Bài giảng Xác suất và thống kê (Cao đẳng)

pdf

29 trang ngocly 1870

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và thống kê (Cao đẳng)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_cao_dang.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất và thống kê (Cao đẳng)

ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com PH ẦN II. LÝ THUY ẾT TH ỐNG KÊ XÁC SU T & TH NG KÊ (Statistical theory ) CAO ĐNG Ch ươ ng 4. Lý thuy ết m ẫu Ch ươ ng 5. Ướ c l ượ ng kho ảng PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH Ch ươ ng 6. Ki ểm đị nh Gi ả thuy ết Th ống kê Ch ươ ng 7. Bài toán Tươ ng quan và Hồi quy S ti t: 30 Tài li ệu tham kh ảo PH ẦN I. LÝ THUY ẾT XÁC SU ẤT 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Xác su ất – Th ống kê (Probability theory ) và Ứng d ụng – NXB Th ống kê. 2. Nguy ễn Thanh S ơn – Lê Khánh Lu ận Ch ươ ng 1. Các khái ni ệm c ơ b ản c ủa xác su ất – Lý thuy ết Xác su ất và Th ống kê toán – NXBTKê. Ch ươ ng 2. Bi ến ng ẫu nhiên 3. Đậ u Th ế C ấp – Xác su ất – Th ống kê – Ch ươ ng 3. Đị nh lý gi ới h ạn trong xác su ất Lý thuy ết và các bài t ập – NXB Giáo d ục. 4. Lê S ĩ Đồ ng – Xác su ất – Th ống kê và Ứng d ụng B túc v Đ i s T hp – NXB Giáo d ục. 1. Tính ch ất của các phép toán ∩, ∪ 5. Đặ ng H ấn – Xác su ất và Th ống kê – NXB Giáo d ục. a) Tính giao hoán: A∩ B= B ∩ A , A∪ B= B ∪ A . 6. Ph ạm Xuân Ki ều – Giáo trình Xác su ất và Th ống kê – NXB Giáo d ục. b) Tính k ết h ợp: 7. Nguy ễn Cao V ăn – Giáo trình Lý thuy ết Xác su ất ()AB∩∩ C= A ∩∩ () BC , & Th ống kê – NXB Kt ế Qu ốc dân. ()AB∪∪ C= A ∪∪ () BC . 8. Đào H ữu H ồ – Xác su ất Th ống kê – NXB Khoa h ọc & K ỹ thu ật. c) Tính phân ph ối: A∩∪( BC )(= AB ∩∪∩ )( AC ) , Đo ươ Biên so n: ThS. Đo àn V ươ ng Nguyên A∪∩( BC )(= AB ∪∩∪ )( AC ) . Download Slide b ài gi ng XSTK_ CĐ ti d) Tính đố i ng ẫu (De–Morgan): dvntailieu.wordpress.com A∩ B= A ∪ B , A∪ B= A ∩ B . B túc v Đ i s T hp B túc v Đ i s T hp 2. Quy t ắc nhân 4. Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử • Gi ả s ử m ột công vi ệc nào đó đượ c chia thành k giai Có 4 cách chọn ra k phần tử từ tập có n phần tử, n phần đoạn. Có n1 cách th ực hi ện giai đoạn th ứ 1, , có nk tử này luôn đượ c coi là khác nhau mặc dù bản chất của cách th ực hi ện giai đoạn th ứ k. Khi đó ta có: chúng có thể giống nhau. Đó là: n = n 1 nk cách th ực hi ện toàn b ộ công vi ệc. Chọn 1 lần ra k phần tử và không để ý đế n thứ tự của • Gi ả s ử có k công vi ệc A1, , A k khác nhau. Có n1 cách chúng (Tổ hợp). th ực hi ện A1, , có nk cách th ực hi ện Ak . Khi đó ta có: Chọn 1 lần ra k phần tử và để ý đế n thứ tự của chúng n = n 1 nk cách th ực hi ện toàn b ộ k công vi ệc đó. (Chỉnh hợp). 3. Quy t ắc c ộng Chọn k lần, mỗi lần 1 phần tử và không hoàn lại (số • Gi ả s ử m ột công vi ệc có th ể th ực hi ện đượ c k cách cách chọn như Chỉnh hợp). (tr ườ ng h ợp) lo ại tr ừ l ẫn nhau: cách th ứ nh ất cho n1 k ết Chọn k lần, mỗi lần 1 phần tử và có hoàn lại (Chỉnh qu ả, , cách th ứ k cho nk k ết qu ả. Khi đó vi ệc th ực hợp lặp). hi ện công vi ệc trên cho n = n1 + + nk k ết qu ả. Xác su t - Th ng kê Cao đng 1
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com B túc v Đ i s T hp B túc v Đ i s T hp a) T ổ h ợp Số ch ỉnh h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử đượ c ký hi ệu và • T ổ h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử (0≤k ≤ n ) là m ột nhóm tính theo công thức: (b ộ) không phân bi ệt th ứ t ự g ồm k ph ần t ử khác nhau n ! Ak = nn( − 1) ( nk −+= 1) . đượ c ch ọn t ừ n ph ần t ử đã cho. n (n− k )! Số t ổ h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử được ký hi ệu và tính c) Ch ỉnh h ợp l ặp k n ! theo công thức: Cn = . Quy ướ c: 0! = 1. • Ch ỉnh h ợp l ặp k c ủa n ph ần t ử là m ột nhóm (b ộ) có th ứ k!( n− k ) ! tự g ồm ph ần k t ử không nh ất thi ết khác nhau đượ c Tính ch ất: Ck= C n− k ; Ck= C k−1 + C k . ch ọn t ừ n ph ần t ử đã cho. n n n n−1 n − 1 Số các ch ỉnh h ợp l ặp k c ủa n ph ần t ử là nk. b) Ch ỉnh h ợp Nhận xét : • Ch ỉnh h ợp ch ập k c ủa n ph ần t ử (0≤k ≤ n ) là m ột nhóm (b ộ) có th ứ t ự g ồm k ph ần t ử khác nhau đượ c Tổ hợp Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp k k k ch ọn t ừ n ph ần t ử đã cho. CAnnn< n =( − 1) ( nk −+< 1) n PH ẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SU ẤT Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Ch ươ ng 1. Các khái niệm cơ bản của xác suất • Bi ến c ố ng ẫu nhiên th ườ ng đượ c ký hi ệu A, B, C VD 1 §1. Bi ến c ố ng ẫu nhiên • Tung đồ ng ti ền lên là m ột phép th ử, bi ến c ố là “ mặt §2. Xác su ất c ủa bi ến c ố sấp xu ất hi ện” hay “ mặt ng ửa xu ất hi ện”. §3. Công th ức tính xác su ất . • Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố s ản ph ẩm t ừ m ột lô hàng để ki ểm tra là phép th ử, bi ến c ố là “ ch ọn đượ c s ản ph ẩm §1. BIẾN C Ố NG ẪU NHIÊN tốt” hay “ ch ọn đượ c ph ế ph ẩm”. 1.1. Phép th ử và bi ến c ố • Gieo m ột s ố h ạt lúa là phép th ử, bi ến c ố là “ hạt lúa n ảy • Phép th ử là vi ệc th ực hi ện 1 thí nghi ệm hay quan sát mầm” hay “ hạt lúa không n ảy m ầm”. một hi ện t ượ ng nào đó để xem có x ảy ra hay không. Phép thử mà ta không khẳng đị nh đượ c một cách chắc 1.2. Phân lo ại bi ến c ố chắn kết quả trước khi thực hiện phép thử đượ c gọi là a) Biến c ố s ơ c ấp và không gian các bi ến c ố s ơ c ấp phép thử ngẫu nhiên. • Trong m ột phép th ử, các bi ến c ố không th ể phân nh ỏ • Hi ện t ượ ng có x ảy ra hay không trong phép th ử đượ c thành nhiều bi ến c ố đượ c g ọi là bi ến c ố s ơ c ấp (VD 6). gọi là bi ến c ố ng ẫu nhiên. Ký hi ệu các bi ến c ố s ơ c ấp b ởi các ch ữ ωi . Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t • Trong m ột phép th ử, tập h ợp t ất c ả các biến cố sơ cấp 1.3. Quan hệ giữa các biến cố đượ c g ọi là không gian các biến cố sơ cấp. Ký hi ệu a) Quan hệ kéo theo không gian biến cố sơ cấp là ={ ω ,i = 1, 2, } . • Bi ến c ố A được gọi là kéo theo bi ến c ố B, ký hi ệu i A⊂ B , khi và chỉ khi A x ảy ra thì suy ra B x ảy ra. b) Bi ến c ố ch ắc ch ắn và bi ến c ố không th ể VD 3. Theo dõi 4 con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày. Gọi: • Trong m ột phép th ử, bi ến c ố nh ất đị nh x ảy ra (ch ắc ch ắn x ảy ra) là bi ến c ố ch ắc ch ắn, ký hi ệu là . Ai : “có i con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày”, i = 0, 4 . • Bi ến c ố không th ể (r ỗng) là bi ến c ố không th ể x ảy ra B : “có nhi ều h ơn 2 con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày”. Ta có: A B , A B , A B , A B , A B . khi th ực hi ện phép th ử, ký hi ệu ∅. 3 ⊂ 4 ⊂ 0 ⊄ 1 ⊄ 2 ⊄ VD 2. T ừ m ột nhóm có 6 nam và 4 n ữ ch ọn ra 5 ng ườ i. b) Quan h ệ tươ ng đươ ng Khi đó, bi ến c ố “ ch ọn đượ c 5 ng ườ i n ữ” là không th ể, • Hai biến c ố A và B đượ c g ọi là tươ ng đươ ng v ới nhau , bi ến c ố “ ch ọn đượ c ít nh ất 1 nam ” là ch ắc ch ắn. ký hi ệu A= B , khi và ch ỉ khi A⊂ B và B⊂ A . Xác su t - Th ng kê Cao đng 2
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t c) Tổng của hai biến cố VD 5. Một ng ườ i d ự thi l ấy b ằng lái xe máy. • T ổng c ủa hai bi ến c ố A và B là một bi ến c ố đượ c ký Gọi A: “người đó thi đạ t vòng thi lý thuy ết” hi ệu A∪ B hay A+ B , biến cố tổng xảy ra khi ít nh ất B : “người đó thi đạ t vòng thi th ực hành” và một trong hai bi ến c ố A và B x ảy ra. C : “ng ườ i đó l ấy đượ c b ằng lái xe máy” thì C= A∩ B . VD 4. Ng ườ i th ợ s ăn b ắn hai viên đạ n vào một con thú. VD 6. Xét phép th ử gieo 2 h ạt lúa. • Gọi A là bi ến c ố “hạt thứ i nảy m ầm” ( i = 1, 2), Gọi A1: “viên đạ n th ứ nh ất trúng con thú” i A2: “viên đạ n th ứ hai trúng con thú” Ki là bi ến c ố “hạt thứ i không nảy m ầm” ( i = 1, 2). ∪ A: “con thú b ị b ị trúng đạ n” thì A= A1 A 2 . Khi đó, các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp: K∩ KA, ∩ KK , ∩ AA , ∩ A d) Tích của hai biến cố 1 21 21 21 2 • Tích c ủa hai bi ến c ố A và B là một bi ến c ố đượ c ký và = {KK12 ; AK 12 ; KA 12 ; AA 12 } . ∩ hi ệu A B hay AB , biến cố tích xảy ra khi và chỉ khi • Gọi B là bi ến c ố “có 1 h ạt n ảy m ầm” thì bi ến c ố B bi ến c ố A xảy ra và biến cố B x ảy ra. ∪ không ph ải là bi ến c ố s ơ c ấp vì B= AK12 KA 12 . Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t e) Bi ến c ố đố i l ập 1.4. Hệ đầ y đủ các bi ến c ố • Hi ệu c ủa hai bi ến c ố A và B là một bi ến c ố đượ c ký a) Hai biến c ố xung kh ắc hi ệu A\ B , bi ến c ố hi ệu xảy ra khi và ch ỉ khi bi ến c ố • Hai bi ến c ố A và B đượ c g ọi là xung kh ắc n ếu trong A x ảy ra nh ưng bi ến c ố B không xảy ra. một phép th ử, khi A x ảy ra thì B không x ảy ra và • Đố i l ập c ủa bi ến c ố A là một bi ến c ố đượ c ký hi ệu A, ngược lại khi B x ảy ra thì A không x ảy ra. khi A x ảy ra thì A không x ảy ra. Ta có A= \ A . VD 8. M ột h ộp 10 viên ph ấn có 3 màu đỏ , vàng và xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 viên phấn từ hộp đó. VD 7. Một ng ườ i b ắn l ần l ượ t 2 viên đạ n vào 1 t ấm bia. Gọi A: “ch ọn đượ c viên phấn màu đỏ ” và B: “ch ọn đượ c viên phấn màu xanh” Gọi Ai : “có i viên đạ n trúng bia” ( i = 0, 1, 2) B: “có không quá 1 viên đạ n trúng bia”. thì A và B là xung kh ắc. Khi đó: B A , A A∪ A và A A∪ A . Nh ận xét = 2 0= 1 2 1= 0 2 Hai bi ến c ố đố i l ập là xung kh ắc, ng ượ c l ại không đúng. Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t b) Hệ đầ y đủ các biến cố §2. XÁC SU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố • H ọ các bi ến c ố {Ai} ( i = 1, , n) đượ c g ọi là hệ đầ y đủ 2.1. Đị nh ngh ĩa xác su ất d ạng c ổ điển các bi ến c ố n ếu th ỏa mãn cả 2 điều sau: a) S ố tr ườ ng h ợp đồ ng kh ả n ăng 1) H ọ xung kh ắc, ngh ĩa là AA∩ =∅, ∀ ij ≠ . • Hai hay nhi ều bi ến c ố trong m ột phép th ử có kh ả n ăng i j xảy ra nh ư nhau đượ c g ọi là đồ ng kh ả n ăng . 2) Có ít nh ất 1 bi ến c ố của h ọ x ảy ra trong phép th ử, VD 1. Trong dữ liệu máy tính của trườ ng, ngân hàng đề ∪ ∪ ∪ ngh ĩa là A1 A 2 A n = . có 100 đề thi. Cho máy chọn ngẫu nhiên 1 đề thì khả năng đượ c chọn của mỗi đề thi là như nhau. VD 9. Tr ộn l ẫn 4 bao lúa vào nhau r ồi b ốc ra 1 h ạt. b) Định nghĩa Gọi Ai : “hạt lúa bốc được là c ủa bao th ứ i”, i = 1, 4 . • Trong m ột phép th ử có t ất c ả n bi ến c ố s ơ c ấp đồ ng kh ả Khi đó, h ệ A; A ; A ; A là đầ y đủ . năng, trong đó có m kh ả n ăng thu ận l ợi cho bi ến c ố A { 1 2 3 4 } xu ất hi ện thì xác su ất (probability ) c ủa A là: Chú ý m Soá bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho A P() A = = . Trong 1 phép thử, {A; A } là đầ y đủ v ới bi ến c ố A tùy ý. n Soá bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng Xác su t - Th ng kê Cao đng 3
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Nhận xét VD 5 . Tại bệnh vi ện A có 50 ng ườ i đang ch ờ kết qu ả 0≤P ( A ) ≤ 1, ∀ A ; P(∅ ) = 0 ; P( ) = 1 . khám b ệnh. T rong đó có 12 ng ườ i ch ờ kết qu ả nội soi, VD 2 . M ột hộp ch ứa 9 th ẻ đượ c đánh s ố t ừ 1 đế n 9. M ột 15 ng ườ i ch ờ kết qu ả siêu âm, 7 ng ườ i ch ờ k ết qu ả c ả ng ườ i ch ọn ng ẫu nhiên (1 l ần) t ừ h ộp đó ra 3 th ẻ. nội soi và siêu âm. Gọi tên ng ẫu nhiên m ột ng ườ i trong Tính xác su ất ng ườ i đó ch ọn đượ c 3 th ẻ đề u có s ố ch ẵn? 50 ng ườ i này, hãy tính xác su ất gọi đượ c ng ườ i đang ch ờ kết qu ả n ội soi ho ặc siêu âm? VD 3 . M ột h ộp có 10 s ản ph ẩm trong đó có 4 ph ế ph ẩm. Ch ọn ng ẫu nhiên (1 lần) từ h ộp đó ra 5 s ản ph ẩm. T ính xác su ất để có: 1 ) C ả 5 s ản ph ẩm đề u tốt; 2) Đúng 2 ph ế ph ẩm. VD 4. M ột bàn tròn trong m ột đám c ướ i có 10 ch ỗ ng ồi. Gi ả s ử m ọi ng ườ i ng ồi vào ch ỗ m ột cách ng ẫu nhiên (lấy sân kh ấu làm chu ẩn). Tính xác su ất để 1 c ặp v ợ ch ồng xác đị nh tr ướ c ng ồi c ạnh nhau. Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Ưu điểm và h ạn ch ế c ủa đị nh ngh ĩa d ạng c ổ điển • Số p cố đị nh này đượ c g ọi là xác su ất c ủa bi ến c ố A • Ưu điểm: Tính đượ c chính xác giá tr ị c ủa xác su ất mà theo ngh ĩa th ống kê. không c ần th ực hi ện phép th ử. m • H ạn ch ế: Trong th ực t ế có nhi ều phép th ử vô h ạn các Trong th ực t ế, khi n đủ l ớn thì P( A ) ≈ . bi ến c ố và bi ến c ố không đồ ng kh ả n ăng. n 2.2 . Đị nh ngh ĩa xác su ất d ạng th ống kê VD 6 • Th ực hi ện m ột phép th ử nào đó n l ần th ấy có m l ần • Pearson đã gie o m ột đồ ng ti ền cân đố i, đồ ng ch ất m 12000 lần th ấy có 6019 l ần xu ất hi ện m ặt s ấp (t ần su ất bi ến c ố A xu ất hi ện thì tỉ s ố đượ c g ọi là t ần su ất c ủa 0,5016); gieo 24000 l ần th ấy có 12012 l ần s ấp (t ần n bi ến c ố A. su ất 0,5005). • Khi n thay đổ i, tần su ất cũng thay đổ i nh ưng luôn dao • Cramer đã nghiên c ứu t ỉ l ệ sinh trai – gái ở Th ụy Điển m độ ng quanh 1 s ố c ố đị nh p = lim . trong n ăm 1935 và k ết qu ả có 42591 bé gái đượ c sinh →+∞ n n ra trong t ổng s ố 88273 tr ẻ s ơ sinh, t ần su ất là 0,4825. Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Nhận xét §3. CÔNG TH ỨC TÍNH XÁC SU ẤT Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê chỉ cho giá trị 3.1. Công th ức c ộng xác su ất xấp xỉ và mức độ chính xác tùy thuộc vào số lần thực • Nếu A và B là hai bi ến c ố tùy ý thì: hiện phép thử. PA(∪ B )= PA () + PB () − PAB (). 2. 3. Ý ngh ĩa c ủa xác su ất • Xác su ất là s ố đo m ức độ tin ch ắc, th ườ ng xuyên x ảy ra • N ếu A và B xung kh ắc thì: của 1 bi ến c ố trong phép th ử. PA(∪ B )= PA () + PB (). 2. 4. Tính ch ất c ủa xác su ất • Nếu h ọ { Ai} ( i = 1, 2, , n) xung kh ắc t ừng đôi thì: 1) N ếu A là bi ến c ố tùy ý thì 0≤P () A ≤ 1 . ∪ ∪ ∪ PAA( 12 An) = PAPA ( 12 )+ ( )+ + PA ( n ). 2) P(∅ ) = 0 . Đặ c biệt 3) P( ) = 1 . 4) N ếu A⊂ B thì PA()≤ PB () . PA( ) =−1 PA ();() PA = PAB () + PAB( ) . Xác su t - Th ng kê Cao đng 4
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t 3.2. Xác su ất có điều ki ện VD 1. M ột h ộp ph ấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu 3.2.1. Đị nh ngh ĩa đỏ . L ấy ng ẫu nhiên t ừ h ộp ra 3 viên ph ấn. • Trong m ột phép th ử, xét 2 bi ến c ố b ất k ỳ A và B v ới Tính xác su ất để l ấy đượ c ít nh ất 1 viên ph ấn màu đỏ . P( B )> 0 . Xác su ất có điều ki ện c ủa A v ới điều ki ện B đã x ảy ra đượ c ký hi ệu và đị nh ngh ĩa: P( A∩ B ) P A B = . ( ) P( B ) VD 2. Một nhóm có 30 nhà đầ u t ư các lo ại, trong đó có: VD 3. M ột nhóm 10 sinh viên g ồm 3 nam và 7 n ữ trong 13 nhà đầ u t ư vàng; 17 nhà đầ u t ư ch ứng khoán và 10 đó có 2 nam 18 tu ổi và 3 n ữ 18 tu ổi. Chọn ng ẫu nhiên nhà đầ u t ư cả vàng lẫn ch ứng khoán. Một đố i tác g ặp 1 sinh viên t ừ nhóm đó. ng ẫu nhiên m ột nhà đầ u t ư trong nhóm. Tìm xác su ất để Gọi A: “sinh viên đượ c ch ọn là n ữ”, ng ườ i đó gặp đượ c nhà đầ u t ư vàng ho ặc ch ứng khoán? B : “sinh viên đượ c ch ọn là 18 tu ổi”. Hãy tính PA(),(),( PB PA∩ B ), PAB( ) , PBA( ) ? Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Nh ận xét 3.2.2. Công th ức nhân xác suất 1) PAB()= PAPBA (). = PBPAB (). . ( ) ( ) a) Sự độ c l ập c ủa hai bi ến c ố 2) Khi tính P( A B ) v ới điều ki ện B đã x ảy ra, ngh ĩa là A và B đượ c g ọi là hai bi ến c ố độ c l ập n ếu B có x ảy ra ta đã h ạn ch ế không gian m ẫu xu ống còn B và hay không cũng không ảnh h ưở ng đế n kh ả n ăng x ảy ra hạn ch ế A xu ống còn A∩ B . A và ng ượ c l ại. Ví d ụ, xét hai máy ho ạt độ ng trong hai dây chuy ền Tính ch ất khác nhau thì n ếu có một máy h ỏng c ũng không ảnh 1) 0≤P( A B ) ≤ 1 ; P( A B ) = 0 nếu A, B xung khắc hưở ng đế n ho ạt độ ng c ủa máy còn l ại. 2) P( B B ) = 1; P( B ) = 1; P( A B ) = 1 nếu B⊂ A Chú ý 3) PAB=1 − PAB ( ) ( ) N ếu A, B độ c l ập v ới nhau thì 4) Nếu A và A xung kh ắc thì: 1 2 A, B độ c l ập; A, B độ c l ập và A, B độ c l ập. PA∪ AB  = PAB + PAB . ( 12)  ( 1) ( 2 ) Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t b) Công th ức nhân • Nếu A và B là hai bi ến c ố không độ c l ập thì: VD 5. M ột r ổ mận ch ứa 30 trái trong đó có 2 trái b ị h ư. Một ng ườ i ch ịu mua r ổ m ận ấy v ới điều ki ện đượ c th ử ∩ PA( B )()= PBPAB( ) = PAPBA ()( ) . liên ti ếp 3 trái, nếu có ít nh ất 1 trái h ư thì không mua. Tính xác su ất để rổ m ận đượ c ng ườ i đó mua? Nếu A và B là hai bi ến c ố độ c l ập thì: PA(∩ B )= PAPB ().(). • Nếu n bi ến c ố Ai , i= 1, , n không độ c l ập thì: PAA( A) = PAPAA( ) PAA A . VD 6. M ột sinh viên h ọc h ệ niên ch ế đượ c thi l ại 1 l ần 12n 121( ) ( n 11 n − ) nếu l ần thi th ứ nh ất bị rớt (2 l ần thi độ c l ập). Bi ết r ằng VD 4. M ột ng ườ i có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng b ị xác su ất để sinh viên này thi đỗ l ần 1 và l ần 2 t ươ ng ứng hỏng. Ng ườ i đó th ử l ần l ượ t t ừng bóng đèn ( không là 60 % và 80%. Tính xác su ất sinh viên này thi đỗ ? hoàn l ại) cho đế n khi ch ọn đượ c 1 bóng t ốt. Tính xác su ất để ngườ i đó th ử đế n l ần th ứ 2. Xác su t - Th ng kê Cao đng 5
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t VD 7 . M ột ng ườ i nông dân ti ến hành phun thu ốc tr ừ sâu 3.2.3. Công th ức xác su ất đầ y đủ và Bayes. hại lúa 2 l ần liên ti ếp trong 1 tu ần. Xác su ất sâu ch ết sau a) Công th ức xác su ất đầ y đủ lần phun th ứ nh ất là 0, 6. N ếu sâu s ống sót thì kh ả n ăng • Cho h ọ các bi ến c ố {Ai } (i= 1,2, , n ) đầ y đủ và B là sâu ch ết sau l ần phun th ứ hai là 0, 9. Tính xác su ất sâu b ị bi ến c ố b ất k ỳ trong phép th ử, ta có: ch ết sau 2 l ần phun thu ốc? n PB PA BA ()= ∑ ()i( i ) i=1 VD 8 . Có hai ng ườ i A và B cùng đặ t l ệnh mua c ổ phi ếu =PAPBA () + + PAPBA () . của công ty X v ới xác su ất mua đượ c t ươ ng ứng là 0,8 1( 1 ) n( n ) và 0,7. Bi ết r ằng ch ỉ có 1 ng ườ i mua đượ c, xác su ất để VD 9 . M ột cửa hàng bán hai lo ại bóng đèn cùng kích c ỡ ng ườ i A mua đượ c c ổ phi ếu c ủa công ty X là: gồm: 70 bóng màu tr ắng v ới t ỉ l ệ bóng h ỏng là 1% và 7 12 8 6 30 bóng màu vàng v ới t ỉ l ệ h ỏng 2%. M ột khách hàng A. ; B. ; C. ; D. . 19 19 15 25 ch ọn mua ng ẫu nhiên 1 bóng đèn t ừ c ửa hàng này. Tính xác su ất để ng ườ i này mua đượ c bóng đèn t ốt ? Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t Chương 1. C ác kh ái ni m c ơ b n c a x ác su t b) Công th ức Bayes VD 1 1. T ỉ s ố ôtô t ải và ôtô con đi qua đườ ng X có tr ạm • Cho h ọ các bi ến cố {Ai }, i= 1; n đầ y đủ và B là bơm d ầu là 5/2. Xác su ất để ôtô t ải và ôtô con đi qua bi ến c ố b ất k ỳ trong phép th ử. đườ ng này vào b ơm d ầu lần l ượ t là 0,1 và 0,2. Bi ết Xác su ất để A xu ất hi ện sau khi đã xu ất hi ện B là: rằng có 1 ôtô đi qua đườ ng X vào b ơm d ầu, tính xác i su ất để đó là ôtô t ải ? PAPBA()i( i) PAPBA () i( i ) P A B = = . ()i n P( B ) P A P BA ∑ (i ) () i VD 1 2. Có 3 bao lúa cùng lo ại. Bao 1 n ặng 20kg ch ứa i=1 1% h ạt lép, bao 2 n ặng 30kg ch ứa 1,2% h ạt lép và bao 3 n ặng 50kg ch ứa 1,5% h ạt lép. Tr ộn c ả 3 bao l ại r ồi VD 10 . (Xét ti ếp VD 9) Gi ả s ử khách hàng ch ọn mua bốc ng ẫu nhiên 1 h ạt thì đượ c h ạt lép. đượ c bóng đèn t ốt. Tính xác su ất để ng ườ i này mua Tính xác su ất để h ạt lép này là c ủa bao th ứ ba ? đượ c bóng đèn màu vàng ? Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên §1. Bi ến ng ẫu nhiên và hàm phân ph ối VD 1. Khi ti ến hành gieo n h ạt đậ u ta ch ưa th ể bi ết có §2. Các đặ c tr ưng s ố c ủa bi ến ng ẫu nhiên bao nhiêu h ạt s ẽ n ảy m ầm, s ố h ạt n ảy m ầm có th ể có là §3. M ột s ố lu ật phân ph ối xác su ất thông d ụng 0, 1, , n. Kết thúc phép th ử gieo h ạt thì ta sẽ bi ết ch ắc ch ắn có §1. BI ẾN NG ẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PH ỐI bao nhiêu h ạt n ảy m ầm. Gọi X là s ố h ạt n ảy mầm thì là 1.1. Biến ngẫu nhiên X bi ến ng ẫu nhiên và X = {0, 1, 2, , n}. 1.1.1. Khái ni ệm và phân lo ại bi ến ng ẫu nhiên b) Phân lo ại bi ến ng ẫu nhiên a) Khái ni ệm • Bi ến ng ẫu nhiên (BNN) đượ c g ọi là rời r ạc n ếu các giá • M ột bi ến c ố đượ c g ọi là ng ẫu nhiên n ếu trong k ết qu ả tr ị có th ể có c ủa nó l ập nên 1 t ập h ợp h ữu h ạn ho ặc của phép th ử nó s ẽ nh ận một và ch ỉ m ột trong các giá đế m đượ c. tr ị có th ể có c ủa nó tùy thu ộc vào s ự tác độ ng c ủa các • Bi ến ng ẫu nhiên đượ c g ọi là liên t ục n ếu các giá tr ị có nhân t ố ng ẫu nhiên. th ể có c ủa nó l ấp đầ y 1 kho ảng trên tr ục s ố. • Các bi ến ng ẫu nhiên đượ c ký hi ệu: X, Y, Z, VD 2 các giá tr ị tươ ng ứng của chúng là x, y, z, • Bi ến X trong VD 1 là BNN r ời r ạc (t ập h ữu h ạn). Xác su t - Th ng kê Cao đng 6
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên • G ọi Y là s ố ng ườ i đi qua 1 ngã t ư trên đườ ng ph ố thì Y Chú ý là BNN r ời r ạc (t ập đế m đượ c). 1) p ≥ 0; p=1, i = 1, 2, • B ắn 1 viên đạ n vào bia, g ọi X (cm ) là “kho ảng cách t ừ i ∑ i điểm ch ạm c ủa viên đạ n đế n tâm c ủa bia” thì X là 2) Trong tr ườ ng h ợp các giá tr ị xi, p i có tính quy lu ật, BNN liên t ục. thay cho vi ệc l ập b ảng ta có th ể mô t ả b ởi đẳ ng th ức: • G ọi Y là “sai s ố khi đo 1 đạ i l ượ ng v ật lý” thì Y là BNN PX(= x ) = pi , = 1,2, liên t ục. i i 1.1.2. BNN rời rạc, bảng phân ph ối xác su ất VD 3. Xác su ất để 1 ng ườ i thi đạ t m ỗi khi thi l ấy b ằng • Cho bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc X, X= { xx1 , 2 , , x n , } lái xe là 0,3. Ng ườ i đó thi cho đế n khi đạ t m ới thôi. với xác su ất t ươ ng ứng là PX(= xi ) = pi i , = 1,2, Ta có phân ph ối xác su ất của X ở dạng b ảng: Gọi X là s ố l ần ng ườ i đó d ự thi (mỗi l ần thi là độc l ập). 1) L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X. X x x x 1 2 n 2) T ính xác su ất để ng ườ i đó ph ải thi không ít h ơn 3 l ần. P( X= x i ) p1 p2 pn Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Gi ải VD 4. M ột hộp có 3 viên ph ấn tr ắng và 2 viên ph ấn đỏ . 2 2 Một ng ườ i l ấy ph ấn ng ẫu nhiên l ần l ượ t ( mỗi l ần 1 viên • Ta có PX(= xi )( = PX = x i ) , suy ra: và không tr ả l ại) t ừ h ộp đó ra cho đế n khi l ấy đượ c 2 X 2 0 1 4 viên ph ấn đỏ . Gọi X là s ố lần ng ườ i đó lấy ph ấn. 2 2 0,3 0,4 0,3 P( X= x i ) Hãy l ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X ? • Ta có (XY+=−= 1) ( X = 0)∩ ( Y =− 1) ⇒PXY( +=−= 1) PX ( = 0). PY ( =−= 1) 0,12 ; VD 5 . Cho hai BNN X, Y độ c l ập v ới bảng ppxs nh ư sau: Tươ ng t ự: X 0 1 2 Y −1 1 PXY(+== 0) PX ( = 1). PY ( =−= 1) 0,16 ; P( X= x ) 0,3 0,4 0,3 P( Y= y ) 0,4 0,6 i j PXY(+== 1) PX ( = 0). PY ( = 1) Hãy l ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X 2, X+ Y . +PX( = 2). PY ( =−= 1) 0, 30; Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên PXY(+== 2) PX ( = 1). PY ( == 1) 0, 24 ; Gi ải. (XY ; )= (1; −⇒= 1) Z 8, p = 0,1 ; PXY(+== 3) PX ( = 2). PY ( == 1) 0,18 . (XY ; )= (1; 0) ⇒= Z 7, p = 0,15 ; + − Vậy X Y 1 0 1 2 3 (XY ; )= (1; 1) ⇒= Z 6, p = 0, 05 ; PX(+ Y = k ) 0,12 0,16 0,30 0,24 0,18 (XY ; )=−⇒= (2; 1) Z 10, p = 0, 3 ; VD 6. Cho b ảng ppxs đồ ng th ời c ủa hai BNN X và Y: (XY ; )= (2; 0) ⇒= Z 9, p = 0,2 ; Y –1 0 1 X (XY ; )= (2; 1) ⇒= Z 8, p = 0,2 . 1 0,10 0,15 0,05 Sắp x ếp các g iá tr ị c ủa Z và xác su ất t ươ ng ứng, ta có: 2 0,30 0,20 0,20 Z 6 7 8 9 10 Hãy l ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa bi ến ng ẫu nhiên: P( Z= k ) 0,05 0,15 0,30 0,20 0,30 Z=2 X − Y + 5 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 7
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 1.1.3. Biến ngẫu nhiên liên t ục, hàm mật độ  3 • Cho BNN liên t ục X. Hàm f( x ), x ∈ ℝ đượ c g ọi là 4x , x ∈ (0; 1) VD 7. Ch ứng t ỏ f( x ) =  là hàm m ật độ  0, x ∉ (0; 1) hàm m ật độ xác su ất c ủa X n ếu th ỏa hai điều kiện:  +∞ của bi ến ng ẫu nhiên X. 1) f( x )≥ 0, ∀ x ∈ ℝ; 2) ∫ f( x ) dx = 1 . −∞ b VD 8. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm m ật độ : • Khi đó, xác su ất Pa( x .  n Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 2) M ối liên h ệ của F( x ) với xác su ất và hàm m ật độ VD 9 . Cho bi ến ng ẫu nhiên X có b ảng phân ph ối xs : xác su ất: X 2 4 5 p Fx Fx . i=( i+1 ) − ( i ) P 0,3 0,5 0,2 Lập hàm phân ph ối xác su ất c ủa X . Nếu X là bi ến ng ẫu nhiên liên t ục thì hàm F( x ) liên t ục t ại mọi x ∈ ℝ và Fx′()= fx () . 1.2.2. Tính ch ất c ơ b ản c ủa hàm phân ph ối VD 10 . Cho bi ến ng ẫu nhiên X có hàm m ật độ là:  1) Hàm F( x ) xác đị nh v ới m ọi x ∈ ℝ. 0,x ∉ ( − 1; 2)  2) 0≤F ( x ) ≤∀∈ 1, x ℝ; F(−∞ ) = 0;( F +∞ ) = 1 . f( x ) = x 2  ,x ∈ ( − 1; 2). 3) F( x ) không gi ảm: Fx()1≤ Fx () 2 n ếu x1< x 2 .  3 4) Pa(≤ X <= b ) Fb ()() − Fa . Tìm hàm phân ph ối xs c ủa X và tính P(− 2 < X ≤ 1) . Xác su t - Th ng kê Cao đng 8
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 1 1. Th ời gian ch ờ ph ục v ụ c ủa khách hàng là BNN §2. CÁC ĐẶ C TR ƯNG S Ố CỦA BI ẾN NG ẪU NHIÊN X (phút) liên t ục có hàm phân ph ối xác su ất: • Nh ững thông tin cô đọ ng ph ản ánh t ừng ph ần v ề bi ến ng ẫu nh iên giúp ta so sánh gi ữa các đạ i l ượ ng v ới nhau  0, x ≤ − 2 đượ c g ọi là các đặ c tr ưng s ố.  • Có ba lo ại đặ c tr ưng s ố: Fx()= ax3 + 8, ax ∈− (2; 3] .  Các đặ c tr ưng s ố cho xu h ướ ng trung tâm c ủa BNN: 1, x > 3. Kỳ v ọng toán , Trung v ị, Mode,  Các đặ c tr ưng s ố cho độ phân tán c ủa BNN: 1) Tìm hàm m ật độ xác su ất f( x ) c ủa X . Ph ươ ng sai , Độ l ệch chu ẩn, Cá c đặ c tr ưng s ố cho d ạng phân ph ối xác su ất. 2) Tính P( 2< Y ≤ 5 ) v ới Y= X 2 + 1. 2.1. K Ỳ V ỌNG TOÁN (giá tr ị trung bình) 2.1.1. Đị nh ngh ĩa • Kỳ v ọng toán (g ọi t ắt là k ỳ v ọng – Expectation ) c ủa bi ến ng ẫu nhiên X , ký hi ệu EX hay M( X ) , là m ột con s ố đượ c xác đị nh nh ư sau: Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Nếu X r ời r ạc v ới xác su ất PX(= xi ) = p i thì: VD 1. M ột lô hàng g ồm 10 s ản ph ẩm t ốt và 2 ph ế ph ẩm. EX x p Lấy ng ẫu nhiên 4 s ản ph ẩm t ừ lô hàng đó, g ọi X là s ố = ∑ i i . i sản ph ẩm t ốt trong 4 s ản ph ẩm l ấy ra. Nếu X liên t ục có hàm m ật độ f( x ) thì: Tìm phân ph ối xác su ất và tính k ỳ v ọng của X . +∞ VD 2. Tìm k ỳ v ọng c ủa bi ến ng ẫu nhiên X có hàm m ật EX= xfxdx.() .  ∫ 3 2  (x+ 2 x ), x ∈ (0; 1) −∞ độ xác su ất f( x ) = 4  0, x ∉ (0; 1). Đặ c bi ệt  • Nếu bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc X xx x v ới Chú ý = { 1; 2 ; ; n } 1) N ếu X là BNN liên t ục trên [a ; b ] thì EX∈ [ a ; b ] . xác su ất t ươ ng ứng là p1, p 2 , , p n thì: 2) N ếu X= { x1 , , x n } thì: EX= xp11 + xp 22 ++ xpn n . EX∈ [min{ x1 , , xn }; max{ x 1 , , x n }] . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 3. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: VD 4. Theo th ống kê, m ột ng ườ i M ỹ 25 tu ổi s ẽ s ống X 0 0,1 0,3 0,4 0,7 thêm trên 1 n ăm có xác su ất là 0,992 và ng ườ i đó ch ết P a 0,2 b 0,2 0,1 trong vòng 1 n ăm t ới là 0,008. M ột công ty b ảo hi ểm A Giá tr ị c ủa tham s ố a và b để EX = 0,2 là: đề ngh ị ng ườ i đó b ảo hi ểm sinh m ạng cho 1 n ăm v ới A. a = 0,1 và b = 0,1; B. a = 0,4 và b = 0,1; số ti ền chi tr ả là 10000 USD, phí b ảo hi ểm là 100 C. a = 0,2 và b = 0,3 ; D. a = 0,3 và b = 0,2 . USD. H ỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán 2.1.2. Ý ngh ĩa c ủa K ỳ v ọng bảo hi ểm cho ng ườ i đó? • K ỳ v ọng của bi ến ng ẫu nhiên X là giá tr ị trung bình (theo xác su ất) mà X nh ận đượ c, nó ph ản ánh giá tr ị trung tâm c ủa phân ph ối xác su ất c ủa X. • Trong th ực t ế s ản xu ất hay kinh doanh n ếu c ần ch ọn ph ươ ng án cho năng su ất hay lợi nhu ận cao, ng ườ i ta ch ọn ph ươ ng án sao cho năng suất k ỳ v ọng hay lợi nhu ận k ỳ v ọng cao. Xác su t - Th ng kê Cao đng 9
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 5. Ng ườ i th ợ chép tranh mỗi tu ần chép hai b ức tranh 2.1.3. Tính ch ất c ủa K ỳ v ọng độ c l ập A và B v ới xác su ất h ỏng t ươ ng ứng là 0,03 và 1) EC= C, C ∈ ℝ. 0,05 . Bi ết r ằng n ếu thành công thì ng ườ i th ợ sẽ ki ếm l ời 2) ECX( )= CEX ., C ∈ ℝ. từ bức tranh A là 1,3 tri ệu đồ ng và B là 0,9 tri ệu đồ ng, nh ưng n ếu h ỏng thì b ị l ỗ do bức tranh A là 0,8 tri ệu đồ ng 3) EX(± Y ) = EX ± EY . và do B là 0,6 tri ệu đồ ng. H ỏi trung bình ng ườ i th ợ ki ếm 4) EXY(.)= EXEY . n ếu X, Y độ c l ập. đượ c bao nhiêu ti ền chép tranh m ỗi tuần? A. 2,185 tri ệu đồ ng; B. 2,148 tri ệu đồ ng. 5) Khi Y= ϕ ( X ) thì:  x p C. 2,116 tri ệu đồ ng; D. 2,062 tri ệu đồ ng. ∑ ϕ(i ) i , neáu X rôøi raïc   i EY = +∞  ϕ()()x f x dx , neáu X lieân tuïc.  ∫ −∞ Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 2.3. M ODE VD 6. Tính EY v ới Y=ϕ( X ) = X 2 − 3 , bi ết X có b ảng Đị nh ngh ĩa phân ph ối xác su ất: Mode c ủa bi ến ng ẫu nhiên X , ký hi ệu mod X , là giá tr ị X –1 0 1 2 của X th ỏa: P 0,1 0,3 0,35 0,25 Nếu BNN X r ời r ạc thì: modX= xPX ( = x ) max .  2 { 0 0 }  , x ∈ [1; 2] VD 7. BNN X có hàm m ật độ f( x ) =  2 . Nếu BNN X liên tục có hàm m ật độ f( x ) thì: x 0, x ∉ [1; 2] modX= xfx ( ) max .  Chú ý { 0 0 } 2 • Mode còn đượ c g ọi là s ố có kh ả n ăng nh ất (xác su ất 1) Tính EX ; 2) Tính EY với Y= X 5 − . cao nh ất). X • N ếu phân ph ối xác su ất c ủa BNN X đố i x ứng (ngh ĩa là pi= p n− i ho ặc đồ th ị hàm m ật độ f( x ) đố i x ứng) và có 1 mode thì K ỳ v ọng và Mode trùng nhau. Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 8 . Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: 2.4. Ph ươ ng sai X 0 1 2 4 5 8 2.4.1. Đị nh nghĩa P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 • Ph ươ ng sai (Variance hoặc Dispersion) của bi ến ng ẫu Khi đó ta có mod X = 2. nhiên X, ký hi ệu VarX hoặc D(X), là một số thực VD 9 . Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: không âm đượ c xác đị nh bởi: X 1 2 4 5 8 P 1− 3 p 0,18 0,07 0,25 p 22 2 VarX= E X − EX = E( X ) − EX . A. mod X = 5; B. Mod X = 5; 8; ( ) ( ) C. mod X = 1; 8; D. mod X = 1; 5; 8. VD 1 0. Tuổi th ọ ( X: tháng ) c ủa m ột loài côn trùng là Nếu PX(= xi ) = p i thì: bi ến ng ẫu nhiên có hàm m ật độ : 2     3 2 VarX= x2. p −  x . p  .  x(4− x ), x ∈ [0;4] ∑ii ∑ ii  f( x ) = 64 . Tìm mod X. i i    0,x ∉ [0; 4].  Xác su t - Th ng kê Cao đng 10
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Nếu X có hàm mật độ f( x ) thì: VD 1 3. Cho bi ến ng ẫu nhiên X có hàm m ật độ xác su ất: 2 +∞ +∞    3 2 2    (1−x ), x ≤ 1 2 VarX= xfxdx.() −  xfxdx .() . f( x ) = 4 Tìm VarY, Y= 2 X . ∫ ∫   −∞ −∞   0, x > 1.  VD 1 1. Tính Var X , bi ết: X 1 2 3 P 0,2 0,7 0,1 Gi ải. VarX =(12 .0,2 + 2 2 .0,7 + 3 2 .0,1) −(1.0,2 + 2.0,7 + 3.0,1)2 = 0,29 . 3 2  (x+ 2 x ), x ∈ (0; 1) VD 12. Tính Var X , bi ết: f( x ) = 4 0, x ∉ (0; 1).  Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 2.4.2. Ý ngh ĩa c ủa Ph ươ ng sai Chú ý • Do X–EX là độ l ệch gi ữa giá tr ị c ủa X so v ới trung bình • Trong th ực t ế ng ườ i ta dùng tỉ s ố t ươ ng đố i: của nó nên ph ươ ng sai là trung bình c ủa bình ph ươ ng VarX độ l ệch đó. Ph ươ ng sai dùng để đo m ức độ phân tán i .100% (i= 1, n ) của X quanh k ỳ v ọng. Ngh ĩa là: ph ươ ng sai nh ỏ thì độ EX i phân tán nh ỏ nên độ t ập trung l ớn và ng ượ c l ại. để so sánh s ự ổn đị nh c ủa các BNN Xi . • Trong k ỹ thu ật, ph ươ ng sai đặ c tr ưng cho độ sai s ố c ủa T ỉ s ố t ươ ng đố i càng nh ỏ thì độ ổn đị nh càng cao. thi ết b ị. Trong kinh doanh, ph ươ ng sai đặ c tr ưng cho độ r ủi ro đầ u t ư. 2. 4.3. Tính ch ất c ủa Ph ươ ng sai • Do đơ n v ị đo c ủa VarX b ằng bình ph ươ ng đơ n v ị đo 1) VarC=0, C ∈ ℝ của X nên để so sánh đượ c v ới các đặ c tr ưng khác 2) Var( CX )= C2 .VarX ng ườ i ta đư a vào khái ni ệm độ l ệch tiêu chu ẩn 3) N ếu X và Y độ c l ập thì: (standard deviation ) là σ = VarX . Var( X± Y ) = VarX + VarY . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên §3. M ỘT S Ố LU ẬT PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT VD 1. Trong m ột c ửa hàng bán 10 bóng đèn có 3 bóng THÔNG D ỤNG hỏng. M ột ng ườ i ch ọn mua ng ẫu nhiên 5 bóng đèn t ừ cửa hàng này. G ọi X là s ố bóng đèn tốt ng ườ i đó mua 3.1. Phân ph ối xác su ất c ủa bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc đư ợc. L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X. 3.1.1. Phân ph ối S iêu b ội ( Hypergeometric distribution ) a) Đị nh ngh ĩa Gi ải. N=10, NA = 7, n =⇒∈ 5 XH (10, 7, 5) . • Xét t ập có N ph ần t ử, trong đó có NA ph ần t ử có tính Ck C 5− k ch ất A. T ừ t ập đó l ấy ra 1 l ần n ph ần t ử. X = {2; 3; 4; 5} và p=7 3 , k = 2; 5 . k 5 • Gọi X là s ố ph ần t ử có tính ch ất A lẫn trong n ph ần t ử C10 đượ c l ấy ra thì X có phân ph ối siêu b ội v ới xác su ất: Vậy ta có b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X: k n− k CN C N− N X 2 3 4 5 p PX k A A k =( = ) = . 2 3 3 2 4 1 5 0 C n C C C C C C C C N P 7 3 7 3 7 3 7 3 ∼ 5 5 5 5 Ký hi ệu: X∈ HNN(,A ,) n hay X HNN( ,A , n ). C10 C10 C10 C10 Xác su t - Th ng kê Cao đng 11
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên k4− k b) Các s ố đặ c tr ưng C6 C 14 pk =, k = 0; 4 . Suy ra bảng phân phối: N− n C 4 EX= np; VarX = npq . 20 N −1 X 0 1 2 3 4 N 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 A C C C C C C C C C C Trong đó p=, q = 1 − p . 6 14 6 14 6 14 6 14 6 14 N P 4 4 4 4 4 C20 C20 C20 C20 C20 VD 2. M ột r ổ m ận có 20 trái trong đó có 6 trái b ị h ư. k k 4 4 C C 4− 6 Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ r ổ đó ra 4 trái. G ọi X là s ố trái m ận 2) Cách 1. EX= xp. = k . 6 14 = . hư ch ọn ph ải. ∑k k ∑ 4 5 k=0 k = 0 C 20 1) Lập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X. 2 4 204 6  336 2) Tính EX , VarX b ằng cách dùng bảng phân phối và VarX= xp2 −( EX ) 2 =−=  . ∑ k k   công thức. k =0 95 5  475 Gi ải. 1) Ta có X = {0; 1; 2; 3; 4} , X∈ H (20,6, 4) . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 3.1.2. Phân ph ối Nhị th ức ( Binomial distribution ) b) Đị nh ngh ĩa phân phối Nhị thức a) Công th ức Bernoulli • Phân ph ối Nhị th ức là phân ph ối c ủa bi ến ng ẫu nhiên • Dãy phép th ử Bernoulli là dãy có n phép th ử th ỏa 3 rời r ạc X = {0; 1; 2; ; n} v ới xác su ất t ươ ng ứng là: điều ki ện: p= PX( = k ) = Cpqk k n− k . 1) Các phép th ử c ủa dãy độ c l ập v ới nhau. k n Ký hi ệu: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p). 2) Trong m ỗi phép th ử ta ch ỉ quan tâm đế n 1 bi ến c ố A, ngh ĩa là ch ỉ có A và A xu ất hi ện. Chú ý 3) Xác su ất xu ất hi ện A trong m ọi phép th ử c ủa dãy • Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B (p), khi đó X còn đượ c luôn là h ằng s ố p: gọi là có phân ph ối không – m ột hay Bernoulli . PA( )= pPA , =−= 1 pq , (0 << p 1) . c) Các s ố đặ c tr ưng ( ) • Cho dãy n phép th ử Bernoulli, xác su ất xu ất hi ện k l ần EX= np; VarX = npq ; k k n− k ModX= x: np −≤≤ q x np −+ q 1. bi ến c ố A là: pk= Cpq n , p = PA (). 0 0 Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 3. M ột bà m ẹ sinh 2 con (m ỗi l ần sinh 1 con) v ới VD 6. M ột nhà v ườ n tr ồng 26 cây lan quý, v ới xác su ất xác su ất sinh con trai là 0,51. G ọi X là s ố con trai t rong 2 nở hoa c ủa m ỗi cây trong 1 n ăm là 0,67. lần sinh. L ập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X. 1) Giá 1 cây lan quý nở hoa là 1,2 tri ệu đồ ng. Gi ả s ử VD 4. M ột máy s ản xu ất l ần l ượ t t ừng s ản ph ẩm v ới xác nhà vườ n bán h ết nh ững cây lan n ở hoa thì m ỗi n ăm su ất có 1 ph ế ph ẩm là 0,01. nhà v ườ n thu đượ c ch ắc ch ắn nh ất là bao nhiêu ti ền? 1) Cho máy s ản xu ất ra 10 s ản ph ẩm, tính xác su ất có 2) Nếu mu ốn trung bình m ỗi n ăm có nhi ều h ơn 37 cây 2 ph ế ph ẩm. lan quý n ở hoa thì nhà v ườ n ph ải tr ồng tối thiểu m ấy 2) Máy c ần s ản xu ất ít nh ất b ao nhiêu s ản ph ẩm để cây lan quý ? xác su ất có ít nh ất 1 ph ế ph ẩm lớn h ơn 3%. VD 7. M ột nhà tuy ển d ụng ki ểm tra ki ến th ức l ần l ượ t n  3 4x , x ∈ (0; 1) ứng viên, v ới xác su ất đượ c ch ọn c ủa m ỗi ứng viên 0,56. VD 5. Cho X có hàm m ật độ f( x ) =  .  0, x ∉ (0; 1) Bi ết xác su ất để nhà tuy ển d ụng ch ọn đúng 8 ứng viên là  0,0843 thì s ố ng ườ i ph ải ki ểm tra là bao nhiêu? Tính xác su ất để trong 3 phép th ử độ c l ập có 2 l ần X A. 9 ng ườ i; B. 10 ng ườ i; nh ận giá tr ị trong kho ảng (0,25; 0,5) . C. 12 ng ườ i; D. 13 ng ườ i. Xác su t - Th ng kê Cao đng 12
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 3.1.3. Phân ph ối Poisson VD 8. Trung bình c ứ 3 phút có 1 khách đế n qu ầy mua a) Đị nh ngh ĩa hàng. Tính xác su ất để trong 30 giây có 2 khách đế n • Bi ến ng ẫu nhiên X có phân ph ối Poisson v ới tham s ố qu ầy mua hàng. λ > 0 (trung bình s ố l ần xu ất hi ện bi ến c ố A) n ếu X VD 9. Quan sát t ại siêu th ị A trung bình 7 phút có 18 nh ận các giá tr ị 0, 1, 2, , n, v ới xác su ất t ươ ng ứng: khách đế n mua hàng . Số khách hàng ch ắc ch ắn nh ất s ẽ e−λ .λk đế n siêu th ị A mua hàng trong 1 gi ờ là: p= PX( = k ) = . k k ! A. 152; B. 153; C. 154; D. 155. • Ch ẳng h ạn, s ố xe qua 1 tr ạm ho ặc s ố cu ộc điện tho ại VD 1 0. Quan sát th ấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua tại 1 tr ạm công c ộng có phân ph ối Poisson. tr ạm thu phí. Bi ết xác su ất có ít nh ất 1 ôtô đi qua tr ạm b) Các s ố đặ c tr ưng thu phí trong t phút b ằng 0,9. Giá tr ị c ủa t là: A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; EX= VarX =λ; ModX = x0 , λ−≤≤λ1 x 0 . C. 0,8514 phút; D. 0,7675 phút. Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 3.2. Phân ph ối xác su ất c ủa bi ến ng ẫu nhiên liên t ục b) Phân ph ối chu ẩn đơ n gi ản X − 3.2.1. Phân ph ối Chu ẩn ( Normal distribution ) • Cho X∈ N ; σ 2 , đặ t BNN T = thì T có a) Đị nh ngh ĩa ( ) σ • BNN X đượ c g ọi là có phân ph ối chu ẩn v ới tham s ố phân ph ối chu ẩn đơ n gi ản T∈ N (0; 1) . 2 2 t2 và σ (σ > 0) , ký hi ệu X∈ N ; σ , n ếu hàm mật 1 − ( ) • Hàm m ật độ xác su ất c ủa T: f( t )= e 2 . độ xác su ất c ủa X có d ạng: 2π (x− ) 2 − (giá tr ị của f(t) đượ c cho trong b ảng ph ụ l ục A). 1 2 fx()= e2σ , x ∈ ℝ. σ2 π • Công th ức tính xác su ất của phân phối N (0; 1 ): Các s ố đặ c tr ưng b PaTb( 5 thì ϕ(x ) ≈ 0,5 . vượ t quá t là không quá 5%. 3) PTx(< ) = 0,5 +ϕ () x . c) Xác su ất của phân ph ối Chu ẩn t ổng quát VD 1 2. Tốc độ chuy ển d ữ li ệu t ừ máy ch ủ c ủa ký túc xá đế n máy tính c ủa sinh viên vào bu ổi sáng ch ủ nh ật có 2 • Cho X∈ N ( , σ ). phân ph ối chu ẩn v ới trung bình 60Kbits/s và độ l ệch a − b − Để tính Pa(< X < b ) ta đặ t: α = , β = chu ẩn 4Kbits/s. Xác su ất để t ốc độ chuy ển d ữ li ệu l ớn σ σ hơn 6 3Kbits/s là: ⇒Pa( < X < b )( = P α< T <β=ϕβ−ϕα )()() . A. 0,2266; B. 0,2143; C. 0,1312; D. 0,1056. Sau đó, tra b ảng ph ụ l ục B ta đượ c k ết qu ả. Xác su t - Th ng kê Cao đng 13
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 1 3. Trong m ột k ỳ thi đầ u vào ở tr ườ ng chuyên A quy Gi ải. Gọi Y (ngàn đồ ng) là ti ền lãi có đượ c khi bán 1 đị nh điểm đỗ là t ổng s ố điểm các môn thi không đượ c bóng đèn A và t (n ăm) là th ời gian b ảo hành. th ấp h ơn 15 điểm. Gi ả s ử t ổng điểm các môn thi c ủa h ọc Xác su ất bóng đèn ph ải b ảo hành là p= PX( ≤ t ) . sinh là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn v ới trung Bảng phân ph ối xác su ất c ủa Y: Y −300 100 bình 12 điểm. Bi ết r ằng t ỉ l ệ h ọc sinh thi đỗ là 25,14 %. P p 1 − p Độ l ệch chu ẩn là: A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. ⇒EY =−300 p + 100(1 −= p ) 100 − 400 p . VD 1 4. Tu ổi th ọ (X: n ăm) của 1 lo ại bóng đèn A là bi ến EY=⇒=30 p 0,175 ⇒ P (0 ≤≤= X t ) 0,175 ng ẫu nhiên, X∈ N (4,2; 2,25) . Khi bán 1 bóng đèn A thì lã i đượ c 100 ngàn đồ ng nh ưng n ếu bóng đèn ph ải b ảo hành thì l ỗ 300 ngàn đồ ng. V ậy để có ti ền lãi trung bình khi bán m ỗi bóng đèn lo ại này là 30 ngàn đồ ng thì c ần VD 1 5. Cho BNN X có phân ph ối chu ẩn v ới EX = 10 và ph ải quy đị nh th ời gian b ảo hành là bao nhiêu? P(10 0. n + 1 n+1  n Γ  − n    2  2  2    2  2 . Γ      x    2  f() x=  1 + , x ∈ ℝ.  n   n  + ∞ nπ. Γ    −x n − 1   Trong đó: Γ(n ) = ∫ ex dx , Γ(n + 1) = n Γ ( n ) , 2  0 Giá tr ị c ủa t(n) đượ c cho trong b ảng C.   1  Γ  =πΓ, (1) = 1 . • Phân ph ối T( n ) do Willam.S.Gosset đư a ra n ăm 1908. 2   Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t §1. Một s ố lo ại h ội t ụ trong xác su ất và các đị nh lý • H ọ các bi ến ng ẫu nhiên { Xi} ( i = 1, 2, , n) đượ c g ọi là §2. Các lo ại x ấp x ỉ phân ph ối xác su ất tuân theo lu ật s ố l ớn (d ạng Tchébyshev) n ếu: n n   1 1  ∀ε>0 : limP Xi − EX i 0 : P( X − EX ≥ε≤) ε2 ∀ω∈∀ε>, 0:limP Xn () ω− X () ω≥ε= 0. n→∞ ( ) hay Ký hi ệu: X→P X ( n → ∞ ). VarX n P( X− EX <ε≥) 1 − . ε2 Xác su t - Th ng kê Cao đng 14
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t c) Đị nh lý lu ật s ố l ớn Tchébyshev 1.2. Đị nh lý Liapounop (gi ới h ạn trung tâm) Đị nh lý • Cho h ọ các BNN { Xi} (i = 1, 2, , n) độ c l ập t ừng đôi. n n n • N ếu h ọ các BNN { Xi} ( i = 1, 2, , n) độ c lập t ừng đôi 2 Đặ t Y=∑ Xi, = ∑ EX i , σ = ∑VarX i . có EX i h ữu h ạn và VarX i b ị ch ặn trên b ởi hằng s ố C thì: i=1 i = 1 i=1 n n  3  1 1  n  EXi− EX i ∀ε>0 : limP Xi − EX i ≥ε= 0 . n→∞  ∑ ∑  Nếu EX i, VarX i h ữu h ạn và lim= 0  ni=1 n i = 1  n→∞ ∑ 3   i =1 σ thì Y∈ N , σ 2 . Hệ qu ả ( ) • N ếu h ọ các BNN { Xi} ( i = 1, 2, , n) độ c lập t ừng đôi Ý ngh ĩa c ủa đị nh lý 2 có EX i = và VarX i = σ thì: • Sử d ụng đị nh lý gi ới h ạn trung tâm Liapounop để tính n xấp x ỉ (g ần đúng) xác su ất. 1 P X → . • Xác đị nh các phân ph ối x ấp x ỉ để gi ải quy ết các v ấn đề n ∑ i i=1 của lý thuy ết ướ c l ượ ng, ki ểm đị nh, Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t §2. CÁC LO ẠI X ẤP X Ỉ PHÂN PHỐI XÁC SU ẤT VD 1. M ột v ườ n lan có 10.000 cây s ắp nở hoa, trong đó 2.1. Liên h ệ gi ữa phân ph ối Siêu b ội và Nh ị th ức có 1.000 cây hoa màu đỏ . N 1) Tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 20 cây lan thì • N ếu n c ố đị nh, N t ăng vô h ạn và A → p (0≠p ≠ 1) N đượ c 5 cây có hoa màu đỏ . k n− k 2) Tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 50 cây lan thì CN C N− N thì A A →d Ck p k q n− k . đượ c 10 cây có hoa màu đỏ . n n 3) Có th ể tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 200 cây CN Ứng d ụng x ấp x ỉ phân ph ối Siêu b ội b ằng Nh ị th ức lan thì có 5 0 cây hoa màu đỏ đượ c không ? • Cho X HNN n , nếu N khá l ớn và n r ất nh ỏ so ∈ (;A ;) 2.2. Liên h ệ gi ữa phân ph ối Nh ị th ức và Poisson với N ( n < 0,05 N) thì: • N ếu n→ +∞, p → 0, np → λ thì: N e−λ .λk X∼ Bnp(;), p = A . Ck p k q n− k →d . N n k ! Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Ứng d ụng x ấp x ỉ phân ph ối Nh ị th ức b ằng Poisson Tóm t t các lo i x p x ri r c • Cho X có phân ph ối nh ị th ức B(n, p), λ = np . Khi đó: N 1 ) N ếu n l ớn và p khá bé (g ần b ằng 0) thì X∼ P (λ ) . p = A 2 ) N ếu n l ớn và p c ũng khá l ớn ( p ≈ 1) thì X∼ P (λ ) . N X∈ HNN(,A ,) n X∈ Bn( , p ) n< 5% N VD 2. M ột lô hàng th ịt đông l ạnh đóng gói nh ập kh ẩu có ( ) p  ≈ 0 ch ứa 0,6% bị nhi ểm khu ẩn. Tìm xác su ất để khi ch ọn N A p ≈ 1 ng ẫu nhiên 1.000 gói th ịt từ lô hàng này có: λ = n.  1) Không quá 2 gói b ị nhi ểm khu ẩn. N λ = np 2) Đúng 40 gói b ị nhi ểm khu ẩn. Sai s rt l n X∈ P (λ ) VD 3. Gi ải câu 3) trong VD 1. Xác su t - Th ng kê Cao đng 15
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t 2.3. Đị nh lý gi ới h ạn Moivre – Laplace Ứng d ụng x ấp x ỉ Nh ị th ức b ằng phân ph ối Chu ẩn Đị nh lý 1 (gi ới h ạn đị a ph ươ ng) X Bn p n p • G ọi pk là xác su ất xu ất hi ện k l ần bi ến c ố A trong n • Cho ∈ ( , ) , n ếu khá l ớn, không quá g ần 0 phép thử Bernoulli v ới P(A) = p ( p không quá g ần 0 và và không quá g ần 1 thì X∼ N ( ; σ 2 ) . npq. P ( k ) 2 không quá g ần 1) thì limn = 1 . Trong đó: =np, σ= npq . n →∞ f( x ) k Khi đó, ta có: x 2 1 − k− np   Trong đó, f() x= e 2 , x = h ữu h ạn. 1 k −  k 1) PX(= k ) = . f   2π npq σ σ  Đị nh lý 2 (gi ới h ạn Moivre – Laplace) (tra b ảng A để có giá tr ị hàm f( x ) , f(− x ) = fx () ). X− np • Cho X∈ Bn( , p ) và S = thì:    n k− k −  npq 2) P(k≤≤X k ) =ϕ2 −ϕ  1  . 1 2    F σ   σ  Sn  → N (0, 1) . Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t Chương 3. Đ nh lý gi i h n trong x ác su t VD 4 . Trong m ột đợ t thi tuy ển công ch ức ở thành ph ố A Tóm t t x p x Chu n cho Nh th c có 1000 ng ườ i d ự thi v ới tỉ l ệ thi đạ t là 80%. Tính xác su ất để : (0≈/p ≈/ 1 ) 1) có 172 ng ườ i không đạ t; X∈ Bn( , p ) X∈ N ( , σ 2 ) 2) có kho ảng 170 đế n 180 ng ườ i không đạ t. = np EX= np EX = σ2 = npq VD 5. M ột khách s ạn nh ận đặ t ch ỗ c ủa 325 khách hàng VarX= npq VarX = σ2 cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghi ệm c ủa 1 k −  ⇒PX( = k ) = f   , nh ững n ăm tr ướ c cho th ấy có 10% khách đặ t ch ỗ nh ưng   không đế n. Bi ết m ỗi khách đặ t 1 phòng, tính xác su ất: σ σ      1) Có 300 khách đế n vào ngày 1/1 và nh ận phòng. b−  a −  2) T ất c ả khách đế n vào ngày 1/1 đề u nh ận đượ c phòng. Pa(<<= X b )ϕ − ϕ   . σ   σ  . PH ẦN II. LÝ THUY ẾT TH ỐNG KÊ Chương 4. Lý thuy t m u ( Statistical theory ) • T ừ t ổng th ể ta ch ọn ra n ph ần t ử thì n ph ần t ử đó đượ c gọi là m ột mẫu có kích th ướ c (cỡ m ẫu) n . Ch ươ ng 4. LÝ THUY ẾT M ẪU §1. Khái ni ệm v ề ph ươ ng pháp xác đị nh m ẫu • Mẫu đượ c ch ọn ng ẫu nhiên m ột cách khách quan đượ c §2. Các đặ c tr ưng c ủa m ẫu gọi là mẫu ng ẫu nhiên. §3. Phân ph ối xác su ất c ủa các đặ c tr ưng m ẫu §4. Th ực hành tính các đặ c tr ưng m ẫu c ụ th ể • Khi m ẫu có kích th ướ c l ớn thì ta không phân bi ệt m ẫu có hoàn l ại hay không hoàn l ại. §1. KHÁI NI ỆM V Ề VD 1. Khi nghiên c ứu v ề s ố cá trong m ột h ồ thì s ố cá PH ƯƠ NG PHÁP XÁC ĐỊ NH M ẪU trong hồ là kích th ướ c c ủa t ổng th ể. T ừ h ồ đó b ắt lên 10 1.1. M ẫu và t ổng th ể con cá thì đượ c 1 mẫu không hoàn lại kích th ướ c là 10. • T ập h ợp có các ph ần t ử là các đố i t ượ ng mà ta nghiên Nếu t ừ h ồ đó b ắt lên 1 con cá r ồi th ả xu ống, sau đó ti ếp c ứu đượ c g ọi là tổng th ể. S ố ph ần t ử c ủa t ổng th ể đượ c tục b ắt con khác, ti ến hành 10 l ần nh ư th ế ta đượ c m ẫu g ọi là kích th ướ c c ủa t ổng th ể. có hoàn l ại kích th ướ c 10. Xác su t - Th ng kê Cao đng 16
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u 1.2. Ph ươ ng pháp xác đị nh m ẫu • M ẫu có kích th ướ c n là t ập h ợp c ủa n bi ến ng ẫu nhiên độ c l ập X , X , , X đượ c l ập t ừ bi ến ng ẫu nhiên X và • Mẫu đị nh tính là m ẫu mà ta ch ỉ quan tâm đế n các ph ần 1 2 n có cù ng lu ật phân ph ối v ới X được gọi là mẫu t ổng quát . t ử c ủa nó có tính ch ất A nào đó hay không. VD 2. Điều t ra 100 h ộ dân c ủa m ột thành ph ố v ề thu • Ti ến hành quan sát (cân, đo, ) t ừng bi ến Xi và nh ận nh ập trong 1 n ăm. N ếu h ộ có thu nh ập d ướ i 10 tri ệu đượ c các giá tr ị c ụ th ể Xi = x i, khi đó ta đượ c mẫu c ụ th ể đồ ng/n ăm là h ộ nghèo thì trong 100 h ộ đượ c điều tra ta x1, x2, , xn. quan tâm đế n h ộ nghèo (tính ch ất A). Mẫu điều tra này là VD 4. Chi ều cao c ủa cây b ạch đàn là bi ến ng ẫu nhiên có mẫu định tính . phân ph ối chu ẩn. Đo ng ẫu nhiên 5 cây X1, X2, , X5 ta đượ c X =3,5m; X =3,2m; X =2,5m; X =4,1m; X =3m. • Mẫu đị nh l ượ ng là m ẫu mà ta quan tâm đế n các yếu t ố 1 2 3 4 5 Khi đó, { X1, X2, , X5} là m ẫu t ổng quát có phân ph ối v ề l ượ ng (nh ư chi ều dài, cân n ặng, ) c ủa các ph ần t ử chu ẩn và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là m ẫu c ụ th ể. có trong m ẫu. Nh ận xét VD 3. Cân 100 trái d ưa ga ng đượ c ch ọn ng ẫu nhiên t ừ 1 • Xác su ất nghiên c ứu v ề t ổng th ể để hi ểu v ề m ẫu còn cán h đồ ng ta đư ợc một m ẫu đị nh l ượ ng. th ống kê thì ng ượ c l ại. Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u Xét v ề l ượ ng 1.3. S ắp x ếp s ố li ệu th ực nghi ệm • Trung bình t ổng th ể là = EX . 1.3.1. S ắp x ếp theo các giá tr ị khác nhau • Gi ả s ử m ẫu ( X , X , , X ) có k quan sát khác nhau là 2 1 2 n • Ph ươ ng sai t ổng th ể σ = VarX là bi ểu th ị cho m ức độ X1, X2, , Xk ( k≤ n ) và Xi có t ần s ố ni (s ố l ần l ặp l ại) bi ến độ ng c ủa bi ến X. v ới nn1+ 2 + + nnk = . Khi đó, s ố li ệu đượ c s ắp Xét v ề ch ất x ếp theo th ứ t ự t ăng d ần c ủa Xi. • Tổng th ể đượ c chia thành 2 lo ại ph ần t ử: lo ại có tính VD 5. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 50 sinh viên, ta có k ết qu ả: ch ất A nào đó mà ta quan tâm và lo ại không có tính X ( điểm) 2 4 5 6 7 8 9 10 ch ất A. n (s ố SV) 4 6 20 10 5 2 2 1 • G ọi X = 0 n ếu ph ần t ử không có tính ch ất A và X = 1 1.3.2. S ắp x ếp d ướ i d ạng kho ảng nếu ph ần t ử có tính ch ất A, p là t ỉ l ệ các ph ần t ử có tính • Gi ả s ử m ẫu ( X1, X2, , Xn) có nhi ều quan sát khác ch ất A thì: nhau, kho ảng cách gi ữa các quan sát không đồ ng đề u Soá phaàn töû coù tính chaát A X∈ Bp( ), p = . ho ặc các Xi khác nhau r ất ít thì ta s ắp x ếp chúng d ướ i Soá phaàn töû cuûa toång the å d ạng kho ảng. Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u • Xét kho ảng (xmin, x max ) ch ứa toàn b ộ quan sát Xi. X (cm) 150 154 158 162 166 n 5 20 35 25 15 Ta chia (xmin, x max ) thành các kho ảng b ằng nhau (còn gọi là l ớp ) theo nguyên t ắc: Chú ý s ố kho ảng t ối ưu là 1+ 3,322lg n và độ dài kho ảng là • Đố i v ới tr ườ ng h ợp s ố li ệu đượ c cho b ởi cách li ệt kê x− x thì ta s ắp x ếp l ại ở d ạng b ảng. h = max min . 1+ 3,322lg n VD 7. Theo dõi m ức nguyên li ệu hao phí để s ản xu ất ra VD 6. Đo chi ều cao (X: cm) c ủa n = 100 thanh niên, ta một đơ n v ị s ản ph ẩm ở m ột nhà máy, ta thu đượ c các s ố có b ảng s ố li ệu ở d ạng kho ảng: li ệu sau ( đơ n v ị: gam): X (cm) 148-152 152-156 156-160 160-164 164-168 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; n 5 20 35 25 15 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; a+ a i−1 i 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19. Khi c ần tính toán, ta s ử d ụng công th ức xi = 2 Hãy s ắp x ếp s ố li ệu trên dướ i d ạng b ảng ? để đư a s ố li ệu trên v ề d ạng b ảng: Xác su t - Th ng kê Cao đng 17
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u §2. CÁC ĐẶ C TR ƯNG M ẪU (tham kh ảo) Tính ch ất 2.1. Các đặ c tr ưng m ẫu 1) K ỳ v ọng c ủa t ỉ l ệ m ẫu b ằng t ỉ l ệ t ổng th ể:   X+ + X  Gi ả s ử t ổng th ể có trung bình EX = , ph ươ ng sai MFM() = 1 n  = p . n  n  VarX = σ 2 và t ỉ l ệ các ph ần t ử có tính ch ất A là p.   2) Ph ươ ng sai c ủa t ỉ l ệ m ẫu: 2.1.1. T ỉ l ệ m ẫu Fn X+ + X  pq • Cho m ẫu đị nh tính kích th ướ c n, ta g ọi:  1 n  VarFn = Var   = n   n n 1 0   F= X, X =  là t ỉ l ệ m ẫu t ổng quát. nn ∑ i i 1 (các Xi có phân ph ối Bernoulli). i=1  2.1.2. Trung bình m ẫu • Cho m ẫu đị nh tính kích th ướ c n, trong đó có m ph ần t ử 1 n có tính ch ất A. Khi đó ta g ọi: • Trung bình m ẫu: X= X = X . nn ∑ i m i=1 n f= f n = là t ỉ l ệ m ẫu c ụ th ể. 1 n x x x • Trung bình m ẫu c ụ th ể: =n = ∑ i . n i=1 Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u Tính ch ất 2.1.3. Ph ươ ng sai m ẫu n 2 ɵ2 ɵ 2 1 2 σ VarX • Ph ươ ng sai m ẫu: SS=n = XX − . EXn = = EX , Var X n = = . n ∑ ( i n ) ( ) ( ) n n i=1 n Chú ý 1 2 Mẫu c ụ th ể: ssˆ2= ˆ 2 =() xx − . X+ + X nn ∑ i n • Tỉ l ệ m ẫu F = 1 n và trung bình m ẫu i=1 n n • Ph ươ ng sai m ẫu hi ệu ch ỉnh: n 2 X+ + X 2 2 1 1 n SS= = XX − . X n = khác nhau ở ch ỗ là trong Fn, các n∑ ( i n ) n n − 1 i =1 n bi ến X ch ỉ có phân ph ối Bernoulli B( p ) : 1 2 n Mẫu c ụ th ể: ss2= 2 =() xx − .  nn − 1 ∑ i n 0, neáu phaàn töû khoâng coù tính chaát A i=1 X =  . 2  i 1, neáu phaàn töû coù tính chaát A ɵ  n − 1 2 2 2  Tính ch ất. E S  = σ , E S = σ .   n ( ) Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u • Trong tính toán ta s ử d ụng công th ức: §3. PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT C ỦA 22 2 n 2 n   1 2 CÁC ĐẶ C TR ƯNG M ẪU (tham kh ảo) s= xxxn −  , n = x . n( n)  ∑ i 3.1. Phân ph ối xác su ất c ủa t ỉ l ệ m ẫu F n−1   n i=1 • X∈ B( p ) và n khá l ớn (n ≥ 100) thì:   2.2. Liên h ệ gi ữa đặ c tr ưng c ủa m ẫu và t ổng th ể m pq fp− f=∈ Np ,  ⇒= T nN ∈ (0, 1) . 2 n n  • Các đặ c tr ưng m ẫu Fn, Xn , S n là các th ống kê dùng   f(1− f ) 2 • X Bp X Bp và n n khá l ớn thì: để nghiên c ứu các đặ c tr ưng p, , σ t ươ ng ứng c ủa 1∈(), 12 ∈ () 2 1, 2 t ổng th ể. T ừ lu ật s ố l ớn ta có: f− f −( p − p ) T=1 2 1 2 ∈ N (0, 1) . 2 2   Fn→ pX, n → , S n →σ (theo xác su ất). 1 1  p(1− p )  +  • Trong th ực hành, khi c ỡ m ẫu n khá l ớn thì các đặ c 0 0   n1 n 2  tr ưng m ẫu x ấp x ỉ các đặ c tr ưng tươ ng ứng c ủa t ổng th ể: m m mm+ 2 22 2 Trong đó: f=1, f = 2 , p = 12 . x≈, fps ≈ , ˆ ≈σ , s ≈σ . 1 2 0 n1 n 2 nn 12+ Xác su t - Th ng kê Cao đng 18
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u 3.2. Phân ph ối xác su ất c ủa trung bình m ẫu 3.2.2. Tr ườ ng h ợp X không có phân ph ối chu ẩn 3.2.1. Tr ườ ng h ợp t ổng th ể X có phân ph ối chu ẩn • T ừ đị nh lý gi ới h ạn trung tâm, ta suy ra: σ2 X − X − • Do EX= , VarX = nên: →T ∈ N ()0, 1 , →T ∈ N ()0, 1 . n σ S 2  X  σ − n n XN∈ ,  hay nN ∈ () 0, 1 . n  σ • V ới n ≥ 30 , ta có các phân ph ối x ấp x ỉ chu ẩn nh ư sau: 1) Nếu σ2 đã bi ết thì: • V ới m ẫu c ụ th ể kích th ướ c n đủ l ớn, thì σ2 ≈ S 2 và: 2  X − σ  S2  X nN∼ XN ∼  .   − ()0, 1,  ,  XN∈ ,  hay nN ∈ () 0, 1 . σ  n  n  S 2) Nếu σ2 ch ưa bi ết thì: X − • Khi n < 30 và σ2 ch ưa bi ết thì n∈ T( n − 1) X S 2  − ∼ ∼   S nN()0, 1, XN  , . có phân ph ối Student v ới n − 1 b ậc t ự do. S n  Chương 4. Lý thuy t m u Chương 4. Lý thuy t m u 3.3. Phân ph ối xác su ất c ủa ph ươ ng sai m ẫu 4.2. Tính trung bình m ẫu x 2 • Gi ả s ử t ổng th ể X∈ N ( , σ ), khi đó: • Nếu m ẫu có n giá tr ị xi thì trung bình m ẫu là: n 2 n 2 x1+ x 2 + + x n 1 nɵ n −12 1 x= = x . S= S = XX − n ∑ i 2 2 2 ∑( i ) n n i=1 σ σ σ i=1 • N ếu x l ặp l ại n ( i = 1, , k ≤ n ) l ần thì trung bình sẽ có phân ph ối χ2(n − 1) . i i 1 k mẫu là: x= x n . §4. TH ỰC HÀNH TÍNH ∑ i i n i=1 CÁC ĐẶ C TR ƯNG C ỦA M ẪU C Ụ TH Ể 4.1. Tính t ỉ l ệ m ẫu f VD. Xét 10 k ết qu ả quan sát: • Nếu trong m ẫu có m ph ần t ử có tính ch ất A mà ta quan 102; 102; 202; 202; 202; 302; 302; 302; 302; 402. m 1 tâm thì t ỉ l ệ m ẫu là f = . Ta có: x =(102.2 ++ 202.3 302.4 + 402.1) . n 10 Chương 4. Lý thuy t m u Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi ɵ2 4.3. Tính ph ươ ng sai m ẫu s SỬ D ỤNG MÁY TÍNH B Ỏ TÚI ĐỂ TÍNH CÁC ĐẶ C TR ƯNG C ỦA M ẪU 1 1 n • Tính xxx x x =(1 +++ 2 n ) = ∑ i . n n i=1 1. Số li ệu đơ n (không có t ần s ố) 2 1 1 n VD 1. Cho m ẫu có c ỡ m ẫu là 5: và x xx22 x 2 x 2 . =( 1 +++ 2 n) = ∑ i w = (12; 13; 11; 14; 11). n n i=1 • Ph ươ ng sai m ẫu là: a) Máy fx 500 – 570 MS ɵ2 2 2 • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → MODE → 3 → = → = s= x − ( x ) . • Vào ch ế độ th ống kê nh ập dữ li ệu: • Ph ươ ng sai m ẫu có hi ệu ch ỉnh là: – MODE → 2 (ch ọn SD đố i v ới fx 500MS); 2 MODE → MODE → 1 (ch ọn SD đố i v ới fx 570MS). 2 n ɵ s= s . – Nh ập các s ố: n −1 12 M+ 13 M+ . 11 M+ Xác su t - Th ng kê Cao đng 19
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi • Xu ất k ết qu ả: • Xu ất k ết qu ả: – SHIFT → 2 → 1 → = – SHIFT → 1 → 5 (var) → 1 → = (n: c ỡ m ẫu) (xu ất k ết qu ả x : trung bình m ẫu). – SHIFT → 1 → 5 (var) → 2 → = ( x :trung bình m ẫu) – SHIFT → 2 → 2 → = – SHIFT → 1 → 5 (var) → 3 → = ( xσn : độ l ệch (xu ất k ết qu ả sˆ = xσn : độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu). chu ẩn c ủa m ẫu). – SHIFT → 2 → 3 → = (xu ất k ết qu ả s = xσn − 1: – SHIFT → 1 → 5 (var) → 4 → = ( xσn − 1: độ l ệch độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu có hi ệu ch ỉnh) . chu ẩn c ủa m ẫu có hi ệu ch ỉnh). b) Máy fx 500 – 570 ES 2. S ố li ệu có t ần s ố • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → 9 → 3 → = → = VD 2. Cho m ẫu nh ư sau: • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: xi 12 11 15 – SHIFT → MODE → dịch chuy ển m ũi tên tìm ch ọn ni 3 2 4 m ục Stat → 2 ( ch ế độ không t ần s ố). a) Máy fx 500 – 570 MS – MODE → 3 (stat) → 1 (1-var) → (nh ập các s ố): • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → MODE → 3 → = → = 12 = 13 = . 11 = → AC Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: – Nhập các giá tr ị và t ần s ố vào 2 c ột trên màn hình: – MODE → 2 (ch ọn SD đố i v ới fx 500MS); X FREQ MODE → MODE → 1 (ch ọn SD đố i v ới fx 570MS). 12 3 – Nh ập các s ố: 11 2 12 → SHIFT → , → 3 → M+ 15 4 11 → SHIFT → , → 2 → M+ → AC 15 → SHIFT → , → 4 → M+ • Xu ất k ết qu ả, làm nh ư 1b). • Xu ất k ết qu ả, làm nh ư 1a). VD 3. Điều tra n ăng su ất c ủa 100 ha lúa trong vùng, ta b) Máy fx 500 – 570 ES có b ảng s ố li ệu sau: • Xóa nh ớ vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu có t ần s ố: Năng su ất 3 - 3,5 4 - 4,5 5 - 5,5 6 - 6,5 – SHIFT → MODE (SETUP) dịch chuy ển m ũi tên (t ấn/ha) 3,5 - 4 4,5 - 5 5,5 - 6 6,5 - 7 → 4 → 1 Di ện tích(ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 – MODE → 3 (stat) → 1 (1-var) Tính đc tr ưng m u b ng m áy t ính b túi Chương 5. Ư c l ưng kho ng Nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất ít h ơn 4,4 t ấn/ha là có §1. Ướ c l ượ ng điểm năng su ất th ấp. Dùng máy tính bỏ túi để tính: §2. Ướ c l ượ ng kho ảng 1) T ỉ l ệ di ện tích lúa có n ăng su ất th ấp. §1. ƯỚ C L ƯỢ NG ĐIỂM (tham khảo) 2) Năng su ất lúa trung bình, ph ươ ng sai m ẫu ch ưa 1.1. Th ống kê hi ệu ch ỉnh và độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu có hi ệu ch ỉnh. • M ột hàm c ủa m ẫu t ổng quát T = T (X1, X2, , Xn) đượ c Gi ải. B ảng s ố li ệu đượ c vi ết l ại: g ọi là 1 th ống kê. Năng • Các v ấn đề c ủa th ống kê toán đượ c gi ải quy ết ch ủ y ếu su ất 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 nh ờ vào vi ệc xây d ựng các hàm th ống kê ch ỉ ph ụ thu ộc (t ấn/ha) vào m ẫu t ổng quát, không ph ụ thu ộc các tham s ố. Di ện 7 12 18 27 20 8 5 3 tích(ha) 1.2. Ướ c l ượ ng điểm • Ướ c l ượ ng điểm c ủa tham s ố (t ỉ l ệ, trung bình, m 7+ 12 + 18 θ 1) f = = = 37% . ɵ ɵ n 100 ph ươ ng sai, ) là th ống kê θ = θ (X1, , X n ) ch ỉ ph ụ 2 2) x=4,75; sˆ = 0,685; s = 0,8318 . thu ộc vào n quan sát X1, , Xn, không ph ụ thu ộc vào θ. Xác su t - Th ng kê Cao đng 20
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng VD 1. • EF = p (t ỉ l ệ m ẫu là ướ c l ượ ng không ch ệch c ủa t ỉ l ệ X+ X + + X • Trung bình m ẫu X = 1 2 n là ướ c t ổng th ể). n 2 2 lượ ng điểm của trung bình t ổng th ể . • E( S ) = σ (ph ươ ng sai m ẫu là ướ c l ượ ng không X+ X + + X 2 • T ỉ l ệ m ẫu F = 1 2 n là ướ c l ượ ng điểm ch ệch c ủa ph ươ ng sai t ổng th ể σ ). n của tỉ l ệ tổng th ể p. VD 3. Người ta cân 100 s ản ph ẩm c ủa 1 xí nghi ệp A và 1.3. Ướ c l ượ ng không ch ệch có b ảng s ố li ệu: ɵ X (gr) 498 502 506 510 • Th ống kê θ X, , X là ướ c l ượ ng không ch ệch c ủa ( 1 n ) n 40 20 20 20 ɵ  Khi đó: θ n ếu Eθ( X, , X )  = θ . 1 n  498.40+502.20+506.20+510.20 VD 2. x = = 502, 8(gr ) . 100 • E( X ) = (trung bình m ẫu là ướ c l ượ ng không ch ệch Dự đoán ( ướ c l ượ ng) : Tr ọng l ượ ng trung bình c ủa các c ủa trung bình t ổng th ể ). sản ph ẩm trong xí nghi ệp là ≈ 502, 8(gr ) . Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng §2. ƯỚ C L ƯỢ NG KHO ẢNG 2.2. Ướ c l ượ ng khoảng cho trung bình t ổng th ể 2.1. Đị nh ngh ĩa • Gi ả s ử t ổng th ể có trung bình ch ưa bi ết. V ới độ tin ɵ ɵ ɵ cậy 1 − α cho tr ướ c, kho ảng tin c ậy cho là ; • Kho ảng (θ1; θ 2 ) c ủa th ống kê θ đượ c g ọi là kho ảng tin ( 1 2 ) th ỏa: P . c ậy c ủa tham s ố θ n ếu v ới xác su ất 1 − α cho tr ướ c thì (1 << 2 ) =1 −α ɵ ɵ P (θ1 <θ<θ 2 ) =1 −α . a) Tr ườ ng h ợp 1. Kích th ướ c m ẫu n ≥ 30 và 2 • Xác su ất 1 − α là độ tin c ậy c ủa ướ c l ượ ng, ph ươ ng sai t ổng th ể σ đã bi ết. ɵ ɵ • Tính x (trung bình m ẫu). 2ε=θ −θ là độ dài của kho ảng ướ c l ượ ng và 2 1 1 − α ɵ ɵ Từ 1−α⇒ =ϕ (t ) →tra baûng B t . ε là độ chính xác c ủa ướ c l ượ ng. Khi đó: θ∈θ( 1; θ 2 ). 2 α α σ • Bài toán tìm kho ảng tin c ậy c ủa θ là bài toán x x t • Suy ra ∈( −ε; +ε ) v ới ε = α . ướ c l ượ ng kho ảng . n Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng VD 1 . Điểm trung bình môn XSTK c ủa sinh viên tr ườ ng Chú ý . Mối liên h ệ gi ữa độ l ệch chu ẩn m ẫu đã hi ệu Đạ i h ọc A là bi ến ng ẫu nhiên có độ l ệch chu ẩn 0,26 ch ỉnh s và ch ưa hi ệu ch ỉnh sˆ là: điểm. Kh ảo sát ng ẫu nhiên 100 sinh viên tr ườ ng này n n th ấy điểm trung bình môn XSTK là 5,12 điểm. Hãy ướ c s2= ssˆ 2 ⇒ = sˆ 2 . lượ ng kho ảng điểm trung bình môn XSTK c ủa s inh viên n−1 n − 1 tr ườ ng A với độ tin c ậy 98%? VD 2 . Đo đườ ng kính c ủa 100 tr ục máy do 1 nhà máy b) Tr ườ ng h ợp 2. Kích th ướ c mẫu n ≥ 30 và sản xu ất thì đượ c b ảng s ố li ệu: 2 Đườ ng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 ph ươ ng sai t ổng th ể σ ch ưa bi ết. • Tính x và s (độ l ệch chu ẩn m ẫu đã hi ệu ch ỉnh). Số tr ục máy 5 37 42 16 1) Hãy ướ c l ượ ng kho ảng trung bình đườ ng kính c ủa 1 − α tra baûng B • T ừ 1−α⇒ =ϕ (tα ) → t α tr ục máy với độ tin c ậy 97%? 2 2) D ựa vào m ẫu trên để ướ c l ượ ng kho ảng trung bình s đườ ng kính của tr ục máy có độ chính xác 0,006cm thì ⇒∈(x −ε; x +ε ) v ới ε = tα . n đả m b ảo độ tin c ậy là bao nhiêu? Xác su t - Th ng kê Cao đng 21
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng 3) D ựa vào m ẫu trên, n ếu ướ c l ượ ng kho ảng trung bình VD 3 . Gi ả s ử chi ều dài c ủa 1 lo ại s ản ph ẩm là bi ến ng ẫu đườ ng kính c ủa tr ục máy có độ chính xác l ớn h ơn nhiên có phân ph ối chu ẩn. Đo ng ẫu nhiên 10 s ản ph ẩm 0,003cm v ới độ tin c ậy 95% thì c ần ph ải đo t ối đa bao này thì đượ c chi ều dài trung bình 10,02 m và độ l ệch nhiêu tr ục máy? chu ẩn c ủa m ẫu ch ưa hi ệu ch ỉnh là 0,04 m. 2 c) Tr ườ ng h ợp 3. Kích th ướ c m ẫu n < 30 , σ đã bi ết và Tìm kho ảng ướ c l ượ ng trung bình chi ều dài c ủa lo ại sản X có phân ph ối chu ẩn thì ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1. ph ẩm này v ới độ tin c ậy 95% ? d) Tr ườ ng h ợp 4. Kích th ướ c m ẫu n < 30 , σ2 ch ưa bi ết và X có phân ph ối chu ẩn. VD 4 . N ăng su ất lúa trong vùng A là bi ến ng ẫu nhiên. • Tính x, s . Gặt ng ẫu nhiên 115 ha lúa c ủa vùng này ta có s ố li ệu: Năng su ất (t ạ/ha) 40 – 42 42 – 44 44 – 46 tra baûng C n−1 • Từ 1− α ⇒ α →tα Di ện tích (ha) 7 13 25 (nh ớ gi ảm b ậc thành n −1 r ồi m ới tra b ảng!) Năng su ất (t ạ/ha) 46 – 48 48 – 50 50 – 52 s x x tn−1 ⇒∈( −ε; +ε ) với ε = α . . Di ện tích (ha) 35 30 5 n Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng 1) Hãy tìm kho ảng ướ c l ượ ng trung bình cho n ăng su ất 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 Nhu c ầu (kg/tháng) lúa ở vùng A với độ tin c ậy 95%? (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) 2) Nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất lúa không v ượ t quá Số gia đình 10 35 86 132 44 t ạ/ha ở vùng A là n ăng su ất th ấp (gi ả s ử có phân 4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 ph ối chu ẩn). Hãy ướ c l ượ ng kho ảng trung bình cho Nhu c ầu (kg/tháng) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) năng su ất lúa của nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất th ấp Số gia đình 78 31 18 10 với độ tin c ậy 99%? 1) Hãy ước l ượ ng kho ảng cho trung bình nhu c ầu về lo ại Gi ải. 1) Số li ệu đượ c vi ết l ại d ướ i d ạng b ảng: hàng X c ủa toàn b ộ gia đình ở ph ườ ng A trong 1 n ăm Năng su ất (t ạ/ha) 41 43 45 47 49 51 với độ tin c ậy 95%? Di ện tích (ha) 7 13 25 35 30 5 2) V ới m ẫu kh ảo sát trên, n ếu mu ốn có ướ c l ượ ng kho ảng trung bình nhu c ầu v ề lo ại hàng X c ủa ph ườ ng VD 5 . Để nghiên c ứu nhu c ầu v ề lo ại hàng X ở ph ườ ng A v ới độ chính xác nh ỏ h ơn 4,8 t ấn/n ăm và độ tin c ậy A ng ườ i ta ti ến hành kh ảo sát 400 trong toàn b ộ 4000 99% thì c ần kh ảo sát tối thi ểu bao nhiêu gia đình gia đình. Kết qu ả kh ảo sát là: trong ph ườ ng A? Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng VD 6. Ti ến hành kh ảo sát 500 trong t ổng s ố 600.000 gia 2.3 . Ướ c l ượ ng kho ảng cho t ỉ l ệ t ổng th ể p đình ở m ột thành ph ố thì th ấy có 400 gia đình dùng lo ại • Gi ả s ử t ỉ l ệ p các ph ần t ử có tính ch ất A c ủa t ổng th ể sản ph ẩm X do công ty A s ản xu ất v ới b ảng s ố li ệu: ch ưa bi ết. V ới độ tin c ậy 1 − α cho tr ướ c, kho ảng tin Số l ượ ng (kg/tháng) 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 cậy cho p là (p1; p 2 ) th ỏa: Pp( 1< p < p 2 ) =−α1 . Số gia đình 40 70 110 90 60 30 m Hãy ướ c l ượ ng kho ảng cho trung bình tổng kh ối l ượ ng • Nếu bi ết t ỉ l ệ m ẫu f= f = với n là c ỡ m ẫu, m là n n sản ph ẩm X do công ty A sản xu ất đượ c tiêu th ụ ở thành số ph ần tử ta quan tâm thì kho ảng tin c ậy cho p là: ph ố này trong m ột tháng v ới độ tin c ậy 95%? A. (877,68 tấn; 982,32 tấn). f(1− f ) (f−ε; f +ε), ε= t . B. (1121,58 tấn; 1203,42 tấn). α n C. (898,24 tấn; 993,21 tấn). 1 − α Trong đó t tìm đượ c t ừ ϕ(t ) = (tra b ảng B). D. (1125,9 t ấn; 1199,1 t ấn). α α 2 Xác su t - Th ng kê Cao đng 22
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 5. Ư c l ưng kho ng Chương 5. Ư c l ưng kho ng VD 7 . M ột tr ườ ng Đại h ọc có 50.000 s inh viên. Điểm 2) D ựa vào m ẫu trên, n ếu mu ốn có độ chính xác c ủa ướ c danh ng ẫu nhiên 7 000 sinh viên th ấy có 765 sinh viên lượ ng tỉ l ệ ph ế ph ẩm nh ỏ h ơn 0,01 v ới độ tin c ậy 93% ngh ỉ h ọc. Hãy ướ c l ượ ng kho ảng cho t ỉ l ệ sinh viên ngh ỉ thì c ần ki ểm tra thêm ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm n ữa? học c ủa tr ườ ng v ới độ tin c ậy 95%? S ố sinh viên ngh ỉ học c ủa tr ườ ng trong kho ảng nào? VD 10. Kh ảo sát n ăng su ất ( X: t ấn/ha) c ủa 100 ha lúa ở VD 8 . Để ướ c l ượ ng s ố cá có trong một h ồ ng ườ i ta b ắt huy ện A, ta có b ảng s ố li ệu: lên 3000 con, đánh d ấu r ồi th ả l ại xu ống h ồ. Sau một X 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 th ời gian , l ại b ắt lên 400 con cá th ấy 60 con có đánh d ấu. S (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 Với độ tin c ậy 97%, hãy ướ c l ượ ng kho ảng cho t ỉ l ệ cá có đánh d ấu và s ố cá có trong h ồ? Nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất lúa trên 5,5 t ấn/ha là VD 9 . L ấy ng ẫu nhiên 200 s ản ph ẩm trong kho hàng A nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất cao. S ử d ụng b ảng kh ảo th ấy có 21 ph ế ph ẩm. sát trên, để ướ c l ượ ng t ỉ l ệ di ện tích lúa có n ăng su ất cao ε = 1) D ựa vào m ẫu trên, để ướ c l ượ ng t ỉ l ệ ph ế ph ẩm trong ở huy ện A có độ chính xác là 8,54% thì đả m b ảo độ kho A có độ chính xác là ε = 0, 035 thì đả m b ảo độ tin c ậy là bao nhiêu? tin c ậy c ủa ướ c l ượ ng là bao nhiêu? A. 95%; B. 96%; C. 97%; D. 98%. Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê §1. Khái ni ệm v ề kiểm đị nh gi ả thuy ết th ống kê 1.2. Gi ả thuy ết không (gi ả thuy ết đơ n) §2. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết v ề đặ c tr ưng c ủa t ổng th ể và gi ả thuy ết ng ượ c l ại ( đố i thuy ết) §3. Ki ểm đị nh so sánh hai đặ c tr ưng • Gi ả thuy ết không (Null Hypothesis ) là s ự gi ả s ử mà ta §1. KHÁI NI ỆM V Ề KI ỂM ĐỊ NH GI Ả THUY ẾT mu ốn ki ểm đị nh, th ườ ng đượ c ký hi ệu là H0. TH ỐNG KÊ • Gi ả thuy ết ng ượ c l ại (Alternative Hypothesis ) là vi ệc • Thông th ườ ng đố i v ới tham s ố θ ch ưa bi ết c ủa t ổng th ể bác b ỏ gi ả thuy ết không s ẽ d ẫn đế n vi ệc ch ấp nh ận gi ả ta có th ể đư a ra nhi ều gi ả thuy ết v ề θ. thuy ết ng ượ c l ại. Gi ả thuy ết ng ượ c l ại th ườ ng đượ c ký Vấn đề đặ t ra là làm th ế nào ki ểm đị nh đượ c gi ả thuy ết hi ệu là H1. nào thích h ợp v ới các s ố li ệu c ủa mẫu quan sát đượ c. Ta có các tr ườ ng h ợp sau: 1.1. Gi ả thuy ết th ống kê Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H0: θ = θ 0 v ới H1: θ θ . sử hay m ột phát bi ểu có th ể đúng, có th ể sai liên quan 0 0 1 0 Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : θ = θ với H : θ ≠ θ . đế n tham s ố c ủa m ột hay nhi ều t ổng th ể. 0 0 1 0 Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê 1.3. Các lo ại sai l ầm trong ki ểm đị nh 1.4. Mi ền bác b ỏ và mi ền ch ấp nh ận Khi ki ểm đị nh gi ả thuy ết th ống kê, ta có th ể ph ạm ph ải • Tất c ả các giá tr ị có th ể có c ủa các đạ i l ượ ng th ống kê 2 lo ại sai l ầm sau trong ki ểm đị nh có th ể chia làm 2 mi ền: mi ền bác b ỏ a) Sai l ầm lo ại I (type I error ) và mi ền ch ấp nh ận. • Là lo ại sai l ầm mà ta ph ạm ph ải trong vi ệc bác b ỏ gi ả Mi ền bác b ỏ là mi ền ch ứa các giá tr ị làm cho gi ả thuy ết H 0 khi H 0 đúng. Xác su ất c ủa vi ệc bác b ỏ H 0 thuy ết H 0 b ị bác b ỏ. Mi ền ch ấp nh ận là mi ền ch ứa các giá tr ị giúp cho gi ả khi H 0 đúng là xác su ất c ủa sai l ầm lo ại I và đượ c ký hi ệu là α . S ố α còn đượ c g ọi là mức ý ngh ĩa ( level of thuy ết H 0 không bị bác b ỏ ( đượ c ch ấp nh ận). significance ). Thông th ườ ng α = 0,05; 0,01; 0,001 • Giá tr ị chia đôi hai mi ền đượ c g ọi là giá tr ị gi ới h ạn b) Sai l ầm lo ại II (type II error ) (critical value ). • Là lo ại sai l ầm mà ta ph ạm ph ải trong vi ệc ch ấp nh ận 1.5. Ki ểm đị nh m ột đầ u và ki ểm đị nh 2 đầ u a) Ki ểm đị nh m ột đầ u gi ả thuy ết H 0 khi H 0 sai. Xác su ất c ủa vi ệc ch ấp nh ận • Khi đố i thuy ết H có tính ch ất 1 phía thì vi ệc ki ểm gi ả thuy ết H 0 khi H 0 sai là xác su ất c ủa sai l ầm lo ại II 1 và đượ c ký hi ệu là β. đị nh đượ c g ọi là ki ểm đị nh 1 đầ u. Xác su t - Th ng kê Cao đng 23
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Có hai lo ại ki ểm đị nh 1 đầ u: §2. KI ỂM ĐỊ NH GI Ả THUY ẾT V Ề ĐẶ C TR ƯNG Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : θ = θ v ới H : θ θ . 0 0 1 0 V ới trung bình 0 cho tr ướ c, t ươ ng t ự bài toán ướ c b) Ki ểm đị nh hai đầ u lượ ng kho ảng cho trung bình t ổng th ể, ta có 4 tr ườ ng hợp sau (4 tr ườ ng h ợp đề u đặt gi ả th uy ết H: µ = µ0). • Khi đố i thuy ết H1 có tính ch ất 2 phía thì vi ệc ki ểm đị nh đượ c g ọi là ki ểm đị nh 2 đầ u: a) Tr ườ ng h ợp 1. V ới n ≥30, σ 2 đã bi ết. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H0: θ = θ 0 v ới H1: θ ≠ θ 0. 1 − α B • T ừ mức ý ngh ĩa α ⇒ = ϕ(tα )  → t α . • T ừ đây v ề sau ta ch ỉ xét Mi n bác b 2 lo ại ki ểm đị nh hai đầ u x − • Tính giá tr ị th ống kê t = 0 . và để cho g ọn ta ch ỉ đặ t σ 1 gi ả thuy ết là H. n t t α ta bác b ỏ H. Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê b) Tr ườ ng h ợp 2. V ới n ≥30, σ 2 ch ưa bi ết. Chú ý • Trong tất c ả các tr ườ ng h ợp bác b ỏ, ta so sánh x và : Ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1 nh ưng thay σ b ằng s . 0 2 Nếu x > thì kết lu ận > . c) Tr ườ ng h ợp 3. V ới n t α ta bác b ỏ H. Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 2 . Trọng l ượ ng c ủa lo ại s ản ph ẩm A theo quy đị nh là B. t = 1,7205 ; bác b ỏ H, t rọng l ượ ng th ực t ế c ủa bao 6 kg. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 121 s ản ph ẩm A tính đượ c gạo nh ỏ h ơn 50 kg v ới m ức ý ngh ĩa 6%. tr ọng l ượ ng trung bình là 5,795 kg và ph ươ ng sai m ẫu 2 C. t = 1,9732 ; ch ấp nh ận H v ới m ức ý ngh ĩa 4%. ch ưa hi ệu ch ỉnh là 5,712 (kg) . D. t = 1,9732 ; bác b ỏ H, tr ọng l ượ ng th ực t ế c ủa Với m ức ý ngh ĩa 5%, hãy ki ểm đị nh gi ả thuy ết H: bao g ạo nh ỏ h ơn 50 kg v ới m ức ý ngh ĩa 4%. “tr ọng l ượ ng c ủa s ản ph ẩm A là 6 kg”? VD 4 . Tr ọng l ượ ng m ột lo ại gà ở tr ại ch ăn nuôi A khi VD 3. Trong m ột nhà máy g ạo, tr ọng l ượ ng đóng bao xu ất chu ồng là 3,62 kg/con . Bi ết tr ọng l ượ ng gà là bi ến theo quy đị nh c ủa m ột bao g ạo là 50 kg và độ l ệch chu ẩn là 0,3 kg. Cân th ử 296 bao g ạo c ủa nhà máy này thì th ấy ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn N( ; 0, 01) . Sau m ột tr ọng l ượ ng trung bình là 49,97 kg. Kiểm đị nh gi ả thuy ết th ời gian ng ườ i ta cho gà ăn th ức ăn m ới và cân th ử 15 H: “tr ọng l ượ ng m ỗi bao g ạo c ủa nhà máy này là 50 kg” con khi xu ất chu ồng th ấy tr ọng l ượ ng trung bình c ủa gà có giá tr ị th ống kê t và k ết lu ận là: là 3,69 kg/con. V ới m ức ý ngh ĩa 2%, hãy cho k ết lu ận A. t = 1,7205 ; ch ấp nh ận H v ới m ức ý ngh ĩa 6%. về lo ại th ức ăn này? Xác su t - Th ng kê Cao đng 24
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 5. Điểm trung bình môn Toán c ủa sinh viên n ăm VD 6. Chi ều cao cây gi ống (X: m) trong m ột v ườ m ươ m tr ướ c là 5,72. N ăm nay theo dõi 100 SV đượ c s ố li ệu: là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn. Người ta đo ng ẫu nhiên 25 cây giống này và có bảng số liệu: Điểm 3 4 5 6 7 8 9 Số sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số cây 1 2 9 7 4 2 Trong kiểm định giả thuyết H: “điểm trung bình môn Toán c ủa sinh viên n ăm nay bằng n ăm tr ướ c”, mức ý Theo quy đị nh của vườn ươm, khi nào cây cao hơn 1 m ngh ĩa tối đa là bao nhiêu để H được chấp nhận? thì đem ra tr ồng. V ới m ức ý ngh ĩa 5%, kiểm định giả thuyết H: “cây giống của vườn ươm cao 1 m” có giá trị A. α = 13,98% . thống kê và kết luận là: B. . α = 13,62% A. t = 2,7984 , không nên đem cây ra tr ồng. C. α = 12,46% . B. t = 2,7984 , nên đem cây ra tr ồng. D. α = 11,84% . C. t = 1,9984 , không nên đem cây ra tr ồng. D. t = 1,9984 , nên đem cây ra tr ồng. Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê 2.2. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết t ỉ l ệ t ổng th ể p VD 7. Ki ểm tra ngẫu nhiên 800 sinh viên của tr ườ ng A th ấy có 128 sinh viên gi ỏi. Với mức ý ngh ĩa 5%, hãy • Với t ỉ l ệ p cho tr ướ c, ta đặ t gi ả thuy ết H: p= p . 0 0 kiểm định giả thuyết H: “tỉ lệ sinh viên giỏi của trườ ng A 1 − α • T ừ mức ý ngh ĩa α ⇒ = ϕ(t )  →B t . là 20%”? 2 α α VD 8. Để ki ểm tra một lo ại súng th ể thao, ng ườ i ta cho m bắn 1000 viên đạ n vào 1 tấm bia th ấy có 670 viên trúng • T ừ m ẫu c ụ th ể, ta tính t ỉ l ệ m ẫu f = và n mục tiêu. Sau đó, b ằng c ải ti ến k ỹ thu ật ng ườ i ta nâng f− p đượ c t ỉ l ệ trúng của súng này lên 70%. Hãy cho k ết lu ận g iá tr ị th ống kê t = 0 . về việc cải ti ến trên với mức ý ngh ĩa 1 %? p0 q 0 VD 9. Công ty A tuyên b ố r ằng có 40% ng ườ i tiêu dùng n ưa thích s ản ph ẩm c ủa mình . M ột cu ộc điều tra 400 Nếu t≤ t thì ch ấp nh ận H, ngh ĩa là p= p . ng ườ i tiêu dùng th ấy có 179 ng ườ i ưa thích s ản ph ẩm α 0 của công ty A. Trong ki ểm đị nh gi ả thuy ết H: “có 40% Nếu t> t thì bác b ỏ H, ngh ĩa là p≠ p . α 0 ng ườ i tiêu dùng thích s ản ph ẩm c ủa công ty A”, mức ý Khi đó: f> p0 ⇒ pp > 0 ; f< p0 ⇒ pp < 0 . ngh ĩa t ối đa là bao nhiêu để H đượ c ch ấp nh ận? Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê §3. KI ỂM ĐỊ NH SO SÁNH HAI ĐẶ C TR ƯNG b) Tr ườ ng h ợp 2. n n và 2 2 ch ưa bi ết. CỦA HAI T ỔNG TH Ể x, y ≥ 30 σx, σ y 2 2 2 2 3.1. So sánh hai trung bình µx và µy c ủa X và Y Ta thay σx, σ y b ằng sx, s y trong tr ườ ng h ợp 1. Tóm t ắt 4 tr ườ ng h ợp 2 2 c) Tr ườ ng h ợp 3. nx, n y < 30 và σx, σ y đã bi ết • T ất c ả 4 tr ườ ng h ợp đề u đặ t gi ả thuy ết H : = . x y đồ ng th ời X, Y có phân ph ối chu ẩn. • V iệc ch ấp nh ận hay bác b ỏ gi ả thuy ết H đề u làm nh ư Ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1. bài toán ki ểm đị nh trung bình. d) Tr ườ ng h ợp 4. n, n < 30 và σ2, σ 2 ch ưa bi ết a) Tr ườ ng h ợp 1. n, n ≥ 30 và σ2, σ 2 đã bi ết. x y x y x y x y đồ ng th ời X, Y có phân ph ối chu ẩn. x− y • Tính ph ươ ng sai mẫu chung c ủa 2 mẫu: Ta tính th ống kê t = và so sánh v ới tα . 2 2 2 2 (n− 1) s + ( n − 1) s σ 2 x x y y σx y s = . + n+ n − 2 nx n y x y Xác su t - Th ng kê Cao đng 25
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê x− y VD 2 . Ng ườ i ta đo ng ẫu nhiên đườ ng kính c ủa 15 tr ục • Tính giá tr ị th ống kê t = . máy do máy X s ản xu ất và 17 tr ục máy do máy Y s ản 1 1 s. + xu ất (gi ả s ử có phân ph ối chu ẩn) tính đượ c k ết qu ả là: 2 2 nx n y x = 251,7 mm ; sx = 25 và y = 249,8 mm ; sy = 23 . n+ n − 2 tra baûng C x y Với m ức ý ngh ĩa 1%, ki ểm đị nh gi ả thuy ết H: “ đườ ng • T ừ α →tα và so sánh v ới t . kính các tr ục máy do 2 máy s ản xu ất là nh ư nhau ” có VD 1. Ngườ i ta cân 100 trái cây A ở nông tr ườ ng X và giá tr ị th ống kê và k ết lu ận là: tính đượ c x = 102 gram, s2 = 30 ; cân 150 trái cây A ở A. t = 2, 0963 , ch ấp nh ận H. x B. t = 2, 0963 , đườ ng kính tr ục máy X l ớn h ơn. nông tr ườ ng Y và tính đượ c y gram, s2 . = 100 y = 31 C. t = 1,0963 , ch ấp nh ận H. Trong kiểm đị nh giả thuyết H: “trọng l ượ ng của trái cây D. t = 1,0963 , đườ ng kính tr ục máy X l ớn h ơn. ở 2 nông tr ườ ng là nh ư nhau”, mức ý ngh ĩa tối đa là bao nhiêu để giả thuyết H đượ c chấp nhận? Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 3 . Tr ọng l ượ ng trung bình c ủa 23 trái d ưa h ấu do xã fx− f y X tr ồng là 6,72kg/trái và s = 0,32 kg. Tr ọng l ượ ng • Tính giá tr ị th ống kê t = . x   trung bình c ủa 19 trái d ưa h ấu do xã Y tr ồng là  1 1  p q  +  6,46kg/trái và s = 0,41 kg (gi ả s ử tr ọng l ượ ng d ưa h ấu 0 0   y • Kết lu ận nx n y  có phân ph ối chu ẩn). V ới m ức ý ngh ĩa 5%, có k ết lu ận Nếu t≤ t thì ch ấp nh ận H ⇒p = p . tr ọng l ượ ng trái d ưa h ấu do xã X tr ồng n ặng h ơn dưa α x y Nếu t> t và f t α và fx> f y thì bác b ỏ H ⇒px > p y . 3. 2. So sánh hai t ỉ l ệ px , p y của hai t ổng th ể X, Y Các b ướ c th ực hành VD 4. T ừ hai t ổng th ể X và Y ng ườ i ta ti ến hành ki ểm tra 2 m ẫu có kích th ướ c n = 1000 , n = 1200 v ề 1 tính • Đặ t gi ả thuy ết H: px= p y . x y m m+ m f f mx y x y ch ất A thì đượ c x = 0,27 và y = 0, 3 . V ới m ức ý ngh ĩa • T ừ 2 m ẫu ta tính fx = , fy = , p0 = . nx ny nx+ n y 9%, hãy so sánh hai t ỉ l ệ px, p y của hai t ổng th ể X và Y? Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Chương 6. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 5. Ki ểm tra 120 s ản ph ẩm ở kho I th ấy có 6 ph ế VD 7. Tr ướ c b ầu c ử, ng ườ i ta th ăm dò 1000 c ử tri thì ph ẩm; 200 s ản ph ẩm ở kho II th ấy có 24 ph ế ph ẩm. Hỏi th ấy có 400 ng ườ i nói r ằng s ẽ b ỏ phi ếu cho ông A. M ột chất l ượ ng hàng ở hai kho có khác nhau không v ới: tu ần sau (v ẫn ch ưa b ầu c ử), ng ườ i ta t ổ ch ức 1 cu ộc 1) M ức ý ngh ĩa 5% ? 2) M ức ý ngh ĩa 1% ? th ăm dò khác và th ấy có 680 trong s ố 1500 c ử tri đượ c hỏi s ẽ b ỏ phi ếu cho ông A. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H: “ tỉ l ệ VD 6. M ột công ty điện t ử ti ến hành điều tra th ị tr ườ ng cử tri ủng h ộ ông A ở hai l ần là nh ư nhau ”, v ới m ức ý về s ở thích xem tivi c ủa c ư dân trong 1 thành ph ố. Điều ngh ĩa 1% có giá tr ị th ống kê t và k ết lu ận là: tra ng ẫu nhiên 400 ng ườ i ở qu ận X thì th ấy có 270 ng ườ i A. t = 2,6356; c ử tri ngày càng ủng h ộ ông A. xem tivi ít nh ất 1 gi ờ trong 1 ngày; 600 ng ườ i ở qu ận Y B. t = 2,6356; c ử tri ủng h ộ ông A không thay đổ i. có 450 ng ườ i xem tivi ít nh ất 1 gi ờ trong 1 ngày. Trong C. t = 2,1349; c ử tri ngày càng ủng h ộ ông A. ki ểm đị nh gi ả thuy ết H: “tỉ l ệ c ư dân xem tivi ít nh ất 1 D. t = 2,1349; c ử tri ủng h ộ ông A không thay đổ i. gi ờ trong 1 ngày ở qu ận X và Y nh ư nhau ”, m ức ý ngh ĩa tối đa là bao nhiêu để gi ả thuy ết H đượ c ch ấp nh ận là: A. 0,96%; B. 2,84% ; C. 4,06% ; D. 6,14%. Xác su t - Th ng kê Cao đng 26
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy 1. H Ệ S Ố T ƯƠ NG QUAN M ẪU 1.2. Tính ch ất 1.1. Đị nh ngh ĩa 1) −1 ≤r ≤ 1 . • Hệ s ố t ươ ng quan m ẫu r là s ố đo m ức độ ph ụ thu ộc 2) N ếu r = 0 thì X, Y không có quan h ệ tuy ến tính; tuy ến tính gi ữa hai m ẫu ng ẫu nhiên cùng c ỡ X và Y . N ếu r = ±1 thì X, Y có quan h ệ tuy ến tính tuy ệt đố i. • Gi ả s ử ta có m ẫu ng ẫu nhiên c ỡ n v ề vector ng ẫu nhiên 3) N ếu r 0 thì quan h ệ gi ữa X, Y là đồ ng bi ến. quan m ẫu r đượ c tính theo công th ức: VD 1. K ết qu ả đo l ườ ng độ cholesterol ( Y) có trong máu của 10 đố i t ượ ng nam ở độ tu ổi ( X) nh ư sau: n xy− xy. 1 X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 r=; xy = ∑ xyi i . sˆx. sˆ y n i=1 Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính h ệ s ố t ươ ng quan m ẫu gi ữa X và Y . Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Gi ải. Từ s ố li ệu ở b ảng trên, ta tính đượ c: 2. Đườ ng h ồi quy trung bình tuy ến tính th ực nghi ệm 20× 1,9 + + 49 × 4,0 • Từ m ẫu th ực nghi ệm v ề vector ng ẫu nhiên (X , Y ) , ta xy = = 167, 26 ; 10 bi ễu di ễn các c ặp điểm (xi , y i ) lên mp Oxy . Khi đó, 1 n đườ ng cong n ối các điểm là đườ ng cong ph ụ thu ộc c ủa x= x = 43,9 ; sˆ = 13,5385 ; ∑ i x Y theo X mà ta c ần tìm (xem hình a), b)). n i=1 1 n y y =∑ i = 3,56 ; sˆy = 0,8333 . n i=1 xy− xy. Vậy r = = 0, 9729 . sˆx. sˆ y Hình a Hình b Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy 2.2. Ph ươ ng trình đườ ng h ồi quy tuy ến tính • Đườ ng th ẳng là đườ ng h ồi quy th ực nghi ệm x ấp x ỉ t ốt nh ất các điểm m ẫu đã cho, c ũng là x ấp x ỉ đườ ng cong Đườ ng h ồi quy tuy ến tính c ủa Y theo X là: cần tìm. Trong hình a) ta th ấy x ấp x ỉ tốt (ph ụ thu ộc y= a + bx . tuy ến tính ch ặt), hình b) x ấp x ỉ không t ốt. xy− xy. Trong đó: b = , a= y − bx. . 2 2.1. Ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất sˆx • Khi có sự ph ụ thu ộc tuy ến tính t ươ ng đố i ch ặt gi ữa hai bi ến ng ẫu nhiên X và Y ta c ần tìm bi ểu th ức a+ bX Đườ ng h ồi quy tuy ến tính c ủa X theo Y là: xấp x ỉ Y t ốt nh ất theo ngh ĩa c ực ti ểu sai s ố bình x= a + by . 2 ph ươ ng trung bình EY(− a − bX ) , ph ươ ng pháp này đượ c g ọi là bình ph ươ ng bé nh ất. xy− xy. Trong đó: b = , a= x − by. . 2 sˆy Xác su t - Th ng kê Cao đng 27
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy VD 2. Đo chi ều cao (X: m) và kh ối l ượ ng (Y: kg) c ủa 5 xy− x. y 82, 45 − 1,55 × 53 học sinh nam, ta có k ết qu ả: 2) b = = = 60, 0181 ; 2 2 X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 sˆx (0, 0707) Y 50 55 45 60 55 a=−=− y bx 53 60, 0181 × 1,55 =− 40, 0281 . 1) Tìm h ệ s ố t ươ ng quan r. Vậy y= −40, 0281 + 60, 0181 x . 2) L ập ph ươ ng trình h ồi quy tuy ến tính c ủa Y theo X. 3) D ự đoán n ếu m ột h ọc sinh cao 1,62m thì n ặng kho ảng 3) Học sinh cao 1,62m thì n ặng kho ảng: bao nhiêu kg? y =−40,0281 + 60,0181 ×= 1,62 57,2012 kg. Gi ải. 1) x=1,55; sˆx = 0,0707; ys == 53; ˆ y 5,099 ; 82, 45− 1,55 × 53 xy=⇒=82, 45 r = 0, 8322 . 0, 0707× 5, 099 Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy VD 3. S ố v ốn đầ u t ư Y Gi ải. 1) Ta có x=2; sˆx = 0,7746; y = 0,71; (X: tri ệu đồ ng) và l ợi X 0,3 0,7 1,0 nhu ận thu đượ c (Y: sˆ = 0,2427 ; xy = 1,56 . 1 20 10 y tri ệu đồ ng) trong m ột 2 30 10 xy− xy. 1,56 − 0,71 × 2 đơ n v ị th ời gian c ủa ⇒=b = = 2, 3768 ; 3 10 20 2 2 100 quan sát là: sˆy (0, 2427) 1) L ập ph ươ ng trình h ồi tuy ến tính c ủa X theo Y. a=−=− x by 2 2,3768 × 0,71 = 0,3125 . 2) D ự đoán n ếu mu ốn l ợi nhu ận thu đượ c là 0,5 tri ệu Vậy x=0,3125 + 2,3768 y . đồ ng thì c ần đầ u t ư bao nhiêu? 2) Nếu mu ốn l ợi nhu ận thu đượ c là 0,5 tri ệu thì c ần đầ u t ư kho ảng: x =0,3125 + 2,3768 ×= 0,5 1,5009 tri ệu đồ ng. Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy Chương 7. B ài to án t ươ ng quan & H i quy VD 4. S ố thùng bia (Y: thùng) đượ c bán ra ph ụ thu ộc Gi ải. 1) x=0,1558; sˆx = 0,006; ys == 110; ˆ y 7,746 ; vào giá bán (X: tri ệu đồ ng/ thùng). Điều tra 100 đạ i lý v ề 17,1− 0,1558 × 110 1 lo ại bia trong m ột đơ n v ị th ời gian có b ảng s ố li ệu: xy=⇒=17,1 r =− 0,8176 . 0, 006× 7,746 Y X 100 110 120 xy− x. y 17,1 − 0,1558 × 110 0,150 5 15 30 2) b = = =− 0, 0006 ; 2 2 0,160 10 25 sˆy (7, 746) 0,165 15 a=−= x by 0,1558 + 0, 0006 ×= 110 0, 2218 . 1) Tính h ệ s ố t ươ ng quan r. Vậy x=0,2218 − 0,0006 y . 2) L ập ph ươ ng trình h ồi tuy ến tính c ủa X theo Y. 3) Nếu mu ốn bán đượ c 115 thùng bia thì giá bán m ỗi 3) D ự đoán n ếu mu ốn bán đượ c 115 thùng bia thì giá thùng kho ảng: bán m ỗi thùng c ỡ bao nhiêu? x =0, 2218 − 0, 0006 ×= 115 0,1528 tri ệu đồ ng. Xác su t - Th ng kê Cao đng 28
ĐH Công nghi p Tp.HCM Saturday, October 23, 2010 dvntailieu.wordpress.com S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy 3. S ử d ụng máy tính b ỏ túi tìm đườ ng h ồi qui Xu ất k ết qu ả: 3.1. S ố li ệu không có t ần s ố SHIFT → 2 → (d ịch chuy ển m ũi tên ph ải 2 l ần) a) Máy tính fx500MS, fx570MS → 1 (A chính là a trong ph ươ ng trình) VD 5. Bài toán cho d ạng c ặp (xi,y i ) nh ư sau: → 2 (B chính là b trong ph ươ ng trình) X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 → 3 (r chính là r ). Y 1,9 4,0 2,6 4,52,9 3,84,1 4,63,2 4,0 Đáp s ố: r = 0, 9729 ; y=0,9311 + 0,0599 x . Tìm h ệ s ố r , đườ ng h ồi quy Y theo X: y= a + bx . b) Máy tính fx500ES, fx570ES Nhập số li ệu: Xét lại VD 5 ở trên. MODE → 3 (REG) → 1 (LIN) Nh ập số li ệu: + X, Y → M SHIFT → MODE → dịch chuy ển m ũi tên tìm ch ọn + 20, 1.9 → M m ục Stat → 2 ( ch ế độ không t ần s ố) MODE → 3 (stat) → 2 (A+Bx ) → (nh ập các giá tr ị + 49 , 4.0 → M của X, Y vào 2 c ột) S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy X Y Nh ập số li ệu: 20 1.9 MODE → 3 (REG) → 1 (LIN) X, Y; n → M + 49 4.0 21, 3; 2 → M + Xu ất k ết qu ả: SHIFT →1 → 7 → 1(A chính là a trong ph ươ ng trình) 25 , 5; 8 → M + →2 (B chính là b trong ph ươ ng trình) Xu ất k ết qu ả: → 3 (r chính là r ). SHIFT → 2 → (d ịch chuy ển m ũi tên ph ải 2 l ần) 3.2. S ố li ệu có t ần s ố → 1 (A chính là a trong ph ươ ng trình) a) Máy tính f 500MS, f 570MS X → 2 (B chính là b trong ph ươ ng trình) x x 21 23 25 VD 6. Xét bài toán cho ở dạng Y → 3 (r chính là r ). bảng (hình bên). Tìm h ệ s ố r , 3 2 Đáp s ố: r = 0,7326 ; y= −2,6694 + 0, 3145 x . đườ ng h ồi quy thực nghiệm Y 4 5 3 theo X: y= a + bx . 5 11 8 S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy S dng m áy t ính b túi t ìm đư ng h i quy b) Máy tính fx500ES, fx570ES Xu ất k ết qu ả: Xét l ại VD 6 ở trên SHIFT →1 → 7 → 1 (kết qu ả là A). Nh ập s ố liệu: SHIFT →1 → 7 → 2 (kết qu ả là B). SHIFT → MODE → dịch chuy ển m ũi tên tìm ch ọn SHIFT →1 → 7 → 3 (kết qu ả là r). Mục Stat → 1 ( ch ế độ có t ần s ố) Chú ý MODE → 3 (stat) → 2 (A+Bx ) → (nh ập các giá tr ị của X, Y, t ần s ố vào 3 c ột) Sai s ố khi dùng máy tính b ỏ túi là không tránh kh ỏi. Do đó, sinh viên nên ch ọn đáp án g ần v ới k ết qu ả c ủa X Y FREQ mình nh ất khi làm bài tr ắc nghi ệm. 21 3 2 H t 25 5 8 Xác su t - Th ng kê Cao đng 29