Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Giới hạn và liên tục của hàm số một biến - Nguyễn Phương

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Giới hạn và liên tục của hàm số một biến - Nguyễn Phương

1. Chương 1: Giới hạn và liên tục của hàm số một biến Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Khái niệm về hàm số Khái niệm Một số tính chất của hàm số Các hàm số sơ cấp 2 Giới hạn của dãy số Khái niệm Cấp số cộng Cấp số nhân Giới hạn dãy số 3 Giới hạn hàm số Định nghĩa Các định lí về giới hạn 4 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa Ứng dụng vô cùng bé để tính giới hạn 5 Hàm số liên tục Khái niệm Tính chất 6 Ứng dụng trong kinh tế 2
3. Khái niệm về hàm số Khái niệm Định nghĩa Cho tập D R, D , φ. Hàm số f có miền xác định D là một quy tắc cho tương ứng mỗi số⊂ x D với một và chỉ một số thực y. ∈ Kí hiệu: f : D R x → y = f(x). D được gọi là7−→ miền xác định của hàm số f. Ví dụ Cho hàm số f(x) = x3 + x2. Tìm f(1), f( 1), f(a), f(a 1). − − Định nghĩa (Đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số f có miền xác định D là tập hợp (x, y) y = f(x), x D . { | ∈ } 3
4. Khái niệm về hàm số Khái niệm Định nghĩa (Hàm từng khúc) Hàm số f được gọi là hàm từng khúc khi hàm số này được viết thành biểu thức khác nhau trên miền xác định D. Ví dụ Hàm   2 x nếu x > 1, f(x) =  2x + 1 nếu x 6 1. là một hàm từng khúc. 4
5. Khái niệm về hàm số Khái niệm Ví dụ Một hãng cho thuê xe oto với giá 3 ngàn/1km nếu quãng đường chạy xe không quá 100km. Nếu quãng đường chậy xe vượt quá 100km thì ngoài số tiền phải trả cho 100km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và f(x) là phí thuê xe, ta có   3x nếu 0 6 x 6 100, f(x) =  300 + 1, 5x nếu x > 100. Ta thấy f(x) là một hàm từng khúc và x = 50 thì f(x) = 3.50 = 150 (ngàn), x = 150 thì f(x) = 300 + 1, 5.150 = 525 (ngàn). 5
6. Khái niệm về hàm số Khái niệm Định nghĩa (Hàm ẩn) Giả sử y là một hàm theo biến x mà ta chỉ biết giữa y và x liên hệ với nhau bởi phương trình F(x, y) = 0. Khi đó y được gọi là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Ví dụ Cho y là một hàm số theo biến x được xác định bởi xy2 2xy + 1 = 0 − thì y là một hàm ẩn theo biến x. 6
7. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Hàm số đơn điệu Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng I, Hàm số f(x) được goi là tăng (giảm) trong I nếu x1, x2 I sao cho ∀ ∈ x1 f(x2)). Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng I được gọi là hàm số đơn điệu trong I. Chú ý Hàm số f(x) được gọi là không tăng (giảm) trong khoảng I nếu x1, x2 I ∀ ∈ sao cho x1 f(x2)(f(x1) 6 f(x2)). Hàm số tăng (giảm) còn được gọi là hàm số đồng biến (nghịch biến). Hàm số chẳn (lẻ) Hàm số f(x) xác định trên tập đối xứng D Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẳn nếu f( x) = f(x). − Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu f( x) = f(x). − − 7
8. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T thỏa mãn x D thì x + T D và f(x + T) = f(x) (1). Số T dương∀ nhỏ∈ nhất thỏa mãn∈ đẳng thức (1) được gọi là chu kỳ của hàm f(x). Hàm bị chặn Hàm số f(x) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M(m) sao cho với mọi x D thì f(x) 6 M (f(x) > m). ∈ Hàm số f(x) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn. Hàm hằng Hàm số f(x) được gọi là hàm hằng nếu tồn tại C sao cho f(x) = C, x Ω. ∀ ∈ 8
9. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Hàm ngược Định nghĩa (Hàm ngược) Cho hàm số f(x) xác định trên miền D, I là hàm đồng nhất, tức là I(x) = x. Nếu tồn tại hàm g(x) sao cho f g = I; g f = I ◦ ◦ 1 thì g được gọi là hàm ngược của f. Kí hiệu: f− . Như vậy, 1 x = f− (y) y = f(x), x D. ⇐⇒ ∀ ∈ Ví dụ Tìm hàm ngược của hàm f(x) = (x 1)2, x > 1. Giải − Giả sử y = (x 1)2, x > 1, ta có y > 0. Do đó, − x 1 = √y hay x = √y 1. − − Vậy hàm ngược là x = √y 1. − 9
10. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Các hàm số sơ cấp Định nghĩa (Hàm hợp) Cho hàm f(x) xác định trên miền D, u(x) xác định trên D sao cho f(D) E. Khi đó, hàm hợp của hai hàm f và u là một hàm. Kí hiệu u f, với ⊂ ◦ u f(x) = u(f(x)). ◦ Ví dụ Viết hàm h(x) = (3x + 1)5 dưới dạng hàm hợp. Giải Đặt f(x) = 3x + 1; g(x) = x5. Khi đó, g f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)5. ◦ 10
11. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Định nghĩa (Hàm cơ bản) n n 1 x a Hàm đa thức (anx + an 1x − + + a0), hàm mũ (a ), hàm lũy thừa (x ), − hàm lượng giác (sin; cos; tan), hàm logarit (loga b), hàm lượng giác ngược (arcsin; arccos; arctan) là những hàm có bản. Các phép toán trên hàm số Định nghĩa Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên miền Ω R. Ta có các phép toán sau: ⊂ Tổng (hiệu) của f(x), g(x) là hàm f(x) + g(x)(f(x) g(x)). − f(x) ! Tích (thương) của f(x), g(x) là hàm f(x).g(x) , g(x) , 0 . g(x) 11
12. Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Định nghĩa (Hàm sơ cấp) Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán và phép lấy hàm hợp. Ví dụ Các hàm số 3 2 2x 3 x . log3 x y = ln(x2 1), y = − ; y = − x4 3x + 1 arccos(1 3x) − − là các hàm số sơ cấp. 12
13. Giới hạn của dãy số Khái niệm Định nghĩa Một hàm số x : N∗ R, n x(n) được gọi là một dãy số. Ký hiêu: (xn). → 7−→ Dãy (xn) được gọi là tăng (giảm) nếu xn xn+1). Một dãy tăng hay giảm còn được gọi là dãy đơn điệu. Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M > 0 sao cho xn 6 M ( tồn tại m sao cho xn > m), n N∗. ∀ ∈ Một dãy được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. 13
14. Giới hạn của dãy số Cấp số cộng Định nghĩa (Cấp số cộng) Dãy (xn) được gọi là một cấp số cộng với công sai d nếu thỏa xn = xn 1 + d. − Định lý Cho một cấp số cộng xn, ta có các tính chất sau: Số hạng tổng quát thứ n có dạng xn = x1 + (n 1)d. − Tổng n số hạng đầu tiên là n Sn = x1 + x2 + + xn = (x1 + xn). 2 14
15. Giới hạn của dãy số Cấp số nhân Định nghĩa (Cấp số nhân) Dãy (xn) được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu thỏa xn = q.xn 1. − Định lý Cho một dãy cấp số nhân (xn), khi đó ta có các tính chất sau: Số hạng tổng quát có công thức n 1 xn = x1.q − . Tổng n số hạng đầu tiên (1 qn) Sn = x1 + x2 + + xn = x1 − . 1 q − 15
16. Giới hạn của dãy số Giới hạn dãy số Định nghĩa (Giới hạn dãy số) Dãy (xn) hội tụ khi và chỉ khi tồn tại a R sao cho ∈  > 0, N thỏa n > N thì xn a < . ∀ ∃  ∀  | − | Kí hiệu: lim xn = a. 16
17. Giới hạn hàm số Định nghĩa Định nghĩa Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới x0 nếu mọi dãy (xn), xn x0 thì → lim f(xn) = L. Kí hiệu: lim f(x) = L. x x0 → Định nghĩa Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu  > 0, δ > 0 sao cho 0 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x mà 0 < x0 x < δ(0 < x x0 < δ) thì f(x) L < . − − Kí hiệu:| − lim| = L (giới hạn trái) và lim = L (giới hạn phải) + x x− x x → 0 → 0 17
18. Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Định lý Giới hạn lim f(x) = L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim f(x), lim f(x) và + x x0 x x− x x → → 0 → 0 lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = L x x0 x x+ x x0 → → 0 → Ví dụ x Tìm giới hạn của hàm số f(x) = | | khi x 0 x → Định lý Giới hạn của một hàm số nếu có là duy nhất. 18
19. Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Định lý Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì x a x a → → i) lim(f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x); x a x a x a → ± → ± → ii) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x); x a x a x a → → → lim f(x) f(x) x a iii) lim = → (nếu lim g(x) , 0) x a g(x) lim g(x) x a → x a → → Hệ quả Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì x a x a → → i) lim Cf(x) = C lim f(x); x a x a → →  k ii) lim(f(x))k = lim f(x) . x a x a → → 19
20. Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Ví dụ x3 + 3x2 1 √x 2 Tính các giới hạn sau: lim − ; lim − ; x 2x3 + x 5 x 4 x2 5x + 4 →∞ − → − Định lý Giả sử các hàm số f(u), u = u(x) thỏa mãn các điều kiện: lim u(x) = b và lim f(u) = L. x a u b → → Tồn tại số δ > 0 sao cho với x (a δ, a + δ) và x , a. ∈ − thì u(x) , b. Khi đó lim f (u(x)) = L. x a → Định lý (Định lí kẹp) Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) và f(x) h(x) g(x) trên một lân cận của a; ≤ ≤ lim f(x) = lim g(x) = L. x a x a → → Khi đó, lim h(x) = L. x a → 20
21. Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Mệnh đề sin x i) lim = 1; x 0 x →  1 x ii) lim 1 + = e. x x →∞ Ví dụ Tính các giới hạn sau: sin(5x 10) a) lim − ; x 2 sin(2 x) → − x + 32x b) lim ; x x + 1 →∞ 1 c) lim(1 + sin 2x) x . x 0 → 21
22. Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số α(x), Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x a nếu lim α(x) = 0. x a → → Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x a nếu lim α(x) = . x a → → | | ∞ Tổng hai VCB là một VCB; Tích một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB; Tích hai VCL là một VCL; Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL; 1 Nếu α(x) , 0 là một VCB thì là một VCL, ngược lại, nếu α(x) , 0 α(x) 1 là một VCL thì là một VCB. α(x) 22
23. Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x a. Xét giới hạn → α(x) lim = L. x a (x) → β i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x). Kí hiêu: α(x) = 0(β(x)); ii) Nếu L = 1, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương. Kí hiệu: α(x) β(x); ∼ iii) Nếu L , 0, L hữu hạn, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Kí hiệu: α(x) = O(β(x)). 23
24. Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Ứng dụng vô cùng bé để tính giới hạn Định lý Giả sử khi x a, ta có các cặp VCB tương đương α(x) α∗(x); β(x) β∗(x) → α (x) ∼ ∼ và nếu tồn tại lim ∗ thì x a (x) → β∗ α(x) α∗(x) lim = lim . x a (x) x a (x) → β → β∗ Chú ý Khi x 0, ta có các cặp VCB tương đương sau: sin x →x; tan x x arctan x x arcsin∼ x x ln(1 +∼x) x ax 1 ∼x ln a x ∼ a ∼ − ∼ e 1 x;(1 + x) 1 + ax, (a , 0). − ∼ ∼ 24
25. Hàm số liên tục Khái niệm Định nghĩa Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu i)f (x) xác định tại điểm x0 ii) lim f(x) = f(x0). x x0 → Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 có nghĩa là: Khi biến số x dần đến x0 thì giá trị của hàm số tại x cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm x0. Định nghĩa Hàm số y = f(x) liên tục trái (liên tục phải) tại x0 nếu i)f (x) xác định tại điểm x0 ! ii) lim f(x) = f(x0) lim f(x) = f(x0) . + x x− x x → 0 → 0 25
26. Hàm số liên tục Khái niệm Định lý Nếu f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục bên trái và f liên tục bên phải tại x0, tức là lim f(x) = lim f(x) = f(x0) + x x− x x → 0 → 0 Định lý Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) chứa x0. Các mệnh đề sau tương đương 1) f liên tục tại x0 2)  > 0, δ > 0 sao cho 0 < x x0 < δ = f(x) f(x0) <  ∀ ∃ − ⇒ | − | 3) Mọi dãy xn (a, b) sao cho xn x0 = f(xn) f(x0) { } ∈ −→ ⇒ −→ 26
27. Hàm số liên tục Khái niệm Định nghĩa Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 thì ta nói hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0. Khi đó, x0 được gọi là điểm gián đoạn của f. Tính chất Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục tại x0. Khi đó tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) của 2 hàm số liên tục tại x0 Định nghĩa Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x (a, b). ∈ Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. 27
28. Hàm số liên tục Khái niệm Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại điểm x = 0. x 0 Giải. Ta có 1 1 lim = + , lim = , + x 0 x ∞ x 0− x −∞ → → Vậy x0 = 0 là điểm gián đoạn. Ví dụ  π  ax + 1 nếu x  ≤ 2 Tìm a, b để hàm số sau liên tục f(x) =  π  sin x + b nếu x >  2 Giải. Ta có π lim (sin x + b) = 1 + b, lim (ax + 1) = a + 1 + x π/2 x π/2− 2 → → Hàm số f liên tục khi và chỉ khi π π lim f(x) = lim f(x) 1 + b = a + 1 b = a + x π/2 x π/2− ⇐⇒ 2 ⇐⇒ 2 → → 28
29. Hàm số liên tục Khái niệm Ví dụ Tìm a, b để hàm số sau liên tục   (x 1)3 nếu x 0  − ≤ f(x) =  ax + b nếu 0 < x < 1   √x nếu x 1 ≥ Giải. Ta có lim (x 1)3 = 1, lim √x = 1 + x 0− − − x 1 → → lim (ax + b) = b, lim (ax + b) = a + b x 0+ x 1 → → − f(0) = 1, f(1) = 1 − Hàm số f liên tục khi và chỉ khi ( ( b = 1 b = 1 − − a + b = 1 ⇐⇒ a = 2 29
30. Hàm số liên tục Tính chất Định lý Hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì bị chặn trên đoạn [a, b], có nghĩa là m, M sao cho m f(x) M, x [a, b] ∃ ≤ ≤ ∀ ∈ Hệ quả Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a) = m, f(b) = M thì c [m, M] tồn tại x0 [a, b] sao cho f(x0) = c ∀ ∈ ∈ 30
31. Ứng dụng trong kinh tế Người ta thường dùng các chữ cái viết hoa từ tiếng Anh để kí hiệu các biến kinh tế. Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu π, Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản (vốn) L Labour Lao động, nhân công FC Fix Cost Định phí, Chi phí cố định VC Variable Cost Biến phí, Chi phí biến đổi Một số hàm trong sản xuất, kinh doanh: Hàm sản xuất : Q=f(K,L) Hàm doanh thu : TR = P.Q Hàm chi phí : TC=f(Q) Hàm lợi nhuận : π = TR - TC 31