Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois - Nguyễn Chánh Tú

328 trang ngocly 530

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois - Nguyễn Chánh Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_li_thuyet_mo_rong_truong_va_galois_nguyen_chanh_t.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lí thuyết mở rộng trường và Galois - Nguyễn Chánh Tú

NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế 12-2006
˘ ˆ ¯DAC TÍNH KY˜ THUAT ˙ ˙ • Có theˆ’ tra cu´’u d¯e´ˆn tu`’ng phaˆ`n cu’ a giáo trình ba˘`ng cách click vào Bookmarks bên leˆ` trái cu’ a Acrobat Reader. • Có siêu kiên ke´ˆt tham kha’ o chéo và tham chie´ˆu d¯e´ˆn các tài lieˆu tham kha’ o ˙ (305). • Có siêu liên ke´ˆt d¯eˆ’ tra cu´’u các thuaˆt ngu˜’ hoa˘c noˆi dung cu theˆ’ ba˘`ng Chı’ muc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (307) o’’ cuo´ˆi giáo trình. • Có theˆ’ liên ke´ˆt vo´’i trang web chı’ ra. • Có siêu liên ke´ˆt d¯eˆ’ tham kha’ o nhanh hu’o´’ng daˆ˜n gia’ i cu’ a tu`’ng bài taˆp (250). ˙ • Có theˆ’ d¯oc trên mang, download hoa˘c nhanh chóng in thành giáo trình d¯oc. ˙ ˙ ˙ ˙ • Có theˆ’ dùng d¯eˆ’ trình chie´ˆu vo´’i chu´’c na˘ng View|Full Screen. ii
MUC LUC ˙ ˙ ` ` LO’I NÓI¯ DAˆU ix HU’O´’NG DAˆ˜N SU’’ DUNG xiii ˙ VÀI NÉT VEˆ` LICH SU’’ 1 ˙ a) Lich su’’ gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ˙ b) Cuoˆc d¯o`’i cu’ a Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˙ ´ ’ Chu’o’ng 0 KIEˆ N THU´’C CHUAˆ N BI 21 ˙ 0.1 Tru’o`’ng. Da˘c so´ˆ cu’ a tru’o`’ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¯ ˙ 0.2 Vành d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii
0.3 Moˆt so´ˆ nhóm hu˜’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ˙ ˙ 0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˙ ’ Chu’o’ng 1 MO’ ROˆ NG TRU’O`’NG 45 ˙ § 1 Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ ˙ ˙ 1.1 Mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ 1.2 Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ˙ § 2 Mo’’ roˆng d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ˙ 2.1 Vành con và tru’o`’ng con sinh ra bo’’i moˆt taˆp . . . . . . . . . 53 ˙ ˙ 2.2 Ca´ˆu trúc cu’ a mo’’ roˆng d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ˙ § 3 Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ 3.1 Tính cha´ˆt cu’ a mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ iv
3.2 Tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ. Tru’o`’ng d¯óng d¯ai so´ˆ. Bao d¯óng ˙ ˙ d¯ai so´ˆ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 ˙ § 4 Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ 4.1 Ba bài toán du’ng hình coˆ’ d¯ieˆ’n . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ 4.2 Dieˆ`u kieˆn caˆ`n d¯eˆ’ d¯a giác d¯eˆ`u p canh du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ke’ và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ˙ § 5 Tru’o`’ng phân rã cu’ a moˆt d¯a thu´’c. Da thu´’c tách d¯u’o’c . . . . . . . 91 ˙ ¯ ˙ 5.1 Tru’o`’ng phân rã cu’ a moˆt d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . 91 ˙ 5.2 Da thu´’c tách d¯u’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ¯ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ˙ ´ Chu’o’ng 2 LÍ THUYEˆ T GALOIS 109 § 6 Tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu và tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . 109 ˙ ˙ 6.1 Nhóm các tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . 110 ˙ ˙ v
6.2 Tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng . . . . . . . . . . . 114 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ˙ § 7 Mo’’ roˆng tách d¯u’o’c, chuaˆ’n ta˘´c và Galois . . . . . . . . . . . . . . 124 ˙ ˙ 7.1 Mo’’ roˆng tách d¯u’o’c và d¯inh lí phaˆ`n tu’’ nguyên thu’ y . . . . . 124 ˙ ˙ ˙ 7.2 Tiêu chuaˆ’n cu’ a mo’’ roˆng Galois và chuaˆ’n ta˘´c . . . . . . . . 127 ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ˙ § 8 Dinh lí co’ ba’ n cu’ a Lí thuye´ˆt Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 137 ¯ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ˙ § 9 Moˆt so´ˆ u´’ng dung cu’ a Lí thuye´ˆt Galois . . . . . . . . . . . . . . . 156 ˙ ˙ 9.1 Tru’o`’ng hu˜’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 ˙ 9.2 Tru’o`’ng và d¯a thu´’c chia d¯u’o`’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3 Da giác d¯eˆ`u du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa . . . . . . . 169 ¯ ˙ ˙ 9.4 Dinh lí co’ ba’ n cu’ a d¯ai so´ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ¯ ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ˙ § 10 Nhóm Galois cu’ a d¯a thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.1 Bieˆt thu´’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˙ vi
10.2 Nhóm Galois cu’ a d¯a thu´’c baˆc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ˙ 10.3 Da thu´’c baˆc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ¯ ˙ 10.4¯ Da thu´’c toˆ’ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ˙ § 11 Tiêu chuaˆ’n gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c cu’ a d¯a thu´’c . . . . . . . . . 201 ˙ 11.1 Mo’’ roˆng ca˘n và tiêu chuaˆ’n gia’ i d¯u’o’c . . . . . . . . . . . . . 201 ˙ ˙ 11.2 Tính không gia’ i d¯u’o’c cu’ a d¯a thu´’c có baˆc lo´’n ho’n bo´ˆn . . . . 211 ˙ ˙ 11.3 Nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a các d¯a thu´’c toˆ’ng quát có baˆc không quá 4213 ˙ ˙ Bài taˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 ˙ PHU LUC 223 ˙ ˙ A Nhóm gia’ i d¯u’o’c và nhóm d¯o’n . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ˙ BDinh lí Sylow và Dinh lí Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 239 ¯ ˙ ¯ ˙ C Bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a moˆt tru’o`’ng . . . . . . . . . . . . . . . 242 ˙ ˙ D So’ lu’o’c veˆ` Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ˙ HU’O´’NG DAˆ˜ N GIA’ I BÀI TAˆ P 250 ˙ vii
BA’ NG KÍ HIEˆU VÀ QUY U’O´’C 302 ˙ TÀI LIEˆU THAM KHA’ O 305 ˙ CHI’ MUC 307 ˙ viii
` ˆ` LO’I NÓI¯ DAU Lí thuye´ˆt Galois là moˆt trong nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ nha´ˆt cu’ a d¯ai so´ˆ, taˆp ho’p ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhieˆ`u kie´ˆn thu´’c và phu’o’ng pháp cu’ a các lı˜nh vu’c toán hoc khác nhau, nha˘`m gia’ i ˙ ˙ quye´ˆt các bài toán coˆ’ d¯ieˆ’n và nhu˜’ng va´ˆn d¯eˆ` quan trong khác cu’ a d¯ai so´ˆ hieˆn d¯ai. ˙ ˙ ˙ ˙ Moˆt trong nhu˜’ng u´’ng dung chu’ ye´ˆu cu’ a Lí thuye´ˆt Galois là gia’ i quye´ˆt bài toán ˙ ˙ tìm nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình d¯a thu´’c, d¯a˘c bieˆt chı’ ra ra˘`ng phu’o’ng trình ˙ ˙ ˙ baˆc lo´’n ho’n bo´ˆn không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c. Ma˘t khác, Lí thuye´ˆt Galois cho ˙ ˙ ˙ phép xác d¯inh d¯a giác d¯eˆ`u n canh du’ng d¯u’o’c ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. Bên canh ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó, chúng ta nhaˆn d¯u’o’c tu`’ Lí thuye´ˆt Galois lo`’i gia’ i cho ba bài toán du’ng hình coˆ’ ˙ ˙ ˙ d¯ieˆ’n, d¯ó là không theˆ’ (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) chia ba moˆt góc, ga´ˆp d¯ôi hình laˆp ˙ ˙ phu’o’ng hoa˘c caˆ`u phu’o’ng d¯u’o`’ng tròn. ˙ Do taˆ`m quan trong cu’ a Lí thuye´ˆt Tru’o`’ng và Galois mà tu`’ na˘m 1986, môn hoc ˙ ˙ này d¯ã d¯u’o’c Boˆ Giáo duc và d¯ào tao d¯u’a vào trong chu’o’ng trình chính thu´’c cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ khoa Toán các tru’o`’ng Dai hoc và Cao d¯a˘’ ng, d¯a˘c bieˆt là cho khoa Toán các Tru’o`’ng ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ Su’ pham. Ho’n the´ˆ, Lí thuye´ˆt Galois cu˜ ng d¯u’o’c gia’ ng day cho các lo´’p Cao Hoc, xem ˙ ˙ ˙ ˙ nhu’ kie´ˆn thu´’c co’ ba’ n d¯eˆ’ tu`’ d¯ó mo’’ roˆng cho nhu˜’ng nghiên cu´’u lí thuye´ˆt và u´’ng ˙ dung sâu sa˘´c ho’n. ix ˙
Giáo trình này ra d¯o`’i trên co’ so’’ bài gia’ ng cu’ a tác gia’ cho sinh viên Khoa Toán, Tru’o`’ng Dai hoc su’ pham Hue´ˆ suo´ˆt ho’n 10 na˘m tru’c tie´ˆp gia’ ng day môn hoc này. ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Trong quá trình d¯ó, ba’ n tha’ o d¯u’o’c chı’nh su’’a và boˆ’ sung sao cho vu`’a phù ho’p vo´’i ˙ ˙ chu’o’ng trình cu’ a Boˆ Giáo duc và Dào tao, vu`’a d¯áp u´’ng nhu caˆ`u su’’ dung các công ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ cu mo´’i cu’ a d¯ai so´ˆ tính toán, vu`’a boˆ’ sung nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c liên quan khó có theˆ’ ˙ ˙ tìm d¯u’ trong moˆt vài quyeˆ’n sách tham kha’ o. Vì the´ˆ, giáo trình ra d¯o`’i, tru’o´’c he´ˆt, ˙ nha˘`m d¯áp u´’ng nhu caˆ`u su’’ dung cu’ a sinh viên d¯ai hoc, cao d¯a˘’ ng và hoc viên cao ˙ ˙ ˙ ˙ hoc ngành toán. Bên canh d¯ó, giáo trình có theˆ’ là moˆt tài lieˆu tham kha’ o boˆ’ ích cho ˙ ˙ ˙ ˙ giáo viên phoˆ’ thông trung hoc và hoc sinh gio’ i. Ho có theˆ’ tìm tha´ˆy trong giáo trình ˙ ˙ ˙ này co’ so’’ toán hoc cha˘t che˜ cho vieˆc tìm nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình d¯a ˙ ˙ ˙ ˙ thu´’c, cu’ a các bài toán du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa, nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c veˆ` lich ˙ ˙ su’’ toán hoc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio´’i thieˆu veˆ` Maple, moˆt trong ˙ ˙ ˙ ˙ nhu˜’ng heˆ tho´ˆng tính toán d¯ai so´ˆ manh me˜ và phoˆ’ bie´ˆn nha´ˆt hieˆn nay. Thông qua ˙ ˙ ˙ ˙ nhu˜’ng ví du minh hoa, giáo trình chı’ ra kha’ na˘ng tính toán manh me˜ cu’ a Maple ˙ ˙ ˙ cu˜ ng nhu’ vieˆc hoˆ˜ tro’ d¯a˘´c lu’c cu’ a phaˆ`n meˆ`m này cho các giáo viên phoˆ’ thông, cho ˙ ˙ ˙ sinh viên và hoc sinh trong hoat d¯oˆng gia’ ng day, nghiên cu´’u và hoc taˆp toán. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ x
Giáo trình d¯u’o’c biên soan trên nguyên ta˘´c d¯a’ m ba’ o d¯aˆ`y d¯u’ và cha˘t che˜ cu’ a kie´ˆn ˙ ˙ ˙ thu´’c. Deˆ’ làm vieˆc vo´’i giáo trình này, d¯oˆc gia’ chı’ caˆ`n moˆt so´ˆ kie´ˆn thu´’c co’ so’’ cu’ a d¯ai ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ tuye´ˆn tính, lôgic, d¯ai so´ˆ d¯ai cu’o’ng nhu’ d¯ã hoc trong na˘m thu´’ nha´ˆt và thu´’ hai ˙ ˙ ˙ cu’ a Dai hoc hoa˘c Cao d¯a˘’ ng. Ngoài nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c d¯ó, nhu˜’ng khái nieˆm mo´’i d¯u’o’c ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯inh nghı˜a và nhu˜’ng ke´ˆt qua’ mo´’i d¯eˆ`u d¯u’o’c chu´’ng minh d¯aˆ`y d¯u’ . Phaˆ`n kie´ˆn thu´’c ˙ ˙ boˆ’ sung, ne´ˆu chu’a d¯u’o’c hoc trong nhu˜’ng na˘m d¯aˆ`u tiên cu’ a chu’o’ng trình Dai hoc, ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ Cao d¯a˘’ ng, se˜ d¯u’o’c gio´’i thieˆu chi tie´ˆt trong Phu luc. Cuo´ˆi moˆ˜i tie´ˆt (§), giáo trình ˙ ˙ ˙ ˙ cung ca´ˆp moˆt heˆ tho´ˆng phong phú các bài taˆp tu`’ deˆ˜ d¯e´ˆn khó, ba˘´t d¯aˆ`u tu`’ bài tra˘´c ˙ ˙ ˙ nghieˆm lí thuye´ˆt nha˘`m giúp d¯oˆc gia’ na˘´m moˆt cách cha˘´c cha˘´n nhu˜’ng khái nieˆm và ˙ ˙ ˙ ˙ ke´ˆt qua’ chu’ ye´ˆu. Gaˆ`n 150 bài taˆp trong giáo trình d¯eˆ`u có phaˆ`n hu’o´’ng daˆ˜n gia’ i d¯aˆ`y ˙ d¯u’ trong noˆ˜ lu’c giúp d¯oˆc gia’ có theˆ’ tu’ hoc. Qua thu’c te´ˆ gia’ ng day, tác gia’ cho ra˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc day-hoc toán hieˆn nay nói chung, o’’ d¯ai hoc nói riêng, ngu’o`’i day và ngu’o`’i hoc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ caˆ`n khai thác su’ hoˆ˜ tro’ hieˆu qua’ cu’ a các phaˆ`n meˆ`m toán hoc. Có su’ hoˆ˜ tro’ này, ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc day-hoc có nhu˜’ng thay d¯oˆ’i tích cu’c và cha´ˆt lu’o’ng giáo duc d¯u’o’c ca’ i thieˆn rõ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ reˆt. Cùng vo´’i vieˆc na˘´m vu˜’ng kie´ˆn thu´’c lí thuye´ˆt, có kha’ na˘ng gia’ i quye´ˆt các bài ˙ ˙ toán u´’ng dung, ngu’o`’i hoc caˆ`n bie´ˆt su’’ dung các phaˆ`n meˆ`m hoˆ˜ tro’ cho các muc d¯ích ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ xi
tính toán cu theˆ’. Có nhieˆ`u tính toán ra´ˆt khó và phu´’c tap tru’o´’c d¯ây nay tro’’ nên ˙ ˙ vô cùng d¯o’n gia’ n vo´’i su’ tro’ giúp cu’ a các phaˆ`n meˆ`m toán hoc. Trên tinh thaˆ`n d¯ó, ˙ ˙ ˙ o’’ nhu˜’ng vi trí thích ho’p, tác gia’ boˆ’ sung các leˆnh và ví du minh hoa cho vieˆc su’’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dung Maple. ˙ Deˆ’ hoàn thành giáo trình này, tác gia’ d¯ã nhaˆn d¯u’o’c su’ hoˆ˜ tro’ cu’ a nhieˆ`u the´ˆ heˆ ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ sinh viên và hoc viên cao hoc trong vieˆc phát hieˆn, su’’a chu˜’a sai sót trong giáo ˙ ˙ ˙ ˙ trình. Nhieˆ`u thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆp và ban bè cu˜ ng d¯ã d¯óng góp nhieˆ`u ý kie´ˆn quý ˙ ˙ báu trong quá trình biên soan. Nhân dip giáo trình này ra d¯o`’i, tác gia’ , moˆt laˆ`n ˙ ˙ ˙ nu˜’a, go’’i lo`’i ca’ m o’n sâu sa˘´c d¯e´ˆn các thaˆ`y cô, d¯oˆ`ng nghieˆp, ban bè và sinh viên veˆ` ˙ ˙ nhu˜’ng giúp d¯o˜’ vô giá trên. Ma˘c dù d¯ã co´ˆ ga˘´ng, giáo trình này không theˆ’ tránh kho’ i nhu˜’ng thie´ˆu sót. Tác ˙ gia’ vô cùng bie´ˆt o’n ne´ˆu nhaˆn d¯u’o’c nhu˜’ng ý kie´ˆn d¯óng góp, bình luaˆn và nhu˜’ng ˙ ˙ ˙ phát hieˆn loˆ˜i trong giáo trình này cu’ a d¯oˆc gia’ gaˆ`n xa. Moi ý kie´ˆn d¯óng góp, trao d¯oˆ’i ˙ ˙ ˙ xin gu’’i veˆ` d¯ia chı’ : TS. Nguyeˆ˜n Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o`’ng Dai hoc su’ pham ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ Hue´ˆ, 32 Lê Lo’i, Thành pho´ˆ Hue´ˆ, email: nctu2000@yahoo.com. ˙ Hue´ˆ ngày 25 tháng 4 na˘m 2007. xii
HU’O´’NG DAˆ˜N SU’’ DUNG ˙ Lí thuye´ˆt Galois có nhieˆ`u cách tie´ˆp caˆn khác nhau. Moˆt cách tie´ˆp caˆn có nhieˆ`u ˙ ˙ ˙ u’u d¯ieˆ’m là trình bày Lí thuye´ˆt Galois trên co’ so’’ Lí thuye´ˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Quan ˙ d¯ieˆ’m d¯ó cu’ a Boˆ Giáo duc và d¯ào tao d¯u’o’c chúng tôi tho´ˆng nha´ˆt trong vieˆc biên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ soan giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u´’ng vo´’i Lí thuye´ˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và ˙ ˙ Lí thuye´ˆt Galois. Moˆ˜i chu’o’ng d¯u’o’c chia ra thành các tie´ˆt (§) tu’o’ng u´’ng vo´’i 4-5 gio`’ ˙ hoc taˆp trên lo´’p. Ngoài ra, giáo trình có boˆ’ sung phaˆ`n Kie´ˆn thu´’c chuaˆ’n bi (Chu’o’ng ˙ ˙ ˙ 0), nha˘`m nha˘´c lai nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c cu˜ chu’ ye´ˆu có liên quan sau này. Giáo trình co´ˆ ˙ ga˘´ng trình bày theo thu´’ tu’ ho’p lí nha´ˆt cu’ a vieˆc gia’ ng day-hoc taˆp môn hoc. Tuy ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhiên tùy theo muc d¯ích mà d¯oˆc gia’ có theˆ’ su’’ dung theo moˆt thu´’ tu’ phù ho’p khác. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Sau khi d¯oc xong phaˆ`n lí thuye´ˆt cu’ a tie´ˆt, d¯oˆc gia’ caˆ`n tu’ mình gia’ i quye´ˆt các bài ˙ ˙ ˙ taˆp cuo´ˆi tie´ˆt và tra’ lo`’i bài taˆp tra˘´c nghieˆm (có theˆ’ tham kha’ o phaˆ`n hu’o´’ng daˆ˜n, ne´ˆu ˙ ˙ ˙ caˆ`n). Các bài taˆp d¯u’o’c sa˘´p xe´ˆp tu`’ deˆ˜ d¯e´ˆn khó ; nhu˜’ng bài taˆp (*) d¯òi ho’i su’ tu’ duy ˙ ˙ ˙ ˙ cao ho’n. Nhu’ d¯ã trình bày, ne´ˆu có d¯ieˆ`u kieˆn, d¯oˆc gia’ nên khai thác su’’ dung Maple ˙ ˙ ˙ thông qua các ví du và noˆi dung cu theˆ’ trong giáo trình. ˙ ˙ ˙ Tu`’ (§ 8), giáo trình su’’ dung thêm các kie´ˆn thu´’c sâu sa˘´c ho’n cu’ a d¯ai so´ˆ d¯ai cu’o’ng. ˙ ˙ ˙ xiii
Nhu˜’ng kie´ˆn thu´’c này d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt trong Phu luc. ˙ ˙ ˙ Các d¯inh lí, meˆnh d¯eˆ`, heˆ qua’ , boˆ’ d¯eˆ` d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ theo tu`’ng tie´ˆt, ví du “Meˆnh d¯eˆ` ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 2.3” na˘`m trong § 2 và d¯u’o’c trích daˆ˜n là “Meˆnh d¯eˆ` 2.3” hoa˘c gon ho’n là “2.3”. Các ˙ ˙ ˙ ˙ công thu´’c hoa˘c phu’o’ng trình d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ tu`’ d¯aˆ`u d¯e´ˆn cuo´ˆi giáo trình veˆ` bên pha’ i, ˙ ˙ ví du ˙ 3 2 Df = −4p − 27q (1) d¯u’o’c trích daˆ˜n là “(1)”. Riêng phaˆ`n Phu luc, moi d¯inh lí, meˆnh d¯eˆ`, d¯u’o’c d¯ánh so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vo´’i moˆt chu˜’ cái d¯u´’ng tru’o´’c, ví du “Meˆnh d¯eˆ` A.2.” d¯u’o’c trích daˆ˜n là “Meˆnh d¯eˆ` A.2.” ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hay d¯o’n gia’ n là “A.2.”. Giáo trình có ba’ ng các kí hieˆu su’’ dung trong giáo trình và ˙ ˙ phaˆ`n Chı’ Muc (307) (Index) nha˘`m giúp d¯oˆc gia’ deˆ˜ dàng tra cu´’u d¯u’o’c noˆi dung khái ˙ ˙ ˙ ˙ nieˆm hoa˘c kie´ˆn thu´’c caˆ`n thie´ˆt. ˙ ˙ xiv
VÀI NÉT VEˆ` LICH SU’’ 1 ˙ ’ ’ ´ A) LICH SU’ GIAI PHU’O’NG TRÌNH¯ DA THU’C ˙ Ngày nay, ngu’o`’i ta tin ra˘`ng, vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc hai d¯ã d¯u’o’c các ˙ ˙ ˙ nhà toán hoc coˆ’ d¯ai Babilon quan tâm cách d¯ây gaˆ`n 4000 na˘m. Nhu˜’ng ta´ˆm d¯a´ˆt sét ˙ ˙ có niên d¯ai 1600 BC d¯u’o’c tìm tha´ˆy cu’ a neˆ`n va˘n minh Babilon còn ghi lai vieˆc tìm ˙ ˙ ˙ ˙ nghieˆm cu’ a nhu˜’ng phu’o’ng trình baˆc hai cu theˆ’. Tuy nhiên, nhu˜’ng lo`’i gia’ i trên ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c mô ta’ ba˘`ng phu’o’ng pháp hình hoc và do d¯ó chı’ liên quan d¯e´ˆn nhu˜’ng phu’o’ng ˙ ˙ trình baˆc hai có heˆ so´ˆ lo´’n ho’n 0. ˙ ˙ Nhu˜’ng phu’o’ng pháp hình hoc d¯eˆ’ gia’ i phu’o’ng trình baˆc hai tie´ˆp tuc d¯u’o’c nhà ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc vı˜ d¯ai Hy Lap Euclid (325 BC-265 BC) d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn. Mãi d¯e´ˆn the´ˆ kı’ thu´’ 7, ˙ ˙´ ˙ ˙ nhà toán hoc Aˆ n Doˆ Brahmagupta (598-665), mo´’i trình bày moˆt cách gia’ i phu’o’ng ˙ ¯ ˙ ˙ trình baˆc hai có su’’ dung so´ˆ âm và các kí hieˆu, d¯ánh da´ˆu su’ phát trieˆ’n cu’ a d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Vieˆc xét moˆt cách d¯aˆ`y d¯u’ nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình baˆc hai ba˘`ng phu’o’ng pháp ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ chı’ d¯u’o’c thu’c hieˆn bo’’i các nhà toán hoc Arab, tiêu bieˆ’u là al-Khwarizmi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 1Thông tin trong phaˆ`n này d¯u’o’c tham kha’ o chu’ ye´ˆu tu`’ [5] và [7]. ˙
2 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ (780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hoc Arab lai chu’a bie´ˆt d¯e´ˆn so´ˆ âm, do d¯ó trong ˙ ˙ cuo´ˆn sách cu’ a mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d¯ã phân thành 6 loai phu’o’ng trình baˆc hai, u´’ng vo´’i 6 chu’o’ng trong cuo´ˆn sách và trình ˙ ˙ bày cách gia’ i cho tu`’ng loai. Dây d¯uo’c xem là cuo´ˆn sách d¯aˆ`u tiên veˆ` d¯ai so´ˆ và tu`’ ˙ ¯ ˙ ˙ “Algebra” (d¯ai so´ˆ) ra d¯o`’i tu`’ tên cu’ a cuo´ˆn sách này. De´ˆn na˘m 1145, cuo´ˆn sách noˆ’i ˙ ¯ tie´ˆng cu’ a nhà toán hoc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136) ˙ d¯u’o’c xua´ˆt ba’ n o’’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cu˜ ng trình bày d¯aˆ`y ˙ d¯u’ nghieˆm cu’ a các phu’o’ng trình baˆc hai. ˙ ˙ Tru’o`’ng phái toán hoc Italy kho’’i d¯aˆ`u khoa’ ng na˘m 1500 vo´’i cuo´ˆn sách cu’ a Luca ˙ Pacioli (1445-1517) xua´ˆt ba’ n na˘m 1494, d¯u’o’c bie´ˆt d¯e´ˆn vo´’i tên vie´ˆt ta˘´t là “Suma”, ˙ trong d¯ó lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc hai d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt ba˘`ng ngôn ngu˜’ d¯ai ˙ ˙ ˙ so´ˆ hieˆn d¯ai. Pacioli không d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba nhu’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ông lai nha˘´c d¯e´ˆn vieˆc gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc bo´ˆn. Ông vie´ˆt, theo ngôn ngu˜’ ˙ ˙ ˙ cu’ a d¯ai so´ˆ ngày nay, “phu’o’ng trình baˆc bo´ˆn x4 = a + bx2 gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng phu’o’ng ˙ ˙ ˙ pháp nhu’ d¯o´ˆi vo´’i phu’o’ng trình baˆc hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và ˙ x4 + a = bx2 thì không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c”. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 3 ˙ Ngu’o`’i d¯aˆ`u tiên tìm d¯u’o’c nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba là Scipione ˙ ˙ ˙ del Ferro (1465-1526), moˆt giáo su’ noˆ’i tie´ˆng cu’ a Dai hoc Bologna, Italy. Ferro tìm ˙ ¯ ˙ ˙ d¯u’o’c nghieˆm ca˘n thu´’c cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx = n. Ta´ˆt nhiên, ne´ˆu bie´ˆt su’’ ˙ ˙ ´ dung khái nieˆm so´ˆ âm cu’ a các nhà toán hoc Aˆ n Doˆ, thì công thu´’c nghieˆm d¯ó là ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ d¯u’ d¯eˆ’ gia’ i ta´ˆt ca’ các dang cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba. Tuy nhiên, lúc ba´ˆy gio`’, Ferro ˙ ˙ không bie´ˆt d¯ieˆ`u d¯ó. Ferro gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình baˆc ba nêu trên vào na˘m 1515, ˙ ˙ nhu’ng giu˜’ bí maˆt cho d¯e´ˆn tru’o´’c lúc qua d¯o`’i na˘m 1526 mo´’i tie´ˆt loˆ cho moˆt ngu’o`’i hoc ˙ ˙ ˙ ˙ trò cu’ a mình là Antonio Fior. Fior là moˆt ngu’o`’i hoc toán bình thu’o`’ng và ngay laˆp ˙ ˙ ˙ tu´’c làm rò rı’ lo`’i gia’ i cu’ a thaˆ`y mình ra ngoài. Tin d¯oˆ`n veˆ` lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba lan roˆng kha˘´p Bologna và các vùng lân caˆn, kích thích nhà toán hoc nghieˆp ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình x3 + mx2 = n không lâu sau d¯ó. N. Fontana (d¯u’o’c bie´ˆt d¯e´ˆn vo´’i tên Tartaglia) quye´ˆt d¯inh công ˙ ˙ bo´ˆ thành công cu’ a mình. Moˆt cuoˆc thách d¯o´ˆ khoa hoc noˆ’ ra giu˜’a Tartaglia và Fior ˙ ˙ ˙ na˘m 1535. Luaˆt cu’ a cuoˆc thi d¯o’n gia’ n là moˆ˜i ngu’o`’i se˜ d¯u’a ra 30 phu’o’ng trình baˆc ˙ ˙ ˙ ba cho d¯o´ˆi thu’ , hen trong 50 ngày, ai gia’ i d¯u’o’c nhieˆ`u ho’n thì tha˘´ng. Ta´ˆt ca’ các ˙ ˙ phu’o’ng trình mà Fior d¯u’a ra cho Tartaglia d¯eˆ`u có dang x3 + mx = b và Fior tin ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
4 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 1: Chân dung Tartaglia cha˘´c là Tartaglia không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c. Tru’o´’c tho`’i han cuo´ˆi cùng 8 ngày, Tatarlia ˙ ˙ d¯ã tìm d¯u’o’c phu’o’ng pháp toˆ’ng quát gia’ i ta´ˆt ca’ phu’o’ng trình baˆc ba. Tru’o´’c công ˙ ˙ chúng, Tartaglia d¯u’a ra lo`’i gia’ i cu’ a 30 bài toán trong vòng 2 gio`’ và d¯u’o’c công nhaˆn ˙ ˙ là ngu’o`’i tha˘´ng cuoˆc. Tuy nhiên, ông không công bo´ˆ lo`’i gia’ i chi tie´ˆt. ˙ Chie´ˆn tha˘´ng cu’ a Tartaglia lan d¯e´ˆn Milan, kích thích moˆt nhà toán hoc nghieˆp ˙ ˙ ˙ du’ khác, bác sı˜ Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano laˆp tu´’c mo`’i Tartaglia ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 5 ˙ d¯e´ˆn tha˘m Milan vào na˘m 1539 và tìm cách thuye´ˆt phuc Tartaglia tie´ˆt loˆ lo`’i gia’ i ˙ ˙ phu’o’ng trình baˆc ba cho mình. Tartaglia d¯oˆ`ng ý vo´’i giao u’o´’c Cardano pha’ i giu˜’ ˙ bí maˆt veˆ` lo`’i gia’ i cho d¯e´ˆn khi Tartaglia tu’ mình xua´ˆt ba’ n công trình d¯ó. Nhu’ng ˙ ˙ Cardano không giu˜’ giao u’o´’c, lo`’i gia’ i cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba và baˆc bo´ˆn d¯ã d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ xua´ˆt hieˆn chi tie´ˆt trong quyeˆ’n sách “Ars Magna” noˆ’i tie´ˆng cu’ a Cardano, xua´ˆt ba’ n ˙ na˘m 1545. Tartaglia vô cùng tu´’c giaˆn và trong moˆt bài báo cu’ a mình xua´ˆt ba’ n sau ˙ ˙ d¯ó, Tartaglia kha˘’ ng d¯inh lai công lao cu’ a mình và lên án su’ pha’ n boˆi cu’ a Cardano. ˙ ˙ ˙ ˙ Trong “Ars Magna”, cuo´ˆn sách tie´ˆng Latinh d¯aˆ`u tiên trên the´ˆ gio´’i veˆ` d¯ai so´ˆ, ˙ Cardano có d¯eˆ` caˆp d¯e´ˆn công lao cu’ a Tartaglia chính là tác gia’ cu’ a công thu´’c ˙ nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình baˆc ba, nhu’ng ông cu˜ ng gia’ i thích thêm ra˘`ng vieˆc chu´’ng ˙ ˙ ˙ minh công thu´’c cu˜ ng nhu’ trình bày lo`’i gia’ i chi tie´ˆt là cu’ a ông cùng các hoc trò cu’ a ˙ mình. Da˘c bieˆt, cuo´ˆn sách cu’ a Cardano laˆ`n d¯aˆ`u tiên trình bày lo`’i gia’ i cho 20 loai ¯ ˙ ˙ ˙ phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc bo´ˆn. Các lo`’i gia’ i này d¯eˆ`u có chung phu’o’ng pháp là tìm ˙ nghieˆm cu’ a moˆt phu’o’ng trình phu baˆc ba (ngày nay ta goi là gia’ i thu´’c baˆc ba), ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ roˆ`i su’’ dung nó d¯eˆ’ gia’ i phu’o’ng trình baˆc bo´ˆn d¯ã cho. Tác gia’ cu’ a ke´ˆt qua’ này là ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
6 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 2: Chân dung G. Cardano Lodovico Ferari (1522-1565), moˆt trong nhu˜’ng hoc trò xua´ˆt sa˘´c nha´ˆt cu’ a Cardano. ˙ ˙ Moˆt lí do nu˜’a d¯eˆ’ gia’ i thích cho quye´ˆt d¯inh cu’ a Cardano là ông phát hieˆn ra ra˘`ng ˙ ˙ ˙ Ferro là ngu’o`’i d¯ã gia’ i d¯u’o’c các phu’o’ng trình baˆc ba tru’o´’c d¯ó 30 na˘m. ˙ ˙ Su’ ra d¯o`’i cu’ a Ars Magna truyeˆ`n ca’ m hu´’ng cho nhieˆ`u nhà toán hoc trên the´ˆ ˙ ˙ gio´’i tie´ˆp tuc nghiên cu´’u veˆ` phu’o’ng trình d¯a thu´’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy), ˙ Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh), ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 7 ˙ Hình 3: Chân dung N. Abel Tschirnhaus (1651-1708, Du´’c), Euler (1707-1783, Thuy Sı˜), Bezout (1730-1783, ¯ ˙ Pháp). Sau khi gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc ba và bo´ˆn, va´ˆn d¯eˆ` tìm nghieˆm ˙ ˙ ˙ ca˘n thu´’c cho phu’o’ng trình d¯a thu´’c baˆc na˘m d¯u’o’c d¯a˘t ra moˆt cách tu’ nhiên và thu ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hút su’ quan tâm cu’ a nhieˆ`u nhà toán hoc trong moˆt tho`’i gian dài. Euler tha´ˆt bai ˙ ˙ ˙ ˙ trong noˆ˜ lu’c cu’ a mình nhu’ng d¯at d¯u’o’c moˆt phu’o’ng pháp mo´’i gia’ i phu’o’ng trình ˙ ˙ ˙ ˙ baˆc bo´ˆn. Lagrange (1736-1813), moˆt nhà toán hoc Italy-Pháp, d¯ã d¯at d¯u’o’c bu’o´’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
8 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ tie´ˆn quan trong trong vieˆc nghiên cu´’u ba’ n cha´ˆt quá trình tìm nghieˆm cu’ a phu’o’ng ˙ ˙ ˙ trình baˆc nho’ ho’n na˘m ; quá trình d¯ó phu thuoˆc vào vieˆc xác d¯inh các hàm nghieˆm ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mà chúng không d¯oˆ’i du’o´’i tác d¯oˆng cu’ a các hoán vi d¯a˘c bieˆt trên taˆp nghieˆm cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯a thu´’c ; ông cu˜ ng d¯ã chı’ ra ra˘`ng quá trình d¯ó không theˆ’ thu’c hieˆn d¯u’o’c d¯o´ˆi vo´’i d¯a ˙ ˙ ˙ thu´’c baˆc na˘m. Tu`’ d¯ó, gia’ thuye´ˆt veˆ` vieˆc không theˆ’ gia’ i d¯u’o’c phu’o’ng trình baˆc na˘m ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng ca˘n thu´’c tro’’ thành moˆt thách thu´’c cho các nhà toán hoc. Na˘m 1813, Ruffini ˙ ˙ (1765-1822, Italy) d¯ã co´ˆ ga˘´ng d¯u’a ra moˆt chu´’ng minh cho gia’ thuye´ˆt trên, ra´ˆt tie´ˆc ˙ chu´’ng minh cu’ a ông còn nhieˆ`u d¯ieˆ’m không chính xác. Va´ˆn d¯eˆ` chı’ d¯u’o’c gia’ i quye´ˆt ˙ tron ven bo’’i thaˆ`n d¯oˆ`ng toán hoc ngu’o`’i Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vào ˙ ˙ ˙ na˘m 1824. Abel chu’a kip gia’ i quye´ˆt bài toán toˆ’ng quát ho’n là “khi nào moˆt phu’o’ng ˙ ˙ trình d¯a thu´’c baˆc n có theˆ’ gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c” thì ông qua d¯o`’i lúc chu’a tròn ˙ ˙ 27 tuoˆ’i. Công trình cu’ a Abel chı’ d¯u’o’c công nhaˆn và xua´ˆt ba’ n sau d¯ó, na˘m 1830. ˙ ˙ Ba na˘m sau, moˆt bi kich tu’o’ng tu’ cu˜ ng xa’ y ra vo´’i Evariste Galois (1811-1832), ˙ ˙ ˙ moˆt thaˆ`n d¯oˆ`ng toán hoc khác. Su’ ra d¯i d¯oˆt ngoˆt cu’ a ông d¯ã không kip cho the´ˆ gio´’i ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc nhaˆn ra moˆt trong nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ nha´ˆt cu’ a d¯ai so´ˆ, mà tu`’ d¯ó deˆ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dàng có câu tra’ lo`’i cho bài toán toˆ’ng quát trên. Pha’ i d¯o’i d¯e´ˆn na˘m 1843, mu’o`’i moˆt ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 9 ˙ Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuoˆ’i na˘m sau ngày ông qua d¯o`’i, nhu˜’ng tuyên bo´ˆ sau cu’ a nhà toán hoc Pháp Joseph ˙ Liouville (1809-1882) trong bu´’c thu’ gu’’i cho Vieˆn Hàn Lâm Khoa Hoc Pháp mo´’i ˙ ˙ d¯ánh da´ˆu su’ thu`’a nhaˆn chính thu´’c cu’ a coˆng d¯oˆ`ng toán hoc dành cho E. Galois. ˙ ˙ ˙ ˙ Liouville vie´ˆt : Hy vong tôi se˜ mang d¯e´ˆn cho Vieˆn Hàn Lâm moˆt su’ quan tâm d¯a˘c bieˆt ba˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vieˆc công bo´ˆ ra˘`ng tôi d¯ã phát hieˆn d¯u’o’c trong các công trình cu’ a Evariste ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
10 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Galois lo`’i gia’ i hoàn ha’ o và sâu sa˘´c cho bài toán noˆ’i tie´ˆng: khi nào thì phu’o’ng trình d¯a thu´’c gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n thu´’c. ˙ Abel và Galois, hai so´ˆ phaˆn ba´ˆt hanh vo´’i nhieˆ`u d¯ieˆ’m tu’o’ng d¯oˆ`ng kì la, xua´ˆt hieˆn ˙ ˙ ˙ ˙ và bie´ˆn ma´ˆt nhu’ hai veˆt sao ba˘ng sáng chói trên baˆ`u tro`’i toán hoc. Su’ toˆ`n tai nga˘´n ˙ ˙ ˙ ˙ ngu’ i cu’ a ho d¯ã d¯eˆ’ lai nhu˜’ng di sa’ n vı˜ d¯ai cho va˘n hóa nhân loai. Công trình cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ Abel và Galois khép lai moˆt chu’o’ng cu’ a lich su’’ gia’ i phu’o’ng trình d¯a thu´’c và mo’’ ˙ ˙ ˙ ra nhieˆ`u chu’o’ng mo´’i cu’ a d¯ai so´ˆ hieˆn d¯ai, kho’’i nguoˆ`n cho nhu˜’ng lí thuye´ˆt d¯ep d¯e˜ ˙ ˙ ˙ ˙ cùng nhieˆ`u u´’ng dung quan trong khác. ˙ ˙ ˆ ` ’ B) CUOCD¯ O’I CUA EVARISTE GALOIS ˙ Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 na˘m 1811 tai Bourg-la-Reine, moˆt vùng ˙ ˙ ngoai ô cu’ athu’ d¯ô Paris nu’o´’c Pháp, trong moˆt gia d¯ình trí thu´’c. Bo´ˆ Galois là moˆt ˙ ˙ ˙ ngu’o`’i noˆ’i tie´ˆng, nhieˆ`u na˘m là thi tru’o’’ng cu’ a Bourg-la-Reine. Me ông am hieˆ’u ˙ ˙ nhieˆ`u lı˜nh vu’c nhu’ trie´ˆt hoc, ngôn ngu˜’, thaˆ`n hoc. Galois d¯u’o’c me day tie´ˆng Hy ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ lap, Latinh, thaˆ`n hoc cho d¯e´ˆn na˘m 12 tuoˆ’i. ˙ ˙ Tháng 10 na˘m 1823, Galois ba˘´t d¯aˆ`u d¯e´ˆn tru’o`’ng và vào hoc lo´’p 4, Tru’o`’ng Louis- ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 11 ˙ le-Grand. Tai d¯ây, Galois so´’m chu´’ng kie´ˆn su’ noˆ’i daˆy cu’ a hoc sinh hu’o’’ng u´’ng cuoˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ cách mang cho´ˆng lai vua Louis XVIII và sau d¯ó là vua Charles X. Gaˆ`n 40 hoc sinh ˙ ˙ ˙ cu’ a tru’o`’ng bi d¯uoˆ’i hoc trong na˘m hoc d¯aˆ`u tiên cu’ a Galois. Vieˆc hoc cu’ a Galois ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ trong na˘m hoc d¯aˆ`u tiên dieˆ˜n ra thuaˆn lo’i. Galois d¯at d¯ieˆ’m so´ˆ to´ˆt và nhaˆn d¯u’o’c hoc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ boˆ’ng. Tuy nhiên, vieˆc hoc trên lo´’p ngày càng tro’’ nên kém ha´ˆp daˆ˜n và Galois pha’ i ˙ ˙ lu’u ban vào na˘m 1826 do thie´ˆu d¯ieˆ’m môn tu tu`’ hoc. ˙ Na˘m 1827, Galois tham gia khóa hoc toán d¯aˆ`u tiên vo´’i giáo su’ M. Vernier, và ˙ so´’m say mê môn hoc này. Na˘m 1828, Galois thi vào tru’o`’ng École Polytechnique, ˙ tru’o`’ng d¯ai hoc danh giá hàng d¯aˆ`u cu’ a Pháp nhu’ng không d¯oˆ˜. Quay tro’’ veˆ` Louis- ˙ ˙ le-Grand, anh tham gia khóa hoc toán vo´’i giáo su’ Louis Richard (1795-1849) và ˙ ba˘´t d¯aˆ`u nghiên cu´’u nhu˜’ng d¯eˆ` tài riêng bieˆt cu’ a mình. Galois tìm d¯oc các giáo trình ˙ ˙ toán cao ca´ˆp nhu’ Hình hoc cu’ a Legendre, lí thuye´ˆt Langrange Richard vie´ˆt veˆ` ˙ Galois “Sinh viên này chı’ quan tâm d¯e´ˆn nhu˜’ng lı˜nh vu’c khó nha´ˆt cu’ a toán hoc”. ˙ ˙ Su´’c hút cu’ a toán hoc làm anh cheˆ’nh ma’ ng ho’n vo´’i vieˆc hoc trên lo´’p. Phie´ˆu nhaˆn ˙ ˙ ˙ ˙ xét veˆ` Galois nhu˜’ng na˘m d¯ó d¯eˆ`u mô ta’ anh là moˆt hoc sinh “khác thu’o`’ng, laˆp ˙ ˙ ˙ di, d¯oˆc d¯áo và khép kín”. Tháng 4 na˘m 1829, Galois có công trình toán d¯aˆ`u tiên ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
12 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 5: Chân dung Galois d¯u’o’c anh trai ve˜ lai na˘m 1848 ˙ ˙ xua´ˆt ba’ n trên tap chí Annales de Mathématiques veˆ` liên phân so´ˆ. Cuo´ˆi tháng 5 và ˙ d¯aˆ`u tháng 6, Galois gu’’i cho Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp các ke´ˆt qua’ nghiên cu´’u ˙ ˙ veˆ` nghieˆm cu’ a phu’o’ng trình d¯ai so´ˆ. Cauchy (1789-1857) là ngu’o`’i d¯u’o’c phân công ˙ ˙ ˙ pha’ n bieˆn và ông d¯ã bác bo’ các ke´ˆt qua’ này. ˙ Tha’ m kich ba˘´t d¯aˆ`u xa’ y ra vo´’i Galois khi cha anh tu’ tu’’ tu`’ moˆt su’ vu cáo ác hieˆ’m ˙ ˙ ˙ ˙ cu’ a vi thaˆ`y te´ˆ vùng Bourg-la-Reine. Cha cu’ a Galois là moˆt chính khách theo phái ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 13 ˙ coˆng hòa. Nhu˜’ng xung d¯oˆt chính tri phu´’c tap tho`’i ba´ˆy gio`’ giu˜’a phái coˆng hòa và ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ba’ o hoàng d¯ã lôi cuo´ˆn và góp phaˆ`n d¯aˆ’y d¯e´ˆn nhu˜’ng bi kich liên tie´ˆp cho Galois ˙ và gia d¯ình anh. Cái che´ˆt cu’ a cha gây so´ˆc manh me˜ và tác d¯oˆng lo´’n d¯e´ˆn cuoˆc d¯o`’i ˙ ˙ ˙ Galois sau này. Chı’ vài tuaˆ`n sau cái che´ˆt cu’ a cha, Galois pha’ i tra’ i qua laˆ`n thi thu´’ hai vào Tru’o`’ng École Polytechnique. Và Galois lai ro´’t ! Không na’ n chí, tháng 12 na˘m 1829, Galois ˙ thi và d¯oˆ˜ vào tru’o`’ng École Normal. Trong kì thi d¯ó, vi giám kha’ o môn toán d¯ã có ˙ nhaˆn xét veˆ` Galois nhu’ sau : ˙ Hoc sinh này nhieˆ`u khi dieˆ˜n ta’ moˆt cách ro´ˆi ra˘´m ý tu’o’’ng cu’ a mình nhu’ng ˙ ˙ là moˆt hoc sinh thông minh và có kha’ na˘ng d¯a˘c bieˆt trong nghiên cu´’u. ˙ ˙ ˙ ˙ Còn nhu˜’ng nhaˆn xét cu’ a vi giám kha’ o môn va˘n hoc là : ˙ ˙ ˙ ¯Dây là hoc sinh duy nha´ˆt tra’ lo`’i ra´ˆt toˆ`i câu ho’i cu’ a tôi và to’ ra không bie´ˆt ˙ gì ca’ . Tru’o´’c d¯ây, nhieˆ`u ngu’o`’i nói vo´’i tôi ra˘`ng hoc sinh này có na˘ng khie´ˆu ˙ d¯a˘c bieˆt veˆ` toán hoc. Tôi thaˆt su’ ngac nhiên veˆ` d¯ánh giá d¯ó vì sau kì thi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ này, tôi cho ra˘`ng anh ta không thông minh la˘´m. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
14 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Cuo´ˆi na˘m 1829, Galois lai gu’’i moˆt công trình khác veˆ` lí thuye´ˆt phu’o’ng trình cho ˙ ˙ Cauchy. Moˆt laˆ`n nu˜’a Cauchy không thu`’a nhaˆn ke´ˆt qua’ cu’ a Galois. Tháng 2 na˘m ˙ ˙ 1830, Galois gu’’i công trình “Veˆ` d¯ieˆ`u kieˆn moˆt phu’o’ng trình gia’ i d¯u’o’c ba˘`ng ca˘n ˙ ˙ ˙ thu´’c” cho Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp d¯eˆ’ tham du’ gia’ i thu’o’’ng toán hoc cu’ a Vieˆn. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Thu’ kí Vieˆn, giáo su’ noˆ’i tie´ˆng J. Fourier (1768-1830), là ngu’o`’i pha’ n bieˆn công ˙ ˙ trình cu’ a Galois. Nhu’ng Fourier qua d¯o`’i d¯oˆt ngoˆt vào tháng 4 na˘m 1830. Và công ˙ ˙ trình cu’ a Galois không bao gio`’ d¯u’o’c tìm tha´ˆy nu˜’a. Khoa’ ng tho`’i gian này, Galois ˙ bie´ˆt ra˘`ng moˆt bài báo cu’ a nhà toán hoc quá co´ˆ Abel d¯u’o’c xua´ˆt ba’ n trên Bulletin ˙ ˙ ˙ de Férussac có moˆt phaˆ`n ke´ˆt qua’ gio´ˆng cu’ a mình. Sau khi tìm d¯oc các bài báo cu’ a ˙ ˙ Abel và Jacobi (1804-1851,¯ Du´’c), Galois d¯ã hoàn thành các nghiên cu´’u veˆ` các hàm elliptic và tích phân aben. Galois d¯ã d¯a˘ng 3 công trình trên Bulletin de Férussac trong tháng 4 na˘m 1830. Trong tháng 6, Galois bie´ˆt tin gia’ i thu’o’’ng toán hoc cu’ a ˙ Vieˆn hàn lâm d¯ã d¯u’o’c trao d¯oˆ`ng tho`’i cho Abel và Jacobi. ˙ ˙ Tháng 6 na˘m 1830, nu’o´’c Pháp suc sôi vo´’i nhu˜’ng xung d¯oˆt giu˜’a phe coˆng hòa ˙ ˙ ˙ và ba’ o hoàng. Vua Charles X bi truc xua´ˆt kho’ i Pháp, nhu’o`’ng ngai vàng cho vua ˙ ˙ Louis-Phillipe. Các cuoˆc bieˆ’u tình, bao loan, d¯àn áp tie´ˆp tuc xa’ y ra thu’o`’ng xuyên ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 15 ˙ trên các d¯u’o`’ng pho´ˆ Paris. Hieˆu tru’o’’ng tru’o`’ng École Normal, GS. M. Guigniault, ˙ nho´ˆt hoc sinh trong tru’o`’ng d¯eˆ’ tránh không cho hoc sinh tham gia xuo´ˆng d¯u’o`’ng. ˙ ˙ Trèo tu’o`’ng ra ngoài không thành, Galois vie´ˆt moˆt bài báo d¯a˘ng trên Gazette des ˙ Écoles d¯eˆ’ pha’ n d¯o´ˆi vieˆc khóa cu’’a nho´ˆt hoc sinh trong tru’o`’ng cu’ a hieˆu tru’o’’ng. ˙ ˙ ˙ Galois bi d¯uoˆ’i hoc và tham gia vào pháo binh, moˆt binh chu’ ng trong quân d¯oˆi ˙ ˙ ˙ ˙ hoàng gia. Tuy nhiên, d¯e´ˆn tháng 12 na˘m 1830, pháo binh bi gia’ i tán bo’’i sa˘´c leˆnh ˙ ˙ cu’ a nhà vua do lo so’ binh chu’ ng này là mo´ˆi d¯e doa cho ngai vàng. ˙ ˙ Galois co´ˆ ga˘´ng quay tro’’ lai làm toán. Anh mo’’ moˆt lo´’p hoc veˆ` d¯ai so´ˆ cao ca´ˆp thu ˙ ˙ ˙ ˙ hút khoa’ ng 40 sinh viên. Nhu’ng sau buoˆ’i hoc d¯aˆ`u tiên, so´ˆ sinh viên gia’ m moˆt cách ˙ ˙ nhanh chóng và cuo´ˆi cùng lo´’p hoc tan rã. Nhu˜’ng công trình cuo´ˆi cùng trong d¯o`’i ˙ Galois là 2 bài báo nho’ d¯a˘ng trên Annales de Gergonne (tháng 12 na˘m 1830) và trên Gazette des Écoles (tháng 1 na˘m 1831). Tháng 1 na˘m 1831, theo go’i ý cu’ a vieˆn sı˜ Vieˆn hàm lâm khoa hoc Pháp Poisson ˙ ˙ ˙ ˙ (1781-1840), laˆ`n thu´’ ba, Galois gu’’i công trình nghiên cu´’u veˆ` phu’o’ng trình cu’ a mình cho Vieˆn hàn lâm. ˙ Chính su’ nu’o´’c Pháp lai lôi cuo´ˆn Galois, ngu’o`’i d¯ang mang tâm trang na˘ng neˆ` ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
16 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ khi pha’ i d¯o´ˆi ma˘t vo´’i nhu˜’ng ba´ˆt hanh doˆ`n daˆp. Ngu’o`’i thanh niên này liên tie´ˆp ro’i ˙ ˙ ˙ vào vòng xoáy cu’ a nhu˜’ng ý nghı˜ và hành d¯oˆng tiêu cu’c. Cuo´ˆi na˘m 1830, mu’o`’i chín ˙ ˙ sı˜ quan pháo binh bi ba˘´t veˆ` toˆi âm lu’u laˆt d¯oˆ’ ngai vàng, nhu’ng d¯u’o’c tha boˆ’ng sau ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó. Ngày 9 tháng 5 na˘m 1831, nhu˜’ng ngu’o`’i coˆng hòa toˆ’ chu´’c moˆt bu˜’a tieˆc chào ˙ ˙ ˙ mu`’ng su’ kieˆn này và phô tru’o’ng thanh the´ˆ. Pha´ˆn khích tu`’ không khí cu’ a bu˜’a ˙ ˙ tieˆc, Galois d¯eo kính, tay caˆ`m dao ga˘m kêu goi moi ngu’o`’i cho´ˆng lai nhà vua. Sau ˙ ˙ ˙ ˙ bu˜’a tieˆc, Galois bi ba˘´t giam o’’ nhà tù Sainte-Pélagie. Ra tòa, Galois d¯u’o’c tha boˆ’ng ˙ ˙ ˙ vào ngày 15 tháng 6 na˘m 1831. Ngày 14 tháng 7, kı’ nieˆm su’ kieˆn nguc Bastille, ˙ ˙ ˙ ˙ Galois lai xua´ˆt hieˆn o’’ hàng d¯aˆ`u trong cuoˆc bieˆ’u tình raˆ`m roˆ cu’ a nhu˜’ng ngu’o`’i coˆng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ hòa, vo´’i trang phuc pháo binh, tay caˆ`m súng và kie´ˆm. Galois lai bi to´ˆng giam vào ˙ ˙ ˙ Sainte-Pélagie. Laˆ`n này Galois bi ke´ˆt án 6 tháng tù giam. Trong tù, Galois nhaˆn ˙ ˙ d¯u’o’c tin veˆ` so´ˆ phaˆn haˆ’m hiu cu’ a công trình khoa hoc mà anh gu’’i laˆ`n thu´’ 3 cho ˙ ˙ ˙ Vieˆn hàn lâm khoa hoc Pháp. Poisson nhaˆn xét veˆ` công trình cu’ a Galois : ˙ ˙ ˙ Chúng tôi d¯ã co´ˆ ga˘´ng d¯eˆ’ hieˆ’u chu´’ng minh cu’ a Galois. Ra´ˆt tie´ˆc, laˆp luaˆn ˙ ˙ cu’ a tác gia’ không rõ ràng và nhu˜’ng ke´ˆt qua’ d¯at d¯u’o’c chu’a d¯u’ d¯eˆ’ chúng tôi ˙ ˙ kha˘’ng d¯inh d¯u’o’c tính d¯úng d¯a˘´n cu’ a công trình Tôi cho ra˘`ng tác gia’ nên ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 17 ˙ biên soan lai toàn boˆ ke´ˆt qua’ cu’ a mình trong moˆt công trình tho´ˆng nha´ˆt d¯eˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ có tính thuye´ˆt phuc lo´’n ho’n. ˙ Tháng 3 na˘m 1832, dich ta’ hoành hành o’’ Paris. Galois cùng các tù nhân d¯u’o’c ˙ ˙ chuyeˆ’n d¯e´ˆn nhà an du’o˜’ng Sieur Faultrier. Tai d¯ây, moˆt co’n gió mát tu’o’’ng chu`’ng ˙ ˙ có theˆ’ làm diu d¯i nhu˜’ng d¯au buoˆ`n vô taˆn trong lòng ngu’o`’i tù tre’ . Galois d¯em lòng ˙ ˙ yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu’ a moˆt nhà vaˆt lí trong vùng. Ba´ˆt hanh ˙ ˙ ˙ thay, d¯a´ˆy là moˆt mo´ˆi tình d¯o’n phu’o’ng và lai là kho’’i d¯aˆ`u cho bi kich lo´’n nha´ˆt cu’ a ˙ ˙ ˙ Galois. Sau khi d¯u’o’c tu’ do vào ngày 29 tháng 4 na˘m 1832, Galois tie´ˆp tuc theo ˙ ˙ ˙ d¯uoˆ’i cô gái no, nhu’ng cô luôn tìm cách tu`’ cho´ˆi tình ca’ m cu’ a anh. ˙ Trong tho`’i gian này, nghe theo lo`’i khuyên cu’ a Poisson, Galois la˘ng le˜ xâu chuoˆ˜i ˙ lai nhu˜’ng phát minh cu’ a mình ba˘`ng nhu˜’ng trang vie´ˆt voˆi vàng (Hình 6). ˙ ˙ The´ˆ roˆ`i, Galois bi lôi vào cuoˆc d¯a´ˆu súng d¯inh meˆnh vào ngày 30 tháng 5 na˘m ˙ ˙ ˙ ˙ 1832 vo´’i Perscheux d’Herbinville. Nguyên nhân cu’ a cuoˆc d¯a´ˆu súng vaˆ˜n chu’a thu’c ˙ ˙ su’ rõ ràng nhu’ng cha˘´c cha˘´n là có liên quan tru’c tie´ˆp d¯e´ˆn Stephanie-Felice du ˙ ˙ Motel. Nhu’ tiên d¯oán d¯u’o’c ke´ˆt cuc, d¯êm 29 tháng 5, Galois thu´’c tron d¯eˆ’ vie´ˆt bu´’c ˙ ˙ ˙ thu’ cuo´ˆi cùng cho ngu’o`’i ban Auguste Chevalier, tóm ta˘´t lai toàn boˆ phát minh ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
18 Vài nét veˆ` lich su’’ ˙ Hình 6: Moˆt trang ba’ n tha’ o cu’ a Galois ˙ cu’ a mình. Ra´ˆt nhieˆ`u d¯oan trong bu´’c thu’ bi bôi xóa nhieˆ`u laˆ`n vo´’i chú thích “tôi ˙ ˙ không có d¯u’ tho`’i gian”. Sáng hôm sau, Galois bu’o´’c chân d¯e´ˆn d¯a´ˆu tru’o`’ng và ke´ˆt cuc ˙ tiên lieˆu d¯ã xa’ y ra. Cuo´ˆi ngày, moˆt ngu’o`’i nông dân trong vùng phát hieˆn Galois ˙ ˙ ˙ bi trong thu’o’ng na˘`m trên cánh d¯oˆ`ng và d¯u’a anh vào beˆnh vieˆn. Ngày 31 tháng 5 ˙ ˙ ˙ ˙ na˘m 1832, Galois trút ho’i tho’’ cuo´ˆi cùng tai beˆnh vieˆn Cochin và d¯u’o’c an táng tai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Vài nét veˆ` lich su’’ 19 ˙ Montparnasse 2 ngày sau d¯ó. Anh cu’ a Galois và Chavalier gu’’i bu´’c thu’ cùng toàn boˆ nhu˜’ng ba’ n tha’ o dang ˙ do’’ cu’ a Galois cho Gauss (1777-1855,¯ Du´’c) và Jacobi nhu’ di chúc cu’ a anh. Không hieˆ’u vì lí do gì, không có moˆt pha’ n u´’ng hoa˘c ý kie´ˆn nào tu`’ Gauss và Jacobi. May ˙ ˙ ma˘´n là sau d¯ó, công trình cu’ a Galois d¯e´ˆn d¯u’o’c tay Liouville. Mu’o`’i moˆt na˘m sau, ˙ ˙ Liouville d¯ã vie´ˆt thu’ thông báo cho Vieˆn hàn lâm Pháp veˆ` su’ d¯úng d¯a˘´n và sâu sa˘´c ˙ ˙ trong ke´ˆt qua’ cu’ a Galois ; ông d¯ã cho xua´ˆt ba’ n nhu˜’ng phát minh cu’ a Galois trên tap chí Revue Encyclopédia cu’ a mình vào na˘m 1846. ˙ Galois ke´ˆt thúc bu´’c thu’ d¯inh meˆnh cu’ a mình ba`˘ng nhu˜’ng dòng : ˙ ˙ Xin gu’’i cho Gauss và Jacobi d¯eˆ’ ho d¯ánh giá công khai, không pha’ i veˆ` tính ˙ d¯úng d¯a˘´n mà là taˆ`m quan trong cu’ a nhu˜’ng d¯inh lí này. Tôi hi vong haˆu ˙ ˙ ˙ ˙ the´ˆ se˜ có ngu’o`’i tha´ˆy d¯u’o’c su’ sâu sa˘´c cu’ a chúng cu˜ ng nhu’ gia’ i mã d¯u’o’c ta´ˆt ˙ ˙ ˙ ca’ nhu˜’ng bí aˆ’n hieˆn tho`’i. ˙ Phát minh mà Galois d¯em lai cho khoa hoc d¯eˆ’ tu`’ d¯ó haˆu the´ˆ d¯ã, d¯ang và se˜ tie´ˆp ˙ ˙ ˙ tuc “gia’ i mã” là lí thuye´ˆt mang tên ông : Lí thuye´ˆt Galois. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 20 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Chu’o’ng 0 ’ KIE´ˆ N THU´’C CHUAˆ N BI ˙ ✧✧✧ Trong phaˆ`n Kie´ˆn thu´’c chuaˆ’n bi, ta nha˘´c lai các kie´ˆn thu´’c co’ ba’ n nha´ˆt cu’ a d¯ai ˙ ˙ ˙ so´ˆ d¯ai cu’o’ng se˜ d¯u’o’c su’’ dung trong cuo´ˆn sách này. Chu´’ng minh cu’ a các ke´ˆt qua’ ˙ ˙ ˙ này deˆ˜ dàng tìm tha´ˆy trong các giáo trình d¯ai so´ˆ o’’ Cao d¯a˘’ ng và Dai hoc. Các kie´ˆn ˙ ¯ ˙ ˙ thu´’c sâu sa˘´c ho’n veˆ` Lí thuye´ˆt nhóm caˆ`n thie´ˆt se˜ d¯u’o’c trình bày chi tie´ˆt trong Phaˆ`n ˙ Phu luc. Da˘c bieˆt, vieˆc gia’ i quye´ˆt các bài taˆp cuo´ˆi tie´ˆt này tao d¯ieˆ`u kieˆn cho d¯oˆc gia’ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ na˘´m to´ˆt ho’n các tính cha´ˆt và phu’o’ng pháp co’ ba’ n su’’ dung trong Lí thuye´ˆt tru’o`’ng ˙ và vành d¯a thu´’c. 21
’ 22 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ` ˘ ´ˆ ’ ` 0.1 TRU’O’NG.¯ DAC SO CUA TRU’O’NG. ˙ Tru’o`’ng là moˆt vành giao hoán có d¯o’n vi khác 0 và moi phaˆ`n tu’’ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ khác 0 d¯eˆ`u kha’ nghich. ˙ Nhaˆ n xét 0.1. Tru’o`’ng là moˆt mieˆ`n nguyên, d¯a˘c bieˆt tru’o`’ng không có u’o´’c cu’ a 0. ˙ ˙ ˙ ˙ Ví du 1. Q là tru’o`’ng các so´ˆ hu˜’u tı’ vo´’i các phép toán coˆng và nhân thông thu’o`’ng. ˙ ˙ Tu’o’ng tu’, ta có tru’o`’ng R các so´ˆ thu’c và tru’o`’ng các so´ˆ phu´’c C. ˙ ˙ Ví du 2. Vành thu’o’ng Zn = Z/nZ là moˆt tru’o`’ng khi và chı’ khi n nguyên to´ˆ. ˙ ˙ Tru’o`’ng Zp vo´’i p nguyên to´ˆ là tru’o`’ng hu˜’u han có p phaˆ`n tu’’. ˙ Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành bie´ˆn d¯o’n vi thành d¯o’n ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. vi. Tu’o’ng tu’ nhu’ vành, ta có khái nieˆm d¯o’n ca´ˆu, toàn ca´ˆu và d¯a˘’ ng ˙ ˙ ˙ ˙ ca´ˆu tru’o`’ng. Cho F là moˆt tru’o`’ng. Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng tu`’ F vào F goi là moˆt tu’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯oˆ`ng ca´ˆu (tu’ d¯a˘’ng ca´ˆu) tru’o`’ng. Taˆp ta´ˆt ca’ các tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu tru’o`’ng vo´’i phép toán ˙ ˙ ˙ tích các ánh xa tao thành moˆt nhóm, ký hieˆu Aut(F ). ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 0.2. Moi d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng d¯eˆ`u là d¯o’n ca´ˆu. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 23 ˙ Moˆt vành con A chu´’a phaˆ`n tu’’ 1 cu’ a tru’o`’ng F d¯u’o’c goi là tru’o`’ng ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ con ne´ˆu A oˆ’n d¯inh vo´’i phép la´ˆy phaˆ`n tu’’ nghich d¯a’ o. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 0.3. ˙ (i) Moˆt tru’o`’ng con cu’ a F là moˆt tru’o`’ng vo´’i các phép toán ca’ m sinh. ˙ ˙ (ii) Giao cu’ a moˆt ho khác roˆ˜ng các tru’o`’ng con là moˆt tru’o`’ng con. ˙ ˙ ˙ Cho F là moˆt tru’o`’ng. Xét ánh xa ˙ ˙ ϕ : Z −→ F m 7→ m 1F . Deˆ˜ dàng chu´’ng minh ra˘`ng ϕ là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành. Xét Ker(ϕ), ta có các tru’o`’ng ˙ ho’p sau: ˙ • Ker(ϕ) 6= 0. Do Z là mieˆ`n nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vo´’i p > 0 là so´ˆ nguyên du’o’ng nho’ nha´ˆt tho’ a p 1F = 0. Rõ ràng p là moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ. Suy ra ˙ ’ ϕ ca’ m sinh moˆt d¯o’n ca´ˆu tu`’ Zp vào F , do d¯ó F chu´’a moˆt tru’o`’ng con d¯a˘ng ca´ˆu ˙ ˙ vo´’i Zp. Tru’o`’ng con này chu´’a trong ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F . So´ˆ nguyên to´ˆ p d¯u’o’c goi là d¯a˘c so´ˆ cu’ a tru’o`’ng F . ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 24 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ’ • Ker(ϕ) = 0, tu´’c là 0 là so´ˆ nguyên duy nha´ˆt d¯eˆ m 1F = 0. Khi d¯ó ϕ mo’’ roˆng duy ˙ nha´ˆt thành moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng tu`’ Q vào F d¯inh bo’’i ˙ ˙ m/n 7→ ϕ(m)ϕ(n)−1. Do d¯ó F chu´’a moˆt tru’o`’ng con d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i Q và ˙ tru’o`’ng con này chu´’a trong ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F . Khi d¯ó ta nói F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ 0. ˙ Cho F là moˆt tru’o`’ng. Giao cu’ a ta´ˆt ca’ các tru’o`’ng con cu’ a F goi là ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a F . Tu`’ ke´ˆt qua’ trên, ta có: ’ Meˆnh d¯eˆ` 0.4. Moˆt tru’o`’ng d¯a˘c so´ˆ p có tru’o`’ng con nguyên to´ˆ d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i Zp xác ˙ ˙ ˙ ’ d¯inh bo’’i m 7→ m1F . Moˆt tru’o`’ng d¯a˘c so´ˆ 0 có tru’o`’ng con nguyên to´ˆ d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i Q ˙ ˙ ˙ m −1 xác d¯inh bo’’i 7→ (m1F )(n1F ) . ˙ n Nhaˆ n xét 0.5. Chú ý ra˘`ng chı’ có duy nha´ˆt moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tu`’ Q hay Zp vào moˆt ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng cho tru’o´’c F và d¯oˆ`ng ca´ˆu d¯ó xác d¯inh nhu’ trong meˆnh d¯eˆ` trên. Thaˆt vaˆy, gia’ ˙ ˙ ˙ ˙ su’’ F có d¯a˘c so´ˆ 0 và φ : Q −→ F là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Khi d¯ó ∀m ∈ N, ˙ ˙ φ(m) = φ(1 + ··· + 1) = mφ(1) = m1F . ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 25 ˙ Ho’n nu˜’a, φ(−m) = −φ(m) = −(m1F ) = (−m)1F . Hay φ(m) = m1F , ∀m ∈ Z. Do d¯ó −1 φ(m/n) = (m1F )(n1F ) vo´’i moi m/n ∈ Q. ˙ Tu’o’ng tu’ vo´’i tru’o`’ng ho’p F có d¯a˘c so´ˆ p và φ : Zp −→ F là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu, ta luôn ˙ ˙ ˙ ˙ có φ(m) = m1F . ´ 0.2 VÀNH¯ DA THU’C Cho A là moˆt vành giao hoán có d¯o’n vi 1 6= 0. Ký hieˆu A[x] là vành các d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ bie´ˆn x siêu vieˆt có heˆ tu’’ trong A. Moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ n f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ A[x], an 6= 0 goi là có baˆc n, kí hieˆu deg(f). Khi d¯ó vành A chu´’a trong A[x] nhu’ moˆt vành con. ˙ ˙ ˙ ˙ ’ Meˆnh d¯eˆ` 0.6 (Tính phoˆ dung cu’ a vành d¯a thu´’c). Cho vành d¯a thu´’c A[x] và ˙ ˙ R là moˆt vành giao hoán và α ∈ R. Khi d¯ó moi d¯oˆ`ng ca´ˆu vành τ : A −→ R mo’’ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 26 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ roˆng duy nha´ˆt thành d¯oˆ`ng ca´ˆu vành ϕ tu`’ A[x] vào R tho’a ˙ ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), ∀ a ∈ A. Meˆnh d¯eˆ` 0.7. Cho f, g ∈ A[x] và g 6= 0 có heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u kha’ nghich. Khi d¯ó, toˆ`n ˙ ˙ ˙ tai duy nha´ˆt q, r ∈ D[x] sao cho f = gq + r vo´’i r = 0 hay deg(r) < deg(g).D¯ a ˙ thu´’c q (tu’o’ng u´’ng r) goi là thu’o’ng (tu’o’ng u´’ng du’) cu’ a phép chia (Euclide) f cho g. ˙ Vành d¯a thu´’c trên tru’o`’ng d¯óng moˆt vai trò d¯a˘c bieˆt quan trong trong Lí thuye´ˆt ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng tru’o`’ng và Galois. Suo´ˆt trong cuo´ˆn sách này, ta kí hieˆu F là moˆt tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ne´ˆu không có gia’ i thích khác. Heˆ qua’ 0.8. Moi id¯êan cu’ a F [x] d¯eˆ`u là id¯êan chính. Ho’n the´ˆ id¯êan (f) ⊂ F [x] là ˙ ˙ to´ˆi d¯ai khi và chı’ khi f ba´ˆt kha’ quy. ˙ Thuaˆt toán Euclide cho phép ta tìm u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt cu’ a 2 d¯a thu´’c cho tru’o´’c ˙ và ho’n the´ˆ, cho phép ta tìm các d¯a thu´’c s, t trong heˆ qua’ sau: ˙ Heˆ qua’ 0.9. Cho f, g ∈ F [x]. Ký hieˆu d = (f, g). Khi d¯ó toˆ`n tai các d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ s, t ∈ F [x] sao cho sf + tg = d. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 27 ˙ Vo´’i Maple, các thuaˆt toán trên trong Q[x] d¯u’o’c cho bo’’i các leˆnh theˆ’ hieˆn trong ˙ ˙ ˙ ˙ ví du sau: ˙ Su’’ dung Maple 1. ¯Deˆ’ tính du’ và thu’o’ng cu’ a phép chia d¯a thu´’c ˙ f = x5 + 2 x4 + x3 + x − 1 cho g = x3 − x + 3, ta có theˆ’ dùng leˆnh rem hoa˘c quo: ˙ ˙ > rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’q’); −7 − 3 x − x2 > q; x2 + 2 x + 2 Nhu’ the´ˆ khi chia f cho g ta d¯u’o’c thu’o’ng là x2 + 2x + 2 và du’ là ˙ −7 − 3x − x2. Deˆ’ tính u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt trong Q[x], ta dùng leˆnh ¯ ˙ > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x); 1 ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 28 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Leˆnh trên cu˜ ng cho ta tính d¯u’o’c d¯a thu´’c s, t sao cho sf + tg = d nhu’ ví du sau ˙ ˙ ˙ d¯ây. > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x,’s’,’t’); 1 > s,t; 64 24 1 149 18 79 22 1 − + x − x2, + x2 + x − x3 + x4 511 511 511 511 511 511 511 511 Tính toán trong vành Zp[x], ta dùng leˆnh Rem và Gcdex tu’o’ng u´’ng. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.10. Cho f ∈ Z[x] ba´ˆt kha’ quy trên Z. Khi d¯ó f ba´ˆt kha’ quy trên Q. ˙ Cho D là moˆt mieˆ`n nguyên Gauss. Moˆt d¯a thu´’c thuoˆc vành D[x] ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ goi là chuaˆ’n ta˘´c ne´ˆu heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u cu’ a f ba˘`ng 1. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.11. Cho f ∈ Z[x] là moˆt d¯a thu´’c chuaˆ’n ta˘´c. Ne´ˆu g ∈ Q[x] là moˆt u’o´’c ˙ ˙ ˙ chuaˆ’n ta˘´c cu’ a f trong Q[x] thì g ∈ Z[x]. Chu´’ng minh. Xem BT 0. 14. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 29 ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.12 (Tiêu chuaˆ’n ba´ˆ t kha’ quy cu’ a Eisenstein). ˙ Cho f = a xn + ··· + a ∈ Z[x]. Ne´ˆu toˆ`n tai moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ p sao cho: n 0 ˙ ˙ 2 p - an, p|ai, ∀ i = 0, . . . , n − 1 và p - a0 thì f ba´ˆt kha’ quy trong Q[x]. n r Meˆnh d¯eˆ` 0.13. Cho f = a0 + ··· + anx ∈ Q[x]. Ne´ˆu phaˆ`n tu’’ ∈ Q, vo´’i ˙ s (r, s) = 1, là nghieˆm cu’ a f thì r | a và s | a . ˙ 0 n Su’’ dung Maple 2. Maple có theˆ’ tìm dang nhân tu’’ hóa cu’ a moˆt d¯a thu´’c khác 0 ˙ ˙ ˙ ba´ˆt ky` trong Q[x] hay Z [x] ba˘`ng leˆnh factor hay Factor. p ˙ > factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5); (2 x2 + 1) (x2 + 2 x + 5) > Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13; 2 (x + 4) (x2 + 7) (x + 11) Xét vành thu’o’ng Zm. Toàn ca´ˆu chính ta˘´c Z −→ Zm mo’’ roˆng taˆ`m thu’o`’ng thành ˙ n n toàn ca´ˆu vành Z[x] −→ Zm[x] bie´ˆn f = anx +···+a0 thành f := anx +···+a0. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 30 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.14. Cho f ∈ Z[x]. Ne´ˆu toˆ`n tai moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ p không chia he´ˆt heˆ tu’’ ˙ ˙ ˙ ˙ cao nha´ˆt cu’ a f và f ba´ˆt kha’ quy trong Zp[x] thì f ba´ˆt kha’ quy trong Q[x]. Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 8. ˙ Chú ý ra˘`ng, meˆnh d¯eˆ` trên chı’ cho moˆt d¯ieˆ`u kieˆn d¯u’ . Có nhu˜’ng d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ ˙ ˙ ˙ quy trong Q[x] nhu’ng a’ nh cu’ a nó trong Zp[x] là kha’ quy vo´’i moi so´ˆ nguyên to´ˆ p, ˙ xem Bài taˆp 0. 6. ˙ 0.3 MOˆ T SO´ˆ NHÓM HU˜’U HAN ˙ ˙ Ca´ˆp cu’ a moˆt nhóm (nhân) hu˜’u han G là so´ˆ phaˆ`n tu’’ cu’ a nhóm, kí hieˆu (G : 1) hay ˙ ˙ ˙ |G|. Ca´ˆp cu’ a moˆt phaˆ`n tu’’ a ∈ G là ca´ˆp cu’ a nhóm con cyclic sinh ra bo’’i a. Ta gio´’i ˙ thieˆu moˆt so´ˆ nhóm hu˜’u han quan trong se˜ ga˘p trong noˆi dung cu’ a cuo´ˆn sách này. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ a) Nhóm dihedral D2n Nhóm dihedral D2n còn goi là nhóm các phép d¯o´ˆi xu´’ng cu’ a d¯a giác d¯eˆ`u n canh ˙ ˙ ’ ’ ’ Pn, tu´’c là nhóm các phép bie´ˆn d¯oˆi d¯a˘ng cu’ cu’ a ma˘t pha˘ng bie´ˆn Pn thành chính nó. ˙ ˙ Goi σ là phép quay có tâm là tâm cu’ a Pn và góc quay là 2π/n (góc d¯inh hu’o´’ng). ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 31 ˙ Rõ ràng σ có ca´ˆp n. Goi τ là phép d¯o´ˆi xu´’ng truc vo´’i truc d¯o´ˆi xu´’ng d¯i qua moˆt d¯ı’nh ˙ ˙ ˙ ˙ chon tru’o´’c cu’ a Pn. Ca´ˆp cu’ a τ ba˘`ng 2. Khi d¯ó ˙ i j D2n = {τ σ | i = 0, 1 ; j = 1, . . . , n} có ca´ˆp ba˘`ng 2n. Deˆ˜ dàng chı’ ra ra˘`ng n 2 −1 D2n = . b) Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn là nhóm các phép hoán vi n phaˆ`n tu’’ cu’ a taˆp ˙ ˙ Ω = {1, . . . , n}, có ca´ˆp ba˘`ng n!. Moˆ˜i phaˆ`n tu’’ cu’ a Sn goi là moˆt phép the´ˆ. Nhóm ˙ ˙ d¯o´ˆi xu´’ng Sn vo´’i n ≥ 3 là moˆt nhóm không giao hoán. ˙ ’ Moˆt vòng xích σ = (a1 a2 . . . am) goˆ`m các so´ˆ tu’ nhiên phân bieˆt cu’ a Ω bieˆu dieˆ˜n ˙ ˙ ˙ moˆt phép the´ˆ cu’ a Sn d¯inh bo’’i σ(ai) = ai+1 vo´’i 1 ≤ i ≤ m − 1, σ(am) = a1 và ˙ ˙ giu˜’ nguyên các phaˆ`n tu’’ còn lai cu’ a Ω. ˙ Vòng xích σ goi là có d¯oˆ dài m ne´ˆu nó chu´’a m phaˆ`n tu’’. Hai vòng xích goi là d¯oˆc ˙ ˙ ˙ ˙ laˆp ne´ˆu chúng không có phaˆ`n tu’’ chung. Tích cu’ a 2 vòng xích d¯oˆc laˆp có tính giao ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 32 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ hoán. Có theˆ’ chu´’ng minh deˆ˜ dàng ke´ˆt qua’ sau. Meˆnh d¯eˆ` 0.15. Moi phép the´ˆ d¯eˆ`u có theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n moˆt cách duy nha´ˆt (sai khác thu´’ ˙ ˙ ˙ tu’) du’o´’i dang tích cu’ a các vòng xích d¯oˆc laˆp. Bieˆ’u dieˆ˜n này d¯u’o’c goi là bieˆ’u dieˆ˜n ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ vòng xích cu’ a phép the´ˆ. Ví du 3. Trong S12, cho phép the´ˆ σ d¯inh bo’’i: ˙ ˙ σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8 Ta có σ = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9). Khi d¯u’o’c bieˆ’u dieˆ˜n ba˘`ng tích cu’ a các vòng xích d¯oˆc laˆp, nghich d¯a’ o cu’ a phép the´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c xác d¯inh moˆt cách deˆ˜ dàng ba˘`ng cách vie´ˆt d¯a’ o ngu’o’c các phaˆ`n tu’’ trong các vòng ˙ ˙ ˙ ˙ xích d¯oˆc laˆp cu’ a nó. Ví du, vo´’i phép the´ˆ σ o’’ trên, ta có ˙ ˙ ˙ σ−1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9). Ta cu˜ ng deˆ˜ dàng chu´’ng minh d¯u’o’c ke´ˆt qua’ sau. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.16. Ca´ˆp cu’ a phép the´ˆ σ ba˘`ng boˆi chung nho’ nha´ˆt cu’ a d¯oˆ dài cu’ a các ˙ ˙ ˙ vòng xích trong bieˆ’u dieˆ˜n vòng xích cu’ a σ. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 33 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 16. ˙ Moˆt vòng xích có d¯oˆ dài ba˘`ng 2 goi là moˆt phép chuyeˆ’n trí. Moi vòng xích d¯eˆ`u ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c bieˆ’u dieˆ˜n (không duy nha´ˆt) ba˘`ng tích cu’ a các phép chuyeˆ’n trí, cha˘’ ng han : ˙ ˙ σ = (a1 a2 . . . am) = (a1 am) ··· (a1 a3)(a1 a2). (1) Tu`’ d¯ó suy ra : Meˆnh d¯eˆ` 0.17. Moi phép the´ˆ d¯eˆ`u bieˆ’u dieˆ˜n d¯u’o’c du’o´’i dang tích cu’ a các phép ˙ ˙ ˙ ˙ chuyeˆ’n trí. ’ Nhu’ the´ˆ taˆp ho’p T ta´ˆt ca’ các phép chuyeˆn trí cu’ a Sn sinh ra Sn. Ke´ˆt qua’ sau ˙ ˙ cu˜ ng d¯u’o’c su’’ dung sau này. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.18. Nhóm d¯o´ˆi xu´’ng Sn d¯u’o’c sinh bo’’i vòng xích (1 2 . . . n) và phép ˙ ˙ chuyeˆ’n trí (1 2). Chu´’ng minh. Cho c = (1 2 . . . n) và t = (1 2). Goi G là nhóm con sinh bo’’i t và ˙ c. Khi d¯ó G chu´’a phaˆ`n tu’’ c tc−1 = (2 3), nên chu´’a c(2 3)c−1 = (3 4), ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 34 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ và do d¯ó chu´’a các phép chuyeˆ’n trí dang (m m + 1). Suy ra G chu´’a các phaˆ`n tu’’ ˙ (1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ; nhu’ the´ˆ G chu´’a các phép chuyeˆ’n trí dang (1 m). Do d¯ó G chu´’a các phaˆ`n tu’’ dang ˙ ˙ (1 m)(1 r)(1 m) = (m r) vo´’i moi m, r ∈ {1, . . . , n}. Ta´ˆt ca’ các phép chuyeˆ’n trí ˙ sinh ra Sn nhu’ d¯ã tha´ˆy o’’ meˆnh d¯eˆ` trên. Do d¯ó G = Sn. ˙ Ta nha˘´c lai khái nieˆm da´ˆu cu’ a phép the´ˆ và gio´’i thieˆu nhóm thay phiên An. ˙ ˙ ˙ ¯Da˘t ˙ Y ∆n = (xi − xj). 1≤i<j≤n Vo´’i σ ∈ Sn, tác d¯oˆng cu’ a σ trên ∆n d¯inh bo’’i: ˙ ˙ Y ¡ ¢ σ(∆n) = xσ(i) − xσ(j) . 1≤i<j≤n Do σ là moˆt song ánh, moˆ˜i nhân tu’’ (xi − xj) cu’ a ∆n xua´ˆt hieˆn d¯úng moˆt laˆ`n vo´’i ˙ ˙ ˙ da´ˆu + hay − trong σ(∆n). Nhu’ the´ˆ, ta có σ(∆n) = ±∆n. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 35 ˙ Da˘t ¯ ˙ σ(∆n) sign(σ) = ∈ {±1} ∆n goi là da´ˆu cu’ a phép the´ˆ σ. ˙ Phép the´ˆ σ goi là phép the´ˆ cha˘˜n ne´ˆu sign(σ) = 1, là phép the´ˆ le’ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ne´ˆu sign(σ) = −1. Meˆnh d¯eˆ` 0.19. Ánh xa sign : Sn −→ {±1} là moˆt toàn ca´ˆu nhóm. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta có Q ¡ ¢ Q ¡ ¢ xτ σ(i) − xτ σ(j) xσ(i) − xσ(j) 1≤i<j≤n 1≤i<j≤n sign(τ σ) = Q ¡ ¢ Q xσ(i)−σ(j) (xi − xi) 1≤i<j≤n 1≤i<j≤n = sign(τ ) sign(σ). Deˆ˜ tha´ˆy ra˘`ng sign là moˆt toàn ánh vì a’ nh cu’ a phép chuyeˆ’n trí (1 2) ba˘`ng −1. Nhu’ ˙ the´ˆ sign là moˆt toàn ca´ˆu nhóm. ˙ ’ Heˆ qua’ 0.20. Taˆp ho’p ta´ˆt ca’ các phép the´ˆ cha˘˜n trong Sn là moˆt nhóm con chuaˆn ˙ ˙ ˙ ˙ ta˘´c cu’ a Sn có chı’ so´ˆ ba˘`ng 2, goi là nhóm thay phiên (trên n phaˆ`n tu’’), kí hieˆu An. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 36 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Ví du 4. Ta tính da´ˆu cu’ a phép chuyeˆ’n trí tùy ý (i j). Ta d¯ã bie´ˆt phép chuyeˆ’n trí ˙ (1 2) là moˆt phép the´ˆ le’ . Goi τ = (1 i)(2 j) là phép the´ˆ hoán vi 1 cho i và 2 cho j. ˙ ˙ ˙ Khi d¯ó ta có (i j) = τ (1 2)τ . Vì sign là d¯oˆ`ng ca´ˆu nhóm, ta có sign(i j) = (−1) sign(τ )2 = −1. Vaˆy phép chuyeˆ’n trí là phép theˆ’ le’ . ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.21. Moˆt vòng xích d¯oˆ dài m là phép the´ˆ le’ khi và chı’ khi m là so´ˆ cha˘˜n. ˙ ˙ ˙ Suy ra, moˆt phép the´ˆ σ là le’ khi và chı’ khi so´ˆ các vòng xích d¯oˆ dài cha˘˜n trong bieˆ’u ˙ ˙ dieˆ˜n vòng xích cu’ a σ là moˆt so´ˆ le’. ˙ Chu´’ng minh. Moˆt vòng xích d¯oˆ dài m có theˆ’ bieˆ’u dieˆ˜n nhu’ tích cu’ a m − 1 phép ˙ ˙ chuyeˆ’n trí (xem (1)). Do moˆ˜i phép chuyeˆ’n trí là le’ , suy ra d¯ieˆ`u pha’ i chu´’ng minh. c) Nhóm quaternion Nhóm quaternion Q8 là nhóm có 8 phaˆ`n tu’’, xác d¯inh nhu’ sau. Cho ˙ Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}, vo´’i phép nhân d¯inh bo’’i: ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 37 ˙ • 1a = a1 = a vo´’i moi a ∈ Q8 ; ˙ • (−1)(−1) = 1 ; (−1)a = a(−1) = −a vo´’i moi a ∈ Q8 ; ˙ • ii = jj = kk = −1 ; • ij = k ; ji = −k ; • jk = i ; kj = −i ; • ki = j ; ik = −j. Deˆ˜ dàng kieˆ’m tra ta´ˆt ca’ các tiên d¯eˆ` cu’ a nhóm d¯eˆ`u tho’ a mãn. 0.4 HÀM EULER Ta nha˘´c lai khái nieˆm hàm Euler và moˆt so´ˆ tính cha´ˆt quan trong cu’ a nó. Phaˆ`n ˙ ˙ ˙ ˙ chu´’ng minh các tính cha´ˆt này d¯u’o’c thu’c hieˆn trong phaˆ`n Bài taˆp. ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 38 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ Hàm Euler ϕ là moˆt ánh xa tu`’ N∗ vào N∗ d¯inh bo’’i ˙ ˙ ˙ ϕ(n) = #{m ∈ N | m ≤ n, (m, n) = 1}. ¯Dinh nghı˜a. ˙ Nghı˜a là ϕ(n) là so´ˆ các so´ˆ tu’ nhiên không lo´’n ho’n n và nguyên ˙ to´ˆ cùng nhau vo´’i n. Moˆt so´ˆ tính cha´ˆt cu’ a hàm Euler d¯u’o’c phát bieˆ’u trong meˆnh d¯eˆ` sau. ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 0.22. Kí hieˆu ϕ là hàm Euler. Khi d¯ó: ˙ ˙ (i) ϕ(p) = p − 1 vo´’i p là so´ˆ nguyên to´ˆ ; (ii) ϕ(pm) = (p − 1)pm−1 ; (iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) vo´’i moi (a, b) = 1 ; ˙ ´ m1 mr (iv) Neˆu a = p1 ··· pr thì 1 1 ϕ(a) = a(1 − ) ··· (1 − ); p1 pr P (v) ϕ(d) = n. d|n ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 39 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 0. 17. ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 0. 1 . Chon d¯úng (D), sai (S) cho các meˆnh d¯eˆ` sau: ˙ ¯ ˙ a) Hai d¯a thu´’c ba´ˆt ky` cu’ a F [x] d¯eˆ`u toˆ`n tai u’o´’c chung lo´’n nha´ˆt. ˙ b) Tu’o’ng u´’ng tu`’ F [x] vào Z cho bo’’i f 7→ deg(f) là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu vành. ˙ c) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a nó. ˙ d) Vành Zn là moˆt mieˆ`n nguyên khi và chı’ khi nó là moˆt tru’o`’ng. ˙ ˙ e) Moi d¯a thu´’c trên tru’o`’ng F d¯eˆ`u có moˆt nghieˆm trong F . ˙ ˙ ˙ f) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trên Q d¯eˆ`u ba´ˆt kha’ quy trên Z. ˙ g) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trên Q thì ba´ˆt kha’ quy trên R. ˙ h) Có vô han các d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy baˆc n trên Q (trên R, trên C). ˙ ˙ i) Nhu˜’ng d¯a thu´’c nguyên to´ˆ cùng nhau thì có baˆc khác nhau. (Xem HD 250) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 40 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ ✍ 0. 2 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ p > 0. Xét ánh xa ˙ ˙ ϕ : F −→ F a 7→ ap. goi là ánh xa Frobenius. Chu´’ng minh ra˘`ng ϕ là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Suy ra ˙ ˙ ˙ ne´ˆu F là tru’o`’ng hu˜’u han thì ϕ là moˆt tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu. (Xem HD 250) ˙ ˙ ˙ ✍ 0. 3 . Cho D là mieˆ`n nguyên và FD là tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a nó. Cho K là moˆt ˙ tru’o`’ng và τ : D −→ K là moˆt d¯o’n ca´ˆu vành. Chu´’ng minh ra˘`ng toˆ`n tai duy ˙ ˙ nha´ˆt moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng ϕ : FD −→ K sao cho ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ D. Suy ˙ ra tính duy nha´ˆt cu’ a tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a D. (Xem HD 250) ✍ 0. 4 . Xác d¯inh các tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a tru’o`’ng các so´ˆ hu˜’u ty’. Tu’o’ng tu’, xác d¯inh các tu’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ p d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a Zp; suy ra công thu´’c Fermat a ≡ a mod p vói moi a ∈ Z. (Xem ˙ HD 251) ✍ 0. 5 . Chu´’ng minh ra˘`ng moˆt tru’o`’ng F có d¯a˘c so´ˆ 0 (tu’o’ng u´’ng p nguyên to´ˆ) khi và ˙ ˙ chı’ khi toˆ`n tai moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯o’n ca´ˆu) tru’o`’ng tu`’ Q (tu’o’ng u´’ng Zp) vào F . Ho’n ˙ ˙ nu˜’a, d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng d¯ó là duy nha´ˆt. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 41 ˙ (Xem HD 252) ✍ 0. 6 . Cho f = x4 − 10x2 + 1 ∈ Z[x]. Chu´’ng minh ra˘`ng f ba´ˆt kha’ quy trên Z nhu’ng kha’ quy khi xét nhu’ moˆt d¯a thu´’c trong Zp[x] vo´’i moi p nguyên to´ˆ. ˙ ˙ (Xem HD 252) ✍ 0. 7 . Chu´’ng minh Heˆ qua’ 0.8. (Xem HD 252) ˙ ✍ 0. 8 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.14. (Xem HD 253) ˙ 5 4 3 2 ✍ 0. 9 . Tìm d = (f, g) vo´’i f, g ∈ Z11[x] cho bo’’i f = x +2x +3x +3x −5x+2, g = 3 2 2x + 7x + 5x − 2. Tìm s, t ∈ Z11[x] sao cho sf + tg = d. Nên su’’ dung Maple. ˙ (Xem HD 253) ✍ 0. 10 . Chu´’ng minh dang toˆ’ng quát cu’ a MD. 0.10: cho D là mieˆ`n nguyên Gauss và ˙ ¯ FD là tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a D. Ne´ˆu f ∈ D[x] ba´ˆt kha’ quy trên D thì ba´ˆt kha’ quy trên FD. (Xem HD 253) ✍ 0. 11 . Xác d¯inh tính ba´ˆt kha’ quy cu’ a các d¯a thu´’c sau d¯ây. Trong tru’o`’ng ho’p kha’ quy, ˙ ˙ tìm dang nhân tu’’ hóa cu’ a d¯a thu´’c trên tru’o`’ng chı’ ra. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 42 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI ˙ a) x4 + 1 trên Q. e) x3 − 7x2 + 3x + 3 trên Q. b) x4 + 1 trên R. f) x4 + 15x3 + 7 trên Q. 4 c) x7 + 11x3 − 33x + 22 trên Q. g) x + 7 trên Z17. 4 3 2 3 d) x + x + x + x + 1 trên Q. h) x − 5 trên Z11. (Xem HD 253) ✍ 0. 12 . Tìm nghieˆm cu’ a các d¯a thu´’c sau d¯ây (tru’o´’c tiên trong Q sau d¯ó trong R, C). ˙ a) x3 + 1. d) x2 + 1. b) x3 − 6x2 + 11x − 6. e) x4 + x3 + x2 + x + 1. c) x5 + x + 1. f) x4 − 6x2 + 11. (Xem HD 254) ✍ ´ ’ ´ 2 ´ 0. 13 . Tìm taˆt ca’ các d¯a thu´’c chuaˆn ta˘c x + bx + c ∈ Z5[x].D¯ a thu´’c nào baˆt kha’ quy ? Trong moˆ˜i tru’o`’ng ho’p, tính ∆ := b2 − 4c. Du’ d¯oán và chu´’ng minh tiêu ˙ ˙ chuaˆ’n ba´ˆt kha’ quy theo ∆. (Xem HD 254) ✍ 0. 14 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.11. (Xem HD 254) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI 43 ˙ p2 − p ✍ 0. 15 . Cho p là moˆt so´ˆ nguyên to´ˆ. Chu´’ng minh ra˘`ng trong Zp[x] có d¯úng d¯a ˙ 2 thu´’c chuaˆ’n ta˘´c ba´ˆt kha’ quy baˆc 2. (Xem HD 255) ˙ ✍ 0. 16 . Chu´’ng minh Meˆnh d¯eˆ` 0.16 ba˘`ng cách chu´’ng minh các kha˘’ ng d¯inh sau. ˙ ˙ i • Ne´ˆu σ = (a1 a2 . . . am) thì vo´’i moi i ∈ {1, 2, . . . , m}, ta có σ (ak) = ak+i ˙ vo´’i k + i d¯u’o’c la´ˆy tha˘ng du’ theo modulo m. ˙ ˙ • Trong moˆt nhóm nhân G, cho a, b là 2 phaˆ`n tu’’ giao hoán d¯u’o’c, khi d¯ó ˙ ˙ (ab)n = anbn vo´’i moi n ∈ Z. ˙ ✍ 0. 17 . Cho ϕ là hàm Euler. Chu´’ng minh ra˘`ng a) ne´ˆu q | n thì ϕ(qn) = qϕ(n); b) ne´ˆu (p, n) = 1 và p nguyên to´ˆ thì ϕ(pn) = (p − 1)ϕ(n); c) suy ra ne´ˆu p nguyên to´ˆ và (p, n) = 1 thì ϕ(pmn) = (p − 1)pm−1ϕ(n); d) suy ra ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀(a, b) = 1 ; ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
’ 44 Chu’o’ng 0. KIE´ˆN THU´’C CHUAˆN BI P ˙ e) ϕ(d) = n. (Xem HD 255) d|n * 0. 18 . Cho F là moˆt tru’o`’ng. Chu´’ng minh ra˘`ng moi nhóm con hu˜’u han cu’ a nhóm ˙ ˙ ˙ nhân F ∗ = F − {0} là moˆt nhóm cyclic. Suy ra ne´ˆu F là tru’o`’ng hu˜’u han thì ˙ ˙ F ∗ là nhóm cyclic. (Xem HD 256) * 0. 19 . Xác d¯inh taˆp các tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a tru’o`’ng R. (Xem HD 257) ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
Chu’o’ng 1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✧✧✧ § 1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG. BAˆC CU’ A MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ˙ ˙ 1.1 MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Cho tru’o`’ng K và F là moˆt tru’o`’ng con cu’ a K. Khi d¯ó F ⊂ K goi ˙ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và K d¯u’o’c goi là moˆt mo’’ roˆng (tru’o`’ng) cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . Moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K còn d¯u’o’c kí hieˆu là K : F hay ˙ ˙ ˙ ˙ K/F . 45
46 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Nhaˆ n xét 1.1. (i) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u là mo’’ roˆng cu’ a tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a nó. ˙ ˙ ˙ (ii) Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a chúng ˙ ˙ trùng nhau. Ví du 5. Q ⊂ R, Q ⊂ C, R ⊂ C là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. ˙ ˙ Ví du 6. Cho F là moˆt tru’o`’ng và F (x) là tru’o`’ng các phân thu´’c hu˜’u ty’ bie´ˆn x siêu ˙ ˙ vieˆt trên F .Doˆ`ng nha´ˆt F vo´’i các phân thu´’c ha˘`ng, ta có F ⊂ F (x) là moˆt mo’’ roˆng ˙ ¯ ˙ ˙ tru’o`’ng. Cho K : F và L : F là các mo’’ roˆng tru’o`’ng cu’ a F . Moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu ˙ ˙ (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng ϕ : K −→ L tho’ a ϕ(a) = a, ∀ a ∈ F goi là ˙ F -d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -d¯a˘’ ng ca´ˆu). Mo’’ roˆng K : F d¯u’o’c goi là F -d¯a˘’ ng ca´ˆu ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ vo´’i mo’’ roˆng L : F ne´ˆu toˆ`n tai moˆt F -d¯a˘’ ng ca´ˆu tu`’ K vào L, kí ˙ ˙ ˙ hieˆu K ∼= L. Ne´ˆu K = L thì các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -d¯a˘’ ng ca´ˆu) goi ˙ F ˙ là F -tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu (F -tu’ d¯a˘’ ng ca´ˆu). ˙ ˙ Toˆ’ng quát ho’n, ta có: ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 47 ˙ ˙ ˙ Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho ˙ τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu (d¯a˘’ ng ca´ˆu) tru’o`’ng.¯ Doˆ`ng ca´ˆu ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ (d¯a˘’ ng ca´ˆu) ϕ : K −→ L goi là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ ne´ˆu ˙ ˙ ˙ ϕ(a) = τ (a), ∀a ∈ F . Mo’’ roˆng F ⊂ K goi là d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i mo’’ roˆng E ⊂ L ne´ˆu toˆ`n tai ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. các d¯a˘’ ng ca´ˆu i : F −→ E và moˆt mo’’ roˆng cu’ a nó j : K −→ L, ˙ ˙ ˙ nghı˜a là j(a) = i(a), ∀a ∈ F. Nhaˆ n xét 1.2. Quan heˆ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng là moˆt quan heˆ tu’o’ng ˙ ˙ ∼ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’ng. Da˘c bieˆt, quan heˆ “=F ” là moˆt quan heˆ tu’o’ng d¯u’o’ng. ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 1.3. Cho K : F và L : F là các mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho ϕ : K −→ L là moˆt ˙ ˙ ˙ F -d¯oˆ`ng ca´ˆu. Cho α ∈ K là moˆt nghieˆm cu’ a f ∈ F [x]. Khi d¯ó ϕ(α) ∈ L là moˆt ˙ ˙ ˙ nghieˆm cu’ a f. ˙ Chu´’ng minh. Goi f = a xn + ··· + a . Ta có ˙ n 0 n f(α) = anα + ··· + a0 = 0. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
48 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Suy ra n 0 = ϕ(f(α)) = anϕ(α) + ··· + a0 = f(ϕ(α)). Nghı˜a là ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ Ta có dang toˆ’ng quát cu’ a meˆnh d¯eˆ` trên, xem Bài taˆp 1. 8. ˙ ˙ ˙ 1.2 BAˆ C CU’ A MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ˙ Cho K : F là moˆt mo’’ roˆngtru’o`’ng. Khi d¯ó K có ca´ˆu trúc cu’ a moˆt không gian véc ˙ ˙ ˙ to’ trên F vo´’i phép nhân vô hu’o´’ng là phép nhân trên K. Moˆt co’ so’’ cu’ a F −không ˙ gian véc to’ K cu˜ ng d¯u’o’c goi là co’ so’’ cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F . ˙ ˙ ˙ Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F là chieˆ`u cu’ a F −không gian véc to’ ˙ ˙ K, kí hieˆu [K : F ]. Ne´ˆu [K : F ] hu˜’u han thì ta goi K : F là moˆt ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng hu˜’u han. Ne´ˆu mo’’ roˆng K : F không hu˜’u han thì goi là ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ Ví du 7. Xét mo’’ roˆng tru’o`’ng C : R. Ta bie´ˆt moi phaˆ`n tu’’ cu’ a C d¯u’o’c vie´ˆt moˆt cách ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ duy nha´ˆt du’o´’i dang a + bi vo´’i a, b ∈ R. Do d¯ó {1, i} là moˆt co’ so’’ cu’ a C : R. Suy ˙ ˙ ra [C : R] = 2. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 49 ˙ ˙ ˙ Ví du 8. Các mo’’ roˆng tru’o`’ng R/Q, C/Q,K(x)/K là các mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 1.4. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng F ⊂ K ba˘`ng 1 khi và chı’ khi F = K. Nói cách ˙ ˙ ˙ khác baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng ba˘`ng 1 khi và chı’ khi mo’’ roˆng là taˆ`m thu’o`’ng. Thaˆt ˙ ˙ ˙ ˙ vaˆy, ne´ˆu K = F.α thì 1 = aα, kéo theo α = a−1 ∈ F . Do d¯ó F = K. ˙ ¯Dinh lí 1.5. Cho K : F và L : K là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó L : F là moˆt mo’’ ˙ ˙ ˙ roˆng tru’o`’ng và ˙ [L : F ] = [L : K][K : F ]. Ho’n the´ˆ ne´ˆu {ei}i∈I và {fj}j∈J laˆ`n lu’o’t là co’ so’’ cu’ a K : F và L : K thì ˙ {eifj}i∈I,j∈J là moˆt co’ so’’ cu’ a L : F . ˙ Chu´’ng minh. Kí hieˆu E = {e } ,S = {f } và ES = {e f } . Cho u ∈ L. Khi d¯ó ˙ i i∈I j j∈J i j i∈I,j∈J P ’ ’ u = ajfj vo´’i aj ∈ K. Do aj bieˆu thi tuye´ˆn tính qua E nên thay aj trong bieˆu ˙ dieˆ˜n cu’ a u bo’’i các toˆ’ ho’p tuye´ˆn tính cu’ a S , ta có bieˆ’u dieˆ˜n tuye´ˆn tính cu’ a u qua ˙ ES. Do d¯ó ES là heˆ sinh cu’ a không gian véc to’ L trên F . ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng ES d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính. Xét moˆt toˆ’ ho’p tuye´ˆn tính trong L P ˙ ˙ P P ˙ ˙ cho bo’’i aijeifj = 0 vo´’i aij ∈ F . Ta vie´ˆt ( aijei)fj = 0 nhu’ moˆt quan heˆ i,j j i ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
50 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ P tuye´ˆn tính taˆ`m thu’o`’ng cu’ a S. Do S d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính, ta có aijei = 0 vo´’i moi ˙ ˙ i ˙ j. Ma˘t khác, do E d¯oˆc laˆp tuye´ˆn tính, ta có aij = 0 vo´’i moi i, j. Vaˆy ES d¯oˆc laˆp ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ tuye´ˆn tính. Nhaˆ n xét 1.6. ¯Dinh lý trên cho tha´ˆy ra˘`ng L : F là mo’’ roˆng hu˜’u han khi và chı’ ˙ ˙ ˙ ˙ khi L : K và K : F là các mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 1. 1 . Trong các tru’o`’ng ho’p sau, d¯âu là mo’’ roˆng tru’o`’ng ? ˙ √ ˙ a) Q ⊂ A := {a + b 2 | a, b ∈ Q} ; √ b) Q ⊂ B := {a + b α | a, b ∈ Q} vo´’i α ∈ N ; √ c) Q ⊂ C := {a + b 3 2 | a, b ∈ Q} ; d) Q ⊂ D := {a + bi | a, b ∈ Q} ? (Xem HD 257) ✍ 1. 2 . Xác d¯inh baˆc cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng tìm d¯u’o’c trong bài taˆp trên. (Xem HD ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 257) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 1. Mo’’ roˆng tru’o`’ng. Baˆc cu’ a mo’’ roˆng tru’o`’ng 51 ˙ ˙ ˙ √ √ ✍ 1. 3 . Chu´’ng minh ra˘`ng Q[ 3] := {a + b 3 | a, b ∈ Q} và √ √ Q[ 5] := {a + b 5 | a, b ∈ Q} d¯eˆ`u là các mo’’ roˆng tru’o`’ng baˆc 2 cu’ a Q ˙ ˙ nhu’ng không d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i nhau. (Xem HD 257) ✍ 1. 4 . Chu´’ng minh ra˘`ng mo’’ roˆng R : Q là vô han. (Xem HD 258) ˙ ˙ ✍ 1. 5 . Chu´’ng minh ra˘`ng moi tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng ϕ : K −→ K d¯eˆ`u là P −tu’ d¯oˆ`ng ˙ ˙ ˙ ca´ˆu vo´’i P là tru’o`’ng con nguyên to´ˆ cu’ a K. (Xem HD 258) ✍ 1. 6 . Chu´’ng minh ra˘`ng quan heˆ d¯a˘’ ng ca´ˆu cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng là moˆt quan heˆ ˙ ˙ ˙ ˙ tu’o’ng d¯u’o’ng. ✍ 1. 7 . Cho F ⊂ K là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Moˆt tru’o`’ng E tho’ a F ⊂ E ⊂ K d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ goi là tru’o`’ng trung gian cu’ a mo’’ roˆng F ⊂ K. Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng baˆc nguyên to´ˆ không có tru’o`’ng trung gian nào khác F và K. (Xem HD ˙ 258) ✍ 1. 8 . a) Cho τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Khi d¯ó τ mo’’ roˆng thành moˆt d¯o’n ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
52 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ca´ˆu vành τ∗ : F [x] −→ E[x] d¯inh bo’’i: ˙ n n τ∗(a0 + ··· + anx ) = τ (a0) + ··· + τ (an)x . ’ ’ Da˘c bieˆt, chı’ ra ra˘`ng ne´ˆu τ là d¯a˘ng ca´ˆu tru’o`’ng thì τ∗ là d¯a˘ng ca´ˆu vành và ¯ ˙ ˙ ’ khi d¯ó, ne´ˆu f ∈ F [x] ba´ˆt kha’ quy trên F thì τ∗(f) ba´ˆt kha’ quy trên E. ¯Deˆ d¯o’n gia’ n, ta thu’o`’ng vie´ˆt τ∗f thay cho τ∗(f). b) Cho F ⊂ K và E ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng; cho τ : F −→ E là moˆt d¯oˆ`ng ˙ ˙ ca´ˆu tru’o`’ng và ϕ : K −→ L là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ . Chu´’ng minh ra˘`ng ne´ˆu ˙ ˙ α ∈ K là nghieˆm cu’ a f ∈ F [x] thì ϕ(α) ∈ L là nghieˆm cu’ a τ f. ˙ ˙ ∗ (Xem HD 258) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 53 ˙ ’ § 2 MO’ ROˆ NG¯ DO’N ˙ 2.1 VÀNH CON VÀ TRU’O`’NG CON SINH RA BO’’I MOˆ T TAˆ P ˙ ˙ Cho K là moˆt tru’o`’ng và S là moˆt taˆp con cu’ a K. Giao cu’ a ta´ˆt ca’ ˙ ˙ ˙ các vành con (tru’o`’ng con) cu’ a K chu´’a S là moˆt vành con (tru’o`’ng ˙ ¯Dinh nghı˜a. con) cu’ a K, goi là vành con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S. Vành con ˙ ˙ (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S là vành con (tru’o`’ng con) nho’ nha´ˆt cu’ a K chu´’a S. Cho F ⊂ K là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng, cho S là moˆt taˆp con cu’ a K. ˙ ˙ ˙ ˙ Vành con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i F ∪ S trong K d¯u’o’c goi là vành ¯Dinh nghı˜a. ˙ ¡ ˙ ˙ con (tru’o`’ng con) sinh ra bo’’i S trên F , kí hieˆu F [S] tu’o’ng u´’ng ¢ ˙ F (S) . Ne´ˆu S = {s1, . . . , sn} thì ta kí hieˆu F [s1, . . . , sn] cho F [S]. Tu’o’ng tu’ kí hieˆu ˙ ˙ ˙ F (s1, . . . , sn) cho F (S). Nhaˆ n xét 2.1. ˙ (i) Ta có F (s1, . . . , sn) = F (s1, . . . , sn−1)(sn), ∀ n ≥ 2. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
54 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ (ii) Ne´ˆu S ⊂ F , d¯a˘c bieˆt khi S = ∅ thì F [S] = F (S) = F . Trong tru’o`’ng ho’p ˙ ˙ ˙ S 6= ∅ ta có ke´ˆt qua’ sau: Meˆnh d¯eˆ` 2.2. Cho mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K và ∅ 6= S là moˆt taˆp con cu’ a K. Khi d¯ó ˙ ˙ ˙ ˙ n P o i1 in (i) F [S] = ai1···ins1 ··· sn | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N vo´’i quy u’o´’c hu˜’u han s0 = 1, ∀ s ∈ S˙ ; nf o (ii) F (S) = := fg−1 | f, g ∈ F [S], g 6= 0 . Nói cách khác, taˆp F (S) là g ˙ tru’o`’ng các thu’o’ng cu’ a F [S]. Chu´’ng minh. (i) Da˘t ¯ ˙ n X o i1 in E = ai1···ins1 ··· sn | ai1···in ∈ F, sj ∈ S, n ∈ N . hu˜’u han ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng E là vành con nho’ nha´ˆt chu´’a F ∪ S. Rõ ràng F ⊂ E do quy u’o´’c trên. Taˆp E là moˆt vành con vì nó là moˆt nhóm con và d¯óng kín vo´’i ˙ ˙ ˙ phép nhân. Cuo´ˆi cùng moi vành con cu’ a K chu´’a F ∪ S d¯eˆ`u chu´’a các phaˆ`n tu’’ ˙ cu’ a E. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 55 ˙ (ii) Hieˆ’n nhiên do tính nho’ nha´ˆt cu’ a tru’o`’ng các thu’o’ng. √ √ Ví du 9. C = R[i] = R(i). Tu’o’ng tu’, ta có Q[ 2] = Q( 2). ˙ ˙ ´ˆ ’ ’ ˆ 2.2 CAU TRÚC CUA MO’ RONG¯ DO’N ˙ Mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ K goi là mo’’ roˆng d¯o’n ne´ˆu toˆ`n tai α ∈ K ˙ ˙ ˙ ˙ sao cho K = F (α). Phaˆ`n tu’’ α goi là phaˆ`n tu’’ nguyên thu’ y cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ mo’’ roˆng d¯o’n. Chú ý ra˘`ng moˆt mo’’ roˆng d¯o’n có theˆ’ có nhieˆ`u phaˆ`n ˙ ˙ ˙ tu’’ nguyên thu’ y khác nhau. Ví du 10. Các mo’’ roˆng R ⊂ C, Q ⊂ Q(π), Q ⊂ Q(i),F ⊂ F (x) là các mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ d¯o’n. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng. Phaˆ`n tu’’ u ∈ K d¯u’o’c goi là d¯ai so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ trên F ne´ˆu nó là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c f khác 0 trong F [x]. ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ Moˆt phaˆ`n tu’’ u ∈ K không d¯ai so´ˆ trên F d¯u’o’c goi là siêu vieˆt trên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
56 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Mo’’ roˆng K : F d¯u’o’c goi là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ ne´ˆu moi phaˆ`n tu’’ cu’ a ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ K d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên F . ˙ √ √ √ Ví du 11. Các phaˆ`n tu’’ i, 2, 2 + 3 5 d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên Q. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 2.3. Na˘m 1844, Liouville (1809-1882, Pháp) chu´’ng minh su’ toˆ`n tai cu’ a ˙ ˙ ˙ so´ˆ siêu vieˆt (trên Q). Na˘m 1873, Hermite (1822-1901, Pháp) chu´’ng minh so´ˆ e siêu ˙ vieˆt. Sau d¯ó, so´ˆ π siêu vieˆt d¯u’o’c Lindemann (1852-1939, Du´’c) chu´’ng minh na˘m ˙ ˙ ˙ ¯ 1882. Na˘m 1874, Cantor (1845-1918, Pháp) chu´’ng minh ra˘`ng taˆp các so´ˆ d¯ai so´ˆ ˙ ˙ trên Q là d¯e´ˆm d¯u’o’c và taˆp các so´ˆ thu’c R là không d¯e´ˆm d¯u’o’c. Nhu’ the´ˆ, so´ˆ các so´ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ thu’c siêu vieˆt là “nhieˆ`u ho’n” so´ˆ các so´ˆ thu’c d¯ai so´ˆ. Tuy nhiên, nói chung, ra´ˆt khó ˙ ˙ ˙ ˙ d¯eˆ’ chu´’ng minh moˆt so´ˆ thu’c cu theˆ’ là siêu vieˆt. ˙ ˙ ˙ ˙ Na˘m 1934, Gel’fond (1906-1968, Nga) và Schneider d¯oˆc laˆp chu´’ng minh bài toán ˙ ˙ thu´’ 7 noˆ’i tie´ˆng cu’ a Hilbert (1862-1943), ra˘`ng các so´ˆ αβ là siêu vieˆt, trong d¯ó α, β ˙ d¯ai so´ˆ trên Q, α 6= 0, 1 và β ∈/ Q. ˙ Bây gio`’, chúng ta se˜ phân tích sâu ho’n veˆ` ca´ˆu trúc cu’ a các mo’’ roˆng d¯o’n F (u) ˙ u´’ng vo´’i các tru’o`’ng ho’p u d¯ai so´ˆ hoa˘c siêu vieˆt trên F . ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 57 ˙ Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K. Xét d¯oˆ`ng ca´ˆu vành : ˙ ˙ ϕ : F [x] −→ F [u] f 7→ f(u). Rõ ràng ϕ là moˆt toàn ca´ˆu. Xét Ker(ϕ), có 2 tru’o`’ng ho’p nhu’ sau : ˙ ˙ • Ker(ϕ) = 0. Nghı˜a là u siêu vieˆt trên F . Khi d¯ó ϕ là moˆt d¯a˘’ ng ca´ˆu, do d¯ó ˙ ˙ F (x) ∼= F (u). • Ker(ϕ) 6= 0. Nghı˜a là u d¯ai so´ˆ trên F . Do F [x] là mieˆ`n nguyên chính nên ˙ Ker(ϕ) = (f), vo´’i 0 6= f ∈ F [x]. Khi d¯ó f chính là d¯a thu´’c có baˆc nho’ ˙ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm. Suy ra f ba´ˆt kha’ quy và do d¯ó Ker(ϕ) là id¯êan to´ˆi ˙ ˙ d¯ai (xem 0.8). Theo d¯inh lý d¯oˆ`ng ca´ˆu vành, ta có F [x]/Ker(ϕ) ∼= F [u]. Do ˙ ˙ F [x]/Ker(ϕ) là moˆt tru’o`’ng nên F [u] = F (u). ˙ Nhu’ the´ˆ, ta d¯ã chu´’ng minh ke´ˆt qua’ sau d¯ây : Meˆnh d¯eˆ` 2.4. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K. ˙ ˙ ˙ ∼ (i) Ne´ˆu u siêu vieˆt trên F thì F (u) =F F (x), tru’o`’ng các phân thu´’c hu˜’u ty’ trên F . ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
58 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ (ii) Ne´ˆu u d¯ai so´ˆ trên F thì ˙ ∼ F (u) = F [u] =F F [x]/(f) vo´’i f 6= 0 là moˆt d¯a thu´’c có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm. ˙ ˙ ˙ ˙ Nhaˆ n xét 2.5. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F . Khi d¯ó : ˙ ˙ ˙ (i) Da thu´’c 0 6= f ∈ F [x] có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm khi và chı’ khi f ¯ ˙ ˙ ˙ ba´ˆt kha’ quy nhaˆn u làm nghieˆm. Dieˆ`u d¯ó tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i f(u) = 0 và f chia ˙ ˙ ¯ he´ˆt moi d¯a thu´’c nhaˆn u làm nghieˆm. ˙ ˙ ˙ (ii) Ne´ˆu f và g là 2 d¯a thu´’c cu’ a F [x] có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn u làm nghieˆm thì ˙ ˙ ˙ deg(f) = deg(g) và ho´’n the´ˆ f ∼ g. Trong các d¯a thu´’c có baˆc nho’ nha´ˆt nhaˆn ˙ ˙ u làm nghieˆm, toˆ`n tai duy nha´ˆt moˆt d¯a thu´’c có heˆ tu’’ daˆ˜n d¯aˆ`u ba˘`ng 1, d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ó d¯u’o’c goi là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. Baˆc cu’ a f d¯u’o’c goi là baˆc cu’ a u (trên F ). ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Heˆ qua’ 2.6. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F có baˆc n. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Khi d¯ó moi phaˆ`n tu’’ cu’ a F (u) d¯u’o’c vie´ˆt duy nha´ˆt du’o´’i dang ˙ ˙ ˙ n−1 a0 + a1u + ··· + an−1u , ai ∈ F ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 59 ˙ vo´’i moi i = 0, . . . , n − 1. Nói cách khác taˆp {1, u, ··· , un−1} là moˆt co’ so’’ cu’ a ˙ ˙ ˙ F (u): F . Suy ra mo’’ roˆng d¯o’n F (u): F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Goi f là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. Cho α ∈ F (u). Goi ˙ ˙ α = b + b u + ··· + b um. Xét g = b + b x + ··· + b xm. Toˆ`n tai q, r ∈ F [x] 0 1 m 0 1 m ˙ t sao cho g = fq + r vo´’i r = a0 + a1x + ··· + atx , vo´’i t < n. Rõ ràng t α = g(u) = r(u) = a0 + a1u + ··· + atu . Ho’n nu˜’a, ne´ˆu có 2 bieˆ’u dieˆ˜n n−1 n−1 α = a0 + a1u + ··· + an−1u = c0 + c1u + ··· + cn−1u , thì chúng trùng nhau, nghı˜a là a = c , ∀ i = 0, . . . , n − 1. Thaˆt vaˆy, ne´ˆu không i i ˙ ˙ n−1 thì 0 = (a0 − c0) + ··· + (an−1 − cn−1)u trái vo´’i gia’ thie´ˆt u có baˆc n. ˙ Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. Dieˆ`u ngu’o’c lai nói chung không ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ d¯úng. Sau này, ta se˜ xác d¯inh d¯ieˆ`u kieˆn d¯eˆ’ moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han là mo’’ roˆng d¯o’n ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ. ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
60 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Heˆ qua’ 2.7. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u, v ∈ K d¯ai so´ˆ trên F . Ne´ˆu ˙ ˙ ˙ ˙ u và v có cùng moˆt d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u thì toˆ`n tai duy nha´ˆt moˆt F -d¯a˘’ng ca´ˆu tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ϕ : F (u) −→ F (v) sao cho ϕ(u) = v. Chu´’ng minh. Thaˆt vaˆy các mo’’ roˆng d¯o’n F (u) và F (v) d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i F [x]/(f) ˙ ˙ ˙ vo´’i f là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u và v. Ta tha´ˆy ra˘`ng, u´’ng vo´’i moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ trên F có moˆt lo´’p các d¯a thu´’c ba´ˆt ˙ ˙ ˙ ˙ kha’ quy liên ke´ˆt vo´’i nhau trên F nhaˆn u làm nghieˆm. Ngu’o’c lai, ta chu´’ng minh ˙ ˙ ˙ ˙ ra˘`ng : Meˆnh d¯eˆ` 2.8. Cho F là moˆt tru’o`’ng và f ∈ F [x] là moˆt d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy. Khi ˙ ˙ ˙ d¯ó toˆ`n tai moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α): F sao cho α là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Da˘t K := F [x]/(f). Theo (0.8), nha´ˆt a ∈ F vo´’i a ∈ K, ta có K : F ¯ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Da˘t α = x. Rõ ràng f(α) = f = 0 và K = F (α). ˙ ˙ ¯ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 61 ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 2. 1 . Xác d¯inh tính d¯úng, sai cho các meˆnh d¯eˆ` sau : ˙ ˙ a) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u có moˆt mo’’ roˆng không taˆ`m thu’o`’ng. ˙ ˙ ˙ b) Moi tru’o`’ng d¯eˆ`u có moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ không taˆ`m thu’o`’ng. ˙ ˙ ˙ ˙ c) Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯eˆ`u là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ ˙ d) Moi mo’’ roˆng tru’o`’ng d¯eˆ`u là mo’’ roˆng d¯o’n. ˙ ˙ ˙ e) Moi mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ f) Moi mo’’ roˆng d¯o’n siêu vieˆt cu’ a moˆt tru’o`’ng cho tru’o´’c d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ ˙ g) Moi d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u d¯eˆ`u ba´ˆt kha’ quy. ˙ h) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm d¯eˆ`u có ˙ ˙ ˙ ˙ cùng baˆc. ˙ i) Moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm d¯eˆ`u là ˙ ˙ ˙ ˙ d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a u. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
62 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ j) Baˆc cu’ a d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy thuoˆc F [x] nhaˆn u ∈ K ⊃ F làm nghieˆm goi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ là baˆc cu’ a u. (Xem HD 258) ˙ ✍ 2. 2 . Cho K = Q[α] vo´’i α ∈ C là nghieˆm cu’ a d¯a thu´’c x3 − x2 + x + 2. Bieˆ’u dieˆ˜n ˙ các phaˆ`n tu’’ (α2 + α + 1)(α2 − α) và (α − 1)−1 cu’ a K nhu’ các d¯a thu´’c theo α có baˆc không quá 2. (Xem HD 258) ˙ ✍ 2. 3 . Mô ta’ các mo’’ roˆng d¯o’n F (α) vo´’i α là moˆt nghieˆm cu’ a các d¯a thu´’c sau trên ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng chı’ ra : a) x2 − 5 ∈ Q[x] ; b) x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ Q[x] ; 2 c) x + x + 1 ∈ Z2[x] ; d) x3 + 2 ∈ Q[x]. (Xem HD 259) ✍ 2. 4 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han và f ∈ F [x] là moˆt d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy ˙ ˙ ˙ ˙ có deg(f) > 1. Chu´’ng minh ra˘`ng ne´ˆu [K : F ] và deg(f) nguyên to´ˆ cùng nhau thì f không có nghieˆm trong K. (Xem HD 259) ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 63 ˙ ✍ 2. 5 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và [K : F ] = n. Cho f ∈ F [x] là d¯a thu´’c ˙ ˙ ba´ˆt kha’ quy baˆc m tho’ a (m, n) = 1. Chu´’ng minh ra˘`ng f ba´ˆt kha’ quy trên K. ˙ (Xem HD 259) ✍ 2. 6 . Xác d¯inh baˆc và chı’ ra moˆt co’ so’’ cu’ a các mo’’ roˆng tru’o`’ng : ˙ ˙ ˙ ˙ √ √ √ a) Q ⊂ Q( 2, i); b) Q ⊂ Q( 3 5, −2) ; √ √ √ √ c) Q ⊂ Q( 18, 3 2); d) Q ⊂ Q( 27, 3 + 12) ; √ √ √ e) Q ⊂ Q( 18, 4 2); f) Q ⊂ Q(u, 3 2) vo´’i u là nghieˆm cu’ a x4 + 6x2 + 3. ˙ (Xem HD 260) √ ✍ 2. 7 . Xác d¯inh ta´ˆt ca’ tu’ d¯oˆ`ng ca´ˆu cu’ a các tru’o`’ng Q(i), Q( 3 2). (Xem HD 260) ˙ ˙ √ √ √ √ ✍ 2. 8 . Chu´’ng minh ra˘`ng Q( a, b) = Q( a + b), ∀ a, b ∈ N. (Xem HD 260) ’ ✍ 2. 9 . Bieˆu dieˆ˜n các tru’o`’ng con sau cu’ a Z2(x) : 2 a) Z2(x ) ; b) Z2(x + 1). (Xem HD 260) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
64 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 2. 10 . Tìm d¯a thu´ c to´ˆi tieˆ’u cu’ a các phaˆ`n tu’ sau d¯ây trên truo`ng chı’ ra : √ ’ ’ ’ ’ 5 + 1 a) trên Q ; √2 i 3 − 1 b) trên Q ; 2 2 c) α ∈ Z3(t)(α) vo´’i α tho’ a α = t + 1 trên Z3(t) ; √ √ d) 4 5 + 5 trên Q ; √ √ e) 3 2 + 3 4 trên Q ; f) u2 + u vo´’i u là nghieˆm cu’ a x3 + 3x2 − 3 ; ˙ g) ξ + ξ6 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q ; h) ξ + ξ2 + ξ4 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q ; i) ξ2 + ξ5 vo´’i ξ = e2πi/7 trên Q. (Xem HD 260) ✍ 2. 11 . Cho α và β laˆ`n lu’o’t là nghieˆm cu’ a x2 − 2 và x2 − 4x + 2 thuoˆc Q[x]. Chu´’ng ∼˙ ˙ ˙ minh ra˘`ng Q(α) =Q Q(β). (Xem HD 261) ✍ 2. 12 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ khác 2 và f là moˆt d¯a thu´’c baˆc 2 có heˆ tu’’ trong ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 65 ˙ F . Chu´’ng minh ra˘`ng ca’ 2 nghieˆm cu’ a f d¯eˆ`u thuoˆc moˆt mo’’ roˆng d¯o’n F (u) vo´’i ˙ ˙ ˙ ˙ u2 ∈ F . Suy ra tính cha´ˆt “moi d¯a thu´’c baˆc 2 d¯eˆ`u gia’ i d¯u’o’c trên mo’’ roˆng tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ ˙ cu’ a F nhaˆn d¯u’o’c ba˘`ng cách ghép vào các ca˘n baˆc 2 cu’ a các phaˆ`n tu’’ cu’ a F ”. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng to’ ra˘`ng tính cha´ˆt d¯ó không d¯úng vo´’i tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ 2. (Xem HD 261) ˙ √ ✍ 2. 13 . a) Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng baˆc 2 trên Q d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i Q( d) vo´’i ˙ ˙ ˙ d ∈ Z là moˆt so´ˆ không chính phu’o’ng. ˙ b) Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng baˆc 2 trên R d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i C. ˙ ˙ ˙ (Xem HD 262) ✍ 2. 14 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và [K : F ] = n. Chu´’ng minh ra˘`ng baˆc cu’ a ˙ ˙ ˙ phaˆ`n tu’’ u ∈ K là moˆt u’o´’c cu’ a n. Suy ra ne´ˆu n nguyên to´ˆ thì K = F (u) vo´’i ˙ moi u ∈ K \ F . (Xem HD 262) ˙ ✍ 2. 15 . Tìm ta´ˆt ca’ các d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy baˆc 2 trên Z3. Mô ta’ các mo’’ roˆng d¯o’n baˆc 2 ˙ ˙ ˙ ’ trên Z3. Chu´’ng minh ta´ˆt ca’ các mo’’ roˆng d¯o’n d¯ó là d¯a˘ng ca´ˆu vo´’i nhau. ˙ (Xem HD 262) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
66 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 2. 16 . Cho E = F (α) là moˆt mo’’ roˆng thu’c su’ cu’ a F vo´’i α là nghieˆm chung cu’ a x3 −1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ và x4 + x2 + 1. Xác d¯inh d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. (Xem HD 262) ˙ ✍ 2. 17 . Cho i : F −→ E là moˆt d¯a˘’ ng ca´ˆu tru’o`’ng. Goi α là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ˙ f = a + a x + ··· + a xn ∈ F [x] ba´ˆt kha’ quy. Goi β là moˆt nghieˆm cu’ a d¯a 0 1 n ˙ ˙ ˙ thu´’c n i∗f := i(a0) + i(a1)x + ··· + i(an)x ∈ E[x]. Chu´’ng minh toˆ`n tai moˆt mo’’ roˆng j : F (α) −→ E(β) cu’ a i sao cho j(α) = β. ˙ ˙ ˙ Ke´ˆt qua’ trên mo’’ roˆng cho Heˆ qua’ 2.7. (Xem HD 262) ˙ ˙ ✍ 2. 18 . Cho mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α) vo´’i f ∈ F [x] là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. Cho K : F ˙ ˙ là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ a) Ne´ˆu ϕ : F (α) −→ K là moˆt F -d¯oˆ`ng ca´ˆu thì ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a f. ˙ ˙ ˙ b) Ánh xa ϕ 7→ ϕ(α) xác d¯inh moˆt song ánh giu˜’a taˆp các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu tu`’ F (α) ˙ ˙ ˙ ˙ vào K và taˆp các nghieˆm cu’ a f trong K. Suy ra so´ˆ các F -d¯oˆ`ng ca´ˆu ba˘`ng so´ˆ ˙ ˙ nghieˆm phân bieˆt cu’ a f trong K. (Xem HD 262) ˙ ˙ ✍ 2. 19 . Cho mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ F (α) vo´’i f ∈ F [x] là d¯a thu´’c to´ˆi tieˆ’u cu’ a α. Cho ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 2. Mo’’ roˆng d¯o’n 67 ˙ τ : F −→ K là moˆt d¯oˆ`ng ca´ˆu tru’o`’ng. Chu´’ng minh: ˙ a) Ne´ˆu ϕ : F (α) −→ K là moˆt mo’’ roˆng cu’ a τ thì ϕ(α) là moˆt nghieˆm cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ τ f trong K. Xem Bài taˆp 1. 8 veˆ` d¯inh nghı˜a cu’ a τ f. ∗ ˙ ˙ ∗ b) Ánh xa ϕ 7→ ϕ(α) là moˆt song ánh giu˜’a taˆp các mo’’ roˆng cu’ a τ vo´’i taˆp các ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nghieˆm phân bieˆt cu’ a τ f trong K. ˙ ˙ ∗ Bài taˆp này là dang toˆ’ng quát cu’ a bài taˆp trên. (Xem HD 263) ˙ ˙ ˙ * 2. 20 . Chu´’ng minh các mo’’ roˆng Q ⊂ R và Q ⊂ C d¯eˆ`u không pha’ i là các mo’’ roˆng d¯o’n. ˙ ˙ (Xem HD 263) * 2. 21 . Cho F là tru’o`’ng có d¯a˘c so´ˆ khác 2 và cho E : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng có baˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng 2. Da˘t ¯ ˙ S(E) = {a ∈ F ∗ | a = b2, vo´’i b ∈ E}. Chu´’ng minh ra˘`ng: a) S(E) là moˆt nhóm con cu’ a F ∗ chu´’a (F ∗)2; ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
68 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ b) Hai mo’’ roˆng baˆc hai E, E0 cu’ a F là F -d¯a˘’ ng ca´ˆu khi và chı’ khi S(E) = ˙ ˙ S(E0); c) Toˆ`n tai vô han các mo’’ roˆng baˆc hai E1,E2 cu’ a Q sao cho ˙ ˙ ˙ ˙ Ei Ej, ∀ i 6= j. d) Toˆ`n tai duy nha´ˆt (sai khác d¯a˘’ ng ca´ˆu) moˆt tru’o`’ng có d¯úng p2 phaˆ`n tu’’. ˙ ˙ (Xem HD 264) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 69 ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ˆ ˜ ’ ˆ ´ˆ § 3 MO’ RONG HU’U HAN VÀ MO’ RONG¯ DAI SO ˙ ˙ ˙ ˙ ´ˆ ’ ’ ˆ ’ ˆ ´ˆ 3.1 TÍNH CHAT CUA MO’ RONG HU˜’U HAN VÀ MO’ RONG¯ DAI SO ˙ ˙ ˙ ˙ Ta bie´ˆt ra˘`ng moˆt mo’’ roˆng d¯o’n d¯ai so´ˆ là mo’’ roˆng hu˜’u han. Ta có ke´ˆt qua’ toˆ’ng quát ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ho’n sau d¯ây : Meˆnh d¯eˆ` 3.1. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng và u1, . . . , un ∈ K sao cho u1 d¯ai ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ trên F và u d¯ai so´ˆ trên F (u , . . . , u ), ∀ j = 2, . . . , n. Khi d¯ó F (u , . . . , u ) j ˙ 1 j−1 1 n là mo’’ roˆng hu˜’u han trên F . ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta chu´’ng minh ba˘`ng quy nap trên n. Vo´’i n = 1 ta có mo’’ roˆng d¯o’n ˙ ˙ d¯ai so´ˆ nên là mo’’ roˆng hu˜’u han. Gia’ thie´ˆt ke´ˆt qua’ d¯úng cho k.Da˘t ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ E = F (u1, . . . , uk). Ta có [F (u1, . . . , uk+1): F ] = [F (u1, . . . , uk+1): E][E : F ]. Theo gia’ thie´ˆt quy nap, ta có [E : F ] hu˜’u han. Ma˘t khác, ta có mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ ˙ F (u1, . . . , uk+1): E = E(uk+1): E có uk+1 d¯ai so´ˆ trên E nên là mo’’ roˆng ˙ ˙ hu˜’u han. Suy ra F (u1, . . . , uk+1): F là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
70 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.2. Moi phaˆ`n tu’’ cu’ a moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han baˆc n d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ và có baˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ là moˆt u’o´’c cu’ a n. ˙ Chu´’ng minh. Cho K : F là mo’’ roˆng hu˜’u han và d¯a˘t n = [K : F ]. Xét u ∈ K. ˙ ˙ ˙ Taˆp ho’p {1, u, . . . , un} là moˆt taˆp goˆ`m n+1 phaˆ`n tu’’ trong K nên phu thuoˆc tuye´ˆn ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ n tính. Do d¯ó toˆ`n tai quan heˆ tuye´ˆn tính không taˆ`m thu’o`’ng a0+a1u+···+anu = 0. ˙ ˙ n Nói cách khác u là nghieˆm cu’ a d¯a thu´’c f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ F [x] khác ˙ 0. Do d¯ó u d¯ai so´ˆ trên F . Ma˘t khác, ta có ˙ ˙ [K : F ] = [K : F (u)][F (u): F ] = n. Do d¯ó [F (u): F ] | n. Vaˆy baˆc cu’ a u là u’o´’c cu’ a n. ˙ ˙ Sau này (xem 3.6) ta se˜ chı’ ra ra˘`ng toˆ`n tai các mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ không hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ Heˆ qua’ 3.3. Moˆt mo’’ roˆng K : F là mo’’ roˆng hu˜’u han khi và chı’ khi toˆ`n tai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ u , . . . , u ∈ K d¯ai so´ˆ trên F sao cho K = F (u , . . . , u ). 1 n ˙ 1 n Chu´’ng minh. Gia’ su’’ [K : F ] = n. Goi {u1, . . . , un} là moˆt co’ so’’ cu’ a mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ K : F . Theo meˆnh d¯eˆ` trên u , . . . , u d¯ai so´ˆ trên F . Rõ ràng K = F (u , . . . , u ). ˙ 1 n ˙ 1 n Dieˆ`u kieˆn d¯u’ có d¯u’o’c do Meˆnh d¯eˆ` 3.1. ¯ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 71 ˙ ˙ ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.4. Cho F ⊂ K ⊂ L là các mo’’ roˆng tru’o`’ng. Khi d¯ó L : F là mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ d¯ai so´ˆ khi và chı’ khi L : K và K : F là các mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ne´ˆu L : F d¯ai so´ˆ thì rõ ràng các mo’’ roˆng L : K và K : F d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Ngu’o’c lai, gia’ su’’ L : K và K : F d¯ai so´ˆ. Xét u ∈ L. Do u d¯ai so´ˆ trên K nên ta ˙ ˙ ˙ ˙ n có b0 + b1u + ··· + bnu = 0 vo´’i bi ∈ K không d¯oˆ`ng tho`’i ba˘`ng 0. Xét mo’’ roˆng ˙ F (b0, . . . , bn, u): F , theo Meˆnh d¯eˆ` 3.1, d¯ó là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han. Do d¯ó u d¯ai ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ trên F . ` ˆ` ’ ´ˆ ` ´ˆ 3.2 TRU’O’NG CON CÁC PHAN TU’¯DAI SO. TRU’O’NG¯ DÓNG¯ DAI SO. BAO ´ˆ ˙ ˙ ¯DÓNG¯ DAI SO. ˙ Meˆnh d¯eˆ` 3.5. Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng tru’o`’ng. Taˆp ho’p ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ E = {u ∈ K | u d¯ai so´ˆ trên F } ˙ là moˆt tru’o`’ng con cu’ a K chu´’a F , goi là tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a K trên ˙ ˙ ˙ F . Suy ra E : F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Vì moi phaˆ`n tu’’ thuoˆc F d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên F nên F ⊂ E. Cho ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
72 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ u, v ∈ E. Xét mo’’ roˆng F (u, v): F . Theo (3.1) và (3.2), ta có F (u, v) là d¯ai so´ˆ trên ˙ ˙ F . Suy ra F (u, v) ⊂ E. Suy ra u − v, uv ∈ F (u, v) ⊂ E và ne´ˆu u 6= 0 ta có u−1 ∈ F (u, v) ⊂ E. Vaˆy E là tru’o`’ng. ˙ Nhaˆ n xét 3.6. Tru’o`’ng con E các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a R trên Q là moˆt mo’’ roˆng vô ˙ ˙ ˙ ˙ han trên Q. Thaˆt vaˆy, ne´ˆu [E : Q] = n thì deˆ˜ dàng chı’ ra moˆt phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ thuoˆc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ R có baˆc lo´’n ho’n n.Dieˆ`u này mâu thuaˆ’n vo´’i Meˆnh d¯eˆ` 3.2. ˙ ¯ ˙ Moˆt tru’o`’ng K d¯u’o’c goi là d¯óng d¯ai so´ˆ ne´ˆu moi d¯a thu´’c baˆc lo´’n ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ho’n 0 d¯eˆ`u có ít nha´ˆt moˆt nghieˆm trong K. ˙ ˙ Ví du 12. Tru’o`’ng các so´ˆ phu´’c C là moˆt tru’o`’ng d¯óng d¯ai so´ˆ.D¯ ây là moˆt ke´ˆt qua’ coˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯ieˆ’n thu’o`’ng d¯u’o’c goi là Dinh lí co’ ba’ n cu’ a d¯ai so´ˆ. Ta se˜ d¯u’a ra moˆt chu´’ng minh ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ˙ cu’ a d¯inh lí này trong § 9. ˙ Nhaˆ n xét 3.7. Cho K là moˆt tru’o`’ng. Các meˆnh d¯eˆ` sau là tu’o’ng d¯u’o’ng : ˙ ˙ ˙ (i) K d¯óng d¯ai so´ˆ ; ˙ (ii) moi d¯a thu´’c thuoˆc K[x] có baˆc lo´’n ho’n không d¯eˆ`u phân tích thành tích các ˙ ˙ ˙ nhân tu’’ baˆc nha´ˆt ; ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 73 ˙ ˙ ˙ ˙ (iii) moi d¯a thu´’c ba´ˆt kha’ quy trong K[x] d¯eˆ`u là d¯a thu´’c baˆc nha´ˆt ; ˙ ˙ (iv) moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a K d¯eˆ`u trùng vo´’i K. ˙ ˙ ˙ Cho mo’’ roˆng tru’o`’ng K : F . Tru’o`’ng K d¯u’o’c goi là bao d¯óng d¯ai ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ so´ˆ cu’ a F ne´ˆu K d¯óng d¯ai so´ˆ và K : F là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ ˙ Ví du 13. Tru’o`’ng C là bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a R nhu’ng không pha’ i là bao d¯óng d¯ai so´ˆ ˙ ˙ ˙ cu’ a Q. Meˆnh d¯eˆ` 3.8. Cho K : F là mo’’ roˆng tru’o`’ng, trong d¯ó K d¯óng d¯ai so´ˆ. Kí hieˆu E là ˙ ˙ ˙ ˙ tru’o`’ng con các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a K : F . Khi d¯ó E là moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a F . ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ta d¯ã bie´ˆt F ⊂ E là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. Cho ˙ ˙ n f = a0 + a1x + ··· + anx ∈ E[x] là moˆt d¯a thu´’c baˆc lo´’n ho’n 0. Do K d¯óng d¯ai so´ˆ, d¯a thu´’c f có nghieˆm u ∈ K. Rõ ˙ ˙ ˙ ˙ ràng F (a0, . . . , an, u): F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ (Meˆnh d¯eˆ` 3.1) nên u d¯ai so´ˆ trên ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ F . Suy ra u ∈ E. Vaˆy E d¯óng d¯ai so´ˆ. ˙ ˙ Nhaˆ n xét 3.9. Moi tru’o`’ng con cu’ a C d¯eˆ`u toˆ`n tai moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ.Sau này ta se˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ chı’ ra ra˘`ng moi tru’o`’ng d¯eˆ`u toˆ`n tai moˆt bao d¯óng d¯ai so´ˆ, xem (C.1) trong Phu luc. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
74 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Bài taˆp ˙ ✍ 3. 1 . Chon d¯úng, sai cho các meˆnh d¯eˆ` sau : ˙ ˙ a) Moi mo’’ roˆng hu˜’u han cùng baˆc d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu. ˙ ˙ ˙ ˙ b) Các mo’’ roˆng trên cùng moˆt tru’o`’ng F và F -d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i nhau thì có cùng ˙ ˙ baˆc. ˙ c) Moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d) Moi mo’’ roˆng siêu vieˆt d¯eˆ`u là mo’’ roˆng vô han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ e) Moi phaˆ`n tu’’ cu’ a C d¯eˆ`u d¯ai so´ˆ trên R. ˙ ˙ f) Moi mo’’ roˆng cu’ a R d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ g) Moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a Q d¯eˆ`u là mo’’ roˆng hu˜’u han. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ h) Tru’o`’ng con A các phaˆ`n tu’’ d¯ai so´ˆ cu’ a C trên Q là tru’o`’ng con lo´’n nha´ˆt cu’ a C ˙ sao cho nó là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a Q. (Xem HD 264) ˙ ˙ ✍ 3. 2 . Chu´’ng minh ra˘`ng moi mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ cu’ a R d¯eˆ`u d¯a˘’ ng ca´ˆu vo´’i R hoa˘c vo´’i C. ˙ ˙ ˙ ˙ (Xem HD 265) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 3. Mo’’ roˆng hu˜’u han và mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ 75 ˙ ˙ ˙ ˙ ✍ 3. 3 . Xét mo’’ roˆng tru’o`’ng F ⊂ F (x) vo´’i bie´ˆn x siêu vieˆt trên F . Cho mo’’ roˆng ˙ ˙ ˙ M ⊂ F (x) vo´’i M chu´’a F nhu’ moˆt tru’o`’ng con thu’c su’. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ ˙ M ⊂ F (x) là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. (Xem HD 265) ˙ ˙ ˙ ✍ 3. 4 . Xét tính ba´ˆt kha’ quy các d¯a thu´’c sau trên tru’o`’ng d¯u’o’c chı’ ra : √ ˙ a) x3 + 4 trên Q( 11) ; √ b) x2 + 1 trên Q( −2) ; √ √ c) x5 + 5x2 − 25x − 5 trên Q( 2, 3, 1 − i). (Xem HD 265) ✍ 3. 5 . Trong moˆ˜i tru’o`’ng ho’p sau, xét xem u có sinh ra mo’’ roˆng d¯u’o’c chı’ ra cu’ a tru’o`’ng ˙ ˙ ˙ Q hay không ? √ √ √ √ a) u = 2 + 5 trong Q( 2, 5) ; 2 √ √ b) u = + 3 3 trong Q( 3 3) ; √3 2 − 1 √ c) u = √ trong Q( 2) ; 1 + 2 d) u = v2 + v + 1 trong Q(v), vo´’i v là nghieˆm cu’ a f = x3 + 5x − 5. ˙ (Xem HD 265) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
76 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ✍ 3. 6 . Cho F ⊂ K là mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ và f ∈ K[x] là moˆt d¯a thu´’c khác 0. Chu´’ng minh ˙ ˙ ˙ ra˘`ng toˆ`n tai g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là u’o´’c cu’ a g. ˙ (Xem HD 265) ✍ 3. 7 . Cho E : F là moˆt mo’’ roˆng d¯ai so´ˆ. Chu´’ng minh ra˘`ng E là bao d¯óng d¯ai so´ˆ cu’ a ˙ ˙ ˙ ˙ F ne´ˆu moi d¯a thu´’c f ∈ F [x] có baˆc lo´’n ho’n 0 d¯eˆ`u phân rã trong E. ˙ ˙ (Xem HD 266) * 3. 8 . Cho K : F là moˆt mo’’ roˆng hu˜’u han vo´’i F là tru’o`’ng vô han. Chu´’ng minh ra˘`ng ˙ ˙ ˙ ˙ K : F là mo’’ roˆng d¯o’n khi và chı’ khi K chı’ có hu˜’u han các tru’o`’ng con chu´’a F . ˙ ˙ (Xem HD 266) ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 77 ˙ § 4 DU’NG HÌNH BA˘` NG THU’O´’C KE’ VÀ COMPA ˙ Ta se˜ u´’ng dung lí thuye´ˆt veˆ` mo’’ roˆng tru’o`’ng d¯eˆ’ tìm câu tra’ lo`’i cho 3 bài toán ˙ ˙ du’ng hình xua´ˆt hieˆn tho`’i Hy Lap coˆ’ d¯ai và xét bài toán du’ngd¯a giác d¯eˆ`u n-canh ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. ˆ’ ˆ’ 4.1 BA BÀI TOÁN DU’NG HÌNH CO ¯DIEN ˙ Ba bài toán du’ng hình coˆ’ d¯ieˆ’n là: dùng thu’o´’c ke’ và compa d¯eˆ’ ˙ • “chia 3 moˆt góc” cho tru’o´’c ; ˙ • “ga´ˆp d¯ôi moˆt hình laˆp phu’o’ng”, tu´’c là du’ng moˆt hình laˆp phu’o’ng có theˆ’ tích ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ga´ˆp d¯ôi theˆ’ tích moˆt hình laˆp phu’o’ng cho tru’o´’c ; ˙ ˙ • “caˆ`u phu’o’ng d¯u’o`’ng tròn”, tu´’c là du’ng moˆt hình vuông có dieˆn tích ba˘`ng dieˆn ˙ ˙ ˙ ˙ tích cu’ a moˆt hình tròn cho tru’o´’c. ˙ Ta xây du’ng các khái nieˆm co’ ba’ n veˆ` d¯ieˆ’m và so´ˆ du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
78 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ Trong ma˘t pha˘’ ng R2, cho 2 d¯ieˆ’m P = (0, 0), ˙ 0 ’ 2 P1 = (1, 0). Moˆt d¯ieˆm P ∈ R d¯u’o’c goi là du’ng d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) ne´ˆu toˆ`n tai dãy hu˜’u han P0,P1, ,Pn ˙ ˙ ’ sao cho P = Pn và vo´’i moi j ≥ 2, d¯ieˆm Pj xác d¯inh tu`’ ˙ ˙ Sj−1 := {P0,P1, ,Pj−1} bo’’i moˆt trong 3 “phép du’ng” sau : ˙ ˙ • giao cu’ a 2 d¯u’o`’ng tha˘’ ng phân bieˆt, trong d¯ó moˆ˜i d¯u’o`’ng tha˘’ ng ˙ ’ ´ ’ ¯Dinh nghı˜a. d¯i qua 2 d¯ieˆm baˆt ky` cua Sj−1 ; ˙ ’ ’ • giao cu’ a moˆt d¯u’o`’ng tha˘ng qua 2 d¯ieˆm cu’ a Sj−1 và moˆt d¯u’o`’ng ˙ ˙ tròn có tâm tai moˆt d¯ieˆ’m cu’ a S và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng ˙ ˙ j−1 ’ cách giu˜’a 2 d¯ieˆm trong Sj−1 ; • giao cu’ a 2 d¯u’o`’ng tròn phân bieˆt, trong d¯ó moˆ˜i d¯u’o`’ng tròn có ˙ tâm tai moˆt d¯ieˆ’m cu’ a S và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng cách ˙ ˙ j−1 ’ giu˜’a 2 d¯ieˆm trong Sj−1. ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 79 ˙ Moˆt d¯u’o`’ng tha˘’ ng goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu nó d¯i qua 2 d¯ieˆ’m du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. Moˆt d¯oan tha˘’ ng goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu 2 d¯ieˆ’m mút du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. d¯u’o’c. Moˆt d¯u’o`’ng tròn goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu có tâm là moˆt d¯ieˆ’m ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ du’ng d¯u’o’c và có bán kính ba˘`ng khoa’ ng cách giu˜’a 2 d¯ieˆ’m du’ng ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. ˙ Moˆt so´ˆ thu’c x d¯u’o’c goi là du’ng d¯u’o’c (ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa) ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯Dinh nghı˜a. ne´ˆu d¯ieˆ’m (x, 0) ∈ R2 du’ng d¯u’o’c. Rõ ràng, d¯oˆ dài cu’ a moˆt d¯oan ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ tha˘’ ng du’ng d¯u’o’c là moˆt so´ˆ thu’c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Moˆt góc β goi là du’ng d¯u’o’c ne´ˆu cos β (tu’o’ng d¯u’o’ng sin β) là so´ˆ ¯Dinh nghı˜a. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ thu’c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ 2 ’ ¯Dinh lí 4.1. Cho P = (α, β) ∈ R là moˆt d¯ieˆm du’ng d¯u’o’c. Khi d¯ó ˙ ˙ ˙ ˙ [Q(α, β): Q] = 2r vo´’i r ∈ N. Chu´’ng minh. Cho P0,P1, ,Pn = P là moˆt dãy hu˜’u han nhu’ trong d¯inh nghı˜a ˙ ˙ ˙ ’ cu’ a d¯ieˆm du’ng d¯u’o’c . Da˘t K0 = K1 = Q và Kj = Kj−1(αj, βj) vo´’i 2 ≤ j ≤ n ˙ ˙ ¯ ˙ và Pj = (αj, βj). Deˆ˜ dàng tha´ˆy ra˘`ng các so´ˆ thu’c αj, βj là nghieˆm cu’ a moˆt d¯a thu´’c ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
80 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ t baˆc 1 hoa˘c baˆc 2 có heˆ tu’’ trong Kj−1. Do d¯ó [Kj : Kj−1] = 2 vo´’i t ∈ N. Suy ra ˙ ˙ ˙ ˙ m [Kn : Q] = [Kn : Q(α, β)][Q(α, β): Q] = 2 vo´’i m ∈ N. Do d¯ó [Q(α, β): Q] = 2r vo´’i r ∈ N. Heˆ qua’ 4.2. Không theˆ’ chia ba góc π/3 ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. ˙ √ ¡ ¢ Chu´’ng minh. Dieˆ’m (−1/2, 3/2) = cos(π/3), sin(π/3) là du’ng d¯u’o’c. Da˘t ¯ ˙ ˙ ¯ ˙ u = cos(π/9), v = sin(π/9). Chia ba góc π/3 tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i vieˆc d¯ieˆ’m (u, v) ˙ du’ng d¯u’o’c. Ta có ˙ ˙ cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4 cos3(π/9) − 3 cos(π/9). Hay 1/2 = 4u3 − 3u. Suy ra 8u3 − 6u − 1 = 0.D¯ a thu´’c 8x3 − 6x − 1 ba´ˆt kha’ quy trên Q nên [Q(u): Q] = 3. Tu`’ Dinh lí 4.1, suy ra (u, v) không du’ng d¯u’o’c. Nói ¯ ˙ ˙ ˙ cách khác không theˆ’ chia ba góc π/3 ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa. Dùng phu’o’ng pháp tu’o’ng tu’, ta có các ke´ˆt qua’ sau d¯ây : ˙ √ Heˆ qua’ 4.3. Không theˆ’ du’ng d¯u’o’c d¯ieˆ’m ( 3 2, 0). Nói cách khác không theˆ’ ga´ˆp d¯ôi ˙ ˙ ˙ hình laˆp phu’o’ng có canh ba˘`ng 1. ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 81 ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 4. ˙ √ Heˆ qua’ 4.4. Không theˆ’ du’ng d¯u’o’c d¯ieˆ’m ( π, 0). Nói cách khác không theˆ’ du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c hình vuông có dieˆn tích ba˘`ng dieˆn tích hình tròn bán kính 1. ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 5. ˙ ˆ` ˆ ˆ` ˆ’ ˆ` ˘` 4.2¯ DIEU KIEN CAND¯ E ¯DA GIÁC¯ DEU P CANH DU’NG¯ DU’O’C BANG ˙ ˙ ˙ ˙ THU’O´’C KE’ VÀ COMPA Ta nha˘´c lai các ke´ˆt qua’ so’ ca´ˆp quen thuoˆc trong du’ng hình. ˙ ˙ ˙ Boˆ’ d¯eˆ` 4.5. (i) Trung d¯ieˆ’m cu’ a d¯oan tha˘’ng du’ng d¯u’o’c là du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (ii) Ne´ˆu 3 d¯ı’nh cu’ a moˆt hình bình hành du’ng d¯u’o’c thì d¯ı’nh còn lai du’ng d¯u’o’c ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (tu’o’ng d¯u’o’ng vo´’i phép du’ng d¯u’o`’ng tha˘’ng song song vo´’i moˆt d¯u’o`’ng tha˘’ng cho ˙ ˙ tru’o´’c qua moˆt d¯ieˆ’m cho tru’o´’c). ˙ Chu´’ng minh. Xem Bài taˆp 4. 6 ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
82 Chu’o’ng 1. MO’’ ROˆ NG TRU’O`’NG ˙ ’ Boˆ d¯eˆ` 4.6. Ne´ˆu (a, 0) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c thì (0, a) và (−a, 0) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Tru’o´’c tiên ta du’ng truc tung. Dieˆ’m (−1, 0) du’ng d¯u’o’c vì nó là giao ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ cu’ a truc hoành vo´’i d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) và d¯i qua (1, 0). Truc tung là d¯u’o`’ng ˙ ˙ tha˘’ ng d¯i qua giao d¯ieˆ’m cu’ a 2 d¯u’o`’ng tròn laˆ`n lu’o’t có tâm (1, 0) và (−1, 0) bán kính ˙ ba˘`ng 2. Dieˆ’m (0, a) du’ng d¯u’o’c vì nó là moˆt trong 2 giao d¯ieˆ’m cu’ a truc tung vo´’i d¯u’o`’ng ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ tròn tâm (0, 0) d¯i qua (a, 0). Ngoài ra d¯u’o`’ng tròn này ca˘´t truc hoành tai d¯ieˆ’m ˙ ˙ (−a, 0) nên d¯ieˆ’m (−a, 0) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Meˆnh d¯eˆ` 4.7. ¯Dieˆ’m (a, b) du’ng d¯u’o’c khi và chı’ khi a và b du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Ne´ˆu a và b du’ng d¯u’o’c, tu´’c là các d¯ieˆ’m (a, 0) và (b, 0) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Suy ra d¯ieˆ’m (0, b) du’ng d¯u’o’c. Dieˆ’m (a, b) du’ng d¯u’o’c vì nó là d¯ieˆ’m thu´’ tu’ cu’ a hình ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ bình hành có 3 d¯ieˆ’m (0, 0), (a, 0) và (0, b) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Ngu’o’c lai, ne´ˆu (a, b) là d¯ieˆ’m du’ng d¯u’o’c. Xét 2 d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) d¯i ˙ ˙ ˙ ˙ qua (a, b). Giao d¯ieˆ’m cu’ a chúng là (a, b) và (a, −b).D¯ u’o`’ng tha˘’ ng d¯i qua 2 d¯ieˆ’m này ca˘´t truc hoành tai (a, 0) nên (a, 0) du’ng d¯u’o’c. Dieˆ’m (0, b) du’ng d¯u’o’c vì nó ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú
§ 4. Du’ng hình ba˘`ng thu’o´’c ke’ và compa 83 ˙ là d¯ieˆ’m thu´’ tu’ cu’ a hình bình hành có 3 d¯ieˆ’m (0, 0), (a, 0) và (a, b) du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ De´ˆn lu’o’t d¯ieˆ’m (b, 0) du’ng d¯u’o’c vì nó là moˆt trong các giao d¯ieˆ’m cu’ a truc hoành ¯ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ và d¯u’o`’ng tròn tâm (0, 0) d¯i qua (b, 0). ¯Dinh lí 4.8. Taˆp ta´ˆt ca’ các so´ˆ du’ng d¯u’o’c là moˆt tru’o`’ng con cu’ a R. Ho’n nu˜’a, ne´ˆu c ˙ ˙ √ ˙ ˙ ˙ du’ng d¯u’o’c và c > 0 thì c du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ ˙ ˙ Chu´’ng minh. Goi E là taˆp ta´ˆt ca’ các so´ˆ du’ng d¯u’o’c. Cho a, b ∈ E. Ta d¯ã chu´’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ¡ ¢ minh −a ∈ E. Do (a, 0) và (b, 0) du’ng d¯u’o’c, d¯ieˆ’m giu˜’a Q = a+b, 0 du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ 2 ˙ ˙ Giao d¯ieˆ’m cu’ a truc hoành và d¯u’o`’ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0). Do d¯ó ˙ a + b du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Deˆ’ chu´’ng minh ab ∈ E, ta chı’ caˆ`n xét tru’o`’ng ho’p ab 6= 0 và b 6= 1. Do (b − 1) ¯ ˙ du’ng d¯u’o’c nên d¯ieˆ’m (0, b − 1) du’ng d¯u’o’c. Theo Boˆ’ d¯eˆ` 4.5, d¯ieˆ’m (a, b − 1) du’ng ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d¯u’o’c. Giao d¯ieˆ’m cu’ a d¯u’o`’ng tha˘’ ng qua (0, b) và (a, b − 1) vo´’i truc hoành là d¯ieˆ’m ˙ ˙ (ab, 0). Vaˆy ab du’ng d¯u’o’c. ˙ ˙ Ta chu´’ng minh ra˘`ng a−1 ∈ E ne´ˆu a 6= 0. Do a ∈ E, ta có 1 − a ∈ E, hay d¯ieˆ’m (0, 1 − a) du’ng d¯u’o’c. Theo Boˆ’ d¯eˆ` 4.5, d¯ieˆ’m (1, 1 − a) du’ng d¯u’o’c. Du’o`’ng tha˘’ ng qua ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ (0, 1) và (1, 1 − a) ca˘´t truc hoành tai (a−1, 0). Vaˆy a−1 ∈ E. ˙ ˙ ˙ ✎ Nguyeˆ˜n Chánh Tú