›
›

Bài giảng Xác suất thống kê ứng dụng - Chương V: Xác suất và phân phối xác suất (Phần 1) - Đại học Thăng Long

pdf 102 trang ngocly 3710
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê ứng dụng - Chương V: Xác suất và phân phối xác suất (Phần 1) - Đại học Thăng Long", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke_ung_dung_chuong_v_xac_suat_va_ph.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê ứng dụng - Chương V: Xác suất và phân phối xác suất (Phần 1) - Đại học Thăng Long

  1. Ch÷ìng V X¡c su§t v Ph¥n phèi X¡c su§t - Ph¦n I Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 94 / 664
  2. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  3. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  4. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  5. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  6. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  7. Ch÷ìng V 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 95 / 664
  8. Kh¡i ni»m Trong thüc t¸ ta g°p r§t nhi·u h nh ëng m c¡c k¸t qu£ cõa nâ khæng thº dü b¡o tr÷îc ÷ñc. Ta gåi chóng l c¡c ph²p thû ng¨u nhi¶n. Ph²p thû ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u l C . C¡c k¸t qu£ cõa C l ng¨u nhi¶n, khæng thº x¡c ành tr÷îc. Tuy nhi¶n, ta câ thº li»t k¶ ra t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº câ cõa C . ành ngh¾a Tªp hñp c¡c k¸t qu£ câ thº cõa C ÷ñc gåi l khæng gian m¨u cõa C v ta th÷íng k½ hi»u nâ b¬ng Ω. Chú ω dòng º k½ hi»u mët ph¦n tû cõa Ω v ta gåi méi ph¦n tû ω cõa Ω l mët bi¸n cè sì c§p. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 96 / 664
  9. Kh¡i ni»m Trong thüc t¸ ta g°p r§t nhi·u h nh ëng m c¡c k¸t qu£ cõa nâ khæng thº dü b¡o tr÷îc ÷ñc. Ta gåi chóng l c¡c ph²p thû ng¨u nhi¶n. Ph²p thû ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u l C . C¡c k¸t qu£ cõa C l ng¨u nhi¶n, khæng thº x¡c ành tr÷îc. Tuy nhi¶n, ta câ thº li»t k¶ ra t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº câ cõa C . ành ngh¾a Tªp hñp c¡c k¸t qu£ câ thº cõa C ÷ñc gåi l khæng gian m¨u cõa C v ta th÷íng k½ hi»u nâ b¬ng Ω. Chú ω dòng º k½ hi»u mët ph¦n tû cõa Ω v ta gåi méi ph¦n tû ω cõa Ω l mët bi¸n cè sì c§p. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 96 / 664
  10. Kh¡i ni»m Trong thüc t¸ ta g°p r§t nhi·u h nh ëng m c¡c k¸t qu£ cõa nâ khæng thº dü b¡o tr÷îc ÷ñc. Ta gåi chóng l c¡c ph²p thû ng¨u nhi¶n. Ph²p thû ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u l C . C¡c k¸t qu£ cõa C l ng¨u nhi¶n, khæng thº x¡c ành tr÷îc. Tuy nhi¶n, ta câ thº li»t k¶ ra t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº câ cõa C . ành ngh¾a Tªp hñp c¡c k¸t qu£ câ thº cõa C ÷ñc gåi l khæng gian m¨u cõa C v ta th÷íng k½ hi»u nâ b¬ng Ω. Chú ω dòng º k½ hi»u mët ph¦n tû cõa Ω v ta gåi méi ph¦n tû ω cõa Ω l mët bi¸n cè sì c§p. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 96 / 664
  11. Kh¡i ni»m Trong thüc t¸ ta g°p r§t nhi·u h nh ëng m c¡c k¸t qu£ cõa nâ khæng thº dü b¡o tr÷îc ÷ñc. Ta gåi chóng l c¡c ph²p thû ng¨u nhi¶n. Ph²p thû ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u l C . C¡c k¸t qu£ cõa C l ng¨u nhi¶n, khæng thº x¡c ành tr÷îc. Tuy nhi¶n, ta câ thº li»t k¶ ra t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº câ cõa C . ành ngh¾a Tªp hñp c¡c k¸t qu£ câ thº cõa C ÷ñc gåi l khæng gian m¨u cõa C v ta th÷íng k½ hi»u nâ b¬ng Ω. Chú ω dòng º k½ hi»u mët ph¦n tû cõa Ω v ta gåi méi ph¦n tû ω cõa Ω l mët bi¸n cè sì c§p. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 96 / 664
  12. Th½ dö Ph²p thû C : gieo mët con xóc x­c v quan s¡t sè nèt tr¶n m°t xu§t hi»n cõa con xóc x­c. Ta khæng thº bi¸t tr÷îc ÷ñc m°t n o cõa con xóc x­c s³ xu§t hi»n. Khæng gian m¨u Ω cõa C l : Ω  t1, 2, 3, 4, 5, 6u. Ph²p thû C : chån ng¨u nhi¶n 500 thanh ni¶n ð lùa tuêi tø 18 ¸n 25 v ¸m xem câ bao nhi¶u ng÷íi câ thâi quen hót thuèc l¡. Con sè n y câ thº l mët sè nguy¶n b§t k¼ tø 0 ¸n 500. Vªy Ω  t0, 1, 2, , 500u. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 97 / 664
  13. Th½ dö Ph²p thû C : gieo mët con xóc x­c v quan s¡t sè nèt tr¶n m°t xu§t hi»n cõa con xóc x­c. Ta khæng thº bi¸t tr÷îc ÷ñc m°t n o cõa con xóc x­c s³ xu§t hi»n. Khæng gian m¨u Ω cõa C l : Ω  t1, 2, 3, 4, 5, 6u. Ph²p thû C : chån ng¨u nhi¶n 500 thanh ni¶n ð lùa tuêi tø 18 ¸n 25 v ¸m xem câ bao nhi¶u ng÷íi câ thâi quen hót thuèc l¡. Con sè n y câ thº l mët sè nguy¶n b§t k¼ tø 0 ¸n 500. Vªy Ω  t0, 1, 2, , 500u. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 97 / 664
  14. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 98 / 664
  15. Kh¡i ni»m bi¸n cè X²t mët ph²p thû C . Câ r§t nhi·u c¥u häi li¶n quan ¸n k¸t qu£ cõa C . Ta th÷íng xem x²t c¡c bi¸n cè (cán gåi l sü ki»n) m vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa chóng ho n to n ÷ñc quy¸t ành bði k¸t qu£ cõa C . ành ngh¾a K¸t qu£ ω cõa C ÷ñc gåi l k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A n¸u A x£y ra khi k¸t qu£ cõa C l ω. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 99 / 664
  16. Kh¡i ni»m bi¸n cè X²t mët ph²p thû C . Câ r§t nhi·u c¥u häi li¶n quan ¸n k¸t qu£ cõa C . Ta th÷íng xem x²t c¡c bi¸n cè (cán gåi l sü ki»n) m vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa chóng ho n to n ÷ñc quy¸t ành bði k¸t qu£ cõa C . ành ngh¾a K¸t qu£ ω cõa C ÷ñc gåi l k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A n¸u A x£y ra khi k¸t qu£ cõa C l ω. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 99 / 664
  17. Kh¡i ni»m bi¸n cè X²t mët ph²p thû C . Câ r§t nhi·u c¥u häi li¶n quan ¸n k¸t qu£ cõa C . Ta th÷íng xem x²t c¡c bi¸n cè (cán gåi l sü ki»n) m vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa chóng ho n to n ÷ñc quy¸t ành bði k¸t qu£ cõa C . ành ngh¾a K¸t qu£ ω cõa C ÷ñc gåi l k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A n¸u A x£y ra khi k¸t qu£ cõa C l ω. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 99 / 664
  18. Th½ dö Ph²p thû C l gieo mët çng ti·n li¶n ti¸p 3 l¦n. çng ti·n câ thº ho°c s§p (S) ho°c ngûa (N). Khæng gian m¨u cõa C l : Ω  tSNN, NNN, SSN, NSN, SNS, NNS, SSS, NSSu. Bi¸n cè A: Câ óng hai l¦n çng ti·n ra m°t ngûa. C¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l : tSNN, NSN, NNSu. Bi¸n cè B: Sè l¦n xu§t hi»n m°t ngûa l mët sè l´ th¼ c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho B l : tSNS, SSN, NSS, NNNu. Nh÷ vªy, mët bi¸n cè A s³ ÷ñc xem nh÷ çng nh§t vîi mët tªp con cõa Ω bao gçm c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A. ành ngh¾a Bi¸n cè khæng thº l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra (ùng vîi H „ Ω). Bi¸n cè ch­c ch­n l bi¸n cè luæn luæn x£y ra (ùng vîi to n bë tªp Ω). Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 100 / 664
  19. Th½ dö Ph²p thû C l gieo mët çng ti·n li¶n ti¸p 3 l¦n. çng ti·n câ thº ho°c s§p (S) ho°c ngûa (N). Khæng gian m¨u cõa C l : Ω  tSNN, NNN, SSN, NSN, SNS, NNS, SSS, NSSu. Bi¸n cè A: Câ óng hai l¦n çng ti·n ra m°t ngûa. C¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l : tSNN, NSN, NNSu. Bi¸n cè B: Sè l¦n xu§t hi»n m°t ngûa l mët sè l´ th¼ c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho B l : tSNS, SSN, NSS, NNNu. Nh÷ vªy, mët bi¸n cè A s³ ÷ñc xem nh÷ çng nh§t vîi mët tªp con cõa Ω bao gçm c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A. ành ngh¾a Bi¸n cè khæng thº l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra (ùng vîi H „ Ω). Bi¸n cè ch­c ch­n l bi¸n cè luæn luæn x£y ra (ùng vîi to n bë tªp Ω). Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 100 / 664
  20. Th½ dö Ph²p thû C l gieo mët çng ti·n li¶n ti¸p 3 l¦n. çng ti·n câ thº ho°c s§p (S) ho°c ngûa (N). Khæng gian m¨u cõa C l : Ω  tSNN, NNN, SSN, NSN, SNS, NNS, SSS, NSSu. Bi¸n cè A: Câ óng hai l¦n çng ti·n ra m°t ngûa. C¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l : tSNN, NSN, NNSu. Bi¸n cè B: Sè l¦n xu§t hi»n m°t ngûa l mët sè l´ th¼ c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho B l : tSNS, SSN, NSS, NNNu. Nh÷ vªy, mët bi¸n cè A s³ ÷ñc xem nh÷ çng nh§t vîi mët tªp con cõa Ω bao gçm c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A. ành ngh¾a Bi¸n cè khæng thº l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra (ùng vîi H „ Ω). Bi¸n cè ch­c ch­n l bi¸n cè luæn luæn x£y ra (ùng vîi to n bë tªp Ω). Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 100 / 664
  21. Th½ dö Ph²p thû C l gieo mët çng ti·n li¶n ti¸p 3 l¦n. çng ti·n câ thº ho°c s§p (S) ho°c ngûa (N). Khæng gian m¨u cõa C l : Ω  tSNN, NNN, SSN, NSN, SNS, NNS, SSS, NSSu. Bi¸n cè A: Câ óng hai l¦n çng ti·n ra m°t ngûa. C¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l : tSNN, NSN, NNSu. Bi¸n cè B: Sè l¦n xu§t hi»n m°t ngûa l mët sè l´ th¼ c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho B l : tSNS, SSN, NSS, NNNu. Nh÷ vªy, mët bi¸n cè A s³ ÷ñc xem nh÷ çng nh§t vîi mët tªp con cõa Ω bao gçm c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A. ành ngh¾a Bi¸n cè khæng thº l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra (ùng vîi H „ Ω). Bi¸n cè ch­c ch­n l bi¸n cè luæn luæn x£y ra (ùng vîi to n bë tªp Ω). Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 100 / 664
  22. Th½ dö Ph²p thû C l gieo mët çng ti·n li¶n ti¸p 3 l¦n. çng ti·n câ thº ho°c s§p (S) ho°c ngûa (N). Khæng gian m¨u cõa C l : Ω  tSNN, NNN, SSN, NSN, SNS, NNS, SSS, NSSu. Bi¸n cè A: Câ óng hai l¦n çng ti·n ra m°t ngûa. C¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l : tSNN, NSN, NNSu. Bi¸n cè B: Sè l¦n xu§t hi»n m°t ngûa l mët sè l´ th¼ c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho B l : tSNS, SSN, NSS, NNNu. Nh÷ vªy, mët bi¸n cè A s³ ÷ñc xem nh÷ çng nh§t vîi mët tªp con cõa Ω bao gçm c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A. ành ngh¾a Bi¸n cè khæng thº l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra (ùng vîi H „ Ω). Bi¸n cè ch­c ch­n l bi¸n cè luæn luæn x£y ra (ùng vîi to n bë tªp Ω). Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 100 / 664
  23. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 101 / 664
  24. Hñp cõa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Hñp cõa hai bi¸n cè A v B l bi¸n cè x£y ra n¸u ½t nh§t câ mët trong hai bi¸n cè A ho°c B x£y ra. Ta k½ hi»u hñp cõa hai bi¸n cè A v B l A Y B. ành ngh¾a Hñp cõa nhi·u bi¸n cè A1, A2, , An l bi¸n cè x£y ra n¸u ½t nh§t câ mët bi¸n cè n o â trong c¡c bi¸n cè A1, A2, , An x£y ra. K½ hi»u: A1 Y A2 Y Y An. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 102 / 664
  25. Hñp cõa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Hñp cõa hai bi¸n cè A v B l bi¸n cè x£y ra n¸u ½t nh§t câ mët trong hai bi¸n cè A ho°c B x£y ra. Ta k½ hi»u hñp cõa hai bi¸n cè A v B l A Y B. ành ngh¾a Hñp cõa nhi·u bi¸n cè A1, A2, , An l bi¸n cè x£y ra n¸u ½t nh§t câ mët bi¸n cè n o â trong c¡c bi¸n cè A1, A2, , An x£y ra. K½ hi»u: A1 Y A2 Y Y An. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 102 / 664
  26. Giao cõa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Giao cõa hai bi¸n cè A v B l bi¸n cè x£y ra n¸u c£ hai bi¸n cè A v B còng x£y ra. Ta k½ hi»u giao cõa hai bi¸n cè A v B l AB. ành ngh¾a Giao cõa nhi·u bi¸n cè A1, A2, , An l bi¸n cè x£y ra n¸u t§t c£ c¡c bi¸n cè A1, A2, , An còng x£y ra. K½ hi»u: A1A2 An. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 103 / 664
  27. Giao cõa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Giao cõa hai bi¸n cè A v B l bi¸n cè x£y ra n¸u c£ hai bi¸n cè A v B còng x£y ra. Ta k½ hi»u giao cõa hai bi¸n cè A v B l AB. ành ngh¾a Giao cõa nhi·u bi¸n cè A1, A2, , An l bi¸n cè x£y ra n¸u t§t c£ c¡c bi¸n cè A1, A2, , An còng x£y ra. K½ hi»u: A1A2 An. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 103 / 664
  28. Nhúng quan h» kh¡c giúa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè k²o theo bi¸n cè B n¸u khi A x£y ra th¼ B công x£y ra. N¸u biºu di¹n A v B bði hai tªp con cõa Ω th¼ A k²o theo B ngh¾a l A „ B. ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè èi cõa bi¸n cè B n¸u A x£y ra khi v ch¿ khi B khæng x£y ra. Bi¸n cè èi cõa A ÷ñc k½ hi»u l A.¯ Ta câ: A¯  ΩzA. ành ngh¾a Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l xung kh­c n¸u A v B khæng çng thíi x£y ra. Nâi c¡ch kh¡c A v B xung kh­c n¸u AB  H. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 104 / 664
  29. Nhúng quan h» kh¡c giúa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè k²o theo bi¸n cè B n¸u khi A x£y ra th¼ B công x£y ra. N¸u biºu di¹n A v B bði hai tªp con cõa Ω th¼ A k²o theo B ngh¾a l A „ B. ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè èi cõa bi¸n cè B n¸u A x£y ra khi v ch¿ khi B khæng x£y ra. Bi¸n cè èi cõa A ÷ñc k½ hi»u l A.¯ Ta câ: A¯  ΩzA. ành ngh¾a Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l xung kh­c n¸u A v B khæng çng thíi x£y ra. Nâi c¡ch kh¡c A v B xung kh­c n¸u AB  H. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 104 / 664
  30. Nhúng quan h» kh¡c giúa c¡c bi¸n cè ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè k²o theo bi¸n cè B n¸u khi A x£y ra th¼ B công x£y ra. N¸u biºu di¹n A v B bði hai tªp con cõa Ω th¼ A k²o theo B ngh¾a l A „ B. ành ngh¾a Bi¸n cè A ÷ñc gåi l bi¸n cè èi cõa bi¸n cè B n¸u A x£y ra khi v ch¿ khi B khæng x£y ra. Bi¸n cè èi cõa A ÷ñc k½ hi»u l A.¯ Ta câ: A¯  ΩzA. ành ngh¾a Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l xung kh­c n¸u A v B khæng çng thíi x£y ra. Nâi c¡ch kh¡c A v B xung kh­c n¸u AB  H. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 104 / 664
  31. Th½ dö B i to¡n Ba x¤ thõ A, B, C méi ng÷íi b­n mët vi¶n ¤n v o möc ti¶u. Gi£ sû X l bi¸n cè X¤ thõ X b­n tróng (X l¦n l÷ñt l A, B, C). H¢y mæ t£ c¡c bi¸n cè sau: ABC, A¯B¯C¯, A Y B Y C. Biºu di¹n c¡c bi¸n cè sau theo A, B, C: D: Câ ½t nh§t hai x¤ thõ b­n tróng; E: Câ nhi·u nh§t mët x¤ thõ b­n tróng; F : Ch¿ câ mët x¤ thõ b­n tróng; G: Ch¿ câ x¤ thõ C b­n tróng. Líi gi£i: ABC l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tróng, A¯B¯C¯ l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tr÷ñt, A Y B Y C l bi¸n cè: Câ ½t nh§t mët x¤ thõ b­n tróng. D  AB Y BC Y CA, E  A¯B¯ Y B¯C¯ Y C¯A¯, F  AB¯C¯ Y AB¯ C¯ Y A¯BC¯ , G  A¯BC¯ . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 105 / 664
  32. Th½ dö B i to¡n Ba x¤ thõ A, B, C méi ng÷íi b­n mët vi¶n ¤n v o möc ti¶u. Gi£ sû X l bi¸n cè X¤ thõ X b­n tróng (X l¦n l÷ñt l A, B, C). H¢y mæ t£ c¡c bi¸n cè sau: ABC, A¯B¯C¯, A Y B Y C. Biºu di¹n c¡c bi¸n cè sau theo A, B, C: D: Câ ½t nh§t hai x¤ thõ b­n tróng; E: Câ nhi·u nh§t mët x¤ thõ b­n tróng; F : Ch¿ câ mët x¤ thõ b­n tróng; G: Ch¿ câ x¤ thõ C b­n tróng. Líi gi£i: ABC l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tróng, A¯B¯C¯ l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tr÷ñt, A Y B Y C l bi¸n cè: Câ ½t nh§t mët x¤ thõ b­n tróng. D  AB Y BC Y CA, E  A¯B¯ Y B¯C¯ Y C¯A¯, F  AB¯C¯ Y AB¯ C¯ Y A¯BC¯ , G  A¯BC¯ . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 105 / 664
  33. Th½ dö B i to¡n Ba x¤ thõ A, B, C méi ng÷íi b­n mët vi¶n ¤n v o möc ti¶u. Gi£ sû X l bi¸n cè X¤ thõ X b­n tróng (X l¦n l÷ñt l A, B, C). H¢y mæ t£ c¡c bi¸n cè sau: ABC, A¯B¯C¯, A Y B Y C. Biºu di¹n c¡c bi¸n cè sau theo A, B, C: D: Câ ½t nh§t hai x¤ thõ b­n tróng; E: Câ nhi·u nh§t mët x¤ thõ b­n tróng; F : Ch¿ câ mët x¤ thõ b­n tróng; G: Ch¿ câ x¤ thõ C b­n tróng. Líi gi£i: ABC l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tróng, A¯B¯C¯ l bi¸n cè: C£ ba x¤ thõ ·u b­n tr÷ñt, A Y B Y C l bi¸n cè: Câ ½t nh§t mët x¤ thõ b­n tróng. D  AB Y BC Y CA, E  A¯B¯ Y B¯C¯ Y C¯A¯, F  AB¯C¯ Y AB¯ C¯ Y A¯BC¯ , G  A¯BC¯ . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 105 / 664
  34. Kh¡i ni»m Kh¡i ni»m X¡c su§t cõa mët bi¸n cè l mët sè n¬m giúa 0 v 1, sè n y o l÷íng kh£ n«ng xu§t hi»n cõa bi¸n cè â khi ph²p thû ÷ñc thüc hi»n. K½ hi»u x¡c su§t cõa bi¸n cè A l PpAq. Câ ba ph÷ìng ph¡p g¡n x¡c su§t cho bi¸n cè l : ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn, ành ngh¾a x¡c su§t düa tr¶n t¦n su§t v ành ngh¾a x¡c su§t chõ quan. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 106 / 664
  35. Kh¡i ni»m Kh¡i ni»m X¡c su§t cõa mët bi¸n cè l mët sè n¬m giúa 0 v 1, sè n y o l÷íng kh£ n«ng xu§t hi»n cõa bi¸n cè â khi ph²p thû ÷ñc thüc hi»n. K½ hi»u x¡c su§t cõa bi¸n cè A l PpAq. Câ ba ph÷ìng ph¡p g¡n x¡c su§t cho bi¸n cè l : ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn, ành ngh¾a x¡c su§t düa tr¶n t¦n su§t v ành ngh¾a x¡c su§t chõ quan. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 106 / 664
  36. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 107 / 664
  37. ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a Gi£ sû ph²p thû C câ mët sè húu h¤n c¡c k¸t qu£ câ thº. Hìn núa, ta gi£ thi¸t r¬ng c¡c k¸t qu£ n y câ çng kh£ n«ng xu§t hi»n. Khi â, x¡c su§t cõa bi¸n cè A l t¿ sè giúa sè k¸t qu£ thuªn lñi cõa A v sè k¸t qu£ câ thº. Nh÷ vªy, trong tr÷íng hñp n y ta câ: | A | PpAq  , | Ω | trong â | A | k½ hi»u sè ph¦n tû cõa tªp hñp A. Nhªn x²t Trong tr÷íng hñp n y, vi»c t½nh x¡c su§t qui v· vi»c ¸m sè k¸t qu£ câ thº v sè k¸t qu£ thuªn lñi. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 108 / 664
  38. ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a Gi£ sû ph²p thû C câ mët sè húu h¤n c¡c k¸t qu£ câ thº. Hìn núa, ta gi£ thi¸t r¬ng c¡c k¸t qu£ n y câ çng kh£ n«ng xu§t hi»n. Khi â, x¡c su§t cõa bi¸n cè A l t¿ sè giúa sè k¸t qu£ thuªn lñi cõa A v sè k¸t qu£ câ thº. Nh÷ vªy, trong tr÷íng hñp n y ta câ: | A | PpAq  , | Ω | trong â | A | k½ hi»u sè ph¦n tû cõa tªp hñp A. Nhªn x²t Trong tr÷íng hñp n y, vi»c t½nh x¡c su§t qui v· vi»c ¸m sè k¸t qu£ câ thº v sè k¸t qu£ thuªn lñi. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 108 / 664
  39. ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn Nhªn x²t ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn b­t buëc ph£i düa tr¶n hai gi£ thi¸t quan trång: C¡c k¸t qu£ câ thº l húu h¤n; C¡c k¸t qu£ câ thº l çng kh£ n«ng. Hai gi£ thi¸t n y th÷íng ÷ñc thäa m¢n khi chóng ta t½nh to¡n x¡c su§t trong c¡c trá chìi may rõi, ho°c khi vi»c chån lüa l væ t÷, khæng thi¶n và. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 109 / 664
  40. Th½ dö B i to¡n Gieo çng thíi ba con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t. T½nh x¡c su§t º têng sè nèt xu§t hi»n cõa ba con l 9. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 110 / 664
  41. Th½ dö Líi gi£i: Méi k¸t qu£ cõa ph²p thû (bi¸n cè sì c§p) l mët bë ba ω  pa, b, cq, trong â a, b, c l c¡c sè nguy¶n d÷ìng tø 1 ¸n 6. Vªy Ω  tpa, b, cq | 1 ¤ a ¤ 6, 1 ¤ b ¤ 6, 1 ¤ c ¤ 6u v | Ω | 6 ¢ 6 ¢ 6  63  216. Gåi A l bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§t. C¡c bë ba pa, b, cq câ têng b¬ng 9 l : p1, 2, 6q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 3, 5q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 4, 4q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 5q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 3, 4q v n«m ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 3q. Sè tr÷íng hñp thuªn lñi l | A | 6 6 3 6 3 1  25. V¼ c¡c con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t n¶n câ thº cho r¬ng c¡c k¸t qu£ l çng kh£ n«ng. Vªy 25 PpAq  0 1157 216 ≈ , . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 111 / 664
  42. Th½ dö Líi gi£i: Méi k¸t qu£ cõa ph²p thû (bi¸n cè sì c§p) l mët bë ba ω  pa, b, cq, trong â a, b, c l c¡c sè nguy¶n d÷ìng tø 1 ¸n 6. Vªy Ω  tpa, b, cq | 1 ¤ a ¤ 6, 1 ¤ b ¤ 6, 1 ¤ c ¤ 6u v | Ω | 6 ¢ 6 ¢ 6  63  216. Gåi A l bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§t. C¡c bë ba pa, b, cq câ têng b¬ng 9 l : p1, 2, 6q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 3, 5q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 4, 4q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 5q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 3, 4q v n«m ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 3q. Sè tr÷íng hñp thuªn lñi l | A | 6 6 3 6 3 1  25. V¼ c¡c con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t n¶n câ thº cho r¬ng c¡c k¸t qu£ l çng kh£ n«ng. Vªy 25 PpAq  0 1157 216 ≈ , . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 111 / 664
  43. Th½ dö Líi gi£i: Méi k¸t qu£ cõa ph²p thû (bi¸n cè sì c§p) l mët bë ba ω  pa, b, cq, trong â a, b, c l c¡c sè nguy¶n d÷ìng tø 1 ¸n 6. Vªy Ω  tpa, b, cq | 1 ¤ a ¤ 6, 1 ¤ b ¤ 6, 1 ¤ c ¤ 6u v | Ω | 6 ¢ 6 ¢ 6  63  216. Gåi A l bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§t. C¡c bë ba pa, b, cq câ têng b¬ng 9 l : p1, 2, 6q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 3, 5q v n«m ho¡n và cõa nâ; p1, 4, 4q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 5q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 3, 4q v n«m ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 3q. Sè tr÷íng hñp thuªn lñi l | A | 6 6 3 6 3 1  25. V¼ c¡c con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t n¶n câ thº cho r¬ng c¡c k¸t qu£ l çng kh£ n«ng. Vªy 25 PpAq  0 1157 216 ≈ , . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 111 / 664
  44. Th½ dö B i to¡n Tr÷îc cûa tr÷íng ¤i håc câ ba qu¡n cìm b¼nh d¥n ch§t l÷ñng ngang nhau. Ba sinh vi¶n A, B, C ëc lªp vîi nhau chån ng¨u nhi¶n mët qu¡n «n º «n tr÷a. T½nh x¡c su§t cõa c¡c bi¸n cè sau: 3 sinh vi¶n v o còng mët qu¡n; 2 sinh vi¶n v o còng mët qu¡n, cán ng÷íi kia th¼ v o qu¡n kh¡c. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 112 / 664
  45. Th½ dö Líi gi£i: ¡nh sè ba qu¡n cìm l 1, 2, 3. Gåi a, b, c l¦n l÷ñt l ba qu¡n cìm m sinh vi¶n A, B, C chån. Vªy Ω l tªp c¡c bë ba pa, b, cq vîi 1 ¤ a, b, c ¤ 3. Rã r ng | Ω | 33  27. Ta câ thº coi c¡c k¸t qu£ l çng kh£ n«ng. Vîi c¥u häi ¦u, ta câ 3 tr÷íng hñp thuªn lñi l p1, 1, 1q, p2, 2, 2q, p3, 3, 3q. 3 1 Vªy P   . 27 9 Vîi c¥u häi thù hai, ta câ c¡c tr÷íng hñp thuªn lñi: p1, 1, 2q v hai ho¡n và cõa nâ; p1, 1, 3q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 1q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 3q v hai ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 1q v hai ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 2q v hai ho¡n và cõa nâ. 18 2 | A | 6 ¢ 3  18. Vªy PpAq   27 3. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 113 / 664
  46. Th½ dö Líi gi£i: ¡nh sè ba qu¡n cìm l 1, 2, 3. Gåi a, b, c l¦n l÷ñt l ba qu¡n cìm m sinh vi¶n A, B, C chån. Vªy Ω l tªp c¡c bë ba pa, b, cq vîi 1 ¤ a, b, c ¤ 3. Rã r ng | Ω | 33  27. Ta câ thº coi c¡c k¸t qu£ l çng kh£ n«ng. Vîi c¥u häi ¦u, ta câ 3 tr÷íng hñp thuªn lñi l p1, 1, 1q, p2, 2, 2q, p3, 3, 3q. 3 1 Vªy P   . 27 9 Vîi c¥u häi thù hai, ta câ c¡c tr÷íng hñp thuªn lñi: p1, 1, 2q v hai ho¡n và cõa nâ; p1, 1, 3q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 1q v hai ho¡n và cõa nâ; p2, 2, 3q v hai ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 1q v hai ho¡n và cõa nâ; p3, 3, 2q v hai ho¡n và cõa nâ. 18 2 | A | 6 ¢ 3  18. Vªy PpAq   27 3. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 113 / 664
  47. ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn - X¡c su§t theo h¼nh håc Mð rëng trong tr÷íng hñp ph²p thû câ væ h¤n k¸t qu£ çng kh£ n«ng: ành ngh¾a N¸u ph²p thû câ væ h¤n k¸t qu£ çng kh£ n«ng v tªp c¡c k¸t qu£ â câ thº biºu di¹n b¬ng mët mi·n h¼nh håc o ÷ñc G (câ thº l§y ÷ñc di»n t½ch SG ), cán c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A ÷ñc biºu di¹n bði mët mi·n con H „ G câ di»n t½ch SH th¼ x¡c su§t cõa bi¸n cè A l : SH PpAq  . SG X¡c su§t ành ngh¾a theo h¼nh håc công thäa m¢n c¡c t½nh ch§t cõa x¡c su§t cê iºn. Tuy nhi¶n, do mët mi·n câ sè o b¬ng 0 nhúng v¨n câ thº kh¡c réng n¶n mët bi¸n cè câ x¡c su§t 0 ch÷a ch­c ¢ l bi¸n cè khæng thº câ. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 114 / 664
  48. Th½ dö B i to¡n (B i to¡n g°p nhau) X v Y hµn g°p nhau t¤i mët àa iºm tø 8h ¸n 9h vîi qui ÷îc ng÷íi ¸n tr÷îc chí qu¡ 20 phót m khæng g°p th¼ s³ bä i. T¼m x¡c su§t º hå g°p nhau, bi¸t r¬ng méi ng÷íi câ thº ¸n nìi hµn v o thíi iºm b§t k¼ trong thíi gian tr¶n. Líi gi£i: L§y gèc tåa ë l 8h, gåi x l thíi iºm ¸n cõa X , y l thíi iºm ¸n cõa Y , ìn và t½nh theo phót. Khi â khæng gian m¨u l tªp c¡c iºm Mpx, yq thäa m¢n: Ω  tMpx, yq | 0 ¤ x ¤ 60; 0 ¤ y ¤ 60u. Gåi A l bi¸n cè hai ng÷íi g°p nhau. Khi â tªp c¡c bi¸n cè sì c§p thuªn lñi cho A l tªp c¡c iºm Npx, yq thäa m¢n: A  tNpx, yq | x ¡ 20 ¤ y ¤ x 20u  tNpx, yq | ¡20 ¤ y ¡ x ¤ 20u. Biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë v t½nh di»n t½ch c¡c mi·n t÷ìng ùng ta câ 602 ¡ 402 5 PpAq   602 9. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 115 / 664
  49. Th½ dö B i to¡n (B i to¡n g°p nhau) X v Y hµn g°p nhau t¤i mët àa iºm tø 8h ¸n 9h vîi qui ÷îc ng÷íi ¸n tr÷îc chí qu¡ 20 phót m khæng g°p th¼ s³ bä i. T¼m x¡c su§t º hå g°p nhau, bi¸t r¬ng méi ng÷íi câ thº ¸n nìi hµn v o thíi iºm b§t k¼ trong thíi gian tr¶n. Líi gi£i: L§y gèc tåa ë l 8h, gåi x l thíi iºm ¸n cõa X , y l thíi iºm ¸n cõa Y , ìn và t½nh theo phót. Khi â khæng gian m¨u l tªp c¡c iºm Mpx, yq thäa m¢n: Ω  tMpx, yq | 0 ¤ x ¤ 60; 0 ¤ y ¤ 60u. Gåi A l bi¸n cè hai ng÷íi g°p nhau. Khi â tªp c¡c bi¸n cè sì c§p thuªn lñi cho A l tªp c¡c iºm Npx, yq thäa m¢n: A  tNpx, yq | x ¡ 20 ¤ y ¤ x 20u  tNpx, yq | ¡20 ¤ y ¡ x ¤ 20u. Biºu di¹n tr¶n m°t ph¯ng tåa ë v t½nh di»n t½ch c¡c mi·n t÷ìng ùng ta câ 602 ¡ 402 5 PpAq   602 9. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 115 / 664
  50. Th½ dö B i to¡n (Gieo kim cõa Buffon) Tr¶n m°t ph¯ng k´ nhúng ÷íng th¯ng song song c¡ch ·u nhau mët kho£ng d, gieo ng¨u nhi¶n mët chi¸c kim câ ë d i l (l d). T½nh x¡c su§t kim c­t mët trong sè c¡c ÷íng th¯ng song song ¢ cho. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 116 / 664
  51. Th½ dö K¸t qu£ gieo: Gñi þ: Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 117 / 664
  52. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 118 / 664
  53. ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t ành ngh¾a Gi£ sû ph²p thû C câ thº ÷ñc thüc hi»n l°p l¤i r§t nhi·u l¦n trong nhúng i·u ki»n gièng h»t nhau. N¸u trong n l¦n thüc hi»n ph²p thû C , bi¸n cè A kpAq xu§t hi»n kpAq l¦n th¼ t¿ sè f pAq  ÷ñc gåi l t¦n su§t xu§t hi»n cõa n n bi¸n cè A trong n ph²p thû. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng khi sè ph²p thû n t«ng ra væ h¤n th¼ t¦n su§t fnpAq luæn d¦n tîi mët giîi h¤n x¡c ành. Giîi h¤n â ÷ñc ành ngh¾a l x¡c su§t cõa A: PpAq  limnÑ8 fnpAq. Tr¶n thüc t¸, PpAq ÷ñc t½nh x§p x¿ bði t¦n su§t fnpAq vîi n õ lîn. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 119 / 664
  54. ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t ành ngh¾a Gi£ sû ph²p thû C câ thº ÷ñc thüc hi»n l°p l¤i r§t nhi·u l¦n trong nhúng i·u ki»n gièng h»t nhau. N¸u trong n l¦n thüc hi»n ph²p thû C , bi¸n cè A kpAq xu§t hi»n kpAq l¦n th¼ t¿ sè f pAq  ÷ñc gåi l t¦n su§t xu§t hi»n cõa n n bi¸n cè A trong n ph²p thû. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng khi sè ph²p thû n t«ng ra væ h¤n th¼ t¦n su§t fnpAq luæn d¦n tîi mët giîi h¤n x¡c ành. Giîi h¤n â ÷ñc ành ngh¾a l x¡c su§t cõa A: PpAq  limnÑ8 fnpAq. Tr¶n thüc t¸, PpAq ÷ñc t½nh x§p x¿ bði t¦n su§t fnpAq vîi n õ lîn. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 119 / 664
  55. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 120 / 664
  56. Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä Mët bi¸n cè khæng thº, câ x¡c su§t b¬ng khæng. Tuy nhi¶n, mët bi¸n cè câ x¡c su§t b¬ng khæng v¨n câ thº x£y ra trong mët sè r§t lîn ph²p thû. Qua thüc nghi»m v quan s¡t thüc t¸, ng÷íi ta th§y r¬ng c¡c bi¸n cè câ x¡c su§t b² s³ khæng x£y ra khi ta ch¿ thüc hi»n mët ph²p thû hay mët v i ph²p thû. Nguy¶n l½ (Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä) N¸u mët bi¸n cè câ x¡c xu§t r§t nhä th¼ thüc t¸ câ thº cho r¬ng trong mët ph²p thû, bi¸n cè â khæng x£y ra. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 121 / 664
  57. Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä Mët bi¸n cè khæng thº, câ x¡c su§t b¬ng khæng. Tuy nhi¶n, mët bi¸n cè câ x¡c su§t b¬ng khæng v¨n câ thº x£y ra trong mët sè r§t lîn ph²p thû. Qua thüc nghi»m v quan s¡t thüc t¸, ng÷íi ta th§y r¬ng c¡c bi¸n cè câ x¡c su§t b² s³ khæng x£y ra khi ta ch¿ thüc hi»n mët ph²p thû hay mët v i ph²p thû. Nguy¶n l½ (Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä) N¸u mët bi¸n cè câ x¡c xu§t r§t nhä th¼ thüc t¸ câ thº cho r¬ng trong mët ph²p thû, bi¸n cè â khæng x£y ra. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 121 / 664
  58. Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä Ch¯ng h¤n méi chi¸c m¡y bay ·u câ mët x¡c su§t r§t nhä º x£y ra tai n¤n. Nh÷ng tr¶n thüc t¸, ta v¨n khæng tø chèi i m¡y bay v¼ tin t÷ðng r¬ng trong chuy¸n bay ta i, sü ki»n m¡y bay rìi s³ khæng x£y ra. Vi»c qui ành mùc x¡c su§t th¸ n o ÷ñc gåi l nhä tòy thuëc v o tøng b i to¡n cö thº. Ch¯ng h¤n x¡c su§t º m¡y bay rìi l 0.01 th¼ x¡c su§t â ch÷a ÷ñc coi l nhä nh÷ng n¸u x¡c su§t º mët chuy¸n t u khði h nh chªm l 0.01 th¼ câ thº coi x¡c su§t â l nhä. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 122 / 664
  59. Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä Ch¯ng h¤n méi chi¸c m¡y bay ·u câ mët x¡c su§t r§t nhä º x£y ra tai n¤n. Nh÷ng tr¶n thüc t¸, ta v¨n khæng tø chèi i m¡y bay v¼ tin t÷ðng r¬ng trong chuy¸n bay ta i, sü ki»n m¡y bay rìi s³ khæng x£y ra. Vi»c qui ành mùc x¡c su§t th¸ n o ÷ñc gåi l nhä tòy thuëc v o tøng b i to¡n cö thº. Ch¯ng h¤n x¡c su§t º m¡y bay rìi l 0.01 th¼ x¡c su§t â ch÷a ÷ñc coi l nhä nh÷ng n¸u x¡c su§t º mët chuy¸n t u khði h nh chªm l 0.01 th¼ câ thº coi x¡c su§t â l nhä. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 122 / 664
  60. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 123 / 664
  61. Qui t­c cëng x¡c su§t ành l½ (Qui t­c cëng x¡c su§t) N¸u A v B l hai bi¸n cè xung kh­c th¼: PpA Y Bq  PpAq PpBq. Mët c¡ch têng qu¡t, cho c¡c bi¸n cè A1, A2, , An sao cho hai bi¸n cè b§t ký l xung kh­c (xung kh­c tøng æi). Khi â: ¸n PpA1 Y A2 Y Y Anq  PpAi q. i1 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 124 / 664
  62. Qui t­c cëng x¡c su§t têng qu¡t ành l½ (Qui t­c cëng x¡c su§t têng qu¡t) N¸u A v B l hai bi¸n cè b§t ký (khæng nh§t thi¸t xung kh­c) th¼: PpA Y Bq  PpAq PpBq ¡ PpABq. Ta câ thº mð rëng cæng thùc tr¶n cho hñp cõa ba bi¸n cè, nhi·u bi¸n cè: PpA Y B Y Cq  PpAq PpBq PpCq ¡ PpABq ¡ PpACq ¡ PpBCq PpABCq. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 125 / 664
  63. Qui t­c chuyºn sang bi¸n cè èi Trong nhi·u b i to¡n, vi»c t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè A khâ hìn nhi·u so vîi vi»c t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè èi A¯. Khi â ta s³ t½nh PpA¯q rçi tø â t¼m PpAq nhí: Qui t­c chuyºn sang bi¸n cè èi: ành l½ PpAq  1 ¡ PpA¯q. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 126 / 664
  64. Qui t­c chuyºn sang bi¸n cè èi Trong nhi·u b i to¡n, vi»c t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè A khâ hìn nhi·u so vîi vi»c t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè èi A¯. Khi â ta s³ t½nh PpA¯q rçi tø â t¼m PpAq nhí: Qui t­c chuyºn sang bi¸n cè èi: ành l½ PpAq  1 ¡ PpA¯q. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 126 / 664
  65. Th½ dö B i to¡n Mët vòng d¥n c÷ câ t l» m­c b»nh tim l 9%, m­c b»nh huy¸t ¡p l 12% v m­c c£ hai b»nh l 7%. Chån ng¨u nhi¶n mët ng÷íi trong vòng d¥n c÷ â. T½nh x¡c su§t º ng÷íi â khæng m­c c£ b»nh tim v b»nh huy¸t ¡p. Líi gi£i: Kþ hi»u A: Ng÷íi â m­c b»nh tim, B: Ng÷íi â m­c b»nh huy¸t ¡p. Tø gi£ thi¸t: PpAq  0, 09, PpBq  0, 12 v PpABq  0, 07. Gåi H l bi¸n cè: Ng÷íi â khæng m­c c£ b»nh tim v b»nh huy¸t ¡p. Bi¸n cè èi H¯ l : Ng÷íi â m­c b»nh tim ho°c b»nh huy¸t ¡p. Ta câ H¯  A Y B. Theo quy t­c cëng x¡c su§t têng qu¡t ta câ: PpH¯ q  PpA Y Bq  PpAq PpBq ¡ PpABq  0, 14. Theo quy t­c chuyºn sang bi¸n cè èi: PpHq  1 ¡ PpH¯ q  0, 86. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 127 / 664
  66. Th½ dö B i to¡n Mët vòng d¥n c÷ câ t l» m­c b»nh tim l 9%, m­c b»nh huy¸t ¡p l 12% v m­c c£ hai b»nh l 7%. Chån ng¨u nhi¶n mët ng÷íi trong vòng d¥n c÷ â. T½nh x¡c su§t º ng÷íi â khæng m­c c£ b»nh tim v b»nh huy¸t ¡p. Líi gi£i: Kþ hi»u A: Ng÷íi â m­c b»nh tim, B: Ng÷íi â m­c b»nh huy¸t ¡p. Tø gi£ thi¸t: PpAq  0, 09, PpBq  0, 12 v PpABq  0, 07. Gåi H l bi¸n cè: Ng÷íi â khæng m­c c£ b»nh tim v b»nh huy¸t ¡p. Bi¸n cè èi H¯ l : Ng÷íi â m­c b»nh tim ho°c b»nh huy¸t ¡p. Ta câ H¯  A Y B. Theo quy t­c cëng x¡c su§t têng qu¡t ta câ: PpH¯ q  PpA Y Bq  PpAq PpBq ¡ PpABq  0, 14. Theo quy t­c chuyºn sang bi¸n cè èi: PpHq  1 ¡ PpH¯ q  0, 86. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 127 / 664
  67. Qui t­c nh¥n ành ngh¾a Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l ëc lªp vîi nhau n¸u vi»c x£y ra hay khæng x£y ra bi¸n cè n y khæng l m £nh h÷ðng tîi x¡c su§t cõa vi»c x£y ra hay khæng x£y ra bi¸n cè kia. ành l½ N¸u hai bi¸n cè A v B ëc lªp th¼: PpABq  PpAq.PpBq. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 128 / 664
  68. Qui t­c nh¥n ành ngh¾a C¡c bi¸n cè A1, A2, , An ÷ñc gåi l ëc lªp n¸u vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa mët nhâm b§t k¼ k bi¸n cè p1 ¤ k ¤ nq khæng l m £nh h÷ðng tîi x¡c su§t cõa vi»c x£y ra hay khæng x£y ra cõa c¡c bi¸n cè cán l¤i. ành l½ N¸u c¡c bi¸n cè A1, A2, , An ëc lªp th¼: PpA1A2 Anq  PpA1q.PpA2q PpAnq. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 129 / 664
  69. Th½ dö B i to¡n Ba x¤ thõ A, B, C ëc lªp vîi nhau còng nê sóng v o mët möc ti¶u. X¡c su§t b­n tróng cõa x¤ thõ A, B v C t÷ìng ùng l 0,4, 0,5, 0,7. T½nh x¡c su§t º ch¿ câ duy nh§t mët x¤ thõ b­n tróng? Líi gi£i: Kþ hi»u A l bi¸n cè: X¤ thõ A b­n tróng (PpAq  0, 4), B l bi¸n cè: X¤ thõ B b­n tróng (PpBq  0, 5), C l bi¸n cè: X¤ thõ C b­n tróng (PpCq  0, 7). Gåi H l bi¸n cè: Ch¿ câ duy nh§t mët x¤ thõ b­n tróng. Ta câ H  AB¯C¯ Y AB¯ C¯ Y A¯BC¯ . Sû döng quy t­c cëng v nh¥n x¡c su§t (chó þ r¬ng A, B, C ëc lªp) ta câ: PpHq  PpAqPpB¯qPpC¯q PpA¯qPpBqPpC¯q PpA¯qPpB¯qPpCq  0, 36. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 130 / 664
  70. Th½ dö B i to¡n Ba x¤ thõ A, B, C ëc lªp vîi nhau còng nê sóng v o mët möc ti¶u. X¡c su§t b­n tróng cõa x¤ thõ A, B v C t÷ìng ùng l 0,4, 0,5, 0,7. T½nh x¡c su§t º ch¿ câ duy nh§t mët x¤ thõ b­n tróng? Líi gi£i: Kþ hi»u A l bi¸n cè: X¤ thõ A b­n tróng (PpAq  0, 4), B l bi¸n cè: X¤ thõ B b­n tróng (PpBq  0, 5), C l bi¸n cè: X¤ thõ C b­n tróng (PpCq  0, 7). Gåi H l bi¸n cè: Ch¿ câ duy nh§t mët x¤ thõ b­n tróng. Ta câ H  AB¯C¯ Y AB¯ C¯ Y A¯BC¯ . Sû döng quy t­c cëng v nh¥n x¡c su§t (chó þ r¬ng A, B, C ëc lªp) ta câ: PpHq  PpAqPpB¯qPpC¯q PpA¯qPpBqPpC¯q PpA¯qPpB¯qPpCq  0, 36. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 130 / 664
  71. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 131 / 664
  72. X¡c su§t câ i·u ki»n ành ngh¾a Gi£ sû A l mët bi¸n cè, B l mët bi¸n cè kh¡c. X¡c su§t cõa B ÷ñc t½nh trong i·u ki»n bi¸t r¬ng A ¢ x£y ra ÷ñc gåi l x¡c su§t cõa B vîi i·u ki»n A v ÷ñc kþ hi»u l PpB{Aq. ành l½ Cho A v B l hai bi¸n cè b§t ký, trong â PpAq  0. Khi â x¡c su§t câ i·u ki»n PpB{Aq ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau: PpABq PpB{Aq  PpAq . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 132 / 664
  73. X¡c su§t câ i·u ki»n Chó þ: N¸u PpAq  0 th¼ x¡c su§t câ i·u ki»n PpB{Aq v¨n tçn t¤i nh÷ng ta khæng ¡p döng cæng thùc tr¶n ÷ñc. X¡c su§t câ i·u ki»n PpB{Aq câ thº t½nh trüc ti¸p tø bèi c£nh b i to¡n m khæng c¦n thæng qua cæng thùc tr¶n. Tø ành l½ tr¶n ta câ: PpABq  PpAq.PpB{Aq  PpBq.PpA{Bq. Vai trá cõa PpA{Bq v PpB{Aq l t÷ìng ÷ìng nhau trong cæng thùc t½nh PpABq nh÷ng tòy tøng t¼nh huèng cö thº ta câ thº dòng x¡c su§t n y m khæng dòng x¡c su§t kia. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 133 / 664
  74. C¡c t½nh ch§t cõa x¡c su§t câ i·u ki»n T½nh ch§t 0 ¤ PpB{Aq ¤ 1, PpA{Aq  1, N¸u BC  H th¼ PpB Y C{Aq  PpB{Aq PpC{Aq, PpB¯{Aq  1 ¡ PpB{Aq. N¸u c¡c bi¸n cè A v B ëc lªp th¼: PpB{Aq  PpBq ho°c PpA{Bq  PpAq. N¸u A v B ëc lªp vîi nhau th¼ A, B¯ ëc lªp vîi nhau, A¯, B ëc lªp vîi nhau v A¯, B¯ ëc lªp vîi nhau. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 134 / 664
  75. Th½ dö B i to¡n Trong mët vòng d¥n c÷, t l» nghi»n thuèc l¡ m m­c chùng ung th÷ hång l 15%. Câ 25% sè ng÷íi nghi»n thuèc l¡ nh÷ng khæng m­c ung th÷ hång, 50% sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc v công khæng bà ung th÷ hång v câ 10% sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc nh÷ng m­c chùng ung th÷ hång. Li»u câ thº rót ra k¸t luªn g¼ v· mèi quan h» giúa b»nh ung th÷ hång v thâi quen hót thuèc l¡? Líi gi£i: Chóng ta i so s¡nh x¡c su§t º mët ng÷íi bà ung th÷ hång vîi i·u ki»n ng÷íi §y nghi»n thuèc l¡ vîi x¡c su§t º mët ng÷íi bà ung th÷ hång vîi i·u ki»n ng÷íi §y khæng nghi»n thuèc l¡. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 135 / 664
  76. Th½ dö B i to¡n Trong mët vòng d¥n c÷, t l» nghi»n thuèc l¡ m m­c chùng ung th÷ hång l 15%. Câ 25% sè ng÷íi nghi»n thuèc l¡ nh÷ng khæng m­c ung th÷ hång, 50% sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc v công khæng bà ung th÷ hång v câ 10% sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc nh÷ng m­c chùng ung th÷ hång. Li»u câ thº rót ra k¸t luªn g¼ v· mèi quan h» giúa b»nh ung th÷ hång v thâi quen hót thuèc l¡? Líi gi£i: Chóng ta i so s¡nh x¡c su§t º mët ng÷íi bà ung th÷ hång vîi i·u ki»n ng÷íi §y nghi»n thuèc l¡ vîi x¡c su§t º mët ng÷íi bà ung th÷ hång vîi i·u ki»n ng÷íi §y khæng nghi»n thuèc l¡. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 135 / 664
  77. Th½ dö Kþ hi»u A l bi¸n cè: Ng÷íi â nghi»n thuèc l¡, B l bi¸n cè: Ng÷íi â bà ung PpABq PpAB¯ q th÷ hång. Ta câ PpB{Aq  v PpB{A¯q  . Theo gi£ thi¸t PpAq PpA¯q PpABq  0, 15 cán PpAB¯ q  0, 10. M°t kh¡c PpAq  PpABq PpAB¯q  0, 40 v PpA¯q  1 ¡ PpAq  0, 6. Thay v o ta câ PpB{Aq  0, 375 v PpB{A¯q  0, 167. i·u â câ ngh¾a l nghi»n thuèc l¡ s³ câ nguy cì ung th÷ hång lîn g§p æi ng÷íi khæng nghi»n thuèc l¡. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 136 / 664
  78. Qui t­c nh¥n têng qu¡t ành l½ (Qui t­c nh¥n têng qu¡t) Vîi n bi¸n cè b§t k¼ A1, A2, , An ta câ: PpA1A2 Anq  PpA1qPpA2{A1qPpA3{A1A2q PpAn{A1A2 An¡1q. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 137 / 664
  79. Th½ dö B i to¡n Mët thõ kho câ mët chòm ch¼a khâa gçm 9 chi¸c b· ngo i træng gièng nhau, trong â ch¿ câ hai chi¸c mð ÷ñc cûa kho. Anh ta thû ng¨u nhi¶n tøng ch¼a (ch¼a n o khæng tróng th¼ bä ra). T¼m x¡c su§t º anh ta mð ÷ñc cûa ð l¦n thû thù ba. Líi gi£i: K½ hi»u Ai l bi¸n cè: Mð ÷ñc cûa ð l¦n thû thù i. Ta ph£i t¼m PpA¯1A¯2A3q. p döng qui t­c nh¥n ta câ: PpA¯1A¯2A3q  PpA¯1q.PpA¯2{A¯1q.PpA3{A¯1A¯2q. D¹ th§y 7 6 2 PpA¯ q  PpA¯ {A¯ q  PpA {A¯ {A¯ q  1 9, 2 1 8, 3 1 2 7. 1 Thay v o ta câ PpA¯ A¯ A q  . 1 2 3 6 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 138 / 664
  80. Th½ dö B i to¡n Mët thõ kho câ mët chòm ch¼a khâa gçm 9 chi¸c b· ngo i træng gièng nhau, trong â ch¿ câ hai chi¸c mð ÷ñc cûa kho. Anh ta thû ng¨u nhi¶n tøng ch¼a (ch¼a n o khæng tróng th¼ bä ra). T¼m x¡c su§t º anh ta mð ÷ñc cûa ð l¦n thû thù ba. Líi gi£i: K½ hi»u Ai l bi¸n cè: Mð ÷ñc cûa ð l¦n thû thù i. Ta ph£i t¼m PpA¯1A¯2A3q. p döng qui t­c nh¥n ta câ: PpA¯1A¯2A3q  PpA¯1q.PpA¯2{A¯1q.PpA3{A¯1A¯2q. D¹ th§y 7 6 2 PpA¯ q  PpA¯ {A¯ q  PpA {A¯ {A¯ q  1 9, 2 1 8, 3 1 2 7. 1 Thay v o ta câ PpA¯ A¯ A q  . 1 2 3 6 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 138 / 664
  81. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 139 / 664
  82. Cæng thùc x¡c xu§t ¦y õ ành ngh¾a C¡c bi¸n cè B1, B2, , Bn ÷ñc gåi l mët h» ¦y õ c¡c bi¸n cè n¸u chóng æi mët xung kh­c vîi nhau v hñp cõa chóng l bi¸n cè ch­c ch­n. ành l½ (Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ) N¸u c¡c bi¸n cè B1, B2, , Bn l mët h» ¦y õ c¡c bi¸n cè th¼ vîi méi bi¸n cè A ta câ: ¸n PpAq  PpBi qPpA{Bi q. i1 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 140 / 664
  83. Cæng thùc x¡c xu§t ¦y õ ành ngh¾a C¡c bi¸n cè B1, B2, , Bn ÷ñc gåi l mët h» ¦y õ c¡c bi¸n cè n¸u chóng æi mët xung kh­c vîi nhau v hñp cõa chóng l bi¸n cè ch­c ch­n. ành l½ (Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ) N¸u c¡c bi¸n cè B1, B2, , Bn l mët h» ¦y õ c¡c bi¸n cè th¼ vîi méi bi¸n cè A ta câ: ¸n PpAq  PpBi qPpA{Bi q. i1 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 140 / 664
  84. Cæng thùc x¡c xu§t ¦y õ Chùng minh. C¡c bi¸n cè AB1, AB2, , ABn æi mët xung kh­c vîi nhau v n n Yi1ABi  A Yi1 Bi  AΩ  A. °n Vªy PpAq  i1 PpABi q. Theo qui t­c nh¥n PpABi q  PpBi qPpA{Bi q, thay v o ta câ ¸n PpAq  PpBi qPpA{Bi q. i1 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 141 / 664
  85. Th½ dö B i to¡n Trong mët nh m¡y câ ba ph¥n x÷ðng A, B, C t÷ìng ùng l m ra 25%, 35%, 40% têng sè s£n ph©m cõa nh m¡y. Bi¸t r¬ng x¡c su§t l m ra mët s£n ph©m häng cõa ph¥n x÷ðng A l 0, 01, cõa ph¥n x÷ðng B l 0, 02 v cõa ph¥n x÷ðng C l 0, 025. Chån ng¨u nhi¶n mët s£n ph©m cõa nh m¡y. T½nh x¡c su§t º â l mët s£n ph©m häng. Líi gi£i: K½ hi»u A, B, C l¦n l÷ñt l c¡c bi¸n cè S£n ph©m â l cõa ph¥n x÷ðng A, B, C, H l bi¸n cè S£n ph©m â l s£n ph©m häng. Ta câ A, B, C l h» ¦y õ vîi PpAq  0, 25, PpBq  0, 35, PpCq  0, 4. p döng cæng thùc x¡c su§t ¦y õ ta câ: PpHq  PpAqPpH{Aq PpBqPpH{Bq PpCqPpH{Cq. Theo gi£ thi¸t: PpH{Aq  0, 01, PpH{Bq  0, 02, PpH{Cq  0, 025. Thay v o ta t¼m ÷ñc PpHq  0, 0195. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 142 / 664
  86. Th½ dö B i to¡n Trong mët nh m¡y câ ba ph¥n x÷ðng A, B, C t÷ìng ùng l m ra 25%, 35%, 40% têng sè s£n ph©m cõa nh m¡y. Bi¸t r¬ng x¡c su§t l m ra mët s£n ph©m häng cõa ph¥n x÷ðng A l 0, 01, cõa ph¥n x÷ðng B l 0, 02 v cõa ph¥n x÷ðng C l 0, 025. Chån ng¨u nhi¶n mët s£n ph©m cõa nh m¡y. T½nh x¡c su§t º â l mët s£n ph©m häng. Líi gi£i: K½ hi»u A, B, C l¦n l÷ñt l c¡c bi¸n cè S£n ph©m â l cõa ph¥n x÷ðng A, B, C, H l bi¸n cè S£n ph©m â l s£n ph©m häng. Ta câ A, B, C l h» ¦y õ vîi PpAq  0, 25, PpBq  0, 35, PpCq  0, 4. p döng cæng thùc x¡c su§t ¦y õ ta câ: PpHq  PpAqPpH{Aq PpBqPpH{Bq PpCqPpH{Cq. Theo gi£ thi¸t: PpH{Aq  0, 01, PpH{Bq  0, 02, PpH{Cq  0, 025. Thay v o ta t¼m ÷ñc PpHq  0, 0195. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 142 / 664
  87. Nëi dung tr¼nh b y 15 Ph²p thû ng¨u nhi¶n v Khæng gian m¨u 16 Bi¸n cè v mèi quan h» giúa chóng Kh¡i ni»m bi¸n cè Quan h» giúa c¡c bi¸n cè 17 X¡c su§t cõa mët bi¸n cè ành ngh¾a x¡c su§t cê iºn ành ngh¾a x¡c su§t b¬ng t¦n su§t Nguy¶n l½ x¡c su§t nhä 18 C¡c qui t­c t½nh x¡c su§t Qui t­c cëng, nh¥n x¡c su§t v chuyºn sang bi¸n cè èi X¡c su§t câ i·u ki»n 19 Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ v cæng thùc Bayes Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ Cæng thùc Bayes 20 D¢y ph²p thû Bernouilli Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 143 / 664
  88. Cæng thùc Bayes ành l½ (Cæng thùc Bayes) N¸u B1, B2, , Bn l mët h» ¦y õ c¡c bi¸n cè v A l mët bi¸n cè vîi PpAq  0 th¼ vîi méi k  1, 2, n ta câ: PpBk qPpA{Bk q PpBk {Aq  °n . i1 PpBi qPpA{Bi q Chùng minh. Theo qui t­c nh¥n: PpAqPpBk {Aq  PpABk q  PpBk qPpA{Bk q. Vªy PpB qPpA{B q ° PpB {Aq  k k . M°t kh¡c PpAq  i1 PpB qPpA{B q. Thay v o k PpAq n i i m¨u sè ta câ i·u ph£i chùng minh. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 144 / 664
  89. Cæng thùc Bayes C¡c x¡c su§t PpB1q, , PpBnq ÷ñc gåi l c¡c x¡c su§t ti¶n nghi»m (tr÷îc th½ nghi»m). Sau khi quan s¡t ÷ñc r¬ng bi¸n cè A ¢ x£y ra, c¡c x¡c su§t cõa Bi ÷ñc t½nh tr¶n thæng tin n y (tùc l c¡c x¡c su§t câ i·u ki»n PpBi {Aq ÷ñc gåi l c¡c x¡c su§t hªu nghi»m. V¼ th¸, cæng thùc Bayes cán câ t¶n l cæng thùc x¡c su§t hªu nghi»m. Cæng thùc Bayes câ r§t nhi·u ùng döng, °c bi»t trong c¡c nghi¶n cùu v· y håc, x¢ hëi håc, Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 145 / 664
  90. Th½ dö B i to¡n 2 T¿ l» xe æ tæ con v xe t£i qua ÷íng câ mët tr¤m x«ng l . X¡c su§t º xe t£i 5 mua x«ng l 0, 1, º xe con mua x«ng l 0, 2. Câ mët æ tæ i qua tr¤m x«ng. T½nh x¡c su§t º xe â v o mua x«ng. Bi¸t xe â v o mua x«ng, t½nh x¡c su§t º â l xe con. Líi gi£i: K½ hi»u Ac (At ) l bi¸n cè Xe con (xe t£i) qua tr¤m, A l bi¸n cè Xe 2 5 v o mua x«ng. Ta câ PpA q  , PpA q  , PpA{A q  0 2, PpA{A q  0 1. c 7 t 7 c , t , X¡c su§t º xe v o mua x«ng: PpAq  PpAc qPpA{Ac q PpAt qPpA{At q  0, 12857. X¡c su§t º xe mua x«ng l PpA qPpA{A q xe con: PpA {Aq  c c  0 44445. c PpAq , Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 146 / 664
  91. Th½ dö B i to¡n 2 T¿ l» xe æ tæ con v xe t£i qua ÷íng câ mët tr¤m x«ng l . X¡c su§t º xe t£i 5 mua x«ng l 0, 1, º xe con mua x«ng l 0, 2. Câ mët æ tæ i qua tr¤m x«ng. T½nh x¡c su§t º xe â v o mua x«ng. Bi¸t xe â v o mua x«ng, t½nh x¡c su§t º â l xe con. Líi gi£i: K½ hi»u Ac (At ) l bi¸n cè Xe con (xe t£i) qua tr¤m, A l bi¸n cè Xe 2 5 v o mua x«ng. Ta câ PpA q  , PpA q  , PpA{A q  0 2, PpA{A q  0 1. c 7 t 7 c , t , X¡c su§t º xe v o mua x«ng: PpAq  PpAc qPpA{Ac q PpAt qPpA{At q  0, 12857. X¡c su§t º xe mua x«ng l PpA qPpA{A q xe con: PpA {Aq  c c  0 44445. c PpAq , Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 146 / 664
  92. ành ngh¾a ành ngh¾a (L÷ñc ç Bernoulli) n ph²p thû ÷ñc ti¸n h nh ëc lªp (tùc l c¡c k¸t qu£ cõa ph²p thû n y khæng £nh h÷ðng g¼ ¸n k¸t qu£ cõa ph²p thû kia) ÷ñc gåi l n ph²p thû Bernoulli ho°c mët l÷ñc ç Bernoulli n¸u chóng thäa m¢n hai i·u ki»n sau: Méi ph²p thû câ hai k¸t qu£ A v A;¯ PpAq  p; PpAq nh÷ nhau èi vîi måi ph²p thû. Th½ dö: Gieo mët con xóc x­c 100 l¦n, A l bi¸n cè xu§t hi»n m°t löc. â l 100 ph²p thû Bernoulli; Mët ng÷íi b­n l¦n l÷ñt 5 vi¶n ¤n v o möc ti¶u l 5 ph²p thû Bernoulli. Nh÷ng n¸u 5 ng÷íi l¦n l÷ñt b­n méi ng÷íi mët vi¶n th¼ nâi chung khæng ph£i l 5 ph²p thû Bernoulli. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 147 / 664
  93. ành ngh¾a ành ngh¾a (L÷ñc ç Bernoulli) n ph²p thû ÷ñc ti¸n h nh ëc lªp (tùc l c¡c k¸t qu£ cõa ph²p thû n y khæng £nh h÷ðng g¼ ¸n k¸t qu£ cõa ph²p thû kia) ÷ñc gåi l n ph²p thû Bernoulli ho°c mët l÷ñc ç Bernoulli n¸u chóng thäa m¢n hai i·u ki»n sau: Méi ph²p thû câ hai k¸t qu£ A v A;¯ PpAq  p; PpAq nh÷ nhau èi vîi måi ph²p thû. Th½ dö: Gieo mët con xóc x­c 100 l¦n, A l bi¸n cè xu§t hi»n m°t löc. â l 100 ph²p thû Bernoulli; Mët ng÷íi b­n l¦n l÷ñt 5 vi¶n ¤n v o möc ti¶u l 5 ph²p thû Bernoulli. Nh÷ng n¸u 5 ng÷íi l¦n l÷ñt b­n méi ng÷íi mët vi¶n th¼ nâi chung khæng ph£i l 5 ph²p thû Bernoulli. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 147 / 664
  94. T¦n sè xu§t hi»n bi¸n cè A Ta c¦n t¼m x¡c su§t sao cho trong n ph²p thû Bernoulli bi¸n cè A xu§t hi»n m l¦n; K½ hi»u x¡c su§t n y l Pnpm, pq, ta câ: M»nh · m m n¡m Pnpm, pq  Cn .p .p1 ¡ pq trong â m  0, 1, 2, , n. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 148 / 664
  95. T¦n sè xu§t hi»n bi¸n cè A Ta c¦n t¼m x¡c su§t sao cho trong n ph²p thû Bernoulli bi¸n cè A xu§t hi»n m l¦n; K½ hi»u x¡c su§t n y l Pnpm, pq, ta câ: M»nh · m m n¡m Pnpm, pq  Cn .p .p1 ¡ pq trong â m  0, 1, 2, , n. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 148 / 664
  96. T¦n sè xu§t hi»n bi¸n cè A Ta c¦n t¼m x¡c su§t sao cho trong n ph²p thû Bernoulli bi¸n cè A xu§t hi»n m l¦n; K½ hi»u x¡c su§t n y l Pnpm, pq, ta câ: M»nh · m m n¡m Pnpm, pq  Cn .p .p1 ¡ pq trong â m  0, 1, 2, , n. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 148 / 664
  97. T¦n sè xu§t hi»n bi¸n cè A Chùng minh. Thªt vªy, c¡c k¸t qu£ câ thº cõa n ph²p thû Bernoulli s³ l mët d¢y gçm n k¸t qu£ A ho°c A¯. ¥y câ thº coi l mët x¥u nhà ph¥n (gçm hai lo¤i k½ hi»u) ë d i n, câ chùa óng m k½ hi»u A v n ¡ m k½ hi»u A¯. Vîi méi mët x¥u nh÷ vªy, x¡c su§t t÷ìng ùng l pm.p1 ¡ pqn¡m. m Ta câ Cn x¥u nh÷ vªy. X¡c su§t c¦n t¼m l m m n¡m Pnpm, pq  Cn .p .p1 ¡ pq . Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 149 / 664
  98. Sè câ kh£ n«ng nh§t Ta gieo mët çng ti·n c¥n èi, çng ch§t 5 l¦n. A l bi¸n cè xu§t hi»n m°t s§p. PpAq  0.5. Sè m°t s§p xu§t hi»n câ thº tø 0 ¸n 5 t÷ìng ùng vîi c¡c m m 5¡m x¡c su§t: P5pm, 0, 5q  C5 p0, 5q p0, 5q , m  0, 5. Trong 6 x¡c su§t tr¶n, s³ tçn t¤i sè lîn nh§t. Sè m t÷ìng ùng vîi x¡c su§t lîn nh§t s³ l sè hay x£y ra nh§t. ành ngh¾a Sè m0 m ùng vîi nâ, Pnpm0, pq lîn nh§t ÷ñc gåi l sè câ kh£ n«ng nh§t: Pnpm0, pq  max0¤m¤n Pnpm, pq. C¡ch t¼m sè câ kh£ n«ng nh§t: N¸u np p ¡ 1 P Z th¼ m0  np p ¡ 1 ho°c m0  np p. N¸u np p ¡ 1 R Z th¼ m0  rnp p ¡ 1s. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 150 / 664
  99. Sè câ kh£ n«ng nh§t Ta gieo mët çng ti·n c¥n èi, çng ch§t 5 l¦n. A l bi¸n cè xu§t hi»n m°t s§p. PpAq  0.5. Sè m°t s§p xu§t hi»n câ thº tø 0 ¸n 5 t÷ìng ùng vîi c¡c m m 5¡m x¡c su§t: P5pm, 0, 5q  C5 p0, 5q p0, 5q , m  0, 5. Trong 6 x¡c su§t tr¶n, s³ tçn t¤i sè lîn nh§t. Sè m t÷ìng ùng vîi x¡c su§t lîn nh§t s³ l sè hay x£y ra nh§t. ành ngh¾a Sè m0 m ùng vîi nâ, Pnpm0, pq lîn nh§t ÷ñc gåi l sè câ kh£ n«ng nh§t: Pnpm0, pq  max0¤m¤n Pnpm, pq. C¡ch t¼m sè câ kh£ n«ng nh§t: N¸u np p ¡ 1 P Z th¼ m0  np p ¡ 1 ho°c m0  np p. N¸u np p ¡ 1 R Z th¼ m0  rnp p ¡ 1s. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 150 / 664
  100. Sè câ kh£ n«ng nh§t Ta gieo mët çng ti·n c¥n èi, çng ch§t 5 l¦n. A l bi¸n cè xu§t hi»n m°t s§p. PpAq  0.5. Sè m°t s§p xu§t hi»n câ thº tø 0 ¸n 5 t÷ìng ùng vîi c¡c m m 5¡m x¡c su§t: P5pm, 0, 5q  C5 p0, 5q p0, 5q , m  0, 5. Trong 6 x¡c su§t tr¶n, s³ tçn t¤i sè lîn nh§t. Sè m t÷ìng ùng vîi x¡c su§t lîn nh§t s³ l sè hay x£y ra nh§t. ành ngh¾a Sè m0 m ùng vîi nâ, Pnpm0, pq lîn nh§t ÷ñc gåi l sè câ kh£ n«ng nh§t: Pnpm0, pq  max0¤m¤n Pnpm, pq. C¡ch t¼m sè câ kh£ n«ng nh§t: N¸u np p ¡ 1 P Z th¼ m0  np p ¡ 1 ho°c m0  np p. N¸u np p ¡ 1 R Z th¼ m0  rnp p ¡ 1s. Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 150 / 664
  101. Th½ dö B i to¡n Mët læ h¤t gièng vîi t¿ l» h¤t l²p l 5%. C¦n ph£i l§y mët m¨u cï bao nhi¶u º sao cho x¡c su§t º bà ½t nh§t mët h¤t l²p khæng b² hìn 95%? Líi gi£i: Ta câ Pnpm ¥ 1; 0, 05q  1 ¡ Pnpm  0; 0, 05q. 0 0 n n Pnpm ¥ 1; 0, 05q  1 ¡ Cn .p0, 05q .p0, 95q  1 ¡ p0, 95q . ln 0, 05 Theo ¦u b i: 1 ¡ p0, 95qn ¥ 0, 95 n¶n n ¥  58.404. ln 0, 95 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 151 / 664
  102. Th½ dö B i to¡n Mët læ h¤t gièng vîi t¿ l» h¤t l²p l 5%. C¦n ph£i l§y mët m¨u cï bao nhi¶u º sao cho x¡c su§t º bà ½t nh§t mët h¤t l²p khæng b² hìn 95%? Líi gi£i: Ta câ Pnpm ¥ 1; 0, 05q  1 ¡ Pnpm  0; 0, 05q. 0 0 n n Pnpm ¥ 1; 0, 05q  1 ¡ Cn .p0, 05q .p0, 95q  1 ¡ p0, 95q . ln 0, 05 Theo ¦u b i: 1 ¡ p0, 95qn ¥ 0, 95 n¶n n ¥  58.404. ln 0, 95 Bë mæn TON (H TH‹NG LONG) X¡c su§t Thèng k¶ ùng döng Ng y 14 th¡ng 2 n«m 2009 151 / 664