Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Không gian véc tơ - Nguyễn Văn Phong

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Không gian véc tơ - Nguyễn Văn Phong

1. KHÔNG GIAN VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 17
2. Nội dung 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 3 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 17
3. Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán + : V × V → V · : R × V → V (u, v) 7→ u + v (k, u) 7→ ku Với u, v, w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau: A1) u + v = v + u M1) α (β) = (αβ) u A2) (u + v) + w = u + (v + w) M2) α (u + v) = αu + αv A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u M3) (α + β) u = αu + βu A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0 M4)1 .u = u Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 17
4. Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4. Ví dụ.  a b   1) Cho V = M ( ) = |a, b, c, d ∈ với 2 R c d R hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận lập thành một không gian véc tơ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 17
5. Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4. Ví dụ. n 2) Cho V = R = {(x1, x2, , xn) |xi ∈ R}, với hai phép toán i) (x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) ii) k (x1, x2, , xn) = (kx1, kx2, , kxn) Cũng là một không gian véc tơ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 17
6. Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ. Khi đó, i) Với u1, u2, , un ∈ V và k1, k2, , kn ∈ R, ta gọi k1u1 + k2u2 + + knun Là một tổ hợp tuyến tính các véc tơ u1, u2, , un ii) Với v ∈ V , ta nói v là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1, u2, , un nếu ∃ k1, k2, , kn ∈ R, sao cho v = k1u1 + k2u2 + + knun Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 17
7. Không gian con Định nghĩa Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ và W ⊂ V , W 6= ∅. Khi đó, Nếu ∀u, v ∈ W và k ∈ R mà u + v, ku ∈ W thì ta nói W là không gian con của V , ký hiệu W 6 V 2 Ví dụ. Cho V = R = {(x1, x2) |x1, x2 ∈ R} và a) W1 = {(x1, 0) |x1 ∈ R} b) W2 = {(x1, 1) |x1 ∈ R} Thì W1 6 V và W2 không là không gian con của V . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 17
8. Không gian con Hệ quả Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất theo n ẩn số là một không gian con của Rn Ví dụ. Cho hệ phương trình  x + 2x + 4x − 3x = 0  1 2 3 4  3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0   3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0 Giải hệ trên ta nhận được tập nghiệm W = {(8m − 7n, −6m + 5n, m, n) /m, n ∈ R} = h(8, −6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1)i Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 17
9. Không gian con Định lý Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, , un} ⊂ V. Nếu W = {k1u1 + k2u2 + + knun/k1, k2, , kn ∈ R} thì W 6 V. Khi đó ta nói S sinh ra W , ký hiệu W = hSi Ví dụ. Cho W = {(x1 + x2, x1 − x2, x2) |x1, x2 ∈ R} Ta biểu diễn W dưới dạng W = {x1 (1, 1, 0) + x2 (1, −1, 1) |x1, x2 ∈ R} 3 Khi đó áp dụng kết quả trên, ta có W 6 R Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 17
10. Tập sinh Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, , un} ⊂ V. Khi đó hSi = V ⇔ ∀v ∈ V , ∃k1, k2, , kn ∈ R sao cho v = k1u1 + k2u2 + + knun Ví dụ. Cho V = R3, và a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} Các tập S1, S2, S3 có sinh ra V không ? Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 17
11. Độc lập tuyến tính Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, , un} ⊂ V. Khi đó, ta nói hệ S là độc lập tuyến tính Nếu ∀k1, k2, , kn ∈ R, k1u1 + k2u2 + + knun = 0 thì k1 = k2 = = kn = 0 Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S là phụ thuộc tuyến tính Ví dụ. Xét lại ví dụ trên, thì S1, S2, S3 là ĐLTT hay PTTT. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 17
12. Cơ sở của không gian véc tơ Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và B = {e1, e2, , en} ⊂ V. Ta nói B là một cơ sở của V nếu i) hBi = V, ii) B độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói V là hữu hạn chiều và số véc tơ độc lập tuyến là số chiều của V , ký hiệu dim V = n. Ví dụ. Chứng minh rằng B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} là một cơ sở của R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 17
13. Toạ độ của một véc tơ Định nghĩa Cho B = {e1, e2, , en} là một cơ sở của V . Khi đó, ∀v ∈ V , ∃x1, x2, , xn ∈ R : v = x1e1 + x2e2 + + xnen Ta gọi x1, x2, , xn là toạ độ v trong cơ sở B, ký hiệu   x1  x2 [v] =   B  .   .  xn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 17
14. Toạ độ của một véc tơ Ví dụ. Tìm toạ độ của v = (1, 2, 3) trong a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} 0 b) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 17
15. Ma trận chuyển cơ sở Định nghĩa 0 Cho B = {e1, e2, , en} và B = {f1, f2, , fn} là hai cơ sở của V . Ta định nghĩa ma trận A = ([f1]B, [f2]B, , [fn]B) 0 là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B , ký hiệu PB→B0 Ví dụ. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ từ B sang B0, với B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} 0 và B = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 17
16. Ma trận chuyển cơ sở Định lý Cho B và B0 là hai cơ sở của V . Khi đó với mọi v ∈ V, ta có i) [v]B = PB→B0 [v]B0 ii) [v]B0 = PB0→B[v]B −1 iii) PB0→B = (PB→B0 ) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 17
17. Hạng của hệ véc tơ Định nghĩa Cho V là một không gian véc tơ và S = {u1, u2, , un}. Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi là hạng của hệ véc tơ S. Ký hiệu dim W = r (S). Lưu ý: Để tìm hạng của một hệ véc tơ, ta lập ma trận  T  [u1]B T  [u2]  A =  B    T [un]B trong đó, B là cơ sở chính tắc. Khi đó, r (S) = r (A). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 17
18. Hạng của hệ véc tơ 3 Ví dụ. Cho hệ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ R . Tìm r (S), với u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8). Lập  1 3 0   1 3 0   1 3 0   0 2 4   0 2 4   0 2 4  A =   →   →    2 8 4   0 2 4   0 0 0  3 13 8 0 4 8 0 0 0 Vậy r (S) = 2, nghĩa là ta tìm được một không gian con 3 W = h(1, 3, 0), (0, 2, 4)i 6 R Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 17