0 i θ N 4 i θ N 1 N 1 x x N 2 N 2 = 0 Hình 4-28 Hình 4-29 - Phần tử thanh hai đầu liên kết khớp (Hình 4-29): Với []k e theo (i) ở mục 4.7 và []L e theo (4-26), lập được: ⎡ cosθ sin θ−cos θ − sin θ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ EF []S e = ) 4 (3 - 4 ⎢−cosθ − sin θ cos θ sin θ ⎥ l ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 ⎦ Với hệ thanh là dàn phẳng, các phần tử thanh đều là thanh thẳng hai đầu khớp, tải trọng tác dụng trên sơ đồ tính là hệ lực tập trung đặt tại các mắt dàn, nội lực chỉ là lực dọc không đổi trong mỗi thanh. Do đó có thể biểu diễn công thức tính dưới dạng đơn giản hơn. Áp dụng (4-30) với {N q }e bằng không, nội lực thanh i-j (Hình 4-29) tính được: ⎧N 1 ⎫ ⎧ X ij ⎫ ⎡ cosθ sin θ−cos θ − sin θ ⎤ ⎧ui ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0 0 0 0 ⎥ v ⎪N 2 ⎪ ⎪Y ij ⎪ EF ⎢ ⎥ ⎪ i ⎪ {}N e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = ⋅⎨ ⎬ (e) u ⎪N 3 ⎪ ⎪X ji ⎪ l ⎢−cosθ − sin θ cos θ sin θ ⎥ ⎪ j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩N 4 ⎭ ⎩Y ji ⎭ ⎣ 0 0 0 0 ⎦ ⎩v j ⎭ Khai triển (e), ta được: EF XXji = −ij =[] −cosθui − sin θ vi + cos θ uj + sin θ v j = l (f) EF = []cosθ (uj− u i ) + sinθ ( vj − v i ) l YYij= ji = 0 Lực dọc thanh dàn i-j tính được: EF ⎡⎤ Ncvvuij =− ⎣⎦osθθ (uj −iji ) + sin ( − ) ) 5 3( - 4 l START Vào số liệu: Sơ đồ rời rạc, véc tơ ẩn chuyển vị {Δ}, vật liệu, tải trọng, M = 1 Xác định ma trận độ cứng phần tử []k e Tổ hợp ma trận độ cứng kết cấu []K M = M + 1 S M = NE Đ đị h i đ {F}
37. Với NE là tổng số phần tử của kết cấu Tóm lại, để tính toán một kết cấu đàn hồi tuyến tính theo phương pháp phần tử hữu hạn tương ứng với mô hình chuyển vị, ta thực hiện theo trình tự sau: 1. Chọn loại và dạng hình học của phần tử hữu hạn. 2. Rời rạc hóa kết cấu thành một lưới các phần tử hữu hạn, mức độ thưa mau phụ thuộc vào yêu cầu qui định về độ chính xác của kết quả tính toán. Lập véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu rời rạc {Δ} (véc tơ ẩn chuyển vị). 3. Giả thiết hàm chuyển vị cho phần tử đã chọn để tính toán. 4. Lập ma trận độ cứng của các phần tử dưới dạng các công thức để có thể tính ma trận độ cứng của từng phần tử. 5. Tập hợp các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận độ cứng của toàn kết cấu rời rạc hóa. Ma trận này phù hợp chặt chẽ với véc tơ chuyển vị nút về thứ tự, thành phần và kích thước.
38. 6. Xác định véc tơ tải tương đương (lực nút) của kết cấu rời rạc hóa bằng các tập hợp các véc tơ tải của từng phần tử. Véc tơ tải này tương ứng với véc tơ chuyển vị nút về thứ tự và thành phần. 7. Dùng điều kiện biên của kết cấu để khử tính suy biến của ma trận độ cứng của kết cấu đã lập ở bước 5. 8. Giải hệ phương trình [K].{Δ} = {F} để tìm véc tơ chuyển vị nút của kết cấu rời rạc hóa. 9. Xác định nội lực (ứng suất) của từng phần tử. 10. Vẽ các biểu đồ biểu diễn kết quả. Cách làm thích hợp nhất khi tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị là thực hiện theo sơ đồ khối dưới đây. Tất cả các bước được thực hiện tự động trên máy tính theo một chương trình lập sẵn. 4.12 Các ví dụ áp dụng Ví dụ 4-1: Tính lực dọc các thanh dàn cho trên hình 4-30a. Biết các thanh đều có EF không đổi. y A(0,0) D(4,5) a) b) 4 6 2,4m 1 3 5 30o 2 x B(0,1) C(2,3) P = 10kN Hình 4-30 Giải: Trên hình 4-32 cho hệ toạ độ chung toàn kết cấu, số mã phần tử nút, chuyển vị nút theo thứ tự, trong đó đã xét điều kiện biên Δ=Δ=Δ=Ax Ay Bx 0 . Véc tơ chuyển vị nút toàn kết cấu {Δ} và lực nút tương ứng {F}: ⎧⎫Δ=Δ11By ⎧⎫FP = By ⎪⎪ ⎪⎪ Δ=Δ22Cx F =PCx ⎪⎪ ⎪⎪ {}Δ=⎨⎬Δ=Δ33Cy ; {}F = ⎨⎬FP=Cy ⎪⎪Δ=Δ ⎪⎪FP= ⎪⎪44DxD ⎪⎪x ⎩⎭⎪⎪Δ=Δ55DyD ⎩⎭⎪⎪FP= y Phần tử i-j l (m) θ cosθ sinθ 1 B-A 2, 4 90o 0 1 2 B-C 2, 4 3 0o 1 0 3 C-D 2,4 90o 0 1
39. 4 A-D 2, 4 3 0o 1 0 3 1 5 A-C 4,8 −30o − 2 2 3 1 6 B-D 4,8 +30o 2 2 Trong bảng cho các trục toạ độ cục bộ, độ dài thanh, các trị cosθ, sinθ của mỗi phần tử. Ma trận độ cứng k của từng phần tử ở hệ toạ độ chung được lập theo công thức 4-26. [ ]e 01 4 56 00 2 3 5 0 0 131 0 −−1 EF EF k = ; k = 444 []5 33 []6 4,8 − 2 4,8 33 3 44 − 4 444 31 3 131 44 − 5 444 (Những dòng và cột chỉ liên quan tới các số mã bằng “0” theo điều kiện biên không cần phải tính). Căn cứ số mã toàn thể của các chuyển vị nút, từ các ma trận độ cứng k của các phần tử, [ ]e lập được ma trận cứng toàn hệ [K ], chẳng hạn, tính K22: EF3 EF EF Kkkk=++=(2) (3) (5) ++0 . = 0,952. 22 33 11 33 2, 4 3 44,8 2,4 Véc tơ lực nút {F} do ngoại lực chỉ gồm tải trọng đặt đúng nút FP3 ==−Cy 10 kN Cuối cùng, được hệ phương trình [KF].{Δ=} { } dạng số như sau:
40. 12345 ⎧⎫Δ1 ⎧ 0 ⎫ 1,125 0 0−− 0,217 0,125 1 ⎪⎪⎪ ⎪ Δ2 0 EF 0 0,952− 0,217 0 0 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ×Δ⎨ 3 ⎬⎨ =−10 ⎬ 2, 4 0−− 0,217 1,125 0 1 3 ⎪Δ ⎪⎪0 ⎪ −0,217 0 0 0,952 0,217 4 ⎪ 4 ⎪⎪ ⎪ ⎪Δ5 ⎪⎪⎩⎭0 ⎪ −−0,125 0 1 0,217 1,125 5 ⎩⎭ Giải hệ phương trình trên, được ẩn chuyển vị nút: ⎧⎫Δ=Δ1 By ⎧⎫−11,2 ⎪⎪⎪⎪ Δ=Δ2 Cx −38,6 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 ⎪⎪ {}Δ=⎨⎬⎨⎬Δ=Δ3 Cy = −170 ()m EF ⎪⎪⎪⎪Δ=Δ 33,5 ⎪⎪⎪⎪4 Dx ⎩⎭⎪⎪⎪⎪Δ=Δ5 Dy ⎩⎭−149 Lực dọc trong thanh dàn được tính theo công thức 4-35: EF ⎡⎤ Ncuvvij =−⎣⎦osθθ (uj −iji ) + sin ( − ) l Chẳng hạn, lực dọc trong thanh AC tính được: 13⎡⎤ 1 NNAC ==−5 ⎢⎥( − 38,6 −−−−=− 0) ( 170 0) 10,744kN 4,8⎣⎦ 2 2 Lực tại đầu gốc A hướng về C có dấu - nên lực dọc là lực kéo. Kết quả tính cho toàn bộ các thanh: ⎧⎫NN1 = ⎪⎪BA ⎧⎫−4,67 ⎪⎪ ⎪⎪NN2 = BC +9, 28 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪NN3 = CD ⎪⎪−4, 28 Nk==⎨⎬⎨⎬()N {} −8, 06 ⎪⎪⎪⎪NN4 = AD ⎪⎪⎪⎪−10,74 NN5 = ⎪⎪⎪⎪AC ⎪⎪⎩⎭+9,35 ⎩⎭NN6 = BD Ví dụ 4-2: Vẽ biểu đồ nội lực của khung chịu lực như trên hình 4-31a. Biết các thanh có tiết diện hình chữ nhật (b×h) không đổi, với h = l , EJ = const, 10 2 2 F= 1200J / l ; Pq,M=q= ll. Giải: Sau khi xét điều kiện biên, véc tơ chuyển vị nút {Δ} véc tơ lực nút tương ứng {F} gồm 3 thành phần ( hình 4-31b): Phần tử i-j l (m) θ cosθ sinθ o 0 1 A-B l 1 0 2 B-C l +α 0,8 0,6
41. 3 D-B l +90o 0 1 C(0,0) P C 2 M A(0,0,0) q 3/5 1 α l B(1,2,3) A B 3 l y M D(0,0) D x 2/5 2/5 l l l b) a) Hình 4-31 ⎧⎫Δ=Δ1Bx ⎧FP1Bx= ⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ Δ=⎨⎬ Δ2By =Δ , FFP==⎨ 2By⎬ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎩⎭Δ=ϕ3B ⎩⎭FM3B= Để lập các ma trận độ cứng phần tử k ở hệ toạ độ chung, dùng công thức 4-24 cho phần tử [ ]e 1 (A-B); 4-27 cho phần tử 2 (B-C); 4-26 cho phần tử 3 (D-B). 0 0 0 1 2 3 0 EJ k = 1200 0 0 1 []1 3 l 0 12 −6l 2 2 0 −6l 4l 3 1 2 3 0 0 769,08 574,56 -1,8l 1 0 0 1 2 574,56 433,92 2,4 l 2 0 EJ EJ k = -1,8 2,4 3 2 3 k = 0 []2 3 l l l []3 3 l l 0 0 0 0 1 0 1200 2 Từ các k , sắp xếp được ma trận cứng toàn hệ K : [ ]e [ ]
42. ⎡1969,08 574,56− 1,8l⎤ EJ K = ⎢ 574,56 1645,92− 3,6 ⎥ 3 ⎢ l⎥ l 2 ⎣⎢ −1,8l − 3,6 l 7 l ⎦⎥ Véc tơ lực nút toàn hệ do tải trọng {F} được xác định theo {FPP} =+{ } { q} ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ Trong đó: {P}- Véc tơ lực nút do tải trọng đặt đúng nút P0= ⎨ ⎬ ⎪ 2 ⎪ ⎩⎭−ql P được tập hợp từ các P là lực nút do tải trọng trong mỗi phần tử P { q } { q }e { q }e được xác định theo 4-22: T PLPq = [ ] . q { }e e { }e x P y 0,8P 2 0,3ql 2 q/12l q/12l q y x 0,15q 2 0,6P 0,25q x l l 0,3q q/2 l q/2l l q l 0,55ql q 2 l y ql Hình 4-32 Lực nút phần tử ở hệ toạ độ cục bộ Pq xác định theo 4-11 hoặc bằng phản lực tại các { }e liên kết nút đầu phần tử do tải trọng trong thanh gây nên lấy với dấu ngược lại (hình 4-32) ⎧⎫0 ⎪⎪ ⎧−0,3ql ⎫ −q/2 ⎧⎫0 ⎪⎪l ⎪−0,55q ⎪ ⎪⎪2 ⎪ l ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪− q/12l ⎪ 2 ⎪ ⎪⎪−ql {}PRqq=−{} =⎨⎬; {}Pqq=−{} R =⎨ − 0,15ql ⎬ ; {}PRqq=={} ⎨⎬ 11⎪⎪0 22⎪ ⎪ 33⎪⎪0 −0,3ql ⎪⎪−q/2l ⎪ ⎪ ⎩⎭⎪⎪ql ⎪⎪ ⎪−0, 25q ⎪ 2 ⎩⎭l ⎩⎭⎪⎪+ql /12 Do lực nút {Pq } cần tính chỉ ở tại nút B nên khi áp dụng công thức 4-22 có thể chỉ xét tại đầu B của mỗi phần tử.
43. ⎡100⎤⎧⎫⎧⎫ 0 0 B T B ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ P.P010q/2q2qB=λ[] q =⎨ −⎬⎨ = − ⎬ {}1 1 {} ⎢⎥ll 1 ⎪ 2 ⎪⎪2 ⎪ ⎢⎥⎣001⎦⎩⎭⎩⎭q/12l ql 12 ⎡0,8−− 0,6 0⎤⎧⎫⎧⎫ 0,30qll + 0,09q B T B ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ PqB=λ[] . Pq = 0,6 0,8 0 ×−⎨ 0,55 q⎬⎨ = − 0,62q ⎬ {}2 2 {} ⎢⎥ll 2 ⎪ 2 ⎪⎪2 ⎪ ⎢⎥⎣ 001⎦⎩⎭⎩⎭−0,15ql −0,15ql B T B ⎡01−−⎤⎧ 0 ⎫ ⎧ ql ⎫ P.PqB=λ[] q = ×⎨ ⎬⎨ = ⎬ {}3 3 { } ⎢⎥ 3 ⎣10⎦⎩ ql ⎭ ⎩ 0 ⎭ Từ các P trên, tập hợp thành P và cuối cùng được véc tơ lực nút F do tải trọng { q }e { q } { } của toàn hệ: ⎧⎫PBx ⎧⎫⎧ 0 0+− 0,09qll q⎫⎧ − 0,91q l ⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ {}F==⎨⎬⎨⎬⎨ PBy 0 +−−+=− qll 2 0,62q 0⎬⎨ 1,12q l ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪22 2⎪⎪ 2 ⎪ ⎩⎭MB ⎩⎭⎩−−−qll q 12 0,15q l⎭⎩ 1,067q l ⎭ Và phương trình cơ bản [KF].{Δ=} { } như sau: ⎡⎤1969,08 574,56−− 1,8ll⎧⎫Δ1 ⎧0,91q ⎫ EJ ⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ 574,56 1645,92−×Δ=− 3,6 1,12q 3 ⎢⎥ll⎨ 2 ⎬⎨ ⎬ l ⎢⎥22⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣⎦−−1,8lll 3,6 7 ⎩⎭Δ3 ⎩−1,067ql⎭ ⎧⎫Δ=Δ −0,0003 1Bx 3 ⎧ l⎫ ⎪⎪ql ⎪ ⎪ Giải ra được: {}Δ=Δ=Δ⎨⎬⎨⎬2By = −0,0009 EJ l ⎪⎪⎪⎪−0,153 ⎩⎭Δ=ϕ3e ⎩⎭ P 0,217q 2 0,69q 2 1,274ql l q l 2 C 0,408q 0,408q 0,31ql l l 0,711ql A B B 0,674ql 0,407q 1,08ql l 1,407ql 0,089ql B ql q 2 l q l D 1,08ql Hình 4-33
44. Nội lực tại các tiết diện đầu của mỗi phần tử thanh được xác định theo công thức 4-30: NS=δ+[ ] {} Nq { }eee e { } Trong đó: S theo 4-29 hoặc theo các công thức tính sẵn cho từng loại phần tử mẫu (4-31, [ ]e 4-32, 4-34) N q - Nội lực các tiết diện đầu thanh do tải trọng trong thanh gây nên, chính { }e bằng phản lực các liên kết đầu phần tử (hay bằng Pq đổi dấu). { }e Nội lực tại các tiết diện của đầu phần tử 1, (A-B), trong đó S theo (4-31): [ ]1 ⎧ X AB ⎫ ⎧ N AB ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Y AB ⎪ ⎪Q AB ⎪ ⎪M AB ⎪ ⎪M AB ⎪ {}N 1 = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ X BA ⎪ ⎪ N BA ⎪ ⎪ Y ⎪ ⎪ Q ⎪ ⎪ BA ⎪ ⎪ BA ⎪ ⎩⎪M BA ⎭⎪ ⎩⎪M BA ⎭⎪ ⎡⎤1200 0 0− 1200 0 0 ⎧⎫0 ⎧0 ⎫⎧ 0,408ql ⎫ ⎢⎥0 1260− 126 ⎪⎪⎪0,5q ⎪⎪−0,407q ⎪ ⎢⎥ll⎪⎪0 ⎪l⎪⎪ l ⎪ ⎢⎥22 3 ⎪2⎪⎪ 2 ⎪ EJ 0 6ll 4 0− 6 l 2 l⎪⎪ 0 ql ⎪⎪0,083ql ⎪−0,217ql ⎪ =+3 ⎢⎥⎨⎬⎨⎬= ⎨ ⎬ l ⎢⎥−−1200 0 0 1200 0 0⎪⎪⎪⎪ 0,0003l EJ 0 ⎪−0,408ql ⎪ ⎢⎥ 0−− 12 6lll 0 12 − 6⎪⎪⎪⎪ − 0,0009 0,5q l⎪ 1,407ql ⎪ ⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ 22 2 2 ⎣⎦⎢−0 6ll 2 0 6 ll 4 ⎥−⎩⎭−0,153 ⎩⎪ 0,083ql⎪⎭⎩⎭⎪⎪−0,69ql Nội lực tại các tiết diện của đầu phần tử 2, (B-C), trong đó S theo 4-32 [ ]2 ⎧⎫⎧⎫XNBC BC ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪YQBC BC ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪MMBC BC N ==⎨⎬⎨⎬ {}2 ⎪⎪⎪⎪XNCB CB ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪YQCB CB ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎭⎩⎭MMCB CB ⎡⎤⎧960 720 0−− 960 720 ⎧⎫−0,0003l 0,3ql ⎫⎧ − 0,674ql ⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪ ⎪ −−1, 8 2, 4 3 1, 8 2, 4 ⎪⎪−0,0009 0, 55q 0,089q ⎢⎥⎪ll⎪⎪l 3 ⎪⎪ l ⎪ EJ ⎢⎥22⎪⎪⎪⎪ql ⎪ 2 ⎪ =−3 1,8 2,4ll 3 0 1,8 l⎨⎬⎨⎬− 0,153 + 0,15ql =⎨−0,310ql ⎬ ⎢⎥EJ l −−960 720 0 960 720⎪⎪⎪⎪ 0 0,3q ⎪ 1,274q ⎪ ⎢⎥⎪⎪⎪⎪l ⎪ l ⎪ ⎢⎥ ⎣⎦⎩1, 8−−− 2, 4 3ll 1, 8 2, 4⎩⎭⎪⎪⎪⎪ 0 0, 25q ⎭⎩⎭⎪ 0,71ql ⎪ a) b) 0,69 0,089 1/8 1/5 0,711 0,217 0,31 0 407
45. Nội lực tại các tiết diện của đầu phần tử 3, (D-B), trong đó S theo 4-34: [ ]3 ⎧⎫X DB ⎡⎤0 1200 0−+ 1200⎧⎫ 0 ⎧0⎫⎧⎫ 1,08q ⎪⎪ l ⎢⎥⎪⎪3 ⎪⎪⎪⎪ Y DB EJ 0000 0q q q ⎪⎪ ⎢⎥⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪l ll N ==⎨⎬3 ⎨ ⎬⎨⎬⎨⎬+= {}3 ⎢⎥0−− 1200 0 1200 0,0003 0 − 1,08q ⎪⎪X BD l ⎪ ll⎪⎪⎪⎪⎪EJ ⎢⎥ ⎪⎪ 0 0 0 0⎪−−− 0,0009⎪⎪⎪⎪⎪ q q ⎩⎭Y BD ⎣⎦⎩⎭lll⎩⎭⎩⎭ Nội lực tại các tiết diện đầu thanh (thực chất là phản lực các liên kết nút theo chiều của hệ trục toạ độ cục bộ của mỗi phần tử) được thể hiện trên hình 4-33. Các phản lực ghi trên là do đồng thời tải trọng trong thanh và các chuyển vị nút đầu B gây nên. Trên cơ sở cân bằng giữa các lực đầu thanh và tải trọng trong thanh của mỗi phần tử vẽ được biểu đồ nội lực của từng thanh như hình 4-34. Ví dụ 4-3: Vẽ biểu đồ nội lực của khung chịu tác dụng của chuyển vị cưỡng bức liên kết tựa. Biết khung có sơ đồ, kích thước, tiết diện như đã cho trong hình ví dụ 4-2 (hình 4-35) C(0,0) a) b) ϕ=Δ / l Δ 2 3/5 A(0,0,0) B α l 1 A B(1,2,3) 3 l y D D(0,0) l 2/5l 2/5l x
46. Giải: Các số mã phần tử, nút, chuyển vị vẫn chọn như trong ví dụ trước. Để xét dịch chuyển của gối tựa ở đây ta thay dịch chuyển gối tựa bằng các lực nút qui đổi tương đương. Véc tơ lực nút F lúc này là do chuyển vị cưỡng bức liên kết tựa, được tổng hợp từ các lực nút P của mỗi { } { Δ}e phần tử có liên kết tựa chuyển vị: 3 720EJΔ / l 8,0 Δ 2 ϕ=Δ/ 2 Δ 4EJΔ / l 2 2, 4EJΔ / l 2EJΔ / l l C 3 2, 4EJΔ / l 3 B A B 720EJΔ / l 6,0 Δ ` 3 3 3 6EJΔ / l 6EJΔ / l 2, 4EJΔ / l B T Hình 4-36 {}PLPΔ = [ ] . Δ D e e { }e PΔ nhận được bằng phản lực liên kết nút do chuyển vị gối tựa với dấu ngược lại: { }e ⎧⎫0 ⎪⎪ ⎧−720 ⎫ ⎪⎪6 ⎪ ⎪ ⎪−2, 4 ⎪ EJΔ ⎪⎪4l EJΔ ⎪ ⎪ PRΔΔ , ΔΔ , ΔΔ {}=−{} = 3 ⎨⎬{}PR=−{} =3 ⎨ − 2,4l⎬ {PR0} =−{ } = 110 22 33 l ⎪⎪ l ⎪ 720 ⎪ ⎪⎪−6 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩⎭⎪ 2, 4 ⎪ ⎩⎭2l TT ⎡⎤⎧⎫⎡1 0 0 0 0,8 0,6 0 ⎤⎧⎫−− 720 ⎧ 574,56 ⎫ ⎪⎪EJΔ ⎪ ⎪EJΔΔ ⎪ ⎪EJ {}F=+= PBB P⎢⎥ 0 1 0 − 6 +− ⎢ 0,6 0,8 0 ⎥ -2,4 =−439,92 {}{}ΔΔ12⎢⎥⎨⎬33 ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬3 ⎪⎪lll⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣⎦⎩⎭⎣⎢⎥001 2ll ⎢ 0 0 1 ⎥⎦⎩⎭−− 2,4 ⎩ 0,4l ⎭ Và ta được hệ phương trình cơ bản [KF].{Δ=} { } của bài toán: ⎡⎤1969,08 574,56−− 1,8l ⎧⎫Δ1 ⎧⎫574,56 EJ ⎢⎥⎪⎪⎪ ⎪EJΔ 574,56 1645,92−Δ=− 3,6 439,92 3 ⎢⎥l ⎨⎬⎨2 ⎬3 ll⎢⎥2 ⎪⎪⎪−0, 4 ⎪ ⎣⎦−−1, 8lll 3, 6 7 ⎩⎭Δ3 ⎩⎭l Giải hệ trên được:
47. ⎧⎫Δ=Δ1Bx⎧−0,238 ⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ Δ=⎨⎬⎨⎬ Δ2By =Δ = −0,185 Δ ⎪⎪⎪⎪−0,214 / ⎩⎭Δ=ϕ3B ⎩⎭l Nội lực tại các tiết diện đầu của mỗi phần tử thanh: NS=+[ ] .{}δ NΔ { }eee e { } Các ma trận S,SS , đã được tính trong ví dụ trước. [ ]123[ ] [ ] N Δ - Nội lực tại các tiết diện đầu thanh do chuyển vị của liên kết tựa gây nên, chính { }e bằng phản lực các liên kết đầu phần tử ( hay bằng PΔ đổi dấu) đã tính ở trên. { }e Cuối cùng, nội lực tại các tiết diện đầu của mỗi phần tử tính được: ⎧⎫XAB ⎪⎪ ⎪⎪YAB ⎪⎪ ⎪⎪MAB N ==⎨⎬ {}1 ⎪⎪XBA ⎪⎪ ⎪⎪YBA ⎪⎪ ⎩⎭MBA ⎡⎤1200 0 0− 1200 0 0 ⎧⎫⎧⎫0 0 ⎧⎫2,8572 ⎢⎥0 1260− 126 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎢⎥ll⎪⎪⎪⎪065−−⎪⎪,069 ⎢⎥22 EJ 064062ll−− l l⎪⎪⎪⎪ 0 4lEJΔ ⎪⎪− 3,32 lEJΔ =Δ3 ⎢⎥⎨⎬⎨⎬+3 =⎨⎬3 ll⎢⎥−−−1200 0 0 1200 0 0⎪⎪⎪⎪ 0,238 0 ⎪⎪285, 72 l ⎢⎥ 01260126−−ll −⎪⎪⎪⎪ − 0,185 6 ⎪⎪5, 069 ⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 22 ⎣⎦⎢−⎥062064ll ll⎩⎭⎩⎭−−0, 214 /ll 2 ⎩⎭−1, 74l ⎧⎫XBC ⎪⎪ ⎪⎪YBC ⎪⎪ {}NM==⎨⎬B 2 ⎪⎪ ⎪⎪XCB ⎪⎪ ⎩⎭YCB ⎡⎤960 720 0−− 960 720 ⎧⎫⎧⎫−0,238 720⎧⎫ 385,51 ⎢⎥−−1, 8 2, 4 3 1, 8 2, 4 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎢⎥l ⎪⎪⎪⎪−0,185 2, 4⎪⎪ 1,74 EJ ⎢⎥2 ⎪⎪⎪⎪EJΔ ⎪⎪EJΔ =−3 1,8 2,4ll 3 0 1,8 l⎨⎬⎨⎬− 0,211/ l Δ+ 2,4 l 3 =⎨⎬ 1,74l 3 ⎢⎥ ll−−960 720 0 960 720⎪⎪⎪⎪ 0 −720 ⎪⎪−358,51 l ⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎢⎥ ⎣⎦1,8−−− 2, 4 3l 1,8 2, 4⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪ 0 −2, 4 ⎩⎭⎪⎪−1, 74
48. ⎧⎫XDB ⎪⎪ ⎡⎤0 1200 0− 1200⎧ 0 ⎫⎧0⎫⎧ 221,52 ⎫ ⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪YDB EJ 00000⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0 0 EJΔ N = ⎨⎬=Δ⎢⎥+= {}3 3 ⎨⎬⎨⎬⎨⎬3 ⎪⎪XBD ll⎢⎥0−−− 1200 0 1200⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0,238 0 221,52 ⎢⎥ ⎪⎪ 0000⎪⎪⎪⎪⎪⎪− 0,1850 0 ⎩⎭YBD ⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭ Dựa vào kết quả trên ta vẽ được biểu đồ nội lực của khung như trên hình 4-37. 1,74 1,74 5,069 EJΔ × 3,32 Q 3 EJΔ l M × 2 l 358,51 Hình 4-37 285,7 EJΔ N × 3 l 221,52 Ví dụ 4-4: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm liên tục cho trên hình 4-38a. Biết dầm có mặt cắt ngang không đổi và là hình chữ nhật (0,5x1)m2. Cho E = 2.104 kN/cm2. Giải: Với dầm liên tục chịu uốn không có lực dọc, ẩn chuyển vị nút chỉ bao gồm chuyển vị thẳng vuông góc với trục dầm và góc xoay. Sau khi xem xét điều kiện biên, với dầm đã cho chỉ còn ẩn chuyển vị nút. ⎧⎫⎧⎫Δ=ϕ1BFM 1 = B Δ=⎨⎬⎨⎬;F = ⎩⎭⎩⎭Δ=ϕ2CFM 2 = C 0,5.13 Mặt cắt ngang có mô men quán tính: J== 0,042m4 12 q =12kN/m M=100kNm a) 1m A B C D 4m 4m 4m 0,5 Hình 4-38 y 1 2 x b) 3 B(0,1) C(0,2) D(0,0) A(0,0)
49. Ma trận độ cứng phần tử ⎡⎤k được tính theo công thức (4-14). Ở đây cả ba phần tử của dầm ⎣⎦e đã cho đều cùng một loại nên có ma trận cứng như nhau. Mặt khác, hệ trục toạ độ cục bộ và hệ trục toạ độ chung trùng nhau nên: ⎡⎤k = [k] ⎣⎦e e ⎡ 1,575 3,15− 1,575 3,15 ⎤ ⎢ 3,15 8, 4− 3,15 4, 2 ⎥ ⎡⎤kkk10=== ⎡⎤ ⎡⎤ 6 ⎢ ⎥ ⎣⎦123 ⎣⎦ ⎣⎦ ⎢−−1,575 3,15 1,575 − 3,15⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3,15 4, 2− 3,15 8, 4 ⎦ Căn cứ số mã toàn thể, từ các ⎡⎤k trên, tập hợp thành ma trận cứng toàn dầm [K ]. Véc tơ ⎣⎦e lực nút do ngoại lực {F}gồm tải trọng đặt đúng nút M 2 = MkNmC =−100 và tải trọng đặt trong phần tử 1 gây nên: ⎧⎫12.42 ⎧⎫01⎪⎪ ⎧⎫6 {}F =+⎨⎬⎨⎬⎨⎬12 =kNm ⎩⎭−−100 ⎪⎪ ⎩⎭100 ⎩⎭0 Cuối cùng, được hệ phương trình cơ bản [KF].{Δ=} { } dạng số: 6 ⎡16,8 4,2 ⎤⎧Δ1 ⎫ ⎧ 16 ⎫ 10 ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎣ 4,2 16,8⎦⎩Δ 2 ⎭ ⎩−100⎭ ⎧⎫Δ=ϕ1B⎧⎫2,603 −6 Giải ra ta được: Δ=⎨⎬⎨⎬ = 10() rad ⎩⎭Δ=ϕ2C⎩⎭−6,603 Véc tơ chuyển vị nút của các phần tử: ⎧⎫0 ⎧ 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪⎪⎪ −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪0 ⎪2,603.10 ⎪ ⎪−6,603.10−6 ⎪ δ= ; δ= ; δ= {}1 ⎨⎬{}2 ⎨ ⎬ {}3 ⎨ ⎬ ⎪⎪0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎪−6 ⎪ −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎭2,603.10 ⎩⎭−6,603.10 ⎩⎭0 Nội lực của các phần tử được tính bằng công thức: Nk=+⎡⎤.{}δ Nq { }ee⎣⎦ e { } ⎧⎫24 ⎪⎪ ⎪⎪16 Trong trường hợp này: {}N q = ⎨⎬; {NNqq} = { } = 0 1 ⎪⎪24 23 ⎩⎭⎪⎪−16 ⎧⎫Y AB ⎧⎫32,199 kN ⎧⎫Y BC ⎧⎫−12,6 kN ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪M AB ⎪⎪26,933 kNm ⎪⎪M BC ⎪⎪−5,866 kNm {}N ==⎨⎬⎨⎬ ; N ==⎨⎬⎨ ⎬ ; 1 {}2 ⎪⎪⎪⎪Y AB 15,8 kN ⎪⎪⎪Y CB 12,6 ⎪kN ⎪⎪⎪⎪5,865 kNm ⎪⎪⎪−44,534 ⎪kNm ⎩⎭M AB ⎩⎭ ⎩⎭M CB ⎩⎭
50. ⎧⎫Y CD ⎧⎫−20,8 kN ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪M CD ⎪⎪−55,466 kNm N ==⎨⎬⎨ ⎬ {}3 ⎪⎪⎪Y DC 20,8 ⎪kN ⎪⎪⎪−27,733 ⎪kNm ⎩⎭M DC ⎩⎭ Dựa vào kết quả trên ta vẽ được biểu đồ nội lực như trên hình 4-39. q =12kN/m M=100kNm 32,199 12,6 Q (kN) 15,8 20,8 26,933 44,534 27,733 M (kNm) 24 5,865 Hình 4-39 55,466 q Ví dụ 4-5: Tính ứng suất phát sinh trong tấm có hình dạng, liên kết và tải trọng cho trên y Δ hình 4-40. Khi tính, lấy μ = 0,25. Chiều dày 2 Δ4 q Δ3 tấm là t. 1 Δ1 2 Giải: I Chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, 2a số ẩn số. Tấm được chia thành ba phần tử I, II, II III Δ III, có năm nút được đánh số: 1, 2, 3, 4, 5, mỗi Δ 10 6 Δ8 Δ nút có hai chuyển vị. Δ5 Δ7 9 3 4 5 x Ký hiệu {Δ} là véc tơ chuyển vị nút của a a tấm, gồm các thành phần tương ứng với các chuyển vị theo thứ tự từ nút 1 đến nút 5, tức là Hình 4-40 theo thứ tự u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4, u5, v5 như trên hình 4-42 * Phần tử I: Tên gọi và thứ tự nút: 1, 3, 2 (ngược chiều kim đồng hồ) Tọa độ nút: 1(0; 2a), 3(0; 0), 2(a; 2a) T Véc tơ chuyển vị nút của phần tử I: {δ}I ={ Δ1 Δ 2 Δ 5 Δ 6 Δ 3 Δ 4 } Diện tích phần tử: Δ = a2 Ma trận BI:
51. b1 =0 – 2a = -2a; b3 = 2a –2a =0; b2 = 2a – 0 = 2a; c1 = a – 0= a ; c3 = 0 – a = -a; c2 = 0 – 0 = 0; ⎡b1 0 b3 0 b2 0 ⎤ ⎡− 2 0 0 0 2 0⎤ 1 1 []B = ⎢ 0c 0 c 0 c ⎥ = ⎢ 0 1 0− 1 0 0⎥ I 2Δ ⎢ 1 3 2 ⎥ 2a ⎢ ⎥ ⎣⎢c1 b 1 c 3 b 3 c 2 b 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 1− 2 − 1 0 0 2⎦⎥ Ma trận các hằng số đàn hồi khi μ = 0,25 ⎡ 1 0,25 0 ⎤ ⎡8 2 0⎤ 16E 2E []D = ⎢0,25 1 0 ⎥ = ⎢2 8 0⎥ 15 ⎢ ⎥ 15 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 0,375⎦⎥ ⎣⎢0 0 3⎦⎥ ⎡8 2 0⎤⎡− 2 0 0 0 2 0⎤ E [DB ][ ] = ⎢2 8 0⎥⎢ 0 1 0− 1 0 0⎥ = I 15a ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0 0 3⎥⎢ 1− 2 − 1 0 0 2⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡−16 2 0− 2 16 0⎤ E = ⎢ − 4 8 0− 8 4 0⎥ 15a ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3− 6 − 3 0 0 6⎦⎥ Ma trận độ cứng của phần tử: [k ]= t Δ [ B ]T [ D ][ B ] (t là bề dày tấm) Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi các thành phần phù hợp với trật tự của véc tơ chuyển vị nút của phần tử I được xác định như sau: ⎡k11 k 12 k 15 k 16 k 13 k 14 ⎤ ⎢k k k k k k ⎥ ⎢ 21 22 25 26 23 24 ⎥ ⎢k51 k 52 k 55 k 56 k 53 k 54 ⎥ []k I = ⎢ ⎥ = ⎢k61 k 62 k 65 k 66 k 63 k 64 ⎥ ⎢k k k k k k ⎥ ⎢ 31 32 35 36 33 34 ⎥ ⎣⎢k41 k 42 k 45 k 46 k 43 k 44 ⎦⎥ ⎡− 2 0 1 ⎤ ⎢ 0 1− 2⎥ ⎢ ⎥⎡−16 2 0− 2 16 0⎤ Et ⎢ 0 0− 1⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − 4 8 0− 8 4 0 30 0− 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 3− 6 − 3 0 0 6⎥ ⎢ 2 0 0 ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 2 ⎦⎥ ⎡ 35− 10 − 3 4 − 32 6 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢−10 20 6− 8 4− 12⎥ Et ⎢ − 3 6 3 0 0− 6 ⎥ = ⎢ ⎥ 30 ⎢ 4− 8 0 8− 4 0 ⎥ ⎢− 32 4 0− 4 32 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 6− 1 − 6 0 0 12 ⎦⎥
52. * Phần tử II: Tên gọi và thứ tự nút: 2, 3, 4 (ngược chiều kim đồng hồ) Tọa độ nút: 2(a; 2a), 3(0; 0), 4(a; 0) T Véc tơ chuyển vị nút: {}δ II = { Δ3 Δ 4 Δ 5 Δ 6 Δ 7 Δ 8 } Diện tích phần tử: Δ = a2 Ma trận BII: b2 = 0; b3 = – 2a; b4 = 2a ; c2 = +a; c3 =0 c4 = -a; ⎡0 0− 2 0 2 0 ⎤ 1 []B = ⎢0 1 0 0 0− 1⎥ II 2a ⎢ ⎥ ⎣⎢1 0 0− 2 − 1 0 ⎦⎥ ⎡0 2− 16 0 16− 2⎤ E [DB ][ ] = ⎢0 8− 4 0 4− 8⎥ II 15a ⎢ ⎥ ⎣⎢3 0 0− 6 − 3 6 ⎦⎥ Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi các thành phần phù hợp với trật tự của véc tơ chuyển vị nút của phần tử II: ⎡k33 k 34 k 35 k 36 k 37 k 38 ⎤ ⎡ 3 0 0− 6 − 3 6 ⎤ ⎢k k k k k k ⎥ ⎢ 0 8− 4 0 4− 8 ⎥ ⎢ 43 44 45 46 47 48 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢k53 k 54 k 55 k 56 k 57 k 58 ⎥ Et ⎢ 0− 4 32 0− 32 4 ⎥ []k II = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢k63 k 64 k 65 k 66 k 67 k 68 ⎥ 30 ⎢− 6 0 0 12 6− 12⎥ ⎢k k k k k k ⎥ ⎢−3 4 − 32 6 35− 10⎥ ⎢ 73 74 75 76 77 78 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢k83 k 84 k 85 k 86 k 87 k 88 ⎦⎥ ⎣⎢ 6− 8 4− 12 − 10 20 ⎦⎥ * Phần tử III: Tên gọi và thứ tự nút: 2, 4, 5 (ngược chiều kim đồng hồ) Tọa độ nút: 2(a; 2a), 4(a; 0), 5(2a; 0) T Véc tơ chuyển vị nút: {}δ III = { Δ3 Δ 4 Δ 7 Δ 8 Δ 9 Δ 10 } Diện tích phần tử: Δ = a2 Ma trận BIII: b2 = 0; b4 = – 2a; b5 = 2a ; c2 = +a; c4 = -a; c5 = 0; ⎡0 0− 2 0 2 0⎤ 1 []B = ⎢0 1 0− 1 0 0⎥ III 2a ⎢ ⎥ ⎣⎢1 0− 1 − 2 0 2⎦⎥
53. ⎡0 2− 16 − 2 16 0⎤ E [DB ][ ] = ⎢0 8− 4 − 8 4 0⎥ III 15a ⎢ ⎥ ⎣⎢3 0− 3 − 6 0 6⎦⎥ Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi các thành phần phù hợp với trật tự của véc tơ chuyển vị nút của phần tử III: ⎡ k33 k34 k37 k38 k39 k 3.10 ⎤ ⎡ 3 0− 3 − 6 0 6 ⎤ ⎢ k k k k k k ⎥ ⎢ 0 8− 4 − 8 4 0 ⎥ ⎢ 43 44 47 48 49 4.10 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k73 k74 k77 k78 k79 k 7.10 ⎥ Et ⎢−3 − 4 35 10− 32 − 6 ⎥ []k III = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ k83 k84 k87 k88 k89 k 8.10 ⎥ 30 ⎢−6 − 8 10 20− 4 − 12⎥ ⎢ k k k k k k ⎥ ⎢ 0 4− 32 − 4 32 0 ⎥ ⎢ 93 94 97 98 99 9.10 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢k10.3 k 10.4 k 10.7 k 10.8 k 10.9 k 10.10 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 0− 6 − 12 0 12 ⎦⎥ * Ma trận độ cứng toàn hệ: [][]KK= ij với Kij = ∑ kij Phù hợp với số chuyển vị nút, ma trận [K] có cấp [10 x 10], viết theo thứ tự tên gọi các ẩn số như sau: ⎡ KKKKKKKKKK11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.10 ⎤ ⎢ KKKKKKKKKK ⎥ ⎢ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2.10 ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK31 32 33 34 35 36 37 38 39 3.10 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK41 42 43 44 45 46 47 48 49 4.10 ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK ⎥ ⎢ 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5.10 ⎥ = ⎢ KKKKKKKKKK61 62 63 64 65 66 67 68 69 6.10 ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK ⎥ ⎢ 71 72 73 74 75 76 77 78 79 7.10 ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK81 82 83 84 85 86 87 88 89 8.10 ⎥ ⎢ KKKKKKKKKK ⎥ ⎢ 91 92 93 94 95 96 97 98 99 9.10 ⎥ ⎣⎢KKKKKKKKKK10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 ⎦⎥ ⎡ 35− 10 − 32 6− 3 4 0 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢−10 20 4− 12 6− 8 0 0 0 0 ⎥ ⎢− 32 4 38 0 0− 10 − 6 0 0 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6− 12 0 28− 10 0 0− 16 4 0 ⎥ Et ⎢ − 3 6 0− 10 35 0− 32 4 0 0 ⎥ = ⎢ ⎥ 30 ⎢ 4− 8 − 10 0 0 20 6− 12 0 0 ⎥ ⎢ 0 0− 6 0− 32 6 70 0− 32 − 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0− 16 4− 12 − 32 40− 4 − 12⎥ ⎢ 0 0 0 4 0 0− 32 − 4 32 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 6 0 0 0− 6 − 12 0 12 ⎦⎥ * Véc tơ tải trọng. Quy đổi tải trọng trên các cạnh về tải trọng tập trung tương đương đặt tại nút, ta nhận được sơ đồ tải trọng của tấm như trên hình 4-41. qa/2 qa/2 q q qa a Hình 4-41 2a
54. Theo sơ đồ tải trọng, ta có: qa qa F = 0; F = − ; F= − qa; F = − ; F = 0; 1 2 2 3 4 2 5 F6 = 0; F7 = 0; F8 = 0; F9 = − qa; F10 = 0; T FPPPPPPPPPP= [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ] = qa = − [0121000020] 2 * Phương trình viết cho toàn tấm: [KF]{Δ}= { } * Điều kiện biên. Theo đề ra, ta có: X1 = X5 = X6 = X9 = X10 = 0, do đó cần: + Loại bỏ X1, X5, X6, X9, X10 trong véc tơ các chuyển vị: Δ1, Δ5, Δ6, Δ9, Δ10. + Loại bỏ F1, F5, F6, F9, F 10 trong véc tơ tải trọng. + Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K]. Phương trình thu gọn còn lại: ⎡F2 ⎤ ⎡ 20 4− 12 0 0 ⎤⎡Δ 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ F3 4 38 0− 6 0 Δ3 ⎢ ⎥ Et ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢F4 ⎥ = ⎢−12 0 28 0− 16⎥⎢Δ 4 ⎥ ⎢ ⎥ 30 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢F7 ⎥ ⎢ 0− 6 0 70 0 ⎥⎢Δ7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣F8 ⎦ ⎣ 0 0− 16 0 40 ⎦⎣Δ8 ⎦ Sau khi thay các giá trị tải trọng, ta có: ⎡1⎤ ⎡ 20 4− 12 0 0 ⎤⎡Δ 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 2 4 38 0− 6 0 Δ3 qa⎢ ⎥ Et ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎢1⎥ = ⎢−12 0 28 0− 16⎥⎢Δ 4 ⎥ 2 ⎢ ⎥ 30 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ 0− 6 0 70 0 ⎥⎢Δ7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 0 0− 16 0 40 ⎦⎣Δ8 ⎦ * Giải phương trình. Nghiệm của phương trình: ⎡Δ 2 ⎤ ⎡0,10399⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ3 0,04226 ⎢ ⎥ 15qa ⎢ ⎥ ⎢Δ 4 ⎥ = − ⎢0,10407⎥ ⎢ ⎥ Et ⎢ ⎥ ⎢Δ7 ⎥ ⎢0,00362⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Δ8 ⎦ ⎣0,04163⎦ * Véc tơ chuyển vị nút, viết đầy đủ là:
55. T Δ=ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ] = 15qa = − [0 0,10399 0,04226 0,10407 0 0 0,00362 0,04163 0 0]T Et * Ứng suất trong các phần tử: - Phần tử I: T {σ}I = []DBDB[ ]I {δ}I =[][ ]I [ Δ1 Δ 2 Δ 5 Δ 6 Δ 3 Δ 4 ] ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0,10399⎥ ⎡σ x ⎤ ⎡−16 2 0− 2 16 0⎤ ⎡0,8841⎤ ⎢ ⎥ q ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ q ⎢ ⎥ {}σ I = σ y = − − 4 8 0− 8 4 0 ⎢ ⎥ = − 1,0010 ⎢ ⎥ t ⎢ ⎥ 0 t ⎢ ⎥ ⎢τ ⎥ ⎢ 3− 6 − 3 0 0 6⎥⎢ ⎥ ⎢0,0005⎥ ⎣ xy ⎦ ⎣ ⎦⎢0,04226⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢0,10407⎦⎥ - Phần tử II: T {σ}II = []DB[ ]II {δ}II =[]DB[ ]II [ Δ3 Δ 4 Δ 5 Δ 6 Δ 7 Δ 8 ] ⎡0,04226⎤ ⎢ ⎥ ⎢0,10407⎥ ⎡σ x ⎤ ⎡0 2− 16 0 16− 2⎤ ⎡0,1828⎤ ⎢ ⎥ q ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ q ⎢ ⎥ {}σ II = σ y = − 0 8− 4 0 4− 8 ⎢ ⎥ = − 0,5520 ⎢ ⎥ t ⎢ ⎥ 0 t ⎢ ⎥ ⎢τ ⎥ ⎢3 0 0− 6 − 3 6 ⎥⎢ ⎥ ⎢0,3657⎥ ⎣ xy ⎦ ⎣ ⎦⎢0,00362⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢0,04163⎦⎥ - Phần tử III: T {σ}III = []DB[ ] III {δ}III =[]DD[ ]III [ Δ3 Δ 4 Δ 9 Δ 10 Δ 7 Δ 8 ] ⎡0,04226⎤ ⎢ ⎥ ⎢0,10407⎥ ⎡σ x ⎤ ⎡0 2− 16 − 2 16 0⎤ ⎡0,2661⎤ ⎢ ⎥ q ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ q ⎢ ⎥ {}σ III = σ y = − 0 8− 4 − 8 4 0 ⎢ ⎥ = − 0,8470 ⎢ ⎥ t ⎢ ⎥ 0 t ⎢ ⎥ ⎢τ ⎥ ⎢3 0− 3 − 6 0 6⎥⎢ ⎥ ⎢0,3766⎥ ⎣ xy ⎦ ⎣ ⎦⎢0,00362⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢0,04163⎦⎥ * Ứng suất tại các nút: σ Ứng suất tại nút i được tính theo công thức: σ = r i n trong đó n là số phần tử có nút i; r là tên phần tử có nút i. ⎡0,8841⎤ q {}{}σ= σ = − ⎢1,0010⎥ 1 I t ⎢ ⎥ ⎣⎢0,0005⎦⎥
56. ⎡0,4443⎤ 1 q {}σ=[{} σ + {} σ + {} σ ] = − ⎢0,7900⎥ 2 3 I II III t ⎢ ⎥ ⎣⎢0,2476⎦⎥ ⎡0,5345⎤ 1 q {}σ=[{} σ + {} σ ] = − ⎢0,7615⎥ 3 2 I II t ⎢ ⎥ ⎣⎢0,1831⎦⎥ ⎡0,2245⎤ 1 q {}σ=[{} σ + {} σ ] = − ⎢0,6845⎥ 4 2 I III t ⎢ ⎥ ⎣⎢0,3712⎦⎥ ⎡0,2661⎤ q {}{}σ= σ = − ⎢0,8470⎥ 5 III t ⎢ ⎥ ⎣⎢0,3766⎦⎥ BÀI TẬP 4.1 Thiết lập phương trình cơ bản [KF].{Δ=} { } dạng số tính dàn cho trên hình 4-42. Biết các thanh dàn đều có độ cứng EF không đổi. 4.2 Tính nội lực cho các thanh dàn cho trên hình 4-43. Biết các thanh dàn đều có độ cứng EF không đổi. 4.3 Thiết lập phương trình cơ bản [KF].{Δ=} { } dạng số tính khung cho trên hình 4-44. 1000J Biết các thanh của khung đều có tiết diện không đổi và F = . a2 0 4.4 Vẽ biểu đồ nội lực của hệ dầm thép IN−12 và dây thép treo có đường kính d=12mm do kN tải trọng phân bố q =12 tác dụng (hình 4-45). m 4.5 Cho dầm liên tục có tiết diện chữ nhật không đổi như trên hình 4-46. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm. P P P P a a P a a a a a a a a Hình 4-42 Hình 4-43 q P=qa d=1cm q a q 3m 0 P=qa N−12 a 4m 4m Hình 4-45 a a Hì h 4 44
57. PHỤ LỤC TT A EJ B MA MB QA QB l q 2 2 2 q q q q 1 ql − l − l l − l 8 12 12 2 2 2 2 a P Pab Pa b 2 2 b − − Pb(l + 2 a ) Pa(3l − 2 a ) 2 2 3 ( − 3 Pab l l 2 l l l P P P P ( − l ) ( − l ) ) ( − ) 8 8 2 2 Mb 6ab 6ab M (2a− b ) Ma − M − M 2 −2 (2b − a ) 3 3 a b l l l 3 l M M 3 M 3 M () (− ) (− ) (− ) 4 4 2 l 2 l ϕ 4 4EJ 2EJ 6EJ 6EJ ϕ − ϕ − 2 ϕ − 2 ϕ l l l l Δ 5 6EJ 6EJ 12EJ 12EJ −2 Δ 2 Δ 3 Δ 3 Δ l l l l t h 1 α α 6 −()t − t EJ −()t2 − t 1 EJ 0 0 t2 h 2 1 h
58. q q 2 5 3 7 2 l ql − 0 ql − ql 8 8 8 8 Pab 2 2 a P b Pb b Pa a −2 (2l − a ) 0 (3− ) ( −(3 − ) 2 2 2 Pab l 2l l 2l l 8 l 3 (0) 11 5 ( − Pl ) P ) ( − P ) 16 16 16 M M b2 0 3M b2 3M b2 (1− 32 ) - (1− 2 ) - (1− 2 ) 9 a b 2 l 2l l 2l l M 9M 9M ( ) (0) ( − ) ( − ) 8 8l 8l (tiếp theo) A EJ B TT MA MB QA QB l ϕ 10 3EJ 0 3EJ 3EJ ϕ − 2 ϕ − 2 ϕ l l l Δ 11 3EJ 0 3EJ 3EJ −2 Δ 3 Δ 3 Δ l l l t1 h 12 3α 0 3α EJ 3α EJ t2 −()t2 − t 1 EJ −()t − t ()t− t 2h 2 1 2 1 2h l 2h l 2 P Pa a Pa a b (2− ) 2 13 Pab l 2l P 0 l 3 P ( − Pl ) ( l ) 8 8 q 2 2 2 ql ql q 0 ql − l 14 8 3 6 Mb Ma M − 15 a b l l 0 0 ⎛⎞M ⎛⎞M ⎜⎟− ⎜⎟ ⎝⎠2 ⎝⎠2
59. ϕ EJ EJ 16 ϕ ϕ 0 0 l l t1 h α α −()t − t EJ 17 −()t2 − t 1 EJ 2 1 0 0 t2 h h TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Đào Huy Bích- Nguyễn Đăng Bích. “Cơ học môi trường liên tục-NXB xây dựng- Hà Nội 2002.” 2- Lê Ngọc Hồng- Lê Ngọc Thạch. “Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi- NXB Khoa học-Kỹ thuật- Hà Nội 2002.” 3- Phạm Ngọc Khánh- Trịnh Đình Châm. “Lý thuyết đàn hồi- NXB Nông Nghiệp- Hà Nội 2002.” 4- Dương Văn Thứ- Nguyễn Ngọc Oanh. “Cơ học môi trường liên tục- NXB Từ Điển Bách Khoa- Hà Nội 2007.” 5- Hoàng Đình Trí- Lý Trường Thành-Dương Văn Thứ-Đoàn Hữu Quang. “Cơ học kết cấu- NXB Nông Nghiệp- Hà Nội 1999.” 6- Lý Trường Thành- Hoàng Đình Trí- Lều Mộc Lan. “Cơ học kết cấu- NXB Xây Dựng- Hà Nội 2007.” 7-Nguyễn Mạnh Yên. “Phương pháp số trong cơ học kết cấu- NXB Khoa học-Kỹ thuật- Hà Nội 2000.” 8- Phạm Ngọc Khánh- Nguyễn Công Thắng. “Phương pháp số- NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ- Hà Nội 2007.” 9- Maxlennhi Kov A.N. “Tính toán kết cấu công trình bằng phương pháp PTHH- ĐHXD Lêningrad 1977- Bản Tiếng Nga.” 10- Zenkiewiez.O.C “The Finite Element Method in Engineering Science-London-1983” 11-Timoshenko S.P. “Theory of Plates and Shells. Mc.Graw Hill Book. Co.,1959.” 12-Hoffman Joe D. “Numerical Methods for Engineers and Scientists. New York, 2001. 13-Rozin L.A
60. “Tính toán công trình thuỷ lợi trên máy tính điện tử: Phương pháp phần tử hữu hạn. Lêningrad THÔNG TIN TÁC GIẢ Giáo trình: PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT Chủ biên: TS Lý Trường Thành Họ và tên: TS Lý Trường Thành Ngày sinh: 10 tháng 03 năm 1956 Quê quán: Thanh Hóa Cơ quan công tác: Bộ môn Sức bền - Kết cấu trường Đại học Thủy Lợi Địa chỉ liên hệ: Bộ môn Sức bền - Kết cấu trường Đại học Thủy Lợi -175 Tây Sơn - Đống Đa - Hà Nội. Số điện thoại liên lạc: ĐTCQ: 043.5636433 DD: 0989332967 Phạm vi và đối tượng sử dụng giáo trình Ngành học: Công trình thủy lợi, Thủy điện, Kỹ thuật biển, Cơ khí Trường Đại học Thủy Lợi Yêu cầu kiến thức: Cơ học cơ sở, Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu Số lần xuất bản: 1 Nhà xuất bản: Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ - năm 2010. Từ khóa để tra cứu: Phân tích ứng suất, kết cấu, nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị, nút, ma trận. 1974-Bản tiếng Nga.” 14-Học viện thuỷ lợi Vũ Hán “Kết cấu lực học tập 1, tập 2. Bản tiếng Trung Quốc-1981”