›
›

Giáo án Toán cao cấp C - Nguyễn Đức Phương

pdf 35 trang ngocly 970
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án Toán cao cấp C - Nguyễn Đức Phương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_an_toan_cao_cap_c_nguyen_duc_phuong.pdf

Nội dung text: Giáo án Toán cao cấp C - Nguyễn Đức Phương

  1. BỘ CƠNG NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP TP.HCM ∆0 GIÁO ÁN TỐN CAO CẤP C (HỆ CAO ĐẲNG) Niên khĩa : 2005-2006 Giảng viên : NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG Khoa : KHOA HỌC CƠ BẢN
  2. BỘ CƠNG NGHIỆP ĐT 04 TRƯỜNG ĐH CƠNG NGHIỆP TP . HCM KHOA : KHOA HỌC CƠ BẢN LỊCH GIẢNG DẠY MƠN HỌC: Tốn cc C SỐ TIẾT 60 LỚP: CĐ.HỌC KỲ:I,NĂM HỌC:2005-2006 SỐ TIẾT/TUẦN: 05 SỐ TUẦN : 12 SỐ TIẾT TUẦN SỐ NỘI DUNG BÀI GIẢNG-BÀI TẬP-THÍ NGHIỆM -THẢO LUẬN ĐỒ DÙNG HỌC TẬP SÁCH THAM KHẢO Lý thuyếtThực hành Bài tậpKiểm tra 1 1.Số phức: Các phép tính cơ bản và dạng lương giác Giáo trình tốn cao cấp của trường Từ ngày: 3/10 2. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến 32biên soạn đến: 9/10/05 3. Đạo hàm và vi phân hàm 2 biến 2 1. Cực trị hàm 1 biến Từ ngày:10/102. Cực trị tự do và cực trị cĩ điều kiện của hàm 2 biến 3 2 đến :16/10/05 3. Ứng dụng cực trị để giải các bài tốn trong kinh tế 3 1. Tích phân xác định Từ ngày:7/112. Hai cơng thức tính tích phân 3 2 đến :13/11/05 3. Tích phân suy rộng loại 1 4 1. Tích phân suy rơng loại 2 Từ ngày:14/112. Phương trình vi phân cấp 1: Biến phân ly, đảng cấp 3 2 đến :20/11/05 3. Phưonh trính tuyến tính cấp 1, Bernully 5 1. Phưong trình vi phân cấp 2. Từ ngày:21/11 2. Hệ phương trình vi phân với hệ số hằng 3 2 đến :27/11/05 3. Định thức: Định nghĩa và cơng thức Laplace 6 1. Cơng thức Sarus Từ ngày:28/112. Các tính chất của định thức 3 2 đến:4/12/05 3. Ma trận: Định nghĩa và các phép tốn căn bản 7 1. các phép biến đổi sơ cấp Từ ngày:5/122. Kiểm tra giữa kỳ 2 2 1 đến:11/12/05 3, Ma trận bậc thang 8 1. Ma trận nghịch đảo. Từ ngày:12/122. Khơng gian véc tơ: Định nghĩa, độc lập và phụ thuộc t.tính 3 2 đến: 18/12/05 3. Cơ sở của khơng gian véc tơ n chiều 9 1. Hệ phương trình tuyến tính: Tính chất nghiệm Từ ngày:19/122. Phương pháp ma trận nghịch đảo 2 3 đến:25/12/05 3. Phương pháp Cramer
  3. 10 1. Phương pháp Gauss Từ ngày:26/122. Biến đổi tọa độ khi đổi cơ sở 3 2 đến:1/1/06 3. Phép biến đổi tuyến tính 11 1. Phép quay, phép tịnh tiến Từ ngày:2/1 2. Đa thức đặc trưng 32 đến:8/1/06 3. Trị riêng và véc tơ riêng 12 1. Cách tìm véc tơ riêng ứng với trị riêng Từ ngày:9/1 2.Thuật tốn chéo hĩa ma trận. 32 đến:15/1/06 3. Ơn tập 13 Từ ngày: đến: 14 Từ ngày: đến: 15 Từ ngày: đến: 16 Từ ngày: đến: 17 Từ ngày: đến: Khoa Trưởng bộ mơn Ngày 05 tháng 09 năm 2005 Giảng viên
  4. BỘ CƠNG NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TỔ TỐN o0o CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN CAO CẤP C BẬC CAO ĐẲNG KINH TẾ NĂM HỌC 2005 – 2006
  5. CHƯƠNG TRÌNH TỐN CAO CẤP C (Mã mơn học: 004DC210) DÙNG CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG KINH TẾ THỜI GIAN : 60 TIẾT NỘI DUNG TỔNG QUÁT VÀ PHÂN BỐ THỜI GIAN STT CHƯƠNG MỤC THỜI GIAN Chương I Bổ túc số phức 2 tiết Chương II Phép tính vi phân 8 tiết Chương III Phép tính tích phân 6 tiết Chương IV Phương trình vi phân 8 tiết Chương V Định thức 5 tiết Chương VI Ma trận 7 tiết Chương VII Khơng gian tuyến tính 3 tiết Chương VIII Hệ phương trình tuyến tính 7 tiết Chương IX Phép biến đổi tuyến tính 6 tiết Chương X Chéo hĩa ma trận 8 tiết Cộng 60 tiết NỘI DUNG CHI TIẾT 1
  6. CHƯƠNG I BỔ TÚC SỐ PHỨC (2 tiết) ♦ Định nghĩa. ♦ Phép tính. ♦ Dạng lượng giác. CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN (6 tiết) ♦ Đạo hàm cấp một và cấp cao của hàm một biến. ♦ Đạo hàm riêng cấp một và cấp cao, đạo hàm hợp của hàm hai biến. ♦ Vi phân của hàm một biến. ♦ Vi phân tồn phần của hàm hai biến. ♦ Ứng dụng ‚ Cực trị của hàm một biến. ‚ Cực trị tự do, cực trị cĩ điều kiện của hàm hai biến. ‚ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm. ‚ Tính gần đúng. ‚ Ứng dụng vào bài tốn kinh tế. CHƯƠNG III PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (6 tiết) ♦ Tích phân bất định ‚ Định nghĩa. ‚ Tính chất. ♦ Hai phương pháp tính tích phân. ♦ Cơng thức đạo hàm cận trên, cơng thức Newton – Leibnitz. ♦ Tính chất và hai phương pháp tính tích phân xác định. ♦ Tích phân suy rộng. CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (8 tiết) ♦ Phương trình vi phân cấp một 2
  7. ‚ Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm. ‚ Phương trình cĩ biến phân ly được. ‚ Phương trình đẳng cấp. ‚ Phương trình tuyến tính cấp một. ‚ Phương trình Bernoulli. ♦ Phương trình vi phân cấp hai ‚ Định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm. ‚ Phương trình giảm cấp được. ‚ Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng. ♦ Hệ phương trình vi phân, vi phân tuyến tính. CHƯƠNG V ĐỊNH THỨC (5 tiết) ♦ Định nghĩa và tính chất ‚ Hốn vị và nghịch thế. ‚ Định thức cấp n. ♦ Định lý Laplace. ♦ Cách tính. CHƯƠNG VI MA TRẬN (7 tiết) ♦ Định nghĩa. ♦ Phép tính. ♦ Định thức của ma trận vuơng. ♦ Hạng của ma trận. CHƯƠNG VII KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH (3 tiết) ♦ Vector n chiều ‚ Định nghĩa. ‚ Sự phụ thuộc tuyến tính. ‚ Hạng của vector. ♦ Khơng gian vector n chiều ‚ Định nghĩa. ‚ Định lý. 3
  8. CHƯƠNG VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (6 tiết) ♦ Khái niệm ‚ Hệ phương trình tuyến tính. ‚ Tính chất nghiệm. ‚ Định lý Kronecker – Capelli. ♦ Phương pháp giải ‚ Phương pháp ma trận nghịch đảo. ‚ Phương pháp Cramer. ‚ Phương pháp Gauss. CHƯƠNG IX PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH (6 tiết) ♦ Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi. ♦ Biến đổi tuyến tính. ♦ Phép biến đổi tuyến tính. ♦ Phép quay. ♦ Phép tịnh tiến. ♦ Liên hệ giữa các ma trận của phép biến đổi tuyến tính. CHƯƠNG X DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TỒN PHƯƠNG (8 tiết) ♦ Giá trị riêng, vector riêng ‚ Định nghĩa. ‚ Phương trình đặc trưng. ‚ Giá trị riêng của ma trận đồng dạng. ♦ Chéo hĩa ma trận ‚ Chéo hĩa ma trận vuơng cấp n khi cĩ n vector riêng đltt. ‚ Chéo hĩa trực giao ma trận đối xứng. TÀI LIỆU THAM KHẢO 4
  9. 1. G. N. Phichtengon, Cơ sở giải tích tốn học, tập I – II – III, NXB Giáo dục, 1977. 2. Hồng Hữu Đường – Võ Đức Tơn – Nguyễn Thế Hồn, Phương trình vi phân, tập I – II, NXB ĐH và THCN, 1979. 3. Hồng Xuân Sính, Đại số cao cấp, tập I, NXB Giáo dục, 1977. 4. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác, Tốn cao cấp, tập I, NXB ĐH và THCN, 1984. 5. Nguyễn Thế Hồn – Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân, NXB ĐH và THCN, 1979. 6. Tạ Văn Đỉnh – Vũ Long – Dương Thụy Vỹ, Bài tập tốn cao cấp, NXB ĐH và THCN. 7. Trần Văn Hạo, Đại số cao cấp, tập II, NXB Giáo dục, 1977. Tp. HCM / /2005 Tp. HCM / / 2005 Phê duyệt BGH Khoa Cơ Bản TS. Nguyễn Phú Vinh 5
  10. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 1 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Số phức, đạo hàm và vi phân hàm số thực. • MỤC ĐÍCH: _ Tính tốn được các phép tính cơ bản, lũy thừa và căn số của số phức. _ Tính được đạo hàm riêng và vi phân cấp hai hàm hai biến. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp §1 SỐ PHỨC 5’ Nêu và I Định nghĩa: Tập hợp các số phức là: C = {zaibab=+:, ∈R } , giải quyết vấn đề với i là đơn vị ảo cho bởi: i2 = -1 _ a: gọi là phần thực, ký hiệu là Re(z) _ b: gọi là phần ảo, ký hiệu là Im(z) _ Số phức liên hợp với zaib=+ là zaib= − _ Mơ đun của zaib=+ là zab= 22+ II Các phép tốn trên số phức: Cho z11122= a+=+ ib; z a ib 2 10’ Nêu và giải quyết i) Phép cộng : zz±=±+ aaibb ± 12 12( 12) vấn đề ii) Phép nhân với số thực: cz11= ca+∈ icb 1; c R iii) Phép nhân: zz12. =−+( aa 12 bb 12) iab( 12 + ab 21) z zz. iv) Phép chia: = 12; ( z ≠ 0) z 2 2 z2 Ví dụ: Cho zizi=+34; =− 5 . z1 11 23 zz12+=+83; izz 12 −=−+ 25;. izz 12 =+ 1917; i = + i z2 26 26 III Biễu diễn hình học và lượng giác của số phức: 15’ Đối thoại giữa sinh Cho số phức zaib=+ , đặt tương ứng z y với véc tơ OM= () a, b gọi là biễu diễn viên và giảng viên hình học của số phức z. _ Gĩc ϕ được gọi là Argument của z b M _ zr=+()cosϕ i sinϕ gọi là biễu diễn r ϕ lượng giác của số phức z. 0 a x ⎛⎞π π Ví dụ: zi=−132cossin =⎜⎟ − + i − ⎝⎠33 IV Định lý: zr11=+()cosϕ 1 i sinϕϕϕ 12 ; z = r 2( cos 2 + i sin 2) . 15’ Giảng giãi và đối zz12.cossin=+++ rr 12⎣⎦⎡⎤()ϕϕ 1 2 i ( ϕϕ 1 2) thoại
  11. zr11 =−+−⎣⎦⎡⎤cos()()ϕϕ12i sin ϕϕ 12 zr22 nnn Hệ quả: z=+⎣⎦⎡⎤ r()()cos ninϕ sinϕϕϕ =+ r cos nin sin Ví dụ: i) ()121.+=ii25 12 () + 12 ii) ⎡⎤1322+−=−ii 2.30 ⎣⎦()() V Căn bậc n của số phức z: 15’ Giảng giãi Định nghĩa: ω được gọi là 1 căn bậc n của số phức z nếu ωn = z . và đối thoại Định lý: Cho zr=+()cosϕ i sinϕ . Khi đĩ nn⎧+⎛⎞ϕπ22kk ϕπ + ⎫ zr=+=−⎨⎬⎜⎟cos i sin : kn 0, 1 ⎩⎭⎝⎠nn 3 ⎪⎪⎧⎫1313 Vídụ: −=1;1;⎨⎬ +ii − − ⎩⎭⎪⎪22 22 Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai: Xét phương trình: ax++= bx c0;( a ≠ 0; a , b , c ∈C ) . Khi đĩ −b +Δ Nghiệm của phương trình: x = ( Δ là căn phức) 2a Ví dụ: xixi2 ++−+=21() 2 3 0 ⎡⎡−−12ix =−− 23 i Δ=43i − =⎢⎢ ⇒ ⎣⎣12+=ixi Bài tập giáo trình 30’ §2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN I Định nghĩa: (đạo hàm cấp 1) 10’ Đối thoại Cho hàm số y = fx()cĩ miền xác định D ⊆ R; xo ∈ D. f được f ( xfx) − ( o ) gọi là cĩ đạo hàm tại điểm xo nếu lim tồn tại hữu xx→ 0 xx− o hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là f ' ()x . _ Ký hiệu Δ=y fx() − fx( o ) là số gia của y. ' Δy _ Ký hiệu Δ=x xx −o là số gia của x. Khi đĩ: fxxo()= lim Δ→x 0 Δx Các cơng thức đạo hàm: i) ()f ±=±gfg' ''. ii) ()f .gfggf' =+''
  12. ' ⎛⎞f fg''− fg iii) ⎜⎟= ⎝⎠g g2 II Đạo hàm cấp cao: 10’ Giảng giải ' ()nn (−1 ) và đối Định nghĩa: f =∈( fn) ( N ) thoại n ()n k ()knk (− ) Cơng thức Leibnitz: ()fg= ∑ Cn f g k=0 Ví dụ: f ==+egx;4. x2 x()fg(10) =++ ex ( x2 22 x 126) . Bài tâp giáo trình 25’ §3.HÀM HAI BIẾN III Hàm hai biến 15’ Nêu và Định nghĩa 1: Hàm số hai biến thực là một qui tắc tương ứng mỗi giải quyết cặp ()x; yD∈⊆R 2 với duy nhất số thực z ∈R . Ký hiệu vấn đề zfxy=∀∈(); ( ( x;y) D) . D được gọi là tập xác địh của hàm hai biến f. Ví dụ: 22 i) zfxy==−−();1 x y . D là hình trịn tâm 0 bán kính 1. ii) zfxy==−−();1 xyD . là hình vuơng tâm 0, các cạnh song song với các trục tọa độ và chiều dài là 2. 2 Định nghĩa 2: Cho hàm số zfxy= (; )cĩ miền xác định D ⊆ R x ;.yD∈ f được gọi là cĩ đạo hàm riêng theo biến x (t.ư y) ()oo tại điểm ()xoo; y nếu: fx()()o+− hy;; o fxy oo⎛⎞ fxy( oo ; +− h) fxy( oo ;) lim⎜⎟tu . lim hh→→00hh⎝⎠ tồn tại hữu hạn và ký hiệu giá trị giới hạn trên là : ''∂∂ff⎛⎞ fxoo()xy;;==() xy oo ⎜⎟ tufxy. y () oo;;() xy oo ∂∂xy⎝⎠ Chú ý: Nếu các biến x và y khơng cĩ quan hệ với nhau khi lấy đạo 5’ Đối thoại hàm riêng theo biến nào thì coi biến cịn lại như là hằng số. Ví dụ: 10’ Sinh viên 3 3 3 33' h lên giải i) fxy();;0;0lim1=+ x y fx () = =. h→0 h ii) f xy;;== exyxyxy f'' xe ; f = ye . () xy Định nghĩa 3: 10’ Giảng giãi 2 '' ∂ f ∂∂⎛⎞f và đối i) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x: fx2 ==⎜⎟. thoại ∂x2 ∂x ⎝⎠∂x
  13. 2 '' ∂ f ∂∂⎛⎞f ii) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y: f y2 ==⎜⎟. ∂y2 ∂yy⎝⎠∂ iii) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x, y (t.ư y, x): ∂∂∂22ff⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂ ff⎛⎞ ftuf''==. '' == xy⎜⎟⎜⎟ yx ⎜⎟ ∂∂xy ∂ y⎝⎠ ∂ x⎝⎠ ∂∂ yx ∂ x⎝⎠ ∂ y '' '' Chú ý: fxyyx≠ f . Nhưng trong trường hợp các đạo hàm riêng của '' '' chúng liên tục thì ta cĩ fxyyx= f . IV Vi phân hàm một biến: 10’ Nêu và Định nghĩa: Cho hàm yfx= ( ), với miền xác định D. f được gọi giải quyết ' vấn đề là khả vi tại xo ∈ D.Nếu: ΔyAx=Δ+Δ0( x ) . Trong đĩ A = f ()xo 0(Δx ) lim=Δ= 0; A xdy gọi là vi phân của f tại điểm xo Δ→x 0 Δx ' Định lý: f khả vi tại điểm xoxo⇔=Afx() Ta viết: dy= f'() x dx cho mọi x thuộc miên xác định của y’ V Vi phân hàm hai biến: 10’ Nêu và Định nghĩa 1: Cho hàm zfxy= ( ;,) với miền xác định D. f được giải quyết vấn đề gọi là khả vi tại (xoo ;yD )∈ . Nếu: ΔzAxBy=Δ+Δ+ΔΔ0( xy ; ) . 0(Δxy ;Δ ) Trong đĩ : lim= 0; AxΔ+ By Δ= df gọi là vi (;)(0;0)ΔΔ→xy Δ+Δ22xy '' phân cấp 1 của f tại điểm (;xooyAfxyBfxy );== xoo (; ); yoo (; ); '' Ta cĩ: dfxy(;oo )=+ fxydxfxydy xoo (; ) yoo (; ) Ví dụ: f (;)2x y=+ x2 4; xy df =+ (44) x y dx + 4 xdy ;(0;1)4. df = dx Vi phân cấp cao: dfnn=∀∈ dd()−1 f ( n N ). Đặc biệt 2 '' 2 '' '' 2 d f=+ fxy22 dx fxy dxdy + f dy Bài tập giáo trình 30’ • TỔNG KẾT BÀI: _ Các phép tính trên số phức. _ Đạo hàm và vi phân hàm hai biến. • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  14. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 2 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG:Cực trị hàm số. • MỤC ĐÍCH: _ Tính tốn và xác định được các điểm cực trị của hàm hai biến. _Lập được mơ hình tốn trong bài tốn kinh tế va tìm được sự tối ưu hĩa • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Ứng dụng cực trị hàm một biến trong bài tốn kinh tế: 15' Đối thoại Bài tốn: Tìm sản lượng cần sản xuất để xí nghiệp cĩ lợi nhuận tối đa khi biết hàm cầu QD và hàm tổng chi phí C.(Trang 58;59 Giáo trình ) Bài tập luyện tập: Giáo trình. 30' Hướng dẫn II Cực trị hàm hai biến: 5' nêu và giải 2.1 Cực trị khơng điều kiện: quyết vấn đề Định lý 1 (Điều kiện cần) :Hàm số f ( xy; ) đạt cực trị tại điểm ()xoo; y thì ()xoo; y là nghiệm của hệ phương trình: ⎧∂∂ff ⎨ ==0; 0 () 1 ⎩∂∂xy Điểm ()xoo; y được gọi là điểm dừng của hàm f 10' nêu và giải Định lý 2(Điều kiện đủ): Giả sử ( xoo; y ) là nghiệm của (1). Đặt quyết vấn đề ∂∂∂222fff AB==;;; C =Δ=− BAC2 .Khi dĩ: ∂∂∂∂xxyy22 ⎧Δ ⎧Δ<0; ⎨ ⇒ (;xooy ) là điểm cực đại của hàm f . ⎩Ax(;oo y )0< ⎧Δ<0; ⎨ ⇒ (;xooy ) khơng là điểm cực trị của hàm f ⎩Ax(;oo y )0< Trong trường hợp Δ=0; ta phải dùng định nghĩa cực trị để xét điểm ()xoo; y cĩ phải là điểm cực trị của hàm f hay khơng.
  15. Ví dụ: Xét tính cực trị của các hàm số sau: 30' Đối thoại ifxy)(;)=++ x33 y 3 xy . ii)(;) f x y=++ x44 y 4 x 22 y . Giải i): Giải hệ phương trình ⎧∂f = 0 ⎪⎪⎪∂x ⎧330xy2 +=⎧⎧ x = 0 x =− 1 ⎨⎨⇔⇔∨ ⎨⎨; ∂f 2 yy= 01=− ; ⎪ = 0 ⎩⎪33xy+= 0 ⎩⎩ ⎩⎪∂y Δ=918; −xy A = 3; x Δ>⇒(0;0) 0 (0;0) khơng là điểm cực trị. Δ−(1;1);(1;1) −A − − =− 3 ⇒ (;) xy 00là điểm cực tiểu.
  16. 2 _dLx (;)000 y ⇒=−=(0;() dx dy⎜⎟ x y là điểm cực tiểu 255⎝⎠ của hàm f . ii) Hệ phương trình (2) cĩ nghiệm: ⎡xy===0; 1;λ 0 ⎢ 235 ⎢xy===;;λ ⎣ 352 ⎛⎞2352 4 •=⎜⎟xy;; =λ = ;(;) Lxyxyxy = −() +− 1; ⎝⎠352 9 ,, ϕϕxydx+=⇔=− dy0; dx dy 2222⎛⎞23 2 8 d L⎜⎟;20.=+=− 2 dx 0. ⇒ (0;1) là điểm cực tiểu của hàm f.
  17. 2.3 Ứng dụng vào bài tốn kinh tế: 40' Cho sinh viên i) Bài tốn cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều đọc giáo trình kiện cạnh tranh hồn hảo (trang 166, giáo trình) giảng viên ii) Bài tốn cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều hướng dẫn kiện sản xuất độc quyền.(trang 167; 168; 169; giáo trình). Bài tập luyện tập: Giáo trình. • TỔNG KẾT BÀI:(5') _Các bước tìm cực trị tự do và cực trị ràng buộc. _Cách thành lập hàm trong bài tốn kinh tế. • RÚT KINH NGHIỆM:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  18. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 3 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG:Tích phân xác định và tích phân suy rộng • MỤC ĐÍCH: _ Tính được tích phân xác định bằng hai phương pháp từng phần và đổi biến, _ Xác định được bản chất tích phân suy rộng loại 1. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Tích phân xác định: 5' Đối thoại 1.1 Định nghĩa: F được gọi là một nguyên hàm của hàm f nếu: Fx' ()=∀∈ fx (); x D. Ký hiệu ∫ f ()xdx= Fx (). 1.2 Bảng nguyên hàm: Giáo trình 5' Đối thoại 1.3 Hai phương pháp tính nguyên hàm: 15' Đối thoại i) Đổi biến số: ∫∫∫f ()xdx=⇒ Fx () fux [()]() u, xdx = f () uduFu = (). Ví dụ: Tính ∫ (4x210+ 1)xdx . Chú ý: Nếu x = ϕ(t ) cĩ đạo hàm liên tục và cĩ hàm ngược là tx= ϕ −1().Khi đĩ ∫∫f ()xdx= f [()]()ϕϕ t, tdt . dx Ví dụ: I = ∫ 3 x ()1+ x Giải: Đặt txxtIxarctgxC=⇔==6666 ;6 − 6 + ii) Tích phân từng phần: 45' Đối thoại và udv=− uv vdu. hướng dẫn ∫∫ sinh viên giải Ví dụ: ix)(∫ + 3) edx−x . ii)2sin∫ x xdx . ln x iii). dx ∫ x2 iv)sin.∫ e2x xdx 1.4 Tích phân xác định: 10' Đối thoại Định nghĩa: (Sinh viên đọc trong giáo trình). Cơng thức Newton-Leibnitz: Cho f khả tích trên [a; b], và F là một nguyên hàm của f . Khi đĩ b ∫ f ()xdx=− Fa () Fb (). a
  19. Ví dụ: 40' Đối thoại và 1 dx hướng dẫn iI) = ∫ 2 2 sinh viên giải 0 ()xx++32 π 4 sin2x ii) I==⇒= dx ; u sin2 x du 2sin x cos xdx . ∫ 4 0 1sin= x x 0 π 4 y 0 12 1 2 du 1 I ==arctg ∫ 2 0 12+ u π 4 ⎧ux= x ⎪ ⎧du= dx iii); J=⇒ dx ∫ 2 ⎨⎨dx 0 cos x = dv ⎩vtgx= ⎩⎪cos2 x π 4 π 4 π 2 Jxtgx=−=− tgx ln o ∫ o 42 II Tích phân suy rộng loai 1: 10' Nêu và giải 2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [atub ;∞ ]( . [−∞ ; ]), khả quyết vấn đề bb⎛⎞ tích trên [ab ; ];∀> b a .Nếu limf (xdxtu ) ⎜⎟ . lim f ( xdx ) tồn ba→∞∫∫ →−∞ aa⎝⎠ tại hữu hạn thì ta nĩi giới hạn đĩ là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [;atub∞−∞ ] (). [;].Ký hiệu: ∞ bb⎛⎞ b f ()xdx== lim f () xdx ⎜⎟ tu. f () xdx lim f () xdx . ∫∫∫ba→∞ →−∞ ∫ aa⎝⎠−∞ a Khi này ta nĩi tích phân hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nĩi tích phân phân kỳ. Ví dụ: 15' Đối thoại ∞ 1 iedx) −2x = ∫ 2 0 ∞ dx ii) (0). a > ∫ α a x Tích phân hội tụ khi α >1. phân kỳ khi α <1. 2.2 Định lý: 15' Nêu và giải i) Cho f là hàm liên tuc trên [;atub∞ ](. [−∞ ;]),khi đĩ nếu quyết vấn đề ∞ ⎛⎞b ∞ ⎛⎞b ∫∫f ()xdx ⎜⎟ fxdx() hơi tụ thì ∫∫f ()xdx ⎜⎟ f() xdx hội tụ a ⎝⎠−∞ a ⎝⎠−∞ ii) Cho f, g là hai hàm khơng âm liên tuc trên [atub ;∞ ]( . [−∞ ; ]), với 0 ≤≤f g , khi đĩ:
  20. ∞ ⎛⎞b ∞ ⎛⎞b ∫∫f ()xdx ⎜⎟ f() xdx phân kỳ ⇒ ∫∫gxdx() ⎜⎟ gxdx() phân kỳ a ⎝⎠−∞ a ⎝⎠−∞ ∞ ⎛⎞b ∞ ⎛⎞b gxdx() gxdx() hội tụ ⇒ f ()xdx f() xdx hội tụ ∫∫⎜⎟ ∫∫⎜⎟ a ⎝⎠−∞ a ⎝⎠−∞ iii)Cho f, g là hai hàm khơng âm liên tuc trên [atub ;∞ ]( . [−∞ ; ]), với 0 ≤≤f g . Đặt f ()xfx⎛⎞ () k = lim lim . xx→∞⎜⎟ →−∞ gx()⎝⎠ gx () ∞ ⎛⎞b _ k = 0: ∫∫gxdx()⎜⎟ gxdx () hội tụ a ⎝⎠−∞ ∞ ⎛⎞b ⇒ ∫∫f ()xdx ⎜⎟ f() xdx hội tụ a ⎝⎠−∞ ∞ ⎛⎞b ∞ ⎛⎞b _ 0:<<∞k ∫∫gxdx()⎜⎟ gxdx () và ∫∫f ()xdx ⎜⎟ f() xdx a ⎝⎠−∞ a ⎝⎠−∞ cùng bản chất ∞ ⎛⎞b _ k =∞: gxdx() gxdx () phân kỳ ∫∫⎜⎟ a ⎝⎠−∞ ∞ ⎛⎞b ⇒ ∫∫f ()xdx ⎜⎟ f() xdx phân kỳ a ⎝⎠−∞ Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau: 15' Hướng dẫn ∞∞21xdx+ sinh viên giải IdxJ==; ∫∫x4 −+35xxx + sin1 + 00 Bài tập luyện tập: Sách giáo trình 45' Hướng dẫn • TỔNG KẾT BÀI:(5') _Hai phương pháp tính tích phân. _ Cách áp dụng định lý tích phân suy rộng. • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  21. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 4 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Tích phân suy rộng loại 2 và phương trình vi phân • MỤC ĐÍCH: _ Xác định được bản chất tích phân suy rộng loại 2. _ Giải được phương trình vi phân cấp 1. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp III Tích phân suy rộng loai 2: 10' Nêu và giải 2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [ab ; )( tu . (a; b ]), khả quyết vấn đề tích trên [;ab'' ];∀ a , a .Nếu bb⎛⎞ limf (xdxtu ) ⎜⎟ . lim f ( xdx ) tồn tại hữu hạn thì ta nĩi giới bb' →→−+∫∫ aa aa⎝⎠ hạn đĩ là tích phân suy rộng loại 2 của f trên [;)ab ((;] ab) .Ký hiệu: bbbb⎛⎞ f ()xdx== lim f () xdx ⎜⎟ tu. f () xdx lim f () xdx . ∫∫∫∫bb→→−+ a, a aaaa⎝⎠ Khi này ta nĩi tích phân hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nĩi tích phân phân kỳ. Ví dụ: 15' Đối thoại 1 dx i) ∫ x 0 b dx ii) (0). a > ∫ α a ()bx− Tích phân hội tụ khi α < 1. phân kỳ khi α ≥1. 2.2 Định lý: 15' Nêu và giải i) Cho f là hàm liên tuc trên [ab ; )( tu . (a; b ]), khi đĩ nếu quyết vấn đề b b ∫ f ()xdx hơi tụ thì ∫ f (xdx ) hội tụ a a ii) Cho f, g là hai hàm khơng âm liên tuc trên [ab ; )( tu . (a; b ]), với 0 ≤≤f g , khi đĩ: b b ∫ f ()xdx phân kỳ ⇒ ∫ gxdx() phân kỳ a a b b ∫ gxdx() hội tụ ⇒ ∫ f ()xdx hội tụ a a iii)Cho f, g là hai hàm khơng âm liên tuc trên [ab ; )( tu . ( ab ; ]), với 0 ≤≤f g . Đặt
  22. f ()xfx⎛⎞ () k = lim lim . −+⎜⎟ xb→→gx() xa gx () ⎝⎠ b b _ k = 0: ∫ gxdx ( ) hội tụ ⇒ ∫ f ()xdx hội tụ a a b b _ 0:<<∞k ∫ gxdx () và ∫ f (xdx ) cùng bản chất a a b b _ k =∞: ∫ gxdx() phân kỳ ⇒ ∫ f ()xdx phân kỳ a a Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau: 15' Hướng dẫn 11tgxcos xdx IdxJ==∫∫; sinh viên giải 00xxln(+ 1) xsin x PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I Phương trình vi phân cấp 1 15' Đối thoại 1.1 Khái niêm: Phương trình vi phân là phương trình cĩ ẩn số là hàm số được cho dưới dạng các đạo hàm hoặc vi phân của hàm số đĩ. Ví dụ: iy)4, = x ii)450 y,,+−= y , y iii)(1++= x2 ) dx 2 ydy x . 1.2 Phương trình biến phân ly: 25' Đối thoại Dạng tốn: g() y dy= f () x dx . Cách giải: Lấy tích phân hai vế ∫ g() y dy= ∫ f () x dx . Ví dụ iy)4, = x ,2⎛⎞1 ii) xy+= y y ⎜⎟ y (1) = . ⎝⎠2 1.3 Phương trình đẳng cấp: 25' Đối thoại , ⎛⎞x Dạng tốn: y = ϕ ⎜⎟ ⎝⎠y y Cách giải: Đặt uyuxyuxu=⇒= ⇒,, = =. x du dx yuuxuu,,=⇔+=⇒ϕϕ() () = phương trình biến ϕ()uu− x phân ly.
  23. Ví dụ x y iy)1, +=+ y x x + y ii) y, = x − y 1.4 Phương trình tuyến tính cấp 1, 25' Đối thoại Dạng tốn: y, +=pxy() qx () − pxdx() qx() Cách giải: Tính Ax()== e∫ ; Bx () dx . ∫ Ax() Nghiệm: yAxBxc=+()[() ] Ví dụ 11 iy), += y ex y xx ii)2 y,3+= y e x Phương trình Bernully: 25' Dạng tốn: ypxyqxy, +=() ()α (α ≠ 0,1) 1.5 1,−−αα , Cách giải Đặt zy=⇒=− z(1α ) yy thế vào phương trình đầu ta cĩ: zpxzqx, +−(1αα ) ( ) =− (1 ) ( ) . Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 theo biến z. Ví dụ x 1 iy), += y e2 y ((0)) y = 4 1 x ii) y, −= y xy Bài tập luyện tập 65' Hướng dẫn • TỔNG KẾT BÀI:(5') _ Cách áp dụng định lý tích phân suy rộng. _ Các phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1. • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  24. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 5 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Phương trình vi phân cấp 2, hệ ph. trình vi phân, định thức • MỤC ĐÍCH: _ Giải được phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. _ Giải được hệ phương trình vi phân hệ số hằng _ Nắm được định nghĩa của định thức. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng 15' Nêu và giải ,, , quyết vấn đề Dạng tổng quát: y ++=ay by f() x . 1.1 Phưong trình thuần nhất. Dạng tốn: yayby,,++= , 0 Cách giải: Xét phương trình đặc trưng kakb2 ++=0 (*). i) Trường hợp (*) cĩ hai nghiệm thực phân biệt kk12, khi đĩ kx12 kx nghiệm tổng quát : yce=+12 ce ( cc 12 , ∈ ) . ii) Trường hợp (*) cĩ nghiệm kép kk12= = k khi đĩ nghiệm kx tổng quát : yccxe=+(12 ) ( cc 12 , ∈ ) . iii) Trường hợp (*) cĩ hai nghiệm phức kiki12= α +=−βαβ, khi đĩ nghiệm tổng quát : ααxx yce=+12sinββ xce cos x. ( cc 12 , ∈ ) . ví dụ Giải các phương trình sau 25' Hướng dẫn iy)320.,,−+= y , y sinh viên giải ii) y,,++= 4 y , 4 y 0, y (0). = 3, y , (0) = 1. iii)220. y,,++= y , y Giải. Nghiệm là x 2x iy).=+ ce12 ce −−22x x ii) Nghiệm tổng quát: yce=+12 cxe . Nghiệm riêng: ye=+37.−−22x xex −x iiiyecxcxcc)(cossin)(,).=+1212 ∈ 1.2 Phưong trình khơng thuần nhất. 15' Nêu và giải Dạng tốn: yaybyfxfx,,++= , ()(() ≠ 0). quyết vấn đề. Cách giải. Viết nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. ,, , yayby++=0 là y =+cy11 c 2 y 2, Với y12, y xác định tùy theo trường hợp cụ thể trong phần trên. Khi đĩ, nghiệm tổng quát là: y =+cxy1122() c () xy . Trong đĩ cxc12(),() xlà các hàm
  25. số thực được xác định bởi hệ ⎧ ,, ⎪cxy()12+= c () xy 0 12 . ⎨ ,,,, ⎩⎪cxy1122()+= c () xy fx () Ví dụ. Giải các phương trình sau 35' Hướng dẫn iy)43,,−+= y , y xe 3x . sinh viên giải ii)2 y,,++=+ y , y x 1. iii)22sin. y,,−+= y , y x II Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 5' Đối thoại Dạng tốn: giữa sinh , viên và ⎪⎧xaxby=+ 11()aabb,,,∈= ; x xty ();(). = t giảng viên ⎨ , 1212 ⎩⎪yaxby=+22 Cĩ nhiều cách giải. Ở đây ta chỉ xét giải theo phương pháp khử. Xét ví dụ sau Ví dụ Giải hệ phương trình 15' Nêu và giả , quyết vấn ⎪⎧xxy=+3 2 (1) ⎨ , ⎩⎪yxy=+2 3 (2) Từ phương trình (2), ta cĩ yxy ''=+ 3 ' 2 ' ⇒=y '' 3(2xy + 3 ) + 2 y ' ⇒=++yxyy'' 6 9 2 ' ⇒−yyy'' 4 ' − 5 = 0 −tt5 ⇒=ycece12 + 1 Thay vào phương trình (2) ta cĩ x =−=−+()yy'2 cece−tt5 . 3 12 −tt5 ⎪⎧ycece=+ Tĩm lại nghiện cua hệ là 12(,cc∈ ) ⎨ −tt5 12 ⎩⎪xcece=−12 + . III Định thức. 10' Nêu và giải 3.1 Định nghĩa. Cho A là bảng số thực vuơng. quyết vấn đề ⎛⎞aa11 1n ⎜⎟ A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aannn1 Định thức của A ký hiệu là det(A) hoặc A là một số thực được định nghĩa theo qui tắc như sau. ∗ Định thức cấp 1. aa= . ∗ Định thức cấp 2.
  26. ab =−ad bc. cd ∗ Định thức cấp n (n > 2). Đặt A()ij là bảng số thu được từ bảng số A bằng cách bỏ đi dịng i cột j. Khi dĩ, nếu cố định i (hoặc j) lại, ta định nghĩa nn nn A=−∑∑(1) aij Ai ( j ) =− (1) a ij Ai ( j ) ij==11 Ví dụ. 10' Nêu và giải 123 quyết vấn đề 12 =−2; 4 5 6 = 0; 34 789 Bài tập luyện tâp. 90' Hướng dẫn _ Bài tập 8 (a, b, c, d, e, f, g) giáo trình. sinh viên giải _ Giải các hệ phương trình ⎧⎧xxy,,++=30 xy − 21 = ⎪⎪ ⎪⎪,, ay)0)2⎨⎨−+ xy = by + xt = ⎪⎪xy(0)== (0) 1 xy (0) == (0) 0 ⎩⎩⎪⎪ ⎧⎧x,,2−=yxxye0349 + − = t ⎪⎪ ⎪⎪,,2t cy))233⎨⎨−= x dy + x − y = e ⎪⎪xy(0)== (0) 1 x (0) = 2; y (0) = 0 ⎩⎩⎪⎪ ⎧xxy, −−=24 cos t ⎪ ⎪ , ey)2sin⎨ ++ x y = t ⎪xy(0)== (0) 0 ⎩⎪ • TỔNG KẾT BÀI:(5') _ Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. _ Phương pháp giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng. • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  27. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 6 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Định thức(tt). Ma trận • MỤC ĐÍCH: _ Áp dụng được cơng thức Sarus và các tính chất định thức để tính định thức. _ Tính tốn được các phép tốn trên ma trận. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Cơng thức Sarus. Viết thêm hai cột đầu vào định thức 15' Đối thoại giữa aaaaa11 12 13 11 12 sinh viên và giảng viên Aa= 21 a 22 aa 23 21 a 22 aaaaa31 32 33 31 32 Giá trị định thức cấp 3 bằng tổng của tích các đường chéo chính trừ tổng của tích các đường chéo phụ. Cụ thể Aaaaaaaaaa=++ 11 22 33 12 23 31 21 32 13 −++ (aaa13 22 31 aaa 23 32 11 aaa 21 12 33 ) Ví dụ Tính định thức 5' Nêu và giải 124− quyết vấn đề 3 1 5=−+−−+=− 1 40 24 16 10 6 35. 421 II Các tính chất của định thức 15' Nêu và giải Tính chất 1. Nếu cĩ một dịng (t.ư cột) mà tất cả các phần tử quyết vấn đề trên đĩ đều bằng 0 thì giá trị định thức bằng 0. Tính chất 2. Nếu cĩ hai dịng (t.ư cột) tương ứng tỉ lệ thì giá trị định thức bằng 0. Tính chất 3. Nếu hốn vị hai dịng (t.ư cột) thì giá trị định thức đổi dấu Tính chất 4. Nhân một dịng (t.ư cột) cho một số và cộng vào dịng (t.ư cột) thì giá trị định thức khơng đổi Tính chất 5. Nếu định thức cĩ dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới thì giá trị định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Ví dụ. 30' Nêu và giải 10 00 quyết vấn đề i)0.== 20 22 123123−− ii)3−= 6 9 3 8 9 = 0. 217 216 12− 23 iii).=− −23 1 2
  28. 122dd13+ 12 iv)7.= −23 07 122 v)0−=×−×=− 2 3 1 2 4 8. 004 III Ma trận. 15' Nêu và giải 3.1 Định nghĩa. Ma trận là bảng số cĩ hình chữ nhật cĩ dạng như quyết vấn đề sau: ⎛⎞aa11 1n ⎜⎟ A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aammn1 Ta cịn ký hiệu Aa= ()ij . Với ký hiệu này ta ngầm hiểu phần tử aij là phần tử nằm ở dịng i cột j. _ Tập hợp các ma trận cĩ m dịng n cột với các hệ số thực, ký hiệu là M mn× ( ) . Tập hợp các ma trận vuơng với hệ số thực, cĩ số dịng bằng số cột và bằng n, ký hiệu là M n ( ) _ Ma trận m dịng n cột mà cĩ các phần tử là 0 gọi là ma trận khơng. Ký hiệu là 0mn× _ Tập hợp các phần tử sắp thứ tự {aa11,,, 22 ann} của ma trận AM∈ n () được gọi là đường chéo chính của ma trận A. _ Ma trận vuơng A cấp n ( nghĩa là số dịng bằng số cột bằng n) mà cĩ các hệ số nằm ngồi đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận chéo. Nếu tập hợp được sắp thứ tự các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận A là {aa12,,, an} . Ta ký hiệu Adiagaa= {,11 22 , ann } _ Nếu A là ma trận chéo cấp n cĩ các phần tử trên đường chéo chính bằng được gọi là ma trận đơn vị cấp n, Ký hiệu là In . _ Cho AM∈ mn× ( ) ma trận chuyển vị của A ký hiệu là T AcM=∈()ij n× m () . với caij= ji với mọi i, j 3.2 phép tốn trên ma trận. 5' Nêu và giải i) Phép cộng hai ma trận. Cho Aa= ()ij∈ M m× n () và quyết vấn đề Bb=∈()ij M m× n () ta định nghĩa AB±=( cij) ∈ M m× n () với cabij=± ij ij Ví dụ.
  29. ⎛⎞⎛⎞12− 1 210 AB==⎜⎟⎜⎟;; ⎝⎠⎝⎠03 1 324 ⎛⎞⎛33− 1 −−− 1 1 1 ⎞ 5' AB+=⎜⎟⎜; AB −= ⎟ ⎝⎠⎝35 5− 3 1− 3 ⎠ ii) Phép nhân vơ hướng. Cho Aa= ()∈ M () và α ∈ ij m× n ta định nghĩa phép nhân vơ hướng : α.()Ac= ij∈ M m× n () Ví dụ. ⎛⎞⎛⎞24−− 48 (2).−=⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−23 4 6 10' Nêu và giải iii) Phép nhân hai ma trận. Cho Aa=∈( ij) M m× n () và quyết vấn đề Bb=∈()ij M n× p () , khi đĩ phép nhân hai ma trận A và B ký hiệu là AB được định nghĩa: AB.()=∈ cij M m× p () cho bởi n cabij= ∑ ik kj. k=1 Ví dụ. 15' Nêu và giải ⎛⎞240 quyết vấn đề ⎛⎞123 4⎜⎟ ⎛⎞− 52137 ⎜⎟⎜⎟335 ⎜⎟ ABAB=−==⎜⎟023 1; ; ⎜⎟ 137 7 ⎜⎟⎜⎟111 ⎜⎟ ⎝⎠4 3 5 1⎜⎟ ⎝⎠ 18 32 26 ⎝⎠−426 Chú ý. Trong phép nhân ma trận, AB. khơng chắc bằng BA. Bài tập luyện tập. 105' Giảng viên a) Cho hướng dẫn ⎛⎞⎛⎞134 310 sinh viên giải ⎜⎟⎜⎟ AB=−⎜⎟⎜⎟245; = 521. ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠321 334 Tính: AB;;23;;; BA A+ B A B AB ; BA ; b) Bài tập trang 101, 102, 115 giáo trình • TỔNG KẾT BÀI:(5') _ Các tính chất của định thức _ Các phép tốn trên ma trận • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  30. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 7 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Ma trận bậc thang, hạng của ma trận, kiểm tra giữa kỳ • MỤC ĐÍCH: _ Nắm và thực hiện được các phép biến đổi sơ cấp _Tìm được hạng của ma trận. • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Phép biến đổi sơ cấp 15' Nêu và giải Cho ma trận AM∈ mn× ( ) , các phép biến đổi sau đây gọi là quyết vấn đề phép biến đổi sơ cấp trên dịng của A. i) Hốn vị hai dịng của ma trận A. ii) Nhân một dịng của ma trận A cho một số thực khác khơng. iii) Nhân một dịng cho một số sau đĩ cộng vào dịng khác. Ma trân A' nhận được qua các bước biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận tương đương với ma trận A. Ký hiệu AA~'. Ví dụ. 10' Nêu và giả quyết vấn đề ⎛⎞⎛⎞12 −− 20 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 0 4 ⎞ ⎜⎟⎜⎟dd↔=−=−+ d:2 d ⎜ ⎟ d : dd ⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠−−−−−2012 12 2 2 ⎝ 24 ⎠ 1 21 ⎝ 24 ⎠ II Hạng của ma trận 10' Nêu và giải Cho ma trận AM∈ mn× ( ) . Liệt kê tất cả các định thức con quyết vấn đề khác 0 của A. Trong tất cả các định thức con này cấp lớn nhất của chúng đựoc gọi là hạng ma trận. Ký hiệu là rA() Ví dụ 10' Nêu và giải ⎛⎞1234 quyết vấn đề ⎜⎟ A = ⎜⎟3451 ⎜⎟ ⎝⎠−−−−2468 Tất cảc các định thức con cấp 3 của A đều bằng 0, trong khi đĩ cĩ một định thức con cấp 2 khác 0. Do đĩ rA( ) = 2. III Ma trận bậc thang. 20' Nêu và giải Định nghĩa quyết vấn đề Cho ma trận AM∈ mn× ( ) ta định nghĩa i) Dịng thứ i của A được gọi là dịng 0 nếu tất cả các phần tử trên dịng đĩ đều bằng 0. Ví dụ ⎛⎞121− ⎜⎟ A = ⎜⎟000 ⎜⎟ ⎝⎠324 dịng thứ 2 của ma trận A là dịng 0. ii) A được gọi là ma trận bậc thang nếu sau khi loại bỏ các dịng 0 thì với mỗi dịng bất kỳ số phần tử 0 bên trái của nĩ phải lớn
  31. hơn số phần tử 0 bên trái của dịng đứng trước nĩ Ví dụ ⎛⎞⎛⎞123 023 ⎜⎟⎜⎟ AB=−⎜⎟⎜⎟015;005 = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠000 003 A là ma trận bậc thang trong khi đĩ B khơng là ma trận bậc thang Định lý. 20' Nêu và giải i) Mọi ma trận qua phép biến đổi sơ cấp đều trở thành ma trận quyết vấn đề bậc thang. ii) Cho AM∈ mn× () , gọi A' là ma trận bậc thang nhận được từ A qua các phép biến đổi sơ cấp. Khi đĩ số dịng khác 0 của A' bằng đúng rA( ). iii) Hạng của ma trận khơng thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp. Ví dụ ⎛⎞⎛⎞123 123 ⎜⎟⎜⎟ A=−⎜⎟⎜⎟246 − − pbdsc 001 ⇒ r ()2. A = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠1 2 2 000 II Kiểm tra giữa kỳ. Với các nội dung 45' Kiểm tra viết 1) Số phức 2) Bài tốn kinh tế. 3) Tích phân suy rộng. 4) Phương trình vi phân. II Bài tập luyện tập. Giáo trình với các mục tiêu sau 90' Hướng dẫn 1) Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về ma trận bậc thang. sinh viên, đối 2) Tìm hạng ma trận bằng hai phương pháp. thoại 3) Sửa đề kiểm tra • TỔNG KẾT BÀI:(5') _ Phép biến đổi sơ cấp _ Hai phương pháp tìm hạng ma trận • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN
  32. TỐN C: HỆ CAO ĐẲNG • GIÁO ÁN SỐ: 8 SỐ TIẾT: 5 • TÊN BÀI GIẢNG: Ma trận nghịch đảo, khơng gian véc tơ • MỤC ĐÍCH: _ Tìm được ma trận nghịch đảo bằng hai phương pháp. n _ Xác định được hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và cơ sở trong . • NỘI DUNG CHI TIẾT: TT Nội dung giảng dạy T.g Phương Pháp I Ma trận nghịch đảo 15' Nêu và giải Định nghĩa. Cho AM∈ n ( ) , ma trận A được gọi là ma trận quyết vấn đề khả nghịch nếu tồn tại ma trận()BM∈ n sao cho AB== BA In . Khi đĩ ta nĩi B là ma trận khả nghịch của ma trận A và hý hiệu: B = A−1 . Ví dụ. −1 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛25 3−− 5 10 25 3 5 ⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜=⇒ = ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝13−− 1 2 01 13 1 2 ⎠ Định lý về sự khả nghịch. Cho AM∈ n ( ) A khả nghịch ⇔ det(An )=⇔ rAn ( ) = . II Ma trận phụ trợ 15' Nêu và giải Định nghĩa . Cho AM∈ n ( ) ma trận phụ trợ của A ký hiệu là quyết vấn đề T ij+ adj() A=∈ ( cij ) M n () . trong đĩ cAijij =−(1) ( ) Ví dụ ⎛⎞10−− 1 ⎛ 1 11 ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ A=⇒=−−⎜⎟210 adj () A ⎜ 20 2 ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠−−11 1 ⎝ 3 1 1 ⎠ Định lý. Cho AM∈ n ( ) , khi đĩ A.() adj A== adj (). A A A In III Hai phương pháp tìm ma trận nghich đảo 15' Nêu và giải Phương pháp 1. Cho A là ma trận khả nghịch . Tìm ma trận phụ quyết vấn đề adj() A trợ adj() A , khi đĩ: A−1 = A Ví dụ. ⎛⎞⎛10−− 1 1 11 ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ i) A==−−=−⎜⎟⎜210;() adj A 20 2; ⎟ A 2 ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝−−11 1 3 1 1 ⎠
  33. ⎛⎞111− −1 1 ⎜⎟ A =−⎜⎟ −20 − 2. 2 ⎜⎟ ⎝⎠311− ⎛⎞ab−1 1 ⎛ d− c ⎞ ii) AA=⇒=⎜⎟ ⎜ ⎟. ⎝⎠cdad− bc ⎝− b a ⎠ ta cĩ thể coi ví dụ này như là một cơng thức. Phương pháp 2. 15' Nêu và giải quyết vấn đề Lập ()AIn pbdsc() I n A' khi đĩ A' là ma trận khả nghịch của ma trận A. Ví dụ. ⎛⎞⎛−⎞123100 100143412 ⎜⎟⎜⎟ A =−⎜⎟⎜⎟145010bdsc 01032 − − 32 2 ⎜⎟⎜⎟056001 001545432− ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞14− 34 12 −1 ⎜⎟ A =−⎜⎟32 − 32 2 ⎜⎟ ⎝⎠54 54− 32 II Khơng gian vectơ 15' Nêu và giải 2.1 Định nghĩa. Tập hợp V khác ∅ được gọi là khơng gian vectơ quyết vấn đề thực nếu trên V xác định phép tốn cộng trong và phép nhân ngồi với thỏa 8 tiên đề sau: ∀∈∀∈xyz , , V ;α , β ix)(++=++ y ) z x ( y z ) ii) x+=+ y y x iii)0∃∈ V , x + 0 = 0 + x = x iv),!'''0∀∈ x V ∃ x ∈ Vx + x = x + x = vx)(αβ )= ( αβ ) x vi)(αβ+=+ ) x α x β x vii)(ααα x+= y ) x + y viii)1. x= x . ký hiệu (V , ) Ví dụ 10' Đối thoại với i) Tập hợp các số phức là khơng gian vectơ thực với phép sinh viên cộng trên và phép nhân ngồi với ii) Tập hợp M mn× ( ) với phép cộng và phép nhân vơ hướng với số thực. n iii) Trên tập hợp =∈={()x12,,,xxxinni : , 1,} ta định nghĩa phép cộng trong và phép nhân ngồi như sau.
  34. n ∀∈∀∈(,aa12 , , ann ),(, bb 12 , , b ) ,α (,,,)(,,,)(aa12 ann+=+++ bb 12 b a 1 ba 12 , b 2 ,, a nn b ) αααα(,aa12 , , ann )= ( a 1 , a 2 , , a ) khi đĩ n là khơng gian vectơ thực và được gọi tắt là khơng gian n 2.2 Khơng gian con. Cho khơng gian vectơ (,V ) tập con WV⊆ 10' Nêu và giải được gọi là khơng gian con của V nếu W và hai phép tốn cảm quyết vấn đề sinh trên V là một khơng gian vectơ. Một cách tương đương W là khơng con của khơng gian vectơ (,V ) nếu WVW⊆≠∅, và ∀∈∀∈uv,, V α ta cĩ uvW+ ∈∈ ,α uW . Ví dụ Tập ( , ) là khơng gian con của ( , ) với phép cơng và phép nhân số thực. Chú ý: Trong chương trình ta chỉ xét khơng gian n III Cơ sở trong không gian n 3.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. 10’ n n giảng giải _ Cho không gian , tập con {u1,u2, ,um}⊆ được gọi m là độc lập tuyến tính nếu từ điều kiện ∑αi ui = 0 ta suy ra i=1 α1 = α2 = = αm = 0 (αi∈ ) n _ Tập con {}u1,u2, ,um ⊆ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính n Định lý. Cho β =⊆{}uu12,,, um . Lập 5’ ⎛ u ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ u ⎟ A = 2 ∈ M ()R . ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ um ⎠ _ β là độc lập tuyến tính ⇔ rA()= m _ β là phụ thuộc tuyến tính ⇔ rA()≠ m 3.2 Cơ sở 5’ giảng giải _ Cho không gian n , tập con β = {uu,,, u} ⊆ n được 12 m n gọi là một cơ sở của không gian nếu thỏa hai điều kiện sau: i) m = n. đối thoại 5’ ii) β độc lập tuyến tính. Nhận xét. n _ Với β = {}u1,u2, ,un ⊆ , lập ma trận dòng
  35. ⎛ u ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ u ⎟ A = 2 ∈ M ()R . ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ un ⎠ khi đó: β độc lập tuyến tính ⇔ det A ≠ 0 ⇔ r(A) = n _ Với ∀ i = 1,n, gọi ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . ,0) (1 ở vị trí thứ i) khi đó dễ thấy tập β0 = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở n n của , β0 được gọi là cơ sở chính tắc của . Ví dụ Cho 10’ Nêu và giải quyết vấn đề β =={}uu123(1,2,3); = (0,1,0); u = (0,1,4) ⎛⎞⎛⎞⎛⎞u 123 123 lập 1 Au==⎜⎟⎜⎟⎜⎟010~010 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟2 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠u3 014 004 rA()=⇒ 3 β là cơ sở Bài tập luyện tập. Bài tập sách giáo trình. 90' Hướng dẫn • TỔNG KẾT BÀI:(5') _ Hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo _ Cách xác định cơ sở. • RÚT KINH NGHIỆM: Ngày tháng năm 200 KHOA BỘ MƠN GIẢNG VIÊN