Giáo trình Hóa lượng tử

pdf 191 trang ngocly 1220
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hóa lượng tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_hoa_luong_tu.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hóa lượng tử

  1. GIÁO TRèNH HểA LƯỢNG TỬ
  2. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 1 Một số mô hình nguyên tử tr−ớc cơ học l−ợng tử 1.1. Khái niệm nguyên tử Quan niệm cho rằng ton bộ thế giới vật chất đ−ợc hình thnh do sự kết hợp của một số hữu hạn các nguyên tố l một quan niệm duy vật. Một quan niệm nh− vậy đ đ−ợc các nh triết học cổ Hy Lạp đề xuất từ thế kỷ 6 7 tr−ớc công nguyên. Thales cho rằng nguyên tố duy nhất của vật chất l n−ớc, trái lại Heraclit thì cho rằng nguyên tố đó l lửa. Sang thế kỷ thứ 5 tr−ớc công nguyên, Empedocle đ−a ra thuyết 4 nguyên tố. Theo ông thì cơ sở vật chất không phải l một, m l sự tổng hợp của 4 nguyên tố đầu tiên l n−ớc, lửa, không khí v đất. Thuyết ny đ−ợc Aristole (thế kỷ thứ 4 tr−ớc công nguyên) phát triển thêm. Theo Aristole thì đất, n−ớc , lửa v không khí xuất hiện do sự tổ hợp của bốn tính chất cơ bản: nóng, lạnh, khô v ẩm. Cũng trong thời đại đó, ở ph−ơng Đông có quan nịêm cho rằng thế giới vật chất đ−ợc cấu tạo từ các nguyên tố. Ví dụ thuyết 5 nguyên tố của nh triết học V−ơng Sung: kim, mộc, thuỷ, hoả, thổ. Khái niệm nguyên tử lần đầu tiên đ−ợc Leucippe v Democrite đ−a ra từ thế kỷ 4 5 tr−ớc công nguyên: Nguyên tử l phần tử nhỏ nhất không thể phân chia đ−ợc của vật chất. Các nguyên tử phân biệt với nhau bởi độ lớn v hình dạng của chúng. Học thuyết nguyên tử của Leucippe v Democrite đ−ợc các nh triết học khác nh− Epicure v Lucrece h−ởng ứng. Tuy nhiên, trong suốt thời gian di quan niệm ny bị các quan điểm duy tâm của Platon chống đối v trấn áp. Năm 1807 nh Bác học ng−ời Anh l Dalton đ lm sống lại khái niệm nguyên tử. Theo ông nguyên tử l các quả cầu nhỏ, rắn, không thể xuyên qua đ−ợc. Các định luật tỉ lệ bội (Dalton), định luật tỉ số đơn giản thể tích các chất khí (Gay Lussac) v định luật Avogadro l kết quả sự tìm kiếm các bằng chứng (gián tiếp) cho sự tồn tại của nguyên tử. Ngy nay, chúng ta biết rằng nguyên tử không phải l những phần tử nhỏ bé nhất của vật chất. Bằng các ph−ơng pháp vật lý (ví dụ sự bắn phá hạt nhân) có thể phân chia nguyên tử thnh các phần tử nhỏ bé hơn, các hạt cơ bản. Có thể chính xác hoá khái niệm nguyên tử nh− sau : Nguyên tử l phần tử nhỏ bé nhất của vật chất không thể phân chia đ−ợc bằng các phản ứng hoá học. 1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford Dựa vo kết quả nghiên cứu sự tán xạ hạt α (tức l hạt nhân nguyên tử He 2+ ) trên mng mỏng nhiều nguyên tố khác nhau, Rutherford (1911) đ−a ra mô hình nguyên tử: Giống nh− trong một hệ hnh tinh, electron trong nguyên tử quay xung quanh hạt nhân nh− những hnh tinh quay xung quanh mặt trời (mô hình hnh tinh). Các electron chuyển động sao cho lực li tâm của chúng cân bằng với lực hút Coulomb giữa hạt nhân 5
  3. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - v electron. Trong mô hình ny electron có thể chuyển động trên quĩ đạo cách hạt nhân một khoảng cách tuỳ ý, miễn l có sự cân bằng lực. Dễ dng nhận thấy rằng, mô hình hnh tinh của Rutherford chứa đựng trong nó nhiều mâu thuẫn. Tr−ớc hết, theo các định luật của điện động lực học cổ điển, một nguyên tử đ−ợc cấu tạo nh− vậy không thể bền. Khi electron, một hạt mang điện, chuyển động có gia tốc nó sẽ phát ra bức xạ điện từ. Quá trình ấy lm mất năng l−ợng, electron chuyển động theo đ−ờng xoắn ốc rồi cuối cùng rơi vo hạt nhân (giả thiết rằng bán kính ban đầu của quĩ đạo electron l 10 8cm thì chỉ sau một thời gian l 10 12 giây electrron đ rơi vo hạt nhân). Hơn nữa, bức xạ do electron phát ra phải tạo thnh một phổ liên tục vì tần số chuyển động của electron trên đ−ờng xoắn ốc không ngừng tăng lên. Cả hai điều đó trái với sự thật l nguyên tử l một hệ bền v phổ phát xạ của nguyên tử l phổ gián đoạn. 1.3. Phổ nguyên tử Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử l giải thích đ−ợc sự xuất hiện phổ vạch của nguyên tử v một số tính chất của chúng. Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ quang ) tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng. Ví dụ cho ít NaCl vo ngọn lửa đèn cồn thì ngọn lửa nhuộm mu vng thẫm. ánh sáng vng ấy l do nguyên tử Na (xuất hiện trong quá trình nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra. Phân tích ánh sáng ngọn lửa có chứa hơi Na bằng một quang phổ kế ng−ời ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh sáng ngọn lửa l một vạch đậm mu vng có b−ớc sóng 5892 A 0 (với quang phổ có độ phân giải cao sẽ thấy dó l một vạch kép). Phổ xuất hiện nh− vậy gọi l phổ phát xạ. Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí t−ơng ứng với vạch vng Na l một vệch tối. Đó l phổ hấp thụ của Na. Nguyên tử có khả năng hấp thụ ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó. Phổ nguyên tử H ở vùng thấy đ−ợc có cấu trúc đặc biệt đơn giản. Balmer (1885) tìm thấy các phổ vạch nguyên tử H có b−ớc sóng tuân theo công thức đơn giản: K.m 2 λ = (1.1) m 2 − 22 với K = 3645,6 . 10 7mm v m = 3,4,5 Công thức Balmer đ−ợc Rydberg (1896) v Ritz (1908) khái quát hoá: ν 1 − 1 = R H ( 2 2 ) (1.2) n1 n2 n 1 = 1, 2, 3, n 2 = n 1 + 1, n 1 + 2, 6
  4. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 R = gọi l hằng số Rydberg. Thay n = m v n = 2 ta có đ−ợc công thức H K 2 1 Balmer. Cho n 1 các giá trị 1,2,3, v n 2 các giá trị nguyên lớn hơn n 1 ta có công thức 2 biểu diễn ton bộ phổ nguyên tử H. Theo Ritz, ng−ời ta gọi các đại l−ợng R/n 1 v 2 R/n 2 l các số hạng. Nh− vậy mỗi một vạch phổ ứng với hai số hạng. Mỗi một giá trị của n 1 đặc tr−ng cho một dy phổ. Các dy phổ của nguyên tử H n 1 n 2 Dy phổ Vùng phổ 1 2,3, Lyman Cực tím 2 3,4, Balmer Nhìn thấy v gần cực tím 3 4,5, Paschen Hồng ngoại gần 4 5,6, Brackett Hồng ngoại xa 5 6,7, Pfund Hồng ngoại xa 1.4.Thuyết l−ợng tử Planck 1.4.1. Sự khủng hoảng tử ngoại Khi bức xạ điện từ gặp một vật no đó thì trong tr−ờng hợp chung, một phần bức xạ đ−ợc phản xạ, một phần bị hấp phụ v một phần còn lại có thể đi qua vật chất. Khác với tr−ờng hợp chung, thì vật đen tuyệt đối l vật hấp thụ hon ton tất cả năng l−ợng bức xạ. Một thí dụ về vật đen tuyệt đối l một quả cầu bằng đồng, bên trong rỗng đ−ợc bôi đen hon ton. Khi có một bức xạ truyền vo bên trong quả cầu qua một khe hở nhỏ, do cấu tạo của quả cầu, bức xạ đ−ợc truyền vo sẽ bị hấp thu hon ton (hình 1.1a). Sau khi hấp thụ ton bộ năng l−ợng đ−ợc truyền đến, vật đen tuyệt đối sẽ nóng lên. Cũng nh− bất cứ vật rắn no khác, vật đen tuyệt đối bị nóng lên sẽ phát ra năng l−ợng d−ới dạng sóng điện từ. Từ thực nghiệm của Lummer v Pringsheim cho thấy trong điều kiện đẳng nhiệt, đ−ờng cong phân bố năng l−ợng E ( λ) theo b−ớc sóng λ có dạng nh− hình 1.1b. Hình 1.1. a) Bức xạ truyền đến cho vật đen tuyệt đối bị nó hấp thụ hon ton b) Đ−ờng cong đẳng nhiệt biểu diễn sự phụ thuộc của năng l−ợng E ( λ) vo b−ớc sóng λ do vật đen tuyệt đối phát ra 7
  5. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nhìn vo quang phổ trên ta thấy rằng, tổng năng l−ợng bức xạ E tăng theo nhiệt độ v khả năng bức xạ quang phổ E ( λ) đối với mỗi nhiệt độ có một trị số cực đại tại một sóng nhất định. Nh− vậy, có hai vấn đề cần đ−ợc giải thích đó l sự phụ thuộc của E vo T v sự phụ thuộc của E vo λ. Theo định luật StefanBoltzamnn ta có biểu thức sự phụ thuộc của E vo T: E = kT 4 (1.3) Trong đó K l hằng số tỉ lệ v T l nhiệt độ tuyệt đối. Nh− vậy, biểu thức trên cho thấy E tỉ lệ thuận với T Từ quan điểm của cơ học cổ điển về tính liên tục của các đại l−ợng vật lý, Rayleigh đ thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của E vo λ: 2πc E = kT (1.4) λ λ4 Trong đó k l hằng số Boltzmann, c l vận tốc ánh sáng trong chân không. T l nhiệt độ tuyệt đối, λ l tần số của bức xạ. Từ (1.4) cho thấy, ở miền b−ớc sóng lớn thì sự phụ thuộc của E vo λ phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, ở miền b−ớc sóng nhỏ, ứng với miền tử ngoại của quang phổ thì theo (1.4) E phải tăng. Điều ny không phù hợp với quan sát thực nghiệm của Lummer v Pringsheim. Nh− vậy, việc ứng dụng vật lý học kinh điển để giải thích quang phổ của vật đen tuyệt đối có liên quan đến sự bức xạ năng l−ợng của các phần tử dao động tích điện có kích th−ớc nguyên tử hon ton thất bại ở vùng b−ớc sóng tử ngoại. Hiện t−ợng ny đ−ợc các nh vật lý gọi l “SựSSSựựự khủng hoảng tử ngoại ” 1.4.2. Thuyết l−ợng tử Planck Để đ−a vật lý thoát ra khỏi “Sự khủng hoảng tử ngoại”, năm 1900 nh vật lý ng−ời Đức l Max Planck đ−a ra thuyết l−ợng tử gọi l thuyết l−ợng tử Planck. Theo thuyết l−ợng tử Planck thì: “Một dao động tử dao động với tần số ν chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng l−ợng từng đơn vị gián đoạn, từng l−ợng nhỏ một nguyên vẹn, gọi l l−ợng tử năng l−ợng ε. L−ợng tử năng l−ợng ny tỉ lệ với tần số ν của dao động tử". ε = h. ν (1.5) (h = 6,625.10 27 erg.sec = 6.625.10 34 J.s) ý nghĩa quan trọng của thuyết l−ợng tử Planck l đ phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất l−ợng tử của năng l−ợng trong các hệ vi mô. Năng l−ợng của 8
  6. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - electron trong nguyên tử, năng l−ợng quay, năng l−ợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định. Theo thuyết l−ợng tử Planck thì năng l−ợng của dao động tử dao động với tần số ν chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn: 0, h ν, 2h ν, 3h ν, 4h ν, nh ν nghĩa l bội số nguyên lần l−ợng tử năng l−ợng ε = h ν. Do đó, ta có thể biểu diễn E theo công thức: E = nh ν (n = 0, 1, 2, 3, ) Mặt khác, vì năng l−ợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ d−ới dạng năng l−ợng bức xạ nên thuyết l−ợng tử Planck cũng có nghĩa l: “ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những l−ợng tử năng l−ợng ε = h. ν phát đi từ nguồn sáng ”. Vì vậy, thuyết l−ợng tử Planck còn đ−ợc gọi l thuyết l−ợng tử ánh sáng. 1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 1.5.1. Các tiên đề của Bohr Năm 1913, Bohr nhận thấy rằng hằng số tác dụng Planck v xung l−ợng góc có cùng một thứ nguyên giống nhau l (năng l−ợng * thời gian). Kết hợp mô hình nguyên tử của Rutherford với thuyết l−ợng tử của Planck (1900), Bohr đ−a ra mô hình nguyên tử nổi tiếng mang tên ông. Mô hình ny dựa trên 3 tiên đề: 1. Trong nguyên tử electron không chuyển động trên những quĩ đạo bất kì m chỉ đ−ợc phép chuyển động trên những quĩ đạo sao cho xung l−ợng quay (còn gọi l h mô men xung l−ợng) của nó bằng số nguyên lần đại l−ợng ℏ = (điều kiện l−ợng tử 2π hoá xung l−ợng quay). L = n. ℏ hay mvr = n. ℏ (1.6) ( n = 1,2,3, ) Ng−ời ta gọi n l số l−ợng tử. 2. Khi chuyển động trên các quĩ đạo đ−ợc l−ợng tử hoá nói trên, electron không phát ra bức xạ nghĩa l không mất năng l−ợng. Quĩ đạo hay trạng thái trên đó năng l−ợng của electron có một giá trị xác định, không đổi gọi l quĩ đạo dừng hay trạng thái dừng. 3. Electron chỉ phát xạ hay hấp thụ bức xạ khi chuyển từ trạng thái dừng ny sang trạng thái dừng khác. Năng l−ợng của bức xạ đ−ợc phát ra hay hấp thụ đúng bằng hiệu số năng l−ợng của hai trạng thái đó. ∆ ν E = E n2 E n1 = h (1.7) En2 l trạng thái có năng l−ợng cao, E n1 l trạng thái có năng l−ợng thấp. 9
  7. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1.5.2. Mô hình Bohr đối với nguyên tử H v các ion giống H Các ion giống H ( He +, Li 2+ , Be 3+ , ) có điện tích hạt nhân l +Ze v khối l−ợng M. Electron có khối l−ợng m v điện tích e. D−ới tác dụng của lực Coulomb electron chuyển động trên các quĩ đạo tròn quanh hạt nhân. Vì khối l−ợng của hạt nhân rất lớn so với khối l−ợng của electron, nên hạt nhân coi nh− đứng yên. Để quĩ đạo của electron l bền phải có sự cân bằng giữa lực hút Coulomb với lực li tâm xuất hiện do chuyển động quay của electron. 1 Ze 2 mv 2 = (1.8) 4πε r 2 r Rút v từ điều kiện l−ợng tử hoá xung l−ợng quay (1.7) rồi thay vo (1.8) ta nhận đ−ợc bán kính quĩ đạo. 2ℏ 2 πε n rn = 4 . (1.9) mZe 2 nℏ v v = n mr 1 Ze 2 v = (1.10) n 4πε nℏ Ta nhận thấy bán kính quĩ đạo tỉ lệ thuận với bình ph−ơng số l−ợng tử. Đối với nguyên tử H, nếu thay các giá trị của h, e, m vo (1.9) thì bán kính Bohr thứ nhất (n=1) 10 0 có giá trị: r 1 = 0,53. 10 m = 0,53 A Trong các tính toán đối với hệ nguyên tử, phân tử ng−ời ta th−ờng dùng bán kính Bohr thứ nhất của nguyên tử H lm đơn vị đo chiều di v kí hiệu l a 0. Công thức (1.9) có thể viết lại d−ới dạng: 2 rn = n a 0 Electron trên quĩ đạo thứ nhất có năng l−ợng cực tiểu. Có thể coi a 0 l bán kính nguyên tử H ở trạng thái bình th−ờng . Năng l−ợng ton phần của electron l tổng số động năng v thế năng của nó: E = E đn + E t n mv 2 Với E = đn 2 Từ (1.8) biểu thức tính động năng có dạng: 10
  8. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 Ze 2 E = đn 4πε 2r Thế năng của electron đ−ợc coi l bằng không nếu nó cách hạt nhân một khoảng vô cùng lớn. Do đó, thế năng của electron ở tại một khoảng cách hữu hạn r no đó chính bằng công đ−a nó từ r tới ∞. Ze 2 Trong đó l lực t−ơng tác Coulomb giữa hạt nhân v electron. Thế 4πε r 2 năng của electron có giá trị âm vì lực Coulomb l lực hút, cần phải tiêu tốn năng l−ợng để chuyển electron từ r đến ∞. Năng l−ợng của hệ l: mZ 2e 4 1 En = (1.11) 4( πε ) 2 2. ℏ 2 n 2 Nh− vậy l điều kiện l−ợng tử xung l−ợng quay đ dẫn tới sự l−ợng tử hoá năng l−ợng. Bằng biểu thức (1.11) ta có thể vẽ đ−ợc giản đồ năng l−ợng của nguyên tử H. Với sự tăng số l−ợng tử n các mức năng l−ợng xít lại gần nhau v cuối cùng tiến tới giới hạn 0 với n → ∞. E -0 ,9 8 n = 4 -1 ,5 6 n = 3 -3 ,4 4 n = 2 -1 3 ,5 9 n = 1 Năng l−ợng thấp nhất l năng l−ợng của electron trên quĩ đạo thứ nhất E 1. Thay số vo (1.8) tính đ−ợc E 1 = 13,6 eV. Giá trị ny phù hợp với giá trị năng l−ợng liên kết của H đo bằng thực nghiệm. Kết hợp điều kiện tần số Bohr (1.7) với công thức tính năng l−ợng (1.11) ta tính đ−ợc tần số ν cuả bức xạ phát ra hay hấp thụ khi e chuyển từ quĩ đạo ny sang quĩ đạo khác: E − E ν = n2 n1 h 11
  9. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 mZ 2e 4 1 1 ν = ( )2. ( − ) πε πℏ 3 2 2 4 4 n1 n2 hay với ν = 1/ λ = ν/c 1 me 4 1 1 ν = ( )2 . . Z 2 ( − ) (1.12) πε πℏ3 2 2 4 4 C n1 n2 2 1 1 ν ∞ − hay = R . Z ( 2 2 ) n1 n2 4 1 2 me với R ∞ = ( ) . (1.13) 4πε 4πℏ 3C Đối với nguyên tử H (z =1) công thức (1.12 ) đồng nhất với công thức Balmer. Trong quá trình thiết lập biểu thức (1.12), ta đ giả thiết l hạt nhân đứng im v chỉ có electron chuyển động. Ngay đối với hạt nhân nhẹ nhất l H, sự khác nhau về khối l−ợng giữa electron v hạt nhân cũng vo khoảng 2000 lần, cho nên giả thiết trên l một phép gần đúng khá tốt. Tuy nhiên, vì các phép đo số liệu quang phổ đ đạt đ−ợc độ chính xác rất cao nên muốn so sánh R ∞ với số liệu thực nghiệm (R H) phải để ý tới cả chuyển động t−ơng đối giữa electron v hạt nhân. Trên thực tế cả electron v hạt nhân đồng thời chuyển động quanh khối tâm của chúng. Có thể coi chuyển động ny chỉ của electron với khối l−ợng rút gọn: à = m.M/ (M +m) Nếu thay m bằng à trong công thức (1.13) thì hằng số Rydberg tính đ−ợc bằng lí thuyết có giá trị l 10.9 68.100 m 1 phù hợp tốt với giá trị thực nghiệm. Sự xuất hiện của phổ vạch H có thể giải thích nh− sau: trạng thái bình th−ờng l trạng thái chuyển động của electron trên quĩ dạo có năng l−ợng thấp nhất (n = 1) gọi l trạng thái cơ bản. Nếu nhận đ−ợc năng l−ợng, electron chuyển lên trạng thái có số l−ợng tử lớn hơn gọi l trạng thái kích thích. Do có xu h−ớng trở về trạng thái có năng l−ợng thấp hơn, nên sau một thời gian rất ngắn electron lại nhảy về trạng thái có năng l−ợng thấp hơn v cuối cùng trở về trạng thái cơ bản. Trong các b−ớc chuyển ny electron phát ra bức xạ điện từ. Các b−ớc chuyển ứng với các dy đ−ợc mô tả d−ới đây: n = ∞ n = 6 Pfund n = 5 Brackett n = 4 Paschen n = 3 Balmer n = 2 Lymann n = 1 12
  10. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Mô hình Bohr cũng có thể áp dụng cho các ion giống H nh− He +, Li 2+ , Chẳng hạn mô hình dự đoán đúng phổ vạch của ion He + có dạng giống hệt nh− phổ vạch hydro với số sóng lớn gấp 4 lần (Z = 2). 1.6. Mô hình nguyên tử của Sommerfeld Mặc dù có sự phù hợp hon ton giữa tính toán lí thuyết v số liệu thực nghiệm quang phổ H v ion giống H, nh−ng mô hình Bohr không thể giải thích đ−ợc phổ tinh tế của các nguyên tử ny, tức l hiện t−ợng mỗi vạch phổ nguyên tử trên thực tế bao gồm một số vạch đứng sát nhau. Để khắc phục khó khăn ny, Sommerfeld (1916) tìm cách cải tiến mô hình của Bohr bằng cách đ−a vo quĩ đạo elip. Để thuận tiện cho phép toán ng−ời ta sử dụng toạ độ cực t−ơng ứng với hai toạ độ biến thiên l r v ϕ. Sommerfeld đ−a ra hai điều kiện l−ợng tử hoá: ∫ pr dr = n rh (1.14) với n r = 0,1,2,3, ( điều kiện l−ợng tử hoá xuyên tâm) ∫ L d ϕ = n ϕ h với n ϕ = 1,2,3, ( điều kiện l−ợng tử ph−ơng vị) áp dụng các điều kiện l−ợng tử hoá nói trên, ng−ời ta nhận đ−ợc biểu thức năng l−ợng gần giống biêủ thức năng l−ợng của Bohr. Điểm khác nhau duy nhất l thay n bằng tổng ( n r + n ϕ ) v ng−ời ta gọi tổng ny l số l−ợng tử chính (n = 1, 2,3 ). Đối với mỗi một giá trị của số l−ợng tử chính n cho tr−ớc, số l−ợng tử ph−ơng vị chỉ có thể có các giá trị n ϕ = 1,2, ,n. ứng vơí một quĩ đạo tròn Bohr, có n quĩ đạo elip trong mô hình Sommerfeld. Hình 1.3. Quĩ đạo elip của Sommerfeld thuộc lớp N (n = 4) 13
  11. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Electron trên quĩ đạo elip có cùng số l−ợng tử chính có năng l−ợng bằng nhau, ng−ời ta nói đó l các trạng thái suy biến. Nh− vậy l với việc đ−a quĩ đạo elip vo vẫn ch−a giải thích đ−ợc phổ tinh tế của nguyên tử. Trong b−ớc tiếp theo, Sommerfeld lm mất sự suy biến bằng cách để ý tới hiệu ứng t−ơng đối. Tốc độ của electron trên quĩ đạo elip không phải cố định m thay đổi, cng ở gần hạt nhân tốc độ của electron cng lớn (định luật Kepler thứ hai). Theo thuyết t−ơng đối thì khi tốc độ thay đổi, khối l−ợng của e cũng thay đổi theo. Điều đó lm cho quĩ đạo của e không còn l các elip khép kín m trở thnh các đ−ờng chu sai. Hình 1.4. Đ−ờng chu sai Năng l−ợng của electron cũng vì thế m còn phụ thuộc vo số l−ợng tử phụ nửa: à 2 4 α 2 2 Z e + .Z 1 − 3 En,nϕ = 2 2 2 1[ ( )] (1.12) 4( πε ) 2. n ℏ n nϕ 4n Ng−ời ta gọi α l hằng số cấu trúc tinh tế, nó đ−ợc tính bằng: 1 e 2 1 α = ( ) ≈ 4πε ℏe 137 Nh− vậy: Mẫu nguyên tử của BohrSommerfeld có một ứng dụng quan trọng trong quá trình phát triển lí thuyết về cấu tạo nguyên tử v phân tử. Mẫu nguyên tử BohrSommerfeld đ−ợc coi l hon hảo nhất trong số các mẫu nguyên tử đầu tiên. Tuy nhiên, thuyết BohrSommerfeld không phải l một lí thuyết hon chỉnh (có tính chất nửa lí thuyết nửa thực nghiệm) v cũng không phải l lí thuyết nhất quán (vừa sử dụng v phủ nhận các định luật của vật lí học kinh điển), nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Hai trong số đó l: 1 Mặc dù đ tính đ−ợc mức năng l−ợng v tần số bức xạ đ−ợc phát ra hay hấp thụ khi có b−ớc chuyển năng l−ợng, nh−ng không biết đ−ợc tốc độ của các b−ớc chuyển ny, tức l không biết đ−ợc c−ờng độ của bức xạ. 14
  12. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 Thuyết BohrSommerfeld chỉ áp dụng đ−ợc đối với hệ 1 electron. Đối với hệ nhiều electron (ngay cả nguyên tử He chỉ có 2 electron) thì thuyết ny cũng hon ton bất lực. Nh− vậy, thuyết BhorSommerfeld chỉ đ−ợc coi l một giai đoạn quá độ để đi đến một lí thuyết hon chỉnh: Cơ học l−ợng tử. Câu hỏi v bi tập 1.1.1. Trình by nội dung mô hình nguyên tử của Rutherford. 2.2.2. Trong điều kiện no xuất hiện phổ nguyên tử? Phổ nguyên tử của hydro có những đặc điểm gì? 3.3.3. Trình by nội dung của thuyết l−ợng tử Planck. Hy tính l−ợng tử năng l−ợng đ−ợc phát ra từ một ion dao động với tần số ν = 10 14 s 1. 4.4.4. Trình by nội dung mô hình nguyên tử của Bohr. 5.5.5. Thay các giá trị của hằng số (e, pi, h, c, m) vo công thức tính hằng số Rydberg. So sánh sự khác nhau giữa gía trị chính xác v giá trị gần đúng của hằng số đó nhận đ−ợc bằng cách thay à bằng m. 6.6.6. Ng−ời ta sử dụng một chùm electron để bắn phá các nguyên tử H dạng khí. Hy tính năng l−ợng tối thiểu của chùm electron nếu số hạng đầu của dy Balmer bị phát xạ ứng với trạng thái chuyển từ n = 3 tới n = 2. 7.7.7. Nếu electron của nguyên tử H đ−ợc kích thích đến mức năng l−ợng t−ơng ứng l 3,4eV. Hy xác định b−ớc sóng của vạch phát xạ khi electron quay về trạng thái cơ bản của nó. 8.8.8. Năng l−ợng ion hoá thứ nhất của nguyên tử H l 21,79.10 19 J. Hy tính năng l−ợng ion hoá thứ hai của nguyên tử He. 9.9.9. B−ớc sóng của một vạch phổ xác định trong dy Balmer l 487,6nm. Hy xác định giá trị n t−ơng ứng với vạch phổ đó. 1100 10. a Hy vẽ các quỹ đạo Sommerfeld khác nhau thuộc lớp quỹ đạo N (n = 4) v hy đặc tr−ng các quỹ đạo đó bằng số l−ợng tử l v bằng các chữ cái (S, P .) bHy tính mômen động l−ợng của electron khi chuyển động trên các quỹ đạo đó theo thuyết Sommerfeld v cho nhận xét. 15
  13. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 2 Đại c−ơng về cơ học l−ợng tử 2.1. Tính chất sóng hạt của ánh sáng H.Hetz (1887) khi lm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ trong lí thuyết cuả MaxWell đ phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực cho sự phóng điện trong chân không. Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân của hiện t−ợng trên l do ánh sáng cực tím đ giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt. Hiện t−ợng electron đ−ợc giải phóng ra khỏi bề mặt kim loại d−ới tác dụng của ánh sáng đ−ợc gọi l hiệu ứng quang điện. Hiệu ứng quang điện có thể đ−ợc nghiên cứu bằng một dụng cụ mô tả nh− trong hình 2.1. Hình 2.1. Thí nghiệm hiệu ứng quang điện ánh sáng đơn sắc đ−ợc chiếu lên tấm kim loại C đặt trong buồng chân không lm giải phóng electron (gọi l quang điện tử hay photoelectron). Có thể nhận biết đ−ợc điều ny bằng cách đặt giữa C v A một thế hiệu (C: catot, A: anot) v đo c−ờng độ dòng điện bằng một máy đo G. Đồ thị a trong hình 2.2 biểu diễn c−ờng độ dòng quang điện theo biến thiên của thế hiệu đặt vo U. Nếu U đủ lớn, dòng quang điện đạt gía trị giới hạn (bo ho), trong điều kiện đó tất cả các electron đ−ợc giải phóng đều tới A. Nếu đổi dấu nguồn điện thì dòng quang điện không lập tức biến mất. Điều đó chứng tỏ electron đ−ợc giải phóng ra với một động năng nhất định. Một số electron vẫn tới đ−ợc A mặc dù có sự tác động ng−ợc lại của điện tr−ờng. Tuy nhiên, khi thế hiệu đảo đạt một giá trị U o nhất định gọi l thế hm thì dòng quang điện biến mất. Trong điều kiện ny thế năng của electron với tốc độ lớn nhất có giá trị tính đ−ợc: K max = e. U o (2.1) 16
  14. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - I Uo Ia a Ib b U O v v o o a) b) Hình 2.2. Sự phụ thuộc của dòng quang điện vo thế hiệu nguồn v c−ờng độ ánh sáng Đối với một kim loại nhất định U o không phụ thuộc vo c−ờng độ ánh sáng. Đ−ờng b trong hình 2.2 nhận đ−ợc nếu giảm c−ờng độ ánh sáng xuống còn một nửa. ν Ngoi ra, với một kim loại nhất định tồn tại một tần số ng−ỡng o. á nh sáng có tần số ν nhỏ hơn o không lm xuất hiện hiệu ứng quang điện. Nhiều vấn đề của hiệu ứng quang điện không thể giải quyết đ−ợc trên quan điểm của bức xạ điện từ. 1 Quan điểm sóng cho rằng biên độ của vectơ điện E tỉ lệ thuận với c−ờng độ bức xạ. Tuy nhiên, nh− ta thấy trong hình 2.2, U o v do đó K max không phụ thuộc vo c−ờng độ bức xạ. 2 Theo thuyết sóng, hiệu ứng quang điện phải xuất hiện với bức xạ có tần số bất kỳ miễn l có c−ờng độ đủ lớn. Trái lại nh− ta thấy, đối với mỗi kim loại tồn tại một tần số ng−ỡng. 3 Cũng theo thuyết sóng, năng l−ợng của bức xạ đ−ợc phân bố đều trên mặt sóng. Để tích tụ đủ năng l−ợng cần phải có một khoảng thời gian nhất định kể từ khi chiếu sáng tói khi electron đ−ợc thoát ra khỏi bề mặt kim loại. Thực nghiệm không cho thấy điều đó. Hiệu ứng quang điện xuất hiện tức thời khi có tác dụng của ánh sáng. einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết l−ợng tử của Planck để giải thích hiệu ứng quang điện. Vì vậy, Einstein đ−a ra thuyết hạt hay thuyết l−ợng tử ánh sáng. Theo thuyết l−ợng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung l một thông l−ợng các hạt vật chất đ−ợc gọi l photon (quang tử) hay l−ợng tử ánh sáng với một l−ợng tử năng l−ợng: ε = h ν (2.2) Electron trong kim loại hấp thụ hon ton v ngay lập tức ton bộ năng l−ợng ν của photon khi nó t−ơng tác với photon. Nh− vậy: Trong những điều kiện nhất định nh− trong các thí nghiệm giao thoa v nhiễu xạ, bức xạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện khác, nh− trong hiệu ứng quang điện, chúng lại có bản chất hạt. Tính chất đó gọi l l−ỡng tính sóng hạt của bức xạ điện từ . 17
  15. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Theo hệ thức của einstein, giữa khối l−ợng m của một vật v năng l−ợng E của nó có hệ thức: E = m.c 2 (c: vận tốc ánh sáng) (2.3) c h Do đó , đối với photon ta có: mc 2 = h. ν = h. hay m = λ c.λ h Từ đó suy ra p = m .c = (2.4) λ Nh− vậy, ph−ơng trình (2.4) cho thấy mối quan hệ của m (đặc tr−ng tính chất hạt) v λ (đặc tr−ng cho tính chất sóng). Đây l ph−ơng trình quan trọng chứa đựng bản chất nhị nguyên của bức xạ điện từ. 2.2. Tính chất sóng hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie) Năm 1924, nh vật lí Pháp Louis De Broglie cho rằng có thể mở rộng bản chất nhị nguyên sóng hạt của bức xạ điện từ cho mọi vật chất. Giả thiết của De Broglie chủ yếu dựa trên cơ sở triết học về sự đối xứng trong tự nhiên. Có thể chia thế giới vật chất thnh hai phần l bức xạ v vật chất. Bên cạnh thuộc tính sóng, bức xạ còn có thuộc tính hạt. Suy ra, ngoi bản chất hạt, vật chất còn có tính chất sóng. Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể đ−ợc xem nh− một quá trình sóng có b−ớc sóng λ v tần số ν : E h h ν = ; λ = = (2.5) h mV p m: khối l−ợng của hạt ; p: động l−ợng của hạt v: vận tốc hạt ; h: hằng số Plank. Biểu thức (2.5) gọi l biểu thức De Broglie hay l những ph−ơng trình cơ bản của sóng vật chất De Broglie. Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng: ψ i.(Et px)/ h (x,t) = a.e (2.6) : sóng vật chất De Broglie 2.3. Nguyên lí bất định Heisenberg Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, ng−ời ta phải nói đến quỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định đ−ợc toạ độ v động l−ợng của hạt. Trong cơ học l−ợng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ đạo không còn ý nghĩa nữa. 18
  16. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giả sử rằng ta tiến hnh đo vị trí v xung l−ợng của một electron để xác định chuyển động của nó. Dụng cụ thông th−ờng để xác định vị trí l một kính hiển vi đ−ợc minh hoạ nh− hình 2.3. Hình 2.3. Xác định vị trí v vận tốc của electron Độ chính xác m kính hiển vi có thể đo đ−ợc khoảng cách dọc theo trục x bị hạn chế bởi b−ớc sóng của ánh sáng sử dụng. Nói cách khác ta không thể xác định vị trí của hạt chính xác hơn khoảng cách giữa hai đỉnh sóng của ánh sáng, vì vậy ng−ời ta phải dùng ánh sáng có b−ớc sóng ngắn để đo chính xác vị trí của hạt. Giới hạn ny l λ . Nh−ng theo giả thuyết l−ợng tử của Planck, ng−ời ta không thể dùng một l−ợng 2sin ε ánh sáng nhỏ tuỳ ý đ−ợc, m phải dùng ít nhất một l−ợng tử. L−ợng tử ny sẽ lm nhiễu động hạt v lm thay đổi vận tốc của hạt một cách không thể tiên đoán đ−ợc. Thật vậy, nếu một photon có năng l−ợng h ν v xung l−ợng h ν/c đập vo một electron đứng yên thì sau khi va chạm photon sẽ có năng l−ợng h ν’ v xung l−ợng h ν’/c; trong khi đó electron sẽ có động năng 1/2mv 2 v xung l−ợng mv. Chuyển động của photon v electron đ−ợc mô tả nh− sau : Theo định luật bảo ton năng l−ơng ta có hệ thức: hν = h ν’ + 1/2mv 2 (2.7) Định luật bảo ton xung l−ợng cho ta hệ thức: 19
  17. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - hν hν ' = cos α + mv cos β (2.8) c c hν ' 0 = sin α − mv sin β (2.9) c Do đó, thnh phần x của xung l−ợng l: h p = (ν −ν 'cos α) (2.10) x c Từ ph−ơng trình (2.7) ta thấy ν’ nhỏ hơn ν; nghĩa l ánh sáng tán xạ có b−ớc sóng di hơn ánh sáng tới. Tuy nhiên, đối với mục tiên của ta, ta sẽ nhận đ−ợc gía trị xung l−ợng electron đủ chính xác nếu ta đặt ν’ = ν vo ph−ơng trình (2.10). Ta đ−ợc: h p = 1( − cos α) (2.11) x λ Nếu muốn thấy ánh sáng trong kính hiển vi, thì nó phải khuếch tán bởi electron vo vật kính để α phải nằm trong các giới hạn 90 o ε v 90 o + ε. Vì không thể chỉ ra đ−ợc phần no của vật kính m ánh sáng khuếch tán từ electron đ đi qua, ta chỉ biết thnh phần x của xung l−ợng electron nằm giữa các giới hạn: h h 1( − sin ε ) ≤ p ≤ 1( + sin ε ) (2.12) λ x λ Cho nên xung l−ợng của electron có một l−ợng bất định: h ∆p ~ sin ε (2.13) x λ Do năng suất phân giải của kính hiển vi l hữu hạn, nên có một l−ợng bất định trong vị trí của electron: λ ∆x ~ (2.14) sin ε ∆ ∆ Tích các bất định ny l: px. x ~ h 2.15) Tích ny không phụ thuộc vo cách đo vị trí v vận tốc của hạt hoặc vo loại hạt. Do đó, nếu ta cng cố gắng đo vị trí của hạt chính xác bao nhiêu thì sẽ đo đ−ợc vận tốc của hạt kém chính xác bấy nhiêu v ng−ợc lại. Điều ny đ−ợc Heisenberg phát biểu qua hệ thức bất định: 20
  18. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - "Toạ"""Toạ độ v động l−ợng của hạt t−ơng ứng với toạt oạ độ đó l không thể đồng thời xác định """." Biểu thức bất định Heisenberg: ∆ ∆ ≥ x. px h (2.16) ∆x: độ bất định của toạ độ ∆ px: độ bất định của động l−ợng trên ph−ơng x. ∆ ∆ Biết px = m. Vx h Suy ra : ∆ x. ∆V ≥ (2.17) x m h Vì = const, nên ∆V cng nhỏ (V cng chính xác) thì ∆x cng lớn (x cng m x x bất định) v ng−ợc lại. Có nghĩa l ta không thể xác định đ−ợc đồng thời một cách chính xác vị trí x v vận tốc V x của một electron trong nguyên tử. Nếu biết V x thì không thể xác định chính xác toạ độ x của nó, tức l không tồn tại quỹ đạo của electron trong nguyên tử. Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong tr−ờng hợp của hệ vĩ mô, nh−ng vì hạt vĩ mô thì tính chất sóng hạt l rất bé nên ít đ−ợc áp dụng. Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc tr−ng của hệ vi mô: - Các đại l−ợng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn. - Toạ độ x v động l−ợng của hạt l không thể đồng thời xác định - Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo 2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển v cơ học l−ợng tử Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu đ−ợc v các hiện t−ợng quan sát, ta có thể tóm tắt sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học nh− sau: Cơ học cổ điển Cơ học l−ợng tử Chuyển động của hạt có quỹ đạo Chuyển động của hạt không có quỹ đạo. Các đại l−ợng vật lí (năng l−ợng, Các đại l−ợng vật lí chỉ có thể nhận động l−ợng, mô men động l−ợng .) những giá trị gián đoạn hay đ−ợc l−ợng tử có thể nhận bất cứ giá trị no. hoá. Các đại l−ợng cơ học đều có thể Toạ độ v động l−ợng t−ơng ứng với toạ xác định đ−ợc đồng thời. độ đó l không thể đồng thời xác định. 21
  19. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Câu hỏi v bi tập 1.1.1. Tính b−ớc sóng ứng với các tr−ờng hợp: a Chuyển động của electron trong nguyên tử H với vận tốc khoảng 10 6m/s b Chuyển động của một ôtô có khối l−ợng 1 tấn v vận tốc 100km/h c Từ các kết quả đó có nhận xét gì về sóng vật chất? 2.2.2. Một electron chuyển động trong một điện tr−ờng, hiệu điện thế V ≥ 9,3V có thể → + ion hóa một phân tử benzen: e + C 6H6 C 6H6 + 2e. Hỏi muốn ion hoá phân tử benzen thì photon có số sóng tối thiểu bằng bao nhiêu? 3.3.3. Sự phá vỡ các liên kết II trong một mol iôt đòi hỏi một năng l−ợng bằng 150,48kJ. Năng l−ợng ny có thể sử dụng d−ới dạng năng l−ợng ánh sáng. Hy cho biết b−ớc sóng λ của ánh sáng cần sử dụng trong quá trình đó. λ λ 4.4.4. Trên phổ electron của một hợp chất có đám hấp thụ tại 1 = 450nm, 2 = λ 350nm, 3 = 250nm. a) Hy tính năng l−ợng kích thích ứng với các đám hấp thụ trên (theo eV). b) Chất đó có mu không? Tại sao? 5.5.5. Hy phát biểu giả thuyết De Broglie về sóng vật chất. Hy cho biết tính nghiệm đúng của giả thuyết ny đối với các hạt vi mô, đối với các vật thể vĩ mô? 6.6.6. Phát biểu nguyên lý bất định Heizenberg v cho biết những hệ quả rút ra đ−ợc từ nguyên lý đó. 7.7.7. áp dụng hệ thức bất định Heizenberg để tính bất định về vị trí, bất định về vận tốc trong các tr−ờng hợp sau đây v cho nhận xét: ∆ 6 a Electron chuyển động trong nguyên tử với giả thuyết Vx = 10 m/s, cho 31 34 biết m e = 9,1.10 kg; h = 6,625.10 j.s b Quả bóng bn bay có khối l−ợng 10g, còn vị trí có thể xác định chính xác đến ∆x = 0,01mm 8.8.8. Hy xác định độ bất định về động l−ợng v tốc độ cho một electron khi nó chuyển động trong một vùng không gian theo một chiều xác định (giả sử theo chiều x của toạ độ) với độ rộng bằng cỡ đ−ờng kính nguyên tử (~ 1A o). 9.9.9. Hy tính b−ớc sóng De Broglie cho các tr−ờng hợp sau: a) Một vật có khối l−ợng 1,0 g chuyển động với tốc độ 1,0 cm.s 1. b) Đối với vật thể cũng có khối l−ợng nh− thế, nh−ng chuyển động với tốc độ 1000km.s 1 c) ở nhiệt độ phòng, một nguyên tử He chuyển động với vận tốc 1000 m.s 1. Cho He = 4,003. 1100 10. Hy cho biết sự khác nhau cơ bản giữa cơ học cổ điển v cơ học l−ợng tử? 22
  20. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 3 Toán tử v hệ hm 3.1. Toán tử Do hệ l−ợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ng−ời ta không thể biểu diễn các đại l−ợng vật lí của hệ ny bằng các biểu thức giải tích thông th−ờng nh− trong cơ học cổ điển m phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ l−ợng tử. Một trong những công cụ ấy l toán tử tác dụng lên hm sóng. 3.1.1. Định nghĩa: Toán tử l một phép toán khi ta tác dụng lên một hm thì cho ra một hm mới. ϕ Thực hiện các phép toán đ−ợc qui −ớc trong toán tử A đối với hm số x đứng ψ ψ sau nó ta nhận đ−ợc hm mới x. Hay nói cách khác x l kết quả của sự tác động toán ϕ tử A lên hm số x. ˆ ϕ ψ Kí hiệu: A x = x (3.1) Ví dụ: Toán tử A hm số hm mới nhân với a x ax d/ dx x 4 + 5 4x 3 Toán tử A = nhân với a có nghĩa l thực hiện phép nhân a vo hm số đứng sau nó. Aˆ = d/ dx nghĩa l lấy đạo hm theo x hm số đứng sau nó. Ng−ời ta th−ờng kí hiệu các toán tử: Aˆ , Bˆ , Cˆ . 3.1.2. Các phép toán về toán tử a. Phép cộng của hai toán tử A v B: Tổng các toán tử A v B l toán tử C ( Cˆ = Aˆ + Bˆ ) sao cho khi Cˆ tác dụng lên hm u (tuỳ ý) thì bằng Aˆ + Bˆ tác dụng lên hm u đó. Aˆ + Bˆ = Cˆ nếu Cˆ u = Aˆ u + Bˆ u Ví dụ: Aˆ = x; Bˆ = d/ dx ; u = U (x) Cˆ = x + d /dx Cˆ u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u b. Tích các toán tử: Tích hai toán tử A v B l toán tử C hay C ' sao cho: 23
  21. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Cˆ = Aˆ . Bˆ ⇒ Cˆ u = Aˆ [ Bˆ u] Cˆ = Bˆ . Aˆ ⇒ Cˆ u = Bˆ [ Aˆ u] Ví dụ: Aˆ = x , Bˆ = d /dx Cˆ u = Aˆ [ Bˆ u] = x.du /dx Cˆ u = Bˆ [ Aˆ u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u ≠ Cˆ u Nếu Aˆ . Bˆ ≠ Bˆ . Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ , Bˆ không giao hoán với nhau, ta gọi [ Aˆ , Bˆ ] = Aˆ . Bˆ Bˆ . Aˆ l giao hoán tử của hai toán tử Aˆ v Bˆ . Nếu Aˆ . Bˆ = Bˆ . Aˆ thì ta nói hai toán tử Aˆ v Bˆ giao hoán. [ Aˆ , Bˆ ] = Aˆ . Bˆ Bˆ . Aˆ = 0 b. Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử Aˆ đ−ợc định nghĩa: Â2u = (Â.Â)u =  (Âu) Vậy  2 = Â. l  tác dụng liên tiếp hai lần. d Ví dụ:  = , u(x) = x 4 dx d d Â2 u = (du/dx) = (4x 3) = 12x 2 dx dx 3.2. Toán tử tuyến tính 3.2.1. Định nghĩa: Toán tử Lˆ đ−ợc gọi l toán tử tuyến tính nếu nó thoả mn biểu thức sau: Lˆ (au + bv) = a Lˆ u + b Lˆ v (3.2) u,v: hm ; a,b: các hằng số bất kì d Ví dụ: toán tử của hm f(x) theo x l toán tử tuyến tính vì: dx d d d (af (x) + bf (x)) = a. f (x) + b. f (x) dx 1 2 dx 1 dx 2 Một số toán tử tuyến tính nh−: toán tử nhân (với một số, một hm số) d d 2 +Toán tử ∫ , vi phân: , . dx dx 2 24
  22. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 +Toán tử Laplace: ∆ = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ ∂ ∂ +Toán tử Napla: ∇ = + + ∂x ∂y ∂z ℏ 2 +Toán tử Hamilton H = ∆ + U(x,y,z) 2m Các toán tử không tuyến tính: , ( ) m (m ≠ 1); 3.2.2. Tính chất của toán tử tuyến tính Nếu hai toán tử Aˆ , Bˆ l toán tử tuyến tính (t 4) thì tổ hợp tuyến tính của chúng l toán tử tuyến tính v tích của chúng nhân với một số cũng l toán tử tuyến tính. Aˆ , Bˆ : t 4 thì (a. Aˆ + b. Bˆ ) : t 4 (c. Aˆ . Bˆ , d. Bˆ Aˆ ) : t 4 3.2.3. Hm riêng v trị riêng của toán tử tuyến tính a. Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính Lˆ lên một hm u bằng chính hm u đó nhân với tham số L no đó, thì ta gọi u l hm riêng v L l trị riêng của toán tử Lˆ : Lˆ u = Lu (3.3) u l hm riêng của Lˆ , còn L l trị riêng của Lˆ ứng với hm riêng u. d Vd: (e ax ) = a. e ax dx d hm u(x) = e ax l hm riêng của toán tử , còn a l trị riêng của toán tử v ứng dx với hm riêng e ax Ph−ơng trình (3.3) đ−ợc gọi l ph−ơng trình hm riêng trị riêng của toán tử Lˆ . b.b.b. Trị riêng không suy biến v suy biến Một toán tử tuyến tính Lˆ có thể tồn tại nhiều hm riêng v trị riêng khác nhau. Tập hợp các trị riêng của Lˆ gọi l phổ các trị riêng. Phổ các trị riêng có thể l liên tục hoặc gián đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục. 25
  23. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nếu ứng với mỗi hm riêng u chỉ có một trị riêng L thì ng−ời ta nói trị riêng đó l không suy biến. Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lần hay suy biến bậc k. ˆ Ví dụ: L u1 = Lu 1 ˆ L u2 = Lu 2 ˆ L uk = Lu k  L l trị riêng suy biến bậc k 3.2.4. Các định lí về hm riêng v trị riêng của toán tử tuyến tính ˆ a. Định lí 1: Nếu u n l hm riêng của toán tử tuyến tính L ứng với trị riêng L n v ˆ a l một hằng số tuỳ ý ≠ 0 thì au n cũng l hm riêng của L ứng với trị riêng L n. ˆ L un = L nun (3.4) ˆ L (a.u n) = L n(a.u n) (3.5) ˆ b. Định lí 2: Nếu L n l trị riêng suy biến bậc k của toán tử L : ˆ L u1 = L nu1 ˆ L u2 = L nu2 ˆ L uk = L nuk ˆ thì tổ hợp tuyến tính của k hm riêng đó cũng l hm riêng của L ứng với trị riêng L n. ˆ L (c 1u1 + c 2u2 + . + c kuk) = L n(c 1u1 + c 2u2 + . + c kuk) (3.6) c. Định lí 3: Điều kiện cần v đủ để hai toán tử Aˆ v Bˆ có chung hm riêng l chúng phải giao hoán với nhau. Aˆ u = Au Bˆ v = Bu  [ Aˆ , Bˆ ] = 0 ⇔ u =v 3.3. Một số khái niệm về các hệ hm 3.3.1. Hệ hm trực giao: Hệ hm u, v, w . đ−ợc gọi l hệ hm trực giao nếu tích phân của một hm no đó với liên hợp phức của một hm khác luôn bằng 0 trong ton phạm vi biến đổi của hm số. ∫ u.v * dx = 0, ∫ u.w * dx = 0 , ∫ v.w * dx = 0 3.3.2. Hm chuẩn hoá: Hm ψ đ−ợc gọi l hm chuẩn hoá nếu ∫ ψψ*dx = 1. 26
  24. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - hay ∫ ψ 2dx = 1 (3.7) ψ ch−a chuẩn hoá: ∫ ψ 2 dx = N ( N ≠ 1) Để có đ−ợc hm ψ chuẩn hoá, ng−ời ta chia ph−ơng trình ny cho N: 1 1 ψ 2 dx ⇒ ψψ*dx = 1 N ∫ N ∫ 1 1 ∫ ψ ) ( ψ* ) dx = 1 N N 1 1 Hm ψ = ψ l hm chuẩn hoá; l thừa số chuẩn hoá. N N 3.3.3. Hệ hm trực chuẩn ψ ψ ψ ψ 1, 2, ., m, ., n gọi l hệ hm trực chuẩn nếu nó chuẩn hoá v trực giao với nhau từng đôi một. ψ *ψ ∫ m ndx = 1 : nếu m = n (3.8) = 0 : nếu m ≠ n ψ ψ ψ ψ 3.3.4. Hệ hm đầy đủ: Hệ hm 1, 2, ., m, ., n đ−ợc gọi l hệ hm đầy đủ, nếu hm ψ bất kì có thể khai triển thnh chuỗi tuyến tính của hệ hm ấy. ψ ψ ψ ψ ψ ψ = C 1 1 + C 2 2 + . + C m m + . + C n n = ∑ C i i (3.9) Ci : hệ số khai triển chuỗi Nếu hệ hm đầy đủ cũng l hệ hm trực giao thì ta có thể xác định đ−ợc hệ số khai triển chuỗi. ψ * Ví dụ: Muốn xác định C m thì ta nhân ph−ơng trình với m v lấy ∫ ψ *ψ ψ *ψ ψ *ψ ψ *ψ ψ *ψ ∫ m dx = C 1 ∫ m 1dx + C 2 ∫ m 2dx + . + C m ∫ m mdx + . + C n ∫ m ndx ψ *ψ ∫ m dx C = m ψ *ψ ∫ m dx ψ *ψ Nếu hệ hm đầy đủ thoả mn tính chất chuẩn hoá thì: C m = ∫ m dx 3.3.5. Hm đều ho (hm đều đặn) 27
  25. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Hm ψ đ−ợc gọi l hm đều ho nếu nó đơn trị, hữu hạn v liên tục trong phạm vi biến đổi của biến số. 3.4. Toán ttửử tuyến tính tự liên hợp (toán tử HermitHermiteeee)))) 3.4.1. Định nghĩa: Toán tử Lˆ đ−ợc gọi l toán tử Hermit nếu nó thoả mn hệ thức sau: +∞ +∞ ∫ v* Lˆ u dx = ∫ u. Lˆ * v *dx (3.10) −∞ −∞ u,v l các hm bất kì, bằng 0 ở + ∞ v ∞ u*, v *, Lˆ * l liên hợp phức của u,v, Lˆ Các toán tử Hermit: ˆ ˆ ˆ L = x; L = U(x,y,z); L = i ℏ (toán tử động l−ợng p x ) ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ℏ 2 Lˆ = + + ; Lˆ = ∆ + U(x,y,z) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 2m ℏ 2 Lˆ = ∆ 2m 3.4.2. Các định lí về hm riêng v trị riêng của toán tử Hermit * a. Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit l trị thực: L n = L n ˆ ˆ Thật vậy, nếu L l toán tử tuyến tính Hermit v L n l trị riêng của L thì ta có: ˆ ψ ψ L n = L n n (1) ψ * ˆ ψ τ ψ ˆ * ψ τ v ∫ n L n d = ∫ n L n d (2) ψ* ˆ ψ ψ * ˆ ψ (1) ⇒ L n = n L n n ψ * ˆ ψ τ ψ * ˆ ψ τ ψ * ψ τ ⇒ ∫ n L n d = ∫ n L n d = L n ∫ n n d (3) * ψ * ψ * Lấy liên hợp phức của (1): L n n = L n n (4) ψ (4) nhân với n v lấy ∫ ta đ−ợc: ψ * ψ * τ ψ * ψ * τ * ψ ψ* τ ∫ n L n n d = ∫ n L n n d = L n ∫ n n d (5) 28
  26. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ψ * ψ τ * ψ ψ * τ từ (2) (3) V (5) suy ra: L n∫ n n d = L n ∫ n n d ψ 2 τ * ψ 2 τ hay L n ∫ d = L n ∫ d ⇒ * Ln = L n Vậy trị riêng của toán tử Hermit l trị thực b. Định lí 2: Tập hợp tất cả các hm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ trị riêng gián đoạn lm thnh một hm trực giao. ˆ ψ ψ L n = L n n (1) ˆ ψ ψ L m = L m m (2) (L n ≠ L m) ψ * ˆ ψ τ ψ ˆ * ψ * τ ∫ n L n d = ∫ n L n d (3) ψ * ψ * ˆ ψ τ ψ * ψ τ Từ (1) nhân m rồi lấy ∫ ta đ−ợc ∫ m L n d = ∫ m L n n d ψ * ˆ ψ τ ψ * ψ τ ⇒ ∫ m L n d = L n ∫ m n d (4) ψ Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với n , sau đó lấy tích phân ta đ−ợc: ψ ˆ * ψ * τ * ψ * ψ τ ψ ψ * τ ∫ n L m d = L m ∫ m n d = L m ∫ n m d (5) Từ (3) so sánh (4) v (5) ta đ−ợc: ψ * ψ τ ψ ψ * τ Ln ∫ m n d = L m ∫ n m d ψ * ψ τ ⇒ (L n L m ) ∫ m n d = 0 ψ * ψ τ ⇒ ∫ m n d = 0 đó l điều phải chứng minh. 3.4.2. Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit Nếu Lˆ l toán tử tuyến tính Hermit thì Lˆ .a (a ≠ 0) cũng l toán tử tuyến tính Hermit. d d Ví dụ: Toán tử i. l toán tử tuyến tính Hermit thì i ℏ cũng l toán tử dx dx tuyến tính Hermit. Nếu Aˆ v Bˆ l toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử Aˆ . Bˆ = Bˆ . Aˆ cũng l toán tử tuyến tính Hermit. 29
  27. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Toán tử A v B l Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng l toán tử tuyến tính Hermit. Nếu Aˆ v Bˆ l các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng l toán tử tuyến tính Hermit. ψ ˆ ψ ψ Nếu n không phải l hm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa l L n ≠ L n n ˆ thì ng−ời ta gọi giá trị L n thu đ−ợc l giá trị trung bình hay kì vọng toán học của L v đ−ợc biểu diễn nh− sau: ψ * ˆψ τ ∫ n L n d L = n ψ *ψ τ ∫ n n d Ln thu đ−ợc cũng l trị thực. Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ có loại toán tử ny mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại l−ợng vật lý của hệ l−ợng tử. V đó cũng l lý do tại sao toán tử Hermite l công cụ toán học trong cơ học l−ợng tử. Câu hỏi v bi tập 1.1.1. Toán tử l gì? Thế no l toán tử tuyến tính? 2.2.2. Cho biết điều kiện để hai toán tử A v B đ−ợc gọi l giao hoán với nhau. 3.3.3. Cho biết định nghĩa về ph−ơng trình hm riêng trị riêng của toán tử. 4.4.4. Cho biết định nghĩa về toán tử Hermit. 5.5.5. Toán tử Hermit có những tính chất gì? Chứng minh. 6.6.6. Hy xác định hm g(x) thu đ−ợc khi cho toán tử Uˆ tác dụng lên hm f(x) trong các tr−ờng hợp d−ới đây: 2 a) uˆ = xˆ; f (x) = e −x d − 2 b) uˆ = ; f(x) = e x dx c) uˆ = iˆ (toán tử nghịch đảo); f(x) = x 2 3x + 5 du − 2 7.7.7. Cho toán tử xˆ = x; toán tử uˆ = v hm số f(x) = e x . Hy thực hiện phép dx giao hoán tử [ xˆ , uˆ ]. Từ kết quả thu đ−ợc cho biết nhận xét. d 8.8.8. Hy chứng minh hm ψ(x) = 8.e 4x l hm riêng của toán tử . Cho biết trị dx riêng thu đ−ợc bằng bao nhiêu? d 9.9.9. Hy chứng minh những hm sau đây hm no l hm riêng của toán tử : dx 30
  28. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) eikx b) coskx c) k d) kx 2 e) e −aα d 1100 10. Cho toán tử xˆ = x v uˆ = , hy xác định hm sóng mới thu đ−ợc khi thực dx hiện phép nhân toán tử cho các tr−ờng hợp sau: a) xˆ .uˆ 2 b) uˆ . xˆ biết hm f(x) = e− x 1111 11. Hy chứng minh các trị riêng của toán tử Hermite đều l những tri thực. 1122 12. Hy chứng minh những hm riêng của một toán tử Hermite A ứng với nhữhg trị riêng khác nhau sẽ lập thnh một hệ hm trực giao. 1133 13. Hy chứng minh rằng hm ψ(x) = 8.e 4x l hm riêng của toán tử d/dx. Cho biết trị riêng thu đ−ợc bằng bao nhiêu? 2 d − 2 1144 14. Cho toán tử hˆ = x 2 − hy chứng minh hm số f(x) = e x / 2 l hm riêng của dx 2 toán tử hˆ v cho biết trị riêng t−ơng ứng bằng bao nhiêu? 31
  29. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 4 Hệ tiêtiênn đề của cơ học l−ợng tử 4.1. Tiên đề về hm sóng ((tiêntiên đề 1) Nguyên lí chồng chất các trạng thái 4.1.1. Hm sóng a. Nội dung: “Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ l−ợng tử) đ−ợc đặc tr−ng bằng một hm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vo thời gian t v toạ độ q, kí hiệu l hm ψ (q,t); gọi l hm sóng hay hm trạng thái của hệ ”. Mọi thông tin về hệ l−ợng tử chỉ có thể thu đ−ợc từ hm sóng mô tả trạng thái cuả hệ. b. ý nghĩa vật lí v tính chất của hm sóng Vì hm sóng ψ (q,t) nói chung l hm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, m chỉ có bình ph−ơng modun ψ 2 (trị ny l thực) của hm sóng mới có ý nghĩa l mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ t−ơng ứng, đó chính l ý nghĩa vật lí của hm sóng. Nếu gọi dw l xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một 2 điểm no đó trong không gian thì ta sẽ có: dw = ψ dv 2 dw Mật độ xác suất ψ = (4.1) dv 2 Nếu lấy tích phân của ψ trong ton không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt trong ton không gian, theo lí thuyết xác suất thì xác suất ny bằng 1. 2 ∫ ψ dv = 1 (4.2) 2 Biểu thức (4.2) muốn thoả mn tích phân ∫ ψ dv phải có giá trị hữu hạn, nghĩa l ψ  0 đủ nhanh ở vô cực. ψ Đây l điều kiện chuẩn hoá của hm sóng, hm (q,t) gọi l hm đ chuẩn hoá. ψ Ngoi ra, hm (q,t) phải thoả mn tính chất đơn trị, hữu hạn v liên tục để thảo mn tính chất của một hm mật độ vì: 2 1 Tính đơn trị: Vì ψ biểu thị mật độ xác suất của hạt v xác suất l một đại l−ợng hon ton xác định nên Ψ phải l một hm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ xác định ta sẽ thu đ−ợc nhiều giá trị xác suất v điều ny hon ton không có ý nghĩa vật lý. 2 Tính hữu hạn: Vì xác suất l hữu hạn nên hm sóng Ψ phải hữu hạn tại mọi vị trí. 3 Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ l−ợng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nên hm sóng Ψ mô tả trạng thái của hạt phải l một hm liên tục. 32
  30. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4.1.2. Nguyên lí chồng chất trạng thái Trong cơ học l−ợng tử xuất phát từ bản chất của hm sóng ng−ời ta thừa nhận một nguyên lí, gọi l nguyên lí chồng chất trạng thái. Đây l một nguyên lí cơ bản của cơ học l−ợng tử. ψ ψ ψ “Nếu các hm 1, 2, ., n l các hm sóng mô tả trạng thái của một hệ l−ợng tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đ−ợc trạng thái của hệ l−ợng tử đó ”. ψ ψ ψ ψ = C 1 1 + C 2 2 + . + C n n : hm trạng thái (4.3) C1 , C 2, . l những hệ số tuỳ ý. Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái ny đối với một trạng thaí khác. 4.2. Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) 4.2.1. Nội dung: T−ơng ứng với mỗi đại l−ợng vật lí L của hệ l−ợng tử ở trạng thái ψ thì có một toán tử Hermit L t−ơng ứng Giữa các toán tử ny có các hệ thức giống nh− những hệ thức đại l−ợng vật lí trong cơ học cổ điển. 4.2.2. Một toán tử trong cơ học l−ợng tử t−ơng đ−ơng với một đại l−ợng vật lí trong cơ học cổ điển a.Toán tử toạ độ: xˆ = x Một cách tổng quát qˆ (x,y,z) = q( x,y,z) b.Toán tử xung l−ợng (động l−ợng) thnh phần ℏ ∂ ∂ p → pˆ = = −iℏ x x i ∂x ∂x ℏ ∂ ∂ p → pˆ = = −iℏ y y i ∂y ∂y ℏ ∂ ∂ p → pˆ = = −iℏ z z i ∂z ∂z c. Toán tử xung l−ợng + + pˆ = pˆ x pˆ y pˆ z ∂ ∂ ∂ pˆ = i ℏ( + + ) = −iℏ∇ ∂ ∂ ∂ x y Z 33
  31. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - d. Toán tử bình ph−ơng xung l−ợng 2 = 2 + 2 + 2 = −ℏ 2 ∆ pˆ pˆ x pˆ y pˆ z e. Toán tử mô men động l−ợng thnh phần ∂ ∂ M = yp zp → Mˆ = −iℏ(y − z ) x z y x ∂z ∂y ∂ ∂ M = zp xp → Mˆ = −iℏ(z − x ) y x z y ∂x ∂z ∂ ∂ M = xp yp → Mˆ = −iℏ(x − y ) z y x z ∂y ∂x ˆ 2 = ɺˆɺ 2 + ˆ 2 + ˆ 2 M M x M y M z f. Toán tử thế năng U(x,y,z) → Uˆ (x, y, z) g. Toán tử động năng mv 2 mv 2 pˆ 2 ℏ 2 T = → Tˆ = = = − ∆ 2 2m 2m 2m h. Toán tử năng l−ợng (toán tử Hamilton) E = T + U → Hˆ = Tˆ +Uˆ Thay các giá trị ta đ−ợc: ℏ 2 Hˆ = − ∆ +Uˆ (q) 2m 4.3. Tiên đề về trị riêng v đại l−ợng đo đ−ợc 4.3.1. Phổ trị riêng của toán tử Hermite v những giá trị khả dĩ của các đại l−ợng vật lí t−ơng ứng Đại l−ợng vật lí L của một hệ l−ợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị riêng của toán tử t−ơng ứng Lˆ thoả mn ph−ơng trình trị riêng ở thời điểm t: 34
  32. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ˆ ψ ψ L n = L n n (4.4) 4.3.2. Những giá trị ψ m ở đó đại l−ợng vật lí L có giá trị xác định ψ ψ φ Nếu hệ l−ợng tử ở trạng thái m hm ny đồng nhất với một hm riêng k no đó của toán tử Hermite Lˆ , thì ở trạng thái ψ đó đại l−ợng vật lí L có giá trị xác ˆ định v bằng trị riêng L k của toán tử tuyến tính Hermite L . ψ Những trạng thái L m ở đó một đại l−ợng vật lí L có giá trị xác định l những trạng thái thoả mn ph−ơng trình trị riêng của toán tử t−ơng ứng Lˆ . ˆ ψ ψ L L = L L 4.3.3. Xác suất để một đại l−ợng L có một giá trị Li Nếu hệ l−ợng tử ở vo trạng thái ψ, m ψ không trùng với một hm riêng no của Lˆ thì đại l−ợng vật lí L của trạng thái ψ đó không có giá trị xác định. Đại l−ợng L ˆ chỉ có thể nhận một trong những giá trị xác định L i của phổ trị riêng của toán tử L , nh−ng không biết chắc l trị no. Vì thế ng−ời ta phải xác định L theo định luật xác suất. Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái v tính đầy đủ, trực giao của hệ hm riêng của toán tử tuyến tính Hermite Lˆ ng−ời ta biểu diễn hm ψ mô tả trạng thái của hệ thnh chuỗi tuyến tính theo các hm riêng. ψ ψ ψ ψ ψ = C 1 1 + C 2 2 + . + C n n = C i i (4.5) ψ Nh− vậy, trạng thái đ−ợc xem l sự chồng chất những trạng thái riêng Ui của toán tử Hermite Lˆ . Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại l−ợng vật lí L nhận những giá trị xác định L i l trị riêng t−ơng ứng với hm riêng U i. 2 Xác suất để L nhận giá trị L i l W (L i) = Ci . 2 ∑ Ci = 1 : điều kiện chuẩn hoá. Với W (L i) l xác suất để đại l−ợng L nhận một trong những giá trị có thể có của L n. ˆ ψ ψ ψ * ˆ ψ ψ * ψ ψ * ψ Từ L n = L n n ⇒ n L n = n L n = L n n n ψ * ˆ ψ τ ⇒ Ln = ∫ n L n d ψ * ψ τ ∫ n n d ψ Thực tế trong cơ học l−ợng tử ít khi tìm đ−ợc n l một hm riêng đúng, m ψ chỉ tìm đ−ợc hm riêng gần đúng. Do đó trị riêng n tìm thấy l trị trung bình: 35
  33. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ψ * ˆ ψ τ Ln = ∫ n L n d (4.6) ψ * ψ τ ∫ n n d Giá trị trung bình ny còn gọi l kì vọng của L. 4.4. Điều kiện để hai đại l−ợng vật lí có giá trị xácxác định đồng thời trong cùng một trạng thái ψ ψ Ta đ biết, đại l−ợng vật lí A của trạng thái 1 có giá trị xác định nếu 1 l hm ˆ ψ ψ riêng của toán tử A . Đại l−ợng vật lí B của trạng thái 2 có giá trị xác định nếu 2 l hm riêng của Bˆ . Do đó, hai đại l−ợng vật lí A, B của cùng trạng thái ψ sẽ có giá trị xác định đồng thời nếu ψ l hm riêng chung của hai toán tử Aˆ , Bˆ ; khi đó hai toán tử Aˆ v Bˆ phải giao hoán với nhau. Ng−ợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hm riêng v hai đại l−ợng vật lí t−ơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định. Vậy: Điều kiện cần v đủ để hai đại l−ợng vật lí của hệ l−ợng tử có trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái l các toán tử của chúng giao hoán với nhau . • Một số thí dụ: a. Các toán tử giao hoán: - Toán tử xˆ , yˆ , zˆ giao hoán với nhau từng đôi một [ xˆ , yˆ ] = 0; [ yˆ , zˆ ] = 0; [ xˆ , zˆ ] = 0 Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một trạng thái. Toán tử thnh phần động l−ợng p x, p y, p z giao hoán với nhau từng đôi một, nên có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái. b Các toán tử không giao hoán: Động l−ợng v toạ độ: Các toán tử toạ độ v thnh phần động l−ợng t−ơng ứng với toạ độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời. Nh−ng một toán tử toạ độ v toán tử thnh phần động l−ợng ứng với toạ độ khác lại giao hoán. Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái. Toán tử thnh phần momen động l−ợng: Toán tử thnh phần momen động l−ợng không giao hoán với nhau từng đôi một. Do đó, các thnh phần M x, M y, M z của momen động l−ợng không thể có những giá trị xác định. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ M x, M y] = i ħ M z ; [ M y, M z] = i ħ M x ; [ M z M x] = i ħ M y ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 Tuy nhiên, toán tử bình ph−ơng mômen động l−ợng M = M x + M y + M z ˆ ˆ ˆ lại giao hoán với mỗi toán tử M x, M y, M z. ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ [ M , M x] = [ M ,, M y] = [ M , M z] = 0 36
  34. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Do đó, Mˆ 2 v thnh phần mômen động l−ợng no đó l có thể đồng thời xác định. Ta có: Mˆ 2ψ = M 2ψ ˆ ψ ψ M z = M z Một cách hon ton t−ơng tự chúng ta cũng có thể chứng minh đ−ợc ba toán tử hình chiếu momen động spin S x, S y, S z ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau từng đôi một. Ng−ợc lại, toán tử bình ph−ơng momen động spin giao hoán với một trong S x, S y, S z 4.5. Tiên đề về ph−ơng trình Schrodinger Trạng thái dừng 4.5.1. Tiên đề 3 Ph−ơng trình Schodinger tổng quát Hm sóng ψ(q,t) mô tả trạng thái của hệ l−ợng tử biến thiên theo thời gian đ−ợc xác định bởi ph−ơng trình Schrodinger tổng quát: ∂ψ iℏ = Hˆψ (4.7) ∂t i = −1 , Hˆ : toán tử Haminton Hˆ = Hˆ (q,t) ψ : hm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian ψ(q,t) Ph−ơng trình (4.7) do Schrodinger đ−a ra năm 1926 nh− một tiên đề, nghĩa l không thể suy ra từ bất kì một nguyên lí no khác. Sự đúng đắn của ph−ơng trình chỉ có thể đ−ợc khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ l−ợng tử cụ thể. ψ Ph−ơng trình (4.7) l ph−ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu 1 ψ ψ ψ ψ v 2 l hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính = C 1 1 +C 2 2 của chúng cũng l nghiệm của ph−ơng trình. ψ ψ ψ Nếu l hm đ chuẩn hoá; 1 , 2 l trực chuẩn, còn C 1 , C 2 l những số nói chung phức v không đồng thời bằng không thì: 2 2 2 C 1 + C 2 + + C n = 1 Vì vậy, ph−ơng trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng thái trong cơ học l−ợng tử. Do những điều đó, ph−ơng trình Schrodinger tổng quát l ph−ơng trình gốc v toán tử Haminton l toán tử quan trọng nhất của cơ học l−ợng tử không t−ơng đối tính. 4.5.2. Ph−ơng trình Schodinger của các trạng thái dừng Giả sử hệ l−ợng tử ở vo một tr−ờng thế U không phụ thuộc vo thời gian, chỉ phụ thuộc vo toạ độ Uˆ = U(q), thì Hˆ không phụ thuộc vo thời gian. Lúc đó Hˆ chỉ 37
  35. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - tác động lên phần phụ thuộc toạ độ của hm ψ (q,t). Do đó, hm ψ(q,t) tách thnh hai phần: ψ(q,t)= ψ(q).F(t) Thay vo ph−ơng trình Schodinger tổng quát: ∂ψ (q,t) iℏ = Hˆψ .F (4.8) ∂t (q) (t) iℏ ∂F Hˆψ ⇒ . (t) = (q) (4.9) ∂ ψ F(t) (t) (q) Hai vế của đẳng thức (4.9) phụ thuộc vo hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ có thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số λ no đó: iℏ ∂F . (t) = λ (4.10) ∂ F(t) (t) Hˆψ (q) = λ (4.11) ψ (q) ˆ ψ λψ Từ (4.11) ⇒ H (q) = (q) (4.12) (4.12) l ph−ơng trình hm riêng trị riêng của Hˆ , m trị riệng của Hˆ l năng l−ợng ton phần E nên λ = E l trị thực. Các hm ψ(q) l hm riêng của toán tử Hˆ , nó mô tả những trạng thái năng l−ợng không biến đổi theo thời gian E = λ = const. Trạng thái có E không biến đổi theo thời gian gọi l trạng thái dừng. Ph−ơng trình Schodinger cho trạng thái dừng: ˆ ψ ψ H (q) = E. (q) (4.13) 2m hay ∆ψ + (E −U )ψ = 0 (4.14) (q) ℏ 2 (q) Ph−ơng trình (4.13) hoặc (4.14) l ph−ơng trình quan trọng nhất của cơ học l−ợng tử. Vì hoá học l−ợng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng. iℏ ∂F Giải ph−ơng trình (4.10) . (t) = E ta đ−ợc ∂ F(t) (t) 38
  36. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - F(t) = C.e i Et / h gọi l thừa số đơn sắc hay thừa số pha của hm sóng. Nh− vậy: nghiệm tổng quát của ph−ơng trình Schrodinger sẽ l: ψ(q,t) = ψ(q).F(t) −iEt 2 2 2 ψ ψ iEt / h ψ = ψ ℏ (q,t) = (q). e ⇒ (q t), (q) .e ψ 2 = ψ 2 (q t), (q) . (4.15) Ph−ơng trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ thuộc vo thời gian. Do đó, khi giải ph−ơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta chỉ cần tìm đến ψ(q) l đủ, vì hóa l−ợng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của phân tử. 4.6. Một số bi toán ứng dụng 4.6.1. Bi toán vi hạt trong hộp thế một chiều Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối l−ợng m chuyển động trong hộp thế một chiều theo ph−ơng x với bề rộng OA = a. Trong khoảng 0 ≤ x ≤ a thế năng của hệ không đổi. ở những vị trí bên ngoi hộp (x a) thì có những tr−ờng lực lm cho thế năng của hạt tăng vô hạn. Nói cách khác chuyển động của hạt bị giới hạn trong hộp: 8 8 = = U = Const U U a x 0 U = Const = 0 với 0 ≤ x ≤ a U = ∞ với x a Mô hình ny gọi l mô hình hộp thế một chiều, trạng thái của hạt trong hộp thế một chiều l trạng thái dừng. Hạt chuyển động trong thnh vách dựng đứng có thể dùng để mô tả electron tự do trong kim loại hoăc electron không định c− trong các phân tử liên hợp. Ta có ph−ơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng: 39
  37. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2m ∆ψ + (E −U )ψ = 0 (q) ℏ 2 (q) d 2 Vì l hộp thế một chiều theo ph−ơng x nên: ∆ = dx 2 d 2ψ 2m Suy ra : + Eψ = 0 dx 2 ℏ 2 2mE d 2ψ Đặt k 2= ⇒ + k 2ψ = 0 (4.16) ℏ 2 dx 2 Đây l ph−ơng trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát: ψ (x) = A coskx + Bsinkx (4.17) Trong đó A, B l các hằng số ch−a xác định. Ta có thể xác định A bằng cách để ý tới điều kiện bờ của bi toán (x = 0 v x = a). Tại các giá trị bờ (x = 0, x = a) hm sóng phải triệt tiêu, nghĩa l ψ = 0: ψ(0) = 0 , ψ (a) = 0 * ψ(0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 ⇒ A = 0 ψ ⇒ (x) = Bsinkx * ψ(a) = Bsinka = 0 ⇒ sinka = 0 ⇒ ka = n π ( n: nguyên) ψ (B không thể bằng 0, vì nếu B = 0 thì (x) bằng 0 với mọi x) nπ ⇒ k = (n = 1,2,3, .) a ψ (n không thể bằng 0, vì n = 0 thì k = 0 v (x) cũng bằng 0 với mọi x. Đồng thời ψ n cũng không nhận giá trị âm, vì khi đó ta có (x) = Bsinka v mật độ xác suất của 2 hm sóng ψ vẫn không thay đổi). nπ ⇒ ψ = B sin x (x) a Hằng số B còn lại đ−ợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá: 40
  38. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a a 2 nπ ∫ ψ dx = 1 ⇒ B 2 ∫ Sin 2 xdx = 1 0 0 a 2 B = (th−ờng chọn B d−ơng) a 2 nπ Vậy hm sóng đ chuẩn hoá: ψ (x) = sin x n a a 2mE nπ Từ k 2 = v k = ℏ a h 2 2 E n = n 8ma 2 (4.18) n: số l−ợng tử ( n = 1,2,3, .) Từ (4.18) ta thấy, hệ chỉ có thể nhận các giá trị năng l−ợng gián đoạn, ta nói năng l−ợng của hạt đ−ợc l−ợng tử hoá. Nh− vậy, sự l−ợng tử hoá của năng l−ợng đ−ợc dẫn ra một cách tự nhiên từ yêu cầu hm sóng phải thoả mn các điều kiện bờ. Đây l điểm khác biệt của hệ vi mô so với hệ vĩ mô. 2 h 2 π n = 1 : E = 2 ; ψ = sin x (x =0, x = a) 1 8ma 1 a a 2 h 2 π n = 2 : E = 4. 2 = 4E ; ψ = sin 2 x (x = 0, a, a/2) 2 8ma 1 2 a a 2 h 2 π n = 3 : E = 9. 2 = 9E ; ψ = sin 3 x (0, a, a/3, 2a/3) 3 8ma 1 3 a a Điểm m tại đó hm sóng ψ = 0 ng−ời ta gọi l điểm nút. Trừ những điểm ở thnh hộp, ta thấy số điểm nút của hm sóng phụ thuộc vo n v bằng (n1). Giản đồ năng l−ợng hm sóng v mật độ xác suất của hạt trong hộp thế một chiều đ−ợc trình by ở hình sau: Có thể rút ra một số đặc điểm về hm sóng v mức năng l−ợng của hệ: ψ Mỗi hm sóng n(x) có (n1) điểm nút. Số điểm nút tăng theo chiều tăng của mức năng l−ợng. 41
  39. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí giữa x v dx l : dw = ψ 2dx. Xác suất ny có cực đại tại những vị trí khác nhau tuỳ theo trạng thái của hệ. ở trạng thái cơ bản n =1, mật độ xác suất cực đại tại x =a/2. h 2 Mức năng l−ợng thấp nhất của hệ có giá trị hữu hạn khác không E 1 = 8ma 2 . Ng−ời ta gọi năng l−ợng ny l năng l−ợng điểm không. Sự tồn tại năng l−ợng điểm không l đặc tr−ng của các hệ liên kết. 4.6.3. Bi toán vi hạt trong hộp thế 3 chiều Mở rộng tr−ờng hợp hộp thế 1 chiều đối với hộp thế 3 chiều, với thế năng: U = Const = 0 trong khoảng 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c v U = ∞ ở ngoi khoảng đó. z c o x b a y Ph−ơng trình Schrodinger có dạng: ℏ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ( + + )ψ = Eψ (4.19) 2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (x, y,z) (x,y,z) E = E x + E y + E z ψ ψ ψ ψ Để giải ph−ơng trình (4.19) ta phân li biến số: (x,y,z) = (x) (y) (z) (4.20) ψ ψ ψ Đ−a (4.20) vo (4.19) rồi chia cả hai vế cho (x) (y) (z) ta đ−ợc: 1 ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 2m (x) + ( y) + (Z ) = − E (4.21) ψ ∂ 2 ψ 2 ψ ∂ 2 ℏ 2 (x) x ( y) ∂y (Z ) Z 1 ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 2m hay (x) + ( y) + (Z ) + (E + E + E ) = 0 (4.22) ψ ∂ 2 ψ 2 ψ ∂ 2 ℏ 2 x y z (x) x ( y) ∂y (Z ) Z 42
  40. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ph−ơng trình (4.22) có thể đ−ợc xem nh− l tổng của 3 ph−ơng trình có dạng giống nhau: ∂ 2 2m ψ + E ψ = 0 (a) ∂x 2 (x) ℏ 2 x (x) ∂ 2 2m ψ + E ψ = 0 (b) ∂y 2 ( y) ℏ 2 y ( y) ∂ 2 2m, ψ + E ψ = 0 (c) ∂z 2 (z) ℏ 2 z Z Các ph−ơng trình (a), (b), (c) chính l ph−ơng trình sóng của hạt trong hộp thế một chiều m nghiệm ta đ biết: π 2 ψ n 2 h (x) = A xsin x ; E x = n a x 8ma 2 n π h 2 ψ = A sin y y ; E = n 2 y y b y y 8mb 2 n π h 2 ψ = A sin z z ; E = n 2 (z) z c z z 8mc 2 2 2 2 ở điều kiện chuẩn hoá thì A = ; A = ; A = . Do đó hm sóng x a y b z c chuẩn hoá v năng l−ợng của hệ l: π 2 nπ 2 ny 2 n π ψ = sin x . sin y . sin z z (4.23) (x, y,z) a a b b c c 2 2 n n 2 n 2 h x + y + z Enx,ny,nz = ( ) (4.24) 8m a 2 b 2 c 2 Từ (4.24) suy ra: Nếu một hay hai cạnh của hộp thế có độ di bằng số nguyên lần một cạnh khác thì sẽ có một số hm riêng (trạng thái) khác nhau có cùng một giá trị năng l−ợng nh− nhau, tức l trị riêng E nx,ny,nz có suy biến. Sự xuất hiện trị riêng suy biến rất th−ờng gặp trong cơ học l−ợng tử, phản ánh tính đối xứng của hệ khảo sát. 4.6.3. Dao động tử điều ho 43
  41. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chúng ta biết rằng dao động tử của một phân tử hai nguyên tử, chuyển động của các hạt trong mạng l−ới tinh thể, một cách gần đúng, đ−ợc xem nh− các dao động điều hoá tuyến tính. Khi hạt chuyển động trong tr−ờng lực dọc theo trục x (theo ph−ơng xác định) thì nó bị tác dụng một lực với thế năng: k mω 2 U = x 2 = x 2 (4.25) 2 2 trong đó: k = m ω2 l hằng số lực hay hệ số đn hồi m : khối l−ợng hạt x : li độ dao động ω = 2 πν l tần số góc Theo cơ học cổ điển, năng l−ợng của hệ l: 1 E = ka 2 (4.26) 2 vì a (biên độ ) có thể nhận các giá trị bất kì nên E thu đ−ợc l các giá trị liên tục. Theo cơ học l−ợng tử, thay thế năng vo ph−ơng trình Schrodinger, ta có: d 2ψ 2m 1 + (E − mω 2 x 2 )ψ = 0 (4.27) dx 2 ℏ 2 2 2mE Đặt: α = (4.28) ℏ 2 mω β = (4.29) ℏ Ph−ơng trình (4.27) đ−ợc viết lại: d 2ψ + ( α β2x2) ψ = 0 (4.30) dx 2 Đ−a biến số: ξ = β x (4.31) Lấy đạo hm ξ theo x ta có: dξ = β dx 44
  42. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - d d dξ d Hay = = β (4.32) dx dξ dx dξ d 2 d 2 = b (4.33) dx 2 dξ 2 Thay (4.32), (4.33) vo (4.30) ta đ−ợc: d 2ψ β + (α − βξ 2 )ψ = 0 (4.34) dξ 2 d 2ψ α Hay + ( − ξ 2 )ψ = 0 (4.35) dξ 2 β Hm ψ phải liên tục, đơn trị, hữu hạn đối với mọi gía trị của ξ. Khi ξ khá lớn thì tỉ số α/β có thể bỏ qua, lúc đó ph−ơng trình có dạng: d 2ψ −ξ 2ψ = 0 dξ 2 Ph−ơng trình vi phân ny có nghiệm l: 2 ψ = e ±ξ 2/ 2 Khi ξ → ∞ thì ψ tăng vô hạn, nghiệm ψ = e+ξ / 2 sẽ không thoả mn điều kiện của hm ψ. Vậy hm sóng ψ chỉ có thể l: 2 ψ = e −ξ / 2 Nghiệm đúng của hm ψ trong ph−ơng trình l : ψ = H (ξ )e −Z ở đây hm H( ξ) phải đ−ợc xác định. Muốn vậy ta đặt Z = ξ2/2; Z ’ = ξ để đ−a ph−ơng trình (4.35) về dạng Hermit. Giải ph−ơng trình ny ng−ời ta đ−ợc nghiệm: n ξ n ξ 2 d − ξ 2 Hn( ) = (1) e (e ) dξ n với n = 0, 1, 2, 3, 1 Năng l−ợng của hệ l : E = h ν(n + ) 2 45
  43. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Nh− vậy ứng với mỗi giá trị của n = 0, 1, 2, ta có các giá trị năng l−ợng đ−ợc phép l 1/ 2, 3/2, 5/2 lần năng l−ợng h ν, nghĩa l các giá trị năng l−ợng của dao động tử điều hoá tuyến tính lập thnh một phổ gián đoạn phụ thuộc vo n gọi l số l−ợng tử dao động. Một vi mức năng l−ợng đầu tiên v các hm sóng t−ơng ứng đ−ợc biểu diẽn trên đồ thị sau: Kết quả quan trọng nhất thu đ−ợc l năng l−ợng đ−ợc phép nhỏ nhất E = h ν/2 với n = 0. Đó l năng l−ợng điểm không v cũng l điều khác với kết quả thu đ−ợc của lí thuyết cổ điển. Điều nyphù hợp với nguyên lí bất định, vì những bất định cần thiết về vị trí v xung l−ợng sinh v năng l−ợng điểm không. Câu hỏi v bi tập 1.1.1. Hy cho biết nội dung của tiên đề về hm sóng. 2.2.2. Hm sóng của một hệ l−ợng tử phải tho mn điều kiện gì? 3.3.3. Hy cho biết ý nghĩa vật lý của hm sóng. 4.4.4. Hy cho biết nội dung, ý nghĩa của nguyên lý chồng chất trạng thái. 5.5.5. Hy cho biết nội dung của tiên đề về toán tử. 6.6.6. Hy cho biết điều kiện để hai đại l−ợng vật lý xác định đồng thời trong một trạng thái. 7.7.7. Chứng minh rằng toạ độ v động l−ợng t−ơng ứng với toạ độ đó l không thể xác định trong hệ l−ợng tử. 8.8.8. Hy cho biết nội dung của tiên đề về ph−ơng trình Schrodinger. 9.9.9. Hy cho biết đặc điểm toán học của ph−ơng trình Schrodinger. Giải ph−ơng trình ny thu đ−ợc những kết quả gì? 1100 10. Hy cho biết tại sao toán tử tuyến tính tự liên hợp đ−ợc sử dụng trong cơ học l−ợng tử? 46
  44. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1111 11. Chứng minh rằng ở trạng thái dừng hm mật độ xác suất có giá trị không phụ thuộc vo thời gian. 1122 12. Tại sao trạng thái dừng có giá trị năng l−ợng xác định? 1133 13. a Hy mô tả hệ của bi toán hạt chuyển động trong hộp thế một chiều. b Hy viết ph−ơng trình Schrodinger cho bi toán trên v giải ph−ơng trình đó. c Hy cho biết ý nghĩa của các nghiệm thu đ−ợc. d Tại sao nói các kết quả trên phản ánh tính chất l−ợng tử của hệ đ−ợc xét? 1144 14. Tìm năng l−ợng động học thấp nhất của một electron trong hộp thế 3 chiều có kích th−ớc 0,1.10 13 cm, 1,5.10 13 cm v 2.10 13 cm. 17 h 2 1155 15. Xác định mức suy biến của mức năng l−ợng E = của hạt trong hộp thế 3 8ma 2 chiều có các cạnh bằng nhau. 1166 16. Giả thiết một hộp thế một chiều với độ rộng a = 10 nm có một vi hạt chuyển động đ−ợc mô tả bằng hm sóng: 2 π ψ = sin x với n = 1 a a Hy xác định xác suất tìm thấy vi hạt trong các tr−ờng hợp sau đây: a) Giữa x = 4,95 nm v 5,05 nm b) Giữa x = 1,95 nm v 2,05 nm c) Giữa x = 9,90 nm v 10 nm d) ở chính giữa a e) x ở 1/3 a 1177 17. áp dụng mô hình electron π chuyển động tự do trong giếng thế một chiều (dọc theo mạch cacbon liên hợp) cho phân tử liên hợp hecxatrien, hy xác định b−ớc sóng λ khi có sự chuyển dời 1 electron π từ mức năng l−ợng bị chiếm cao nhất (HOMO) lên mức năng l−ợng trống thấp nhất (LUMO). Cho biết độ di liên kết trung bình C C trong mạch l 1,4A o. 1188 18. Cho hm thử Ψ = x(a x) để mô tả sự chuyển động của vi hạt trong giếng thế một chiều với kích th−ớc giếng l a. a) Hy chứng minh hm thử Ψ thoả mn điều kiện biên của bi toán. b) áp dụng ph−ơng pháp biến phân, xác định năng l−ợng E ở trạng thái cơ bản ứng với điều kiện biên, c) So sánh kết quả ở câu b) với kết quả thực nghiệm l E = h 2/8ma 2 với n =1. 1199 19. Hy cho biết ứng với những giá trị no khi electron chuyển động trong giếng thế một chiều với độ di l a ở trạng thái n = 3 sẽ đạt giá trị cực đại v cực tiểu. 2 nπ Cho ψ = sin x a a 2200 20. Electron của phân tử etylen hấp thụ một b−ớc sóng λ = 1625A o khi chuyển từ 2 2 2 2 mức năng l−ợng E 1 = h /8ma đến mức năng l−ợng E 2= 4h /8ma . Tính độ di liên kết trong phân tử ny bằng A o. Cho m = 9,1.10 31 kg; h = 6,62.10 34 Js, c = 3.10 8m/s. 47
  45. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 5 Tr−ờng xuyên tâm v nguyên tử hyđro 5.1. Tr−ờng xuyên tâm Hệ toạ độ cầu 5.1.1. Tr−ờng xuyên tâm: Một tr−ờng thế đ−ợc gọi l tr−ờng xuyên tâm khi: Mọi lực tác dụng lên hạt đều đi qua một điểm cố định gọi l tâm của tr−ờng v ng−ời ta lấy điểm ny lm gốc toạ độ. Lực đó chỉ phụ thuộc khoảng cách R từ tâm đến hạt chứ không phụ thuộc vo ph−ơng của vectơ R, do đó U = U(r). Ví dụ: Tr−ờng lực của hạt nhân đối với electron l tr−ờng xuyên tâm. Ze 2 r U = r 5.1.2. Toạ độ cầu: Vì tr−ờng xuyên tâm l tr−ờng đối xứng cầu, nên các bi toán trong tr−ờng xuyên tâm ng−ời ta sử dụng hệ toạ độ cầu. Giữa toạ độ Descartes v toạ độ cầu có mối quan hệ sau: r = OM (0 ≤ r ≤ ∞) θ = (OZ,OM) (0 ≤ θ ≤ π) ϕ = (OX,OM) ( 0 ≤ ϕ ≤ 2 π) x = rsin θcos ϕ y = rsin θsin ϕ z = rcos θ ; r 2 = x 2 + y 2 + z 2 Phần thể tích d τ trong toạ độ cầu có dạng: dτ = r 2 dr.sin θdθdϕ 5.1.3. Các toán tử trong hệ toạ độ cầu 49
  46. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - - Toán tử Laplace 1 ∂ ∂ 1 ∆ = (r 2 ) + Λ r 2 ∂r ∂r r 2 Λ: Phần phụ thuộc góc của toán tử Laplace 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 Λ = (sin θ ) + sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 - Toán tử mômen động l−ợng: ∂ ∂ Mˆ = iℏ(sin ϕ + ctg θ.cos ϕ ) x ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ Mˆ = −iℏ(cos ϕ − ctg θ.sinϕ ) y ∂θ ∂ϕ ∂ Mˆ = −iℏ z ∂ϕ Mˆ 2 = −ℏ 2 Λ Theo cơ học l−ợng tử, khi hạt chuyển động trong tr−ờng xuyên tâm, giữa các toán tử momen động l−ợng có các t−ơng quan: ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ [ M , M x ] = [ M , M y ] = [ M , M z ] = 0 ℏ 2 1 ∂ ∂ 1 Toán tử Haminton: Hˆ = [ (r 2 ) + Λ] + U 2m r 2 ∂r ∂r r 2 Ph−ơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng trong tr−ờng xuyên tâm: ˆ ψ ψ H (r, θ, ϕ ) = E (r, θ, ϕ ) (5.1) 1 ∂ ∂ψ 1 2m hay (r 2 ) + ∧ψ + (E −U )ψ = 0 (5.2) r 2 ∂r ∂r r 2 ℏ 2 5.1.4. Các toán tử giao hoán trong tr−ờng xuyên tâm: ˆ ˆ 2 ˆ Trong tr−ờng xuyên tâm các toán tử H , M v M z giao hoán với nhau từng đôi 50
  47. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 một: [ H , M ] = [ H , M z] = [ M , M z] = 0. Do đó, các trị riêng của chúng E, M , M z l đồng thời xác định. Chúng có chung hm riêng v lập thnh một hệ toán tử đầy đủ, xác định hon ton hm sóng của hệ. 5.2. Bi toán nguyên tử hidro v ion giống hidro Nguyên tử hidro v ion giống hidro nh− He +, Li 2+ có một electron duy nhất chuyển động trong tr−ờng lực của hạt nhân với điện tích d−ơng +e (hay +Ze) có thế năng U = Ze 2/r (r: khoảng cách từ electron đến hạt nhân). So với electrron, hạt nhân có khối l−ợng rất lớn v chuyển động rất chậm, nên một cách gần đúng ng−ời ta xem nó đứng yên v đặt gốc toạ độ tại nhân. Nh− vậy, bi toán nguyên tử hidro v ion giống hidro chuyển thnh bi toán xét chuyển động của electron trong tr−ờng xuyên tâm. 5.2.1. Ph−ơng trình Schrodinger của nguyên tử hidro 1 ∂ ∂ψ 1 2m (r 2 ) + ∧ψ + (E −U )ψ = 0 (5.2) r 2 ∂r ∂r r 2 ℏ 2 Việc giải ph−ơng trình Schrodiger chính l đi tìm giá trị E v hm ψ của ph−ơng trình (5.2). ˆ 2 ˆ Trong tr−ờng xuyên tâm, các toán tử M v M z giao hoán với nhau v giao hoán với toán tử Hˆ ˆ ˆ 2 θ ϕ Toán tử M z v M có hm riêng chung l Y ( , ) ( hm cầu). ψ ˆ ψ ˆ 2 (r, θ, ϕ) l hm riêng của toán tử H . Để (r, θ, ϕ) cũng l hm riêng của M v ˆ ψ M z thì phải bằng tích của hm cầu Y(θ, ϕ) với một hm chỉ phụ thuộc r (gọi l hm bán kính R (r) ) ψ (r, θ, ϕ) = R (r) . Y ( θ,ϕ) = R.Y (5.3) Thay (5.3) vo (5.2) ta đ−ợc: 1 ∂ ∂RY ∧ RY 2m (r 2 ) + + (E −U)RY = 0 (5.4) r 2 ∂r ∂r r 2 ℏ 2 Mˆ 2 với ∧ = − ℏ 2 Y ∂ ∂R R Mˆ 2 2m (5.4) ⇒ (r 2 ) − + RY (E −U ) = 0 (5.5) r 2 ∂r ∂r r 2 ℏ 2 ℏ 2 51
  48. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - r 2 Nhân (5.5) với , chuyển phần phụ thuộc góc về phía phải, ta đ−ợc: RY 1 ∂ ∂R 2mr 2 Mˆ 2Y (r 2 ) + (E −U ) = (5.6) R ∂r ∂r ℏ 2 ℏ 2Y Để cho ph−ơng trình (5.6) luôn nghiệm đúng thì hai vế của ph−ơng trình phải bằng một hằng số v ng−ời ta tách thnh hai ph−ơng trình: Mˆ 2Y Ph−ơng trình phụ thuộc góc ( θ,ϕ): = A (5.7) ( A = const) ℏ 2Y 1 ∂ ∂R 2mr 2 Ph−ơng trình phụ thuộc bán kính r: (r 2 ) + (E −U ) = A (5.8) R ∂r ∂r ℏ 2 Nh− vậy, việc giải ph−ơng trình Schrodinger chính l giải ph−ơng trình phụ thuộc góc v ph−ơng trình phụ thuộc bán kính. 5.2.2. Ph−ơng trình phụ thuộc góc ˆ 2 ˆ a.a.a. Hm riêng của M vvv M z Ph−ơng trình (5.7) chính l ph−ơng trình hm riêng v trị riêng của toán tử Mˆ 2 . θ ϕ ˆ 2 ˆ ˆ ϕ Vì hm cầu Y( , ) l hm riêng chung của M v M z , m M z chỉ chứa một biến ∂ ( Mˆ = i ℏ ); nên Y( θ,ϕ) l tích của hm Θ(θ)Φ(ϕ): z ∂ϕ Y( θ,ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) (5.9) Thay (5.9) vo ph−ơng trình góc (5.7): Mˆ 2 Y = A ħ2 Y ta đ−ợc: 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ ) + = AY sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 φ ∂ ∂ Θ Θ ∂ 2Φ hay (sin θ ) + + AΘΦ = 0 (5.10) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2 sin 2 θ Nhân (5.10) với v biến đổi ta đ−ợc: ΘΦ 52
  49. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 ∂ ∂Θ 1 ∂ 2Φ sin 2 θ[ (sin θ ) + A] = (5.11) θ θ ∂θ ∂θ ∂Φ 2 sin Φ Để cho (5.11) luôn nghiệm đúng, thì hai vế phải bằng một hằng số: 1 ∂ 2Φ = m 2 (5.12) ∂Φ 2 Φ 1 ∂ ∂Θ sin 2 θ[ (sin θ ) + A] = m 2 (5.13) θ sin θ ∂θ ∂θ *Ph−ơng trình (5.12) đ−ợc viết lại: ∂ 2Φ + m 2Φ = 0 ∂Φ 2 Đây l ph−ơng trình vi phân bậc hai có nghiệm: Φ im ϕ m( ϕ) = c. e Φ ± ± Để hm m( ϕ) l đơn trị, thì m phải nhận các giá trị 0, 1, 2 Φ m( ϕ) l hm riêng của toán tử M z *Ph−ơng trình (5.13) đ−ợc viết lại: 1 ∂ ∂Θ m 2Θ (sin θ ) + = AΘ sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ 1 ∂ ∂Θ m 2Θ Đặt A = l(l + 1), ta đ−ợc: (sin θ ) + = (ll + )1 Θ (5.14) sin θ ∂θ ∂θ sin 2 θ Ph−ơng trình (5.14) l ph−ơng trình hm số cầu, ph−ơng trình ny chỉ có thể có nghiệm đơn trị, hữu hạn, liên tục. Nghiệm của ph−ơng trình: 2l +1 (l − m )! Θ(θ ) = ± . P m (cos θ ) (5.15) 2 (l + m )! l Với: l = 0, 1, 2, m= 0, ±1, ± 2, , ± l 53
  50. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Θ θ Φ ϕ Nh− vậy: Hm cầu Y(θ,ϕ) = ( ) ( ) trở thnh: + (l − m )! ± 1 2l 1 m θ im ϕ Y(θ,ϕ) = . P l (cos ) .e (5.16) 2π 2 (l + m )! ˆ 222 ˆ b.b.b. Trị riêng của toán tử M , M zzz Trị riêng của M 2 : Mˆ 2Y = (ll + )1 ℏ 2Y (5.17) Suy ra: M 2 = l(l +1) ħ2 h Hay: M = (ll + )1 2π l = 0,1,2, l gọi l số l−ợng tử phụ ( số l−ợng tử obital). Theo qui −ớc những trạng thái của hệ ứng với các giá trị của l l: l = 0 1 2 3 4 5 6 7 s p d f g h i k Chú ý ::: Các ký hiệu s, p, d, f cho các obital đ−ợc lấy từ các chữ cái đầu tiên của 4 dy quang phổ phát xạ của nguyên tử natri: Sharp (s), Principle (p), Diffusion (d), Fundamental (f). Các ký hiệu còn lại nh−: g, h, i, k đ−ợc sắp xếp theo thứ tự anpha. ˆ φ φ Trị riêng của M z : M z = M z ∂c.eim ϕ hay − iℏ = M φ ∂ϕ z im ϕ φ Lấy vi phân ta đ−ợc i ħ.c.i.m.e = M z. im ϕ φ ħ.c.m.e = M z. ⇒ M z = m. ħ (5.18) (m = 0, ±1, ±2, , ±l) m gọi l số l−ợng tử từ. m chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn từ +l đến l. Về ý nghĩa vật lí, nó đặc tr−ng cho sự định h−ớng của vectơ momen động trên trục Z. 54
  51. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Một số dạng hm cầu đ đ−ợc chuẩn hoá nh− bảng 5.1. Chỉ những hm cầu có m l =0 mới l hm thực, còn các hm cầu có m l ≠ 0 đều l ϕ phức vì có chứa e im . Song vì hm cầu Y l phần góc của ψ = R.Y, trong đó hm bán kính R l thực, cho nên để cho AO l thực thì cần biến đổi hm cầu phức thnh hm thực. Để lm điều ny ta tiến hnh tổ hợp tuyến tính các hm cầu phức một cách thích hợp có tính đến định lí Euler: ϕ ϕ Cos ϕ = (e i + e i )/2 ϕ ϕ Sin ϕ = (e i e i )/2i Ví dụ: Với l = 1. Từ các giá trị ở bảng 5.1 ta có: 3 P = ψ = Y = cos θ z pz 1,0 8π Y + Y iϕ + −iϕ ψ 1,1 ,1 −1 = 3 θ e e = 3 θ ϕ Px = px = sin ( ) sin cos 2 4π 2 4π Y − Y iϕ − −iϕ ψ 1,1 ,1 −1 = 3 θ e e = 3 θ ϕ Py = py = sin ( ) sin sin i 2 4π 2 4π Các giá trị của các hm đ tổ hợp đ−ợc đ−a ra ở bảng 5.2. θ ϕ Bảng 5.1: Dạng hm cầu Y l,m ( , ) θ ϕ l ml Yl, m ( , ) Mz M 0 0 1 0 0 Y00 = 4π 0 3 0 Y = cos θ 10 8π 1 1 3 ϕ +ħ 2ℏ Y = sin θ. e i 1,1 8π 1 3 ϕ ħ Y = sin θ. e i 1,1 8π 0 5 0 Y = (3cos 2θ 1) 2,0 16 π 1 15 ϕ + ħ Y = sin θcos ϕ e i 2,1 8π 55
  52. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 1 15 ϕ ħ 6ℏ Y = sin θcos ϕ e i 2,1 8π 2 15 ϕ +2 ħ Y = sin 2θ e 2i 2,2 32 π 2 15 ϕ 2ħ Y = sin 2θ e2i 2,2 32 π Bảng 5.2: Dạng hm cầu Y l,m của hidro θ ϕ l ml Yl, m ( , ) Tổ hợp tuyến tính Ký hiệu 0 0 1 s Y00 = 4π 1 0 3 pz Y = cos θ 10 8π 1 1 1 p 3 iϕ x Y = sin θ. e (Y 1,1 + Y 1,1) 1,1 8π 2 1 1 1 p 3 iϕ y Y = sin θ. e (Y 1,1 Y 1,1) 1,1 8π i 2 2 0 5 dz2 Y = (3cos 2θ 1) 2,0 16 π 2 1 1 d 15 iϕ xz Y = sin θcos ϕ e (Y 2,1 + Y 2,1) 2,1 8π 2 2 1 1 d 15 iϕ yz Y = sin θcos ϕ e (Y 2,1 Y 2,1) 2,1 8π i 2 2 2 1 d 15 2 2i ϕ x2 y2 Y = sin θ e (Y 2,2 + Y 2,2) 2,2 32 π 2 2 2 1 d 15 2 2i ϕ xy Y = sin θ e (Y 2,2 Y 2,2) 2,2 32 π i 2 Các dạng hm P x, P y, P z thu đ−ợc từ sự tổ hợp tuyến tính gọi l các obital nguyên tử P x, P y, P z v kết hợp với các giá trị của x, y, z trong hệ toạ độ cầu ta đ−ợc: 3 3 3 P = (z/r); P = (x/r); P = (y/r) z 4π x 4π y 4π 56
  53. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Điều ny giải thích vì sao chúng ta có các hm ứng với các kí hiệu P x, P y, P z. Bằng cách t−ơng tự ta có các kí hiệu d xy , d xz , d yz , d x2y2 v d z2 . 5.2.2. Ph−ơng trình phụ thuộc bán kính r 1 ∂ ∂R 2mr 2 Từ ph−ơng trình (5.8) : (r 2 ) + (E −U ) = l(l+1) R ∂r ∂r ℏ 2 d 2 R 2 dR 2m (ll + )1 Ta đ−ợc: + + [ (E −U ) − ]R = 0 (5.19) dr 2 r dr ℏ 2 r 2 Từ ph−ơng trình (5.19) ta phải tìm giá trị E v R(r). Đối với electron có hai khả năng xảy ra: Khi electrron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa l không tồn tại liên kết, lúc đó E > 0. Khi electrron còn t−ơng tác với hạt nhân, nghĩa l tồn tại liên kết hoá học, E < 0. Đây l tr−ờng hợp m ta quan tâm. 2Zr Để giải ph−ơng trình bán kính ta đặt: x = (5.20) na o Với n l một tham số no đó. Tìm giá trị của các hm dr, dr 2, dR/dr, d 2R/dr 2 (5.21) Thay các gía trị ở (5.20) v (5.21) vo (5.19) v biến đổi để đ−a về dạng Laguerre, giải ta đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình hm bán kính: − + 2Zr Zr / na o 2l 1 2Zr R(r) = C )e Ln+l ( ) na o na o 0 0 a0 = 0,529A ~ 0,53A (bán kính Bohr) 2l+1 L n+l (x) : Đa thức Laguerre (4 n − l −1)! Z C = ( ) 2/3 4 + 3 n [( n l)! ] ao Ph−ơng trình bán kính chỉ có nghiệm khi nl1 ≥ 0 v nguyên, tức l n ≥ l + 1 v nguyên, m l = 0, 1, 2, ; do đó n = 1, 2, n đ−ợc gọi l số l−ợng tử chính. Nh− vậy ứng với một giá trị của n có n giá trị l n = 1 l = 0 : 1s n = 2 l = 0, 1 : 2s, 2p n = 3 l = 0, 1, 2 : 3s, 3p, 3d n = 4 l = 0, 1, 2, 3 : 4s, 4p, 4d, 4f 57
  54. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Một số hm bán kính R (n,l) của các ion giống hidro đ−ợc trình by ở bảng 5.3. Bảng 5.3: Một số hm bán kính của các ion giống hidro n l Rn.l (r) 1 0 Z − (2 ) 2/3 .e Zr / ao ao 2 0 1 Z Zr − ( ) /3 2 1( − ). e Zr / 2ao 2 ao 2ao 2 1 1 Z − ( ) 2/5 r.e Zr / 2ao 2 6 ao 2 2 3 0 2 Z Zr 2 Z r − /3 2 − + Zr 3/ ao ( ) 3( 2 2 )e 9 3 ao ao 9 ao 3 1 4 Z Zr − ( ) 2/5 2( − )e Zr 3/ ao 27 6 ao 3ao 3 2 4 Z − ( ) 2/7 r 2e Zr 3/ ao 81 30 ao Năng l−ợng: Z 2 me 4 E = 2n 2ℏ 2 E đ−ợc l−ợng tử hoá vì n nhận giá trị gián đoạn. E1 : ứng với trạng thái n = 1: Trạng thái cơ bản E min. Trong nguyên tử hidro v ion giống hidro thì những trạng thái ứng với n ≥ 2 gọi l trạng thái kích thích. 5.2.3. Một số tính chất của các hm sóng 5.2.35.2.3.1 1. Khái niệm về obital nguyên tử Hm sóng ψ(r, θ,ϕ) l hm mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử. Hm ψ(r, θ,ϕ) l tích của hm bán kính v hm góc. ψ θ ϕ θ ϕ n,l,m (r, , ) = R n, l (r) .Y l,m ( , ) Trong quá trình giải ph−ơng trình Schrodinger ta thấy xuất hiện 3 số l−ợng tử: - n: Số l−ợng tử chính nhận các giá trị 1, 2, 3 Số l−ợng tử ny xác định những mức năng l−ợng trong nguyên tử: Z 2 me 4 E = 2n 2ℏ 2 58
  55. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - l: Số l−ợng tử phụ hay số l−ợng tử orbital nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, (n 1). Số l−ợng tử ny xác định momen động l−ợng orbital: M = (ll + )1 ℏ ± ± ± - ml: Số l−ợng tử từ nhận các giá trị 0, 1, 2 l. Số l−ợng tử ny xác hình chiếu của mômen động l−ợng theo một ph−ơng no đó, chẳng hạn theo trục z. Mz = m l. ħ ψ Nh− vậy, hm không gian n,l,m phụ thuộc vo 3 số l−ợng tử v mô tả trạng thái chuyển động của electron trong nguyên tử hidro v ion giống hidro. Theo Mulliken, những hm nh− thế gọi l orbital nguyên tử (viết tắt l AO Atomic Orbital). Trong cơ học l−ợng tử khái niệm quỹ đạo (orbit) đ−ợc thay bằng orbital. Đó chính l những hm sóng mô tả trạng thái của electron, sự phân bố xác suất có mặt của electron trong nguyên tử. Một số obital nguyên tử của nguyên tử hiđro đ−ợc đ−a ra ở bảng 5.4. Bảng 5.4: Một số orbiatl nguyên tử của nguyên tử hidro nlm Orbital Hm bán kính Hm góc E(eV) 1 13,6 3/2 r/ao 100 1s 2a o e 2 π 200 2s 1 − r − 1 3,4 /3 2 − r 2/ ao (ao ) 1( )e 2 2ao 2 π 1 − − 210 2p z 2/5 r 2/ ao 3 3,4 (ao ) r.e cos θ 2 6 8π 211 2p 1 − − 3,4 x 2/5 r 2/ ao 3 (ao ) r.e sin θ.cos ϕ 2 6 8π 1 − − 211 2p y 2/5 r 2/ ao 3 3,4 (ao ) r.e sin θ.sin ϕ 2 6 8π 2 300 3s 2 − r 2r − 1 1,5 (a ) 2/3 3( − 2 + )e r 3/ ao o 2 π 9 3 ao 9ao 2 310 3p 4 − r − 1,5 z /5 2 − r 3/ ao 3 (ao ) 2( )e cos θ 27 6 3ao 8π 31+1 3p 4 − r − 1,5 x /5 2 − r 3/ ao 3 (ao ) 2( )e sin θ.cos ϕ 27 6 3ao 8π 311 3p 4 − r − 1,5 y /5 2 − r 3/ ao 3 (ao ) 2( )e sin θ.sin ϕ 27 6 3ao 8π 320 3d 4 − − 1,5 z2 /7 2 2 r 3/ ao 15 2 (ao ) r e (3cos θ 1) 81 30 4 π 59
  56. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 − − 32+1 3d xz /7 2 2 r 3/ ao 15 1,5 (ao ) r e sin2 θcos ϕ 81 30 4 π 4 − − 321 3d yz /7 2 2 r 3/ ao 15 1,5 (ao ) r e sin2 θsin ϕ 81 30 4 π 32+2 3d 4 − − 1,5 x2y2 /7 2 2 r 3/ ao 15 2 (ao ) r e sin θcos2 ϕ 81 30 4 π 4 − − 322 3d xy /7 2 2 r 3/ ao 15 1,5 (ao ) r e sin2 θsin2 ϕ 81 30 4 π 5.2.35.2.3.2 2. Sự suy biến năng l−ợng của AO Qua bảng trên ta nhận thấy các AO phụ thuộc vo 3 số l−ợng tử n, l, m l; nh−ng năng l−ợng E chỉ phụ thuộc vo n m thôi không phụ thuộc vo l v m l . Khi năng l−ợng không phụ thuộc vo số l−ợng tử no thì nó suy biến đối với số ;−ợng tử đó, nghĩa l E suy biến theo l v m l . ứng với mỗi giá trị của n có n giá trị của l từ 0, 1, 2, (n1) v ứng với mỗi giá trị của l có 2l + 1 giá trị m l từ l đến + l . Nh− vậy ứng với mỗi giá trị của n ta có: n−1 2 ∑ (2l + 1) = n AO với các giá trị của l v m l khác nhau. l=0 2 Ví dụ: ứng với n = 2 có 2 = 4 AO, ta nói mức năng l−ợng E 2 bị suy biến bậc 4. 5.2.45.2.4.3 33 3. XXXáXááácc suất có mặt của electron ψ Mỗi trạng thái của electron đ−ợc xác định bằng một hm sóng n,l,m v ứng với mỗi hm sóng ny có một sự phân bố xác suất của electron quanh một điểm M no đó trong không gian. Theo lý thuyết xác suất, mật độ xác suất đ−ợc xác định bằng bình ph−ơng mođun của hm sóng: ψ 2 . Trong toạ độ cầu một đơn vị thể tích d τ l: dτ = r 2sin θdrd θdϕ Xác suất có mặt của electron đ−ợc biểu diễn: dP = ψ*ψ r 2sin θdrd θdϕ Điều kiện chuẩn hoá đối với hm sóng l: ∫∫ψ 2 dτ = 1 60
  57. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Do ψ(r, θ,ϕ) = R(r)Y( θ,ϕ) nên điều kiện chuẩn hoá đ−ợc tách thnh hai thnh phần độc lập: r=∞ ∫ R* Rr 2 dr = 1 r=0 θ =π ϕ =2π V ∫ ∫Y *Y sin θdθdϕ = 1 θ =0 ϕ =0 Ta sẽ xét mật độ xác suất theo bán kính v theo góc. a. Mật độ xác suất theo bán kính Biểu thức P(r) = R 2(r)r 2 cho biết sự phân bố mật độ xác suất tìm thấy electron theo bán kính r đối với hạt nhân, nên đ−ợc gọi l hm phân bố xác suất theo bán kính. Nếu gọi r max l giá trị của r m tại đó mật độ xác suất tìm thấy electron l cực đại, trị ny ứng với điều kiện: Ví dụ: electron ở trạng thái 1s trong nguyên tử H 1 − R(r) = 2 ( ) 2/3 .e r / ao ao r Chọn a 0 = 1 ( lm đơn vị) R(r) = 2.e Ta có: 2 2 d(R ,r ) d − = 4( r 2 .e 2r ) = 0 dr dr 2r 0 hay 8r.e (1r) = 0 ⇒ r max = 1 = a 0 = 0,53 A 2p 3d T−ơng tự đối với 2p v 3d ta đ−ợc : r max = 4a 0 ; r max = 9a 0 Đồ thị phân bố mật độ electron theo r của một số AO đ−ợc trình by ở hình 5.1. 61
  58. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Hình 5.1. Sự phân bố mật độ electron theo bán kính Từ đồ thị thu đ−ợc cho thấy, electron không khu trú trên một quỹ đạo (orbit) xác định m chúng đ−ợc giải toả đều trong ton không gian orbital xung quanh hạt nhân, nghĩa l electron có mặt ở khoảng cách bất kỳ quanh hạt nhân với những mật độ xác suất khác nhau, trong đó có mật độ xác suất lớn nhất: r 1s (max) = a o; r 2p (max) = 4a o Nh− vậy, một lần nữa khái niệm quỹ đạo trùng với quỹ đạo Bohr của cơ học cổ điển không còn ý nghĩa trong cơ học l−ợng tử. b. Đồ thị hm cầu v mật độ xác suất theo góc Đây l sự phân bố mật độ xác suất trong tr−ờng xuyên tâm theo một h−ớng cho tr−ớc đ−ợc xác định bởi góc θ, ϕ. θ ϕ Hm Y l,m ( , ) chỉ phụ thuộc vo các số l−ợng tử l v m v độc lập với số l−ợng tử chính n. Xác suất theo góc đ−ợc biểu diễn bằng biểu thức: dP( θ, ϕ) = Y *Ysin θdθdϕ = Y *Yd Ω Với d Ω = sin θdθdϕ. Mật độ xác suất đ−ợc biểu diễn nh− sau: 62
  59. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - dP (θϕ ) 2 = D(θϕ ) = Y *Y = Y dΩ Ta xét một số tr−ờng hợp sau: 1 Khi l = 0, m l = 0, Y 00 (s) = . Đồ thị hm cầu Y 00 l một hình cầu bán 4π 1 kính bằng , nó không phụ thuộc vo góc θ,ϕ v d−ơng ở khắp nơi. 4π + Mật độ xác suất theo góc cũng không phụ thuộc vo θ,ϕ 2 1 Y 00 = 4π - Khi l = 1 ( trạng thái p): 3 3 3 P = sin θcos ϕ; P = sin θsin ϕ; P = cos θ x 4π y 4π z 4π 2 + Đồ thị P z v P z có thể biểu diễn nh− sau: 63
  60. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - θ θ o θ Sự biến thiên của P z phụ thuộc vo góc . Từ hình trên ta thấy khi = 0 , cos = 1, đoạn OA = 3 nằm trên trục OZ. Nh− thế giá trị lớn nhất l 3 ; khi θ = 90 o, cos θ = 0, đoạn OA tíên tới gốc toạ độ v nằm tại O, nghĩa l mặt phẳng xOy vuông góc 2 với trục Oz lm thnh một mặt nút của hm P . Khi θ = 45 o, cos θ = ta có đoạn OB z 2 2 2 = 3 . = OA . Nh− vậy điểm B nằm trên nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính OA = 3 . 2 2 Nếu ta quay nửa đ−ờng tròn quanh trục Z sẽ có hình cầu đ−ờng kính OA tiếp xúc với mặt phẳng xOy tại O ứng với góc θ = 0 ữ 90 o. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi θ = 90 o ữ 180 o sẽ thu đ−ợc một hình cầu thứ hai giống hệt hình cầu thứ nhất nằm d−ới mặt phẳng xOy với dấu âm. 2 Khi bình ph−ơng P z ta sẽ có một hình số 8 tròn xoay quanh trục Z. Những điểm nằm trên vnh số 8 biểu thị mật độ xác suất có mặt của electron quay quanh hạt nhân 2 2 T−ơng tự đối với P x, P y, P x , P y nh−ng phân bố theo trục X v Y. Khi l = 2 ( trạng thái d), lí luận t−ợng tự ta có đồ thị cuả các hm d z2 , d x2y2 , dxy , d xz , d yz . 64
  61. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Đồ thị các hm mật độ xác suất theo góc t−ơng ứng với 5 hm d trên thu đ−ợc bằng cách bình ph−ơng các hm sóng ny, do đó các múi d−ơng v thon hơn. 5.2.35.2.3.4 4. Khái niệm mây electron Vì electron vừa có tính chất sóng, tính chất hạt nên sự chuyển động của electron xung quanh hạt nhân nh− loang ra, nh− nhoè ra giống hình ảnh của đám mây. Vậy mây electron l hình ảnh về s− chuyển động của electron quanh hạt nhân. Mây electron tỉ lệ với e. ψ 2 ; điều đó có nghĩa l mây dy tức mật độ xác suất lớn thì khu vực đó dễ tìm thấy electron, trái lại mây mỏng hay th−a, nghĩa l mật độ xác suất nhỏ thì khó tìm thấy electron. Vậy mây electron không phải l AO. 5.2.35.2.3.5 5. Hình dạng của AO Để biểu diễn hình dạng của AO, có thể có các cách sau: Biểu diễn AO thông qua hm góc Y ( θ,ϕ) Biểu diễn AO thông qua hm Y (θ,ϕ 2 Biểu diễn AO bằng cách vẽ bề mặt giới hạn khoảng không gian tìm thấy phần lớn (~ 95%) mây điện tích electron. Hình dạng các bề mặt giới hạn ny đ−ợc xác định bởi đồ thị hm mật độ xác suất theo góc. Từ các biểu thức toán học cho thấy, không gian m electron có mặt không có một giới hạn rõ rng. Tuy nhiên, trong tr−ờng hợp chung, phần lớn xác suất có ặmt của electron tập trung chủ yếu trong một không gian xác định. Vì vậy, trong tr−ờng hợp chung ng−ời ta th−ờng biểu diễn các obital bằng một mặt cong giới hạn bao gồm phần lớn (khoảng 95%) xác suất có mặt của electron. Chú ý: Những AO cùng n thì tập hợp thnh lớp AO gọi l lớp n Những AO có cùng giá trị l thì tập hợp thnh phân lớp obital gọi l phân lớp l. Kí hiệu obital = : ô l−ợng tử 5.2.4. ý nghĩa của các số l−ợng tử. Lớp v phân lớp 555.2.45 22 44.2.4.1 1. SSốố l−ợng tử chính n. Lớp orbital. Năng l−ợng của elecelectrontron a) Lớp orbital ψ Ph−ơng trình Schrodinger có nhiều nghiệm nlm , mỗi nghiệm đặc tr−ng cho một trạng thái của electron trong nguyên tử (ch−a chú ý đến spin của electron) v đ−ợc gọi l orbital nguyên tử AO. Mỗi orbital đ−ợc đặc tr−ng bằng một tổ hợp các trị của ba số l−ợng tử n, l v m. Số l−ợng tử chính n nhận những giá trị: n = 1, 2, 3 Tất cả các orbital đ−ợc đặc tr−ng bởi cùng một giá trị của n thuộc cùng một lớp. Ng−ời ta dùng các chữ cái in để đặc tr−ng cho các lớp 65
  62. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - n = 1 2 3 4 Tên lớp: K L M N Vậy, số l−ợng tử n đặc tr−ng cho lớp orbital hay lớp electron. b) Năng l−ợng của electron Từ kết quả giải ph−ơng trình Schrodinger ta có biểu thức năng l−ợng: Z 2 me 4 1 E = 2ℏ 2 πε 2 2n 4( o ) Nếu năng l−ợng tính ra eV, thì biểu thức năng l−ợng đ−ợc viết d−ới dạng đơn giản: 13 6, E = − (eV) n n 2 Đối với những ion giống hidro, số điện tích hạt nhân Z ,thì: 13 6, Z 2 E = − (eV) n n 2 Ta thấy, trong các biểu thức trên năng l−ợng của electron trong nguyên tử H v ion giống H chỉ phụ thuộc vo số l−ợng tử n. Điều ny có nghĩa l khi electron ở những orbital khác nhau thuộc cùng một lớp thì có cùng năng l−ợng nh− nhau. 5.2.45.2.4.2 2. Số l−ợng phụ l. Phân lớplớp Mômen động l−ợng của electron a) Phân lớp: Số l−ợng tử phụ l còn gọi l số l−ợng tử orbital. Trong cùng một lớp các orbital có cùng giá trị l thì thuộc cùng phân lớp. ứng với lớp n có n phân lớp. Ng−ời ta ký hiệu phân lớp bằng các chữ cái nhỏ: l = 0 1 2 3 4 5 Phân lớp: s p d f g h Lớp K (n = 1) có 1 phân lớp: phân lớp 1s (l = 0) Lớp L (n = 2) có 2 phân lớp: phân lớp 2s (l = 0), 2p (l = 1) Lớp M (n = 3) có 3 phân lớp: phân lớp 3s (l = 0), 3p (l =1), 3d (l = 2) Lớp N (n = 4) có 4 phân lớp: phân lớp 4s (l = 0), 4p (l = 1), 4d (l =2), 4f (l =3) Các orbital trong cùng phân lớp, về cơ bản có hình dạng giống nhau, chỉ khác nhau về độ lớn của hm bán kính. Ví dụ: orbital s ở lớp no cũng có hình cầu, orbital p có dạng hình quả tạ đôi. b) Mômen động l−ợng M của electron Từ ph−ơng trình góc ta có biểu thức momen động l−ợng của electron: 66
  63. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - h M = (ll + )1 2π Nh− vậy, số l−ợng tự phụ l xác định momen đọng l−ợng của electron. Giá trị của M không phụ thuộc vo n m chỉ phụ thuộc vo l; do đó ở bất kỳ lớp no các electron ở phân lớp s đều có momen động l−ợng bằng không: h M = 0(0 + )1 = 0 2π Các electron thuộc phân lớp p có : h h M = 1(1 + )1 = 2 2π 2π 5.2.45.2.4.3 3. Số l−ợng tử từ m. Hình cchiếuhiếu của momen động l−ợngl−ợng của electron. Các orbital trong một phân lớp a) Số l−ợng tử từ m Số l−ợng tử thứ 3 đặc tr−ng cho orbital đ−ợc gọi l số l−ợng tử từ m. ứng với 1 giá trị của l có (2l + 1) giá trị của m: m = l; l + 1; l + 2; ; 0; 1; 2; ; +l Nh− vậy, phân lớp l có (2l +1) orbital Phân lớp s (l = 0) có 1 orbital Phân lớp p (l = 1) có 3 orbital Phân lớp d (l = 2) có 5 orbital Phân lớp f (l = 3) có 7 orbital b) Hình chiếu của momen động l−ợng Kết quả giải ph−ơng trình góc cho hệ thức: h M = m Z 2π Số l−ợng tử từ m xác định hình chiếu của momen động l−ợng trên một ph−ơng xác định. Ví dụ phân lớp d có 5 orbital ứng với 5 trị của m (0, ± 1; ± 2). Electron trên 5 π π orbital có momen động l−ợng nh− nhau, nh−ng có M Z khác nhau: M Z = 2h/2 ; 1h/2 ; 0; 1h/2 π; 2h/2 π. Các orbital trong một phân lớp khác nhau về cách định h−ớng trong không gian. c) Số orbital trong một lớp 67
  64. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ta đ biết, ứng với những tổ hợp khác nhau của các giá trị khả dĩ của n, l, m ta ψ có những orbital nlm khác nhau. ỉng với một giá trị của n (một lớp) có n giá trị của l (phân lớp) v ứng với một trị của l (một phân lớp) có (2l +1) gía trị của m. Nh− vậy, ứng với một trị của n (lớp n) ta có: l=n−1 ∑ 2( l + )1 = n 2 orbital l=0 Do đó, lớp n có n 2 orbital. 5.2.5. Giản đồ năng l−ợng v phổ phát xạ nguyên tử của hidro 5.2.55.2.5.1 1. Các trạng thái năng l−ợng của electron trongtrong ngnguyênuyên tử hidro Biểu thức năng l−ợng của electron trong nguyên tử hidro: Z 2 me 4 1 E = n 2ℏ 2 πε 2 2n 4( o ) 13 6, Hay : E = − (eV) n n 2 Biểu thức trên ta thấy năng l−ợng của electron chỉ phụ thuộc vo số l−ợng tử chính n. Với n = 1 (lớp K) ⇒ E = 13,6 eV Nh− vậy, ở trạng thái cơ bản, electron có năng l−ợng bằng 13,6 eV Với n = 2 (lớp L) ⇒ E = 3,4 eV Với n = 3 (lớp M) ⇒ E = 1,51 eV 5.2.55.2.5.2 2. Phổ phát xạ của nguyên tử hidro ở điều kiện bình th−ờng, electron ở trạng thái cơ bản 1s; khi đ−ợc kích thích, electron chuyển lên một orbital có năng l−ợng cao hơn. Tuy nhiên, trạng thái kích thích l trạng thái không bền, chỉ sau một thời gian rất ngắn (khoảng 10 8s) electron lại chuyển về những trạng thái có năng l−ợng thấp hơn, có thể qua nhiều b−ớc nhảy v cuối cùng về lại trạng thái cơ bản. Khi chuyển từ mức năng l−ợng cao (E c) về mức năng l−ợng thấp (E t) năng l−ợng ∆ của electron giảm: E = E c E t. Theo nguyên lý bảo ton năng l−ợng, electron sẽ giải phóng một năng l−ợng: ε = h ν = hc ν đúng bằng ∆E. E E Ta có: ν = c − t (ν = 1/ λ : số sóng) hc hc 68
  65. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - π 2 4 ν 2m e 1 − 1 = 1 − 1 Hay = 3 ( 2 2 ) RH ( 2 2 ) h c nt nc nt nc 2 4 2mπ e − R = = 109678 cm 1 gọi l hằng số Rydberg H h3c → Nh− vậy, ứng với mỗi b−ớc nhảy xác định từ n c n t nguyên tử phát ra một bức xạ đơn sắc với số sóng đ−ợc tính theo công thức trên. Khi qua máy quang phổ, mỗi bức xạ đơn sắc cho một vạch phổ. Tập hợp nhiều vạch phổ cho một dy vạch phổ. Hình 5.2: Giản đồ năng l−ợng v sự xuất hiện các dy phổ phát xạ của hidro * Dy Lyman: Tập hợp các vạch phổ ứng với những b−ớc chuyển electron từ những mức năng l−ợng cao (n c) về mức cơ bản (n t =1) tạo nên một dy vạch phổ gọi l dy Lyman, đ−ợc Lyman tìm ra năm 1916. ∞ Đối với dy Lyman: n t = 1; n c = 2; 3; 4; ; Bức xạ thuộc dy Lyman có ν lớn v thuộc miền tử ngoại. * Dy Balmer: Tập hợp các vạch phổ ứng với b−ớc chuyển electron từ n c về nt = 2. Các bức xạ thuộc dy Balmer nằm trong miền khả kiến đ đ−ợc Balmer tim ra đầu tiên năm 1885 v l dy phổ quan trọng nhất của H. Một số vạch th−ờng hay nói đến trong dy Balmer: 69
  66. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - λ o Hα (mu đỏ): n c = 3  n t = 2; = 6562,8 A λ o Hβ (mu lam): n c = 4  n t = 2; = 4861,3A λ o Hγ (mu chm): n c = 5  n t = 2; = 4340,5 A λ o Hδ (mu tím): n c = 6  n t = 2; = 4101,7 A * Dy Paschen gồm tập hợp những bức xạ phát ra khi có sự chuyển electron từ nc về n t = 3 đ−ợc Paschen tìm ra năm 1908. Những bức xạ ny nằm trong miền hồng ngoại. * Dy Brackett gồm tập hợp những bức xạ có b−ớc nhảy electron từ n c về n t =4 đ−ợc Brackett tìm ra năm 1922. * Dy Pfund gồm tập hợp những bức xạ có b−ớc chuyển electron từ n c về n t = 5, đ−ợc Pfund tìm ra năm 1924. 5.2.55.2.5.3 3. Phổ phát xạ của những ion giống hidro Đối với những ion giống hidro nh− He + (Z = 2); Li 2+ (Z = 3); Be 3+ (Z = 4); thì năng l−ợng của electron đ−ợc tính theo công thức: 13 6, Z 2 E = − eV n n 2 Số sóng ν đ−ợc tính theo công thức: ν 2 1 − 1 = RX Z ( 2 2 ) nt nc RX có giá trị khác so với R H vì số sóng phụ thuộc ít nhiều vo hạt nhân. 5.2.6. Spin của electron Hm spin orbital a. Spin ccủaủa electron: Theo cơ học l−ợng tử phi t−ơng đối tính, khi giải ph−ơng trình Schrodinger ta thu đ−ợc 3 số l−ợng tử n, l, ml. Ba số l−ợng tử ny ch−a đủ để đặc tr−ng cho trạng thái của electron. Ví dụ: khi cho một chùm nguyên tử H đi qua một từ tr−ờng không đều thì chùm H chia lm hai phần theo hai h−ớng ng−ợc nhau. Ta đ biết với nguyên tử H : n = 1 ⇒ l = 0 v M = (ll + )1 ℏ = 0. Nghĩa l nguyên tử H không có momen động l−ợng, nên phải đi thẳng qua từ tr−ờng, điều ny mâu thuẫn với thực tế l chùm nguyên tử H bị tách thnh hai phần. Ngoi ra, khi nghiên cứu chi tiết về phổ phát xạ của nguyên tử H v kim loại kiềm, năm 1925 hai nh bác học H Lan l Uhlenbeck v Goudsmit đ đ−a ra giả thuyết về spin. Theo Uhlenbeck v Goudsmit thì ngoi momen động l−ợng xác định bằng số l−ợng tử l, electron còn có momen phụ thêm, đ−ợc gọi l momen động l−ợng riêng hay momen spin. Uhlenbeck v Goudsmit giải thích sự tồn tại của momen spin bằng sự chuyển động tự quay của electron chung quanh trục riêng của nó (tiếng Anh spin có nghĩa l quay). 70
  67. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Tuy nhiên, sự tự quay cuả electron chỉ l một cách diễn tả hình t−ợng v không đ−ợc khoa học hiện đại chấp nhận. Mặc dù vậy sự tồn tại của momen spin l một thực tế khách quan. Năm 1928 Dirac (Anh) đ dựa vo thuyết t−ơng đối Einstein để hiệu chỉnh khối l−ợng của electron v giải ph−ơng trình Schrodinger đ đ−ợc t−ơng đối hoá thì thu đ−ợc số l−ợng tử thứ 4 gọi l số l−ợng tử spin kí hiệu l S; S = 1/2. ứng với mỗi giá trị của S có 2S + 1 giá trị khác nhau của m s (số l−ợng tử từ spin của e), m s = + 1/ 2, 1/ 2. Khi nói electron có spin + 1/ 2 hay 1/ 2 cần hiểu l nó có m s = +1/ 2 hay m s = 1/ 2 (số l−ợng tử m s th−ờng gọi tắt l spin). Nh− vậy, spin của electron đ xuất hiên một cách tự nhiên nh− l bậc tự do thứ t− bên cạnh ba bậc tự do của toạ độ không gian. ψ b. Hm spinspin obital: Hm AO n,l,m (r) l hm chỉ các toạ độ không gian của một electron trong nguyên tử v đặc tr−ng bằng 3 số l−ợng tử n,l,m l. Để đặc tr−ng đầy đủ trạng thái của electron trong nguyên tử cần đ−a spin vo. Khi đó hm sóng đầy đủ đơn σ nguyên tử phải chứa cả toạ độ spin = Sz của electron v gọi l hm spin obital (ASO) biểu diễn bởi: ψ σ ψ χ σ n,l,m,s (r, ) = n,l,m, (r) . ms ( ) Hm ton phần Hm vị trí Hm spin ± χ σ α Vì m s = 1/ 2, nên có hai hm spin : 1/2 ( ) = χ σ β 1/2 ( ) = ψ θ ϕ σ ψ θ ϕ α Suy ra: n,l,m,ms (r, , , ) = n,l,m (r, , ). ψ θ ϕ β = n,l,m (r, , ). Nh− vậy: ứng với một hm vị trí có hai hm ton phần. * Dirac khi giải ph−ơng trình Schrodinger t−ơng đối tính thì thu đ−ợc biểu thức tính năng l−ợng: 2 4 α 2 2 1 mZ e + Z 1 − 3 En,l = 1[ ( )] n 2 2ℏ 2 n J +1/ 2 4n J: số l−ợng tử nội J = l ± s 1 α = : Hằng số cấu trúc tinh vi 137 71
  68. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chính biểu thức ny cho ta thấy năng l−ợng của các electron không những phụ thuộc vo số l−ợng tử chính n, m còn phụ thuộc vo số l−ợng tử phụ l. Câu hỏi v bi tập 3 3 ϕ 3 ϕ 1.1.1. Chứng minh rằng cos θ, sin θei v sin sin θe i l các hm riêng 4π 4π 4π ˆ của M Z . Các trị riêng t−ơng ứng bằng bao nhiêu? 2.2.2. Chứng minh rằng đối với bi toán trong tr−ờng xuyên tâm ta có các t−ơng quan ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ giao hoán: [ H, M ] = 0, [ H, M Z ] = 0 v [ M , M Z ] = 0 3.3.3. a Hy viết ph−ơng trình Schrodinger cho bi toán về electron trong nguyên tử H. Hy giải thích các biểu thức, ký hiệu trong ph−ơng trình. b Việc giải ph−ơng trình Schrodinger cho những nghiệm đ−ợc gọi l hm sóng. Những hm thu đ−ợc phụ thuộc vo mấy số l−ợng tử, cho biết tên v quan hệ giữa các số l−ợng tử đó. c Việc giải ph−ơng trình Schrodinger cũng cho những biểu thức tính năng l−ợng, momen động l−ợng v hình chiếu của momen động l−ợng trên một ph−ơng xác định của tr−ờng ngoi. Hy viết biểu thức tính các đại l−ợng đó. d Hy cho biết ý nghĩa của các số l−ợng tử. 4.4.4. Xét các obitan sau đây của nguyên tử H: ψ ψ ψ 100 , 210 , 320 a Hy vẽ hình dạng đám mây electron ứng với các obitan trên. b Hy cho biết năng l−ợng E, momen động l−ợng M v hình chiếu của momen động l−ợng M Z của electron khi electron ở trạng thái đó. 5.5.5. a Hy viết biểu thức tính năng l−ợng E của electron trong nguyên tử H thu đ−ợc từ việc giải ph−ơng trinh Schrodinger. b Hy vẽ giản đồ năng l−ợng của electron ứng với các gía trị khác nhau của n. c Từ giản đồ đó hy vẽ các b−ớc chuyển e khác nhau ứng với các dy phổ Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund. 6.6.6. a Hy tính số sóng v b−ớc sóng của vạch phổ đầu tiên v vạch phổ giới hạn của dy vạch Lyman v dy vạch Balmer. bHy tính năng l−ợng ra erg v ra eV của photon ứng với vạch giới hạn của dy Lyman. Năng l−ợng đó còn có những ý nghĩa gì? Cho biết hằng số Rydberg: 1 RH= 109678cm . λ 7.7.7. Trên phổ phát xạ của H, vạch thứ nhất của dy Lyman có b−ớc sóng 1 = o λ 1215A , các vạch H α , H β, H γ thuộc dy Balmer lần l−ợt có b−ớc sóng 2 = o λ o λ o 6563A , 3 = 4861A 4 = 4340A . Hy tính b−ớc sóng của hai vạch tiếp theo trên dy Lyman v hai vạch đầu của dy Paschen. 8.8.8. Hình dạng của AO đ−ợc biểu diẫn nh− thế no? Hy cho biết chi tiết hình dạng AOs, AOp v AOd. 72