Bài giảng Toán cao cấp A1 (Bản đầy đủ)
33 trang
1600
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp A1 (Bản đầy đủ)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_toan_cao_cap_a1_ban_day_du.pdf
Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp A1 (Bản đầy đủ)
- BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Ch ươ ng 4. Chu ỗi s ố TO ÁN CAO C P A1 TO ÁN CAO C P A1 Ch ươ ng 5. Đạ i s ố tuyến tớnh CAO Đ NG Tài li ệu tham kh ảo PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRèNH 1. Nguy ễn Phỳ Vinh – Giỏo trỡnh Toỏn cao c ấp PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRèNH (b ậc Cao đẳ ng) S ti t: 45 – ĐH Cụng nghi ệp TP. HCM. 2. Nguy ễn Đỡnh Trớ – Toỏn cao c ấp T ập 1, 2 (Dựng cho SV Cao đẳ ng) Ch ươ ng 1. Hàm s ố một bi ến số –NXB Giỏo d ục. Ch ươ ng 2. Phộp tớnh vi phõn hàm m ột bi ến s ố Biờn so n: ThS. Đo àn V ươ ng Nguyờn Ch ươ ng 3. Phộp tớnh tớch phõn hàm m ột bi ến s ố T i Slide b ài gi ng To ỏn A1 CĐ t i dvntailieu.wordpress.com Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s Đ1. B ổ tỳc v ề hàm s ố – N ếu fx()= fx () ⇒ x = x thỡ f là đơ n ỏnh . Đ2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố 1 2 12 Đ3. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ – vụ cựng l ớn – N ếu f(X) = Y thỡ f là toàn ỏnh . Đ4. Hàm s ố liờn t ục – N ếu f v ừa đơ n ỏnh v ừa toàn ỏnh thỡ f là song ỏnh . . VD 1. Đ1. B Ổ TÚC V Ề HÀM S Ố a) Hàm s ố f : ℝ→ ℝ th ỏa y= f( x ) = 2 x là đơ n ỏnh. 1.1. Khỏi ni ệm c ơ b ản b) Hàm s ố f :ℝ → [0; +∞ ) th ỏa f( x ) = x 2 là toàn ỏnh. 1.1.1. Đị nh ngh ĩa hàm s ố ℝ • Cho X, Y ⊂ ℝ khỏc r ỗng. c) Hsố f : (0;+∞ ) → th ỏa f( x )= ln x là song ỏnh. Ánh x ạ f: X→ Y v ới x֏ y= fx( ) là m ột hàm s ố. • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm ch ẵn n ếu: Khi đú: fx()−= fx (), ∀∈ x D f . – Mi ền xỏc đị nh (MX Đ) c ủa f, ký hi ệu Df, là t ập X. – Mi ền giỏ tr ị (MGT) c ủa f là: • Hàm s ố y = f (x) đượ c g ọi là hàm l ẻ n ếu: fx()− =− fx (), ∀∈ xD . G={ y = fxx( ) ∈ X }. f Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s Nh ận xột 1.1.3. Hàm s ố ng ượ c – Đồ thị c ủa hàm s ố ch ẵn đố i x ứng qua tr ục tung. – Đồ th ị c ủa hàm s ố l ẻ đố i x ứng qua g ốc t ọa độ . • Hàm s ố g đượ c g ọi là hàm s ố ng ượ c c ủa f, ký hi ệu g= f −1, n ếu x= gy( ), ∀ y ∈ G . 1.1.2. Hàm s ố h ợp f Nh ận xột • Cho hai hàm s ố f và g th ỏa điều ki ện Gg⊂ D f . −1 Khi đú, hàm s ố hx()= ( f gx )() = fgx [()] đượ c g ọi là – Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) hàm s ố h ợp c ủa f và g. đố i x ứng v ới đồ th ị của hàm s ố y= f( x ) qua Chỳ ý đườ ng th ẳng y= x . (fgx )()≠ ( gfx )(). x VD 2. Hàm s ố y=2( x2 + 1) 2 −− x 2 1 là hàm h ợp c ủa VD 3. Cho f( x )= 2 thỡ 2 2 f−1 x x fx( )= 2 x − x và g( x )= x + 1 . ( )= log 2 , m ọi x > 0. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 1
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s 1.2. Hàm s ố l ượ ng giỏc ng ượ c 1.2.2. Hàm s ố y = arccos x 1.2.1. Hàm s ố y = arcsin x • Hàm s ố y= cos x cú hàm ng ượ c trờn [0;π ] là π π • Hàm s ố y= sin x cú hàm ng ượ c trờn − ; là f −1 : [− 1; 1] → [0; π ] 2 2 π π x֏ y x . f −1 : [− 1; 1] → − ; = arccos 2 2 π VD 5. arccos 0 = ; x֏ y= arcsin x . 2 arccos(− 1) = π ; VD 4. arcsin0= 0 ; 3 π −1 2 π π arccos = ; arccos = . arcsin(− 1) = − ; 2 6 2 3 2 Chỳ ý 3 π π arcsin = . arcsinx+ arccos x = , ∀∈− x [ 1; 1]. 2 3 2 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s 1.2.3. Hàm s ố y = arctan x 1.2.4. Hàm s ố y = arc cot x π π • Hàm s ố y= tan x cú hàm ng ượ c trờn − ; là • Hàm s ố y= cot x cú hàm ng ượ c trờn (0;π ) là 2 2 −1 π π −1 f :ℝ → − ; f :ℝ → (0; π ) 2 2 x֏ y arc x x֏ y= arctan x . = cot . π VD 6. arctan 0= 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(− 1) = − ; 3π 4 arc cot(− 1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . 6 π π Quy ướ c. arctan(+∞=) , arctan( −∞=−) . Quy ướ c. arccot(+∞= ) 0, arc cot( −∞=π ) . 2 2 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s Đ2. GI ỚI H ẠN C ỦA HÀM S Ố Đị nh ngh ĩa 3 (gi ới h ạn t ại vụ cựng) • Ta núi f(x) cú gi ới h ạn là L (h ữu h ạn) khi x , 2.1. Cỏc định ngh ĩa → +∞ ký hi ệu limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tỡm Đị nh ngh ĩa 1 x →+∞ • Cho hàm s ố f(x) xỏc đị nh trờn ( a; b ). Ta núi f(x) cú gi ới đượ c N > 0 đủ l ớn sao cho khi x > N thỡ f( x ) − L 0 cho limf ( x ) = L , n ếu ∀ε > 0 cho tr ướ c ta tỡm đượ c δ > 0 x →−∞ x→ x 0 tr ướ c ta tỡm đượ c N 0 lớn tựy ý cho tr ướ c ta x→ x 0 limf ( x ) = L , n ếu mọi dóy { xn} trong (a ; b )\{ x 0 } mà x→ x 0 tỡm đượ c δ > 0 sao cho khi 0 M . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 2
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s • T ươ ng t ự, ký hi ệu limf ( x ) = −∞ , n ếu ∀M 0 sao cho Cho limf ( x ) = a và limg ( x ) = b . Khi đú: x→ x 0 x→ x 0 khi 0 x 0 thỡ ta núi f(x) cú gi ới h ạn ph ải t ại x0 (h ữu hạn), ký hi ệu limf ( x ) = L ho ặc limf ( x ) = L . 3) lim[fxgx ( ) ( )] = ab ; + x→ x 0 x→ x 0 + 0 x→ x 0 f( x ) a • N ếu f(x) cú gi ới h ạn là L (cú th ể là vụ cựng) khi x→ x 0 4) lim= , b ≠ 0 ; x→ x g( x ) b với x 0, lim vxb () = thỡ: m m xx→ xx → x→∞ −1 0 0 bxbxm+ m −1 + + b 0 v( x ) b lim[()]u x= a . an x→ x 0 a) L = n ếu n= m ; 2x bn x 2x −1 b) L = 0 n ếu n m . sinαx tan α x A. L = 9; B. L = 4; C. L = 1; D. L = 0. 3) lim= lim = 1 . αx →0αx α x → 0 α x 4) S ố e: Cỏc kết quả cần nhớ x 1 1 1 1 1) lim= −∞ , lim = +∞. lim1 + = lim1() +xx = e . − + x x x→0x x → 0 x →±∞x →0 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s 2x Đ3. ĐẠ I L ƯỢ NG Vễ CÙNG Bẫ – Vễ CÙNG L ỚN 3x VD 2. Tỡm gi ới h ạn L =lim 1 + . x→∞ x 2 2+ 1 3.1. Đạ i l ượ ng vụ cựng bộ A. L = ∞; B. L= e 3; C. L= e 2; D. L = 1. a) Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố α(x ) đượ c g ọi là đại lượng vụ cựng bộ (VCB ) 1 khi x→ x 0 n ếu limα (x ) = 0 ( x0 cú th ể là vụ cựng). x→ x 0 VD 3. Tỡm gi ới h ạn L=lim 1 + tan 2 x 4x . x→0+ ( ) 3 − A. L = ∞; B. L = 1; C. L= 4 e ; D. L= e . VD 1. α(x ) = tan( sin 1 − x ) là VCB khi x → 1 ; 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞. ln 2 x Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 3
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s c) So sỏnh cỏc VCB b) Tớnh ch ất c ủa VCB • Đị nh ngh ĩa x 1) Nếu α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x thỡ α( ) 0 Cho α(x ), β ( x ) là cỏc VCB khi x→ x 0, lim = k . x→ x 0 β(x ) α()x ± β () x và α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. Khi đú: – Nếu k , ta núi x là VCB cấp cao h ơn x , 2) N ếu α(x ) là VCB và β(x ) b ị ch ận trong lõn c ận x0 = 0 α( ) β( ) ký hi ệu α(x ) = 0( β ( x )) . thỡ α(x ). β ( x ) là VCB khi x→ x 0. – Nếu k = ∞, ta núi α(x ) là VCB cấp th ấp h ơn β(x ) . 3) lim()fx= a ⇔ fx () =+α a () x , trong đú α(x ) là x→ x 0 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB VCB khi x→ x 0. cựng c ấp. – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi α(x ) và β(x ) là cỏc VCB tươ ng đươ ng , ký hi ệu α()x∼ β () x . Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s VD 2. • Tớnh ch ất c ủa VCB t ươ ng đươ ng khi x → x0 2 1) xx∼ xx x x . • 1− cos x là VCB cựng c ấp v ới x khi x → 0 vỡ: α() β () ⇔α () −β () =α 0(()) =β 0(()) 2) Nếu α()x∼ β (), x β() x ∼ γ () x thỡ α()x∼ γ () x . 2 x 2 sin ∼ ∼ 1− cosx 1 3) Nếu α1()x β 1 (), x α 2 () x β 2 () x thỡ lim= lim 2 = . 2 2 αα()xx ()∼ ββ ()() xx . x→0x x → 0 2 12 12 x 4 4) N ếu α(x ) = 0( β ( x )) thỡ α()x +β () x∼ β () x . 2 • sin2 3(x− 1)∼ 9( x − 1) 2 khi x → 1. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCB c ấp cao Cho α(x ), β ( x ) là tổng cỏc VCB khỏc c ấp khi x→ x 0 α(x ) thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCB cấp th ấp x→ x 0 β(x ) nh ất của t ử và m ẫu. Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s x3 −cos x + 1 ln(1− 2x sin2 x ) VD 3. Tỡm gi ới h ạn L = lim . VD 4. Tớnh gi ới h ạn L = lim . x→0 x4+ x 2 x→0 sinx2 .tan x • Cỏc VCB t ươ ng đươ ng c ần nh ớ khi x → 0 sin( x+− 1 1) + x2 − 3tan 2 x 1) sin x∼ x ; 2) tan x∼ x ; VD 5. Tớnh L = lim . 3 x→0 sinx+ 2 x 3) arcsin x∼ x ; 4) arctan x∼ x Chỳ ý x 2 Quy t ắc VCB t ươ ng đươ ng khụng ỏp d ụng đượ c cho 5) 1− cos x ∼ ; 6) ex −1 ∼ x ; 2 hi ệu ho ặc t ổng của cỏc VCB nếu chỳng làm tri ệt tiờu tử ho ặc m ẫu c ủa phõn th ức. n x 7) ln(1+ x ) ∼ x ; 8) 1+x − 1 ∼ . eexx+−−2 ( e x −+− 1) ( e − x 1) n VD 6. lim= lim x→0x2 x → 0 x 2 Chỳ ý. Nếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta cú th ể thay x x+( − x ) bởi u( x ) trong 8 cụng th ức trờn. =lim = 0 ( Sai!). x→0 x 2 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 4
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s 3.2. Đạ i l ượ ng vụ cựng l ớn b) So sỏnh cỏc VCL a) Đị nh ngh ĩa • Đị nh ngh ĩa • Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là đạ i lượng vụ cựng lớn (VCL ) f( x ) Cho fx( ), gx ( ) là cỏc VCL khi x→ x 0, lim = k . khi x→ x 0 n ếu limf ( x ) = ∞ ( x0 cú th ể là vụ cựng). x→ x x→ x 0 g( x ) 0 Khi đú: cosx + 1 VD 7. là VCL khi x → 0; – N ếu k = 0, ta núi f( x ) là VCL cấp th ấp h ơn g( x ) . 2x3 − sin x 3 – N ếu k , ta núi f x là VCL cấp cao h ơn g x . x+ x − 1 = ∞ ( ) ( ) là VCL khi x → +∞. x2 −cos 4 x + 3 – N ếu 0 ≠k ≠ ∞, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL cựng c ấp. Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) là VCL khi x→ x thỡ 0 – Đặ c bi ệt, n ếu k = 1, ta núi f( x ) và g( x ) là cỏc VCL 1 là VCB khi x→ x . tươ ng đươ ng . Ký hi ệu fx()∼ gx () . f( x ) 0 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s VD 8. • Quy t ắc ng ắt b ỏ VCL c ấp th ấp Cho f(x) và g(x) là tổng cỏc VCL khỏc c ấp khi x→ x 3 1 0 • là VCL khỏc c ấp v ới khi x → 0 vỡ: f( x ) x 3 2x3 + x thỡ lim b ằng gi ới h ạn t ỉ s ố hai VCL cấp cao nh ất x→ x g( x ) 3 0 3 1 2 x+ x x của t ử và m ẫu. lim : = 3 lim = 3 lim = ∞. x→0xxx332 + x → 0 x 3 x → 0 x 3 VD 9. Tớnh cỏc gi ới h ạn: • 2x3+ x − 1∼ 2 x 3 khi x → +∞. x3 −cos x + 1 x3−2 x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x→∞ 3x+ 2 x x→+∞ 2x7− sin 2 x Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s Đ4. HÀM S Ố LIấN T ỤC 4.2. Đị nh lý • T ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa cỏc hàm s ố liờn t ục t ại 4.1. Đị nh ngh ĩa x0 là hàm s ố liờn t ục t ại x0. • Hàm s ố s ơ c ấp xỏc đị nh ở đõu thỡ liờn t ục ở đú. • S ố x0 ∈ D f đượ c g ọi là điểm cụ l ập c ủa f(x) n ếu • Hàm s ố liờn t ục trờn m ột đoạn thỡ đạ t giỏ tr ị l ớn nh ất và nh ỏ nh ất trờn đoạn đú. ∃ε>0: ∀∈xx (0 −ε ; x 0 +ε )\{} x 0 thỡ x∉ D f . 4.3. Hàm s ố liờn t ục m ột phớa • Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại x0 n ếu limfx ()= fx (0 ) . • Đị nh ngh ĩa x→ x 0 Hàm s ố f(x) đượ c g ọi là liờn t ục trỏi (ph ải) t ại x0 n ếu • Hàm s ố f(x) liờn t ục trờn t ập X n ếu f(x) liờn t ục t ại m ọi limfx ()= fx (0 ) ( limfx ()= fx (0 ) ). x→ x − x→ x + điểm x∈ X . 0 0 0 • Đị nh lý Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại x n ếu Quy ướ c 0 limfx ()= lim fx () = fx ( ). − + 0 • Hàm s ố f(x) liờn t ục t ại m ọi điểm cụ l ập c ủa f(x). xx→0 xx → 0 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 5
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 1. H àm s m t bi n s Chương 1. H àm s m t bi n s 2 2 3tanx+ sin x 4.4. Phõn lo ại điểm giỏn đoạn ,x > 0 VD 1. Cho hàm s ố f( x ) = . 2x • Nếu hàm s ố f( x ) khụng liờn t ục t ại x thỡ x đượ c g ọi α,x ≤ 0 0 0 là điểm giỏn đoạn c ủa f( x ) . Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: • N ếu t ồn t ại cỏc gi ới h ạn: 1 3 A. α = 0; B. α = ; C. α = 1; D. α = . limfx ( )= fx (− ) , limfx ()= fx (+ ) 2 2 − 0 + 0 x→ x 0 x→ x 0 ln(cosx ) x nh ưng f( x − ) , f( x + ) và f( x ) khụng đồng th ời b ằng ,≠ 0 0 0 0 VD 2. Cho hàm s ố f( x ) = 2x x 2 . arctan+ 2 nhau thỡ ta núi x là điểm giỏn đoạn lo ại m ột. 2α − 3,x = 0 0 Ng ượ c l ại, x là điểm giỏn đoạn lo ại hai . Giỏ tr ị c ủa α để hàm s ố liờn t ục t ại x = 0 là: 0 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . 12 12 2 2 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Đ1. Đạ o hàm Nh ận xộ t. Do x = x − x nờn: Đ2. Vi phõn 0 Đ3. Cỏc đị nh lý c ơ b ản v ề hàm kh ả vi – C ực tr ị fx()− fx ( ) ′ 0 Đ4. Cụng th ức Taylor f( x 0 )= lim . x→ x 0 x− x Đ5. Quy t ắc L’Hospital 0 Đ1. ĐẠ O HÀM b) Đạ o hàm m ột phớa 1.1. Cỏc định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận ph ải a) Đị nh ngh ĩa đạ o hàm fx()− fx (0 ) (x0 ; b ) c ủa x0. Gi ới h ạn lim (n ếu cú) Cho hàm s ố y= f( x ) xỏc đị nh trong lõn c ận (a ; b ) c ủa x→ x + x x 0 − 0 x0 ∈ ( a ; b ) . Giới h ạn: đượ c g ọi là đạ o hàm bờn ph ải của y= f( x ) t ại x . y fx(+ x )() − fx 0 lim= lim 0 0 Ký hi ệu là f′( x + ) . T ươ ng t ự, f′( x − ) . x →0 x x → 0 x 0 0 Nh ận xột . Hàm s ố f( x ) cú đạ o hàm t ại x0 khi và ch ỉ khi (n ếu cú) đượ c g ọi là đạ o hàm của y= f( x ) t ại x 0. − + ′ ′ fx′()= fx ′ () = fx ′ (). Ký hi ệu là f( x 0 ) hay y( x 0 ) . 0 0 0 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s c) Đạ o hàm vụ cựng 1.2. Cỏc quy t ắc tớnh đạ o hàm y • N ếu t ỉ s ố → ∞ khi x → 0 thỡ ta núi y= f( x ) cú 1) Đạ o hàm t ổng, hi ệu, tớch và th ươ ng c ủa hai hàm s ố: x (uv± ) ′ = u ′ ± v ′ ; (uv ) ′= uv ′ + uv ′ ; đạ o hàm vụ cựng t ại x . 0 ′ ′ k − kv ′ u u′ v− uv ′ • Tươ ng t ự, ta c ũng c ú cỏc khỏi ni ệm đạ o hàm vụ cựng =, k ∈ ℝ; = . 2 2 một phớa. v v v v 3 2) Đạ o hàm c ủa hàm s ố h ợp fx()= yux [()] : VD 1. Cho fx( )= x ⇒ f ′ (0) = ∞, fx( )= x ⇒ f ′ (0+ ) = +∞. fx′()= yuux ′ ().() ′ hay yx′()= yuux ′ ().() ′ . Chỳ ý 3) Đạ o hàm hàm s ố ng ượ c c ủa y= y( x ) : Nếu f( x ) liờn t ục và cú đạ o hàm vụ cựng t ại x thỡ ti ếp 1 0 x′( y ) = . y f x tuy ến t ại x0 c ủa đồ th ị = ( ) song song v ới tr ục Oy . y′( x ) Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 6
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s ′ ′ Đạo hàm c ủa một s ố hàm s ố s ơ c ấp 7) (ex) = e x ; 8) (ax) = a x .ln a ; α′ α− 1 ′ 1 1) x= α . x ; 2) x = ; ( ) ( ) ′ 1 ′ 1 2 x 9) ln x = ; 10) log x = ; ( ) x ( a ) x.ln a 3) sinx′ = cos x ; 4) cosx′ = − sin x ; ( ) ( ) ′ 1 ′ −1 11) (arcsinx) = ; 12)(arccosx) = ; x 2 x 2 1 1 1 − 1 − 5) (tan x)′ = 6) (cot x)′ = − ; 2 x 2 x cos sin ′ 1 ′ −1 =1 + tan 2 x ; 13) (arctan x) = ; 14) (arccot x ) = . 1 + x 2 1 + x 2 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s 1.3 . Đạ o hàm hàm s ố cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố 1.4. Đạ o hàm c ấp cao • Cho hàm s ố y= f( x ) cú ph ươ ng trỡnh d ạng tham s ố • Gi ả s ử f( x ) cú đạ o hàm f′( x ) và f′( x ) cú đạ o hàm thỡ ′ x= xt(), y = yt () . Gi ả s ử x= x( t ) cú hàm s ố ng ượ c (fx′()) = fx ′′ () là đạ o hàm c ấp hai c ủa f( x ) . và hàm s ố ng ượ c này cú đạ o hàm thỡ: • Tươ ng t ự ta cú: ′ y′( t ) yt ′ yx′( )= hayy ′ = . (n ) ( n − 1) ′x ′ fx()= f () x là đạ o hàm c ấp n c ủa f( x ) . x( t ) x t ( ) 2 x=2 t − 1 VD 2. Tớnh y′( x ) c ủa hàm s ố cho b ởi ,t ≠ 0 . VD 4. Cho hàm s ố f( x )= sin 2 x . Tớnh đạ o hàm f (6) (0) . y= 4 t 3 A. f (6) (0)= 32 ; B. f (6) (0)= − 32 ; t x= e C. f (6) (0)= − 16 ; D. f (6) (0)= 0 . VD 3. Tớnh y′(1) c ủa hàm s ố cho b ởi . x y= t2 − 2 t Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s (n ) n+1 1.5 . Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn VD 5. Tớnh f( x ) c ủa hàm s ố f( x )= (1 − x ) . • Cho ph ươ ng trỡnh F(,) x y = 0 (*). Nếu y= y( x ) là hàm số xỏc đị nh trong 1 kho ảng nào đú sao cho khi th ế y( x ) vào (*) ta đượ c đồ ng nh ất th ức thỡ y( x ) đượ c g ọi là hàm s ố ẩn xỏc đị nh b ởi (*). n 1 VD 6. Tớnh y( ) c ủa hàm s ố y = . F′ F ′ y ′ 2 • Đạ o hàm hai vế (*) theo x , ta đượ c x+ y. x = 0 . x−3 x − 4 F ′ Vậy y′= −x , F ′ ≠ 0. x′ y Fy ′ ′ y( x ) = y x đượ c g ọi là đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn y( x ) . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 7
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s VD 7. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi xy− ex + e y = 0. Đ2. VI PHÂN Tớnh y′( x ) . 2.1. Vi phõn c ấp m ột • Hàm s ố y f x đượ c g ọi là kh ả vi t ại x D n ếu VD 8. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: = ( ) 0 ∈ f x cú th ể bi ểu di ễn d ướ i xy− e +ln y = 0 (*). Tớnh y′(0) . fx()0 = fx ( 0 + − x )() fx 0 dạng: fx( ) = + Ax . 0( x ) VD 9 . Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: 0 y với A là h ằng s ố và 0( x ) là VCB khi x → 0. lnx2+ y 2 = arctan . Tớnh y′( x ) . x Khi đú, đạ i l ượ ng A. x đượ c g ọi là vi phõn c ủa hàm s ố Chỳ ý y= f( x ) tại x0. Ký hi ệu df( x ) hay dy( x ) . Ta cú th ể xem hàm ẩn y( x ) nh ư hàm h ợp u( x ) và th ực 0 0 hi ện đạ o hàm nh ư hàm s ố h ợp. Nh ận xột f( x ) 0( x ) VD 10. Cho hàm ẩn y( x ) xỏc đị nh b ởi: • fx( ) = + Ax . 0( x ) ⇒0 =A + 0 x x y3+( x 2 + 1) yx + 4 = 0 . Tớnh y′( x ) . Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s f( x ) 2.2. Vi phõn c ấp cao ⇒0 →⇒ x →0 A fx′( ) = A . x 0 • Gi ả s ử y= f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp n thỡ ⇒df( x ) = f′ ( x ). x hay df( x )= f′ ( x ). x . n n−1 ( nn ) 0 0 dy= dd( y ) = y dx • Ch ọn fx()= x ⇒ dfx () = ⇒ x dx = x . đượ c g ọi là vi phõn c ấp n c ủa hàm y= f( x ) . Vậy dfx()()= f′ xdxhaydy = ydx ′ . VD 4. Tớnh vi phõn c ấp 2 c ủa hàm s ố y= ln(sin x ) . 2 3 x VD 5. Tớnh vi phõn c ấp n c ủa hàm số y= e 2x . VD 1. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa fx( ) = xe t ại x0 = − 1. π VD 6. Tớnh vi phõn c ấp 2 c ủa f( x )= tan x t ại x = . VD 2. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa y=arctan( x 2 + 1) . 0 4 Chỳ ý ln(arcsinx ) Khi x là m ột hàm s ố độ c l ập v ới y thỡ cụng th ức VD 3. Tớnh vi phõn c ấp 1 c ủa hàm s ố y = 2 . dyn= y( n ) dx n khụng cũn đỳng n ữa. Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Đ3. CÁC ĐỊ NH Lí C Ơ B ẢN V Ề HÀM KH Ả VI 3.1.3. Đị nh lý Cauchy CỰC TR Ị C ỦA HÀM S Ố Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) liờn t ục trong [a ; b ] , kh ả vi 3.1. Cỏc đị nh lý trong (a ; b ) và gx′()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: 3.1.1. B ổ đề Fermat fb()− fa () fc′ () Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trong (a ; b ) và cú đạ o hàm tại = . x∈ ( a ; b ) . N ếu f( x ) đạ t giỏ tr ị lớn nh ất (ho ặc bộ nh ất) gb()− ga () gc′ () 0 ′ tại x0 trong (a ; b ) thỡ f( x 0 )= 0 . 3.1.4. Đị nh lý Lagrange Cho hàm s ố f x liờn t ục trong a b , kh ả vi trong a b . 3.1.2. Đị nh lý Rolle ( ) [ ; ] ( ; ) Khi đú, ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho: Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong [a ; b ] và kh ả vi trong fb()− fa () (a ; b ) . N ếu fa()= fb () thỡ ∃c ∈ ( a ; b ) sao cho f′( c )= 0 . = f′( c ). b− a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 8
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s 3.2. C ực tr ị c ủa hàm s ố • Nếu f( x ) đơ n điệu trong (a ; b ) và liờn t ục trong (a ; b ] thỡ 3.2.1. Hàm s ố đơ n điệu f( x ) đơ n điệu trong (a ; b ] (tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự). a) Đị nh ngh ĩa b) Đị nh lý Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục trong trong (a ; b ) . Khi đú: Cho hàm s ố f( x ) kh ả vi trong trong (a ; b ) . Khi đú: • f( x ) đượ c g ọi là tăng (đồ ng bi ến) trong (a ; b ) n ếu • N ếu fx′()> 0, ∀ x ∈ (;) ab thỡ f( x ) tăng trong (a ; b ) . fx()− fx () • N ếu fx′() 0, ∀xx, ∈ (;) ab và x≠ x . 1 2 1 2 2 x1− x 2 VD 1. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa y=ln( x + 1) . • f( x ) đượ c g ọi là gi ảm (ngh ịch bi ến) trong (a ; b ) n ếu x 2 + 1 VD 2. Tỡm cỏc kho ảng đơ n điệu c ủa f( x ) = . fx()− fx () (x − 1) 2 1 2 , xx ab và x x . () ∀ ∈ ( ; )\{0 } ( ) • S ố M đượ c g ọi là giỏ tr ị lớn nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: hay cực đạ i tại x . x Xfx M 0 ∃0 ∈: ( 0 ) = và fx()≤ M , ∀ x ∈ X . b) Đị nh lý Ký hi ệu là: M= max f ( x ) . Cho f( x ) cú đạ o hàm đế n c ấp 2n trong (a ; b ) ch ứa x x∈ X 0 • S ố m đượ c g ọi là giỏ tr ị nhỏ nh ất c ủa f( x ) trờn X n ếu: th ỏa fx′ f(2n− 1) x và f(2n ) x . (0 )= = ( 0 ) = 0 (0 )≠ 0 x Xfx m ∃0 ∈: ( 0 ) = và fx()≥ m , ∀ x ∈ X . • N ếu f(2n ) ( x )> 0 thỡ f( x ) đạ t cực ti ểu t ại x . Ký hi ệu là: m= min f ( x ) . 0 0 x∈ X • N ếu f(2n ) ( x )< 0 thỡ f( x ) đạ t cực đạ i tại x . 0 0 Chỳ ý VD 5. Tỡm c ực tr ị (nếu cú) c ủa f( x ) = x 4, f( x ) = x 3. • Hàm s ố cú th ể khụng đạ t max ho ặc min trờn X⊂ D . Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s • N ếu M= max f ( x ) và m= min f ( x ) thỡ: VD 6. Tỡm giỏ tr ị l ớn nh ất, giỏ tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố x∈ X x∈ X 3 m≤ fx( ) ≤ M , ∀∈ x X . fx( )= x4 − x 2 −+ x 3 trờn đoạn [0; 2] . 2 b) Ph ươ ng phỏp tỡm max – min Chỳ ý Hàm s ố liờn t ục trờn đoạn [a; b] • N ếu đề bài ch ưa cho đoạn [a ; b ] thỡ ta ph ải tỡm MX Đ Cho hàm s ố y= f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] . của hàm s ố tr ướ c khi làm b ướ c 1. Để tỡm maxf ( x ) và minf ( x ) , ta th ực hi ện cỏc b ướ c sau: • Cú th ể đổ i bi ến s ố t= t( x ) và vi ết y= fx() = gtx (()) . x∈[ a ; b ] x∈[ a ; b ] Gọi T là mi ền giỏ tr ị c ủa hàm t( x ) thỡ: • Bướ c 1. Gi ải ph ươ ng trỡnh f′( x )= 0 . Gi ả s ử cú n maxfx ( )= max gt () , minfx ( )= min gt () . a b xX∈ tT ∈ xX∈ tT ∈ nghi ệm x1, , xn ∈ [; ab ] (lo ại cỏc nghi ệm ngoài [ ; ] ). • Bướ c 2. Tớnh fa(), fx ( ), , fx ( ), fb () . 2 1 n VD 7. Tỡm max, min c ủa fx()= − x + 56 x + . • Bướ c 3. Giỏ tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất trong cỏc giỏ tr ị đó sinx + 1 tớnh ở trờn là cỏc giỏ tr ị max, min tươ ng ứng c ần tỡm. VD 8. Tỡm max, min c ủa y = . sin2 x+ sin x + 1 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 9
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s fx fx LL Hàm s ố liờn t ục trờn kho ảng (a; b) 2) N ếu min{ (1 ), , (n )} max{ LL , } thỡ x 1n 1 2 VD 10. Tỡm max, min c ủa f( x ) = . 2 maxf= max{ fx ( ), , fx (n )} . x +2 − 1 x∈( a ; b ) 1 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Đ4. CễNG TH ỨC TAYLOR Vậy: n f (k ) (0) 4.1. Cụng th ức khai tri ển Taylor fx()=∑ xOxk + (). n a) Khai tri ển Taylor v ới ph ần d ư Peano k=0 k ! • Cho hàm f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] cú đạ o hàm đế n c ấp • Khai tri ển Maclaurin đượ c vi ết l ại: n + 1 trờn (a ; b ) v ới xx,0 ∈ (;) ab ta cú: f/(0) f // (0) n f(k ) ( x ) fxf( )=+ (0) x + x 2 + fx0 xxk Oxx n ()=∑ ( −+−0 ) (( 0 )). 1! 2! k (n ) k=0 ! f (0) +xn + O ( x n ). b) Khai tri ển Maclaurin n ! • Khai tri ển Taylor với phần dư Peano t ại x = 0 đượ c 0 3 gọi là khai tri ển Maclaurin . VD 1. Khai tri ển Maclaurin c ủa f( x )= tan x đế n x . Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s 4.2. Cỏc khai tri ển Maclaurin c ần nh ớ Chỳ ý 1 • N ếu u( x ) là VCB khi x → 0 thỡ ta thay x trong cỏc 1) =++1xx2 + + xn + 0() x n . 1 − x cụng th ức trờn b ởi u( x ) . x x2 x n 2) ex =+1 + ++ + 0( x n ) . 1 VD 2. Khai tri ển Maclaurin hàm s ố y = đế n x 6. 1! 2!n ! 2 xx2 x 3 x 4 1+ 3 x 3) ln(1+=−x ) + − ++ 0( x n ) . 1 2 3 4 VD 3. Khai tri ển Maclaurin của y=ln(1 − 2 x 2 ) đế n x 6. 2 4 6 x x x n 4) cosx=− 1 + − ++ 0() x . x 4 2! 4! 6! VD 4. Khai tri ển Maclaurin của hàm s ố y = 2 đế n x . 3 5 7 xx x x n 5) sinx=− + − ++ 0( x ) . (7) 1! 3! 5! 7! VD 5. Cho hàm s ố fx( )= x cos 2 x . Tớnh f (0) . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 10
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Chương 2. Ph ộp t ớnh vi phõn h àm m t bi n s Đ5. QUY TẮC L’HOSPITAL x2− sin 2 x VD 2. Tỡm gi ới h ạn L = lim . Đị nh lý ( quy t ắc L’Hospital ) x→0 x2.arctan 2 x 1 1 Cho hai hàm s ố f( x ) , g( x ) liờn t ục và kh ả vi trong lõn A. L = 0; B. L = ∞; C. L = ; D. L = . 2 3 c ận của điểm x0. Nếu limfx ()= lim gx () = 0 (ho ặc ∞) thỡ: xx→ xx → 0 0 3 VD 3. Tỡm gi ới h ạn L= lim x ln x (d ạng 0ì∞). + ( ) fx() fx′ () x→0 lim= lim . xx→0gx() xx → 0 gx′ () 1 x−1 ∞ ex+ e − x − 2 VD 4. Tỡm gi ới h ạn L= lim x (d ạng 1 ). VD 1 . Tỡm gi ới h ạn L = lim . x→1 x→0 x 2 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Đ1. Tớch phõn b ất đị nh Tớnh ch ất Đ2. Tớch phõn xỏc đị nh Đ3. Ứng d ụng c ủa tớch phõn xỏc đị nh 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdxk (), ∈ ℝ Đ4. Tớch phõn suy r ộng 2) ∫ fxdx′()= fx () + C Đ1. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH d 3) ∫ fxdx()= fx () 1.1. Đị nh ngh ĩa dx • Hàm s ố F( x ) đượ c g ọi là một nguyờn hàm c ủa f( x ) trờn 4) ∫[()fx+ gxdx ()] = ∫ fxdx () + ∫ gxdx () . khoảng (a ; b ) n ếu Fx′()= fx (), ∀ x ∈ (;) ab . MỘT SỐ NGUYấN HÀM CẦN NHỚ Ký hi ệu f( x ) dx ( đọ c là tớch phõn). ∫ 1) adx.= ax + C , a ∈ ℝ Nh ận xộ t ∫ • N ếu F( x ) là nguyờn hàm c ủa f( x ) thỡ F( x ) + C cũng là x α+ 1 2) xdxα = + C , α≠− 1 nguyờn hàm c ủa f( x ) . ∫ α + 1 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s dx dx 3) =ln x + C ; 4) =2 x + C dx1 x− a ∫ x ∫ 13) =ln + C x ∫ x2− a 2 2a x+ a x x x x a 5) ∫ e dx= e + C ; 6) ∫ a dx= + C dx x ln a 14) ∫ =ln tan + C 7) cosxdx= sin x + C ; 8) sinxdx= − cos x + C sinx 2 ∫ ∫ dx dx dx x π 9) =tan x + C ; 10) = −cot x + C 15) =ln tan + + C ∫ cos 2 x ∫ sin 2 x ∫ cosx 2 4 dx1 x 11) =arctan + C dx 2 ∫ x2 a 2 a a 16) =ln x + x ++ a C + ∫ 2 dx x x+ a 12) ∫ =arcsin +C , a > 0 a2− x 2 a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 11
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s dx 1.2. Ph ươ ng phỏp đổ i bi ến VD 1. Tớnh I = . ∫ 2 • Đị nh lý 4 − x N ếu fxdx()= Fx () + C thỡ: 1 2 + x 1 2 − x ∫ A. I=ln + C ; B. I=ln + C ; 4 2 − x 4 2 + x ∫ F(())ϕϕ t′ () tdt =ϕ F (()) t + C , v ới ϕ(t ) kh ả vi. 1x − 2 1x + 2 C. I=ln + C ; D. I=ln + C . dx 2x + 2 2x − 2 VD 3. Tớnh I = ∫ . xln x + 1 dx VD 4. Tớnh I = . dx ∫ 2 VD 2. Tớnh I = . x3− ln x ∫ 2 x− x − 6 dx VD 5. Tớnh I = . ∫ x( x 3 + 3) Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s 1.3. Ph ươ ng phỏp t ừng ph ần VD 8. Tớnh I3 xe sin x dx . a) Cụng th ức = ∫ cos ∫uxvxdx()()′= uxvx ()() − ∫ uxvxdx ′ ()() b) Cỏc d ạng tớch phõn t ừng ph ần th ườ ng g ặp hay udv= uv − vdu . ∫ ∫ αx • Đố i v ới dạng tớch phõn ∫ P( x ) e dx , ta đặ t: VD 6. Tớnh I= ∫ xln xdx . u= Px(), dv = eαx dx . x VD 7. Tớnh I= dx . • Đố i v ới dạng tớch phõn P( x )ln α x dx , ta đặ t: ∫ x ∫ 2 Chỳ ý uα xdv Pxdx Đố i v ới nhi ều tớch phõn khú thỡ ta ph ải đổ i bi ến tr ướ c =ln, = (). khi lấy t ừng ph ần. Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Đ2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH Tớnh ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa. Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ] . b b 1) ∫kfxdx.()= k ∫ fxdx (), k ∈ ℝ Ta c hia đoạn [a ; b ] thành n đoạn nh ỏ b ởi cỏc điểm chia a a b b b xax0=<<< 1 xn− 1 < xb n = . 2) ∫[()fx± gxdx ()] = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () Lấy điểm ξk ∈ [x k ; x k ] tựy ý (k= 1, n ). −1 n a a a Lập t ổng tớch phõn: σ=f()( ξ x − x ) . a b a ∑ k k k −1 3) fxdx()= 0; fxdx () = − fxdx () k=1 ∫ ∫ ∫ a a b Gi ới h ạn h ữu h ạn (n ếu cú) I =lim σ đượ c g ọi b c b max(x− x ) → 0 k k k −1 4) ∫fxdx()= ∫ fxdx () + ∫ fxdxc (), ∈ [;] ab là tớch phõn xỏc đị nh c ủa f( x ) trờn đoạn [a ; b ] . a a c b b Ký hi ệu là I= ∫ f( x ) dx . 5) fx()0,≥∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≥ 0 a a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 12
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s b b 2.2. Cụng th ức Newton – Leibnitz 6) fx()≤ gx (), ∀∈ x [;] ab ⇒∫ fxdx () ≤ ∫ gxdx () • Nếu f( x ) liờn t ục trờn [a ; b ] và F( x ) là m ột nguyờn hàm a a b b tựy ý của f( x ) thỡ: 7) a< b ⇒ fxdx() ≤ fxdx () b ∫ ∫ b a a fxdx()= Fx () = Fb () − Fa (). ∫ a 8) m≤ fx() ≤ M , ∀∈ x [;] ab a b Nh ận xột ⇒−≤mb() a∫ fxdx () ≤− Mb () a 1) Cú hai ph ươ ng phỏp tớnh tớch phõn nh ư Đ1. a 2) Hàm s ố f( x ) liờn t ục và lẻ trờn [−α ; α ] thỡ 9) N ếu f( x ) liờn t ục trờn đoạn [a ; b ] thỡ α b f( x ) dx = 0 . ∃∈c[;]: ab fxdx () =− fcb ()( a ) . ∫ ∫ −α a Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s 3 3) Hàm s ố f( x ) liờn t ục và ch ẵn trờn [−α ; α ] thỡ: dx α α VD 1. Tớnh I = . ∫ x2 −2 x + 5 ∫fxdx()= 2 ∫ fxdx () . 1 −α 0 b π 4) Để tớnh f( x ) dx ta dựng b ảng xột d ấu c ủa f( x ) để ∫ VD 2. Tớnh I= xcos xdx . a ∫ 0 tỏch f( x ) ra thành cỏc hàm trờn t ừng đoạn nh ỏ. Đặc bi ệt 1 b b I x2 3 xdx f() x dx= f () x dx n ếu fx()≠ 0, ∀ x ∈ (;) ab . VD 3. Tớnh =∫ + 1.sin . ∫ ∫ −1 a a Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s • Cụng th ức Walliss Đ3. ỨNG D ỤNG C ỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH π π (n − 1)!! , n leỷ 3.1. Tớnh di ện tớch S của hỡnh ph ẳng 2 2 n n n !! a) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt sinxdx= cos xdx = ∫ ∫ π (n − 1)!! 0 0 . , n chaỹn 2n !! Trong đú: 0!!= 1!! = 1 ; 2!!= 2;3!! = 3;4!! = 2.4 ; 5!!= 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; π S S 2 7!!π 105 π VD 4. sin8 x dx = . = . ∫ 8!! 2 768 0 π b d 2 3 2 S= fx() − fxdx () S= gy() − gydy () VD 5. Tớnh I=∫ (cos x − 1)cos xdx . ∫ 2 1 ∫ 2 1 0 a c Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 13
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s VD 2. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 1. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi cỏc đườ ng x= y 2 và y= x − 2. cỏc đườ ng y= x 2 và y= x 4. 1 2 A. S = ; B. S = 15 15 4 8 C. S = ; D. S = . 15 15 VD 3. Tớnh di ện tớch hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi cỏc đườ ng y= e x − 1, y= e 2x − 3 và x = 0. 1 ln 4− 1 1− ln 2 1 A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − 2 2 2 2 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s 3.2. Tớnh độ dài l c ủa đườ ng cong b) Biờn hỡnh ph ẳng cho b ởi ph ươ ng trỡnh tham s ố Hỡnh ph ẳng gi ới h ạn b ởi đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh a) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh t ổng quỏt x= xt(), y = yt () v ới t ∈[ α ; β ] thỡ: Cho cung AB cú ph ươ ng trỡnh y= fx(), x ∈ [;] ab thỡ: β b 2 S= ytxtdt( ).′ ( ) . l =1 + [()] fxdx′ . ∫ AB ∫ α a x 2 VD 5. Tớnh độ dài cung parabol y = từ gốc t ọa độ x2 y 2 2 VD 4. Tớnh di ện tớch hỡnh elip S :+ ≤ 1 . 2 2 1 a b O(0; 0) đế n điểm M 1; . 2 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s b) Đườ ng cong cú ph ươ ng trỡnh tham s ố 3.3. Tớnh th ể tớch v ật th ể trũn xoay Cho cung AB cú phươ ng trỡnh tham s ố a) Vật th ể quay quanh Ox Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi x= x( t ) ,t ∈ [;] α β thỡ: y= fx(), y = 0 , x= a , x= b quay quanh Ox là: y = y( t ) b 2 β V= π ∫ [()] fxdx . 2 2 l =[ xt′ ()] + [ ytdt ′ ()] . a AB ∫ α VD 7. Tớnh th ể tớch V do hỡnh ph ẳng S gi ới h ạn b ởi VD 6 . Tớnh độ dài cung C cú ph ươ ng trỡnh : y=ln x , y = 0 , x=1, x = e quay xung quanh Ox . x= t 2 + 1 2 2 ,t ∈ 0; 1 . x y 2 VD 8. Tớnh V do ():E + = 1 quay quanh Ox . y=ln t + t + 1 2 2 a b Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 14
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s b ) Vật th ể quay quanh Oy Gi ải. Phươ ng trỡnh parabol y=2 x − x 2 đượ c vi ết l ại: Th ể tớch V c ủa v ật th ể do mi ền ph ẳng S gi ới h ạn b ởi yxxx=2 −2 ⇔ ( − 1) 2 =− 1 y x= g( y ) , x = 0, y= c và y= d quay quanh Oy là: d x=+1 1 − y , x ≥ 1 2 ⇔ . V= π ∫ [()] gydy . x=−1 1 − y , x 1 sỏt sự hội tụ và tớnh giỏ trị hội tụ (thường là khú). =lim()b − 1 = α − 1 1 − α b→+∞ + ∞, α < 1. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 15
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chỳ ý Vậy • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( +∞ ) , ta dựng cụng th ức: 1 x→+∞ Với α > 1: I = (hội tụ). +∞ α − 1 +∞ fxdx()= Fx () . Với α ≤ 1: I = +∞ (phõn kỳ). ∫ a a • N ếu t ồn t ại limF () x= F ( −∞ ) , ta dựng cụng th ức: x→−∞ 0 dx b VD 2. Tớnh tớch phõn I = . b ∫ 2 f() x dx= F () x . (1− x ) ∫ −∞ −∞ −∞ • Tương tự: +∞ +∞ dx +∞ VD 3. Tớnh tớch phõn I = . fxdx()= Fx () . ∫ 2 ∫ −∞ −∞ 1 + x −∞ Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s 4.1.2. Cỏc tiờu chu ẩn h ội t ụ b) Tiờu chu ẩn 2 a) Tiờu chu ẩn 1 +∞ +∞ • Nếu 0≤fx () ≤ gx (), ∀ x ∈ [; a +∞ ) và • Nếu ∫ f( x ) dx h ội t ụ thỡ ∫ f( x ) dx h ội t ụ (ng ượ c l ại a a +∞ +∞ khụng đỳng). g x dx h ội t ụ thỡ f x dx h ội t ụ. ∫ ( ) ∫ ( ) • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. a a • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. +∞ VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I= e−x cos 3 xdx . +∞ ∫ 10 1 VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I= ∫ e−x dx . 1 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s c) Tiờu chu ẩn 3 k = +∞ +∞ • Cho fx( ), gx ( ) liờn t ục, luụn d ươ ng trờn [a ;+∞ ) +∞ Nếu thỡ f( x ) dx phõn k ỳ. g( x ) dx phaõn ky ứ ∫ f( x ) ∫ a và lim = k . Khi đú: a x→+∞ g( x ) • Cỏc tr ườ ng h ợp khỏc t ươ ng t ự. +∞ Nếu 0 <k < +∞ thỡ: dx +∞ +∞ VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I = . ∫ 1+x2 + 2 x 3 ∫ f( x ) dx và ∫ g( x ) dx cựng h ội t ụ ho ặc phõn k ỳ. 1 a a Chỳ ý • N ếu fx∼ gx x thỡ +∞ +∞ () ()(→ +∞ ) Nếu k = 0 và g( x ) dx hội t ụ thỡ f( x ) dx hội t ụ. +∞ +∞ ∫ ∫ f x dx và g x dx cú cựng tớnh ch ất. a a ∫ ( ) ∫ ( ) a a Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 16
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s +∞ dx 4.2. Tớch phõn suy r ộng loại 2 VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa tớch phõn I = . 4.2.1. Đị nh ngh ĩa ∫ 1+ sin x + x 1 • Cho hàm s ố f( x ) xỏc đị nh trờn [a ; b ) và khụng xỏc đị nh tại b, khả tớch trờn m ọi đoạn a b . +∞ [ ;−ε ] ( ε> 0) dx VD 8. Điều ki ện c ủa α để I = h ội t ụ là: b−ε ∫ 3 α Gi ới h ạn (n ếu cú) c ủa f x dx khi đượ c g ọi là 1 x. ln x + 1 ∫ ( ) ε → 0 3 1 a A. α > 3; B. α > ; C. α > 2; D. α > . tớch phõn suy r ộng loại 2 c ủa f( x ) trờn [a ; b ) . 2 2 Ký hi ệu: +∞ b b −ε (x2 + 1) dx VD 9. Điều kiện c ủa α để I = h ội t ụ? fxdx( )= lim fxdx ( ) . ∫ α 4 ∫ε→0 ∫ 1 2x+ x − 3 a a Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s • Định nghĩa tươ ng t ự: • Tr ườ ng h ợp α khỏc 1: b b b b b ∫fxdx()= lim ∫ fxdx () (suy r ộng t ại a ); dx −α1 1 −α ε→0 I=lim = lim xdx = lim x a a +ε ε→0∫x α ε→ 0 ∫ 1 − α ε→ 0 ε b b −ε ε ε 1−α ∫fxdx()= lim ∫ fxdx () (suy r ộng t ại a , b ). b ε→0 1 1−α 1 −α ,α 1. hội t ụ, ng ượ c l ại là tớch phõn phõn k ỳ. b dx Vậy VD 10. Kh ảo sỏt s ự h ội t ụ c ủa I=, b > 0 . 1−α ∫ α b x Với α − ; D. α ∈ ℝ. 1 2 2 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 17
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s Chương 3. Ph ộp t ớnh t ớch phõn h àm m t bi n s 1 x α + 1 I → −∞(phaõn ky ứ ) I → +∞(phaõn ky ứ ) VD 15. Tớch phõn suy r ộng I= dx 2) 1 ho ặc 1 ∫ 2 I ≤ 0 I ≥ 0 0 (x+ 1)sin x 2 2 phõn k ỳ khi và ch ỉ khi: thỡ I phõn k ỳ. 1 1 I phaõn ky ứ I phaõn ky ứ 1 → −∞( ) 1 → +∞( ) A. α ≤ − 1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ. 3) ho ặc 2 2 I > 0 I 1 thỡ n → +∞ ⇒ chu ỗi phõn k ỳ. • N ếu chu ỗi un hội t ụ thỡ limun = 0 , ∑ n→∞ ∞ n=1 V ậy ∑aq n−1 h ội t ụ ⇔q < 1. ∞ ng ượ c l ại nếu limun ≠ 0 thỡ un phõn k ỳ. n=1 n→∞ ∑ ∞ 1 n=1 VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n( n + 1) ∞ n 4 ∞ VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . 1 ∑ 4 VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ln 1 + . n=1 3n+ n + 2 ∑ n=1 n ∞ 5 ∞ n 1 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 ∑ n=1 n + 1 n=1 n Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 18
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i Đ2. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG 1.3. Tớnh ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ • N ếu u, v hội t ụ thỡ: u u n ∑n ∑ n • ∑ n đượ c g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu n ≥0, ∀ . n=1 n = 1 n=1 ∞ ∞ ∞ Khi u>0, ∀ n thỡ chu ỗi số là d ươ ng th ực s ự. uv u v n ∑(nn+ ) = ∑ n + ∑ n . 2.2. Cỏc đị nh lý so sỏnh n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Đị nh lý 1. Cho hai chu ỗi s ố d ươ ng ∑un, ∑ v n th ỏa: • N ếu ∑un hội t ụ thỡ: ∑αun = α ∑ u n . n=1 n = 1 n=1 n=1 n = 1 0≤u ≤ v , ∀≥ nn . n n 0 • Tớnh ch ất h ội t ụ hay phõn k ỳ c ủa chu ỗi s ố khụng đổ i ∞ ∞ • N ếu ∑ vn hội t ụ thỡ ∑ un hội t ụ. nếu ta thờm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. n =1 n =1 ∞ ∞ • N ếu ∑ un phõn k ỳ thỡ ∑ vn phõn k ỳ. n =1 n =1 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i ∞ 1 Đị nh lý 2 VD 1. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∞ ∑ n n=1 n.2 u v Cho hai chuỗi số ∑n, ∑ n th ỏa: n=1 n = 1 un un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k . n→∞ vn ∞ 1 ∞ ∞ VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hũa bằng cỏch k u v ∑ • N ếu = 0 thỡ ∑ n phõn k ỳ ⇒ ∑ n phõn k ỳ. n=1 n n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 1 so sỏnh v ới ln 1 + . • N ếu k = +∞ thỡ u h ội t ụ ⇒ v h ội t ụ. ∑ n ∑ n ∑ n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ k u v • N ếu 0 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. ∞ 1 • N ếu D = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. Chu ỗi h ội t ụ khi α > 1 và phõn k ỳ khi α ≤ 1. ∑ α ∞ n n=1 n 1 1 VD 5. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 + . ∑ n n=1 3 n ∞ n + 1 VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ n 2 ∑ 5 5 (n !) n=1 2n + 3 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 (2n )! Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 19
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i 2.3.2. Tiờu chu ẩn Cauchy 2.3.3. Tiờu chu ẩn Tớch phõn Maclaurin – Cauchy ∞ Cho hàm s ố f( x ) liờn t ục, khụng õm và gi ảm trờn nửa n Cho chu ỗi s ố d ươ ng un và lim un = C . ℕ ∑ n khoảng [;k+∞ ), k ∈ . Khi đú: n=1 →∞ +∞ • N ếu C 1 thỡ chu ỗi phõn k ỳ. ∑ ∫ n k • N ếu C = 1 thỡ ch ưa th ể k ết lu ận. = k n2 ∞ ∞ 1 1 VD 9. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 ∑ n=1 2 n=12 n ∞ nn ∞ 1 VD 8. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 10. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n ∑ 3 n=1 3 n=2 nln n Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i Đ3. CHU ỖI S Ố Cể D ẤU TÙY í ∞ (− 1) n VD 2. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . 3.1. Chu ỗi đan d ấu n=1 n ∞ Đị ĩ n u a) nh ngh a. Chu ỗi s ố ∑(− 1) n đượ c g ọi là n=1 chu ỗi s ố đan d ấu n ếu u>0, ∀ n . ∞ 2n + 1 n VD 3. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) n . ∞ n ∞ n ∑ n+1 (− 1) 2+ 1 n 2 VD 1. , (− 1) n+1 là cỏc chu ỗi đan dấu. =1 ∑ ∑ n+1 n=1 n n=1 2 b) Đị nh lý Leibnitz Nếu dóy {u } gi ảm nghiờm ng ặt và u → 0 thỡ chuỗi ∞ n n n ∈ℕ n (− 1) ∞ VD 4. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n ∑ n n=2 n +( − 1) ∑(− 1) un h ội t ụ. Khi đú, ta g ọi là chu ỗi Leibnitz . n=1 Chương 4. Lý thuy t chu i Chương 4. Lý thuy t chu i 3.2. Chu ỗi cú d ấu tựy ý b) Đị nh lý a) Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ Nếu ∑ un h ội t ụ thỡ chu ỗi cú d ấu tựy ý ∑un hội t ụ. ℝ • Chu ỗi ∑un, u n ∈ đượ c g ọi là chu ỗi cú d ấu tựy ý . n=1 n=1 ∞ n=1 ∞ • u đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu u hội t ụ. ∑ n ∑ n ∞ cos(nn ) n=1 n=1 VD 6. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∞ ∑ 2 u u n=1 n • ∑ n đượ c g ọi là bỏn hội t ụ nếu ∑ n hội t ụ và n=1 ∞ n=1 u phõn k ỳ. ∞ (− 1)n + ( − 2) n +1 ∑ n VD 7. Xột s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n=1 ∑ n n=1 3 ∞ (− 1) n VD 5. Chu ỗi s ố là bỏn h ội t ụ. ∑ n=1 n Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 20
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Đ1. Ma tr ận a a a 11 12 1 n Đ2. Đị nh th ức Đ3. H ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh a a a 21 22 2 n Đ4. Khụng gian vector A = . Đ1. MA TR ẬN a a a m1 m 2 mn 1.1. Cỏc định ngh ĩa • Cỏc s ố aij đượ c g ọi là cỏc ph ần t ử của A ở dũng th ứ i a) Đị nh ngh ĩa ma tr ận và c ột th ứ j . • Ma tr ận A c ấp mì n trờn ℝ là 1 h ệ th ống g ồm • C ặp s ố (m , n ) đượ c g ọi là kớch th ướ c c ủa A. mì n s ố a ∈ ℝ (i= 1, mj ; = 1, n ) và đượ c s ắp ij • Khi m = 1, ta g ọi: thành bảng gồm m dũng và n c ột: Aaa= (11 12 a 1 n ) là ma tr ận dũng. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh a • Ma tr ận vuụng 11 • Khi n = 1, ta g ọi A = là ma tr ận c ột. Khi m= n , ta g ọi A là ma tr ận vuụng c ấp n . a Ký hi ệu là A= ( a ) . m1 ij n • Khi m= n = 1, ta g ọi: Đườ ng chộo ch ứa cỏc ph ần A= ( a ) là ma tr ận g ồm 1 ph ần t ử. 11 tử a a a đượ c g ọi 11, 22 , , nn 1 2 3 4 là đườ ng chộo chớnh c ủa 56 7 8 • Ma tr ận O = (0ij ) mì n cú t ất c ả cỏc ph ần t ử đề u b ằng 0 A= ( a ) , đượ c g ọi là ma tr ận khụng . ij n 76 5 4 đườ ng chộo cũn l ại đượ c g ọi • T ập h ợp cỏc ma tr ận A đượ c ký hi ệu là M ℝ , để là đườ ng chộo ph ụ. 3 2 1 0 m, n ( ) A a cho g ọn ta vi ết là = (ij ) mì n . Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh • Cỏc ma tr ận vuụng đặ c bi ệt Ma tr ận ma tr ận vuụng cấp n cú tất c ả cỏc ph ần t ử nằm phớa dướ i ( trờn ) đườ ng chộo chớnh đề u bằng Ma tr ận vuụng cú t ất c ả cỏc −1 0 0 0 đượ c g ọi là ma tr ận tam giỏc trờn ( dướ i). ph ần t ử n ằm ngoài đườ ng 0 5 0 chộo chớnh đề u bằng 0 đượ c 1 0− 2 3 0 0 0 0 0 gọi là ma tr ận chộo . B A =0 − 1 1 = 4 1 0 0 0 0 −1 5 2 Ma tr ận chộo c ấp n g ồm t ất 1 0 0 cả cỏc ph ần t ử trờn đườ ng Ma tr ận vuụng cấp n cú tất c ả chộo chớnh đề u bằng 1 đượ c I = 0 1 0 3 cỏc cặp ph ần t ử đố i xứng 3 4 −1 gọi là ma tr ận đơ n v ị c ấp n . 0 0 1 nhau qua đườ ng chộo chớnh 4 1 0 Ký hi ệu là I . n bằng nhau ( a= a ) đượ c ij ji −1 0 2 gọi là ma tr ận đố i x ứng . Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 21
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh b) Ma tr ận b ằng nhau 1.2. Cỏc phộp toỏn trờn ma tr ận a) Phộp c ộng và tr ừ hai ma tr ận Hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) đượ c g ọi là bằng ij ij Cho hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) , ta cú: nhau , ký hi ệu A= B , khi và chỉ khi chỳng cựng ij mì n ij mì n AB± =( aij ± b ij ) mì n . kớch th ướ c và aij= b ij , ∀ ij , . −102 202 104 1 x y 1 0− 1 VD 2. + = ; VD 1. Cho A = và B = . 23− 4 5 − 31 70 − 3 z2 t 2u 3 −102 202 − 300 Ta cú: − = . ABx=⇔=0; y =− 1; z = 2; u = 2; t = 3 . 234− 531 − −− 365 Nh ận xột Phộp c ộng ma tr ận cú tớnh giao hoỏn và k ết h ợp. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh b) Phộp nhõn vụ h ướ ng c) Phộp nhõn hai ma tr ận ℝ Cho ma tr ận A= ( a ij ) mì n và λ ∈ , ta cú: Cho hai ma tr ận A= ( a ij ) mì n và B= ( b jk ) nì p , ta cú: λA= ( λ a ij ) mì n . AB= ( c ik ) mì p . −110 3 − 30 n Trong đú, c= abi = 1, mk ; = 1, p . VD 3. −3 = ; ik∑ ij jk ( ) −20 − 4 6 0 12 j=1 −1 264 132 = 2 . VD 4. Th ực hi ện phộp nhõn 1 2 3 2 . −408 − 204 ( ) Chỳ ý −5 • Phộp nhõn vụ h ướ ng cú tớnh phõn ph ối đố i v ới phộp 1− 1 0 c ộng ma tr ận. VD 5. Th ực hi ện phộp nhõn (1 2 ) . • Ma tr ận −1. A = − A đượ c g ọi là ma tr ận đố i c ủa A. −1 0 3 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 1 0− 1 −1 − 2 1 2 0 1 1− 1 VD 7. Cho A =2 − 2 0 và B = 0 − 3 1 . VD 6. Tớnh 1− 1 . −2 0 3 3 0− 3 2− 1 0 −1 3 Th ực hi ện phộp tớnh: a) AB ; b) BA . VD 8. Th ực hi ện phộp nhõn: Tớnh ch ất 1− 120 1 32 − 12 − 1 1) (AB )C = A(BC ); 2) A(B + C ) = AB + AC ; A =−−−2 301 2110 − 21 . 3) (A + B )C = AC + BC ; 4) λ(AB ) = ( λA)B = A (λB); −1142 −− 1 331 0 − 2 ℝ 5) AIn= A = IA m , v ới A∈ M m, n ( ) . Chỳ ý • Phộp nhõn ma tr ận khụng cú tớnh giao hoỏn. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 22
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh • Đặ c bi ệt, khi A= ( a ) và p ∈ ℕ*, ta cú: 2 0 ij n 2009 VD 10. Cho B = , giỏ tr ị c ủa (I2 − B ) là: p 1 0 In= I n và A0= IA,p = () A p− 1 AAA = () p − 1 −1 0 −1 0 −1 0 1 0 n A. ; B. ; C. ; D. . (l ũy th ừa ma tr ận). −1 1 −1 − 1 1 1 −1 − 1 VD 11. Cho A= ( a ij ) là ma tr ận vuụng c ấp 100 cú 1− 1 2010 VD 9. Cho ma tr ận A = , giỏ tr ị c ủa A là: i 0 1 cỏc ph ần t ử ở dũng th ứ i là (− 1) . −1 − 2010 1− 2010 b B A 2 Tỡm ph ần t ử 36 c ủa ma tr ận = . A. ; B. ; 0 1 0 1 VD 12. Cho A= ( a ij ) là ma tr ận vuụng c ấp 40 cú cỏc i+ j 2 1− 2010 −1 − 2010 ph ần t ử a =( − 1) . Phần t ử a c ủa A là: C. ; D. . ij 25 0− 1 0− 1 A. a25 = 0; B. a25 = − 40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = − 1. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh d) Phộp chuy ển v ị Tớnh ch ất T T T T T Cho ma tr ận A= ( a ) . 1) (A + B ) = A + B ; 2) (λA) = λA ; ij mì n 3) (AT)T = A ; 4) ( AB )T = B TAT; T T Khi đú, A= ( a ji ) nì m đượ c g ọi là ma tr ận chuy ển v ị 5) A= A ⇔ A đố i x ứng. của A (ngh ĩa là chuy ển t ất c ả cỏc dũng thành c ột). 1− 1 0 1− 2 1 4 VD 14. Cho A= 0 2 , B = . 1 2 3 −1 0 − 3 T VD 13. Cho A= ⇒ A = 2 5 . −3 − 2 4 5 6 T 3 6 a) Tớnh (AB ) . b) Tớnh BT A T và so sỏnh k ết qu ả v ới (AB ) T . Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 1.3. Phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn dũng c ủa ma tr ận VD 1 5. Dựng PB ĐSC trờn dũng để đư a ma tr ận (Gauss – Jordan ) 2 1− 1 1− 2 3 Cho ma tr ận A= ( a ) (m ≥ 2) . Cỏc phộp bi ến đổ i ij mì n A =1 − 2 3 v ề B =0 1 − 7/5 . sơ c ấp (PB ĐSC) dũng e trờn A là: 3− 1 2 0 0 0 d↔ d 1) e Hoỏn v ị hai dũng cho nhau Ai k A ′. (1 ) : → Gi ải. Ta cú: d→λ d i i ′′ 1− 2 3 1− 2 3 2) (e2 ) : Nhõn 1 dũng v ới s ố λ ≠ 0, A→ A . d↔ d d→ d − 2 d 1 2 2 2 1 A →2 1 − 1 →d→ d − 3 d 0 5 − 7 3) (e ) : Thay 1 dũng b ởi t ổng c ủa dũng đú v ới λ lần 3 3 1 3 d→ d + λ d 3− 1 2 dũng khỏc, A→i i k A ′′′ . 0 5− 7 Chỳ ý 1− 2 3 d→ d + λ d i i k d→ d − d 1) Trong th ực hành ta th ườ ng làm A→ B . 3 3 2 →1 0 1 − 7/5 = B . d→ d 2) Tươ ng t ự, ta c ũng cú cỏc phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn 2 2 5 c ột c ủa ma tr ận. 0 0 0 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 23
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 1.4. Ma tr ận b ậc thang VD 1 6. Cỏc ma tr ận b ậc thang: 1 0 0 • Một dũng c ủa ma tr ận cú t ất c ả cỏc ph ần t ử đề u b ằng 1 0 2 0 1 2 3 0 đượ c g ọi là dũng b ằng 0 (hay dũng khụng ). 0 1 0 I 0 0 3, 0 0 4 5, n = . • Ph ần t ử khỏc 0 đầ u tiờn tớnh t ừ trỏi sang c ủa 1 dũng 0 0 0 0 0 0 1 trong ma tr ận đượ c g ọi là ph ần t ử cơ s ở c ủa dũng đú. 0 0 1 • Ma tr ận b ậc thang là ma tr ận khỏc khụng c ấp mì n Cỏc ma tr ận khụng ph ải là b ậc thang: (m , n ≥ 2) th ỏa hai điều ki ện: 0 0 0 0 2 7 1 3 5 1) Cỏc dũng b ằng 0 (nếu cú) ở phớa dướ i cỏc dũng 3 1 4 , 0 3 4 , 0 0 4 . khỏc 0; 2) Ph ần t ử c ơ s ở c ủa 1 dũng b ất k ỳ n ằm bờn ph ải 0 0 5 0 0 5 2 1 3 ph ần t ử c ơ s ở c ủa dũng ở phớa trờn dũng đú. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch 2 5 3− 5 a) Đị nh ngh ĩa VD 17. A = và B = là hai ma tr ận 1 3 −1 2 • Ma tr ận A∈ M (ℝ ) đượ c g ọi là kh ả ngh ịch n ếu t ồn n ngh ịch đả o c ủa nhau vỡ AB= BA = I . tại ma tr ận B M ℝ sao cho: 2 ∈ n ( ) Chỳ ý 1) N ếu ma tr ận A cú 1 dũng (hay cột) b ằng 0 thỡ AB= BA = I n . khụng kh ả ngh ịch. • Ma tr ận B đượ c g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o của A. 2) (AB ) −1= BA − 1 − 1 . 3) N ếu ac− bd ≠ 0 thỡ: Ký hi ệu B= A −1. Khi đú: −1 AAAA−1= − 1 = IA;( −− 11 ) = A . VD 1 8. Cho hai ma tr ận: ab1 cb− n 2 5 2 1 = . . Chỳ ý dcac− bd − da A = , B = . N ếu B là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A thỡ B là duy nh ất 1 3 3 2 và A cũng là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa B . Thực hi ện phộp tớnh: a) (AB ) −1; b) B−1 A − 1 . Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh b) Tỡm ma tr ận ngh ịch đả o b ằng phộp bi ến đổ i 1− 1011000 sơ c ấp trờn dũng (tham kh ảo) 0− 1100100 ℝ −1 Cho A∈ M n ( ) kh ả ngh ịch, ta tỡm A nh ư sau: Gi ải. Ta cú: A I = ( 4 ) 0 0 110010 Bướ c 1. L ập ma tr ận A I (ma tr ận chia kh ối) b ằng ( n ) 0 0 010001 cỏch ghộp ma tr ận In vào bờn ph ải của A. 10001− 11 − 2 Bướ c 2. Dựng phộp bi ến đổ i s ơ c ấp trờn dũng để đư a A I v ề d ạng I B . d→ d − d 01000− 11 − 1 ( n ) ( n ) 3 3 4 1− 101 d→→ d − d . −1 2 3 2 00100 0 1− 1 Khi đú: A= B . d1→ d 1 + d 2 − d 4 0− 110 VD 19. Tỡm ngh ịch đả o c ủa A = . 00010 0 0 1 0 0 11 I A−1 0 0 01 4 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 24
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Đ2. ĐỊ NH TH ỨC 1 2 3 2.1. Đị nh ngh ĩa VD 1. Ma tr ận A = 4 5 6 cú cỏc ma tr ận con ứng a) Ma tr ận con c ấp k 7 8 9 với cỏc ph ần t ử aij là: Cho A= a ∈ M (ℝ ) . ( ij) n n 5 6 4 6 4 5 M = , M = , M = , • Ma tr ận vuụng c ấp k đượ c lập t ừ cỏc ph ần t ử n ằm 11 8 9 12 7 9 13 7 8 trờn giao c ủa k dũng và k c ột c ủa A đượ c g ọi là ma tr ận con c ấp k c ủa A. 2 3 1 3 1 2 M = , M = , M = , 21 8 9 22 7 9 23 7 8 • Ma tr ận Mij cú cấp n −1 thu đượ c t ừ A b ằng cỏch bỏ đi dũng th ứ i và c ột th ứ j đượ c g ọi là ma tr ận con 2 3 1 3 1 2 M = , M = , M = . của A ứng v ới ph ần t ử aij . 31 32 33 5 6 4 6 4 5 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh b) Đị nh th ức (Determinant ) Chỳ ý ℝ Đị nh th ức c ủa ma tr ận vuụng A∈ M n ( ) , ký hi ệu 1) detIn= 1, det O n = 0 . det A hay A , là 1 s ố th ực đượ c đị nh ngh ĩa: a11 a 12 a 13 Nếu A= ( a ) thỡ det A= a . 11 11 2) Tớnh a21 a 22 a 23 . a a 11 12 a a a Nếu A = thỡ det A= aa − aa . 31 32 33 a a 11 22 12 21 21 22 a a aa a a11 a 12 a 13 Nếu A= ( a ) (cấp n ≥ 3) thỡ: 11 12 13 11 12 ij n a a aa a ho c a a a AaA aA aA 21 22 23 21 22 21 22 23 det=1111 + 1212 ++ 1n 1 n a a aa a a31 a 32 a 33 trong đú, A=( − 1)i+ j det M và s ố th ực A đượ c 31 32 33 31 32 ij ij ij (T ổng c ủa tớch cỏc ph ần t ử trờn đườ ng chộo nột li ền tr ừ gọi là ph ần bự đạ i s ố c ủa ph ần t ử a . ij đi t ổng c ủa tớch cỏc ph ần t ử trờn đườ ng chộo nột đứ t). Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 2 . Tớnh đị nh th ức c ủa cỏc ma tr ận sau: 2.2. Cỏc tớnh ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức 1 2− 1 Cho ma tr ận vuụng A= a ∈ M (ℝ ) , ta cú cỏc 3− 2 ( ij)n n A B = , =3 − 2 1 . tớnh ch ất c ơ b ản sau: 1 4 2 1 1 a) Tớnh ch ất 1 detAT = det A . VD 3 . Tớnh đị nh th ức c ủa ma tr ận: ( ) 003− 1 1 32 12− 1 412− 1 A = . VD 4. 2− 21 = 3 − 21 =− 12 . 3 1 0 2 −111 21 1 2 3 3 5 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 25
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh b) Tớnh ch ất 2 c) Tớnh ch ất 3 Nếu hoỏn v ị hai dũng (ho ặc hai cột) cho nhau thỡ Nếu nhõn 1 dũng (ho ặc 1 cột) v ới s ố th ực λ thỡ đị nh th ức đổ i d ấu. đị nh th ức t ăng lờn λ l ần. 1 3 2 −1 1 1 1− 1 1 VD 5. 2− 2 1 = −2 − 2 1 = − 2 2 1. 3.1 0 3.(1)− 1 0 − 1 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 VD 7. 21− 2 = 321 − 2 ; 31 7 317 Hệ qu ả. Nếu định th ức cú ớt nh ất 2 dũng (ho ặc 2 cột) gi ống nhau thỡ b ằng 0. 3 3 x+ 1 xx 1 xx 3 3 1 x x2 x 3 x+1 yy3 = ( x + 1) 1 yy 3 . VD 6. 2 2 1 = 0; 1 y2 y 5 = 0. x+ 1 zz3 1 zz 3 1 1 7 1 y2 y 5 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Hệ qu ả d) Tớnh ch ất 4 Nếu đị nh th ức cú 1 dũng (ho ặc 1 cột) mà m ỗi ph ần 1) Nếu định th ức cú ớt nh ất 1 dũng (ho ặc 1 cột) tử là t ổng c ủa 2 s ố h ạng thỡ ta cú th ể tỏch thành t ổng bằng 0 thỡ b ằng 0. 2 đị nh th ức. 2) Nếu định th ức cú 2 dũng (ho ặc 2 cột) t ỉ l ệ v ới VD 9. xxx +1 − 1 110 − xxx nhau thỡ b ằng 0. x y y3= xyy 3 + xyy 3 ; 1zz3 1 zz 3 1 zz 3 x 0 1 6− 6 − 9 2 VD 8. x0 y = 0 ; 2 2− 30 = . cos2x 2 3 sin 2 x 2 3 1 2 3 3 2 x0 y −8 − 3 12 sin2x 56+ cos 2 x 56 = 156. sin2x 89 cos 2 x 89 1 8 9 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh e) Tớnh ch ất 5 2.3. Đị nh lý (khai tri ển Laplace ) Đị nh th ức s ẽ khụng đổ i nếu ta c ộng vào 1 dũng ℝ Cho ma tr ận vuụng A=( aij) ∈ M n ( ) , ta cú cỏc (ho ặc 1 cột) v ới λ l ần dũng (ho ặc cột) khỏc. n khai tri ển Laplace c ủa đị nh th ức A: VD 10 . Sử d ụng tớnh ch ất 5 để đư a đị nh th ức sau v ề a) Khai tri ển theo dũng thứ i 1 2 3 n AaA aA aA aA det=ii11 + ii 22 ++ inin = ∑ ijij . dạng b ậc thang: =−1 2 − 1 . j=1 2 3 4 i+ j Trong đú, Aij=( − 1) det( M ij ) . x 2 2 b) Khai tri ển theo c ột th ứ j VD 11. Sử d ụng tớnh ch ất 5 để tớnh = 2x 2 . n detAaA= + aA ++ aA = aA . 11jj 22 jj njnj∑ ijij 2 2 x i=1 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 26
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 1 0 0 2 Cỏc k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ 1) Dạng tam giỏc 2 0 1 2 aa a a 0 0 VD 12. Tớnh đị nh th ức b ằng hai cỏch 11 12 1n 11 1 3 2 3 0a a aa 0 22 2n = 21 22 = a a a . 3 0 2 1 11 22 nn khai tri ển theo dũng 1 và khai tri ển theo cột 2. 0 0 ann aa n1 n 2 a nn VD 1 3. Áp d ụng tớnh ch ất và đị nh lý Laplace, hóy tớnh 2) Dạng tớch: det(AB )= det A .det B . 1 1 1 2 3) D ạng chia kh ối 2− 1 1 3 A⋮ B đị nh th ức . 1 2− 12 ℝ = detA .det C , v ới ABC,,∈ M n () . 3 3 2 1 On ⋮ C Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh T VD 1 4 . Tớnh đị nh th ứ c: VD 1 5. Tớnh đị nh th ức: 11− 1214 − 314 1 2 3 4 0 0 3 4 VD 1 7. Tớnh detD = 20 32130 12. 0− 2 7 19 3− 2 7 19 12− 3121 1 21 det A = . det B = . 0 0 3 0 1 2 3 7 0 0 0− 1 0 0 8− 1 x 1 0 0 1x 0 0 VD 18. Ph ươ ng trỡnh = 0 cú nghi ệm 2x x − 2 11− 1214 3 8 2 x VD 16. Tớnh detC = 20 3 213 . x = ± 1 12− 3121 là: A. x = ± 1; B. x = 1; C. x = − 1; D. . x = ± 2 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 2.4. Ứng d ụng đị nh th ức tỡm ma tr ận ngh ịch đả o b) Thu ật toỏn tỡm A–1 a) Đị nh lý • Bướ c 1. Tớnh det A. N ếu detA = 0 thỡ k ết lu ận A Ma tr ận vuụng A kh ả ngh ịch khi và ch ỉ khi: khụng kh ả ngh ịch. Ngượ c l ại, ta làm ti ếp b ướ c 2. detA ≠ 0. • Bướ c 2. L ập ma tr ận A, A= ( − 1)i+ j det M . VD 1 9. Giỏ tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận ( ij)n ij ij T Suy ra ma tr ận ph ụ h ợp (adjunct matrix ) c ủa A là: m1 m 0 m −1 0 T A = 2 m m adjA= ( A ij ) . 0 1− 1 1 m n kh ả ngh ịch là: • Bướ c 3. Ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A là: m m = 0 ≠ 0 −1 1 A. ; B. ; C. m ≠ 0; D. m ≠ 1. A= . adjA . m = 1 m ≠ 1 det A Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 27
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 20 . Tỡm ma trận ngh ịch đả o (nếu cú) c ủa: 11 01 01 A= =1, A =− = 1, A = =− 1, 1123 12 13 13 12 1 2 1 A = 1 1 2 . 21 11 12 A A A 21=− =−4, 22 = = 2, 23 =− = 0, 3 5 4 23 13 12 21 11 12 A= =1, A =− =− 1, A = = 1. 31 32 33 1 2 1 11 01 01 −1 VD 21. Cho ma tr ận A = 0 1 1 . Tỡm A . 1− 4 1 1− 4 1 1 2 3 −1 1 ⇒adjA = 1 2 − 1 ⇒A = 1 2 − 1. 2 Gi ải. Ta cú: detA= 2 ≠ 0 ⇒ A kh ả ngh ịch. −1 0 1 −1 0 1 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 2.5. H ạng c ủa ma tr ận Chỳ ý • N ếu A= a khỏc 0 thỡ 1≤rA ( ) ≤ min{ mn , }. a) Đị nh th ức con c ấp k ( ij )mì n Cho ma tr ận A= a . Đị nh th ức c ủa ma tr ận con • N ếu A là ma tr ận khụng thỡ ta quy ướ c r( A )= 0 . ( ij )mì n cấp k của A đượ c g ọi là đị nh th ức con c ấp k c ủa A. c) Thu ật toỏn tỡm h ạng c ủa ma tr ận Đị nh lý • B ướ c 1. Đư a ma tr ận c ần tỡm h ạng v ề b ậc thang. Nếu ma tr ận A cú t ất c ả cỏc đị nh th ức con c ấp k đề u bằng 0 thỡ cỏc đị nh th ức con c ấp k + 1 c ũng b ằng 0. • B ướ c 2. Số dũng khỏc 0 c ủa ma tr ận b ậc thang chớnh là h ạng c ủa ma tr ận đó cho. b) H ạng c ủa ma tr ận • Đặ c bi ệt Cấp cao nh ất c ủa đị nh th ức con khỏc 0 c ủa ma tr ận A N ếu A là ma vuụng c ấp n thỡ: đượ c g ọi là hạng c ủa ma tr ận A. Ký hi ệu là r( A ) . rA( )= n ⇔ det A ≠ 0. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chỳ ý VD 22 . Điều ki ện c ủa tham s ố m để ma tr ận Ta cú th ể hoỏn v ị c ột c ủa ma tr ận r ồi đư a v ề b ậc thang. m −1 − 2 m = − 2 VD 2 5. Giỏ tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận A = 0 3 2 cú h ạng b ằng 3 là: A. ; m = 1 m + 1 1 3 0 1 1 B. m = 1; A= 2 m + 2 0 cú r( A )= 2 là: A. m ≠ 1; B. m ≠ − 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ 0. C. m = − 2; 2m 1 3 m = − 1 VD 23 . Cho ma tr ậ n: VD 24. Tỡm r( A ) . Bi ết: D. . m = 0 1− 342 21− 13 VD 26. Tựy theo −12 1 − 11 A =2 − 514 . 0− 10 0 giỏ tr ị m , tỡm A . m −11 − 1 − 1 = hạng c ủa ma tr ận: A = 3− 856 01 2 0 1m 011 Tỡm r( A ) . 0− 11 − 4 1 22− 11 Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 28
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Đ3. H Ệ PH ƯƠ NG TRèNH TUY ẾN TÍNH a a 11 1 n 3.1. Đị nh ngh ĩa Đặ t: A= = () a ij , mì n x i n a a Hệ gồm n ẩn i (= 1, , ) và m ph ươ ng trỡnh: m1 mn ax+ ax ++ ax = b T T 111 122 1n n 1 B= b b và X= x x ( 1 m ) ( 1 n ) ax211+ ax 222 ++ ax 2n n = b 2 (I ) l ần l ượ t là ma tr ận h ệ s ố, ma tr ận c ột hệ s ố tự do và ma tr ận c ột ẩn. axax+ ++ ax = b m11 m 22 mn n m Khi đú, h ệ (I ) tr ở thành AX= B . T trong đú, cỏc h ệ s ố a∈ℝ ( i = 1, , nj ; = 1, , m ) , • B ộ s ố α= α α ho ặc α= α; ; α ij ( 1 n ) ( 1 n ) đượ c g ọi là hệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh . đượ c g ọi là nghi ệm c ủa (I ) n ếu Aα = B . Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 1. Cho h ệ ph ươ ng trỡnh: 3.2. Đị nh lý Crocneker – Capelli xx x x Cho h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B . Gọi ma tr ận 12−+2 3 + 4 4 = 4 2x+ x + 4 x =− 3 aa ab 1 2 3 11 12 1n 1 x x mở r ộng là A= A B = . 22− 7 3 = 5. () aa ab Hệ ph ươ ng trỡnh đượ c vi ết l ại d ướ i d ạng ma tr ận: m1 m 2 mn m Đị nh lý x 1 1124− 4 Hệ AX= B cú nghi ệm khi và ch ỉ khi rA()= rA (). x 2 2140 = − 3 Trong tr ườ ng h ợp hệ AX= B cú nghi ệm thỡ: x 3 02− 70 5 Nếu r( A )= n : kết lu ận hệ cú nghi ệm duy nh ất; x 4 Nếu r( A )< n : kết lu ận hệ cú vụ s ố nghi ệm và α =(1; − 1; − 1; 1) là 1 nghi ệm c ủa h ệ. ph ụ thu ộc vào n− r tham s ố. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 2 . Tựy theo điều ki ện tham s ố m , hóy bi ện lu ận s ố 3.3. Ph ươ ng phỏp gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trỡnh: a) Ph ươ ng phỏp ma tr ận (tham kh ảo) x+ my −3 z = 0 Cho h ệ phươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B , với A là 2 ma tr ận vuụng c ấp n kh ả ngh ịch. (1−m ) z = m − 1. Ta cú: VD 3. Điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trỡnh: −1 AX= B ⇔ X = AB . mx + 8 z − 7 t = m − 1 VD 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh sau b ằng 3x+ my + 2 z + 4 t = m 2 ph ươ ng phỏp ma tr ận: mz+ 5 t = m − 1 2x+ y − z = 1 5z− mt = 2 m + 2 y+ 3 z = 3 cú nghi ệm duy nh ất là: 2x+ y + z =− 1. A. m ≠ 0; B. m ≠ 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ ± 5. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 29
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 211− − 112 − b) Ph ươ ng phỏp đị nh th ức (hệ Cramer ) −1 1 Gi ải. A=013 ⇒= A 323 − . Cho h ệ AX= B , với A là ma tr ận vuụng c ấp n . 2 211 − 101 • Bướ c 1. Tớnh cỏc đị nh th ức: −1 a a a Hệ ph ươ ng trỡnh ⇔X = A B 11 1j 1 n x −1121 − x − 3 =detA = , 1 a a a ⇔=y3233 − ⇔= y 6 . n1 nj nn 2 z−1011 − z − 1 a11 b1 a 1 n x = − 3, = ,j = 1, n j Vậy h ệ đó cho cú nghi ệm y = 6, a .b a n1 n nn z = − 1. (thay c ột th ứ j trong b ởi c ột t ự do). Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh • Bướ c 2. K ết lu ận: VD 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh sau bằng đị nh th ức: Nếu ≠ 0 thỡ h ệ cú nghi ệm duy nh ất: 2x+ y − z = 1 y+ 3 z = 3 x=j , ∀ j = 1, n . j 2x+ y + z =− 1. Nếu = j =0, ∀j = 1, n thỡ h ệ cú vụ s ố nghi ệm Gi ải. Ta cú: (ta thay tham s ố vào h ệ và tớnh tr ực ti ếp). 2 1− 1 1 1− 1 =01 3 = 4 , 1 =3 1 3 = − 12 , Nếu = 0 và ∃ ≠0,j = 1, n thỡ h ệ vụ nghi ệm. j 2 1 1 −1 1 1 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 21 − 1 2 1 1 c) Ph ươ ng phỏp ma tr ận b ậc thang ươ =03 3 = 24 , =0 13 = − 4 . (ph ng phỏp Gauss ) 2 3 Xột h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh AX= B . 2 −1 1 2 1 −1 • Bướ c 1. Đư a ma tr ận m ở r ộng A B v ề d ạng b ậc ( ) Vậy x=1 =−3, y = 2 = 6, z = 3 =− 1. thang b ởi PB ĐSC trờn dũng. • Bướ c 2. Gi ải ng ượ c t ừ dũng cu ối cựng lờn trờn. (m+ 1) x += y m + 2 VD 6. Hệ ph ươ ng trỡnh Chỳ ý . Trong quỏ trỡnh th ực hi ện b ướ c 1, n ếu: x+( m + 1) y = 0 cú 2 dũng t ỉ l ệ thỡ xúa đi 1 dũng; cú nghi ệm khi và ch ỉ khi: A. m = − 2; B. m≠−2 ∧ m ≠ 0 ; cú dũng nào b ằng 0 thỡ xúa dũng đú; C. m ≠ 0; D. m ≠ − 2. cú 1 dũng d ạng (0 0b) , b ≠ 0 thỡ hệ vụ nghi ệm. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 30
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 7. Gi ải h ệ sau b ằng ph ươ ng phỏp Gauss: VD 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trỡnh tuy ến tớnh: x y z x x x x 2+ − = 1 51− 2 2 + 5 3 − 3 4 = 3 y+ 3 z = 3 4xx++ 32 x − x = 1 12 3 4 Gi ải. Ta cú: 2x+ y + z =− 1. 2x+ 7 x − x = − 1. 1 2 3 2 1− 11 2 1− 11 VD 9. Tỡm nghi ệm c ủa h ệ x4+y + 5 z =− 1 d d d 3→ 3 − 1 A B = 01 3 3 →01 3 3. ( ) A. x=15, y =− 4, z = 0 ; 2x+ 7 y − 11 z = 2 21 1− 1 00 2− 2 B. H ệ cú vụ s ố nghi ệm; 3x+ 11 y − 6 z = 1. 2xyz+−= 1 x =− 3 x =15 − 79 α x =15 + 79 α Hệ ⇔ y += 3 z 3 ⇔= y 6 . C. y = −4 − 21 α; D. y = −4 − 21 α. 2z=− 2 z =− 1 z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 3x− y + 2 z = 3 Đ4. KHễNG GIAN VECTOR VD 10. Tỡm nghi ệm c ủa h ệ . 4.1. Đị nh ngh ĩa 1 2x+ y − 2 z = 7 Cho t ập V khỏc r ỗng, xột hai phộp toỏn sau: x = 2 x = 2 x+ yxy( , ∈ V ) và λx( λ ∈ℝ , x ∈ V ) . A. y =7 − 2 α; B. y =3 + 2 α Ta núi V cựng v ới hai phộp toỏn trờn là m ột khụng gian vector n ếu th ỏa 8 tớnh ch ất sau: z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ 1) (x++=++ y ) z x ( yz ),,, ∀ xyzV ∈ ; C. Hệ cú vụ s ố nghi ệm; D. H ệ vụ nghi ệm. 2) ∃∈θVx: +=+= θ θ xxxV , ∀∈ ; 3) ∀∈xV,() ∃−∈ xV :() −+=+−= xxx () x θ ; m VD 11 . Giỏ tr ị c ủa tham s ố để h ệ ph ươ ng trỡnh 4) x+=+ y y x, ∀ xyV , ∈ ; x+2 y +− (7 mz ) = 2 5) λ()xy+= λλ x + yxyV ,,, ∀ ∈ ∀∈ λ ℝ ; A. m = ± 1; 2x+ 4 y − 5 z = 1 B. m = 1; 6) ()λ +x = λ x + xxV , ∀∈∀ ,, λ ∈ ℝ ; 7) ()λ x= λ (), x ∀∈∀ xV ,, λ ∈ ℝ ; 3x+ 6 y + mz = 3 C. m = − 7; 8) 1 .x= x , ∀ x ∈ V . D. m = 7. cú vụ s ố nghi ệm là: Trong đú, θ ∈ V đượ c g ọi là vector khụng . Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 4.2. Đị nh ngh ĩa 2 VD 1 . • Trong ℝ2, h ệ g ồm 2 vector: Trong kgvt V , cho n vector ui ( i= 1, , n ) . n u=1;–1 , u = 2; 3 • λu λ ℝ đượ c g ọi là một t ổ h ợp tuy ến tớnh { 1( ) 2 ( )} ∑ i i, i ∈ i=1 là độc l ập tuy ến tớnh. của n vector u . i • Trong ℝn , h ệ gồm n vector : • H ệ u u u đượ c g ọi là độ c l ập tuy ến tớnh u=(0; ;α ; ; 0); i = 1, , n ; α ≠ 0 {1 , 2 , ,n } { i } n (thành ph ần th ứ i c ủa u là α) là đltt. (đltt ) nếu cú λu = θ thỡ λ =0, ∀i = 1, n . i ∑ i i i 3 i=1 • Trong ℝ , h ệ gồm 3 vector: • H ệ {u , u , , u } khụng là độ c l ập tuy ến tớnh thỡ u=–1; 3; 2 , u = 2; 0; 1 , u = 0; 6; 5 1 2 n { 1( ) 2( ) 3 ( )} đượ c g ọi là ph ụ thu ộc tuy ến tớnh ( pttt ). là phụ thu ộc tuy ến tớnh. Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 31
- dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh 4.3. Đị nh ngh ĩa 3 n 4.4. H ệ vector trong ℝ • Trong kgvt V , h ệ A uu u đượ c g ọi là a) Đị nh ngh ĩa = { 1, 2 , , n } ℝn một cơ s ở c ủa V n ếu h ệ A độc l ập tuy ến tớnh và m ọi Trong , cho m vector ui=( a i1 , , ai in ), = 1, m . V A vector c ủa đề u bi ểu di ễn tuy ến tớnh qua . Ta g ọi A= a là ma tr ận dũng c ủa m vector u . ( ij )mì n i • Nếu k gvt V cú m ột c ơ s ở g ồm n vector thỡ V đượ c gọi là kgvt cú n chi ều. Ký hi ệu là dim V = n . b) Đị nh lý • Trong ℝn , h ệ u, u , , u đltt ⇔ r( A ) = m Khi đú, trong kgvt V , mọi hệ cú nhi ều hơn n vector { 1 2 m } đề u phụ thu ộc tuy ến tớnh. (hạng c ủa A bằng s ố ph ần t ử c ủa h ệ). • Trong ℝn , h ệ u u u pttt r( A ) < m . 2 { 1, 2 , , m } ⇔ VD 2. Trong ℝ , h ệ A= u =1;–1 , u = 2; 3 { 1( ) 2 ( )} • Trong ℝn , h ệ u, u , , u là c ơ s ở ⇔ r( A ) = n . là một cơ s ở. { 1 2 n } Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 4. Đ i s tuy n t ớnh VD 3. Trong ℝ3 , xột s ự đltt hay pttt c ủa h ệ sau: c) T ọa độ c ủa vector u=−( 1; 2; 0), u = (1; 5; 3), u = (2; 3; 4) . Trong kgvt ℝn , cho c ơ s ở F uu u . { 1 2 3 } ={,1 2 , ,n } Vector x∈ V tựy ý cú bi ểu di ễn tuy ến tớnh m ột cỏch 3 VD 4. Trong ℝ , tỡm điều ki ện m để h ệ sau là c ơ s ở: n duy nh ất qua c ơ s ở F là x=α u , α ∈ ℝ. um=( ; 1; 1), u = (1; mu ; 1), = (1; 1; m ) . ∑ i i i { 1 2 3 } i=1 Ta núi x cú tọa độ đố i v ới cơ s ở F là (;α α ; ; α ) . VD 5. Trong ℝ4 , điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ sau 1 2 n Ký hi ệu là [x ] . {(1;2;1;4), (2;3;m ;7), (5;8;2 m+ 1;19), (4;7; m + 2;15 )} F ph ụ thu ộc tuy ến tớnh là: Đặ c bi ệt, E={ u1 = (1;0; ;0), , u n = (0; ;0;1)} A. m = 2; B. m = − 2; C. m = 4; D. m ∈ ℝ. n đượ c g ọi là cơ s ở chớnh t ắc c ủa ℝ . Khi đú, t ọa độ c ủa 1 vector đượ c vi ết theo d ạng quen thu ộc. Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh Chương 5. Đ i s tuy n t ớnh VD 6. Trong ℝ2 , cho x =(3; − 5) và 1 c ơ s ở: P= [ uuu ][ ] [ ] Đặ c bi ệt. Ta cú: E→ B( 1 2 n ) 1 F={ u1 =− (2; 1), u 2 = (1; 1)} . (ma tr ận c ột c ủa cỏc vector trong B ). T ỡm t ọa độ c ủa vector x trong c ơ s ở F ? 1 d) Tọa độ c ủa vector trong cỏc c ơ s ở khỏc nhau Cụng th ức tỡm ma tr ận chuy ển −1 Ma tr ận chuy ển c ơ s ở P= PP = P P . BB→ BEEB → →( EB →) EB → Trong kgvt ℝn , cho 2 c ơ s ở: 121 2 1 2 2 BuBvi1={i }, 2 = { i }, = 1,2, , n . VD 7. Trong ℝ , cho 2 c ơ s ở: B=={ u (1; 0), u =− (0; 1)} , Ma tr ận [v ] [ v ] [ v ] đượ c g ọi là ma tr ận 1 1 2 ( 1B 2 B nB ) 1 1 1 B={ v =− (2; 1), v = (1; 1)} . chuy ển c ơ s ở t ừ B sang B . Ký hi ệu là: P . 2 1 2 1 2 B1→ B 2 Cho bi ết [x ]B = (1; 2) . Hóy tỡm [x ] B ? Cụng th ức đổ i t ọa độ : []x= P .[]. x 2 1 B1 BB 12→ B 2 H t Toỏn cao c p A1 Cao đ ng 32
