Bài giảng Toán kỹ thuật - Lê Bá Long

274 trang ngocly 2640

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Lê Bá Long", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_ky_thuat_le_ba_long.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán kỹ thuật - Lê Bá Long

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PGS.TS. LÊ BÁ LONG Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT dùng cho sinh viên ngành điện tử - viễn thông HÀ NỘI 2013
LỜI NÓI ĐẦU Tập bài giảng Toán kỹ thuật được biên soạn lại trên cơ sở giáo trình toán chuyên ngành dành cho sinh viên ngành điện tử viễn thông của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã được tác giả và TS. Vũ Gia Tê biên soạn từ năm 2005. Giáo trình này đã được Học viện ban hành và sử dụng làm tài liệu chính để giảng dạy và học tập từ năm 2005 đến năm 2012. Năm 2012 Học viện ban hành đề cương chi tiết môn học theo hướng tín chỉ. Với hình thức đào tạo này đòi hỏi sinh viên phải tự học tập nghiên cứu nhiều hơn. Tập bài giảng này được biên soạn lại cũng nhằm đáp ứng yêu cầu đó Nội dung chương 4 “phương trình đạo hàm riêng” của giáo trình cũ được thay bằng khái niệm quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov và quá trình dừng. Đây là những nội dung toán học rất cần thiết trong việc ứng dụng để xử lí các tín hiệu ngẫu nhiên và trong các bài toán về chuyển mạch. Tập bài giảng bao gồm 4 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực điện tử viễn thông. Nội dung tập bài giảng đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được Học viện duyệt. Chúng tôi chọn cách trình bày phù hợp với người tự học theo hình thức tín chỉ. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các khái niệm và các kết quả. Cố gắng chứng minh các định lý mà chỉ cần đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh họa, chúng tôi đã đưa thêm nhiều ví dụ hơn so với giáo trình trước đây. Hy vọng rằng qua nhiều ví dụ sinh viên sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn. Cuối từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lĩnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích của cuốn tài liệu. Hệ thống bài tập cuối mỗi chương khá đa dạng và đầy đủ từ dễ đến khó giúp sinh viên luyện tập và tự kiểm tra sự tiếp thu kiến thức của mình. Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3 Nếu cần tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương. Một số nội dung trong tập bài giảng sinh viên đã được học trong các học phần giải tích 1, giải tích 2, nhưng đảm bảo tính chất hệ thống tác giả cũng trình bày lại. Vì vậy với thời lượng ứng với 3 tín chỉ của môn học giảng viên khó có đủ thời gian để trình bày hết các nội dung của tập bài giảng ở trên lớp. Tác giả đánh dấu (*) cho các nội dung này và dành cho sinh viên tự học.
Vì nhận thức của tác giả về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Tác giả rất mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để tập tài liệu được hoàn thiện hơn. Tuy tác giả đã rất cố gắng, song do thời gian bị hạn hẹp, nên các thiếu sót còn tồn tại trong tập bài giảng là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp, các học viên xa gần. Xin chân thành cám ơn. Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS Phạm Ngọc Anh, TS. Vũ Gia Tê, Ths. Lê Bá Cầu, Ths. Lê Văn Ngọc đã đọc bản thảo và cho những ý kiến phản biện quý giá. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông, bạn bè đồng nghiệp đã khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để hoàn thành tập tài liệu này. Hà Nội 8/2013 Tác giả
MỤC LỤC CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC 9 1.1. SỐ PHỨC 9 1.1.1. Các dạng và các phép toán của số 9 1.1.2. Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức . . 18 1.1.3. Lân cận, miền . 19 1.2. HÀM BIẾN PHỨC . . . 20 1.2.1. Định nghĩa hàm biến phức 20 1.2.2. Giới hạn, liên tục 21 1.2.3. Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann 23 1.2.4. Các hàm phức sơ cấp cơ bản 25 1.3. TÍCH PHÂN PHỨC, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY . 28 1.3.1. Định nghĩa và các tính chất . . . 28 1.3.2. Định lý tích phân Cauchy và tích phân không phụ thuộc đường đi 31 1.3.3. Nguyên hàm và tích phân bất định . 34 1.3.4. Công thức tích phân Cauchy . 34 1.3.5. Đạo hàm cấp cao của hàm giải tích 36 1.3.6. Bất đẳng thức Cauchy và định lý Louville . 38 1.4. CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC 39 1.4.1. Chuỗi số phức . . 39 1.4.2. Chuỗi luỹ thừa . 40 1.4.3. Chuỗi Taylor, chuỗi Mac Laurin . 44 1.4.4. Chuỗi Laurent và điểm bất thường . . . 48 1.5. THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG . . . 55 1.5.1. Định nghĩa thặng dư . . 55 1.5.2. Cách tính thặng dư . . . 55 1.5.3. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư . 56 1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI Z . . 62 1.6.1. Định nghĩa phép biến đổi Z . 62 1.6.2. Miền xác định của biến đổi Z 62 1.6.3. Tính chất của biến đổi Z . . 65 1.6.4. Biến đổi Z ngược . . . 67 1.6.5. Ứng dụng của biến đổi Z . . . 71 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 73 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN . 80 2.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 80 2.1.1. Phép biến đổi Laplace thuận 80 2.1.2. Phép biến đổi Laplace ngược . 96 2.1.3. Ứng dụng của biến đổi Laplace . 103 2.2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 115 2.2.1. Chuỗi Fourier 116 2.2.2. Phép biến đổi Fourier hữu hạn . . . 123
2.2.3. Phép biến đổi Fourier . . 127 2.2.4. Phép biến đổi Fourier rời rạc . 135 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . 142 CHƯƠNG 3: CÁC HÀM SỐ VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT . . 149 3.1. HÀM DELTA . . . . 149 3.1.1. Khái niệm hàm delta . 149 3.1.2. Đạo hàm và tích phân của hàm delta 151 3.1.3. Khai triển Fourier của hàm delta . . 155 3.1.4. Biến đổi Fourier của hàm delta 156 3.2. CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN 157 3.2.1. Công thức xác định các hàm số tích phân 157 3.2.2. Khai triển các hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa 159 3.3. HÀM GAMMA, HÀM BÊ TA 162 3.3.1. Định nghĩa hàm Gamma . 162 3.3.2. Các tính chất của hàm Gamma . 164 3.3.3. Hàm Beta 169 3.4. PHƯƠNG TRÌNH BESSEL VÀ CÁC HÀM BESSEL . 173 3.4.1. Phương trình Bessel 173 3.4.2. Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 173 3.4.3 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel. . 179 3.4.4. Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 với cấp bán nguyên . 182 3.4.5. Các tích phân Lommel . 184 3.4.6. Khai triển theo chuỗi các hàm Bessel 186 3.4.7. Các phương trình vi phân có thể đưa về phương trình Bessel . 189 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . 193 CHƯƠNG 4: CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG . 199 4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 200 4.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên 200 4.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên 201 4.2 CHUỖI MARKOV . 205 4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc thuần nhất . 205 4.2.2 Ma trận xác suất chuyển 206 4.2.3 Ma trân xác suất chuyển bậc cao, Phương trình Chapman–Kolmogorov 206 4.2.4 Phân bố xác suất của hệ tại thời điểm n . 208 4.2.5 Một số mô hình chuỗi Markov quan trọng 209 4.2.6 Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic 212 4.3. QUÁ TRÌNH DỪNG . 218 4.3.1. Hàm hiệp phương sai và hàm tự tương quan của quá trình dừng 218 4.3.2. Đặc trưng phổ của quá trình dừng 221 4.4. TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN VÀ TINH CHÂT ERGODIC 232 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . 234 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 1 241 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 2 247 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 3 254
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG 4 256 PHỤ LỤC A: Biến đổi Z của dãy tín hiệu thường gặp . . 261 PHỤ LỤC B: Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier 262 PHỤ LỤC C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp 263 PHỤ LỤC D: Bảng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 264 PHỤ LỤC E: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp 266 PHỤ LỤC F: Bảng giá trị của hàm mật độ và hàm phân bố xác suất phân bố chuẩn 277 BẢNG THUẬT NGỮ . 279 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 280
CHƯƠNG I HÀM BIẾN SỐ PHỨC Số phức khởi đầu được sử dụng để tính toán một cách đơn giản, tuy nhiên lý thuyết hàm biến phức ngày càng chứng tỏ là một công cụ rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật. Hầu hết các lời giải độc đáo của các bài toán quan trọng trong lý thuyết truyền nhiệt, truyền dẫn, tĩnh điện, và thủy động lực đều được sử dụng phương pháp các hàm biến phức. Đối với vật lý hiện đại, hàm biến phức trở thành một bộ phận thiết yếu của vật lý lý thuyết. Chẳng hạn các hàm sóng trong cơ học lượng tử là các hàm biến phức. Dĩ nhiên khi thực hiện một thí ngiệm hoặc phép đo nào đó thì kết quả mà chúng ta nhận được là các giá trị thực, nhưng để phát biểu lý thuyết về kết quả này thường phải sử dụng đến số phức. Có một điều kỳ lạ rằng nếu lý thuyết chính xác thì các phân tích toán học với hàm biến phức luôn dẫn đến lời giải là thực. Vì vậy hàm biến phức thực sự là một công cụ không thể thiếu của khoa học kỹ thuật hiện đại. Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, miền, giới hạn, liên tục, đạo hàm của hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Để nghiên cứu các vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi hàm biến phức f() z tương ứng với hai hàm hai biến thực u(,) x y , v(,) x y . Hàm biến phức f() z liên tục khi và chỉ khi u(,) x y , v(,) x y liên tục. Hàm f() z khả vi khi và chỉ khi u(,) x y , v(,) x y có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 của các hàm u(,) x y , v(,) x y như vậy ta có thể chuyển các tính chất giải tích của hàm biến phức về tính chất tương ứng của hàm thực hai biến và các tính chất này đã được học trong giải tích 2. Ngoài ra xuất phát từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta còn có các công thức tích phân Cauchy, khai triển hàm biến phức thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập và ứng dụng lý thuyết thặng dư để giải quyết những bài toán cụ thể. Cuối cùng ta xét phép biến đổi Z là một ứng dụng cụ thể của khai triển Laurent. 1.1 TẬP SỐ PHỨC 1.1.1 Các dạng của số phức và các phép toán của số phức Rất nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật và trong thức tế được qui về giải phương trình đại số cấp hai: ax2 bx c 0 ( a 0). Phương trình này có nghiệm thực khi b2 ac 0, tuy nhiên trường hợp phương trình không có nghiệm thực, ứng với b2 ac 0 , cũng thường gặp và có nhiều ứng dụng. Vì vậy người ta mở rộng trường số thực đã có lên trường số mới sao cho trong trường số này phương trình cấp hai trên luôn có nghiệm.
Phương trình cấp hai với 0 đơn giản nhất có dạng x 2 1 0 . Nếu ta đưa vào số mới i (đơn vị ảo) sao cho i2 1 thì phương trình trên có thể phân tích thành x2 1 x 2 i 2 x i x i 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm: x i . Mở rộng trường số thực  để phương trình trên có nghiệm ta được trường số phức , mỗi phần tử của nó được gọi là số phức. Trường số phức  có cấu trúc trường với phép cộng, phép nhân được mở rộng từ các phép toán của trường số thực. A. Dạng tổng quát của số phức z x iy , trong đó x, y là các số thực. x là phần thực của z , ký hiệu Rez . y là phần ảo của z , ký hiệu Imz . Khi y 0 thì z x là số thực; x 0 , z iy gọi là số thuần ảo. Số phức x iy , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức z x iy . Nhận xét 1.1: Một số tài liệu ký hiệu phần tử đơn vị ảo là j , lúc đó số phức viết dưới dạng tổng quát z x jy và số phức liên hợp tương ứng là z* x jy . Hai số phức z1 x 1 iy 1 và z2 x 2 iy 2 bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau. x1 x 2 z x iy,; z x iy z z (1.1) 1 1 1 2 2 2 1 2 y y 1 2 Mở rộng các phép toán của trường số thực ta có các phép toán tương ứng sau của các số phức. B. Các phép toán của số phức Cho hai số phức z1 x 1 iy 1 và z2 x 2 iy 2 , ta định nghĩa: a) Phép cộng: Tổng của hai số phức z1 và z2 , ký hiệu z z1 z 2 và được xác định như sau: ()()xiy1 1 xiy 2 2 xx 1 2 iyy 1 2 (1.2) b) Phép trừ: Ta gọi số phức z x iy là số phức đối của z x iy . Số phức z z1 () z 2 được gọi là hiệu của hai số phức z1 và z2 , ký hiệu z z1 z 2 . ()()xiy1 1 x 2 iy 2 xx 1 2 iyy 1 2 (1.3) c) Phép nhân: Tích của hai số phức z1 và z2 là số phức được ký hiệu z1 z 2 và được xác định như sau:
x1 iyx 12 iy 2 xx 1212 yy ixy 1212 yx (1.4) 1 d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức z x iy 0 là số phức ký hiệu hay z 1 , thỏa z mãn điều kiện zz 1 1. Đặt z 1 a ib , theo công thức (1.1) và (1.4) ta được xa yb 1 x y a , b . ya xb 0 2 2 2 2 x y x y Vậy 1 x y i (1.5) x iy x2 y 2 x 2 y 2 1 Số phức z z1 z 2 (z2 0 ) được gọi là thương của hai số phức z1 và z2 , ký hiệu z z 1 . Áp dụng công thức (1.4)-(1.5) ta có z2 x iy xx yy yx xy 1 1 1 2 1 2 i 1 2 1 2 (1.6) x iy 2 2 2 2 2 2 x2 y 2 x 2 y 2 Ví dụ 1.1: Cho z x iy , tính z2 , zz . Giải: z2 ( x iy ) 2 ( x 2 y 2 ) i (2 xy ), zz x2 y 2 . Ví dụ 1.2: Tìm các số thực x, y là nghiệm của phương trình 5 x y 1 i x 2 i 3 i 3 11 i . Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế và áp dụng công thức (1.1) ta được 2x 5 y 2 3 7 x 3, y . 4x 5 y 6 11 5 Tính chất 1.1: . z1 z 2 z 2 z 1; z 1 z 2 z 2 z 1 tính giao hoán. . z1 zz 23 zz 12 zzzz 3123; zzz 123 tính kết hợp. . z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 1 z 3 tính phân bố của phép nhân đối với phép cộng. . z1 z 2 0 z 1 0 hoặc z2 0 . . zz  , zz 0 và zz 0 z 0 . 1 z z z z . ; 1 1 2 . (1.7) z z zz2 z2 z 2
z z . z z z z;; z z z z 1 1 . (1.8) 1 2 1 2 1 2 1 2 z 2 z2 z z z z . Rez ; Im z . (1.9) 2 2i . z  z z . (1.10) Ví dụ 1.3: Viết các số phức sau dưới dạng z x iy a) 3 2i 1 3 i , 5 5i b) , 4 3i i i2 i 3 i 4 i 5 c) , 1 i 3 2i d) . 1 i Giải: a) 3 2i 1 3 i 3 6 i 2 9 9 7 i , 5 5i 51 i 43 i 5(43) i (43) 7 i b) , 4 3i 16 9 25 5 5 i i2 i 3 i 4 i 5 i 1 i 1 i ii 1 i 1 i c) 1 i 1 i 1 i 2 2 2 2 3 4 i i2 i 3 i 4 i 5i 1 i i i i i1 i 5 i i 6 1 i hoặc . 1 i 1 i 1 i 1 i 2 2 2 32 i (32)(1) i i 5 i 5 i d) . 1 i ( 1 i )( 1 i ) 2 2 2 z iw 1 Ví dụ 1.4: Giải hệ phương trình . 2z w 1 i Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được 1 2i 1 2i 2 i 4 3 i 2 i z 1 2 i z , 2 i 5 5 1 3i 3 i w i z 1 i . 5 5 Ta cũng có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer như sau
1 i 1 i 1 1 D 1 2 i ; D 2 i ; D i 1 . 2 1 z 1 i 1 w 2 1 i 2 i (2 i )(1 2 i ) 4 3 i i 1 ( i 1)(1 2 i ) 3 i z , w . 1 2i 5 5 1 2i 5 5 Ví dụ 1.5: Giải phương trình z2 2 z 5 0 . 2 2 2 Giải: z2 2 z 5 z 1 4 z 1 2 i z 1 2 i z 1 2 i . Vậy phương trình có hai nghiệm z1 1 2 i , z 2 1 2 i . C. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là   i và j . Mỗi điểm M trong mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (;)x y của nó xác    định bởi OM x i y j (Hình 1.1). y y M j O i x x Hình 1.1: Mt phng phc Số phức z x iy cũng hoàn toàn được xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. Vì vậy có tương ứng 1-1 giữa các số phức và các điểm trong mặt phẳng. Người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ (;)x y với số phức z x iy , lúc đó mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành Ox biểu diễn các số thực nên được gọi là trục thực, trục tung Oy biểu diễn các số thuần ảo nên được gọi là trục ảo. Tập hợp các véc tơ trong mặt phẳng với phép toán cộng véc tơ, phép nhân một số thực  với véc tơ tạo thành không gian véc tơ. Khi ta đồng nhất điểm M hay véc tơ OM có tọa độ (;)x y với số phức z x iy thì hai phép toán trên hoàn toàn tương thích với phép cộng hai số phức và phép nhân số thực với số phức.  OM1 (,) x 1 y 1 tương ứng với số phức z1 x 1 iy 1 .  OM2 (,) x 2 y 2 tương ứng với số phức z2 x 2 iy 2 .    Thì OM1 OM 2 tương ứng với số phức z1 z 2 và k. OM1 tương ứng với số phức kz1 .
Ngoài ra trong tập hợp các số phức còn có phép nhân và phép chia hai số phức, điều này cho phép biểu diễn thêm nhiều phép biến đổi hình học mà không có đối với các phép toán của véc tơ. D. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , ta chọn Ox làm trục cực khi đó điểm M(;) x y có tọa độ cực r; xác định bởi   x r cos r OM,, Ox OM thỏa mãn (1.11) y r sin  Ta ký hiệu và gọi z r OM x2 y 2 (1.12) là mô đun và Argz k 2 , k  (1.13) là argument của số phức z x iy . y y M  j r  O i x x Hình 1.2: Mô đun và Argument của số phức Góc của số phức z x iy 0 được xác định theo công thức sau tan y / x (1.14) cos x / x2 y 2 Giá trị của Argz nằm giữa và được gọi là argument chính, ký hiệu argz . Vậy arg z . Từ công thức (1.11) ta có z x iy r cos i sin (1.15) gọi là dạng lượng giác của số phức. Áp dụng khai triển Mac Laurin 2n 2 n 1 n n cos  1 , sin  1 n 0 2n ! n 0 2 n 1 !
n 2n n 2 n 1 cos i sin  1 i  1 n 0 2n ! n 0 2 n 1 ! 2n 2 n 1 n i i i    ei . n 0 2n ! n 0 2 n 1 ! n 0 n ! Vậy ta có công thức Euler ei cos i sin  (1.16) ei e i e i e i cos , sin . (1.17) 2 2i Từ (1.15)-(1.16) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ z z ei (1.18) Hình 1.3: Dạng cực của số phức. Đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức được biểu diễn bởi ei . Số phức bất kỳ có dạng rei Tính chất 1.2: z z z z . z z 1 2 1 2 (1.19) 1 2 argz arg z Arg z Arg z k 2 , k  1 2 1 2 2 z z z . zz z , 1 1 2 . (1.20) 2 z2 z2 z z . z z z z,,1 1 z z z z . (1.21) 1 2 1 2z 1 2 1 2 2 z2 z . Argz z Arg z Arg z , Arg 1 Arg z Arg z (1.22) 1 2 1 2 1 2 z2 x z . z x iy và z x y (1.23) y z
Ví dụ 1.6: a. Tập các số phức z thỏa mãn z 2 3 tương ứng với tập các điểm có khoảng cách đến I(2;0) bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3. b. Tập các số phức z thỏa mãn z 2 z i tương ứng với tập các điểm cách đều A(2;0) và B(0;1) đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình 4x 2 y 3 0 . c. Tập các số phức z thỏa mãn z 3 z 3 10 tương ứng với tập các điểm có tổng khoảng cách đến F1( 3;0) và F2(3;0) bằng 10, đó là đường elip có phương trình x2 y 2 1. 25 16 y y y B 4 1 2 x A x 5 x a) b) c) Hình 1.4: Đồ thị các đường của ví dụ 1.6 Ví dụ 1.7: Áp dụng công thức (1.22) và số phức viết dưới dạng mũ (1.18) ta có thể kiểm chứng lại các công thức cộng góc của các hàm lượng giác: i 1 i 2 i() 1 2 e e e cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) Mặt khác i i e1 e 2 cos i sin cos i sin 1 1 2 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 , Đồng nhất phần thực và phần ảo tương ứng theo công thức (1.1) ta được cos( 1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 sin( 1 2 ) cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 E. Lũy thừa và căn của số phức 1) Lũy thừa n * Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức z zz z ; n  n lÇ n Từ công thức (1.21)-(1.22) ta có n zn z cos n i sin n với Argz k 2 (1.24)
Đặc biệt, khi z 1 ta có n cos i sin cos n i sin n (1.25) Gọi (1.25) là Công thức Moivre. Ví dụ 1.8: Tính (1 i )8 . i 8 i8 Giải: Ta có 1 i 2 e 4 , do đó (1 i )8 2 e4 16 ei 2 16  . 10 Ví dụ 1.9: Tính 1 3i . Giải: 10 10 10 1 3 2 2 10 20 20 13 i 2 i 2cos i sin 2cos i sin 2 2 3 3 3 3 2 2 1 3 10 10 9 2cos i sin 2 i 2(1 i 3). 3 3 2 2 9 Vậy ta cũng có 1 3i 29  . Ví dụ 1.10: Tính các tổng S cos cos2  cos n , T sin sin 2  sin n . Giải: Đặt z cos i sin , trường hợp z 1 ta có zn 1 z n 1 z S iT z z2 zn z(1 z  z n 1 ) z z 1 z 1 n 1 z z z 1 zn zz zz z n 1 z z n 1 z n 1 z z 1 z 1 zz z z 1 1 z z 1 cosn 1 cos( n 1) cos i sin n sin( n 1) sin 2 1 cos cosn 1 cos( n 1) cos sinn sin( n 1) sin S , T . 2 1 cos 2 1 cos 2) Căn của số phức 1 Số phức  được gọi là căn bậc n của z nếu n z , ký hiệu  n z hay  z n . Biểu diễn dưới dạng mũ: z rei ,  e i  ta có n ne in ; do đó
n n r n r z  k2 (1.26) n k2 , k   , k  n Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của 2 nên với mỗi số phức z 0 có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun và Argument nhận các giá trị ứng với k 0, 1, , n 1. Vì vậy các căn bậc n nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính n . r y 4 Ví dụ 1.11: Tính 1 i 1 0 Giải: 1 i 2 cos i sin . 4 4 4 Các căn bậc 4 tương ứng là: O 2 x 2 8 0 2 cos i sin ,  16 16 3 8 Hình 1.5: Các cn bc bn 4 1 i 1 2cos( ) i sin( ) i  0 , 16 2 16 2 8 y 2 2cos( ) i sin( )  0 , 16 16 i 3 3 8  3 2cos( ) i sin( ) i  0 . 1 0 16 2 16 2 4 Ví dụ 1.12: Giải phương trình z 4 1 0 O 1 x Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 của 1 cos i sin tương ứng là: 2 3 1 i 0 cos i sin , 4 4 2 Hình 1.6: Các cn bc bn 4 1 1 i 1 i 1 i 1 i  0 , 2  0 , 3 i  0 . 2 2 2 1.1.2 Tập số phức mở rộng, mặt cầu phức Trong 1.1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức  bằng cách đồng nhất mỗi số phức z x iy với điểm M có tọa độ (;)x y trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt khác nếu ta dựng mặt cầu ()S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm  là giao điểm của tia Pz và mặt cầu ()S , P là điểm cực bắc của ()S .
Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu ()S ngoại trừ điểm cực bắc P. P (S )  O y x z Hình 1.7: Mt cu phc Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng . Tập hợp số phức  thêm số phức vô cùng được gọi là tập số phức mở rộng  . Như vậy toàn bộ mặt cầu ()S là một biểu diễn hình học của tập số phức mở rộng. z Quy ước: (z 0), z  ( z 0), z , z . 0 1.1.3 Lân cận, miền A. Lân cận Khái niệm  lân cận của một điểm trong mặt phẳng phức được định nghĩa hoàn toàn tương tự với  lân cận trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng  .  lân cận của z0  và N lân cận  lần lượt là B z0 z  z z 0  (1.27) BN z  z N    (1.28) B. Điểm trong, tập mở Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm z0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z0 nằm hoàn toàn trong E . Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. C. Điểm biên Điểm z1 , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của z1 đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E . Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu E .
Hình tròn mở z  z z0 r và phần bù của hình tròn đóng z  z z0 r là các tập mở có biên lần lượt là z  z z0 r và z  z z0 r   . Hình tròn đóng z  z z0 r không phải là tập mở vì các điểm trên biên z z0 r không phải là điểm trong. D. Tập liên thông, miền Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường liên tục nằm hoàn toàn trongD . Một tập mở và liên thông được gọi là miền. Miền D cùng biên D của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu D , vậy DDD   . Miền chỉ có một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên. Ta chỉ xét các miền hoặc miền đóng có biên là đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó thì miền D ở bên tay trái. Miền D được gọi là miền bị chặn nếu tồn tại R 0 sao cho z R,  z D . 1.2 HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con D của  hoặc  là một quy luật cho tương ứng mỗi số phức z D với một hoặc nhiều số phức w , ta ký hiệu w f( z ), z D . Biến z được gọi là biến độc lập hay đối số, còn w là biến phụ thuộc hay giá trị của hàm. Nếu với mỗi z chỉ cho tương ứng duy nhất một giá trị w thì f() z được gọi là hàm đơn trị, lúc này f là ánh xạ từ D vào  hoặc  . Trường hợp ngược lại f được gọi là hàm đa trị. Hàm số w f( z ) z 2 3 là một hàm đơn trị, còn hàm số w f() z 3 z là một hàm đa trị. Tập D trong định nghĩa trên được gọi là tập xác định. Ta chỉ xét tập xác định D là một miền, vì vậy D được gọi là miền xác định. Thông thường người ta cho hàm biến phức dưới dạng công thức xác định ảnh f() z , khi đó miền xác định D là tập các số phức z sao cho biểu thức f() z có nghĩa. z Hàm số w f() z có miền xác định là D z  z i  . z 2 1
Một hàm biến phức có thể được biểu diễn bởi hai hàm thực của hai biến (,)x y như sau: w f()() z f x iy u u(,) x y ; (1.29) w u iv uxy ( , ) ivxy ( , ) v v(,) x y Chẳng hạn, hàm số wfzz ( ) 2 3 ( xiy ) 2 3 ( xy 2 2 3) ixy 2 có 2 2 u x y 3 . v 2 xy Trường hợp hàm biến phức biến số thực, nghĩa là miền xác định D   , ta ký hiệu w f() t , biến số là t thay cho biến số z . Trường hợp miền xác định D là tập số tự nhiên hoặc tập con của tập số tự nhiên  thì ta có dãy số phức z f( n ), n  , ta ký hiệu dãy số là z hay z . n n n  n n 0 Nếu zn f( n ); n  , n n0 , ta ký hiệu zn . n n0 1.2.2 Giới hạn, liên tục Định nghĩa 1.2: Dãy số phức z hội tụ về số phứcL , ký hiệu lim z L , nếu n n 0 n n limzn L 0 , nghĩa là n  0, N 0 : n N zn L  (1.30) Dãy số z có giới hạn là , ký hiệu lim z , nếu n n 0 n n A 0,  N 0 :  n N zn A (1.31) Giả sử zn x n iy n , L a ib . Khi đó từ (1.23) suy ra rằng lim xn a lim z L n (1.32) n lim y b n n n Thật vậy: lim xn a Từ bất đẳng thức z L x a y b suy ra n lim z L . n n n lim y b n n n n
lim x a x a z L n n n Bất đẳng thức suy ra lim z L n . y b z L n lim y b n n n n n Định nghĩa 1.3: Ta nói hàm biến phức w f() z xác định trong một lân cận của z0 có giới hạn là L khi z tiến đến z0 , ký hiệu limf ( z ) L , nếu với mọi lân cận BL tồn tại lân z z0 cận B z0 sao cho với mọi z B z0 , z z 0 thì f() z B L . Định nghĩa này phát biểu cho tất cả các trường hợp z0 , L là các số phức hữu hạn hoặc . Cụ thể: Trường hợp z0 , L  là hai số phức hữu hạn: limf z L    0,  0 : z , 0 z z0  f z L  (1.33) z z0 Từ (1.23), (1.27) và tương tự (1.32) ta có: limu ( x , y ) u 0 (,)(,)x y x0 y 0 lim f z L (1.34) limv ( x , y ) v 0 z z0 (,)(,)x y x y 0 0 Trong đó z xiyz ,,0 x 0 iy 0 L u 0 iv 0 . Trường hợp z0 , L  : limf z    L 0, N 0 : z , z N f z L  (1.35) z Trường hợp z0 , L : limf z   N 0, 0 :  z , 0 z z0  f z N (1.36) z z0 Trường hợp z0 , L : limf z    M 0, N 0 : z , z N f z M (1.37) z Định lý 1.1: lim f z L khi và chỉ khi với mọi dãy z , z z thì f z L . n n 1 n 0 n z z0 Như vậy giới hạn của hàm số khi z z0 không phụ thuộc vào đường đi khi z tiến đến z0 . Định nghĩa 1.4: Hàm biến phức w f z xác định trong miền chứa điểm z0 được gọi là liên tục tại z0 nếu lim f z f z0 . z z0
Hàm biến phức w f z liên tục tại mọi điểm của miền D được gọi là liên tục trong D . Từ (1.34) suy ra rằng một hàm biến phức liên tục khi và chỉ khi hai hàm thực hai biến xác định bởi (1.29) là liên tục. Do đó ta có thể áp dụng các tính chất liên tục của hàm thực hai biến cho tính chất liên tục của hàm biến phức. 1.2.3 Hàm khả vi, phương trình Cauchy-Riemann Giả sử z x iy là một điểm thuộc miền xác định D của hàm biến phức đơn trị w f z . Với số gia của biến z x i y thỏa mãn z z D , ta được số gia của hàm w f()() z z f z . w Định nghĩa 1.5: Nếu có giới hạn hữu hạn khi z 0 thì ta nói hàm w f z khả vi z (hay có đạo hàm) tại z , giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại z , ký hiệu f' z hoặc w' z . Vậy f()() z z f z f' z lim (1.38) z 0 z Rõ ràng nếu hàm số có đạo hàm tại z thì liên tục tại z . Ví dụ 1.13: Cho w z2 C , tính w' z . 2 2 2 w Giải: wzzCzCzzz ( ) 2 2 zz , z w Do đó w' z lim lim 2 z z 2 z . z 0 z z 0 Định lý 1.2: Nếu hàm biến phức w f()(,)(,) z u x y iv x y khả vi tại z x iy thì phần thực u(,) x y và phần ảo v(,) x y có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (,)x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann: u  v (,)(,)x y x y x  y (1.39) u  v (,)(,)x y x y y  x Ngược lại, nếu phần thực u(,) x y , phần ảo v(,) x y khả vi tại (,)x y và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì w f() z khả vi tại z x iy và u  v  v  u fz'(,)(,)(,)(,) xyi xy xyi xy . (1.40) x  x  y  y Chứng minh: Hàm biến phức w f() z có đạo hàm tại z x iy , do đó tồn tại giới hạn w f' z lim z 0 z
không phụ thuộc đường đi của z tiến đến 0 . Xét trường hợp z x ta có: ux(,)(,)(,)(,) xy uxy ivx xy vxy f' z lim x 0 x u  v x,, y i x y (1.41) x  x Tương tự nếu z i y thì: uxy(,)(,)(,)(,) y uxy ivxy y vxy f' z lim y 0 i y 1 u  v  v  u (,)(,)(,)(,)x y x y x y i x y (1.42) i y  y  y  y So sánh (1.41)-(1.42) ta có điều kiện (1.39). Ngược lại, từ giả thiết u(,) x y , v(,) x y khả vi tại (,)x y suy ra u  u u x y  z x  y 1 v  v v x y  z x  y 2 2 2 trong đó z x y và 1,  2 0 khi z 0 . u  u  v  v x y i x y 1 i  2 z w u i v x  y  x  y Do đó z x i y x i y u  v  u  v Thay (,)x y (,), x y (,) x y (,) x y x  y  y  x w  u  v z  u  v Ta được i 1 i  2 i , khi z 0. z  x  x z  x  x Ví dụ 1.14: Hàm w z2 C ( x 2 y 2 ) C i (2 xy ) ở ví dụ 1.13 có u  v 2x x  y , u  v 2y y  x do đó hàm khả vi tại mọi điểm và w' z 2 x i 2 y 2 z . u  v Ví dụ 1.15: Hàm w z x iy có 1, 1 , các đạo hàm riêng không thỏa x  y mãn điều kiện Cauchy-Riemann, do đó hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào.
Định nghĩa 1.6: Hàm đơn trị w f() z khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích (analytic) hay chỉnh hình (holomorphe) tại z . Nếu f() z khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f() z giải tích trong D. f() z giải tích trong miền đóng D nếu nó giải tích trong một miền chứa D . Khái niệm khả vi và đạo hàm của hàm biến phức được định nghĩa tương tự như trường hợp hàm thực và công thức tính đạo hàm của biến phức có thể tính qua các đạo hàm riêng (1.40), vì vậy các tính chất và quy tắc tính đạo hàm đã biết đối với hàm thực vẫn còn đúng đối với hàm biến phức. Cụ thể f()()()() z g z f z g z . (1.43) fzgz()()' fzgz '()() fzgz ()'(). (1.44) f() z f '()() z g z f ()'() z g z ,g ( z ) 0 . (1.45) 2 g() z g() z f u( z ) f '( u ). u '( z ). (1.46) 1.2.4 Các hàm biến phức sơ cấp cơ bản A. Hàm lũy thừa w zn , n nguyên dương 2. Hàm số lũy thừa xác định và giải tích với mọi z , có đạo hàm w nz n 1 . Nếu z r cos i sin thì w rn cos n i sin n . Vậy ảnh của đường tròn z R là đường tròn w Rn . Ảnh cúa tia Argz k 2 là tia Argw n k 2 . 2 Ảnh cúa hình quạt 0 argz là mặt phẳng w bỏ đi trục thực dương. n v y 2 n u O x Mt phng Z Mt phng W Hình 1.8: nh hình qut qua hàm ly tha
B. Hàm căn w n z Hàm căn bậc n : w n z là hàm ngược của hàm lũy thừa bậc n . Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n , vì vậy hàm căn là một hàm đa trị. C. Hàm mũ w ez Từ công thức Euler (1.16) ta có thể định nghĩa hàm mũ xác định như sau w ez e x iy e x e iy e x cos y i sin y (1.47)  ez e x, Arg( e z ) y k 2 .  Hàm mũ giải tích tại mọi điểm và ez e z . v y x a b y b a O e u O x Mt phng Mt Hình 1.9: nh ng thng qua hàm m z z z z z e 1 z z n  e1 e 2 e 1 2 , e 1 2 , ez e nz , ez ik2 e z ,  k . (1.48) z e 2 i  e0 1 , e2 i , ei 1 .  Qua phép biến hình w ez , ảnh của đường thẳng x a là đường tròn w ea , ảnh của đường thẳng y b là tia Argw b k 2 . Ảnh của băng 0 y 2 là mặt phẳng w bỏ đi nửa trục thực dương. D. Hàm lôgarit Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm mũ xác định như sau: w Ln z z ew u e z w Ln zuiv zee w u iv e u cos viv sin v arg z k 2 Rew ln z w Ln z (1.49) Imw arg z k 2
Điều này chứng tỏ hàm lôgarit phức là hàm đa trị. Ứng với mỗi z có vô số giá trị của w , những giá trị này có phần thực bằng nhau còn phần ảo hơn kém nhau bội số nguyên của 2 . Ứng với mỗi k ở trên ta có một nhánh của hàm lôgarit. Để tiện cho việc khảo sát, đôi khi người ta tách hàm w Ln z thành các nhánh đơn trị như sau. Trong công thức (1.49) nếu ta cố định k k0 khi đó w ln z i arg z k0 2 trở thành một nhánh đơn trị của hàm lôgarit. Nhánh này biến miền arg z của mặt phẳng Z thành băng 2k0 1 Im w 2 k 0 1 của mặt phẳng W. Nhánh đơn trị ứng với k 0 được gọi là nhánh đơn trị chính và được ký hiệu lnz . Vậy lnz ln z i arg z trong đó ln ở vế trái là hàm lôgarit chính biến phức và ln ở vế phải là hàm lôgarit biến thực. . Ln 1 ln 1 i arg( 1) k 2 2 k 1 i và ln 1 i . z . Lnz z Ln z Ln z ,Ln 1 Ln z Ln z ,Ln zn n Ln z . 1 2 1 2 1 2 z2 Các nhánh đơn trị của hàm lôgarit giải tích trên nửa mặt phẳng phức Z bỏ đi nửa trục thực âm (x 0). Ví dụ 1.16: Tìm lôgarit chính của 1 i . i Giải: Vì 1 i 2 e 4 , do đó ln(1 i ) ln 2 i . 4 E. Các hàm lượng giác phức Mở rộng công thức Euler (1.17) cho các đối số phức ta được các hàm lượng giác phức eiz e iz e iz e iz cosz , sin z ;  z  (1.50) 2 2i sinz cos z tanz , z 21;cot k z ; z k . cosz 2 sin z Tính chất 1.3: Các hàm lượng giác phức còn giữ được nhiều tính chất của hàm lượng giác thực. . Hàm cosz , sin z tuần hoàn chu kỳ 2 , hàm tanz , cot z tuần hoàn chu kỳ . . Các hàm lượng giác phức giải tích trong miền xác định sinz cos z , cos z sin z 1 1 tanz , cot z . cos2z sin 2 z . cos2z sin 2 z 1;  z 
. Các công thức cộng góc, hạ bậc, tổng thành tích, tích thành tổng vẫn còn đúng Tuy nhiên có những tính chất của hàm lượng giác thực không còn đúng đối với hàm lượng giác phức. Chẳng hạn hàm lượng giác thực bị chặn nhưng hàm lượng giác phức không bị chặn (ta có thể chứng minh điều này bằng cách áp dụng định lý Louville): Từ đẳng thức cos2x sin 2 x 1suy ra cosx 1, sin x 1,  x  e n e n e n e n nhưng cosni 1, sin ni 1 khi n 1 . 2 2i F. Các hàm lượng giác hyperbolic phức ez e z e z e z sinhz cosh z coshz ,sinh z , tanh z ,coth z (1.51) 2 2 coshz sinh z Tính chất 1.4: . Các hàm lượng giác hyperbolic phức giải tích trong miền xác định sinhz cosh z , cosh z sinh z , 1 1 tanhz , coth z . cosh2z sinh 2 z . coshz sinh ze z ,cosh z sinh ze z ,sin iziziz sinh,cos cosh z . . cosh2z sinh 2 z 1,sinh2 z 2cosh z sinh z ,cosh2 z cosh 2 z sinh 2 z . 1.3 TÍCH PHÂN PHỨC, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Trong mục này ta nghiên cứu tích phân phức của các hàm đơn trị. 1.3.1 Định nghĩa và các tính chất Khái niệm tích phân phức dọc theo một đường cong được định nghĩa tương tự tích phân đường loại 2. Giả sử hàm biến phức đơn trị w f()(,)(,) z u x y iv x y xác định trong miền D và L là đường cong (có thể đóng kín) nằm trong D có điểm mút đầu là A mút cuối là B. Chia L thành n đoạn bởi các điểm A z0, z 1 , z 2 , , zn  B nằm trên L theo thứ tự tăng dần của các chỉ số. z, z Chọn trên mỗi cung con k 1 k của đường cong L một điểm bất kỳ k  k i  k . Đặt zk x k iy k , zzzxxxk k k 1, k k k 1 , yyyk k k k 1 ; 1,2, , n . n Sn  f() k z k (1.52) k 1
được gọi là tổng tích phân của hàm f() z trên L ứng với phân hoạch z0, z 1 , , zn và cách chọn các điểm k  k i  k . Tổng này nói chung phụ thuộc vào hàm f() z , đường L, cách chia L bởi các điểm zk và cách chọn các điểm k (xem hình 1.7). y B  zn  k zk zk 1 A  z 0 O x Khi max z 0 tổngHình S ti ến1.7 tới: Tng giới tíchhạn phânI  không phụ thuộc cách chia đường 1 k n k n L và chọn các điểm k ta nói hàm f() z khả tích trên cung AB và I được gọi là tích phân của hàm f() z dọc theo đường cong L từ A đến B, ký hiệu f() z dz . Vậy AB n I f( z ) dz lim  f k z k (1.53) max z 0 k k 1 AB 1 k n Mặt khác, tổng tích phân (1.52) có thể phân tích thành tổng của 2 tổng tích phân đường loại 2. n n f z u ,,  iv   x i y  k k  k k k k k k k 1 k 1 n n u,,,,  x v   y i v   x u   y (1.54)  kkk kkk  kkk kkk k 1 k 1 Tương tự (1.32), áp dụng (1.23) ta có max xk 0 max z 0 1 k n 1 k n k max yk 0 1 k n Vì vậy tích phân phức (1.53) tồn tại khi và chỉ khi hai tích phân đường loại 2 có tổng tích phân (1.54) tồn tại và có đẳng thức f z dz udx vdy i vdx udy (1.55) AB AB AB Mặt khác, nếu hàm w f()(,)(,) z u x y iv x y liên tục trên D và đường L trơn từng khúc thì tồn tại hai tích phân đường loại 2 ở vế phải của (1.55) (ta đã biết trong Giải tích 2), do đó tồn tại tích phân phức tương ứng.
Từ đẳng thức (1.55) suy ra rằng tích phân phức có các tính chất tương tự như các tính chất của tích phân đường loại 2. . fz gzdz fzdz gzdz , (1.56) AB AB AB . kf z dz k f z dz ; k const , (1.57) AB AB . f z dz f z dz , (1.58) AB BA . f z dz f z ds . (1.59) LL vế phải của bất đẳng thức (1.59) là tích phân đường loại 1 dọc theo cung L và có vi phân cung: ds dz dx2 dy 2 . Đặc biệt, nếu f z M,  z L và l là độ dài của đường cong L thì f z dz M l (1.60) L Khi A trùng với B thì L là đường cong kín (ta chỉ xét các đường cong kín không tự cắt, gọi là đường Jordan). Tích phân trên đường cong kín L lấy theo chiều dương của L được ký hiệu  f z dz , trường hợp lấy theo chiều âm ta ký hiệu  f z dz . L L Ví dụ 1.17: Tính tích phân I z2 dz ; A 0, B 2 4 i AB 1. Dọc theo parabol y x2, 0 x 2 . 2. Dọc theo đường thẳng nối A và B. y Giải: 4i B A 2 x I zdz2 ( x iydx ) 2 ( idy ) ( x 2 ydx 2 ) 2 xydy i 2 xydx ( x 2 ydy 2 ) Hình 1.8: ng ca ví d 1.17 AB AB AB AB
1. Nếu lấy tích phân dọc theo y x 2 thì dy 2 xdx 2 2 2 4 4 3 2 4 88 16 I xx 4 xdxixxxxdx 2 2 i . 3 3 0 0 2. Nếu lấy tích phân dọc theo đường thẳng nối từ A đến B thì y 2 x , dy 2 dx 2 2 22 2 2 88 16 I x 2 x 2 xxdxixx 2 2 2 2 2 x 2 xdx i . 3 3 0 0 Qua ví dụ trên ta nhận thấy giá trị của tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B. Các định lý sau cho điều kiện cần và đủ để tích phân phức không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nối hai đầu mút của đường. 1.3.2 Định lý tích phân Cauchy và tích phân không phụ thuộc đường đi Định lý 1.3: Điều kiện cần và đủ để tích phân của hàm f() z trong miền D không phụ thuộc vào đường lấy tích phân là tích phân của f() z dọc theo mọi đường cong kín bất kỳ (không tự cắt nhau) trong D phải bằng 0. Chứng minh: Giả sử LL1, 2 là hai đường cong nối A, B trong D . Ta xét đường cong kín L L L gồm LL1, 2 , trong đó 2 là cung ngược chiều của 2 . 0  fzdz fzdz fzdz fzdz fzdz L LLLL1 2 1 2 f z dz f z dz . LL1 2 L2 A B L1 Hình 1.9: Tích phân không ph thuc ng ly tích phân Ngược lại, giả sử L là đường cong kín nằm trong D . Chọn hai điểm khác nhau A, B nằm trên L, ký hiệu LL1, 2 là các cung của L nối từ A đến B khi đó  fzdz fzdz fzdz 0 . L LL1 2 Định lý 1.4: Nếu hàm biến phức w f() z giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân của f() z dọc theo mọi đường cong kín L bất kỳ trong D đều bằng 0.
Chứng minh: Áp dụng định lý Green chuyển tích phân đường loại 2 về tích phân kép và công thức (1.55) ta có v  u  u  v fzdz udxvdy ivdx udy dxdy i dxdy    x  y  x  y LLL trong đó là hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín L nằm trong D . Vì w f() z giải tích trong miền đơn liên D nên các hàm dưới dấu tích phân trong hai tích phân kép ở vế phải bằng 0 do thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Vậy  f z dz 0 . L Hệ quả 1.1: Nếu w f() z giải tích trong miền kín đơn liên D và khả tích trên biên D thì  f z dz 0. D Chứng minh: Tồn tại miền đơn liên GD và f() z giải tích trong G . Áp dụng định lý 1.4 cho hàm f() z trong G và tích phân lấy trên đường cong kín DG  . Hệ quả 1.2: Giả sử hàm f() z giải tích trong miền kín đa liên D có biên ngoài là 0 và biên trong là 1, , n và khả tích trên các biên thì n f z dz   f z dz (1.61) k 1 0 k Chứng minh:  1 n 0 Hình 1.10: Tích phân biên ngoài và biên trong Cắt D theo các lát cắt nối 0 với 1, , n ta được một miền đơn liên (xem hình 1.10). Theo hệ quả 1.1 tích phân trên biên của miền này bằng 0 và chú ý rằng lúc đó tích phân trên đường nối 0 với 1, , n được lấy hai lần ngược chiều nhau vì vậy tích phân trên n biên bằng f z dz   f z dz 0 . Chuyển vế ta được đẳng thức cần chứng minh. k 1 0 k Có thể chứng minh được rằng hệ quả 1.1 và hệ quả 1.2 còn đúng khi f() z giải tích trong D và liên tục trong D .
dz Ví dụ 1.18: Tính tích phân I ; n  n  n L z a trong đó L là đường cong kín bất kỳ không đi qua a . Giải: Gọi D là miền được giới hạn bởi L. 1 . Nếu a D thì f z giải tích trong D nên I 0 . n n z a . a r Nếu a D . Gọi Cr z  z a r là đường tròn tâm bán kính . Chọn r đủ bé để CDr  . Xét D ' là miền nhị liên có được bằng cách lấy miền D bỏ đi hình tròn tâm a bán kính r . D ' có biên ngoài là L, biên trong là Cr . 1 f z giải tích trong D ' . n z a Cr a L Hình 1.11: Chuyn tích phân trên ng L v ng Cr Theo hệ quả 1.2 ta có dz dz I . n n  n LC z a r z a it Phương trình tham số của Cr : z a re ; 0 t 2 . Do đó 2 2 idtkhi n 1 rieit 2 i khi n 1 I dt 0 (1.62) n n int 2 r e 1 0 khin 1. 0 ei(1 n ) t dtkhi n 1 n 1 r 0 1.3.3 Nguyên hàm và tích phân bất định Hàm F() z được gọi là một nguyên hàm của hàm biến phức f() z nếu F'( z ) f ( z ). Tương tự như hàm thực, ta có thể chứng minh được rằng nếu F() z là một nguyên hàm của f() z thì F z C (với mọi hằng số C tùy ý) cũng là một nguyên hàm của f() z và mọi nguyên hàm của f() z đều có dạng như thế.
Tập hợp các nguyên hàm của f() z được gọi là tích phân bất định của f() z , ký hiệu f() z dz . Định lý 1.5: Giả sử hàm f() z giải tích trong miền đơn liên D , z0 D , khi đó tích phân dọc theo cung nối điểm z0 đến điểm z không phụ thuộc đường đi nằm trong D. Hàm biến phức xác định như sau z F z f():() z dz f z dz z 0 z0 z là một nguyên hàm của f() z . Trong đó vế phải của đẳng thức trên là tích phân phức được lấy theo đường cong bất kỳ nằm trong D nối z0 đến z . Định lý 1.6 (Công thức Newton - Lepnitz): Giả sử F() z là một nguyên hàm của f() z trong miền đơn liên D . Khi đó, với mọi z0, z 1 D ta có: z 1 z f z dz F z1 F z F z (1.63) 1 0 z0 z0 zn 1 Ví dụ 1.19: ez dz e z C , zn dz C , sinzdz cos z C ; n 1 2 4i z 3 2 4i 8 88 16 z2 dz (1 2 i ) 3 i (xem ví dụ 1.17). 3 3 3 3 0 0 1 Hàm f( z ) z sin( z 2 ) có một nguyên hàm là cos(z 2 ) do đó 2 i 1 i 1 1 zsin( z2 ) dz cos( z 2 ) cos 0 cos( 2 ) 1 cos( 2 ) 20 2 2 0 1.3.4 Công thức tích phân Cauchy Định lý 1.7: Giả sử f() z giải tích trong miền D (có thể đa liên) và khả tích trên biên D . Khi đó, với mọi a D ta có: 1f ( z ) f() a dz (1.64) 2 i  z a D Hoặc f() z dz 2 if ( a ) (1.65)  z a D Chứng minh: Với mọi  0 chọn r đủ bé để đường tròn tâm a bán kính r : CDr  và f()() z f a  với mọi z:| z a | r (điều này có được vì f() z liên tục tại a). Gọi Dr là
D D miền có được bằng cách bỏ đi hình tròn Cr z  z a r từ miền . Biên của r gồm biên D của D và Cr . f z Hàm giải tích trong miền D , áp dụng hệ quả 1.2 ta được z a r 1f () z 1() f z 1 f () z 1() f z dz dz 0 dz dz . 2 iza  2 iza  2 iza  2 iza  DCDCr  r Dr C r a D Hình 1.12: Chuyn tích phân trên biên D v ng Cr Mặt khác, từ (1.62) ta có 1f z 1 f z 1 f a 1 f z f a dz f a dz dz dz 2 iza  2 iza  2 iza  2 iza  DCCCr r r 1f z f a 1  dz  2 r  2  z a 2 r Cr Vì  0 bé tuỳ ý cho trước nên 1f z 1 f z dz f a 0 f a dz . 2 i  z a 2 i  z a DD  Nhận xét 1.2: Công thức (1.64) được gọi là công thức tích phân Cauchy. 1. Công thức tích phân Cauchy nói lên rằng giá trị của hàm giải tích f() z hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó ở trên biên. 2. Công thức (1.64) còn đúng khi f() z giải tích trong miền D và liên tục trong D . 3. Khi f() z giải tích trong D có biên D là đường cong trơn từng khúc, nếu a D thì f z giải tích trong D do đó z a 1f ( z ) dz 0 . 2 i  z a D Kết hợp với công thức (1.65) ta có
f() z 2 if ( a ) nÕu a D  dz (1.66) z a 0 nÕu a D D 1.3.5 Đạo hàm cấp cao của hàm giải tích Định lý 1.8: Hàm f() z giải tích trong D thì có đạo hàm mọi cấp trong D và với mọi a D ta có: n!() f z f()n () a dz (1.67) 2 i  n 1 C z a Hoặc f()() z f()n a dz 2 i (1.68)  n 1 n ! C z a trong đó C là đường cong kín bất kỳ bao quanh a nằm trong D. Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp Ta chứng minh công thức với trường hợp n 1. Áp dụng công thức (1.64) ta có f a z f a f f  1 1 1 1 d d  z2 i  z  a z  a 2 i   a z  a CC 1 1 1 1 Đặt 2d min  a ; cho z d , .  C  ad  a z d f a z f a 1 f  1 zf  M .l d  d   z t z2 i 2 2 22 d 3 CC  a  a z  a rong đó f  M,   C ; đường cong kín C có độ dài là l . 1 f z Cho z 0 ta được f' a dz . 2 i  2 C z a Giả sử công thức đúng đến n 1, ta chứng minh công thức đúng đến n . (n 1) ( n 1) f a z f a (n 1)! f  1 1 d  n n z2 i z ()() a z  a C f  n 1 (n 1)! k n 1 k  ()() a z  a d  2 i ()() a zn  a n C k 0 (n 1) ( n 1) f a z f a n ! f  d  n 1 z2 i () a C
n 1 k n 1 k  ()() a z  a (n 1)! n  f  k 0 d  2 i ()()() a zn  a n  a n 1 C n 1 ()()() a zk  a n k  a z n (n 1)!   f  k 0 d  2 i ()() a zn  a n 1 C n n n n Chọn z dn 2 n d n  a  a z z n n 1 1  a z2n d n z 2 n d n d n 2 d n d n . n n  a z d Do đó n 1  ()()() a zk  a n k  a z n (n 1)!  f  k 0 d  2 i ()() a zn  a n 1 C (n 1)! M n 1    ( a z )k (  a ) n k (  a z ) n d  0 khi z 0. 2 i d2n 1 C k 0 Trong đó M là chặn trên của f() z trên C. Theo nguyên lý quy nạp công thức đúng với mọi n. Nhận xét 1.3: 1. Định lý trên suy ra rằng đạo hàm của một hàm giải tích là một hàm giải tích. 2. Kết hợp định lý 1.5 và định lý 1.8, ta suy ra rằng: điều kiện cần và đủ để hàm đơn trị có nguyên hàm trong miền D là giải tích trong D. 3. Tương tự công thức (1.66) ta có công thức tương ứng với (1.68) ()n f() a f z 2 i nÕu a D dz n ! (1.69)  n 1 D ()z a 0 nÕu a D cos z Ví dụ 1.20: Tính tích phân I dz , trong đó C là đường tròn: z 1 3 .  2 C z 1 z 1 Giải: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có thể phân tích thành tổng các phân z 1 z 2 1 1 1 1 thức hữu tỷ tối giản . z 1 z2z z 2 z 1
cos z cos z cos z cos z Do đó I dz dz dz dz . 2 z  2  z 1 CCCC z 1 z z Các điểm z 0 và z 1 đều nằm trong hình tròn giới hạn bởi C. Áp dụng công thức (1.66) và (1.69) ta có: I 2cos i zz 0 2cos i z ' z 0 2cos i z z 1 4 i . 1.3.6 Bất đẳng thức Cauchy và định lý Louville Từ công thức (1.69) suy ra rằng, nếu đường tròn CR : z a R nằm trong D và f() z M với mọi z CR thì n!f z n ! M 2 R f()n a  dz  2 n 1 2 R n 1 CR z a n! M hay f()n a ; n 0, 1, (1.70) Rn Bất đẳng thức (1.70) được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Định lý 1.9 (định lý Louville): Nếu f() z giải tích trong toàn mặt phẳng và bị chặn thì nó là một hàm hằng. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại M 0 sao cho f() z M với mọi z . Áp dụng bất M đẳng thức Cauchy (1.70) với n 1, ta được f' a với mọi R 0 suy ra f' a 0 R với mọi a  . Áp dụng công thức Newton - Leibniz, ta có z fzfz fzdz 0 fz fz ,  z . 0 0 z0 Nhận xét 1.4: Hai hàm lượng giác phức cosz và sinz giải tích tại mọi điểm và không phải hàm hằng do đó không bị chặn. 1.4 CHUỖI BIẾN SỐ PHỨC 1.4.1 Chuỗi số phức Cho dãy số phức u , tổng u được gọi là một chuỗi số phức có số hạng tổng n n 0  n n 0 quát thứ n 1 là un . Tổng Sn u0 u 1  u n được gọi là tổng riêng thứ n 1 của chuỗi trên.
Nếu dãy các tổng riêng S có giới hạn hữu hạn là S  thì ta nói chuỗi u n n 0  n n 0 hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi, ký hiệu S  un . n 0 Trong trường hợp ngược lại, dãy S không có giới hạn hoặc có giới hạn bằng n n 0 thì ta nói chuỗi phân kỳ. Tương tự sự hội tụ của dãy số phức (công thức 1.32), mỗi chuỗi số phức  un hội tụ n 0 khi và chỉ khi hai chuỗi số thực tương ứng an,  b n hội tu; trong đó un a n ib n . n 0 n 0 Đồng thời ta có đẳng thức ()an ib n  a n i  b n ; an, b n  (1.71) n 0 n 0 n 0 Với nhận xét này, ta có thể áp dụng các kết quả đã biết đối với chuỗi số thực cho các chuỗi số phức. Chẳng hạn:  Điều kiện cần để chuỗi u hội tụ là limu 0.  n n n n 0 Thật vậy, Chuỗi  un hội tụ suy ra hai chuỗi số thực tương ứng an,  b n hội tụ. n 0 n 0 n 0 Theo điều kiện cần hội tụ của chuỗi số thực ta có lima 0 và limb 0 , do đó n n n n limu 0. n n  Nếu chuỗi các môđun  un hội tụ thì chuỗi  un cũng hội tụ. n 0 n 0 Khi đó ta nói chuỗi  un hội tụ tuyệt đối. n 0 Vì an u n và bn u n , do đó từ chuỗi  un hội tụ suy ra hai chuỗi số dương  an , n 0 n 0  bn hội tụ. Theo tính chất hội tụ tuyệt đối của chuỗi số thực ta cũng có an,  b n hội n 0 n 0 n 0 tụ, do đó chuỗi  un cũng hội tụ. n 0
 Nếu chuỗi  un hội tụ nhưng chuỗi các môđun  un không hội tụ thì ta nói chuỗi n 0 n 0 bán hội tụ. 1.4.2 Chuỗi luỹ thừa Chuỗi có dạng n cn () z a (1.72) n 0 trong đó cn, a là các hằng số phức và z là biến số phức, được gọi là chuỗi luỹ thừa tâm a . Rõ ràng rằng mọi chuỗi luỹ thừa tâm a bất kỳ có thể đưa về chuỗi luỹ thừa tâm 0 bằng cách đặt Z z a . n  cn Z (1.73) n 0 Ví dụ 1.21: Xét chuỗi luỹ thừa cấp số nhân  z n . n 0 Tổng riêng thứ n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: 1 zn nÕu z 1 S 1 z z2  zn 1 n 1 z n nÕu z 1 Nếu z 1 thì z n 1 với mọi n , dó đó zn không thể tiến đến 0 khi n , và khi z 1 thì zn tiến đến 0 khi n . Vậy 1 n khiz 1 z 1 z (1.74)  n 0 ph©n kú khiz 1 Ví dụ 1.22: Với mọi r 1, chứng minh rằng 2 2 1 r2ncos n r 2 n sin n .   2 4 n 0 n 0 1 2r cos r Giải: Xét Z  rnirn2ncos  2 n sin  rnin 2 n (cos sin )  re 2 n in n 0 n 0 n 0 n 0 Đặt z r2 ei , vì r 1 do đó z 1. Áp dụng công thức (1.74) ta được 1 Z . 1 r2 ei 1 1 1 1 ZZ   1 r2 ei 1 r 2 e i 1 r 2 e i 1 r 2 e i
1 1 , 1 r2 ( ei e i ) r 4 1 2 r 2 cos r 4 2 2 2 ZZ Z r2ncos n r 2 n sin n Mặt khác   . n 0 n 0 2 2 1 Vậy r2ncos n r 2 n sin n .   2 4 n 0 n 0 1 2r cos r Định lý 1.10 (định lý Abel): 1. Nếu chuỗi (1.73) hội tụ tại z0 0 thì hội tụ tuyệt đối trong hình tròn z: z z0  . 2. Từ đó suy ra rằng nếu chuỗi (1.73) phân kỳ tại z1 thì phân kỳ tại mọi điểm z: z z1 . Chứng minh: Chuỗi c zn hội tụ suy ra limc z n 0 , vì vậy tồn tại M 0 sao cho  n 0 n n 0 n 0 n cn z0 M, n 0, 1, 2, Do đó n n z n n z cn z c n z0 M  zn n 0 z0 n z Chuỗi M  hội tụ khi z z .  n 0 n 0 z0 n Suy ra chuỗi cn z hội tụ tuyệt đối khi z z0 , n 0 Từ định lý trên ta thấy rằng với chuỗi (1.73) sẽ có ba khả năng sau: 1) Không tồn tại z0 0 để chuỗi (1.73) hội tụ tại z0 , trường hợp này chuỗi (1.73) chỉ hội tụ tại z 0. Ta đặt R 0 . (75) 2) Không tồn tại z1 để chuỗi (1.73) phân kỳ tại z1 , trường hợp này chuỗi (1.73) hội tụ tại mọi z . Ta đặt R . (1.76) 3) Tồn tại z0 0 để chuỗi (1.73) hội tụ tại z0 và tồn tại z1 để chuỗi (1.64) phân kỳ tại z1 . Theo định lý 1.10 ta suy ra rằng chuỗi (1.73) hội tụ khi z z0 R 0 , phân kỳ khi z z1 R 1 . Trong hình vành khăn z: R0 z R 1 , chuỗi (1.73) có thể hội tụ hoặc phân kỳ.  Nếu RR0 1 thì ta đặt RRR 0 1 . z0 R0 R1 z1
RR  Nếu RR , ta xét z 0 1 R 0 1 22 2 . Nếu chuỗi (1.73) hội tụ tại z2 , ta z2 xem đóng vai trò như z0 . . Nếu chuỗi (1.73) phân kỳ tại z2 , ta z2 xem đóng vai trò như z1 . Trong cả hai trường hợp thì ta đã thu hẹp hình vành khăn mà trong đó ta chưa biết chuỗi (1.73) hội tụ hay phân kỳ xuống còn một nửa. Tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta tìm được số R sao cho: Chuỗi (1.73) hội tụ khi z R, phân kỳ khi z R . (1.77) Số R xác định theo công thức (1.75) hoặc (1.76) hoặc (1.77) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.73). Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn để tìm bán kính hội tụ R . Định lý 1.11: Nếu c lim n 1 (tiêu chuẩn D'Alembert) n cn hoặc lim n c (tiêu chuẩn Cauchy) n n thì 0 nÕ u 1 R nÕ u 0 (1.78) nÕ u 0 là bán kính hội tụ của chuỗi (1.73). Nhận xét 1.5: Giả sử chuỗi (1.73) có bán kính hội tụ là R 0 : 1. Có thể chứng minh được chuỗi (1.73) hội tụ đều trong mọi hình tròn z R1 , với R1 bất kỳ thỏa mãn RR1 . 2. Tại các điểm trên đường tròn z R chuỗi (1.73) có thể hội tụ hay phân kỳ. 3. Như vậy để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa tâm a bất kỳ dạng (1.72) ta thực hiện các bước sau: Đổi biến Z z a để đưa về chuỗi lũy thừa tâm 0 dạng (1.73), Tìm bán kính hội tụ R theo công thức (1.78), Xét sự hội tụ khi ZR , và từ đó suy ra miền hội tụ.
n z i Ví dụ 1.23: Tìm miền hội tụ của chuỗi ; b 1 .  n n 0 b n Z n Giải: Đặt Z z i , ta được chuỗi là chuỗi lũy thừa tâm 0 có dạng (1.73).  n n 0 b n 1 n n n b 1 n 1 n n 1 cn 1 b ( n 1) b n b n b . n 1 c1b ( n 1) n n 1 n 1 n b b b bn n bn b n c 1 Do đó lim n 1 . Vậy bán kính hội tụ R b . n b cn n ZnZ b n Z n Khi Z b thì  1, do đó không thể hội tụ bn n b n n b n n n bn n về 0 khi n . Vậy chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi cần tìm là hình tròn mở tâm i bán kính b : z i b . Định lý 1.12: Giả sử chuỗi (1.72) có bán kính hội tụ R . Khi đó tổng của chuỗi n f z  cn () z a n 0 là một hàm giải tích trong hình tròn hội tụ z a R , có đạo hàm f () z nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ' f ()()() z c z an nc z a n 1 (1.79) n  n n 0 n 1 và một nguyên hàm được xác định bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi z z c F z f() z dz ; F()()() z c z an dz n z a n 1 . (1.80)  n  n 1 a n 0a n 0 f' z , F z cũng có bán kính hội tụ là R . Định lý được chứng minh tương tự trường hợp chuỗi lũy thừa biến số thực trong Giải tích 1.
1.4.3 Chuỗi Taylor, Chuỗi Mac Laurin 1.4.3.1 Khái niệm và tính chất n Giả sử chuỗi luỹ thừa tổng quát  cn z a có bán kính hội tụ R , theo định lý n 0 n 1.12 ta có hàm tổng f z  cn z a giải tích trong hình tròn hội tụ z a R . n 0 Lấy lần lượt đạo hàm các cấp của hàm tổng theo công thức (1.79) ta được n 1 f z c1 2 c 2 z a  ncn z a  n 2 fz 2 c2 3  2 cza 3  nncza ( 1) n  ()n f z n! cn ( n 1)! c n 1 z a  Thay z a ta được: f a f()n a c f a , c f a , c , , c , (1.81) 0 1 2 2!n n ! Thay vào chuỗi (1.72) ta được f()n a f z  () z a n (1.82) n 0 n ! Chuỗi (1.82) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f() z tại a . Chuỗi Taylor tại điểm a 0 được gọi là chuỗi Mac Laurin. f ()n (0) f z  z n (1.83) n 0 n ! Định lý 1.13: 1. Chuỗi luỹ thừa bất kỳ là chuỗi Taylor của hàm tổng của nó trong hình tròn hội tụ. 2. Ngược lại, mọi hàm f() z giải tích tại a có thể được khai triển thành chuỗi Taylor trong lân cận z a R . Bán kính hội tụ R là số thực dương lớn nhất sao cho f() z giải tích trong lân cận z a R . Chứng minh: Phần 1 của định lý được suy ra từ định lý 1.12 và công thức (1.81). Để chứng minh phần 2 của định lý ta giả sử hàm f() z giải tích trong hình tròn tâm a bán kính R : BR z  z a R. Với bất kỳ z BR , chọn R1 sao cho: z a R1 R (xem hình 1.13). Ký hiệu C là đường tròn tâm a bán kính R . R1 1
Áp dụng công thức tích phân Cauchy (1.64) cho hàm f() z tại điểm z nằm trong đường 1f ( ) C f() z d tròn R , ta có  . 1 2 i  z C R1 Mặt khác R 1 1 R 1 a  z()()  a z a BR z CR 1 1 z a ( a ) 1  a Hình 1.13 n n 1 z a z a () a  a  n 1 n 0 n 0  a n z a z a z a Vì 1 đều với mọi  CR do đó chuỗi lũy thừa  hội tụ  a R 1 n 1 1 n 0  a đều với mọi  C . Vì vậy có thể chuyển dấu tích phân vào trong dấu tổng của chuỗi, đồng R1 thời sử dụng công thức (1.69) ta được: n 1 z a 1 f  n f z f  d  d  z a 2 i  n 1  2 i  n 1 CC n 0 a n 0  a RR1 1 f()n () a n  z a . n 0 n ! Nhận xét 1.6: 1. Nếu hàm f() z giải tích tại a thì hàm có thể khai triển duy nhất thành chuỗi luỹ thừa tâm a , đó chính là chuỗi Taylor của f() z tại a . Vì vậy, nếu có thể bằng một phương pháp ()n n f() a khác, ta có khai triển f()() z  cn z a thì cn . n 0 n ! 2. Chuỗi Mac Laurin là chuỗi lũy thừa tâm 0. 1 Ví dụ 1.24: Khai triển hàm f() z thành chuỗi Mac Laurin. z 1 z 2 Giải: Rõ ràng rằng hàm f() z không giải tích tại 1 và 2, vì vậy hàm số khai triển được thành chuỗi Mac Laurin trong hình tròn z 1. 1 1 1 1 dn 1 ( 1) n n ! Ta có f() z và z 1 z 2 3 z 1 z 2 dzn z a () z a n 1
()n n f (0) ( 1) 1 1 1 1 Do đó 1 . n ! 3 (z 1)n 1 ( z 2) n 1 3 ( 2) n 1 z 0 Vậy hàm f() z có chuỗi Mac Laurin 1 1 1 f( z ) 1 zn .  n 1 z 1 z 2 n 0 3 ( 2) Mặt khác ta cũng có thể khai triển hàm f() z thành tổng của chuỗi lũy thừa tâm 0 bằng cách sử dụng hàm tổng của chuỗi cấp số nhân (1.74): Nếu z 1 thì: y 1 1 . zn  z n 1 zn 0 z 1 n 0 z . z 1 1 2 O 1 x 2 1 1 do đó z 2 z 2 1 Hình 1.14 2 n 1 z z n ( 1)n ( 1) n .   n 1 2n 0 2 n 0 2 n 1 1 1 1 n nz 1 1 n Vậy f( z ) z ( 1) 1 z .  n 1  n 1 3 z 1 z 2 3 n 0 n 02 3 n 0 ( 2) 1.4.3.2 Khai triển thành chuỗi Mac Laurin của các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm mũ f() z ez Với mọi n, f()()n z e z f n 0 1 . Vậy z z2 zn z n ez 1    (1.84) 1! 2!n !n 0 n ! Hàm mũ giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R . b. Hàm f( z ) sin z k k k eiz e iz 1 iz iz 1 iz sinz 1 ( 1)k 2i 2 i  k !  k ! 2 i  k ! k 0 k 0 k 0 z 2n 1 sinz  ( 1)n . (1.85) n 0 (2n 1)!
c. Hàm f( z ) cos z ' (2n 1) z2n 1 z 2 n cosz sin z  (1) n  (1) n . (1.86) n 0(2n 1)! n 0 (2 n )! Hàm sin, cosin giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R . d. Hàm f( z ) sinh z k k k ez e z 1 z z 1 z sinhz 1 ( 1)k 2 2 k !  k ! 2  k ! k 0 k 0 k 0 z 2n 1 sinhz  . (1.87) n 0 (2n 1)! Hàm giải tích tại mọi điểm nên bán kính hội tụ của chuỗi là R . Tương tự z 2n cosh z  . (1.88) n 0 (2n )! 1 e. Hàm f() z z 1 1 1  ( 1)nz n . z 1 1 ( z ) n 0 Bán kính hội tụ của chuỗi là R 1 vì hàm số không giải tích tại 1. f. Nhánh chính của hàm lôgarit và hàm lũy thừa 1 Vì hàm ln(1 z ) là một nguyên hàm của nên z 1 zn 1 ln(1 z )  ( 1)n . (1.89) n 0 n 1 Bán kính hội tụ của chuỗi là R 1 . Hàm lũy thừa m  : m mz m( m 1) m ( m 1) ( m n 1) 1 z 1 z2  zn  (1.90) 1! 2!n ! Bán kính hội tụ của chuỗi là R 1. Đặc biệt: 1 1 3 1 3 5 1    1 2 2 2 2 2 1 z 2 1 2 z z2 z 3  1 z 1! 2! 3!
( 1)n (2n 1)!! ( 1) n (2 n )! zn  z n . 2nn ! 22 n ( n !) 2 n 0 n 0 Định nghĩa 1.7: Điểm a được gọi là không điểm của hàm giải tích f() z nếu f( a ) 0 . Khai triển Taylor của f() z tại không điểm a có dạng n n 1 k f()k () a k fzczacza() n n 1   cza k  za . k n k n k ! f()n a Số tự nhiên n bé nhất sao cho c 0 thì được gọi là cấp của không điểm a . n n ! Nếu n là cấp của không điểm a thì n f z z a  z , với  a cn 0. (1.91)  z là tổng của một chuỗi luỹ thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi Taylor của f() z tại a nên giải tích trong lân cận của a . Định lý 1.14: Giả sử f() z giải tích tại a và không đồng nhất bằng 0 trong bất kỳ lân cận nào của a , khi đó nếu a là không điểm của f() z thì tồn tại một lân cận của a sao cho trong lân cận này không có một không điểm nào khác. Chứng minh: Vì a là không điểm của f() z nên có thể biểu diễn dưới dạng (1.91) trong đó hàm giải tích  z thỏa mãn  a 0. Vì vậy tồn tại một lân cận của a để trong lân cận này  z 0 , do đó f() z cũng khác 0. Hệ quả 1.3: Nếu f() z giải tích tại a và tồn tại dãy không điểm a , a a , có giới n n 0 n hạn là a khi n thì f() z đồng nhất bằng 0 trong một lân cận nào đó của a . Định lý 1.15 (định lý về tính duy nhất): Nếu f( z ), g ( z ) là hai hàm giải tích trong miền D và trùng nhau trên một dãy a , a a , hội tụ về a trong D thì f( z ) g ( z ),  z D . n n 0 n 1.4.4 Chuỗi Laurent và điểm bất thường Có thể xảy ra trường hợp hàm f() z không giải tích tại a nhưng giải tích trong một lân cận của a bỏ đi điểm a : 0 z a R hoặc giải tích trong hình vành khăn r z a R . Trong trường hợp này hàm f() z không thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa (chuỗi Taylor) tại a . Tuy nhiên, có thể khai triển được dưới dạng chuỗi Laurent tại a như sau.
1.4.4.1 Chuỗi Laurent Định nghĩa 1.8: Giả sử hàm f() z giải tích trong hình vành khăn K z: r z a R; 0 r R . Khi đó chuỗi sau được gọi là chuỗi Laurent của hàm f() z tại a, n 1 f z c z a , với c dz (1.92)  n n 2 i  n 1 n C z a trong đó C là đường cong kín bất kỳ nằm trong hình vành khăn K bao quanh a (xem hình 1.15). n Tổng f1 z  cn z a được gọi là phần đều n 0 c và f z n được gọi là phần chính của chuỗi Laurent (1.92). 2  n n 1 z a Định lý 1.16 (định lý tồn tại và duy nhất của chuỗi Laurent): 1. Mọi hàm f() z giải tích trong hình vành khăn K : r z a R đều có thể khai triển thành chuỗi Laurent (1.92). n 2. Ngược lại, chuỗi bất kỳ có dạng  cn z a hội tụ trong hình vành khăn K : n r z a R ; 0 r R có hàm tổng là f() z thì chuỗi này là chuỗi Laurent của hàm tổng f() z trong hình vành khăn K . Chứng minh: r r1 a C R1 R Hình 1.15 1. Với mọi z0 K : r z0 a R do đó tồn tại r1, R 1 sao cho r r1 z 0 a R 1 R . Gọi là K1 hình vành khăn: r1 z 0 a R 1 thì f() z cũng giải tích trong K1 . Áp dụng hệ quả 1.2 và công thức (1.66) đối với hàm f() z tại z0 K 1 ta có
1f z 1 f z f z dz dz 0 2 i  z z 2 i  z z CC0 0 R1 r 1 trong đó CC, lần lượt là đường tròn tâm a bán kính R, r . R1 r 1 1 1 1 f z . Xét hàm f z dz , tương tự cách chứng minh định lý 1.13 ta có 1 0 2 i  z z C 0 R1 n z a f z 1 0 1 n f z f z dz dz z a 1 02 i  n 1  2 i  n 1 0 CC n 0z a n 0 z a RR1 1 1 f z n Đặt c dz thì f z c z a . n 2 i  n 1 1 0 n 0 C z a n 0 R1 1 f z . Xét hàm f z dz , tương tự chứng minh định lý 1.13 ta xét 2 0 2 i  z z C 0 r1 n n 1 1 1 1 z a z a . n 1  n z z0()() z 0 a z a z a n 0 n 1 (z a ) 1 z0 a z 0 a 0 z0 a n 1 z a z a r1 Vì 1 đều với mọi z Cr , do đó chuỗi lũy thừa  hội tụ z a 1 n 0 z0 a n 1 z0 a đều với mọi z C . Vì vậy có thể chuyển dấu tích phân vào trong dấu tổng của chuỗi: r1 n 1 z a 1 1n 1 1 f z f z dz f z z a dz 2 0 2 i  n  2 i  n CC n 1z a n 1 z a r1 0 r 1 0 1 n 1 Đặt c f z z a dz thì n 2 i  C r1 c n f z n c z a . 2 0 n  n 0 n 1 n 1 z0 a Thay chỉ số n mà n chạy qua 1, 2, 3, bởi chỉ số n chạy qua 1, 2, 3, trong công thức trên, cuối cùng ta được. n fz 0 fzfz 1 0 2 0  czan 0 ,  zK 0 . n
Với đường cong C bất kỳ bao quanh a nằm trong hình vành khăn K , ta có thể chọn r1, R 1 thỏa mãn r r1 R 1 R sao cho đường cong kín C cũng vẫn nằm hoàn toàn trong K1 . Lúc đó: 1f z 1 f z c dz dz với mọi n 0 , n 2 i n 1 2 i  n 1 CCz a z a R1 1f z 1 f z c dz dz với mọi n 0. n 2 i n 1 2 i  n 1 CCz a z a r1 n 2. Ngược lại, giả sử chuỗi f() z  cn z a hội tụ trong hình vành khăn K : n 0 r z a R . Với mỗi z K , chọn r1 R 1 thích hợp sao cho r1 z a R 1 , khi đó chuỗi hội tụ đều trong K1 : r1 z a R 1 . Chọn đường cong kín C nằm hoàn toàn trong K1 bao quanh điểm a . Áp dụng công thức (1.62) ta có k 1f z 1 c z a dz k dz c . 2 i n 1 2 i  n 1 n CC z a k z a n Như vậy chuỗi  cn z a là chuỗi Laurent của hàm tổng f() z . n Nhận xét 1.7: f()n a 1) Các hệ số c trong (1.92) không bằng vì f() z không giải tích tại a . n n ! 2) Hình vành khăn K : r z a R với 0 r R có các trường hợp riêng: . Khi r 0 thì K là hình tròn mở tâm a bán kính R bỏ đi điểm a : 0 z a R . . Khi R thì K là miền ngoài của hình tròn tâm a bán kính r : z a r . 3) Hình vành khăn K trong định lý 1.16 là hình vành khăn tâm a lớn nhất mà f() z giải tích trong hình vành khăn này. Vì vậy trên CR và Cr có ít nhất một điểm mà f() z không giải tích tại đó. 4) Từ tính duy nhất của chuỗi Laurent suy ra rằng nếu hàm f() z giải tích trong hình vành n khăn K : r z a R và chuỗi  cn z a có tổng là f() z thì chuỗi này là chuỗi n Laurent của hàm f() z .
5) Sử dụng tính chất tồn tại và duy nhất của chuỗi Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z ở mục 1.6. 1 Ví dụ 1.25: Khai triển hàm f() z thành chuỗi Laurent có tâm tại z 1. z 1 z 2 Giải: Rõ ràng rằng hàm f() z không giải tích tại 1 và 2. Vì vậy, khi khai triển theo chuỗi Laurent tâm tại 1 thì chỉ khai triển được trong hai miền: 0 z 1 1 hoặc z 1 1 y L2 L1  1 O 1 2 x  2 Hình 1.16 a. Khai triển Laurent trong miền 0 z 1 1: 1 1 Chọn đường cong kín L bao quanh 1 nằm trong miền này: c z 2 dz . 1 n 2 i  n 2 L1 z 1 . n 2 0 cn 0 (theo định lý 1.4). 1 1 1 . z 2 (theo công thức 1.58). n 1 c 1  dz 1 2 i z 1 z 2 z 1 L1 (n 1) 1 1 1 ( 1)n 1 (n 1)! . n 0 c 1 n n 2 (n 1)! z 2 z 1 ( n 1)! ( 1) (xem công thức 1.68) n n Vậy f z  cn z 1  z 1 . n n 1 b. Khai triển Laurent trong miền z 1 1: Chọn đường cong kín L2 bao quanh 1 nằm trong miền này. 1 1 c dz . n 2 i  n 2 L2 z 2 z 1
Chọn 1,  2 lần lượt là 2 đường cong kín nằm trong L2 bao quanh 1 và 2. Áp dụng công thức (1.61) hệ quả 1.2 của định lý 1.4 ta có: 1 1 n 2 1 1 1 z 2 1 z 1 c dz dz dz n    2 in 2 2 i n 2 2 i z 2 L2 z 2 z 1  1 z 1  2 Áp dụng công thức (1.69) ta được 1 0nÕu n 2 z 2 (n 1) 1 0nÕu n 2 dz 1 1 2 i  n 2 nÕu n 1 1nÕu n 1  z 1 1 (n 1)! z 2 z 1 1 n 2 1 z 1 1  dz 1, với mọi n . 2 i z 2 n 2 2 z 1 z 2 1nÕu n 2 n 1 Vậy c f z c z 1 . n 0nÕu n 1 n  n n n 2 z 1 Ta cũng có thể khai triển Laurent của hàm f() z cách phân tích thành tổng của các phân thức hữu tỉ tối giản 1 1 1 f z . (z 1)( z 2) z 2 z 1 . Trong miền 0 z 1 1 1 1 1 1 (z 1)n f ( z )  ( z 1) n . z 2 1 ( z 1)n 0 z 2 z 1 n 1 1 . Trong miền z 1 1 1 z 1 1 1 1 1 1 1 n  n 1  n z 2 1 z 1 n 0(z 1) n 0 ( z 1) n 1 ( z 1) (z 1) 1 z 1 1 1 1 f() z . n  n n 1(z 1)z 1 n 2 ( z 1)
1.4.4.2 Điểm bất thường cô lập Định nghĩa 1.9: Nếu hàm f() z giải tích trong hình vành khăn 0 z a R và không giải tích tại a thì a được gọi là điểm bất thường cô lập hay kỳ dị cô lập của hàm f() z . Theo định lý 1.16 ta có thể khai triển hàm giải tích trong hình vành khăn ứng với điểm bất thường cô lập thành chuỗi Laurent. Có ba trường hợp xảy ra: a. Nếu chuỗi Laurent của hàm chỉ có phần đều, nghĩa là 2 f z c0 c 1 z a c 2 z a  do đó tồn tại lim f z c . z a 0 Đặt f a c0 thì f() z giải tích trong hình tròn z a R . Điểm a được gọi là điểm bất thường bỏ được. b. Nếu phần chính chỉ có một số hữu hạn các số hạng, nghĩa là c c 2 f z n  1 c c z a c z a  n 0 1 2 z a z a trong đó c n 0 thì a được gọi là cực điểm và n được gọi là cấp của cực điểm. Cực điểm cấp 1 được gọi là cực điểm đơn. c. Nếu phần chính có vô số số hạng thì a được gọi là điểm bất thường cốt yếu. Người ta còn chứng minh được rằng điểm bất thường cô lập a là:  bỏ được khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn limf ( z )  . z a  cực điểm khi và chỉ khi tồn tại giới hạn là vô cùng limf ( z ) . z a  cốt yếu khi và chỉ khi không tồn tại limf ( z ) . z a Ví dụ 1.26: z3 z 5 z 7 sinz z2 z 4 z 6 . sin z z  1  3! 5! 7! z 3! 5! 7 ! sin z Vậy z 0 là điểm bất thường bỏ được của hàm số . z 1 . Hàm f z trong ví dụ 1.25 có z 1 là cực điểm cấp 1. z 1 z 2 1 1 1 1 . Hàm ez 1   có z 0 là điểm bất thường cốt yếu. z 2!z2 n ! zn Định lý 1.17: Giả sử hai hàm f( z ), g ( z ) giải tích tại a và a là không điểm lần lượt cấp n, m f() z của f() z và g() z . Khi đó a là điểm bất thường của : g() z
. bỏ được nếu n m . cực điểm cấp m n nếu n m . 1.5 THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG 1.5.1 Định nghĩa thặng dư Giả sử f() z giải tích trong hình vành khăn K z0 z a R có a là điểm bất thường cô lập. Từ hệ quả 1.2 ta suy ra rằng tích phân lấy theo mọi đường cong kín C bất kỳ bao điểm a nằm trong hình vành khăn K là một số phức không phụ thuộc vào đường C . Ta gọi số phức này là thặng dư của f() z tại a , ký hiệu 1 Resf z ; a f z dz (1.93) 2 i  C 1.5.2 Cách tính thặng dư a. Từ công thức khai triển Laurent của hàm trong hình vành khăn K: 0 z a R (công thức (1.92)), ta có Resf z ; a c (1.94) 1 1 trong đó c là hệ số của số hạng ứng với trong khai triển Laurent của hàm f() z . 1 z a 1 Chẳng hạn, từ ví dụ 24 ta có Res ;1 1 z 1 z 2 b. Thặng dư tại cực điểm đơn Nếu a là cực điểm đơn của f() z thì Resf z ; a lim z a f z (1.95) z a c Thật vậy, khai triển Laurent của f() z tại a có dạng f z 1 f z , trong đó z a 1 f1 z là phần đều của khai triển. Nhân hai vế cho z a và lấy giới hạn khi z a , ta được: lim z a f z c lim z a f z c . z a 1 z a 1 1 z Đặc biệt, nếu f z thỏa mãn điều kiện  a 0,  a 0,  ' a 0 thì  z z a Res ;a (1.96) z  ' a
()()()()z z z a Thật vậy Res ;a lim z a lim . ()z z a  () z z a  ()() z  a  '() a ()z a 1 1 Ví dụ 1.27: Res ; 2 lim 1; (z 1)( z 2) z 2 z 1 cosz z 3 z 3 i 3 1 3 i Res cotz ;0 1; Res ; i . z2 1 ( z 2 1) 2i 2 sinz z i z 0 c. Thặng dư tại cực điểm cấp m Giả sử a là cực điểm cấp m của f() z thì m 1 1 d m Res();f z a lim ( z a )() f z (1.97) (m 1)! z a dzm 1 c m c 1 Thật vậy, khai triển Laurent của f() z tại a có dạng f z  f1 z , ()z a m z a trong đó f1 z là phần đều của khai triển. Nhân hai vế cho ()z a m ta được m m 1 m ()()()()()zafzc m  cza 1 zafz 1 . Lấy đạo hàm liên tiếp đến cấp m 1 và lấy giới hạn khi z a , ta được: m 1 m 1 d m d m lim (zafzmc ) ( ) ( 1)! lim ( zafzmc ) ( ) ( 1)! . z adzm 1 1 z a dz m 1 1 1 1 1 1 Ví dụ 1.28: Res ;0 lim , 3 z 0 3 z( z 2) ( z 2) 8 1 1d2 1 1 2 1 Res ; 2 lim lim . 3 z 2 2 z 2 3 z( z 2) 2! dz z 2! z 8 1.5.3 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 1.5.3.1 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư để tính tích phân phức Định lý 1.18: Cho miền đóng D có biên là D . Giả sử f() z giải tích trong D , ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập a1, , an D . Khi đó n f( z ) dz 2 i Res f ( z ); a (1.98)   k D k 1 a 2 C D a1 2 a Cn C1 n
Chứng minh: Gọi CC1, , n là các đường tròn tâm a1, , an có bán kính đủ bé nằm trong D . Gọi D ' là miền D bỏ đi hình tròn có các biên tương ứng là các đường tròn CC1, , n . Biên của D ' là D và CC1, , n . Áp dụng hệ quả 1.2 cho hàm f() z giải tích trong D ' ta có n n fzdz() fzdz () 2 i Res(); fza .    k k 1 k 1 DCk ez Ví dụ 1.29: Tính tích phân I , trong đó  2 C (z 1)( z 3) 3 a. C là đường tròn: z . 2 b. C là đường tròn: z 10. ez Giải: Hàm có z 1 là cực điểm đơn và z 3 cực điểm kép. (z 1)( z 3)2 ez e z e Res ;1 lim , 2 2 (z 1)( z 3) z 1 ( z 3) 16 ez 1 d e z 1 1 5 e 3 Res ; 3 lim lim ez . 2 2 (z 1)( z 3) 1!z 3dz z 1 z 3 z 1 ( z 1) 16 3 a. Khi C là đường tròn z thì trong C hàm đã cho chỉ có một cực điểm z 1. 2 e e i Vậy I 2 i . 16 8 b. Khi C là đường tròn. z 10 thì trong C hàm đã cho có hai cực điểm z 1 và z 3. 4 3 i e 5 e5 e Do đó I 2 i . 3 16 16 8e 1.5.3.2 Ứng dụng của lý thuyết thặng dư để tính tích phân thực
Bổ đề 1.1: Giả sử hàm f() z giải tích trong nửa mặt phẳng Imz 0 , trừ ra tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập a1, , an và thoả mãn: limzf ( z ) 0 (1.99) Imz 0; z Khi đó limf ( z ) dz 0, trong đó C z  z R, Im z 0 (xem hình 1.18). R R  CR Chứng minh: Điều kiện (1.99) suy ra: với mọi  0 tồn tại N 0 sao cho với mọi RN z: z R , Im z 0 thì zf() z . Có thể chọn N 0 đủ lớn sao cho các điểm bất thường cô lập ak thỏa mãn ak N , do đó với mọi , f() z giải tích nửa trên đường tròn it . Vì vậy RN CR : z Re , 0 t fzdz() fRe it iRedt it fRe it iRedt it  dt  CR 0 0 0 (hoặc xem công thức 1.59). Điều này chứng tỏ limf z dz 0 . R CR P() x A. Tính tích phân có dạng I dx , trong đó P( x ), Q ( x ) là hai đa thức thực. Q() x Định lý 1.19: Giả sử P( z ), Q ( z ) là hai đa thức hệ số thực biến phức, bậc của Q() z lớn hơn bậc của P() z ít nhất là hai. Nếu Q( x ) 0,  x  và a1, , an là các cực điểm nằm trong P() z nửa mặt phẳng Imz 0 của phân thức R() z . Khi đó Q() z n R( x ) dx 2 i Res R ( z ); a (1.100)  k k 1 y Chứng minh: CR a 2 a1 a n R O R x Hình 1.18: Các im bt thng cô lp trong na trên ca hình tròn Chọn R 0 đủ lớn sao cho các cực điểm a1, , an đều ở trong nửa trên đường tròn tâm O bán kính R . Gọi CR là nửa trên của đường tròn này nằm trong nửa mặt phẳng Imz 0 . Áp dụng công thức (1.98) của định lý 1.18 ta có đẳng thức sau đúng với mọi R 0 đủ lớn:
R n Rxdx() Rzdz () 2 i Res(); Rza .  k k 1 RCR Tích phân thứ nhất ở vế trái hội tụ. Theo bổ đề 1.1 tích phân thứ hai có giới hạn bằng 0 khi R vì thỏa mãn điều kiện (1.99). Vế phải không đổi khi R đủ lớn. Do đó khi cho R ta được n R( x ) dx 2 i Res R ( z ); a .  k k 1 dx Ví dụ 1.30: Tính tích phân I . 2 2 0 (x 1) 1 1 Giải: Hàm R z có cực điểm kép z i nằm trong nửa mặt (z2 1) 2 ( z i ) 2 ( z i ) 2 phẳng Imz 0 . Vậy 1dx 1 1 d 1 2 I 2 i Res ; i i lim i . 2 2 2 2 2 2 z i dz 2 3 4 (1)x (1) z () z i (2) i B. Tính tích phân có dạng R( x )cos  xdx , R( x )sin  xdx Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân R() x ei x dx . Bổ đề 1.2: Giả sử hàm f() z giải tích trong nửa mặt phẳng Imz 0 , ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập và thoả mãn: M f z ,  z CR ; k 0, M là hằng số (1.101) Rk thì limei z f z dz 0 , với mọi  0 , R CR trong đó CR z  z R, Im z 0 . it Chứng minh: Với mọi z CR , đặt z R e i Reit ei z fzdz e fRe it Riedt it CR 0 /2 i Reit MM  Rsin t2  R sin t efzdzi z e fReRiedt it it e dt e dt RRk 1 k 1 CR 0 0 0
t Vì sint khi 0 t , do đó 2 /2 /2 Rt 2MMM Rsin t 2 e dt e dt 1 e R  0 . k 1 k 1 k R RRR0 0  P() z Định lý 1.20: Giải sử R() z là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau: Q() z 1. R() z giải tích trong nửa mặt phẳng Imz 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm a1, , an . i x 2. R() z có thể có m cực điểm b1, , bm trên trục thực và R() x e khả tích tại những điểm này. 3. Bậc của Q() z lớn hơn bậc của P() z ít nhất là 1. Khi đó n m Rxedxi x 2 i Res Rzea ( ) i  z ; i Res Rzeb ( ) i  z ; (1.102)  k  k k 1 k 1 cosx Ví dụ 1.31: Tính tích phân I dx; , a 0 . 2 2 0 x a Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên i x i  x  a 1 cosx 1 e 1 e e I dx dx 2 i Res ; ai . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x a x a x a sin x Ví dụ 1.32: Tính tích phân I dx . x 0 ix 1 sinx 1 e Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I dx dx . 2 x 2 i x 1 Hàm R() z thoả mãn các điều kiện của định lý 1.20, có cực điểm đơn duy nhất z 0 z iz 1 e 1 trên trục thực, do đó I i Res ;0 i . 2i z 2 i 2 2 C. Tính tích phân dạng R cos nx ,sin mx dx . 0 zn z n z m z m dz Đặt z eix , ta có cosnx , sin mx , dx 2 2i iz
Khi x biến thiên từ 0 2 thì z eix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì vậy 2 n n m m z z z z dz R cos nx ,sin mx dx R , (1.103)  2 2i iz 0 C 2 dx Ví dụ 1.33: Tính tích phân I 5 3 sinx 0 Giải: 1dz 2 dz 2 i I 2 i Res ; , 3 1 iz  10i i 3 2 CC5 z 3 z2 z 1 3 z z 3 i 2i z 3 3 2 2 i vì hàm số chỉ có một cực điểm đơn z nằm 2 10i i 3 3 z z 1 3 z z 3 i 3 3 trong đường tròn đơn vị C . 1 e inx Ví dụ 1.34: Tính tích phân K( n ) dx , z  , z 1 2 2 0 0 ix 1 z0 e z e ix dz () i zdx x z Giải: Đặt . Khi tăng từ đến thì vạch nên đường tròn đơn vị theo chiều âm, do đó 1zn dz 1 z n dz K() n   2 2 ( i ) z 2 i1 z z 1 z z z CC1 z0 z 0 0 1 Mặt khác z C z . z zn1 z n 1 z n Do đó   . 1 z z 1 z zz z z 1 z z z z 0 0 1 z z 1 0 0 0 0 z zn Trong đường tròn đơn vị C hàm chỉ có một cực điểm đơn z z0 . 1 z0 z z z 0 n n z 1 z 0 Vậy K() n  dz . 2 i 1 z z z z 2 C 0 0 1 z0
1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z Từ sau Thế chiến thứ II, sự phát triển của công nghệ kỹ thuật số đòi hỏi cần thiết kế và giải quyết các hệ dữ liệu mẫu với thời gian rời rạc (các tín hiệu được lấy mẫu tại những thời điểm rời rạc). Những hệ dữ liệu này thỏa mãn phương trình sai phân, trong đó mỗi thành phần y() n tại thời điểm n phụ thuộc vào các thành phần tại các thời điểm khác. Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn r z R bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (công thức 1.92 và định lý 1.16), người ta xây dựng phép biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các dãy tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn. Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc. 1.6.1 Định nghĩa phép biến đổi Z Định nghĩa 1.10: Biến đổi Z của dãy tín hiệu x() n là hàm biến phức n X( z )  x ( n ) z n  x ( n )( z 1 ) n (1.104) n n Miền hội tụ của chuỗi (1.104) là miền xác định của biến đổi Z. Ký hiệu X()() z Z x n  Trường hợp dãy tín hiệu x() n chỉ xác định với n 0 , nghĩa là x( n ) 0 , n 0, n khi đó biến đổi Z của tín hiệu này được gọi là biến đổi một phía. 1.6.2 Miền xác định của biến đổi Z Để tìm miền xác định của phép biến đổi Z ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu chuẩn D'Alembert (định lý 1.11, công thức (1.78)). Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi: n n 1 Xz()()()()()  xnz  xnz XzXz1 2 (1.105) n n n 1 n 1 1 m trong đó X1()() z  x n z , X2()()() z  x n z  x m z (đặt m n ). n 0 n m 1 x( n 1)  Nếu r lim (tiêu chuẩn D'Alembert) n x() n hoặc r limn x ( n ) (tiêu chuẩn Cauchy) n 1 1 thì chuỗi X() z hội tụ khi |z 1 | hay r z . 1 z r
x( m 1)  Nếu lim (tiêu chuẩn D'Alembert) m x() m hoặc limm x ( m ) (tiêu chuẩn Cauchy) m 1 thì chuỗi X() z hội tụ khi z R . 2 Tóm lại ta có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của X() z .  Tiêu chuẩn D'Alembert x( n 1) 1 x( n 1) Nếu r lim và lim (1.106) n x() n R n x() n thì miền xác định của X() z là r z R .  Tiêu chuẩn Cauchy 1 Nếu r limn x ( n ) và limn x ( n ) (1.107) n R n thì miền xác định của X() z là r z R .  Trường hợp x( n ) 0,  n n0 thì r 0, do đó miền xác định có dạng 0 z R . x( n ) 0,  n n có miền xác định 0 z R (1.108) 0  Trường hợp x( n ) 0,  n n0 0 thì R , miền xác định có dạng r z . Ta gọi là phép biến đổi một phía. x( n ) 0,  n n 0 có miền xác định r z (1.109) 0 n 2nÕu n 3 Ví dụ 1.35: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu x() n 0nÕu n 3 38 4 2 1 Giải: X( z ) x ( n ) z n 2 n z n 1 2 n z n .  3 2  n n z z z n Đổi m n vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được: 1 m n n m m z 1 2 1  2z 1  2 z  , với z 2. 2 z 2 z n m 1 m 0 1 2 8 4 2 2 Vậy X() z với 0 z 2 . z3 z 2 z2 z
Mặt khác theo nhận xét trên ta có x( n ) 0,  n 3 r 0 . x( n 1) 2 n 1 1 x( n )  2n , n 3 x ( n ) 2 n ,  n 3 x( n )2 n 2 n 1 hoặc n x( n ) 2n ,  n 0 R 2 2 Vậy biến đổi Z có miền xác định 0 z 2 . n 3 Ví dụ 1.36: Tìm biến đổi Z của tín hiệu xác định bởi x() n . 4 n n 3 n 3 1 4z 3 1 3 X1() z  z  , với 1 hay z . 4 4z 3 4 z 3 4z 4 n 0 n 0 1 4z n m 1n 1 3 n 3z X()() z x n z 1 z 1 (đặt m n ) 2    n n 4 m 1 4 m 3z 1 4 3 z 3z 4  1 1 1 , với 1 hay z . 4 3z 4 3 z 4 3 z 4 3 m 0 1 4 4z 3 z 7 z 3 4 Vậy X() z , với z . 4z 3 4 3 z 4z 3 4 3 z 4 3 n n n 3 n 3 3 Ta cũng thấy rằng r limn x ( n ) lim lim . n n 4 n 4 4 n n n n 3 n 3 3 4 limx ( n ) lim lim R . n n 4 n 4 4 3 n anÕu n 0 Ví dụ 1.37: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu x() n 0nÕu n 0 ; a 0 Giải: 1 z X()() z x n z n a n z n (1.110)   1 n n 0 1 az z a có miền xác định z a , (công thức 1.109). 1nÕu n 0 Trường hợp a 1 dãy tín hiệu ()n 0nÕu n 0
1 z có biến đổi Z là ()z . 1 z 1 z 1 1 z Trường hợp a 1, x( n ) ( 1)n ; n 0 có biến đổi Z là X() z . 1 z 1 z 1 anT enÕu n 0 Ví dụ 1.38: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu x() n 0nÕu n 0 với a là số phức. Giải: Theo ví dụ 1.37 ta có z X()() z x n z n e anT z n (1.111)   aT n n 0 z e có miền xác định z e aT Trường hợp a là số thực thì e aT e aT , do đó miền xác định của biến đổi Z là z e aT . Trường hợp a i là số thuần ảo thì e i T 1 , do đó miền xác định của biến đổi Z là z 1. Trường hợp a i  thì e () i  T e T , do đó miền xác định của biến đổi Z là z e T . 1nÕu 0 n 5 Ví dụ 1.39: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu x() n (1 / 2)n nÕu n 6 n 5 1 Giải: X()() z x n z n z n .    n n 0 n 6 2z N 1 qN 1 Áp dụng công thức qn và công thức tổng của chuỗi cấp số nhân ta được n 0 1 q 6 6 m 6 6 6 1 z 1 1 z 1 1 1 z 1 1 X() z  , 1 2z 2 z 6 5 2 z 1 6 5 6 5 1 zm 0 z z1 z z (2 z ) (2 z ) 2z 1 miền xác định z . 2 1.6.3 Tính chất của biến đổi Z Các tín hiệu x() n  thường được xét từ thời điểm n 0 trở đi. Vì vậy hầu như chỉ xét phép biến đổi Z một phía. Các tính chất sau cũng chỉ xét với phép biến đổi Z một phía. a. Tuyến tính:
ZZZ Axn()()()() Byn A xn B yn , A, B là hằng số. (1.112) b. Đồng dạng: Nếu X()() z Z x n  thì Z a n x()() n X az . (1.113) c. Tịnh tiến Nếu X()() z Z x n  thì Z x( n 1) zX ( z ) zx (0), Z xnm( ) zXzzxm () m (0) zx m 1 (1) zxm ( 1);  m 0 (1.114) d. Trễ 1 nÕu n k Ký hiệu ()n k (1.115) 0 nÕu n k Nếu X()() z Z x n  thì Z x()()() n k n k z k X z . (1.116) e. Nhân với n dX() z Nếu X()() z Z x n  thì Z nx() n z . (1.117) dz f. Dãy tuần hoàn  Xét dãy tín hiệu rời rạc chu kỳ N có dạng f( n ) f f f f f f f ,  0 1 2N 1 0 1 2  Chu kú thø nhÊt  fn nÕu 0 n N 1 Đặt x() n 0 nÕu n N X() z Nếu X()() z Z x n  thì Z f() n  , zN 1. (1.118) 1 z N g. Tích chập Tích chập của hai dãy tín hiệu x() n  và y() n  là dãy tín hiệu z() n  được ký hiệu và xác định như sau zn()()*()()()()() xnyn  xkynk  xnkyk (1.119) k k Nếu hai dãy tín hiệu x() n  và y() n  chỉ xác định khi n 0 thì tích chập trở thành n n zn()()*()()()()() xnyn  xkynk  xnkyk k 0 k 0 và biến đổi Z một phía có tính chất Z x()*()()() n y n X z Y z (1.120)
cosn TnÕu n 0 Ví dụ 1.40: Tìm biến đổi Z một phía cúa tín hiệu x() n 0nÕu n 0 1 Giải: Xz( )  xnz ( ) n  (cos nTz ). n  e in T ez in  T n . n n 0 n 0 2 Theo ví dụ 1.38 ứng với trường hợp số a thuần ảo và áp dụng công thức (1.110) ta được 1 1 z z z z cos( T ) X() z ein T e in  T z n ,  i T i  T 2 n 0 2 2 z e z e z 2 z cos( T ) 1 miền xác định z 1. 1 Ví dụ 1.41: Từ ví dụ 1.37 ta có Z an  , áp dụng công thức (1.115) ta được 1 az 1 d 1 2 az Z nan z 1 az 1 ()(1)1 z az 1 ()(1) a z 2 .  2 dz ()z a 1.6.4 Biến đổi Z ngược Theo định lý 1.16 mỗi hàm biến phức X() z giải tích trong hình vành khăn r z R , ( 0 r R ) đều có thể khai triển duy nhất thành chuỗi Laurent: 1X ( z ) X() z c zn với c dz ,  n n 2 i  n 1 n C z C là đường cong kín bao quanh gốc O và nằm trong hình vành khăn r z R . Đặt x() n c n thì 1 X()() z x n z n với x()() n zn 1 X z dz . (1.121)  2 i  n C Theo (1.121) x() n xác định duy nhất bởi X() z được gọi là biến đổi ngược n của biến đổi Z của X() z . Ký hiệu x()() n Z 1 X z . n  Nhận xét 1.8: 1) Tương tự khai triển Taylor, do tính chất duy nhất của khai triển hàm số giải tích trong hình vành khăn r z R thành tổng của chuỗi Laurent nên ta có thể sử dụng phương pháp tính trực tiếp theo công thức (1.121) hoặc các phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa để tìm biến đổi ngược của phép biến đổi Z . 2) Theo công thức (1.105), (1.106), (1.107) miền xác định của phép biến đổi Z một phía có dạng z r . Vì vậy khi tìm biến đổi ngược Z 1 thì hàm ảnh phải giải tích trong miền z r .
3) Có thể sử dụng thặng dư để tính các giá trị x() n theo công thức (1.119). 4) Để tìm phép biến đổi ngược Z 1 ta có thể sử dụng các tính chất của phép biến đổi thuận. Chẳng hạn ZZZ 1 AX()()()() z BY z A 1 X z B 1 Y z  (tuyến tính) ZZ 1 X()()()() z x n 1 X az a n x n (đồng dạng) 1 z 2 z 2 1 Ví dụ 1.42: Hàm X() z 2 giải tích tại 2 2z 7 z 3 2 7 3 1z 3 2 z z z 2 2 2 1 mọi z , 3 . Vì vậy ta có thể tìm biến đổi ngược trong 3 miền sau: 2 1 a. Miền 0 z : 2 n 1 1n n 1z n 1 n X( z )  2 z   2 z 1 2z z 3 3n 3 n 1 3 1 n 0 n 0 n 0 3 0 1 2 n z n .  n 1 n 3 n 1 2 nÕu n 0 Vậy x() n n 1 . 3 0nÕu n 0 1 b. Miền z 3: 2 1 1 1 1 zn X( z ) 2 n z n   n 1 z 2z n 0 3 n 0 3 2z 1 3 1 2z 3 0 2 nz n  3 n 1 z n . n 1 n n 1 3nÕu n 0 Vậy x() n . 2 n nÕu n 0 c. Miền 3 z : (Biến đổi Z ngược một phía)
1 1 1 1 X( z ) 2 n z n 3 n z n 2 n z n 3 n 1 z n     1 3 2zn 0 z n 0 n 1 n 1 2z 1 z 1 2z z 0nÕu n 0 Vậy x() n . 3n 1 2 n nÕu n 1 A. Tìm biến đổi Z ngược bằng cách khai triển thành chuỗi hoặc tính thặng dư 1 Ví dụ 1.43: Tìm biến đổi Z ngược một phía của X() z . (z 1)( z 2) Giải: Hàm X() z không giải tích tại z 1 và z 2 , do đó biến đổi Z ngược một phía của X() z có dạng z 2. Cách 1: Khai triển thành chuỗi 1 1 1 Ta có (z 1)( z 2) z 2 z 1 1 1 1 (2z 1 )n 2 n z ( n 1) , khi z 2. 1   z 2 z(1 2 z ) z n 0 n 0 1 1 1 ()z 1n z ( n 1) , khi z 1. 1   z 1 z(1 z ) z n 0 n 0 Vậy khi z 2 ta có khai triển Laurent của hàm X() z X( z )  2n z ( n 1)  z ( n 1)  (2 n 1) z ( n 1)  (2 m 1 1) z m n 0 n 0 n 0 m 2 Do đó biến đổi Z ngược của X() z là y 0nÕu n 1 x() n 2n 1 1nÕu n 2 Cách 2: Dùng thặng dư và sử dụng O 1 2 x công thức (1.121) để tìm biến đổi ngược như sau C 1 1 zn 1 x()() n zn 1 X z dz dz , n 0 2 i  2 i  ( z 1)( z 2) CC Hình 1.18 trong đó C là đường khép kín bất kỳ nằm trong miền z 2 Khi n 0 , sử dụng thặng dư và công thức (1.98) ta được 1 zn 1 z n 1 z n 1 x() n dz Res ;1Res ;212 n 1 2 i  ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2) ( z 1)( z 2) C Khi n 0 hàm dưới dấu tích phân có 3 điểm bất thường cô lập là 0, 1, và 2, vậy
1 X ( z ) X ( z ) X ( z ) 1 1 x(0) z 1 X () z dz Res ;0 Res ;1 Res ;2 1 0 . 2 i  z z z 2 2 C 0nÕu n 0 0 nÕu n 1 Do đó x() n 2n 1 1nÕu n 0 2 n 1 1 nÕu n 2 z2 2 z Ví dụ 1.44: Tìm biến đổi Z ngược một phía của X() z . (z 1)2 Giải: Cách 1: Khai triển thành chuỗi trong miền |z | 1. z 1 1 z n () n z ( n 1) z 1 1 2  1 n 0(z 1) n 0 z z2 2 z n( z2 2 z ) z (n 1) 2  (z 1) n 0 Xz()  nz n 1 2 nz n  (1) mz m  2 nz n  (31) mz m . n 0 m 0 n 0 m 0 Cách 2: Sử dụng công thức (1.121) để tìm biến đổi ngược như sau: Với mọi n 0 1 1zn 1 2 z n z n 1 2 z n x( n ) zn 1 X ( z ) dz dz Res ;1 , 2 i  2 i  2 2 CC (z 1) ( z 1) zn 1 2 z n d x( n ) Res ;1 zn 1 2 z n 3 n 1 , n 0 . 2 (z 1) dz z 1 Vậy x( n ) 3 n 1, n 0 . B. Tìm biến đổi Z ngược của các phân thức hữu tỉ P() z Để tìm biến đổi Z ngược một phía của các phân thức hữu tỉ dạng X() z ta phân Q() z tích thành tổng của các phân thức tối giản sử dụng các tính chất của biến đổi Z. z Ví dụ 1.45: Tìm biến đổi Z ngược một phía của X() z . z2 1 Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có z1 z z X() z . z 2 1 2 z 1 z 1 z  z  Theo công thức (1.108) ví dụ 1.37 ta có Z 1  1 , Z 1  ( 1)n z 1  z 1 
1 Z 1 X( z ) 1 ( 1)n , n 0. 2 2z2 Ví dụ 1.46: Tìm biến đổi Z ngược một phía của X() z . (z 2)( z 1)2 Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có 2z2 4 z 4 z 2 z X() z . (z 2)( z 1)2z 2 z 1 ( z 1) 2 Theo công thức (1.110) ví dụ 1.37 ta có z  z  Z 1  ( 1)n , Z 1  ( 2)n , z 1  z 2  Áp dụng công thức (1.115) ta có    1 z 1 d z 1 z n ZZZ  z  n  n( 1) . 2 (z 1)  dz z 1  z 1  Z 1 X( z ) 4( 1)n 4( 2) n 2 n ( 1) n , n 0 . z2 z Ví dụ 1.47: Tìm biến đổi Z ngược một phía của X() z . (z 2)2 z2 z z3 z Giải: Phân tích thành tổng của các phân thức tối giản ta có . (z 2)2z 2 ( z 2) 2 z  Theo công thức (1.110) ví dụ 1.37 ta có Z 1  2n z 2  Áp dụng công thức (1.117) ta có    1 z 1 1 d z n 1 z n n ZZZ  z   2 . 2 (z 2)  2 dz z 2  2 z 2  2 1 n3 n 3 n Z X( z ) 2 n 2 n 1 2 , n 0 . 2 2 1.6.5 Ứng dụng biến đổi Z để giải phương trình sai phân Có thể sử dụng các tính chất của phép biến đổi Z và phép biến đổi ngược để giải các phương trình sai phân. Ví dụ 1.48: Giải phương trình sai phân bậc hai 2(x n 2)3( x n 1) x () n 53  n , n 0 thỏa mãn điều kiện đầu x(0) 0 và x(1) 1. Giải: Thực hiện biến đổi Z hai vế của phương trình và áp dụng công thức (1.112) ta được 2ZZZZ x ( n 2)3 x (1) n  x ()53 n  n ,
Từ công thức (1.114) và ví dụ 1.37 ta có 5z 2zXz2 ( ) 2 zx 2 (0) 2 zx (1) 3 zXz ( ) zx (0) Xz ( ) . z 3 Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được z(2 z 1) z (2z 1)( z 1) X ( z ) X() z . z 3 (z 3)( z 1) z1 z z X() z . (z 3)( z 1) 2 z 3 z 1 Do đó nghiệm của phương trình sai phân cần tìm là (xem công thức 1.110 ví dụ 1.37 và nhận xét 1.8-4) 1 z  1 z  1 x( n ) ZZZ 1 X ( z ) 1  1  3n 1 , n 0 2 z 3  2 z 1  2 Ví dụ 1.49: Giải phương trình sai phân bậc hai x( n 2) 2 x ( n 1) x ( n ) 1, n 0 thỏa mãn điều kiện đầu x(0) 0 và x(1) 3 / 2 . Giải: Thực hiện biến đổi Z hai vế của phương trình và áp dụng công thức (1.112) ta được ZZZZ x( n 2) 2 x ( n 1) x ( n ) 1, z zXz2( ) zx 2 (0) zx (1) 2 zXz ( ) zx (0) Xz ( ) z 1 3z2 z Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được X() z . 2(z 1)3 2 n 1 n 2 n 1 n 1 3z z 1 3 z z 1 d 3 z z 1 2 x() n Z  dz n n . 3  3 2 2(z 1) 2 i 2( z 1) 2! dz 2 2 2  C z 1 Ví dụ 1.50: Giải phương trình sai phân bậc hai x( n 2) b2 x ( n ) 0 , n 0 với b 1 và thỏa mãn điều kiện đầu x(0) b2 và x(1) 0. Giải: Thực hiện biến đổi Z hai vế của phương trình và áp dụng công thức (1.112) ta được ZZ x( n 2) b2 x ( n ) 0 , z2 X( z ) z 2 x (0) zx (1) b 2 X ( z ) 0 b2 z 2 Thay điều kiện đầu vào kết quả trên ta được X() z . z2 b 2 2 2  2n 1 1 b z 1 b z x() n Z  dz 2 2 2 i  ( z ib )( z ib ) z b  C
b2 zn 1 b 2 z n 1 b n 2 i n b n 2() i n x() n z bi z bi 2 2 z bi z bi bn 2 e in /2 b n 2 e in /2 n bn 2 cos , n 0 . 2 2 2 Ví dụ 1.51: Giải hệ phương trình sai phân x( n 1) 4 x ( n ) 2 y ( n ) y( n 1) 3() x n 3(), y n n 0 thỏa mãn điều kiện đầu x(0) 0 và y(0) 5 . Giải: Thực hiện biến đổi Z ta được hệ phương trình ảnh zX() z x (0) z 4() X z 2() Y z , zY() z y (0) z 3() X z 3() Y z (z 4) X ( z ) 2 Y ( z ) 0 Thay điều kiện đầu ta được 3X ( z ) ( z 3) Y ( z ) 5 z . Giải hệ phương trình ta có nghiệm ảnh 10z 2 z 2 z 5z ( z 4) 2 z 3 z X() z ; Y() z . (z 6)( z 1) z 1 z 6 (z 6)( z 1) z 6 z 1 x( n ) Z 1 X ( z ) 2 2  6n ; y( n ) Z 1 X ( z ) 3 2  6n . BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1. Nếu hàm biến phức w f() z có đạo hàm tại z0 thì có đạo hàm mọi cấp tại z0 . Đúng Sai . 1.2. Hàm biến phức w f() z giải tích tại z0 thì có thể khai triển thành tổng của chuỗi lũy thừa tâm z0 . Đúng Sai . 1.3. Hàm biến phức w f() z có đạo hàm khi và chỉ khi phần thực và phần ảo u x, y ,v x, y có đạo hàm riêng cấp 1. Đúng Sai . 1.4. Nếu z0 là điểm bất thường cô lập của hàm biến phức w f() z thì có thể khai triển Laurent của hàm số này tại z0 . Đúng Sai . 1.5. Tích phân của hàm biến phức giải tích w f() z trong miền đơn liên D không phụ thuộc đường đi nằm trong D . Đúng Sai .