›
›

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 17: Tích phân mặt loại 2

ppt 57 trang ngocly 2160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 17: Tích phân mặt loại 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_cao_cap_2_bai_17_tich_phan_mat_loai_2.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 17: Tích phân mặt loại 2

  1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
  2. PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S •L là đường cong trong S đi qua M. Tiếp tuyến của L tại M n gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M. •Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M.
  3. PHÁP TUYẾN MẶT CONG Giả sử L  S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) L Vt chỉ phương của tiếp tuyến tại M là : u= ( x ( t0 ), y ( y 0 ), z ( t 0 )) M S: F(x,y,z) = 0, ta có: FMxtx ()() 0+ FMyt y ()() 0 + FMzt z ()()0 0 = (xtytzt (),(),()0 0 0 ) ⊥ ( FMFMFMx (), y (), z ())
  4. (xtytzt (),(),()0 0 0 ) ⊥ ( FMFMFMx (), y (), z ()) (đúng với mọi đường cong trong S và qua M) n = ( Fx ( M ), F y ( M ), F z ( M )) và các vector tỷ lệ là pháp vector của S tại M Một ký hiệu khác: gradF() M = (FMFMx ( ), y ( ),FM z ( )) (gradient của F tại M)
  5. Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt cầu S: x2+ y 2 + z 2 = R 2 M(,,), x0 y 0 z 0 S n( M )= ( 2 x0 ,2 y 0 ,2 z 0 ) (và các vector tỷ lệ) n n OM(,,) x0 y 0 z 0
  6. Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt trụ S: x2+= y 2 R 2 M(,,), x0 y 0 z 0 S n( M )= ( 2 x00 ,2 y ,0) (và các vector tỷ lệ) M n OM = ( x00 , y ,0)
  7. Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt nón S: x2+= y 2 z 2 z = x22 + y M(,,), x0 y 0 z 0 S n( M )= ( 2 x0 ,2 y 0 , − 2 z 0 )
  8. nM() z0 M(,,) x0 y 0 z 0 M = ( x00 , y ,0) −z0 (,,)x0 y 0− z 0
  9. MẶT ĐỊNH HƯỚNG S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu cho pháp vector tại M S di chuyển dọc theo 1 đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm xuất phát vẫn không đổi chiều. Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi là mặt không định hướng (mặt 1 phía ). Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector hướng từ chân lên đầu. (Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)
  10. Mặt một phía
  11. Mặt hai phía
  12. Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong a/ Mặt cầu S: x2+ y 2 + z 2 = R 2 M(,,), x0 y 0 z 0 S n= (,,) x0 y 0 z 0 n pháp VT ngoài n=−(,,) x0 y 0 z 0 OM(,,) x0 y 0 z 0 pháp VT trong
  13. b/ Mặt trụ S: x2+= y 2 R 2 M(,,), x0 y 0 z 0 S n( M )= ( 2 x00 ,2 y ,0) PVT trong M n= ( x00 , y ,0) PVT ngoài
  14. c/ Mặt nón M(,,), x0 y 0 z 0 S z0 PVT trong n=−(,,) x0 y 0 z 0 PVT ngoài −z0
  15. Pháp vector đơn vị z n   y x n = (cos ,cos  ,cos  )
  16. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là n = (cos ,cos  ,cos  ) Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy = ( P , Q , R ). nds SS
  17. Pdydz++ Qdzdx Rdxdy S = (P cos + Q cos  + R cos  ) ds S
  18. VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu z= R2 − x 2 − y 2 , tính I= xdydz + ydzdx + zdxdy S Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là (,,)x y z n = R
  19. (,,)x y z I== ( PQRnds , , ). ( xyz , , ). ds SSR x2++ y 2 z 2 R2 = ds = ds = R ds R R S S S = 2 R3
  20. 2/ Cho S là của phần mp x+ y + z =1 bị chắn bởi các mặt tọa độ, lấy phía trước nhìn từ phía dương trục Oz, tính I= () x − y dydz + zdxdy S 111 n = ,, 333 111 hay n =− ,, 333
  21. Phía trên nhìn từ Oz+ thành phần thứ 3 của n phải không âm 111 n = ,, 333
  22. I= () x − y dydz + zdxdy S =− (x y ,0, z ). nds S 111 = −(x − y ,0, z ). , , ds 333 S 1 = −()x − y + z ds 3 S
  23. S: z = 1 – x – y , hc S= D: x = 0, y = 0, x + y = 1 Oxy 1 1 I= −() x − y + z ds 3 S 1 = −(x − y + 1 − x − y ) 3 dxdy 3 D 11−y 1 = −dy(1 − 2 y ) dx = − 6 00
  24. CÁCH TÍNH TP MẶT LOẠI 2 Vì pháp vector đơn vị thông thường rất phức tạp nên ta có thể dùng cách tính sau để thay thế: I= Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = I1 + I 2 + I 3 SSS
  25. Tính I3 = R(,,) x y z dxdy S  : góc hợp bởi Oz+ với n •Viết pt S dạng: z = z(x,y) (bắt buộc) •Tìm hình chiếu Dxy của S lên mp z = 0 (Oxy) ( bắt buộc)  I=+ R( x , yz ( x , y )) dxdy 2 3 Dxy  I=− R( x , yz ( x , y )) dxdy 2 3 Dxy
  26. Lưu ý Nếu  = /2 (S//Oz hoặc S chứa Oz) I3 = 0 Dấu + (−) nếu pháp vt hợp với chiều dương Oz một góc nhọn ( tù ) + : nếu S lấy phía trên nhìn từ Oz+ Hay – : nếu S lấy phía dưới nhìn từ Oz+ (áp dụng với I3)
  27. Pt của S: x = x(y, z) Tương tự: I : 1 Dyz = hc của S lên Oyz Góc của PVT so với Ox+ Pt của S: y = y(x, z) I : 2 Dzx = hc của S lên Ozx Góc của PVT so với Oy+ S // Ox (hoặc chứa Ox) I1 = 0 S // Oy (hoặc chứa Oy) I2 = 0 S // Oz (hoặc chứa Oz) I3 = 0
  28. VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu tính I= zdxdy S z I== I zdxdy n 3 S z= R2 − x 2 − y 2  2 2 2 2 hc S= Dxy : x + y R Oxy
  29. I= zdxdy = + R2 − x 2 − y 2 dxdy SDxy  2 2 R 2 D I= d R2 − r 2 rdr = R 3 xy 3 00
  30. 2/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu z= R2 − x 2 − y 2 tính I= xdydz S I = I 2 2 2 2 S = S1  S2 : x= R − y − z 2 2 2 hc S1,2 = Dyz : y + z R , z 0 Oyz Dyz Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp x = 0
  31. z n S2 n 1 , 2 S1 2 2 là góc của Ox+ với n y x
  32. I= xdydz = xdydz + xdydz SSS12Dyz =+− R2 − y 2 − z 2 dydz − R 2 − y 2 − z 2 dydz DDyz yz 2 1 2 2 R =22 R2 − y 2 − z 2 dydz = d R 2 − r 2 rdr Dyz 00
  33. 3/ Cho S là phía ngoài của mặt cầu 2 x2+ y 2 + z 2 = R 2 tính I= xz dxdy S 2 2 2 S = S1  S2 : z= R − x − y  ,  1 2 2 2 2 2 2 hc S1,2 = Dxy : x + y R Oxy Lưu ý: S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0
  34. I= xz2 dxdy = xz 2 dxdy + xz 2 dxdy SSS12 2 = + x( R2 − x 2 − y 2 ) dxdy Dxy 2 − x( − R2 − x 2 − y 2 ) dxdy Dxy = 0
  35. Lưu ý về tính đối xứng S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 • R(x, y, z) chẵn theo z : I3 = 0 • R(x, y, z) lẻ theo z: R( x , y , z ) dxdy= 2 R ( x , y , z ) dxdy SS1 Tương tự cho I1(xét P và mp x=0), I2(xét Q và mp y=0)
  36. 4/ Cho S là phía trên của phần mặt trụ z = y2 bị chắn bởi mặt trụ x2 + y2 = 1, tính I= ( x + y2 ) dydz + 2 z cos ydzdx + zdxdy S I = I1 + I2 + I3 • S chứa Ox I1 = 0 • S đối xứng qua mp y = 0, Q = 2z cosy chẵn theo y I2 = 0
  37. I== I3 zdxdy S =+ y2 dxdy Dxy Dxy
  38. ĐỊNH LÝ GAUSS - OSTROGRATXKI Cho  là miền đóng và bị chận trong R3, S là phía ngoài mặt biên của  (S là mặt cong kín). P, Q, R là các hàm liên tục trên . Tích phân mặt loại 2 Pdydz++ Qdzdx Rdxdy S PQR   = + + dxdydz x  y  z  Tích phân bội ba
  39. VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài mặt bao khối  : x2 + y2 z 1. Tính I= zy2 dydz +() y + y 2 dzdx + x 2 dxdy S GO− PQR   I= ++ dxdydz x  y  z  = (0 + 1 + 2y + 0) dxdydz 
  40. I=+ (1 2 y ) dxdydz : x2 + y2 z 1  2 1 1 =d dr(1 + 2 r sin ) rdz = 2 00r 2
  41. 2/ Cho S là phía ngoài phần mặt paraboloid z = x2 + y2 bị chắn bởi mp z = 1. Tính I= zy2 dydz +() y + y 2 dzdx + x 2 dxdy S S là mặt hở.
  42. Thêm S1 vào để tạo thành mặt kín n 1 S1 là phía trên phần mp z = 1 bị chắn trong paraboloid. Gọi  là vật thể được bao bởi S  S1.
  43. Áp dụng công thức G-O: zy22 dydz+() y + y dzdx + xdxdy SS 1 PQR   = + +dxdydz = x  y  z 2  (xem ví dụ trước) + = 2 SS1
  44. += S : z = 1, trong trụ x2+y2 =1 2 1 SS1 I = − zy2 dydz +() y + y 2 dzdx + x 2 dxdy 2 S1 = 0 = 0 (Vì S // Ox, Oy) 2 I = − x dxdy = 2 4 xy22+ 1
  45. 3/ Cho S là phía trong mặt bao khối  giới hạn bởi:z = 4 – y2 , x = 0, x = 4, z = 0. Tính: I= zxdydz + xdzdx + zydxdy S I=− ( Px + Q y + R z ) dxdydz  = − (z + 0 + y ) dxdydz  4 2 4−y 2 = − dx dy () z + y dz 0− 2 0
  46. CÔNG THỨC STOKES Cho đường cong C là biên của mặt định hướng S. C được gọi là định hướng dương theo S nếu khi đứng trên S(pháp tuyến hướng từ chân lên đầu) sẽ nhìn thấy C đi ngược chiều kim đồng hồ.
  47. C C S S
  48. CÔNG THỨC STOKES Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm riêng liên tục trên S, C là biên định hướng dương của S. Khi đó: Pdx++ Qdy Rdz Tích phân đường 2 C RQPRQP      = − dydz + − dzdx + − dxdy y  z  z  x  x  y S Tích phân mặt 2
  49. VÍ DỤ 1/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1 và trụ z = y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương Oz. Tính: I= ( x + y ) dx + (2 x22 − z ) dy + xy dz C
  50. Chọn S là phía trên mặt trụ z = y2 P = x + y Q = 2x2 – z R = xy2 RQPRQP      I= − dydz + − dzdx + − dxdy y  z  z  x  x  y S = (2xy + 1) dydz +( 0 − y2 ) dzdx +( 4 x − 1) dxdy S
  51. z = y2 bị chắn trong trụ x2+y2=1 I= (2 xy + 1) dydz − y2 dzdx +( 4 x − 1) dxdy S = 0 = 0 (Vì S chứa Ox) (tính đối xứng)
  52. I= I3 = (4 x − 1) dxdy S = + (4x − 1) dxdy = − 2 xy22+ 1
  53. 2/ Cho C là giao tuyến của trụ x2 + y2 = 1 và mặt phẳng x + z = 1 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ. Tính: I= ()()() y − z2 dx + z − x 2 dy + x − y 2 dz C
  54. I= ()()() y − z2 dx + z − x 2 dy + x − y 2 dz C Chọn S là phía dưới phần mặt phẳng x + z = 1, bị chắn bên trong trụ. RQ I=− dydz yz S PR +− dzdx zx QP +− dxdy xy I= ( −2 y − 1) dydz +( − 2 z − 1) dzdx +( − 2 x − 1) dxdy S
  55. I= ( −2 y − 1) dydz +( − 2 z − 1) dzdx +( − 2 x − 1) dxdy S Chuyển sang tp mặt loại 1 (1,0,1) S: x + z = 1, n =− 2 I= ( −2 y − 1, − 2 z − 1, − 2 x − 1) . nds S 2 =(y + x + 1) ds 2 S
  56. S: z = 1 – x , bị chắn trong trụ x2+y2=1 hc S= D:1 x22 + y Oxy 2 I=( y + x + 1) ds 2 S 2 =(y + x + 1) 1 + z 22 + z dxdy 2 xy D 2 =(x + y + 1) 2 dxdy = 2 2 D