›
›

Bài giảng Toán kinh tế - Bài 2: Hàm hai biến số - Trần Lộc Hùng

pdf 156 trang ngocly 2370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kinh tế - Bài 2: Hàm hai biến số - Trần Lộc Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_kinh_te_bai_2_ham_hai_bien_so_tran_loc_hung.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán kinh tế - Bài 2: Hàm hai biến số - Trần Lộc Hùng

  1. Toán Kinh tế PGS.TS. Trần Lộc Hùng Trường Đại học Tài chính - Marketing thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011 Bài 2. Hàm hai biến số PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  2. Chú ý Gửi các bạn tham gia lớp ôn tập 1 Tài liệu mà tôi sử dụng để giảng dạy cho chương trình ôn tập Toán Kinh tế được lưu trên đường link sau code.google.com/p/tlhungvn − ufm − economaths 2 Những tài liệu này dành cho tất cả những ai muốn nắm được kiến thức toán để thi vào cao học QTKD, hoàn toàn miễn phí 3 Nghiêm cấm việc sử dụng các tài liệu này với mục đích khác nếu chưa được sự đồng ý của tác giả PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  3. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  4. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  5. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  6. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  7. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  8. Hàm hai biến số 1 Khái niệm hàm hai biến 2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời 3 Hàm liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân toàn phần 6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  9. Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R. Ánh xạ f : R2 7−→ R, ứng mỗi cặp số thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là hàm hai biến số thực. Ký hiệu f :(x, y) 7−→ z = f (x, y) 1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R2. D được gọi là miền xác định của hàm số f 2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ thuộc. 3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được gọi là miền giá trị của hàm số f 4 Hàm n biến số y = f (x1, x2, , xn) được định nghĩa tương tự PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  10. Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R. Ánh xạ f : R2 7−→ R, ứng mỗi cặp số thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là hàm hai biến số thực. Ký hiệu f :(x, y) 7−→ z = f (x, y) 1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R2. D được gọi là miền xác định của hàm số f 2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ thuộc. 3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được gọi là miền giá trị của hàm số f 4 Hàm n biến số y = f (x1, x2, , xn) được định nghĩa tương tự PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  11. Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R. Ánh xạ f : R2 7−→ R, ứng mỗi cặp số thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là hàm hai biến số thực. Ký hiệu f :(x, y) 7−→ z = f (x, y) 1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R2. D được gọi là miền xác định của hàm số f 2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ thuộc. 3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được gọi là miền giá trị của hàm số f 4 Hàm n biến số y = f (x1, x2, , xn) được định nghĩa tương tự PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  12. Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y) Định nghĩa Giả sử D ⊆ R2 = R × R. Ánh xạ f : R2 7−→ R, ứng mỗi cặp số thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là hàm hai biến số thực. Ký hiệu f :(x, y) 7−→ z = f (x, y) 1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R2. D được gọi là miền xác định của hàm số f 2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ thuộc. 3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được gọi là miền giá trị của hàm số f 4 Hàm n biến số y = f (x1, x2, , xn) được định nghĩa tương tự PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  13. Các ví dụ Ví dụ 1 p Hàm số z = 1 − x2 + y2 có miền xác định D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}− hình tròn tâm (0,0) bán kính 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  14. Các ví dụ Ví dụ 2 Hàm số z = ln (x + y − 1) có miền xác định D = {(x, y) ∈ R2 : x + y > 1}− nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x + y − 1 = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  15. Giới hạn của dãy các điểm 2 2 Giả sử dãy các điểm zn = (xn, yn) ∈ R và z0 = (x0, y0) ∈ R Định nghĩa Ta nói dãy zn = (xn, yn) hội tụ tới điểm z0 = (x0, y0), khi n → ∞, nếu q 2 2 lim (xn − x0) + (yn − y0) = 0 n→∞ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  16. Giới hạn của dãy các điểm 1 1 Giả sử dãy các điểm zn = (xn, yn) = ( n , n ) và 2 z0 = (x0, y0) = (0, 0) ∈ R Ví dụ 1 1 Dễ thấy dãy ( n , n ) hội tụ tới điểm z0 = (0, 0), khi n → ∞, vì s √ 12 12 2 lim + = lim = 0 n→∞ n n n→∞ n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  17. Giới hạn của hàm hai biến số Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm z0 = (x0, y0). Định nghĩa 1 Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi (x, y) → (x0, y0), nếu lim f (x, y) = L (x,y)→(x0,y0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  18. Các định nghĩa tương đương Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm z0 = (x0, y0). Định nghĩa 2 Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi (x, y) → (x0, y0), nếu q 2 2 ∀ > 0, ∃δ > 0 : (x − x0) + (y − y0) < δ, | f (x, y) − L |<  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  19. Các định nghĩa tương đương Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm z0 = (x0, y0). Giả sử dãy điểm (xn, yn) ∈ D Định nghĩa 3 Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi (x, y) → (x0, y0), nếu với mọi dãy (xn, yn) hội tụ về điểm (x0, y0) khi n → ∞, ta có lim f (xn, yn) = L n→∞ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  20. Chú ý 1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất 2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất 3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp lim f (x, y) 6= lim lim f (x, y) (x,y)→(x0,y0) x→x0 y→y0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  21. Chú ý 1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất 2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất 3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp lim f (x, y) 6= lim lim f (x, y) (x,y)→(x0,y0) x→x0 y→y0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  22. Chú ý 1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất 2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất 3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp lim f (x, y) 6= lim lim f (x, y) (x,y)→(x0,y0) x→x0 y→y0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  23. Các ví dụ Ví dụ 3 xy lim p = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y2 |x| 1 Chú ý là √ ≤ 1 x2+y2 xy 2 Khi đó, 0 ≤ √ ≤| y | x2+y2 3 khi y → 0, có điều phải chứng minh PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  24. Các ví dụ Ví dụ 3 xy lim p = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y2 |x| 1 Chú ý là √ ≤ 1 x2+y2 xy 2 Khi đó, 0 ≤ √ ≤| y | x2+y2 3 khi y → 0, có điều phải chứng minh PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  25. Các ví dụ Ví dụ 3 xy lim p = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y2 |x| 1 Chú ý là √ ≤ 1 x2+y2 xy 2 Khi đó, 0 ≤ √ ≤| y | x2+y2 3 khi y → 0, có điều phải chứng minh PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  26. Các ví dụ Ví dụ 4 Không tồn tại xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy 1 = / lim(1/n,1/n)→(0,0) x2+y2 1 2 xy 2 = / lim(1/n,2/n)→(0,0) x2+y2 2 5 3 Hai giới hạn trong (1) và (2) khác nhau nên không tồn tại xy giới hạn lim(x,y)→(0,0) x2+y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  27. Các ví dụ Ví dụ 4 Không tồn tại xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy 1 = / lim(1/n,1/n)→(0,0) x2+y2 1 2 xy 2 = / lim(1/n,2/n)→(0,0) x2+y2 2 5 3 Hai giới hạn trong (1) và (2) khác nhau nên không tồn tại xy giới hạn lim(x,y)→(0,0) x2+y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  28. Các ví dụ Ví dụ 4 Không tồn tại xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 xy 1 = / lim(1/n,1/n)→(0,0) x2+y2 1 2 xy 2 = / lim(1/n,2/n)→(0,0) x2+y2 2 5 3 Hai giới hạn trong (1) và (2) khác nhau nên không tồn tại xy giới hạn lim(x,y)→(0,0) x2+y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  29. Tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0, y0), nếu 1 Tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) 2 Có đẳng thức lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  30. Tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0, y0), nếu 1 Tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) 2 Có đẳng thức lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  31. Tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Nếu hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0, y0), thì điểm (x0, y0) là điểm liên tục của hàm số z = f (x, y) 1 Nếu không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y), thì điểm (x0, y0) là điểm gián đoạn loại 2 2 Nếu lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) 6= f (x0, y0), thì điểm (x0, y0) là điểm gián đoạn loại 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  32. Tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa Nếu hàm hai biến z = f (x, y) liên tục tại điểm (x0, y0), thì điểm (x0, y0) là điểm liên tục của hàm số z = f (x, y) 1 Nếu không tồn tại giới hạn lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y), thì điểm (x0, y0) là điểm gián đoạn loại 2 2 Nếu lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) 6= f (x0, y0), thì điểm (x0, y0) là điểm gián đoạn loại 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  33. Các ví dụ Ví dụ 5. Điểm gián đoạn loại 2 Không tồn tại xy lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 = xy Vì vậy, điểm (0,0) là điểm gián đoạn loại 2 của hàm z x2+y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  34. Các ví dụ Ví dụ 6. Điểm gián đoạn loại 1 ( xy , nếu (x, y) 6= (0, 0) z = f (x, y) = x2+y2 1, nếu (x, y) = (0, 0). Theo ví dụ 3 có lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0 6= f (0, 0) = 1, nên điểm (0,0) là điểm gián đoạn loại 1 của hàm z = f (x, y) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  35. Đạo hàm riêng Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng (theo biến x) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) ∂f 0 lim = (x0, y0) = fx (x0, y0) ∆x↓0 ∆x ∂x ∆f 1 Tồn tại giới hạn hữu hạn ∆x 6= ±∞ ∂f 2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂x và đạo df hàm dx PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  36. Đạo hàm riêng Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng (theo biến x) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) ∂f 0 lim = (x0, y0) = fx (x0, y0) ∆x↓0 ∆x ∂x ∆f 1 Tồn tại giới hạn hữu hạn ∆x 6= ±∞ ∂f 2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂x và đạo df hàm dx PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  37. Đạo hàm riêng Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng (theo biến y) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) ∂f 0 lim = (x0, y0) = fy (x0, y0) ∆y↓0 ∆y ∂y ∆f 1 Tồn tại giới hạn hữu hạn ∆y 6= ±∞ ∂f 2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂y và đạo df hàm dy PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  38. Đạo hàm riêng Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng (theo biến y) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là giới hạn f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) ∂f 0 lim = (x0, y0) = fy (x0, y0) ∆y↓0 ∆y ∂y ∆f 1 Tồn tại giới hạn hữu hạn ∆y 6= ±∞ ∂f 2 Phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm riêng ∂y và đạo df hàm dy PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  39. Các ví dụ Ví dụ 7 Giả sử z = f (x, y) = x5 + 4x3y2 − 2xy + 1. Tính các đạo hàm riêng theo các biến x và y ∂f ∂f = 5x4 + 12x2y2 − 2y; = 8x3y − 2x ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  40. Các ví dụ Ví dụ 8 Giả sử z = f (x, y) = xy . Tính các đạo hàm riêng theo các biến x và y ∂f ∂f = yxy−1; = xy ln(x) ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  41. Các ví dụ Ví dụ 9 x Giả sử z = f (x, y) = cos( y ), y 6= 0. Tính các đạo hàm riêng theo các biến x và y ∂f 1 x  ∂f x x  = − sin ; = sin ∂x y y ∂y y2 y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  42. Chú ý 1 Đạo hàm riêng đối với các hàm nhiều biến được định nghĩa tương tự 2 2 Ví dụ 10. Cho hàm số f (x, y, z) = ex y cos(z) có ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 = ex y 2xy cos(z); = ex y x2 cos(z); = −ex y sin(z) ∂x ∂y ∂z PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  43. Chú ý 1 Đạo hàm riêng đối với các hàm nhiều biến được định nghĩa tương tự 2 2 Ví dụ 10. Cho hàm số f (x, y, z) = ex y cos(z) có ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 = ex y 2xy cos(z); = ex y x2 cos(z); = −ex y sin(z) ∂x ∂y ∂z PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  44. Đạo hàm riêng cấp cao theo biến x Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp k, k ≥ 1 (theo biến x) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là     ∂k f x , y ∂k−1f x , y 0 0 ∂  0 0    = = f (k) x , y ∂xk ∂x ∂xk−1 xk 0 0 1 Lấy đạo hàm theo biến x k lần liên tiếp 2 Coi biến y là hằng số PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  45. Đạo hàm riêng cấp cao theo biến x Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp k, k ≥ 1 (theo biến x) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là     ∂k f x , y ∂k−1f x , y 0 0 ∂  0 0    = = f (k) x , y ∂xk ∂x ∂xk−1 xk 0 0 1 Lấy đạo hàm theo biến x k lần liên tiếp 2 Coi biến y là hằng số PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  46. Đạo hàm riêng cấp cao theo biến y Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp k, k ≥ 1 (theo biến y) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là     ∂k f x , y ∂k−1f x , y 0 0 ∂  0 0    = = f (k) x , y ∂yk ∂y ∂yk−1 yk 0 0 1 Lấy đạo hàm theo biến y k lần liên tiếp 2 Coi biến x là hằng số PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  47. Đạo hàm riêng cấp cao theo biến y Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp k, k ≥ 1 (theo biến y) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là     ∂k f x , y ∂k−1f x , y 0 0 ∂  0 0    = = f (k) x , y ∂yk ∂y ∂yk−1 yk 0 0 1 Lấy đạo hàm theo biến y k lần liên tiếp 2 Coi biến x là hằng số PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  48. Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo biến x và y Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định nghĩa Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp, (theo hai biến x và y) của hàm số f(x,y) tại điểm (x0, y0) là     ∂2f x , y ∂f x , y 0 0 ∂  0 0    = = f (2) x , y ∂x∂y ∂x ∂y xy 0 0 Nói chung     (2) (2) fxy x0, y0 6= fyx x0, y0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  49. Định lý Schwarz Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định lý Nếu hàm số z = f (x, y) có đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp liên tục, (theo hai biến x và y) tại điểm (x0, y0), thì     (2) (2) fxy x0, y0 = fyx x0, y0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  50. Các ví dụ Ví dụ 11 Giả sử z = f (x, y) = x3y2 + 2x2y + 3x + 4. Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trong R2), nên (2) (2) 2 fxy = fyx = 6x y + 4x ∂f 2 2 1 ∂x = 3x y + 4xy + 3 ∂f 3 2 2 ∂y = 2x y + 2x ∂2f 2 3 ∂x∂y = 6x y + 4x ∂2f 2 4 ∂y∂x = 6x y + 4x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  51. Các ví dụ Ví dụ 11 Giả sử z = f (x, y) = x3y2 + 2x2y + 3x + 4. Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trong R2), nên (2) (2) 2 fxy = fyx = 6x y + 4x ∂f 2 2 1 ∂x = 3x y + 4xy + 3 ∂f 3 2 2 ∂y = 2x y + 2x ∂2f 2 3 ∂x∂y = 6x y + 4x ∂2f 2 4 ∂y∂x = 6x y + 4x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  52. Các ví dụ Ví dụ 11 Giả sử z = f (x, y) = x3y2 + 2x2y + 3x + 4. Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trong R2), nên (2) (2) 2 fxy = fyx = 6x y + 4x ∂f 2 2 1 ∂x = 3x y + 4xy + 3 ∂f 3 2 2 ∂y = 2x y + 2x ∂2f 2 3 ∂x∂y = 6x y + 4x ∂2f 2 4 ∂y∂x = 6x y + 4x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  53. Các ví dụ Ví dụ 11 Giả sử z = f (x, y) = x3y2 + 2x2y + 3x + 4. Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp theo các biến x và y liên tục (trong R2), nên (2) (2) 2 fxy = fyx = 6x y + 4x ∂f 2 2 1 ∂x = 3x y + 4xy + 3 ∂f 3 2 2 ∂y = 2x y + 2x ∂2f 2 3 ∂x∂y = 6x y + 4x ∂2f 2 4 ∂y∂x = 6x y + 4x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  54. Vi phân toàn phần Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0), (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ D. Định nghĩa Nếu số gia ∆f (x0, y0) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) có dạng ∆f (x0, y0) = A∆x + B∆y + o(∆x) + o(∆y) thì hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) và biểu thức A∆x + B∆y là vi phân toàn phần của hàm số f (x, y), ký hiệu df (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  55. Chú ý 1 Vi phân toàn phần df (x0, y0) = A∆x + B∆y 2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào ∆x và ∆y 3 Hai đại lượng o(∆x) và o(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi ∆x → 0, ∆y → 0, ta có o(∆x) o(∆y) → 0; → 0 ∆x ∆y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  56. Chú ý 1 Vi phân toàn phần df (x0, y0) = A∆x + B∆y 2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào ∆x và ∆y 3 Hai đại lượng o(∆x) và o(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi ∆x → 0, ∆y → 0, ta có o(∆x) o(∆y) → 0; → 0 ∆x ∆y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  57. Chú ý 1 Vi phân toàn phần df (x0, y0) = A∆x + B∆y 2 Hai hằng số A và B không phụ thuộc vào ∆x và ∆y 3 Hai đại lượng o(∆x) và o(∆y) là các vô cùng bé bậc cao hơn ∆x và ∆y khi ∆x → 0 và ∆y → 0, tức là khi ∆x → 0, ∆y → 0, ta có o(∆x) o(∆y) → 0; → 0 ∆x ∆y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  58. Tính chất 1 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì nó liên tục tại đó, vì ∆f (x0, y0) → 0, nếu (∆x, ∆y) → (0, 0) 2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm một biến) 3 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì tồn tại ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) đạo hàm riêng ∂x và ∂y . (so sánh với trường hợp hàm một biến) ∂f (x0,y0) 4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂x ∂f (x0,y0) và ∂y , chưa chắc hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  59. Tính chất 1 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì nó liên tục tại đó, vì ∆f (x0, y0) → 0, nếu (∆x, ∆y) → (0, 0) 2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm một biến) 3 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì tồn tại ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) đạo hàm riêng ∂x và ∂y . (so sánh với trường hợp hàm một biến) ∂f (x0,y0) 4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂x ∂f (x0,y0) và ∂y , chưa chắc hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  60. Tính chất 1 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì nó liên tục tại đó, vì ∆f (x0, y0) → 0, nếu (∆x, ∆y) → (0, 0) 2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm một biến) 3 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì tồn tại ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) đạo hàm riêng ∂x và ∂y . (so sánh với trường hợp hàm một biến) ∂f (x0,y0) 4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂x ∂f (x0,y0) và ∂y , chưa chắc hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  61. Tính chất 1 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì nó liên tục tại đó, vì ∆f (x0, y0) → 0, nếu (∆x, ∆y) → (0, 0) 2 Điều ngược lại không đúng (so sánh với trường hợp hàm một biến) 3 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0), thì tồn tại ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) đạo hàm riêng ∂x và ∂y . (so sánh với trường hợp hàm một biến) ∂f (x0,y0) 4 Ngược lại không đúng, nếu tồn tại đạo hàm riêng ∂x ∂f (x0,y0) và ∂y , chưa chắc hàm số z = f (x, y) khả vi tại điểm (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  62. Ví dụ Ví dụ 12 Hàm hai biến ( xy , nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 0, nếu (x, y) = (0, 0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  63. Ví dụ 12 (tiếp) 1 Theo định nghĩa, đạo hàm riêng theo x tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (∆x, 0) − f (0, 0) f (∆x, 0) = lim = lim = 0 ∂x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 2 Tương tự, đạo hàm riêng theo y tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (0, ∆y) − f (0, 0) f (0, ∆y) = lim = lim = 0 ∂y ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) 3 Các đạo hàm riêng ∂x = 0 và ∂y = 0, nhưng hàm f (xy) không khả vi tại điểm (x0, y0) vì nó không liên tục tại điểm (x0, y0) (xem chứng minh ở phần liên tục) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  64. Ví dụ 12 (tiếp) 1 Theo định nghĩa, đạo hàm riêng theo x tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (∆x, 0) − f (0, 0) f (∆x, 0) = lim = lim = 0 ∂x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 2 Tương tự, đạo hàm riêng theo y tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (0, ∆y) − f (0, 0) f (0, ∆y) = lim = lim = 0 ∂y ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) 3 Các đạo hàm riêng ∂x = 0 và ∂y = 0, nhưng hàm f (xy) không khả vi tại điểm (x0, y0) vì nó không liên tục tại điểm (x0, y0) (xem chứng minh ở phần liên tục) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  65. Ví dụ 12 (tiếp) 1 Theo định nghĩa, đạo hàm riêng theo x tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (∆x, 0) − f (0, 0) f (∆x, 0) = lim = lim = 0 ∂x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 2 Tương tự, đạo hàm riêng theo y tại điểm (0, 0) là ∂f (0, 0) f (0, ∆y) − f (0, 0) f (0, ∆y) = lim = lim = 0 ∂y ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y ∂f (x0,y0) ∂f (x0,y0) 3 Các đạo hàm riêng ∂x = 0 và ∂y = 0, nhưng hàm f (xy) không khả vi tại điểm (x0, y0) vì nó không liên tục tại điểm (x0, y0) (xem chứng minh ở phần liên tục) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  66. Điều kiện để hàm hai biến khả vi Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Giả sử điểm (x0, y0) ∈ D. Định lý ∂f ∂f Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng ∂x và ∂y liên tục, (theo hai biến x và y) tại điểm (x0, y0), thì nó khả vi tại điểm (x0, y0), và vi phân toàn phần được tính theo công thức ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) df (x , y ) = 0 0 ∆x + 0 0 ∆y 0 0 ∂x ∂y Chú ý, do x và y là hai biến số độc lập, nên có thể có ∆x = dx và ∆y = dy, nên ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) df (x , y ) = 0 0 dx + 0 0 dy 0 0 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  67. Ví dụ Ví dụ 13 p Tính vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = x2 + y2 ∂f x ∂f y 1 Các đạo hàm riêng = √ và = √ liên tục ∂x x2+y2 ∂y x2+y2 với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0) 2 Vi phân toàn phần có dạng xdx + ydy df (x, y) = p x2 + y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  68. Ví dụ Ví dụ 13 p Tính vi phân toàn phần của hàm số f (x, y) = x2 + y2 ∂f x ∂f y 1 Các đạo hàm riêng = √ và = √ liên tục ∂x x2+y2 ∂y x2+y2 với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0) 2 Vi phân toàn phần có dạng xdx + ydy df (x, y) = p x2 + y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  69. Chú ý 1 Tính khả vi của hàm n biến u = f (x1, x2, , xn) cũng hoàn toàn tương tự như hàm hai biến z = f (x, y) 2 Vi phân toàn phần của hàm n biến có dạng ∂f ∂f ∂f df (x1, x2, , xn) = ∆x1 + ∆x2 + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  70. Chú ý 1 Tính khả vi của hàm n biến u = f (x1, x2, , xn) cũng hoàn toàn tương tự như hàm hai biến z = f (x, y) 2 Vi phân toàn phần của hàm n biến có dạng ∂f ∂f ∂f df (x1, x2, , xn) = ∆x1 + ∆x2 + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  71. Ứng dụng của vi phân toàn phần Công thức xấp xỉ Từ công thức vi phân toàn phần ta có ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x , y ) ' 0 0 ∆x + 0 0 ∆y 0 0 0 0 ∂x ∂y hay Công thức tương đương ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) f (x + ∆x, y + ∆y) ' f (x , y ) + 0 0 ∆x + 0 0 ∆y 0 0 0 0 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  72. Ví dụ Ví dụ 14   1.02 Tính gần đúng giá trị của A = arctg 0.95 y 1 Chọn hàm z = f (x, y) = arctg x 2 Chọn x0 = 1, y0 = 1, ∆x = −0.05, ∆y = 0.02 ∂f −y ∂f x 3 = = Các đạo hàm riêng ∂x x2+y2 và ∂y x2+y2 liên tục với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), cụ thể hàm f(x,y) khả vi tại điểm (1, 1). 4 Theo công thức xấp xỉ 1.02 arctg ' 0.95 1 ∂f (1, 1) ∂f (1, 1) ' arctg + (−0.05) + (0.02) ' 0.82 1 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  73. Ví dụ Ví dụ 14   1.02 Tính gần đúng giá trị của A = arctg 0.95 y 1 Chọn hàm z = f (x, y) = arctg x 2 Chọn x0 = 1, y0 = 1, ∆x = −0.05, ∆y = 0.02 ∂f −y ∂f x 3 = = Các đạo hàm riêng ∂x x2+y2 và ∂y x2+y2 liên tục với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), cụ thể hàm f(x,y) khả vi tại điểm (1, 1). 4 Theo công thức xấp xỉ 1.02 arctg ' 0.95 1 ∂f (1, 1) ∂f (1, 1) ' arctg + (−0.05) + (0.02) ' 0.82 1 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  74. Ví dụ Ví dụ 14   1.02 Tính gần đúng giá trị của A = arctg 0.95 y 1 Chọn hàm z = f (x, y) = arctg x 2 Chọn x0 = 1, y0 = 1, ∆x = −0.05, ∆y = 0.02 ∂f −y ∂f x 3 = = Các đạo hàm riêng ∂x x2+y2 và ∂y x2+y2 liên tục với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), cụ thể hàm f(x,y) khả vi tại điểm (1, 1). 4 Theo công thức xấp xỉ 1.02 arctg ' 0.95 1 ∂f (1, 1) ∂f (1, 1) ' arctg + (−0.05) + (0.02) ' 0.82 1 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  75. Ví dụ Ví dụ 14   1.02 Tính gần đúng giá trị của A = arctg 0.95 y 1 Chọn hàm z = f (x, y) = arctg x 2 Chọn x0 = 1, y0 = 1, ∆x = −0.05, ∆y = 0.02 ∂f −y ∂f x 3 = = Các đạo hàm riêng ∂x x2+y2 và ∂y x2+y2 liên tục với mọi (x, y) 6= (0, 0) nên hàm hai biến f (x, y) khả vi tại mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), cụ thể hàm f(x,y) khả vi tại điểm (1, 1). 4 Theo công thức xấp xỉ 1.02 arctg ' 0.95 1 ∂f (1, 1) ∂f (1, 1) ' arctg + (−0.05) + (0.02) ' 0.82 1 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  76. Đạo hàm hàm hợp z = f (x(u, v), y(u, v)) Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2, trong đó các biến độc lập x và y là các hàm hai biến của u và v, x = x(u, v), y = y(u, v). Định lý Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi theo x và y. Giả sử các hàm số ∂x ∂x ∂y ∂y x = x(u, v), y = y(u, v)có các đạo hàm riêng ∂u , ∂v , ∂u , ∂v . Khi ∂f ∂f đó, tồn tại các đạo hàm riêng ∂u , ∂v , sao cho ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = × + × ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u và ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = × + × ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  77. Ví dụ Ví dụ 15 x u Tính Giả sử z = f (x, y) = e cos(y) trong đó x = uv, y = v . Tính các đạo hàm riêng ∂f ∂f ; ∂u ∂v PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  78. Giải ví dụ 15 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f ∂f = ex cos(y), = −ex sin(y) ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y 1 ∂y x = y, = x, = , = − ∂u ∂v ∂u y ∂v y2 2 Do đó, ∂f  u 1 u  = euv v cos( ) − sin( ) ∂u v v v và ∂f  u u u  = euv u cos( ) − sin( ) ∂v v v 2 v PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  79. Giải ví dụ 15 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f ∂f = ex cos(y), = −ex sin(y) ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y 1 ∂y x = y, = x, = , = − ∂u ∂v ∂u y ∂v y2 2 Do đó, ∂f  u 1 u  = euv v cos( ) − sin( ) ∂u v v v và ∂f  u u u  = euv u cos( ) − sin( ) ∂v v v 2 v PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  80. Đạo hàm hàm hợp z = f (x(t), y(t)) Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2, trong đó các biến độc lập x và y là các hàm một biến của t, x = x(t), y = y(t). Định lý Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi theo x và y và các hàm số x = x(t), y = y(t) khả vi theo biến t, thì hàm số z = f (x(t), y(t)) khả vi theo biến t và df ∂f dx ∂f dy = × + × dt ∂x dt ∂y dt PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  81. Ví dụ Ví dụ 16 Giả sử z = f (x, y) = x2 − xy + 2y2, trong đó x = e−t , y = sin(t). Tính đạo hàm theo t df (x, y) dt PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  82. Giải ví dụ 16 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f ∂f = 2x − y, = −x + 4y ∂x ∂y dx dy = −e−t , = cos(t) dt dt 2 Do đó, df     = 2e−t − sin(t) e−t + − e−t + 4 sin(t) cos(t) dt PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  83. Giải ví dụ 16 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f ∂f = 2x − y, = −x + 4y ∂x ∂y dx dy = −e−t , = cos(t) dt dt 2 Do đó, df     = 2e−t − sin(t) e−t + − e−t + 4 sin(t) cos(t) dt PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  84.   Đạo hàm hàm hợp z = f x, y(x) Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2, trong đó y = y(x), là hàm một biến của x. Định lý Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi theo x và y và hàm số y = y(x)   khả vi theo biến x, thì hàm số z = f x, y(x) khả vi theo biến x và df ∂f ∂f dy = + × dx ∂x ∂y dx PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  85. Các ví dụ Ví dụ 17 Giả sử z = f (x, y) = ln(x2 + y2), trong đó y = sin2(x). Tính đạo hàm theo x df (x, y) dx PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  86. Giải ví dụ 17 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f 2x ∂f 2y = , = ∂x x2 + y2 ∂y x2 + y2 dy = 2 sin(x) cos(x) dx 2 Do đó, df 2x 2y = + 2 sin(x) cos(x) = dx x2 + y2 x2 + y2 2x + 4 sin3(x) cos(x) = x2 + sin4(x) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  87. Giải ví dụ 17 1 Các đạo hàm riêng được tính ∂f 2x ∂f 2y = , = ∂x x2 + y2 ∂y x2 + y2 dy = 2 sin(x) cos(x) dx 2 Do đó, df 2x 2y = + 2 sin(x) cos(x) = dx x2 + y2 x2 + y2 2x + 4 sin3(x) cos(x) = x2 + sin4(x) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  88. Đạo hàm hàm ẩn F(x, y, z) = 0 Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong miền D ⊆ R2. Định nghĩa Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm ẩn, xác định bởi F(x, y, z) = 0, nếu F(x, y, f (x, y)) = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  89. Đạo hàm hàm ẩn F(x, y, z) = 0 Lấy đạo hàm hai vế theo các biến x và biến y đẳng thức F(x, y, z) = 0, ta có Đạo hàm hàm ẩn ∂F(x, y, z) ∂F(x, y, z) ∂z + × = 0 ∂x ∂z ∂x và Đạo hàm hàm ẩn ∂F(x, y, z) ∂F(x, y, z) ∂z + × = 0 ∂y ∂z ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  90. Đạo hàm hàm ẩn F(x, y, z) = 0 Suy ra công thức Công thức ∂z ∂F(x,y,z) = − ∂x ∂x ∂F(x,y,z) ∂z và ∂F(x,y,z) ∂z = − ∂y ∂y ∂F(x,y,z) ∂z PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  91. Các ví dụ Ví dụ 18 Giả sử cho xyz = cos(x + y + z). Tính các đạo hàm riêng theo ∂z ∂z x và y ∂x và ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  92. Giải ví dụ 18 1 Đặt F(x, y, z) = xyz − cos(x + y + z). Dễ thấy, hàm F(x, y, z) khả vi trên R3. 2 Theo công thức, ta có ∂z ∂F(x,y,z) yz + sin(x + y + z) = − ∂x = ∂x ∂F(x,y,z) xy + sin(x + y + z) ∂z và ∂F(x,y,z) ∂z xz + sin(x + y + z) = − ∂y = ∂y ∂F(x,y,z) xy + sin(x + y + z) ∂z PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  93. Giải ví dụ 18 1 Đặt F(x, y, z) = xyz − cos(x + y + z). Dễ thấy, hàm F(x, y, z) khả vi trên R3. 2 Theo công thức, ta có ∂z ∂F(x,y,z) yz + sin(x + y + z) = − ∂x = ∂x ∂F(x,y,z) xy + sin(x + y + z) ∂z và ∂F(x,y,z) ∂z xz + sin(x + y + z) = − ∂y = ∂y ∂F(x,y,z) xy + sin(x + y + z) ∂z PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  94. Cực trị của hàm hai biến số Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong lân cận U(x0, y0) 2 của điểm (x0, y0) ∈ D ⊆ R . Các định nghĩa Hàm số z = f (x, y) đạt cực đại (địa phương) tại điểm (x0, y0), nếu f (x0, y0) ≥ f (x, y), ∀(x, y) ∈ U(x0, y0) Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu (địa phương) tại điểm (x0, y0), nếu f (x0, y0) ≤ f (x, y), ∀(x, y) ∈ U(x0, y0) Điểm (x0, y0) được gọi là điểm cực trị (hoặc cực đại hoặc cực tiểu) của hàm số f (x, y) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  95. Các ví dụ Ví dụ 19 Hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 đạt cực tiểu tại điểm (0, 0) vì với mọi điểm (x, y) 6= (0, 0), có f (x, y) = x2 + y2 > 0 = f (0, 0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  96. Điều kiện cần của cực trị Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong lân cận U(x0, y0) 2 của điểm (x0, y0) ∈ D ⊆ R . Định lý Nếu hàm số z = f (x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm ∂f ∂f (x0, y0), và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng ∂x , ∂y , thì ∂f (x , y ) 0 0 = 0 ∂x và ∂f (x , y ) 0 0 = 0 ∂y Điểm (x0, y0) mà tại đó các đạo hàm riêng trượt tiêu, được gọi là điểm dừng của hàm số f (x, y) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  97. Điều kiện đủ của cực trị Giả sử (x0, y0) là điểm dừng của hàm hai biến z = f (x, y) và hàm z = f (x, y) có đạo hàm bậc 2 trong lân cận U(x0, y0) của 2 2 2 ( , . = ∂ f (x0,y0) , = ∂ f (x0,y0) , = ∂ f (x0,y0) điểm x0 y0 Đặt A ∂x2 B ∂y2 C ∂x∂y Định lý 1 Nếu C2 − AB 0, là điểm cực đại nếu A 0, thì hàm số z = f (x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0). 3 Nếu C2 − AB = 0, thì chưa kết luận được hàm số z = f (x, y) đạt cực trị hay không tại điểm (x0, y0). PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  98. Các ví dụ Ví dụ 20 Hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 + 4x − 2y + 8 đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 4 = 0 ∂x và ∂z = 2y − 2 = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho nghiệm (-2, 1) 3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2 − AB = −4 0 4 Kết luận hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (-2, 1) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  99. Các ví dụ Ví dụ 20 Hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 + 4x − 2y + 8 đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 4 = 0 ∂x và ∂z = 2y − 2 = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho nghiệm (-2, 1) 3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2 − AB = −4 0 4 Kết luận hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (-2, 1) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  100. Các ví dụ Ví dụ 20 Hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 + 4x − 2y + 8 đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 4 = 0 ∂x và ∂z = 2y − 2 = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho nghiệm (-2, 1) 3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2 − AB = −4 0 4 Kết luận hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (-2, 1) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  101. Các ví dụ Ví dụ 20 Hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 + 4x − 2y + 8 đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 4 = 0 ∂x và ∂z = 2y − 2 = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho nghiệm (-2, 1) 3 Dễ thấy, A=2, B=2, C=0 nên C2 − AB = −4 0 4 Kết luận hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (-2, 1) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  102. Chú ý 1 Dễ thấy, z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 ≥ 3 2 Đẳng thức z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 = 3 khi và chỉ khi x=-2 và y=1 3 Trùng với kết quả trước PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  103. Chú ý 1 Dễ thấy, z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 ≥ 3 2 Đẳng thức z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 = 3 khi và chỉ khi x=-2 và y=1 3 Trùng với kết quả trước PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  104. Chú ý 1 Dễ thấy, z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 ≥ 3 2 Đẳng thức z = (x + 2)2 + (y − 1)2 + 3 = 3 khi và chỉ khi x=-2 và y=1 3 Trùng với kết quả trước PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  105. Các ví dụ Ví dụ 21 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 3xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 3y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 3x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (1, 1) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (1,1) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  106. Các ví dụ Ví dụ 21 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 3xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 3y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 3x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (1, 1) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (1,1) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  107. Các ví dụ Ví dụ 21 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 3xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 3y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 3x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (1, 1) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (1,1) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  108. Các ví dụ Ví dụ 21 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 3xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 3y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 3x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (1, 1) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (1,1) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  109. Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 6y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 6x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  110. Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 6y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 6x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  111. Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 6y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 6x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  112. Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z = 3x2 − 6y = 0 ∂x và ∂z = 3y2 − 6x = 0 ∂y 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  113. Giá trị lớn nhất và bé nhất Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trong một miền đóng và giới nội D ⊆ R2. Định lý Weierstrass Hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trong một miền đóng và giới nội đạt giá trị lớn nhất (fmax) và bé nhất (fmin)trong D 1 Có thể đạt cực trị tại các điểm dừng trong D 2 Có thể đạt cực trị trên biên của miền D PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  114. Giá trị lớn nhất và bé nhất Thủ tục tìm fmax và fmin 1 Tìm các giá trị của hàm f(x,y) tại các điểm dừng trong miền D 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm f (x, y) trên ∂D (biên của miền D) 3 Khi đó, fmax = max{các giá trị hàm f trong 1 và 2} 4 và fmin = min{các giá trị hàm f trong 1 và 2} PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  115. Các ví dụ Ví dụ 23 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số z = f (x, y) = x2 + 2xy + 2y2 trong miền D đóng hình tam giác có các đỉnh A(-1, 1), B(2, 1) và C(-1, -2). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 2y = 0 ∂x và ∂z = 2x + 4y = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho điểm dừng là (0, 0) ∈ D và f (0, 0) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  116. Các ví dụ Ví dụ 23 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số z = f (x, y) = x2 + 2xy + 2y2 trong miền D đóng hình tam giác có các đỉnh A(-1, 1), B(2, 1) và C(-1, -2). 1 Từ các phương trình ∂z = 2x + 2y = 0 ∂x và ∂z = 2x + 4y = 0 ∂y 2 Hệ phương trình cho điểm dừng là (0, 0) ∈ D và f (0, 0) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  117. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  118. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  119. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  120. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  121. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  122. Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x, 1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1, 1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1, 1) = fmin(−1, 1) = 1, f (B) = f (2, 1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1 − 2y + 2y2, −2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1, 1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1, −2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x, y) = f (x, x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5, 2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0, 1, 10, 1/2, 13, 1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  123. Cực trị có điều kiện Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong lân cận U(x0, y0) 2 của điểm (x0, y0) ∈ D ⊆ R Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 nếu 1 Điểm (x0, y0) thỏa mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 2 Với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (x0, y0), có f (x, y) ≤ f (x0, y0)(f (x, y) ≥ f (x0, y0)) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  124. Cực trị có điều kiện Giả sử hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong lân cận U(x0, y0) 2 của điểm (x0, y0 ∈ D ⊆ R Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 nếu 1 Điểm (x0, y0) thỏa mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 2 Với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (x0, y0), có f (x, y) ≥ f (x0, y0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  125. Phương pháp tìm cực trị có điều kiện Phương pháp thế Từ điều kiện ϕ(x, y) = 0 suy ra sự phụ thuộc giữa x và y, cụ thể y = g(x), thế vào đẳng thức ϕ(x, y) = 0, có hàm một biến z = f (x, g(x)). Cực trị của hàm một biến z = f (x, g(x)) cho lời giải cực trị có điều kiện Chú ý: Phương pháp này thường có hiệu quả nếu điều kiện giữa x và y là tuyến tính, y = ax + b PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  126. Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10 − x 2 Khi đó, hàm z = f (x, y) = x2 + (10 − x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5, 5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  127. Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10 − x 2 Khi đó, hàm z = f (x, y) = x2 + (10 − x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5, 5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  128. Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10 − x 2 Khi đó, hàm z = f (x, y) = x2 + (10 − x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5, 5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  129. Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm Lagrange, với nhân tử λ là một số thực Lλ = f (x, y) + λϕ(x, y) Tìm các điểm dừng (x0, y0) ứng với các giá trị λ từ hệ các phương trình ∂L ∂L λ = 0; λ = 0; ϕ(x, y) = 0 ∂x ∂x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  130. Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm Lagrange, với nhân tử λ là một số thực Lλ = f (x, y) + λϕ(x, y) Tìm các điểm dừng (x0, y0) ứng với các giá trị λ từ hệ các phương trình ∂L ∂L λ = 0; λ = 0; ϕ(x, y) = 0 ∂x ∂x PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  131. Phương pháp nhân tử Lagrange Tìm vi phân cấp hai của hàm Lλ ∂2L ∂2L ∂2L d2L = λ dx2 + 2 λ dxdy + λ dy2 λ ∂x2 ∂x∂y ∂y2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  132. Phương pháp nhân tử Lagrange (tiếp) Xác định cực trị có điều kiện với điểm dừng (x0, y0), tính vi phân cấp hai 2 D = d Lλ(x0, y0), Chú ý, từ điều kiện ϕ(x, y) = 0, lấy vi phân hai vế, suy ra các vi phân dx và dy thỏa mãn ∂ϕ(x , y ) ∂ϕ(x , y ) dϕ(x , y ) = 0 0 + 0 0 = 0 0 0 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  133. Phương pháp nhân tử Lagrange (tiếp) Xác định cực trị có điều kiện với điểm dừng (x0, y0), tính vi phân cấp hai 2 D = d Lλ(x0, y0), Chú ý, từ điều kiện ϕ(x, y) = 0, lấy vi phân hai vế, suy ra các vi phân dx và dy thỏa mãn ∂ϕ(x , y ) ∂ϕ(x , y ) dϕ(x , y ) = 0 0 + 0 0 = 0 0 0 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  134. Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  135. Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  136. Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  137. Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x, y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x, y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  138. Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 25 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x + 2y thỏa mãn x2 + y2 = 5 Xét hàm Lagrange 2 2 Lλ(x, y) = x + 2y + λ(x + y − 5) Giải các phương trình ∂L (x, y) ∂L (x, y) λ = 1+2λx = 0; λ = 2+2λy = 0; x2+y2 = 5 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  139. Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 25 Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = x + 2y thỏa mãn x2 + y2 = 5 Xét hàm Lagrange 2 2 Lλ(x, y) = x + 2y + λ(x + y − 5) Giải các phương trình ∂L (x, y) ∂L (x, y) λ = 1+2λx = 0; λ = 2+2λy = 0; x2+y2 = 5 ∂x ∂y PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  140. Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1, −2) và (1, 2), vì 1 1 1 x = − ; y = − ; λ = ± 0 2λ 0 λ 2 Chú ý: 1 1 Với λ = 2 , thì có điểm dừng (−1, −2) 1 2 Với λ = − 2 , thì có điểm dừng (1, 2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  141. Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1, −2) và (1, 2), vì 1 1 1 x = − ; y = − ; λ = ± 0 2λ 0 λ 2 Chú ý: 1 1 Với λ = 2 , thì có điểm dừng (−1, −2) 1 2 Với λ = − 2 , thì có điểm dừng (1, 2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  142. Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1, −2) và (1, 2), vì 1 1 1 x = − ; y = − ; λ = ± 0 2λ 0 λ 2 Chú ý: 1 1 Với λ = 2 , thì có điểm dừng (−1, −2) 1 2 Với λ = − 2 , thì có điểm dừng (1, 2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  143. Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1, −2) và (1, 2), vì 1 1 1 x = − ; y = − ; λ = ± 0 2λ 0 λ 2 Chú ý: 1 1 Với λ = 2 , thì có điểm dừng (−1, −2) 1 2 Với λ = − 2 , thì có điểm dừng (1, 2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  144. Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai ∂2L ∂2 ∂2L D = d2L (x, y) = dx2 + 2 dxdy + dy2 = λ ∂x2 ∂x∂y ∂y2 = 2λd2x + 2λd2y Do 2 ∂ L = λ ∂x2 2 2 ∂ L = λ ∂y2 2 ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  145. Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai ∂2L ∂2 ∂2L D = d2L (x, y) = dx2 + 2 dxdy + dy2 = λ ∂x2 ∂x∂y ∂y2 = 2λd2x + 2λd2y Do 2 ∂ L = λ ∂x2 2 2 ∂ L = λ ∂y2 2 ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  146. Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai ∂2L ∂2 ∂2L D = d2L (x, y) = dx2 + 2 dxdy + dy2 = λ ∂x2 ∂x∂y ∂y2 = 2λd2x + 2λd2y Do 2 ∂ L = λ ∂x2 2 2 ∂ L = λ ∂y2 2 ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  147. Ví dụ 25 (tiếp) Cực trị Các giá trị cực trị có điều kiện fmin = f (−1, −2) = −5; fmax = f (1, 2) = 5 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  148. Phương pháp nhân tử Lagrange 1 2 Với các giá trị λ = ± 2 , ta xét các vi phân bậc hai D = d Lλ 2 2 2 1 D = d L 1 = dx + dy > 0 2 2 2 2 2 D = d L 1 = −dx − dy < 0 − 2 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (−1, −2), ứng với 1 λ = 2 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (1, 2), ứng với 1 λ = − 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  149. Phương pháp nhân tử Lagrange 1 2 Với các giá trị λ = ± 2 , ta xét các vi phân bậc hai D = d Lλ 2 2 2 1 D = d L 1 = dx + dy > 0 2 2 2 2 2 D = d L 1 = −dx − dy < 0 − 2 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (−1, −2), ứng với 1 λ = 2 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (1, 2), ứng với 1 λ = − 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  150. Phương pháp nhân tử Lagrange 1 2 Với các giá trị λ = ± 2 , ta xét các vi phân bậc hai D = d Lλ 2 2 2 1 D = d L 1 = dx + dy > 0 2 2 2 2 2 D = d L 1 = −dx − dy < 0 − 2 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (−1, −2), ứng với 1 λ = 2 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (1, 2), ứng với 1 λ = − 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  151. Phương pháp nhân tử Lagrange 1 2 Với các giá trị λ = ± 2 , ta xét các vi phân bậc hai D = d Lλ 2 2 2 1 D = d L 1 = dx + dy > 0 2 2 2 2 2 D = d L 1 = −dx − dy < 0 − 2 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (−1, −2), ứng với 1 λ = 2 2 Hàm số z = f (x, y) đạt cực tiểu tại điểm (1, 2), ứng với 1 λ = − 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  152. Các bài tập Bài tập 1 Tính giá trị gần đúng q A = (1.02)2 + (1.96)2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  153. Các bài tập Bài tập 2 Tìm các giá trị cực trị của các hàm số sau z = f (x, y) = 2x2 + 2xy + y2 − x + y + 2 z = f (x, y) = 2x3 + 6xy − 6x − 3y2 − 30y + 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  154. Các bài tập Bài tập 2 Tìm các giá trị cực trị của các hàm số sau z = f (x, y) = 2x2 + 2xy + y2 − x + y + 2 z = f (x, y) = 2x3 + 6xy − 6x − 3y2 − 30y + 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  155. Các bài tập Bài tập 3 Tìm các giá trị cực trị có điều kiện của các hàm số sau z = f (x, y) = 6 − 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. 2 2 x y z = f (x, y) = x + y với điều kiện 2 + 3 = 1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
  156. Các bài tập Bài tập 3 Tìm các giá trị cực trị có điều kiện của các hàm số sau z = f (x, y) = 6 − 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. 2 2 x y z = f (x, y) = x + y với điều kiện 2 + 3 = 1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)