Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức (Phần 2)

288 trang ngocly 1700

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_so_ly_thuyet_ham_bien_phuc_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức (Phần 2)

Chu.o.ng 4 C´ac t´ınh chˆa´tco. ba’ncu’ ah`am chı’nh h`ınh . 4.1 C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆan Cauchy 279 4.1.1 D- .inh l´ygi´atri. trungb`ınh 279 4.1.2 D- .inhl´yLiouville 280 4.1.3 D- .inh l´yWeierstrass vˆe` chuˆo˜i h`amhˆo.itu. d`ˆe u 284 . . 4.1.4 T´ınhchˆa´td.iaphuong cu’a h`amchı’nh h`ınh.Chuˆo˜i Taylor 288 . 4.1.5 C´acquan diˆe’m kh´acnhau trong viˆe.c xˆaydu. ng l´y thuyˆe´t h`amchı’nhh`ınh 305 4.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’ a h`amchı’nh h`ınh. . . . . 310 4.2.1 Khˆongdiˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . 310 4.2.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . . 313 4.2.3 Nguyˆenl´yth´actriˆe’n gia’it´ıch 317 . 4.2.4 Nguyˆenl´ymˆodun cu. cda.i 320 . . 4.3 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 326
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 279 4.3.1 Chuˆo˜iLaurent 326 . . . 4.3.2 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pdon tri. 337 4.3.3 D´angdiˆe.ucu’a h`amta.idiˆe’m vˆoc`ung. . . . . . . . 348 4.3.4 Phˆanloa.i h`amchı’nhh`ınh 350 . . 4.4 T´ınhbˆa´tbiˆe´ncu’ atˆa. pho. pmo’ 354 4.4.1 Nguyˆenl´yacgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.4.2 D- .inhl´yRouch´e 360 . . 4.4.3 T´ınhbˆa´tbiˆe´ncu’atˆa.pho. pmo’ 363 4.5 B`aitˆa. p 365 . . . . . . Trong chuong tru´oc, ta d˜ach´ung minh d.inh l´yco ba’ncu’al´y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh - d.inh l´y Cauchy. D.inh l´y n`ayk´eo theo mˆo.t loa.thˆe. qua’ quan . tro.ng. D˘a.cbiˆe.t l`an´ocho ph´epta x´aclˆa.pmˆo´i liˆenhˆe. nhˆa´td.inh gi˜ua c´acgi´a . tri. cu’a h`amchı’nh h`ınhta.ic´acdiˆe’m trong cu’amiˆe`nchı’nh h`ınhv´oi c´acgi´a . . . tri. biˆencu’ah`amd´o. Mˆo´i liˆenhˆe. d´oduo. cmˆota’ trong cˆongth´uc t´ıch phˆan co. ba’nth´u. hai cu’a Cauchy. D´o l`acˆongth´u.c trung tˆamcu’al´ythuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh. . 4.1 C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆan Cauchy ’. . O mˆo.tm´ucdˆo. nhˆa´td.inh, mo.id.inh l´ycu’amu.cn`ayd`ˆe ul`ahˆe. qua’ cu’a cˆong th´u.c t´ıch phˆanCauchy. 4.1.1 D- .inh l´ygi´atri. trung b`ınh D´ol`ad.inh l´ysau dˆay. . D- .inh l´y4.1.1. Gia’ su’ f(z) l`ah`amliˆentu. c trong h`ınh tr`ond´ong S(R)= {z ∈ C : |z − z0| 6 R} v`achı’nh h`ınhtrong h`ınh tr`on S(R). Khi d´o ta c´o
280 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh d˘a’ng th´u.c 2π 1 f(z )= Z f(z + reit)dt, 0 2π 0 0 . t´uc l`agi´atri. cu’a h`amta. i tˆamh`ınhtr`onb˘a`ng trung b`ınh cˆo. ng c´acgi´atri. cu’a n´otrˆendu.`o.ng tr`on. Ch´u.ng minh. Theo cˆongth´u.c t´ıch phˆanCauchy ta c´o 1 Z f(ζ) f(z0)= dζ. 2πi ζ − z0 ∂S(R) . . Thu. chiˆe.n ph´epbiˆe´ndˆo’i theo cˆongth´uc it ζ = z0 + Re , 0 6 t 6 2π . . ta thu duo. c 2π 2π 1 Reitidt 1 f(z )= Z f(z + Reit) = Z f(z + Reit)dt. 0 2πi 0 Reit 2π 0 0 0 4.1.2 D- .inh l´y Liouville 1 . D- .inh l´y4.1.2. (Liouville ) Nˆe´u h`amchı’nh h`ınhtrˆen to`anm˘a. t ph˘a’ng ph´uc . f(z) c´omˆodun bi. ch˘a. nth`ın´od`ˆo ng nhˆa´th˘a`ng sˆo´,t´ucl`af(z) ≡ const ∀z ∈ C. . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ |f(z)| 6 M<∞∀z ∈ C. Ta s˜e´apdu. ng cˆongth´uc 0 . t´ıch phˆanCauchy cho da.o h`am f (z)v`ah`ınh tr`on S(R)v´oi tˆamta.idiˆe’m z v`ab´ank´ınh R.Tac´o 1 f(ζ) f 0(z)= Z dζ. 2πi (ζ − z)2 ∂S(R) 1I. Liouville (1809-1882) l`anh`ato´anho.c Ph´ap
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 281 T`u. d´o 1 M M |f 0(z)| 6 2πR = · 2π R2 R . Vˆe´ tr´aicu’abˆa´td˘a’ng th´uc n`aykhˆongphu. thuˆo.c R,c`onvˆe´ pha’idˆa` ndˆe´n0khi . 0 0 R t˘angvˆoha.n. T`u d´osuy r˘a`ng |f (z)| =0v`af (z)=0∀ C.Dod´o f(z) ≡ const trong C. . . Nhu vˆa.yl´op c´ach`amchı’nh h`ınhtrong to`anm˘a.t ph˘a’ng v`abi. ch˘a.nchı’ gˆo`m c´ach`amtˆa` mthu.`o.ng (c´ach˘a`ng sˆo´). . . . . D.inh l´yLiouville v`uach´ung minh c´othˆe’ kh´aiqu´atdu´oida.ng D- .inh l´y 4.1.3. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong to`anm˘a. t ph˘a’ng v`atho’a n . . m˜andiˆe`ukiˆe. n |f(z) 6 M|z| , M<∞ v`a n l`asˆo´ nguyˆen duong th`ıd´ol`ada . . 2 th´ucbˆa. c khˆongcao hon n. . . . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ z0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc. T`u cˆongth´uc . t´ıch phˆanCauchy dˆo´iv´oida.o h`amcˆa´p cao ta c´o (n + 1)! f(z) (n+1) Z { | − | } f (z0)= n+2 dz, S(R)= z : z z0 <R 2πi (z − z0) ∂S(R) v`ado d´o M|z|n |f (n+1)(z )| 6 (n + 1)!. 0 Rn+1 . . . (n+1) V`ı |z| 6 |z0| + R nˆenqua gi´oiha.n khi R →∞ta thu duo. c f (z0)=0. (n+1) . (n) Do z0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’a C nˆen f (z) ≡ 0. T`u d´o suy r˘a`ng f (z) ≡ const v`ı z (n) (n) Z (n+1) f (z) − f (z0)= f (z)dz ≡ 0, z0 . (n) (n) . t´ucl`af (z) ≡ f (z0) = const B˘a`ng c´ach lˆa.p luˆa.nnhuvˆa.y, dˆe˜ d`ang . . thu duo. cdiˆe`u kh˘a’ng d.inh cu’ad.inh l´y. 2 . . Khi n =0th`ıtathuduo. cd.inh l´y12.1
282 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . D.inh l´yLiouville c`onc´othˆe’ ph´atbiˆe’udu´oida.ng ∗ . D- .inh l´y4.1.2 . Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınhtrˆento`anm˘a. t ph˘a’ng mo’ rˆo. ng C th`ın´od`ˆong nhˆa´th˘a`ng sˆo´. Ch´u.ng minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınhtaidiˆe’m ∞ nˆenlim f(z)tˆo`ntaiv`ah˜u.u . z→∞ . . ha.n. T`u d´o suy ra f(z)bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.n n`aod´o U(∞)={z : |z| >R} . cu’adiˆe’m ∞. Gia’ su’ f(z)| 6 M1, ∀ z ∈U(∞). M˘a.t kh´ac,do h`am f chı’nh h`ınh(v`ado d´o n´oliˆentu.c) trong h`ınhtr`ond´ong S(R)={z : |z| 6 R} nˆen . . n´obi. ch˘a.n trong h`ınh tr`ond´o.Gia’ su’ |f(z)| 6 M2, z ∈ S(R). Nhung khi d´o h`am f bi. ch˘a.n trong to`anm˘a.t ph˘a’ng: f(z)| 1 v´oihˆe. sˆo´ ph´ucd`ˆe u . . c´o m nghiˆe. mnˆe´umˆo˜i nghiˆe. mduo. c t´ınhmˆo. tsˆo´ lˆa`nb˘a`ng bˆo. icu’a n´o. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. m m−1 Pm(z)=amz + am−1z + ···+ a1z + a0,am =06 ,m> 1. . . . Ta ch´ung minh b˘a`ng pha’nch´ung: gia’ su’ Pm(z) khˆongc´onghiˆe.m trong C.Tax´et h`am 1 f(z)= · Pm(z) H`am f(z) c´oc´act´ınhchˆa´t sau dˆay (i) H`am f(z) ∈H(C)v`ı Pm(z) =06 ∀ z ∈ C. . (ii) H`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n, t´ucl`a|f(z)| 6 M ∀ z ∈ C. Thˆa.tvˆa.y, 1 . v`ı lim Pm(z)=∞ nˆenlim =0.T`u d´o ∃ R>0 sao cho ∀ z : |z| >R z→∞ z→∞ Pm(z) ta c´o |f(z)| < 1.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 283 . Trong h`ınhtr`ond´ong |z| 6 R h`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n, t´ucl`a|f(z)| 6 m . . ∀ z ∈{|z| 6 R}.T`u d´osuy r˘a`ng |f(z)| 1. . Nhu vˆa.ytˆo`nta.i gi´atri. α1 ∈ C sao cho P (α1)=0. . Do d´o Pm(z)=(z − α1)Pm−1(z), Pm−1(α1) =6 0. Nhung Pm−1(z)c˜ung l`ada . th´ucda.isˆo´ bˆa.c m − 1nˆen∃ α2 ∈ C sao cho Pm−1(z)=(z − α2)Pm−2(z), . Pm−2(α2) =6 0. Nhu vˆa.y Pm(z)=(z − α1)(z − α2)Pm−2(z), . . . . Tiˆe´ptu.clˆa.p luˆa.nnhuvˆa.ytathuduo. cd˘a’ng th´uc Pm(z)=am(z − α1)(z − α2) ···(z − αm). . . D˘a’ng th´uc n`aych´ung to’ r˘a`ng α1,α2, ,αm l`anghiˆe.m v`ango`aich´ung ra da . th´uc Pm(z) khˆongc`onnghiˆe.m n`aokh´ac.Thˆa.tvˆa.ynˆe´u β l`anghiˆe.m β =6 αi . ∀ i = 1,m cu’adath´uc Pm(z)th`ı Pm(β)=am(β − α1)(β − α2) ···(β − αm)=0. . . . Diˆe`u n`aych´ung to’ r˘a`ng mˆo.t trong c´acth`uasˆo´ pha’ib˘a`ng 0, t´ucl`a β − αi =0,i=1, 2, ,m ⇐⇒ β = αi,i=1, 2, ,m. . . . . D.inh l´yv`uach´ung minh c`onc´otˆengo.il`ad.inh l´yvˆ`e tru`ong d´ong da. isˆo´.
284 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.1.3 D- .inh l´y Weierstrass vˆe` chuˆo˜i h`amhˆo. itu. d`ˆe u Trong 1.4 ta d˜a tr`ınhb`aykh´ainiˆe.m chuˆo˜i h`am hˆo. itu. d`ˆe u trong miˆ`en D v`a . hˆo. itu. d`ˆe utrˆen t`ung comp˘a´c cu’amiˆe`n D c`ung mˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´t h`amcu’a . . chuˆo˜ihˆo.itu. d`ˆe u. Bˆaygi`o ta ch´ung minh d.inh l´yquan tro.ng cu’a Weierstrass . . vˆ`e su. ba’o to`ant´ınhchı’nh h`ınhcu’atˆo’ng cu’a chuˆo˜i trong ph´epqua gi´oiha.n . d`ˆe u v`aph´epda.o h`amt`ung sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i h`amchı’nh h`ınhhˆo.itu. d`ˆe u. . D- .inh l´y4.1.5. (Weierstrass) Gia’ su’ : . 1) un(z) n ∈ N l`anh˜ung h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D; 2) chuˆo˜i h`am u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+ (4.1) . . hˆo. itu. d`ˆe utrˆent`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D dˆe´n h`am(h˜uuha. n) f(z). Khi d´o 1) Tˆo’ng f(z) cu’a chuˆo˜i l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D. . 2) Chuˆo˜ic´othˆe’ da. oh`amt`ung sˆo´ ha. ng dˆe´ncˆa´pt`uy´y (m) (m) (m) (m) u1 (z)+u2 (z)+···+ un (z)+···= f (z); m =1, 2, (4.2) . 3) Mo. i chuˆo˜i (4.2) d`ˆe u l`achuˆo˜ihˆo. itu. d`ˆe utrˆent`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D. Ch´u.ng minh. 1) Lˆa´y h`ınhtr`on S(R)bˆa´tk`y b´ank´ınh R v´o.i biˆen γ(R) sao . . . cho S(R) ⊂ D.Trˆendu`ong tr`on γ(R)(γ(R) l`atˆa.pho. pd´ong n˘a`m trong D) chuˆo˜i (4.1) hˆo.itu. d`ˆe udˆe´n h`am f(z). Do d´o h`am f(ζ)=u1(ζ)+u2(ζ)+···+ un(ζ)+ ; ζ ∈ γ(R) (4.3) . liˆentu. c trˆen γ(R). Nhˆan(4.3) v´oi h`am 1 1 v(ζ)= ,ζ∈ γ(R),z∈ S(R). 2πi ζ − z
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 285 . . . H`amn`aybi. ch˘a.n trˆen γ(R). Do d´o chuˆo˜ithuduo. c sau khi nhˆan(4.3) v´oi . v(ζ)vˆa˜nhˆo.itu. d`ˆe u trˆen γ(R) v`ac´othˆe’ t´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng theo γ(R). . . Tathuduo. c 1 f(ζ) 1 u (ζ 1 u (ζ) Z dζ = Z 1 dζ + ···+ Z n dζ + 2πi ζ − z 2πi ζ − z 2πi ζ − z γ(R) γ(R) γ(R) . T´ıch phˆano’ vˆe´ tr´ail`at´ıch phˆanda.ng Cauchy. Do d´ovˆe´ tr´ail`ah`amchı’nh ´ . h`ınhtrong h`ınh tr`on S(R). Ta k´yhiˆe.uh`amd´ol`afR(z). Ap du. ng cˆongth´uc . . . . t´ıch phˆanCauchy cho c´ach`am un(ζ)t`u biˆe’uth´uc trˆenta thu duo. c fR(z)=u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+ (4.4) . . . Nhu vˆa.y chuˆo˜iduo. c x´ethˆo.itu. d`ˆe udˆe´n h`am fR(z)chı’nh h`ınh trong h`ınh . . tr`on S(R). Nhung trong S(R) h`am fR(z)tr`ung v´oi f(z). Ngh˜ıal`a f(z)l`a h`amchı’nh h`ınhtrong S(R). V`ımˆo˜idiˆe’m z cu’amiˆe`n D d`ˆe u thuˆo.cmˆo.th`ınh tr`on S(R), S(R) ⊂ D n`aod´onˆenh`am f(z)chı’nh h`ınhtrong D. . C´aclˆa.p luˆa.ntrˆendˆay chı’ dung´ nˆe´umiˆ`en D khˆongch´uadiˆe’m ∞. Gia’ . . su’ miˆe`n D 3∞. T a s ˜e x ´e t “ h `ınh tr`on” SR(∞)={z : |z| >R} v´oi . . . b´ank´ınh R du’ l´on sao cho to`anbˆo. biˆen ∂D d`ˆe un˘a`m trong du`ong tr`on . γR(∞)={z : |z| = R}.Lˆa.p luˆa.nnhutrˆenv`athay cho chuˆo˜i (4.4) theo d.inh . . . l´y3.2.13 ta thu duo. cd˘a’ng th´uc fR(z)=[u1(z) − u1(∞)] + [u2(z) − u2(∞)] + +[un(z) − un(∞)] + hay l`a fR(z)=[u1(z)+···+ un(z)+ ] − [u1(∞)+u2(∞)+···+ un(∞)+ ]. . . Chuˆo˜i trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆongth´u hai o’ vˆe´ pha’ihˆo.itu. dˆe´n f(∞) v`ado d´o fR(z)+f(∞)=u1(z)+u2(z)+···+ un(z)+
286 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh ’. O dˆay fR(z)+f(∞)=f(z) ∀ z ∈ SR(∞) v`ah`am fR(z)+f(∞)chı’nh h`ınh trong SR(∞). Do vˆa.y h`am f chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.ndiˆe’m ∞. 2) Nˆe´u nhˆanchuˆo˜i (4.3) v´o.i h`am m! 1 v (ζ)= ,z∈ S(R) m 2πi (ζ − z)m+1 . bi. ch˘a.n trˆen γ(R) v`at´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng theo γ(R) th`ıthay cho (4.4) ta . . thu duo. cchuˆo˜i (m) (m) (m) (m) fR (z)=u1 (z)+u2 (z)+···+ un (z)+ . . . V`ı fR(z)=f(z) ∀ z ∈ D nˆen t`u d´othuduo. c (4.2). . . . 3) Dˆe ’ ch´ung minh phˆa` nth´u ba cu’ad.inh l´yta phu’ tˆa.pho. pd´ongt`uy ´y . 0 0 . E ⊂ D bo’ ihˆe. c´ach`ınhtr`on S sao cho S ⊂ D.Nˆe´utˆa.pho. p E 3 z = ∞ th`ı . 0 0 ta c´othˆe’ lˆa´y h`ınhtr`onl`atˆa.pho. p S (∞)={z : |z| >R>0}, S (∞) ⊂ D. . . T`u hˆe. c´ach`ınhtr`onn`ayta c´othˆe’ cho.nmˆo.tphu’ con gˆo`mmˆo.tsˆo´ h˜uuha.n . . . ∗ . c´ach`ınhtr`on.Ho. pmo.i h`ınhtr`ond´ong n`ayduo. ck´yhiˆe.ul`aE . Gia’ su’ δ l`a khoa’ng c´ach t`u. E∗ dˆe´n biˆenmiˆe`n D: δ = dist{E∗,∂D}. . 0 . . Dˆo´iv´oimˆo˜i h`ınhtr`on S cu’aphu’ h˜unha.n ta du. ng h`ınh tr`on S d`ˆong tˆam δ v´o.i b´ank´ınhl´o.nho.n b´ank´ınhcu’a S0 mˆotdailu.o.ng b˘a`ng (dˆo´iv´o.i S0(∞) . . . 2 δ th`ıcˆa` nlˆa´y b´ank´ınh b´eho.n ). Chu tuyˆe´n L cu’a c´ach`ınh tr`onn`aylˆap 2 . . . . th`anhtˆa.pho. pd´ong Γ ⊂ D.Dod´o chuˆo˜iduo. cx´et P un(z)hˆo.itu. d`ˆe u trˆen n≥1 Γ, ngh˜ıa l`a ∀ ε>0, ∃ N ∈ N : ∀ n>N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒ n+p X uk(ζ) <ε. k=n+1 . . 0 Gia’ su’ z l`adiˆe’mt`uy ´ycu’a E v`agia’ su’ n´othuˆo.c h`ınhtr`on S cu’aphu’
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 287 δ h˜u.uhan. Khi ζ ∈Lv`a z ∈ S0 th`ı |ζ − z| > .Dod´o . 2 n+p n+p m! u (ζ) X u(m)(z) = X Z k dζ k m+1 2πi (ζ − z) k=n+1 k=n+1 L n+p P uk(ζ) m! 6 Z k=n+1 ds 2π |ζ − z|m+1 L m! ε 6 · 2πR δ m+1 ∗ 2π 2 . . . . . trong d´o R∗ l`ab´ank´ınhcu’a h`ınhtr`on S tuong ´ung. Nhu vˆa.ydˆo´iv´oimˆo˜i diˆe’m z ∈ E ta c´o n+p Rm!ε X u(m)(z) 6 e k δ m+1 k=n+1 2 trong d´o R l`ab´ank´ınh l´o.n nhˆa´t trong c´acb´ank´ınhcu’a c´ach`ınh tr`on S e. . . . cu’aphu’ h˜uuha.n. T`u d´osuy ra su. hˆo.itu. d`ˆe ucu’a chuˆo˜ida.o h`amtrˆent`ung comp˘a´ccu’a D. . . . . . Nhˆa. nx´et 4.1.1. Trong gia’i t´ıch thu. c khˆongc´od.inh l´ytuong tu. nhu d.inh l´y . Weierstrass. Thˆa.tvˆa.y, trong gia’i t´ıch thu. c ta biˆe´tr˘a`ng tˆo’ng S(x)cu’a chuˆo˜i . . h`amthu. c (biˆe´n thu. c) kha’ vi P un(x)hˆo.itu. d`ˆe u trˆenkhoa’ng n`aod´o c´othˆe’ n≥1 l`ah`amkhˆongkha’ vi. Ho.nthˆe´ n˜u.anˆe´u ∃ S0(x) th`ıho`anto`ankhˆongnhˆa´t ’ . 0 0 thiˆe´t pha’ic´od˘ang th´uc S (x)= P un(x). n>1 ´ ` ˜ Nhˆa. nx´et 4.1.2. Nˆeu c´od˜ayh`am fn(z)n>1 cho trong miˆen D th`ıchuˆoi f1(z)+[f2(z) − h(z)] + ···+[fn(z) − fn−1(z)] + . . c´otˆo’ng riˆength´u n l`a Sn(x)=fn(x). T`u d´omo.idiˆe`u kh˘a’ng d.inh vˆe` chuˆo˜i . . . . d`ˆe u c´othˆe’ ph´atbiˆe’udˆo´iv´oi d˜ayv`anguo. cla.i. T`u d´ov`ad.inh l´y4.1.3 ta r´ut ra
288 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh D- .inh l´y4.1.6. (Weierstrass; vˆ`e d˜ayh`amchı’nh h`ınhhˆo.itu. d`ˆe u) ´ ’ ` ` Nˆeu d˜ayc´ach`am fn(z)n>1 chınh h`ınh trong miˆen D hˆo. itu. dˆe utrˆen . . t`ung comp˘a´ccu’amiˆe`n D dˆe´n h`amh˜uuha. n f(z) th`ı f(z) l`ah`amchı’nh h`ınh trong D v`ad˜ayc´acdao h`am f (m)(z) ; m =1, 2, hˆoitud`ˆe utrˆen t`u.ng . n n>1 . . comp˘a´ccu’a D dˆe´n h`am f (m)(z). . T`u d.inh l´yWeierstrass 4.1.3 v`ad.inh l´yAbel r´ut ra . Hˆe. qua’ 4.1.1. Tˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uyth`ua n X an(z − a) n>0 l`ah`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`onhˆo. itu. cu’a n´ov`atrong h`ınhtr`onhˆo. itu. . cu’a chuˆo˜i ta c´othˆe’ lˆa´y t´ıchphˆanv`ada. oh`amt`ung sˆo´ ha. ng mˆo. tsˆo´ lˆa`n t`uy´y, . . d`ˆong th`oiph´ep da. o h`amv`at´ıchphˆant`ung sˆo´ ha. ng khˆongl`amthay dˆo’i b´an k´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i. . . 4.1.4 T´ınh chˆa´td.iaphuong cu’ a h`am chı’nh h`ınh. Chuˆo˜i Taylor Trong 2.1 ta d˜a c hu ´ .ng minh r˘a`ng tˆo’ng cu’achuˆo˜il˜uy th`u.a l`ah`amchı’nh h`ınh . . . trong h`ınh tr`onhˆo.itu. cu’a n´o.Bˆaygi`o nh`o cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy ta . . c´othˆe’ ch´ung minh mˆo.t t´ınhchˆa´t quan tro.ng n˜uacu’a h`amchı’nh h`ınh- d´o . . l`at´ınhchˆa´td.iaphuong: mˆo˜i h`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ond`ˆe ubiˆe’udiˆe˜n . . . . . . duo. cdu´oida.ng tˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uy th`ua. Cu. thˆe’ ta ch´ung minh d.inh l´ysau 3 D- .inh l´y4.1.7. (Cauchy - Taylor ) Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong miˆe`n D th`ıta. i lˆancˆa. ncu’amˆo˜idiˆe’m . . . . . z0 ∈ D h`am f(z) biˆe’udiˆe˜nduo. cdu´oida. ng chuˆo˜il˜uyth`ua n f(z)=X an(z − z0) (4.5) n≥0 . . . v´oi b´ank´ınhhˆo. itu. R khˆongb´ehon khoa’ng c´ach d t`u diˆe’m z0 dˆe´nbiˆen ∂D cu’amiˆe`n D (d = dist(z0,∂D). 3B. Taylor (1685-1731) l`anh`ato´anho.c Anh
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 289 . . Ch´ung minh. Gia’ su’ f ∈H(D)v`az0 l`adiˆe’mt`uy ´ycu’amiˆe`n D.Tak´y . hiˆe.u S(z0,d)={z ∈ D : |z − z0| 0 ζ − z0 . . Chuˆo˜i (4.7) hˆo.itu. d`ˆe u trˆen γ(ρ) nˆenta c´othˆe’ thu. chiˆe.n ph´ept´ıch phˆant`ung . . . sˆo´ ha.ng v`at`u (4.6) v`a(4.7) ta thu duo. c 1 f(ζ)dζ f(z)=X Z (z − z )n n+1 0 2πi (ζ − z0) n>0 γ(δ) n = X an(z − z0) , (4.8) n≥0 trong d´o 1 f(ζ)dζ a = Z ,n=0, 1, (4.9) n n+1 2πi (ζ − z0) γ(δ)
290 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . Dˆe ’ yd´ ˆe´n cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy dˆo´iv´oida.o h`amcu’a h`amchı’nh h`ınhta c´o f (n)(z ) a = 0 ; n =0, 1, 2, (4.10) n n! . . V`ıdˆo´iv´oimˆo˜idiˆe’m z cˆo´ d.inh thuˆo.ch`ınh tr`on {|z − z0| 0 . . khˆongb´ehon d. Thˆa.tvˆa.ynˆe´u R<dth`ımˆauthuˆa˜nv´oid.inh ngh˜ıa b´an . . . . . k´ınh hˆo.itu. cu’achuˆo˜id´ov`ıc´othˆe’ lˆa´y δ l`asˆo´ l´onhon R.D.inh l´yduo. cch´ung minh.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 291 H`ınh IV.1 . Chuˆo˜i (4.8) v´oihˆe. sˆo´ biˆe’udiˆe˜n qua h`amchı’nh h`ınh f(z) theo c´accˆong . . . . th´uc (4.9) hay (4.10) duo. cgo.il`achuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta. idiˆe’m z0 hay khai triˆe’n Taylor ta. i lˆancˆa. ndiˆe’m z0 cu’a h`am f(z). . Hˆe. qua’ 4.1.2. Mo. i chuˆo˜il˜uyth`uad`ˆe u l`achuˆo˜i Taylor cu’atˆo’ng cu’a n´o. . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ trong h`ınh tr`onn`aod´o n f(z)=X an(z − z0) . (4.11) n>0 . Thay z = z0 ta c´o f(z0)=a0,da.o h`amt`ung sˆo´ ha.ng chuˆo˜i (4.11) rˆo`i thay . . 0 . z = z0 ta t`ım duo. c f (a)=a1.T´ınh da.oh`amt`ung sˆo´ ha.ng liˆentiˆe´p chuˆo˜i 00 (3) (n) (4.11) rˆo`i thay z = z0 ta c´o f (z0)=2!a2, f (z0)=3!a3, ,f (z0)=n!an f (n)(z ) v`ado d´o a = 0 .Dod´ochuˆo˜i (4.11) l`achuˆo˜i Taylor cu’a h`am f(z). n n! . Hˆe. qua’ 4.1.3. Gia’ su’ M(r) = max |f(ζ)|. Khi d´oc´achˆe. sˆo´ an cu’a chuˆo˜i ζ∈γ(r) Taylor tho’a m˜anc´acbˆa´td˘a’ng th´u.c M(r) |a | 6 ,n=0, 1, (4.12) n rn . . trong d´o r l`asˆo´ bˆa´tk`yb´ehon b´ank´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i. C´acbˆa´td˘a’ng th´uc . . . . (4.12) duo. cgo. i l`ac´acbˆa´td˘a’ng th´uc Cauchy dˆo´iv´oihˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Taylor.
292 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Ch´u.ng minh. T`u. c´accˆongth´u.c (4.9) v`a(4.10) ta c´o f (n)(z ) 1 f(ζ) a = 0 = Z dζ. n n+1 n! 2πi (ζ − z0) γ(r) . . . . . . . . . T`u d´o´apdu. ng cˆongth´ucu´ocluo. ng t´ıch phˆantrong miˆ`enph´uctathuduo. c 1 M(r) M(r) |a | 6 · · 2πr = n 2π rn+1 rn Dˆe ’ r´ut ra hˆe. qua’ tiˆe´p theo ta nˆeu ra . . D- .inh ngh˜ıa4.1.1. 1) Diˆe’m z = a duo. cgo.il`adiˆe’m ch´ınh quy cu’a h`am f(z) nˆe´u h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong mˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’adiˆe’m a. . . . . 2) Diˆe’m z = a duo. cgo.il`adiˆe’mbˆa´t thu`o ng cu’a h`am f(z)nˆe´u n´okhˆong . . l`adiˆe’mch´ınh quy dˆo´iv´oi h`am f(z)nhung trong lˆancˆa.nbˆa´tk`ycu’an´od`ˆe u c´odiˆe’mch´ınh quy cu’a h`am. . Hˆe. qua’ 4.1.4. B´ank´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta. idiˆe’m z = a b˘a`ng khoa’ng c´acht`u. diˆe’m a dˆe´ndiˆe’mbˆa´t thu.`o.ng gˆa`n nhˆa´tcu’a h`am f(z). Ch´u.ng minh. V`ıc´acdiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng d`ˆe ul`adiˆe’m biˆendˆo´iv´o.imiˆe`nchı’nh h`ınhcu’a h`amnˆentheo d.inh l´yCauchy - Taylor b´ank´ınh hˆo.itu. cu’a chuˆo˜i . . . . . . Taylor thu duo. c khˆongb´ehon khoa’ng c´ach d t`u diˆe’m a dˆe´ndiˆe’mbˆa´tthu`o ng . . . . gˆa` n nhˆa´tcu’a h`am,t´ucl`aR > d.Nhung b´ank´ınh hˆo.itu. khˆongthˆe’ l´onhon . . khoa’ng c´ach d´ov`ınˆe´u R>dth`ıc´o´ıtnhˆa´tmˆo.tdiˆe’mbˆa´tthu`ong cu’a h`am f . roi v`aoh`ınhtr`onhˆo.itu.,m`adiˆe`ud´o l a.i khˆongthˆe’ xa’y ra do tˆo’ng cu’a chuˆo˜i . l˜uy th`ua l`ah`amchı’nh h`ınhtrong to`anbˆo. h`ınhtr`onhˆo.itu Dod´o R = d. . . . . Cˆongth´uctˆo’ng qu´at(4.9) hay (4.10) dˆo´iv´oihˆe. sˆo´ Taylor thu`ong khˆong . . . . tiˆe.nlo. i trong t´ınh to´an. Trong mˆo.tsˆo´ tru`ong ho. p ta c´othˆe’ ´ap du.ng c´ac phu.o.ng ph´apdo.n gia’nho.ndˆe ’ khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`u.a. . . . . . Nˆe´u f(z)l`ah`amh˜uuty’ thu. csu. th`ıta c´othˆe’ biˆe’udiˆ˜enn´odu´oida.ng tˆo’ng 1 1 h˜u.uhan c´acphˆanth´u.ctˆo´i gia’ndang hay (k>1). Khi d´o . . z − a (z − a)k
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 293 1 1 phˆanth´u.c khai triˆe’n th`anhchuˆo˜icˆa´psˆo´ nhˆan,c`onphˆanth´u.c z − a (z − a)k . . (k>1) khai triˆe’n th`anhchuˆo˜ithuduo. cb˘a`ng ph´epda.o h`amliˆentiˆe´p k − 1 lˆa` n chuˆo˜icˆa´psˆo´ nhˆan. . Nˆe´u f(z) l`abiˆe’uth´ucvˆoty’ hay siˆeuviˆe.t th`ıc´othˆe’ ´ap du.ng c´ackhai . z α triˆe’n Taylor dˆo´iv´oi h`am e , sin z, cos z, ln(1 + z), (1 + z) , (go.i l`ac´ac . . . khai triˆe’nba’ng)thuduo. cb˘a`ng c´ach t´ınhtru. ctiˆe´p c´acda.o h`amcu’a c´ach`am ˆa´y. zn I. ez = P , z ∈ C n>0 n! (−1)nz2n II. cos z = P , z ∈ C n>0 (2n)! (−1)nz2n+1 III. sin z = P , z ∈ C n>0 (2n + 1)! (−1)n−1 IV. ln(1 + z)= P zn, |z| 1 n V. α! α(α − 1) (1 + z)α =1+X zn =1+αx + z2 + n 2 n>1 α(α − 1) ···(α − n +1) + zn + , α∈ R, |z| 0 1 n n VI2. = P(−1) z , |z| 0
294 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . Tru ´oc khi ´apdu.ng c´ackhai triˆe’nba’ng ta cˆa` nbiˆe´ndˆo’isobˆo. h`amd˜a cho. Ta minh ho.adiˆe`ud´ob˘a`ng mˆo.tsˆo´ v´ıdu. sau dˆay. V´ı du. 1. Khai triˆe’n h`am 1 f(z)= (1 − z2)(z2 +4) th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0. . . Gia’i. H`amd˜acho c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng: 1 1 1 f(z)= h + i 5 1 − z2 z2 +4 1 1 1 = h + i · 5 1 − z2 z2 41+ 4 . Bˆaygi`o ´ap du. ng khai triˆe’nVI1 1 = X tn, |t| 0 ta c´o 1 (−1)n f(z)=X h1+ iz2n, |z| 0 V´ı du. 2. T`ım khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z)=ez · cos z. . Gia’i. Ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0tac´othˆe’ nhˆanhai chuˆo˜iv´oi nhau. Tuy . . . . . . . nhiˆen,trong tru`o ng ho. p n`ay, tiˆe.nlo. ihonca’ l`asu’ du.ng d`ˆo ng nhˆa´tth´uc eiz + e−iz 1 ez · cos z = ezh i = [e(1+i)z + e1−i)z]. 2 2 √ √ i π −i π V`ı1+i = 2 · e 4 ;1− i = 2 · e 4 nˆen´apdu. ng khai triˆe’n (II) ta c´o: n i πn n −i πn 2 2 · e 4 +22 · e 4 ez · cos z = X zn 2 n>0 n πn n = X 2 2 cos · z ,z∈ C. 4 n>0
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 295 1 V´ı du 3. Khai triˆe’n h`am f(z)= + e−z th`anhchuˆo˜i Taylor v´o.i tˆam . 1+z a = 0 v`achı’ ra b´ank´ınh hˆo.itu. cu’a chuˆo˜i. Gia’i. Ta c´o 1 =1− z + z2 − z3 + ···+(−1)nzn + 1+z z2 z3 zn e−z =1− z + − + ···+(−1)n + 2! 3! n! . . . T`u d´ob˘a`ng c´ach cˆo.ng c´acchuˆo˜i ta thu duo. c f(z)=[1− z + z2 −···+(−1)nzn + ] z2 zn + h1 − z + −···+(−1)n + i 2! n! 1 1 =2− 2z + 1+ z2 − 1+ z3 + 2! 3! 1 +(−1)n−11+ zn−1 + (n − 1)! 1 = X(−1)n−11+ zn−1. (n − 1)! n>1 . . Diˆe’mbˆa´tthu`ong gˆa` ngˆo´cto.adˆo. nhˆa´tl`az = −1. Do d´ob´ank´ınhhˆo.itu. cu’a chuˆo˜il`aR =1. V´ı du. 4. Khai triˆe’n h`am z2 − 2z +19 f(z)= (z − 3)2(2z +5) . th`anhchuˆo˜i Taylor v´oi tˆamta.idiˆe’m a =0v`achı’ ra b´ank´ınhhˆo.itu. cu’a . . chuˆo˜ithuduo. c. . . . . Gia’i. V`ı f(z) l`aphˆanth´uch˜uuty’ thu. csu. nˆenta c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜nn´o . . . du´oida.ng tˆo’ng c´acphˆanth´uctˆo´i gia’n: 1 2 f(z)= + · 2z +5 (z − 3)2
296 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Tiˆe´p theo ta c´o 1 1 1 2n = · = X(−1)n zn. 2z +5 5 2z 5n+1 1+ n>1 5 5 V`ıdiˆe’m z = − l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng gˆa` ngˆo´ctoadˆo nhˆa´tnˆen b´ank´ınhhˆoi 2 . . . 5 tu R cu’a chuˆo˜ithudu.o.cl`aR = . . 1 . 1 2 2 Dˆe ’ khai triˆe’n h`am th`anhchuˆo˜i Taylor tai lˆancˆandiˆe’m a =0ta (z − 3)2 . . s˜e´apdu.ng hˆe. qua’ cu’ad.inh l´yWeierstrass. Ta c´o 2 0 2 = − z − 3 (z − 3)2 2 2 1 1 = − · = −2 X zn, |z| 0 v`ado d´o 2 nzn−1 (n +1)zn =2X =2X , |z| 1 n>0 . . Cˆo.ng c´acchuˆo˜ithuduo. ctac´o 2n 2(n +1) 5 f(z)=X h(−1)n + izn, |z| 0 V´ı du. 5. Khai triˆe’n nh´anhlogarit nhˆa.n gi´atri. 2πi ta.idiˆe’m z0 = 1 th`anh chuˆo˜i Taylor trong lˆancˆa.ndiˆe’m a =2. . . Gia’i. Tru ´o chˆe´t ta cˆa` n x´acd.inh nh´anhn`ao(trong vˆosˆo´ nh´anhcu’a h`am logarit) l`anh´anhtho’am˜andiˆe`ukiˆe.ncu’a b`aito´an.Ta c´o z − 2 ln z = ln[2 + (z − 2)] = ln n2h1+ io 2 z − 2 = ln 2 + ln 1+ . 2
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 297 T`u. d´o suy r˘a`ng z − 2 ln z = ln 2 + ln 1+ +2πi 2 l`anh´anhcˆa` n t`ım.Nh´anhn`aychı’nh h`ınh trong miˆe`n C\R−.V`ı dist (2; ∂D)= . . 2 nˆentrong h`ınh tr`on {z : |z − 2| 1 . v´oi b´ank´ınhhˆo.itu. R =2. √ √ 3 V´ı du. 6. Khai triˆe’n h`am f(z)= 3 z, −8=−2 th`anhchuˆo˜i Taylor trong lˆancˆa.ndiˆe’m a = −8. . Gia’i. Nhu trong v´ıdu. 5 ta c´o √ √ z +8 1/3 3 z = p3 −8+(z +8)= 3 −8h1 − i 8 v`ado d´o nh´anhtho’am˜andiˆe`ukiˆe.n b`aito´anl`a z +8 1/3 f(z)=−21 − . 8 . Tiˆe´p theo, ´apdu.ng cˆongth´ucVtac´o 1   1 f(z)=−21 − X 3 (z +8)no   8n n>1 n V`ı z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cu’a h`amgˆa` ndiˆe’m a = −8 nhˆa´tnˆenR = dist(0; −8) = 8. - . D.inh l´y4.1.8. Gia’ su’ chuˆo˜i c´ach`amchı’nh h`ınh P uk(z) hˆo. itu. d`ˆe u trong k>1 h`ınh tr`on S(a; R)={z : |z − a| 1
298 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . Khi d´oc´achˆe. sˆo´ Taylor an(f) cu’a h`am f(z) x´acd.inh bo’ i (4.13) l`ab˘a`ng c´ac . tˆo’ng cu’ac´achˆe. sˆo´ Taylor c`ung sˆo´ hiˆe.u an(uk) cu’a c´ach`am uk(z),t´ucl`a an(f)=X an(uk). (4.14) k>1 . . . . Ch´ung minh. T´ınh chı’nh h`ınh cu’a h`amtˆo’ng f(z)duo. c suy ra t`u d.inh l´y Weierstrass (4.1.3). C˜ung theo d.inh l´yWeierstrass ta c´o (n) (n) f (z)=X uk (z) k>1 . . Thay z = a ta thu duo. c f (n)(a) u(n)(a) = X k n! n! k>1 hay l`a an(f)=X an(uk). k>1 Ta x´et v´ıdu. sau dˆay. Ta x´ettˆo’ng cu’a chuˆo˜i h`am zn F (z)=X · 1 − zn n>0 . . . Tru ´ochˆe´t ta nhˆa.nx´et r˘a`ng c´acsˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜id`ˆe u l`anh˜ung h`am . . chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ondondonvi . . Ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng chuˆo˜id˜a c h o h ˆo.itu. d`ˆe u trˆent`ung comp˘a´ccu’a . . h`ınhtr`ondonvi. U. Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u K l`atˆa.pho. pd´ongtrong U v`a δ>0l`a . . . . khoa’ng c´ach t`u K dˆe´ndu`ong tr`ondonvi. th`ı |z| 6 1 − δ = ρ<1 ∀z ∈ K.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 299 Do d´o zn ρn ρn 6 6 · n n 1 − z 1 − ρ 1 − ρ n . ρ Nhung v`ı chuˆo˜i P hˆo.itu., nˆen chuˆo˜id˜a cho hˆo.itu. d`ˆe u trˆen K. n>0 1 − ρ Dˆe ’ x´acd.inh hˆe. sˆo´ Taylor cu’a zk trong khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z)ta cˆa` ncˆo.ng c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a zk trong mo.i khai triˆe’n zn σ = = zn + z2n + z3n + n 1 − zn Ta k´yhiˆe.uhˆe. sˆo´ Taylor cu’a σn l`a Ak(σn). Ta c´o 1, nˆe´u k chia hˆe´tchon, Ak(σn)= 0, nˆe´u k khˆongchia hˆe´tchon.  k . . . . Do d´o h ˆe. sˆo´ cˆa` n t`ımcu’a z b˘a`ng tˆo’ng c´acdonvi. v´oisˆo´ luo. ng b˘a`ng sˆo´ c´ac . . . u´o ctu. nhiˆencu’asˆo´ k.Nˆe´utak´yhiˆe.u ϕ(k) l`asˆo´ d´o, th`ı ϕ(1) = 1; ϕ(2) = 2; ϕ(3) = 2; ϕ(4) = 3, v`ata c´o F (z)=X ϕ(k)zk k>1 . D´o l`akhai triˆe’nmuˆo´n t`ım.H`am F (z)chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`ondonvi. . (theo d.inh l´yWeierstrass) nˆenchuˆo˜idang x´et hˆo.itu. trong h`ınh tr`ondonvi . . D- .inh l´y4.1.9. Gia’ su’ f(z) l`ah`amho. pcu’a z f(z)=F [ϕ(z)] = F (w),w= ϕ(z) . . v`ac´acdiˆe`ukiˆe. nsaudˆay duo. c tho’a m˜an 1+. h`am w = ϕ(z) chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa. ndiˆe’m z = a; 2+. h`am F (w) chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa. ndiˆe’m w = b = ϕ(a). Khi d´o: 1) h`am f = F ◦ ϕ chı’nh h`ınhta. i lˆancˆa. ndiˆe’m z = a; . . . 2) Khai triˆe’n Taylor cu’a h`am f(z) v´oi tˆamta. idiˆe’m z = a thu duo. cb˘a`ng ph´ep thˆe´ chuˆo˜i theo l˜uyth`u.acu’a z − a dˆo´iv´o.i h`am ϕ(z) v`aochuˆo˜i theo l˜uy
300 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . th`uacu’a w − b dˆo´iv´oi h`am F (w);o’ dˆay c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a h`am f(z) . . . duo. c t`ımb˘a`ng c´achthu. chiˆe.n c´acph´epnhˆanchuˆo˜iv`acˆo. ng c´achˆe. sˆo´ cu’a . c´acl˜uy th`uac`ung bˆa. c. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. m ϕ(z)=b + X am(z − a) , |z − r| 1 n F (w)=X An(w − b) , |w − b| 0 trong d´o c´achˆe. sˆo´ am, An d˜a b i ˆe´t. V`ı ϕ(z) → b khi z → a nˆen ∃ ρ = ρ(R), 0 0 n m = X Ann X am(z − a) o (4.17) n>0 m>1 hˆo.itu. khi |z − a| <ρ.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 301 . . . . Dˆe ’ c´othˆe’ du. a v`aot´ınhhˆo.itu. d`ˆe ucu’a n´ota thay ρ bo’ isˆo´ khˆongl´onhon n´ol`a0 1 . P un(z)hˆo.itu. d`ˆe uv`agˆo`mt`u c´ach`amchı’nh h`ınhnˆenc´othˆe’ ´ap du.ng d.inh n>0 l´y4.1.6. T`u. d´o v `a tu ` . t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy . . . . th`ua suy ra c´ach x´acd.inh c´achˆe. sˆo´ Taylor cu’a h`am f.D.inh l´yduo. cch´ung minh. sin z V´ı du. . T`ım bˆo´nsˆo´ ha.ng d`ˆa u tiˆencu’a khai triˆe’n h`am f(z)=e th`anh chuˆo˜i Taylor v´o.i tˆam a =0. Gia’i. Thay t = sin z v`aod˘a’ng th´u.c t t2 tn et =1+ + + ···= + 1! 2! n! . . ta thu duo. c sin z sin2 z sinn z esin z =1+ + + ···+ + 1! 2! n! T`u. d´o ta c´o z3 1 z3 2 esin z =1+z − + + z − + 3! 2! 3! 1 z3 2 + z − + + ···= 3! 3!
302 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh z3 1 z2 2 =1+z − + + z21 − + 3! 2! 3! 1 z2 3 + z21 − + + 3! 3! 1 1 1 =1+z − z3 + z2 + z3 + 3! 2! 3! 1 =1+z + z2 +0+ 2 . . D- .inh l´y4.1.10. Gia’ su’ cho hai chuˆo˜il˜uyth`ua n n ϕ(z)=X an(z − a) ,ψ(z)=X bn(z − a) n>0 n>0 . . . . . v´oib´ank´ınh hˆo. itu. tuong ´ung l`a R1 v`a R2. Gia’ su’ ψ(z) khˆongtriˆe.t tiˆeu trong h`ınh tr`on |z − a| 0; k´yhiˆe.u r = min(R1,R2,ρ). Khi d´o h`am ϕ(z) f(z)= ψ(z) chı’nh h`ınhtrong h`ınh tr`on |z − a| 0 th`ı a0 c0 = , b0 b 00 0 a 0 0 b1 b0 0 0 a1 1 b2 b1 b0 0 a2 c = ,n=1, 2, (4.18) n n+1 . . . . . b0 . . . . . . bn−1 bn−2 bn−3 b0 an−1 bn bn−1 bn−2 b1 an . . . Ch´ung minh. T´ınh chı’nh h`ınh cu’a h`am f(z) trong h`ınh tr`ond˜anˆeuduo. c . . . . r´ut ra t`u quy t˘a´cda.oh`amdˆo´iv´oi phˆanth´uc. Ta nhˆa.nx´etr˘a`ng t`u diˆe`ukiˆe.n
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 303 . . . . . cu’ad.inh l´ysuy r˘a`ng b0 =0v`6 ı trong tru`ong ho. p nguo. cla.i ψ(a)=0v`adod´o ϕ(z) ρ = 0 v`ata didˆe´n mˆauthuˆa˜n. Tiˆe´p theo, t`u. d`ˆo ng nhˆa´tth´u.c = f(z) ψ(z) suy r˘a`ng n n n X an(z − a) = X cn(z − a) · X bn(z − a) . n>0 n>0 n>0 . V`ı c´acchuˆo˜io’ vˆe´ pha’ihˆo.itu. tuyˆe.tdˆo´i trong h`ınh tr`on |z − a| 0 n>0 k=0 = c0b0 +(c0b1 + c1b0)(z − a) 2 +(c0b2 + c1b1 + c2b0)(z − a) + n +(c0bn + c1bn−1 + ···+ cnb0)(z − a) + Do t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`u.a ta c´othˆe’ x´ac . d.inh c´achˆe. sˆo´ c0,c1, bo’ ihˆe. sau b0c0 = a0, b1c0 + b0c1 = a1, b2c0 + b1c1 + b0c2 = a2, bnc0 + bn−1c1 + bn−2c2 + ···+ b0cn = an, . . . . D´ol`ahˆe. vˆoha.n c´acphuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhdˆo´iv´oi c´achˆe. sˆo´ chuabiˆe´t . . c0,c1, ,cn, T`u hˆe. d´o ta c´othˆe’ x´acd.inh hˆe. sˆo´ c0,c1, ,cn, v´oisˆo´ . . . . . hiˆe.u cho tru´ocbˆa´tk`y. Thˆa.tvˆa.y, hˆe. n +1 phuong tr`ınhd`ˆauv´oi c´acˆa’n . c0,c1, ,cn c´od.inh th´ucb˘a`ng b 00 0 0 b1 b0 0 0 = bn+1 =6 0 (4.19) . . . . 0 . . . . . bn bn−1 bn−2 b0
304 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . T`u (4.19) v`aquy t˘a´c Cramer ta thu duo. c (4.18). . . . V´ı du. . Ta thu. chiˆe.n ph´epchia chuˆo˜il˜uy th`ua cho chuˆo˜il˜uy th`ua. X´eth`am z f(z)= · ez − 1 V`ı z v`a ez − 1d`ˆe uchı’nh h`ınh ∀ z ∈ C nˆenh`am f(z)chı’nh h`ınh ∀ z ∈ C \{0; ±2πi; ±4πi; }.V`ı z z 1 f(z)= = = (4.20) ez − 1 z z2 z z2 1+ + + − 1 1+ + + 1! 2! 2! 3! nˆensau khi cho f(0) = 1 ta c´othˆe’ xem f(z)chı’nh h`ınhta.i z =0.Diˆe’mbˆa´t thu.`o.ng gˆa` n z = 0 nhˆa´tl`az =2πi (v`a z = −2πi). Do d´o trong h`ınhtr`on . . n |z| 1. n 2! n 1 n! 1 (n + 1)! 0 T`u. (4.21) suy ra: 1 1 1 a =1,a= − ,a= ,a=0,a= − , 0 1 2 2 12 3 4 720
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 305 v`ado d´o khai triˆe’n c´oda.ng z z z2 z4 =1− + − + (4.22) ez − 1 2 12 720 . . . . . Ta s˜ech´ung to’ r˘a`ng trong chuˆo˜ithuduo. cmo.ihˆe. sˆo´ v´oisˆo´ hiˆe.ule’ (tr`u ra . a1)d`ˆe ub˘a`ng 0. Thˆa.tvˆa.yt`u (4.22) ta c´o z z z2 z4 + =1+ − + ez − 1 2 12 720 Vˆe´ tr´ail`ah`amch˘a˜nv`ı z z − z z z z e +1 z e 2 + e 2 z z + = = · = cth · z z z − z e − 1 2 2 e − 1 2 e 2 − e 2 2 2 Do d´o khai triˆe’n Taylor cu’an´oo’. vˆe´ pha’ichı’ ch´u.a c´acl˜uy th`u.ach˘a˜n. . 4.1.5 C´acquan diˆe’m kh´acnhau trong viˆe.c xˆaydu. ng l´y thuyˆe´t h`amchı’nh h`ınh . . Khi xˆaydu. ng l´y thuˆe´t h`amchı’nh h`ınhta c´othˆe’ xuˆa´t ph´att`u c´acd.inh ngh˜ıa . . . . . . . tuong duong nhau vˆ`e h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D.Diˆe`ud´odu. a trˆenco so’ . . . . . . l`al´op c´ach`amchı’nh h`ınhtrong miˆ`en D c´othˆe’ duo. cd˘a. c trung bo’ inh˜ung . . . . . t´ınhchˆa´td˘a. cbiˆe.t kh´acnhau nhung tuong duong nhau. Do vˆa.yhˆe. thˆo´ng . tr`ınhb`ayl´ythuyˆe´t h`ambiˆe´nph´uc phu. thuˆo.c nhiˆ`eu v`aoviˆe.ccho.n t´ınhchˆa´t n`aotrong sˆo´ d´o l`amd.inh ngh˜ıaxuˆa´t ph´at. . . Sau dˆay l`anh˜ung t´ınhchˆa´t quan tro.ng nhˆa´td˘a.c trung cho t´ınhchı’nh . h`ınhcu’a h`am f(z) trong miˆe`n D.O’ dˆayta gia’ thiˆe´t D l`amiˆe`ndo.n liˆenv`a ta k´yhiˆe.u f(z)=u(x, y)+iv(x, y), z = x + iy. 0 T´ınh chˆa´t C. H`am f(z)c´oda.o h`am f (z)ta.imo.idiˆe’mcu’amiˆe`n D. . T´ınh chˆa´t R. Trong miˆ`en D phˆa` n thu. c u(x, y) v`aphˆa` na’o v(x, y) c´oc´ac da.o h`amriˆengcˆa´p 1 liˆentu.c v`atho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann ∂u ∂v ∂u ∂v = ; = − · ∂x ∂y ∂y ∂x
306 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh T´ınh chˆa´t J. Gia’ thiˆe´t h`am f(z) liˆentu.c trong miˆe`n D.T´ınh chˆa´t J . . . . . . . duo. c ph´atbiˆe’ubo’ imˆo.t trong hai da.ng tuong duong sau. . Z (J1)V´oi hai diˆe’m a v`a b thuˆo.c D bˆa´tk`y, t´ıch phˆan f(z)dz lˆa´y theo L(a,b) . . . . . du`ong cong doduo. c L(a, b)dit`u diˆe’m a dˆe´ndiˆe’m b l`akhˆongphu. thuˆo.c v`ao . . du`ong lˆa´y t´ıch phˆan L(a, b) m`achı’ phu. thuˆo.c v`aoh`am f(z), diˆe’md`ˆau a v`a diˆe’m cuˆo´i b cu’a L. . . . . . (J2)V´oidu`ong cong d´ong doduo. cbˆa´tk`yL n˘a`m trong miˆ`en D t´ıch phˆan Z f(z)dz lˆa´y theo du.`o.ng cong d´o l`ab˘a`ng khˆong. L . . . T´ınh chˆa´t W.V´oimo.idiˆe’m a ∈ D h`am f(z) khai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i . . . l˜uy th`uav´oi tˆamta.i a,t´uc l`a: ∀ a ∈ D, ∃(An), An = An(a) sao cho chuˆo˜i n X An(z − a) n>0 hˆo.itu. trong h`ınh tr`on {z : |z − a| <R} n`aod´o (b´ank´ınhhˆo.itu. R phu. thuˆo.c v`ao a) v`ac´otˆo’ng b˘a`ng f(z)). Ta c´o . . . . . D- .inh l´y4.1.11. C´act´ınh chˆa´t C, R, J v`a W l`atuong duong v´oi nhau. . . . . Ch´ung minh. Ta cˆa` nch´ung minh luo. cd`ˆo sau dˆay C =⇒R ~ w w w w W⇐= J + . . . 1 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh C =⇒Rduo. cch´ung minh trong d.inh l´y6.3 (vˆe` diˆe`u . kiˆe.ncˆa` ndˆe ’ h`am f(z)l`aC - kha’ vi) v`ad.inh l´y11.14 vˆe` su. tˆo`nta.ida.o h`am mo.icˆa´pcu’a h`amchı’nh h`ınh. + . . . . 2 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh R =⇒ J duo. cch´ung minh bo’ id.inh l´y10.3. + . . . . 3 Diˆe`u kh˘a’ng d.inh J =⇒Wduo. cch´ung minh bo’ id.inh l´y Cauchy - Taylor.
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 307 + . . . 4 Sau c`ung, diˆe`u kh˘a’ng d.inh W =⇒Cduo. cch´ung minh trong d.inh l´y . 6.9 vˆ`e t´ınhchı’nh h`ınhcu’achuˆo˜il˜uy th`ua trong h`ınh tr`onhˆo.itu. cu’a n´o. . . . . . Xuˆa´t ph´att`u c´acquan diˆe’m kh´acnhau nhu vˆa.y nˆenc´acthuˆa.tng˜u duo. c . . . . d`ung c˜ung kh´acnhau. T`u d.inh l´y4.1.11 c´acthuˆa.tng˜u sau dˆay duo. c xem l`a d`ˆo ng ngh˜ıa “h`amchı’nh h`ınh” ≡ “h`amgia’i t´ıch” ≡ ≡ “h`amd`ˆe u” ≡ “h`amch´ınh quy” . ’. . ho˘a.cc`ond`ung thuˆa.tng˜u “h`amnguyˆen trong miˆe`n D”. O dˆay, thuˆa.tng˜u . . . . h`amchı’nh h`ınhduo. cd`ung d`ˆau tiˆenbo’ i c´acho.c tr`ocu’a Cauchy. Thuˆa.tng˜u . . . . “h`amgia’i t´ıch” duo. cd`ung d`ˆa u tiˆenbo’ i Lagrange v`asau d´o b o’ i Weierstrass. . . Trˆenthu. ctˆe´ O. Cauchy (1784 - 1857) d˜ad.inh ngh˜ıah`amchı’nh h`ınhbo’ i . . t´ınhchˆa´t C (du. a v`aoc´act´ınhchˆa´t kha’ vi cu’a h`am)m˘a.cd`u khi ch´ung minh . . d.inh l´yt´ıch phˆanCauchy (cˆongth´uc t´ıch phˆanco ba’n I) ˆongd˜a thˆemgia’ 0 . thiˆe´t c´ot´ınhchˆa´tk˜y thuˆa.tl`ada.o h`am f (z) pha’i liˆentu.c trong D.Nhung . . . diˆe`ud´od˜aduo. c kh˘a´c phu.cbo’ i Goursat v`aPringsheim vˆe` sau. . . . C`ung th`oiv´oi Cauchy, nh`ato´anho.cDu´c B. Riemann (1826 - 1866) d˜a . . . . . . xuˆa´t ph´att`u t´ınhchˆa´t R.Phuong ph´apn`ayduadˆe´nsu. kha’o s´atd`ˆong th`oi . . . c˘a.p h`amdiˆe`u h`oaliˆen ho. p u v`a v trong miˆe`n D liˆenhˆe. v´oi nhau bo’ idiˆe`ukiˆe.n . . Cauchy - Riemann v`ax´acd.inh h`amchı’nh h`ınh du´oida.ng f(z)=u(z)+iv(z). . . . . . Ngu`oitiˆe´p theo x´aclˆa.pcoso’ l´ythuyˆe´t h`ambiˆe´nph´uc theo mˆo.t c´ach . kh´acl`aK. Weierstrass (1815 - 1897). Weierstrass d˜a s u’ du.ng t´ınhkhai triˆe’n . . . . duo. ccu’a h`amth`anhchuˆo˜il˜uy th`ua(t´uc l`at´ınhchˆa´t W)dˆe ’ l`amd.inh ngh˜ıa. . . . Sau c`ung, dˆe ’ thu duo. c c´act´ınhchˆa´tcoba’ncu’a h`amchı’nh h`ınhv`ad˘a.c . . . . . . biˆe.t l`athu duo. c nhanh cˆongth´uc t´ıch phˆanCauchy ngu`o itad˜asu’ du.ng . . . t´ınhchˆa´t J. Ngu`oid`ˆau tiˆenkha’o s´atc´act´ınhchˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınhdu. a . trˆenquan diˆe’m n`ayl`aOsgood: H`amliˆentu.c f(z) trong miˆe`ndonliˆen D . . . . . . . duo. cgo.i l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`nd´o n ˆe´uv´oidu`ong cong d´ong doduo. c Z . . L bˆa´tk`y thuˆo.cmiˆ`en D th`ı t´ıch phˆan f(z)lˆa´y theo du`ong cong d´o l`ab˘a`ng L 0. . . Bˆaygi`o ta nˆeu ra mˆo.tsˆo´ v´ıdu. ch´ung minh mˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´tcu’a h`am
308 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . b˘a`ng nh˜ung phuong ph´apkh´acnhau du. a trˆenc´acd.inh ngh˜ıaxuˆa´t ph´atd˜a nˆeu. 1. Tˆo’ng cu’a hai h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ f1,f2 ∈H(D). (C). Nˆe´u f1 v`a f2 kha’ vi ta.idiˆe’m z ∈ D t`uy ´yth`ı f1 + f2 c˜ung kha’ vi ta.i d´o v `a t a.id´on´oc´oda.o h`ammo.icˆa´p. (R). D˘a.t f1(z)=u1(x, u)+iv1(x, y); f2(z)=u2(x, y)+iv2(x, y). Khi d´o f1(z)+f2(z)=[u1(x, y)+u2(x, y)] + i[v1(x, y)+v2(x, y)]. V`ımo.ida.o h`amriˆengcˆa´p1cu’a h`am u1, u2, v1, v2 tˆo`nta.i v`aliˆen tu.cnˆen . c´ach`am u1 + u2 v`a v1 + v2 c˜ung c´ot´ınhchˆa´td´o. Ngo`aira t`u c´acdiˆe`ukiˆe.n ∂u ∂v ∂u ∂v  1 = 1  2 = 2  ∂y ∂y  ∂x ∂y  v`a  ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2  = −  = −  ∂y ∂x  ∂y ∂x suy ra ∂(u + u ) ∂(v + v ) ∂(u + u ) ∂(v + v ) 1 2 = 1 2 , 1 2 = − 1 2 , ∂x ∂y ∂y ∂x . t´ucl`af1(z)+f2(z)chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa R. . . . . . (J). Dˆo´iv´oidu`ong cong d´ong doduo. cΓbˆa´tk`y trong miˆe`n D ta c´o Z f1(z)dz =0 Γ Z =⇒ [f1(z)+f2(z)]dt =0 Z f2(z)dz =0 Γ Γ . t´uc l`ah`am f1 + f2 chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa J. (W). Nˆe´u c´acchuˆo˜il˜uy th`u.a 0 n f1(z)=X an(z − a) n>0
. 4.1. C´ackˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´tr´ut ra t`u t´ıch phˆanCauchy 309 v`a 00 n f2(z)=X an(z − a) n> hˆo.itu. trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m a t`uy ´yn`aod´o c u’amiˆe`n D th`ıchuˆo˜i 0 00 n f1(z)+f2(z)=X(an + an)(z − a) n>0 c˜ung hˆo.itu. trong lˆancˆa.nd´o v `a h `a m f1(z)+f2(z)chı’nh h`ınhtheo d.inh ngh˜ıa (W). f1 2. Nˆe´u f1,f2 ∈H(D) th`ı f1f2 ∈H(D), ∈H(D), f2 =06 trong miˆ`en f2 D. . + . Ch´ung minh. 1 Viˆe.cch´ung minh f1f2 ∈H(D) theo d.inh ngh˜ıa C l`akhˆong . c´og`ıkh´okh˘an.Ph´epch´ung minh theo d.inh ngh˜ıa W (ph´epnhˆanchuˆo˜i) hay . . d.inh ngh˜ıa R tuy ph´ucta.pnhung d`ˆe udˆa˜ndˆe´nkˆe´t qua’ mong muˆo´n. Viˆe.c . ch´ung minh t´ınhchı’nh h`ınhcu’a f1 · f2 b˘a`ng d.inh ngh˜ıa J to’ ra khˆongth´ıch . ho. p. + . f1 . . 2 Dˆe ’ ch´ung minh ∈H(D)don gia’nhonca’ l`ad`ung d.inh ngh˜ıa C. f2 . . . Ph´epch´ung minh du. a v`aod.inh ngh˜ıa W rˆa´tph´ucta.p: d´o l`aph´ep chia chuˆo˜i . . cho chuˆo˜i theo phuong ph´aphˆe. sˆo´ bˆa´td.inh (d.inh l´y4.1.10). 3. Nˆe´u h`am W = ϕ(z) chı’nh h`ınhta. idiˆe’m z0, c`onh`am f(w) chı’nh h`ınh ta. i w0 = ϕ(z0) th`ıh`am f(ϕ(z)) chı’nh h`ınhta. idiˆe’m z0. . . . Ch´ung minh. Ph´epch´ung minh du. av`aod.inh ngh˜ıa C l`ahiˆe’n nhiˆenv`ın´o . . . . thu duo. ct`u quy t˘a´cda.o h`amcu’a h`amho. p. Nˆe´u ´apdu.ng d.inh ngh˜ıa(W) . . . th`ıph´epch´ung minh ph´ucta.phon do ph´ep thˆe´ chuˆo˜i v`aochuˆo˜i(d.inh l´y 4.1.9).
310 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’ ah`am chı’nh h`ınh . . . Trong 3.2 ta d˜a thˆa´yr˘a`ng h`amchı’nh h`ınhho`anto`anduo. c x´acd.inh bo’ i c´ac . . gi´atri. cu’a n´otrˆenbiˆencu’amiˆe`nchı’nh h`ınh. Bˆaygi`o ta s˜ech´ung to’ r˘a`ng . . . h`amchı’nh h`ınhho`anto`anduo. cx´acd.inh bo’ i gi´atri. cu’a n´otrˆend˜aydiˆe’m t`uy ´yhˆo.itu. dˆe´ndiˆe’m thuˆo.cmiˆe`nchı’nh h`ınh. T´ınh chˆa´t “nˆo.ita.i” n`aycu’a . . h`amchı’nh h`ınhduo. cgo.il`at´ınhchˆa´t duy nhˆa´t. 4.2.1 Khˆongdiˆe’m (0-diˆe’m) cu’ a h`amchı’nh h`ınh . D- .inh ngh˜ıa4.2.1. Gia’ su’ f(z) ∈H(D). Khi d´o + . . 1 Diˆe’m z = a ∈ D duo. cgo.il`akhˆong-diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am f(z)nˆe´u f(a)=0. + . . 2 Diˆe’m z = a ∈ D duo. cgo.il`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z)nˆe´u f(a)=f 0(a)=···= f (m−1)(a)=0, (4.23) f (m)(a) =06 . . Nˆe´u m =1th`ız = a go.i l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p1haykhˆong-diˆe’mdon cu’a h`am f(z). . T`u d.inh l´yCauchy-Taylor suy r˘a`ng trong lˆancˆa.n U(a, δ)cu’a khˆongdiˆe’m a cu’a h`am f ta c´o f (m)(a) f (m−1)(a) f(z)= (z − a)m + (z − a)m+1 + m! (m + 1)! hay l`a f(z)=(z − a)mϕ(z) trong d´o f (m)(a) f (m+1)(a) ϕ(z)= + (z − a)+ m! (m + 1)! f (m)(a) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong lˆancˆan U(a, δ)v`aϕ(a)= =0.6 . m! Ta c´otiˆeuchuˆa’n sau dˆa y d ˆe ’ x´acd.inh khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 311 . D- .inh l´y4.2.1. Gia’ su’ f ∈H(D) v`a a ∈ D. Khi d´o d iˆe’m z = a l`akhˆong- diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f khi v`achı’ khi ta. i lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a h`am f tho’a . m˜anhˆe. th´uc f(z)=(z − a)mϕ(z), trong d´o h`am ϕ chı’nh h`ınhta. idiˆe’m a v`a ϕ(a) =06 . . . Ch´ung minh. 1. Gia’ su’ diˆe’m a l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f. Theo d.inh l´yCauchy-Taylor ta c´o: f 0(a) f (m−1)(a) f(z)=f(a)+ (z − a)+···+ (z − a)m−1 1! (m − 1)! f (m)(a) + (z − a)m + f (z)(z − a)m+1, m! 1 trong d´o f (m+1‘)(a) f (m+2)(a) f (z)= + (z − a)+ 1 (m + 1)! (m + 2)! . 0 chı’nh h`ınh ta.idiˆe’m a.Nhung z = a l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p m nˆen f(a)=f (a)= ···= f (m−1)(a)=0v`adod´o f (m)(a) f(z)= (x − a)m + f (z)(z − a)m+1 m! 1 1 =(z − a)mh f (m)(a)+f (z)(z − a)i. m! 1 1 f (m)(a) D˘at ϕ(z)=h f (m)(a)+f (z)(z −a)i v`anhˆanx´et r˘a`ng ϕ(a)= =0.6 . m! 1 . m! . T`u d´o suy ra diˆe`u kh˘a’ng d.inh cu’ad.inh l´y. 2. Bˆaygi`o. gia’ su’. f(z)=(z − a)mϕ(z). . . Ap´ du. ng cˆongth´uc Leibnitz dˆo´iv´oida.o h`amcˆa´p cao cu’a t´ıch c´ach`am (m) (m) 1 (m−1) 0 m−1 0 (m−1) (m) (uv) = u v + Cmu v + ···+ Cm u v + uv
312 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh v`ad˘a.t u =(z − a)m, v = ϕ(z) ta c´o f(z)=(z − a)mϕ(z) ⇒ f(a)=0; f 0(z)=m(z − a)m−1ϕ(z)+(z − a)mϕ0(z) ⇒ f 0(a)=0; (m−1) 1 2 f (z)=m(m − 1) ···2(z − a)ϕ(z)+Cm−1m(m − 1) ···3(z − a) + +(z − a)mϕ(m−1)(z), ⇒ f (m−1)(a)=0. Nhu.ng (m) 1 0 f (z)=m!ϕ(z)+Cmm(m − 1) ···2(z − a)ϕ (z)+ +(z − a)mϕ(m)(z) ⇒ f (m)(a)=m!ϕ(a) =06 v`ad´o l `a d iˆe`u pha’ich´u.ng minh. V´ı du. . 1) Mo.idiˆe’m zk = kπ, k ∈ Z d`ˆe u l`akhˆong-diˆe’mdoncu’a h`am f(z)=sinz 0 k v`ı f(zk)=sinzk = sin kπ =0v`af (zk) = cos zk = cos kπ =(−1) =0.6 2 2) Diˆe’m z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p4cu’a h`am f(z)=ez − 1 − z2. Thˆa.t vˆa.y, khai triˆe’n h`amd˜acho th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0 2 4 2n 2 z z z f(z)=ez − 1 − z2 = 1+ + + ···+ + − 1 − z2 1! 2! n! z4 z6 z2n = + + ···+ + 2! 3! n! 1 z2 z2n−4 = z4h + + ···+ + i = z4ϕ(z). 2! 3! n! | ϕ{z(z) } T`u. d´o suy r˘a`ng z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p4cu’a h`amd˜a cho. 3) T`ımcˆa´pcu’a khˆong-diˆe’m z =0dˆo´iv´o.i h`am z8 f(z)= · z − sin z
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 313 . Gia’i. Su’ du. ng khai triˆe’n h`amsin z th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m . . z = 0, ta thu duo. c z8 z8 f(z)= = z − sin z z3 z5 z − hz − + − i 3! 5! z8 1 = = z5 · z3 z5 1 z2 − + − + 3! 5! 3! 5! D˘a.t 1 ϕ(z)= 1 z2 − + 3! 5! khi d´o f(z)=z5ϕ(z), trong d´o ϕ(z) l`ah`amchı’nh h`ınhta.idiˆe’m z = 0 (ta.i sao?)˙ v`a ϕ(0) = 6 =6 0. Do vˆa.y z = 0 l`akhˆong-diˆe’mcˆa´p5cu’a h`am f(z). 4.2.2 T´ınhchˆa´t duy nhˆa´tcu’ a h`amchı’nh h`ınh . . . . . Mˆo.thiˆe.ntuo. ng rˆa´td˘a.cbiˆe.t l`al´op h`amm`ata d˜a t´ach ra t`u tˆa.pho. p c´ac . . . h`ambiˆe´nph´uctˆo’ng qu´atb˘a`ng diˆe`ukiˆe.n C-kha’ vi t´ucl`al´op c´ach`amchı’nh h`ınh H(D) mang mˆo.t t´ınhchˆa´tnˆo.ita.irˆa´tch˘a.t ch˜e. T´ınhchˆa´tnˆo.ita.id´o . cho ph´ep ta dua ra mˆo.tkˆe´t luˆa.nx´acd.inh vˆe` d´angdiˆe.ucu’a h`amˆa´y trong miˆe`n con du’ b´ethuˆo.cmiˆ`en D.Tac´od.inh l´ysau dˆay mˆota’ t´ınhchˆa´td´ogo.i l`a d.inh l´yduy nhˆa´t. D- .inh l´y4.2.2. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D v`atriˆe.t tiˆeutrˆen . tˆa. pho. p vˆoha. n E ⊂ D n`aod´o c´o´ıtnhˆa´tmˆo. tdiˆe’mtu. n˘a`m trong D th`ı f(z)=0 ∀ z ∈ D. . . . . . . Ch´ung minh. I. D`ˆau tiˆenta x´ettru`ong ho. ptˆa.pho. p E c´odiˆe’mtu. h˜uuha.n . . . . . a ∈ D. Ph´epch´ung minh duo. c chia th`anhc´acbu´oc sau. 1+ H`am f c´okhai triˆe’n Taylor 2 f(z)=a1(z − a)+a2(z − a) + (4.24)
314 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Thˆa.tvˆa.y, v`ıh`am f liˆentu. cta.idiˆe’m a nˆen f(a) = 0. Tiˆe´pd´o, v`ı f chı’nh . . h`ınhta.idiˆe’m a nˆenn´okhai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m a v`ado f(a) = 0 nˆenta c´o(4.24). + . . . . 2 Ta ch´ung minh r˘a`ng ak =0 ∀k =1, 2, Gia’ su’ nguo. cla.i: tˆo`nta.i . . . . nh˜ung hˆe. sˆo´ kh´ac0. Gia’ su’ am l`ahˆe. sˆo´ kh´ac0 v´oisˆo´ hiˆe.u nho’ nhˆa´t, t´ucl`a a1 = a2 = ···= am−1 =0,am =6 0. Khi d´o m f(z)=(z − a) [am + am+1(z − a)+ ],am =06 . (4.25) . . T`u (4.25) suy r˘a`ng trong lˆancˆa.nthu’ng du’ b´ecu’adiˆe’m z = a ca’ hai th`ua . . sˆo´ cu’avˆe´ pha’i (4.25) d`ˆe u kh´ac0. Nhung diˆe`ud´ola.i mˆauthuˆa˜nv´oi gia’ thiˆe´t . r˘a`ng z = a l`adiˆe’mtu. cu’a 0-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f.Nhuvˆa.y gia’ thiˆe´t . cu’a ta l`asai v`a ak =0∀ k > 1. Nhung khi d´o f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.n n`aod´o cu’adiˆe’m a v´o.i b´ank´ınhb˘a`ng khoa’ng c´ach t`u. diˆe’m a dˆe´n biˆencu’amiˆe`n D. 3+ Bˆaygi`o. ta ch´u.ng minh r˘a`ng f(z) ≡ 0 trong to`anmiˆe`n D. Gia’ su’. . . . . nguo. cla.i: ta.idiˆe’m z = b h˜uuha.nn`aod´o f(b) =0,6 b ∈ D.Tanˆo´idiˆe’m a v´oi . . . diˆe’m b bo’ idu`ong cong ` = `(a, b) ⊂ D v`ak´yhiˆe.u δ = dist(`, ∂D) l`akhoa’ng c´ach t`u. du.`o.ng cong ` dˆe´nbiˆen ∂D, δ>0. Ta phu’ du.`o.ng cong ` bo’.i c´ac . h`ınhtr`onb´ank´ınh δ sao cho h`ınh tr`onth´u nhˆa´t c´otˆamta.i a, h`ınhtr`ontiˆe´p . . . . . . theo c´otˆamta.i giao diˆe’mcu’adu`ong tr`onth´u nhˆa´tv´oidu`o ng cong `, Theo ch´u.ng minh trong 2+ ta c´o f(z) ≡ 0 trong h`ınh tr`onth´u. nhˆa´t v`atˆam . cu’a h`ınhtr`onth´u hai l`adiˆe’mtu. cu’a c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`am f(z). Do vˆa.y . . . . . . f(z) ≡ 0 trong h`ınh tr`onth´u hai. Lˆa.p luˆa.ntuong tu. ta thu duo. c f(z) ≡ 0 . . trong mo.i h`ınhtr`onv`ad˘a.cbiˆe.tl`af(b) = 0. Tr´aiv´oi gia’ thiˆe´t. Nhu vˆa.y . f(z) ≡ 0ta.imo.idiˆe’mh˜uuha.ncu’amiˆe`n D.Nˆe´u h`am f chı’nh h`ınhta.i ∞ . th`ıtheo t´ınhliˆen tu.ctac´of(∞)=0,t´ucl`af(z) ≡ 0 trong D. . . . II. Tru`ong ho. ptˆa.p E c´odiˆe’mtu. duy nhˆa´tta.i ∞.Tax´et h`am f(w)= 1 f . H`amn`aychı’nh h`ınhtrong miˆ`en D∗ l`aa’nh cu’amiˆe`n D qua ´anhxa w . 1 1 w = .Tˆapho.p E c´oa’nh qua ´anhxa w = l`atˆapho.p E∗ n`aod´o c ´o d iˆe’m z . . . z . . ∗ . ∗ tu. w = 0 thuˆo.cmiˆ`en D .Lˆa.p luˆa.nnhutrˆenta c´o: F (w) = 0 trong D .Do . . . d´o f(z) ≡ 0 trong D.D.inhl´yduo. cch´ung minh ho`anto`an.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 315 Hˆe. qua’ 4.2.1. (nguyˆenl´ycˆolˆa.pcu’a 0-diˆe’m h`amchı’nh h`ınh) . Mo. i 0-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhkhˆongd`ˆong nhˆa´tb˘a`ng 0 d`ˆe ucˆolˆa. p, t´uc . l`adˆo´iv´oimˆo˜i 0-diˆe’mn˘a`m trong D cu’a h`am f 6≡ 0 d`ˆe utˆo`nta. i lˆancˆa. nm`a trong d´o h`am f khˆongc´omˆo. t 0-diˆe’m n`aokh´acngo`ai0-diˆe’md´o. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ tˆo`nta.i 0-diˆe’m z = a cu’a h`am f 6≡ 0 m`atrong lˆancˆa.n bˆa´tk`ycu’a n´oc`ontˆo`nta.i c´ac0-diˆe’m kh´accu’a f. Khi d´osˆo´ 0-diˆe’md´o l `a v ˆo . . sˆo´ v`adˆo´iv´oich´ung diˆe’m z = a l`adiˆe’mtu T`u d´o theo d.inh l´y duy nhˆa´t f(z) ≡ 0 trong D.Diˆe`u n`aymˆauthuˆa˜nv´o.i gia’ thiˆe´tr˘a`ng f(z) 6≡ 0 trong D. Hˆe. qua’ 4.2.2. Nˆe´u h`am f chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D v`ata. idiˆe’m a ∈ D n`ao d´o h`am f v`amo. ida. o h`amcu’an´od`ˆe u triˆe.ttiˆeu th`ı f(z) ≡ 0 trong D. . Ch´ung minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınhta.idiˆe’m a ∈ D nˆentrong lˆancˆa.n n`aod´o . . cu’adiˆe’m a n´okhai triˆe’nduo. c th`anhchuˆo˜i Taylor. Theo diˆe`ukiˆe.ncu’ahˆe. qua’ ta c´o f (n)(a)=0∀ n > 0nˆen f (n)(a) a = =0 ∀ n ≥ 0. n n! Diˆe`ud´oc˜ung c´ongh˜ıal`a f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.nd´o. Lˆa´y lˆancˆa.n n`ayl`am . tˆa.pho. p E v`a´apdu.ng d.inh l´yduy nhˆa´t ta c´o f(z) ≡ 0 trong D. . Hˆe. qua’ 4.2.3. Nˆe´u f1,f2 ∈H(D) v`a f1(z)=f2(z) trˆen tˆa. pho. p E n`aod´o n˘a`m trong D v`ac´odiˆe’mtu. thuˆo. c D th`ı f1(z) ≡ f2(z) trong D. . . . Ch´ung minh. Hˆe. qua’ 4.2.3 thu duo. cb˘a`ng c´ach ´apdu.ng d.inh l´y duy nhˆa´t cho h`am f(z)=f1(z) − f2(z). . . . Nhˆa. nx´et 4.2.1. Bˆen ca.nh d.inh l´yduy nhˆa´td˜a d uo. cch´ung minh (c`ongo.il`a d.inh l´yduy nhˆa´t trong) trong l´y thuyˆe´t h`amchı’nh h`ınhc`onc´oc´ac d.inh l´y duy nhˆa´t biˆen, trong d´o t ˆo ’ng qu´atnhˆa´t v`asˆaus˘a´c nhˆa´t l`ac´acd.inh l´ycu’aN. . Luzin v`aI. Privalov m`ado pha.m vi gi´aotr`ınhta s˜ekhˆongtr`ınhb`ayo’ dˆay.
316 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . Nhˆa. nx´et 4.2.2. T`u d.inh l´yv`uach´ung minh ta c˜ung suy ra r˘a`ng mˆo˜i khˆong- . . diˆe’mcu’a h`am f(6≡ 0) d`ˆe uc´ocˆa´ph˜uuha.n. Thˆa.tvˆa.y, t`u d.inh l´y4.1.1 v`akhai triˆe’n Taylor (4.24) suy r˘a`ng nˆe´u khˆongdiˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhc´o“cˆa´pvˆo ha.n” th`ı f(z) lim =0,n=0, 1, 2, z→a (z − a)n v`ado d´o f ≡ 0 trong D. . . . Nhˆa. nx´et 4.2.3. Tˆa.pho. p con comp˘a´c K ⊂ D bˆa´tk`ychı’ ch´uamˆo.tsˆo´ h˜uu ha.n c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f. . Nhˆa. nx´et 4.2.4. Nˆe´utˆa.pho. pmo.i khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh f (f 6≡ 0), . . trong miˆ`enchı’nh h`ınh D cu’a n´okhˆongh˜uuha.nth`ıtˆa.pho. pd´o c h’ ı c´othˆe’ l`a . . 0 tˆa.pdˆe´mduo. c. Thˆa.tvˆa.y, ta k´yhiˆe.u Dn l`ahˆe. c´acmiˆe`nd´ong thuˆo.c D tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n: 0 0 a) Dn+1 ⊂ Dn; 1 b) dist(∂D,∂D0 )= . n n ˜ 0 . ’ Trong mˆoimiˆe`nd´ong Dn h`am f chı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.n khˆong-diˆemv`ı . . . . . . trong tru`ong ho. p nguo. cla.i, tˆo`nta.i gi´oiha.ncu’a c´ackhˆongdiˆe’mˆa´yv`adiˆe’m . . gi´oiha.n n`aythuˆo.c D.Dod´o f(z) ≡ 0 trong D theo d.inh l´yduy nhˆa´t. T`u . nhˆa.nx´etd´o, dˆe˜ d`angsuy ra r˘a`ng tˆa.pho. p c´ackhˆongdiˆe’mcu’a h`amchı’nh . . h`ınhl`adˆe´mduo. c. . . . Nhˆa. nx´et 4.2.5. Trong nhiˆ`eu tru`ong ho. p, thay v`ı c´ackhˆong-diˆe’mcu’a h`am chı’nh h`ınhta s˜ex´et A-diˆe’m. Ta go.i z0 l`a A-diˆe’mcu’a h`am f chı’nh h`ınhtrong . . . miˆe`n D nˆe´u f(z0)=A, A ∈ C. Trong tru`ong ho. pd˘a.cbiˆe.t khi A =0th`ız0 . l`akhˆong-diˆe’mcu’a h`am f. Ta nhˆa.n x´etr˘a`ng v´oimo.i A =6 ∞,mo.i A-diˆe’m cu’a h`am f d`ˆe u l`akhˆong-diˆe’mcu’a h`am f(z) − A.Dod´omo.i quy luˆa.ttˆo’ng . . . . qu´atd˜aduo. c x´aclˆa.pdˆo´iv´oi khˆong-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınhd`ˆe udung´ v´oi A-diˆe’mcu’a h`amchı’nh h`ınh,trong d´o A =6 ∞ l`asˆo´ ph´u.ct`uy ´y.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 317 4.2.3 Nguyˆenl´y th´actriˆe’n gia’it´ıch . . . D- .inh ngh˜ıa4.2.2. Gia’ su’ c´acdiˆe`ukiˆe.n sau dˆa y d uo. c tho’a m˜an:1) h`am f chı’nh h`ınh trong miˆ`en D; 2) h`am F chı’nh h`ınh trong miˆ`en D˜ ⊃ D;3) F (z) ≡ f(z), t´u.cl`aF (z) ≡ f(z) khi z ∈ D. Khi d´o h`am F (z)du.o.cgoil`a D . . th´actriˆe’n gia’i t´ıch cu’a h`am f(z)(t`u. miˆe`n D ra miˆe`n D˜). . . N´oimˆo.t c´ach kh´ac:h˜aymo’ rˆo.ng miˆe`n x´acd.inh cu’a h`am f m`avˆa˜ngi`u nguyˆen t´ınhchı’nh h`ınh. T´ınh chˆa´t quan tro.ng nhˆa´tcu’a th´actriˆe’n gia’i t´ıch l`at´ınhduy nhˆa´tcu’a n´o.D.inh l´ysau dˆay (go.il`anguyˆen l´y th´actriˆe’n gia’i t´ıch) c´omˆo.t´yngh˜ıa rˆa´t . . co ba’n trong viˆe.c xˆaydu. ng kh´ainiˆe.m h`amgia’i t´ıch. D- .inh l´y4.2.3. (nguyˆenl´yth´actriˆe’n gia’i t´ıch) . Nˆe´uph´ep th´actriˆe’n gia’i t´ıchh`amchı’nh h`ınh v`aomiˆ`en x´acd.inh rˆo. ng hon . . . . . cho tru´oc l`ac´othˆe’ thu. chiˆe.nduo. cth`ı ph´epth´actriˆe’nd´ol`aduy nhˆa´t. . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ f1 v`a g1 l`ahai th´actriˆe’n gia’i t´ıch cu’a h`am f0 ∈H(D) v`aoc`ung mˆo.tmiˆ`en D1 ⊃ D. Khi d´o h`am h(z)=f1(z) − g1(z) . chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D1 v`ab˘a`ng 0 trong miˆe`n D.T`u d.inh l´yduy nhˆa´t suy ra r˘a`ng h(z) ≡ 0v`af1(z) ≡ g1(z) trong D1. . Nhˆa. nx´et 4.2.6. Hiˆe’n nhiˆenbao gi`o ta c˜ung mong muˆo´n th´actriˆe’n h`amchı’nh . . . h`ınhcho tru´oc ra miˆ`en c`angrˆo.ng hon c`angtˆo´tv`akˆe´t qua’ th´actriˆe’n h`am chı’nh h`ınhcho tru.´o.c ra kh˘a´pno.i (tˆa´t nhiˆenno.i n`aoc´othˆe’) n´oichung s˜e dˆa˜ndˆe´n t´ınhda tri. ! . . . . . . Vˆ`e sau (xem chuong V) ta thu`ong cˆa` ndˆe´nsu. mo’ rˆo.ng kh´ainiˆe.m th´ac . . . triˆe’n gia’it´ıchv`uaduo. c tr`ınhb`ay. . . . Gia’ su’ cho hai miˆe`n D1 ⊂ C v`a D2 ⊂ C v`ac´ach`amchı’nh h`ınhtuong . . . u´ng f1 ∈H(D1)v`af2 ∈H(D2). Hai h`am f1(z)v`af2(z)duo. cgo.il`ath´ac . triˆe’n gia’i t´ıchtru. ctiˆe´p cu’a nhau nˆe´u
318 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh a) D1 ∩ D2 =6 ∅, b) tˆo`nta.imiˆe`n δ12 ⊂ D1 ∩ D2 sao cho f1 = f2 . δ12 δ12 . Theo d.inh l´yduy nhˆa´t hai h`am f1 v`a f2 pha’ib˘a`ng nhau kh˘a´pnoi trong . th`anhphˆa` n liˆenthˆong∆ ⊃ δ12 cu’a giao D1 ∩ D2.Nhung giao D1 ∩ D2 c´o . thˆe’ khˆongliˆen thˆongv`ado d´ota.i c´acth`anhphˆa` n liˆenthˆongkh´acd˘a’ng th´uc f1(z)=f2(z) . . c´othˆe’ khˆongduo. c tho’a m˜an. . . . Bˆaygi`o ta dua ra kh´ainiˆe.mtˆo’ng qu´athonvˆe` th´actriˆe’n gia’it´ıch theo mˆo. tx´ıch miˆe`n. Gia’ su’. cho x´ıch miˆ`en D0,D1, ,Dn . sao cho mo.i giao Di,i+1 = Di ∩ Di+1 d`ˆe u khˆongtrˆo´ng v`ad`ˆe ul`anh˜ung miˆe`n . . v´oimo.i i,06 i 6 n − 1. Gia’ su’ tˆo`nta.i c´ach`am f0(z),f1(z), ,fn(z) . . . chı’nh h`ınh trong c´acmiˆe`n Di, i =0, ,n tuong ´ung sao cho trong mo.i . miˆe`n Di,i+1 (i =0, 1, ,n− 1) ta c´od˘a’ng th´uc fi ≡ fi+1 . . . . v´oimo.i z ∈ Di,i+1 (t´uc l`a: fi+1 l`ath´actriˆe’n gia’i t´ıch tru. ctiˆe´pcu’a fi t`u Di . . v`aomiˆ`en Di+1). Khi d´o,h`am fn(z)duo. cgo.il`ath´actriˆe’n gia’i t´ıchcu’a h`am . . f0(z) theo x´ıch miˆe`n D0,D1, ,Dn (khˆongc´oh`ınhdung t`u“tru. ctiˆe´p”!). Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng: th´actriˆe’n gia’it´ıch h`amchı’nh h`ınhtheo mˆo.tx´ıch . . . miˆe`n cho tru´oc l`aduy nhˆa´t (tˆa´t nhiˆen, nˆe´u ph´epth´actriˆe’nd´oc´othˆe’ thu. c . . hiˆe.nduo. c).
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 319 . . R˜or`angl`akhi th´actriˆe’n h`amchı’nh h`ınhcho tru´oc theo mˆo.tx´ıch miˆ`en . . . ta c´othˆe’ tro’ vˆ`e miˆe`n xuˆa´t ph´atsau mˆo.tsˆo´ bu´oc chuyˆe’ntiˆe´p n`aod´o v `a n ´o i . . chung l´uc d´o ta c´othˆe’ thu duo. cmˆo.t h`amchı’nh h`ınhkh´ac. . Dˆe ’ kˆe´tth´uc tiˆe´t n`ay, ta t`ımdiˆe`ukiˆe.ndˆe ’ c´othˆe’ thu. chiˆe.n th´actriˆe’n gia’i t´ıch. Ta c´od.inh l´ysau dˆa y . . D- .inh l´y4.2.4. Gia’ su’ miˆe`n D ⊂ C v`ah`am f ∈H(D). H`am f(z) c´othˆe’ ∗ th´actriˆe’n gia’it´ıch ra miˆe`n D ⊃ D khi v`achı’ khi tˆo`nta. i, d`u chı’ l`amˆo. t, ph´ep khai triˆe’n h`amd´oth`anhchuˆo˜i Taylor ta. i lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a ∈ D n`ao . . . . d´ov´oi h`ınhtr`onhˆo. itu. vuo. trakho’i biˆengi´oicu’amiˆe`n D. . + . Ch´ung minh. 1 Gia’ su’ h`ınhtr`onhˆo.itu. K(a)cu’a khai triˆe’n h`am f(z) th`anh chuˆo˜i Taylor f 0(a) f (n)(a) f(z)=f(a)+ (z − a)+···+ (z − a)n + (4.26) 1! n! . . . vuo. t ra kho’i biˆengi´oicu’amiˆe`n D.Tak´yhiˆe.u K1(a)=z ∈ D : |z − a| < dist(a, ∂D) , G = K(a) ∩ D. X´et d˘a’ng th´u.c (4.26). Vˆe´ tr´aicu’a n´ol`ah`am f(z)chı’nh h`ınh trong miˆ`en D;c`onvˆe´ pha’i l`achuˆo˜il˜uy th`u.abiˆe’udiˆe˜n h`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on K(a). Theo d.inh l´yCauchy-Taylor hai vˆe´ cu’a (4.26) b˘a`ng nhau trong h`ınh tr`on K1(a). Do d´o theo d.inh l´yduy nhˆa´tch´ung b˘a`ng nhau trong giao G m`a ta.id´oca’ hai vˆe´ d`ˆe uchı’nh h`ınh. Ta th´actriˆe’n h`am f(z) ra kho’imiˆe`n D b˘a`ng c´ach d˘a.t f(z)nˆe´u z ∈ D, f ∗(z)= S(z)nˆe´u z ∈K(a) \ G  trong d´o S(z) l`atˆo’ng cu’a chuˆo˜io’. vˆe´ pha’icu’a (4.26).
320 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . T`u d´o ta thu duo. c h`amx´acd.inh trong D ∩K(a)don tri. v`achı’nh h`ınh ∗ . f (z)ta.id´o. Nhu vˆa.ynˆe´u h`ınhtr`onhˆo.itu. K(a)cu’a khai triˆe’n Taylor cu’a . . . h`am f(z)vuo. t ra kho’ibiˆen gi´oicu’amiˆe`nchı’nh h`ınh cu’a h`amth`ıc´othˆe’ th´actriˆe’n gia’i t´ıch h`amd´o ra miˆ`en D ∪K(a). + . . . . ∗ 2 Nguo. cla.i, gia’ su’ h`am f(z)c´othˆe’ th´actriˆe’n ra miˆe`nrˆo.ng hon D ⊃ D. ∗ . . . . Khi d´o t` ˆo nta.i h`ınhtr`on K(a )vuo. t ra kho’i biˆengi´oimiˆe`n D v´oi tˆamta.i ∗ diˆe’m a ∈ D. Theo d.inh l´yCauchy-Taylor khai triˆe’n f 0(a∗) f(z)=f(a∗)+ (z − a)+ 1! . . . hˆo.itu. ´ıtnhˆa´t l`atrong h`ınhtr`on K(a). D.inhl´yduo. cch´ung minh. . . . . Trˆenco so’ d.inh l´yv`uach´ung minh, qu´atr`ınhth´actriˆe’n gia’i t´ıch c´othˆe’ h`ınhdung nhu. sau. Ta khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜i Taylor ta.imˆo˜idiˆe’m trong cu’amiˆe`n D. C´ohai kha’ n˘angc´othˆe’ xa’yra . . . . (i) Nˆe´u khˆongmˆo.th`ınh tr`onhˆo.itu. n`aocu’a c´ackhai triˆe’nthuduo. cvuo. t . . ra kho’imiˆe`n D th`ıh`am f(z) khˆongth´actriˆe’nduo. c ra kho’imiˆe`n D v`amiˆe`n . . . D duo. cgo.il`amiˆe`ntˆo`nta. itu. nhiˆen cu’a h`am f(x) (xem 5.1, 5.2). . . . (ii) Nˆe´uc´onh˜ung h`ınhtr`onhˆo.itu. vuo. t ra kho’imiˆe`n D th`ıtheo d.inh l´y . . ∗ . 4.2.3 ta thu duo. c h`amchı’nh h`ınhtrong D l`aho. pcu’amo.i h`ınhtr`onhˆo.itu. v`a D∗ ⊃ D. . . . . . H`amd˜aduo. c th´actriˆe’nnhuvˆa.yduo. c khai triˆe’n th`anhchuˆo˜i Taylor ta.i ∗ mˆo˜idiˆe’m a ∈ D \D.Nˆe´u khˆongmˆo.t h`ınhtr`onhˆo.itu. n`aocu’a c´ackhai triˆe’n . . . ∗ ∗ . . m´oivuo. t ra kho’imiˆe`n D th`ı D l`amiˆe`ntˆo`nta.icu’a h`amduo. cx´et. Trong . . . . . . tru`ong ho. p nguo. cla.i ta la.i ´apdu.ng d.inh l´ytrˆenv`ab˘a`ng c´ackhai triˆe’nm´oi ∗∗ ∗ ∗∗ . ta th´actriˆe’n h`amv`aomiˆ`en D ⊃ D trong d´o D l`aho. pcu’a c´ach`ınhtr`on . hˆo.itu. m´oi. . . . . Qu´atr`ınhth´actriˆe’nd˜achı’ ra duo. ctiˆe´ptu.cchodˆe´n khi thu duo. cmiˆe`n . . . D(f) m`ah`am f khˆongthˆe’ th´actriˆe’n gia’i t´ıch tiˆe´pduo. cn˜ua. . 4.2.4 Nguyˆenl´y mˆodun cu. cda.i D´ol`ad.inh l´ysau dˆay
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 321 . D- .inh l´y 4.2.5. Gia’ su’ h`am f chı’nh h`ınh trong miˆe`n D ⊂ C. Khi d´o m ˆo d un . cu’a h`amkhˆongthˆe’ da. t gi´atri. cu. cda. icu’a n´o(v`ado d´o khˆongda. t gi´atri. . . . . . . l´on nhˆa´t) ta. ibˆa´tc´udiˆe’m n`aocu’amiˆe`nd´o, tr`u tru`ong ho. p khi f(z) ≡ const trong miˆe`n D. . Ch´ung minh. Gia’ thiˆe´tr˘a`ng ta.idiˆe’m z0 ∈ D (z0 =6 ∞)modun cu’a h`am . f(z) 6≡ const da.tcu. cda.icu’a n´o. Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa r˘a`ng trong lˆancˆa.n n`ao . d´o U(z0,ε), ε>0cu’adiˆe’m z0 h`am f tho’a m˜anhˆe. th´uc |f(z)| 6 |f(z0)|. . D`ˆau tiˆenta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng |f(z)|≡|f(z0)| trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). . . . . Gia’ su’ γ(z0,ε)l`adu`o ng tr`ont`uy ´yv´oi b´ank´ınh ε<ε0 v`atˆamta.i z0. Theo d.inh l´ytrung b`ınhta c´o 2π 1 f(z )= Z f(z + εeit)dt 0 2π 0 0 v`at`u. d´o 2π 1 |f(z )| 6 Z |f(z + εeit)|dt 0 2π 0 0 hay l`a 2π 1 Z it 0 6 |f(z0 + εe )|−|f(z0)|dt. 2π 0 Trong bˆa´td˘a’ng th´u.c trˆenbiˆe’uth´u.cdu.´o .idˆa´u t´ıch phˆanl`akhˆongdu.o.ng. Do . . . . d´o b ˆa´td˘a’ng th´ucchı’ c´othˆe’ xa’y ra trong tru`ong ho. pnˆe´u it |f(z0 + εe )|≡|f(z0)|, . . t´ucl`a|f(z)|≡|f(z0)| trˆen γ(z0,ε). V`ı ε l`at`uy ´y,0 <ε<ε0 nˆen t`u d´osuy r˘a`ng |f(z)|≡|f(z0)| trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). . Tiˆe´p theo ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng f(z) ≡ f(z0) trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). Nˆe´u f(z0)=0th`ı|f(z)|≡0v`adod´o f(z) ≡ 0 trong lˆancˆa.n U(z0,ε0). Nˆe´u
322 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh f(z0) =0th`ı6 f(z) =6 0 trong lˆancˆa.nd˜anˆeu.Trong lˆancˆa.n U(z0,ε0) ta x´et h`am F (z)=lnf(z)=ln|f(z)| + iargf(z)=u + iv. ’. . O dˆay v`ı |f(z)|≡|f(z0)| v´oi z ∈U(z0,ε0)nˆen u ≡ const (v`ı u =ln|f(z)| = ln |f(z0)|). Theo diˆe`ukiˆe.n Cauchy-Riemann ta c´o ∂v ∂u = − ≡ 0, ∂x ∂y ∂v ∂u = ≡ 0, ∂y ∂x . v`at`u d´otac´ov = const trong U(z0,ε). Do vˆa.y h`am F (z)=lnf(z) ≡ const . . v`at`u d´o f(z) ≡ const trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z0.Nhuvˆa.y f(z) ≡ const trong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z0. Theo d.inh l´yduy nhˆa´t, ta c´o f(z) ≡ const trong miˆe`n D.D´ol`adiˆe`u vˆol´y. . . . . . Bˆaygi`o ta x´ettru`o ng ho. pmiˆe`n D 3∞v`ah`am f(z) c´omˆodun da.tcu. c 1 daitai ∞. Trong tru.`o.ng ho.p n`ayta x´et h`am F (w)=f . H`amn`ay . . . w 1 chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D∗ thu du.o.ct`u. D qua ´anhxa w = . H`am F (w) . . z . ∗ c´ocu. cda.ita.idiˆe’m w =0v`adiˆe’m w =0l`adiˆe’m trong cu’a D . Theo phˆa` n ch´u.ng minh trˆenta c´o F (w) = const trong D∗.Dod´o f(z) ≡ const trong miˆe`n D. . Ta lu u´yc´achˆe. qua’ sau Hˆe. qua’ 4.2.4. H`am f chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D c´omˆodun h˘a`ng sˆo´ khi v`a chı’ khi ba’n thˆanh`amd´o l `a h ˘a`ng sˆo´ trong miˆe`nd´o. . . . Ch´ung minh. Diˆe`ukiˆe.ndu’ l`ahiˆe’n nhiˆen.Diˆe`ukiˆe.ncˆa` nduo. c tr`ınhb`aytrong . phˆa` n cuˆo´icu’ach´ung minh d.inh l´y. Hˆe. qua’ 4.2.5. Nˆe´u f(z) 6≡ const l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D v`aliˆen . . . tu. ctrˆen D th`ıgi´atri. cu. cda. icu’a mˆodun cu’a n´ochı’ da. tduo. ctrˆen biˆen cu’a miˆe`n D.
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 323 . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, theo d.inh l´yquen thuˆo.c trong gia’i t´ıch thu. c, h`am . |f(z)| (liˆentu.c trong miˆe`n D) nhˆa.n gi´atri. cu. cda.icu’an´ota.idiˆe’m z0 n`aod´o . cu’amiˆe`n D. Theo nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.idiˆe’m z0 khˆongthˆe’ n˘a`m trong D.Dod´o d iˆe’m z0 chı’ c´othˆe’ n˘a`m trˆenbiˆen ∂D cu’amiˆe`n D. Hˆe. qua’ 4.2.6. Nˆe´u f(z) 6≡ const l`ah`amchı’nh h`ınh trong miˆe`n D v`a . f(z0) =06 ∀ z ∈ D th`ımˆodun cu’a n´okhˆongthˆe’ da. tcu. ctiˆe’u (v`ado d´okhˆong . da. t gi´atri. b´e nhˆa´t) o’ trong miˆe`n D. . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ h`am |f(z)| c´ocu. ctiˆe’uta.idiˆe’m z0 ∈ D. Ta x´eth`am 1 F (z)= · f(z) −1 . D´o l`ah`amchı’nh h`ınhtrong miˆ`en D. H`am |F (z)| = |f(z)| c´ocu. cda.ita.i . diˆe’m z0 ∈ D.Nhung khi d´o F (z) ≡ const trong D v`ado d´o f(z) ≡ const . trong D.Diˆe`ud´o tr´aiv´oi gia’ thiˆe´tcu’ahˆe. qua’. Hˆe. qua’ 4.2.7. Nˆe´u h`am f(z) 6≡ const chı’nh h`ınhtrong miˆ`en D v`aliˆen tu. c trˆen D v`a |f(z)|≡const trˆen biˆen ∂D cu’amiˆe`n D th`ın´oc´o´ıtnhˆa´tmˆo. t 0-diˆe’mn˘a`m trong D. . . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ nguo. cla.i: h`am f(z) khˆongc´o0-diˆe’m trong D. Khi . . d´o m ˆo d un |f(z)| khˆongc´oca’ cu. cda.ilˆa˜ncu. ctiˆe’u trong miˆe`n D.V`ı|f(z)| . liˆentu.c trˆen D nˆenn´oda.t gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´tcu’an´ota.ic´acdiˆe’m biˆencu’amiˆe`n. Nhu.ng, theo gia’ thiˆe´t trˆenbiˆen cu’amiˆe`n D |f(z)| l`ah`am . . h˘a`ng. Do d´o gi´atri. l´on nhˆa´t v`anho’ nhˆa´t trong miˆ`en D l`atr`ung nhau, t´uc l`a |f(z)|≡const trong D.Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa l`amˆo˜idiˆe’mcu’a D d`ˆe ul`adiˆe’m . . . . cu. cda.idˆo´iv´oi |f(z)|.Nhung diˆe`ud´o khˆongthˆe’ xa’yrav`ıf(z) 6≡ const. Nhu vˆa.y h`am f(z) c´o´ıtnhˆa´tmˆo.t 0-diˆe’m trong miˆe`n D. . . . . T`u nguyˆen l´y mˆodun cu. cda.icu’a h`amchı’nh h`ınhta thu duo. cd.inh l´ysau dˆaygo.il`aBˆo’ d`ˆe Schwarz 4 4 . K. G. A. Schwarz (1843-1921) l`anh`ato´anho.cDu´c.
324 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . D- .inh l´y 4.2.6. Gia’ su’ f(z) l`ah`amchı’nh h`ınh trong h`ınh tr`ondonvi. U = {z : |z| < 1} v`atho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe. n f(0) = 0 v`a |f(z)| < 1 ∀z ∈U. Khi d´o 0 1+ h`am f(z) c˜ung tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.n |f (0)| 6 1 v`a |f(z)| 6 |z| ∀ z ∈U, + . 2 nˆe´ud˘a’ng th´uc |f(z)| = |z| tho’a m˜and`uchı’ ta. imˆo. tdiˆe’m z0 =06 , 0 . |z0| < 1 hay |f (0)| =1th`ıkh˘a´pnoi trong h`ınh tr`on U h`am f(z)=eiαz . trong d´o α l`ah˘a`ng sˆo´ thu. c. Ch´u.ng minh. 1+ Gia’ su’. r l`asˆo´ du.o.ng t`uy ´y < 1. Khi d´o 1 f(t)dt f(z)= Z ,z∈{|z| <r}. 2πi t − z |t|=r . . . T`u gia’ thiˆe´t f(0) = 0 v`ahˆe. th´ucv`uaviˆe´t ta c´o 1 1 1 f(z)= Z − f(t)dt 2πi t − z t |t|=r z f(t)dt = Z , 2πi t(t − z) |t|=r ngh˜ıa l`ah`am f(z) 1 f(t)dt = Z z 2πi t(t − z) |t|=r chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on {|z| <r}, trong d´o 1 f(t) f 0(0) = Z dt. 2πi t2 |t|=r . Nhu vˆa.y h`am f(z) F (z)= ; F (0) = f 0(0) z
4.2. T´ınh chˆa´t duy nhˆa´tcu’a h`amchı’nh h`ınh 325 chı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`on: {|z| < 1}. . . . . . . T`u nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.i suy ra r˘a`ng max |F | da.tduo. ctrˆendu`ong . . . . tr`on {|z| = r1} trong d´o r1 l`asˆo´ duong t`uy ´yb´ehon r.Dod´o, v´oi |z| <r1, theo gia’ thiˆe´t, ta c´o: f(z) 1 < khi |z| = r1. z r1 . . . . T`u d´o, dˆo´iv´oidiˆe’m z cˆo´ d.inh bˆa´tk`y thuˆo.c h`ınhtr`ondonvi., qua gi´oi ha.n khi r1 → 1 ta c´o f(z) 6 1 z . 0 . D˘a.cbiˆe.tl`adˆo´iv´oi z =0tac´o|F (0)| = |f (0)| 6 1v`adˆo´iv´oidiˆe’m z =0th`ı6 |f(z)| |F (z)| = 6 1t´u.cl`a|f(z)| 6 |z|. |z| + . 2 Nˆe´uta.idiˆe’m z0 =0,6 z0 ∈Uta c´od˘a’ng th´uc |f(z0)| = |z0| th`ıta.idiˆe’m f(z0) . d´o |F (z0)| = =1.Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa l`ah`am |F (z)| da.tcu. cda.i=1 z0 . ta.idiˆe’m z0 ∈U.Dod´o theo nguyˆen l´ymˆodun cu. cda.i ta c´o F (z) ≡ const . 0 . . . trong U.Nˆe´uc´od˘a’ng th´uc |f (0)| =1th`ıb˘a`ng l´yluˆa.ntuong tu. ta c˜ung . . . kˆe´t luˆa.nr˘a`ng F (z) ≡ const. Trong ca’ hai tru`ong ho. p r˜or`angl`a |F (z)| =1, . iα iα . . . t´ucl`aF (z)=e , α ∈ R v`ado d´o f(z)=e z.Bˆo’ d`ˆe Schwarz duo. cch´ung minh. . Vˆ`e m˘a.th`ınh ho.cBˆo’ d`ˆe Schwarz c´ongh˜ıanhu sau. Qua ´anhxa. bˆa´tk`y . . . thu. chiˆe.nbo’ i h`amchı’nh h`ınh w = f(z), f(0) = 0 biˆe´n h`ınhtr`ondonvi. U ∗ . . lˆen miˆ`en D n˘a`m trong h`ınh tr`ondonvi. khoa’ng c´ach t`u a’nh f(z0)cu’adiˆe’m . . . z0 ∈Udˆe´ndiˆe’m w = 0 khˆongvuo. t qu´akhoa’ng c´ach t`u ch´ınh diˆe’m z dˆe´n . diˆe’m z =0.Nˆe´uc´omˆo.tdiˆe’m n`aod´ocu’a U m`akhoa’ng c´ach t`u d´odˆe´ngˆo´c . ∗ to.adˆo. b˘a`ng khoa’ng c´ach t`u a’nh cu’an´odˆe´ngˆo´cto.adˆo. th`ımiˆe`n D tr`ung . . v´oi h`ınhtr`ondonvi. v`al´uc d´o ´anhxa. chı’ l`aph´epquay.
326 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . 4.3 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa. p 4.3.1 Chuˆo˜i Laurent Chuˆo˜i h`amda.ng ∞ + a a X a (z − a)n = ···+ −m + ···+ −1 n (z − a)m z − a n=−∞ n + a0 + a1(z − a)+···+ an(z − a) + a = X −n + X a (z − a)n (z − a)n n n>1 n>0 n = X an(z − a) (4.27) −∞<n<∞ . . 5 duo. cgo.il`achuˆo˜i Laurent , trong d´o z = a l`adiˆe’mcˆo´ d.inh cu’am˘a.t ph˘a’ng . ph´uc, an ∈ C, n ∈ Z l`ac´achˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Laurent (hˆe. sˆo´ Laurent) v`aph´ep . . . . . lˆa´ytˆo’ng duo. c thu. chiˆe.n theo c´acgi´atri. ˆam v`aduong cu’asˆo´ hiˆe.u n. Ta x´ethai chuˆo˜i n a0 + a1(z − a)+···+ an(z − a) + (4.28) a a a −1 + −2 + ···+ −m + (4.29) z − a (z − a)2 (z − a)m D- .inh ngh˜ıa4.3.1. 1) Chuˆo˜i Laurent (4.27) hˆo.itu. ta.idiˆe’m z ∈ C nˆe´uta.i . diˆe’md´o c´acchuˆo˜i (4.28) v`a(4.29) d`ˆong th`oihˆo.itu . . . 2) Nˆe´u chuˆo˜i Laurent hˆo.itu. th`ıtˆo’ng cu’an´oduo. cd.inh ngh˜ıanhu l`atˆo’ng cu’a hai tˆo’ng cu’a chuˆo˜i (4.28) v`a(4.29). . . . Chuˆo˜i (4.28) l`achuˆo˜il˜uy th`ua thˆongthu`ong nˆennˆe´u n´ohˆo.itu. th`ımiˆ`en hˆo.itu. s˜el`ah`ınhtr`on S(R)={z : |z − a| <R} (khi R = 0 chuˆo˜i (4.28) chı’ hˆo.itu. ta.idiˆe’m a; c`onkhi R = ∞ th`ıchuˆo˜ihˆo.itu. trong to`anm˘a.t ph˘a’ng). 1 Trong (4.29) ta thay = t v`athu du.o.cchuˆo˜il˜uy th`u.a z − a . ∞ n X a−nt . (4.30) n=1 5P. Laurent (1813-1854) l`anh`ato´anho.c Ph´ap.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 327 Nˆe´u chuˆo˜i (4.30) hˆo.itu. th`ımiˆ`enhˆo.itu. s˜el`ah`ınhtr`on 1 S(r )=nt : |t| r}.Nˆe´udiˆe`ukiˆe.n sau . . dˆa y d uo. c tho’a m˜an r Rth`ıc´acchuˆo˜i (4.28) v`a(4.29) . khˆongc´omiˆ`enhˆo.itu. chung v`ado vˆa.y chuˆo˜i (4.27) khˆonghˆo.itu. ta.ibˆa´tc´u . diˆe’m n`aocu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc. . Nhˆa. nx´et 4.3.1. T`u d.inh l´yAbel (d.inh l´y4.6) suy r˘a`ng trong mo.i v`anhtr`on d´ong r<r1 6 |z −a| 6 R1 <Rn˘a`m trong v`anhtr`on V chuˆo˜i Laurent hˆo.itu. d`ˆe u v`atheo d.inh l´yWeierstrass (d.inh l´y12.3) tˆo’ng cu’a chuˆo˜i Laurent (4.27) . l`ah`amchı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V.D`ˆong th`oi, chuˆo˜i c´othˆe’ da.o h`amv`a . t´ıch phˆant`ung sˆo´ ha.ng mˆo.tsˆo´ lˆa` nt`uy ´y. . . . . . . . Trong tru`ong ho. p riˆengc´othˆe’ xa’y ra tru`ong ho. p r =0hayR = ∞.T`u . . . su. lˆa.p luˆa.no’ trˆensuy r˘a`ng nˆe´u trong chuˆo˜ichı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.nsˆo´ ha.ng . . . . v´oil˜uy th`ua ˆamth`ı r =0v`anˆe´uchı’ c´omˆo.tsˆo´ h˜uuha.nsˆo´ ha.ng v´oil˜uy th`u.adu.o.ng th`ı R = ∞. D- .inh l´y4.3.1. (Laurent) . Gia’ su’ 0 6 r<R6 ∞.Mo. i h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z ∈ C : r<|z − a| <r,r<R}
328 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . d`ˆe ubiˆe’udiˆe˜nduo. c th`anhchuˆo˜i Laurent hˆo. itu. trong v`anhtr`ond´o n n n f(z)= X an(z − a) = X an(z − a) + X a)n(z − a) (4.31) −∞ 0 v`akhai triˆe’nd´o l`aduy nhˆa´t. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ z l`adiˆe’mcˆo´ d.inh cu’a v`anhtr`on V.Tax´et v`anhtr`on V∗ = {z ∈V: r0 0 ζ − a V`ı − z a = q1 0 Γ(R0) 1 f(ζ) a = I dζ. (4.34) k 2πi (ζ − a)k+1 Γ(R0)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 329 Trˆen du.`o.ng tr`onΓ(r0) ta c´o 1 1 1 (ζ − a)k−1 = − · = − X , ζ − z z − a ζ − a (z − a)k 1 − k>1 z − a − ζ a = q2 1 Γ(r0) 1 a = I f(ζ)(ζ − a)k−1dζ (4.36) −k 2πi Γ(r0) Thˆe´ c´accˆongth´u.c (4.33) v`a(4.35) v`ao(4.32) ta c´o k f(z)= X ak(z − a) , (4.37) −∞<k<∞ . ∗ . . . v´oimo.i z ∈V .Vˆa´nd`ˆe c`onla.il`ach´ung minh r˘a`ng khai triˆe’nthuduo. cl`a duy nhˆa´t. Gia’ su’. L l`adu.`o.ng cong d´ongJordan tro.nt`u.ng kh´uc n`aod´on˘a`m trong ∗ . . V v`abao diˆe’m a.Trˆendu`ong cong n`aychuˆo˜i (4.37) hˆo.itu. d`ˆe u. Nhˆanhai 1 1 vˆe´ cu’ad˘a’ng th´u.c (4.37) v´o.i , trong d´o m l`asˆo´ nguyˆen cˆo´ dinh, 2πi (z − a)m+1 . . . . . . . . . rˆo`i t´ıch phˆankˆe´t qua’ thu duo. c theo du`ong cong d´ong L theo hu´ong nguo. c chiˆ`eu kim d`ˆo ng hˆo`, ta c´o 1 f(z) 1 dz I dz = X a I · 2πi (z − a)m+1 k 2πi (z − a)m+1−k L −∞<k<∞ L V`ı 0nˆe´u m =6 k I dz  − = (z − a)m+1 k 2πi nˆe´u m = k L 
330 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh nˆen t`u. d´o suy ra 1 f(z) a = I ,m∈ Z. m 2πi (z − a)m+1 L Diˆe`ud´och´u.ng to’ khai triˆe’n (4.37) trong v`anhtr`on V∗ l`aduy nhˆa´t. V`ı r0 v`a 0 . . . R c´othˆe’ lˆa´ytuong ´ung gˆa` n r v`a R t`uy ´ynˆenkhai triˆe’n (4.37) hˆo.itu. trong to`anv`anh V v`akhai triˆe’nd´o l`aduy nhˆa´t. . D- .inh ngh˜ıa4.3.2. 1. Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z ∈ C :0 0 n>1 . . hˆo.itu. trong v`anhtr`ond´o. Chuˆo˜i (4.38) duo. cgo.il`achuˆo˜i (hay khai triˆe’n) Laurent cu’a h`am f(t) trong lˆancˆa. ncu’adiˆe’m a. . . 2. Gia’ su’ ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z = ∞ (t´uc l`atrong miˆ`en {z : R 0v`aduo. c t´ınhtheo cˆongth´uc (4.36) nˆe´u n 6 −1. Ta lˆa´y du.`o.ng tr`ont`uy ´y γ(ρ)=nz ∈V∗ : |z − a| = ρ, r0 <ρ<R0o v`a´apdu.ng d.inh l´yt´ıch phˆanCauchy dˆe˜ d`angthˆa´yr˘a`ng c´achˆe. sˆo´ Laurent . . . . . . duo. c t´ınhb˘a`ng ph´ept´ıch phˆantheo du`ong tr`on γ(ρ) v`ata c´ocˆongth´ucho. p nhˆa´t hai cˆongth´u.c (4.34) v`a(4.36) sau dˆay 1 f(ζ)dζ a = I ,n∈ Z. (4.40) n 2πi (ζ − a)n+1 γ(ρ)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 331 . Bˆaygi`o ta chuyˆe’n sang x´etph´epkhai triˆe’m h`amth`anhchuˆo˜i Laurent ta.i lˆancˆa.ndiˆe’mvˆoc`ung. . Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınh trong lˆancˆa.nthu’ng n`aod´ocu’adiˆe’mvˆo 1 c`ung. D˘at z = . Qua ph´epbiˆe´ndˆo’i n`aydiˆe’m z = ∞ biˆe´n th`anhdiˆe’m ζ =0 . ζ v`alˆancˆa.n V(∞)cu’adiˆe’mvˆoc`ung chuyˆe’n th`anhlˆancˆa.ncu’adiˆe’m ζ =0. 1 R˜or`angl`ah`am ϕ(ζ)=f chı’nh h`ınhtai lˆancˆandiˆe’m ζ = 0. Do d´oc´o ζ . . thˆe’ khai triˆe’n h`am ϕ(ζ) th`anhchuˆo˜i Laurent c ϕ(ζ)= X c ζn = X c ζn + X −n · n n ζn −∞ 0 n>1 1 Tiˆe´pd´o, sau khi thu.chiˆen ph´epdˆo’ibiˆe´n ζ = v`athay c = a ta c´o . . z n −n a f(z)=X −n + X a zn = X a zn. (4.41) zn n n n>0 n>1 −∞ −1 n (ii) chuˆo˜i P an(z − a) l`aphˆa` nchı’nh h`ınh. n>0 Nˆe´udiˆe’m a = ∞ th`ıtrong khai triˆe’n Laurent (4.41): n (i) chuˆo˜i P anz l`aphˆa` nch´ınh; n>1 a (ii) chuˆo˜i −n l`aphˆa` nchı’nh h`ınh. P n n>0 z
332 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . . . Nhˆa. nx´et 4.3.3. 1. Khai triˆe’n Laurent thu`ong duo. csu’ du. ng trong nh˜ung . . . . tru`ong ho. p khi h`am f x´acd.inh trong mˆo.t lˆancˆa.n n`aod´o c u’adiˆe’m z0 nhung khˆongx´acd.inh ta.i z0. . . . Khi d´o, khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f c´othˆe’ thu. chiˆe.nduo. c trong v`anh . . . . tr`on {0 2}. Gia’i. Ta s˜e t`ımkhai triˆe’n Laurent cu’a h`am f trong c´acmiˆe`n n´oitrˆen.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 333 . . . V´oimu.cd´ı c h d ´o, ta biˆe’udiˆe˜n h`am f du´o ida.ng 1 1 1 f(z)= h + i. 3 1 − z z +2 a) Khai triˆe’n Laurent trong miˆe`n D1.V`ı trong miˆ`en D1 ta c´o |z| 0 v`a 1 1 (−1)n · zn = = X · z n+1 z +2 21+ 2 2 n>0 Do d´o 1 (−1)n f(z)=X h1+ izn,z∈ D . 3 2n+1 1 n>0 D´o l`akhai triˆe’n Taylor. b) Khai triˆe’n Laurent trong miˆ`en D2.V`ı1 1, 1 − z 1 zn+1 z1 − n>0 z v`a 1 1 (−1)n · zn = = X , |z| 0 Do d´o 1 1 (−1)n · zn f(z)=X · + X ,z∈ D . 3 zn 3 · 2n+1 2 n>1 n>0 c) Khai triˆe’n Laurent trong miˆ`en D3.V`ı |z| > 2nˆen 1 1 = − X , |z| > 1, 1 − z zn n>1 1 1 2n = = X(−1)n · z +2 2 zn+1 z1+ n>0 z (−1)n · 2n−1 = X , zn n>1
334 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh v`ata c´okˆe´t qua’: (−1)n · 2n−1 − 1 f(z)=X , |z| > 2. 3 · zn n>1 1 V´ı du 2. Khai triˆe’n h`am f(z)= th`anhchuˆo˜i Laurent tai lˆancˆan . 2 − z . . diˆe’m a = ∞. 1 Gia’i. D`ˆa u tiˆenthu.chiˆenph´ep dˆo’ibiˆe´n z = . Khi d´o h `a m d ˜a cho c´o . . ζ da.ng 1 ζ ζ w = f = = − · ζ 2ζ − 1 1 − 2ζ . V`ıv´oidiˆe`ukiˆe.n |2ζ| 0 n>0 . . . nˆenkhi tro’ vˆ`e biˆe´n z ta thu duo. c 1 2n f(z)= = − X , |z| > 2. 2 − z zn+1 D´o l`akhai triˆe’n Laurent cˆa` n t`ım. . . . . Ta c˜ung c´othˆe’ thu duo. c khai triˆe’n n`ayb˘a`ng c´ach ´apdu.ng phuong ph´ap gia’iv´ıdu. 1 Ta c´o 1 1 1 f(z)= = − · 2 − z z 2 1 − z 2 . ` Khi d´ov´oidiˆeukiˆe.n 2. z z zn+1 n>0 z V´ı du. 3. Khai triˆe’n c´ach`am e , sin z, cos z th`anhchuˆo˜i Laurent ta.i lˆancˆa.n diˆe’m a = ∞.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 335 1 1 Gia’i. Thu.chiˆenph´epdˆo’ibiˆe´n z = . Khi d´o c´ach`amd˜achoc´odang e ζ , . . ζ . 1 1 sin , cos . Khai triˆe’n c´ach`amn`ayth`anhchuˆo˜i Laurent tai lˆancˆandiˆe’m ζ ζ . . ζ =0: 1 1 1 1 e ζ =1+ + + ···+ + , ζ 2ζ2 n!ζn 1 1 1 1 sin = − + ···+(−1)n + , ζ ζ 3!ζ3 (2n − 1)!ζ2n−1 1 1 1 cos =1− + ···+(−1)n + ζ 2!ζ2 (2n)!ζ2n . . . Tro’ vˆ`e biˆe´n z ta thu duo. c z zn ez =1+ + ···+ + , 1! n! z3 z2n−1 sin z = z − + ···+(−1)n + , 3! (2n − 1)! z2 z2n cos z =1− + ···+(−1)n + 2! (2n)! V´ı du. 4. Khai triˆe’n h`amtrong v´ıdu. 1 th`anhchuˆo˜i Laurent trong c´acmiˆ`en kh´acnhau nˆe´ulˆa´y a =1. . . . . Gia’i. Trong tru`ong ho. p n`ayta c´ohai v`anhtr`onv´oi tˆamta.idiˆe’m a =1: (i) h`ınhtr`onthu’ng: V1 = {z :0 1}. Trong mˆo˜i v`anhtr`onv`u.anˆeu h`am f(z)chı’nh h`ınh v`atrˆenbiˆencu’ach´ung tˆo`nta.idiˆe’m m`ah`amkhˆongchı’nh h`ınh. . C˜ung nhu trong v´ıdu. 1, ta c´o 1 1 1 f(z)= = − · (z − 1)(z − 2) z − 2 z − 1 Tiˆe´p theo, 1 1 = − = − X(z − 1)n, |z − 1| 0
336 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh Do d´o 1 f(z)=− − X(z − 1)n, 0 0 (ii) Khai triˆe’n trong v`anhtr`on1 0 1 = X , |z − 1| > 1. (z − 1)n+1 n≥0 v`at`u. d´o suy r˘a`ng 1 1 1 f(z)= − = X , 1 2 Dˆe ’ kˆe´tth´uc tiˆe´t n`ayta ch´u.ng minh . D- .inh l´y4.3.2. Gia’ su’ h`am f(z) chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on V = {z : r< |z − a| <R}. Khi d´o c´achˆe. sˆo´ cu’a chuˆo˜i Laurent n f(z)= X an(z − a) −∞<n<∞ cu’a h`am f(z) trong v`anhtr`on V tho’a m˜anc´acbˆa´td˘a’ng th´u.c M |a | 6 ,n∈ Z (4.42) n ρn trong d´o M = max |f(z)|, γ(ρ)={z ∈V: |z − a| = ρ,r<ρ<R}. z∈γ(ρ) . . . . . C´acbˆa´td˘a’ng th´uc (4.42) duo. cgo. i l`ac´acbˆa´td˘a’ng th´uc Cauchy dˆo´iv´oi hˆe. sˆo´ Laurent. . . . Ch´ung minh. Su’ du.ng c´accˆongth´uc (4.38) ta c´o 1 |f(ζ)| M M M |a | 6 Z dζ 6 Z ds = · 2πρ = · n 2π |ζ − a|n+1 2πρn+1 2πρn+1 ρn γ(ρ) γ(ρ)
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 337 . . . 4.3.2 D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pdon tri. . . Gia’ su’ h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z = a, c´othˆe’ tr`u ra ch´ınhdiˆe’m a. N´oic´ach kh´ac, f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on(lˆancˆa.n thu’ng) U˙ (a; r)={z :0 1 n>0 0 < |z − a| <r trong d´o 1 f(z) a = Z ,n∈ Z, 0 <ρ<r. (4.44) n 2πi (z − a)n+1 γ(ρ) Ta c´o ˙ D- .inh l´y4.3.3. Nˆe´u h`am f(z) chı’nh h`ınh trong v`anhtr`on U(a; r)={z : . . . . . 0 < |z − a| <r} th`ı z = a l`adiˆe’mbˆa´t thu`ong khu’ duo. ccu’a f(z) khi v`achı’ khi h`am f(z) c´omˆodun bi. ch˘a. n trong lˆancˆa. nn`aod´ocu’adiˆe’m a. . . . . . . . Ch´ung minh. I. Diˆe`ukiˆe. ncˆa`n. Gia’ su’ z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. c . . cu’a f(z). Khi d´ot`ımduo. csˆo´ A sao cho sau khi thay f(a)=A th`ıta thu . . . . duo. c h`amchı’nh h`ınhta.idiˆe’m z = a v`ado d´o n´oliˆentu. cta.i a.T`u su. tˆo`n
338 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh tai gi´o.ihanh˜u.uhan lim f(z)=A suy ra f(z)bich˘an trong lˆancˆan n`aod´o . . . z→a . . . cu’adiˆe’m a. . II. Diˆe`ukiˆe.ndu’. Gia’ su’ tˆo`nta.i lˆancˆa.n U(a; δ), 0 0 sao cho |f(z)| 6 M khi z ∈U(a; δ), z =6 a. Trong c´accˆongth´u.c (4.44) ta xem γ(ρ)={z : |z − a| = ρ, ρ 0 . K´yhiˆe.utˆo’ng cu’a chuˆo˜il˜uy th`uavˆe´ pha’il`aS(z). Tˆo’ng S(z) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong to`anh`ınh tr`on U(a; r)v`af(z)=S(z) ∀ z ∈ U˙(a; r). Nˆe´utad˘a.t f(a)=S(a)th`ıf(z) tro’. nˆenchı’nh h`ınhtrong U(a; r)kˆe’ ca’ diˆe’m z = a.(D´o . . . . . c˜ung l`al´ydo c´otˆengo.i“diˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. c”). . . . . . . . . . Nhˆa. nx´et 4.3.4. Kh´ainiˆe.m“diˆe’mbˆa´t thu`ong khu’ duo. c”duo. cd`ung tuong . . . . . . tu. nhu kh´ainiˆe.m“diˆe’m gi´andoa. n khu’ duo. c”. Tuy nhiˆennˆe´udˆo´iv´oi h`am . hai biˆe´n thu. c F (x, y) x´acd.inh v`akha’ vi trong lˆancˆa.ndiˆe’m(x0,y0) (c´othˆe’ . . . tr`u ra ch´ınh diˆe’m(x0,y0)) tˆo`nta.i gi´oiha.nh˜uuha.n lim F (x, y)=A sau khi x→x0 y→y0 . . bˆo’ sung gi´atri. f(x0,y0)=A ta s˜ethu duo. c h`am F (x, y) liˆentu.cta.i(x0,y0) . . nhung n´oichung khˆongkha’ vi ta.i(x0,y0). Trong khi d´odˆo´iv´oi h`am f(z) . chı’nh h`ınhtrong U˙ (a; r) chı’ v´oimˆo. tdiˆe`ukiˆe.n vˆ`e t´ınhbi. ch˘a.ncu’a n´otrong lˆancˆandiˆe’m z = a ta d˜a c ´o g i ´o .ihan lim f(z)tˆo`ntaih˜u.uhan v`asau khi . . z→a . . bˆo’ sung gi´atri f(a) = lim f(z) ta thu du.o.c h`amchı’nh h`ınhtaich´ınh diˆe’m . z→a . . z = a.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 339 . . . . T`u d.inh l´y4.3.3 d˜a c hu ´ ng minh suy r˘a`ng z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆo lˆa.pcu’a h`am f(z)chı’nh h`ınhtrong v`anhtr`on U˙(a; r) khi v`achı’ khi |f(z)| . . khˆongbi. ch˘a.n trong bˆa´tc´u lˆancˆa.n n`aocu’adiˆe’m z = a,t´ucl`a lim |f(z)| = ∞. . . . Nhu vˆa.ynˆe´u z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`o ng cˆolˆa.pcu’a h`am f(z) th`ıh`am . . f(z) khˆongc´ogi´oiha.nh˜uuha.n khi z → a v`ado d´ochı’ c´othˆe’ xuˆa´thiˆe.n hai . . . tru`ong ho. p i) lim f(z)=∞. z→a . . . ii) h`am f(z) khˆongdˆa` nt´oimˆo.t gi´oiha.nh˜uuha.n hay vˆoc`ung n`aokhi z → . 0 0 0 00 00 00 a (t´uc l`atˆo`nta.i ´ıtnhˆa´t hai d˜aydiˆe’m z1,z2, ,zn, v`a z1 ,z2 , ,zn, . . . 0 00 c`ung hˆo.itu. dˆe´n a sao cho c´acd˜aygi´atri. tuong ´ung cu’a h`am f(zn)v`af(zn) . . khˆongdˆa` nt´oic`ung mˆo.t gi´oiha.n). 1 V´ı du 5. 1) Ta x´et h`am f(z)= , n ∈ N. H`amn`aychı’nh h`ınhkhi . (z − a)n . . . . 0 αv`a x → α th`ı e x−α →∞, c`onkhi x<αv`a x → α th`ı 1 . . . e x−α → 0. Do d´okhˆongtˆo`nta.i gi´oiha.nh˜uuha.nlˆa˜n gi´oiha.nvˆoc`ung khi . . . z → a v`ata c´otru`ong ho. p ii). . . . . D- .inh ngh˜ıa4.3.4. 1) Diˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p z = a cu’a h`am f(z)duo. c goil`acu.cdiˆe’m nˆe´u lim f(z)=∞. . . z→a . . . . 2) Diˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p z = a cu’a h`am f(z)duo. cgo.il`adiˆe’mbˆa´t . . thu`ong cˆo´tyˆe´u nˆe´u h`am f(z) khˆongbi. ch˘a.nvˆe` mˆodun v`akhˆongdˆa` ndˆe´n ∞ khi z → a. . Ta kha’o s´atmˆo.t c´ach chi tiˆe´t d´angdiˆe.ucu’a h`amta.i lˆancˆa.ncu’acu. c diˆe’m.
340 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . D- .inh l´y4.3.4. Diˆe’m z = a l`acu. cdiˆe’mcu’a h`am f(z) khi v`achı’ khi diˆe’m 1 d´o l`a0-diˆe’mdˆo´iv´o.i h`am ϕ(z)= . f(z) . . . Ch´ung minh. I. Gia’ su’ z = a l`acu. cdiˆe’mcu’a h`am f(z). Khi d´o lim |f(z)| = z→a ∞ v`ado d´otˆo`nta.i lˆancˆa.n U(a; δ)={z : |z − a| 1. Trong lˆancˆa.nd´o h`am 1 ϕ(z)= l`ah`amchı’nh h`ınhc´othˆe’ tr`u. ra diˆe’m z = a.Nhu.ng t`u. hˆe th´u.c f(z) . 1 |ϕ(z)| = 0du’ b´esao cho trong lˆancˆa.n U(a;∆)={z : |z−a| 1) 1 dˆo´iv´o.i h`am f(z)nˆe´udiˆe’m z = a l`a0-diˆe’mcˆa´p m dˆo´iv´o.i h`am . Trong f(z) . . . . . . . . . tru`ong ho. p m =1cu. cdiˆe’mduo. cgo.il`acu. cdiˆe’mdon c`onkhi m>1-cu. c . diˆe’mgo.il`acu. cdiˆe’mbˆo. i.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 341 1 1 V´ı du 6. 1) X´eth`am f(z)= . C´acdiˆe’m z = , k = ±1, ±2, d`ˆe u . 1 k kπ sin z 1 1 l`acu.cdiˆe’mdo.ncu’a f(z). Thˆatvˆay, h`am g(z)= = sin chı’nh h`ınh . . . f(z) z . 0 khi z =0v`a6 zk l`a0-diˆe’mdoncu’an´o(g (zk) =6 0). Diˆe’m z =0l`adiˆe’mbˆa´t . . . thu`ong khˆongcˆolˆa.p, n´ol`adiˆe’mtu. cu’a c´accu. cdiˆe’m. 1 2) Ch´u.ng minh r˘a`ng z = 0 l`acu.cdiˆe’mcˆa´p3cu’a h`am f(z)= . . z − sin z Tu.o.ng tu. nhu. trˆendˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng (z − sin z)0 =(z − sin z)00 =0, . z=0 z=0 − (3) ’ ´ ’ ˜ ´ c`on(z sin z) z=0 = 1. Do vˆa.y z = 0 l`a0-diˆemcˆap3cuamˆausˆov`ado . d´o l `a c u. cdiˆe’mcˆa´p3cu’a h`am. . . . D´angdiˆe.ucu’a h`amta.i lˆancˆa.ncu’acu. cdiˆe’mcˆa´p m c˜ung duo. c x´acd.inh . . nh`o cˆa´utr´uc cu’a khai triˆe’n Laurent ta.i lˆancˆa.ncu’acu. cdiˆe’m. . . . D- .inh l´y 4.3.5. Diˆe’mbˆa´t thu`ong cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a n´okhi v`achı’ khi phˆa`nch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(x) trong . lˆancˆa. ndiˆe’m z = a ch´ua khˆongqu´a m sˆo´ ha. ng v`a an =0∀ n 6 −(m +1), c`on a−m =06 . . . . Ch´ung minh. I. Gia’ su’ z = a l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z). Khi d´o z = a 1 l`a0-diˆe’mcˆa´p m dˆo´iv´o.i h`am .T`u. d´o suy r˘a`ng trong lˆancˆan n`aod´ocu’a f(z) . z = a ta c´o 1 = A (z − a)m + A (z − a)m+1 + ; A =06 f(z) m m+1 m v`ado d´o 1 1 · · f(z)= m (4.46) (z − a) Am + Am+1(z − a)+ . Chuˆo˜il˜uy th`ua Am +Am+1(z −a)+ biˆe’udiˆe˜nmˆo.t h`amchı’nh h`ınhkhˆong triˆe.t tiˆeutrong mˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’adiˆe’m z = a (v`ı Am =6 0). Do d´o 1 ϕ(z)= Am + Am+1(z − a)+
342 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh l`ah`amchı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.ncu’adiˆe’m z = a v`ata c´okhai triˆe’nda.ng n 1 ϕ(z)=α0 + α1(z − a)+···+ αn(z − a) + α0 = =06 . (4.47) Am . . Thay chuˆo˜i (4.47) v`ao(4.46) ta thu duo. cchuˆo˜i α α f(z)= 0 + 1 + (4.48) (z − a)m (z − a)m−1 v`ado t´ınhduy nhˆa´tcu’a khai triˆe’n h`amth`anhchuˆo˜i Laurent, chuˆo˜io’. vˆe´ pha’icu’a (4.48) l`akhai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(z). Thay dˆo ’ik´yhiˆe.u c´achˆe. sˆo´ trong (4.48) b˘a`ng c´ach d˘a.t αn = an−m; n = . . 0, 12, ta thu duo. c a a f(z)= −m + ···+ −1 + a + a (z − a)+ (4.49) (z − a)m z − a 0 1 . II. Gia’ su’ trong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z = a h`am f(z) c´okhai triˆe’n . . da.ng (4.49), trong d´o a−m =6 0. Khai triˆe’nd´o c´othˆe’ viˆe´tla.idu´oida.ng a + A (z − a)+ f(z)= −m −m+1 · (z − a)m T`u. d´o suy ra 1 m 1 =(z − a) · ,a−m =06 . f(z) a−m + a−m+1(z − a)+ 1 B˘a`ng c´ach thay h`amchı’nh h`ınh bo’.i khai triˆe’n a−m + a−m+1(z − a)+ . . . Taylor cu’a n´otheo c´acl˜uy th`uacu’a z − a ta thu duo. c 1 =(z − a)m[β + β (z − a)+ ] (4.50) f(z) 0 1 m m+1 1 = β0(z − a) + β1(z − a) + ; β0 = =06 . a−m 1 Khai triˆe’n (4.50) ch´u.ng to’ r˘a`ng z = a l`a0-diˆe’mcˆa´p m cu’a h`am .Do f(z) . d´otheo d.inh l´y4.3.4 diˆe’m z = a l`acu. cdiˆe’mcˆa´p m cu’a h`am f(z).
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 343 . . . . . Ap´ du.ng phuong ph´apch´ung minh v`ua tr`ınhb`ayta c´othˆe’ ch´ung minh . . . D- .inh l´y4.3.6. Diˆe’mbˆa´t thu`o ng cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`acu. cdiˆe’m . . cˆa´p m (m > 1) cu’a n´okhi v`achı’ khi h`am f(z) c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´o ida. ng ϕ(z) f(z)= ,ϕ(a) =06 (z − a)m trong d´o ϕ(z) l`ah`amchı’nh h`ınhta. idiˆe’m z = a v`a ϕ(a) =06 . cos z − 1 V´ı du 7. 1) X´et h`am f(z)= . H`am f chı’nh h`ınh trong miˆe`n . z4 D = {z :0 0 n>0 1 v`ado d´o z =0l`acu.cdiˆe’mcˆa´p2cu’a h`am f(z)(o’. dˆa y a = − =0;6 . −2 2 a−n =0 ∀ n>2). 1 1 2) f(z)= − . ez − 1 z R˜or`angl`a z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cu’a h`am f(z). V`ı ez tuˆa` n ho`annˆen . . . mˆa˜usˆo´ cu’a phˆanth´ucth´u nhˆa´tb˘a`ng 0 khi z =2kπi, k ∈ Z.Nhuvˆa.y h`am f(z)chı’nh h`ınh ∀ z =26 kπi, k ∈ Z. 1 1 Nˆe´u z =2kπi, k =0th`ı6 chı’nh h`ınh,c`on c´ocu.cdiˆe’md´o. Dˆ˜e k z ez − 1 . 1 d`angthˆa´yr˘a`ng z =2kπi, k ∈ Z, k =6 0 l`ac´accu.cdiˆe’mdo.ncu’a v`a k . ez − 1
344 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . do vˆa.ych´ung c˜ung l`acu. cdiˆe’mdoncu’a h`am f(z). Ta x´etdiˆe’m z = 0. Ta c´o z2 z3 h i 1+z − ez 1+z − 1+z + + + f(z)= = 2! 3! z(ez − 1) z2 z3 zh1+z + + + − 1i 2! 3! z2 z3 − − − = 2! 3! z2 zz + + 2! 1 z − − − 2! 3! 1 = z →− (z → 0). 1+ + 2 2! Do d´o h `a m f(z)bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.ndiˆe’m z = 0 v`av`ıvˆa.y z =0l`adiˆe’m . . . . . bˆa´tthu`ong khu’ duo. c. Sau c`ung ta kha’o s´atd´angdiˆe.ucu’a h`amchı’nh h`ınhta.i lˆancˆa.ndiˆe’mbˆa´t . . . . thu`ong cˆo´tyˆe´u. T`u c´acd.inh l´y4.3.3 v`a4.3.5 dˆ˜e d`angch´ung minh . . D- .inh l´y4.3.7. Diˆe’mbˆa´t thu`ong cˆolˆa. p z = a cu’a h`am f(z) l`adiˆe’mbˆa´t thu.`o.ng cˆo´tyˆe´ucu’a n´okhi v`achı’ khi phˆa`nch´ınh trong khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f(z) ta. i lˆancˆa. ndiˆe’m a c´ovˆosˆo´ sˆo´ ha. ng. 1 V´ı du 8. 1) H`am f(z) = sin chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D = {z ∈ C :0 0 n!z 1 h`am e z . . . . . Su. ph´ucta.pcu’a d´angdiˆe.u h`amchı’nh h`ınhta.i lˆancˆa.ndiˆe’mbˆa´tthu`o ng . . cˆo´tyˆe´uduo. cthˆe’ hiˆe.n trong d.inh l´ysau dˆa y
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 345 6 D- .inh l´y4.3.8. (Weierstrass) . . . Gia’ su’ a l`adiˆe’mbˆa´t thu`o ng cˆo´tyˆe´ucu’a h`am f(z). Khi d´ota. i lˆancˆa. n . . U(a; δ) bˆa´tk`ycu’adiˆe’m a h`am f(z) nhˆa. nnh˜ung gi´atri. gˆa`nmˆo. tsˆo´ ph´uc cho tru.´o .cbˆa´tk`y bao nhiˆeu t`uy´y,t´u.c l`a: ∀ b ∈ C, ∀ ε>0, ∀U(a, δ) ∃ z ∈ U˙ (a, δ):|f(z) − b| 0 ∃U(a; δ):∀ z ∈ U˙ (a; δ) ⇒|f(z) − b| > ε. Ta x´eth`am 1 ϕ(z)= · f(z) − b H`am ϕ(z) c´oc´act´ınhchˆa´tl`a i) ϕ(z) c´omˆodun bi. ch˘a.n trong lˆancˆa.nthu’ng U˙(a; δ) 1 1 |ϕ(z)| = 6 · |f(z) − b| ε . . ii) ϕ(z)chı’nh h`ınhtrong U˙ (a; δ)v`av`ı z = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p . . cu’a f(z)nˆen n´oc˜ung l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.pcu’a ϕ(z). . . . . . Do d´o theo d.inh l´y4.3.3, diˆe’m a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ duo. ccu’a ϕ(z) v`ata.i lˆancˆa.ndiˆe’m a (ch˘a’ng ha.n a =6 ∞) ta c´o n ϕ(z)=X an(z − a) ,am =06 ,m> 0 ∀ z ∈ U˙ (a; δ). n≥m Nˆe´u m =0th`ıa0 =6 0 v`ah`am 1 1 f(z)=b + = b + ϕ(z) a0 + a1(z − a)+ 6 . K. Weierstrass (1815-1897) l`anh`ato´anho.cDu´c.
346 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh . . . . chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.nthu’ng U˙(a; δ), t´ucl`az = a l`adiˆe’mbˆa´tthu`ong khu’ . . . . duo. cdˆo´iv´oi f(z). Mˆauthuˆa˜nv´oi gia’ thiˆe´tcu’ad.inh l´y. Nˆe´u m>0th`ı am =6 0 v`ah`am 1 1 f(z)=b + = b + m m+1 ϕ(z) am(z − a) + am+1(z − a) + . . c´ocu. cdiˆe’mcˆa´p m ta.idiˆe’m a.Diˆe`ud´oc˜ung mˆauthuˆa˜nv´oidiˆe`ukiˆe.ncu’a d.inh l´y. . . . D- .inh ngh˜ıa4.3.6. Ta n´oir˘a`ng tˆa. pho. p E tr`umˆa. t kh˘a´pnoi trong tˆa. pho. p B nˆe´u ∀ z ∈ B, ∀ ε>0, ∃ z∗ ∈ E : |z − z∗| <ε. . . . Su’ du. ng d.inh ngh˜ıa 4.3.6 ta c´othˆe’ ph´atbiˆe’ud.inh l´y Weierstrass du´o i . . da.ng: Nˆe´u a l`adiˆe’mbˆa´t thu`ong cˆo´tyˆe´ucu’a h`am f(z) th`ı ∀U(a; δ) l`alˆan . . cˆa. ncu’adiˆe’m a tˆa. pho. p f(U˙ (a; δ)) tr`umˆa. t kh˘a´pnoi trong C. D.inh l´y Weierstrass chı’ kh˘a’ng d.inh r˘a`ng trong lˆancˆa.ndu’ b´ecu’adiˆe’m . . . . . . bˆa´tthu`ong cˆo´tyˆe´u h`amnhˆa.nnh˜ung gi´atri. gˆa` nmˆo.tsˆo´ ph´uc cho tru´oc bao . nhiˆeut`uy ´ych´u khˆongn´oig`ıvˆ`e viˆe.c h`amnhˆa.nmo.i gi´atri Nh`ato´anho.c 7 . . . Ph´apPicard d˜ach´ung minh d.inh l´yma.nh hon v`asˆaus˘a´chon sau dˆay . . D- .inh l´yPicard. Trong lˆancˆa. nb´e bao nhiˆeut`uy´ycu’adiˆe’mbˆa´t thu`ong cˆo´t . . yˆe´u h`am f(z) nhˆa. nvˆosˆo´ lˆa`nmo. i gi´atri. h˜uuha. n ngoa. itr`unhiˆe`u nhˆa´tmˆo. t gi´atri. (go. i l`agi´atri. ngoa. ilˆe. Picard). 1 V´ı du. 9. 1) Kha’o s´atd´angdiˆe.ucu’a h`am f(z)=e z ta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z =0. Nhu. d˜abiˆe´tdiˆe’m z =0l`adiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cˆo´tyˆe´u.Tas˜ech´u.ng to’ r˘a`ng 1 . . . trong lˆancˆa.ndiˆe’m z = 0 h`am f(z)=e z c´od´angdiˆe.unhuduo. c mˆota’ trong . . iϕ . . . d.inh l´yPicard. Gia’ su’ A l`asˆo´ ph´uc =0bˆa6 ´tk`y. D˘a.t A = ρe .T`u phuong ! . . tr`ınh e z = A ta thu duo. c 1 =lnA =lnρ + i(ϕ +2kπ) z 1 ⇒ z = ,k∈ Z. k ln ρ + i(ϕ +2kπ) 7C. Picard (1856-1942) l`anh`ato´anho.c Ph´ap.
. . 4.3. D- iˆe’mbˆa´tthu`ong cˆolˆa.p 347 . . R˜or`angl`adˆo´iv´oimo.i h`ınhtr`onv´oi tˆam z = 0 v`ab´ank´ınh du’ b´etac´othˆe’ . . lˆa´ysˆo´ k1 sao cho v´oimo.i k m`a |k| > |k1| th`ımo.i zk d`ˆe uroi v`aotrong h`ınh . . . 1 . . . tr`ond´o. Nhung zk l`anghiˆe.mcu’aphuong tr`ınh e z = A v´oimo.i A cho tru´oc . . 1 v`a A =6 0. Nhu vˆa.ydˆo´iv´oi h`am e z gi´atri. ngoa.ilˆe. Picard l`a A =0. 1 2) H`am f(z) = sin c´odiˆe’mbˆa´tthu.`o.ng cˆo´tyˆe´ul`az = 0. Gia’ su’. A l`a z . . sˆo´ duo. cchot`uy ´y. 1 Ta x´et phu.o.ng tr`ınhsin = A.Su’. dung dinh ngh˜ıa h`amsin t trong miˆ`en z . . . . . . . ph´uc ta viˆe´tphuong tr`ınhdu´oida.ng i − i e z − e z = A. 2i . . . . Sau mˆo.t v`aiph´ep biˆe´ndˆo’i ta thu duo. cphuong tr`ınh 2i i e z − 2Aie z − 1=0 v`ado d´o i e z = Ai ± p(Ai)2 +1=B. . 2 2 Sˆo´ B =0v`ınˆ6 e´u khˆongnhu vˆa.yth`ıAi = ±p(Ai) +1hayl`a(Ai) = (Ai)2 + 1. Gia’ su’. B = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). . . . i . . Khi d´ot`u phuong tr`ınh e z = B ta thu duo. c i =lnB =lnρ + i(ϕ +2kπ) z 1 z = ,k∈ Z. ϕ +2kπ − i ln ρ . . . T`u d´o suy r˘a`ng trong lˆancˆa.nbˆa´tk`ycu’adiˆe’m z =0d`ˆe ut`ımduo. c nghiˆe.m 1 cu’aphu.o.ng tr`ınhsin = A, ∀ A v`ısˆo´ k c´othˆe’ lˆa´yl´o.nt`uy ´yvˆe` mˆodun. z 1 Trong tru.`o.ng ho.p n`ayh`amsin khˆongc´ogi´atri ngoailˆePicard. . z . . .
348 Chu.o.ng 4. C´act´ınhchˆa´tco. ba’ncu’a h`amchı’nh h`ınh 4.3.3 D´angdiˆe.ucu’ a h`amta.idiˆe’m vˆoc`ung . . Ta lu u´yr˘a`ng trˆenm˘a.t ph˘a’ng ph´uc z chı’ tˆo`nta.imˆo.tdiˆe’mvˆoc`ung v`atheo d.inh ngh˜ıalˆancˆa.ncu’adiˆe’m ∞: U(∞; ε)={z ∈ C : dC(z; ∞) 0 sao cho trong phˆa` n ngo`aih`ınh tr`on |z| >Rh`am f(z) khˆongc´oc´acdiˆe’mbˆa´t . . . . thu`ong m`akhoa’ng c´ach t`u d´odˆe´ngˆo´cto.adˆo. l`ah˜uuha.n. 1 Gia’ su’. f(z) ∈H(U(∞; ε)). Sau khi thu.chiˆen ph´epbiˆe´ndˆo’i z = ta thu . . ζ . . duo. c 1 f(z)=f = ϕ(ζ) ζ . v`ah`am ϕ(ζ)chı’nh h`ınhtrong lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m ζ =0.T`u d´o suy r˘a`ng t´ınhbˆa´t thu.`o .ng cu’a h`am f(z) khi z →∞v`acu’a ϕ(ζ) khi ζ → 0l`anhu. nhau v`ı lim f(z) = lim ϕ(ζ). z→∞ ζ→0 Ta c´o