›
›

Giáo trình Giải tích mạng (Bản đẹp)

pdf 127 trang ngocly 1800
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích mạng (Bản đẹp)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_mang_ban_dep.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích mạng (Bản đẹp)

  1. Giáo trình Giải tích mạng
  2. GIẢI TÍCH MẠNG GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NÓI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện có thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nó đòi hỏi phải có một kiến thức tổng hợp và có những phương pháp tinh toán phù hợp. Giải tích mạng là một môn học còn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính toán hệ thống điện”. Trong đó, đề cập đến những bài toán mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để có một cách nhìn cụ thể về các bài toán này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài toán cũng như việc ứng dụng chúng thông qua công cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, công việc mô phỏng các phần mục của bài toán đã được minh hoạ. Nội dung gồm có 8 chương. 1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng. 2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng. 3. Mô hình hóa hệ thống điện. 4. Graph và các ma trận mạng điện. 5. Thuật toán dùng để tính ma trận mạng. 6. Tính toán trào lưu công suất. 7. Tính toán ngắn mạch. 8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi có sự cố trong mạng. II. Phần lập trình: gồm có bốn phần mục: 1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể 2. Tính toán ngắn mạch. 3. Tính toán trào lưu công suất lúc bình thường và khi sự cố. 4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi có sự cố trong mạng điện. GV: Lê Kim Hùng Trang 1
  3. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng. 1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1. Kí hiệu ma trận: Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau: a11 a 12 a1n a a a A = 21 22 2n = []a ji am1 a m 2 amn Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng. Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột. 2 Ví dụ: A = 1 và A = 2 3 1 3 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Ví dụ: a11 a 12 a 13 A = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j. a11 a 12 a 13 A = 0 a22 a 23 0 0 a33 Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j. a11 0 0 A = a21 a 22 0 a31 a 32 a 33 Trang 2
  4. GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với i≠ j ). a11 0 0 A = 0a22 0 0 0 a33 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với i≠ j ). 1 0 0 U = 0 1 0 0 0 1 Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0. Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại). a11 a 12 T a11 a 21 a 31 A = a21 a 22 và A = a12 a 22 a 32 a31 a 32 T Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, A hoặc A’ Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji. Ví dụ: 1 5 3 A = 5 2 6 3 6 4 Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi. Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Ví dụ: 0 5− 3 A = − 5 0 6 3− 6 0 Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực). Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp. Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A* j3 5 − j3 5 A = và A∗ = 4+j 2 1 + j 1 4−j 2 1 − j 1 -Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A* -Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*. Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t. 4 2− j 3 A = 2+ j 3 5 Trang 3
  5. GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = - (A*)t. 0 2− j 3 A = −2 − j 3 0 Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A*) t. A = U = A. (A*)t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao. Bảng 1.1: Các dạng ma trận. Kí hiệu Dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận A = -A Không A = (A*)t Hermitian A = At Đối xứng A = - (A*)t Xiên- Hermitian A = - At Xiên-đối xứng At A = U Trực giao A = A* Thực (A*)t A = U Đơn vị A = - A* Hoàn toàn ảo 1.2. CÁC ĐỊNH THỨC: 1.2.1. Định nghĩa và các tính chất của định thức: Cho hệ 2 phương trình tuyến tính a11x1 + a12x2 = k1 (1) (1.1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Rút x2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được: a22 k 1− a 12 k 2 x1 = a11 a 22− a 12 a 21 Suy ra: a11 k 2− a 21 k 1 x2 = a11 a 22− a 12 a 21 Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đó |A| là định thức. a a |A | = 11 12 a21 a 22 Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có: k1 a 12 a11 k 1 k2 a 22 a22 k 1− a 12 k 2 a21 k 2 a11 k 2− a 21 k 1 x1 = = và x2 = = A a11 a 22− a 12 a 21 A a11 a 22− a 12 a 21 Tính chất của định thức: a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu: - Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0. - Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau. - Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột). b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) = - det(A). c. Giá trị của định thức không thay đổi nếu: - Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau. - Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó. Trang 4
  6. GIẢI TÍCH MẠNG d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k. e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|. f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|. 1.2.2. Định thức con và các phần phụ đại số. Xét định thức: a11 a 12 a 13 A = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1 [ k [ n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A. Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù có kèm theo dấu (-1)i+j. 2+ 1 a12 a 13 a12 a 13 A21 =( − 1) = − a32 a 33 a32 a 33 Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ: - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|. - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0. 1.3. CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN. 1.3.1. Các ma trận bằng nhau: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (aij = bịj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n). 1.3.2. Phép cộng (trừ) ma trận. Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[aij ]mn và B[bij ]mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cij ]mn với cij = aij6 bij Mở rộng: R = A + B + C + + N với rij = aij 6 bij6 cij 6 6 nij . Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A. Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C. 1.3.3. Tích vô hướng của ma trận: k.A = B. Trong đó: bij = k .aij ∀ i & j . Tính giao hoán: k.A = A.k Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k. (với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ). 1.3.4. Nhân các ma trận: Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là: Trang 5
  7. GIẢI TÍCH MẠNG cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + + aiq .bqj Ví dụ: a11 a 12 a11 b 11+ a 12 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 b11 b 12 AB. = a21 a 22 x = a21 b 11+ a 22 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 b21 b 22 a31 a 32 a31 b 11+ a 32 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B ≠ B.A Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng: A (B + C) = A.B + A.C. Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C. Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0. Tích C.A = C.B khi A = B. Nếu C = A.B thì CT = BT.AT 1.3.5. Nghịch đảo ma trận: Cho hệ phương trình: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 (1.2) a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viết dưới dạng ma trận A.X = Y Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A. Do đó: X = B.Y (1.3) Nếu định thức của ma trận A ≠ 0 thì có thể xác định xi như sau: A A A x =11 y +21 y + 31 y 1 A 1 A 2 A 3 A A A x =12 y +22 y + 32 y 2 A 1 A 2 A 3 A A A x =13 y +23 y + 33 y 3 A 1 A 2 A 3 Trong đó: A11, A12, A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận A. Ta có: A B = ji i, j = 1, 2, 3. ji A Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1. A.X = Y A-1.A.X = A-1 .Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 .Y Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến). Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất. Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nếu AT khả đảo thì (AT)-1 cũng khả đảo: (At)-1 = (A-1)t Trang 6
  8. GIẢI TÍCH MẠNG 1.3.6. Ma trận phân chia: A1 A2 A = A3 A4 Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng. A1 A2 B1 B2 A 6B A 6B 1 1 2 3 6 = A3 A4 B3 B4 A36B3 A46B3 Phép nhân được biểu diễn như sau: A1 A2 B1 B2 C1 C2 = A A B B C C 3 4 3 4 3 4 Trong đó: C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Tách ma trận chuyển vị như sau: TT A1 A2 A 1 A 2 AT A = = T T A3 A4 A 3 A 4 Tách ma trận nghịch đảo như sau: A A B1 B2 1 2 -1 A = A = A3 A4 B3 B4 Trong đó: -1 -1 B1B = (A1 - A2.A4 .A3) -1 B2 = -B1.A2.A4 -1 B3 = -A4 .A3.B1 -1 -1 B4 = A4 - A4 .A3.B2 (với A1 và A4 phải là các ma trận vuông). 1.4. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN: 1.4.1. Sự phụ thuộc tuyến tính: Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng. {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phương trình vectơ cột thuần nhất. Trang 7
  9. GIẢI TÍCH MẠNG p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = 0 (1.4) Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, , n). Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu. qr = 0 (r = 1, 2, , n). q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = 0 (1.5) Nếu pk ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính. Nếu qr ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính. Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0. 1.4.2. Hạng của ma trận: Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0. 0 [ r(A) [ min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n. 1.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 (1.6) am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong đó: ai j: Là hệ số thực hoặc phức ; xj: Là biến số ; yj: Là hằng số của hệ. Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: A. X = Y (1.7) Ma trận mở rộng: a11 a 12 a1n y 1 a a a y Aˆ = 21 22 2n 2 am1 a m 2 amn y m Nếu yi = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0. Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ yi ≠ 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng. Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng. Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ xác định). Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý. Trang 8
  10. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 2.1. GIỚI THIỆU. Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nó không có thể giải chính xác bằng giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hóa. Theo cách đó, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan trọng trong giải tích số. Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm tích phân số là quá trình từng bước chính xác chuổi giá trị cho mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá trị của biến độc lập trong một khoảng cố định. Độ chính xác cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn và kích thước của khoảng giá trị. Một số phương pháp thường xuyên dùng được trình bày trong các mục sau đây. 2.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. 2.2.1 Phương pháp Euler: Cho phương trình vi phân bậc nhất. dy = f (x, y) (2.1) dx y = g(x,c) y Hình 2.1: Đồ thị của hàm số từ bài giải phương trình vi phân y0 ∆y ∆x x 0 x 0 Khi x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ có dạng: y = g(x,c) (2.2) Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết trong điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình bày trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn có thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đó, tại mỗi điểm riêng biệt (x0,y0) trên đường cong, ta có: dy ∆y ≈ ∆x dx 0 dy Với là độ dốc của đường cong tại điểm (x0,y0). Vì thế, ứng với giá trị ban đầu x0 và y0, giá dx 0 trị mới của y có thể thu được từ lý thuyết là ∆x: Trang 12
  11. GIẢI TÍCH MẠNG dy y1 = y0 + ∆y hay y1 = y0 + h (đặt h = ∆x) dx 0 Khi ∆y là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá trị thứ hai của y có thể xác định như sau. dy y2 = y1 + h dx 1 y y= g(x,c) y3 y2 Hình 2.2 : Đồ thị của lời giải xấp xỉ y cho phương trình vi phân bằng 1 phương pháp Euler y0 h h h dy x Khi 0= f (x1, y1 ) x0 x1 x2 x3 dx 1 Quá trình có thể tính tiếp tục, ta được: dy y3 = y2 + h dx 2 dy y4 = y3 + h dx 3 Bảng giá trị x và y cung cấp cho toàn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2. 2.2.2. Phương pháp biến đổi Euler. Trong khi ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx của khoảng giả thiết tính toán bắt đầu vượt ra ngoài khoảng cho phép. Sự thay thế đó có thể thu được bằng cách tính toán giá trị mới của y cho x1 như trước. x1 = x0 + h (0) dy y1 = y0 + h dx 0 (0) dy Dùng giá trị mới x1 và y1 thay vào phương trình (2.1) để tính toán gần đúng giá trị của tại dx 1 cuối khoảng. (0) dy (0) = f (x1 , y1 ) dx 1 (0) (1) dy dy Sau đó tận dụng giá trị y1 có thể tìm thấy bởi dùng trung bình của và như sau: dx 0 dx 1 Trang 13
  12. GIẢI TÍCH MẠNG ⎛ dy dy (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (2) Dùng x1 và y1 , giá trị xấp xỉ thứ ba y1 có thể thu được bởi quá trình tương tự như sau: ⎛ dy dy (1) ⎞ ⎜ + ⎟ (2) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta được: ⎛ dy dy (2) ⎞ ⎜ + ⎟ (3) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Quá trình có thể tính tiếp tục cho đến khi hai số liền nhau ước lượng cho y là ngang bằng nằm trong phạm vi mong muốn. Quá trình hoàn toàn lặp lại thu được giá trị y2. Kết quả thu được có sự chính xác cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa trong hình 2.3. y = g(x,c) y (0) dy y dx 1 2 Hình 2.3 : Đồ thị của lời giải xấp xỉ cho phương y1 trình vi phân bằng phương ⎛ (0) ⎞ ⎜ dy dy ⎟ pháp biến đổi Euler. + ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y0 ⎜ ⎟ dy 2 ⎜ ⎟ dx ⎜ ⎟ h 0 ⎝ ⎠ x 0 x0 x1 Phương pháp Euler có thể ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân cùng lúc. Cho hai phương trình: dy = f (x, y,z) dx 1 dz = f (x, y,z) dx 2 Với giá trị ban đầu x0, y0 và z0 giá trị mới y1 sẽ là: dz y1 = y0 + h dx 0 dy Với: = f1 (x0 , y0 ,z 0 ) dx 0 Tương tự. Trang 14
  13. GIẢI TÍCH MẠNG dz z1 = z0 + h dx 0 dz Với: = f 2 (x0 , y0 , z0 ) dx 0 Cho số gia tiếp theo, giá trị x1 = x0 + h, y1 và z1 dùng để xác định y2 và z2. Trong phương pháp biến đổi Euler y1 và z1 dùng để xác định giá trị đạo hàm tại x1 cho đánh giá gần đúng cấp hai (1) (1) y1 và z1 . 2.2.3. Phương pháp Picard với sự xấp xỉ liên tục. Cơ sở của phương pháp Picard là giải chính xác, bởi sự thay thế giá trị y như hàm của x trong phạm vi giá trị x đã cho. y ⎟ g(x) Đây là biểu thức ước lượng bởi sự thay thế trực tiếp giá trị của x để thu được giá trị tương ứng của y. Cho phương trình vi phân (2.1). dy = f(x,y)dx Và tích phân giữa khoảng giới hạn cho x và y. y x 1 dy = 1 f (x, y)dx ∫∫y x 0 0 x1 Thì y1 − y0 = f (x, y)dx ∫ x 0 x1 Hay y1 = y0 + f (x, y)dx (2.3) ∫ x 0 Số hạng tích phân trình bày sự thay đổi trong kết quả của y với sự thay đổi của x từ x0 đến x1. Lời giải có thể thu được bởi sự đánh giá tích phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tục. Ta có thể xem giá trị của y như hàm của x có thể đã thu được bởi sự thay thế y dưới dạng tích phân với y0, cho giá trị ban đầu như sau: x (1) 1 y1 = y0 + f (x, y0 )dx ∫ x 0 Thực hiện biểu thức tích phân với giá trị mới của y bây giờ được thay thế vào phương trình (2.3) thu được lần xấp xỉ thứ hai cho y như sau: x (2) 1 (1) y1 = y0 + f (x, y1 ) dx ∫ x 0 Quá trình này có thể lặp lại trong thời gian cần thiết để thu được độ chính xác mong muốn Thật vậy, ước lượng tích phân luôn luôn phức tạp thế nhưng phải giả thiết cho biến cố định. Khó khăn và cần thực hiện nhiều lần tích phân, nên đây là mặt hạn chế sự áp dụng của phương pháp này. Phương pháp Picard có thể áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình như sau: dy = f (x, y, z) dx 1 dz = f (x, y, z) dx 2 Theo công thức, ta có: x1 y1 = y0 + f1 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 x1 z1 = z0 + f 2 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 Trang 15
  14. GIẢI TÍCH MẠNG 2.2.4. Phương pháp Runge- Kutta. Trong phương pháp Runge- Kutta sự thay đổi giá trị của biến phụ thuộc là tính toán từ các công thức đã cho, biểu diễn trong điều kiện ước lượng đạo hàm tại những điểm định trước. Từ mỗi giá trị duy nhất chính xác của y cho bởi công thức, phương pháp này không đòi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Công thức rút gọn gần đúng xuất phát bởi sự thay thế khai triển chuổi Taylor. Runge- Kutta xấp xỉ bậc hai có thể viết trong công thức. y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4) Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Các hệ số a1, a2, b1 và b2 là chính xác. Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được: ⎧ ∂f ∂f ⎫ k2 = ⎨ f (x0 , y0 ) + b1 h + b2 k1 + ⎬ h x y ⎩ ∂ 0 ∂ 0 ⎭ Thay thế hai điều kiện k1 và k2 vào trong phương trình (2.4), thu được: ∂f 2 ∂f 2 y1 = y0 + (a1 + a2 ) f (x0 , y0 )h + a2b1 h + a2b2 f (x0 , y0 ) h (2.5) ∂x 0 ∂y 0 Khai triển chuổi Taylor của y tại giá trị (x0,y0) là: dy d 2 y h 2 y = y + h + + (2.6) 1 0 dx 2 2 0 dx 0 dy d 2 y ∂f ∂f Từ = f (x0 , y0 ) và 2 = + f (x0 , y0 ) dx 0 dx 0 ∂x 0 ∂y 0 Phương trình (2.6) trở thành. ∂f h 2 ∂f h 2 y 1 = y 0 + f (x 0 , y 0 )h + + f (x 0 , y 0 ) (2.7) ∂x 0 2 ∂y 0 2 Cân bằng các hệ số của phương trình (2.5) và (2.7), ta được: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2. Chọn giá trị tùy ý cho a1 a1 = 1/2 Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1. Thay thế giá trị này vào trong phương trình (2.4), công thức gần đúng bậc hai Runge- Kutta là: y = y + 1 k + 1 k 1 0 2 1 2 2 Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vì thế. ∆y = 1 (k + k ) 2 1 2 Áp dụng của phương pháp Runge-Kutta cho việc xấp xỉ bậc hai đòi hỏi sự tính toán của 3 k1 và k2. Sai số trong lần xấp xỉ là bậc h bởi vì chuổi đã cắt sau điều kiện bậc hai. Tông quát công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là: y1 = y 0 + a1 k1 + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 (2.8) Với k1 = f(x0,y0)h Trang 16
  15. GIẢI TÍCH MẠNG k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8) thu được là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành. y = y + 1 (k + 2k + 2k + k ) 1 0 6 1 2 3 4 Với k1 = f(x0,y0)h h k k = f (x + , y + 1 )h 2 0 2 0 2 h k k = f (x + , y + 2 )h 3 0 2 0 2 k4 = f (x0 + h, y0 + k3 )h Như vậy, sự tính toán của ∆y theo công thức đòi hỏi sự tính toán các giá trị của k1, k2, k3 và k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai số trong sự xấp xỉ là bậc h5. Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương trình vi phân. dy = f (x, y, z) dx dz = g(x, y, z) dx Ta co: y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Với: k1= f(x0,y0,z0)h h k l k = f (x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l k = f (x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h h k l l = g(x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l l = g(x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h Trang 17
  16. GIẢI TÍCH MẠNG 2.2.5. Phương pháp dự đoán sửa đổi. Phương pháp dựa trên cơ sở ngoại suy, hay tích phân vượt trước, và lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân. dy = f (x, y) (2.9) dx Được gọi là phương pháp dự đoán sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự dy đoán sửa đổi là xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được từ dx n+1 phương trình vi phân và sửa đổi giá trị yn+1 xấp xỉ công thức chính xác. Loại đơn giản của công thức dự đoán phương pháp của Euler là: yn+1 = yn + yn’h (2.10) ' dy Với: yn = dx n Công thức chính xác không dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, trong phương pháp biến đổi Euler giá trị gần đúng của yn+1 thu được từ công thức dự đoán (2.10) và giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1 thu được từ công thức biến đổi của phương pháp là: h y = y + (y' + y' ) (2.11) n+1 n n+1 n 2 Giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) thu được có sự đánh giá chính xác hơn cho y’n+1, nó luôn luôn thay thế trong phương trình (2.11) làm cho yn+1 chính xác hơn. Quá trình tiếp tục lặp lại cho đến khi hai giá trị tính toán liên tiếp của yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá trị mong muốn chấp nhận được. Phương pháp dự đoán biến đổi kinh điển của Milne. Dự đoán của Milne và công thức biến đổi, theo ông là: 4h y (0) = y + (2y' −y' +2y' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n h Và y = y + (y' +4y' + y' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 (0) Với: y'n+1 = f (xn+1 , yn+1 ) Bắt đầu của sự tính toán đòi hỏi biết bốn giá trị của y. Có thể đã tính toán bởi Runge- Kutta hay một số phương pháp số trước khi sử dụng công thức dự đoán sửa đổi của Milne. Sai số trong phương pháp là bậc h5. Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên chỉ vài lần lặp là đòi hỏi thu được yn+1 hoàn toàn chính xác như mong muốn. Phương pháp có thể mở rộng cho phép giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Vì vậy, thay thế giá trị cho tất cả các biến phụ thuộc vào trong mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá đạo hàm tại (xn+1, yn+1). Trang 18
  17. GIẢI TÍCH MẠNG 2.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO. Trong kỹ thuật trước đây mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng có thể áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, cho phương trình vi phân bậc hai. d 2 y dy a + b + cy = 0 dx 2 dx dy Với điều kiện ban đầu x0, y0, và thì phương trình có thể được viết lại như hai dx 0 phương trình vi phân bậc nhất. dy = y' dx d 2 y dy' by'+cy = = − dx 2 dx a Một trong những phương pháp mô tả trước đây có thể là việc làm đi tìm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời. Theo cách tương tự, một vài phương trình hay hệ phương trình bậc cao có thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất. 2.4. VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. Giải phương trình vi phân sẽ minh họa bằng sự tính toán dòng điện cho mạch RL nối tiếp. t = 0 R Hình 2.4: Sự biểu diễn của mạch i(t) điện RL e(t) L Cho mạch điện RL trong hình 2.4 sức điện động hiệu dụng khi đóng khóa là: e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2 e(t) = 1 t > 0,2 Điện trở cho theo đơn vị ohms là. R = 1+3i2 Và điện cảm theo đơn vị henrys là. L = 1 Tìm dòng điện trong mạch điện theo các phương pháp sau: Euler’s Biến đổi Euler. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta Milne’s Picard’s Trang 19
  18. GIẢI TÍCH MẠNG Bài giải: Phương trình vi phân của mạch điện là. di L + Ri = e(t) dt Thay thế cho R và L ta có: di + (1+ 3i 2 )i = e(t) dt Điều kiện ban đầu tại t = 0 thì e0 = 0 và i0 = 0. Khoảng chọn cho biến độc lập là: ∆t = 0,025. a. Phương trình theo phương pháp Euler là. di ∆in = ∆t dt n in+1 = in +∆in di 2 Với = en − (1+ 3in )in dt n dy Thay thế giá trị ban đầu vào trong phương trình vi phân, = 0 và ∆i0. Vì thế, dòng dt 0 di 2 điện i1 = 0. Tại t1 = 0,025; e1 = 0,125 và = 0,125 −{1+ 3(0) }0 = 0,125 dt 1 ∆i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thì i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313 Lập bảng kê kết quả lời giải đưa vào trong bảng 2.1 Bảng 2.1: Giải bằng phương pháp Euler Thời gian Sức điện động Dòng n tn en di di 2 in = in−1 + ∆t = en − (1 + 3in )in dt n−1 dt n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 1 0,025 0,125 0,00000 0,12500 2 0,050 0,250 0,00313 0,24687 3 0,075 0,250 0,00930 0,36570 4 0,100 0,375 0,01844 0,48154 5 0,125 0,500 0,03048 0,59444 6 0,150 0.625 0,4534 0,70438 7 0,175 0,750 0,06295 0,81130 8 0,200 0,875 0,08323 0,91504 9 0,225 1,000 0,10611 0,89031 10 0,250 1,000 0,12837 0,86528 11 0,275 1,000 0,15000 0,83988 12 0,300 1,000 0,17100 Trang 20
  19. GIẢI TÍCH MẠNG b. Phương trình của phương pháp biến đổi Euler là. (0) di ∆in = ∆t dt n (0) (0) in+1 = in + ∆in ⎛ di di (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dt n dt n+1 ⎟ ∆in = ⎜ ⎟∆t ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (1) in+1 = in + ∆in (0) di (0) 2 (0) Với = en+1 −{1+ 3(in+1) }in+1 dt n+1 di Thay thế giá trị ban đầu e0 = 0 và i0 = 0 vào trong phương trình vi phân = 0 dx 0 (0) (0) Do đó: ∆i0 = 0; i1 = 0 . (0) Thay thế vào trong phương trình vi phân i1 = 0 và e1 = 0,125 di (0) = 0,125 −{1+ 3(0)2}0 = 0,125 dt 1 0,125 + 0 Và ∆i(1) = ( )0,025 = 0,00156 0 2 Nên (1) i1 = 0 + 0,00156 = 0,00156 (1) Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, không thực hiện lặp lại in+1 = in+1 . Bài giải thu được bằng phương pháp biến đổi Euler được đưa vào trong bảng 2.2. Bảng 2.2: Bài giải bằng phương pháp biến đổi Euler. (0) di di Thời Sức Dòng dt dt n+1 n Gian điện điện in n (0) (0) e (1) ∆in n+1 in+1 ∆i tn động en n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,00000 0,12500 0,00156 1 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,00465 0,24535 0,00461 2 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,01227 0,36272 0,00758 3 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0,02278 0,47718 0,01048 4 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0,03612 0,58874 0,01331 5 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0,05222 0,69735 0,01606 6 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,07100 0,80293 0,01874 7 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,09238 0,90525 0,02133 8 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,11627 0,87901 0,02229 9 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 0,13794 0,85419 0,02167 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 0,15899 0,82895 0,02104 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 0,17940 0,80328 0,02041 12 0,300 1,000 0,17908 Trang 21
  20. GIẢI TÍCH MẠNG c. Phương trình dùng phương pháp Runge-Kutta để giải. di = e(t) − (1+ 3i2 )i dt Ta có: 2 k1 = {e(tn ) − (1+ 3in )in}∆t ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k1 ⎞ ⎛ k1 ⎞⎪ k2 = ⎨e(tn + ) − ⎢1 + 3⎜i n + ⎟ ⎥.⎜i n + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k2 ⎞ ⎛ k2 ⎞⎪ k3 = ⎨e(t n + ) − ⎢1+ 3⎜i n + ⎟ ⎥.⎜i n + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ 2 k4 = {e(t n + ∆t) − [1+ 3(i n + k3 ) ].(i n + k3 )}∆t ∆i = 1 (k + 2k + 2k + k ) n 6 1 2 3 4 in+1 = in + ∆in Với: e(tn) = en ∆t e + e e(t + ) = n n+1 n 2 2 e(tn + ∆t) = en+1 Thay thế giá trị ban đầu tìm được k1: k1 = 0. Tìm được k2: ⎧0 + 0,125 2 ⎫ k2 = ⎨ − []1+ 3(0) 0⎬0,025 = 0,00156 ⎩ 2 ⎭ Tìm được k3: ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪0 + 0,125 ⎛ 0,00156 ⎞ 0,00156⎪ k3 = ⎨ − ⎢1+ 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 ⎩⎪ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎭⎪ Tìm được k4: 2 k4 = {0 + 0,125 − [1 + 3(0,00154) ]0,00154}0,025 = 0,00309 Thì ∆i = 1 (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 0 6 Và i1 = i0 + ∆i0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Bài giải thu được bằng phương pháp Runge-Kutta được đưa vào trong bảng 2.3. d. Công thức dự đoán sửa đổi của phương pháp Milne là. 4∆t i(0) = i + (2i' −i' +2i' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n ∆t i = i + (i' +4i' +i' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 Với di i'n = dt n Và Trang 22
  21. GIẢI TÍCH MẠNG di 2 = en − (1+ 3in )in dt n Các giá trị ban đầu đòi hỏi phải thu được từ lời giải của phương pháp Runge-Kutta. Với i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372. Thay thế vào phương trình vi phân, ta có: i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127. Bắt đầu tại t4 = 0,100 và thay thế vào trong công thức dự đoán, ước lượng đầu tiên cho i4 là: i(0) = 0 + 4 (0,025) 2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127) = 0,02418 4 3 [] Thay thế e4 = 0,500 và i4 = 0,02418 vào trong phương trình vi phân, ta được: 2 i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418) ]0,02418 = 0,47578 Dự đoán và giá trị chính xác, chỉ khác nhau một số hàng thập phân vì vậy không đòi hỏi lặp lại nhiều lần. Kết quả sau từng bước được ghi vào bảng 2.4. Tại t9 giá trị dự đoán của dòng điện là 0,11742 nhưng trong khi giá trị chính xác là 0,11639. Việc thực hiện lặp lại bởi sự thay thế giá trị chính xác trong phương trình vi phân đã thu được i’9 = 0,87888. Cứ lần lượt dùng trong công thức sửa đổi để thu được ước lượng thứ hai cho i9 = 0,11640, trước khi kiểm tra giá trị chính xác. Thực hiện lặp lại trong tất cả các bước để đảm bảo yêu cầu chính xác. Trang 23
  22. B Trang ả ng 2.4: Bảng 2.3: Giải bằng phương pháp Runge-Kutta n Thời Sức Dòng en+ en+1 k1 k2 Bài gi gian điện điện k1 in + k2 in + k3 en+1 in + k3 k4 ∆in tn động in 2 2 2 ả en i b ằ ng ph 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,00155 ươ 1 0,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,00460 ng phápc 2 0,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,00757 3 0,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,01047 4 0,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,01330 5 0,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605 ủ a Milne. 6 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873 7 0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,02133 8 0,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,02230 9 0,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,02168 10 0,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,02105 11 0,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041 12 GI Ả I TÍCH M Ạ NG 24
  23. GIẢI TÍCH MẠNG Thời gian Sức điện Dòng điện Dòng điện N tn động en (dự đoán) in i’n (sửa đổi) in 4 0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419 5 0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748 6 0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353 7 0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226 8 0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358 9 0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639 0,87888 0,11640+ 10 0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755 0,85464 0,13753+ 11 0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911 0,82881 0,15912+ 12 0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898 0,80382 0,17898+ + : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vòng lặp d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i0 = 0 là: t 3 i = i0 + []e(t) − i − 3i dt ∫0 Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i0 = 0 2 t 5t i (1) = 5 t dt = ∫0 2 Thay i(1) cho i trong phương trình tích phân, thu được: 2 6 2 3 7 t ⎛ 5t 375t ⎞ 5t 5t 375t i (2) = ⎜5t − − ⎟ dt = − − ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 8 ⎠ 2 6 56 Quá trình tiếp tục, ta được: 2 3 6 7 8 t ⎛ 5t 5t 375t 375t 125t ⎞ i (3) = ⎜5t − + − + − + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 8 7 8 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 375t 7 = − + − + 2 6 24 56 2 3 4 6 7 t ⎛ 5t 5t 5t 375t 375t ⎞ i (4) = ⎜5t − + − − + + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 24 8 7 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 t 5 375t 7 = − + − − + 2 6 24 24 56 Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là: 5t 2 5t 3 5t 4 i = − + 2 6 24 Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên không chú ý đến sai số lớn thì . 5log t [ log0,00120 log t [ 9,415836 - 10 t [ 0,2605 Trang 25
  24. GIẢI TÍCH MẠNG Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm có thể dùng chỉ để thu được y cho trong khoảng 0 [ t [ 0,2; Bởi vì cho t > 0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2 [ t[ 0,3 như sau: t i = 0,09367 + ()1− i − 3i 3 dt ∫0,2 t i (1) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 3()0,09367 3 dt = 0,09367+ 0,90386(t- 0,2) ∫ 0,2 t i (2) = 0,09367 + {1 − 0,09367 − 0,90386()t − 0,2 − 3[]0,09367 + 0,90386(t − 0,2) 3 }dt ∫ 0,2 t = 0,09367 + 0,90386 {}1 −1,07897(t − 0,2) − 0,76189()t − 0,2 2 − 2,45089(t − 0,2) 3 dt ∫ 0,2 = 0,09367 + 0,90386 x ⎧ (t − 0,2) 2 (t − 0,2)3 (t − 0,2) 4 ⎫ x ⎨( t − 0,2) −1,07897 − 0,76189 − 2,45089 ⎬ dt ⎩ 2 3 4 ⎭ Cuối cùng, ta có: i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 Chuỗi giới hạn, hàm xấp xỉ là: i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 Cho i hiệu chỉnh trong bốn số thập phân, ta có: 0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 (t - 0,2) [ 0,14198 Hàm hợp lý cho trong khoảng 0,2 [ t [0,342 Giá trị thu được bằng phương pháp Picard được đưa vào trong bảng 2.5. 2.5. SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP. Trong bài giải của phương trình vi phân hàm quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc lập x cần tìm để thỏa mãn phương trình vi phân. Bài giải trong giải tích là rất khó và có một số vấn đề không thể tìm được. Phương pháp số dùng để tìm lời giải bằng cách biểu diễn y như một số hàm của biến độc lập x từ mỗi giá trị xấp xỉ của y có thể thu được bằng sự thay thế hoàn toàn hay biểu diễn tương đương quan hệ giữa các giá trị liên tiếp của y xác định cho việc chọn giá trị của x. Phương pháp Picard là phương pháp số kiểu đầu tiên. Phương pháp Euler, Runge-Kutta, và Milne là ví dụ cho kiểu thứ hai. Khó khăn chủ yếu phát sinh từ phương pháp xấp xỉ y bằng hàm số, như phương pháp Picard, tìm thấy trong lần lặp lại sự tích phân hiện tại phải thực hiện để thu được hàm thỏa mãn. Vì vậy phương pháp này là không thực tế trong hầu hết các trường hợp và ít được dùng. Trang 26
  25. GIẢI TÍCH MẠNG Bảng 2.5: Giải bằng phương pháp Picard. n Thời gian tn Sức điện động en Dòng điện in 0 0 0 0 1 0,025 0,125 0,00155 2 0,050 0,250 0,00615 3 0,075 0,375 0,01372 4 0,100 0,500 0,02419 5 0,125 0,625 0,03749 6 0,150 0,750 0,05354 7 0,175 0,875 0,07229 8 0,200 1,000 0,09367 9 0,225 1,000 0,11596 10 0,250 1,000 0,13764 11 0,275 1,000 0,15868 12 0,300 1,000 0,17910 Các phương pháp theo kiểu thứ hai đòi hỏi phép tính số học đơn giản đo đó thích hợp cho việc giải bằng máy tính số của các phương trình vi phân. Trong trường hợp tổng quát, đơn giản quan hệ đòi hỏi dùng trong một khoảng nhỏ cho các biến độc lập nhưng ngược lại nhiều phương pháp phức tạp có thể dùng trong khoảng tương đối lớn tốn nhiều công sức trong việc chính xác hóa lời giải. Phương pháp Euler là đơn giản nhất, nhưng trừ khi khoảng tính rất nhỏ thì dùng nó cũng không đúng với thực tế. Phương pháp biến đổi Euler cũng sử dụng đơn giản và có thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn có trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y. Phương pháp có sự chính xác giới hạn, vì vậy đòi hỏi dùng khoảng giá trị nhỏ cho biến độc lập. Phương pháp Runge-Kutta đòi hỏi số rất lớn của phép tính số học, nhưng kết quả cũng không chính xác. Phương pháp dự đoán sửa đổi của Milne là ít khó khăn hơn phương pháp Runge-Kutta và so sánh được độ chính xác của bậc h5. Vì vậy, phương pháp của Milne đòi hỏi có bốn giá trị ban đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho phương pháp số. Chương trình đòi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải tiếp tục dùng công thức khác cho dự đoán và sau đó sửa chữa giá trị của y cung cấp quá trình hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đoán và giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính có thể được rút gọn lại. Khả năng trong phương pháp của Milne không có hiệu lực trong phương pháp Runge-Kutta. Trang 27
  26. GIẢI TÍCH MẠNG Bài tập: 2.1. Giải phương trình vi phân. dy = x2 − y dx Cho 0 [ t [ 0,3; với khoảng phương trình 0,05 và giá trị ban đầu x0 = 0 và y0 = 1, bằng các phương pháp số sau đây. Euler Biến đổi Euler. Picard Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta Milne dùng giá trị bắt đầu thu được phương pháp Runge-Kutta 2.2. Giải bằng phương pháp biến đổi Euler hệ phương trình vi phân. dx = 2y dt dy x = − dt 2 Cho 0 [ t [ 1,0; Với khoảng phương trình 0,2 và giá trị ban đầu i0 = 0,x0 = 0 và y0 = 1 2.3. Giải bằng xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta phương trình vi phân bậc hai. y’’ = y + xy’ Cho 0 [ x [ 0,4; Với khoảng phương trình 0,1 và giá trị ban đầux0 = 0,y0 = 1, và y’0 = 0 Trang 28
  27. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH HÓA CÁC PHẦN TỬ TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN 3.1. GIỚI THIỆU: Trong hệ thống điện gồm có các thành phần cơ bản sau: a. Mạng lưới truyền tải gồm: - Đường dây truyền tải. - Biến áp. - Các bộ tụ điện tĩnh, kháng điện. b. Phụ tải. c. Máy phát đồng bộ và các bộ phận liên hợp: Hệ thống kích từ, điều khiển Các vấn đề cần xem xét ở đây là: Ngắn mạch, trào lưu công suất, ổn định quá độ. Mạng lưới truyền tải được giả thiết là ở trạng thái ổn định vì thời hằng của nó nhỏ hơn nhiều so với máy phát đồng bộ. 3.2. MÔ HÌNH ĐƯỜNG DÂY TRUYỀN TẢI. 3.2.1. Đường dây dài đồng nhất. Đường dây dài đồng nhất là đường dây có điện trở, điện kháng, dung kháng, điện dẫn rò phân bố đều dọc theo chiều dài đường dây, có thể tính theo từng pha và theo đơn vị dài. Trong thực tế điện dẫn rò rất nhỏ có thể bỏ qua. Chúng ta chỉ quan tâm đến quan hệ giữa điện áp và dòng điện giữa hai đầu đường dây, một đầu cấp và một đầu nhận. Khoảng cách tính từ đầu cấp đến đầu nhận. Để tính toán và xem xét mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên từng điểm của đường dây ta có mô hình toán học như sau: (xem hình 3.1). Tại tọa độ x lấy vi phân dx trên mỗi pha so với trung tính và khảo sát phân tố dx. IS I + dI IR + Hình 3.1 : Quan hệ điện áp + V và dòng điện ở phân tố dài S V + dV V VR - của đường dây truyền tải - x =1 dx x = 0 Đầu cấp Đầu nhận Với phân tố dx này ta có thể viết: dV = I .z .dx dV Hay = I.z (3.1) dx Và dI = V. y . dx Với z: Tổng trở nối tiếp của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài y: Tổng dẫn rẽ nhánh của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài dI Hay =V.y (3.2) dx Trang 29
  28. GIẢI TÍCH MẠNG Lấy vi phân bậc 2 của (3.1) và (3.2) theo x ta có: d 2V dI = z. (3.3) dx2 dx d 2 I dV = y. (3.4) dx2 dx Thế (3.1) và (3.2) vào (3.3) và (3.4) ta có: d 2V = z.y.V (3.5) dx2 d 2 I = z.y.I (3.6) dx2 Giải (3.5) ta có dạng nghiệm như sau: V = A1 exp( zy.x) + A2 exp(− zy.x) (3.7) Thay (3.7) vào đạo hàm bậc nhất (3.1) ta có dòng điện 1 1 I = A exp( zy.x) − A exp(− zy.x) (3.8) z 1 z 2 y y A1 và A2 được xác định từ điều kiện biên: V = VR và I = IR ở x = 0; Thay vào (3.7) và (3.8) cân bằng ta được: z V + .I R y R A = (3.9) 1 2 z V − .I R y R A = (3.10) 2 2 Đặt Z = z : Gọi là tổng trở đường dây c y γ = z.y : Gọi là hằng số truyền sóng Vậy (3.9) và (3.10) được viết gọn như sau: V + I .Z V − I .Z V(x) = R R c exp(γ .x) + R R c exp(−γ .x) (3.11) 2 2 V V R + I R − I Z R Z R I (x) = c exp(γ .x) − c exp(−γ .x) (3.12) 2 2 Công thức (3.11) và (3.12) dùng để xác định điện áp và dòng điện tại bất cứ điểm nào của đường dây theo tọa độ x. Ta viết (3.11) lại như sau: V(x) =V . 1 .[]exp (γ . x) + exp ( − γ . x) + I .Z . 1 [ exp (γ . x) − exp (−γ . x)] R 2 R C 2 (3.13) =V .ch(γ . x) + I .Z .sh(γ . x) R R C Tương tự (3.12) VR I (x) = I R ch(γ . x) + .sh(γ . x) (3.14) ZC Khi x = 1 ta có điện áp và dòng điện ở đầu cấp: Trang 30
  29. GIẢI TÍCH MẠNG VS = VR .ch(γ .x) + I R .ZC .sh(γ .x) (3.15) VR I S = .sh(γ .x) + I R .ch(γ .x) (3.16) ZC 3.2.2. Sơ đồ tương đương đường dây dài (l > 240): Sử dụng công thức (3.15) và (3.16) để lập sơ đồ tương đương của đường dây dài như hình 3.2 (gọi là sơ đồ hình π). IS Zπ IR + + Hình 3.2 : Sơ đồ π của đường dây VS VR truyền tải Y Y - π1 π2 - Từ sơ đồ hình 3.2 ta có: VS =VR + Zπ . I R + VR.Yπ 2 .Zπ = (1 + Yπ 2 .Zπ )VR + Zπ .I R (3.17) I S = (I R +VR.Yπ 2 ) +VSYπ1 (3.18) Thay VS ở (3.17) vào (3.18) và đơn giản hóa ta được: I S = [(Yπ1 + Yπ 2 ) + Zπ .Yπ1.Yπ 2 ].YR + (1+ Zπ .Yπ1 )I R (3.19) Đồng nhất (3.17) và (3.19) tương ứng với (3.15) và (3.16) ta có: Zπ = ZC sh (γ .l) (3.20) Yπ1 = Yπ2 = Yπ (3.21) (1+Zπ.Yπ) = ch (γ .l) (3.22) ch(γ .l) −1 1 ⎛ γ .l ⎞ Vậy: Yπ = = .th⎜ ⎟ (3.23) ZC .sh(γ .l) ZC ⎝ 2 ⎠ Viết gọn (3.20) và (3.23) lại ta có: sh(γ .l) z.l .sh(γ .l) Z = Z .y.l = (3.24) π C γ .l γ .l y. l th(γ . l ) th(γ . l ) 2 2 y.l 2 Yπ = . = . (3.25) ZC γ . l 2 γ . l 2 2 Sử dụng sơ đồ hình (3.3) và khai triển sh và ch ta có thể tính Yπ và Zπ đến độ chính xác cần thiết. Thông thường trong sơ đồ nối tiếp chỉ cần lấy 2 hay 3 phần tử là đạt yêu cầu chính xác: x3 x5 Sh(x) = x + + + + 3! 5! x2 x4 Ch(x) =1 + + + + (3.26) 2! 4! x3 2 17 Th(x) = x − + x5 − x7 + 3 15 315 Trang 31
  30. GIẢI TÍCH MẠNG sh(γ .l) z.l . Is γ .l IR + + V y.( l ) th(γ . l ) th(γ . l ) V R S 2 2 y.l 2 - . . - Z γ . l 2 γ .( l ) c 2 2 Hình 3.3 : Sơ đồ π của mạng tuyền tải Nếu chỉ lấy hai số hàng đầu. ⎡ (γ .l) 2 ⎤ Zπ ≈ z.l .⎢1+ ⎥ ⎣ 6 ⎦ 2 2 γ .l ⎡ 1 ⎛ γ .l ⎞ ⎤ γ .l ⎡ ⎛ γ .l ⎞ ⎤ Yπ ≈ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3.27) 2 ⎣⎢ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 3.2.3. Sơ đồ tương đương của đường dây trung bình: Gồm các đường dây có γ.l << 1 gọi là đường dây trung bình (240km) Zπ = z.l = Z (tổng các tổng trở nối tiếp) y.l Y Y = = (nửa của tổng dẫn rẽ) π 2 2 I ZT1 ZT1 I IS Z IR S R + + + + V V VS YT VR S Y/2 Y/2 R - - - - Hình 3.4 : Sơ đồ đối xứng π của Hình 3.5 : Sơ đồ đối xứng T của đường dây truyền tải đường dây truyền tải Sơ đồ thu được theo giả thiết gọi là sơ đồ đối xứng π (hình 3.4) và còn có một sơ đồ thể hiện khác nửa gọi là sơ đồ đối xứng T (hình 3.5) Tính toán tương tự như sơ đồ π ta có (sơ đồ T) th(γ . l ) z.l 2 ZT1 = ZT 2 = ZT = . 2 γ . l 2 sh(γ .l) Và Y = y.l T γ .l Với sơ đồ đối xứng T (yl << 1) có thể rút gọn như hình 3.6 Hai sơ đồ tương xứng này có độ chính xác như nhau nhưng thông thường hay dùng sơ đồ p vì không phải tính thêm nữa. Trong trường hợp đường dây khá ngắn (l [ 80km) có thể bỏ qua tổng dẫn mạch rẽ ở cả hai sơ đồ p và T và thu gọn chỉ còn một tổng dẫn nối tiếp Z (hình 3.7) Trang 32
  31. GIẢI TÍCH MẠNG IS Z/2 Z/2 IR Z IS IR + + + + VS Y V R VS VR - - - - Hình 3.7 : Sơ đồ tương đương của đường Hình 3.6 : Sơ đồ đối xứng T dây tuyền tải ngắn 3.2.4. Thông số A, B, C, D: Các thông số A, B, C, D được sử dụng để thiết lập các phương trình quan hệ giữa điện áp và dòng điện ở đầu cung cấp và đầu nhận của đường dây truyền tải. Bảng 3.1 : Tham số A, B, C, D cho từng loại sơ đồ Loại đường dây A B C D -Đường dây dài Y.Z Z .sh(γ.l) = Z(1+ sh(γ .l) ch(γ .l) = A ch(γ .l) =1 + C = Y(1+ đồng nhất 2 2 2 Y.Z Y .Z ZC 2 2 + + Y .Z 6 240 2 2 + + Y.Z Y .Z 24 + + -Đường dây trung 6 120 bình .Sơ đồ đối xứng T A Y .Z Y .Z .Sơ đồ đối xứng p 1 + Z (1 + ) Y -Đường dây ngắn 2 4 A Y .Z Y .Z Z Y(1 + ) 1 + 4 2 Z 0 1 A Ví dụ: Đẳng thức 3.15 và 3.16 được viết lại như sau: VS = A.VR + B.IR IS = C.VR + D.IR Bảng 3.1 cho giá trị A, B, C, D của từng loại đường dây truyền tải. Đường dây dài, đường dây trung bình và đường dây ngắn, các thông số này có đặc tính quan trọng là: A.D - B.C = 1 (3.28) Điều này đã được chứng minh. 3.2.5. Các dạng tổng trở và tổng dẫn: Xét các đường dây truyền tải theo các tham số A, B, C, D các phương trình được viết dưới dạng ma trận: ⎡VS ⎤ ⎡A B⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.29) ⎣I S ⎦ ⎣C D⎦ ⎣I R ⎦ Phương trình 3.29 được viết lại theo biến IS và IR sử dụng kết quả: A.D - B.C = 1 Như sau: Trang 33
  32. GIẢI TÍCH MẠNG ⎡VS ⎤ ⎡ZSS ZSR⎤ ⎡I S ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.30) ⎣VR ⎦ ⎣ZRS ZRR⎦ ⎣I R ⎦ Với ZSS = A/C; ZSR = -1/C; ZRS = 1/C; ZRR = -D/C Công thức (3.30) được viết dưới dạng kí hiệu: V = Z.I (3.31) Thêm một cách biểu diễn IS, IR theo biến VS, VR như sau: ⎡I S ⎤ ⎡YSS YSR⎤ ⎡VS ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.32) ⎣I R ⎦ ⎣YRS YRR⎦ ⎣VR ⎦ Hay I = Y. V Với: YSS = D/B; YSR = -1/B; YRS = 1/B; YRR = -A/B Ở đây ma trận Z là ma trận tổng trở mạch hở, ma trận Y là ma trận tổng dẫn ngắn mạch và đảm bảo Z = Y-1 của mạng hai cửa. Ở chương sau sẽ tính mở rộng cho mạng n cửa. 3.2.6. Các thông số Z và Y dùng cho các giới thiệu khác: Từ bảng 3.1 các đẳng thức 3.30 và 3.31 thông số Z và Y được tính như sau (dùng cho sơ đồ p) Y .Z Y = D = (1 + ) / Z = 1 + Y SS B 2 2 2 Y = − 1 = − 1 ;Y = 1 (3.33) Các SR B 2 RS 2 Y .Z Y = − A = −(1 + ) / Z = −(1 + Y ) RR B 2 2 2 tham số này có thể tính trực tiếp từ sơ đồ hình 3.4 viết ra các phương trình nút và loại dòng nhánh giữa. 3.3. MÁY BIẾN ÁP: 3.3.1. Máy biến áp 2 cuộn dây: Sơ đồ tương đương của máy biến áp (MBA) như hình 3.8. Các tham số được quy về phía sơ cấp (phía 1). 2 2 ⎛ N ⎞ ⎛ N1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ R ⎜ ⎟ X ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 I R1 X1 ⎝ N 2 ⎠ ⎝ N2 ⎠ 1 + + I2 R V 1 m Xm V2 - - Hình 3.8 : Sơ đồ tương đương của máy biến áp Trang 34
  33. GIẢI TÍCH MẠNG Trong MBA lực, nhánh từ hóa có dòng khá nhỏ có thể lượt đi và sơ đồ tương đương được rút gọn như hình 3.9 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ N ⎞ N1 1 R + ⎜ ⎟ R X1 + ⎜ ⎟ X 2 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ N ⎟ I1 ⎝ N2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ I2 + + V1 V2 - - R X I I 2 1 + + V1 V2 - - Hình 3.9 : Sơ đồ tương đương đơn giản hóa của MBA 3.3.2. Máy biến áp từ ngẫu: Máy biến áp từ ngẫu (MBATN) gồm có một cuộn dây chung có số vòng N1 và một cuộn dây nối tiếp có số vòng N2, sơ đồ 1 pha và 3 pha ở dưới. Đầu cực a-n đại diện cho phía điện áp thấp và đầu cực a’-n’ đại diện cho phía điện áp cao. Tỉ lệ vòng toàn bộ là: Va' N = 1+ 2 = 1+ a = N Va N Ia’ 1 (a’) (a’) (a) N N I 2 2 N1 (a) V ’ (c’) a (b) N1 Va N1 IN2 (n) (n) (b’) (c) Hình 3.10 : MBA từ ngẫu 3 pha Hình 3.11 : Sơ đồ 1 pha của MBATN Hình 3 9: Sơ đồ tương đương đơngiản Sơ đồ tương đương của MBATN được mô phỏng như hình 3.12, trong đó Zex là tổng trở đo được ở phía hạ khi phía cap áp ngắn mạch. Hai tổng trở ngắn mạch nữa được tính là: - ZeH: Tổng trở đo được ở phía cao áp khi số vòng N1 bị ngắn mạch nối tắt cực a-n. Và dễ dàng chứng minh từ hình 3.12 (phép quy đổi) 2 ZeH = Zex N (3.34) - ZeL: Tổng trở đo được phía hạ áp khi số vòng N2 bị ngắn mạch nối tắt cực a-a’ Trang 35
  34. GIẢI TÍCH MẠNG hình 3.13. I Z I a ex 1:N a’ I a a’ a 1:N a’ + a + + I Z I + 1 ex a’ Va Va V a V a’ - ’ - - - n n’ n n’ Hình 3.13 : Sơ đồ tương đương khi Hình 3.12 : Sơ đồ tương đương của MBATN nối a-a’ của MBATN Từ sơ đồ hình 3.13 ta có: Va = Va’ V (N −1) I = (V − a' ) / Z =V / Z (3.35) 1 a N ex a N ex Đối với máy biến áp lý tưởng số ampe vòng bằng zero cho nên chúng ta có: I1 = Ia’ N Hay Ia’ = I1/N Với: Ia + Ia’ = I1 Vì vậy: N −1 I = I . a 1 N Tổng trở : 2 Va Va N ⎛ N ⎞ Z eL = = = ⎜ ⎟ Z ex I a I1 (N −1) ⎝ N −1⎠ Do đó: 2 ⎛ N −1⎞ Zex = ⎜ ⎟ ZeL (3.36) ⎝ N ⎠ Sử dụng (3.34) ta có: 2 2 ZeH = (N-1) Z eL = a ZeL * Nhược điểm của MBATN: - Hai phía cao và hạ áp không tách nhau về điện nên kém an toàn - Tổng trở nối tiếp thấp hơn MBA 2 cuộn dây gây ra dòng ngắn mạch lớn * Ưu điểm của MBATN: - Công suất đơn vị lớn hơn MBA 2 cuộn dây nên tải được nhiều hơn - Độ lợi càng lớn khi tỉ số vòng là 2:1 hoặc thấp hơn Ví dụ minh họa: Cho một MBA 2 cuộn dây có thông số định mức là 22KVA, 220/110V, f = 50Hz. Cuộn A là 220V có Z = 0,22 + j0,4 (Ω) cuộn B là 110V có tổng trở là Z = 0,05 + j0,09 (Ω). MBA đấu theo dạng từ ngẫu cung cấp cho tải 110V với nguồn 330V. Tính Zex, ZeL, ZeH dòng phụ tải là 30A. Tìm mức điều tiết điện áp. Giải: Cuộn B là cuộn chung có N1 vòng, cuộn A là cuộn nối tiếp có N2 vòng. Vậy N2 /N1 = 2 = a và N = a+1 = 3, do ZA = 0,24 + j0,4 (Ω), ZB = 0,05 + j0,09 (Ω) Nên: 2 ZeH = ZA + a ZB = 0,44+ j0,76 (Ω) 2 ZeL = ZB + ZA/a = 0,11+j0,19 (Ω) Trang 36
  35. GIẢI TÍCH MẠNG 2 ZeH ⎛ N −1⎞ Zex = = ZeL ⎜ ⎟ = 0,049 + j0,08(Ω) N 2 ⎝ N ⎠ I . R.cosθ + I . X .sinθ Mức điều chỉnh điện áp = .100% V 30 0,44.0,9 + 0,76.0,437 = . .100% = 2,21% 3 330 3.3.3. Máy biến áp có bộ điều áp: Do phụ tải luôn thay đổi theo thời gian dẫn đến điện áp của hệ thống điện cũng thay đổi theo. Để giữ cho điện áp trên các dây dẫn nằm trong giới hạn cho phép người ta điều chỉnh điện áp một hoặc hai phía của MBA bằng cách đặt bộ phân áp vào MBA nói chung là đặt phía cao áp để điều chỉnh mềm hơn. Khi tỉ số vòng N bằng tỉ số điện áp định mức ta nói đó là tỉ lệ đồng nhất. Khi chúng không bằng ta nói tỉ lệ là không đồng nhất. Bộ điều áp có hai loại: -Bộ điều áp dưới tải -Bộ điều áp không tải Bộ điều áp dưới tải có thể điều chỉnh tự động hoặc bằng tay, khi điều chỉnh bằng tay phải dựa vào kinh nghiệm và tính toán trào lưu công suất trước đó. Tỉ số đầu phân áp có thể là số thực hay số phức trong trường hợp là số phức điện áp ở hai phía khác nhau về độ lớn và góc pha. MBA này gọi là MBA chuyển pha. 3.3.4. Máy biến áp có tỉ số vòng không đồng nhất: Chúng ta xét trường hợp tỉ số vòng không đồng nhất là số thực cần xét hai vấn đề sau: - Giá trị tương đối của tổng trở nối tiếp của MBA đặt nối tiếp trong máy biến áp lý tưởng cho phép có sự khác nhau trong điện áp, tỉ lệ không đồng nhất được mô tả trên sơ đồ bằng chữ a và giả thiết rằng a nằm xung quanh 1 (a ≠ 1) - Giả thiết tổng trở nối tiếp của MBA không đổi khi đầu phân áp thay đổi vị trí. MBA không đồng nhất được mô tả theo hai cách như hình 3.14, tổng dẫn nối tiếp trong hai 2 cách có quan hệ là Y1’ = Y1/a . a:1 Y1 p q (1) Hình 3.14 : Hai cách giới thiệu máy biến áp không ’ a:1 đồng nhất Y 1 p q (2) Với tỉ lệ biến áp bình thường là a:1 phía a gọi là phía điều áp. Vì vậy trong sơ đồ 1 tổng dẫn nối tiếp được nối đến phía 1 còn sơ đồ 2 thì được nối đến phía a. a:1 Y1 p q a Hình 3.15 : Sơ đồ tương đương của MBA không đồng nhất Xét hình 3.15 của MBA không đồng nhất ở đây tổng trở nối tiếp được nối đến phía đơn vị của bộ điều áp. Mạng hai cửa tương đương của nó là: Trang 37
  36. GIẢI TÍCH MẠNG Ở nút p: 2 I pq = (Vp − aVq )Y1 / a V Y V Y (3.37) = p 1 − q 1 a2 a Ở nút q: V I ' = (V − p )Y pq q a 1 (3.38) V .Y =V .Y − p 1 q 1 a Y1 Y1/a Ipq I’pq Ipq I’pq p q p q + + + + (1− a) (a −1) Vp Y2 Y3 Vq Vp Y Y Vq 1 2 1 2 - - a a - 0 0 - 0 0 (a) (b) Ipq aY’1 I’pq p q + + V (1-a)Y’1 a(a-1)Y’1 V p q 0 - - 0 (c) Hình 3.16 : Sơ đồ tương đương của MBA không đồng nhất Ở sơ đồ hình 3.16a ta có: Ipq = VpY2 + (Vp-Vq)Y1 (3.39) I’pq = VqY3 + (Vq-Vp)Y1 (3.40) Đồng nhất (3.39) và (3.40) với (3.37) và (3.38) ta được: 2 Y1 + Y2 = Y1/a Y1 =Y1/a Y1 + Y3 = Y1 Y Y Y Y Giải ra ta được: Y = 1 ; Y = 1 − 1 ; Y = Y − 1 1 a 2 a2 a 3 1 a Sơ đồ là hình 3.16b. Chú ý tất cả tổng dẫn trong sơ đồ tương đương là hàm của tỉ số vòng a. Và dấu liên hợp giữa Y2 và Y 3 luôn ngược. Ví dụ: Nếu Y1 là điện kháng a > 1; Y2 là điện kháng; Y3 là điện dung; nếu a < 1; Y2 là dung kháng và Y3 là điện kháng. Sơ đồ hình 3.16c là sơ đồ tương đương theo Y’1 khi a → 1 thì tổng trở mạch rẽ → ∞ và tổng dẫn nối tiếp tiến đến Y1. 3.3.5. Máy biến áp chuyển pha: Trong hệ thống điện liên kết có mạch vòng hay đường dây song song, công suất thật truyền trên đường dây được điều khiển bằng máy biến áp chuyển pha, MBA có tỉ số vòng là số phức thì độ lớn và góc pha điện áp phụ thuộc vào vị trí của bộ điều áp. Khi cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp được quấn trên cùng một lõi thì chúng có cùng pha và tỉ lệ phân áp là thực. Tuy nhiên trong máy biến áp từ ngẫu chuyển pha cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp được bố trí tùy theo độ lệch pha để khi thay đổi đầu phân áp thì góc pha cũng thay đổi theo. Sơ đồ minh họa ở hình 3.17a, sơ đồ đơn giản hóa chỉ có một pha của MBATN chuyển pha là đầy đủ để cho gọn gàng, dễ thấy cuộn dây thứ 2 của pha a bị làm lệch điện áp đi 900 so với pha a. Trang 38
  37. GIẢI TÍCH MẠNG Ở sơ đồ vectơ hình 3.17b khi đầu phân áp chạy từ R → A thì điện áp thay đổi từ zero đến aa’ kết quả là điện áp thứ cấp thay đổi từ oa đến oa’. a A a’ R a’ a A R b b’ A c c R b c’ (b) (a) Hình 3.17 : Máy biến áp từ ngẫu chuyển pha gồm cả ba pha a. Sơ đồ đấu dây b. Sơ đồ vectơ Như hình 3.17 ta thấy rằng điện áp ở cuộn nối tiếp cao hơn bình thường cho phép công suất lớn hơn chạy trên đường dây nghĩa là: Thay vì lắp máy biến áp thường ta lắp máy biến áp chuyển pha sẽ cho phép nâng cao điện áp cấp và đường dây mang tải nhiều hơn. 3.3.6. Máy biến áp ba cuộn dây. Máy biến áp ba cuộn dây sử dụng trong những trường hợp cần cung cấp cho phụ tải ở hai cấp điện áp từ một cuộn dây cung cấp. Hai cuộn dây này gọi là cuộn thứ hai và cuộn thứ ba (hình 3.18). Cuộn thứ 3 ngoài mục đích trên còn có mục đích khác, chẳng hạn được nối vào tụ để chặn sóng bậc 3. Trên sơ đồ ta ký hiệu 11’ là cuộn sơ cấp (P), 22’ là cuộn thứ 2 (S), 33’ là cuộn thứ 3 (T). P S c d Hình 3.18 : Máy biến áp ba cuộn dây c d ’ ’ e T e Các tham số đo được từ thí nghiệm là: ZPS: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 2 và hở mạch cuộn 3 ZPT: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 3 và hở mạch cuộn 2 ’ Z ST: Là tổng trở cuộn thứ cấp khi cuộn sơ cấp hở mạch và cuộn 3 ngắn mạch 2 ⎛ N ⎞ ’ ⎜ P ⎟ Z ST’ quy đổi về phía sơ cấp là: ZST = ⎜ ⎟ .Z'ST ⎝ N S ⎠ Sơ đồ tương đương của MBA ba cuộn dây hình 3.19 ZPS, ZPT, ZST, quy đổi về phía sơ cấp. Theo cách đo ngắn mạch ta có: ZPS = ZP + ZS (3.41) ZPT = ZP + ZT (3.42) ZST = ZS + ZT (3.43) Trừ (3.42) đi (3.43) ta có: Trang 39
  38. GIẢI TÍCH MẠNG ZPT - ZST = ZP - ZS (3.44) Từ (3.41) và (3.44) ta có: ZP =1/2 (ZPS + ZPT -ZST) (3.45) ZS =1/2 (ZPS + ZST -ZPT) (3.46) ZT =1/2 (ZST + ZPT - ZPS) (3.47) Zp ZS Z e T e ’ Hình 3.19 : Sơ đồ tương đương của MBA ba cuộn dây Bỏ qua tổng trở mạch rẽ nên nút đất q tách rời đầu cực 1 nối với nguồn cung cấp, đầu cực 2 và 3 nối đến tải, nếu cuộn 3 dùng để chặn sóng hài thì thả nổi. 3.3.7. Phụ tải: Chúng ta nghiên cứu về phụ tải liên quan đến trào lưu công suất và ổn định. Điều quan trọng là phải biết sự thay đổi của công suất tác dụng và công suất phản kháng theo điện áp. Ở các nút điển hình các loại tải gồm có: - Động cơ không đồng bộ 50÷70 % - Nhiệt và ánh sáng 20÷30 % - Động cơ đồng bộ 5÷10 % Để tính chính xác người ta dùng đặc tính P-V và Q-V của từng loại tải nhưng xử lý phân tích rất phức tạp. Vì vậy người ta đưa ra ba cách giới thiệu chính về tải dùng cho mục đích phân tích. - Giới thiệu theo công suất không đổi: Cả lượng MVA và MVAR đều bằng hằng số thường dùng để nghiên cứu trào lưu công suất. - Giới thiệu theo dòng điện không đổi: Dòng điện tải I trong trường hợp này được tính P − jQ I = |V | ∠(θ − Φ) V Ở đó V = |V|∠q và φ = tan-1 (Q/P) là góc hệ số công suất, độ lớn của I được giữ không đổi. - Giới thiệu theo tổng trở không đổi: Đây là cách giới thiệu thường xuyên khi nghiên cứu ổn định nếu lượng MVA và MVAR đã biết và không đổi thì tổng trở tải tính như sau: V |V |2 Z = = I P − jQ Và tổng dẫn: 1 P − jQ Y = = Z |V |2 3.4. KẾT LUẬN: Trong chương này ta xem xét các phần tử của hệ thống điện như đường dây truyền tải, biến áp, phụ tải. Mô hình hóa chúng trong hệ thống điện với trạng thái ổn định đủ để nghiên cứu các trạng thái cơ bản của hệ thống: Ngắn mạch, phân bố dòng chảy công suất, và ổn định quá độ. Trang 40
  39. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 4 CÁC MA TRẬN MẠNG VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG 4.1. GIỚI THIỆU: Sự trình bày rõ ràng chính xác phù hợp với mô hình toán học là bước đầu tiên trong giải tích mạng điện. Mô hình phải diễn tả được đặc điểm của các thành phần mạng điện riêng biệt như mối liên hệ chi phối giữa các thành phần trong mạng. Phương trình ma trận mạng cung cấp cho mô hình toán học những thuận lợi trong việc giải bằng máy tính số. Các thành phần của ma trận mạng phụ thuộc vào việc chọn các biến một cách độc lập, có thể là dòng hoặc áp. Vì lẽ đó, các thành phần của ma trận mạng sẽ là tổng trở hay tổng dẫn. Đặc điểm riêng của các thành phần mạng điện có thể được trình bày thuận lợi trong hình thức hệ thống ma trận gốc. Ma trận diễn tả được đặc điểm tương ứng của mỗi thành phần, không cung cấp nhiều thông tin liên quan đến kết nối mạng điện. Nó là cần thiết, vì vậy biến đổi hệ thống ma trận gốc thành ma trận mạng là diễn tả được các đặc tính quan hệ trong lưới điện. Hình thức của ma trận mạng được dùng trong phương trình đặc tính phụ thuộc vào cấu trúc làm chuẩn là nút hay vòng. Trong cấu trúc nút làm chuẩn biến được chọn là nút áp và nút dòng. Trong cấu trúc vòng làm chuẩn biến được chọn là vòng điện áp và vòng dòng điện. Sự tạo nên ma trận mạng thích hợp là phần việc tính toán của chương trình máy tính số cho việc giải bài toán hệ thống điện. 4.2. GRAPHS. Để diễn tả cấu trúc hình học của mạng điện ta có thể thay thế các thành phần của mạng điện bằng các đoạn đường thẳng đơn không kể đặc điểm của các thành phần. Đường thẳng phân đoạn được gọi là nhánh và phần cuối của chúng được gọi là nút. Nút và nhánh nối liền với nhau nếu nút là phần cuối của mỗi nhánh. Nút có thể được nối với một hay nhiều nhánh. Graph cho thấy quan hệ hình học nối liền giữa các nhánh của mạng điện. Tập hợp con của các graph là các nhánh. Graph được gọi là liên thông nếu và chỉ nếu có đường nối giữa mỗi cặp điểm với nhau. Mỗi nhánh của graph liên thông được ấn định hướng thì nó sẽ định theo một hướng nhất định. Sự biểu diễn của hệ thống điện và hướng tương ứng của graph trình bày trong hình 4.1. Cây là một graph liên thông chứa tất cả các nút của graph nhưng không tạo thành một vòng kín. Các thành phần của cây được gọi là nhánh cây nó là tập hợp con các nhánh của graph liên thông đã chọn trước. Số nhánh cây b qui định cho mỗi cây là: b = n - 1 (4.1) Với: n là số nút của graph Trang 42
  40. GIẢI TÍCH MẠNG G G (a) G Hình 4.1 : Mô tả hệ thống điện. 1 2 (a) Sơ đồ một pha. 4 (b) Sơ đồ thứ tự thuận. (c) Graph định hướng. 3 0 (b) 7 1 2 4 6 5 3 4 2 (c) 1 3 0 Nhánh của graph liên thông không chứa trong cây được gọi là nhánh bù cây, tập hợp các nhánh này không nhất thiết phải liên thông với nhau được gọi là bù cây. Bù cây là phần bù của cây. Số nhánh bù cây l của graph liên thông có e nhánh là: l = e - b Từ phương trình (4.1) ta có l = e - n + 1 (4.2) Cây và bù cây tương ứng của graph cho trong hình 4.1c được trình bày trong hình 4.2 7 2 1 4 5 6 3 4 e = 7 2 n = 5 Nhánh cây 1 3 b = 4 l = 3 Nhánh bù cây 0 Hình 4.2 : Cây và bù cây của graph liên thông định hướng Nếu nhánh bù cây được cộng thêm vào cây thì kết quả graph bao gồm một đường kín được gọi là vòng. Mỗi nhánh bù cây được cộng thêm vào sẽ tạo thành một hay nhiều vòng. Vòng chỉ gồm có một nhánh bù cây độc lập thì gọi là vòng cơ bản. Bởi vậy, số vòng cơ bản đúng bằng số nhánh bù cây cho trong phương trình (4.2). Sự định Trang 43
  41. GIẢI TÍCH MẠNG hướng của vòng cơ bản được chọn giống như chiều của nhánh bù cây. Vòng cơ bản của graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.3. 7 1 2 3 4 6 5 4 F E G 2 1 3 0 Hình 4.3 : Vòng cơ bản định hướng theo graph liên thông Vết cắt là tập hợp của các nhánh, nếu bỏ đi hoặc chia graph liên thông thành hai graph con liên thông. Nhóm vết cắt có thể chọn độc lập duy nhất nếu mỗi vết cắt chỉ bao gồm một nhánh cây. Vết cắt độc lập như vậy gọi là vết cắt cơ bản. Số vết cắt cơ bản đúng bằng số nhánh cây. Sự định hướng của vết cắt cơ bản được chọn giống như hướng của nhánh cây. Vết cắt cơ bản của graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.4 7 2 D 6 5 3 4 4 1 B 2 A C 3 1 0 Hình 4.4 : Vết cắt cơ bản định hướng theo graph liên thông 4.3. MA TRẬN THÊM VÀO. 4.3.1. Ma trận thêm vào nhánh - nút Â. Sự liên hệ giữa nhánh và nút trong graph liên thông trình bày bởi ma trận thêm vào nhánh nút. Các thành phần của ma trận được trình bày như sau: aịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j có chiều hướng từ nhánh i vào nút j aịj = -1: Nếu nhánh thứ i và nút thứ j có chiều hướng từ nhánh i ra khỏi nút j aịj = 0 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j không có mối liên hệ với nhau. Kích thước của ma trận là e x n, với e là số nhánh và n là số nút của graph. Ma trận thêm vào nhánh nút cho trong graph hình 4.2 trình bày như trên. Với: Trang 44
  42. GIẢI TÍCH MẠNG 4 ∑ ai j = 0 i =1, 2, e j =0 n e 0 1 2 3 4 1 1 -1 2 1 -1 3 1 -1 Đ = 4 -1 1 5 1 -1 6 1 -1 7 1 -1 Các cột của ma trận  là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy hạng của  < n. 4.3.2. Ma trận thêm vào nút A. Các nút của graph liên thông có thể chọn làm nút qui chiếu. Nút qui chiếu có thể thay đổi, nó được xem như một nút trong graph có thể cân nhắc khi ấn định cụ thể một nút nào đó làm nút qui chiếu. Ma trận thu được từ ma trận  bỏ đi cột tương ứng với nút chọn làm nút qui chiếu là ma trận nhánh - nút A, nó sẽ được gọi là ma trận nút. Kích thước của ma trận là e x (n-1) và hạng là n-1 = b. Với: b là số nhánh cây của graph. Chọn nút 0 làm nút qui chiếu thể hiện trên graph trong hình 4.2. nút e 1 2 3 4 1 -1 2 -1 3 -1 4 -1 1 A = 5 1 -1 6 1 -1 7 1 -1 Ma trận A là hình chữ nhật và là duy nhất. Nếu hàng của A sắp xếp theo một cây riêng biệt thì ma trận trên có thể phân chia thành các ma trận con Ab có kích thước b x (n-1) và At có kích thước là l x (n-1). Số hàng của ma trận Ab tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận At tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia của graph trên hình 4.2 được trình bày như sau: Trang 45
  43. GIẢI TÍCH MẠNG nút nút e 2 3 e 1 4 Các nút 1 -1 2 -1 Ab 3 -1 Nhánh cây 4 -1 1 A = = 5 1 -1 6 1 -1 At 7 1 -1 Nhánh bù cây Ab là ma trận vuông không duy nhất với hạng (n -1). 4.3.3. Ma trận hướng đường - nhánh cây K: Hướng của các nhánh cây đến các đường trong 1 cây được trình bày bằng ma trận hướng đường - nhánh cây. Với 1 đường được định hướng từ 1 nút qui chiếu. Các phần tử của ma trận này là: kij = 1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu và được định hướng cùng hướng. kij = -1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu nhưng được định hướng ngược hướng. kij = 0: Nếu nhánh cây i không nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu. Với nút 0 là nút qui chiếu ma trận hướng đường - nhánh cây liên kết với cây được trình bày ở hình 4.2 có dạng dưới đây. đường Nhánh cây 1 2 3 4 -1 1 2 -1 K = 3 -1 -1 4 -1 Đây là ma trận vuông không duy nhất với cấp là (n-1). Ma trận hướng - đường nhánh cây liên hệ nhánh cây với các đường nhánh cây nối đến nút qui chiếu và ma trận Ab liên kết các nhánh cây với các nút. Vì vậy có tỉ lệ tương ứng 1:1 giữa các đường và các nút. t Ab.K = 1 (4.3) t -1 Do đó: K = Ab (4.4) Trang 46
  44. GIẢI TÍCH MẠNG 4.3.4. Ma trận vết cắt cơ bản B. Liên hệ giữa nhánh với vết cắt cơ bản của graph liên thông được thể hiện trong ma trận vết cắt cơ bản B. Các thành phần của ma trận là. bịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và hướng cùng chiều với vết cắt cơ bản thứ j bịj = -1 : Nếu nhánh thứ i và hướng ngược chiều với vết cắt cơ bản thứ j bịj = 0 : Nếu nhánh thứ i không liên quan với vết cắt thứ j Ma trận vết cắt cơ bản có kích thước là e x b của graph cho trên hình 4.4 là: Vết cắt cơ bản e b A B C D 1 1 2 1 1 3 B = 4 1 5 -1 1 1 6 1 1 7 1 1 Ma trận B có thể phân chia thành các ma trận con Ub và Bt. Số hàng của ma trận Ub tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Bt tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia được biểu diễn như sau: Vết cắt cơ bản b b A e B C D e Vết cắt cơ bản 1 1 2 1 Ub 3 1 Nhánh cây B = 4 1 = 5 -1 1 1 6 -1 1 Bt 1 7 1 Nhánh bù cây Trang 47
  45. GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đơn vị Ub cho ta thấy quan hệ tương ứng của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản Ma trận con Bt có thể thu được từ ma trận nút A. Liên hệ giữa nhánh bù cây với nút cho thấy bởi ma trận con At và giữa nhánh cây với nút là ma trận con Ab. Từ đây tương ứng quan hệ của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản, Bt.Ab cho thấy quan hệ giữa các nhánh bù cây với các nút như sau: Bt.Ab = At Vì vậy -1 Bt = At .Ab Theo phương trình (4.4) ta có -1 t Ab = K Vì vậy ta có t Bt = At .K (4.5) 4.3.5. Ma trận vết cắt tăng thêm Bˆ . Vết cắt giả thiết được gọi là vết cắt ràng buộc có thể đưa vào sau từng bước để số vết cắt đúng bằng số nhánh. Mỗi vết cắt ràng buộc chỉ gồm một nhánh bù cây của graph liên thông. Vết cắt ràng buộc của graph cho trên hình 4.4 được trình bày trong hình 4.5. 7 G F E D 2 4 1 6 5 4 B 3 2 Vết cắt cơ bản A C 1 3 Vết cắt ràng buộc 0 Hình 4.5 : Vết cắt cơ bản và ràng buộc định hướng theo graph liên thông Ma trận vết cắt tăng thêm có hình thức biểu diễn như ma trận vết cắt cơ bản cộng thêm số cột của vết cắt ràng buộc. Vết cắt ràng buộc được định hướng phụ thuộc vào hướng của nhánh bù cây. Ma trận vết cắt tăng thêm của graph trình bày trên hình 4.5 là ma trận Bˆ như sau: Trang 48
  46. GIẢI TÍCH MẠNG Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo e e A B C D E F G 1 1 2 1 3 1 Bˆ = 4 1 5 -1 1 1 1 6 -1 1 1 7 -1 1 1 Bˆ : Là ma trận vuông có kích thước e x e và không duy nhất. Ma trận Bˆ có thể phân chia như sau: Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo Vết cắt cơ Vết cắt giả e e A B C D E F G bản tạo e e 1 1 2 1 U 0 3 1 b B ˆ = Nhánh cây 4 1 = 5 -1 1 1 1 6 -1 1 1 Bt Ut 7 -1 1 1 Nhánh bù cây 4.3.6. Ma trận thêm vào vòng cơ bản C. Tác động của nhánh cây với vòng cơ bản của graph liên thông thể hiện bởi ma trận vòng cơ bản. Thành phần của ma trận là: cịj = 1 : Nếu nhánh cây thứ i và hướng cùng chiều với vòng cơ bản thứ j cịj = -1: Nếu nhánh cây thứ i và hướng ngược chiều với vòng cơ bản thứ j cịj = 0 : Nếu nhánh cây thứ i không liên quan với vòng cơ bản thứ j Ma trận vòng cơ bản có kích thước e x l theo graph cho trên hình 4.3 như sau: Trang 49
  47. GIẢI TÍCH MẠNG Vòng cơ bản l e E F G 1 1 2 1 -1 3 -1 C = 4 -1 5 1 6 1 7 1 Ma trận C có thể phân chia thành các ma trận con Cb và Ut. Số hàng của ma trận Cb tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Ut tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia như sau: Vòng cơ bản l l Vòng cơ bản e E F G e 1 1 2 1 -1 C 3 -1 b Nhánh cây C = 4 -1 = 5 1 6 1 Ut 7 1 Nhánh bù cây Ma trận đơn vị Ut cho thấy một nhánh bù cây tương ứng với một vòng cơ bản. 4.3.7. Ma trận số vòng tăng thêm Cˆ . Số vòng cơ bản trong graph liên thông bằng số nhánh bù cây. Để có tổng số vòng bằng số nhánh, thêm vào (e-l) vòng, tương ứng với b nhánh cây, gọi là vòng hở. Vòng hở được vẽ bên các nút nối bởi nhánh cây. Vòng hở của graph cho trên hình 4.3 được trình bày trong hình 4.6. Hướng của vòng hở được xác định theo như hướng của nhánh cây. Trang 50
  48. GIẢI TÍCH MẠNG 7 2 3 D 1 6 5 4 4 F E G A C 2 1 3 B Vòng cơ bản Vòng hở 0 Hình 4.6 : Vòng cơ bản và vòng hở định hướng theo graph liên thông Ma trận vòng tăng thêm có hình thức nằm bên cạnh ma trận vòng cơ bản, các cột của nó biểu diễn mối quan hệ giữa các nhánh với vòng hở. Ma trận của graph trình bày trong hình 4.6 được biểu diễn dưới đây. Cˆ : Là ma trận vuông, kích thước e x e và không duy nhất. Vòng hở Vòng cơ bản e e A B C D E F G 1 1 1 2 1 1 -1 1 3 1 -1 -1 Cˆ = 4 1 -1 5 1 6 1 7 1 Trang 51
  49. GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận Cˆ có thể phân chia như sau: Vòng hở Vòng cơ bản e e e A B C D E F G e Vòng hở Vòng cơ bản 1 1 1 2 1 1 -1 1 C 3 Ub b 1 -1 -1 ˆ 4 Nhánh cây C = 1 -1 = 5 1 6 1 0 Ut 7 1 Nhánh bù cây 4.4. MẠNG ĐIỆN GỐC. Thành phần của mạng điện là tổng trở và tổng dẫn được trình bày trong hình 4.7. Đặc tính của các thành phần có thể biểu diễn trong mỗi công thức. Biến và tham số là: vpq: Là hiệu điện thế của nhánh p-q epq: Là nguồn áp mắc nối tiếp với nhánh p-q ipq: Là dòng điện chạy trong nhánh p-q jpq: Là nguồn dòng mắc song song với nhánh p-q zpq: Là tổng trở riêng của nhánh p-q ypq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p-q Mỗi một nhánh có hai biến vpq và ipq. Trong trạng thái ổn định các biến và tham số của nhánh zpq và ypq là một số thực đối với dòng điện một chiều và là một số phức đối với dòng điện xoay chiều. Trang 52
  50. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 5 CÁC THUẬT TOÁN DÙNG CHO VIỆC THÀNH LẬP NHỮNG MA TRẬN MẠNG 5.1. GIỚI THIỆU. Những phương pháp trình bày trong các mục trên đòi hỏi một sự chuyển đổi và đảo ngược những ma trận để có được những ma trận mạng. Một phương pháp thay thế dựa trên một thuật toán có thể được dùng để thành lập trực tiếp ma trận tổng trở nút từ những thông số hệ thống và số nút đã được mã hoá. Nguyên tắc của thuật toán là thành lập ma trận tổng trở nút theo từng bước, mô phỏng cấu trúc của mạng bằng cách thêm vào từng nhánh một. Một ma trận được thành lập cho mạng riêng được biểu thị sau khi mỗi phần tử được nối với mạng. Ngoài ra, một thuật toán được biểu thị để chuyển hóa ma trận tổng dẫn vòng từ ma trận tổng trở nút đã định. Các phương trình mạng: INút = YNút .ENút ENút = ZNút .INút t YNút = A .y. A -1 ZNút = (YNút) 5.2. XÁC ĐỊNH MA TRẬN YNÚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP. Gọi Ei, Ej, Ek là điện áp tại các nút khi bơm một dòng vào nút i. Ei yij Ii Ej j i y yiij yjji iik yik Yii E ykki y k ii k Hình 5.1 : Sơ đồ mô tả mạng điện tại 1 nút Ij = 0; ∀ j ≠ i I i = ∑(yiij .Ei ) + ∑ (Ei − E j )yij j ≠i j ≠i Trang 67
  51. GIẢI TÍCH MẠNG = ∑ (yiij .Ei ) + ∑ yij Ei − ∑ yij E j j ≠i ji≠≠i j = Ei (∑∑yiij + yij ) + ∑ E j ( − yij ) ji≠≠i j j ≠i = Ei (yii + ∑ yij ).∑ E j ( − yij ) j ≠i j ≠i Ta có: Yii = ∑∑yiij + yij = yii + ∑ yij Yij = −yij Do đó: I i = Yii .Ei + ∑Yij E j = ∑Yij E j j ≠i Vậy : YNút là ma trận có các thành phần trên đường chéo chính là Yii thành phần ngoài đường chéo là Yij. Chú ý: Nếu có tương hổ thì chúng ta phải tính thêm các thành phần tương hỗ. Yii = ∑∑yiij + yij + ∑ yij , rs = yii + ∑ yij + ∑ yij , rs Yij = −(yij , ij + ∑ yij ,rs ) 5.3. THUẬT TOÁN ĐỂ THÀNH LẬP MA TRẬN TỔNG TRỞ NÚT: 5.3.1. Phương trình biểu diễn của một mạng riêng. Giả thiết rằng ma trận tổng trở nút ZNút được biết từ một mạng riêng m nút và một nút qui chiếu 0. Phương trình biểu diễn của mạng này cho trong hình (5.2) là: I 1 1 2 E1 I2 Mạng riêng E2 Im Hình 5.2 : Sự biểu diễn của một m mạng riêng E m Hệ qui chiếu 0 r r ENuït = ZNuït.I Nuït r Trong đó: ENuït= m x 1 vectơ của các điện áp nút được đo đối với nút qui chiếu. r I Nuït= m x 1 vectơ của các dòng điện được bơm vào nút khi một nhánh p - q được thêm vào mạng riêng, nó có thể là một nhánh cây hoặc một nhánh bù cây như cho ở hình (5.3) Trang 68
  52. GIẢI TÍCH MẠNG (a) Sự thêm vào của một nhánh cây (b) Sự thêm vào của một nhánh bù cây - Nếu p - q là một nhánh cây, một nút mới q được thêm vào mạng riêng và tạo thành ma trận tổng trở nút kích thước là (m + 1) x (m + 1). Các vectơ điện áp mới và dòng điện mới có kích thước là (m + 1) x 1. Để xác định ma trận tổng trở nút mới yêu cầu chỉ tính các phần tử trong hàng và cột mới. - Nếu p - q là một nhánh bù cây, không có nút mới được thêm vào mạng riêng. Trong trường hợp này, kích thước của các ma trận trong phương trình biểu diễn được giữ nguyên, nhưng tất cả các phần tử của ma trận tổng trở nút phải được tính lại để bao hàm ảnh hưởng của nhánh bù cây được thêm vào. (a) 1 (b) 1 2 2 M p q p M Mạng Mạng Nhánh p- m q điện Nhánh p- điện M q q m M 0 M 0 Hệ qui Hệ qui chiếu chiếu Hình 5.3 : Sự biểu diễn của một mạng riêng với một nhánh được thêm vào 5.3.2. Sự thêm vào của một nhánh cây. Giả sử ma trận ZNút ban đầu có kích thước m x m, sau khi thêm 1 nhánh cây kích thước m → m +1. Giả sử ta thêm vào 1 nút q ta có phương trình biểu diễn của mạng riêng với một nhánh cây p - q được thêm vào là như (5.1). Điều đó có nghĩa là mạng tồn tại các nhánh bị động cả hai phía. 1 Nhánh p- 2 q p q vpq M i Mạng E M p Hình 5.4 : Dòng điện được bơm điện Eq vào và sự tính toán các điện áp nút M Ii = 1 của Zqi 0 M Hệ qui chiếu Trang 69
  53. GIẢI TÍCH MẠNG Do đó: Zqi = Ziq, với i = 1, 2, , m và có liên quan đến các nút của mạng riêng, nhưng không kể đến nút mới q. Nhánh cây p - q thêm vào được xem là có hỗ cảm với một hoặc nhiều nhánh của mạng điện. ⎡ E1 ⎤ ⎡Z11 * * Z1m Z1q ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 2m 2q ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (5.1) ⎢Ep ⎥ ⎢Z p1 * * Z pm Z pq ⎥ ⎢I p ⎥ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ m1 mm mq ⎥ ⎢ m ⎥ ⎣⎢Eq ⎦⎥ ⎣⎢Zq1 * * Zqm Zqq ⎦⎥ ⎣⎢ I q ⎦⎥ Các phần tử Zqi có thể được xác định bằng cách bơm vào một dòng điện tại nút i và tính điện áp tại nút q với điểm qui chiếu như trình bày ở hình (5.4). Giả sử ta bơm dòng I = 1A vào nút i (Ij = 0 ∀ j ≠ i) vì tất cả các dòng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.1) suy ra: Eq = Zqi .Ii = Zqi Tương tự như trên ta bơm vào các nút còn lại E1 = Z1i .Ii E2 = Z2i .Ii Ep = Zpi .Ii (5.2) Em = Zmi .Ii Eq = Zqi .Ii Cho Ii = 1 trong phương trình (5.2), Zqi có thể thu được trực tiếp bằng cách tính Eq Các điện áp nút liên kết với nhánh thêm vào và điện áp qua nhánh được thể hiện bởi: Eq = Ep - vpq (5.3) Các dòng điện trong các nhánh của mạng trong hình (5.4) được diễn tả trong các số hạng của các tổng dẫn ban đầu và các điện áp qua các nhánh là: y ypq,rs ipq pq,pq vpq = (5.4) irs yrs,pq yrs,rs Vrs Trong phương trình (5.4), pq là một chỉ số cố định và liên quan với nhánh thêm vào, và rs là chỉ số biến đổi, liên quan đến các nhánh khác. Trong đó: - ipq và vpq: Là dòng điện và điện áp chạy qua tương ứng với nhánh thêm vào. - irs và vrs: Là các vectơ dòng điện và điện áp trong các nhánh của mạng riêng. - ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh thêm vào. - ypq,rs : Là vectơ của các tổng dẫn tương hổ giữa nhánh thêm vào p - q và các nhánh r - s của mạng riêng. - yrs,pq : Là vectơ chuyển vị của ypq,rs - [yrs,rs]: Là ma trận tổng dẫn ban đầu của mạng riêng. Dòng điện chạy trong nhánh cây thêm vào cho trong hình 5.4 là: Trang 70
  54. GIẢI TÍCH MẠNG ipq = 0 (5.5) Tuy nhiên, vpq không bằng 0 vì nhánh cây thêm vào hỗ cảm với một hoặc nhiều nhánh của mạng riêng. Ngoài ra: r r r vrs = Er − Es (5.6) Trong đó: Er và Es là các suất điện động tại các nút trong mạng riêng. Từ phương trình (5.5) ta có: r r i pq = ypq, pq.vpq + ∑ ypq,rs.vrs = 0 Do đó: 1 r r vpq = − ∑ ypq,rs.vrs ypq, pq r Thế vrs từ phương trình (5.6) ta có: 1 r r r vpq = − ∑ ypq,rs (Er − Es ) (5.7) ypq, pq Thế vpq vào trong phương trình (5.3) từ (5.7) ta có: 1 r r r Eq = Ep + ∑ ypq,rs (Er − Es ) ypq, pq r r Cuối cùng, thế Ep, Eq, Er và Es từ phương trình (5.2) với Ii = 1, ta có: 1 r r r Zqi = Z pi + ∑ ypq,rs (Zri − Zrs ) i = 1, 2, m i ≠ j (5.8) ypq, pq Phần tử Zqq có thể được tính bằng cách bơm một dòng điện tại nút q và tính điện áp tại nút đó. Giả sử ta bơm dòng I = 1A vào nút q (Ij = 0 ∀ j ≠ q) vì tất cả các dòng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.1) ta suy ra. Eq = Zqq .Iq = Zqq Tương tự như trên ta bơm vào các nút còn lại E1 = Z1q.Iq M Ep = Zpq.Iq (5.9) M Em = Zmq.Iq Trong phương trình (5.9), Zqq có thể thu được trực tiếp bằng cách tính Eq. Tương tự ta có điện áp giữa 2 nút p và q là: Eq = Ep - vpq Điện áp tại các nút p và q được liên kết với nhau bởi phương trình (5.3) và dòng điện chạy qua nhánh thêm vào là: ipq = -Iq = -1 (5.10) Các điện áp qua các nhánh của mạng riêng được cho bởi phương trình (5.6) và các dòng điện chạy qua các nhánh đó cho bởi phương trình (5.4) và (5.10) ta có: r r i pq = ypq, pq.vpq + ∑ ypq,rs.vrs = −1 Do đó: r r −1− ∑ ypq,rs .vrs vpq = ypq, pq r Thế vrs từ phương trình (5.6) ta có: r r r −1− ∑ ypq,rs.(Er − Es ) vpq = (5.11) ypq, pq Trang 71
  55. GIẢI TÍCH MẠNG Thế vpq vào trong phương trình (5.11) từ (5.3) ta có: r r r 1+ ∑ ypq,rs.(Er − Es ) Eq = Ep + ypq, pq r r Cuối cùng, thế Ep, Eq, Er và Es từ phương trình (5.9) với Iq = 1, ta có: r r r 1+ ∑ ypq,rs (Zrq − Zsq) Z qq= Z pq + (5.12) ypq, pq Nếu không có hỗ cảm giữa nhánh cây thêm vào và các nhánh khác của mạng riêng, thì các phần tử của ypq,rs bằng 0. Và ta có: 1 Z pq, pq = ypq, pq Từ phương trình (5.8), ta suy ra rằng: Zqi = Zpi , i = 1, 2, m i ≠ j Và từ phương trình (5.12), ta có: Zqq = Zpq + Zpq,pq Hơn nữa, nếu như không có hỗ cảm và p là nút qui chiếu Zpi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Nên: Zqi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Tương tự: Zpq = 0 Và vì vậy: Zqq = Zpq,pq 5.3.3. Sự thêm vào của một nhánh bù cây. Nếu nhánh p - q thêm vào là một nhánh bù cây, phương pháp để tính các phần tử của ma trận tổng trở nút là mắc nối tiếp với nhánh thêm vào một suất điện động el như cho trong hình 5.5. Việc này tạo thành một nút giả l mà nút đó sẽ được loại trừ ra sau đó. Suất điện động el được chọn như thế nào mà dòng điện chạy qua nhánh bù cây thêm vào bằng 0. l p el ipq =0 q Ypq,pq Eq Ep Giả sử ma trận ZNút ban đầu có kích thước m x m, khi ta thêm nhánh bù cây và tạo nút giả l thì ma trận ZNút có kích thước là (m+1) x (m+1). Trang 72
  56. GIẢI TÍCH MẠNG 1 2 M i p M Ii = 1 Mạng điện Ep ipq l vpq El Hình 5.5 : Dòng điện bơm vào, suất điện động trong mạch nối el E tiếp với nhánh bù cây thêm vào q q M và các điện áp nút cho việc tính toán của Zli Hệ qui 0 chiếu Phương trình đặt trưng cho mạng riêng với nhánh p-l thêm vào và mạch nối tiếp sức điện động el là . ⎡ E1 ⎤ ⎡Z11 * * Z1m Z1l ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * * Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 2l ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ = ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ (5.13) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Em ⎥ ⎢Zm1 * * Zmm Zml ⎥ ⎢I m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ el ⎦ ⎣ Zl1 * * Zlm Zll ⎦ ⎣ I l ⎦ Vì: el = El - Eq Phần tử Zli có thể được xác định bằng cách bơm vào một dòng điện tại nút i và tính điện áp tại nút l thuộc về nút q. Vì tất cả các dòng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.13) ta suy ra: Ek = Zki .Ii = Zki Tương tự như trên ta bơm vào các nút còn lại E1 = Z1i .Ii M Ep = Zpi .Ii M el = Zli.Ii , i =1, 2, m (5.14) Cho Ii = 1 trong phương trình (5.14), Zli có thể thu được trực tiếp bằng cách tính el. Suất điện động trong mạch nối tiếp là: el = Ep - Eq - vpl (5.15) Vì dòng điện chạy qua nhánh bù cây thêm vào là: ipq= 0 Nhánh p - l có thể được lý giải như một nhánh cây. Dòng điện trong nhánh này, ứng với các số hạn của tổng dẫn ban đầu và điện áp qua các nhánh là: r r i pq = i pl = ypq, pl .vpl + ∑ ypq,rs.vrs = 0 Với: ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p - q ypq,rs: Là tổng dẫn tương hổ của nhánh p - q với nhánh r - s ipl = ipq = 0 Vì vậy: Trang 73
  57. GIẢI TÍCH MẠNG 1 r r vpl = − ∑ ypl,rs.vrs ypl, pl r r Do đó: ypl,rs = ypq,rs và ypl, pl = ypq, pq Nên ta có: 1 r r vpl = − ∑ ypq,rs.vrs (5.16) ypq, pq Thế lần lượt phương trình (5.16), (5.6) và (5.14) với Ii = 1 vào phương trình (5.15) ta có: 1 r r r Zli = Z pi − Zqi + ∑ ypl,rs (Zri − Zsi ) i = 1, 2, m,i ≠ l (5.17) ypl, pl Phần tử Zll có thể được tính bằng cách bơm vào một dòng điện tại nút l với nút q là điểm nút qui chiếu và tính điện áp tại nút thứ l thuộc về nút q. Giả sử ta bơm dòng I = 1A vào nút l (Ij = 0 ∀ i ≠ l), vì tất cả các dòng điện tại các nút khác bằng 0. Từ phương trình 5.13) ta suy ra: Ek = ZklIl = Zkl k = 1, 2, m Tương tự như trên ta bơm vào các nút còn lại. E1 = Z1l.Il M Ep = Zpl.Il (5.18) M el = Zll.Il = Zll Tương tự ta có điện áp giữa 2 nút p và l là: el = Ep - Eq - vpl Cho Il = 1 ở phương trình (5.18), Zll có thể thu được trực tiếp bằng cách tính el. Dòng điện trong nhánh p - l là: ipl = -Il = -1 Dòng điện này trong các số hạng của các tổng dẫn ban đầu và các điện áp qua các nhánh là: r r i pq = i pl = ypq, pl .vpl + ∑ ypq,rs.vrs = −1 Với: ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p - q ypq,rs: Là tổng dẫn tương hổ của nhánh p - q với nhánh r - s Tương tự, vì: r r ypl,rs = ypq,rs và ypl, pl = ypq, pq r r 1+ ∑ ypl,rs .vrs Nên: vpl = − (5.19) ypl, pl Thế lần lượt phương trình (5.19), (5.6) và (5.18) vào phương trình (5.15) với Il = 1 ta có: r r r 1+ ∑ ypq,rs (Zrl − Zsl ) Zll = Z pl − Zql + (5.20) ypq, pq Nếu nhánh thêm vào không hỗ cảm với các nhánh khác của mạng riêng, thì các phần tử ypq,rs = 0 1 Và: Z pq, pq = ypq, pq Từ phương trình (5.17) ta suy ra: Trang 74
  58. GIẢI TÍCH MẠNG Zli = Zpi - Zqi, i = 1, 2, m i ≠ l Và từ phương trình (5.20): Zll = Zpl - Zql + Zpq,pq Hơn nữa, nếu sự thêm vào đó mà không hỗ cảm và p là nút qui chiếu thì: Zpi = 0, i = 1, 2, m i ≠ l Và: Zli = -Zqi, i = 1, 2, m i ≠ l Và tương tự:: Zpl = 0 Vì vậy: Zll = - Zql + Zpq,pq Các phần tử trong hàng và cột thứ l của ma trận tổng trở nút với mạng riêng thêm vào được tìm thấy từ các phương trình (5.17) và (5.20). Việc còn lại của tính toán đòi hỏi ma trận tổng trở nút bao hàm ảnh hưởng của nhánh bù cây thêm vào. Điều này có thể hoàn thành bằng cách biến đổi các phần tử Zij, trong đó i, j = 1, 2, m, và loại trừ hàng và cột l tương ứng với nút giả. Nút giả được loại trừ bằng cách ngắn mạch nguồn suất điện động mạch nối tiếp el. Từ phương trình (5.13) ta có: r r r ENuït = ZNuït.I Nuït + Zil .I l (5.21) r r Và: el = Zlj .I Nuït + Zll .I l = 0 i, j = 1, 2, m (5.22) Giải Il từ phương trình (5.22) và thế vào (5.21): r r r Zil .Zlj r ENuït = (ZNuït − ).I Nuït Zll Đây là phương trình biểu diễn của mạng riêng bao hàm nhánh bù cây. Từ đó suy ra yêu cầu của ma trận tổng trở nút là: r r Zil .Zlj ZNút (được biến đổi) = ZNút (trước lúc loại trừ) - Zll Với : Bất kỳ phần tử của ZNút (được biến đổi) là: r r Zil .Zlj Zij (được biến đổi) = Zij (trước lúc loại trừ) - Zll Trang 75
  59. GIẢI TÍCH MẠNG BEGIN Vào số liệu Nút qui chiếu k := 1 Thêm nhánh cây Dựa vào bảng số liệu nhập tổng trở ban đầu Z Tính Z’Nút Thêm Nhánh bù cây S Đ Dựa vào bảng số liệu nhập lại tổng trở ban đầu Z Tính Z’’Nút Đ Thêm nhánh cây S S k = e Đ Hình thành ma trận END LƯU ĐỒ THÀNH LẬP MA TRẬN TỔNG TRỞ NÚT Trang 76
  60. GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 6 TRÀO LƯU CÔNG SUẤT 6.1. GIỚI THIỆU: Nhiệm vụ của giải tích mạng là tính toán các thông số chế độ làm việc, chủ yếu là dòng và áp tại mọi nút của mạng điện. Việc xác định các thông số chế độ mạng điện rất có ý nghĩa khi thiết kế, vận hành và điều khiển hệ thống điện. Một số lớn các thuật toán được đề xuất trong 20 năm trở lại đây. Trong chương này ta giới thiệu các phương pháp đó trên các khía cạnh như: Dễ chương trình hóa, tốc độ giải, độ chính xác Việc tính toán dòng công suất phải được tiến hành từng bước và hiệu chỉnh dần. Bên cạnh mục đích xác định trạng thái tỉnh thì việc tính toán dòng công suất còn là một phần của các chương trình về tối ưu và ổn định. Trước khi có sự xuất hiện của máy tính số, việc tính toán dòng công suất được tiến hành bằng thiết bị phân tích mạng. Từ năm 1956, khi xuất hiện máy tính số đầu tiên thì phương pháp tính dòng công suất ứng dụng máy tính số được đề xuất và dần dần được thay thế các thiết bị phân tích mạng. Ngày nay các thiết bị phân tích mạng không còn được dùng nữa. 6.2. THIẾT LẬP CÔNG THỨC GIẢI TÍCH. Giả sử mạng truyền tải là mạng 3 pha đối xứng và được biểu diễn bằng mạng nối tiếp dương như trên hình 6.1a. Các phần tử của mạng được liên kết với nhau nên ma trận tổng dẫn nút YNút có thể xác định từ sơ đồ. Theo sơ đồ 6.1a ta có: INút = YNút .VNút (6.1) 1 P I p p . + V . p Sp - 0 (a) (b) Hình 6.1 : Sơ đồ đa cổng của đường dây truyền tải YNút là một ma trận thưa và đối xứng. Tại các cổng của mạng có các nguồn công suất hay điện áp. Chính các nguồn này tại các cổng làm cho áp và dòng liên hệ phi tuyến với nhau theo (6.1) chúng ta có thể xác định được công suất tác dụng và phản kháng bơm vào mạng (quy ước công suất dương khi có chiều bơm vào mạng) dưới dạng hàm phi tuyến của Vp và Ip. Ta có thể hình dung nguồn công suất bơm vào mạng nối ngang qua cổng tại đầu dương của nguồn bơm như hình 6.1b. Trang 77
  61. GIẢI TÍCH MẠNG Phân loại các nút: - Nút P -Q là nút mà công suất tác dụng P và công suất phản kháng Q là cố định, như nút P ở 6.1 chẳng hạn SP SP SP SP SP SP Vp I p = Sp + jQ p = (PGP − PLP ) + j(QGP − QLP ) (6.2) Với Vp = ep +jfp Chỉ số GP và LP ứng với công suất nguồn phát và công suất tiêu thụ ở P. S cho biết công suất cố định (hay áp đặt). - Nút P -V tương tự là nút có công suất tác dụng P cố định và độ lớn điện áp được giữ không đổi bằng cách phát công suất phản kháng. Với nút này ta có: * SP SP SP Re[Vp I p ] = Pp = PGP − PLP (6.3) 2 2 SP Vp = (ep + f p ) = Vp (6.4) - Nút V-q (nút hệ thống) rõ ràng ở nút này điện áp và góc pha là không đổi. Việc đưa ra khái niệm nút hệ thống là cần thiết vì tổn thất I2R trong hệ thống là không xác định trước được nên không thể cố định công suất tác dụng ở tất cả các nút. Nhìn chung nút hệ thống có nguồn công suất lớn nhất. Do đó người ta đưa ra nút điều khiển điện áp nói chung là nó có công suất phát lớn nhất. Ở nút này công suất tác dụng PS (s ký hiệu nút hệ thống) là không cố định và được tính toán cuối cùng. Vì chúng ta cũng cần một pha làm chuẩn trong hệ thống, góc pha của nút hệ thống được chọn làm chuẩn thường ở mức zero radian. Điện áp phức V cố định còn Ps và Qs được xác định sau khi giải xong trào lưu công suất ở các nút. 6.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT TRÀO LƯU CÔNG SUẤT: Theo lý thuyết thì có hai phương pháp tồn tại đó là phương pháp sử dụng ma trận YNút và phương pháp sử dụng ma trận ZNút. Về bản chất cả hai phương pháp đều sử dụng các vòng lặp. Xét về lịch sử phương pháp thì phương pháp YNút đưa ra trước vì ma trận YNút dễ tính và lập trình, thậm chí ngày nay nó vẫn sử dụng với hệ thống không lớn lắm, phương pháp này gọi là phương pháp Gauss -Seidel. Đồng thời phương pháp Newton cũng được đưa ra phương pháp này có ưu điểm hơn về mặt hội tụ. Sau khi cách loại trừ trật tự tối ưu và kỹ thuật lập trình ma trận vevtơ thưa làm cho tốc độ tính toán và số lượng lưu trữ ít hơn, thì phương pháp Newton trở nên rất phổ biến. Ngày nay với hệ thống lớn tới 200 nút hay hơn nữa thì phương pháp này luôn được dùng. Phương pháp dùng ma trận ZNút với các vòng lặp Gauss - Seidel cũng có tính hội tụ như phương pháp Newton nhưng ma trận ZNút là ma trận đầy đủ nên cần bộ nhớ hơn để cất giữ chúng, đó là hạn chế chính của phương pháp này Trong chương này chúng ta chỉ giới thiệu nguyên lý của các phương pháp, còn các phương pháp đặc biệt như: Sử lý ma trận thưa, sắp xếp tối ưu phép khử, lược đồ, không được đề cập đến. Trang 78
  62. GIẢI TÍCH MẠNG 6.4. ĐỘ LỆCH VÀ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ. Phép giải trào lưu công suất được coi là chính xác khi thỏa mãn điều kiện từ (6.2) đến (6.4) mà chủ yếu là phải đảm bảo chính xác (6.4), hai tiêu chuẩn hội tụ phổ biến là: - Mức độ công suất tính toán ở nút nào đó theo Vp và Ip ở bên trái đẳng thức (6.2) đến (6.4) phù hợp tương ứng với giá trị cho sẵn ở bên phải. Sự sai khác này gọi là độ lệch công suất nút. - Độ lệch điện áp nút giữa 2 vòng lặp kế tiếp nhau. Sau đây ta xét từng tiêu chuẩn cụ thể: + Tiêu chuẩn độ lệch công suất nút: Từ (6.1) và (6.2) ta có n SP * SP SP * * ∆Sp = Sp −Vp I p = Pp + jQ p −Vp ∑YpqVq (6.5) q=1 Tách phần thực và phần ảo của (6.5) ta được độ lệch công suất tác dụng và độ lệch công suất phản kháng thích hợp cho cả (6.2) và (6.3). Biểu diễn trong tọa độ vuông góc như sau: Ta sử dụng ký hiệu sau: V p = e p + jf p = V p ∠θ p Y = G + jB pq pq pq θ pq = θ p −θ q Với từng nút P -V hay P - Q Dạng tọa độ vuông góc: n SP ∆PP = PP − Re[(ep + jf p )∑ (Gpq − jB pq )(eq − jf q )] (6.6a) q=1 Dạng tọa độ cực: n SP ⎡ ⎤ ∆Pp = Pp − |Vp | ⎢∑ (Gpq cosθ pq + Bpq sinθ pq ) |Vq |⎥ (6.6b) ⎣ q=1 ⎦ Với từng nút P - Q Dạng tọa độ vuông góc: n SP ∆Qp = Qp − Im[(ep + jf p )∑(Gpq − jB pq )(eq − jf q )] (6.7a) q=1 Dạng tọa độ cực: n SP ⎡ ⎤ ∆Qp = Qp − |Vp | ⎢∑ (Gpq sinθ pq − Bpq cosθ pq ) |Vq |⎥ (6.7b) ⎣ q=1 ⎦ Tiêu chuẩn hội tụ chung nhất được dùng trong thực tế là: ∆Pp ≤ Cp cho tất cả nút P -V và P -Q ∆Qp ≤ Cq cho tất cả nút P -Q Giá trị Cp và Cq được chọn từ 0,01 - 10 MVA hay MVAR tùy theo trường hợp. + Tiêu chuẩn độ lệch điện áp: Gọi số bước lặp là k, độ lệch điện áp giữa hai vòng lặp k và k +1 là: ()k+1 (k ) ∆Vp = V −V cho tất cả các nút P - Q Tiêu chuẩn hội tụ là: ∆Vp ≤ Cv cho tất cả các nút P - Q Trang 79
  63. GIẢI TÍCH MẠNG Giá trị Cv từ 0,01 đến 0,0001 6.5. PHƯƠNG PHÁP GAUSS - SEIDEL SỬ DỤNG MA TRẬN YNÚT: Để dễ hiểu phương pháp này ta giả thiết tất cả các nút là nút P-Q trừ nút hệ thống V - q. Vì điện áp của nút hệ thống hoàn toàn đã biết nên không có vòng lặp nào tính cho nút này. Ta chọn nút hệ thống là nút cân bằng. Do đó Vq (q ≠ s) coi là áp của nút q so với nút s (kí hiệu nút s là nút hệ thống). Với tất cả các nút, trừ nút thứ s là nút hệ thống ta rút ra được từ (6.1) và (6.2): S* n I = P = Y V p = 1,2 n ≠ P * ∑ pq q ; p s (6.8) VP q=1 Tách Ypq, Vp trong ∑ ra rồi chuyển vế ta được: ⎛ ⎞ 1 ⎜ S* n ⎟ V = P − Y V p = 1,2 n p ⎜ * ∑ pq q ⎟ ; p ≠ s (6.9) Ypp ⎜VP q=1 ⎟ ⎝ q≠ p ⎠ Các vòng lặp của phương trình Gauss - Seidel được thành lập như sau: 1 ⎡P − jQ ⎤ V (k+1) = ⎢ 1 1 − Y V (k) − Y V (k) − Y V − Y V (k) ⎥ 1 Y (k)∗ 12 2 13 3 1s s 1n n 11 ⎣⎢ V1 ⎦⎥ ⎡ ⎤ (k +1) 1 P2 − jQ2 (k ) (k ) V = ⎢ ∗ − Y V − Y V − Y V ⎥ 2 Y (k ) 21 1 2s s 2n n 22 ⎣⎢ V2 ⎦⎥ 1 ⎡P − jQ ⎤ V (k+1) = ⎢ P P − Y V (k+1) − Y V (k) − Y V (k) − Y V − Y V (k) ⎥ p Y (k)∗ P1 1 PP−1 P−1 PP+1 P+1 ps s pn n pp ⎣⎢ VP ⎦⎥ ⎡ ⎤ (k+1) 1 Pn − jQn (k+1) (k+1) V = ⎢ ∗ −Y V −Y V −Y V ⎥ (6.10) n Y (k) n1 1 ns s nn−1 n−1 nn ⎣⎢ Vn ⎦⎥ Hay viết dưới dạng tổng quát là: p−1 n ⎡⎛ ⎞ Sp ⎤ 1 V (k+1) = ⎢⎜− Y V (k+1) − Y V (k) ⎟ + ⎥. p ⎜ ∑∑pq q pq q ⎟ (k)* Y ⎣⎢⎝ q==1 q p ⎠ Vp ⎦⎥ pq Ma trận YNút là ma trận thu được khi ta xóa đi hàng s và cột s ở ma trận YNút. Và VNút, INút cũng có được bằng cách xóa đi phần tử s. Ta viết lại ma trận YNút bằng cách gồm các phần tử đường chéo, ma trận gồm các phần tử tam giác dưới đường chéo, ma trận gồm các phần tử tam giác trên đường chéo. YNút = D - L - W (6.11) Với: ⎡X ⎤ ⎡O ⎤ ⎡O ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ O⎥ ⎢ X ⎥ ⎢ O⎥ D = ⎢ X ⎥ W = ⎢ O ⎥ L = ⎢ O ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢O ⎥ ⎢O ⎥ ⎢X ⎥ ⎣⎢ X ⎦⎥ ⎣⎢ O⎦⎥ ⎣⎢ O⎦⎥ Trang 80
  64. GIẢI TÍCH MẠNG Vậy các vòng lặp được viết gọn lại như sau: (k+1) −1 (k+1) (k) (k) Vnuït = D [L.Vnuït + W.Vnuït + YNuït(Vnuït .VS )] ⎡P1 − jQ1 ⎤ ⎢ (k)* −Y1SVs ⎥ ⎢ V1 ⎥ ⎢ ⎥ (k) Pp − jQ p Với : YNuït(VNuït,VS ) = ⎢ (k)* −YpsVs ⎥ (6.12) ⎢ Vp ⎥ ⎢P − jQ ⎥ ⎢ n n ⎥ (k)* −YnsVs ⎣⎢ Vn ⎦⎥ BEGIN Xác định số liệu vào Chọn trị số điện áp ban (0) đầu Vp , p = 1, 2, n k : = 1 (k+1) Tính Vp theo (6.10) P = 1, 2, n Xác định độ thay đổi cực đại của điện áp (k+1) (k+1) (k) Max|∆Vp | = |Vp - Vp | p = 1, 2, Kiểm tra (k+1) k : =1 |∆Vp | max < Cv (k+1) Vp = Vp + V0 TínhTính dòngd òcôngng sucôấnt,g điện suáp ất, In kết quả END Hình 6.2 : Sơ đồ khối phương pháp Gauss _ Seidel Trang 81
  65. GIẢI TÍCH MẠNG Kiểm tra hội tụ như sau: (k+1) (k) Max|Vp −Vp | < CV (6.13) (0) Thông thường tại bước đầu tiên ta lấy trị số ban đầu Vp bằng điện áp định mức của mạng điện và chỉ gồm phần thực. Như vậy thuật toán lặp Gauss - Seidel đối với (6.10) được mô tả như hình 6.2. + Xác định Ypq,Yqp, với p = 1 n; q = 1 n (0) (0) + Chọn giá trị ban đầu tại các nút: Vp (p = 1 n). Thường lấy Vp = Uđm. + Tính giá trị ở bước 1 theo (6.10). Quá trình tính theo vòng tròn, nghĩa là giá trị điện áp tại nút p ở bước k+1 được tính qua giá trị điện áp tại bước k+1 của tất cả các nút còn lại p - 1, p - 2, , 1 và điện áp tại bước k của các nút p + 1, p + 2, n. + Tính lặp với k tăng dần (k+1) + Kiểm tra điều kiện dừng. Max|∆Vp | < Cv. Nếu sai thì trở về bước 3, nếu đúng thì tiếp tục tính toán các đại lượng khác như công suất trên đường dây, điện áp, và dừng. Lý thuyết chứng minh rằng phương pháp Gauss - Seidel hội tụ khi modul trị riêng lớn nhất của YNút nhỏ hơn 1. Ưu điểm chính của phương pháp Gauss - Seidel là đơn giản, dễ lập trình, tốn bộ nhớ (do ma trận YNút dễ thành lập) và khối lượng tính toán tại mỗi bước lặp cũng ít. Nhược điểm của phương pháp là tốc độ hội tụ chậm, do đó cần có phương pháp nâng cao tốc độ hội tụ. Điều này được xét đến trong phần sau. 6.5.1. Tính toán nút P-V: Ở nút P-V sự tính toán có khác vì công suất phản kháng Q chưa biết nhưng độ sp lớn điện áp được giữ ở V p . Mặt khác thiết bị chỉ phát giới hạn công suất phản kháng min max sp cal trong khoảng từ Q p đến Q p ở nút P-V công suất Q p được thay bằng Q p . cal * Với: Q p =Im(Vp.I p ) n * * = Im(Vp ∑YpqVq ) q=1 ⎡ n ⎤ = Im⎢(ep + jf p )∑(Gpq − jB pq )(eq − jf q )⎥ (6.14) ⎣ q=1 ⎦ n n 2 2 = −ep Bpp − f p Bpq − ∑ep (eq Bpq + f q Bpq ) +∑ f p (eq Bpq − f q Bpq ) q=1 q=1 q≠ p q≠ p cal Phía bên phải (6.14) là giá trị mới nhất của điện áp tính toán và tính được Q p (k+1) thay vào (6.10) ta tính được giá trị mới của điện áp V p . Vì điện áp ở nút này có độ sp (k+1) lớn không đổi |Vp| nên phần thực và ảo của V p phải được điều chỉnh để thỏa mãn điều kiện này trong khi giữ góc pha như sau: (k+1) (k+1) −1 f P δ p = tan (k+1) (6.15) eP (k+1) sp (k+1) sp (k+1) (k+1) (k+1) Vp(måïi) =|Vp | cosδ p + j |Vp | sinδ p = ep(måïi) + jf p(måïi) (6.16) Các giá trị này được dùng cho các tính toán tiếp theo. So sánh công suất phản kháng tính được và giới hạn của nó. Trang 82
  66. GIẢI TÍCH MẠNG cal max cal max cal min cal min NếuQ p >Q p đặt Q p =Q p , nếu Q p <Q p đặt Q p =Q p Tính như tính với nút P - Q và không điều chỉnh điện áp. Nếu trong tính toán tiếp cal theo Q p giảm xuống trong phạm vi giới hạn thì tính toán như nút P - V 6.5.2. Tính toán dòng chạy trên đường dây và công suất nút hệ thống: Sau khi các phép tính về vòng lặp hội tụ. Dòng chạy trên đường dây và công suất nút hệ thống được tính như sau: I Y I’ pq pq pq p q + + Vp Y’pq/2 Vq - Y’pq/2 - 0 0 Hình 6.3 : Sơ đồ π của đường dây truyền tải Xét đường dây nối từ nút p đến nút q có tổng dẫn nối tiếp và Ypq và tổng dẫn rò ’ là Y pq, dòng điện đường dây được xác định: ' I pq = (V p −Vq )Ypq +V pYpq / 2 Dòng công suất chảy từ p đến q là: * * * '* Ppq + jQ pq = Vp[(Vp −Vq ) Ypq +VPYpq / 2] (6.17) Dòng công suất chảy từ q đến p là: * * * '* Pqp + jQqp = Vq[(Vq −Vp ) Ypq +Vq Ypq / 2] (6.18) Tổn thất công suất đường dây sẽ bằng tổng đại số của Ppq +jQpq và Pqp +jQqp Công suất nút hệ thống được tính bằng tổng các dòng công suất chảy trên các đường dây có đầu nối với nút hệ thống: 6.5.3. Tăng tốc độ hội tụ: Phương pháp sử dụng vòng lặp YNút hội tụ chậm bởi vì trong hệ thống lớn mỗi nút thường có dây nối đến 3 hay 4 nút khác. Kết quả là làm cho tiến trình lặp yếu đi việc cải thiện điện áp ở một nút sẽ ảnh hưởng đến các nút nối trực tiếp vào nó. Vì vậy kỹ thuật tăng tốc được sử dụng để nâng cao tốc độ hội tụ. Phương pháp phổ biến nhất là SOR (Successive - over - relaxation) phương pháp giảm dư quá hạn liên tiếp. Nội dung phương pháp là cứ sau mỗi vòng lặp thì sẽ hiệu chỉnh điện áp trên các nút P - Q bằng cách sau: (k+1) (k+1) (k) ∆Vp = α(Vp(tênh) −Vp ) (6.19) (k+1) Và Vp là: (k+1) (k) (k+1) Vp = Vp + ∆Vp (6.20) Hệ số a gọi là hệ số tăng tốc được xác định theo kinh nghiệm ở giữa 1 và 2, thường (1 < a < 2). Trang 83
  67. GIẢI TÍCH MẠNG Nếu a chọn hợp lý thì tốc độ hội tụ tăng mạnh, nhìn chung giá trị thực của a là từ 1,4 đến 1,6. Nếu a là số phức thì phần thực và phần ảo của điện áp được tăng tốc riêng biệt: (k+1) (k+1) (k) (k+1) (k) ∆Vp = α Re[Vp(tênh) −Vp ]+ jβ Im[Vp(tênh) −Vp ] (2.21) (k+1) (k) (k+1) Và Vp = Vp + ∆Vp (6.22) Với a và b đều là số thực: 6.5.4. Ưu và nhược điểm của phương pháp dùng YNút: Ma trận YNút khá dễ thành lập và phương pháp giải là trực tiếp nên lập trình trở nên đơn giản. Bộ nhớ được dùng để lưu trữ các phần tử khác không nằm trên đường chéo chính. Sau khi sử dụng tính đối xứng của YNút thì việc tính toán và lưu trữ cũng gọn hơn. Vì trong hệ thống mỗi nút nối đến 3 hay 4 nút khác nên mỗi vòng lặp cho từng nút sẽ dùng đến sự lưu trữ các nút này, do đó phép tính sẽ tăng lên rất nhiều. Số phép tính trong mỗi bước lặp tỉ lệ với số nút n, nếu số nút là n thì số phép tính là n2. Với hệ thống có 200 nút hay hơn nữa phương pháp này tỏ ra kém hiệu quả và rất khó hội tụ nếu có ảnh hưởng của điều kiện nào đó chẳng hạn có mặt của tụ nối tiếp (tụ bù dọc) so với phương pháp Newton. 6.6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MA TRẬN Z NÚT: Để giải thích về phương pháp này đầu tiên ta giả thiết không có nút P-V các nút đều là P - Q (gồm n nút) và một nút cân bằng (chọn nút cân bằng là nút hệ thống). Trường hợp có tồn tại nút P - V sẽ xét ở phần 6.6.3: Giả thiết các thông số của mạng tuyến tính khi đó có thể xem nguồn dòng ở nút thứ p là Jp là tổ hợp tuyến tính của dòng điện gây ra bởi điện áp Vp và điện áp ở các nút khác Vq (q = 1 n, q ≠ p). Đây là nguyên lý xếp chồng của mạng điện. YNút .VNút = INút YNút, VNút , INút có ý nghĩa như (6.1) Nhiệm vụ của chúng ta là tìm VNút. Để tìm VNút có thể dùng phương pháp khử liên tiếp hay phương pháp Crame nhưng các phương pháp này rất cồng kềnh khi n lớn. Ở đây ta đề cập đến phương pháp ma trận. Do YNút là ma trận vuông, đối xứng và không suy biến nên ta có: -1 VNút = YNút . INút -1 YNút = ZNút : Gọi là ma trận tổng trở nút của mạng điện. Do đó ta có thể viết: VNút = ZNút . INút ZNút có thể xác định theo ba cách sau: −1 + Xác định từ Y Nuït: Phương pháp này có thể dùng được khi n bé bằng cách dùng ma trận phần phụ đại số của YNút. Khi n lớn có thể dùng thuật toán lặp, công thức của thuật toán lặp xác định ma trận nghịch đảo tại bước thứ k là: −1 −1 −1 −1 YNuït*[k] = YNuït*[k −1] + YNuït*[k −1](I − YNuït.YNuït*[k −1]) −1 −1 Với Y Nuït*[k −1]: Là ma trận nghịch đảo gần đúng của YNuït[k −1] và I là ma trận −1 đơn vị. Có thể lấy YNuït*[0] là ma trận đường chéo suy ra từ YNút bằng cách giữ lại các −1 phần tử trên đường chéo chính. Quá trình lặp dừng lại khi YNuït*[k].YNuït ≈ I . + Xác định từ sơ đồ mạng: Vì ZNút cũng có ý nghĩa vật lý như YNút do đó ta cũng có thể thiết lập từ sơ đồ: Trang 84
  68. GIẢI TÍCH MẠNG Zpp: Là tổng dẫn đầu vào nhìn từ nút i đến nút cân bằng khi ở mọi nút k có Ik = 0, k ≠ p. Zpq, p ≠ q là tổng trở tương hổ giữa nút p và nút q. + Khi có sự trợ giúp của máy tính điện tử thì ZNút được xác định theo phương pháp mở rộng dần sơ đồ như sau: Chọn vài phần tử của mạng để dễ lập ZNút theo cách 2 ở trên. Sau đó mở rộng dần sơ đồ cho đến khi đủ n nút: Phương pháp này thường được sử dụng khi giải tích mạng có cấu trúc thay đổi và bài toán được chương trình hóa. Qua đây ta thấy việc xác định ZNút từ sơ đồ khó hơn so với việc xác định YNút từ sơ đồ. Bây giờ ta xét từng phương pháp lặp cụ thể sau khi đã xác định được ZNút. 6.6.1. Phương pháp thừa số zero: Xét ma trận YNút ta bỏ đi hàng, cột ứng với nút hệ thống ta có ma trận YNút từ (6.12) bỏ đi các ký hiệu vòng lặp ta được: YNút . VNút = g(INút,Vs) Lấy nghịch đảo YNút ta có: −1 YNuït = ZNuït (k+1) (k) VNuït = ZNuït.g(I Nuït,Vs ) Các vòng(k l+ặ1)p theo ph(kươ) ng pháp Gauss - Seidel: VNuït = ZNuït.I Nuït Viết rộng ra các vòng lặp là: ⎡ P − jQ ⎤ 1 1 −Y V ()k+1 ⎢ ()k 1s s ⎥ ⎡V1 ⎤ V ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ = Z ⎢ M ⎥ Nuït⎢M ⎥ (6.26) ⎢ ()k+1 ⎥ ⎢P − jQ ⎥ ⎣Vn ⎦ n n ⎢ ()k −YnsVs⎥ ⎣ Vn ⎦ Ma trận ZNút có được khi nghịch đảo YNút bằng tiến trình phần tử hóa ba góc. (k ) Theo phương pháp cũ V p (p = 1, 2 n, p ≠ s) ở phía bên phải (6.26) được thay (k+1) bằng Vp và phải giải phương trình bậc 2 điều này sẽ gặp khó khăn nếu căn bậc 2 của ∆ là số âm. Chúng ta sẽ xây dựng thuật toán tính lặp với ma trận ZNút có sẵn. (k+1) (k) Quá trình tính lặp dừng lại khi Max|Vp - Vp | < Cv 6.6.2. Phương pháp sử dụng ma trận ZNút : Để tiện lợi ta đưa phương trình nút hệ thống vào ma trận VNút = ZNút .INút và sắp xếp lại như sau: ⎡V1 ⎤ ⎡ M ⎤⎡I 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢Z Z ⎥⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ a M b ⎥⎢ M ⎥ ⎢L⎥ = ⎢ L L L L L⎥⎢ M ⎥ (6.27) ⎢ ⎥ ⎢ T ⎥⎢ ⎥ ⎢Vn ⎥ ⎢Zb M Zd ⎥⎢I n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣Vs ⎦ ⎣ M ⎦⎣I s ⎦ Vì Vs biết trước nên ta tìm Is từ (n -1) phương trình đầu như sau: Rút từ (6.27) và chuyển về nghịch đảo Zd ta có: Trang 85
  69. GIẢI TÍCH MẠNG −1 T −1 I s = −Zd Zb I Nuït + Zd Vs (6.28) T Với: I Nuït = (I 1 , I 2 , I s, I s+1 , I n ) Thế vào phần còn lại của (6.27) ta được: V = (Z − Z Z −1Z T )I + Z Z −1V Nuït a b d b Nuït b d S (6.29) = ZNuïtI Nuït + bVS −1 −1 T Với: b = Zb Z d và ZNuït = (Za − ZbZd Zb ) Chú ý rằng ZNút ≠ ZNuït Từ 6.29 ta thành lập các vòng lặp Gauss - Seidel như sau: p−1 S* n S* V (k+1) = Z ( q ) + Z ( q ) +b V p =1, 2, n; p ≠ s (6.30) p ∑ pq *(k+1) ∑ pq *(k) p s q=1 Vq q= p Vq q≠s q≠s Quá trình lặp dừng lại khi: (k+1) (k) Max|Vp - Vp | < Cv p = 1, 2, n. Ta thấy phương pháp này hội tụ nhanh hơn phương pháp thừa số Zero vì ngay tại bước lặp k+1 các nút p được điều chỉnh bằng điện áp tại các nút p-1, p-2, , 1 tại bước k+1 này. 6.6.3. Phương pháp sử dụng ma trận Z với nút hệ thống làm chuẩn: Trong phương pháp này, tất cả tổng trở mạch rẽ được bỏ đi và ảnh hưởng của nó được thay thế bằng dòng bơm thích hợp và nhánh nối đất hở mạch. Vì điện áp nút hệ thống đã biết nên tất cả (n -1) nút còn lại với nút nối đất làm chuẩn, điện áp được tính như sau: VNút = ZBS.INút + hVS (6.31) Với hT = (1 1) Để thể hiện tổng dẫn mạch rẽ tại nút p là Yp, ta bơm vào mạng dòng âm nên dòng điện bơm vào mạng thực tế là: * Sp I p = * − YpVp (6.32) Vp Biết Ip thành lập vòng lặp Gauss - Seidel tính Vp rút từ (6.31) như sau: p−1 n (k+1) (k+1) (k) Vp = ∑ Z pq I q +∑ Z pq I q +Vs p =1, 2, n; p ≠ s (6.33) q=1 q= p q≠s q≠s * Sq Với I q = * − YqVq Vq 6.6.4. Phương pháp tính luôn cả nút điều khiển áp: Nếu đưa luôn các nút điều khiển áp vào tiến trình tính toán thì làm tương tự như cal sp phương pháp ma trận YNút. Trong tính toán dòng điện nút ta thay Q p bằng Q p (giá trị phỏng đoán). Điện áp của nút được ước chừng nhờ sử dụng giá trị Q ở trên, phần thực và phần ảo của nó được điều chỉnh thỏa mãn độ lớn điện áp và giữ cho góc pha không đổi. Sử dụng giá trị giới hạn của Q để chuyển từ nút P-V sang nút P-Q hay ngược lại khi vượt quá giới hạn. Trang 86