›
›

Bài giảng Toán cao cấp A3 - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Đoàn Vương Nguyên

pdf 19 trang ngocly 1660
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp A3 - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Đoàn Vương Nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_a3_chuong_1_ham_so_nhieu_bien_so_doan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp A3 - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Đoàn Vương Nguyên

  1. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH TỐN CAO C P A 3 ðI H C Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Tốn cao c p A3 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM . 2. Ngân hàng câu h i Tốn cao c p – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP.HCM . 3. Gi i tích hàm nhi u bi n (Tốn 3) – ð Cơng Khanh (ch biên) – NXB ðHQG TP. HCM . 4. Gi i tích hàm nhi u bi n (Tốn 4) – ð Cơng Khanh (ch biên) – NXB ðHQG TP. HCM . 5. Phép tính Vi tích phân (t p 2) – Phan Qu c Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Gi i tích hàm nhi u bi n – Nguy n ðình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c. 7. Tích phân hàm nhi u bi n – Phan V ăn H p, Lê ðình Th nh – NXB KH và K thu t. 8. Bài t p Gi i tích (t p 2) – Nguy n Th y Thanh – NXB Giáo d c. Ch ươ ng 1. HÀM S NHI U BI N S §1. KHÁI NI M C Ơ B N 1.1. ðnh ngh ĩa • Cho D ⊂ ℝ2 . T ươ ng ng f: D → ℝ , (,)xy֏ z= fxy (,) duy nh t, đưc g i là hàm s 2 bi n x và y. • T p D đưc g i là MX ð c a hàm s và fD()=∈={ zℝ zfxy (,),(,) ∀ xy ∈ D } là mi n giá tr . Hình a Hình b 2 – N u M(x, y) thì D là t p h p đim M trong ℝ2 sao cho – N u M(x, y) thì D là t p h p đim M trong ℝ sao cho f(M) cĩ ngh ĩa, th ưng là t p liên thơng. (T p liên thơng D f(M) cĩ ngh ĩa, th ưng là mi n liên thơng (n u M, N thu c là t n t i đưng cong n i 2 đim b t k ỳ trong D n m hồn mi n D mà t n t i 1 đưng n i M v i N n m hồn tồn tồn trong D). trong D thì D là liên thơng-Hình a)). – Tr tr ưng h p D = ℝ2 , D th ưng đưc gi i h n b i 1 VD 1. đưng cong kín ∂D (biên) ho c khơng. Mi n liên thơng D Hàm s z = f(x, y) = x 3y + 2xy 2 – 1 xác đnh trên ℝ2 . là đơ n liên n u D đưc gi i h n b i 1 đưng cong kín (Hình VD 2. Hàm s zfxy=(,) =−− 4 xy2 2 cĩ MX ð là hình a); đa liên n u đưc gi i h n b i nhi u đưng cong kín r i nhau t ng đơi m t (Hình b). trịn đĩng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. – D là mi n đĩng n u M∈∂ D⇒ M∈ D , mi n m = = −−2 2 nu M∈∂ D⇒ M∉ D . VD 3. Hàm s zfxy( , ) ln(4 xy ) cĩ MX ð là Chú ý hình trịn m tâm O(0; 0), bán kính R = 2. • Khi cho hàm s f(x, y) mà khơng nĩi gì thêm thì ta hi u MX ð D là t p t t c (x, y) sao cho f(x, y) cĩ ngh ĩa. VD 4. Hàm s zfxy=( , ) = ln(2 xy +− 3) cĩ MX ð là n a • Hàm s n bi n f(x 1, x 2, , x n) đưc đ nh ngh ĩa t ươ ng t . mp m biên d: 2x + y – 3 khơng ch a O(0; 0). 1.2. Gi i h n c a hàm s hai bi n – Hàm s liên t c Nh n xét 2 → • Dãy đim M n(x n; y n) d n đ n đim M 0(x 0; y 0) trong ℝ , • N u khi Mn M 0 trên 2 đưng khác nhau mà dãy → → → +∞ ký hi u Mn M 0 hay (;)xyn n (;) xy0 0 , khi n {f(x , y )} cĩ hai gi i h n khác nhau thì ∃ limf ( M ) . n n → M M 0 () = −+−=2 2 nu limdMMn ,0 lim ( xx n 0 ) ( yy n 0 ) 0 . n→∞ n →∞ 2x2 y− 3 x − 1 VD 5. Cho f( x , y ) = , tính limf ( x , y ) . • Cho hàm s f(x, y) xác đ nh trong mi n D (cĩ th khơng xy 2 + 3 (x , y )→ (1, − 1) ch a M ), ta nĩi L là gi i h n c a f(x, y) khi đim M(x, y) 0 dn đ n M 0 n u m i dãy đim M n (M n khác M 0) thu c D = = xy dn đ n M 0 thì limfxy (n , n ) L . VD 6. Cho f( x , y ) , tính limf ( x , y ) . n→∞ x2+ y 2 (x , y )→ (0,0) Ký hi u: limfxy ( , )= lim fM ( ) = L . → → (,)xyxy (0 , 0 ) MM 0 3xy • Hàm s f(x, y) liên t c trong D n u liên t c t i m i đim VD 7. Cho hàm s f( x , y ) = . x2+ y 2 M thu c D. Hàm s f(x, y) liên t c trong mi n đĩng gi i n i D thì đt giá tr l n nh t và nh nh t trong D. Chng t limf ( x , y ) khơng t n t i. (x , y )→ (0,0) VD 8. Xét tính liên t c c a hàm s : • Hàm s f(x, y) xác đnh trong D ch a M , ta nĩi f(x, y)  xy 0  , (x , y )≠ (0,0) liên t c t i M n u t n t i limf ( x , y ) và f( x , y ) = x2+ y 2 . 0 →  (,)xy ( xy0 , 0 )  0, (x , y )= (0,0) limfxy ( , )= fxy ( , ) .  → 0 0 (,)xy ( xy0 , 0 ) Trang 1
  2. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH §2. ðO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ðo hàm riêng • T ươ ng t ta cĩ đ o hàm riêng theo y t i (x 0, y 0) là: a) ðo hàm riêng c p 1 fxy(, + ∆ y ) − fxy (,) / = 00 00 fy ( x0 , y 0 ) lim . ∆y → 0 ∆y • Cho hàm s f(x, y) xác đ nh trên D ch a M (x , y ). N u 0 0 0 VD 1. Tính các đo hàm riêng c a z = x 4 – 3x 3y2 + 2y 3 – hàm s 1 bi n f(x, y ) (y là h ng s ) cĩ đ o hàm t i x = x 0 0 0 3xy t i (–1; 2). thì ta g i đ o hàm đĩ là đo hàm riêng theo bi n x c a f(x, VD 2. Tính các đo hàm riêng c a f(x, y) = x y (x > 0). y) t i (x 0, y 0). ∂ x / f VD 3. Tính các đo hàm riêng c a z = cos t i (π ; 4) . Ký hi u: fx ( x0 , y 0 ) hay fx ( x0 , y 0 ) hay (x0 , y 0 ) . y ∂x + ∆ − • V i hàm n bi n ta cĩ đ nh ngh ĩa t ươ ng t . / fx(0 xy , 0) fxy (,) 00 = x2 y Vy fx ( x0 , y 0 ) lim . = ∆x → 0 ∆x VD 4. Tính các đo hàm riêng c a fxyz( , , ) e sin z . b) ðo hàm riêng c p cao VD 5. Tính các đo hàm riêng c p hai c a 3y 23 4 • Các hàm s f x, f y cĩ các đo hàm riêng (f x)x, (f y)y, (f x)y, z= xe + xy − y t i (− 1; 1) . (f y)x đưc g i là các đo hàm riêng c p hai c a f. 2 VD 6. Tính các đo hàm riêng c p hai c a f( xy , ) = xe x− y . ∂ ∂f  ∂ 2 f () ===// = Ký hi u: fx f xx f 2   , x x ∂x ∂ x  ∂ x 2 • Các đo hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và đo hàm ∂ ∂  ∂ 2 ===// f = f riêng c p cao h ơn đưc đ nh ngh ĩa t ươ ng t . ()fy f yy f 2   , y y ∂y ∂ y  ∂ y 2 ðnh lý (Schwarz) ∂ ∂f  ∂ 2 f ()f=== f f // = , xy xy xy ∂ ∂  ∂∂ y x  yx • N u hàm s f(x, y) cĩ các đ o hàm riêng f xy và f yx liên t c 2 ∂ ∂f  ∂ f trong mi n D thì f xy = f yx . () ===// = fy f yx f yx   . x ∂x ∂ y  ∂∂ xy 2.2. Vi phân • Hàm s f(x, y) kh vi trên mi n D n u f(x, y) kh vi t i a) Vi phân c p 1 mi (x, y) thu c D. • Cho hàm s f(x, y) xác đ nh trong D ⊂ ℝ2 và ∈ +∆ +∆ ∈ Nh n xét Mxy0( 0 , 0 ) D , Mx(0 xy , 0 y ) D . ∆ = +∆ +∆− Nu s gia fxy(,00 ) fx ( 0 xy , 0 y ) fxy (, 00 ) cĩ • N u f(x, y) kh vi t i M 0 thì f(x, y) liên t c t i M 0. th bi u di n d ưi d ng: • T ∆fxy(, ) =∆+∆+∆+∆ AxBy . . α x β y , ta suy ra: ∆fxy(, ) =∆+∆+∆+∆ AxBy . . α x β y , 0 0 0 0 fx(+∆ xy , ) − fxy (, ) =∆+∆ Ax . α x trong đĩ A, B là nh ng s khơng ph thu c ∆x, ∆ y và 0 0 00 + ∆ − fx(0 xy , 0) fxy (, 00 ) α, β → 0 khi (∆x , ∆ y ) → (0,0) , ta nĩi f kh vi t i M 0. ⇒ lim = A , ∆x → 0 ∆x • Bi u th c A.∆ x + B . ∆ y đưc g i là vi phân c p 1 (tồn fxy(, + ∆ y ) − fxy (, ) ph n) c a f(x, y) t i M (x , y ) ng v i ∆x, ∆ y . tươ ng t lim 00 00 = B . 0 0 0 ∆y → 0 ∆y Ký hi u df(x 0, y 0). =/ ∆+ / ∆ Vy dfxy(,00 ) fxyx (, 00 ). xfxy y (, 00 ). y hay b) Vi phân c p cao =/ + / . dfx(,00 y) fx (, x 00 ydx) f y (, x 00 ydy) Tng quát: • Vi phân c p 2: =/ + / ∈ 2 dfxy(, ) fx (, xydx ) f y (, xydy ) , (,) xy D . dfxy(, )= ddfxy( (, ) ) . VD 7. =f// (, xydx ) 2// + 2 f (, xydxdy ) + f // (, xydy ) 2 x2 xy y 2 Tính vi phân c p 1 c a z= x2 ex− y + xy 3 − y 5 t i (–1; 1). 2 − VD 8. Tính vi phân c p 1 c a f( x , y )= ex y sin( xy 2 ) . • Vi phân c p n: n n= n−1 = kn ( ) knk− dfxy(, ) d() dfxy (, ) Cfk n− k (,) xydxdy . ðnh lý ∑ n x y k =0 • N u hàm s f(x, y) cĩ các đ o hàm riêng liên t c t i M 0 trong mi n D ch a M 0 thì f(x, y) kh vi t i M 0. Trang 2
  3. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH VD 9. Tính vi phân c p 2 c a fxy(,)= xy23 + xy 2 − 3 xy 35 2.3. ðo hàm c a hàm s h p ti (2; –1). • Cho hàm s f(u, v), trong đĩ u = u(x) và v = v(x) là nh ng hàm s c a x. N u f(u, v) kh vi c a u, v và u(x), v(x) kh VD 10. Tính vi phân c p 2 c a fxy( , )= ln( xy 2 ) . df=/ du + / dv df du dv vi c a x thì fu. f v . . V i , , là các dx dx dx dx dx dx c) ng d ng vi phân c p 1 vào tính g n đúng giá tr hàm đo hàm tồn ph n theo x. s • N u hàm s f(x, y) kh vi c a x, y và y = y(x) là hàm s +∆ +∆ ≈ df=/ + / dy fx(0 xy , 0 y ) kh vi c a x thì fx f y . . . dx dx ≈ +/ ∆+ / ∆ fxy (00 , ) fxyx ( 00 , ). xfxy y ( 00 , ). y − dz VD 12. Cho zu=−+2 uv2 vue 2 , =x , v = sin x . Tính . 1,02 dx VD 11. Tính g n đúng arctg . df 0,97 VD 13. Cho fxy( , )= ln( xyy2 + 2 ), = sin 2 x . Tính . dx 2.4. ðo hàm c a hàm s n y VD 17. Cho ln x2+ y 2 = arctg . Tính y′ . • Cho hai bi n x, y th a ph ươ ng trình F(x, y) = 0 (*). x Nu y = y(x) là hàm s xác đ nh trong 1 kho ng nào đĩ sao • Cho hàm s n hai bi n z = f(x, y) xác đ nh b i cho khi th y(x) vào (*) ta đưc đ ng nh t th c thì y = y(x) F(x, y, z)) = 0, v i F/ (, xyz ,)≠ 0 ta cĩ: là hàm s n xác đnh b i (*). z •/ + / / = Fx (,,) xyz F z (,,).(,) xyzz x xy 0 VD 14. F/ (, xyz , ) Xác đnh hàm s n y(x) trong ph ươ ng trình x 2 + y 2 – 4 = 0. ⇒ z/ (, x y )= − x , x F/ (, xyz , ) • ðo hàm hai v (*) theo x, ta đưc: z / •/ + / / = F( x , y ) Fy (,,) xyz F z (,,).(,) xyzz y xy 0 FxyFxyy//(,)+ (,).′ = 0⇒ y ′ = −x , Fxy/ (,)0 ≠ . x y F/ ( x , y ) y F/ (, xyz , ) y ⇒ z/ (, x y )= − y . x y ′ y / VD 15. Cho xy− e + e = 0 . Tính y . Fz (, xyz , ) 3+ 2 + + 4 = ′ = + + / / VD 16. Cho y( x 1) yx 0 . Tính y . VD 18. Cho xyzcos( x y z ) . Tính zx, z y . §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S 3.1. ðnh ngh ĩa /= / = Chú ý. ðim M 0 th a fxyx(,)00 fxy y (,)0 00 đưc g i • Hàm s z = f(x, y) đ t c c tr ( đ a ph ươ ng) t i đim là đim d ng , cĩ th khơng là đim c c tr c a z. M (x ; y ) n u v i m i đim M(x, y) khá g n nh ưng khác 0 0 0 b) ðiu ki n đ . Gi s f(x, y) cĩ đim d ng là M và cĩ M thì hi u f(M) – f(M ) cĩ d u khơng đ i. 0 0 0 đo hàm riêng c p hai t i lân c n đim M . • N u f(M) – f(M ) > 0 thì f(M ) là cc ti u và M là đim 0 0 0 0 =// = // = // ðt Afxy2 (,), Bfxy (,), Cfxy2 (,) . cc ti u; f(M) – f(M 0) 0 và A > 0 thì hàm s đ t c c ti u t i đim M 0; 2 3.2. ðnh lý AC – B > 0 và A 0 và A > 0 thì k t lu n hàm s đ t c c ti u t i Tìm c c tr c a hàm s z = x + y – 3xy – 2. M0 và c c ti u là f(M 0); + N u ∆ > 0 và A < 0 thì k t lu n hàm s đ t c c đ i t i VD 5. Tìm c c tr c a hàm s z = 3x 2y + y 3 – 3x 2 – 3y 2 + 2. M0 và c c đ i là f(M 0). Trang 3
  4. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 3.4. C c tr cĩ điu ki n VD 7. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = xy v i điu ki n: • Cho hàm s z = f(x, y) xác đ nh trên lân c n c a đim 2x + 3y – 5 = 0. M0(x 0; y 0) thu c đưng cong ϕ(,x y )= 0 . N u t i đim M 0 Ph ươ ng pháp nhân t Lagrange hàm s f(x, y) đ t c c tr thì ta nĩi đim M 0 là đim c c tr ca f(x, y) v i điu ki n ϕ(,x y )= 0 . Bưc 1 . L p hàm Lagrange: • ð tìm c c tr cĩ điu ki n c a hàm s f(x, y) ta dùng Lxy(,,)λ= fxy (,) + λϕ (,) xy , λ là nhân t Lagrange. ph ươ ng pháp kh ho c nhân t Lagrange . Ph ươ ng pháp kh Bưc 2. Gi i h : T ph ươ ng trình ϕ(,x y )= 0 , ta rút x ho c y th vào f(x, y) L' = 0  x và tìm c c tr hàm 1 bi n. L' = 0 ⇒ đim d ng M (x ; y ) ng v i λ . 2 2  y 0 0 0 0 VD 6. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = x + y – xy + x + y  ' = vi điu ki n x + y + 3 = 0. Lλ 0 Bưc 3 Bưc 4 T điu ki n (1) và (2), ta cĩ: 2 2 > Tính dLx(0 , y 0 ) + N u dLx(0 , y 0 ) 0 thì hàm s đ t c c ti u t i M 0. =L''(,) x ydx 2 + 2(,) L '' x ydxdy + L '' (,) x ydy 2 . + N u dLx2 ( , y ) 0 (2). Tìm c c tr c a hàm s z = xy v i điu ki n + = 1. 8 2 Ch ươ ng 2. TÍCH PHÂN B I §1. TÍCH PHÂN B I HAI (KÉP) 1.1. Bài tốn m đ u (th tích kh i tr cong) • Xét hàm s z = f(x, y) liên t c, khơng âm và m t m t tr cĩ các đưng sinh song song Oz, đáy là mi n ph ng đĩng D trong Oxy. ð tính th tích kh i tr , ta chia mi n D thành n ph n khơng dm lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2, ,n). Nh ư vy kh i tr cong đưc chia thành n kh i tr nh . Trong mi ∆S ta l y đim M (x ; y ) tùy ý. Ta cĩ th tích ∆V c a i i i i i kh i tr nh là: ={ ∈∆ } ∆ n Gi di max dABAB ( , ) , S i là đưng kính c a Si . ∆ ≈ ∆ ≈ ∆ Vi fxyS(;) iii⇒ V∑ fxyS (,) iii . n i=1 = ∆ Ta cĩ: Vlim∑ fxyS (i , i ) i . maxd → 0 i i=1 1.2. ðnh ngh ĩa Ký hi u I= ∫∫ f( x , y ) dS . D • Cho hàm s z = f(x, y) xác đ nh trên mi n đĩng gi i n i, ðnh lý. Hàm f(x, y) liên t c trong mi n b ch n, đĩng D thì đo đưc D trong Oxy. Chia mi n D m t cách tùy ý thành n kh tích trong D. ∆ ph n khơng d m lên nhau, di n tích m i ph n là Si • N u t n t i tích phân, ta nĩi f(x, y) kh tích; f(x, y) là hàm ∆ (i=1,2, ,n). Trong m i Si ta l y đim M i(x i; y i) tùy ý. Khi dưi d u tích phân; x, y là các bi n tích phân. n đĩ I= fxyS( , ) ∆ đưc g i là tng tích phân c a hàm n∑ iii Chú ý i=1 ∆ 1) N u chia D b i các đưng th ng song song v i các tr c f(x, y) trên D ( ng v i phân ho ch Si và các đim M i). ∆ ∆ ∆ n ta đ thì Si = xi. yi hay dS = dxdy. = ∆ Nu Ilim∑ fxyS (i , i ) i tn t i h u h n, khơng ph = = maxd → 0 Vy I fxydS(,) fxydxdy (,) . i i=1 ∫∫ ∫∫ D D ∆ đ thu c vào phân ho ch Si và cách ch n i m M i thì s I = đưc g i là tích phân b i hai c a f(x, y) trên D. 2) ∫∫f(,) xydxdy ∫∫ f (,) uvdudv . D D Trang 4
  5. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH Nh n xét 1) ∫∫ dxdy= S( D ) (di n tích mi n D). • Tính ch t 3 D 2) f(x, y) > 0, liên t c ∀(x, y) ∈ D thì ∫∫ f( x , y ) dxdy là th D tích hình tr cĩ các đưng sinh song song v i Oz, hai đáy gi i h n b i các m t z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính ch t c a tích phân kép • Tính ch t 1. Hàm s f(x, y) liên t c trên D thì f(x, y) kh tích trên D. Nu chia D thành D 1 và D 2 b i đưng cong cĩ di n tích • Tính ch t 2. Tính tuy n tính: bng 0 thì: [(,)f xy± gxy (,)] dxdy = fdxdy ± gdxdy ; ∫∫ ∫∫ ∫∫ f(,) xydxdy= f (,) xydxdy + f (,) xydxdy . D D D ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D ∫∫kf(,) xydxdy= k ∫∫ f (,) xydxdy , k ∈ ℝ . 1 2 D D = ≤≤ ≤≤ 1.4. Ph ươ ng pháp tính tích phân kép Tươ ng t , D{(,):() xyxy1 xxycyd 2 (), } thì: 1.4.1. ðư a v tích phân l p dxy2 ()  d xy2 () ðnh lý ( Fubini ) fxydxdy(,)= fxydxdy (,)  = dy fxydx (,) . ∫∫ ∫ ∫  ∫ ∫ • Gi s tích phân ∫∫ f( x , y ) dxdy t n t i, v i D cxy1 ()  cxy1 () D = ≤≤ ≤≤ D{(,): xyaxbyx , 1() yyx 2 ()} và v i m i Chú ý y2 ( x ) 1) Khi D={(,): xyaxbcyd ≤≤≤≤= , }[,][,] ab × cd ∈ x[ a , b ] c đ nh ∫ f( x , y ) dy t n t i thì: (hình ch nh t) thì: y1 ( x ) bd db = = byx2 ()  b yx2 () ∫∫f(,) xydxdy ∫ dx ∫ f (,) xydy ∫ dy ∫ f (,) xydx fxydxdy(,)= fxydydx (,)  = dx fxydy (,) D ac ca ∫∫ ∫ ∫  ∫ ∫ . D ayx1 ()  ayx1 () (hốn v c n). = ≤≤ ≤≤ 2) D{(,): xyaxbyx , 1() yyx 2 ()} và VD 1. Xác đnh c n tích phân l p khi tính tích phân f(x, y) = u(x).v(y) thì: I= ∫∫ f( x , y ) dxdy trong các tr ưng h p sau: b y2 ( x ) D ∫∫f(,) xydxdy= ∫ uxdx () ∫ vydy () . D a yx1 ( ) 1) D gi i h n b i các đưng y = 0, y = x và x = a. 2) D gi i h n b i các đưng y = 0, y = x 2 và x + y = 2. = ≤≤ ≤≤ Tươ ng t , D{(,):() xyxy1 xxycyd 2 (), } thì: d x2 ( y ) VD 2. ∫∫f(,) xydxdy= ∫ vydy () ∫ uxdx () . Tính I= ∫∫ xydxdy v i D gi i h n b i y = x – 4, y 2 = 2x. D c xy1 ( ) D 3) N u D là mi n ph c t p thì ta chia D ra thành nh ng mi n đơn gi n nh ư trên. ði th t l y tích phân d x2 ( y ) y( x ) b 2 I= dy f( x , y ) dx I= ∫ dx ∫ f( x , y ) dy ∫ ∫ c x1 ( y ) a y1 ( x ) Trang 5
  6. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 1.4.2. Ph ươ ng pháp đi bi n VD 3. ði th t l y tích phân trong các tích phân sau: a) Cơng th c đ i bi n t ng quát ðnh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s cĩ các 1 2 −x2 đo hàm riêng liên t c trên mi n đĩng gi i n i Duv trong mp = = = = ∈ 1) I∫ dx ∫ fxydy( , ) ; Ouv. G i Dxy {(,): xy x xuvy (,), yuv (,),(,) uv D uv } . 0 x Nu hàm f(x, y) kh tích trên D xy và đnh th c Jacobi 3 2 y = ∂(x , y ) 2) I∫ dy ∫ fxydx( , ) ; J = ≠ 0 trong D uv thì: 1 0 ∂(u , v ) 1x 3 1 = 3) I=∫∫ dx fxydy(,) + ∫∫ dx fxydy (,) . ∫∫f(,) xydxdy ∫∫ f ((,),(,)) xuv yuv Jdudv . D D 0x2 1 x 2 xy uv 9 9 ∂(,)x y x/ x / 1 1 Trong đĩ: J = =u v = = . ∂ / / ∂(u , v ) / / (u , v ) yu y v ux u y ∂(x , y ) / / vx v y VD 4. Cho mi n D uv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) b) ði bi n trong t a đ c c trong mpOuv. G i mi n D xy là nh c a D uv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u 2–v). 1 Tính tích phân c a hàm f( x , y ) = trên mi n 1+ 4x + 4 y bi n hình D xy = g(D uv ). VD 5. Cho mi n D uv là ph n t ư hình trịn đơ n v trong mpOuv. G i mi n D xy là nh c a D uv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u 2–v2, 2uv). Tính tích phân c a hàm 1 f( x , y ) = trên mi n bi n hình D xy . x2+ y 2 x= r cos ϕ • ði bi n:  , v i r ≥0, 0 ≤ϕ ≤ 2 π VD 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i b n Parapol:  y= r sin ϕ 2 2 2 2 y = x , y = 2x , x = y và x = 3y . hoc −π ≤ ϕ ≤ π . Khi đĩ, mi n D xy tr thành: Chú ý =ϕϕϕϕ ≤≤ ϕ ≤≤ ϕ Drrϕ {(,):1 21 , rrr() 2 ()} / / 1) ði bi n trong t a đ c c th ưng dùng khi biên D là ∂(x , y ) x xϕ cosϕ− r sin ϕ và J ===r = r . đưng trịn ho c elip. ∂ ϕ / / ϕ ϕ (r , ) yr y ϕ sinr cos x= r cos ϕ 2) ð tìm r(ϕ ), r ( ϕ ) ta thay  vào ph ươ ng 1 2  y= r sin ϕ Vy ta cĩ: trình c a biên D. 3) N u c c O n m trong D và m i tia t O c t biên D khơng ∫∫f( x , y ) dxdy= ∫∫ f ( r cosϕ , r sin ϕ ) rdrd ϕ quá 1 đim thì: 2π r(ϕ ) Dxy D r ϕ ϕ ϕ . fr( cosϕϕϕϕ , r sin ) rdrd= d fr ( cos ϕϕ , r sin ) rdr . 2r 2 ( ) ∫∫ ∫ ∫ = ∫dϕ ∫ fr ( cos ϕ , r sin ϕ ) rdr Drϕ 0 0 ϕ ϕ 1r 1 ( ) 2 2 4) N u c c O n m trên biên D thì: VD 9. Tính tích phân I= e−(x + y ) dxdy v i D là hình trịn ϕ ϕ ∫∫ 2 r( ) ϕϕϕϕ= ϕϕ D ∫∫fr( cos , r sin ) rdrd ∫ d ∫ fr ( cos , r sin ) rdr . 2+ 2 ≤ 2 ϕ x y R . Drϕ 1 0 5) N u biên D là elip thì đt: VD 10. Tính di n tích mi n D gi i h n b i: x= r a cos ϕ y = –x, xy22+=3 xy 22 +− 3 x và y ≥ 0 . =ϕ ≤≤ ϕ π ≤≤  ⇒ Drϕ {(,):0 r 2, 0 r 1} .  y= r b sin ϕ Cơng th c Walliss VD 7. Bi u di n tích phân ∫∫ f( x , y ) dxdy trong t a đ c c. − π π  (n 1)!! lẻ D  , n 2 2 2 2  n!! Bi t mi n D là mi n ph ng n m ngồi (C 1): (x – 1) + y = 1 sinnxdx= cos n xdx =  . và n m trong (C ): (x – 2) 2 + y 2 = 4. ∫ ∫ π (n − 1)!! 2 0 0  . , n chẵn x2 y 2  2n !! VD 8. Tính di n tích hình ellip: + ≤ 1. a2 b 2 Trang 6
  7. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH MT S M T B C HAI TRONG KHƠNG GIAN Oxyz • Trong khơng gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các 2 2 2 x+ y − z = đim M(x; y; z) cĩ t a đ th a ph ươ ng trình: 5) 2 2 2 0 (nĩn eliptic); a b c Ax 2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy 2 + 2Eyz + Fz 2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz x2 y 2 + L = 0. 6) + = 2z (parabolit eliptic); Trong đĩ A, B, C, D, E, F khơng đng th i b ng 0. a2 b 2 • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y 2 2 2 2 2 7) − = 2z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 1) x+ y + z = R (m t c u); a2 b 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 2) + + = 1 (m t elipxoit); 8) + = 1 (m t tr eliptic); a2 b 2 c 2 a2 b 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 3) + − = 1 (hyperboloit 1 t ng); 9) − = 1 (m t tr hyperbolic); a2 b 2 c 2 a2 b 2 2 x2 y 2 z 2 10) y= 2 px (m t tr parabolic). 4) + − =− 1 (hyperboloit 2 t ng); a2 b 2 c 2 Trang 7
  8. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH §2. TÍCH PHÂN B I BA 2.1. Bài tốn m đ u (kh i l ưng v t th ) 2.2. ðnh ngh ĩa • Gi s ta c n tính kh i l ưng c a v t th V khơng đ ng • Cho hàm s f(x, y, z) xác đ nh trong mi n đo đưc V c a ch t, bi t m t đ (kh i l ưng riêng) t i P(x, y, z) là khơng gian Oxyz. Chia mi n V m t cách tùy ý thành n ph n ρ= ρ = ρ ()P (,,) xyz . Ta chia V tùy ý thành n ph n khơng khơng d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2, ,n). ∆ dm lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2, ,n). Trong Trong m i Vi ta l y P i(x i; yi; z i) tùy ý và l p t ng tích phân ∆ ∆ n mi Vi ta l y đim P i(x i; y i; z i) và đưng kính c a Vi là = ∆ In:∑ fxyz (,,) iiii V . di. Kh i l ưng V x p x : i=1 n n ≈ρ ∆= ρ ∆ n m∑() PVii ∑ (,,) xyzV iiii . = ∆ Nu Ilim∑ fxyzV (iii , , ) i tn t i h u h n, khơng i=1 i = 1 maxd → 0 i i=1 n ρ ∆ ph thu c vào cách chia V và cách ch n đim P i thì s th c Nu t n t i lim∑ (xiii , yz , ) V i thì đĩ là kh i l ưng m maxd → 0 i i=1 I đưc g i là tích phân b i ba c a f(x, y, z) trên V. ca v t th V. Ký hi u I= ∫∫∫ fxyzdV(, , ) . V ðnh lý. Hàm f(x, y, z) liên t c trong mi n b ch n, đĩng V 3) Tích phân b i ba cĩ các tính ch t nh ư tích phân kép. thì kh tích trong V. • N u t n t i tích phân, ta nĩi f(x, y, z) kh tích; f(x, y, z) là 2.3. Ph ươ ng pháp tính tích phân b i ba hàm d ưi d u tích phân; x, y, z là các bi n tích phân. 2.3.1. ðư a v tích phân l p Nh n xét a) Gi s mi n V cĩ gi i h n trên b i m t z = z 2(x, y), gi i 1) N u chia V b i các đưng th ng song song v i các tr c hn d ưi b i z = z 1(x, y), gi i h n xung quanh b i m t tr cĩ đưng sinh song song v i tr c Oz. G i D là hình chi u ta đ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. = = ca V trên mpOxy. Vy I∫∫∫ fxyzdV(,,) ∫∫∫ fxyzdxdydz (,,) . Khi đĩ: V V z2 ( x , y )  2) N u f(, x yz ,)≥ 0 trên V thì I= f(, xyzdxdydz , ) là fxyzdxdydz(,,)=  fxyzdzdxdy (,,)  ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫  V V Dzxy1 ( , )  kh i l ưng v t th V, v i kh i l ưng riêng v t ch t chi m . z2 ( x , y ) th tích V là f(x, y, z). = ∫∫dxdy ∫ f ( x , y , z ) dz Nu f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V. D zxy1 ( , ) = ≤≤ ≤≤ y( x , z ) • N u D{(,): xyaxbyx , 1() yyx 2 ()} thì: 2  yx() zxy (,) f(,,) xyzdxdydz=  f (,,) xyzdy  dxdz b 2 2 ∫∫∫ ∫∫ ∫  = V Dyxz1 ( , )  ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz ∫ dx ∫ dy ∫ f (,,) xyzdz . . y( x , z ) V ayxzxy1() 1 (,) 2 = ≤≤ ≤≤ = dxdz f ( xyzdy , , ) • N u D{(,):() xyxy1 xxycyd 2 (), } thì: ∫∫ ∫ D yxz1 ( , ) d xy2() zxy 2 (,) = • N u D={(,): xzaxb ≤≤ , z() x ≤≤ zzx ()} thì: ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz ∫ dy ∫ dx ∫ f (,,) xyzdz . 1 2 zx() yxz (,) V cxyzxy1() 1 (,) b 2 2 ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz= ∫ dx ∫ dz ∫ f (,,) xyzdy . b) G i D là hình chi u c a V trên mpOxz. V azxyxz1() 1 (,) = ≤≤ ≤≤ Gi s mi n V cĩ gi i h n (theo chi u ng ưc v i tia Oy) • N u D{(,): xzxz1 () xxz 2 (), e zf } thì: bi hai m t y = y 2(x, z) và m t y = y 1(x, z), gi i h n xung f xz2() yxz 2 (,) quanh b i m t tr cĩ đưng sinh song song Oy. ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz= ∫ dz ∫ dx ∫ f (,,) xyzdy . Khi đĩ: V exzyxz1() 1 (,) Trang 8
  9. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH = ≤≤ ≤≤ c) G i D là hình chi u c a V trên mpOyz. • N u D{(,): yzyz1 () yyz 2 (), e zf } Gi s mi n V cĩ gi i h n (theo chi u ng ưc v i tia Ox) thì: bi hai m t x = x 2(y, z) và m t x = x 1(y, z), gi i h n xung f yz2() xyz 2 (,) quanh b i m t tr cĩ đưng sinh song song Ox. ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz= ∫ dz ∫ dy ∫ f (,,) xyzdx . Khi đĩ: V eyzxyz1() 1 (,) x2 ( y , z )  f(,,) x y z dxdydz=  f (,,) x y z dx  dydz ∫∫∫ ∫∫ ∫  V Dxyz1 ( , )  . ðc bi t x2 ( y , z ) D={(,,): xyzaxb ≤≤≤≤ , c yd , e ≤≤ zf } = dydz f ( xyzdx , , ) • N u ∫∫ ∫ = [,]ab × [, cd ] × [, ef ] D xyz1 ( , ) thì: • N u D={(,): yzcyd ≤≤ , z() y ≤≤ zzy ()} thì: 1 2 b d f d zy2() xyz 2 (,) f(,,) xyzdxdydz= dx dy f (,,) xyzdz . = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫f(,,) xyzdxdydz ∫ dy ∫ dz ∫ f (,,) xyzdx . V ace V czyxyz1() 1 (,) 2.3.2. ði bi n t ng quát VD 1. Tính tích phân I= 8 xyzdxdydz v i x= xuvw(,, ) x/ x / x / ∫∫∫  ∂(,x y , z ) u v w V • ðt  y= yuvw(,, ) và J= = yyy/ / / . V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. ∂(,,u v w ) u v w z= zuvw(,, ) z/ z / z /  u v w 1 1 2 Gi s các hàm x, y, z cĩ đo hàm riêng liên t c trong mi n VD 2. Tính tích phân l p I= dx dy(4 + z ) dz và d ng ∫ ∫ ∫ đĩng, gi i n i đo đưc V uvw trong khơng gian Ouvw và −1x2 0 J ≠ 0 thì: mi n l y tích phân V. ∫∫∫ f(, x y , z ) dxdydz V VD 3. Tính tích phân I= ydxdydz v i V gi i h n b i . ∫∫∫ = f((,, xuvw ), yuvw (,, ),(,, zuvw )). J . dudvdw V ∫∫∫ x + y + z – 1 = 0 và 3 m t ph ng t a đ . Vuvw VD 4. Tính tích phân I=( x + y + zdxdydz ) v i Ta cĩ: ∫∫∫ / / / V x xϕ x θ ∂(,x y , z ) r J= = yyyr/ / / = 2 sin θ . ∂ ϕ θ r ϕ θ V:−+++−+++−≤ xyz xyz xyz 2 . (,r , ) / / / zr zϕ z θ x2 y 2 z 2 VD 5. Tính th tích c a kh i elipxoit V: + + ≤ R 2 . Khi đĩ ta cĩ: a2 b 2 c 2 fxyzdxdydz(,,)= fr (cos,sin,) ϕ r ϕ zrdrddz ϕ . 2.3.3. ði bi n trong t a đ tr ∫∫∫ ∫∫∫ V V rϕ z x= r cos ϕ VD 6. Tính th tích kh i V gi i h n b i các m t  = ϕ ðt  y r sin , v i x2+ y 2 =4 − z , x2+ y 2 ≥ 2 và z = 0.  z= z VD 7. Tính tích phân I= z x2 + ydxdydz 2 v i V là r ≥0, 0 ≤ϕ ≤ 2 π ho c ∫∫∫ V −π ≤ ϕ ≤ π . mi n hình tr gi i h n b i: x2+ y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1. VD 8. Tính tích phân I=( x2 + y 2 + zdxdydz 2 ) v i V là Ta cĩ: ∫∫∫ / / / V xxxcosϕ− r sin ϕ 0 ∂ rϕ z 2+ 2 = 2 (,x y , z ) / / / mi n hình nĩn gi i h n b i các m t: x y z và z = 1. J== yyyϕ =sinϕ r cos ϕ 0 = r . ∂(,rϕ , z ) r z / / / zr zϕ z z 0 0 1 2.3.3. ði bi n trong t a đ c u x= r sinθ cos ϕ  Khi đĩ ta cĩ: ðt  y= r sinθ sin ϕ , v i f(, x y , z ) dxdydz  = θ ∫∫∫ z r cos V . r ≥0, 0 ≤≤ϕ 2 π , 0 ≤≤ θπ ho c = ∫∫∫ fr( sinθϕ cos , r sin θϕ sin , r cos θ ). r2 sin θϕθ . drdd −π ≤ ϕ ≤ π . Vrϕθ Trang 9
  10. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH §3. NG D NG C A TÍCH PHÂN B I 3.1. Di n tích, th tích 1 (xem nh n xét tích phân b i hai, ba). VD 9. Tính tích phân I= dxdydz v i V là ∫∫∫ 2 2 2 3.2. Giá tr trung bình c a hàm s trên mi n đĩng x+ y + z V • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y) trên mi n đĩng D là: mi n gi i h n b i các m t c u: 1 x2+ y 2 + z 2 = 1 và x2+ y 2 + z 2 = 4 . f= fxydxdy( , ) . S( D ) ∫∫ D VD 1. Tính giá tr trung bình c a f(x, y) = xcosxy trong 2 2 VD 10. Tính tích phân I=∫∫∫ ( x + y ) dxdydz v i V là hình ch nh t 0 ≤x ≤ π , 0≤y ≤ 1 . V • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y, z) trên mi n đĩng Ω mi n gi i h n b i: x2+ y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 . 1 là: f= fxyzdxdydz(, , ) . Ω ∫∫ V ( ) Ω VD 2. Tính giá tr trung bình c a f(x, y, z) = xyz trong hình lp ph ươ ng [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Kh i lưng 3.4. Momen t ĩnh • Cho m t b n ph ng chi m mi n D đĩng trong Oxy cĩ kh i ðnh ngh ĩa lưng riêng (m t đ kh i l ưng) t i đim M(x, y) thu c D là • Momen t ĩnh c a m t ch t đim cĩ kh i l ưng m đ t t i hàm ρ(x , y ) liên t c trên D. Kh i l ưng c a b n ph ng là: đim M(x, y) trong Oxy đ i v i tr c Ox, Oy theo th t là: M = my, M = mx. = ρ y=0 x=0 m∫∫ ( xydxdy , ) . • Momen t ĩnh c a m t ch t đim cĩ kh i l ưng m đ t t i D đim M(x, y, z) trong Oxyz đ i v i các m t ph ng t a đ • Cho m t v t th chi m mi n V đĩng trong Oxyz cĩ kh i Oxy, Oyz, Oxz theo th t là: lưng riêng t i đim M(x, y, z) thu c V là hàm ρ(,x y , z ) Mz=0 = mz, M x=0 = mx, M y=0 = my. liên t c trên V. Kh i l ưng c a v t th là: Cơng th c tính m= ρ(, xyzdxdydz , ) . • Momen t ĩnh c a b n ph ng chi m din tích D trong Oxy ∫∫∫ ρ V cĩ kh i l ưng riêng t i đim M(x, y) là hàm (x , y ) liên VD 3. Tính kh i l ưng b n ph ng chi m mi n D gi i h n tc trên D là: bi x2+ y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 . Bi t kh i l ưng riêng là =ρ = ρ My=0 ∫∫ y(,) xydxdyM , x = 0 ∫∫ x (,) xydxdy . hàm ρ(xy , ) = xy . D D 3.5. Tr ng tâm • Momen t ĩnh c a v t th chi m mi n V trong Oxyz cĩ kh i • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy cĩ kh i l ưng lưng riêng t i đim M(x, y, z) là hàm ρ(,x y , z ) liên t c riêng t i đim M(x, y) là hàm ρ(x , y ) liên t c trên D. Khi trên V là: đĩ, t a đ tr ng tâm G c a b n ph ng là: = ρ ρ Mz=0 ∫∫∫ z(,,) xyzdxdydz , ∫∫ x( x , y ) dxdy 1 V x=D = xxydxdyρ(,) , G ρ ∫∫ = ρ (x , y ) dxdy m D Mx=0 ∫∫∫ x (,,) x y z dxdydz , ∫∫ V D = ρ yρ( x , y ) dxdy My=0 ∫∫∫ y (,,) x y z dxdydz . ∫∫ D 1 V y= = yρ (,). x y dxdy G ρ m ∫∫ ∫∫ (x , y ) dxdy D D Khi b n ph ng đ ng ch t thì ρ(x , y ) là h ng s nên: Khi v t th đ ng ch t thì ρ(,x y , z ) là h ng s nên: =1 = 1 = 1 xG∫∫ xdxdy, y G ∫∫ ydxdy . xG ∫∫∫ xdxdydz , SD()D SD () D V V • Cho v t th chi m th tích V trong Oxyz cĩ kh i l ưng = 1 riêng t i đim M(x, y, z) là hàm ρ(,x y , z ) liên tc trên V. yG ∫∫∫ ydxdydz , . V V Khi đĩ, t a đ tr ng tâm G c a v t th là: 1 1 z= zdxdydz . x= xρ(,,) x y z dxdydz , G V ∫∫∫ G m ∫∫∫ V V VD 4. Tìm t a đ tr ng tâm hình ph ng D gi i h n b i 1 y= yρ (,,) x y z dxdydz , x≥0, y ≥ 0, xy +≤ 1 . Bi t ρ(,xy )= 2 x + y . G m ∫∫∫ V VD 5. Tìm t a đ tr ng tâm c a v t th đ ng ch t chi m th 2 2 2 = 1 ρ tích V gi i h n b i m t nĩn z= x + y , z ≥ 0 và m t c u zG z(,,) xyzdxdydz . ∫∫∫ 2 2 2 m V x+ y + z = 1. Trang 10
  11. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 3.4. Momen quán tính ðnh ngh ĩa Cơng th c tính • Momen quán tính c a m t ch t đim cĩ kh i l ưng m đ t ti đim M(x, y) đ i v i tr c Ox, Oy và g c t a đ O theo • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong mpOxy cĩ kh i th t là: lưng riêng t i đim M(x, y) là hàm ρ(x , y ) liên t c trên D. 2 2 2 2 Ix = my , I y = mx và I O = I x + I y = m(x + y ). Khi đĩ: • Momen quán tính c a m t ch t đim cĩ kh i l ưng m đ t I= y2ρ(,) xydxdy , ti đim M(x, y, z) đi v i tr c Ox, Oy, Oz và g c t a đ O x ∫∫ theo th t là: D 2 2 2 2 2 2 = 2ρ Ix = m(y + z ), I y = m(x + z ), I z = m(x + y ) Iy ∫∫ x(,) xydxdy , 2 2 2 D và IO = I x + I y + I z = m(x + y + z ). • Momen quán tính c a m t ch t đim cĩ kh i l ưng m đ t =()2 + 2 ρ IO ∫∫ x y(,) xydxdy . ti đim M(x, y, z) đ i v i các m t ph ng t a đ Oxy, Oyz, D Oxz th t là: 2 2 2 Iz=0 = mz , I x=0 = mx , I y=0 = my . • Cho v t th chi m mi n V trong Oxyz cĩ kh i l ưng riêng I= z2ρ(,,) xyzdxdydz , ρ z=0 ∫∫∫ ti đim M(x, y, z) là hàm (,x y , z ) liên t c trên V. Khi V đĩ: = 2ρ và Ix=0 x(,,) xyzdxdydz , 2 2 ∫∫∫ =( + ) ρ V Ix ∫∫∫ y z(,,) xyzdxdydz , V = 2ρ Iy=0 y(,,) xyzdxdydz . 2 2 ∫∫∫ =() + ρ V Iy ∫∫∫ x z(,,) xyzdxdydz , V 2 I=() x2 + y 2 ρ(,,) xyzdxdydz , VD 6. Tính I x, I y c a hình D gi i h n bi y = 1 – x, x = 0, z ∫∫∫ ρ = V y = 0. Bi t kh i l ưng riêng là (x , y ) y . 2 2 2 2 2 =() + + ρ VD 7. Tính I O c a hình trịn x+ y −2 Rx ≤ 0 . IO ∫∫∫ x y z(, xyzdxdydz , ) V Bi t ρ(xy , ) = x2 + y 2 . Ch ươ ng 3. TÍCH PHÂN ðƯNG – TÍCH PHÂN M T §1. TÍCH PHÂN ðƯNG LO I I n Gi i h n limfxy ( , ) ∆ s t n t i đưc g i là tích 1.1. ðnh ngh ĩa ∆ → ∑ i i i max s i 0 = i 1 phân đưng lo i 1 c a f(x, y) trên đưng cong L. • Gi s đưng cong L trong m t ph ng Oxy cĩ ph ươ ng trình tham s x= x( t ) , y= y( t ) v i a≤ t ≤ b và f(x, y) là Ký hi u là ∫ f( x , y ) ds . hàm s xác đ nh trên L. Chia L thành n cung khơng d m lên L Nh n xét nhau b i các đim chia ng v i att= < < < tb = . 0 1 n 1) Tích phân đưng lo i 1 cĩ t t c các tính ch t c a tích ∆ Gi đ dài cung th i là si . Trên cung th i l y đim phân xác đnh. n 2) Tích phân đưng lo i 1 khơng ph thu c vào chi u c a M( x , y ) . T ng I= fxys( , ) ∆ đưc g i là tng tích i i i n∑ iii = i=1 L: ∫fxyds(,) ∫ fxyds (,) . phân đưng (lo i 1) c a hàm f(x, y) trên đưng cong L. AB BA 1.2. Ph ươ ng pháp tính b) ðưng cong L trong Oxy cĩ ph ươ ng trình t ng quát a) ðưng cong L cĩ ph ươ ng trình tham s • N u L cĩ ph ươ ng trình y= y( x ) v i a≤ x ≤ b thì: • N u L cĩ ph ươ ng trình x= x( t ) , y= y( t ) v i a≤ t ≤ b b = + ()/ 2 thì: ∫fxyds(,) ∫ fxyx (,())1 yx dx . b L a =()()/2 + / 2 ∫fxyds(,) ∫ fxtyt ((),()) xt y t dt . L a • N u L cĩ ph ươ ng trình x= x( y ) v i a≤ y ≤ b thì: • N u L trong khơng gian cĩ ph ươ ng trình x= x( t ) , b =()/ 2 + y= y( t ) , z= z( t ) v i a≤ t ≤ b thì: ∫fxyds(,) ∫ fxyy ((),) xy 1 dy . L a b =()()()/2 + / 2 + / 2 ∫fxyzds(,,) ∫ fxtytzt ((),(),()) xt y t z t dt . L a Trang 11
  12. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH ðc bi t = α ≤ ≤ • N u L cĩ ph ươ ng trình y (h ng s ) v i a x b thì: VD 1. Tính ∫ zds v i L là đưng xo n c tr trịn xoay cĩ b L = α ∫fxyds(,) ∫ fx (,) dx . ph ươ ng trình x= acos t , y= asin t , z= bt , 0≤t ≤ 2 π . L a • N u L cĩ ph ươ ng trình x = α (h ng s ) v i a≤ y ≤ b thì: + b VD 2. Tính ∫ (x yds ) v i L là tam giác cĩ các đnh ∫f(,) x y ds= ∫ f (,)α y dy . L L a O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). c) ðưng cong L trong t a đ c c • N u L đưc cho trong t a đ c c r= r (ϕ ) v i α≤ ϕ ≤ β VD 3. Tính ∫ xyds v i L là ph n giao tuy n gi a m t thì ta xem ϕ là tham s . Khi đĩ, ph ươ ng trình c a L là L 2 2 2 x= r (ϕ )cos ϕ , y= r (ϕ )sin ϕ , α≤ ϕ ≤ β và: z=2 − x − 2 y và z= x n m trong gĩc ph n tám th β nh t t đim A(0; 1; 0) đ n B(1; 0; 1). =ϕϕϕϕ2 + / 2 ϕ ∫fxyds(,) ∫ fr (()cos ,()sin r ) r() rdϕ . L α 1.3. ng d ng Tr ng tâm G c a L là: 1) ð dài cung L là ds , v i f(x, y) = 1 ho c f(x, y, z) = 1. = 1 ρ = 1 ρ ∫ xG ∫ x(, xyzds , ) , yG ∫ y(, xyzds , ) , L m L m L 2) N u dây v t d n cĩ hình d ng L và hàm m t đ kh i = 1 ρ lưng ρ(x , y ) ph thu c vào đim M(x, y) trên L thì kh i zG ∫ z(, xyzds , ) . m L = ρ lưng c a dây v t d n là m∫ ( xyds , ) . VD 4. Tính đ dài cung trịn x2+ y 2 −2 x = 0 n m trong L Tr ng tâm G c a L là: 1 3  gĩc th nh t t A(2; 0) đ n B ;  . = 1 ρ = 1 ρ 2 2  xG ∫ x( x , y ) ds , yG ∫ y( x , y ) ds . m L m L VD 5. Cho m t dây thép d ng n a đưng trịn trong mpOyz 3) N u dây v t d n cĩ hình d ng L và hàm m t đ kh i vi ph ươ ng trình y2+ z 2 = 1 , z ≥ 0 . Bi t m t đ kh i l ưng ρ lưng (,x y , z ) ph thu c vào đim M(x, y, z) trên L thì ρ(,xyz ,)= 2 − z . kh i l ưng c a dây v t d n là m= ∫ ρ(, x y , z ) ds . Tìm kh i l ưng và tr ng tâm c a dây thép. L §2. TÍCH PHÂN ðƯNG LO I II 2.1. Bài tốn m đ u • Tính cơng sinh ra do l c F= F( M ) tác d ng lên ch t Khi đĩ, cơng W sinh ra: n n đim M(x, y) di chuy n d c theo đưng cong L. ≈ = W∑ Wi ∑ FMAA( iii ) −1 Nu L là đon th ng AB thì cơng sinh ra là = = i1 i 1 = = n W F. AB F AB cos( F , AB ) . =[]ξη ∆+ ξη ∆ ∑ P (ii , ) xQ i ( ii , ) y i . i=1 Chia L thành n cung nh b i các đim chia A0, A 1 , , A n . Vy Trên m i cung A A l y đim M (x , y ) tùy ý. Chi u n i−1 i i i i W=lim [] P (ξη , ) ∆+∆ xQ ( ξη , ) y . → ∑ ii i ii i F( M ) và A A lên tr c Ox, Oy ta đưc: max Ai−1 A i 0 i i−1 i i=1 =ξη + ξη =∆ +∆ FMP(i ) (,). ii iQ (,). ii j và AAii−1 xi i. yj i . . 2.2. ðnh ngh ĩa Ký hi u là ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) . • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác đnh trên đưng cong L. L Chia L thành n cung nh b i các đim chia A0, A 1 , , A n . Trên m i cung A A l y đim M (x , y ) tùy ý. G i Nh n xét i−1 i i i i =( ∆ ∆ ) AAii−1 x ii, y . T ng 1) Tích phân đưng lo i 2 cĩ t t c các tính ch t nh ư tích n phân xác đnh. =[]ξη ∆+ ξη ∆ In∑ P(,) iii xQ (,) iii y đưc g i là tng tích i=1 2) Tích phân đưng lo i 2 ph thu c vào chi u c a L vì khi phân đưng (lo i 2) c a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên đưng thay đi chi u thì AA=( ∆ x, ∆ y ) đi d u, do đĩ khi vi t cong L. ii−1 ii tích phân ta c n ghi rõ đim đ u và cu i: Gi i h n lim In t n t i đưc g i là tích phân đưng max A A →0 i−1 i ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) =− ∫ Pxydx (,) + Qxydy (,) . lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên đưng cong L. AB BA Trang 12
  13. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 3) T đ nh ngh ĩa t ng tích phân, ta cĩ th vi t: 2.3. Ph ươ ng pháp tính Pxydx(,)+ Qxydy (,) = Pxydx (,) + Qxydy (,) . a) ðưng cong L cĩ ph ươ ng trình tham s ∫ ∫ ∫ • N u L cĩ ph ươ ng trình = , = thì: AB AB AB x x( t ) y y( t ) ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) AB • N u L là đưng cong ph ng, kín l y theo chi u d ươ ng tB (ng ưc chi u kim đ ng h ) thì ta dùng ký hi u: =/ + /  ∫ Pxt ( (), yt ()) xt Qxt ( (), yt ()) y t  dt . ∫ Px(,) ydx+ Qxydy (,) . tA L • N u L trong khơng gian cĩ pt x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) : Pxyzdx(,,)+ Qxyzdy (,,) + Rxyzdz (,,) • ðnh ngh ĩa t ươ ng t : ∫ AB + + ∫ Pxyzdx(,,) Qxyzdy (,,) Rxyzdz (,,) . tB  /+ /  Pxt((), yt (),()) zt xt Qxt ((), yt (),()) zt y t L = ∫   dt .  + Rxt ( ( ), yt ( ), zt ( )) z /  tA  t  b) ðưng cong L trong Oxy cĩ ph ươ ng trình t ng quát ðc bi t • N u L cĩ ph ươ ng trình y = α (h ng s ) thì: = • N u L cĩ ph ươ ng trình y y( x ) thì: xB + = α xB ∫Pxydx(,) Qxydy (,) ∫ Px (,) dx . / + = +  x ∫Pdx Qdy ∫  Pxyx(, ()) Qxyx (, ()). yx  dx . AB A AB xA • N u L cĩ ph ươ ng trình x = α (h ng s ) thì: yB • N u L cĩ ph ươ ng trình x= x( y ) thì: ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) = ∫ Q (,)α ydy . AB y yB A + =/ +  2 2 ∫Pdx Qdy ∫  Pxy((),). yxy Qxy ((),) y  dy . x y − + = AB y VD 1. Tính ∫ xdy ydx v i L là elip 2 2 1 l y theo A a b L chi u d ươ ng. VD 2. Tính ∫ (x− ydx ) + ( x + ydy ) v i L là đưng n i 2.4. Cơng th c Green (liên h v i tích phân kép) L • Cho mi n D là mi n liên thơng, b ch n, cĩ biên L Jordan đim O(0; 0) v i A(1; 1) trong các tr ưng h p: kín tr ơn t ng khúc. Chi u d ươ ng c a L là chi u mà khi di a) đưng th ng y = x; chuy n ta th y mi n D n m v phía tay trái. b) đưng y = x 2; c) đưng y= x . VD 3. Tính ∫ dx− ydy + dz v i L là đưng xo n c tr trịn L • N u các hàm s P(x, y) và Q(x, y) cĩ các đo hàm riêng xoay cĩ ph ươ ng trình x= cos t , y= sin t , z= 2 t t đim cp 1 liên t c trên D thì: A(1; 0; 0) đn B(0; 1; π ) . ( /− / ) = + ∫∫Qx P y dxdy ∫ Pxydx(,) Qxydy (,) . D L H qu 2.5. ðiu ki n tích phân đưng khơng ph thu c đưng =1 − ly tích phân S( D ) ∫ xdy ydx . ðnh lý 2 ∂ D • Gi s các hàm s P(x, y), Q(x, y) và các đo hàm riêng cp 1 c a chúng liên t c trong mi n đơn liên D. Khi đĩ, b n x2 y 2 VD 4. Tính di n tích c a elip + = 1. mnh đ sau t ươ ng đươ ng: a2 b 2 /= / ∀ ∈ 1) Py Q x , ( xy , ) D . 2 2 − y 2) Px(,) ydx+ Qxydy (,) = 0 d c theo m i đưng kín L VD 5. Tính (xarctgx+ y )(2 dx ++ x xy + y e ) dx , v i L ∫ ∫ L L nm trong D. là x2+ y 2 −2 y = 0 . 3) Pxydx(,)+ Qxydy (,) , trong đĩ AB n m trong D, ch xdy− ydx ∫ VD 6. Tính trong các tr ưng h p: AB ∫ 2+ 2 L x y ph thu c vào hai mút A, B mà khơng ph thu c vào đưng a) L là đưng cong kín khơng bao g c O; ni A v i B. b) L là đưng cong kín bao g c O. 4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn ph n c a hàm u(x, y) nào đĩ trong mi n D. Trang 13
  14. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH §3. TÍCH PHÂN M T LO I I H qu 3.1. ðnh ngh ĩa • N u P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn ph n c a hàm • Cho hàm s f(x, y, z) xác đ nh trên m t S. Chia S m t cách /= / ∀ ∈ tùy ý thành n ph n khơng d m lên nhau, di n tích m i ph n u(x, y) nào đĩ trong mi n D, ngh ĩa là Py Q x , ( xy , ) D là ∆S (i=1,2, ,n). Trong m i ∆S ta l y đim M (,ξ η , ζ ) thì: i i i i i i n Pxydx(,)+ Qxydy (,) = uB () − uA () . =ξ η ζ ∆ ∫ tùy ý và l p t ng tích phân In∑ f(, iiii , ) S . AB i=1 n =ξ η ζ ∆ − + Nu Ilim∑ f (iii , , ) S i tn t i h u h n, khơng xy xy maxd (∆ S ) → 0 VD 7. Tính dx+ dy v i L là đưng tr ơn i i=1 ∫ xy22+ xy 22 + L ph thu c vào cách chia S và cách ch n đim M i thì s I tng khúc n i A(1; 1) và B(2; 2) n m trong mi n D khơng đưc g i là tích phân m t lo i 1 c a f(x, y, z) trên S. ch a g c t a đ O. Ký hi u I= ∫∫ fxyzdS(, , ) . S 3.2. Ph ươ ng pháp tính c) Chi u S lên Oyz a) Chi u S lên Oxy • N u S cĩ ph ươ ng trình x = x(y, z) và S cĩ hình chi u trên • N u S cĩ ph ươ ng trình z = z(x, y) và S cĩ hình chi u trên Oyz là D thì: Oxy là D thì: 2 2 = +/ + / fxyzdS(,,) fxyzyz ((,),,)1 ()() xy x z dydz . /2 / 2 ∫∫ ∫∫ = +()() + S D ∫∫fxyzdS(,,) ∫∫ fxyzxy (,,(,))1 zx z y dxdy . S D VD 1. Tính I= ∫∫ zdS , trong đĩ S là ph n m t nĩn b) Chi u S lên Oxz S • N u S cĩ ph ươ ng trình y = y(x, z) và S cĩ hình chi u trên z2= x 2 + y 2 v i 0≤z ≤ 1 . Oxz là D thì: 2 2 2 2 2 VD 2. Tính I= zx( + ydS ) , trong đĩ S là ph n m t fxyzdS(,,)= fxyxyz (,(,),)1 +()() y/ + y / dxdz . ∫∫ ∫∫ ∫∫ x z S S D cu x2+ y 2 + z 2 = 4 v i x ≥ 0 , y ≥ 0 . §4. TÍCH PHÂN M T LO I II 3.3. ng d ng c a tích phân m t lo i 1 4.1. ðnh ngh ĩa 1) Di n tích m t S là dS . 4.1.1. M t đ nh h ưng ∫∫ • M t tr ơn S đưc g i là mt đ nh h ưng n u pháp vector S 2) N u m t S cĩ hàm m t đ kh i l ưng là ρ(,x y , z ) thì đơ n v n xác đnh t i m i đim M thu c S (cĩ th tr biên kh i l ưng c a m t S là: S) bi n đ i liên t c khi M ch y trên S. M t đ nh h ưng cĩ m= ∫∫ ρ(, xyzdS , ) . hai phía, phía mà n u đ ng trên đĩ thì n h ưng t chân lên S đu là phía d ươ ng, ng ưc l i là phía âm. Khi đĩ, t a đ tr ng tâm G c a m t S là: 1 1 x= xxyzdSρ(,,), y = yxyzdS ρ (,,), G m∫∫G m ∫∫ S S = 1 ρ zG ∫∫ z(,,) xyzdS . m S • H ưng c a biên S là h ưng ng ưc chi u kim đ ng h khi ∆ nhìn t ng n c a n . Gi D i là hình chi u c a Si lên Oxy kèm theo d u dươ ng ∆ • Khi m t S khơng kín, ta g i phía trên là phía mà n l p v i nu Si cĩ đnh h ưng trên , ng ưc l i là d u âm . n tia Oz gĩc nh n, ng ưc là là phía d ưi. = ξ η ζ () Lp t ng tích phân In∑ f( iii , , ). SD i . Khi m t S kín ta g i phía trong và phía ngồi . i=1 • M t tr ơn t ng khúc S là đnh h ưng đưc n u hai ph n n Nu I= lim f (ξ , η , ζ ). SD() tn t i h u h n, tr ơn b t k ỳ c a S n i v i nhau b i đưng biên C cĩ đnh ∆ → ∑ iii i maxd ( S i ) 0 = hưng ng ưc nhau. i 1 khơng ph thu c vào cách chia S và cách ch n đim M thì i s I đưc g i là tích phân m t lo i 2 c a f(x, y, z) trên m t 4.1.2. ðnh ngh ĩa tích phân m t lo i 2 đnh h ưng S. • Cho hàm s f(x, y, z) xác đ nh trên m t đ nh h ưng, tr ơn tng khúc S. Chia S m t cách tùy ý thành n ph n khơng Ký hi u ∫∫ f(, x y , z ) dxdy . S dm lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2, ,n). Trong ∆ ξ η ζ mi Si ta l y đim M i(, i i , i ) tùy ý. Trang 14
  15. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH • T ươ ng t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta cĩ 4.2. Liên h v i tích phân m t lo i 1 ∫∫ f(, x y , z ) dzdx và ∫∫ f(, x y , z ) dydz . • Cho m t đ nh h ưng tr ơn t ng khúc S cĩ pháp vector đơn S S v n . G i α, β , γ l n l ưt là gĩc h p b i n v i các tia Ox, Oy, Oz. Khi đĩ: • K t h p c 3 d ng trên ta đưc tích phân m t lo i 2 c a + + các hàm P, Q, R trên S: ∫∫ Pdydz Qdzdx Rdxdy S Px(,,) yzdydz+ Q (,,) x yzdzdx + Rx (,,) yzdxdy ∫∫ . = (P cosα + Q cos β + R cos γ ) dS . S ∫∫ S Trong đĩ: Nh n xét 1 • N u đ i h ưng c a m t S thì tích phân đi d u. cosα = , • N u S kín thì tích phân cịn đưc ký hi u là: +/2 + / 2 1 ()()xy x z + + ∫∫ Pdydz Qdzdx Rdxdy . 1 1 S cosβ= , cos γ = . ++//22 ++ // 22 1()()yyxz 1 ()() zz xy 4.3. Ph ươ ng pháp tính a) N u S cĩ hình chi u đơn tr lên Oxy là mi n D xy và cĩ ph ươ ng trình z(x, y) thì: VD 1. Tính ∫∫ zdxdy , v i S là phía ngồi c a m t c u ∫∫Rxyzdxdy(,,)= ± ∫∫ Rxyzxy (,,(,)) dxdy . S 2 2 2 2 S D xy x+ y + z = R . (d u + hay – tùy thu c vào m t phía trên hay d ưi). b) N u S cĩ hình chi u đơn tr lên Oxz là mi n D và cĩ xz VD 2. Cho I=() y − zdydz +− () z xdzdx +− () x ydxdy , ph ươ ng trình y(x, z) thì: ∫∫ S ∫∫Qxyzdzdx(,,)= ± ∫∫ Qxyxz (,(,),) zdzdx . vi S là phía ngồi c a m t nĩn x2+ y 2 = z 2 , 0≤z ≤ 4 . S D xz Chuy n tích phân v lo i 1 r i tính I. c) N u S cĩ hình chi u đơn tr lên Oyz là mi n D yz và cĩ ph ươ ng trình x(y, z) thì: ∫∫Pxyzdydz(,,)= ± ∫∫ Pxyz ((,),,) yzdydz . S D yz 4.4. Cơng th c Stokes 4.5. Cơng th c Gauss – Ostrogradski • Cho S là m t đ nh h ưng tr ơn t ng khúc cĩ biên ∂S tr ơn tng khúc và khơng t c t. Gi s P, Q, R là các hàm cĩ đo • Cho V là m t kh i gi i n i v i biên S tr ơn t ng khúc. Gi hàm riêng liên t c trong mi n m ch a S. Khi đĩ: s P, Q, R là các hàm cĩ đo hàm riêng liên t c trong mi n Pdx+ Qdy + Rdz m ch a V. Khi đĩ: ∫ / / / ∂S Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy =( P ++ Q R) dxdydz . ∫∫ ∫∫∫ x y z =()()()// − +− // +− // S V ∫∫ Ryz Q dydz P zx R dzdx Q xy P dxdy . S (Tích phân ∫∫ ly theo phía ngồi c a S). (H ưng c a ∂S là h ưng d ươ ng phù h p v i h ưng c a S). S VD 3. Tính ydx+ zdy + xdz , v i C là đưng trịn giao ∫ 3+ 3 + 3 C VD 4. Tính ∫∫ x dydz y dzdx z dxdy , v i S là phía ca m t c u x2+ y 2 + z 2 = R 2 và m t ph ng x+ y + z = 0 S ngồi c a m t c u x2+ y 2 + z 2 = R 2 . và h ưng tích phân trên C là h ưng d ươ ng khi nhìn t ng n tia Oz. Ch ươ ng 5. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN – H PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C P I §1. KHÁI NI M C Ơ B N V PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN • M t ph ươ ng trình ch a đ o hàm ho c vi phân c a 1 ho c • D ng t ng quát c a ptvp c p n là F(x, y, y’, , y (n) ) = 0(*), vài hàm c n tìm đưc g i là ph ươ ng trình vi phân . nu t (*) ta gi i đưc theo y (n) thì ptvp cĩ d ng: y(n) = f(x, y, y’, , y (n–1) ). VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0; • Nghi m c a ptvp F(x, y, y’, , y (n) ) = 0 trên kho ng K là 1 dy dz hàm s y = φ(x) xác đnh trên K sao cho khi thay y = φ(x) 2y’’ – 3y’ + y = 0; +2 = 0 . dx dx vào ptvp ta đưc đ ng nh t th c trên K. Ph ươ ng trình vi phân cĩ vơ s nghi m sai khác h ng s C. • C p cao nh t c a đ o hàm ch a trong ph ươ ng trình vi • Gi i ph ươ ng trình vi phân là tìm t t c các nghi m c a nĩ. phân (ptvp) đưc g i là c p c a ptvp đĩ. • ð th c a nghi m y = φ(x) đưc g i là đưng cong tích dy phân. VD 2. y’ = 3x và = x2 là ptvp c p 1; dx x –x x –x VD 3. Các hàm s y = e , y = e , y = C e + C e đu là y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c p 2. 1 2 nghi m c a y’’ – y = 0. Trang 15
  16. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH §2. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 2.1. Khái ni m c ơ b n v ph ươ ng trình vi phân c p 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát , • Ph ươ ng trình vi phân c p 1 là ph ươ ng trình cĩ d ng t ng nghi m ch a h ng s C 0 c th là nghi m riêng và nghi m quát F(x, y, y’) = 0 (*), n u t (*) ta gi i đưc theo y’ thì khơng nh n đưc t nghi m t ng quát là nghi m k ỳ d . y’ = f(x, y). VD 2. • Gi i ptvp c p 1 v i điu ki n đ u y(x 0) = y 0 là đi tìm Tìm nghi m k ỳ d c a ptvp y′ =1 − y 2 . nghi m th a điu ki n đ u, hay tìm 1 đưng cong tích phân ca ptvp đi qua đim M 0(x 0; y 0). VD 3. 2 VD 1. Gi i ptvp y′ − x = 0 , bi t đưng cong tích phân đi Tìm ptvp c a h đưng cong y = Cx . qua đim M(2; 1). 2.2. M t s ph ươ ng trình vi phân c p 1 c ơ b n Chú ý + = 2.2.1. Ph ươ ng trình vi phân c p 1 cĩ bi n phân ly Ptvp f11()() xg ydx f 22 ()() xg ydy 0 (1’) đưc đưa v • Ptvp cĩ bi n phân ly cĩ d ng: dng (1) nh ư sau: f( xdx )+ g ( ydy ) (1) . + N u g 1(y 0) = 0 thì y = y 0 là nghi m c a (1). + N u f 2(x 0) = 0 thì x = x 0 là nghi m c a (1). ≠ ≠ Ph ươ ng pháp gi i + N u gy1() 0, fx 2 () 0 thì: • L y tích phân hai v (1) ta đưc nghi m t ng quát: fx() gy () (1')⇒ 1dx+ 2 dy = 0 (d ng (1)). f() xdx+ gydy () = C . ∫ ∫ fx2() gy 1 () VD 5. Gi i ptvp y′ = xy( y + 2) . xdx ydy 2 3 VD 4. Gi i ptvp + = 0 . VD 6. Gi i ptvp x( y+ 1) dx +− ( x 1)( y − 1) dy = 0 . 1+x2 1 + y 2 2 1 VD 7. Gi i ptvp xy’ + y = y th a điu ki n đ u y(1) = . 2 2.2.2. Ph ươ ng trình vi phân đng c p c p 1 Ph ươ ng pháp gi i y = ⇒ ′= + ′ • Hàm hai bi n f(x, y) đưc g i là đng c p b c n n u v i • ðt u yuxu . n x mi k > 0 thì f(kx, ky) = k f(x, y). Ch ng h n, các hàm du dx 2 ⇒ +′ = ϕ ⇒ = (ϕ − ≠ ≠ ) x− y x− xy • (2)u xu () u (u ) u 0 x f( x , y ) = , f( x , y ) = , f(x, y) = x 2 + xy là ϕ(u ) − u x 2x+ 3 y 2x+ 3 y (ptvp cĩ bi n phân ly). đng c p b c 0, 1, 2 tươ ng ng. 2− + 2 ′ = x xy y y  VD 9. Gi i ptvp y . • Cho hàm f(x, y) đng c p b c 0 hay f( x , y ) = ϕ   . xy x  + ′ x y Khi đĩ, ptvp đng c p cĩ d ng: VD 10. Gi i ptvp y = v i điu ki n đ u y(1) = 0. x− y y′ = fxy( , ) (2) . 2.2.3. Ph ươ ng trình vi phân tồn ph n Bưc 3. ðo hàm (3c) theo y: • Cho ptvp cĩ d ng: Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 (3) v i điu /=ϕ / + ′ uy y C( y ) (3d). /= / ki n Qx P y trong mi n ph ng D. N u t n t i hàm u(x, y) Bưc 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm đưc C(y), thay vào sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) đưc g i là (3c) ta đưc u(x, y). ptvp tồn ph n. • Nghi m t ng quát c a (3) là u(x, y) = C. VD 11. Cho phươ ng trình vi phân: (3y2++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 2 6 xy 3) dy = 0 (*). Ph ươ ng pháp gi i a) Ch ng t (*) là ptvp tồn ph n. / = / = Bưc 1. T (3) ta cĩ ux P (3a) và uy Q (3b). b) Gi i ptvi (*). Bưc 2. L y tích phân (3a) theo x: VD 12. Gi i ptvp (x+− y 1) dx + ( ey + xdy ) = 0 . uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3c), vi C(y) là hàm theo bi n y. Trang 16
  17. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 2.2.4. Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p 1 Chú ý • Ph ươ ng trình vi phân tuy n tính c p 1 cĩ d ng: y′ + pxy( ) = qx () (4) . • Khi tính các tích phân trên, ta ch n h ng s là 0. • Khi f(x) = 0 thì (4) đưc g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n • Ph ươ ng pháp bi n thiên h ng s là đi tìm nghi m t ng nh t. quát c a (4) d ưi d ng: −∫ p( x ) dx y= Cxe( ) . Ph ươ ng pháp gi i (ph ươ ng pháp bi n thiên h ng s Lagrange) VD 13. Gi i pt y′ − x2 y = 0 th a điu ki n x = 3, y = – e 9. = −∫ p( x ) dx Bưc 1. Tìm bi u th c A( x ) e . − ∫ p( x ) dx ′ + = sin x Bưc 2. Tìm bi u th c Bx()= ∫ qxe (). dx . VD 14. Gi i pt y ycos xe . =[ + ] Bưc 3. Nghi m t ng quát là y Ax() Bx () C . VD 15. Gi i pt yxy′(+2 ) = y . 2.2.5. Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli • Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli cĩ d ng: Chú ý α y′ + pxy() = qxy () (5) . • Ph ươ ng trình Bernoulli luơn cĩ nghi m k ỳ d là y = 0. • Khi α = 0 ho c α = 1 thì (5) là tuy n tính c p 1. VD 16. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là ph ươ ng trình cĩ bi n phân ly. y Gi i ptvp y′ + = xy 2 vi điu ki n x = 1, y = 1. Ph ươ ng pháp gi i (v i α khác 0 và 1) x + V i y ≠ 0 , bin đ i: ′ − = 3 2 ′ VD 17. Gi i ptvp y2 xy x y . y+ y = ′ −α+1 − α = (5)⇒ αpx () α qx ()⇒ yy pxy () qx () . y y 3 dy dy + ðt zy= 1−α⇒ z′=(1 − α ) yy ′ − α thì VD 18. Gi i ptvp xsin y+ 2 yx = . dx dx (5)⇒ z′+− (1α )() pxz =− (1 α )() qx (pt tuy n tính c p 1). §3. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C P 2 3.1. Các d ng ph ươ ng trình c ơ b n 3.1.2. Ph ươ ng trình khuy t y 3.1.1. Ph ươ ng trình khuy t y và y’ • D ng ph ươ ng trình: • D ng ph ươ ng trình: y′′= fxy( , ′ ) (2) . ′′ = y f( x ) (1) . Ph ươ ng pháp gi i Ph ươ ng pháp gi i • ðt z = y’ đ đưa (2) v ph ươ ng trình tuy n tính c p 1. • Ly tích phân hai v (1) hai l n. y′ VD 3. Gi i ptvp y′′ = x − . VD 1. Gi i ptvp y′′ = x 2 . x y′ VD 4. Gi i ptvp y′′ − − x( x −= 1) 0 v i 2x 7 3 x −1 VD 2. Gi i ptvp y′′ = e v i y(0)= − , y ′ (0) = . 4 2 y(2) = 1 và y’(2) = –1. 3.1.3. Ph ươ ng trình khuy t x 3.2. Ph ươ ng trình vi phân c p 2 tuy n tính v i h s • D ng ph ươ ng trình: hng y′′= fyy( , ′ ) (3) . 3.2.1. Ph ươ ng trình thu n nh t • D ng ph ươ ng trình: ′′+ ′ + = Ph ươ ng pháp gi i y ay1 ay 2 0 (4) (a 1, a 2 là các h ng s ). dz dz dy dz • ðt zyyz= ′⇒ ′′=== ′ . = z đ đưa v pt dx dy dx dy Ph ươ ng pháp gi i 2 + + = bi n s phân ly. • Xét ph ươ ng trình đc tr ưng c a (4): k ak1 a 2 0 (5). VD 5. Gi i ptvp 2yy′′=() y ′ 2 + 1 . 1) Tr ưng h p 1: (5) cĩ hai nghi m th c phân bi t k 1, k 2. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi m riêng y= ekx1, y = e kx 2 và VD 6. Gi i ptvp y′′+2 y ′ (1 − 2 y ) = 0 v i 1 2 nghi m t ng quát là y= Cekx1 + Ce kx 2 . 1 1 2 y(0)= 0, y ′ (0) = . 2 Trang 17
  18. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH 2) Tr ưng h p 2: (5) cĩ nghi m kép th c k. 3.2.2. Ph ươ ng trình khơng thu n nh t =kx = kx • D ng ph ươ ng trình: Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi m riêng y1 e, y 2 xe và ′′+ ′ + = =kx + kx y ay1 ay 2 fx( ) (6) (a 1, a 2 là các h ng s ). nghi m t ng quát là y Ce1 Cxe 2 . Ph ươ ng pháp gi i 3) Tr ưng h p 3: (5) cĩ hai nghi m ph c liên h p • N u (4) cĩ hai nghi m riêng y (x), y (x) thì (6) cĩ nghi m k=α ± i β . Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi m riêng 1 2 tng quát là y= Cxyx()() + Cxyx () () . =αxβ = α x β 11 2 2 ye1cos xye , 2 sin x và nghi m t ng quát: • ð tìm C 1(x) và C 2(x), ta gi i h Wronsky: α yeC=x ( cosβ xC + sin β x ) . Cxyx′()()+ Cxyx ′ () () = 0 1 2 11 2 2 . ′′+ ′ − =  ′′+ ′′ = VD 7. Gi i ptvp y2 y 3 y 0 . Cxyx11()() Cxyx 2 ()() 2 fx () VD 8. Gi i ptvp y′′−6 y ′ + 9 y = 0 . 1 VD 10. Gi i ptvp y′′ + y = . VD 9. Gi i ptvp y′′+2 y ′ + 7 y = 0 . cos x ðnh lý (nguyên lý ch ng nghi m) ðnh lý ′′+ ′ + = + • Nghi m t ng quát c a (6) b ng t ng nghi m t ng quát c a • Cho ptvp y pxy() qxy () fx1 () fx 2 () (9) . (4) v i 1 nghi m riêng c a (6). Gi s y 1(x) và y 2(x) l n l ưt là nghi m riêng c a y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx () , y′′+ pxy() ′ + qxy () = fx () VD 11. Cho ph ươ ng trình vi phân: 1 2 thì y(x) = y (x) + y (x) là nghi m riêng c a (9). y′′−2 y ′ + 2 y =+ (2 xe2 ) x (*). 1 2 2 x a) Ch ng t (*) cĩ 1 nghi m riêng là y= x e . VD 14. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp y′′− y ′ = 2cos 2 x . b) Tìm nghi m t ng quát c a (*). Bit: y′′− y ′ = 1 cĩ nghi m riêng y= − x , y′′− y ′ = cos2 x cĩ VD 12. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp: 1 2 1 yy′′+ ′ =2sin 2 x + 4cos2 x nghi m riêng y= −cos2 x − sin 2 x . 2 10 10 bi t 1 nghi m riêng là y= − cos 2 x . §4. H PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 4.1. Khái ni m c ơ b n • M i ptvp c p n d ng y(n )= fxyy(, ,′ , , y ( n − 1) ) đu cĩ th đư a v d ng h ptvp chu n t c c p 1 b ng cách đ t • H ph ươ ng trình vi phân chu n t c c p 1 cĩ d ng: − yyyy=,′ = , , y(n 1) = y .  y/ = fxyy(, , , , y ) 1 2 n  1 1 12 n  y/ = y / = 1 2  y2 fxyy 2(, 12 , , , y n )   ,  y/ = y   2 3  / Khi đĩ, ta đưc h :  .  y= fxyy(, , , , y ) n n1 2 n  / =  yn−1 y n trong đĩ x là bi n s đ c l p và y 1(x), y 2(x), , y n(x) là các  / = hàm s c n tìm.  yn fxyy(,1 , 2 , , y n ) =ϕ = • B n hàm s yi i(, xCC1 , 2 , , Ci n ), 1, n th a h ptvp là nghi m. 4.2. Ph ươ ng pháp gi i b) Ph ươ ng pháp ma tr n a) Ph ươ ng pháp kh đưa v ph ươ ng trình vi phân c p cao  / = + ++ / y1 ayay 11 1 12 2 ay 1 n n y  y1   1    / = + ++ / ′  yayay2 21 1 22 2 ay 2n n y 2 y2  y=5 y + z • ⇔  = A  , VD 1. Gi i h ph ươ ng trình: .     ′    z=4 y + 5 z      / = + ++ y /  y  yn ayay n11 n 22 ay nn n n  n  ′ =  y z vi A= ( a ) . VD 2. Gi i h ph ươ ng trình: . ij  ′ = z y Gi s ph ươ ng trình đc tr ưng det(A−λ I ) = 0 cĩ n nghi m λ = phân bi t i ,i 1, n . λ Vi m i i cĩ vector riêng (p1i , p 2 i , , p ni ) . Trang 18
  19. ThS. ðồn V ươ ng Nguyên Slide bài gi ng Tốn A3DH Khi đĩ, h ptvp cĩ h nghi m c ơ b n là:  y′ = y + 2 z λx λ x λ x VD 3. Gi i h ph ươ ng trình:  .  =1 = 1 = 1 ′ y11 pey 11, 21 pe 21 , , yn 1 pe n 1 z=4 y + 3 z  λ λ λ =2x = 2 x = 2 x  y12 pey 12, 22 pe 22 , , yn 2 pe n 2 ðc bi t  • H ptvp cĩ d ng  / λ x λ λ λ y  λ 0 0 y y C e 11   =nx = n x = n x 1 11 1 1 11  y1n pey 1 n, 2 n pe 2 n , , y nn pe nn     λ  / 0λ 0 y y 22 x y2  22  2 2 C22 e   = + ++ = ⇔ = . y1 Cy 1 11 Cy 2 12 Cyn 1 n        y= Cy + Cy ++ Cy     λ   2 1 21 2 22n 2 n /  λ nn x  và nghi m t ng quát là  . yn  0 0 nn y n y n Cnn e    y′ = − y  y= Cy + Cy ++ Cy  n11 n 22 n n nn VD 4. Gi i h ph ươ ng trình: z′ = 3 z .  u′ = 2 u H t Trang 19