Bài giảng Toán cao cấp - Trần Thị Xuyến

87 trang ngocly 3660

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Trần Thị Xuyến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_cao_cap_tran_thi_xuyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Trần Thị Xuyến

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà 7 tầng, HVNH Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com Website: xuyentranhvnh.wordpress.com Cellphone: 0915 170 752 Office: 0438 522 969 HÀ NỘI - T9 năm 2015
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Học phần Toán cao cấp là điều kiện tiên quyết của các môn: Xác suất thống kê, Mô hình toán và Kinh tế lượng. Số tín chỉ: 3. Phân bố thời gian: 1. Lý thuyết trên lớp: 27 tiết 2. Thực hành: 18 tiết 3. Tự học, tự nghiên cứu: 30 tiết Kế hoạch giảng dạy: • Chương 1: Hàm số và giới hạn ( 9 tiết ) • Chương 2: Đạo hàm ( 6 tiết ) • Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến ( 9 tiết ) • Kiểm tra giữa kì lần 1: 1 tiết • Chương 4: Tích phân ( 9 tiết ) • Chương 5: Phương trình vi phân ( 5 tiết ) • Chương 6: Phương trình sai phân tuyến tính ( 5 tiết ) • Kiểm tra giữa kì lần 2: 1 tiết GIÁO TRÌNH • Giáo trình toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn. • Bài tập toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn. • Toán cao cấp cho các nhà kinh tế , Lê Đình Thúy, NXB Đại học kinh tế quốc dân. • Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế, Phùng Duy Quang, NXB Đại học Sư phạm. TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN 1. Bài kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 % Bài kiểm tra giữa kì có hình thức tự luận với thời gian 45 phút. Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3 Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6 1
2. Thi hết học phần: 60% Bài thi hết học phần có hình thức tự luận với thời gian 90 phút. 3. Hình thức khác ( Điểm chuyên cần) : 10 % 2
MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 1 Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có 1 2 300 dạng như sau: AC = 3 Q − 15Q − 390 + Q ,Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc . Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD a. Tìm hàm chi phí cận biên của công ty. b. Tính MC(45) và nêu ý nghĩa kinh tế. c. Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa. Câu 2 : Tính các giới hạn sau: 1 1 + tan x 3 a. lim sin x x→0 1 + sin x π b. lim 2x tan x − π cos x x→ 2 Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1. MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 2 Câu 1 : Tính tích phân sau Z +∞ xe−xdx 0 Câu 2 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên MPC(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y −0,5 và tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD. a. Tìm hàm tiêu dùng C(Y ). b. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 USD lên 200 USD. Câu 3 : Giải phương trình 1 y0 + y tan x = cos x Câu 4 : Giải phương trình t yt+2 − 4yt = 2 3
MẪU ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có 1 2 15 dạng như sau: AC = 3 Q − 15Q − 390 + Q ,Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc . Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD a. Tìm hàm chi phí cận biên của công ty. b. Tính MC(45) và nêu ý nghĩa kinh tế. c. Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa. Câu 2 : Tính các giới hạn sau: 1 1 + tan x 3 a. lim sin x x→0 1 + sin x π b. lim 2x tan x − π cos x x→ 2 Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1. Câu 4 : Tính tích phân sau Z +∞ xe−xdx 0 Câu 5 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên MPC(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y −0,5 và tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD. a. Tìm hàm tiêu dùng C(Y ). b. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 USD lên 200 USD. Câu 6 : Giải phương trình 1 y0 + y tan x = cos x Câu 7 : Giải phương trình t yt+2 − 4yt = 2 4
CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A. Biến số Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên một tập số X 6= ∅. Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên. Các biến số kinh tế hay gặp p: giá cả. Q: Sản lượng Qs: Lượng cung. Qd: Lượng cầu. π: Lợi nhuận TC: Tổng chi phí VC: Chi phí biến đổi FC: Chi phí cố định AC: Tổng chi phí bình quân AV C: Chi phí biến đổi bình quân TR: Tổng doanh thu K: Số đơn vị Vốn L: Số đơn vị Lao động C: Lượng tiêu dùng S: Lượng tiết kiệm. Y : Thu nhập. B.Hàm số Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y. Kí hiệu: y = f(x) 5
• x gọi là biến độc lập. • X gọi là miền xác định (MXĐ). • y gọi là biến phụ thuộc. • f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị (MGT) của hàm số. • Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X} . C. Các cách cho hàm số 1. Hàm số cho bởi bảng. 2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích. Ví dụ 1.1.1. p y = 5 − x2   x3 − 1, x > 3 y =  5 + x, x ≤ 3 3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số. Bài toán: Tìm hàm số từ dữ liệu cho trước. Ví dụ 1.1.2. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 VNĐ mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ lên 100000 VNĐ mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (VNĐ/ tháng) là số tiền tăng giá cho thuê mỗi căn hộ. Tìm số tiền công ty thu được theo x. D. Hàm ẩn Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0 thì y gọi là hàm ẩn của x. Ví dụ 1.1.3. x2 + y2 − 1 = 0 hay x3 − y3 + 1 = 0 6
E. Hàm ngược Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f(x) với miền xác định X, miền giá trị Y. Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f(x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho f(x0) = y0. Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f(x), kí hiệu là: f −1. Trong toán học, người ta thường kí hiệu x là đối số, y là hàm số nên khi viết hàm ngược của hàm số y = f(x) thay vì viết x = f −1(y) ta quy ước viết là y = f −1(x). Cách tìm hàm ngược B1: Tìm MXĐ và MGT của hàm số y = f(x). B2: Giải phương trình y = f(x) để tìm nghiệm x theo y. B3: Nếu tìm được x duy nhất theo y thì f(x) có hàm ngược f −1. Với quy ước x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc ta biểu diễn hàm ngược dưới dạng y = f −1(x). Ví dụ 1.1.4. Tìm hàm ngược của hàm sau y = (x − 1)2, ∀x ≥ 1 Hàm ngược của các hàm lượng giác và hàm mũ π π 1. Hàm số y = sin x xác định trên X = − 2 , 2 và có MGT [−1, 1] có hàm ngược π π là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là − 2 , 2 . h π π i y = arcsin x ⇔ sin y = x∀y ∈ − , 2 2 2. Hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]. y = arccos x ⇔ cos y = x∀y ∈ [0; π] π π 3. Hàm số y = tan x xác định trên X = − 2 , 2 và có MGT R có hàm ngược là π π y = arctan x xác định trên R và có MGT là − 2 , 2 . π π y = arctan x ⇔ tan y = x∀y ∈ − , 2 2 7
4. Hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y = arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π). y = arccotx ⇔ cot y = x∀y ∈ (0; π) x 5. Hàm số y = a xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là y = loga x xác định trên (0; +∞) và có MGT là R. y y = loga x ⇔ x = a ∀y ∈ R F. Một số dáng điệu của hàm số Hàm số đơn điệu • Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên miền X nếu x1 x2 thì f(x1) < f(x2); ∀x1, x2 ∈ X. Ví dụ 1.1.5. : • Hàm số y = x3 − 3x + 2 đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞). • Hàm số y = x3 − 3x + 2 nghịch biến trên (−1; 1) . Hàm số bị chặn • Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ X. • Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ X. • Hàm số f(x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn. f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a, ∀x ∈ X Ví dụ 1.1.6. : • Hàm số y = sin x bị chặn trên R vì | sin x| ≤ 1∀x ∈ R. π • Hàm số y = arcsin x bị chặn trên [−1; 1] vì | arcsin x| ≤ ∀x ∈ [−1; 1]. 2 8
Hàm số chẵn, hàm số lẻ • Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f(−x) = f(x). • Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X và f(−x) = −f(x). Ví dụ 1.1.7. : • Hàm số y = 2x3 − x là hàm lẻ; y = 3x4 là hàm chẵn. • Hàm số y = 2x3 − x2 không phải là hàm lẻ, cũng không là hàm chẵn. Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X, ta có x + T ∈ X và f(x + T ) = f(x). Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất. Ví dụ 1.1.8. : • Hàm số y = sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π. 2π • Hàm số y = sin 3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = . 3 G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp Các hàm số sơ cấp cơ bản 1. f(x) = C, C là hằng số. 2. Hàm lũy thừa f(x) = xα, α là hằng số. • α ∈ N thì hàm số có MXĐ: D = R, MGT: R. • α là số nguyên âm thì hàm số có MXĐ D = R\{0}, MGT: R. m • α là số hữu tỉ, α = thì hàm số có MXĐ: (0; +∞), MGT: (0; +∞). n • α là số vô tỷ thì hàm số có MXĐ D = (0; +∞) và MGT: (0; +∞) . √ m n Chú ý: x n = xm khi x > 0. 9
3. Hàm số mũ f(x) = ax (a > 0, a 6= 1). MXĐ: D = R.; MGT: (0; +∞) 4. Hàm số logarit f(x) = loga x (a > 0, a 6= 1). Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx. MXĐ: D = (0; +∞); MGT: R. 5. Các hàm lượng giác: y = sin x; y = cos x, y = tan x, y = cot x. 6. Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x; y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx. Các phép toán sơ cấp 1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số. 2. Phép hợp hàm Giả sử cho các hàm số f : X → R, g : Y → R sao cho ∀x ∈ X, y = f(x) ∈ Y . Hàm số h : X → R, x 7→ h(x) = g[f(x)] gọi là hàm hợp của hai hàm f và g. Ví dụ 1.1.9. Cho hàm số f(x) = 2x3 và g(x) = sin x. Tìm hàm g[f(x)] và f[g(x)]. Giải: g[f(x)] = sin(2x3) f[g(x)] = 2(sin x)3 Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán số học và phép lấy hàm hợp. 2 x3−1 3 Ví dụ 1.1.10. Các hàm sơ cấp: lg(x + sin x), x+1 , cos 5x Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1. Hàm cung Qs = S(p) 2. Hàm cầu Qd = D(p) Thị trường hàng hóa cân bằng khi và chỉ khi Qs = Qd. 3. Hàm dư cầu g(p) = D(p) − S(p); Hàm dư cung f(p) = S(p) − D(p) 4. Hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L) 10
5. Hàm doanh thu TR = TR(Q) • Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo bán sản phẩm với giá thị trường p nên có doanh thu là: TR = p.Q. • Doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm với giá dựa vào cầu của thị trường. a − Q Nếu cầu thị trường về hàng hóa A là Q = a − bp thì suy ra p = hay b ta có hàm cầu ngược p = D−1(Q). Do đó doanh thu của doanh nghiệp độc quyền là: TR = D−1(Q).Q. 6. Hàm tổng chi phí TC = TC(Q) = VC(Q) + FC FC = TC(0) TC(Q) 7. Hàm tổng chi phí bình quân AC = Q VC(Q) 8. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C = Q 9. Hàm lợi nhuận π = TR − TC 10. Hàm tiêu dùng C = C(Y ) 11. Hàm tiết kiệm S = S(Y ) Ví dụ 1.1.11. Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu thị trường là Q = 300 − p 50 và có hàm tổng chi phí bình quân là AC = 2Q+1+ với p là giá sản phẩm, đơn vị Q USD và Q là lượng sản phẩm đơn vị tấn. Hãy lập hàm lợi nhuận của doanh nghiệp trên. 11
1.1.2 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.5. Hàm số ∗ f : N → R n 7→ f(n) được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (xn) Các số thực x1, x2, , xn, gọi là các số hạng của dãy. xn được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. Ví dụ 1.1.12. : • Dãy số {xn}, xn = 2n có các số hạng 2, 4, 6, 8, 1 −1 −1 −1 • Dãy số {x }, x = − có các số hạng −1, , , , n n n 2 3 4 n 1 2 3 • Dãy số {x }, x = có các số hạng , , , n n n + 1 2 3 4 n • Dãy số {xn}, xn = 100(1 + 0.14) có các số hạng 114; 129, 96; Bài toán lãi đơn Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì đều lấy lãi chỉ để lại vốn. Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu? Cấp số cộng vn = v0(1 + nr) vn là cấp số cộng với công sai d = v0.r. Bài toán lãi gộp (lãi kép) Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau. Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu? Cấp số nhân n vn = v0.(1 + r) vn là cấp số nhân với công bội q = 1 + r. Tổng cấp số nhân: 1 − qn S = v + + v = v n 1 n 1 1 − q 12
Tổng của cấp số nhân vô hạn giảm dần: +∞ X v1 v = v + + v + = , (q < 1) n 1 n 1 − q n=1 Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ Giả sử hiện tại bạn có số tiền A và sau 1 thời gian đầu tư bạn sẽ có số tiền B . B = A + tiền lãi Ta nói: • B đồng là giá trị tương lai của A đồng ngày hôm nay. • A đồng là giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ có trong tương lai. • Với mức lãi gộp r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là: B = A(1 + r)n • Với mức lãi gộp r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau n kì là: A = B(1 + r)−n • Với mức lãi gộp r, biết A, B thì tính n dựa vào công thức ln B n = A ln(1 + r) • Biết A, B và số kỳ gửi lãi gộp r, tính r dựa vào công thức ln B A r = e n − 1 Công thức tính lãi suất theo thời gian Nếu lãi suất là r % một năm thì r 1. Lãi suất theo nửa năm là 2 % r 2. Lãi suất theo quý là 4 % r 3. Lãi suất theo tháng là 12 % r 4. Lãi suất theo ngày là 365 % 13
Ví dụ 1.1.13. Cho biết lãi gộp 0,9 % một tháng. Muốn nhận được 1,2 tỷ đồng sau 3 năm với kỳ tính theo tháng thì hiện tại phải gửi ngân hàng bao nhiêu tiền? Giải: n = 3.12 = 36 Số tiền bây giờ phải gửi là: A = 1, 2.(1 + 0.009)−36 ≈ 0, 8692 tỷ đồng ≈ 869, 2 triệu đồng Giá trị hiện tại ròng dự án (NPV) bằng hiệu giá trị hiện tại của khoản tiền thu về trong tương lai và chi phí triển khai dự án. Điều kiện để thực hiện dự án là: NP V > 0. 1. Loại 1: Lợi tức thu về 1 lần NPV = B(1 + r)−n − Chi phí B là khoản tiền thu về trong tương lai. 2. Loại 2: Lợi tức thu về hữu hạn lần B B B NPV = 1 + 2 + + n − Chi phí (1 + r) (1 + r)2 (1 + r)n Bi, (i = 1, 2, , n) là khoản tiền thu về sau các kì 1, 2, , n. Ví dụ 1.1.14. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 1 tỷ đồng và sẽ mang về 2 tỷ đồng trong 5 năm. Với lãi suất gửi ngân hàng là lãi gộp 10 % một năm. Ta có nên thực hiện dự án hay không? Trả lời: NPV = 2.(1 + 0.1)−5 − 1 = 0.2418 > 0 Vậy ta nên thực hiện dự án. Ví dụ 1.1.15. Cho lãi suất ngân hàng là 9 % một năm. Một công ty đề nghị bạn góp vốn 600 triệu vào đầu năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm) 100 triệu liên tục trong 7 năm. Bạn có góp vốn không? Trả lời: 100 100 100 NPV = + + + − 600 1 + 0.09 (1 + 0.09)2 (1 + 0.09)7 14
100 100 100 100 1 Ta có dãy số 1+0.09 , (1+0.09)2 , , (1+0.09)7 là cấp số nhân có v1 = 1+0.09 , q = 1+0.09 nên n 1 1 − q 100 1 − 7 S = v = 1.09 = 503.295 7 1 1 − q 1.09 1 1 − 1.09 NPV = 503.295 − 600 = −96, 705 0, ∃n0 : ∀n > n0, |xn − a| < . (Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng cách chọn chỉ số n đủ lớn ) Kí hiệu: lim xn = a n→∞ Dãy số xn gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn. Giới hạn của dãy số đơn điệu Định lí 1.2.1. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. 2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. Ví dụ 1.2.1. Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn 1 n x = 1 + n n 15
số e và logarit tự nhiên 1 n e = lim 1 + n→+∞ n Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe. ln x = loge x Ứng dụng kinh tế của số e Lãi gộp liên tục là lãi có tính lý thuyết được sử dụng trong trường hợp các dòng lợi tức là các dòng liên tục. Xét tình huống: Cho lãi suất ngân hàng mỗi kì là r , tiền gốc là A. Giả sử 1 kì r được chia thành m kì nhỏ và lãi suất của từng kì nhỏ là m . Trong trường hợp lý tưởng số lần tính lãi m → +∞. Khi đó, lãi rời rạc trở thành lãi liên tục và sau 1 chu kì số tiền được tính phải là:  m r m r r r lim A 1 + = A lim  1 + r  = Ae m→+∞ m m→+∞ m Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là: B = Aer.n Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau n kì là: A = Be−r.n Ví dụ 1.2.2. Cho biết lãi suất gộp liên tục r một năm là bao nhiêu thì tương đương với lãi gộp 8 % một năm, tính lãi 1 năm 1 lần. Trả lời: Giả sử tiền gốc là A. Sau 1 năm gửi với lãi gộp 8 % thì số tiền nhận được là: A.(1 + 0.08) Sau 1 năm gửi với lãi gộp liên tục r thì số tiền nhận được là: A.er Điều kiện tương đương của 2 loại lãi suất là: A.(1 + 0.08) = A.er ⇔ r = ln(1.08) ≈ 0.077 Vậy lãi suất gộp liên tục xấp xỉ 7.7 % thì thỏa mãn đề bài. 16
1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Khái niệm giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.2.2. Khi x tiến đến x0, giới hạn của f(x) là L được kí hiệu là: lim f(x) = L x→x0 nếu tất cả các giá trị của f(x) gần tới L khi mọi giá trị của x đủ gần x0 nhưng không bằng x0. Nhận xét: 1. Giới hạn L là một số thực duy nhất. 2. Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x → x0 thì f(x) không cần thiết phải xác định tại x0. Giới hạn một phía Định nghĩa 1.2.3. : 1. Giới hạn bên trái của hàm số f(x) tại điểm x0 là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x0 về bên trái (x → x0, và x x0 ) , kí hiệu lim f(x) + x→x0 Định lí 1.2.2. Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x → x0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = L − + x→x0 x→x0 Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản 17
1. Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f(x) tại điểm a ∈ MXĐ là: lim f(x) = f(a) x→a 2. Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút π π lim arctan x = , lim arctan x = − x→+∞ 2 x→−∞ 2 lim arccotx = 0, lim arccotx = π x→+∞ x→−∞ 3. Các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x không có giới hạn khi x → ±∞ Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số Định lí 1.2.3. Nếu khi x → a, hàm số f(x), g(x) có giới hạn là các số thực b1, b2 thì 1. lim[f(x) ± g(x)] = b1 ± b2 x→a 2. lim[kf(x)] = kb1 x→a 3. lim[f(x).g(x)] = b1.b2 x→a f(x) b1 4. lim = , (b2 6= 0) x→a g(x) b2 g(x) b2 5. lim[f(x)] = b , (b1 > 0) x→a 1 Định lí 1.2.4. (Định lí kẹp) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x→a x→a x→a Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau 1 lim x2 sin x→0 x Lời giải: Ta có: 1 −1 ≤ sin ≤ 1 x 1 ⇔ −x2 ≤ x2 sin ≤ x2 x 18
Mà lim(−x2) = lim x2 = 0 x→0 x→0 Do đó: 1 lim x2 sin = 0 x→0 x Định lí 1.2.5. Nếu f(x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn limx→a g(x) = 0 thì lim f(x).g(x) = 0 x→a Ví dụ 1.2.4. Tính giới hạn sau √ √ lim (sin x + 1 − sin x) x→+∞ Giải: √ √ √ √ √ √ x + 1 + x x + 1 − x lim (sin x + 1 − sin x) = lim 2 cos sin x→+∞ x→+∞ 2 2 √ √ x + 1 + x 1 = lim 2 cos sin √ √ x→+∞ 2 2( x + 1 + x) Ta có √ √ x + 1 + x cos ≤ 1∀x ∈ R 2 1 lim sin √ √ = 0 x→+∞ 2( x + 1 + x) Vậy √ √ lim (sin x + 1 − sin x) = 0 x→+∞ Các công thức giới hạn quan trọng sin x 1. lim = 1 x→0 x 1 2. lim(1 + x) x = e x→0 1 lim (1 + )x = e x→±∞ x loga(1 + x) 3. lim = loga e (0 < a 6= 1) x→0 x ln(1 + x) lim = 1 x→0 x 19
ax − 1 4. lim = ln a x→0 x ex − 1 lim = 1 x→0 x (1 + x)α − 1 5. lim = α (α ∈ R) x→0 x Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì sin α(x) 1. lim = 1 x→a α(x) 1 2. lim(1 + α(x)) α(x) = e x→a loga(1 + α(x)) 3. lim = loga e (0 < a 6= 1) x→a α(x) ln(1 + α(x)) lim = 1 x→a α(x) aα(x) − 1 4. lim = ln a x→a α(x) eα(x) − 1 lim = 1 x→a α(x) (1 + α(x))β − 1 5. lim = β (β ∈ R) x→a α(x) Các dạng vô định của hàm số 0 f(x) Dạng 0 : Tính lim g(x) với f(x), g(x) → 0 khi x → x0 x→x0 Phương pháp: • Phân tích tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn thành đa thức có chứa nhân tử x − x0 (Nếu biểu thức có chứa căn bậc 2, căn bậc 3 thì có thể nhân liên hợp). Sau đó rút gọn biểu thức và tính giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản tại điểm x0 ∈ MXĐ. • Khi biểu thức cần tính giới hạn có chứa các hàm lượng giác, logarit, ln, hàm mũ thì dùng các công thức giới hạn quan trọng để tính. Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 1. lim x→0 x √ x − 2x − 1 2. lim x→1 x2 − 12x + 11 20
sin mx 3. lim x→0 sin nx log (2x + 1) 4. lim 3 x→0 x ∞ f(x) Dạng ∞ : Tính lim g(x) với f(x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Phương pháp: Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho x với số mũ lớn nhất. Chú ý : Nếu biểu thức cần tính giới hạn khi x → ±∞ có chứa căn bậc 2 thì cần cẩn thận dấu của x khi chia cả tử và mẫu của biểu thức cho x với số mũ lớn nhất mà là số lẻ. Ví dụ 1.2.6. Tính các giới hạn sau √ x6 − 3x 1. lim x→−∞ 2x3 + 1 ln(x2 − x + 1) 2. lim x→+∞ ln(x10 + x5 + 1) Dạng 0.∞: Tính lim f(x).g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 0 Phương pháp: Chuyển dạng vô định này về dạng ∞ hoặc ∞ 0 Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau 1 lim x2(1 − cos ) x→±∞ x Dạng ∞ − ∞: Tính lim [f(x) − g(x)] với f(x), g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Phương pháp: Nếu biểu thức có chứa căn bậc 2 thì có thể nhân liên hợp. Sau đó 0 chuyển về dạng ∞ hoặc . ∞ 0 Ví dụ 1.2.8. Tính các giới hạn sau p 1. lim ( x2 − x − x) x→+∞ π 2. lim (2x tan x − ) π x→ 2 cos x ∞ g(x) Dạng 1 : Tính lim [f(x)] với f(x) → 1, g(x) → ∞ khi x → x0 x→x0 Phương pháp: 21
Cách 1: Viết lại giới hạn để áp dụng công thức: khix → a mà α(x) → 0 thì 1 lim(1 + α(x)) α(x) = e x→a Cách 2: Tính giới hạn : lim [f(x) − 1].g(x) = K. x→x0 lim [f(x)g(x)] = eK x→x0 Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau lim(1 + sin πx)cot πx x→1 Vô cùng bé, vô cùng lớn Vô cùng bé: Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu lim α(x) = 0 x→a Ví dụ 1.2.10. : • sin x, sin 2x là VCB khi x → 0. • x−3 là VCB khi x → +∞. • x2 − 1 là VCB khi x → 1 So sánh hai vô cùng bé Giả sử α(x), β(x) là hai VCB khi x → a. 1. Nếu lim α(x) = 0 thì α(x) là VCB cấp cao hơn β(x). x→a β(x) Kí hiệu là: α(x) = o(β(x)). 2. Nếu lim α(x) = L(L 6= 0) thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp . x→a β(x) 3. Nếu L = 1 thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương . Kí hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → a. Quy tắc thay thế vô cùng bé Giả sử khi x → a ta có hai cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗(x) , β(x) ∼ β∗(x) và tồn tại α∗(x) lim x→a β∗(x) 22
thì α(x) α∗(x) lim = lim x→a β(x) x→a β∗(x) Ví dụ 1.2.11. Ứng dụng vô cùng bé để khử dạng vô định ln(1 + tan 3x) 1. lim x→0 5x + sin3 x ln(1 + x − 3x2) 2. lim x→1 ln(1 + 3x − 4x2) Vô cùng lớn Hàm số β(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu lim |β(x)| = +∞ x→a Nhận xét: 1 Nếu β(x) là một vô cùng lớn thì β(x) là một VCB. 1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.3.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f(x) xác định trong (a; b) và x0 ∈ (a; b). f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) x→x0 Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì nói f(x) gián đoạn tại x0. Tính liên tục một phía 1. f(x) gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) − x→x0 2. f(x) gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim f(x) = f(x0) + x→x0 23
Định lí 1.3.1. f(x) liên tục tại x0 ⇔ lim f(x) = f(x0) x→x0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(x0) − + x→x0 x→x0 Ví dụ 1.3.1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.  1 − cos x  , x 6= 0 f(x) = x2  a, x = 0 1.3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa 1.3.2. : • Hàm số f(x) liên tục trên (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b). • Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b), liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Các phép toán sơ cấp đối với các hàm liên tục Định lí 1.3.2. Nếu hàm số f(x), g(x) liên tục tại x0 thì • Các hàm f(x) + g(x), f(x).g(x), f(x) − g(x) liên tục tại x0. f(x) • Hàm số g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) 6= 0. Định lí 1.3.3. Nếu hàm số ϕ(x) liên tục tại x0, f(u) liên tục tại u0 = ϕ(x0) thì hàm hợp f[ϕ(x)] liên tục tại x0. Định lí 1.3.4. Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó. Ví dụ 1.3.2. Tìm a để hàm số sau liên tục trên MXĐ.  1 − cos x  , x 6= 0 f(x) = x2  a, x = 0 24
Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng Định lí 1.3.5. (Định lí về giá trị trung gian hay Định lí Bolzano - Cauchy) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b], f(a) 6= f(b),N là một số bất kì giữa f(a) và f(b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = N . Hệ quả 1.3.6. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b], f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b). Q2 1 Ví dụ 1.3.3. Một doanh nghiệp có hàm TC = 40 + 3Q + + . Giá 1 sản phẩm 1000 Q là 7USD. Chứng minh có mức sản lượng trong khoảng (1; 11) để sản xuất hòa vốn. Định lí 1.3.7. (Định lí Weierstrass) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì 1. f(x) bị chặn trên [a; b]; 2. f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b] 25
CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM 2.1 ĐẠO HÀM 2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 2.1.1. Xét hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa x0. Cho x0 số gia ∆x và ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số ∆x tại điểm x0. ∆y f(x0+∆x)−f(x0) Nếu tỉ số ∆x = ∆x có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được 0 gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x0. Kí hiệu: f (x0) 0 ∆y f (x0) = lim ∆x→0 ∆x Định nghĩa 2.1.2. 0 f(x) − f(x0) f (x0) = lim nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. x→x0 x − x0 Đạo hàm một phía Định nghĩa 2.1.3. : 0 ∆y + Đạo hàm bên phải của f tại x0: f+(x0) = lim nếu giới hạn đó tồn tại hữu ∆x→0+ ∆x hạn. 0 ∆y + Đạo hàm bên trái của f tại x0: f−(x0) = lim nếu giới hạn đó tồn tại hữu ∆x→0− ∆x hạn. 26
0 0 Định lí 2.1.1. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f+(x0), f−(x0) 0 0 và f+(x0) = f−(x0) . Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Cách 1 B1: Cho x0 số gia ∆x B2: Tính ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆y B3: Tính giới hạn tỉ số ∆x khi ∆x → 0 2. Cách 2 • Tính lim f(x)−f(x0) x→x0 x−x0 0 • Nếu giới hạn trên bằng số hữu hạn k thì kết luận f (x0) = k, ngược lại kết luận hàm số không có đạo hàm tại x0. Ví dụ 2.1.1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0  1 − cos x  , x 6= 0 f(x) = x  0, x = 0 Giải: 1 − cos x f(x) − f(0) 1 − cos x lim = lim x = lim x→0 x − 0 x→0 x x→0 x2 x x 2 sin2 sin2 2 2 1 = lim 2 = lim x = x→0 x x→0 2( )2 2 2 1 Vậy f 0(0) = 2 Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số y = |x| tại x = 0 (nếu có) Giải: Cho x0 = 0 số gia ∆x ∆y |0 + ∆x| − |0| |∆x| = = ∆x ∆x ∆x ∆y |∆x| ∆x 0 lim = lim = = 1 = f+(0) ∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x ∆x 27
∆y |∆x| −∆x 0 lim = lim = = −1 = f−(0) ∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x ∆x 0 0 Vì f+(0) 6= f−(0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Định lí 2.1.2. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó Chú ý 2.1.3. Điều ngược lại của định lí 2 là sai. Ví dụ 2.1.3. Hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. Định nghĩa 2.1.4. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền X thì mỗi giá trị x ∈ X cho tương ứng một giá trị xác định của đạo hàm y0. Khi đó hàm số f 0 : X → R, x 7→ f 0(x) được gọi là đạo hàm của hàm f trên X 2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 1.(C)0 = 0 2.(xα)0 = αxα−1, (x)0 = 1 1 3.(ax)0 = ax ln a;(ex)0 = ex 4.(log x)0 = , (ln x)0 = 1 a x ln a x 3.(sinx)0 = cosx 6.(cosx)0 = −sinx 1 1 7.(tanx)0 = 8.(cotx)0 = − cos2 x sin2 x 1 1 9.(arcsinx)0 = √ 10.(arccosx)0 = −√ 1 − x2 1 − x2 1 1 11.(arctanx)0 = 12.(arccotx)0 = − 1 + x2 1 + x2 2.1.3 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 2.1.4. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm thì: 28
1. (u + v)0 = u0 + v0; 2. (ku)0 = ku0 (k là hằng số bất kỳ); 3. (uv)0 = u0v + uv0; u0v − uv0 4. ( u )0 = (v 6= 0). v v2 B. Đạo hàm của hàm hợp Định lí 2.1.5. Nếu hàm số u(x) có đạo hàm tại x0 và hàm số f có đạo hàm tại u0 = u(x0) thì hàm hợp y = f[u(x)] có đạo hàm tại x0 được tính theo công thức: 0 0 0 y (x0) = f (u0).u (x0) hoặc 0 0 0 yx = yu.ux Ví dụ 2.1.4. Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 2x Lời giải: y0 = 2sin 2x(ln 2)(sin 2x)0 = (ln 2)2sin 2x.2. cos 2x = (ln 2)2sin 2x+1 cos 2x C. Đạo hàm của biểu thức lũy thừa mũ Biểu thức lũy thừa mũ là biểu thức dạng y = u(x)v(x)(u(x) > 0) . Cách giải: Cách 1 : Viết lại biểu thức dưới dạng: y = eln y = ev ln u Suy ra vu0 y0 = ev ln u(v ln u)0 = uv(v0 ln u + ) u Cách 2 : phương pháp logarit hóa Lấy logarit của y (cơ số e): ln y = v ln u 0 0 v.u Lấy đạo hàm hai vế ta được y = v0 ln u + y u 0 v 0 vu0 Suy ra y = u (v ln u + u ) Ví dụ 2.1.5. Tính đạo hàm của hàm số y = xx(x > 0) Lời giải: 0 0 x.x Ta có ln y = x ln x ⇒ y = x0 ln x + = ln x + 1 ⇒ y0 = xx(ln x + 1) y x 29
2.2 VI PHÂN 2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM A. Khái niệm hàm khả vi và vi phân Định nghĩa 2.2.1. Hàm f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại số thực k sao cho: ∆f(x0) = k∆x + o(∆x) Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là df(x0) df(x0) = k∆x Ví dụ 2.2.1. Chứng minh hàm số f(x) = x3 khả vi tại điểm x bất kỳ. B. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 0 Định lí 2.2.1. Hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 ⇔ ∃f (x0). Khi đó, 0 df(x0) = f (x0).∆x. Biểu thức vi phân 1. Khi f(x) = x thì dx = ∆x 2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là: df(x) = f 0(x)dx Ví dụ 2.2.2. : 1. y = ln(3x2 − 2x3). Tìm dy 2. y = arctan x2 . Tìm dy Lời giải: 2 3 0 2 3 0 (3x −2x ) 6x(1−x) 1. dy = (ln(3x − 2x )) dx = 3x2−2x3 dx = 3x2−2x3 dx 2 0 2 0 (x ) 2x 2. dy = (arctan x ) dx = 1+x4 dx = 1+x4 dx 30
2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN A. Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 2.2.2. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm đó ta có: 1. d(u ± v) = du ± dv; 2. d(ku) = kdu (k là hằng số); 3. d(uv) = vdu + udv; vdu − udv 4. d( u ) = (v(x) 6= 0). v v2 B. Tính bất biến của biểu thức vi phân Định lí 2.2.3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số khả vi theo biến x, x = ϕ(t) là hàm 0 0 số khả vi theo biến t. Khi đó, dy = yt.dt = yxdx. 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.3.1. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số đó. f (n)(x) = [f (n−1)(x)]0 Ví dụ 2.3.1. y = e2x y0 = 2e2x y00 = 22e2x y(n)(x) = 2ne2x 31
2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO Định nghĩa 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của hàm số đó. d(n)(y) = d(d(n−1)(y)) Nhận xét: d(n)(y) = y(n)(dx)n Chú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập. Ví dụ 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là: nπ d(n)(y) = (sin x)(n)(dx)n = sin(x + )(dx)n 2 2.3.3 CÔNG THỨC TAYLOR Khai triển Taylor với số dư dạng Peano Giả sử hàm số f(x) xác định trong (a; b), có đạo hàm đến cấp n − 1 liên tục trong (n) (a; b) và ∃f (x0), x0 ∈ (a; b). Khi đó, ∀x ∈ (a; b): 0 00 (n) f (x0) f (x0) 2 f (x0) n n f(x) = f(x0) + 1! (x − x0) + 2! (x − x0) + + n! (x − x0) + o((x − x0) ) n Rn = o((x − x0) ) khi x → x0 được gọi là phần dư dạng Peano Khai triển Maclaurin Khi x0 = 0 khai triển Taylor gọi là khai triển Maclaurin. Khai triển Maclaurin của một số hàm x x x2 xn n 1. e = 1 + 1! + 2! + + n! + o(x ) x x3 x5 n−1 x2n−1 2n−1 2. sin x = 1! − 3! + 5! − + (−1) (2n−1)! + o(x ) x2 x4 n x2n 2n 3. cos x = 1 − 2! + 4! − + (−1) (2n)! + o(x ) x2 x3 n−1 xn n 4. ln x = x − 2 + 3 − + (−1) n + o(x ) α α(α−1) 2 α(α−1) (α−n+1) n n 5. (1 + x) = 1 + αx + 2! x + + n! x + o(x ) Khai triển Taylor với số dư dạng Lagrange 32
Giả sử f và f (n) là các hàm liên tục trên [a; b] và tồn tại f (n+1) trên (a; b). Khi đó: f 0(x ) f 00(x ) f(x) = f(x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + + 0 1! 0 2! 0 f (n)(x ) f (n+1)(c) 0 (x − x )n + (x − x )n+1 n! 0 (n + 1)! 0 với x, x0 ∈ [a; b], c ∈ (x; x0). (n+1) f (c) n+1 Rn = (n+1)! (x − x0) gọi là phần dư dạng Lagrange. Ứng dụng khai triển Taylor Ví dụ 2.3.3. Tính giới hạn sau: 2 (1 + x) 5 − 1 lim x→0 x Lời giải: Theo công thức Maclaurin, ta có: 2 2 (1 + x) 5 = 1 + x + o(x) 5 2 2 (1 + x) 5 − 1 1 + x + o(x) − 1 lim = lim 5 x→0 x x→0 x 2 x + o(x) 2 = lim 5 = . x→0 x 5 2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.4.1 Tính các dạng vô định Quy tắc L’Hospital Định lí 2.4.1. Giả sử các hàm u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện sau: u(x) 0 ∞ 1. lim có dạng hoặc . x→a v(x) 0 ∞ u0(x) 2. ∃ lim (hữu hạn hoặc vô hạn). x→a v0(x) 33
Khi đó u(x) u0(x) lim = lim x→a v(x) x→a v0(x) Chú ý: 1. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 2. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía Ví dụ 2.4.1. Tính các giới hạn sau −x + arcsin x 1. lim x→0 x3 ln(1 − x) 2. lim x→1− cotπx Khử các dạng vô định khác Dạng 0.∞:Tìm limf(x)g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a x→a 0 ∞ Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 0 hoặc ∞ như sau: f(x) g(x) limf(x)g(x) = lim hoặc limf(x)g(x) = lim x→a x→a 1 x→a x→a 1 g(x) f(x) Ví dụ 2.4.2. Tính giới hạn sau π x lim tan x. tan( − ) π x→ 2 4 2 Dạng ∞ − ∞: Tìm lim(f(x) − g(x)) với f(x), g(x) → ∞ khi x → a x→a 0 ∞ Ta biến đổi để đưa về dạng vô định 0 hoặc ∞ như sau: 1 1 − g(x) f(x) lim[f(x) − g(x)] = lim x→a x→a 1 f(x)g(x) Ví dụ 2.4.3. Tính giới hạn sau h 1 1 i lim − x→1 ln x x − 1 h 1 1 i lim − x→0 sin2 x x2 34
Dạng 1∞, 00, ∞0: Xét limf(x)g(x) x→a Tính ln f(x)g(x) = g(x) ln f(x) Giới hạn này có dạng vô định 0.∞. Nếu ta tìm được: lim[g(x) ln f(x)] = K x→a thì lim[f(x)g(x)] = eK x→a Ví dụ 2.4.4. Tính giới hạn sau lim sinx x x→0+ 2.4.2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 2.4.2. (Định lí Fermat) Giả sử 1. f(x) đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a; b); 2. f(x) có đạo hàm tại điểm x0. 0 Khi đó f (x0) = 0. Nhận xét: 0 1. Điểm x0 mà tại đó f (x0) = 0 gọi là điểm dừng. 0 0 2. Điểm x0 mà tại đó f (x0) = 0 hoặc f (x0) không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn. 3. Nếu hàm f khả vi trên miền xác định thì những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng. Định lí 2.4.3. (Định lí Rolle) Giả sử 1. f(x) xác định và liên tục trên [a; b]; 2. f(x) khả vi trong khoảng (a; b); 35
3. f(a) = f(b) Khi đó ∃ c ∈ (a; b) sao cho: f 0(c) = 0. Định lí 2.4.4. (Định lí Lagrange) Giả sử 1. f(x) liên tục trên [a; b]; 2. f(x) khả vi trên (a; b). f(b) − f(a) Khi đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f 0(c) = . b − a Nhận xét Định lí Rolle là một trường hợp riêng của định lí Lagrange. Định lí 2.4.5. (Định lí Cauchy) Giả sử các hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. liên tục trên [a; b]; 2. khả vi trên khoảng (a; b); 3. g0(x) 6= 0 ∀x ∈ (a; b). Khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f 0(c) f(b) − f(a) = . g0(c) g(b) − g(a) Nhận xét: Định lí Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy. Quy tắc tìm cực trị của hàm số khả vi trên (a, b) Bước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số Giải phương trình f 0(x) = 0 Bước 2 (Điều kiện đủ ) 36
0 Cách 1: Với x0 là một điểm dừng của f(x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f (x0) = 00 (n−1) (n) f (x0) = = f (x0) = 0, f (x0) 6= 0 1. Nếu n là số chẵn thì x0 là điểm cực trị . (n) • x0 là cực đại nếu f (x0) 0 2. Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị . Cách 2: Vẽ bảng biến thiên. Ví dụ 2.4.5. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau: 1 π = − Q3 + 14Q2 + 60Q − 54 3 Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối ưu. 2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số A. Điều kiện cần Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a; b) và f(x) khả vi thì f 0(x) ≥ 0. Nếu hàm số f(x) không tăng trên (a; b) và f(x) khả vi thì f 0(x) ≤ 0. B. Điều kiện đủ Cho f(x) khả vi trên (a; b). Nếu tại x0 ∈ (a; b) mà • f 0(x) > 0 thì f(x) tăng trên (a; b). • f 0(x) < 0 thì f(x) giảm trên (a; b). • f 0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trên (a; b). 2.4.4 Đạo hàm cấp 2 và tính lồi lõm, điểm uốn của đường cong A. Khái niệm hàm lồi, lõm 37
Định nghĩa 2.4.1. • Hàm số f(x) được gọi là lồi trong khoảng (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) và t ∈ (0; 1) thì f[tx1 + (1 − t)x2] tf(x1) + (1 − t)f(x2) B. Liên hệ với đạo hàm cấp 2 Định lí 2.4.6. Điều kiện cần • Nếu f(x) lồi trong khoảng (a; b) thì f 00(x) ≥ 0∀x ∈ X • Nếu f(x) lõm trong khoảng (a; b) thì f 00(x) ≤ 0∀x ∈ X Định lí 2.4.7. Điều kiện đủ • Nếu f 00(x) > 0∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) là hàm lồi trong khoảng (a; b). • Nếu f 00(x) < 0∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) là hàm lõm trong khoảng (a; b). C. Điểm uốn Định nghĩa 2.4.2. Điểm x0 mà tại đó hàm số thay đổi hướng lồi lõm được gọi là điểm uốn của hàm số đó. 00 00 Định lí 2.4.8. Nếu x0 là điểm uốn của hàm số f(x) thì f (x0) = 0 hoặc f (x0) không tồn tại. 2.4.5 Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế A. Đạo hàm và giá trị cận biên Tổng quát: Cho hàm y = f(x), tại x = x0, 0 khi x tăng 1 đơn vị thì y thay đổi xấp xỉ một lượng là f (x0) đơn vị. 38
0 0 Nếu f (x0) > 0 thì sự thay đổi cùng chiều và f (x0) < 0 thì sự thay đổi ngược chiều . Hàm số f 0(x) gọi là hàm cận biên và ký hiệu là Mf. • Với mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L) thì f 0(L) gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L, kí hiệu là MPPL. 0 MPPL = f (L) Ý nghĩa: Tại mỗi điểm L, MPPL cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động. • Với mô hình hàm doanh thu TR = TR(Q) thì TR0(Q) gọi là doanh thu cận biên tại điểm Q, kí hiệu là MR. MR = TR0(Q) Ý nghĩa: Tại mỗi mức sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Với mô hình hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC0(Q) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q, kí hiệu là MC. MC = TC0(Q) Ý nghĩa: Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. • Với mô hình hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì MPC = C0(Y ) gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên tại điểm Y . Ý nghĩa: Tại mỗi mức thu nhập Y , MPC cho biết xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi thu nhập tăng thêm một đơn vị. • Với mô hình hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì MPS = S0(Y ) gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên tại điểm Y . Ý nghĩa: Tại mỗi mức thu nhập Y , MPS cho biết xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi thu nhập tăng thêm một đơn vị. Ví dụ 2.4.6. Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu thị trường là Q = 300 − p 50 và có hàm tổng chi phí bình quân là AC = 2Q + 1 + với p là giá sản phẩm, đơn Q vị USD và Q là lượng sản phẩm đơn vị tấn. Hãy tìm MC(10),MR(50) B. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mô hình y = f(x), trong đó y là biến số lợi ích (thu nhập, doanh thu, lợi nhuận, 39
) và x là biến số mô tả yếu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi x càng lớn thì giá trị y− cận biên càng nhỏ, tức là My = f 0(x) là hàm giảm. Khi đó: (My)0 = f 00(x) ≤ 0 C. Hệ số co dãn Định nghĩa 2.4.3. Hệ số co dãn của hàm y = f(x) theo x tại x = x0 là số đo lượng thay đổi tính theo % của y khi x tăng 1 %. y 0 x0 Ex(x0) = f (x0). f(x0) y Ý nghĩa: Tại điểm x = x0, nếu x tăng 1 % thì y thay đổi Ex(x0) %. y y Nếu Ex(x0) > 0 thì sự thay đổi này cùng chiều và nếu Ex(x0) < 0 thì sự thay đổi này ngược chiều. Các hệ số co dãn hay dùng trong kinh tế: Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo lượng thay đổi tính theo % của lượng cầu khi giá tăng 1 %. p ED = D0(p). p D(p) Hệ số co dãn của cầu theo thu nhập (tính ở mỗi mức thu nhập) là số đo lượng thay đổi tính theo % của lượng cầu khi thu nhập tăng 1 %. I ED = D0(I). I D(I) Hệ số co dãn của cầu hàng hóa X theo giá hàng hóa Y là số đo lượng thay đổi tính theo % của lượng cầu hàng hóa X khi giá hàng hóa Y tăng 1 %. DX 0 PY EP = D (PY ). Y D(PY ) Hệ số co dãn của cung theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo lượng thay đổi tính theo % của lượng cung khi giá tăng 1 %. p ES = S0(p). p S(p) Ví dụ 2.4.7. Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm A trên thị trường có hàm cầu Q = 6p − p2. a. Tại mức giá p0 = 4, tính hệ số co dãn của cầu theo giá và cho biết ý nghĩa kinh 40
tế. b. Tại mức giá p0 = 4, nếu giá giảm 2 % thì lượng cầu sẽ thay đổi như thế nào? D. QUAN HỆ GIỮA HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM CẬN BIÊN Quan hệ giữa MC và AC 1. Nếu MC > AC thì AC0(Q) > 0 nên chi phí bình quân tăng. 2. Nếu MC AR thì AR0(Q) > 0 nên doanh thu bình quân tăng. 2. Nếu MR 0) 41
CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 3.1.1. Hàm hai biến f có tập xác định trên D ⊂ R2 là một quy tắc cho tương ứng mỗi điểm M(x, y) ∈ D một và chỉ một số thực z ∈ R Kí hiệu: z = f(x, y) hay z = f(M) Số thực z gọi là giá trị hàm số f tại điểm M(x, y) Miền xác định của hàm số hai biến Miền xác định ( MXĐ) của hàm số hai biến f(x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x0, y0) mà biểu thức có nghĩa khi ta gán x = x0, y = y0. Miền giá trị của hàm số hai biến Miền giá trị (MGT) của hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi M(x, y) thay đổi trong MXĐ. Ví dụ 3.1.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z = p9 − x2 − y2 Đồ thị của hàm hai biến Đồ thị hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các điểm P (x, y, z) trong không gian, trong đó M(x, y) ∈ D . G = {(x, y, z) ∈ R3|z = f(x, y), (x, y) ∈ D} Đường mức 42
Đường mức của hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) mà tại đó hàm số cùng nhận một giá trị z0 cố định. Phương trình đường mức: f(x, y) = z0 Phép hợp hàm Quy tắc (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)) 7→ z cho ta hàm z = f[u(x, y), v(x, y)] là hàm hợp của các hàm số w = f(u, v) và u = u(x, y), v = v(x, y). Hàm số n biến số Các khái niệm tương tự như với hàm hai biến số. Một số hàm nhiều biến số trong kinh tế 1. Hàm sản xuất Q = f(K, L) 2. Hàm tổng chi phí và hàm lợi nhuận TC = wKK + wLL + FC Với wK, wL tương ứng là giá thuê một đơn vị vốn và giá thuê một đơn vị lao động. TR = pQ = pf(K, L) π = pf(K, L) − (wkK + wLL + FC) 3. Hàm lợi ích U = U(x1, x2, , xn) Với x1, x2, , xn là số đơn vị hàng hóa 1, 2, , n khách hàng mua. Đường bàng quan: U(x1, x2) = U0 Đường đồng lượng: f(K, L) = Q0 4. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa liên quan Qsi = Si(p1, p2, , pn) Qdi = Di(p1, p2, , pn) Ví dụ 3.1.2. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = K(L + 10) và bán sản phẩm với giá p = 300 USD. Biết giá thuê một đơn vị vốn và 43
giá thuê một đơn vị lao động tương ứng là 10 USD và 15 USD. a. Lập hàm lợi nhuận biết chi phí cố định là 1000 USD. b. Tìm tập hợp các cách kết hợp K, L cho cùng một mức sản lượng Q = 5000 sản phẩm. 3.1.2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Giới hạn của hàm số 2 biến Khoảng cách giữa 2 điểm M(x, y),M 0(x0, y0) là p d(M, M 0) = (x0 − x)2 + (y0 − y)2 Định nghĩa 3.1.2. Giả sử ta có dãy điểm M1(x1, y1),M2(x2, y2), , Mn(xn, yn). Nếu tồn tại một điểm cố định A(a, b) sao cho lim d(Mn,A) = 0 n→+∞ thì ta nói dãy điểm Mn hội tụ đến điểm A khi n → +∞. Kí hiệu: lim Mn = A n→+∞   lim xn = a  n→+∞ Định lí 3.1.1. Dãy điểm Mn(xn, yn) hội tụ đến điểm A(a, b) ⇔  lim yn = b n→+∞ n n2−1 Ví dụ 3.1.3. Tìm giới hạn của dãy điểm Mn − 2 , n2 khi n → +∞. Định nghĩa 3.1.3. Cho hàm số z = f(x, y) có MXĐ D và A(a, b) . Số L (hữu hạn hoặc vô hạn) là giới hạn của z = f(x, y) khi x → a, y → b nếu với mọi dãy điểm Mn(xn, yn) ∈ D\{A} hội tụ đến A ta đều có lim f(Mn) = L n→+∞ Kí hiệu: lim f(x, y) = L x → a y → b 44
Chú ý: 1. Giới hạn bội (giới hạn kép) Các quá trình x → a, y → b diễn ra đồng thời không phụ thuộc lẫn nhau. 2. Giới hạn lặp lim lim f(x, y) = F x→a y→b lim lim f(x, y) = E y→b x→a Hai giới hạn lặp không nhất thiết phải bằng nhau và chúng có thể không tồn tại. Ví dụ 3.1.4. Tính các giới hạn lặp của hàm số x − y + x2 + y2 f(x, y) = , khi x → 0, y → 0 x + y Hàm liên tục Định nghĩa 3.1.4. Cho hàm z = f(x, y) xác định trên D và A(a, b) là một điểm tụ của D. Hàm f(x, y) gọi là liên tục tại A nếu lim f(x, y) = f(a, b) x → 0 y → 0 Nếu f(x, y) không liên tục tại A thì ta nói f(x, y) gián đoạn tại A. 3.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân Đạo hàm riêng Định nghĩa 3.1.5. (Số gia) Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và (x0, y0) ∈ D. • ∆x = x − x0 gọi là số gia của biến x. 45
• ∆y = y − y0 gọi là số gia của biến y. Định nghĩa 3.1.6. : ∂f(x,y) 0 • Đạo hàm riêng của hàm z = f(x, y) theo biến x được kí hiệu: ∂x hoặc fx là lim f(x+∆x,y)−f(x,y) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. ∆x→0 ∆x ∂f(x,y) 0 • Đạo hàm riêng của hàm z = f(x, y) theo biến y được kí hiệu: ∂y hoặc fy là lim f(x,y+∆y)−f(x,y) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. ∆y→0 ∆y Nhận xét: 1. Hàm n biến có n đạo hàm riêng. 2. Khi tính các đạo hàm riêng ta chỉ cần áp dụng các công thức và các quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến và coi các biến còn lại là hằng số. Ví dụ 3.1.5. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau 1. z = x2y3 + 2x − 3y + 2x sin y − 3y cos2 x 2 3 2x+4y 2. z = ln(x y ) + e + 12 tại M1(1, 1) và M2(−1, 2) 3. t = xy2z3 + 2xy − 4yz + ln(xz2) + 4 Định lí 3.1.2. (Đạo hàm riêng của hàm hợp:) Giả sử h = h[u(x, y), v(x, y)]. • Đạo hàm riêng của hàm h theo biến x là ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v = . + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x nếu đạo hàm riêng ở vế phải tồn tại. • Đạo hàm riêng của hàm h theo biến y là ∂h ∂h ∂u ∂h ∂v = . + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y nếu đạo hàm riêng ở vế phải tồn tại. 46
Ví dụ 3.1.6. Cho hàm h = u3 − v2, u = x + y, v = x − 2y. ∂h ∂h Tính ∂x , ∂y . Đạo hàm của hàm ẩn 0 Xét hàm số y = y(x) được xác định bởi phương trình F (x, y) = 0. Đạo hàm yx được tính theo công thức 0 0 Fx yx = − 0 Fy Ví dụ 3.1.7. Cho hàm 2 biến: u = x2 + xy − 2y3 + 1 a. Viết phương trình đường mức đi qua điểm (x = 1, y = 2) 0 b. Tính yx tại (x = 1, y = 2). Vi phân Định nghĩa 3.1.7. Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng liên tục tại (x0, y0) ∈ D. Vi phân toàn phần của f(x, y) tại (x0, y0), kí hiệu: dz hoặc df(x0, y0) là 0 0 df(x0, y0) = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y Định nghĩa 3.1.8. • Vi phân riêng của f(x, y) theo biến x là vi phân có được khi coi y là hằng số. 0 Kí hiệu là: dxf = fxdx • Vi phân riêng của f(x, y) theo biến y là vi phân có được khi coi x là hằng số. 0 Kí hiệu là: dyf = fydy Ví dụ 3.1.8. Tính vi phân riêng và vi phân toàn phần của z = x3y4. Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 3.1.9. Giả sử z = f(x, y) xác định trên D và có các đạo hàm riêng 0 0 cấp 1 fx, fy là các hàm hai biến mới trong D. Các đạo hàm riêng của chúng (nếu 47
tồn tại) được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f(x, y). 00 00 00 00 Kí hiệu: fx2 , fy2 , fxy, fyx Nhận xét: 2 Hàm n biến z = f(x1, x2, , xn) có n đạo hàm riêng cấp 2. Ví dụ 3.1.9. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau z = x2y3 + lnxy + 2x − 4y Định lí 3.1.3. (Định lí Schwarz) Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên D và 00 00 M(a, b) ∈ D. Nếu các đạo hàm fxy, fyx tồn tại trên D và liên tục tại (a, b) thì 00 00 fxy = fyx 3.1.4 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG KINH TẾ HỌC Đạo hàm riêng và giá trị cận biên Xét hàm số z = f(x1, x2, , xn) và điểm X0(x01, , x0n). Trong kinh tế học, đạo hàm riêng của z theo xi tại điểm X0(x01, , x0n) cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc z khi biến xi tăng thêm 1 đơn vị, trong khi các biến khác không đổi. Đối với hàm sản xuất Q = f(K, L) ∂Q ∂K = MPPK gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của vốn. Ý nghĩa: Tại điểm (K0,L0),MPPK biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm 1 đơn vị vốn và giữ nguyên lao động . ∂Q ∂L = MPPL gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động. Ý nghĩa: Tại điểm (K0,L0),MPPL biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm 1 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn . Ví dụ 3.1.10. Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng 2 1 Q = 18K 3 L 3 48
a. Tại K = 27,L = 64, nếu tăng vốn lên 1 đơn vị và giữ nguyên lao động thì sản lượng thay đổi như thế nào? b. Tại K = 27,L = 64, nếu tăng vốn lên 3 đơn vị và giữ nguyên lao động thì sản lượng thay đổi như thế nào? c. Tại K = 27,L = 64, nếu giảm 1 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì sản lượng thay đổi như thế nào? d. Tại K = 27,L = 64, nếu giảm 2 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì sản lượng thay đổi như thế nào? Lời giải: a. ∂Q 36 − 1 1 MPP = = K 3 L 3 K ∂K 3 Tại K = 27,L = 64, MPPK = 16. Vậy tại mức sử dụng K = 27,L = 64, nếu tăng vốn lên 1 đơn vị và giữ nguyên lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 16 đơn vị b. Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, nếu tăng vốn lên 3 đơn vị và giữ nguyên lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 16. 3 = 48 đơn vị c. ∂Q 18 2 − 2 MPP = = K 3 L 3 L ∂L 3 Tại K = 27,L = 64, MPPL = 3.375. Vậy tại mức sử dụng K = 27,L = 64, nếu giảm 1 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì sản lượng giảm xấp xỉ 3.375 đơn vị d.Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, nếu giảm 2 đơn vị lao động và giữ nguyên vốn thì sản lượng giảm xấp xỉ 3.375 x 2 = 6.75 đơn vị Hệ số co dãn Hệ số co dãn của z theo xi tại điểm (x01, , x0n) là số đo lượng thay đổi tính theo % của z khi xi thay đổi 1% và các biến số khác không đổi. 49
z ∂f(x01, , x0n) x0i Exi (x01, , x0n) = . ∂xi f(x01, , x0n) Ý nghĩa: Tại điểm (x01, , x0n), khi xi thay đổi 1% và các biến số khác không đổi z thì z thay đổi xấp xỉ Exi (x01, , x0n) %. Ví dụ 3.1.11. Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng 2 1 Q = 18K 3 L 3 a. Tại K = 27,L = 64, khi vốn tăng 1% và lao động không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? b. Tại K = 27,L = 64, khi vốn tăng 2% và lao động không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? c. Tại K = 27,L = 64, khi lao động giảm 1% và vốn không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? d. Tại K = 27,L = 64, khi lao động giảm 3% và vốn không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? e. Tại K = 27,L = 64, khi lao động giảm 3% và vốn tăng 2% thì sản lượng thay đổi như thế nào? Trả lời: a. Q ∂Q K 36 1 1 K 2 − 3 3 EK = = K L 2 1 = ∂K Q 3 18K 3 L 3 3 Vậy tại mức sử dụng K = 27,L = 64, khi vốn tăng 1% và lao động không đổi thì 2 sản lượng tăng xấp xỉ 3 %. b. Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, khi vốn tăng 2% và lao động không đổi thì sản 2 4 lượng tăng xấp xỉ 2. 3 = 3 %. c. Q ∂Q L 18 2 2 L 1 3 − 3 EL = = K L 2 1 = ∂L Q 3 18K 3 L 3 3 Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, khi lao động giảm 1% và vốn không đổi thì sản 1 lượng giảm xấp xỉ 3 %. 50
d.Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, khi lao động giảm 3% và vốn không đổi thì sản lượng giảm xấp xỉ 1 %. e. Tại mức sử dụng K = 27,L = 64, khi lao động giảm 3% và vốn tăng 2% thì sản 4 1 lượng thay đổi : −1 % + 3 % = 3 % 3.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa cực trị Định nghĩa 3.2.1. : • Hàm f(x, y) đạt cực đại tại (a, b) nếu f(a, b) ≥ f(x, y), ∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) . • Hàm f(x, y) đạt cực tiểu tại (a, b) nếu f(a, b) ≤ f(x, y), ∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) . Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 3.2.1 CỰC TRỊ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Phương pháp tìm cực trị hàm hai biến z = f(x, y) B1 Điều kiện cần ( 0 fx = 0 Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ 0 fy = 0 B2 Điều kiện đủ 0 0 Giả sử fx(I) = 0, fy(I) = 0. 00 00 00 Tìm a11 = fx2 (I), a22 = fy2 (I), a12 = fxy(I). 2 Đặt D(I) = a11.a22 − a12 • Nếu D(I) > 0, a11 > 0 thì I là cực tiểu. • Nếu D(I) > 0, a11 < 0 thì I là cực đại. • Nếu D(I) < 0 thì I không phải là cực trị. 51
• Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì. Ví dụ 3.2.1. Tìm các điểm cực trị của hàm số z = x4 + y4 − 4xy + 1 Lời giải: Bước 1: Điều kiện cần 0 3 0 3 Ta có: fx = 4x − 4y, fy = 4y − 4x ( 4x3 − 4y = 0 Giải hệ: 4y3 − 4x = 0 Ta có 3 điểm dừng: M1(0, 0),M2(1, 1),M3(−1, −1) Bước 2: Điều kiện đủ 00 2 00 2 00 fx2 = 12x , fy2 = 12y , fxy = −4 2 + Với M1(0, 0),D(M1) = 0.0 − (−4) = −16 0, a11 = 12 > 0. Vậy M2(1, 1) là điểm cực tiểu. 2 + Với M3(−1, −1),D(M3) = 12.12 − (−4) = 128 > 0, a11 = 12 > 0. Vậy M3(−1, −1) là điểm cực tiểu. Ví dụ 3.2.2. Giả sử một công ti sản xuất hai loại sản phẩm có sản lượng Q1,Q2 2 với mức giá lần lượt p1 = 160, p2 = 120 và hàm chi phí là TC(Q1,Q2) = 3Q1 + 2 2Q1Q2 + 2Q2 + 10. Đơn vị: sản lượng tính bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấn Tìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa. Giải: Điều kiện Q1,Q2 > 0 2 Hàm lợi nhuận π = TR − TC = p1Q1 + p2Q2 − TC = 160Q1 + 120Q2 − 3Q1 − 2Q1Q2 − 2 2Q2 − 10 Bước 1: Điều kiện cần π0 = 160 − 6Q − 2Q Q1 1 2 π0 = 120 − 2Q − 4Q Q2 1 2 52
( 160 − 6Q − 2Q = 0 Giải hệ: 1 2 120 − 2Q1 − 4Q2 = 0 Ta có nghiệm M(Q1 = 20,Q2 = 20) Bước 2: Điều kiện đủ 00 00 00 a11 = π 2 = −6, a22 = π 2 = −4, a12 = π = −2 Q1 Q2 Q1Q2 D(M) = (−6)(−4) − (−2)2 = 20 > 0 mà a11 0 thì (x = x0, y = y0) là điểm cực đại 53
2. Nếu D < 0 thì (x = x0, y = y0) là điểm cực tiểu 3. Nếu D = 0 thì chưa kết luận gì về điểm đang xét. Các bài toán cực trị có điều kiện trong kinh tế 1. Đối với người tiêu dùng • Bài toán tối đa hóa lợi ích: Chọn (x, y) để hàm lợi ích U = U(x, y) đạt cực đại, với điều kiện p1x + p2y = m • Bài toán tối thiểu hóa chi phí: Chọn (x, y) để chi phí tiêu dùng C = p1x+p2y đạt giá trị cực tiểu, với điều kiện U(x, y) = U0 2. Đối với doanh nghiệp • Bài toán tối đa hóa sản lượng với ngân sách cố định Chọn (K, L) để hàm số Q = f(K, L) đạt cực đại, với điều kiện wKK +wLL = B • Bài toán tối thiểu hóa chi phí sản xuất Chọn (K, L) để hàm số C = wKK+wLL đạt cực tiểu với điều kiện f(K, L) = Q0 Với wK, wL lần lượt là giá thuê một đơn vị vốn (K) và lao động (L) Ví dụ 3.3.1. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = x1x2 + x1 + 2x2 trong đó x1, x2 là lượng cầu hàng hóa 1 và 2. Với điều kiện ngân sách 2x1 + 5x2 = 51 Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng sao cho người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích. Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, (tức là 2x1 + 5x2 = 52) thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng thay đổi như thế nào? 54
Lời giải Hàm Lagrăng: L(x, y, λ) = x1x2 + x1 + 2x2 + λ[51 − 2x1 − 5x2] L0 = x + 1 − 2λ, L0 = x + 2 − 5λ, L0 = 51 − 2x − 5x x1 2 x2 1 λ 1 2 Điều kiện cần:Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ   x + 1 − 2λ = 0 x = 13  2  1 x1 + 2 − 5λ = 0 ⇔ x2 = 5    51 − 2x1 − 5x2 = 0  λ = 3 0 0 00 00 00 Điều kiện đủ: g1 = gx1 = 2, g2 = gx2 = 5,L11 = L 2 = 0,L12 = L21 = Lx1x2 = Lx2x1 = x1 00 1,L22 = Lx2 = 0 2 0 2 5 D = 2 0 1 = 20 > 0 5 1 0 Vậy (x1 = 13, x2 = 5) là lượng cầu làm lợi ích của người tiêu dùng đạt tối đa. Nếu ngân sách tăng 1 đơn vị, thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng tăng 3 đơn vị. Ví dụ 3.3.2. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 10K0.8L0.6, với điều kiện ngân sách 30K + 10L = 2100. Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản (K) và bao nhiêu đơn vị lao động (L) thì sản lượng tối đa. HD: Bài toán Tìm K, L để Q = 10K0.8L0.6 đạt tối đa với điều kiện 30K +10L = 2100. Hàm Lagrăng: L(x, y, λ) = 10K0.8L0.6 + λ(2100 − 30K − 10L) Làm tương tự như ví dụ trên. 3.3.1 TÌM MIN HOẶC MAX TRONG MIỀN ĐÓNG VÀ BỊ CHẶN Hàm z = f(x, y) liên tục trên một miền đóng và bị chặn thì sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong miền đó. Phương pháp 1. Tìm những điểm dừng của hàm z = f(x, y) trong miền D và tính giá trị của hàm tại các điểm đó. 55
2. Tìm những điểm dừng của hàm z = f(x, y) trên biên của D và tính giá trị của hàm tại các điểm đó. 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cần tìm chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = f(x, y) trên toàn miền D khi ta so sánh giá trị hàm số tìm được ở bước 1 và bước 2. Ví dụ 3.3.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm z = f(x, y) = x2 + y2 − xy + x + y trong miền D = {(x, y): x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3} Lời giải : 1. Giải hệ để tìm điểm dừng ( ( z0 = 2x − y + 1 = 0 x = −1 x ⇔ 0 zy = 2y − x + 1 = 0 y = −1 Vậy M(−1, −1) ∈ D là điểm dừng và f(M1) = −1 2. Khảo sát hàm số trên biên miền D • Khi x = 0, −3 < y < 0 thì f(x, y) = y2 + y = g(y) là hàm 1 biến trên (−3, 0) 0 −1 1 1 1 g (y) = 2y + 1 = 0 ⇔ y = 2 và g(− 2 ) = f(0, − 2 ) = − 4 • Khi y = 0, −3 < x < 0 thì f(x, y) = x2 + x = h(x) là hàm 1 biến trên (−3, 0) 0 −1 1 1 1 h (x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = 2 và h(− 2 ) = f(− 2 , 0) = − 4 • Khi y = −3 − x, −3 < x < 0 thì f(x, y) = 3x2 + 9x + 6 = z(x) với −3 < x < 0 0 −3 3 3 3 3 z (x) = 6x + 9 = 0 ⇔ x = 2 và z(− 2 ) = f(− 2 , − 2 ) = − 4 • Tại A(0, 0),B(−3, 0),C(0, −3) f(A) = f(0, 0) = 0; f(B) = f(−3, 0) = 6; f(C) = f(0, −3) = 6 So sách các giá trị trên, ta có 3 max(x,y)∈D f(x, y) = 6 đạt được tại (−3, 0) hoặc (0, 3) min(x,y)∈D f(x, y) = − 4 đạt 3 3 được tại (− 2 , − 2 ) 56
CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN 4.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ A. Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa 4.1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên U. Hàm F (x) xác định trên U được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên U nếu F 0(x) = f(x), ∀x ∈ U Ví dụ 4.1.1. 1. y = sin x là nguyên hàm của y = cos x vì (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ R 1 0 1 2. y = ln x là nguyên hàm của y = x vì (ln x) = x , ∀x ∈ (0; +∞) Định lí 4.1.1. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên U. i) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên U. ii) Mọi nguyên hàm của f(x) trên U đều có dạng tổng quát F (x) + C, C là hằng số bất kì 4.1.2 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa tích phân bất định Định nghĩa 4.1.2. Biểu thức nguyên hàm tổng quát của f(x) trên U gọi là tích phân bất định của f(x) trên U. Kí hiệu là: Z f(x)dx 57
Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì Z f(x)dx = F (x) + C Ví dụ 4.1.2. Z cos xdx = sin x + C Z x2 xdx = + C 2 Các tính chất của tích phân bất định Cho F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên U. Ta có: 1. (R f(x)dx)0 = f(x) 2. R F 0(x)dx = F (x) + C 3. R [af(x) ± bg(x)]dx = a R f(x)dx ± b R g(x)dx 4. R f(x)dx = F (x) + C suy ra R f(u)du = F (u) + C Bảng tích phân các hàm sơ cấp cơ bản 1. Z xα+1 xαdx = + C(α 6= −1) α + 1 2. Z 1 dx = ln |x| + C x 3. Z ax axdx = + C ln a Z exdx = ex + C 4. Z sin xdx = − cos x + C 5. Z cos xdx = sin x + C 6. Z dx = tan x + C cos2 x 58
7. Z dx = − cot x + C sin2 x 8. Z dx 1 x = arctan + C(a > 0) a2 + x2 a a 9. Z dx 1 a + x = ln | | + C(a 6= 0) a2 − x2 2a a − x 10. Z dx x √ = arcsin + C(|x| 0) a2 − x2 a 11. Z dx p √ = ln |x + x2 ± b| + C x2 ± b 4.1.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. Phương pháp khai triển Công thức R [af(x) + bg(x) − cϕ(x)]dx = a R f(x)dx + b R g(x)dx − c R ϕ(x)dx Ví dụ 4.1.3. Tính tích phân sau Z 3.2x − 2.3x I = dx 2x B. Phương pháp đổi biến Đổi biến dạng 1 tính I = R f(x)dx: B1: Đưa vào biến mới t, biến cũ x là hàm của biến mới, tức đặt x = ϕ(t). (Yêu cầu x = ϕ(t) phải là hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong (α, β) nào đó.) B2: Tính dx = ϕ0(t)dt và ta có I = R f(x)dx = R f[ϕ(t)]ϕ0(t)dt = R g(t)dt = G(t) + C B3: Trả kết quả I về biến x. Ví dụ 4.1.4. Tính tích phân sau Z p I = a2 − x2dx (a > 0) 59
Đổi biến dạng 2 tính I = R f(x)dx: Nếu R f(x)dx = R g[ϕ(x)]dϕ(x) thì: B1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = dϕ(x) B2: Tính tích phân R f(x)dx = R g[ϕ(x)]dϕ(x) = R g(t)dt = G(t) + C B3: Trả kết quả I về theo biến x. Ví dụ 4.1.5. Tính tích phân sau Z cos xdx I = 1 + sin2 x C. Phương pháp tích phân từng phần Công thức: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Z Z udv = uv − vdu Chú ý: 1. Có thể áp dụng phương pháp tích phân từng phần nhiều lần. 2. Các tích phân có dạng sau nên dùng phương pháp này. • R P (x) sin kxdx, R P (x) cos kxdx Đặt u là hàm P (x) và dv là các thành phần còn lại. • R P (x) lnn xdx Đặt u = lnn x và dv là các thành phần còn lại. • R P (x)enxdx Đặt u = P (x) và dv là các thành phần còn lại. • R P (x) arctan kxdx, R P (x) arcsin kxdx Đặt u là hàm lượng giác ngược và dv là các thành phần còn lại. • R ekx sin nxdx, R ekx cos nxdx Đặt u là hàm ekx hoặc hàm lượng giác ngược và dv là các thành phần còn lại. Sau đó tính tích phân từng phần 2 lần. Ví dụ 4.1.6. Tính tích phân sau Z I = x arctan xdx 60
4.1.4 TÍCH PHÂN MỘT SỐ LỚP HÀM THƯỜNG GẶP Tích phân hàm hữu tỷ R P (x) Tính tích phân có dạng Q(x) dx với P (x),Q(x) là các đa thức. Phương pháp 1. Khi bậc của P (x) ≥ bậc của Q(x), chuyển tích phân về dạng Z P (x) Z Z P (x) dx = E(x)dx + 1 dx Q(x) Q(x) 2. Nếu phân tích Q(x) = (x − a)k(x2 + px + q)s(p2 < 4q) thì P (x) A A M x + N M x + N 1 = 1 + + k + 1 1 + + s s Q(x) (x − a) (x − a)k (x2 + px + q) (x2 + px + q)s R P1(x) Sau đó chuyển Q(x) dx về tổng các tích phân của các phân thức tối giản. Tích phân của các phân thức tối giản Z A 1. dx = A ln |(x − a)| + C (x − a) Z A A 2. dx = + C(k ≥ 2) (x − a)k (1 − k)(x − a)k−1 r ! Z Mx + N Z Mx + N p2 3. 2 dx = p 2 2 dx a = q − x + px + q (x + 2 ) + a 4 M Z 2tdt Mp Z dt p = + N − t = x + 2 t2 + a2 2 t2 + a2 2 Z Mx + N M Z 2tdt Mp Z dt 4. dx = + (N − ) (x2 + px + q)n 2 (t2 + a2)n 2 (t2 + a2)n Z dt t 2n − 3 I = = + I n (t2 + a2)n 2(n − 1)a2(t2 + a2)n−1 2(n − 1)a2 n−1 Ví dụ 4.1.7. Tính tích phân sau Z x5 + 2x4 − 3x2 + 1 I = dx x4 + x3 + x2 Lời giải: Z x5 + 2x4 − 3x2 + 1 Z 2x3 + 4x2 − 1 I = dx = x + 1 − dx x4 + x3 + x2 x2(x2 + x + 1) 61
Đặt Z 2x3 + 4x2 − 1 I = dx 1 x2(x2 + x + 1) Ta có 2x3 + 4x2 − 1 A B Cx + D x3(B + C) + x2(A + B + B) + x(A + B) + A = + + = x2(x2 + x + 1) x2 x x2 + x + 1 x2(x2 + x + 1) Đồng nhất hệ số ta có:   B + C = 2 A = −1    A + B + D = 4  B = 1 ⇔ A + B = 0 C = 1    A = −1  D = 4 Z −1 Z 1 Z x + 4 Z −1 Z 1 1 Z 2x + 1 + 7 I = dx + dx + dx = dx + dx + dx 1 x2 x x2 + x + 1 x2 x 2 x2 + x + 1 Z −1 Z 1 1 Z d(x2 + x + 1) Z d(x + 1 ) = dx + dx + + 7 2 dx x2 x 2 x2 + x + 1 1 2 3 (x + 2 ) + 4 1 1 1 2 7 2(x + 2 ) = + ln |x| + ln(x + x + 1) + √ arctan √ + C1 x 2 3 3 x2 1 1 7 2(x + 1 ) I = + x − − ln |x| − ln(x2 + x + 1) − √ arctan √ 2 + C 2 x 2 3 3 Tích phân hàm lượng giác Tích phân có dạng Z R(sin x, cos x)dx(x ∈ (−π; π)) Phương pháp Đổi biến x t = tan 2 Khi đó: 2t 1 − t2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 Các trường hợp đặc biệt 1. Tích phân dạng R R(− sin x, cos x)dx = − R R(sin x, cos x)dx ta đổi biến t = cos x 2. Tích phân dạng R R(sin x, − cos x)dx = − R R(sin x, cos x)dx ta đổi biến t = sin x 62
R R π π 3. Tích phân dạng R(− sin x, − cos x)dx = R(sin x, cos x)dx(x ∈ (− 2 ; 2 )) ta đổi biến t = tan x Ví dụ 4.1.8. Tính các tích phân sau Z dx 1.I = (2 + cos x) sin x Z dx 2.I = sin4 x cos2 x Tích phân biểu thức chứa căn Dạng 1: Tích phân dạng r r ! Z ax + b ax + b R n , , m dx cx + d cx + d Phương pháp: Đổi biến r ax + b t = k , k = BCNN(n, , m) cx + d Ví dụ 4.1.9. Tính tích phân sau Z dx I = √ √ 4 x + x Dạng 2: Tích phân dạng Z p R ax2 + bx + c dx Phương pháp: Biến đổi về một trong các dạng sau √ R 2 2 π π 1. R α − x dx ta đổi biến x = α sin t, t ∈ − 2 ; 2 √ R 2 2 π π 2. R α + x dx ta đổi biến x = α tan t, t ∈ − 2 ; 2 √ R 2 2 α π S 3π 3. R x − α dx ta đổi biến x = cos t , t ∈ 0; 2 π; 2 Ví dụ 4.1.10. Tính tích phân sau: Z x2dx I = √ 3 − 2x − x2 63
4.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích hình thang cong Giả sử f(x) là hàm liên tục và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. H là hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x). Tính diện tích hình H. Lời giải: • Chia [a; b] thành n đoạn tùy ý bởi các điểm xi : a = x0 < x1 < < xn = b. • Kẻ các đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm xi(i = 1, , n − 1). Khi đó, hình H được chia thành n hình thang cong Hi với đáy là ∆xi = xi − xi−1(i = 1, , n) ∗ • Trong [xi−1, xi] lấy xi tùy ý. • Xấp xỉ diện tích hình thang cong Hi bởi diện tích hình chữ nhật có chiều rộng ∗ là ∆xi, chiều dài là f(xi ) . ∗ Do đó diện tích của Hi ≈ f(xi ).∆xi • Diện tích hình H xấp xỉ bằng n X ∗ f(xi ).∆xi i=1 Pn ∗ • Diện tích hình H càng gần bằng i=1 f(xi ).∆xi khi ∆xi ngày càng nhỏ. • Vậy diện tích hình H n X ∗ S = lim f(xi ).∆xi max ∆xi→0 i=1 Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 4.2.1. Cho hàm số f(x) xác định trên [a; b] . Chia [a; b] thành n đoạn tùy ý bởi các điểm xi : a = x0 < x1 < < xn = b. ∗ Độ dài mỗi đoạn là: ∆xi = xi − xi−1, lấy xi ∈ [xi−1, xi] 64
Lập tổng tích phân: n X ∗ Sn = f(xi ).∆xi i=1 ∗ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn I (không phụ thuộc vào cách chia đoạn và cách lấy xi ) khi max ∆xi → 0 thì I gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a; b]. Kí hiệu: Z b n X ∗ f(x)dx = lim f(xi ).∆xi max ∆xi→0 a i=1 Khi đó ta cũng nói f(x) khả tích trên [a; b]. Chú ý R b 1. a f(x)dx là một số không phụ thuộc vào x nên Z b Z b f(x)dx = f(t)dt a a 2. Khi tính tích phân xác định bằng định nghĩa có thể chia đều đoạn [a; b] và lấy ∗ xi là trung điểm của mỗi đoạn đó. Một số lớp hàm khả tích Định lí 4.2.1. Hàm f(x) khả tích trên [a; b] nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau • f(x) liên tục trên [a; b]. • f(x) bị chặn trên [a; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên [a; b]. • f(x) đơn điệu và bị chặn trên [a; b]. Các tính chất của tích phân xác định • Z b Z a f(x)dx = − f(x)dx a b • Z a f(x)dx = 0 a 65
• Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] thì Z b Z b Z b [αf(x) ± βg(x)]dx = α f(x)dx ± β g(x)dx a a a • Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và c ∈ [a, b] thì Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c • Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì Z b f(x)dx ≥ 0 a • Nếu f(x), g(x) khả tích trên [a; b] và f(x) ≥ g(x)∀x ∈ [a; b] thì Z b Z b f(x)dx ≥ g(x)dx a a • Nếu f(x) khả tích trên [a; b] và M ≥ f(x) ≥ m, ∀x ∈ [a; b] thì Z b M(b − a) ≥ f(x)dx ≥ m(b − a) a • Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì ∃c ∈ [a; b] sao cho Z b f(x)dx = f(c)(b − a) a Tích phân với cận trên thay đổi Định nghĩa 4.2.2. Giả sử f(x) khả tích trên [a; b] . Khi đó với mỗi x ∈ [a; b], f(x) khả tích trên [a; x]. Khi x thay đổi trên [a; b], hàm số Z x Φ(x) = f(t)dt a xác định trong [a; b] gọi là hàm cận trên. Định lí 4.2.2. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì Z x 0 Φ0(x) = f(t)dt = f(x) a x Nói cách khác, Φ(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. 66
Nhận xét: Mọi hàm số liên tục trên [a; b] thì có nguyên hàm trên đoạn đó. Công thức Newton-Lebniz Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và F (x) là một nguyên hàm của f(x) trong đoạn đó thì Z b b f(x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a) a 4.2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Phương pháp khai triển Biến đổi tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân đơn giản hơn sau đó áp dụng công thức Newton-Lebniz. Ví dụ 4.2.1. Tính tích phân sau: Z 1 3.2x − 2.3x I = x dx 0 2 Phương pháp đổi biến Đổi biến dạng 1 R b Tính a f(x)dx bằng cách đặt x = ϕ(t) . • B1: Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ0(t)dt Đổi cận: x = a ⇒ t = α x = b ⇒ t = β R b R β 0 R β • B2: Thay vào tích phân và tính a f(x)dx = α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt = α g(t)dt = I Ví dụ 4.2.2. Tính tích phân sau Z 2 p I = 4 − x2dx 0 Đổi biến dạng 2 Nếu R f(x)dx = R g[ϕ(x)]dϕ(x) thì để tính R f(x)dx ta làm như sau: B1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ0(x)dx Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ(a) x = b ⇒ t = ϕ(b) 67
B2: Thay vào tích phân và tính Z b Z ϕ(b) f(x)dx = g(t)dt a ϕ(a) Ví dụ 4.2.3. Tính tích phân sau π Z 2 cos x I = 2 dx 0 1 + sin x Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục. Z b Z b b udv = uv|a − vdu a a Ví dụ 4.2.4. Tính tích phân sau Z e I = ln xdx 1 e 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG TRONG MIỀN VÔ HẠN Định nghĩa 4.3.1. Giả sử f(x) xác định và khả tích trên mọi [a, t], (t ≥ a). Khi đó, tồn tại tích phân Z t F (t) = f(x)dx a Kí hiệu hình thức Z t Z +∞ lim F (t) = lim f(x)dx = f(x)dx t→+∞ t→+∞ a a R +∞ Gọi a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a; +∞) Nhận xét: 1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. 2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kì. 68
Tương tự, ta có Z a Z a f(x)dx = lim f(x)dx −∞ t→−∞ t Z +∞ Z v f(x)dx = lim f(x)dx −∞ u→−∞,v→+∞ u R a R +∞ Nếu −∞ f(x)dx, a f(x)dx hội tụ thì Z +∞ Z a Z +∞ f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx hội tụ −∞ −∞ a Ví dụ 4.3.1. Xét sự hội tụ của tích phân sau Z +∞ dx I = 2 −∞ x + 1 Lời giải: Z +∞ dx Z 0 dx Z +∞ dx I = 2 = 2 + 2 −∞ x + 1 −∞ x + 1 0 x + 1 Z 0 dx Z v dx = lim 2 + lim 2 u→−∞ u x + 1 v→+∞ 0 x + 1 Ta có: Z 0 dx 2 = arctan 0 − arctan u = − arctan u u x + 1 Z 0 dx π lim 2 = lim (− arctan u) = u→−∞ u x + 1 u→−∞ 2 Z v dx 2 = arctan v − arctan 0 = arctan v 0 x + 1 Z v dx π lim 2 = lim (arctan v) = v→+∞ 0 x + 1 v→+∞ 2 π π ⇒ I = + = π 2 2 Vậy tích phân trên hội tụ. 4.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm số f(x) xác định trên [a; b) khả tích trên mọi đoạn [a; t], t ∈ [a; b) và không bị chặn trong lận cận điểm b.(b gọi là điểm kì dị) 69
Khi đó, tồn tại tích phân Z t G(t) = f(x)dx a Kí hiệu hình thức Z t Z b lim G(t) = lim f(x)dx = f(x)dx − − t→b t→b a a R b Gọi a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a; b). Nhận xét: 1. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. 2. Nếu giới hạn trên vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kì. Tương tự: • Nếu a là điểm kì dị Z b Z b f(x)dx = lim f(x)dx + a t→a t • Nếu a, b đều là điểm kì dị Z b Z v f(x)dx = lim f(x)dx + − a u→a ,v→b u R c R b • Nếu a f(x)dx, c f(x)dx hội tụ thì Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx hội tụ a a c Trường hợp đặc biệt Nếu f(x) khả tích trên [a; t], [t0; b] và xác định trên [a; c), (c; b], c R b là điểm kì dị thì a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 2. Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx a a c Tính hội tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế trái phụ thuộc vào tính hội tụ hay phân kì của tích phân suy rộng ở vế phải. 70
Ví dụ 4.3.2. Xét sự hội tụ của tích phân sau Z 1 dx I = 3 0 x Lời giải: Z 1 dx Z 1 dx I = = lim 3 + 3 0 x t→0 t x Ta có Z 1 dx 1 1 3 = − + 2 t x 2 2t Z 1 dx 1 1 lim = lim (− + ) = +∞ + 3 + 2 t→0 t x t→0 2 2t Vậy tích phân trên phân kỳ. 4.4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ 4.4.1 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Xác định quỹ vốn dựa theo lượng đầu tư Ta xem lượng đầu tư I và quỹ vốn K là biến số phụ thuộc vào thời gian t. I = I(t),K = K(t) Ta có: I(t) là tốc độ tăng của K(t) nên K0(t) = I(t) Nếu biết hàm đầu tư I(t) thì xác định được quỹ vốn K(t): Z K(t) = I(t)dt Hằng số C được xác định dựa vào quỹ vốn ban đầu K0 = K(0) √ Ví dụ 4.4.1. Cho hàm đầu tư I = 40 5 t3 và quỹ vốn tại thời điểm t = 0 là 90. Xác định hàm quỹ vốn K(t). 71
Lời giải: Qũy vốn tại thời điểm t là Z Z √5 3 √5 K(t) = 40 t3dt = 40 t 5 dt = 25 t8 + C √ Vì K(0) = 90 nên 25 5 08 + C = 90 ⇒ C = 90 √ Vậy K(t) = 25 5 t8 + 90 2. Xác định hàm tổng khi biết hàm giá trị cận biên • Nếu biết hàm MC(Q) thì TC = R MC(Q)dQ. Dựa vào chi phí cố định FC = TC(0) để tìm C. • Nếu biết hàm MR(Q) thì TR = R MR(Q)dQ. Dựa vào điều kiện TR(0) = 0 để tìm C. • Nếu biết hàm MPC(Y ) thì hàm tiêu dùng C(Y ) = R MPC(Y )dY . Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C. • Nếu biết hàm MPS(Y ) thì hàm tiết kiệm S(Y ) = R MPS(Y )dY . Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C. Ví dụ 4.4.2. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 2e0.2Y −2 và tại mức thu nhập Y = 10 thì lượng tiêu dùng bằng 1 nửa thu nhập. Tìm hàm tiêu dùng. Lời giải: Ta có Z Z C(Y ) = 2e0.2Y −2dY = 10 e0.2Y −2d(0.2Y − 2) = 10e0.2Y −2 + C Vì tại Y = 10 tiêu dùng bằng 1 nửa thu nhập nên C(10) = 5 ⇒ 10e0,2.10−2 +C = 5 ⇒ C = −5 Vậy C(Y ) = 10e0.2Y −2 − 5 3. Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Tại mức cân bằng của thị trường (p0,Q0), Thặng dư của người tiêu dùng là: Z Q0 −1 CS = D (Q)d(Q) − p0.Q0 0 Thặng dư của nhà sản xuất: Z Q0 −1 PS = p0.Q0 − S (Q)d(Q) 0 72
Ví dụ 4.4.3. Cho hàm cầu và cung của một mặt hàng như sau: Qd = −0, 1p + 50; Qs = 0, 2p − 10 a. Xác định giá và lượng cân bằng. b. Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất. 73
CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5.1.1 Các khái niệm chung Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó. Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm một biến số. Ví dụ 5.1.1. y0 = y2 + x2 y00 − 2y0 = 2x3 sin x x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = 0 Định nghĩa 5.1.3. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình đó. Ví dụ 5.1.2. : • y00 − 2y0 = 2x3 sin x là PTVP cấp 2 • x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = 0 là PTVP cấp 1 Định nghĩa 5.1.4. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình đó. 74
5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1 Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau đây F (x, y, y0) = 0 (1.1) Các dạng thường gặp dy = f(x, y) dx M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1 • Hàm số y = Φ(x, C),C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là nghiệm tổng quát. • Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể. • Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là tích phân tổng quát của PTVP. • Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể Bài toán Cauchy Tìm nghiệm của phương trình vi phân F (x, y, y0) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng dy + p(x)y = q(x) (2.1) dx Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng dy + p(x)y = 0 (2.2) dx 75
Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là R y = Ce− p(x)dx Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình dy 2y − = 0 dx x Lời giải: Nghiệm tổng quát của pt trên là R 2dx 2 ln |x| 2 y = Ce x = Ce = Cx Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm của pt (2.1). Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình: dy + y = 2ex dx Phương pháp biến thiên hằng số R B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạng y = Ce− p(x)dx (∗), C là hằng số bất kỳ. B2: Tìm nghiệm của PTVP (2.1) có dạng (*) nhưng với C = C(x). R Thay y = C(x)e− p(x)dx vào (2.1), đồng nhất hệ số ta tìm được C(x). B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1). Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau dy 2y − = x4 dx x 5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli Dạng dy + p(x)y = yαq(x), (α 6= 0; 1) (3.1) dx Cách giải: 76
• Xét y = 0 có là nghiệm của (3.1) không. • y 6= 0, chia hai vế pt cho yα được: dy y−α + p(x)y1−α = q(x) (3.2) dx 1−α dz −α dy • Đặt z = y ta có: dx = (1 − α)y dx dz • Thay vào pt (3.2) ta được: dx + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây là phương trình tuyến tính với hàm phải tìm là z(x). Ví dụ 5.2.4. Giải phương trình sau y0 − y = xy2 5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương trình dạng M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 (4.1) dy hoặc dx = f(x)g(y) Cách giải: • Chia hai vế pt (4.1) cho M2(y)N1(x) để đưa về dạng: p(x)dx + q(y)dy = 0 (4.2) • Lấy tích phân hai vế pt (4.2) ta được tích phân tổng quát: Z Z p(x)dx + q(y)dy = C Lưu ý: trong quá trình thực hiện, ta phải tìm các nghiệm làm cho M2(y)N1(x) = 0. Ví dụ 5.2.5. Giải phương trình: 2x(y − 1)dx + (y − 1)2(x2 + 1)dy = 0 với điều kiện y(0) = 1 Phương trình đưa về dạng phân li biến số Phương trình thuần nhất dy Phương trình dx = f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu f(tx, ty) = f(x, y)∀t 77
Cách giải: y B1:Chuyển phương trình thuần nhất về dạng dy = g( )(4.3) dx x dy dz B2: Đổi biến y = xz ⇒ dx = z + x. dx B3: Thay vào phương trình 4.3 và đưa phương trình 4.3 về dạng phân li biến số với z là hàm của x. B4: Giải phương trình ở B3 ta tìm được z(x) ⇒ nghiệm y(x) cần tìm. Ví dụ 5.2.6. Giải phương trình (x − 2y)dy = (x − y)dx dy Phương trình dạng dx = f(ax + by)(4.4) Cách giải: dz dy B1: Đổi biến z = ax + by ⇒ dx = a + b. dx B2: Thay vào phương trình (4.4) và đưa phương trình (4.4) về dạng phân li biến số với z là hàm của x. Ví dụ 5.2.7. Giải phương trình: dy = 2x + y dx Phương trình dạng dy = f a1x+b1y+c1 (4.5) dx a2x+b2y+c2 dy • Nếu a1b2 = a2b1 thì biến đổi về dạng dx = g(a2x + b2y) • Nếu a b 6= a b thì đặt x = x + u, y = y + v 1 2 2 1 (0 0 a1x + b1y + c1 = 0 với (x0, y0) là nghiệm của hệ a2x + b2y + c2 = 0 Khi đó phương trình (4.5) trở thành dv a u + b v = f 1 1 du a2u + b2v Đây là phương trình thuần nhất với v = v(u) là hàm phải tìm nên ta đặt v = uz để chuyển về dạng phân li biến số. Ví dụ 5.2.8. Giải phương trình: dy 2x − y = dx 2y − x + 1 78
5.3 ỨNG DỤNG PT VI PHÂN TRONG KINH TẾ 1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn Hệ số co giãn của cầu theo giá là: dQ p dQ dp = . ⇒ = .(1) dp Q Q p với cho trước. Chuyển phương trình (1) về dạng phân ly biến số và ta tìm được hàm cầu. Ví dụ 8.1 trang 101 Sách BT Toán cao cấp 2. Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar 1 dI = ρ.I(2) s dt Với s là xu hướng tiết kiệm cận biên không đổi (0 0. dp dp = δ(Q − Q ) ⇔ + δ(b + d)p = δ(a + c)(4) dt d s dt Phương trình (4) là phương trình tuyến tính cấp 1 và sau khi giải ta tìm được hàm p(t). Bài 12 trang 103 Sách BT Toán cao cấp 79
CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 6.1 KHÁI NIỆM 6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨC Định nghĩa số phức • Đơn vị ảo, được kí hiệu là i, là số thỏa mãn i2 = −1 • Số phức có dạng z = a + bi, a, b ∈ R a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez; b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz • Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau. a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d a + bi = 0 ⇔ a = b = 0 • Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi Các dạng biểu diễn của số phức 1. Dạng đại số z = a + bi 2. Dạng hình học: Biểu diễn số phức z = a + bi bởi điểm có tọa độ (a; b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy 3. Dạng lượng giác của số phức z = a + bi, z 6= 0 là z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trong đó ( √ cos ϕ = √ a r = a2 + b2, a2+b2 sin ϕ = √ b a2+b2 Phương trình bậc hai x2 + px + q = 0 Nghiệm của pt bậc hai √ 2 p ∆ 1. Nếu ∆ = p − 4q > 0 thì pt có hai nghiệm thực phân biệt x = − 2 ± 2 2 p 2. Nếu ∆ = p − 4q = 0 thì pt có nghiệm kép x = − 2 √ 2 p i −∆ 3. Nếu ∆ = p − 4q < 0 thì pt có hai nghiệm phức liên hợp x = − 2 ± 2 80
6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong thực tế, một số biến số kinh tế phụ thuộc theo thời gian y = y(t). Việc đo và phân tích các biến số kinh tế đôi khi được tiến hành rời rạc theo thời gian: theo giờ, ngày, tháng, năm , tức là theo các thời kỳ đều đặn. Khi đó biến số t chỉ nhận các giá trị nguyên: t = 0, 1, 2, 3, Định nghĩa 6.1.1. Hàm số với đối số rời rạc Hàm số yt = y(t) là hàm số với đối số rời rạc hay hàm số với đối số nguyên với t = 0, 1, 2, 3, Kí hiệu: yt Định nghĩa 6.1.2. Sai phân Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số yt là độ chênh lệch giá trị của hàm số tại hai thời điểm kế tiếp. Sai phân cấp 1 của hàm số yt tại thời điểm t được kí hiệu là ∆yt ∆yt = yt+1 − yt 3 Ví dụ 6.1.1. Hàm số yt = t có sai phân cấp 1 tại thời điểm t là 3 3 2 ∆yt = yt+1 − yt = (t + 1) − t = 3t + 3t + 1 Định nghĩa 6.1.3. Sai phân cấp n Sai phân cấp n của hàm số yt là sai phân của sai phân cấp n − 1 của hàm số đó. n Sai phân cấp n của hàm số yt tại thời điểm t được kí hiệu là ∆ yt. n n−1 n−1 n−1 ∆ yt = ∆(∆ yt) = ∆ yt+1 − ∆ yt 2 Ta có: ∆ yt = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2yt+1 + yt n Tương tự, ta có thể biểu diễn ∆ yt qua yt, yt+1, yt+2, , yt+n Định nghĩa 6.1.4. Phương trình sai phân 81
Phương trình sai phân là phương trình với hàm phải tìm là hàm đối số nguyên yt, trong đó hàm phải tìm xuất hiện dưới dạng sai phân các cấp của nó. Định nghĩa 6.1.5. Cấp của phương trình sai phân Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân có trong phương trình đó. Định nghĩa 6.1.6. Nghiệm của phương trình sai phân 1. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là hàm đối số nguyên yt = ϕ(t, C1,C2, , Cn) thỏa mãn phương trình đó. (C1,C2, , Cn là các hằng số bất kì) 2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể của C1,C2, , Cn. 6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 2 Dạng phương trình: yt+2 + pyt+1 + qyt = 0 (2.2) Cách giải: Phương trình đặc trưng tương ứng là: k2 + pk + q = 0 (2.3) TH1: Nếu (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: t t yt = C1k1 + C2k2 TH2: Nếu (2.3) có nghiệm thực kép k 6= 0 thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: t t yt = C1k + C2tk 82
TH3: Nếu (2.3) có 2 nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, kkhông thuộc R t thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: yt = r (C1 cos ϕt + C2 sin ϕt) r = pα2 + β2, cos ϕ = √ α , sin ϕ = √ β α2+β2 α2+β2 Chú ý: Nếu đề bài cho điều kiện ban đầu: y0 = a, y1 = b thì sau khi tìm nghiệm tổng quát yt, ta giải hệ y0 = a, y1 = b để tìm giá trị cụ thể của C1,C2. Ví dụ 6.2.1. Giải các phương trình sau 1. yt+2 − 4yt = 0, y0 = 1, y1 = 3 2. yt+2 + yt+1 + yt = 0 3. yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 0 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 3 yt+3 + a1yt+2 + a2yt+1 + a3yt = 0 (2.4) Cách giải: 3 2 PT đặc trưng tương ứng: k + a1k + a2k + a3 = 0 (2.5) TH1: Nếu (2.5) có 3 nghiệm thực phân biệt k1, k2, k3 thì t t t nghiệm tổng quát của (2.4) là: yt = C1k1 + C2k2 + C3k3 TH2: Nếu (2.5) có 1 nghiệm thực k1 và nghiệm kép k2 thì nghiệm tổng quát của t t t (2.4) là yt = C1k1 + C2k2 + C3tk2 TH3: Nếu (2.5) có nghiệm thực k bội 3 thì nghiệm tổng quát của (2.4) là yt = t t 2 t C1k + C2t.k + C3t k TH4: Nếu (2.5) có 1 nghiệm thực k1 và nghiệm phức liên hợp k = α±iβ, k không thuộc R t t nghiệm tổng quát của (2.4) là: yt = C1k + r (C2 cos ϕt + C3 sin ϕt)  1 cos ϕ = √ α  2 2 r = pα2 + β2, α +β sin ϕ = √ β  α2+β2 Ví dụ 6.2.2. Giải các phương trình sau 1. yt+3 − yt+2 + 4yt+1 − 4yt = 0 2. yt+3 + yt = 0 83
6.3 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP n 6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT Dạng PT: yt+n + a1yt+n−1 + + anyt = f(t) (2.6) PT thuần nhất tương ứng: yt+n + a1yt+n−1 + + anyt = 0 (2.7) 1 Định lí 6.3.1. Nếu yt là nghiệm tổng quát của (2.7), yt là một nghiệm riêng của 1 (2.6) thì nghiệm tổng quát của (2.6) là yt = yt + yt 6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP n t Cách giải phương trình (2.6) với f(t) = Pm(t)β , β ∈ R 1. Giải pt (2.7) để tìm yt 1 2. Tìm 1 nghiệm riêng yt của (2.6) 1 • Tìm dạng nghiệm riêng yt 1 t + Nếu PT đặc trưng có tất cả các nghiệm k 6= β thì yt = β Qm(t) 1 s t + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k = β (bội s) thì yt = t β Qm(t) Qm(t) là đa thức bậc m dạng đầy đủ. 1 1 • Thay dạng yt vào pt (2.6), đồng nhất hệ số thì ta tìm được yt 1 3. Nghiệm tổng quát của (2.6) là yt = yt + yt Ví dụ 6.3.1. Giải các phương trình sau 2 1. yt+2 − 3yt+1 + 2yt = 2t t 2. yt+3 + yt = 2.(−1) Dạng PT: yt+n + a1yt+n−1 + + anyt = f(t) + g(t) Cách giải: 1. Giải PT thuần nhất tương ứng để tìm nghiệm yt. 84
1 2. Tìm một nghiệm riêng yt của phương trình yt+n + a1yt+n−1 + + anyt = f(t) 2 3. Tìm một nghiệm riêng yt của phương trình yt+n + a1yt+n−1 + + anyt = g(t) 1 2 4. Nghiệm của PT ban đầu yt = yt + yt + yt Ví dụ 6.3.2. Giải phương trình sau t 2 yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 2 + t (1) Giải: 1. Phương trình thuần nhất tương ứng: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 0(2) Phương trình đặc trưng: k2 − 4k + 4 = 0 ⇔ k = 2(Nghiệm kép) Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là: t t yt = C12 + C2t2 t 2. Tìm nghiệm riêng của phương trình: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 2 Vì β = 2 là Nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên dạng nghiệm riêng 1 2 t yt = A.t .2 Thay vào pt (3), ta có A.(t + 2)2.2t+2 − 4A.(t + 1)2.2t+1 + 4A.t2.2t = 2t ⇔ 4A(t2 + 4t + 4)2t − 8A(t2 + 2t + 1)2t + 4A.t2.2t = 2t ⇔ 4A(t2 + 4t + 4) − 8A(t2 + 2t + 1) + 4A.t2 = 1 1 ⇔ 8A = 1 ⇔ A = 8 1 Vậy nghiệm riêng của phương trình (3) là y1 = .t2.2t t 8 85
2 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = t (4) Vì β = 1 là không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên dạng nghiệm 2 2 riêng yt = A.t + Bt + C Thay vào pt (4), ta có A.(t + 2)2 + B(t + 2) + C − 4[A.(t + 1)2 + B(t + 1) + C] + 4[A.t2 + Bt + C] = t2 ⇔ At2 + (B − 4A)t + C − 2B = t2 Đồng nhất hệ số ta có:   A = 1 A = 1   B − 4A = 0 ⇔ B = 4  C − 2B = 0  C = 8 2 2 Vậy nghiệm riêng của phương trình (4) là yt = t + 4t + 8. 4. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là: 1 y = C 2t + C t2t + .t2.2t + t2 + 4t + 8 t 1 2 8 86